Ingenieria Mecanica

INGENIERIA MECANICAdinAmicaDECIMOSEGUNDA EDICI6NR. C. HIBBELER

Ecuaciones fundamentales de dinamicaCINEMATICAMovimiento rectilfneo de una partfculaVariable aConstantea=acdva = ~^v=vQ +a v,sy t.Velocidad como una funcion del tiempo. fategre ac = dv/dty con el supuesto de que inicialmente v = v0 cuando t = 0.f dv = [ ac dtJvq Jo

) pies/s2, donde v estd en pies/s. Determine el tiempo en que la velocidad de la partfcula es v = 30 pies/s.12-25. Cuando una partfcula se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de % experimenta una aceleracidn a = -(g + kv2), donde g es la aceleracidn de la gravedad, k es una constante y v es la velocidad de la partfcula. Determine la altura maxima alcanzada por la partfcula.12-26. La aceleracidn de una partfcula que se desplaza a lo largo de una lfnea recta es a = (0.02e/) m/s2, donde t estd en segundos. Si v = 0, s = 0 cuando t = 0, determine su velocidad y aceleracidn cuando s = 4 m.12-27. Una partfcula se desplaza a lo largo de una lfnea recta con una aceleracidn de a = 5/(3s^ + s5^2) m/s2, donde s est en metros. Determine su velocidad cuando s = 2 m, si parte del reposo cuando s = lm. Use la regia de Simpson para evaluar la integral.*12-28. Si se toman en cuenta los efectos de la resistencia atmosfdrica, un cuerpo que cae tiene una aceleracidn definida por la ecuacidn a = 9.81 [1 - t^(10-4)] m/s2, donde v estd en m/s y la direccidn positiva es hacia abajo. Si el cuerpo se suelta del reposo desde una gran altitud, determine (a), la velocidad cuando t = 5 s y (b) la velocidad terminal o mdxima alcanzable (a medida que t * oo).

18CapItulo 12 CinemAtica de una fartIcula12-29. La posicidn de una partfcula a lo largo de una lfnea recta esta dada por 5 = (1.5/3 - 13.St1 + 22.5/) pies, donde / esta en segundos. Determine la posicidn de la partfcula cuando / = 6 s y la distancia total que recorre durante el intervalo de 6 s. Sugerencia: trace la trayectoria para determinar la distancia total recorrida.12-30. La velocidad de una partfcula que se desplaza a lo largo de una lfnea recta es v = Vq - ks, donde k es constante. Si s = 0 cuando / = 0, determine la posicidn y acelera- ddn de la partfcula como una funcidn del tiempo.*12-36. La aceleracidn de una partfcula que se desplaza a lo largo de una lfnea recta es a = (8 - 2s) m/s2, donde s estd en metros. Si v = 0 cuando s = 0, determine la velocidad de la partfcula cuando s = 2 m y su posicidn cuando la velocidad es maxima.12-37. La pelota A se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de v0. La pelota B se lanza verticalmente hacia arriba desde el mismo punto con la misma velocidad /segundos despuds. Determine el tiempo transcurrido / < 2v0/g desde el instante en que se lanza la pelota A hasta cuando las pelotas se cruzan entre sf, y determine la velocidad de cada una en este instante.12-31. La aceleracidn de una partfcula a medida que se mueve a lo largo de una lfnea recta estd dada por a = (2/ - 1) m/s2 donde / estd en segundos. Sis=lmyt>=2 m/s cuando / = 0, determine la velocidad y posicidn de la partfcula cuando / = 6 s. Tambidn, determine la distancia total que la partfcula recorre durante este intervalo.*12-32. La pelota A se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio de 30 m de altura con una velocidad inicial de 5 m/s. Al mismo tiempo se lanza otra pelota B hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 20 m/s. Determine la altura desde el suelo y el tiempo en que se cruzan.12-33. Una motocicleta arranca desde el reposo cuando / = 0 y viaja a lo largo de una carretera recta a una velocidad constante de 6 pies/s2 hasta que alcanza una rapidez de 50 pies/s. Despuds mantiene esta rapidez. Ademds, cuando / = 0, un automdvil situado a 6000 pies de la motocicleta viaja hacia dsta a un rapidez constante de 30 pies/s. Determine el tiempo y la distancia recorrida por la motocicleta cuando se cruzan.12-34. Una partfcula se desplaza a lo largo de una lfnea recta con una velocidad v = (200s) mm/s, donde s estd en milfmetros. Determine la aceleracidn de la partfcula cuando s = 2000 mm. ^Cudnto tiempo requiere la partfcula para alcanzar esta posicidn si s = 500 mm cuando / = 0?12-35. La rapidez inicial de una partfcula es de 27 m/s. Si experimenta una desaceleracidn de a = (-6/) m/s2, donde /estd en segundos, determine su velocidad despuds de que ha recorrido 10 m. ^Cudnto tiempo requiere esto?12-38. Cuando se lanza un cuerpo a una alta altitud por encima de la superficie de la Tierra, se debe tomar en cuenta la variacidn de la aceleracidn de la gravedad con respecto a la altitud. Ignorando la resistencia del aire, esta aceleracidn se determina con la fdrmula a = -g0[R2/(R + y)2], donde g0 es la aceleracidn de la gravedad constante al nivel del mar, R es el radio de la Tierra y la direccidn positiva se mide hacia arriba. Si g0 = 9.81 m/s2 y R = 6356 km, determine la velocidad inicial minima (velocidad de escape) a la que se debe disparar un proyectil verticalmente desde la superficie terrestre de modo que no caiga de regreso a la Tierra. Sugerencia: esto requiere que t)=0a medida que y * oo.12-39. Teniendo en cuenta la variacidn de la aceleracidn de la gravedad a con respecto a la altitud y (vea el problema 12-38), derive una ecuacidn que relacione la velocidad de una partfcula que cae libremente hasta su altitud. Suponga que la partfcula se suelta del reposo a una altitud y0 de la superficie de la Tierra. ^Conqud velocidad choca la partfcula con la Tierra si se suelta del reposo a una altitud y0 = 500 km? Use los datos numdricos del problema 12-38.*12-40. Cuando una partfcula cae a travds del aire, su aceleracidn inicial a = g se reduce hasta que es cero, y despuds cae a una velocidad constante o terminal ty. Si esta variacidn de la aceleracidn puede expresarse como a =~ tf2)* determine el tiempo requerido paraque la velocidad sea v = v*/Z Inicialmente la partfcula cae del reposo.12-41. Una partfcula se desplaza a lo largo de una lfnea recta de modo que su posicidn con respecto a un punto fijo es s = (12 - 15/2 + 5Z3) m, donde / estd en segundos. Determine la distancia total recorrida por la partfcula desde / = Is hasta / = 3s. Tambidn, determine la rapidez promedio de la partfcula durante este intervalo.

12.3 CinemAtica rectilJnea: movimiento b?rAtico1912.3 Cinematica rectilfnea: movimiento erraticoCuando el movimiento de una particula es errdtico o variable, su posicidn, velocidad y aceleracidn no pueden describirse mediante una sola funcidn matemdtica continua a lo largo de toda la trayectoria. En su lugar, se requerird una serie de funciones para especificar el movimiento en diferentes intervalos. Por eso, conviene representar el movimiento como una grdfica. Si se puede trazar una grdfica del movimiento que relacione dos de las variables s, u, a, r, entonces esta grdfica puede utilizarse para construir grdficas subsecuentes que relacionen otras dos variables, puesto que las variables estdn relacionadas por las relaciones diferenciales v = ds/dt,a = dv/dto ads = vdv.Confrecuencia ocurren varias situaciones.Graficas de s-t, v-t y a-t. Para construir la grdfica de v-fdada la grdfica de s-t,figura 12-7a,deberd utilizarse la ecuacidn v = ds/dt^y* que relaciona las variables s y t con v. Esta ecuacidn establece queds = v dtpendiente de.., ,....=velocidadla grdfica de s-tPor ejemplo, si se mide la pendiente en la grdfica de s-t cuando t = tXi la velocidad es V\, la cual se traza en la figura 12-lb. La grdfica de v-t se construye trazando dsta y otros valores en cada instante.La grdfica de a-t se construye a partir de la grdfica de v-f del mismo modo, figura 12-8 puesto quedv

pendiente de,...=aceleracidnla grdfica de v-tEn la figura 12-Sa se muestran ejemplos de varias mediciones y se grafican en la figura 12-86.Si la curva s-t correspondiente a cada intervalo de movimiento puede expresarse mediante una funcidn matemdtica s = s(t)> entonces la ecuacidn de la grdfica de v-t correspondiente al mismo intervalo se obtiene diferenciando esta funcidn con respecto al tiempo puesto que v = ds/dt. Asimismo, la ecuacidn de la grdfica de a-t en el mismo intervalo se determina al diferenciar v = v(t) puesto que a = dv/dt. Como ladiferenciacidn reduce un polinomio de grado n a uno de grado n-1, en tal caso si la grfica de s-t es parabdlica (una curva de segundo grado), la grdfica de v-t serd una lfnea inclinada (una curva de primer grado) y la grdfica de a-t serd una constante o una lfnea horizontal (una curva de grado cero).s

(b)Fig. 12-7v

(b) Fig. 12-8

CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaSi se proporciona la grdfica de a-t> figura 12-9a, la grdfica de v-t se construye por medio de a = dv/dt, escrita comoAv =f a dt

cambio deJdrea bajo la

velocidadg-dfica de a-t

Por consiguiente, para construir la grdfica de v-t> comenzamos con la velocidad inicial de la particula voy luego agregamos a dsta pequeftos / incrementos de drea (Av) determinados a partir de la grdfica de a-t. De este modo, se determinan puntos sucesivos, vx = v0 + Av, etcetera, para la grdfica de v-t, figura 12-9b. Observe que la adicidn algebraica de bs incrementos de drea de la grdfica de a-t es necesaria, puesto que las dreas situadas por encima del eje fcorresponden a un incremento de v (drea positiva), mientras que las que quedan debajo del eje indican una reduction de v (drea negativa).Asimismo, si se presenta la grdfica de v-r, figura 12-10a, es posible determinar la grdfica de s-t por medio de v = ds/dt, escrita como

As = [vdti Jo= JvAs = I vdtdrea bajo la desplazamiento = gr;Sfica de v.tComo previamente se hizo, comenzamos con la posicidn inicial de la particula soy agregamos a dsta (algebraicamente) pequeftos incrementos de drea As determinados a partir de la grdfica de v-ty figura 12-10b.Si segmentos de la grdfica de a-t pueden describirse mediante una serie de ecuaciones, entonces cada una dstas puede ser integrada para obtener ecuaciones que describen los segmentos correspondientes de la grdfica de v-t. Del mismo modo, la grdfica de s-t se obtiene al integrar las ecuaciones t que describen los segmentos de la grdfica de v-t. Por consiguiente, si la grdfica de a-t es lineal (una curva de primer grado), la integracidn dard una grdfica de v-t que es parabdlica (una curva de segundo grado) y una grdfica de s-t que es cubica (una curva de tercer grado).

(b) Fig. 12-9

(b) Fig. 12-10

12.3 CinemAtica rectilJnea: movimiento b?rAtico21Graficas de v-s y a-S. Si la grdfica de as puede construirse, entonces los puntos en la grdfica de vs se determinan por medio de v dv = a ds. Si integramos esta ecuacidn entre los Kmites v = v0 con s = sq y v = V\ con s = su tenemos,

(a)!(iVo) = PaJs0dsdrea bajo la grdfica de asPor consiguiente, si se determina el drea de color gris en la figura 12-lla y se conoce la velocidad inicial v0 en s0 = 0, entonces V\ = (2 f*lads + Vo)xfly figura 12-11 b. De esta manera se pueden marcar puntos sucesivos en la grdfica de vs.Si se conoce la grdfica de vs> la aceleracidn a en cualquier posicidn s se determina por medio deads = v dv, escrita como* s=(5f2) m7o JoCuando t = 10 s, s = 5(10^ = 500 m. Al usar esta condition inicialy10 s ^ t ^ 60 s; v = (-21 + 120) m/s; [ ds = [ (-21 + 120) dt7500 m7l0s5 - 500 = -t2 + 12Ot - [(10)2 + 120(10)]5 = (-12 + 120/ - 600) mCuando /' = 60 s, la posicidn es5= -(60)2 + 120(60) - 600 = 3000mResp.La grdfica de s-/se muestra en la figura 12-14c.s(m)

NOTA: una solucidn directa para s es posible cuando t' = 60 s,puesto que el drea triangular bajo la grdfica de v-t resulta el despla-zamiento As = s - 0 desde t = 0 a t' = 60 s. Por consiguiente,As = ^(60 s)(100 m/s) = 3000 mResp.

Rg. 12-14

24CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaEJEMPLO 12.8v (pies/s)

a (pies/s2)a = 0.04s + 2a = 0200400(b)Fig. 12-15s (pies)La grdfica de v-s que describe el movimiento de una motocicleta se muestra en la figura 12-15a. Trace la grdfica de a-s del movimiento y determine el tiempo requerido para que la motocicleta alcance la posicidn s = 400 pies.SOLUCI6NGrdfica de a-s. Como se dan las ecuaciones de los segmentos de lag-dfica de v-sy la grdfica de a-s se determina con ads = v dv.s < 200 pies;dv0v = (0.2^ + 10) pies/sa = v = (0.25 + 10)(0.25 + 10) = 0.045 + 2 dsds200 pies < 5 ^ 400 pies;v = 50 pies/s= (50)f(50) = 0Los resultados se grafican en la figura 12-15b.Tiempo. El tiempo se obtiene con la grdfica v-s y v = ds/dty porque esta ecuacidn relaciona vy s y t. Para el primer segmento del movimiento, 5=0 cuando t = 0, por tanto0 ^ 5 < 200 pies; v = (0.25 + 10) pies/s; dt =dsdsv 0.25 + 10dsro u.2s + 10t = (5 In (0.25 + 10) - 5 In 10) sCuando s = 200 pies, t = 5 ln[0.2(200) +10] - 5 In 10 = 8.05 s. Por consiguiente, si utilizamos estas condiciones iniciales para el segundo segmento del movimiento,200 pies < 5 ^ 400 pies; v = 50 pies/s; dt =dsds50/' * - L78.05 s720-8-05 = ir4; ' = U + 4-05)ds'200 m 50Por consiguiente, cuando s = 400 pies,400t = - + 4.05 = 12.0 sResp.NOTA: los resultados grdficos se comprueban en parte al calcular las pendientes. Por ejemplo, cuando s = 0, a = v(dv/ds) = 10(50 - 10)/200 = 2 m/s2. Ademds, los resultados se comprueban en parte por inspeccidn. La grdfica de v-s indica el incremento inicial de la velocidad (aceleracidn) seguido por velocidad constante (a = 0).

12.3 CinemAtica rectilJnea: movimiento b?rAtico25PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F12-9. La partfcula viaja a lo largo de una pista recta de modo que la grdfica de s-t describe su posicidn. Trace la grdfica de v-t para el mismo intervalo.s( m)

F12-9F12-10. Una vagoneta viaja a lo largo de una carretera recta a una velocidad descrita por la grdfica. Trace las gr- ficas de s-t y a-t durante el mismo periodo. Considere 5=0 cuando t = 0.v (pies/s)

F12-1L Una bicicleta rueda por una carretera rectadonde la grdfica v-s describe su velocidad. Construya lagrdfica a-s durante el mismo intervalo.v(m/s)10

5(m)F12-12. El auto deportivo viaja a lo largo de una carretera recta, de modo que la grdfica describe su posicidn. Trace las gr^ficas de v-t y a-t durante el intervalo 0 < t < 10 s.s (m)

F12-12F12-13. El dragster arranca del reposo con una aceleracidn descrita por la grdfica. Construya la grdfica de v-t durante el intervalo 0 < t < fdonde t' es el tiempo que le lleva al auto detenerse.a (m/s2)

F12-13F12-14. El dragster arranca del reposo y su velocidad es la descrita por la grdfica. Trace la grdfica de s-t durante el intervalo de tiempo 0 ^ t ^ 15 s. Tambidn, determine la distancia total recorrida durante este intervalo.v (m/s)F12-11

26CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaPROBLEMAS

12-42. La rapidez del tren durante el primer minuto se iegistr6 como sigue:f(s)0 204060v (m/s)0 162124Trace la grdfica de v-t que representa la curva de forma aproximada como segmentos de lfnea recta entre los puntos dados. Determine la distancia total recorrida.12-43. Se dispara verticalmente un misil de dos etapas desde el reposo con la aceleraci6n que se indica. En 15 s la primera etapa A se consume y se enciende la segunda etapa B. Trace las grdficas de v-t y s-t las cuales describen el movimiento de las dos etapas del misil durante el intervalo 0 y> z.Posicion. Si la partfcula estd en el punto (x> y> z) de la trayectoria curva s mostrada en la figura 12-17a, entonces el vector de posicidn define su posicidnt = xi + y} + zk(12-10)Cuando la particula se mueve los componentes x> y, z de r serdn funciones del tiempo, es decir, x = x(t), y = y(t)> z = z(0* de modo que r = r(f).En cualquier instante la ecuacidn C-3 del apdndice C define la magnitud de rr = \/x2 + y2 + z2Y la direccidn de rse especifica por el vector unitario ur = r/r.Velocidad. La primera derivada con respecto al tiempo de rproporciona la velocidad de la particula. Por consiguiente,dt ddddt dtdtdtCuando se toma esta derivada, es necesario tener en cuenta tanto la magnitud como la direccidn de cada uno de los componentes vectoriales. Por ejemplo, la derivada del componente ide r esddx d\ (xi) = i + x dt dt dtEl segundo tdrmino del lado derecho es cero, siempre que el marco de referenda x,y, z estd fijo y por consiguiente la direccidn (y la magnitud) de i no cambie con el tiempo. La diferenciacidn de los componentes j y k se realiza de la misma manera, la cual proporciona el resultado final,(12-11)

dondevx = x vy = y vz = z(12-12)

12.5 Movimiento curvilIneo: componentes rectangulares35La notacidn de punto, xy y> zrepresenta las primeras derivadas de x = x(t)y y = y(t\ z = z(t)y respectivamente.La magnitud de la velocidad se determina comoy el vector unitario uv = y/v especifica su direccidn. Como se vio en la seccidn 12-4, esta direccidn siempre es tangente a la trayectoria, como se muestra en la figura 12-17/?.Aceleracion. La aceleracidn de la particula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn 12-11 (o la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn 12-10). Tenemos(12-13)

donde(c)

(12-14)Aqui, aXy ayy az representan, respectivamente, las primeras derivadas con respecto al tiempo de vx = vx(t)y vy = vy(t)y vz = vz(t) o las segun- das derivadas con respecto al tiempo de las funciones x = x(t)y y = y(t)yz = z(0-La aceleracidn tiene una magnituda = \f^x+ at + aty una direccidn especificada por el vector unitario ufl = st/a. Como a representa el cambio tanto de la magnitud como de la direccidn de la velocidad, en general a no ser tangente a la trayectoria, figura 12-17c.

36CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaPuntos importantes El movimiento curvilineo hace que cambie tanto la magnitud como la direccidn de los vectores de posicidn, velocidad y aceleracidn. El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria. En general, el vector de aceleracidn no es tangente a la trayectoria, sino que mds bien es tangente a la hoddgrafa. Si el movimiento se describe mediante coordenadas rectangulares, entonces los componentes a lo largo de cada uno de los qes no cambian de direccidn, sdlo su magnitud y sentido (signo algebraico) cambiardn. Al considerar los movimientos de los componentes, el cambio de magnitud y direccidn de la posicidn y velocidad de la partfcula se toman automdticamente en cuenta.Procedimiento para el analisisSistema de coordenadas. Un sistema de coordenadas rectangulares puede usarse pararesolver problemas para los cuales el movimiento puede expre-sarse en tdrminos de sus componentes x, y, z.Cantidades cinemdticas. Como el movimiento rectilineo ocurre a lo largo de cada eje de coordenadasyc\ movimiento a lo largo de cada eje se determina mediante v = ds/dt y a = dv/dt; o cuando el movimiento no estd expresado como una funcidn del tiempo, puede utilizarse la ecuacidn ads = vdv. La ecuacidn de la trayectoria y = f(x) puede utilizarse en dos dimensiones, para relacionar los componentes x y y de la velocidad y aceleracidn si se aplica la regia de la cadena del cdlculo. Este concepto se revisa en el apdndice C. Una vez que se determinan los componentes xy y, z, las magnitudes de estos vectores se determinan con el teorema de Pitdgoras, ecuacidn B-3 y sus dngulos de direccidn coordena- dos a partir de los componentes de sus vectores unitarios, ecuaciones B-4 y B-5.

12.5 Movimiento curvilIneo: componentes rectangulares37EJEMPLOEn cualquier instante x = (St) pies, donde t estd en segundos, define la posicidn horizontal del globo atmosfdrico de la figura 12-18a. Si la ecuacidn de la trayectoria es y = a^/IO, determina la magnitud y direccidn de la velocidad y la aceleracidn cuando t = 2 s.SOLUCI6NVelocidad. El componente de velocidad en la direccidn x esvx = x = (&) = 8 pies/s >Para determinar la relacidn entre los componentes de velocidad uti- lizaremos la regia de la cadena del cdlculo (vea el apdndice A para una explicacidn completa).

vy = y = (jc2/10) = 2xir/10 = 2(16)(8)/10 = 25.6pies/s tCuando t = 2 s, la magnitud de la velocidad es por consiguientev = \/(8 pies/s)2 + (25.6 pies/s)2 = 26.8pies/s Resp. La direccidn es tangente a la trayectoria, figura 12-18/?, dondei y6V = tan = tanl75!6 _8= 72.6CResp.Aceleracidn. La relacidn entre los componentes de aceleracidn se determina con la regia de la cadena (Vea el apdndice C.) Tenemosv = 26.8 pies/sax = vx == 0ay = vy = ^ (2ji:jc/10) = 2(jc)jc/10 + 2x(3c)/10 = 2(8)2/10 + 2(16)(0)/10 = 12.8 pies/s2 tPor tanto,a = \/(0)2 + (12.8)2 = 12.8 pies/s2Resp.La direccidn de a, como se muestra en la figura 12-18c es6a = tan-1^ = 90Resp.a = 12.8 pies/x e0 = 90 B 0L (c)Fig. 12-18NOTA: tambidn es posible obtener vy y ay si se expresan primero y = fit) = (802/10 = 6At1y luego se toman derivadas con respecto al tiempo sucesivas.

38CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaEJEMPLO 12.10

Durante un breve lapso,y = (0.001*2) m describe la trayectoria del avidn que se muestra en la figura 12-19a. Si el avidn se eleva con una velocidad constante de 10 m/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn del avidn cuando estd a y = 100 m.soluciOnCuando y = 100 m, entonces 100 = 0.001*2o x = 316.2 m. Tambidn, como vy = 10 m/s, por tanto100 m = (10 m/s) tt = 10 sVelocidad. Si utilizamos la regia de la cadena (vea el apdndice C) para determinar la relacidn entre los componentes de la velocidad, tenemosVy = y = ^-(O.OOIJC2) = (0.002x)i = 0.002x,100 m100 m(a)dt(1)Por tantoy = 0.00U2'm(b)Fig. 12-1910 m/s = 0.002(316.2 m)(vx) vx = 15.81 m/sLa magnitud de la velocidad es, por consiguientev = \/vx + Vy = \/(15.81 m/s)2 + (10 m/s)2 = 18.7 m/s Resp.Aceleracion. Con la regia de la cadena, la derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn (1) proporciona la relacidn entre los componentes de la aceleracidn.ay = vy = 0.002iv* + 0.002xvx = 0.002(vj + xax)Cuando x = 316.2 m, vx = 15.81 m/s, vy = ay = 0,0 = 0.002((15.81 m/s)2 + 316.2 m(a,)) ax = -0.791 m/s2La magnitud de la aceleracidn del avidn es, por consiguientea = \/a\ + a) = \/{-0.19X m/s2)2 + (0 m/s2)2= 0.791 m/s2Estos resultados se muestran en la figura 12-19b.Resp.

12.6 Mcvimiento de un proyectil3912.6 Movimiento de un proyectilEl movimiento de vuelo libre de un proyectil a menudo se estudia en funcidn de sus componentes rectangulares. Para ilustrar el analisis cine- mdtico, considere un proyectil lanzado en el punto (x0, y0), con una velocidad inicial de v0, cuyas componentes son (v0)* y (v0)y, figura 12-20. Cuando se hace caso omiso de la resistencia del aire, la unica fuerza que actua en el proyectil es su peso, el cual hace que el proyectil tenga una aceleracidn dirigida hacia abajo constante de aproximadamente ac = g = 9.81 m/s2 o g = 32.2 pies/s2.*

Movimiento horizontal. Como ax = 0, la aplicacidn de las ecuaciones de aceleracidn constante, 12-4 a 12-6, resulta(^ )v=Vo+aj;vx=(v0)x(J*)X=Xo+V()t + lOct2',x=x0+(v0 )xt( J* )v*=vl+2ac{x - x0);vx=(),La primera y la ultima de las ecuaciones indican que el componente horizontal de la velocidad siempre permanece constante durante el movimiento.Movimiento vertical. Como el eje y positivo estd dirigido hacia arriba, entonces ay = g. Al aplicar las ecuaciones 12-4 a 12-6, obtenemos(+T)v=v0+act;vy=(v0)y-gt(+T)y = y0 + Vot +y=y0 +(%)/-\gt2(+T) i? = 1% + 2ac(y - yo);=(v0)2y - 2g(y - >-0)Recuerde que la ultima ecuacidn puede formularse con base en la elimi- nacidn del tiempo f de las dos primeras ecuaciones, y por consiguiente solo dos de las tres ecuaciones anteriores son independientes entre si.Esto supone que el campo gravitatorio terrestre no varfa con la altitud.in

liim

n

11

ii111

Cada imagen en esta foto se tomo despues cfel mismo intervalo. La bola oscura cae del reposo, en tanto que la bola clara recibe una velocidad horizontal cuando se libera. Ambas bolas se aceleran hacia abajo a la misma razdn y por lo tanto permanecen a la misma altura en todo momento. Esta aceleracion hace que la diferencia de altura entre las dos bolas se increme nte entre fbtos sucesivas. Tambien, observe que la distancia horizontal entre fotos sucesivas de la bola clara es constante puesto que la velocidad en la direccidn horizontal permanece constante.

40CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaEn resumen, los problemas que implican el movimiento de un proyectil pueden tener cuando mucho tres incdgnitas, puesto que sdlo pueden escribirse tres ecuaciones independientes, es decir, una ecuacidn en la direccidn horizontal y dos en la direccidn vertical. Una vez obtenidas yx y \yy la velocidad resultante v, la cual siempre es tangente a la trayectoria, se determina por medio de la suma vectorial como se muestra en la figura 12-20.Procedimiento para el analisisLa grava que cae por el extremo de esta banda transportadora sigue una trayectoria que puede pronosticarse con las ecuaciones de aceleracion constante. De esta manera puede determinarse la ubi- cacion de la pila acumulada. Se utilizan coordenadas rectangulares para el analisis, puesto que la aceleracidn ocurre solo en la direccidn vertical.Sistema de coordenadas. Establezca el eje de coordenadas x, y, fijo y trace la trayectoria de la particula. Entre dos puntos cualesquiera de la trayectoria, especifique los datos dados del problema e identifique las tres incognitas. En todos los casos la aceleracidn de la gravedad actua hacia abajo y es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 pies/s2. Las vebcidades inicial y final de la particula se representardn en funcidn de sus componentes xy y. Recuerde que los componentes positivos y negativos de la posicidn, velocidad y aceleracidn siempre actuan de acuerdo con sus direcciones coordenadas asociadas.Ecuaciones cinemSticas. Dependiendo de los datos conocidos y de lo que se va a determinar, se decidir cu&les tres de las cuatro ecuaciones siguientes se aplicarn entre los dos puntos de la trayectoria para obtener la solucidn ms directa del problema.Movimiento horizontal. La velocidad en la direccidn horizontal o x es constante, es decir, vx = (v0)xyx = xo+ (vo)xtMovimiento vertical. En la direccidn vertical o y, solo dos de las tres ecuaciones siguientes pueden utilizarse para la solucidn.Vy = (w0)y + acty = yo + (vo)yt + W1V2y = (o)y + 2ac(y - yo)Por ejemplo, si no se requiere la velocidad final vy de la partfcula, la primera y tercera de estas ecuaciones no sern utiles.

12.6 Mcvimiento de un proyectil41EJEMPLO 12.11Un saco se desliza por la rampa, como se ve en la figura 12-21, con una velocidad horizontal de 12 m/s. Si la altura de la rampa es de 6 m, determine el tiempo necesario para que el saco choque con el suelo y la distancia R donde los sacos comienzan a apilarse.

Fig. 12-21SOLUCI6NSistema de coordenadas. El origen de las coordenadas seestable- ce al principio de la trayectoria, punto Ay figura 12-21. La velocidad inicial de un saco tiene los componentes (vA)x = 12 m/s y (vA)y = 0. Incluso, entre los puntos A y 51a aceleracidn es de ay = -9.81 m/s2. En vista deque (vB)x = (vA)x = 12 m/s, las tres incdgnitas son (vB)y,R y el tiempo de vuelo tAB. En este caso no necesitamos determinar MyMovimiento vertical. Se conoce la distancia vertical de A a B y por consiguiente podemos obtener una solucidn directa para tAB con la ecuacidn(+T)yB=yA + (Va)^AB + 2 ac*AB-6 m = 0 + 0 + 2(-9-81 m/ s2)/3u?tAB = 1 11 SResp.Movimiento horizontal. Con ^calculado, Rse determina como sigue:(^)xB=xA + (va)JAB5=0 + 12 m/s (1.11s)R = 13.3 mResp.NOTA: el cdlculo de tAB tambidn indica que si se soltara un saco desde el reposo en A, le llevaria el mismo tiempo chocar con el suelo en C, figura 12-21.

42CapItulo 12 CinemAtica de una fartIcula12 I EJEMPLO12.12La mdquina desmenuzadora estd diseftada para que lance virutas de madera a Vq = 25 pies/s como se muestra en la figura 12-22. Si el tubo estd orientado a 30 con respecto a la horizontal, determine a qud hy las virutas chocan con la pila si en este instante caen en la pila a 20 pies del tubo.y

Fig. 12-22SOLUCI6NSistema de coordenadas. Cuando se analiza el movimiento entre los puntos O y Ay las tres incdgnitas son la altura h, el tiempo de vuelo tOA y el componente vertical de la velocidad (vA)y [observe que (vA)x = (vo)J- Con e* origen de las coordenadas en O, figura 12-22, la velocidad inicial de una viruta tiene los componentes de(v0)x (25 cos 30) pies/s = 21.65 pies/s >(v0)y = (25 sen 30)pies/s = 12.5pies/sTAdemds, (vA)x = (vQ)x = 21.65 pies/s y ay= -32.2 pies/s2. Como no necesitamos determinar (vA)yy tenemos Movimiento horizontal.(i)xA=x0+ (v0)j0A20 pies=0 + (21.65 pies/s )toAto a=0.9238 sMovimiento vertical. Si relacionamos toA con las elevaciones inicial y final de una viruta, tenemos(+T) yA=yo+{v0 )yt0A+\a&A{h-4pies) = 0 + (12.5 pies/s)(0.9238 s) +1(-32.2 pies/s2)(0.9238 s)2 h = 1.81 piesResp.NOTA: podemos determinar (vA)y por medio de (vA)y = (vQ)y + actoA

12.6 Mcvimiento de un proyectil43EJEMPLO 12.13La pista para este evento de carreras se disefid para que los corre- dores salten la pendiente a 30, desde una altura de 1 m. Durante una carrera se observd que el corredor de la figura 12-23a perma- necia en el aire durante 1.5 s. Determine la rapidez a la cual estaba saKendo de la rampa, la distancia horizontal que recorre antes de chocar con el suelo y la altura maxima que alcanza. No tome en cuenta el tamafio de la motocicleta ni al corredor.

SOLUCI6NSistema de coordenadas. Como se muestra en la figura 12-23/?,elorigen de las coordenadas se establece en A. Entre los puntos extre-mos de la trayectoria AB las tres incdgnitas son la velocidad inicialvAy la distancia R y el componente vertical de la velocidad (vB)y.Movimiento vertical. Como el tiempo de vuelo y la distanciavertical entre los extremos de la trayectoria se conocen, podemosdeterminar vA.(+t) ys = yx + M/ab + Wab-1 m = 0 + uJ4sen30(1.5 s) + 2(-9-81 m/s2)(1.5 s)2vA = 13.38 m/s = 13.4 m/sResp.Movimiento horizontal. Ahora podemos determinar la distancia R,()XB=XA+(vA)jABR = 0 + 13.38 cos 30 m/s(1.5 s)= 17.4 mResp.Para determinar la altura maxima h consideraremos la trayectoriaAC, figura 12-236. En este caso las tres incdgnitas son el tiempo devuelo tAC,, la distancia horizontal de A a C y la altura h. A la altu-ra maxima (uc)y = 0 y como vA se conoce, podemos determinar hdirectamente sin considerar tAC mediante la siguiente ecuacidn.(vc)2y =(vA)2y + 2ac\yc ~ yA]02 =(13.38 sen 30 m/s)2 + 2(-9.81 m/s2)[{h - 1 m) - 0]h =3.28 mResp.NOTA: demuestre que la motocicleta golpea el suelo en B con una velocidad cuyos componentes son= 11-6 m/s ,=8.02 m/si

Fig. 12-23

44CapItulo 12 CinemAtica de una fartIcula

PROBLEMAS FUNDAMENTALESF12-15. Si los componentes x y y de la velocidad de una partfcula son vx = (321) m/s y vy = 8 m/s, determine la ecuacidn de la trayectoria y = f(x). x = 0 y y = 0 cuando / = 0.F12-16. Una partfcula se desplaza a lo largo de la trayectoria recta. Si su posicidn a lo largo del eje x es x = (8f) m, donde t est en segundos, determine la rapidez cuando t = 2 s.

F12-17. Se hace que una partfcula viaje a lo largo de la trayectoria. Si x = (4Z4) m, donde testb en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 0.5 s.F12-18. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria de lfnea recta y = 0.5*. Si el componente x de la velocidad de la partfcula es vx = (2Z2) m/s, donde testi en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 4 s.

F12-18F12-19. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria parabdlica y = 0.25*2. Si x = (212) m, donde t est en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s.

F12-20. La posicidn de una caja que se desliza hacia abajo por una trayectoria helicoidal la describe r = [2 sen (2/)i + 2 cos tj - 2/2k] pies, donde t est4 en segundos y los arguments del seno y coseno estn en radianes. Determine la velocidad y aceleracidn de la caja cuando t = 2 s.

F12-20

12.6 Mcvimiento de un proyectil45F12-21. La pelota es pateada desde el punto A con la velocidad inicial vA = 10 m/s. Determine la altura maxima h que alcanza.F12-22. La pelota es pateada desde el punto A con la velocidad inicial vA = 10 m/s. Determine la distancia R y la rapidez con que la pelota golpea el suelo.

F12-23. Determine la rapidez a que se debe lanzar el baldn de basquetbol en A al Angulo de 30 de modo que llegue a la canasta en B.

F12-24. Se rocfa agua a un Angulo de 90 desde la pendiente a 20 m/s. Determine la distancia R.

F12-25. Se lanza una pelota desde A. Si se requiere sal- var el muro en B, determine la magnitud minima de su velocidad inicial v^.

F12-26. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de vA = 150 m/s desde la azotea de un edificio. Determine la distancia R donde golpea el suelo en B.yvA = 150 m/s

RF12-24F12-26

46CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaPROBLEMAS12-71. La posicidn de una partfcula es r = {(3f3 - 2/)i - (4tlf2 + t)j + (312 - 2)k} m, donde t est4 en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s.*12-72. La velocidad de una partfcula es v = {3i + (6 - 2/)j} m/s, donde t est en segundos. Si r = 0 cuando t = 0, determine el desplazamiento de la partfcula durante el intervalo de tiempo t = 1 s a t = 3 s.12-73. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria parabdlica y = bx2. Si su componente de velocidad a lo largo del eje y esvy = ct2, determine los componentes x y y de la aceleracidn de la partfcula. En este caso bye son constantes.12-74. La ecuacidn v = {16^1 + 4/3j + (5r + 2)k} m/s da la velocidad de una partfcula, donde t est en segundos. Si la partfcula est en el origen cuando t = 0, determine la magnitud de la aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s. Tambidn, cul es la posicidn x, y, z de la partfcula en este instante?12-75. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria circular x2 + y2 = r2. Si el componente y de la velocidad de la partfcula es vy = 2r cos 2/, determine los componentes x y y de su aceleracidn en cualquier instante.*12-76. La caja se desliza por la pendiente descrita por la ecuacidn y = (0.05*2) m, donde x esti en metros. Si los componentes x de la velocidad y aceleracidn de la caja son vx = -3 m/s y ax = 1.5 m/s , respectivamente, cuando x = 5 m, determine los componentes y de la velocidad y aceleracidn de la caja en este instante.y

12-77. La posicidn de una partfcula es r = {5 cos 21 i + 4sen 2t j} m, donde r est en segundos y los argumentos del seno y coseno estn en radianes. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando / = 1 s. Tambidn, demuestre que la trayectoria de la partfcula es elfptica.12-78. Las espigas Ay B estn restringidas a moverse en las ranuras elfpticas por el movimiento del eslabdn ranu- rado. Si dste se mueve a una rapidez constante de 10 m/s, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la espiga A cuando x = 1 m.yProb. 12-7812-79. Una partfcula viaja a lo largo de la trayectoria y = 4x a una rapidez constante de v = 4 m/s. Determine los componentes x y y de su velocidad y aceleracidn cuando x = 4 m.*12-80. La vagoneta viaja por la colina descrita por y = (-1.5(10-3) x2 + 15) pies. Si tiene una rapidez constante de 75 pies/s, determine los componentes x y y de su velocidad y aceleracidn cuando x = 50 pies.y15 pies/y = (-15(10-3)jc2+ 15) pies

100 pies

Prob. 12-76Prob. 12-80

12.6 Mcvimiento de un proyectil4712-81. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria circular de A a B en 1 s. Si requiere 3 s para ir de A a C, determine su velocidad promedio cuando va de B a C.*12-84. La ecuacidn y2 = Akx define la trayectoria de una partfcula y el componente de la velocidad a lo largo del eje y esVy = ct, donde tanto k y c son constantes. Determine los componentes x y y de la aceleraci6n cuando y = y0.

12-85. Una partfcula se mueve a lo largo de la curva y =x - (^2/400), donde xy y estdn en pies. Si el componentede velocidad en la direccidn x es vx = 2 pies/s y permanececonstante, determine las magnitudes de la velocidad y ace-leracidn cuando x = 20 pies.12-86. La motocicleta viaja a rapidez constante v0 a lolargo de la trayectoria que, durante una corta distancia,adopta la forma de una curva seno. Determine los com-ponentes x y y de su velocidad en cualquier instante en lacurva.Prob. 12-81

voafty=c sen (-*)

12-82. Un automdvil viaja al este 2 km durante 5 minutos, luego al norte 3 km durante 8 minutos y luego al oeste 4 km durante 10 minutos. Determine la distancia total recorrida y la magnitud del desplazamiento del automdvil. Tambidn, ^cudl es la magnitud de la velocidad promedio y la rapidez promedio?12-83. El carro de la montafla rusa desciende por la trayectoria helicoidal a velocidad constante de modo que las ecuaciones paramdtricas que definen su posicidn son x = c sen kty y = c cos kty z = h - bt, donde c, h y b son constantes. Determine las magnitudes de su velocidad y aceleracidn.

Prob. 12-8612-87. El patinador deja la rampa en A con una velocidad inicial vA a un dngulo de 30. Si golpea el suelo en By determine vA y el tiempo de vuelo.\ 30

yjimmmmB

-5 mProb. 12-87*12-88. El pitcher lanza la bola horizontalmente a una rapidez de 140 pies/s desde una altura de 5 pies. Si el bateador estd a 60 pies del lanzador, determine el tiempo para que la bola llegue al bateador y la altura h a la cual pasa por 61.I*60 piesSpies

Prob. 12-83Prob. 12-88

48CapItulo 12 CinemAtica de una fartIcula12-89. Se lanza la pelota desde la azotea del edificio. Si golpea el suelo en B en 3 s, determine la velocidad inicial vA y el Angulo de inclinacidn 0A al cual fue lanzada. Tambi6n, determine la magnitud de la velocidad de la bola cuando golpea el suelo.

Prob. 12-8912-90. Se dispara un proyectil a una rapidez v = 60 m/s en un Angulo de 60. Luego se dispara un segundo proyectil con la misma rapidez 0.5 s despu^s. Determine el Angulo 0 del segundo proyectil, de modo que los dos proyectiles choquen. determine el tiempo entre los lanzamientos de modo que las bolas choquen en el aire en B.12-95. Si el motociclista deja la rampa a 110 pies/s, determine la altura h que la rampa B debe tener de modo que la motocicleta aterrice a salvo.-350 pies ^Prob. 12-95110 pies/s

50CapItulo 12 CinemAtica de una fartIcula12-98. La pelota de golf es golpeada en A con una rapidez vA = 40 m/s y dirigida a un Angulo de 30 con la horizontal como se muestra. Determine la distancia d donde la bola golpea la pendiente en B.

12-99. Si se pa tea el baldn de futbol a un Angulo de 45, determine su velocidad inicial minima vA de modo que pase sobre el poste de meta en C. iA qu6 distancia s del poste de meta golpear el baldn el suelo en B1

*12-100. La velocidad del chorro de agua que sale por el orificio se obtiene con v = \Zlgh, donde h = 2 m es la altura del orificio con respecto a la superficie libre de agua. Determine el tiempo para que una partfcula de agua saiga por el orificio y llegue al punto B asf como la distancia horizontal x donde golpee la superficie.

Prob. 12-10012-101. Se dispara un proyectil desde la plataforma en B. El tirador dispara su arma desde el punto A a un ngulo de 30. Determine la rapidez de salida de la bala si impacta el proyectil en C.

20 mProb. 12-101

12.6 Mcvimiento de un proyectil5112-102. Una pelota de golf es golpeada con una velocidad de 80 pies/s como se muestra. Determine la distancia d donde aterrizar.

12-103. Se tiene que patear el baldn de futbol sobre el poste de meta, el cual tiene 15 pies de altura. Si su rapidez inicial es vA = 80 pies/s, determine si evita golpear el poste, y si lo hace, por cuanto, h.*12-104. Se patea el baldn sobre el poste de meta con una velocidad inicial de vA = 80 pies/s como se muestra. Determine el punto B(x, y) donde choca con las gradas.

Probs. 12-103/10412-105. El muchacho parado en A intenta lanzar la pelota sobre el techo de un granero con una velocidad inicial de vA = 15 m/s. Determine el Angulo 0A al cual se debe lanzar la pelota de modo que alcance su altura maxima en C. Tambi6n, determine la distancia d donde deber4 pararse el muchacho para hacer el lanzamiento.C

Prob. 12-10512-106. El muchacho parado en A intenta lanzar una pelota sobre el techo de un granero a un Angulo 0A = 40. Determine la velocidad minima vA a la cual debe lanzar la pelota para que alcance su altura maxima en C. Tambi6n, determine la distancia d donde el muchacho debe pararse para hacer el lanzamiento.C

Prob. 12-106

52CapItulo 12 CinemAtica de una fartIcula12-107. El bombero desea dirigir el flujo de agua de su manguera al fuego en B. Determine dos Angulos posibles 0! y 02 a los cuales puede hacerse esto. El agua fluye de la manguera a vA = 80 pies/s.

Prob. 12-107*12-108. Psqueflos paquetes que se desplazan sobre la banda transportadora caen en el carro de carga de 1 m de largo. Si la transportadora se desplaza a una rapidez constante de Vc = 2 m/s, determine la distancia m4s corta y ms larga R donde pueda colocarse el extremo A del carro con respecto a la transportadora para que los paquetes entren al carro.

Prob. 12-10812-109. Determine la velocidad horizontal vA de una pelota de tenis en A para que apenas pase la red en B. Tambten, determine la distancia s donde la pelota golpea el suelo.y* AB-IV 1'^7.5 pies 11

j- s | 21 pies

Prob. 12-10912-110. Se observa que el esquiador deja la rampa en A a un Angulo 0A = 25 con la horizontal. Si golpea el suelo en B, determine su rapidez inicial vA y el tiempo de vuelo tAB.

12.7 Movimiento curvilIneo: componentes normal y tangencial5312.7 Movimiento curvilmeo:componentes normal y tangencialCuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una particula, entonces a menudo conviene describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y ty los cuales actuan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tienen su origen localizado en la particula.Movimiento piano. Considere la particula de la figura 12-24a, la cual se desplaza en un piano a lo largo de una curva fija, de modo que en un instante dado estd en la posicidn s, medida con respecto al punto O. A continuation consider are mos un sistema de coordenadas con su origen en un punto fijo de la curva, y en el instante considerado este origen coincide con la ubicacidn de la particula. El eje t es tangente a la curva en el punto y es positivo en la direccidn de s creciente. Designaremos esta direccidn positiva con el vector unitario u,. Sdlo puede haber una opcidn unica para el eje normal ya que geomdtrica- mente la curva estd formada por una serie de segmentos de arco diferenciales dsy figura 12-24/?. Cada segmento ds estd formado por el arco de un cfrculo asociado con un radio de curvatura p (rho) y centro de curvatura O'. El eje normal n es perpendicular al eje t con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura O', figura \2-2Aa. Esta direccidn positiva, la cual siempre estd en el lado cdncavo de la curva, serd designada por el vector unitario u. El piano que contiene bs ejes n y t se conoce como piano abrazador u osculante y en este caso estd fijo en el piano del movimiento.*Velocidad. Como la partfcula se mueve, ses una funcidn del tiempo. Como se indica en la seccidn 12.4, la direccidn de la velocidad v de la partfcula siempre es tangente a la trayectoria, figura 12-24c y su magnitud se determina por la derivada con respecto al tiempo de la funcidn de la trayectoria s = s(t)y es decir, v = ds/dt (ecuacidn 12-8). Por consiguienteV = vu.(12-15)dondev = s

O'

O'

(b)

(c)Rg. 12-24(12-16)*E1 piano osculador tambidn se define como el piano que tiene el mayor contacto con la curva en un punto. Es la posicidn limitante de un piano que est4 en contacto con el punto y con el segmento de arco ds. Como vimos antes, el piano osculador siempre coincide con una curva plana; sin embargo, cada uno de los puntos de una curva tridimensional tiene un piano osculador finico.


Aceleracion. La aceleracidn de la particula es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Por tanto,a = vim, + uii,(12-17)Para determinar la derivada con respecto al tiempo ii observe que a medida que la particula se desplaza a lo largo del arco ds en el tiempo dty u, conserva su magnitud de la unidad, sin embargo, su direccidn cam- bia y se vuelve uj, figura 12-24d. Como se muestra en la figura 12-24e, requerimos u[ = u, + du,. En este caso du, se extiende entre las puntas de flecha de u, y u! ,las cuales quedan en un arco infinitesimal de radio ut = 1. Por consiguiente, du, tiene una magnitud de du, = (1 )d0 y u define su direccidn. En consecuencia, du, = dOuny y por consiguiente, la derivada con respecto al tiempo se vuelve u, = Como ds = pd9y figura 12-24d, entonces 0 = j/p, y por tanto

(e)svU, = $Un = -Un = -UPPAl sustituir en la ecuacidn 12-17, a se escribe como la suma de sus dos componentes,a = at u, + anun(12-18)dondea. = vatds = v dv(12-19)

Aceleraci6n(0Fig. 12-24 (cont)

(12-20)Estos dos componentes mutuamente perpendiculares se muestran en la figura 12-24/. Por consiguiente, la magnitud de la aceleracidn es el valor positivo de

a = \A? + al(12-21)

12.7 Movimiento curvilIneo: componentes normal y tangencial55Para entender mejor estos resultados, considere los dos casos espe- ciales de movimiento.1. Si la particula se mueve a lo largo de una Knea recta entonces p oo y segun la ecuacidn 12-20, a = 0. Por tanto a = a, = i),y podemos concluir que la componente tangencial de la aceleracion representa el cambio en la magnitud de la velocidad.2. Si la particula se mueve a lo largo de una curva con una velocidad constante, entonces at = i) = 0 y a = an = v2/p. Por consiguiente, la componente normal de la aceleracidn representa el cambio en la direccidn de la velocidad. Como a siempre actua hacia el centro de la curvatura, esta componente en ocasiones se conoce como la aceleracidn centripeta (o que busca el centro).A consecuencia de estas representaciones, una particula que se mueve a lo largo de una trayectoria curva en la figura 12-25 tendrd una aceleracidn como se muestra.

Cambio en la magnitud de la velocidadFig. 12-25Movimiento tridimensional. Si la partfcula se mueve a lo largo de una curva espacial, figura 12-26, entonces en un instante dado, el eje rqueda especificado de forma unica; sin embargo, puede construirse un numero infinito de lineas rectas normales al eje tangente. Como en el caso de movimiento piano, elegiremos el eje n positivo dirigido hacia el centro de curvatura O' de la trayectoria. Este eje se conoce como la normal principal a la curva. Con los ejes n y t a si definidos, se utilizan las ecuaciones 12-15 a 12-21 para determinar v y a. Como u, y u siempre son perpendiculares entre si y quedan en el piano osculador, en el caso de movimiento espacial un tercer vector unitario, uby define el eje binormal b el cual es perpendicular a u, y u, figura 12-26.Como los tres vectores unitarios estdn relacionados entre si por el producto cruz vectorial, por ejemplo, ub = u,X um figura 12-26, puede ser posible utilizar esta relacidn para establecer la direccidn de uno de los ejes, si se conocen las direcciones de los otros dos. Por ejemplo, si no ocurre movimiento en la direccidn u*, y esta direccidn y u, se conocen, entonces u puede ser determinado, donde en este caso un = ub X ur, figura 12-26. Recuerde, sin embargo, que u siempre estd en el lado cdncavo de la curva.


Los automovilistas que circulan por este trebol experimentan una aceleracidn normal provocada por el cambio en la direccion de su velocidad. Se presenta una componente tangencial de la aceleracidn cuando la rapidez de los automdviles se incrementa o reduce.Procedimiento para el analisisSistema de coordenadas. Siempre que se conozca la trayectoria de la partfcula, podre- mos establecer un sistema de coordenadas n y t con origen fijo, el cual coincide con la partfcula en el instante considerado. El eje tangente positivo actua en la direccidn del movimiento y el eje normal positivo estd dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria.Velocidad. La velocidad de la partfcula siempre es tangente a la trayectoria. La magnitud de la velocidad se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la funcidn de trayectoria.v = sAceleracion tangencial. La componente tangencial de aceleracidn es el resultado del cambio de la magnitud de la velocidad. Esta componente actua en la direccidn s positiva si la velocidad de la partfcula se incrementa o en la direccidn opuesta si la velocidad se reduce. Las relaciones entre at, v, t y s son las mismas que las del movimiento rectilfneo, es decir,at = v atds = v dv Si a, es constante, a, = (at)c, cuando se integran las ecuaciones anteriores resultas = J0 + v0 At \Ai 0 At JU0 = -0ur(12-27)Si sustituimos este resultado y la ecuacidn 12-23 en la ecuacidn anterior para a, escribimos la aceleracidn en su forma de componentes comoa = ar ur + n0u0(12-28)dondear = r - r#2Oq = r$ + 2 rO(12-29)El tdrmino 9 = d20/dt2 = d/dt(d0/dt) se conoce como aceleracidn angular puesto que mide el cambio de la velocidad angular durante un instante. Las unidades para esta medicidn son rad/s2.Como ar y a0 son siempre perpendiculares, la magnitud de la aceleracidn es simplemente el valor positivo dea = y/(r - rO2)2 + (r 0 + 2r9)2(12-30)La direccidn se determina mediante la adicidn vectorial de sus dos componentes. En general, a no ser tangente a la trayectoria, figura 12-30e.

Aceleraci6n(e)

70CapItulo 12 CinemAtica de una fartIcula12El movimiento helicoidal de este muchacho puede seguirse por medio de componentes dlmdricos. En este caso, la coordenada radial r es constante, la coordenada transversal 0 se incrementa con el tiempo a medida que el muchacho gira alrededor de la vertical y su altitud z se reduce con el tiempo.

Coordenadas cilindricas. Si la particula se mueve a lo largode una curva espacial como se muestra en la figura 12-31, entonces suubicacidn se especifica por medio de las tres coordenadas cilindricas, r,0, z. La coordenada z es idntica a la que se utilizd para coordenadasrectangulares. Como el vector unitario que define su direccidn uz, esconstante, las derivadas con respecto al tiempo de este vector son cero,y por consiguiente la posicidn, velocidad y aceleracidn de la particulase escriben en funcidn de sus coordenadas cilindricas como sigue:TP = rUr + ZUzv = hir + rdue + zuza = (r - rO2)^ + (rO + 2r0)ue + zuzDerivadas con respecto al tiempo. Las ecuaciones anteriores requieren que obtengamos las derivadas con respecto al tiempo r, r, 0, y 0para evaluar las componentes r y 0 de v y a. En general se presentan dos tipos de problema:1. Si las coordenadas polares se especifican como ecuaciones para- m6tricas en funcidn del tiempo, r = r(t) y 0 = 0(0, entonces las derivadas con respecto al tiempo pueden calcularse directamente.Z Si no se dan las ecuaciones paramdtricas en funcidn del tiempo, entonces debe conocerse la trayectoria r = /(0). Si utilizamos la regia de la cadena del cdlculo podemos encontrar entonces la relacidn entre r y 0 y entre r y 0. En el apdndice C se explica la aplicacidn de la regia de la cadena junto con algunos ejemplos.Procedimiento para el analisisSistema de coordenadas. Las coordenadas polares son una opcidn adecuada para resolver problemas cuando se presenta el movimiento angular de la coordenada radial r para describir el movimiento de la particula. Asimismo, algunas trayectorias del movimiento pueden describirse de forma conveniente en funcidn de estas coordenadas. Para utilizar coordenadas polares, el origen se establece en un punto fijo y la linea radial rse dirige hacia la particula. La coordenada transversal 0 se mide desde una linea de referenda fija hasta la linea radial.Velocidad y aceleracion. Con ry las cuatro derivadas con respecto al tiempo r, r, 0, y 0 evaluadas en el instante considerado, sus valores se sustituyen en las ecuaciones 12-25 y 12-29 para obtener las componentes radial y transversal de v y a. Si es necesario tomar las derivadas con respecto al tiempo de r = /(0), entonces debe utilizarse la regia de la cadena. Vea el ap^ndice C. El movimiento en tres dimensiones requiere una extensidn simple del procedimiento anterior para incluir z y z.(12-31)(12-32)

Fig. 12-31

12.8 Mcvimiento curvilIneo: componentes cilIndricos71EJEMPLO 12.17El juego mecdnico que se muestra en la figura 12-32a consiste en una silla que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular y la aceleracidn angular del brazo OB son 9 y 0, respectivamente. Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleracidn del pasajero, cuya estatura no se toma en cuenta en el cdlculo.

(a)(b)Rg. 12-32SOLUCI6NSistema de coordenadas. Como se reporta el movimiento angular del brazo, se eligen coordenadas polares para la solucidn, figura 12-32 respectivamente. Como v = ve = vt = r9, entonces por comparacidn,-ar ==-==rd1ae= a,= ^= j(rd)= ^-6+ r^-= 0 + rOy1dtdr 1 dtdt

72CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaEJEMPLO 12.18

0 = 57 30 = 57.3La barra OA en la figura 12-33a gira en el piano horizontal de modo que 9 = (Z3) rad. Al mismo tiempo, el collar B se desliza hacia fuera a lo largo de OA de modo que r = (lOOf2) mm. Si en ambos casos t est en segundos, determine la velocidad y aceleracidn del collar cuando t Is.SOLUCI6NSistema de coordenadas. Como se dan las ecuaciones paramdtricas en funcidn del tiempo de la trayectoria, no es necesario rela- aonar rcon 9.Velocidad y aceleracidn. Si determinamos las derivadas con respecto al tiempo y las evaluamos cuando t = Is, tenemos(a)100Tr = 2001t=\ sr=l s= 100 mm 0 = t3f=l s= 200 mm/s 9 = 3121 rad = 57.3c/=! s= 3 rad/sr = 200/=1 s= 200 mm/s2 9 = 6tt=\s= 6 rad/s2.Como se muestra en la figura 12-33b,v = hir + r9u0 = 200ur + lOO(3)u0 = {200ur + 3OOu0} mm/sr La magnitud de v esv = \/(200)2 + (300)2 = 361 mm/s ,/300\8 = tan"1! ) = 56.38+57.3=114Como se muestra en la figura 12-33c,a = (r - r^)ur + (rO + 2r9)ueResp. Resp.ae = 1800 mm/s2ar = 700 mm/s2(c)Fig. 12-33= [200 - 100(3)2]ur + [100(6) + 2(2OO)3]u0= {-700ur + 18OOu0} mm/s2T La magnitud de a esa = V(700)2 + (1800)2 = 1930 mm/s2Resp.(f> = tanm) -(180 -tenemosr = lOO(sec0tan 9)9r = lOO(sec0tan 9)9(tan9)9 + 100 sec 0(sec2 0)0(0)+ 100 sec 9 tan 9( 9)= 100 sec 9 tan29 (9)2 + 100 sec30 (0)2 + 100(sec 9tan 9)9Como0 = 4 rad/s = constante, entonces 9 = Oy las ecuaciones ante-riores, cuando 9 = 45, se convierten enr = 100 sec 45 = 141.4r = 400 sec 45 tan 45 = 565.7r = 1600 (sec 45 tan245 + sec345) = 6788.2Como se muestra en la figura 12-346,v = rur + r9u0= 565.7ur + 141.4(4)u0= {565.7ur + 565.7u^} m/sv =+Ve=\/(565.7)2 + (565.7)2= 800 m/sResp.Como se muestra en la figura 12-34c,a = (r - r&)\ir + (,r6 + 2r0)ue= [6788.2 - 141.4(4)2K + [141.4(0) + 2(565.7)41110= {4525.5uf + 4525.5up} m/s2a = \J a2r + a] = V (452S.5)2 + (4525.5)2 6400 m/s2Resp.NOTA: tambi6n es posible determinar a sin tener que calcularr (o ar). Como se muestra en la figura 12-34dy como ae = 4525.5m/s2, entonces mediante resolucidn vectorial, a = 4525.5/cos 45 =6400 m/s2.

(b)

e = 45>ar\ X 8*, = 4525.5 myfe2(d)Rg. 12-34

74CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaEJEMPLO 12.20r = 0.5 (1 - cos 0) pies

Debido a la rotacidn de la barra ahorquillada, la bola en la figura 12-35a se mueve alrededor de una trayectoria ranurada, una parte de la cual tiene la forma de un cardioide, r = 0.5(1 - cos 0) pies, donde 0 est en radianes. Si la velocidad de la bola es v = 4 pies/s y su aceleracidn es a = 30 pies/s2 en el instante 9 = 180, determine la velocidad angular 9 y la aceleracidn angular 9 de la horquilla.SOLUCI6NSistema de coordenadas. Esta trayectoria es muy rara, y mate- mdticamente se expresa mejor por medio de coordenadas polares, como se hace aqui, en lugar de coordenadas rectangulares. Tam- bidn, como 9 y 9 deben determinate, entonces las coordenadas r, 9 no son una opcidn obvia.Velocidad y aceleracion. Las derivadas con respecto al tiempo de r y 9 se determinan con la regia de la cadena.r = 0.5(1 - cos 9) r = O.5(sen0)0r = 0.5(cos 9)9(9) + 0.5(sen 9)9Si evaluamos estos resultados cuando 9 = 180, tenemosr = 1 pie r = 0 r = -0.5 91Como v = 4 pies/s, al utilizar la ecuacidn 12-26 para determinar 9 se obtiene

Fig. 12-35v = \/ (r)2 + (re)24= \/(0)2 + (1)29 = 4 rad/sDel mismo modo, 9 se determina con la ecuacidn 12-30.Resp.a = \/( r ~ r# f +( r6 + 2rb)2 30 = \/[0.5(4)2 - 1(4)2]2 + [1(9 + 2(0)(4)]2 (30)2 = (24)2 + 92 9 = 18 rad/s2 Resp.En la figura 12-35b se muestran los vectores a y v.NOTA: en esta ubicacidn, bs ejes 9 y f(tangenciales) coinciden. El eje +n (normal) estd dirigido hacia la derecha, opuesto a +r.

PROBLEMAS FUNDAMENTALES12.8 Mcvimiento curvilIneo: componentes cilIndricos75F12-33. La rapidez del automdvil es de 55 pies/s. Determine la velocidad angular 0 de la lfnea radial CM en este instante.F12-36. La espiga P es propulsada por el eslab6n ahor- quillado OA a lo largo de la trayectoria descrita por r = eB. Cuando 0 = f rad, la velocidad y aceleraci6n angulares del eslabdn 0 = 2 rad/s y 0 = 4 rad/s2. Determine las componentes radial y transversal de la aceleracidn de la espiga en este instante.r = 400 piesA.oF12-33F12-34. La plataforma gira en tomo al eje vertical de modo que en cualquier instante su posicidn angular es 0 = (At*2) rad, donde t esti en segundos. Una bola rueda hacia fuera a lo largo de la ranura radial de modo que su posicidn es r = (O.lf3) m, donde t est en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn de la bola cuando t = 1.5 s.F12-34F12-35. La espiga P es propulsada por el eslabdn ahor- quillado CM a lo largo de la trayectoria curva descrita por r = (20) pies. En el instante 0 = 7r/4 rad, la velocidad y aceleracidn angulares del eslabdn son 0=3 rad/s y 0=1 rad/s2. Determine la magnitud de la aceleracidn de la espiga en este instante.H2-35F12-36F12-37. Los co 11ares estSn conectados por pasadores en B y pueden moverse libremente a lo largo de la barra OA y la gufa curva OC tiene la forma de un cardioide, r = [0.2(1 + cos 0)] m. Cuando 0 = 30, la velocidad angular de CM es 0 = 3 rad/s. Determine las magnitudes de la velocidad de los collares en este punto.r = 02(1 + cos 0) mF12-38. En el instante 0 =45, el atleta est corriendo a una rapidez constante de 2 m/s. Determine la velocidad angular a la cual la cmara debe virar para seguir el movimiento.0=3 rad/sF12-37

76CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaPROBLEMAS*12-156. Una partfcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 300 mm de radio. Si su velocidad angular es 0 = (212) rad/s, donde t esti en segundos, determine la magnitud de la aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s.12-157. Una partfcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 300 mm de radio. Si su velocidad angular es 0 = (3?) rad/s donde testa en segundos, determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando 0 = 45. La partfcula arranca del reposo cuando 0 =0.12-158. Una partfcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 5 pies de radio. Si su posicidn es 0 = (ea*) rad, donde test en segundos. Determine la magnitud de la aceleracidn de la partfcula cuando 0 = 90.12-159. Las ecuaciones r = (t3 + 4r - 4) m y 0 = (t3^2) rad, donde t est en segundos, describen la posicidn de una partfcula. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn en el instante t = 2 s.*12-160. Las ecuaciones r = (300e-a5les la aceleracidn de B vista por el observador bcalizado en A y que se traslada con el marco de referencia xy\z\*Procedimiento para el analisis Cuando se aplican las ecuaciones de velocidad y aceleracidn relativas, primero se tiene que especificar la particula A que es el origen de los ejes x\ /, z' trasladantes. Por lo comun, este punto tiene una velocidad o aceleracidn conocida. Como la adicidn vectorial forma un trtengulo, cuando mucho puede haber dos incognitas representadas por las magnitudes y/o direcciones de las cantidades vectoriales. Estas incdgnitas se pueden resolver grdficamente por medio de trigonometria (ley de los senos, ley de los cosenos), o al descomponer cada uno de bs tres vectores en componentes rectangulares o cartesianos, con lo cual se genera un sistema de ecuaciones escalares.Los pilotos de estos aviones de propul- sidn que vuelan muy cerca uno de otro no deben perder de vista sus posiciones y velocidades relativas en todo momento para evitar una colisidn.*Una forma Weil de recordar la configuraci6n de estas ecuaciones es observar la can- celacidn del subfndice A entre los dos Wrminos, por ejemplo, aB = a,4 + *B/A.

12.10 Movimiento relativo de dos particulas al utiuzar ejes trasladantes89EJEMPLO 12.25Un tren viaja a una rapidez constante de 60 mi/h y cruza una carre-tera como se muestra en la figura 12-43a. Si el autom6vil A viajaa 45 mi/h por la carretera, determine la magnitud y direccidn dela velocidad del tren con respecto al automdvil.SOLUCI6N 1Analisis vectorial. La velocidad relativa yt{a se mide con respec-to a los ejes jc\ y' trasladantes fijos en el automdvil, figura 12-430. Sedetermina a partir de la ecuacidn yt = ya + vT/A. Como se conocetanto la magnitud como la direccidn de \Ty ya> las incdgnitas sonlas componentes jc y y de \t/a- Si utilizamos los ejes jc, yen la figura12-430, tenemosyT = yA + yTfA60i = (45 cos 45i + 45 sen 45j) + yt(avT/a = {28.2i - 31.8j} mi/hResp.La magnitud de yT/A es, por tanto,vT/A = V(28.2)2 + (-31.8)2 = 42.5 mi/hResp.A partir de la direccidn de cada componente, figura 12-43/?, la direc-cidn de \t/a es(VT/A)ytan 6 =31.8(vt/a)x 28-2 0 = 48.5 ^Resp.Observe que la suma vectorial mostrada en la figura 12-43/? indica d sentido correcto de yT/a. Esta figura anticipa la respuesta y puede utilizarse para comprobarla.SOLUCI6N IIAnalisis escalar. Las componentes desconocidas de yTja tambidn pueden determinarse con un andlisis escalar. Supondremos que estas componentes actuan en las direcciones jc y y positivas. Por tanto,yt = ya + yT/A60 mi/h45 mi/h4-(VT/a)x4-(VT/A)y

. ^5i-*. T .

Si descomponemos cada vector en sus componentes jc y y obtenemos ( ^)60=45 cos 45 + (t>r/A + 0( + t)0=45 sen 45 + 0 + {vr/A)yAl resolver, obtenemos los resultados previos,(vt/a)x = 28-2 mi/h = 28.2 mi/h *(vr/A)y = -31.8 mi/h = 31.8 mi/h 1

282 mi/h

(b)

(c)Rg. 12-43

90CapItulo 12 CinemAtica de una fartIculaEJEMPLO 12.26100 km/h2400 km50 km/hj4 km -(a)vA =700 km/hvb/avB =600 km/h(b)H avidn A en la figura 12-44a vuela a lo largo de una linea recta, mientras que el avidn B lo hace a lo largo de una trayectoria circular que tiene un radio de curvatura pB = 400 km. Determine la velocidad y aceleracidn de B medidas por el piloto de A.SOLUCI6NVelocidad. El origen de los ejes xyy estn en un punto fijo arbitrary. Como se tiene que determinar el movimiento con respecto al piano A, el marco de referencia trasladante x\ y' se fija en dl, figura 12-44& Al aplicar la ecuacidn de velocidad relativa en forma escalar ya que los vectores de la velocidad de ambos aviones son paralelos en el instante mostrado, tenemos(+t)vB = vA + vB/A 600 km/h = 700 km/h + vBjAvBjA = -100 km/h = 100 km/h iResp.La adicidn vectorial se muestra en la figura 12-44b.Aceleracidn. El avidn B tiene componentes tanto tangenciales como normales de aceleracidn puesto que vuela a lo largo de una trayectoria curva. De acuerdo con la ecuacidn 12-20, la magnitud del componente normal es(*)#.AP(600 km/h)2 400 km= 900 km/h2Al aplicar la ecuacidn de aceleracidn relativa se obtieneafl =4*B/A900i - lOOj = 50J + *B/APor tanto,*b/a = {900i - 150J} km/h2De acuerdo con la figura 12-44c, la magnitud y direccidn de *B/A son por consiguienteaB/A = 912 km/h2 0 = tan = 9.46 ^Resp.150 km/hNOTA: la solucidn de este problema fue posible gracias al uso de un marco de referencia trasladante, puesto que el piloto del avidn A se est trasladando. La observacidn del movimiento del avidn A con respecto al piloto del avidn B, sin embargo, se obtiene por medio de un sistema de ejes rotatorio fijo en el avidn B. (Esto supone, desde luego, que el piloto de B estk fijo en el marco rotatorio, asf que no tiene que mover sus ojos para seguir el movimiento de A.) Este caso se analiza en el ejemplo 16.21.

12.10 Movimiento relativo de dos particulas al utiuzar ejes trasladantes91EJEMPLO 12.27En el instante que se muestra en la figura 12-45a, los automdviles Ay B viajan con una rapidez de 18 m/s y 12 m/s, respectivamente. Asimismo, en este instante, A experimenta una desaceleracidn de 2 m/s2 y B tiene una aceleracidn de 3 m/s2. Determine la velocidad y aceleracidn de B con respecto a A.SOLUCI6NVelocidad. Los ejes xy y fijos se establecen en un punto arbitrario en el suelo, y los ejes x\ y trasladantes se fijan al carro Ay figura 12-45a. ^Por qud? La velocidad relativa se determina con \B = yA + yB/A /.Cudles son las dos incdgnitas? Si utilizamos un andlisis vectorial cartesiano, tenemosyB = yA + yB/A12j = (-18cos60i - 18sen60j) + \B/a yB/A = {9i + 3.588j} m/sPor tanto,vBfA = \J(9)2 + (3.588)2 = 9.69 m/sResp.Observemos que yBfA tiene componentes +i y +j, figura 12-45/?, su direccidn estan0 =(VB/A)y 3.588{vB/a)x 9 e = 21.7 ^Resp.Aceleracidn. El automdvil B tiene componentes tanto tangenciales como normales de aceleracidn. ^Por qud? La magnitud de la componente normal esvi (12 m/s)20( y> z, las fuerzas que actuan en la particula, lo mismo que su aceleracidn, pueden expresarse en funcidn de sus componentes i, j, k, figura 13-5. Al aplicar la ecuacidn de movimiento, tenemosF = wa; SFxi + SFyj + 2F2k = m(ax i + ay j + zk)Para que esta ecuacidn se satisfaga, los componentes i, j, k respectivos del lado izquierdo deben ser iguales a los componentes correspondientes del lado derecho. Por consiguiente, podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes:ZF,= max

2Fy= may

(13-7)En particular, si la particula estd limitada a moverse sdlo en el piano x-y, entonces se utilizan las primeras dos de estas ecuaciones para especificar el movimiento.Procedimiento para el analisisLas ecuaciones de movimiento se utilizan para resolver problemasque requieren una relacidn entre las fuerzas que actuan en unaparticula y el movimiento acelerado que ocasionan.Diagrama de cuerpo libre. Seleccione el sistema de coordenadas inercial. Por lo general se eligen coordenadas x> yy z para analizar problemas en los cuales la particula tiene movimiento rectilmeo. Una vez que se establecen las coordenadas, trace el diagrama de cuerpo libre de la particula. Trazar este diagrama es muy importante puesto que proporciona una representacidn grdfica que incluye todas las fuerzas (2F) que actuan en la particula y por lo tanto es posible descomponer estas fuerzas en sus componentes x ,y, z. La direccidn y sentido de la aceleracidn a de la particula tambidn debe establecerse. Si se desconoce el sentido, por conve- niencia matemdtica suponga que el sentido de cada componente de aceleracidn actua en la misma direccidn que su eje de coordenadas inercial positivo. La aceleracidn puede representarse como el vector ma en el diagrama cindtico.* Identifique las incdgnitas en el problema.*Es una convenci6n en este texto utilizar siempre el diagrama cindtico como auxiliar grdfico, cuando se desarrollan las comprobaciones y teoria. La aceleracidn de la partfcula o sus componentes se mostrardn como vectores de color azul cerca del diagrama de cuerpo lfcre en los ejemplos.

13.4 Ecuaciones de movimiento: coordenadas rectangulares115Ecuaciones de movimiento. Si las fuerzas pueden descomponerse directamente con el diagrama de cuerpo libre, aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares. Si la geometrfa del problema parece complicada, lo que a menudo ocurre en tres dimensiones, puede utilizarse el analisis vectorial cartesiano para la solucidn. Friction. Si una partfcula en movimiento se pone en contacto con una superficie spera, puede ser necesario utilizar la ecua- don frictional, la cual relaciona las fuerzas de friccidn y normales Fy y N que actuan en la superficie de contacto mediante el coeficiente de friccidn cindtica, es decir, Ff = /xkN. Recuerde que Fysiempre actua en el diagrama de cuerpo libre opuesta al movimiento de la partfcula con respecto a la superficie con la que estd en contacto. Si la partfcula se encuentra al borde del movimiento relativo, entonces se utilizard el coeficiente de fric- d6n estdtica. Resorte. Si la partfcula estd conectada a un resorte elastico de masa insignifieante, la fuerza Fs del resorte puede relacionarse con su deformacidn por medio de la ecuacidn Fs = ks. Aquf k es la rigidez del resorte medida como una fuerza por unidad de longitud, y s es el alargamiento o compresidn definida como la diferencia entre la longitud deformada / y la longitud no deformada /o,es decir, s = I - /0.Cinematica. Si se tiene que determinar la velocidad o posicidn de la partfcula, se deben aplicar las ecuaciones cinem6ticas necesarias una vez que se determina la aceleracidn de la partfcula con 2F = ma. Si la aceleracion es una funcidn del tiempo, use a = dv/dt y v = ds/dt las cuales, cuando se integran, resultan la velocidad y posicidn de la partfcula, respectivamente. Si la aceleracidn es una funcidn del desplazamiento, integre ads = v dv para obtener la velocidad en funcidn de la posicidn. Si la aceleracidn es constante, use v = Vo + aj, s = so + vrf + \act2, v1 = Vo + 2ac(s - so) para determinar la velocidad o posicidn de la partfcula. Si el problema implica el movimiento dependiente de varias particulas, use el mdtodo descrito en la seccidn 12.9 para relacionar sus aceleraciones. En todos los casos, asegurese de que las direcciones de las coordenadas inerciales positivas sean las mismas que las que se utiHzaron para escribir las ecuaciones de movimiento; de lo contrario, la solucidn simultinea de las ecuaciones conducir a errores. Si la solucidn para un componente vectorial desconocido da un escalar negativo, eflo indica que el componente actua en la direccidn opuesta a la supuesta.13

116CapItulo 13 Cinetica de una partIcula: rjerza y aceleracionEJEMPLO 13.1

P = 400 N30(a)490.5 N400 NF = 0.3 NcNc(b)Fig. 13-6El embalaje de 50 kg mostrado en la figura 13-6a descansa sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de friccidn cindtica es pk = 0.3. Si el embalaje se somete a una fuerza de traccidn de 400 N como se muestra, determine su velocidad en 3 s a partir del punto de reposo.SOLUCI6N& utilizamos las ecuaciones de movimiento, podemos relacionar la aceleracidn del embalaje con la fuerza que ocasiona el movimiento. La velocidad del embalaje se determina entonces por medio de dnemdtica.Diagrama de cuerpo libre. El peso del embalaje es W = mg = 50 kg (9.81 m/s2) = 490.5 N. Como se muestra en la figura 13-66, la magnitud de la fuerza de friccidn es F = p>kNc y actua hacia la izquierda, puesto que se opone al movimiento del embalaje. Se supone que la aceleracidn a actua horizontalmente, en la direccidn x positiva. Existen dos incdgnitas, o sea, Nc y a.Ecuaciones de movimiento. Con los datos mostrados en el diagrama de cuerpo libre, tenemos=ma,+ T2Fy = may\Nr400 cos 30 - 0.3Nc = 50a(1)490.5 + 400 sen 30 = 0(2)Al resolver la ecuacidn 2 para Nc y sustituir el resultado en la ecuacidn 1, y al resolver para a se obtieneNc= 290.5 Na = 5.185 m/s2Cinematica. Observe que la aceleracidn es constante, ya que la fuerza aplicada P tambidn lo es. Como la velocidad inicial es cero, la velocidad del embalaje en 3 s es(^*)v=Vo+act= 0 + 5.185(3)= 15.6 m/s *Resp.490.5 N

m50aNc(c)NOTA: tambidn podemos utilizar el procedimiento alternativo de trazar el diagrama de cuerpo libre y el diagrama cindtico del embalaje, figura 13-6c, antes de aplicar las ecuaciones de movimiento.

13.4 Ecuaciones de movimiento: coordenadas rectangulares117EJEMPLO 13.2Se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg desde el suelo, con una velocidad inicial de 50 m/s, figura 13-7a. Determine la altura maxima a la que llegard si (a) se ignora la resistencia atmosfdrica y (/?) la resistencia atmosfdrica se mide como FD = (0.01 v1) N, donde v es la rapidez del proyectil en cualquier instante, medida en m/s.SOLUCI6NEn ambos casos la fuerza conocida que actua en el proyectil puede relacionarse con su aceleraci6n por medio de la ecuacidn de movimiento. Puede utilizarse entonces la cinematica para relacionar la aceleracidn del proyectil con su posicidn.Parte (a) Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 13-7/?, el peso del proyectil es W = mg = 10(9.81) = 98.1 N. Supondremos que la aceleracidn a desconocida actua hacia arriba en la direccidn z positiva.Ecuacion de movimiento.+ T2F, = rw{,-98.1=10a,a = -9.81 m/s2El resultado indica que el proyectil, como todo objeto que tiene movimiento de vuelo libre cerca de la superficie terrestre, se ve sometido a una aceleracidn constante dirigida hacia abajo de 9.81 m/s2.Cinematica. Inicialmente zo = 0 y Vo = 50 m/s y a la altura maxima z = hy v = 0. Como la aceleracidn es constante, entonces(+T)v2 = Do + 2ac(z ~ Zo)0 = (50)2 + 2(9.81)(/i h = 127 m0)Resp.Parte (b) Diagrama de cuerpo libre. Como la fuerza FD = (O.Olu2) N tiende a retardar el movimiento hacia arriba del proyectil, actua hacia abajo como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 13-7c.Ecuacion de movimiento.+ T ZFz = maz', -O.OId2 - 98.1 = 10a, a = (O.OOlv2 + 9.81)Cinematica. Aqui la aceleracidn no es constante puesto que FD depende de la velocidad. Como a = f(v)y podemos relacionar a con la posicidn mediante( +1) adz = v dv\-(O.OOlv2 + 9.81) dz = v dvAl separar las variables e in teg r arias, y como inicialmente Zo = 0, v0 = 50 m/s (positiva hacia arriba), y en z = hy v = 0, tenemospnpvJo dz ~ L 0.mB. Si la polea Cles imprime una aceleracidn de a0, determine la aceleracidn de los bloques. Ignore la masa de la polea.

13-29. Se utiliza el tractor para levantar la carga B de 150 kg con el sistema de una cuerda de 24 m de largo, pluma y polea. Si el tractor se desplaza hacia la derecha a una rapidez constante de 4 m/s, determine la tensidn en la cuerda cuando sA = 5 m. Cuando sA = 0, sB = 0.13-30. Se utiliza el tractor para levantar la carga B de 150 kg con el sistema de una cuerda de 24 m de largo, pluma y polea. Si el tractor se desplaza hacia la derecha con una aceleracidn de 3 m/s2y tiene una velocidad de 4 m/sen el instante cuando sA = 5 m, determine la tensidn en la cuerda en este instante. Cuando sA = 0, sB = 0.

Probs. 13-29/3013-31. El hombre de 75 kg sube por la cuerda con una aceleracidn de 0.25 m/s2, medida con respecto a la cuerda. Determine la tensidn en la cuerda y la aceleracidn del bloque de 80 kg.13

Prob. 13-31*13-32. El motor M enrolla el cable con una aceleracidn de 4 pies/s2, medida con respecto a la vagoneta de mina de 200 lb. Determine la aceleracidn de la vagoneta y la tensidn en el cable. Ignore la masa de las poleas.

128CapItulo 13 Cindtica de una partIcula: rjerza y aceleracion

13-33. El anillo de 2 lb C ajusta flojo en la flecha lisa. Si el resorte no esta alargado cuando s = 0 y al anillo se le imprime una velocidad de 15 pies/s, determine la velocidad del anillo cuando s = 1 pie.13-35. El anillo C de 2 kg se desliza libremente a lo largo de la flecha lisa AB. Determine la aceleracidn del anillo C si (a) la flecha no se mueve, (b) el anillo i4,el cual esta fijo en la flecha AB, se mueve hacia la izquierda a una velocidad constante a lo largo de la gufa horizontal y (c) el anillo A se somete a una aceleracidn de 2 m/s2 hacia la izquierda. En todos los casos, el movimiento ocurre en el piano vertical.

Prob. 13-33

13-34. En el tubo de rayos catddicos, una fuente S emite electrones de masa m y comienzan a desplazarse horizontalmente a una velocidad inicial v0. Mientras pasan entre las placas de la rej ilia a una distancia /, se some ten a una fuerza vertical de magnitud eV/w, donde e es la carga de un electrdn, V el voltaje aplicado que actua a travds de las placas y w la distancia entre las placas. Despuds de las placas, los electrones viajan en lfneas rectas y chocan con la pantalla en A. Determine la deflexidn d de los electrones en funcidn de las dimensiones del voltaje de placa y tubo. Ignore la gravedad, la cual provoca una leve deflexidn vertical cuando el electrdn viaja desde S hasta la pantalla y la leve deflexidn entre las placas.*13-36. La masa de los bloques A y B es m. Determine la fuerza horizontal P maxima que puede aplicarse a B de modo que A no se mueva con respecto a B. Todas las superficies son lisas.13-37. La masa de los bloques A y B es m. Determine la fuerza horizontal P maxima que puede aplicarse a B de modo que A no se deslice con respecto a B. El coeficiente de friccidn estdtica entre A y B es /xs. Ignore cualquier fric- ddn entre By C.

Td1

Probs. 13-36/37

13.4 Ecuaciones de movimiento: coordenadas rectangulares12913-38. Si se aplica una fuerza F = 200 N a la carretilla de 30 kg, demuestre que el bloque A de 20 kg se deslizar sobre ella. Tambidn determine el tiempo para que el bloque A se mueva sobre la carretilla 1.5 m. Los coeficientes de friccidn estdtica y cindtica entre el bloque y la carretilla son /xs = 0.3 y /x* = 0.25. Tanto la carretilla como el bloque parten del punto de reposo.13 m

AF = 200 N

Prob. 13-3813-39. Suponga que es posible perforar un ttinel a travds de la Tierra desde la ciudad A hasta una ciudad B como se muestra. Por la teoria de la gravitacidn, cualquier vehfculo C de masa m dentro del tunel se verfa sometido a una fuerza gravitatoria dirigida siempre hacia el centro D de la Tierra. La magnitud de esta fuerza F es directamente proporcional a su distancia r al centro de la Tierra. De ahf que, si el vehfculo pesa W = mg cuando se encuentra sobre la superficie terrestre, entonces en una posicidn arbitra- ria r la magnitud de la fuerza F es F = (mg/R)r, donde R = 6328 km, el radio de la Tierra. Si el vehfculo se suelta desde el punto de reposo cuando estd en B, x = s = 2 Mm, determine el tiempo requerido para que llegue a A y la velocidad maxima que alcanza. Ignore el efecto de la rotacidn de la Tierra en el cdlculo y suponga que la den- sidad de dsta es constante. Sugerencia: escriba la ecuacidn de movimiento en la direccidn x, teniendo en cuenta que rcos0 = x. Integre, mediante la relacidn cinematica vdv = a dx, luego integre el resultado por medio de v = dx/dt.

Prob. 13-39*13-40. El embalaje de 30 lb se iza con una aceleracidn constante de 6 pies/s2. Si el peso de la viga uniforme es de 200 lb, determine los componentes de reaccidn en el apoyo empotrado A. Ignore el tamaflo y masa de la polea B. Sugerencia: primero determine la tensidn en el cable y luego analice las fuerzas en la viga mediante estdtica.13

Prob. 13-4013-41. Si se aplica una fuerza horizontal P = 10 lb al bloque A, determine la aceleracidn del bloque B. Ignore la friccidn. Sugerencia: demuestre que aB = aA tan 15.

Prob. 13-41

130CapItulo 13 Cindtica de una partIcula: rjerza y aceleracion13-42. La masa del bloque A es mA y est unida a un resorte de rigidez k y longitud no alargada /0. Si otro bloque B de masa mB se presiona contra A de modo que el resorte se deforme una distancia d, determine la distancia de deslizamiento de ambos bloques sobre la superficie lisa antes de que comiencen a separarse. Cul es su velocidad en este instante?13-43. La masa del bloque A es mA y est unida a un resorte de rigidez k y longitud no alargada /0. Si otro bloque B de masa mB se presiona contra A de modo que el resorte se deforme una distancia d, demuestre que para que se separen es necesario que d > 2fxkg(mA + mB)/ky donde y,k es el coeficiente de friccidn cindtica entre los bloques y el suelo. Ademds, ^cudl es la distancia de deslizamiento de los bloques sobre la superficie antes de separarse?

Probs. 13-42/43*13-44. El dragster de 600 kg se desplaza a una velocidad de 125 m/s cuando el motor se apaga y el paracafdas de frenado se despliega. Si la resistencia del aire impuesta en el dragster por el paracafdas es FD = (6000 + 0.9i^) N, donde v estd en m/s, determine el tiempo requerido para que el dragster se detenga.

Prob. 13-4413-45. La fuerza de flotacidn sobre el globo de 500 kg es F = 6 kN y la resistencia del aire es FD = (lOOv) N, donde v estd en m/s. Determine la velocidad terminal o mdxima del globo si parte del punto de reposo.|fd = (lOOv)N

13-46. El paracaidista de masa m cae a una velocidad de % en el instante en que abre el paracafdas. Si la resistencia del aire es FD = Cv2, determine la velocidad mdxima (velocidad terminal) durante el descenso.IFD - c*2

13-47. El peso de una partfcula varfa con la altitud de modo que W = m(gro)/r2, donde r0 es el radio de la Tierra y r es la distancia de la partfcula al centro de la Tierra. Si la partfcula se lanza verticalmente desde la superficie terrestre con una velocidad % determine su velocidad en funci6n de la posicidn r. ^Cudl es la velocidad minima v0 requerida para escapar del campo gravitatorio terrestre, cul es rm4x y cul es el tiempo requerido para alcanzar esta altitud?

13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas ndrmales y tangenciales11 3.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas normales y tangencialesCuando una partfcula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva conocida, su ecuacidn de movimiento puede escribirse en las direcciones tangencial, normal y binormal, figura 13-11. Observe que la particula no se mueve en la direcci6n binormal, puesto que estd limitada a moverse a lo largo de la trayectoria. Tenemos2F = ma2F, u, + Fmum + 'ZFbub = ma, + man Esta ecuacidn se satisface siempre queSF,= ma.

= man

2F6= 0

(13-8)Recuerde que at (= dv/dt) representa el cambio con respecto al tiempo en la magnitud de la velocidad. Por tanto si 2F, actua en la direccidn del movimiento, la rapidez de la particula se incremental, mientras que si actua en la direccidn opuesta, la particula se desacelerard. Asimismo, an (= ^/p) representa el cambio con respecto al tiempo de la direccidn de la velocidad. Es provocada por 2F, la que siempre actua en la direccidn n positiva, es decir, hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Por eso a menudo se conoce como fuerza centripeta.b

Fig. 13-11

La centrifuga se utiliza para someter a un pasajero a una aceleracion normal muy grande, provocada por la rotacion rapida. Tenga en cuenta que esta aceleracion es provocada por la fuerza normal desbalanceada que el asiento de la centrifuga ejerce sobre el pasajero.

132CapItulo 13 Cindtica de una partIcula: rjerza y aceleracionProcedimiento para el analisisCuando un problema implica el movimiento de una particula a lo largo de una trayectoria curva conocidayen el andlisis se utilizardn coordenadas normales y tangenciales puesto que bs componentes de aceleracidn son fdciles de formular. El mdtodo para aplicar la ecuacidn de movimiento, la cual relaciona las fuerzas con las ace- teracbnes, se describid en el procedimiento explicado en la sec- cbn 13.4. Especificamente, para las coordenadas tynyb se puede formular como sigue:Diagrama de cuerpo libre. Establezca el sistema de coordenadas ty ny b inercial en la particula y trace el diagrama de cuerpo libre de dsta. La aceleracidn normal de la particula a siempre actua en la direccidn n positiva. & la aceleracidn tangencial a, es desconocida, suponga que actua en la direccidn t positiva. No hay aceleracidn en la direccidn b. Identifique las incdgnitas en el problema.Ecuaciones de movimiento. Aplique las ecuaciones de movimiento, ecuaciones 13-8.Cinematica. Formule los componentes normales y tangenciales de la aceleracidn; es decir, at = dv/dt o a, = v dv/ds y an = vt/p. Si la trayectoria se define como y = /(jc), el radio de curvatura en el punto donde la particula estd localizada se obtiene conp = [1 + (dy/dxffWy/d^.

13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas ndrmales y tangenciales133DEJEMPLO 13Determine el Angulo de inclinacidn 9 de la pista para que las llantas de los autos de carreras mostrados en la figura 13-12a no de- pendan de la friccidn para que no se deslicen hacia arriba o hacia abajo de la pista. Suponga que el tamaflo de los automdviles es insignificante, que su masa es m y que se desplazan alrededor de la curva de radio p a una rapidez constante v.

SOLUCI6NAntes de analizar la siguiente solucidn, pensemos en por qud debe- r resolverse por medio de las coordenadas tynyb.Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 13-126 y como se enuncid en el problema, en el automdvil no actua ninguna fuerza de friccidn. En este caso Nc representa la resultante del suelo en las cuatro ruedas. Como an puede calcularse, las incdgnitas son Nc y 9.Ecuaciones de movimiento. Con los ejes ny b mostrados,= man\ +1= 0;Nc sen $ = m- Nc cos 9 - mg = 0(1)(2)/NcW = mg(b)Fig. 13-12Al eliminar Nc y m de estas ecuaciones mediante la divisidn de la ecuacidn 1 entre la ecuacidn 2, obtenemostan 0 =u2gp9 = tani-)\gpJResp.NOTA: el resultado es independiente de la masa del automdvil. Ademds, una suma de fuerzas en la direccidn tangencial no afecta la solucidn. Si se hubiera considerado, entonces a, = dv/dt = 0, puesto que el automdvil se desplaza a rapidez constante. Un analisis adicio- nal de este problema se aborda en el problema 21-47.

134CapItulo 13 Cindtica de una partIcula: rjerza y aceleracionEJEMPLO 13.7

29.43 N(b)Fig. 13-13El disco D de 3 kg estd sujeto al extremo de una cuerda como se muestra en la figura 13-13a. El otro extremo de la cuerda estd sujeto a una articulacidn de rdtula localizada en el centro de una plataforma. Si dsta gira con rapidez y el disco se coloca sobre ella y se le suelta desde el punto de reposo como se muestra, determine el tiempo que le lleva alcanzar una rapidez lo bastante grande para romper la cuerda. La tensidn mdxima que la cuerda puede soportar es 100 N y el coeficiente de friccidn cindtica entre el disco y la plataforma es iik = 0.1.Movimiento de ^^ la plataforma

(a)SOLUCI6NDiagrama de cuerpo libre. La magnitud de la fuerza de friccidn es F = fik^D = 0.1 Nd y su sentido de direccidn se opone al movimiento relativo del disco respecto de la plataforma. Esta fuerza es la que le imprime al disco un componente tangencial de aceleracidn que hace que vse incremente, por lo que Tse incrementa hasta que icanza 100 N. El peso del disco es W = 3(9.81) = 29.43 N. Como an puede relacionarse con v, las incdgnitas son NDt at y v.Ecuaciones de movimiento.= man\= mat\= para determinar la rapidez del patinador cuando 9 = 60 se utiliza la ecuacidn v dv = at ds. Con la relacidn geomdtrica s = 9ry donde ds = r d9 = (4 m)d9y figura 13-15c y la condicidn inicial v = 0 en 9 = 0, tenemos,v dv = at ds/*v/*60v dv = /9.81cos0(4d9)JoJo= 39.24 sen 060o - 0 = 39.24(sen 60 - 0) v1 = 67.97 m2/s2Si sustituimos este resultado y 0 = 60 en la ecuacidn (1), tenemos Ns = 1529.23 N = 1.53 kNResp.

13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas ndrmales y tangenciales137problemas fundamentalesF13-7. El bloque descansa a una distancia de 2 m del centro de la plataforma. Si el coeficiente de friccidn estdtica entre el bloque y la plataforma es ixs = 0.3, determine la velocidad maxima que el bloque puede alcanzar antes de que comience a deslizarse. Suponga que el movimiento angular del disco se incrementa lentamente.

F13-7F13-8. Determine la rapidez maxima a que el jeep puede viajar sobre la cresta de la colina sin que pierda contacto con la carretera.

F13-8F13-9. Un piloto pesa 150 lb y vuela a una rapidez constante de 120 pies/s. Determine la fuerza normal que ejerce en el asiento del avidn cuando esti en rizo invertido en A. El rizo tiene un radio de curvatura de 400 pies.\A

F13-10. El auto deportivo se desplaza a lo largo de una carretera con una inclinacidn de 30 y cuyo radio de curvatura es de p = 500 pies. Si el coeficiente de friccidn est- tica entre las llantas y la carretera es /x5 = 0.2, determine la velocidad segura maxima sin que se deslice. Ignore el tamaflo del automdvil.p = 500 pies

F13-10F13-11. Si la velocidad de la bola de 10 kg es de 3 m/s cuando est en la posicidn A, a lo largo de la trayectoria vertical, determine la tensidn en la cuerda y el incremento en su rapidez en esta posicidn.

F13-12. La masa del motociclista es de 0.5 Mg y su estatura no se toma en cuenta. Pasa por el punto A a una rapidez de 15 m/s, la cual se incrementa a un ritmo constante de1.5 m/s2. Determine la fuerza de friccidn resultante ejerci- da por la carretera en las llantas en este instante.200 mF13-9F13-12

138CapItulo 13 Cindtica de una partIcula: rjerza y aceleracionPROBLEMAS* 13-48. El bloque B de 2 kg y el cilindro A de 15 kg est4n conectados a una cuerda que pasa por un agujero en el centro de una mesa lisa. Si al bloque se le imprime una rapidez de v = 10 m/s, determine el radio r de la trayectoria circular a lo largo de la cual se desplaza.13-49. El bloque B de 2 kg y el cilindro A de 15 kg est4n conectados a una cuerda que pasa por un agujero en el centro de una mesa lisa. Si el bloque se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r = 1.5 m, determine la rapidez del bloque.*13-52. Determine la masa del Sol, si sabe que su distancia a la Tierra es de 149.6 (10^) km. Sugerencia: use la ecuaci6n 13-1 para representar la fuerza de gravedad que actua en la Tierra.13-53. La masa del auto deportivo es de 1700 kg y viaja horizontalmente a lo largo de una

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