Captulo 2 DISEO DE REGULADORESDISEO DE REGULADORES PID MEDIANTE EL LUGAR DE LAS RAICESEl diseo de un regulador mediante tcnicas basadas en el lugar de las races est basado en la capacidad de anlisis del diseador. En general, a partir de las especificaciones del controlador, tpicamente error en rgimen permanente, velocidad de respuesta (tp, tl , ts) y sobre oscilaciones que utiliza la accin proporcional (P) para, en la medida de lo posible, disminuir el error de rgimen permanente consiguiendo una respuesta dinmica adecuada. Si esta no se ajusta a las especificaciones, se introduce una accin derivativa (D) que mejora los comportamientos pero aumenta el error, y finalmente, si es necesario, se incorpora una accin integradora tratando de no afectar al comportamiento dinmico, disminuir o anular el error en forma permanente.

Aunque, como se ha indicado, el ajuste del regulador es bsicamente un ejercicio de anlisis en el lugar de las races) se puede establecer un procedimiento operativo, vlido en donde ciertas ocasiones como punto de partida, para el ajuste del PID (figura 9.0-1).

Pd: Polos dominantes del sistema en cadena cerrada(*) El valor se puede medir segn criteriosSISISINONOFinPDFinPIDFinPIFinPNo es precisa accin derivativaR(s)= KAjustar K por criterio del moduloSe verifica la condicin de error?Necesitara accin integral R(s)= K (s+b)/s. Ajustar b a 1/6 de Pd (*)Ajustar K por criterio del modulo

Necesitara accin integral R(s)= K(s+a) (s+b)lsAjustar segn el clculo anteriorAjustar b a 1/6 de Pd (*)Ajustar K por criterio del mdulo.Se verifica la condicin de error?Necesitara accin derivativa R(s)= K(s*a)Ajustar utilizando el criterio del argumento para que el LDR pase por los PdAjustar K por criterio del moduloPertenecen los Pd al LDR?Situar los Pd en el plano SDibujar lugar de las raicesCondiciones dinmicas PdCondiciones estticas Error

AJUSTE DE REGULADORES POR ZIEGLER-NICHOLSEl regulador tendr una funcin de transferencia:)Mtodo I, de la respuesta al escaln, o en bucle abiertoSi la planta no presenta en su funcin de transferencia integradores o polos dominantes complejos conjugados, su respuesta al escaln tendr forma de S, tal como se muestra en la figura Escaln trazando la tangente en el punto de inflexin, podrn medirse las constantes Tv y Tu.

TstTKTangente en el punto de inflexin

Figura 9.0-2

Mtodo II, de la estabilidad crtica, o en bucle cerradoEl ajuste se realiza en la siguiente forma:1. Se utiliza inicialmente el regulador como si fuera exclusivamente de tipo P(Ti=)2. Se va incrementando el valor de Kp hasta alcanzar un valor Kcr.3. A partir de los valores de Kcr y Tcc se pueden dimensionar los parmetros de los reguladores P, PI, PID.

MtodoMtodo Tipo de Parmetros del regulador Regulador Kp Ti Td

Mtodo I

Mtodo II

0.125 Tcr

0.5 Tcr

3.33 Tv

2 Tv

0.85 Tcr

0.6 Kcr

0.5 Tcr

0.45 Kcr

0.5 Kcr

PIPIDPPIPIDP

DISEO DE REDES DE ATRASO Y REDES DE ADELANTOEl diseo de una red es una labor de anlisis de la respuesta frecuencial de un sistema continuoConociendo los efectos que sobre dicha respuesta (normalmente visualizados sobre los diagramas de Bode) ocasiona la introduccin de una red de t} atraso o de adelanto, se ajusta esta para lograr que el resultado final sea el deseado.Efectos de la red de adelantoLa funcin de transferencia de una red de adelanto es : az.Control Proporcional DerivativoSi el control derivativo se usa con el control proporcional (figura 10.12), entonces la funcin de transferencia en lazo abierto se convierte en:

Donde y se denomina constante de tiempo derivativa .Con esta forma de control se ha introducido un cero en .Tampoco habr cambios en el tipo de sistema y, por lo tanto, en los errores en estado estable.

Figura 10.12 Control Proporcional DerivativoEjemplo 4Si la planta del sistema de la figura 10.12 tiene una funcin de transferencia de:

Y se usa un control derivativo , Cul ser a) El tipo de sistemab) Los errores en estado estable cuando se usa cona. Una entrada escalnb. Una entrada rampac. Cul es la condicin para la estabilidad?La constante de tiempo derivativa es de 2s.Respuesta:a) El sistema tendr una funcin de transferencia en lazo abierto dada por la ecuacin [14] como

Por lo tanto, el sistema es de tipo 1.b) a. El error en estado estable, ess , es cero para una entrada escaln con un sistema de tipo 1.b. Para una entrada rampa, es y el error en estado estable es:

c) Para la situacin de control proporcional derivativo el sistema tiene una funcin de transferencia de:

La ecuacin caracterstica es entonces:

El arreglo de Routh para este sistema es:

1

En la primera columna todos los trminos son positivos y el sistema es estable si es positiva. La figura 10.13 muestra el diagrama del lugar geomtrico de las races para el sistema. Esto se debera comparar con el diagrama de la figura 10.6 cuando el control proporcional y el integral estn por separado.

Figura 10.13 Ejemplo 4Control PIDEl controlador proporcional integral derivativo (PID), mejor conocido como controlador de tres trminos, con un sistema de la forma que ilustra la figura 10.14 dar una salida, para una entrada de error es de:

La funcin de transferencia, salida(s)/e(s), del controlador es, de esta manera:

Figura 10.14 Control PIDDebido a que la constante de tiempo integral, , es , la constante de tiempo derivativa , es , la ecuacin [15] se puede escribir como:

La funcin de transferencia en lazo abierto para el sistema de la figura 10.14 es:

De este modo, el controlador PID ha incrementado el nmero de ceros en 2 y el nmero de polos en 1. Tambin el factor 1/s incrementa el tipo de sistema en 1. En la ecuacin anterior se supone que se ha empleado un diferenciador ideal. En la prctica, como se indic antes en este captulo, se usa un compensador de adelanto.Ejemplo 5Si la planta en el sistema de la figura 10.14 tiene la funcin de transferencia de

Y se usa control PID, Cul ser a) El tipo de sistemab) Los errores en estado estable cuando se usa cona. Una entrada escalnb. Una entrada rampac. Las posiciones de los polos y ceros en lazo abierto yd. La condicin de estabilidad?La constante de tiempo derivativa es de 0.5s y la constante de tiempo integral, de 2s.Respuestaa) El sistema tendr una funcin de transferencia en lazo abierto dada por la ecuacin [18] como:

De esta manera el sistema de tipo 2.

b) a. El error en estado estable, ess , es cero para una entrada escaln con un sistema de tipo 2.b. El error en estado estable, ess , es cero para una entrada rampa con un sistema de tipo 2.c) La funcin de transferencia en lazo abierto del inciso a indica que el sistema tiene un cero de -1 en lazo abierto y polos de 0 y 0. Uno de los polos originales ha sido cancelado por un cero introducido por el controlador.d) Para la situacin del control PID, el sistema tiene una funcin de transferencia de

De este modo , la ecuacin caracterstica es :

El arreglo de Routh para este Sistema es:

2

Todos los trminos de la primera columna son positivos y el sistema es estable si es positiva. La figura 10.15 ilustra el diagrama del lugar geomtrico de las races para el sistema.

Figura 10.15 Ejemplo 5Ajustes de las ganancias del controladorEl uso del control proporcional solo requiere la eleccin de una variable: la ganancia proporcional, para que el sistema de control tenga el comportamiento dinamico requerido. El uso de un controlador PI requiere la seleccin de dos variables: la ganancia proporcional y la ganancia integral, . Con un controlador PID se deben seleccionar tres variables: la ganancia proporcional, , la ganancia integral, , y la ganancia derivativa . La seleccin de estas variables permite localizar polos y ceros que introduce el controlador a ser determinados y, por lo tanto, afectan la estabilidad del sistema de control.Para describir el proceso de seleccin de los mejores valores para el controlador se usa el trmino sintonizacin. Existen varios mtodos para lograrlo, pero aqu solo se estudiaran dos mtodos, los de Ziegler y Nichols. Ambos mtodos se basan en experimentacin y anlisis, estos son recetas de cocinar tiles que se usan con mucha frecuencia. El primer mtodo a menudo se denomina me todo de la curva de reaccin del proceso. El procedimiento con este mtodo consiste en abrir el lazo de control de modo que no se presenten acciones de control. En general la ruptura del lazo se hace entre el controlador y la unidad de correccin. Se aplica entonces, una seal de prueba a la unidad de correccin y se determina la respuesta de la variable de proceso de medida, es decir la seal de error. La seal de prueba deber ser tan pequea como sea posible. La figura 10.16 muestra la forma de la seal de prueba y una respuesta tpica. La grafica de las seal medida se grafica contra el tiempo y se conoce como curva de reaccin del proceso.

Figura 10.16 Curva de reaccin de ProcesoLa seal de prueba , P, se expresa como el porcentaje de cambio en la unidad de correccin. La variable medida se expresa como porcentaje del rango a escala completa. Para dar el mximo gradiente de la escala se traza una tangente. Para la figura 10.16 el mximo gradiente R es M/T. El tiempo entre la aplicacin de la seal de prueba y cuando esta es tangente intersecta el eje de tiempo de la grfica se denomina atraso L. La tabla 10.1 proporciona los criterios recomendados por Ziegler y Nichols para los valores del controlador con base en los valores de P,R y L.Tabla 10.1 Criterios de Ziegler y Nichols para la curva de reaccin del proceso.Modo de control

Proporcional solamenteP/RL

Proporcional + Integral0.9 P/RL1/3.33L

Proporcional + Integral + Derivativo1.2P/RL1/2L0.5L

El otro mtodo se conoce como el mtodo de la ltima ganancia . Primero, las acciones integral y derivativa se reducen a sus valores mnimos. La constante proporcional, , se fija en un valor bajo y entonces, se incrementa en forma gradual. Esto es lo mismo que decir que la banda proporcional se hace ms angosta de manera gradual. Mientras esto sucede, al sistema se le aplican pequeas perturbaciones. El proceso continua hasta que se presentan oscilaciones. Se anota el valor crtico de la constante proporcional, Kpc y Tc de estas. La tabla 10.2 muestra los criterios de Ziegler y Nichols sobre cmo se seleccionan los valores de Kpc y Tc para establecer los valores del controlador. La banda proporcional critica es 100/ Kpc .Tabla 10.2 Criterios de Ziegler y Nichols para la ltima ganancia.Modo de control

Proporcional solamente0.5Kpc

Proporcional + Integral0.45Kpc1.2/Tc

Proporcional + Integral + Derivativo0.6Kpc2.0/TcTc/8

Ejemplo 6Determinar los valores que deben tener ,, requeridos para un control de tres modos, a partir de la curva de reaccin del proceso de la figura 10.17 cuando la seal de prueba fue un 6% de cambio en la posicin de la vlvula de control.

Figura 10.17 Ejemplo 6Respuesta Se dibuja una tangente en la parte de mximo gradiente de la grfica que da un atraso, L, de 150s y un gradiente, R, de 5/300=0.017%/s. Por lo tanto

Ejemplo 7Cuando se sintonizo un controlador de tres modos en un sistema de control, mediante el mtodo de la ltima ganancia, se encontr que las oscilaciones iniciaban cuando la banda proporcional decreca hasta un 30%. Las oscilaciones tienen un periodo de 500s. Cules son los valores apropiados de ,, ?RespuestaEl valor critico de es 100/banda proporcional crtica y, as 100/30=3.33. De esta manera, con base en los criterios de la tabla 10.2.

Realimentacin de velocidadEn muchos sistemas se involucra el posicionamiento de algn objeto, por ejemplo, el brazo de un robot; en este caso , el requerimiento es que el sistema responda con rapidez a los errores y no producir excesivas oscilaciones , o sobre pasos. Esto se puede lograr incorporando dentro del lazo principal de realimentacin una trayectoria de realimentacin menor que introduzca lo que se denomina realimentacin de velocidad, trmino que describe un lazo de realimentacin donde la seal que se alimenta de regreso no es el valor de salida sino la razn de cambio con el tiempo de salida. Para esta realimentacin la salida de la trayectoria se relaciona con su entrada mediante: Y, de esta manera, la trayectoria de realimentacin tiene una funcin de transferencia de :

Es una constante, la ganancia de realimentacin, con unidades de s.

Figura 10.18 Sistema con realimentacin de velocidad y posicin.El termino de realimentacin de posicin se usa en circunstancias en las que se realimenta el valor de la salida. Estos trminos surgen a partir del uso primario de sistemas de control para controlar la posicin de algn objeto; la realimentacin de posicin es, entonces, una medida de la posicin del objeto. La figura 10.18 muestra un sistema con ambas formas de realimentacin. En estos sistemas la funcin de transferencia en lazo abierto es:

Y la funcin de transferencia en lazo cerrado es:

El efecto de la realimentacin de velocidad ha sido el introducir un trmino en el denominador y, de este modo, en la ecuacin caracterstica.El efecto de esto se puede ver al considerar el ejemplo. Considere un sistema con control proporcional, ganancia , y una planta con una funcion de transferencia 1/s(s+1). La funcin de transferencia en lazo abierto es:

La realimentacin de velocidad modifica el denominador y, por lo tanto, la posicin de las races en lazo abierto. Las races, las cuales estaban en 0 y . La figura 10.19 ilustra el efecto sobre el diagrama del lugar geomtrico de las races. Como consecuencia de la realimentacin de velocidad se mejor la estabilidad relativa, se increment el factor de amortiguamiento relativo para la misma frecuencia natural angular y la frecuencia natural angular se increment para el mismo factor de amortiguamiento relativo.

Figura 10.19 a) sin realimentacin de velocidad

Figura 10.19 b) con realimentacin de velocidad

Debido a que , entonces

As el sobrepaso en porcentaje es:

El efecto de incluir la realimentacin de velocidad es reducir para un valor particular de la frecuencia natural angular. Esto significa una reduccin en la y, en consecuencia, un decremento en el sobrepaso en porcentaje.

Ejemplo 8

Un sistema en lazo cerrado tiene un controlador proporcional de ganancia , una planta de funcin de transferencia:

Y una realimentacin de posicin unitaria a) Qu ganancia proporcional se requiere para que la frecuencia natural angular sea de 2 rad/s?b) Cul es el factor de amortiguamiento relativo en esta frecuencia?c) Si se introdujera la realimentacin de la velocidad como en la figura 10.18, Cul sera la ganancia de velocidad necesaria para que el factor de amortiguamiento relativo se duplique en la misma frecuencia angular?RespuestaEl diagrama del lugar geomtrico de las races sin realimentacin de velocidad y con esta se muestra en la figura 10.19.a) La funcin de transferencia en lazo abierto para el sistema es:

Esta tiene la ecuacin caracterstica:

Las races de esta ecuacin son:

Por lo tanto la frecuencia natural angular, , es (figura 10.20)

Figura 10.20 Ejemplo 8

As, para , entonces b) El factor de amortiguamiento relativo, , es y , por lo tanto, segn la figura 10.20

c) Con la realimentacin de la velocidad la funcin de transferencia en lazo abierto se convierte, como antes se indic mediante la ecuacin [23], en:

De esta manera , los polos en lazo abierto se convierte en 0 y .El diagrama del lugar geomtrico de las races, entonces, se convierte como muestra en la figura 10.21. Entonces:

Figura 10.21 Ejemplo 8Puesto que permanence sin cambio en 2 rad/s y es el doble de 0.25 entonces:

Y as, .CompensacinLos compensadores se pueden definir como componentes insertos en el sistema de control para aumentar el desempeo del controlador. Si se considera que el controlador va a tener como base un controlador proporcional, entonces, como ejemplo, se puede considerar que un controlador PI va a ser un controlador proporcional con un compensador integral. Cuando el compensador se incluye en la trayectoria directa del lazo de control se dice entonces que este va a ser un compensador en cascada. De esta manera, el compensador integral en cascada. El efecto de incluir un compensador se trat al inicio en este captulo, lo que tendr principalmente una mejora respecto a los errores en estado estable y una reduccin en la estabilidad.Los compensadores se usan para mejorar el desempeo y para moldear al lugar geomtrico de las races. As, el compensador integral introduce un polo en el origen y, de este modo, cambia la posicin y forma de los lugares geomtricos de las races. Las dos formas ms comunes de compensadores en cascada tienen la funcin de transferencia:

Cuando z>p se conoce como compensador de atraso en cascada, y cuando z