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INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR

Guía de Aprendizaje Grado 9º

1 MATEMÁTICAS

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

CIUDADELA DEL SUR

MODELO PEDAGÓGICO

“ESCUELA ACTIVA URBANA”

EDUCACIÓN BÁSICA SECUNDARIA

GRADO 9º

AREA MATEMÁTICAS

ELABORADO POR:

ALBA LORENA GALEANO RUIZ



2 MATEMÁTICAS

GRAFIQUEMOS FUNCIONES LINEALES

LOGRO

COMPETENCIAS

INTERPRETATIVA: Identifica las relaciones que son funciones, también

las características de la función lineal.

ARGUMENTATIVA: Sustenta y explica resultados por medio de la verificación de datos.

PROPOSITIVA: Propone métodos de solución diferentes al propuesto por

el docente.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Momento A: Apropiación de conceptos

Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas

Momento C: Práctica en el contexto

Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva.

Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas

Participación activa

Puntualidad

Asistencia

Cumplimiento del convenio de convivencia pacífica del colegio.

Identifica la función lineal y la forma general de la recta, desarrolla ejercicios de aplicación con dos ecuaciones lineales y

argumenta los resultados por medio de la verificación de los datos, de tal forma que sean coherentes con la situación dada.

Demuestra interés por proponer otros métodos de solución.

I PERIODO



3 MATEMÁTICAS

CONTENIDOS

UNIDAD DIDÁCTICA: Grafiquemos funciones lineales

Guía

Tema

Subtemas

Logros

Estándares

Tiempo

Nº 1

Concepto

de función

Dominio, codominio,

rango y grafo de una función

Formas para representar una función.

Reconoce el concepto de

función y lo relaciona con

situaciones de la vida real.

Usar procesos

inductivos y lenguaje

algebraico para verificar conjeturas.

2 semanas

Nº 2

Función lineal

Representación gráfica.

Función afín.

Identifica las características de la función lineal y de la función afín.

Interpretar la relación entre el parámetro de funciones con la familia

de funciones que genera.

2 semanas

Nº 3

La recta

Pendiente de la recta.

Ecuación

explícita de la recta.

Ecuación general de la

recta.

Halla la ecuación explícita y la

ecuación general

de una recta. Establece la

posición relativa de dos rectas en un mismo plano

Identificar relaciones

entre

propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones

algebraicas

2 semanas

Nº 4

Sistema de

ecuaciones lineales

con 2 incógnitas

Método gráfico. Método de

Sustitución. Método de

Igualación. Método de

Reducción. Método de

determinantes. Problemas de

aplicación.

Determina la solución de un sistema de

ecuaciones con dos incógnitas, utilizando diferentes métodos de

solución. Plantea y

resuelve problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 2 x 2.

Identificar diferentes métodos

para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

2 semanas



4 MATEMÁTICAS

GUIA No. 01 (2 SEMANAS)

PRESABERES. Trabajo Individual.

Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos

a trabajar:

I. Dados { } y { }, escribir por extensión cada uno de

los siguientes conjuntos.

a. {( ) }

b. {( ) }

c. {( ) }

II. Ubicar las siguientes parejas ordenadas en el plano cartesiano.

a. ( ) c.

3

7,0

b.

3

5,

2

1 d.

0,

2

5



5 MATEMÁTICAS

III. Identificar las rectas paralelas.

a. b.

c. d.

IV. Trazar una recta perpendicular a cada recta dada.

a. l b.

c. l d.

PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente definición

Sean A y B conjuntos. Una función definida del conjunto A en el conjunto B, es una correspondencia que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.

http://www.google.es/imgres?q=dibujos+de+bob+el+constructor+coloreados&hl=es&sa=X&rlz=1R2ADFA_esCO440&biw=1024&bih=473&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=6zUQg06pGeyt8M:&imgrefurl=http://paracoloreardibujo.s-pl.us/search.php?sbox=tstanley&page=2&docid=OA7Y0BN9J47VLM&imgurl=http://dibujosporcolorear.com/data/thumbnails/172/bob_el_constructor.gif&w=100&h=120&ei=052sTviSA8nEgQeZlcHHDw&zoom=1



6 MATEMÁTICAS

Las funciones se simbolizan por letras tales como entre otras.

Así, para notar la función definida de A (conjunto de salida) en B (conjunto

de llegada), se escribe y se lee “efe” de A en B.

Supóngase que { } y { } y es la correspondencia

mediante la cual cada elemento de A debe ser asociado con su anterior en B.

Entonces, es una función de A en B, pues a cada elemento del conjunto de

salida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.

Una forma de representar esta función, se muestra en el siguiente diagrama

sagital.

En general, si es cualquier elemento del

conjunto de salida y es el elemento del

conjunto de llegada que le corresponde a

mediante la función , se dice que es la

imagen de a través de .

Esto se simboliza por ( ) y se lee igual a “efe” de .

En el diagrama se tiene que ( ) ( ) ( ) ( )

EJEMPLO: A continuación se han representado cuatro correspondencias

entre los conjuntos { } y { }. Determinar cuáles de estas

correspondencias son funciones y cuáles no.

1

2

3

a

b

c

d

M N

f

1

2

3

4

0

1

2

3

4

A B

f

1

2

3

a

b

c

d

M N

g



7 MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN:

y sí son funciones porque en cada caso cada elemento de está

relacionado con un único elemento de .

e no son funciones, pues en la correspondencia , 1 tiene dos

imágenes, y en la correspondencia , 3 no tiene imagen.

Dada una función establecida entre dos conjuntos, se identifican los

siguientes elementos:

Dominio: es el conjunto de salida o conjunto de pre imágenes. Se nota

Dom .

Codominio: es el conjunto de llegada.

Rango: es el subconjunto del codominio, formado por las imágenes de los

elementos del dominio. Se nota Ran .

Grafo: es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas en las

cuales la primera componente es un elemento del dominio y la segunda componente es un elemento del rango. Esto es {( ) ( )}.

1

2

3

a

b

c

d

M N

h

1

2

3

a

b

c

d

M N

i



8 MATEMÁTICAS

EJEMPLO: Determinar el dominio, el codominio, el rango y el grafo de la función representada en el siguiente diagrama sagital.

SOLUCIÓN

{ }

{ }

{ }

{( ) ( ) ( )}

Además del diagrama sagital, para representar una función se utilizan otras

formas, tales como el diagrama cartesiano, la fórmula o la tabla de valores.

Diagrama Cartesiano: el eje horizontal representa el dominio y el eje

vertical, el codominio. En este diagrama se representan las parejas ordenadas que pertenecen al grafo de la función.

La Fórmula: es la expresión algebraica de la función, en la cual los

elementos de los conjuntos se simbolizan, de manera general, mediante variables. Las fórmulas de las funciones son de la forma ( ), en la

cual ( ) es una expresión en términos de ; es la variable

independiente y representa los elementos de ; es la variable

dependiente y representa los elementos de Ran .

La Tabla de Valores: está formada por dos filas de casillas. En la fila

superior se ubican los valores que toma la variable independiente y en la

fila inferior se ubican los valores que se obtienen para la variable dependiente.

a

e

i

k

m

n

o

p

R S

h



9 MATEMÁTICAS

EJEMPLO: Dados los conjuntos { } y { }, y la función

tal que a cada elemento de x le asigna su doble en , representar

la función mediante:

a. La fórmula b. La tabla de valores

c. El diagrama sagital d. El diagrama cartesiano

SOLUCIÓN

a. La fórmula b. La tabla de valores

( ) ó

c. El diagrama sagital d. El diagrama cartesiano

X 0 1 2 3

y 0 2 4 6

0

1

2

3

0

1

2

3

4 5 6

X Y

f

1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

-1



10 MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE. Trabajo Colectivo.

Reúnete con tus compañeros de mesa para desarrollar los siguientes ejercicios de aplicación del tema visto.

I. Indicar cuáles de los diagramas sagitales representan funciones. Justificar cada respuesta.

a. b. c.

II. Escribir en el cuaderno el dominio, codominio, rango y grafo de cada

una de las siguientes funciones.

a.

a

e

i

m

n

o

p

A B

f

1 0

2

A B

f

4

8

12

r

s

t

M N

h

m

n

o

p

q

C D

g

2

3

4

5

1

O P

i

4

2

3

4

5

R T

h

1

-1

0

2

1

0

4

M N

g

b.

c.

d.



11 MATEMÁTICAS

III. El grafo de cierta función f es {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. Responder

las siguientes preguntas:

a. ¿Qué elementos pertenecen al dominio de la función?

b. ¿Cuáles números forman el rango de la función?

c. ¿5 pertenece al codominio de la función?

d. ¿Cuántos elementos tiene el dominio de la función?

e. ¿Se podría representar el grafo anterior en un diagrama sagital?

¿Cómo?

IV. Definir cada una de las siguientes funciones mediante un diagrama cartesiano y una tabla de valores.

a.

V. Sean los conjuntos { } y { } y la función tal

que a cada elemento de se asocia su doble en . Definir la función

mediante.

b. Diagrama sagital

c. Diagrama cartesiano

d. Fórmula

e. Tabla de valores

2

3

4

1

2

3

4

M N

h

4

5

6

2

3

4

5

A B

f

1

2

3

2

4

6

A B

f

1

3

5

7

6

2

4

8

E F

h

b.

c.

d.



12 MATEMÁTICAS


TRABAJO COLECTIVO PARA REALIZAR EN EL AULA. Observa el ejemplo y construya una gráfica similar, donde sea representada una función lineal.

La siguiente situación no representa una línea recta, pero muestra por tramos una línea que cambia de dirección.

a. Un vehículo se mueve uniformemente si recorre distancias iguales en

tiempos iguales. La velocidad en el movimiento uniforme es el espacio recorrido entre la unidad de tiempo.

b. En este caso, intenta graficar los siguientes datos sobre un plano cartesiano, hasta obtener una línea recta.

La empresa de libros “el pensamiento” vende la siguiente cantidad de libros,

representados de la siguiente forma:

Durante el mes 1, vende 15 libros.

Para el mes 2, ya tiene vendidos 30 libros.

En el mes 3, vuelve a vender otros 15 libros, alcanzando una venta de 45

libros y así sucesivamente durante los meses siguientes.

Durante las primeras 8 horas, el vehículo avanza 40

Kms.

Entre las 8 – 16 horas, merma su velocidad de 40 a

20 Kms.

Entre las 16 – 24 horas,

aumenta su velocidad de 20 a 60 Kms.

20 km

40 km

60 km

Espacio en km

8 h 16 h 24 h Tiempo en horas

0



13 MATEMÁTICAS

PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente

definición

Ejemplos: ( ) , ( )

, y

La función lineal es una función real cuya principal característica consiste en que su representación gráfica es una recta que pasa por el origen del plano

cartesiano.

-

Toda función de la forma donde es una constante

diferente de cero, es una función lineal.

EJEMPLO: Construir la gráfica de la función ( )

SOLUCIÓN:

La tabla de valores para la

función ( ) es:

-2

-1

0

1

2

-6 -3 0 3 6

y se obtiene la siguiente gráfica



14 MATEMÁTICAS

Se denomina función afín a toda función de la forma donde y

son constantes no nulas.

Este tipo de funciones tienen como

representación gráfica una recta

que no pasa por el origen del plano cartesiano.

Por ejemplo, la gráfica de la

función es una recta que

corta el eje y en el punto (0, -1)

( )

x -2 -1 0 1 2

y -7 -4 -1 2 5

Es posible encontrar los puntos de corte de la recta correspondiente a la

gráfica de una función afín, con los ejes coordenados, mediante una sencilla sustitución algebraica.

Para hallar el punto ( , 0) o punto de corte de la recta con el eje , en

la expresión ( ) se hace y se despeja .

Para hallar el punto (0, ) o punto de corte de la recta con el eje , se

hace y se despeja .

EJEMPLO: Hallar los puntos de corte de la gráfica con los

ejes coordenados.

-



15 MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN:

Para hallar ( , 0) se hace

Luego

.

Así, ( , 0) =

0,

2

1 es el

Punto de corte con el eje .

Para hallar (0, y ) se hace

( ) es decir

Por tanto, (0, ) = (0, -1) es

el punto de corte con el eje .

ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE. Trabajo Individual.

Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del

tema visto. Estos ejercicios contienen el desarrollo de competencias y transversalidad con otras áreas del conocimiento:

I. Graficar cada tabla de valores en el plano cartesiano. Escoger una

escala apropiada para el eje y.

a. b.

-

Número de libros

Costo en $

1 10.500

4

52.500

3

2

5

21.000

31.500

42.000

Número de manzanas

Precio en gramos

1 400

2.5

2.000

2

1.5

3

800

1.200

1.600



16 MATEMÁTICAS

c. d.

II. Indicar cuáles de las siguientes relaciones representan funciones

lineales o afines. Justificar la respuesta.

a. Cierta población de bacterias se duplica en cada minuto. Relación: Crecimiento de una población de bacterias y el tiempo.

b. Para reparar la instalación de una casa, el servicio técnico cobra $25.000 más $10.000 por hora.

Relación: Tiempo trabajado y costo.

c. Una empresa fabrica cajas de zapatos. Por cada caja vendida recibe

$5.000 de ganancia. Relación: Cantidad de cajas vendidas y ganancias.

III. Realizar la gráfica de las siguientes funciones.

a. xxf 2)(

b. xxf 3)(

c. xxf 5)(

d. 5)( xxf

e. 32)( xxf

f. 22

1)( xxf

IV. Hallar los puntos de corte de la gráfica de cada función, con los ejes coordenados, sin representarlo en el plano.

a. xxf 5)(

b. 23)( xxf

c. 15)( xxf

d. 24

3)( xxf

Número de horas

Cantidad de minutos

1 400

4

2.000

3

2

5

800

1.200

1.600

Núm. de art. vendidos

Comisión por ventas en $

1 400

4

2.000

3

2

5

800

1.200

1.600



17 MATEMÁTICAS


PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente definición La siguiente gráfica representa el crecimiento de un árbol durante un año.

De acuerdo con el gráfico:

¿En qué mes se produjo el mayor crecimiento del árbol?

¿El crecimiento del árbol fue uniforme?

¿En qué mes se produjo el menor crecimiento del árbol?

Seleccione uno de los segmentos de recta pertenecientes a la gráfica y encuentre la

pendiente y la ecuación de la recta que la determina.

Seleccione dos segmentos de la gráfica distintos y demuestre según los criterios de la

pendiente, si estos son paralelos o simplemente secantes.

E F M A M J J A S O N D

10

20

30



18 MATEMÁTICAS

PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente definición

En la expresión , el valor de es una constante diferente de

cero, denominada pendiente.

La pendiente está directamente relacionada con la inclinación de la recta cuya ecuación es .

Si ( ) y ( ) son dos puntos distintos de dicha recta, la pendiente

se calcula mediante las igualdades:

21

21

xx

yym

ó

12

12

xx

yym

EJEMPLO: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos )5,3(A y

)3,2(B .

SOLUCIÓN:

Si se consideran ),()5,3( 11 yxA y ),()3,2( 22 yxB al remplazar en la

fórmula anterior, se obtiene:

21

2

23

35

m 2

1

2

32

53

mó

las cuales se interpretan

como la razón de incremento vertical con respecto al

incremento horizontal en la recta.



19 MATEMÁTICAS

El signo de la pendiente de una recta depende del ángulo de inclinación de

dicha recta con respecto al eje .

Se pueden distinguir cuatro casos:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Caso 1: Si la recta forma un

ángulo agudo con el eje , la

pendiente es positiva.

Caso 2: Si la recta forma un

ángulo obtuso con el eje , la

pendiente es negativa.

Caso 3: Si la recta es vertical

(paralela al eje ), se dice que la

pendiente no está definida.

Caso 4: Si la recta es horizontal

(paralela el eje ), la pendiente es

cero.

0

r

𝑚

r

𝑚

0

r

𝑚

r

𝑚 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎



20

MATEMÁTICAS

Así como aprendimos a graficar funciones lineales o de primer grado, donde siempre resultaba una línea recta en el plano cartesiano, podemos

también encontrar la Ecuación Explícita de la Recta y la Ecuación General de la Recta donde solo necesitas conocer algunos datos de la

gráfica para luego proceder a encontrarlos.

Pues bien, recordemos que la Ecuación Explícita de la Recta es

aquella que tiene la forma , donde m es la Pendiente y b

es el Punto de corte de la recta con el eje y. Para poder determinarla,

se pueden presentar 2 casos.

CUANDO SE CONOCE LA PENDIENTE Y UN PUNTO

Cuando se conoce la Pendiente y un Punto de la Recta, basta remplazar

dichos valores en la expresión general con el fin de encontrar

el valor de de manera algebraica.

EJEMPLO: Encontrar la ecuación explícita de la recta que pasa por el

punto (3, 2) y cuya pendiente es 4.

SOLUCIÓN: Dado que 4m y )2,3(),( yx al remplazar dichos

valores en la expresión se obtiene:

b )3.(42 Por tanto, la ecuación pedida es:

b122 104 xy

b122

10b



21

MATEMÁTICAS

CUANDO SE CONOCEN LOS DOS PUNTOS

Cuando se conocen los dos Puntos que pertenecen a la recta, primero se halla su pendiente mediante la expresión

12

12

xx

yym

Luego, se remplazan m y las coordenadas de cualquiera de los puntos

conocidos en la expresión bxmy . y se procede como en el caso

anterior.

EJEMPLO: Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por los

puntos )3,2( y )5,3( .

SOLUCIÓN: se determina la pendiente de la recta según la fórmula

12

12

xx

yym

=

23

35

=

1

2 = 2

Luego, se toma la pendiente y la coordenada de cualquiera de los puntos conocidos.

2m y )5,3( . Estos valores se remplazan en la expresión

b )3.(25 bxmy . como en el caso anterior

b 65

b 65 Por tanto, la ecuación pedida es:

1b

La expresión donde y (es decir, no

son ceros simultáneamente) es llamada Ecuación General de la Recta.

Esta ecuación está definida de la forma .



22

MATEMÁTICAS

Si la ecuación de una recta está dada en forma explícita, basta realizar algunas operaciones algebraicas para obtener la forma general.

EJEMPLO: expresar la ecuación

en forma general.

SOLUCIÓN: Se multiplica ambos miembros de la igualdad por el

(

) ( )

Luego, es la forma general de la ecuación dada.

a. Dada la ecuación explícita

,14 xy obtener la ecuación

general de la recta.

14 xy

014 yx la expresión se iguala a 0.

b. Dada la ecuación general

,0523 yx hallar la

ecuación explícita de la recta.

532 xy se despeja y así

2

53

xy

2

3

xy

2

5

2

3xy +

2

5

Representar gráficamente la recta cuya ecuación es .01236 yx

SOLUCIÓN

Para encontrar el punto de corte

con el eje ,x hacemos que 0x y

lo reemplazamos en la ecuación

general hasta encontrar el valor de

y .

Para encontrar el punto de corte

con el eje ,y hacemos que 0y y lo

reemplazamos en la ecuación

general hasta encontrar el valor de

x .



23

MATEMÁTICAS

012306 y

01230 y

123 y

3

12

y

3

12

y

3

12y

4y

Así el y intersecto es (0, 4)

012036 x

01206 x

126 x

6

12x

2x

Así el x intersecto es (-2, 0)

-

Gráficamente se puede observar que la recta corta el eje x en el valor de -2 y que corta el eje y en el valor de 4.

Lo que significa que al hacer que cada variable se convierta en cero, encontramos el punto de corte con el eje coordenado de manera algebraica. Además, estos valores también se pueden reemplazar sobre la ecuación general de la recta.



24

MATEMÁTICAS


definición

I. Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

a. )5,5( y )6,6(

b. )3,4( y )3,5(

c. )3,2( y )5,6(

d. )5,3( y )5,2(

II. Indicar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las

siguientes rectas.

a. 53 xy

b. 25 yx

c. 43 yx

d. 69 yx

III. Encontrar la ecuación explícita de la recta que tiene el punto y la

pendiente indicados.

a. Punto )4,1( 2m

b. Punto )2,3( 3m

c. Punto )6,5( 0m

d. Punto )1,3( 2m

IV. Escribir V en cada afirmación se es verdadera, o F si es falsa. Justificar

la respuesta.

a. La ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos )2,1( y

)3,2( es 2 xy .

b. La recta cuya ecuación es 23 yx contiene el punto )2,0(

y su pendiente es 3.

c. La ecuación de una recta cuya pendiente es indefinida es 6x .



25

MATEMÁTICAS

d. La ecuación 5x corresponde a una recta cuya intersección con el

eje y es 5 y su pendiente es nula.

e. La recta que pasa por los puntos )1,1( y )4,4( tiene la misma

pendiente que la recta que pasa por los puntos )7,7( y )10,10( .

f. La ecuación de la recta 53 xy corta el eje y en 5.

g. La expresión 5

1

4

3 xy corresponde a una recta cuya

pendiente es 5

1.

V. Escribir cada ecuación en su forma general.

a. yx 9

b. yx 43

c. 152 xy

d. 3

423 yx

e. 6

35

9 yx

f. 8312 yx

g. 252

1 xy

h. 123 xyx

i. 6324 xyx

j. yxx 43

12

3

5

VI. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y es

perpendicular a la recta dada.

a. 69 xy punto )0,0(

b. 28 xy punto )1,1(

c. 15 yx punto )3,2(

d. 624 yx punto )1,4(



26

MATEMÁTICAS

VII. Escribir V si la afirmación se es verdadera, o F si es falsa. Justificar la respuesta.

Sean l y s dos rectas cuyas pendientes son 1m y 2m

respectivamente.

a. Si l y s son paralelas, entonces sus pendientes cumplen:

121 2mmm

b. Si l y s son perpendiculares: 2

1

1

mm

c. Si l y s son paralelas, se cumple: 021 mm

d. Si l tiene pendiente ,3

1m entonces una recta perpendicular a

ella debe tener pendiente positiva.

ACTUALIDAD

Las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir fenómenos. Son usadas por biólogos, físicos, ingenieros y economistas para analizar, por ejemplo, la variación del precio de un producto a través de los años, el crecimiento de la población en un periodo de tiempo y la resistencia de un material a distintas temperaturas, entre otras.



27

MATEMÁTICAS


MOTIVACION. Trabajo cooperativo para realizar en el aula.

Realiza la lectura del siguiente fragmento y luego responde las preguntas en tu cuaderno:

CONVERSATORIO

Responde las siguientes preguntas sobre la lectura anterior

¿Qué hecho aporta la época babilónica al desarrollo de las siguientes ecuaciones lineales?

¿Qué contribución algebraica hizo la cultura China al desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales?

¿En qué siglo la teoría de los sistemas lineales dio origen al álgebra lineal?

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Desde la antigüedad el problema de resolver ecuaciones lineales simultáneas ya era objeto de interés entre los matemáticos.

Por ejemplo, en un texto de la época babilónica antigua se encuentra un sistema de dos ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas, llamadas respectivamente el primer anillo de plata y el segundo anillo de plata.

En la cultura china, la contribución algebraica más importante fue, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución se sistemas de ecuaciones lineales, según consta en el libro de Los nueve capítulos sobre el arte matemático (año 250 a. de C.). En esta obra, se establece un método genérico de resolución para todos los sistemas, muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando los coeficientes en forma matricial y transformándolos en ceros de manera escalonada.

En el siglo XIX, la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales dio origen a lo que hoy se conoce como el álgebra lineal, la cual está relacionada con la teoría de los determinantes y las matrices.



28

MATEMÁTICAS


definición

Toda igualdad de la forma donde es una ecuación

lineal con dos incógnitas. Cada pareja ordenada de números reales que satisface esta ecuación es una solución de ella. Por ejemplo, para

encontrar las soluciones de la ecuación se despeja luego se

asignan valores arbitrarios a De esta forma, dando valores a se

pueden obtener infinitos valores para Así, se dice que la ecuación lineal

es una ecuación indeterminada.

Toda ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación indeterminada.

Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado

sistema de ecuaciones lineales o sistema de ecuaciones simultáneas.

Por ejemplo, el conjunto

82

73

yx

yx

Es un sistema 2 X 2, pues está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas. La solución de este sistema es la pareja (3, 2) ya que satisface

las dos ecuaciones simultáneamente.

Existen cinco métodos para resolver o solucionar un sistema de ecuaciones lineales 2 X 2. Estos métodos son: el gráfico, el de sustitución, igualación,

reducción y determinantes. A continuación, veremos únicamente los cuatro primeros casos, dado que el caso de determinantes será visto en clase con

ayuda del docente.



29

MATEMÁTICAS

Para determinar la solución o soluciones de un sistema 2 X 2 se emplean varios métodos, entre los cuales tenemos el método gráfico. Este

consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que

forman el sistema, despejando en cada una de las ecuaciones la variable

para que la ecuación tome forma de función y posteriormente construir

ambas gráficas sobre un mismo plano cartesiano, para determinar las coordenadas del punto ( ) en el que se cortan dichas rectas.

Cuando se utiliza el método gráfico para resolver un sistema 2 X 2, se pueden presentar tres casos:

CASO 1: Las rectas se cortan en un solo punto ( ). Esto significa que el

sistema tiene una única solución, dada por los valores que son

coordenadas del punto de corte.

CASO 2: Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminado.

CASO 3: Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es

decir, el sistema no tiene solución.

EJEMPLO: Encontrar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método gráfico.

a.

3

13

xy

xy b.

43

23

xy

xy c.

242

12

yx

yx

SOLUCIÓN: Al graficar las rectas de cada sistema en un plano cartesiano, se obtiene:

a.

3

13

xy

xy b.

43

23

xy

xy



30

MATEMÁTICAS

13 xy 3 xy 23 xy 43 xy

c.

4

2

4

2

2

1

2

1

xy

xy

2

1

2

1 xy

4

2

4

2 xy

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución, se despeja una de las variables en cualquiera de las

ecuaciones dadas. Luego se remplaza dicho valor en la otra ecuación y se

0 1

3 4

0 1

1 4

0 1

2 -1

0 1

4 1

0 1

2

1 0

0 1

4

2 0

Masa (Kg)

-

Sol:(1,4)

-



31

MATEMÁTICAS

despeja nuevamente la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la variable inicial.

EJEMPLO: Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones lineales.

2822

11123

yx

yx

SOLUCIÓN: En la ecuación 1 se despeja la variable x.

1123 yx

yx 2113

3

211 yx

Luego, se remplaza dicho valor en la ecuación 2 y se despeja la variable .

823

2112

y

y

823

4

3

22 y

y

3

2282

3

4 y

y

3

2224

3

64

yy

22 y

1y

El valor encontrado se remplaza en la ecuación 1 y luego se despeja

1123 yx

11)1(23 x

1123 x



32

MATEMÁTICAS

3

211x

3

9x Luego, 3x

Así, la solución del sistema es la pareja ordenada: ( 3, -1)

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas.

Luego se igualan las expresiones obtenidas y se despeja la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para

encontrar el valor faltante.

EJEMPLO: Resolver por el método de igualación el sistema de ecuaciones

lineales.

1053

24

yx

yx

SOLUCIÓN: Se despeja la variable en las dos ecuaciones y se igualan

las expresiones obtenidas.

24 yx 1053 yx

yx 24 yx 5103

4

2 yx

3

510 yx

3

510

4

2 yy

12

2040

12

36 yy

Se despeja en la ecuación resultante.



33

MATEMÁTICAS

yy 204036

640203 yy

4623 y

23

46y

2y

Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

24 yx

224 x

224 x

224 x

04 x Luego, 0x

Por lo tanto, la solución del sistema es la pareja ordenada: (0, -2)

En la solución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción,

se reducen las dos ecuaciones del sistema a una sola sumándolas. Para

esto, es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las

ecuaciones transformadas, la variable se elimina y es posible despejar la otra. Luego se procede como en los métodos anteriores.

EJEMPLO: Resolver por el método de reducción el sistema de ecuaciones lineales.

123

234

yx

yx



34

MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN: Al multiplicar por 3 la primera ecuación y por 4 la segunda

ecuación, se puede cancelar la variable .

4.2123

3.1234

pormultyx

pormultyx

4812

6912

yx

yx

2y

Posteriormente, dicho valor de y se remplaza en cualquiera de las dos

ecuaciones lineales y se despeja la variable .

234 yx

2)2(34 x

264 x

624 x

44 x

4

4x

1x

Cuando se resuelve un sistema por el método de reducción, al transformar las dos ecuaciones en una sola se presentan dos casos especiales.

CASO 1: Se obtiene la expresión 0 = constante (diferente de cero). En este caso el sistema no tiene solución y se denomina inconsistente.

CASO 2: Se obtiene la expresión 0 = 0. Significa que el sistema tiene

infinitas soluciones y es llamado dependiente o indeterminado.

Luego, el conjunto solución es: (-1, 2).



35

MATEMÁTICAS

CASO 1

CASO 2

CASO 3

Gráfica

Número de soluciones

Una solución

Infinitas soluciones

No tiene solución

Clase de

sistema

Consistente

Indeterminado-

consistente

Inconsistente

Un determinante es un número asociado a un arreglo de números reales

en igual cantidad de filas y de columnas. Por ejemplo, la notación

dc

ba

Corresponde a la determinante 2 X 2 o de orden dos, asociado a un arreglo de dos filas y dos columnas.

En esta determinante, a y d forman diagonal principal y c y b forman la

diagonal secundaria

Elementos de una determinante 2 X 2



36

MATEMÁTICAS

dc

ba

dc

ba

Al producto de los números de la diagonal principal se le resta el producto de los números en la diagonal secundaria.

dc

ba

= a.d - b.c

EJEMPLO: evaluar los siguientes determinantes:

a.

96

23

b.

01

2

15

SOLUCIÓN

a.

96

23

= 3(9) – 2(6)

= 27 – 12 = 15

b.

01

2

15

= (-5)(0)-

2

1(-1)

= 0 - 2

1 =

2

1

columna

fila

diagonal secundaria

diagonal principal

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Cardán, en “Ars Magna” (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales que llama regla de modo. Esta regla corresponde en

esencia a la conocida Regla de Crámer para la resolución de un sistema 2 X 2.



37

MATEMÁTICAS

Es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando

determinantes, mediante un método denominado Regla de Crámer. Este método se resume de la siguiente forma.

Sea

feydx

cbyax

un sistema de ecuaciones

Se cumple que:

ed

ba

ef

bc

x = bdae

bfce

y

ed

ba

fd

ca

y = bdae

cdaf

EJEMPLO: resolver mediante la Regla de Crámer el siguiente sistema de ecuaciones lineales

29

543

yx

yx

feydx

cbyax

SOLUCIÓN

Se organizan los determinantes necesarios y se resuelven.

Determinante del sistema Determinante del sistema

ed

ba

ef

bc

x

91

43

92

45

=

427

845

=

23

37



38

MATEMÁTICAS

Luego, la solución del sistema es

23

1,

23

37

En el proceso de resolución de problemas se deben realizar los siguientes

pasos.

PASO 1. COMPRENDER EL PROBLEMA:

Leer con atención el problema, primero en forma general y luego parte

por parte.

Realizar un dibujo, esquema o tabla que facilite la comprensión del

problema.

Identificar los datos necesarios para aplicar la mejor estrategia a

utilizar.

PASO 2. PLANEAR LA SOLUCIÓN:

Adecuar un plan de trabajo que permita anticipar una respuesta razonable.

Escoger las operaciones a realizar.

PASO 3. DESARROLLAR EL PLAN:

Resolver las operaciones en el orden establecido.

ed

ba

fd

ca

y

91

43

21

53

= 427

56

=

23

1



39

MATEMÁTICAS

Verificar si todas las preguntas han sido resueltas.

PASO 4. REVISAR Y REFLEXIONAR SOBRE LA SOLUCIÓN:

Verificar si la solución encontrada es válida.

Reflexionar sobre el proceso seguido para hallar la solución.

Analizar si existen otras maneras de solucionar el problema.

EJEMPLO: Resolver el problema.

La suma de las cifras de un número es 7. Si al número se le resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número.

SOLUCIÓN

Una vez realizada la lectura atenta, se determinan las incógnitas.

x: cifra de las decenas.

y: cifra de las unidades.

Se plantean dos ecuaciones, según las condiciones del problema.

xyyx

yx

10910

7

Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso se ha elegido

el método de reducción.

999

7

yx

yx

Para sumar las dos ecuaciones se ha transformado la primera ecuación

Se multiplica la 1ª ecuación x 9



40

MATEMÁTICAS

999

6399

yx

yx

x18 = 72

18

72x

4x

Luego, si x = 4 entonces reemplazamos este mismo valor en la 1ª ecuación del sistema.

7 yx

7)4( y

47 y

3y

Por lo tanto, se tiene que y = 3. Entonces el número pedido es 43.

VERIFICACIÓN: Comprobamos la solución de acuerdo con las

condiciones dadas en el problema.

4 + 3 = 7 y 43 – 9 = 34

PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo



41

MATEMÁTICAS

I. Hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales,

por el método gráfico.

a.

3

13

yx

yx b.

72

54

yx

yx

II. Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución.

a.

822

1123

yx

yx b.

92

12

yx

yx

III. Resolver por el método de reducción.

a.

123

234

yx

yx b.

93

1246

yx

yx

IV. Resolver por el método de igualación.

a.

1053

24

yx

yx b.

24

04

yx

yx

V. Resolver por el método de determinantes o Regla de Crámer.

a.

2587

85

yx

yx b.

342

1323

yx

yx

VI. Resolver los problemas de aplicación utilizando un método distinto

para cada uno de ellos.

a. La suma de dos números es 38 y su diferencia es 8. Hallar los

números.

b. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la

sala.

c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan $81.500; 17 entradas de niños y 14 de adultos cuestan



42

MATEMÁTICAS

$134.500. Hallar el precio de una entrada de adulto y de una de niño.

d. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide

entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4. Hallar los números.


Reúnete con tus compañeros de grupo y resuelve el siguiente Crucigrama.

HORIZONTAL

1. Conjunto formado por los primeros

componentes de las parejas de una

función.

2. Clase de ángulo que se forma entre una recta con pendiente negativas y el eje x.

3. Nombre que recibe la ecuación de la recta

.bmxy

4. Nombre que reciben dos rectas cuyo producto de las pendientes es –1.

5. Nombre que recibe un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones.

VERTICAL

1. Nombre que recibe la constante m en la

expresión .bmxy

2. Clases de rectas que se tienen cuando ambas poseen la misma pendiente.

3. Cantidad de soluciones que hay en un

sistema de ecuaciones lineales cuya gráfica representa dos rectas secantes.

4. Nombre de uno de los métodos de

solución de un sistema de ecuaciones lineales.

5. Nombre que recibe un sistema de

ecuaciones lineales que no tiene solución.



43

MATEMÁTICAS

CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.

Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo

donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de los sistemas de ecuaciones lineales.

1

3

1

22

2

4

3 4

5

5



44

MATEMÁTICAS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Son

Conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales

cada ecuación representa una

Línea recta

de la forma

y = mx + b

en la cual

m es la pendiente b es el punto de corte con el eje y

y se expresan

En forma general como: Ax + By + C = 0

En forma explícita como: y = mx + b

Pueden ser

2 x 2 3 x 3

se define como se define como

Un conjunto formado por dos ecuaciones con dos incógnitas

Un conjunto formado por tres ecuaciones con tres incógnitas

y se resuelve por los

Métodos

y se resuelve por los

Métodos

de de

Sustitución

Igualación

Reducción

Determinantes de segundo

orden

Reducción Determinantes de tercer orden



45

MATEMÁTICAS

Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta.

I. Si { } y { } una de las siguientes relaciones no

corresponde a una función.

a. {( ) ( ) ( ) ( )}

b. {( ) ( ) ( ) ( )}

c. {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

d. {( ) ( ) ( ) ( )}

II. El grupo de parejas ordenadas que corresponde a la fórmula

( ) es:

a. {( ) ( ) ( )}

b. {( ) ( ) ( )}

c. {( ) ( ) ( )}

d. {( ) ( ) ( )}

III. La función 2)( 2 xxfy tiene como dominio, codominio y rango:

a. Dom: R ; Cod: R ; Ran: R .

b. Dom: R ; Cod: R ; Ran: R .

c. Dom: R ; Cod: R ; Ran: 0x .

d. Dom: R ; Cod: R ; Ran: 2x .

IV. La pendiente m de la recta es:

a. 3m

b. 2m

c. 3

2m

d. 3

2m

V. La ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos )1,5( y

)1,8( es:

a. 3

16

3

2 xy

b. 53

2 xy

c. 3

13

3

2 xy

d. 3

13

13

2 xy



46

MATEMÁTICAS

VI. Una recta perpendicular a la recta 453 yx es:

a. 3

16

3

2 xy

b. 53

2 xy

c. 3

13

3

2 xy

d. 3

13

13

2 xy

VII. La solución del sistema de ecuaciones lineales

1452

1434

yx

yx utilizando cualquier método es:

a. )0,0(

b. )2,2(

c. )6,1(

d. )2,5(

VIII. En el sistema

43

132

yx

yx el determinante para hallar x es:

a.

31

32

31

32

b.

41

32

34

31

c.

31

32

31

12

d.

34

31

31

32

IX. Cuatro personas van al circo. Por las entradas pagan $9.000. El precio por adulto es $3.500 y por niño $1.000. La distribución de personas

era:

a. 3 niños y 1 adulto.

b. 2 niños y 2 adultos.

c. 1 niño y 3 adultos.

d. 4 adultos.



47

MATEMÁTICAS

Resuelve los ejercicios propuestos en cada numeral.

VII. Construye la gráfica de las siguientes funciones lineales.

a. ( ) b. ( )

VIII. Hallar los puntos de corte de la gráfica de cada función, con los ejes

coordenados, sin representarlo en el plano.

a. ( ) b. ( )

IX. Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

a. (3, 4) y (2, 1) b. (-2, -3) y (6, 5)

X. Encontrar la ecuación explícita de la recta a partir de los datos que

se dan a continuación:

a. Punto (-2, 3) m = -1 b. P1 (-1, 0) P2 (0, -4)

XI. Escribir cada ecuación en su forma general.

a. b.

XII. Hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales,

por el método gráfico.

c.

3

13

yx

yx d.

72

54

yx

yx

XIII. Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución.

a.

822

1123

yx

yx b.

92

12

yx

yx



48

MATEMÁTICAS

XIV. Resolver por el método de reducción.

a.

123

234

yx

yx b.

93

1246

yx

yx

XV. Resolver por el método de igualación.

a.

1053

24

yx

yx b.

24

04

yx

yx

XVI. Resolver por el método de determinantes o Regla de Crámer.

a.

2587

85

yx

yx b.

342

1323

yx

yx

XVII. Resolver los problemas de aplicación utilizando un método distinto para

cada uno de ellos.

a. La suma de dos números es 38 y su diferencia es 8. Hallar los

números.

b. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo

equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la sala.

c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan $81.500; 17 entradas de niños y 14 de adultos cuestan $134.500. Hallar el

precio de una entrada de adulto y de una de niño.

d. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4. Hallar los números.



49 MATEMÁTICAS

GRAFIQUEMOS FUNCIONES CUADRÁTICAS

LOGRO

COMPETENCIAS

INTERPRETATIVA: Identifica las propiedades de la función cuadrática y construye su gráfica apoyado en tales propiedades.

ARGUMENTATIVA: Justificar el planteamiento y desarrollo de conjeturas.

PROPOSITIVA: Propone métodos de solución diferentes al propuesto por el docente.








Puntualidad

Asistencia

I PERIODO II PERIODO

Construir la grafica de una función cuadrática identificando en

ella sus características principales de desplazamiento, eje de

simetría, puntos de corte con el eje y posición.



50 MATEMÁTICAS

CONTENIDOS

UNIDAD DIDÁCTICA: Grafiquemos funciones cuadráticas

Guía

Tema

Subtemas

Logros

Estándares

Tiempo

Nº 1

Función

Cuadrática

Concepto. Gráfica de una

función

cuadrática Ceros, raíces o

soluciones de una función

cuadrática.

Comprende las características

de la función cuadrática y su

representación gráfica.

Halla e interpreta los

ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática.

Identificar relaciones

entre propiedades

de las gráficas y propiedades de las ecuaciones

algebraicas.

4 semanas

Nº 2

Ecuación

Cuadrática

Solución de

ecuaciones cuadráticas incompletas.

Solución de ecuaciones

cuadráticas completas.

Identifica

ecuaciones cuadráticas.

Resuelve ecuaciones cuadráticas por

factorización y fórmula general.

Usar

procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar

conjeturas.

4 semanas



51 MATEMÁTICAS



Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos a trabajar:

I. Resolver las siguientes ecuaciones.

a. 604 x

b. 73

5x

c. 65155 x

d. 219

73

x

II. Marcar con una X la ecuación en la cual la pareja 1,2, yx es

solución.

a. 022 x

b. 0 yx

c. 022 yx

d. 042 yx

III. Factorizar los siguientes polinomios.

a. 1662 xx

b. 4379 2 xx

c. 656 24 xx

d. 482 24 xx

MATEMÁTICAS



52

IV. Hallar el valor numérico de la expresión √ si

a.

b.

V. Si la suma de dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 50, los

números son:

a. 3 y 5

b. 4 y 4

c. 2 y 6

d. 1 y 7

¿Qué es una función cuadrática?

De la misma manera como aprendimos a graficar funciones lineales o de

primer grado, donde siempre resultaba una línea recta, podemos también graficar funciones cuadráticas o de segundo grado; reconocer en ella su

forma y su gráfica. Para ello, debemos comenzar por decir, que una función cuadrática es aquella que tiene la forma:

( ) donde y



53 MATEMÁTICAS

EJEMPLOS:

( )

( )

( )

( )

Las funciones cuadráticas también reciben el nombre de funciones de

segundo grado, debido a que el exponente del término es 2.

Al representar gráficamente una función cuadrática se obtiene una curva llamada parábola.

La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia abajo.

Si en la función entonces la parábola abre

hacia arriba.

En este caso, existe un punto mínimo llamado vértice.

Si en la función entonces la parábola abre

hacia abajo.

En este caso, el vértice es un punto máximo.

La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, se

denomina eje de simetría.

El valor de en la función , también indica la abertura de

la parábola. Así, si:

a >1, la parábola es más estrecha, en relación con la parábola donde

1a .



54 MATEMÁTICAS

a <1, la parábola es más ancha, en relación con la parábola donde

1a .

EJEMPLO: Para graficar la función ( ) debemos tener en cuenta lo

siguiente:

Como , entonces la gráfica abre hacia arriba. El vértice es un

punto mínimo y esta ubicado en el origen del sistema cartesiano.

El eje de simetría es el eje .

, por tanto no es ni muy estrecha, ni muy ancha.

Para realizar la gráfica de la función ( ) , lo primero que se debe

hacer es construir una tabla de valores con variando entre -2, y 2; para

luego ubicar las parejas ordenas ( ) en un plano cartesiano y después

con éstos puntos trazar una parábola.

Así: ( )

2 1 0 1 2

( ) 4 1 0 1 4

4)2).(2()2()2( 2 f

1)1).(1()1()1( 2 f

0)0).(0()0()0( 2 f

1)1).(1()1()1( 2 f

4)2).(2()2()2( 2 f

-1

-1 -2 -3 1 2 3

1

2

3

4



55 MATEMÁTICAS

EJERCICIO RESUELTO

Construir la grafica de la función ( ) .

SOLUCIÓN

( )

84.2)2).(2(2)2(2)2( 2 f

21.2)1).(1(2)1(2)1( 2 f

00.2)0).(0(2)0(2)0( 2 f

21.2)1).(1(2)1(2)1( 2 f

84.2)2).(2(2)2(2)2( 2 f

La forma general de una función cuadrática es: ( ) y

como tal podemos encontrar 4 tipos de funciones cuadráticas, las cuales se diferencian únicamente por los términos que contenga. Estos casos

son:

A. Cuando la función tiene sólo el término cuadrático, o sea ( ) .

B. Cuando se compone de dos términos, el cuadrático y el de grado cero.

Entonces decimos que la función tiene la forma ( ) .

C. Cuando los términos que contiene son el cuadrático y el lineal, la

función presenta la forma: ( )

D. Cuando la expresión está completa, ya que tiene todos los términos de la ecuación en su forma general. Es entonces cuando la función tiene la

forma: ( ) .

x 2 1 0 1 2

)(xf 8 2 0 2 8

-1

-1 -2 -3 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8



56 MATEMÁTICAS

Ahora solo nos queda por ver cada una de las formas anteriores y analizar para cada una sus características principales como vértice, eje de simetría,

traslación, etc.

CASO A: ( ) , donde y .

Para analizar las características de una función cuadráticas que posea esta

forma, vamos a construir la gráfica de la función ( ) y

posteriormente seguimos graficando otras funciones que tengan la misma forma sobre un mismo plano cartesiano, para ir observando el

comportamiento de la parábola en la medida que el coeficiente de la

variable aumenta o disminuye de valor.

( ) ( ) ( )

SOLUCIÓN

Para graficar cada una de estas funciones, lo primero que se debe hacer es

construir una tabla de valores para cada una de ellas.

2)( xxf

x 2 1 0 1 2

)(xf 4 1 0 1 4

22)( xxf

x 2 1 0 1 2

)(xf 8 2 0 2 8

2

2

1)( xxf

x 2 1 0 1 2

)(xf 2

2

1

0

2

1 2

-1 -2 -3 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8



57 MATEMÁTICAS

( )

a. Todas las parábolas tienen el vértice en el punto (0,0) o también llamado origen del sistema.

b. El eje de simetría de todas las gráficas es el eje .

Grafica las siguientes funciones cuadráticas de la forma ( )

sobre un mismo plano cartesiano y luego contesta las preguntas para

cada uno de los ejemplos.

a. b. ( ) c. ( )

PREGUNTAS DE ANÁLISIS

a. ¿Cuál es el vértice de la gráfica?

b. ¿Cuál es su eje de simetría?

c. ¿Hacia donde abre la parábola?

d. ¿Cuándo a > 1 qué comportamiento asume la gráfica?

e. ¿Cuándo a < 1 qué ocurre con la parábola?

CASO B: ( ) donde 0b

La gráfica de la función ( ) se obtiene trasladando c

unidades la gráfica de la función ( ) Si c >0, la traslación es hacia arriba.

Si c <0, la traslación es hacia abajo.



58 MATEMÁTICAS

El eje de simetría es el eje y y el vértice de la parábola es le punto

),0( c o el punto ),0( c , según sea la traslación.

EJEMPLO: Graficar las funciones y sobre un

mismo plano cartesiano.

SOLUCIÓN

Se grafica la parábola luego, para graficar se

traslada 2 unidades arriba, y para graficar se traslada 2

unidades abajo.

2)( xxf

2)( 2 xxf

x 2 1 0 1 2

)(xf

2)( 2 xxf

x 2 1 0 1 2

)(xf 2

ANÁLISIS DE LA GRÁFICA:

a. ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas?

b. ¿Cuál es el eje de simetría para cada función?

c. ¿Cuál es la traslación para cada una de las gráficas y a que valor

corresponde dentro de la forma general de la función?

x 2 1 0 1 2

)(xf 4 1 0 1 4

x

-1 -2 -3 1 2 3

1

2

3

4

5

-1

-2

6



59 MATEMÁTICAS

Ahora, grafica las siguientes funciones cuadráticas de la forma

( ) y luego contesta las preguntas para cada uno de los

ejemplos.

a. ( )

b. ( )

PREGUNTAS DE ANÁLISIS

a. ¿Cuál es el vértice para cada gráfica?

b. ¿Cuál es su eje de simetría?

c. ¿Si c > 0 hacia donde se traslada la gráfica?

d. ¿Qué pasa sí c < 0?

C: ( ) , donde

En este caso el eje de simetría de la parábola es una recta paralela

al eje .

Para representar gráficamente esta función, se elabora una tabla de valores, teniendo en cuenta que las coordenadas del vértice se hallan

haciendo

y remplazando dicho valor en la función dada.

EJEMPLO: Representar gráficamente la función

SOLUCIÓN

Como y , la parábola abre hacia abajo.

Para determinar las coordenadas del vértice, se remplazan los valores de 2a y 4b en la fórmula, así:

a

bx

2

=

)2(2

4

= 1

Como x=1, entonces reemplazo este valor en la función para encontrar el valor de la coordenada en y



60 MATEMÁTICAS

El valor de es:

( ) ( )

Para encontrar los puntos de corte con el eje la función se iguala a cero

y luego se factoriza.

( )

Luego, al representar gráficamente la función se obtiene:

( )

x 2 1 0 1 2

)(xf 16 6 0 2 0

ANÁLISIS DE LA GRÁFICA:

a. La parábola tiene vértice en el

punto (1, 2).

b. Su eje de simetría es la recta

paralela al eje .

c. Los puntos de corte de la gráfica

con el eje , son los puntos (0, 0) y (2, 0)

1 2 3 4 -1 -2 -3

-1

-2

-3

1

2

3

-4

Luego, el vértice está en el punto (1, 2)

Por tanto los puntos de corte con el

eje x son los puntos 0x y 2x .



61 MATEMÁTICAS

Encontrar, sin hacer la gráfica, hacia dónde abre la parábola, el vértice y

los puntos de corte con el eje de la parábola ( ) Luego,

responder las preguntas.

a. ¿Hacia donde abre la gráfica?

b. ¿Cuál es el eje de simetría de la curva?

c. ¿Cómo se pueden encontrar los puntos de corte con el eje ?

CASO D: ( )

La gráfica de la función ( ) se puede obtener a partir de la

parábola que representa la función ( ) trasladando la gráfica

unidades hacia arriba sí o unidades hacia abajo si

Por ejemplo, la función ( ) es una traslación de la función

( )

Comprobar que la función ( ) es una traslación de la

función ( ) construyendo la gráfica de ambas funciones

elaborando tablas de valores. Luego, responde las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es el vértice de la función ( ) ?

b. ¿Cuál es el eje de simetría de la curva?

c. ¿Cuántas unidades se ha desplazado la parábola?

d. ¿Existen puntos de corte con el eje Si, no, Porqué?



62 MATEMÁTICAS

I.

Se denominan ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática los

puntos de corte de la gráfica con el eje .

Dependiendo de los puntos de corte (si existen), se presentan tres casos:

CASO 1: LA PARÁBOLA CORTA EL EJE X EN UN SOLO PUNTO Esto significa que el vértice está sobre el eje . En este caso se dice que la

solución es un único valor real.

Por ejemplo: Al graficar la función ( ) nos damos cuenta

que la gráfica solo tiene un cero o una solución que es

Así, para encontrar los ceros o raíces de la función ( ) solo

debemos igualar el polinomio a cero y luego factorizar.

ACTUALIDAD

El estudio de las funciones cuadráticas se aplica

en la ingeniería civil, para resolver problemas

específicos como la construcción de puentes

colgantes que se encuentran suspendidos en uno

de los cables amarrados a dos torres. Los

biólogos utilizan las funciones cuadráticas para

estudiar los efectos nutricionales de los

organismos.



63 MATEMÁTICAS

( )( )

( ) Despejando la

Por tanto, el valor de es -2

CASO 2: LA PARÁBOLA CORTA EL EJE X EN DOS PUNTOS

En este caso se dice que la función tiene dos soluciones reales y

diferentes. Por ejemplo: Si queremos graficar la función

podemos ver que la gráfica tiene dos ceros reales o soluciones que son

y .

Para encontrar los ceros o raíces de la función ( ) se iguala el

polinomio a cero y luego despejar la

√ √

y

Por tanto, los valores de son 1 y -1

1

3

4

-1

-1 -2 -3 1 2 -4

2

1 2 3 -1 -2 -3

-1

-2

-3

1

2

3



64 MATEMÁTICAS

CASO 3: LA PARÁBOLA NO CORTA EL EJE X.

En este caso se dice que la función no tiene soluciones en los números

reales. Sus raíces o soluciones son números complejos. Por ejemplo: al

graficar la función podemos ver que la gráfica no corta el eje .

No es posible encontrar los valores de la que hagan que la función valga

cero. Ya que al igualar el polinomio a cero y tratar de despejar la , no se

puede hacer.

√ √

Como conclusión, la función anterior no tiene ceros (no corta el eje ) o no

tiene solución en los números reales.

I. Encuentra los ceros, raíces o soluciones de las siguientes funciones cuadráticas y luego realiza la gráfica indicando a que caso pertenece.

a. 23)( xxf

b. xxxf 3)( 2

c. 82)( 2 xxf

d. xxxf 5)( 2

NO ES POSIBLE SACAR RAIZ

CUADRADA A UN NÚMERO NEGATIVO

EN LOS REALES

Por tanto, el valor de x es un número Complejo

-1 -2 -3 1 2 3

1

2

3

4

5

-1

6

No tiene soluciones Reales



65 MATEMÁTICAS

II. Inventar los elementos que hacen falta para construir la gráfica de una función cuadrática que cumpla cada condición.

a) Una de sus soluciones es el punto (3, 0).

b) No tiene soluciones reales.

c) Tiene como única solución el punto (-1, 0).

d) Tiene una solución real y abre hacia abajo.

ACTIVIDADES EXTRACLASE. Trabajo Individual.

Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del tema visto. Estos ejercicios contienen el desarrollo de competencias y

transversalidad con otras áreas del conocimiento:

I. Identificar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a

funciones cuadráticas.

a.

b. ( )

c.

d.

e. ( )

f.

II. Indicar hacia dónde abre la parábola que representa cada función

cuadrática. a. ( )

b.

c. ( )

d.

e.

f. ( )

III. Graficar los siguientes conjuntos de funciones cuadráticas. Utilizar un

plano para cada conjunto.

a.

b.



66 MATEMÁTICAS

c.

IV. Hallar el vértice y los puntos de corte con el eje de las siguientes

parábolas. Luego graficar.

a. ( )

b.

c. ( )

d.

e. ( )

f.

g. ( )

h.



67 MATEMÁTICAS



Lee el siguiente fragmento y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

¿En la época de la edad Media, qué movimiento se creía que daba un proyectil al ser

disparado?

¿Quién desarrollo la moderna teoría del movimiento y gracias a que situación fue

desarrollada?

Matemáticamente hablando, que se utiliza para resolver problemas relacionados con

proyectiles?

Historia de las matemáticas

La descripción de la trayectoria de un proyectil desde su salida hasta el punto en donde toca

el suelo, fue uno de los grandes problemas de la ingeniería militar medieval.

En la edad Media se creía que los proyectiles ascendían oblicuamente hasta que se gastaba

su provisión de ímpetus, una especie de fuerza que le imprimía la pólvora a la bala. Agotado

el ímpetus, el proyectil caía perpendicularmente al suelo.

Esta teoría del movimiento entraba en desacuerdo con la observación: los proyectiles

parecían describir una curva y no una línea quebrada.

La moderna teoría del movimiento, que aparece con Galileo, debe muchos de sus logros al

problema del movimiento del proyectil. Desde el siglo XVII se sabe que la trayectoria de un

proyectil es una curva de segundo grado. A partir de entonces, muchos de los problemas

relacionados con estas trayectorias se resuelven usando ecuaciones cuadráticas.



68 MATEMÁTICAS

Una ecuación de la forma con y se

denomina ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.

Dependiendo del valor de las constantes y las ecuaciones cuadráticas

se clasifican en incompletas y completas.

Ecuaciones incompletas: Son aquellas en las cuales 0b o 0c .

Ejemplos:

053 2 xx 072 2 x 04 2 x

Ecuaciones completas: Son aquellas en las cuales 0b y 0c .

Ejemplos:

En la solución de una ecuación incompleta, se pueden distinguir tres

casos:

Solucionar una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

Gráficamente, la solución representa los cortes, si los hay, de la parábola con el eje



69 MATEMÁTICAS

CASO 1: Ecuación de la forma

En este caso, al despejar la variable la única solución es Es decir,

la ecuación tiene una solución real.

EJEMPLO: Resolver la ecuación

SOLUCIÓN:

√ √


Se factoriza la variable y se iguala a cero cada uno de los factores

determinados.

EJEMPLO: Resolver la ecuación

SOLUCIÓN: Se extrae el factor común y se despeja la así:

( )

o


Se despeja la variable y se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.

Se obtienen dos soluciones diferentes dependiendo del tipo de raíz, las soluciones pueden ser reales o complejas.

En este caso el valor de la

variable siempre será 0

Luego, las soluciones son:

y

Soluciones reales.



70 MATEMÁTICAS

EJEMPLO 1: Resolver la ecuación

SOLUCIÓN:

√ √

y

EJEMPLO 2: Resolver la ecuación

SOLUCIÓN: Revisar el ejercicio del Caso 3 para encontrar los Ceros,

raíces o soluciones de la función cuadrática. Cuando la variable tiene

soluciones complejas.

Para resolver una ecuación completa, de la forma , se

utilizan tres métodos: solución por factorización, solución por completación de cuadrados y solución por fórmula general.

Para el desarrollo de este tema, solo vamos a revisar la solución por

fórmula general. Los otros dos casos se dejan para que el estudiante los consulte.

SOLUCIÓN POR FÓRMULA GENERAL

Para resolver una ecuación cuadrática completa existe una fórmula

matemática con la cual al reemplazar los valores de y dentro de la

misma, se realizan todos los procedimientos matemáticos y encontramos

los dos valores de la variable . Veamos un ejemplo:

En este caso la variable tiene 2

valores: y



71 MATEMÁTICAS

√

EJEMPLO: Determinar las soluciones de la ecuación utilizando la fórmula

general de la ecuación cuadrática.

SOLUCIÓN: Se tiene la ecuación

Como la ecuación tiene la forma entonces los valores

de y son:

√

( ) √( ) ( )( )

( )

√

Luego, las soluciones de la ecuación son: y



72 MATEMÁTICAS


Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del tema visto. Estos ejercicios contienen el desarrollo de competencias y

transversalidad con otras áreas del conocimiento:

I. Subrayar las ecuaciones que sean cuadráticas incompletas.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

II. Resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

III. Resolver cada una de las ecuaciones cuadráticas completas, usando la fórmula general.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.



73 MATEMÁTICAS

COMPROBEMOS LO APRENDIDO.

I. Reúnete con tus compañeros y busca las siguientes palabras en la sopa

de letras.

M I U H B K F Z Y A J L B N N H Q F Z L B J F V N

L O L E L A R A P O I R W O F G S Y U P T A G H H

B O A N Z A V F J P R M X X Q O V A C N O C P V Z

C L B S O R J R I Y T K V D U R V X Y R R T W K W

F L Y C K D R T S G A J Z M C B S N O Q K T T F K

L B Z Q Y N L P N R C S O B F A E D O P H E R G V

A B F W Z N H U L N W U O I N W A V W I G Z I L C

R Z E F P H N Q A V A T A R E Z T J E I C X B L I

E Q N O I C A U C E T Y N D E X B W M E D U M Z B

N E N P H S C M F C I V W I R C H A H K S F L K K

E J C J Q K A O G O N Z X F I A N M W F J L D O Z

G L U N C C H K F O G W Z N Z M T U E G A H E S S

A K W J O A I M X R O R V L N T B I J M Y B G C J

L J E F R Q B H W D C K U Z M A E M C C V I P K I

U V E R T I C E B E N Q M X X D G V A A J A W T I

M Y S I X F S S R N I M I P I L C Q Q N R F M B S

R F J A M F Q Q B A Z E P B U C U Y I A S K W X Z

O Z E J J F J Q F D E R V A O V S W B D S M Y P U

F L Z R Z D E B E A V B N B I K O O G E V P G I L

E U W W E J W S V S V Q D G P R L L C R X A G E Q

W X Z Y X I H B U I R O I E R A T I Z Q W M U G O

T C W P X H B C D E E C X Z R X A E S V M J R R A

N O J I W P T D Y S Z D L Q J R F G M P B U G O Q

A L F H M B S W G R A C I S M O Y M M I I Z N D K

J Y C G H B E T T L L J H Q Z I T E D K S P L C P



74 MATEMÁTICAS

Cuadrática

Parábola

Vértice Simetría

Cóncavo

Solución Paralelo

Coordenada Ceros

Raíces

Ecuación Incógnita

Fórmula general

II. TRANSVERSALIDAD CON OTRAS AREAS. Trabajo cooperativo.

Realiza la siguiente lectura y con base en ella resuelve los ejercicios

propuestos:

CIENCIAS: En la naturaleza existen muchos animales que tienen la

capacidad de hacer saltos de gran altura. Por ejemplo, el antílope de África meridional puede saltar 15 veces su propia altura, el canguro rojo que

mide 2 metros, puede saltar hasta los 3 metros de alto, la pulga común

puede saltar hasta una altura de 130 veces su tamaño corporal.

Este tipo de saltos se pueden mostrar usando gráficas que suponen una parábola, y se hace su análisis a partir del estudio de las características de

ese tipo de gráficas.

La gráfica de la derecha representa la altura alcanzada por una pulga en un salto.

0,1

0,2 0,3 0,4

0,5

0,6

1

2

3

4

5

Segundos

Centímetros

6

7

0,8

0,7

a. ¿Cuál es la altura

máxima alcanzada por la pulga?

b. ¿A los cuántos

segundos la pulga alcanza el punto

más alto?

c. ¿En qué momento la pulga esta a 5

centímetros de altura?



75

MATEMÁTICAS

III. CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.

Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de la

solución de las ecuaciones cuadráticas.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Se define como

𝑦 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 con 𝑎 𝑏 𝑐 𝑅 y 𝑎

Se presentan los casos

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 con 𝑎 𝑏 𝑐 𝑅 y 𝑎

de la forma

Ecuaciones Incompletas

𝑎𝑥

𝑎𝑥 𝑐

y pueden ser

Ecuaciones Completas

Ecuaciones cuadráticas

se resuelve por

𝒙 𝒃 √𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐

𝑎𝑥 𝑏𝑥

determina

que son de la forma



76

MATEMÁTICAS


I. El punto (-2,1) pertenece a la parábola:

a.

b.

c.

d.

II. Según la siguiente gráfica, la proposición incorrecta es:

III. La parábola más ancha es:

a.

b.

c.

d.

IV. La parábola cuya coordenada del vértice es (

)

a.

b.

c.

d.

𝒙

𝒚

-1

-1

1

1

a. El eje de simetría es 𝑥

b. El vértice es el punto

( )

c. Los ceros de la función son

𝒙𝟏 𝟏 y 𝒙𝟐 𝟏

d. El eje de simetría es 𝑦



77

MATEMÁTICAS

V. Una ecuación cuadrática que tiene por soluciones y es:

a.

b.

c.

d.

VI. La solución de la ecuación √ es:

a.

b.

c.

d.

VII. La solución de la ecuación √ √ es:

a.

b.

c.

d.

VIII. Cierto número de dulces costaron $3.600. Si cada dulce costara $20 menos, habría comprado 6 dulces más. La ecuación que corresponde

al problema es:

a. ( )

b. (

) ( )

c. (

) ( )

d. (

)

IX. La suma de un número entero con su recíproco es

Los números

son:

a. y

b.

y

c. y

d.

y

X. De las siguientes afirmaciones la falsa es:

a. El vértice de una parábola de la forma se encuentra

con la fórmula



78 MATEMÁTICAS

b. Si en la parábola ésta abre hacia abajo.

c. Si las raíces de la ecuación son reales.

d. La ecuación tiene solución para

Resuelve los ejercicios propuestos en cada numeral.

I. Graficar las siguientes funciones cuadráticas teniendo en cuenta las

características de cada caso.

a. CASO 1: ( ) Tabla de valores

b. CASO 2: ( ) Desplazando la gráfica c unidades

c. CASO 3: ( ) Hallar vértice y puntos de corte

d. CASO 4: ( ) Hallar vértice, puntos de corte y

desplazando c unidades la parábola.

II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, de acuerdo al método que

se indica al frente:

Ecuaciones Incompletas

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Ecuaciones Completas

a. fórmula general

b. fórmula general



79

MATEMÁTICAS



80

MATEMÁTICAS

ANALICEMOS INFORMACIÓN A PARTIR DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

COMPETENCIAS:

INTERPRETATIVA: Interpreta gráficas donde se recogen datos de situaciones cotidianas y deduce información a partir de ellas.

ARGUMENTATIVA: Elabora tablas de frecuencias a partir de un

conjunto de datos.

PROPOSITIVA: Propone situaciones que involucren la recolección sistemática y organizada de datos.








Puntualidad

Asistencia

LOGRO

Identifica y maneja los conceptos básicos de

estadística. Plantea situaciones a partir de gráficos hechos y le hace el respectivo análisis de

la información.

III PERIODO



81

MATEMÁTICAS

CONTENIDOS

UNIDAD DIDÁCTICA: Analicemos información a partir

de gráficos estadísticos

Guía

Tema

Subtemas

Logros

Estándares

Tiempo

Nº 1

Concepto

básicos de estadística

y tablas de frecuencias

Población, muestra y

variables. Tablas de

frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.

Identifica y maneja los

conceptos básicos de estadística.

Elabora tablas de frecuencias a partir de un conjunto de datos.

Reconocer que diferentes

maneras de presentar la información,

pueden dar origen a distintas interpretaciones.

3 semanas

Nº 2

Representa

ciones gráficas de

datos

Diagrama de barras.

Diagrama circular.

Histograma. Polígono de

frecuencias.

Construye representaciones gráficas de la información obtenida de una tabla de

frecuencias.

Interpretar analítica y críticamente información estadística proveniente

de diversas

fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos,

consultas, entrevistas).

3 semanas

Nº 3

Medidas de

tendencia central

Media aritmética o promedio.

Mediana o valor central.

Moda.

Calcula la media, la mediana y la moda a partir de

los datos obtenidos mediante una encuesta.

Interpretar conceptos de media,

mediana y moda.

2 semanas



82

MATEMÁTICAS


1. MOTIVACION. Trabajo cooperativo.

Realiza la lectura del siguiente fragmento:

Historia

El origen de la Estadística se remonta a los comienzos de la historia. En los antiguos monumentos egipcios se han encontrado documentos según los cuales, a partir del año 3050 a. de C., se llevaban cuentas de los movimientos de población y continuamente hacían censos, bajo la dirección del faraón.

En la Biblia, por ejemplo, en el libro de los Números, se encuentra registrado el censo que realizó Moisés después de la salida de Egipto.

En China, Confucio en uno de sus clásicos Shu-King escrito hacia el año 550 a de C., narra como el rey Yao, ordenó hacer una estadística agrícola, industrial y comercial.

Grecia también tuvo importantes observaciones estadísticas en lo que se refiere a distribución de terreno, servicio militar, entre otras. Sócrates, Herodoto y Aristóteles, a través de sus escritos incentivaron la estadística por su importancia para el Estado.

Con Carlo Magno, en Francia regresaron las estadísticas a Europa, teniendo un carácter netamente financiero y administrativo. En Inglaterra Guillermo el conquistador mandó a realizar una especie de catastro, que constituyó un documento estadístico administrativo.

A mediados del siglo XVII, gracias a Vito Seckendorff y, sobre todo, a Germán Conring la estadística se empezó a considerar como la descripción de los hechos notables de un estado. Conring perfeccionó y mejoró notablemente la nueva tendencia, sistematizando los conocimientos y los datos. El mejor de sus seguidores fue Godofredo Achenwall, quién consolidó definitivamente los postulados de esta nueva ciencia y le dio el nombre de “estadística”, palabra que etimológicamente se deriva de la palabra status que significa estado o situación.



83

MATEMÁTICAS

CONVERSATORIO


¿Qué hechos demuestran los orígenes de la estadística en Egipto?

¿Qué registro bíblico demuestra la existencia de la estadística?

¿Qué hecho demostró en China (550 a.C.) la existencia de la

estadística?

¿Cómo se aplicó en Grecia la estadística?

¿Qué aportes hizo Germán Conring al desarrollo de la estadística?

¿A qué matemático se le atribuye el origen de la palabra estadística?

2. PRESABERES. Trabajo Individual.

Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos a trabajar:

I. Reducir:

a. 3

7

4

12

5

4

b. 25% + 75% + 31%



84

MATEMÁTICAS

c. 30

7441331313825216

II. Ordenar los siguientes números en forma creciente.

14, 12, 32, 5, 24, 72, 7, 36, 23, 17, 10, 9, 30

III. Hallar:

a. El 5% de 20

b. El 80% de 47

c. El 25% de 89

d. El 50% de 550

IV. Simplificar hasta su mínima expresión cada fracción, luego, expresar

cada fracción simplificada como número decimal.

a. 36

88

b. 100

25

c.

11

33

d. 120

104

e. 6

12

V. Hallar las siguientes potencias:

a. 25

b. 52

c. 24

d. 42

e. 110

f. 106



85

MATEMÁTICAS

¿Qué es Estadística?

La estadística es la ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos, con el fin de hacer

deducciones y previsiones a partir de ellos. Según su objetivo, la estadística puede ser descriptiva o inductiva.

La estadística descriptiva se centra en obtener conclusiones sobre un

conjunto de datos sin hacer predicciones o generalizaciones a partir de

ellos.

La estadística inductiva tiene por objeto establecer conclusiones o predicciones sobre una población, basándose en los resultados obtenidos

de un conjunto de datos.

El conjunto de individuos o elementos que son objeto de un estudio

estadístico, se denomina población. En la mayoría de los casos, dado el

tamaño de la población, resulta mucho más práctico estudiar una parte representativa de la misma, la cual es llamada muestra.

ESTADÍSTICA

Descriptiva Inductiva



86

MATEMÁTICAS

La característica que se desea estudiar en una población recibe el nombre de variable estadística.

Por ejemplo, al considerar un estudio sobre la producción de trigo en el

mundo, la población es el conjunto de los países del mundo y la variable estadística es la producción de trigo.

Las variables estadísticas se clasifican en cuantitativas y cualitativas.

Si los valores que toma una variable son numéricos, entonces dicha

variable es cuantitativa. Pero si la variable representa valores que no son numéricos, es cualitativa.

Por ejemplo, la estatura, el peso, la edad, la producción agrícola mensual o el número de accidentes automovilísticos son algunas variables

cuantitativas; mientras que el sexo, el estado civil, la raza y las preferencias culturales de una comunidad son ejemplos de variables

cualitativas.

Una variable cuantitativa es continua si toma cualquier valor intermedio entre dos valores dados; y es discreta, si toma pocos valores.

POBLACIÓN Y MUESTRA

Variable estadística

Cualitativa Cuantitativa

Discreta Continua



87

MATEMÁTICAS

Son ejemplos de variables continuas la estatura de las personas de un grupo y la velocidad de un vehículo. Y son variables discretas el número de

hijos de una familia, el número de páginas de un libro y el número de viviendas en un edificio, entre otras.

Resulta un ejercicio interesante analizar las variables de tipo estadístico que se manejan a diario en los medios de comunicación, Por ejemplo, el

número promedio de nacimientos en un país o en una ciudad, los índices

de inflación a lo largo de una década o el número de partidos ganados por un equipo de fútbol en un campeonato.

I. TABLAS DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS, RELATIVAS Y PORCENTUAL

Para ordenar y estudiar los datos de una variable estadística se utilizan tablas de frecuencias. Una tabla de frecuencias se elabora teniendo en

cuenta el número de datos y el tipo de variables que se van a estudiar.

Datos No Agrupados. Variable Estadística Discreta

Cuando la variable x toma pocos valores, éstos se registran en una tabla de dos columnas. En la primera columna se escriben los valores de la

variable en forma creciente y en la segunda columna se escribe el número de veces que aparece cada uno de ellos. Este número se llama frecuencia

absoluta y se representa por . La suma de las frecuencias absolutas

de la tabla debe ser el total de la muestra. La cantidad de elementos de la

muestra se representa, de manera general, mediante la letra

Al dividir las frecuencias absolutas , entre el número de total de datos

, se obtiene la frecuencia relativa



88

MATEMÁTICAS

Al multiplicar los valores de la frecuencia relativa por 100, se obtiene la

frecuencia porcentual, que se representa con el símbolo % (por ciento).

Es decir,

La suma de las frecuencias porcentuales de la tabla es igual a 100.

Por ejemplo, Alicia tiene una colección de libros e historietas, al

organizarlos los clasificó por colores y luego por el número de páginas.

Portada azul: 10 páginas, 15 páginas, 15 páginas, 18 páginas.

Portada verde: 15 páginas, 15 páginas, 18 páginas, 18 páginas, 20 páginas, 20 páginas, 22 páginas.

Portada amarilla: 10 páginas, 20 páginas. 20 páginas, páginas.

En estos datos se identifican dos variables: el color, que es una variable

cualitativa y el número de páginas que es una variable cuantitativa discreta.

Para organizar la información se elabora una tabla de frecuencias para el número de páginas y otra para el color.

Tabla de frecuencias x

if ih %

Azul 4 0,27 27 Verde 7 0,46 46 Amarillo 4 0,27 27 n 15 1 100%

Tabla de frecuencias x

if ih %

10 2 0,13 13 15 4 0,27 27 18 3 0,2 20 20 5 0,33 33 22 1 0,07 7 n 15 1 100%

FRECUENCIAS

Absoluta Relativa Porcentual



89

MATEMÁTICAS

Del análisis de las tablas anteriores se puede concluir que, en la colección de libros hay libros de portada verde, hay el mismo número de libros de

portada azul y amarilla, de los libros con mayor número de páginas solamente hay uno, con menor número de páginas hay dos, la mayor

cantidad de libros tienen 20 páginas, el 20% de los libros tienen 18

páginas.

Datos Agrupados. Variable Estadística Continua

Para estudiar una variable estadística continua, se agrupan los datos en

intervalos de la misma amplitud, denominados intervalos de clase. Se acostumbra a tomar entre 5 y 18 intervalos según el número de datos

de la población o muestra estudiada.

La longitud de cada intervalo se calcula mediante el siguiente proceso:

a. Se halla la diferencia entre el mayor valor MX y el menor valor mX que

toma la variable . Esta diferencia se llama rango o recorrido. Es

decir,

mM XXRango

b. Se divide el rango entre el número de intervalos definidos para

determinar la longitud de cada intervalo. Es decir,

Longitud del intervaloervalosdeeroNum

XX mM

int.....

Cuando el resultados de la operación anterior no es un número entero, se

redondea al entero inmediatamente mayor.

Los intervalos usados en estadística son de la forma ba, ). Esta notación se

usa para indicar que el intervalo incluye todos los valores mayores o

iguales que y menores que . El número es el límite inferior y el

número es el límite superior.



90

MATEMÁTICAS

El valor central de cada intervalo se llama marca de clase, el cual se nota

cM y se calcula haciendo 2

baM c

.

Las marcas de clase se utilizan para nombrar los intervalos a los que

pertenecen.

EJEMPLO: Al medir la longitud en milímetros de 50 tornillos, se

obtuvieron los siguientes resultados:

101; 103; 100; 102; 101; 104; 103; 105; 106; 107; 108; 109; 110;

111; 102; 112; 104; 105; 106; 108; 106; 101; 104; 107; 106; 115;

112; 110; 106; 109; 107; 103; 104; 110; 114; 118; 109; 117; 109;

110; 111; 104; 106; 116; 115; 113; 101; 112; 106; 112.

a. Elaborar una tabla de frecuencias para organizar los datos obtenidos.

b. Analizar la información y enunciar las conclusiones del análisis.

SOLUCIÓN

a. Inicialmente se organizaron los datos en forma creciente.

100; 101; 101; 101; 101; 102; 102; 103; 103; 103; 104; 104; 104; 104;

104; 105; 105; 106; 106; 106; 106; 106; 106; 106; 107; 107; 107;

108; 108; 109; 109; 109; 109; 110; 110; 110; 110; 111; 111; 112; 112;

112; 112; 113; 114; 115; 115; 116; 117; 118.

Para realizar la tabla de frecuencias se agruparán los datos en 6 intervalos.

Como el mayor valor es 118MX y el menor valor es 100mX , la longitud

de cada intervalo es 3, pues

36

18

6

100118

6

mM XX



91

MATEMÁTICAS

Con lo cual los intervalos son: 103,100 ), 106,103 ), 109,106 ), 112,109 ),

115,112 ), 118,115 . La notación del último intervalo significa que está

incluido el valor 118. Así, la tabla de frecuencias correspondiente es:


PRÁCTICA No 1

I. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas.

a. Nacionalidad

b. Color de cabello

c. Calificación en matemáticas

d. Número de calzado

e. Preferencias deportivas.

f. Estado civil.

g. Número de páginas de los libros de una biblioteca.

Tabla de frecuencias

ba, ) Mc if ih %

103,100 ) 101,5 7 0,14 14

106,103 ) 104,5 10 0,2 20

109,106 ) 107,5 12 0,24 24

112,109 ) 110,5 10 0,2 20

115,112 ) 113,5 6 0,12 12

118,115 116,5 5 0,1 10

Total 50 1 100

Al analizar la información registrada en

la tabla se concluye que: el mayor

número de tornillos tiene una longitud

entre 106 mm y 109 mm; el porcentaje

de los tornillos con mayor longitud es

10% y el porcentaje de los tornillos con

menor longitud es 14%. El 12% de los

tornillos tiene longitud entre 112 mm y

118mm.



92

MATEMÁTICAS

h. El peso que pueden transportar las grúas que se producen en una

fábrica.

i. El coeficiente intelectual de los estudiantes de noveno grado.

II. Indicar cuáles de las siguientes variables son discretas y cuáles son

continuas.

a. Número de habitantes de un edificio.

b. Número de horas dedicadas a ver televisión.

c. Contenido de las latas de refresco.

d. Edades de los empleados de una fábrica.

e. Temperaturas registradas cada hora en una ciudad.

f. El número de hermanos de los estudiantes del colegio.

g. La superficie de las piezas de un rompecabezas.

h. Número de litros de agua que contiene una caneca.

PRÁCTICA No 2

I. Al preguntar a 30 estudiantes del curso noveno sobre su número de calzado, se obtuvieron los siguientes datos.

40 35 42 36 35 37

36 37 39 40 37 38

37 38 36 37 36 37

40 36 37 41 37 39

37 39 35 37 38 36

II. Dos equipos de baloncesto profesional, tienen cada uno en su planilla

15 jugadores, con las siguientes edades en años:

A. 26, 27, 26, 27, 25, 26, 22, 26, 23, 25, 27 26, 18, 20, 26.

a. Construir una tabla de frecuencias.

b. ¿Cuántos estudiantes calzan 39?

c. ¿Cuántos estudiantes calzan 35?

d. ¿Cuál es el porcentaje de los

estudiantes que calzan más de 38?

e. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los

estudiantes que calzan 38?



93

MATEMÁTICAS

B. 27, 21, 20, 23, 25, 20, 23, 22, 21, 25, 24,21, 23, 24, 21.

a. Elaborar una tabla de frecuencias para cada equipo.

b. ¿Cuál es la menor y la mayor edad en cada equipo?

c. ¿Cuál es el equipo que tiene al jugador más joven?

d. ¿Cuál es el equipo que tiene al jugador de mayor edad?

e. Elaborar una tabla de frecuencias para el total de los jugadores.

f. ¿Cuál es el porcentaje de los jugadores que tienen la edad que más

se repite?

g. ¿Cuál es el porcentaje de los jugadores que tienen 25 años?

III. Se ha propuesto un test de 70 preguntas a cierto número de personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente

tabla.

IV. La estatura en centímetros de los alumnos del grado noveno de un colegio son:

ba, ) cM if ih %

10,0 ) 40

20,10 ) 60

30,20 ) 75

40,30 ) 90

50,40 ) 105

60,50 ) 85

70,60 ) 80

80,70 ) 65

a. Completar en el cuaderno, la tabla

anterior.

b. ¿Cuántas personas presentaron el

test?

c. Si el test se aprueba con 50 o más

respuestas correctas, ¿cuántas

personas aprobaron el test?

d. ¿Cuál es el porcentaje de las

personas que no aprobaron el test?

e. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las personas que obtuvieron menos de 10

respuestas correctas?



94

MATEMÁTICAS

165, 158, 160, 158, 167, 160, 158, 158, 160, 160, 158, 160,

155, 155, 167, 167, 158, 167, 175, 160, 155, 158, 160, 167,

179, 154, 173, 163, 163, 170, 165, 170, 168, 170, 160,

a. Agrupar los datos en 5 intervalos y elaborar una tabla de

frecuencias.

b. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?

c. ¿Cuántos alumnos miden más de 169 cm?

d. ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 cm?

e. ¿Cuál es el porcentaje de los alumnos más altos? ¿A qué estatura

corresponde?

f. ¿Cuál es la frecuencia relativa del intervalo donde está la estatura

155?



95

MATEMÁTICAS


MOTIVACION. Trabajo cooperativo.

Observa la tabla y responde las siguientes preguntas:

El valor de un subsidio de vivienda se determina en función del tipo de

vivienda que se va a adquirir, construir o mejorar. En la siguiente tabla se registran los tipos de vivienda y el máximo valor de subsidio al que se

puede aspirar.

Subsidio de vivienda

Tipo de vivienda

Valor máximo de la vivienda

1 $ 9`960.000

2 $ 16`600.000

3 $ 23`240.000

4 $ 33`200.000

5 $ 39`840.000

6 $ 44`820.000

Si Roberto Castro solicita el subsidio de vivienda para adquirir una casa de

$44`900.000, ¿podrá obtener el subsidio? ¿por qué?

Ahora, construye un diagrama de barras verticales donde se muestren los

valores asignados para cada tipo de vivienda.

El señor Rodrigo Martínez solicitó el

subsidio de vivienda para adquirir una casa de $13.000.000, a qué tipo

de vivienda corresponde?

¿Qué valores corresponden al tipo de

vivienda tipo 3?



96

MATEMÁTICAS

Con los datos de una muestra o de una población, se pueden elaborar

representaciones gráficas que faciliten la comprensión de la información obtenida a partir de un estudio estadístico.

Las representaciones más usadas son: el gráfico de barras verticales, el

gráfico de barras horizontales, el gráfico circular, el histograma y el polígono de frecuencias.

I. GRÁFICO DE BARRAS VERTICALES

Este tipo de gráfico o diagrama se utiliza para representar los datos de una variable cualitativa o de una variable cuantitativa discreta. Para ello,

sobre el eje de un plano cartesiano, se anotan los valores de la variable

en los cuales se elevan rectángulos de igual base, cuya altura es igual a la frecuencia (absoluta, relativa o porcentual) de cada uno.

EJEMPLO: Con base en la información que aparece en la siguiente tabla de frecuencias, construir un gráfico de barras verticales.

SOLUCIÓN

Programas preferidos



97

MATEMÁTICAS

Telenovelas 4

Humor 7

Noticieros 5

Concursos 4

n 20

El gráfico obtenido es el siguiente:

II. GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTALES Los datos de las variables cualitativas o cuantitativas discretas también se

pueden representar mediante gráficos de barras horizontales. En este tipo de gráficos, sobre el eje y del plano cartesiano, se anotan los valores de la

variable y se construyen barras horizontales de igual base, cuya longitud depende de la frecuencia correspondiente a cada dato.

EJEMPLO: Observar la siguiente tabla de frecuencias y a partir de la

información dada, construir un gráfico de barras horizontal.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Telenovelas Humor Noticieros Concursos

Alumnos por grado

Sexto 140 Séptimo 80 Octavo 100

A partir de la información que se observa en el gráfico, se puede concluir que: el tipo de

programas de mayor preferencia entre las personas encuestadas

son los de humor; los programas menos preferidos son las telenovelas y los

concursos; cinco personas prefieren los noticieros.

Programas preferidos



98

MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN

III. GRÁFICO CIRCULAR

El gráfico circular es la representación de las frecuencias de cada valor de

una variable estadística, en sectores circulares.

Para elaborar este tipo de diagramas se debe dividir 360º en partes directamente proporcionales a los valores de las frecuencias dadas.

El gráfico circular se utiliza para comparar la frecuencia porcentual de los

valores de la variable.

EJEMPLO: En la siguiente tabla de frecuencias aparecen los resultados de

una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes preferidos.

Construir un gráfico circular a partir de la información de la tabla.

0 50 100 150 200

Sexto

Séptimo

Octavo

Noveno

Décimo

Undécimo

Noveno 90 Décimo 70 undécimo 90

n 570

Del gráfico se puede concluir

que el grado más numeroso es

sexto, el menos numeroso es

décimo y tienen el mismo

número de alumnos noveno y

undécimo.



99

MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN

Las conclusiones obtenidas a partir del análisis del gráfico son: el deporte

de mayor preferencia es el fútbol, el de menor preferencia es el tenis, el 25% prefieren el baloncesto, natación y voleibol son los deportes

preferidos por la cuarta parte de la población encuestada.

IV. HISTOGRAMA

Cuando los valores de una variable estadística se representan agrupados

en intervalos, se utiliza el histograma.

Para construir un histograma, sobre el eje del plano cartesiano, se

ubican los intervalos de clase o, si se desea, la marca de clase. Sobre

cada intervalo se construyen barras, entre las que no se deja espacio y cuya altura depende de las frecuencias absolutas correspondientes.

Deporte preferido

Natación

15%

Fútbol

45%

Baloncesto

25%

Voleibol

10%

Tenis

5%

Deporte preferido

x %

Natación 15

Fútbol 45

Baloncesto 25

Volleyball 10

Tennis 5

n 100

El gráfico correspondiente a

la información de la tabla es:



100

MATEMÁTICAS

EJEMPLO: En la siguiente tabla se registran los intervalos entre los que se encuentra el peso de 100 personas que participaron en una competencia

atlética. Construir un histograma a partir de la información registrada en la tabla.

SOLUCIÓN

La información que se obtiene a partir del gráfico es: la mayoría de los atletas pesan entre 55 y 60 kg; solo hay 2 atletas cuyo peso es mayor o

igual a 75 kg; 20 atletas pesan entre 65 kg y 70 kg.

V. POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Para construir un polígono de frecuencias correspondiente a un histograma se unen mediante segmentos, los puntos medios de las bases superiores

de cada uno de los rectángulos.

Peso (kg)

No de atletas

x if

50,45 ) 4

55,50 ) 11

60,55 ) 30

65,60 ) 28

70,65 ) 20

75,70 ) 5

80,75 2

El histograma

correspondiente

es:



101

MATEMÁTICAS

EJEMPLOS: Construir un polígono de frecuencias para el ejercicio del ejemplo anterior, teniendo en cuenta la tabla de frecuencias representada.

SOLUCIÓN

Algunas conclusiones que se pueden sacar a partir del polígono de

frecuencias son: la frecuencia más alta corresponde a los atletas que pesan 57,5 kg; la frecuencia más baja es la de los atletas que pesan 77,5

kg; sólo 4 atletas pesan 47,5 kg.

45 50 55 60 65 70 75 80

2

4

6

8

10

0

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

N

Ú

M

E

R O

D

E

A

T

L

E T

A

S

PESO (Kg)

PESO DE 100

ATLETAS

x cM if

50,45 ) 47,5 4

55,50 ) 52,5 11

60,55 ) 57,5 30

65,60 ) 62,5 28

70,65 ) 67,5 20

75,70 ) 72,5 5

80,75 77,5 2

Al unir los puntos medios en la parte superior de cada rectángulo, se obtiene el siguiente polígono de frecuencias.



102

MATEMÁTICAS


I. Se preguntó la edad a 20 aspirantes que desean ingresar a la universidad y al organizar los datos obtenidos se construyó la

siguiente tabla.

II. La tabla que se muestra a continuación corresponde a la tabla de frecuencias que registra las estaturas de 40 personad medidas en un

gimnasio.

Edad x if ih %

16 13

17 3

18 3

19 1

Intervalo cM if

150,145 ) 4

155,150 ) 8

160,155 ) 10

165,160 ) 6

170,165 ) 4

175,170 ) 6

180,175 ) 2

a. Completar la tabla anterior.

b. Elaborar un gráfico de barras vertical para la

frecuencia absoluta.

c. Realizar un gráfico circular para la frecuencia

porcentual.

a. Completar la tabla.

b. Construir el histograma de frecuencias

absolutas.

c. Elaborar el polígono de frecuencias

porcentuales.



103

MATEMÁTICAS

III. El siguiente gráfico corresponde al registro de la temperatura de un enfermo en distintas horas durante un día.

IV. Plantear una situación que se adapte a la información del siguiente

gráfico. Luego, escribir dos conclusiones a partir del análisis de los datos.

Responder:

a. Si el límite de la temperatura normal de

una persona es 37,5º, ¿entre qué horas

tuvo fiebre el enfermo?

b. ¿A qué hora tuvo el enfermo la

temperatura más baja?

c. ¿En qué intervalo de tiempo tuvo la

temperatura más alta el enfermo?

d. Cuál fue el cambio más significativo de temperatura que tuvo el enfermo? ¿A

qué hora se produjo? Explicar la respuesta.



104

MATEMÁTICAS

V. Los siguientes datos representan las estaturas en metros de los 50

estudiantes de un curso.

1,38; 1,67; 1,51; 1,70; 1,75; 1,38; 1,48; 1,53; 1,78; 1,42;

1,37; 1,57; 1,45; 1,46; 1,48; 1,55; 1,67; 1,42; 1,54; 1,33;

1,33; 1,52; 1,57; 1,49; 1,69; 1,59; 1,48; 1,50; 1,53; 1,45;

1,40; 1,61; 1,56; 1,49; 1,52; 1,40; 1,46; 1,51; 1,43; 1,40;

1,52; 1,38; 1,60; 1,53; 1,65; 1,57; 1,58; 1,62; 1,55; 1,44.

a. Estudiar los datos formando intervalos, primero con 6 intervalos y

luego con 9 intervalos.

b. Representar los datos de las tablas de frecuencias, elaboradas en el

literal anterior, en un histograma para cada sexo.

c. Con las frecuencias absolutas hacer un polígono de frecuencias.

d. Con la frecuencia porcentual hacer el gráfico circular.

e. Comparar los resultados de los dos ejercicios y decir si hay

diferencias significativas en las conclusiones al agrupar con diferente

número de intervalos.



105

MATEMÁTICAS


El estado del tiempo, nombre dado a las condiciones del clima y los fenómenos que lo caracterizan, ha sido un factor de gran importancia para

el ser humano desde los tiempos remotos.

El primer tratado sistemático que aborda los fenómenos del clima se

atribuyen a Aristóteles, aunque en él se incluyen fenómenos que hoy no interesan a la meteorología como ciencia.

En la actualidad, el conocimiento del clima y sus cambios constituyen una

ciencia, y como tal busca establecer mediante registros de datos (humedad, temperatura, presión atmosférica, irradiación solar, etc.)

relaciones causales que permiten hacer previsiones más o menos exactas acerca de la evolución de las condiciones del tiempo.

En Colombia, el IDEAM (Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios

Ambientales) es la entidad encargada de la vigilancia meteorológica y ofrece sus servicios a la aeronáutica, la agricultura, la marina y los

organismos de recursos hidráulicos. El siguiente gráfico muestra las

tormentas y huracanes en el Caribe en un periodo de 125 años, registrados por el IDEAM.



106

MATEMÁTICAS


La distribución de frecuencias y la representación gráfica permiten estudiar cualitativamente el comportamiento de una variable estadística. Sin

embargo, es necesario recurrir a otros valores para establecer un resumen cuantitativo de la distribución. Entre estos valores se encuentran las

medidas de tendencia central.

Como su nombre lo indica, las medidas de tendencia central o medidas de centralización son aquellas en torno a las cuales tienden a agruparse los

valores de una variable estadística, los más importantes son: la media aritmética o promedio, la mediana o valor central y la moda.

Tormentas y huracanes

entre 1873 y 1998

2 04

16

32

10

2

0

510

1520

2530

35

May

o

Junio

Julio

Ago

sto

Sep

tiem

bre

Octubr

e

Novi

embr

e

Responde las siguientes

preguntas:

a. ¿En qué mes se registra el

mayor número de tormentas

y huracanes?

b. ¿Cuál es el total de tormentas

y huracanes que muestra la

gráfica?

c. ¿Qué porcentaje del total de

tormentas y huracanes del

período, corresponden a

agosto y septiembre?



107

MATEMÁTICAS

I. LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO

La media aritmética de los valores de una variable, es el número que se

obtiene al dividir la suma de todos los valores entre el número total de

ellos. Esta medida se simboliza con la letra X .

EJEMPLO: Pedro ahorró en enero $45.000, en febrero $30.000, en marzo

$50.000, en abril $40.000, en mayo $45.000 y en junio $30.000. Hallar el promedio del ahorro realizado por Pedro durante el primer semestre del

año.

SOLUCIÓN

Para hallar el promedio, se suman los ahorros de cada mes y se divide

este resultado entre el número de meses.

000.406

000.240

6

000.30000.45000.40000.50000.30000.450

X

Luego el promedio de ahorro de Pedro en el primer semestre fue de $40.000.

A. Media o promedio de una variable continua

Cuando los datos de una variable están agrupados en intervalos, para facilitar el cálculo de la media, a la tabla original se le añade una nueva

columna que incorpora los productos de cada una de las marcas de clase por sus frecuencias absolutas correspondientes. La media se obtiene al

dividir la suma de los productos de dicha columna entre el número total de datos.

EJEMPLO: Hallar el promedio de minutos utilizados en teléfono celular

con los datos registrados en la tabla.



108

MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN

Minutos utilizados por 50 personas,

durante un mes, en su teléfono celular

x cM if cM . if

153,147 ) 150 6 900

159,153 ) 156 10 1.560

165,159 ) 162 8 1.296

171,165 ) 168 15 2.520

177,171 ) 174 9 1.566

183,177 ) 180 2 360

n 50 8.202

Para hallar el promedio se multiplica la marca de clase ( cM ) y la

frecuencia absoluta ( if ) y este resultado se divide entre 50, que es el

número total de datos.

04,16450

202.8

50

360566.1520.2296.1560.1900

50

21809174151688162101566150

X

X

El promedio ó la media de los minutos utilizados en un mes es X =164,04.

II. LA MEDIANA O VALOR CENTRAL

Se denomina mediana o valor central, al número que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados. La mediana divide el número

de datos en dos partes iguales. El símbolo de este valor es Me .

Al calcular la mediana de un conjunto de datos se presentan tres casos.

CASO 1: Número impar de datos no agrupados. Cuando el número de

datos es impar, la mediana coincide con el valor central de los valores de la variable ordenados en forma creciente o decreciente.



109

MATEMÁTICAS

Por ejemplo, para hallar la mediana de los datos 8, 12, 26, 15, 4, 30 y 1,

primero se ordenan de menor a mayor y luego se identifica el dato que ocupa el lugar central.

1, 4, 8, 12 , 15, 26, 30.

Por tanto la mediana o valor central es 12. Es decir, .12Me

CASO 2: Número par de datos no agrupados. En este caso la mediana es

el promedio de los dos valores centrales.

Así, la mediana de los datos 6, 1, 14, 9, 5 y 7 se determina después de ordenar los datos, de la siguiente manera:

1, 5, 6, 7, 9, 14

Como los dos valores centrales son 6 y 7, la mediana es el promedio de estos valores, luego:

.5,62

13

2

76 Me

CASO 3: Datos agrupados en intervalos. El proceso para hallar la mediana

de un conjunto de datos agrupados, en la tabla de frecuencias se agrega una nueva columna (∑ ) en la que se registran las frecuencias

acumuladas, es decir, los resultados que se obtienen sumando la

frecuencia absoluta de cada valor con las frecuencias absolutas de los valores anteriores.

El valor de la última frecuencia acumulada debe ser el número total de datos y se determina el intervalo para el cual la frecuencia acumulada es

igual a la mitad de los datos .2

h

La mediana es la marca de clase que representa este intervalo.



110

MATEMÁTICAS

EJEMPLO: La siguiente tabla corresponde al resultado de una encuesta realizada sobre la edad de 100 personas asistentes a un espectáculo de

circo. Hallar la mediana de los datos.

SOLUCIÓN

A la tabla de frecuencias se le adiciona la columna iF de las frecuencias

acumuladas.

Edad en años x

No. de personas

if

20,0 ) 45

40,20 ) 12

60,40 ) 20

80,60 ) 18

100,80 ) 5

n 100

X cM if iF

20,0 ) 10 45 45

40,20 ) 30 12 57

60,40 ) 50 20 77

80,60 ) 70 18 95

100,80 ) 90 5 100

Total 100

Luego, se halla la mitad de los datos .502

100

2

n

De acuerdo con la frecuencia acumulada, el dato central se encuentra en el intervalo 40,20 ), el cual es llamado intervalo mediana, pero el valor que

se toma como representativo es la marca de clase. En este caso, la

mediana es 30. Esto es, .30Me

III. LA MODA

La Moda de un conjunto de datos es el valor de la variable que tiene la

mayor frecuencia absoluta. Se simboliza con la expresión .Mo

Un conjunto de datos es multimodal cuando tiene más de una moda.

Cuando los datos están agrupados en intervalos, aquel que tiene la mayor

frecuencia absoluta es denominado intervalo modal.



111

MATEMÁTICAS

Así, en el ejemplo anterior, el intervalo modal es 20,0 ) pues tiene la

mayor frecuencia absoluta.


I. Cinco números naturales consecutivos tienen a 8 como media aritmética. ¿Cuáles son dichos números?

II. La media aritmética de 3 números es 4 y la de otros 7 es 8. ¿Cuál es

la media aritmética de los 10 números?

III. Hallar la media, la mediana y la moda para los datos representados

en cada una de las siguientes tablas.

IV. Con la información obtenida de un grupo de 40 alumnos se ha

elaborado la siguiente tabla.

Edad if ih %

15 12

16 35

17 0,15

Calif.

Mat.

3 3 4 2 5 4 6 2 7 4 8 3 9 2 n 20

No de

calzado

36 2 37 3 38 3 39 3 40 4 41 1 42 3 43 1 n 20

Peso

0 – 50 2 50 – 60 8 60 – 70 5 70 – 80 5

n 20

Peso

150 – 160 1 160 – 170 7 170 – 180 9 180 – 190 3

n 20

a. Completar la tabla.

b. Calcular la media, la mediana y la moda de

los datos de la tabla.



112

MATEMÁTICAS

V. El peso en gramos de los bebés nacidos en una clínica durante un fin

de semana fue:

2.350 3.300 2.950 4.100 4.650

3.450 3.100 3.785 3.920 4.000

3.750 2.800 3.100 2.400 2.900

2.550 4.500 3.250 2.800 3.400


I. TRABAJO FINAL

Como trabajo final de la asignatura debes presentar un trabajo escrito que

se compone de las siguientes partes:

1. PARTE TÉÓRICA

Para la construcción de la parte teórica, debes incluir a manera de resumen cada uno de los temas vistos y explicados durante este

periodo sobre Estadística. Por ejemplo:

18

c. ¿Cuál es la mediana de los datos?

d. ¿Cuál es el peso más frecuente de los bebés nacidos en la clínica

durante el fin de semana?

a. Formar intervalos de 500 g de

amplitud, a partir de 2.000 g,

para construir la tabla de

frecuencias para los datos

anteriores.

b. ¿Cuál es el promedio del peso de los bebés nacidos durante el fin de semana en

la clínica?



113

MATEMÁTICAS

Definición de Estadística

Población, Muestra y variable Como se construye una tabla de frecuencias

Como se construyen las gráficas Como se encuentran las medidas de tendencia central (media,

mediana y moda)

El trabajo debe ser presentado a mano y cumpliendo con las normas

Icontec. Este debe quedar muy bien presentado y debe contener:

Portada Subportada

Tabla de contenido Introducción

Objetivos Parte Teórica

Parte Práctica Anexos (para la parte de los diagramas si se prefiere)

Conclusiones Bibliografía

2. PARTE PRÁCTICA

Forma grupos de trabajo de 3 ó 4 integrantes y escoge un grupo de

personas que sean de la institución que más te llamen la atención entre cualquiera de las siguientes opciones:

Estudiantes de grado 11º ambas jornadas Estudiantes de grado 10º ambas jornadas



Estudiantes de Primaria ambas jornadas Estudiantes de la jornada Nocturna

Estudiantes de la sede Fachada Estudiantes de la sede Puerto espejo

Grupo de Profesores de toda la Institución Padres de familia, únicamente de estudiantes del colegio.



114

MATEMÁTICAS

Nota: La encuesta será realizada a un grupo que oscile entre 50 a 100 personas

A cada grupo se le deben hacer 3 tipos de preguntas diferentes, las

cuales estarán distribuidas así

CUALITATIVAS CUANTITATIVAS

Discreta Contínua

1 1 1

Organiza la información recogida a partir de la encuesta y elabora las

tablas de frecuencias correspondientes para cada pregunta.

Para cada pregunta y con los datos de tabla, construye como mínimo 2 diagramas distintos según sea el tipo de pregunta hecha o variable.

Determine la media, la mediana y la moda de cada pregunta.

Cada trabajo debe ser expuesto en la

clase de matemáticas y socializado para que se conozcan. Cada grupo se debe encargar de preparar muy bien su exposición incluyendo

carteleras donde se muestren las tablas de frecuencias y sus respectivas gráficas darlas a conocer a sus compañeros de curso.

NOTA: LA NOTA FINAL Y DEFINITIVA SERÁ BASADA EN UN 80% EN EL CUMPLIMIENTO

DE ESTE TRABAJO. EL OTRO 20% LO CONSTITUYEN LAS DEMÁS EVALUACIONES Y

TRABAJOS EN CLASE.

II. PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo

Reúnete con tus compañeros de grupo y resuelve la siguiente Sopa de Letras.

Estadística Variable Frecuencia Diagrama Relativa Barras Porcentual Absoluta Tabla Moda



115

MATEMÁTICAS

Dato Media Circular Mediana

H V N E T O T M M U F B K I T E R B C R

X F M J S F H I Y P O R C E N T U A L U

P C U N H T W Q W D L N Z M W D S X S X

J J I J D V A R I A B L E W M Z E S I T

O Y S R W I J D D S A M T W Y E A A N L

G L R V C V A F I V Z X P V D K S T G S

A F C B C U S G I S M R A F D C Y U I Y

V A B G P D L T R E T V C L Y R N L D K

Z P A B R I A A U A A I D E M S Y O X O

Y X R L N L M L R L M D C M L A M S F K

U W R F E O E Y X M E A P A F V R B P J

H B A R T P O Q M T L O R C A L G A O L

Q Z S A S F R E C U E N C I A L X B L K

D E D G Q C B M Y X K J M Z Q F B S Y Q

J G N E J S I X L E I O Q I J D E A I E

H O F R S P Z V G Y D Z K T E H D X T U

M E D I A N A H A A F M P K N E L B S U

N B D Z B H F A E M L N P F E T H Z I W

J R V G E P S H N T R S A N O J K L Q O

C Y Z R O L H U P U U M R V M J N Q D J

III. CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.



116

MATEMÁTICAS

Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de los

sistemas de ecuaciones lineales.

ESTADÍSTICA

La ciencia encargada de reunir, clasificar, describir y analizar información para tomar decisiones

Datos

Tablas de frecuencia Diagramas

es

a partir de

que se organizan en

que son que son

Registros de datos y de las veces que se repiten

Representaciones gráficas de la información

y pueden ser

que se interpretan mediante

De Barras Circulares

Pictogramas

Probabilidad Medidas de Tendencia Central

que se define como

que se definen como

Ciencia que estudia fenómenos relacionados

con el azar

Medidas que reflejan la tendencia de los datos hacia un dato central

se basa en como

y son

La predicción de los resultados en

experimentos aleatorios

Media Mediana Moda

y se calcula mediante

El cociente entre Casos favorables y

casos posibles

que se definen como

que se definen como

que se definen como

Suma de los datos divida

entre el número de datos

El valor del dato del medio,

en datos organizados

Valor que ocurre con

mayor frecuencia

y son

Absoluta (fi)

Relativa (hi)

Porcentual (%)



117

MATEMÁTICAS


I. Para estudiar una variable cuantitativa continua, se deben agrupar los datos en:

a. Intervalos de clase

b. Marcas de clase

c. Rangos

d. Valores entrados

II. Entre las siguientes frecuencias, identifique cual de ellas no hace parte de una tabla de frecuencias para datos no agrupados:

a. Porcentual

b. Absoluta

c. Acumulada

d. Relativa

III. Al sumar todos los datos de una variable y dividir el resultado entre el número total de datos, encontramos:

a. La mediana

b. La frecuencia relativa

c. La frecuencia acumulada

d. La media aritmética

IV. El siguiente diagrama de barras muestra los datos obtenidos en una

encuesta acerca del color preferido de cierto número de personas. De acuerdo con el gráfico, el número de personas encuestadas fue:



118

MATEMÁTICAS

a. 50 personas

b. 30 personas

c. 45 personas

d. 100 personas

V. En el diagrama anterior, la media corresponde al valor de:

a. 12

b. 13

c. 6

d. 9

VI. La mediana corresponde entonces al valor de:

a. 9

b. 11

c. 12

d. 13

VII. La moda es:

a. 12

b. 9

c. 5

d. 13

Utilizar la siguiente información para contestar las preguntas de la 8 - 12

En un colegio se preguntó a 80 estudiantes por el cantante preferido de cada uno. Los datos recogidos aparecen en la siguiente tabla:

0

2

4

6

8

10

12

14

Azul Amarillo Rojo Verde Naranja

Cantante preferido

Shakira 26

Juanes 18

Cabas 6

Carlos Vives 24

Andrés Cepeda 6



119

MATEMÁTICAS

VIII. ¿Los datos de la tabla corresponden a que tipo de variable estadística?

a. Cuantitativa

b. Continua

c. Frecuencial

d. Cualitativa

IX. Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos que prefieren a Shakira?

a. 1

b. 1,2%

c. 0,325

d. 0,255

X. ¿Cuál es la frecuencia porcentual de los alumnos que prefieren a Cabas?

a. 12%

b. 7,5%

c. 6%

d. 2,5%

XI. ¿Según la tabla cuál de los datos se considera la moda?

a. 26

b. Juanes

c. 24

d. Andrés Cepeda

XII. ¿A quién corresponde la frecuencia de la tabla del 30%:

a. 16

b. Carlos Vives

c. Cabas

d. 8

Contestar las preguntas 13-14, con base en la siguiente

información

En un supermercado se realizó una encuesta a 1.000 visitantes. La pregunta fue: ¿Qué actividad realiza en le periodo de vacaciones?. Las

opciones fueron Salir de paseo, llevar los hijos a chequeos médicos y visitar sitios de interés en la ciudad.



120

MATEMÁTICAS

XIII. ¿Cuántas personas visitan sitios de interés de la ciudad?

a. 150

b. 225

c. 230

d. 350

XIV. ¿Cuántas personas dedican las vacaciones a chequeos médicos?

a. 150

b. 225

c. 240

d. 350

XV. Para representar datos no agrupados, no se utiliza el diagramas:

a. Circular b. De barras Verticales

c. Histograma d. De barras horizontales

XVI. Para construir un diagrama circular, la frecuencia que se utiliza es:

a. Relativa

b. Porcentual

c. Acumulada

d. Absoluta

Actividad en vacaciones

Salir de paseo

42%

Visitar sitios de

interés

35%

Chequeos

médicos

23%

Los resultados están representados en el

siguiente gráfico circular:



121 MATEMÁTICAS

Resuelve los siguientes ejercicios estadísticos de acuerdo con la información

y los gráficos.

I. La fábrica de gaseosas “Tutifruti” proyecta lanzar al mercado un nuevo sabor. Se realiza un test de aceptación de dicho sabor en una muestra de

30’ niños, utilizando una escala de 10 puntos, para medir el grado de aceptación. Los puntos obtenidos en los niños fueron los siguientes:

2, 6, 8, 7, 4, 5, 10, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 8, 7, 6, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 5, 7, 6, 7, 2, 7, 2, 7.

La muestra estuvo compuesta por igual número de niños de ambos sexos,

de 6 a 12 años, pertenecientes a una concentración escolar del barrio “Nueva Granada” de la ciudad de Santa Rosa.

a. ¿Cuál es la población?

b. ¿Cuál es la muestra?

c. ¿Qué tipo de variable es la pregunta de la encuesta?

d. Construya la tabla de frecuencias y el diagrama de barras

correspondiente.

e. Determine la media, la mediana y la moda.

II. Los ingresos mensuales de una familia son $ 800.000. De acuerdo al

gráfico responde las siguientes preguntas:

Gastos de la familia

Alimentación

42%

Vivienda

22%

Serv.

Públicos

10%

Salud

5%

Educación

9%

Transporte

7%

Recreación

5%a. ¿Cuánto dinero gasta en

alimentos?

b. ¿Cuánto dinero gasta en servicios

públicos?

c. Si los gastos principales de la

familia son: alimentación,

vivienda, servicios públicos, salud,

educación y transporte. ¿Cuánto

le queda para recreación?

d. Construya una tabla de

frecuencias completa.

e. Determine la media, la mediana y

la moda.



122 MATEMÁTICAS

III. Se preguntó a 700 estudiantes de un plantel, por el tipo de programa de televisión que ven en los ratos libres, después de haber estudiado. Las

respuestas se pueden observar en el siguiente gráfico.

IV. Al registrar los datos sobre el peso de 50 estudiantes de grado 9º, se

obtuvieron los siguientes resultados:

50; 63; 48; 49; 48; 52; 55; 51; 49; 60; 55; 57; 54; 57; 54; 53; 48; 50; 51; 54; 62; 60; 62; 51; 49; 54; 56; 62; 48; 54; 56; 65; 66; 48; 49; 50;

52; 49; 54; 56; 63; 62; 66; 65; 64; 58; 59; 60; 59; 57.

a. Elaborar una tabla de frecuencias donde la información quede es 6 intervalos de 3 unidades de longitud.

b. Elabora un Histograma, un polígono de frecuencias y un diagrama

circular, donde se pueda ver gráficamente la información anterior y responde las siguientes preguntas:

¿Cuántos estudiantes pesan menos de 50 kilos? ¿Cuántos pesan más de 60 Kilos?

¿Cuál es el intervalo donde esta el mayor número de estudiantes? ¿Cuál es el intervalo de los estudiantes que tienen menor peso?

¿Cuántos pesan entre 50 y 60 kilos?

V. Se ha puesto un test de 79 preguntas a cierto número de personas. El

número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla.

Deportes 40%

Culturales 10%

Comics 15%

Novelas 10%

Noticias 5%

Peliculas 20%

Programas de televisión a. ¿Cuántos estudiantes ven comics y

deportes? ¿Qué porcentaje suma?

b. ¿Cuál es el número de estudiantes

que ven programas culturales y

noticias?

c. ¿Cuántos ven novelas y películas al

mismo tiempo?

d. ¿Luego de los deportes, qué

programas prefieren y cuál ven

menos?



123 MATEMÁTICAS

VI. El siguiente diagrama de barras muestra los datos obtenidos en una encuesta acerca del color preferido de cierto número de personas. De

acuerdo con el gráfico, responda las siguientes preguntas:

[a, b) Mc fi hi %

[0, 10) 40

[10, 20) 60

[20, 30) 75

[30, 40) 90

[40, 50) 105

[50, 60) 85

[60, 70) 80

0

2

4

6

8

10

12

14

Azul Amarillo Rojo Verde Naranja

a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

b. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las

personas que prefieren el color rojo?

c. ¿Cuál es el porcentaje de personas que

prefieren el color verde?

d. ¿Cuál es el color de menor preferencia?

e. ¿Cuál es la moda?

f. Construya el diagrama circular.

a. Completar la tabla anterior

b. ¿Cuántas personas presentaron el test?

c. Si el test se aprueba con 50 o más

respuestas correctas, ¿cuántas

personas aprobaron el test?

d. ¿Cuál es el porcentaje de las personas

que no aprobaron el test?

e. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las

personas que obtuvieron menos de 10 respuestas correctas?

f. Construya el histograma y el polígono de frecuencias con la tabla anterior.



124 MATEMÁTICAS

TRABAJEMOS CON NÚMEROS COMPLEJOS

LOGRO

COMPETENCIAS:

INTERPRETATIVA: Identifica y comprende el concepto de números complejos y lo aplica en la solución de problemas.

ARGUMENTATIVA: Explica en forma clara cómo se compone el conjunto

de los números complejos.

PROPOSITIVA: Plantea estrategias para resolver ecuaciones con números complejos y aplicarlas en los conocimientos adquiridos

anteriormente con las gráficas de las funciones cuadráticas.








Puntualidad

Asistencia

I PERIODO IV PERIODO

Determinar la solución de una ecuación con números

complejos y aplicarlo en la solución de problemas prácticos de funciones. Encontrar soluciones que contengan números

complejos.



125 MATEMÁTICAS


1. MOTIVACION. Trabajo cooperativo.

Realiza la lectura del siguiente fragmento:

CONVERSATORIO


Historia

El proceso para la construcción de los números complejos ha recorrido un largo camino de tres siglos. Durante mucho los matemáticos evitaron considerar las soluciones de ecuaciones de la forma x2 = -1, dado que éstas no se encontraban dentro del conjunto de los números reales. En el siglo XVI, el italiano Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuvieran raíces cuadradas. A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números. Por ejemplo, Cardano

sugirió que el número real 40 se puede expresar (5 + 15 ) (5 – 15 ). En 1777, el matemático suizo Leonhard Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra i, probablemente porque aquellos números fueron llamados imaginarios. Veinte años después, el danés Kaspar Wessel propuso una explicación del número 1 con base en un triángulo isósceles situado entre un sistema de coordenadas. Esta idea, también sugerida por Jean-Robert Argand, fue utilizada mas tarde por Carl Friedridch Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos. Los números complejos forman parte importante de los métodos matemáticos con los cuales se analizan algunos fenómenos periódicos. Estos números sirven para describir las propiedades de los fenómenos como las corrientes alternas, las vibraciones mecánicas, los ritmos cardiacos.



126 MATEMÁTICAS

¿Qué aportes hicieron las tablillas en el desarrollo de la matemática?

¿En qué consistió el algoritmo para calcular raíces cuadradas dispuesta por los babilonios? ¿A qué matemático se le debe este aporte?

¿Qué aporte hizo a la matemática el profesor Nicole Oresmes?

¿En qué año se empezó a usar el símbolo de raíz?

¿Qué otros símbolos fueron usados?

2. PRESABERES. Trabajo Individual.

Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos

a trabajar:

I. Resolver, si es posible, las siguientes raíces.

a. 144 c. 3 216

b. 144 d. 4 81

II. Escribir el conjugado de las siguientes expresiones:

a. 23 c. 97

b. 54 d. ym 34



127 MATEMÁTICAS

III. Determinar en qué cuadrante del plano cartesiano quedan las parejas ordenadas.

a. 1,3 c. 5,3

b. 7,4 d. 7,4

IV. Resolver las operaciones con potencias.

a. 28 c.

43

5

1

5

4

b. 2

3

1

d.

043

3

2

3

2

2

3

V. Con base en la figura, hallar el valor del lado desconocido en cada caso,

utilizando el teorema de Pitágoras.

222 bac

a. 3a ; 4b ; ?c

b. 5a ; ?b ; 169c

VI. Resolver las siguientes ecuaciones.

a. 604 x

b. 73

5x

c. 65155 x

d. 219

73

x

a

b c



128 MATEMÁTICAS

Números Imaginarios

A partir de la necesidad de dar soluciones a ecuaciones de la forma x2 + 1= 0, se generó un nuevo conjunto numérico cuya unidad principal está

representada por la letra i y se denomina unidad imaginaria.

1i

Esta definición permite expresar una raíz par de un número negativo,

como el producto de un número real por la unidad imaginaria.

Por ejemplo, 4 = 14 = 14 = i2

El producto de los números reales por la unidad imaginaria, origina los números imaginarios puros.

EJEMPLOS

A. Escribir los siguientes radicales como números imaginarios puros.

a. 25 b. 160 c. 13

SOLUCION

Utilizando la definición 1i se tiene:

a. 25 = 125 = 125 = i5

b. 160 = 1160 = 11016 = 11016 = i104

c. 13 = 113 = 113 = i13

B. Resolver las siguientes ecuaciones:

a. 92 x b. 022 x



129 MATEMÁTICAS

SOLUCION

Al despejar la incógnita en cada ecuación, se obtiene:

a. 92 x b. 022 x

9x 22 x

ix 3 ix 2

Potencias de i

Las potencias de la unidad imaginaria i, se obtienen a partir de su

definición.

Dado que 1i entonces:

ii 1

112

2 i

iiiii 123

11234 iiiiii

Estas cuatro potencias se denominan potencias básicas de i , ya que a

partir de 5i se repiten en periodos de a 4.

Así,

iiiii 1145 1

12156 iiiiii

EJEMPLOS: Calcular 18i

SOLUCION

Para calcular 18i se recurre a las potencias básicas de i y se aplican las

propiedades de la potenciación.

Como 24418 , entonces la potencia se expresa como:

Potencias de i ii 1

12 i

ii 3 14 i



130 MATEMÁTICAS

24424418 iiii

114

porque 14 i y además 12 i

11

1

El conjunto de los números complejos, es el conjunto formado por los números de la forma

bia , donde a y b son números reales. Este se nota con la letra C.

Es decir,

1Re,/ ibabiaC

En todo número complejo bia se distinguen dos partes: la parte real a y

la parte imaginaria .bi

Por ejemplo, en el número complejo i53 , la parte real es 3 y la

parte imaginaria es i5 .

Para identificar un número complejo bia se deben tener en cuenta los

siguientes casos:

Si a≠ 0 y b = 0 entonces bia = .0 aia Por lo tanto, todo

número real es un número complejo. Luego R C.

Por ejemplo, .04

3

4

3i Entonces

4

3 es un número complejo en el

que la parte imaginaria es 0.

Si a =0 y b ≠ 0, entonces bia = bibi 0 . Es decir, todo número

imaginario es un número complejo en el que la parte real es 0.

Así, las cantidades i8 , i4 y i3 son números complejos.



131 MATEMÁTICAS

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

La aceptación de los números complejos entre los matemáticos fue resultado de un largo proceso. Mahavira, en el siglo IX d. de C., tropezó con los números complejos y los rechazó. En 1545, Cardano los utilizaba para descomponer factorialmente ciertos números, pero los consideraba ficticios. Los complejos ingresaron a las matemáticas definitivamente con Gauss.

Forma cartesiana de un número complejo

Hasta el momento se han representado los números complejos en la forma bia . Esta forma se denomina forma binomial del números

complejo.

Los números complejos también se pueden representar como una pareja

ordenada ba, en la cual a es la parte real y b es el coeficiente de la parte

imaginaria. En este caso, se dice que el número está representado en forma cartesiana.

Por ejemplo, el número complejo i73 , expresado en forma cartesiana es

7,3 .

Así mismo, el número complejo i4 , expresado en forma cartesiana es

4,0 .

Todo número complejo se puede representar geométricamente sobre el

plano complejo.

El plano complejo es un sistema similar al plano cartesiano, en el cual el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.

Así, para representar el número bia se emplea su forma cartesiana .,ba

La primera componente a , se ubica sobre el eje real, y la segunda

componente b , se ubica sobre el eje imaginario.



132 MATEMÁTICAS

EJEMPLO: Representar los números i23 , i25 y i24 sobre el plano

complejo.

SOLUCION

La forma cartesiana de cada número es 2,3 , 2,5 y 2,4 ,

respectivamente.

Al ubicar estas parejas ordenadas sobre el plano complejo, se obtiene:

Números complejos conjugados

Dos números complejos se denominan conjugados si difieren únicamente en el signo de la parte imaginaria.

Si biaz , el conjugado de z se escribe z , y es igual a biaz

Si los números complejos se van a escribir en forma binomial, los números sobre el eje complejo se escriben ,3,2, iii etc.

Actualidad

Los principios fundamentales de los cuerpos tienen muchas aplicaciones: la ingeniería

electrónica y la física teórica utilizan el campo de los números complejos para estudiar

la electricidad, el magnetismo y la teoría cuántica.



133 MATEMÁTICAS

EJEMPLO

Hallar el conjunto de los siguientes números complejos.

a. iz 53 b. iw 3 c. 7v

SOLUCION

a. iz 53 = i53

b. iw 30 = i30 = i3

Al representar gráficamente un número complejo y su conjugado, estos

quedan ubicados de manera simétrica respecto al eje real del plano complejo.

Por ejemplo, al representar el número iz 21 y su conjugado iz 21

sobre el plano complejo, se tiene

La forma cartesiana de i21 es 2,1

y de su conjugado i21 es 2,1 .



134 MATEMÁTICAS

I. Adición de números complejos

Para sumar dos números complejos, se suman respectivamente sus

partes reales y sus partes imaginarias.

EJEMPLO: Sumar

a. (-7 + 3i) + (4 – 7i); b. (4i – 2) + (-4i + 2)

SOLUCION

Al sumar respectivamente sus partes reales y sus partes imaginarias, se

tiene:

a. (-7 + 3i) + (4 – 7i) = (-7 + 4) + (3 – 7)i = -3 – 4i

b. (4i – 2) + (-4i + 2) = (-2 +2) + (4 - 4)i = 0 +0i =0

II. Sustracción de números complejos La diferencia de dos números complejos se obtienen restando

respectivamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

EJEMPLOS

a. Determinar los valores de x y y que satisfacen la igualdad

iiyx 53345,7

SOLUCION

Si Czz 21, tal que biaz 1= ba, y dicz 2

= dc, la adición

de idbcadicbiazz 21 en notación binomial.

dbcadcbazz ,21 en notación cartesiana.

Si bia y dic son dos números complejos, entonces

idbcadiciba También dbcadcba ,,,



135 MATEMÁTICAS

Igualando respectivamente sus partes reales y sus partes imaginarias, se obtiene:

357 x 534 y

105 x 84 y

2x 2y

Luego, 2x e 2y .

b. Hallar los valores x y y de la igualdad 1,11,31,4, yx .

SOLUCION

1,11,31,4, yx

1,2111,134, yx

Luego, 2x e 1y .

Responde en grupo las siguientes preguntas:

I. ¿En qué consiste cada uno de los métodos vistos?

II. ¿Cuál de ellos es más difícil de trabajar y de la misma manera, cuál les

parece más sencillo de resolver?

III. ¿Qué tema les gustó más?

IV. ¿En qué se puede aplicar esta información?

V. Escriban una lista de los procedimientos que se diferencian entre sí para

cada ejemplo y de igual forma, cuáles procesos son los que se repiten.



136 MATEMÁTICAS


Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del tema visto, donde esta inmerso el desarrollo de las competencias básicas.

PRACTICA 1

I. Indicar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a números

imaginarios.

a. 25 e. 5 i. 18

b. 16 f. 4 j. 49

c. 3 8 g. 3 64 k. 100

d. 36 h. 3 125 l. 7

II. Expresar cada una de las raíces cuadradas como número imaginario.

Raíz Número Imaginario

9

7

48

800.13

1

225 nm

100

2336 mn

2255

2w



137 MATEMÁTICAS

III. Resolver las siguientes ecuaciones.

a. 362 n e. 252 w i. 1862 m

b. 162 w f. 123 2 n j. 842 m

c. 82 x g. 1255 2 m k. 1652 t

d. 302 q h. 1062 z l. 1753 2 n

IV. Escribir el valor correspondiente a cada potencia de .

a. 5i

b. 12i

c. 19i

d. 7i

e. 14i

f. 25i

g. 6i

h. 16i

i. 30i

j. 11i

k. 18i

l. 40i

PRACTICA 2

I. Escribir si es posible para cada número su forma binomial bia .

a. 3

b. 25

c. 1625

d. 100100

e. 1636

f. 42

g. 644

h. 369

II. Representar gráficamente cada número complejo.

a. i53

b. i24

c. i1

d. i63

e. i54

f. i78

g. 2

h. i

5

3

2

1

III. Escribir el opuesto y el conjugado de cada número complejo.



138

MATEMÁTICAS

Número Opuesto Conjugado

i23 i23 i23

i48

35 i

i124


I. PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo

Reúnete con tus compañeros de grupo y resuelve la siguiente Sopa de Letras buscando las siguientes palabras.

Complejo

Potencia

Imaginario

Conjugada

Número

Unidad

Puro

Cardano

Euler

Wessel

Argand

Gauss



139

MATEMÁTICAS

Q Y Q Q X Z C G S A O G N D O D M X F F P K J N C

Y Q Y L Z L W D L C H M F Y K W R Z O H J V K S N

Y S L S Q B T Z A B S A G N C P P O T E N C I A Z

Q J G N M E V R O S Y A T F W F P G A D R N F I N

Z Q O S R T D A U E J G Q U G H D H A Q Z E Q K W

C Q X N W A Q A R S M W U Q J C G D L B C P Z Z K

Y O F Q N K G Y W P L V P U R A I E K P F M M T T

P O N O K J K F C U H T S Z S N Y Q A L R H T N Z

E M F J R U R C J O N T Z W U S D F Z I Y F T A R

D E Q J U D I R Z S M N M S C W C Y Y L V I H J W

H M T T Q G G N A O S P A X B U R R G W K R O H D

A J U M C F A Y M C Q N L G G R X A X T W F X E Q

M R E R C R I D B P I O B E I O O R E M U N I S Z

D H G N L G D G A F U H I G J X S D X X U Q G A G

K A K A P P A Z T W D R Y R Z O L M C A D A A Y L

W L B U N Y I R D Z U J U O A Q R S F K W L T O E

P W R H O D C C Z Z O H A J T N S R T B V I Q N S

U O S V T A Z Z O M P L J E W L I W X X K D D D U

G U B V R B B J V L S U Z X P V B G N M A W K G M

N O M G N X L S W G X A K M A B O B A O T A Z U N

Q P H A D L X Y M N F F X P L V K G E M G E N R G

S K F V F N S I V V R L W M C L K W N A I I U J W

Y G H K I M B Y B U W F Q Z F R V K W Y P W Q Z X

O W E S S E L H M F K R R O U W T Z O Y Q R F Q E

P H T J Q D T J I P J W K S O B E D R E L U E F H

II. CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.

Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo

donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de los sistemas de ecuaciones lineales.



140

MATEMÁTICAS

NÚMEROS COMPLEJOS

Son

ℂ 𝑎 𝑏𝑖 𝑎 𝑏 𝑖 √

La unidad principal es

𝑖 √

y determina

Potencias principales de 𝒊

que son

Multiplicación

se define como

(𝑎 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 𝑑𝑖) (𝑎𝑐 𝑏𝑑) (𝑎𝑑 𝑏𝑐)𝑖

(𝑎 𝑏𝑖) ÷ (𝑐 𝑑𝑖)

(𝑎𝑐 𝑏𝑑) (𝑏𝑐 𝑎𝑑)𝑖

𝑐 𝑑

se operan con

Suma

Forma cartesiana

se define como

se representan en

División

(𝑎 𝑏𝑖) (𝑐 𝑑𝑖) (𝑎 𝑐) (𝑏 𝑑)𝑖

se define como

(𝑎 ∙ 𝑏) 𝑎 𝑏𝑖

se define como

los

Resta

como

Clausurativa

Conmutativa

Modulativa

Asociativa

Propiedades

(𝑎 𝑏𝑖) (𝑐 𝑑𝑖) (𝑎 𝑐) (𝑏 𝑑)𝑖

cumplen

como

Invertiva



141

MATEMÁTICAS

III. TRANSVERSALIDAD CON OTRAS AREAS. Trabajo cooperativo.

SOCIALES: La siguiente cuadrícula representa los ejes cartesianos del plano complejo, superponemos el mapa de Colombia.

El origen de las coordenadas coincide con la ciudad de Bogotá y sobre este

plano complejo se han ubicado, aproximadamente, algunas ciudades.

Completar el siguiente cuadro.



142

MATEMÁTICAS

Coordenada Capital

Escribir V si la afirmación es Verdadera y F si es Falsa.

a. El número complejo que representa la ciudad de Cúcuta es

b. El número complejo que representa la ciudad de San José del Guaviare

es

c. Las ciudades de Neiva y Florencia tienen la misma parte real.

d. Las ciudades de Tunja y Villavicencio tienen la misma parte Imaginaria.



143

MATEMÁTICAS


I. Cuál de las siguientes cantidades no es un número imaginario.

a.

b. √

c. √

d. √

II. El valor de la expresión

es:

a.

b.

c.

d.

III. El inverso multiplicativo de es:

a.

b.

c.

d.

IV. La afirmación falsa es:

a. Al restar dos números complejos se obtiene otro número complejo.

b. Al dividir dos números complejos se obtiene otro número complejo.

c. Al multiplicar un número complejo por su conjugado, se obtiene un número real.

d. Al sumar un número complejo con su inverso aditivo se obtiene un

número real.



144

MATEMÁTICAS

V. Si , entonces | | es:

a. Mayor que 3 y menor que 4

b. Mayor que 4 y menor que 5

c. Igual a 3

d. Igual a 5

VI. Si es un número complejo:

a. | | es menor que cero

b. | | es mayor que 1

c. | | es mayor que cero

d. | | es igual a cero

Para responder las preguntas de la VII a la X se requiere de la información

dada a continuación.

El crecimiento semanal de una bacteria x en un laboratorio se presenta en

la siguiente tabla.

Día Número de bacterias en potencias de

Número de bacterias

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Completar la tabla anterior.

VII. Los días en que hubo mayor crecimiento de la bacteria fueron:

a. Lunes y Sábado

b. Miércoles y Jueves

c. Lunes y Viernes

d. Martes y Jueves

VIII. El crecimiento de la bacteria el día Lunes fue:



145

MATEMÁTICAS

a. Entre 5 y 8

b. Mayor que 5 y menor que 7

c. Mayor que 2 y menor que 8

d. Menor que 3

IX. La suma del número de bacterias del Miércoles y las bacterias del Jueves es:

a. Menor que 15

b. Entre 17 y 19

c. Mayor que 16 y menor que 19

d. Igual a 16

X. La suma del número de bacterias de la semana fue:

a. Menor que 45

b. Mayor que 45

c. Entre 44 y 46

d. Entre 40 y 44



146 MATEMÁTICAS

RESPONDA CALIFICANDO DE 1 A 5 SEGÚN EL NIVEL DE APRENDIZAJE (El

puntaje más alto es 5 y el más bajo es 1) 1. Indique si los temas propuestos en esta guía de aprendizaje, quedaron claros

y entendidos por usted.

2. Manejando la misma escala numérica, qué tan importante resultó la guía para el aprendizaje de este tema.

3. La guía tenía buenas actividades que motivaron su aprendizaje.

4. Como califica el diseño de esta guía en cuanto a su diagramación.

5. Los contenidos de la guía estaban bien explicados.

6. Las actividades de aplicación propuestas estaban acordes con el tema.

7. Las explicaciones del docente fueron muy necesarias para entender el tema

8. Me interesé por adelantarme con los temas de la guía, ya que los tenía a la mano.

1 2

5

3 4

1 2

5 3 4

1 2

5 3 4

1 2

5 3 4

1 2

5 3 4

1 2

5 3 4

1 2

5 3 4

1 2

5 3 4



147 MATEMÁTICAS

9. Fueron necesarias otras ayudas para aprender el tema. (libros, Internet, otros)

10. Considera que la guía es un buen o mal elemento de aprendizaje.

1 2

5 3

4

1 2

5

3 4



148 MATEMÁTICAS

I. Indicar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a números imaginarios.

a. 49

b. 144

c. 18

d. 81

e. 121

f. 49

g. 3 27

h. 3 64

i. 100

j. 100

k. 3 125

l. 7

II. Escribir el valor correspondiente a cada potencia de .

a. 5i

b. 12i

c. 19i

d. 7i

e. 14i

f. 25i

g. 6i

h. 16i

i. 30i

j. 11i

k. 18i

l. 40i

V. Representar gráficamente cada número complejo.

a. i53

b. i24

c. i1

d. i63

e. i54

f. i78

g. 2

h. i

5

3

2

1



149 MATEMÁTICAS

Álgebra y Geometría II. Editorial Santillana. Año 2004

Santafé de Bogotá D.C.

Autores:

Adolfo Javier Herrera Ruiz

Diana Constanza Salgado

Luisa Fernanda Nivia

Martha Lucía Acosta

Julia Patricia Orjuela

Olimpiadas matemáticas Grado 9º. Edi Voluntad. Año 2000

Santafé de Bogotá D.C.

Autor:

Blanca Nubia Torres López

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