Formulación de Dirichlet con potencial constante

Ana Laverón SimavillaMª Victoria Lapuerta González

Formulación de Diritchlet

Pxn

im i m

S SB B

m

SW

dS NdSn

NdS

��������������

Se debe resolver la ecuación integral haciendo que el punto P tienda a la superficie del cuerpo

Potencial de un doblete: d

im P i d P

SB

d

SB

P

P

SW

x xx x x dS x x x dSn

x x dS

Distribución de manantiales

Distribución de dobletes

Potencial de un doblete: d

Formulación de Diritchlet

( )

im P i d P

SB S

P

d P

B

SW

x x x dx xS x x x dSn

x x dS

• Eligiendo que el potencial interior sea nulo:

Distribución de dobletes

S SB

P

W

d P d Px x dS x x dx Sx

Método del potencial constante (2D) El contorno del perfil se modeliza con N paneles, que serán

segmentos rectos Los paneles están determinados por N+1 nodos

Los puntos de control son los puntos medios de cada panel:

1 1, 1,...,2 2

j j j jPCk PCk

x x z zx z k N

Nodo del b.s.

nodo

panel jnodo j

nodo j+1

sentido de recorrido del perfil

2 21 panel j

Efecto en de unadistribucion de dobletessobre el panel

1

j

( ) d ( ) d( cos sin )

2 2( )

NPCk PCk

PCk PCkj PCk PC

j NP k

k

k CkSW

x x N S x x N SU x z

x x xx

x

Método del potencial constante (2D)

Se imponen las condiciones: Potencial constante sobre cada panel Se particulariza la ecuación anterior en los puntos de control k

N-1

S SB

P

W

d P d Px x dS x x dx Sx

Método del potencial constante Para resolver las integrales sobre cada panel conviene tomar

ejes ligados al panel

v

u

P.C. k

j j+1panel j

2 2 2panel j 0

( ) dar c tan ar c tan

2 2 2( ) ( )

l j jj jj j j j kPCk k k

j j j jk k k kPCk

jjkIkF

l uv du ux x N S

u u v v vx x

1 , longitud del panelj jj j

j

x xV l

l

( , ) ,

( , )

j jx jz

j jz jx

V V V

N V V

k

jj+1

j j jk kI kF

jV

jN

Método del potencial constante (2D) Para el propio panel, k=j

Para la cortadura se toma un panel semi-infinito

Finalmente:

,2 2

j jIj Fj

1 1sgn( )2

N NFk kv

11 1

1

sgn( ) ( cos sin )2 2 2

Nj N N

k Ik PCk PCkkj

j Nk v U x z

Método del potencial constante (2D)

Forma matricial: con y

1 1 1

1

( ) sgn( ) ( cos sin )2 2 2

Nj j N N

k Ik PCk PCkj N

k Ik Fkj

v U x z

jj kkA B 1,.... , 1,....k N j N

( cos sin )k PCk PCkB U x z

, 1,2

jj j k

k kA j N

1 11

1 1sgn( )

22 2

N Nk Ik

kk k

vA

1 1sgn( )2

2 2

N NN k IkN N k

k k

vA

Método del potencial constante (2D) 1 1 1

1

( ) sgn( ) ( cos sin )2 2 2

Nj j N N

k Ik PCk PCkj N

k Ik Fkj

v U x z

ar c tan ar c tan , j j

j kj kk j j

k k

l u uk j

v v

, jk k j

11

1ar c tan

NN kkI N

k

u

v

Corriente alrededor de un perfil de Karman-Trefft

2 2 20 0

0

con: , 1 2 ( 2 : Joukovsky)

C.Kutta: 4 sin

kka t a

a x R y k kka t a

U R

U

x

y

Rx0

y0 0

a

U

ka

Se van a comparar los resultados numéricos con los analíticos para un perfil de Kármán-Trefftz.

1. Para n paneles calcúlese el coeficiente de presión en el extradós y en el intradós del perfil, . Para ello se calcula la velocidad en los nodos mediante la expresión:

siendo di la distancia entre los puntos de control i e i+1.

2. Compare los resultados con los obtenidos de forma exacta con la transformación de Kármán-Trefftz.

Cálculos requeridos

pC

1 nodo 1 , PC i PC i

ii

Vd

Comentarios para la resolución

Función que proporciona el perfil y las coordenadas de los nodos:

function[ξ,η]=funcion_perfil (n, t0,k, R)

Función que proporciona analítico:

function [ξ p,int, Cp,int, ξ p,ext, Cp,ext, η p,int, η p,ext, ] =

funcion_karman(t0, k, n_kam, R, )

pC

U

Resultados

• Perfil para t=-0.3+i0.2, k=1.5, R=1, n=100,

/10, 1U

num6.1939