Ing. Ricardo Minnitimaterias.fi.uba.ar/6201/RIintrocrigido1C08.pdf · Física Universitaria; Seras...

DEPARTAMENTO

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FÍSICA

Cátedra de Física 1 Turno 5

Material sujeto a revisión y corrección

PASEO COLÓN 850 - CIUDAD AUTÓNOMA DE BUENOS AIRES - REPÚBLICA ARGENTINA

MATERIAL COMPILADO POR: ING. RICARDO MINNITI (JTP) PÁGINA 1 DE 47 26/5/2008 10:16:00

El presente material es facilitado sólo a los efectos que no tengan que tomar apuntes los

alumnos (Turno 5, Cátedra de Física de la Facultad de Ingeniería de la UBA) de lo que se

explica en el pizarrón, por esto recomiendo que no estudien de él, sino que lo hagan a través

de los libros que se encuentran en nuestra biblioteca. Sólo estos podrán garantizar un buen

nivel académico, ya que el contenido de los mismos es más extenso y profundo que lo que

puede contener un apunte.

Los libros recomendados son:

1. Física Elemental, Paul Tipler

2. Física Elemental, Resnik

3. Física, Clásica y Moderna; Gettys; Keller y Skove

4. Physics; Young

5. Física Universitaria; Seras Zemansky

Ing. Ricardo Minniti JTP � Turno 5

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Índice Índice ...................................................................................................................................... 1 Consideraciones generales.......................................................................................................... 3 ¿Dónde falla nuestro razonamiento?............................................................................................. 3 Definición ................................................................................................................................. 4 Cuerpo rígido (definición) ........................................................................................................... 4 Velocidad angular ...................................................................................................................... 7 Energía cinética de rotación ...................................................................................................... 14 Energía cinética de rototraslación .............................................................................................. 14 Tensor de inercia..................................................................................................................... 14 Equilibrio del cuerpo rígido........................................................................................................ 16 Teorema de Steiner o de ejes paralelos. ..................................................................................... 17 Cuerpo rígido rotante ............................................................................................................... 19 Estudio de la rotación de un cuerpo rígido................................................................................... 22 Revisión de momento cinético ................................................................................................... 23 Ecuaciones del movimiento ....................................................................................................... 24 Conservación del momento angular o momento cinético ............................................................... 25 Momento de inercia variable ..................................................................................................... 25 Las fuerzas centrales y la conservación del momento cinético........................................................ 27 Movimiento de un giróscopo...................................................................................................... 28

Bicicleta.............................................................................................................................. 30 Ejemplos de cálculo de momento de inercia ................................................................................ 32 Solución ................................................................................................................................. 32 ¿Para donde girará el cuerpo y como es la fuerza de rozamiento? .................................................. 38 ¿Qué sucede a distintos ángulos "a"? ......................................................................................... 41 Incoherencias ......................................................................................................................... 43 Pregunta de interés ................................................................................................................. 45 Ejercicio � enunciado general .................................................................................................... 46

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Consideraciones generales La segunda ley de Newton, nos permite afirmar que

amFn

ii

rr•=∑

=1

Ecuación 1

Pero esta ecuación garantiza que el cuerpo no se traslade, si la velocidad

inicial es cero, o en su defecto se mueve a velocidad constante, ya que en la

primera ley, se aprecia que no se pueden diferenciar estos estados (uno del

otro).

La primera ley dice, �….todo cuerpo permanece en reposo o en

movimiento rectilíneo y uniforme si la resultante de fuerzas sobre él

es cero…..�

Pero esto no permite afirmar que el cuerpo no se mueva, sólo caberla la

posibilidad de que rote alrededor de un punto, que denominaremos centro

de masa y que la Ecuación 1, se encuentra aplicada en dicho punto.

Por lo tanto no es verdad que la segunda ley nos permita afirmar que el

cuerpo no se mueve si es que tiene inicialmente velocidad cero, respecto a

un sistema de referencia inercial (SRI).

¿Dónde falla nuestro razonamiento? Evidentemente no le podremos encontrar explicación si no remontamos el

concepto que nos permitió describir la ecuación anterior, que es la mecánica

Newtoniana.

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Definición La mecánica newtoniana o mecánica vectorial es una formulación específica

de la mecánica clásica que estudia el movimiento de partículas y sólidos en

un espacio euclídeo tridimensional. Aunque la teoría es generalizable, la

formulación básica de la misma se hace en sistemas de referencia inerciales

donde las ecuaciones básicas de los movimientos se reducen a las Leyes de

Newton, en honor a Isaac Newton quien hizo contribuciones fundamentales

a esta teoría.

Nosotros hemos estudiado los cuerpos como partículas y a los cuerpos

extensos los hemos simplificados como puntos materiales, es aquí donde el

modelo matemático que hemos tomado de la realidad presenta falencias,

por lo que se hace necesario replantear dicho modelo para estudiar los

cuerpos extensos o también como lo denominaremos nosotros cuerpo rígido.

Cuerpo rígido (definición) Independientemente de cómo se mueva un cuerpo, la distancia entre dos

partículas cualesquiera que la forman, permanece constante. Este sistema

se denomina cuerpo rígido1. Por lo que podemos pensar

Figura 1

1 Definición tomada del libro: �Física, tomo 1, autor Paul A. Tipler, Editorial Reverté. Edición 1976

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Según la transformación de Galileo que es una transformación de

coordenadas y velocidades que deja invariante las ecuaciones de Newton.

La condición anterior equivale a que la transformación entre las

coordenadas de un sistema de referencia inercial y otro sistema inercial que

se mueve respecto al primero. Según esta transformación podemos escribir

OO vvv 1212rrr

+= Ecuación 2

Además, dado que �x21� permanece constante por definición, podemos

escribir que

102021

21 0 vvdtxd

v rrrr

r=⇒==

Ecuación 3

Esto quiere decir que la proyección del vector velocidad de dos puntos sobre

el eje que los une debe ser la misma, caso contrario el cuerpo se deformará

y no cumple con la definición de cuerpo rígido.

Aunque todos los cuerpos en la naturaleza son deformables, en mayor o

menor medida, la aproximación a un cuerpo rígido en el estudio del

movimiento de un sistema, facilita y simplifica en análisis.

Para comprender mejor el tema pensemos en cuatro esferas de masa no

despreciable que se encuentran montadas en los vértices de un cuadro, tal

como se muestra en la Figura 2, la Ecuación 1 la podemos aplicar en un solo

punto como ya hemos dicho, este es el punto �O�, que se encuentra sobre

el segmento �AB�.

Podemos definir al centro de masas de un sistema discreto como el punto

geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a

la resultante de las fuerzas externas del sistema.

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Figura 22

Para un sistema de masas discreto, o cuasipuntuales formado por un

conjunto de masas el centro de masas (CM) se puede calcular como:

∑

∑

=

=

•= n

ii

n

iii

CM

m

mrR

1

1

rr

Ecuación 4

El centro de gravedad o centro de masas de un sistema continuo es el

punto geométrico definido como

2 Imagen tomada del libro Sears de Addison Wesley

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∫∫∫ •=

•= dmr

Mdm

dmrRCM

rr

r 1

Ecuación 5

La Ecuación 5, se utiliza en el caso que la masa se encuentre distribuida

uniformemente. Pero, si la densidad o la masa no es constante la expresión

anterior se debe escribir como

∫∫∫ ••=

••=

R

r

R

rCM dVr

Mdm

dVrR

0 )(0 )( 1

v

v rr

rδ

δ

Ecuación 6 – La resolución de la integral dependerá de la función de densidad

Velocidad angular En física, la velocidad angular ω es una medida de la velocidad de rotación.

Se mide en radianes por segundo (o simplemente s-1 porque los radianes

son adimensionales). La razón de ello es que una revolución completa es

igual a 2π radianes.

dtdθω =

r

Figura 3 – El vector velocidad angular es perpendicular al plano de rotación.

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Debido a lo antedicho la velocidad de un punto �P� respecto a un punto �O�

que se traslada se puede escribir como

POoP rvv rrrr×+= ω

Ecuación 7 – Válida para un SRI

Volviendo a la definición de cuerpo rígido, podemos pensar entonces que los

puntos P1 y P2 pueden tener velocidades cuales quiera, pero se debe cumplir

que la proyección de las velocidades sobre el eje que une estos dos puntos

debe ser la misma.

Figura 4

Por otro lado si pensamos en que cada punto describe un movimiento y lo

asociamos a una trayectoria, se debe cumplir que el vector velocidad es

tangente dicha trayectoria, por definición. Pero la condición de tangencia de

una recta a una curva es que sea perpendicular la tangente al radio del

circulo oscilador. Por ende si trazamos sendas perpendiculares a los

vectores velocidad de los puntos 1 y 2, estas se intersecan en el lo que

denominaremos Centro Instantáneo de Rotación (CIR).

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Figura 5 – En un robot es importante el conocer la

velocidad y aceleración de cada punto

Esto permitirá encontrar la velocidad de cualquier otro punto como por

ejemplo, la del punto �3�.

Figura 6

En base a la Figura 6, podemos deducir

CIRPCIROCIROP rvv −− ×+=11

rrrr ω

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rrrr ω


rrrr ω

Ecuación 8

Supongamos por un instante que sobre el cuerpo (en el punto 2) se aplica

una fuerza �F2�

Figura 7

El cuerpo se acelerará, por lo que se cumplirá la Ecuación 1, pero además si

la fuerza no pasa por el Centro de Masa (CM) el cuerpo también rotará

debido a esta fuerza. Pensemos que en el CM existe un vínculo fijo (un eje)

que impide la traslación del cuerpo, sobre este vínculo debe aparecer una

fuerza (reacción de vínculo) que debe ser igual en módulo y dirección a

�F2x�, pero en sentido contrario. Pero nos debe preocupar la proyección de

la fuerza en la dirección del eje �Z�. Esta proyección no encontrará una

reacción de vínculo por lo que generará la rotación del cuerpo.

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Definimos entonces el momento3 de una fuerza, en la mecánica newtoniana,

el momento de una fuerza, torque, o par (o sencillamente momento)

[respecto a un punto fijo] a la magnitud que viene dada por el producto

vectorial del vector dirección (también llamado radio vector) y una fuerza.

FrMrrr

×= o también ϕsenFrM ••=

rrr

Ecuación 9 – Definición de momento de una fuerza Evidentemente el momento también es un vector y resulta perpendicular al

plano que contiene a la fuerza y al radio vector, es decir que es

perpendicular al plano de giro. Para determinar cuando el momento es

positivo, podemos utilizar la regla de la mano derecha4

Figura 8 – Regla de la mano derecha - cba rrr

=×

3 El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar la rotación de el cuerpo con respecto a éste. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas). 4 El pulgar apunta a una dirección mientras los demás dedos declaran la rotación natural. Esto significa, que si se coloca la mano cómodamente y el pulgar apuntara hacia arriba, entonces el movimiento o rotación es mostrado en una forma contraria al movimiento de las agujas del reloj. El sentido positivo del producto vectorial lo podemos determinar con los tres dedos consecutivos de la mano derecha, empezando con el pulgar, índice y finalmente el dedo medio, los cuales se posicionan apuntando a tres diferentes direcciones perpendiculares. Se inicia con la palma hacia arriba, y el pulgar determina la primera dirección vectorial. El ejemplo más común es el producto vectorial.

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Por otro lado también se puede calcular el momento cinético como se

muestra en la Ecuación 10 y la derivada del momento cinético es el

momento de la fuerza resultante aplicada.

prL rrr×=

Ecuación 10 – Momento cinético de un cuerpo en rotación

Figura 9

En un cuerpo (suponemos de masa puntual) al cual se le aplica un sistema

de fuerzas se puede calcular el momento de la fuerza resultante a partir de

la Ecuación 1

)(1

amrFrM OR

n

iioi

O rrrrr•×=×= −

=−∑

Ecuación 11

)( ORORORO rrmarmM −−− ××•=×•=

rrrrrrγ

pero

γγrrrrrr

••=××•= −−−2)( OROROR

O rmrrmM

por lo tanto

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γrrr

••= −2)( OR

O rmM Ecuación 12

al termino

2)( ORO rmI −•=r

Ecuación 13

lo llamaremos momento de inercia, y lo podemos definir como la magnitud

que da cuenta de cómo es la distribución de masas de un cuerpo o un

sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. En el movimiento de

rotación, este concepto desempeña un papel análogo al de la masa inercial

en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Representa la inercia de un

cuerpo a rotar.

Para un sistema de partículas el momento de inercia se determina con la

siguiente ecuación

2

1)( Oi

n

iiO rmI −

=

•=∑ r

Ecuación 14

para el caso de un sólido continuo se debe escribir

∫ •=R

O dmrI0

2

Ecuación 15

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Energía cinética de rotación La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad �v� es

2.21 vmEC

r= , mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con

velocidad angular ωr es

22.

2).()(....

222

2

00

ωωωωωrr

rrr

rrrrrroo

oR

oo

v

vC IrmrmrdrmvdvmE ==×

=××== ∫∫

2

2ωr

oC IE =

Ecuación 16 – I0 es el momento de inercia que en particular se adopta el eje baricéntrico, si es que

rota alrededor de este.

Energía cinética de rototraslación Un cuerpo que gira alrededor de su centro de masa y este si se traslada la

energía cinética se podrá calcular como

2)(

21 2

2 ωr

oCMCCC IvmEEERotaciónTraslación

+=+=

Ecuación 17

Tensor de inercia El tensor de inercia es un tensor 5 simétrico de segundo orden que

caracteriza la inercia rotacional de un sólido rígido. Expresado en una base

ortonormal viene dado por una matriz simétrica, dicho tensor se forma a

partir de los momentos de inercia según tres ejes perpendiculares y tres

productos de inercia.

5 En matemática, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Los tensores son de especial importancia en física.

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( ) ∑∑= =

− =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=n

j

m

kkjjk

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyxrotaciónC IIIIIIIIII

E1 1

..21..

21 ωω

ωωω

ωωω

Ecuación 18

Donde las componentes de este tensor de inercia en una base ortonormal

XYZ pueden calcularse a partir de los tres momentos de inercia según esos

tres ejes perpendiculares

∫ ∫∫∫ +=+=V

Vxx dzdydxzydzdydxzyI

0

..)(..)( 2222 δδ

∫∫∫∫ +=+= dzdydxxzdzdydxxzIV

Vyy ..)(..)( 2222

0

δδ

∫∫∫∫ +=+= dzdydxxydzdydxxyIV

Vzz ..)(..)( 2222

0

δδ

Ecuación 19

Y los tres productos de inercia que se calculan como

∫ ∫∫∫−=−==V

Vyxxy dzdydxxydzdydxxyII

0

.......... δδ

∫∫∫∫ −=−== dzdydxxzdzdydxxzIIV

Vzxxz ..........

0

δδ

∫ ∫∫∫−=−==V

Vzyyz dzdydxzydzdydxzyII

0

.......... δδ

Ecuación 20

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Todas las integrales anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula

tensorial

∫ ∫∫∫ ∑∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−==

V

Vij

iiij

iijiij dzdydxxxdzdydxxxII

0

.... 22 δδ

Ecuación 21

Figura 10 – Un robot tiene un momento de inercia variable lo que obliga a tener

un sistema de control complejo para lograr precisión en el posicionamiento

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por

equivalente la conservación del momento angular

ωr

oIL = Ecuación 22

Equilibrio del cuerpo rígido Con lo estudiado hasta aquí, podemos decir que para que cuerpo rígido se

encuentre en equilibrio se debe garantizar que no existe rotación ni

traslación, para esto se debe cumplir

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01

rrr=•=∑

=

amFn

ii

0.1

rrr==∑

=

γIMn

ii

Ecuación 23 – Ecuaciones que permiten garantizar el equilibrio del cuerpo rígido

Teorema de Steiner o de ejes paralelos. Supongamos ahora tener un sistema como el de la figura

Figura 11

Podremos plantear el momento de inercia respecto al eje �X�; por lo que

podremos escribir

∫∫ =+−=+−=VV

XX drHrdsenrrLdmsenrrLI ϕϕϕδϕϕ ])cos[(]).()cos[( 22222

∫∫ =+−=VV

drHrdsenrdrHrdrL ϕϕδϕϕδ .)cos( 222

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∫∫ =++−=VV

drHrdsenrdrHrdrLrL ϕϕδϕϕϕδ .)coscos2( 22222

Ecuación 24

Pero la primera integral de la Ecuación 24

∫ ∫ ∫∫ =+−=+−V V VV

drHrdrdrHrdLrdrHrdLdrHrdrLrL ϕϕδϕϕδϕδϕϕϕδ .cos.cos2)coscos2( 222222

∫ ∫ ∫ =+−=V V V

drHrdrdrHrdrLdrHrdL ϕϕδϕϕδϕδ .cos.cos2 222

∫∫ =+−=V

drdrHdRLHML ϕϕδϕϕδπ 232

0

32 coscos

32

] =++= ∫ππ ϕϕδϕδ

2

0

24

20

32 cos

432 dRHsenRLHML

pero Ecuación 25 – De tabla de integrales

] =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++= ∫

ππ

π ϕϕϕδϕδ2

0

2

0

420

32

21

2cos

432 dsenRHsenRLHML

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−+= ∫

πϕδπδ

2

0

432

21

4)]0()2([(

32 dRHsensenRLHML

21

21

2.242

21

422

222

42

42 MRMLRRHMLRHMLRHML +=+=+=+= πδπδπδ

Ecuación 26

y la segunda integral de la Ecuación 24

∫∫∫ ===π

ϕϕδϕϕδϕϕδ2

0

24

2322 .4

.. dsenRHdrdsenrHdrHrdsenrVV

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Pero Ecuación 27 – De tabla de integrales

21

21

42

21

421

2cos

42

442

0

2

0

4

MRRHRHdsenRH ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= ∫ πδπδϕϕϕδ

ππ

Ecuación 28

En resumen sumando la Ecuación 26 y Ecuación 28 nos queda

OXX IMLMRMLMRMRMLI +=+=++= 222222

21

21

21

21

21

Por lo tanto queda demostrado que

OXX IMLI += 2

Ecuación 29 – Ecuación del momento de inercia para ejes paralelos

Cuerpo rígido rotante Cuando un cuerpo rueda sin deslizar, hay una relación sencilla entre la

velocidad lineal �v� de su centro y la velocidad angular �ω� respecto a un

eje que pasa por su centro, en la figura se muestra una rueda de radio �R�,

rodando, en un instante �ti� y en un instante posterior �tf�. El centro de la

rueda se desplaza una distancia �Δx� en un intervalo de tiempo �Δt�, este

desplazamiento es igual a la distancia �Δs� que es lo que se mueve el punto

de contacto con el suelo a lo largo del borde de la rueda, por lo que

�Δx=Δs�. Si �v� es la velocidad del centro de la rueda y �ω� la velocidad

angular respecto al eje de rotación, tendremos

ωθ Rt

Rts

txv =

ΔΔ

=ΔΔ

=ΔΔ

=

Ecuación 30

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Figura 12

Entonces dado que rueda sin resbalar se puede escribir

ωrrr

×= Rv Ecuación 31

Ahora encontraremos la expresión de la energía cinética de un objeto que

rueda sin resbalar, en la Figura 13, se puede observar que dicho objeto gira

Figura 13

Alrededor de un eje que pasa por el punto de contacto y hemos llamado CIR.

Este eje tiene una orientación fija paralela a la superficie y perpendicular a

la dirección del movimiento. Como no hay deslizamiento el punto de

contacto CIR se encuentra en reposo instantáneo, dado que la velocidad es

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cero, llamaremos a este punto Centro Instantáneo de Rotación (CIR). En la

figura se han indicado las velocidades instantáneas de diferentes puntos del

objeto, las cuales son perpendiculares a las líneas que unen sus puntos con

el CIR y la velocidad del punto superior del objeto es �2V�, el doble de la

velocidad del centro del cuerpo.

Se debe destacar que la velocidad angular ωCIR respecto al eje que pasa por

el CIR, es perpendicular a la hoja de papel, e igual a la velocidad angular

que pasa por el centro de masa (coincide con el centro geométrico en este

caso que llamaremos �O�), por lo tanto se cumple ωCIR.R= ωO.R; de aquí se

concluye que ωCIR= ωO= ω. En consecuencia la energía cinética será

2

21 ωCIRC IE =

Ecuación 32 Por el teorema de Steiner

22 )(21 ωMRIE CMC +=

Ecuación 33 – Energía cinética de una rueda que gira sin resbalar respecto al punto de contacto

ICM es el momento de inercia del objeto respecto a un eje perpendicular a la

dirección de movimiento, paralelo a la superficie y que pasa por el punto

�O� (centro de la rueda). Observar que se corresponde que el girar sin

resbalar V= ω.R, se recomienda estudiar y comparar la Ecuación 33 con la

Ecuación 17.

Por lo tanto la energía cinética de un cuerpo rodante puede expresarse

como la suma de dos términos, uno correspondiente a la rotación respecto

al centro de masa y otro correspondiente a la traslación del centro de masa,

como lo hemos hecho en la Ecuación 17.

La velocidad de un punto de un cuerpo que gira se puede interpretar como

el resultado de la combinación de una traslación pura más una rotación pura.

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En particular se puede concluir que la velocidad de un punto es la suma

vectorial de la velocidad de traslación del punto más la de traslación.

Figura 14

Debemos mencionar que la Ecuación 33 se cumple aún cuando el objeto

ruede con un deslizamiento parcial, a pesar de haberla desarrollado

suponiendo que no había deslizamiento. Por supuesto, que en este caso

Rvrrr

×≠ω

La única restricción a la Ecuación 33 es que el eje de rotación debe

mantener una dirección fija.

Estudio de la rotación de un cuerpo rígido En dinámica hemos el concepto de la cantidad de movimiento de un cuerpo

vmp rr .= Ecuación 34

donde �m� es la masa del cuerpo y �v� su velocidad, hemos encontrado este

concepto más que importante, debido a la aplicación que tiene en el estudio

del choque de cuerpos, y más aún que es de este concepto donde Newton

postuló se segunda ley.

Su análogo rotacional, es el momento angular, y es igualmente de útil.

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Revisión de momento cinético Hemos definido el momento angular �L� de una partícula respecto a un

punto �O� en la Ecuación 10 y en la Figura 9.

Figura 15 – Fuerza aplicada a una partícula que gira alrededor de un punto, se puede apreciar

vector momento de una fuerza y el vector momento cinético o momento angular

Si el cuerpo fuese extenso (por ejemplo un cuerpo rígido cilíndrico - Figura

11) se debería plantear el cálculo del momento cinético respecto de un eje

baricentrito (O), siempre y cuando la velocidad de rotación es constante,

como

=×=×= ∫∫∫VV

vHdrrdrpdrL rrrrr.... δϕ

=××= ∫∫V

rdrrdrH rrr ωϕδ ....

Esta última se puede escribir

=×= ∫∫V

drrdrH .... 2 ϕωδ rr

Ecuación 35

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La integral se denomina momento de inercia de una superficie, este es un

concepto importante que estudiaremos en cursos de �Estabilidad�, o

�Cálculo de elementos de máquinas�, pero si observamos la Ecuación 35,

como la altura del cilindro y la densidad son constantes, estas pueden estar

fuera o dentro de la integral, si la incluimos dentro de la integral, nos queda

ωϕδωrrrr

..... 2o

V

IdrrdrHL =×= ∫∫

ωrr

.oIL = Ecuación 36

No sólo la energía cinética se puede expresar (Ecuación 18) en términos del

tensor de inercia, sino también el momento angular. Introduciendo en ella

la definición del tensor de inercia, tenemos que este tensor es la aplicación

lineal que relaciona la velocidad angular y el momento angular:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=•=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

GGGG

IIIIIIIII

ILωωω

ω .rr

Ecuación 37

Ecuaciones del movimiento La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de traslación de un

objeto es

CMexterioresamF rr.=∑

Para obtener la ecuación análoga para el movimiento de rotación del objeto,

derivamos la Ecuación 36, respecto del tiempo

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dtdII

dtd

dtLd ωω

rr

r

==

Ecuación 38

γr

rr

IdtLdMTorsor ==∑

Ecuación 39 – Ecuación de movimiento de un cuerpo en rotación, también puede expresarse en

forma tensorial

Conservación del momento angular o momento cinético Hasta el momento conocemos el principio de conservación de la energía y

de la cantidad de movimiento, ahora introduciremos el principio de

conservación del momento angular.

Cuando el momento de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido es

cero, en la Ecuación 39 concluimos que

0r

rr

==∑ dtLdMTorsor

Ecuación 40

Cuando la derivada temporal de una magnitud física es cero, la magnitud

permanece constante, en este caso el momento angular respecto al mismo

punto del cual se calcula el momento de todas las fuerzas aplicadas.

Momento de inercia variable Existen dispositivos, elementos de máquinas y hasta el caso particular de

una bailarina de ballet, donde es necesario que el momento de inercia varíe.

Esto aparentemente ya contradice la definición de cuerpo rígido, porque

para que varíe el momento de inercia debe variar la geometría del cuerpo.

Pero podemos considerar al cuerpo antes y después de la variación de su

geometría como cuerpos rígidos, tal es el caso del patinaje sobre hielo

artístico, o el de los nadadores que realizan saltos desde trampolín

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Figura 16 – Dos situaciones distintas, en la fotografía de la izquierda la nadadora presenta

un bajo momento de inercia por lo que tendrá una velocidad angular elevada, al centro al aumentar el momento de inercia la velocidad disminuye. El movimiento es más complejo

debido a la caída libre que realiza el nadador. Derecha bailarina de ballet.

Figura 17 – Regulador de Watt, es un dispositivo totalmente mecánico que modifica la

posición de las esferas “m”, por la acción del incremento o decremento de la velocidad angular, esto hace que un manguito “N” suba o baje. La acción de este manguito hará que por medio de

un sistema de palancas se regule la apertura o cierre de una válvula

En el caso de la bailarina, por ejemplo o en el de un patinador sobre hielo al tener los brazos extendidos presenta un momento de inercia elevado (izquierda), al cerrar los brazos (momento de inercia bajo).

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Figura 18 – Bailarina de ballet

Si el momento de inercia de un cuerpo varía6 al no tener fuerzas exteriores

aplicadas que provoquen momento, tendrá que variar su velocidad angular,

para que se mantenga su momento cinético o angular constante. Cuando

ocurre esto la energía cinética del sistema varía por lo que tuvo que

haberse realizado un trabajo

21 ωωrr

•=• II

Las fuerzas centrales y la conservación del momento cinético Hemos visto que el momento angular o cinético de un sistema se conserva

cuando el momento de la fuerza resultante es nulo. Sin embargo, también

es posible que el momento de una fuerza sea cero cuando la misma es

distinta de cero, este es el caso de las fuerzas que pasan por el centro de

momento, que por ejemplo lo encontramos en movimientos planetarios, es

el caso de la atracción gravitatoria ejercida sobre la tierra por el Sol.

Consideremos un planeta o un cometa describiendo una órbita elíptica

alrededor del Sol. En este caso la fuerza de atracción gravitatoria producirá

un momento nulo, por ende el momento angular o cinético orbital del

planeta respecto al Sol es constante, o dicho de otra manera se conserva.

6 Se recomienda visitar el Museo Participativo de Ciencias en el Centro Cultural Recoleta, Tel. 4806-3456 / 4807-3260; e-mail a [email protected]; donde podrás vivenciar distintos fenómenos físicos en tu propio cuerpo.

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En este tipo de movimiento por tener una órbita elíptica la velocidad

tangencial y el vector posición respecto al Sol varía a medida que se mueve

el cuerpo celeste, pero no cambia el producto vectorial de la cantidad de

movimiento por el vector posición. En el afelio (punto más alejado) y en el

perihelio (punto más cercano al Sol), los vectores velocidad son

perpendiculares a los vectores posición y aplicando

perihelioperihelioafelioafelio prpr rrrr×=×

perihelioperihelioafelioafelio vmrvmr rrrr .. ×=×

perihelioperihelioafelioafelio vrvr rrrr×=×

Ecuación 41

Movimiento de un giróscopo El giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico formado esencialmente

por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su eje de

simetría. Cuando se somete el giroscopio a un momento de fuerza que

tiende a cambiar la orientación del eje de rotación su comportamiento es

aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de

dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en

una dirección perpendicular a la dirección "intuitiva".

Figura 19 – giróscopo mecánico

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Supongamos tener un eje que se encuentra vinculado por medio de una

rótula a una columna (Figura 20), de forma que el eje pueda orientarse

libremente. Cuando el rotor gira a gran velocidad y se suelta el extremo

derecho (ver dibujo) de la barra, el sistema rotor � eje comienzan a girar en

un plano horizontal alrededor de la rótula, esta rotación se denomina

precesión. Evidentemente si realizamos un diagrama de cuerpo libre,

veremos que sobre el rotor actúa la fuerza peso y sobre el vínculo,

tendremos la reacción de vínculo coincidente en dirección con la columna.

Figura 20

Si tomamos momento respecto al vínculo

gmdM rrr×=∑

Ecuación 42 – d es la distancia que existe entre el rotor y el vínculo Es decir que sólo el peso contribuye al momento de las fuerzas exteriores

respecto al vínculo. La variación del momento cinético o angular se

producirá sobre el plano perpendicular a la columna. El momento angular

resultante será el compuesto por el momento de Spin �Ls� que es el que

tiene el rotor sobre su propio eje y el momento angular �LP�; debido a la

precesión.

PS LLLrrr

+= Ecuación 43

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Se puede razonar que el momento angular �L� es perpendicular a la

variación del momento cinético, lo cual significa que �L� no varía en módulo,

pero sí en dirección. Se puede demostrar que

SSprecesión I

mgdω

ω.

=

Ecuación 44

Bicicleta Se ha supuesto durante mucho tiempo sobre que el efecto giroscópico

estaba relacionado con el equilibrio de las bicicletas y motocicletas, aunque

ha sido varias veces refutado. La forma más sencilla de comprobar que el

efecto giroscópico no aporta estabilidad a una bicicleta es compensarlo con

giróscopos en las ruedas. El experimento ha sido realizado y se ha

comprobado que la bicicleta es perfectamente estable sin efecto giroscópico

neto. Sin embargo, es imposible conducir una bicicleta con el manubrio

bloqueado, lo que demuestra que son las fuerzas centrífugas (en el sistema

de referencia de la bicicleta) que aparecen al mover el manubrio las que le

confieren estabilidad. Una bici o una motocicleta lanzadas en movimiento

sin conductor, siguen avanzando sin caerse hasta que encuentren un

obstáculo o que pierdan su impulso. La trayectoria será una espiral, un

círculo o, raramente, una recta.

Figura 21

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En la Figura 21, está representada una bicicleta en movimiento, con el

manubrio derecho e inclinada un poco hacia la izquierda. El peso de la

bicicleta crea un momento que tiende a inclinar aún más la bicicleta y a

hacerla caer. Pero como la bicicleta avanza, la rueda de delante tiene un

momento angular dirigido hacia la izquierda. La rueda de atrás también

tiene un momento angular, pero la manera en la cual está sujeta no le

permite tener efecto en el equilibrio de la bicicleta. Este momento crea una

variación, dirigida hacia atrás, del momento angular de la rueda de delante.

Esto quiere decir que la rueda de delante gira hacia la izquierda, como si se

hubiese girado el manubrio hacia la izquierda. La bicicleta comienza a

voltear hacia la izquierda. Mientras el momento haga inclinarse más la

bicicleta, el momento angular de la rueda de delante se inclinará hacia atrás,

el manubrio hacia la izquierda y el radio de la trayectoria de la bicicleta

disminuirá.

Visto desde el sistema acelerado y no inercial de la bicicleta, el radio de

rotación disminuye lo cual aumenta la fuerza centrífuga. Esta fuerza

centrífuga crea un momento que tiende a enderezar la bicicleta y a

compensar el momento del peso que tiende a hacerla caer. Cuando los dos

momentos terminan por compensarse, la bicicleta deja de inclinarse y el

manubrio de girar hacia la izquierda. La bicicleta continúa en su trayectoria

circular con radio constante. Si el rozamiento con el aire u otras cosas

disminuyen la velocidad de la bicicleta, la fuerza centrífuga disminuirá, la

bicicleta recomenzará a caerse lo cual hará girar el manubrio hacia la

izquierda. El radio de giro disminuirá, lo cual aumentará la fuerza centrífuga

hasta que ésta compense de nuevo el momento del peso. Cuando el

manubrio llega a 90° o se bloquea, la bicicleta se cae.

Si se lanza una bicicleta con el manubrio inmovilizado (trabado), la bicicleta

se caerá como si estuviese parada.

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Ejemplos de cálculo de momento de inercia Ejercicio

Calcular el sentido de rotación del cuerpo, la fuerza de rozamiento y el

momento de inercia de un cuerpo compuesto por dos cilindros de

distintos diámetro.

Figura 22 - Enunciado

Solución Dado que es un cuerpo rígido se debe calcular su momento de inercia, este parámetro tomado desde el eje baricéntrico se calcula como:

∫=R

GG dmxI0

2.

Ecuación 45 - Momento de inercia (definición)

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Para calcular el momento de inercia, primero debemos elegir un

sistema de referencia acorde al problema. El eje "x" es el eje

baricéntrico ya comentado y el sistema de referencia elegido es:

Figura 23 - Sistema de estudio

Dado que la integral representa una sumatoria se puede dividir el

cálculo del momento de inercia en dos integrales a saber:

∫+∫=2

1

1

.. 2

0

2R

R

R

GG dmxdmxI

Ecuación 46 - Descomposición del momento de inercia

Tomando un diferencial de volumen calcularemos la integral, de

manera tal que tendremos que este volumen estará a una distancia "r"

del centro de masa y tendrá un espesor "dr"

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Figura 24 - Cálculo del momento de inercia

En este caso la integral quedará

∫+∫=2

1

1

.... 2

0

2R

R

R

GG dVrdVrI δδ

Ecuación 47 - El diferencial de volumen Pero

∫ ∫+∫ ∫ +=ππ

θδθδ2

01

22

0 021

2 2

1

1

........)..( drdrLrdrdrLLrIR

R

R

GG

Ecuación 48 - el diferencial de volumen en coordinadas cilíndricas Operando

∫ ∫+∫ ∫+=ππ

θδθδ2

0

31

2

0 0

321

2

1

1

..).( ddrrLddrrLLIR

R

R

GG

Ecuación 49 - las constantes salen fuera de la integral

∫+∫+=ππ

θδθδ2

01

2

0 021

4.

4).(

44 2

1

1

drLdrLLIR

R

R

GG

Ecuación 50 - resultado de la primer integración

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)4

(..24

).(24

14

21

41

21RRLRLLIGG

−++= δπδπ

Ecuación 51 - resolviendo según los limites de integración Simplificando

)2

(..2

).(4

14

21

41

21RRLRLLIGG

−++= δπδπ

Ecuación 52 - simplificando

Dado que el volumen de un cilindro se puede calcular como la

superficie de la base por la altura, es decir:

LRV .. 2π= Ecuación 53 - Volumen del cilindro

Multiplicando por la densidad y reemplazando, queda

Figura 25 - Volumen 1;2 y su masa (m1;2)

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)2

(..2

41

42

1

21

2;1RRLRmIGG

−+= δπ

Ecuación 54 - Cálculo del momento de inercia de un cilindro hueco

El segundo sumando se corresponde con el momento de inercia de la

sección anular, donde el volumen de este anillo es:

).(. 21

221 RRLV −=π

Ecuación 55 - El volumen de un tubo

El segundo término de la Ecuación 54

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−2

)()(...)2

(..22

122

21

41

42

1RRLRRL δπδπ

Ecuación 56 - Diferencia de cuadrados

Donde se puede apreciar claramente la diferencia de cuadrados,

operando queda:

)()(2

..2

)()(... 21

22

21

22

122

122

21 RRRRLRRL +×−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ − δπδπ

Ecuación 57 - el momento de inercia de un tubo

Por lo que vimos en la Ecuación 55, la masa de la corona circular (Figura 26), es:

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Figura 26 - la masa anular

)(.. 21

2211 RRLm −= δπ

Ecuación 58 - masa de sección anular

Y reemplazando todo lo calculado en la Ecuación 54, tenemos

)2

(2

21

22

1

21

2;1RRmRmIGG

++=

Figura 27 - el momento de inercia baricéntrico de todo el cuerpo Que es el momento de inercia total del cuerpo, respecto al eje baricéntrico

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¿Para donde girará el cuerpo y como es la fuerza de rozamiento?

Para esto recordamos cual es el sistema de referencia

Figura 28 - Ecuaciones básicas de traslación y rotación

El equilibrio de un cuerpo se debe garantizar a través de las ecuaciones

de traslación y de rotación, esto se obtiene planteando

amFi

n

i.

1=Σ

=

y

γ.1

ooi

n

iIM =Σ

=

Ecuación 59 - Ecuación de momentos

Debe observarse en la última ecuación, que se plantea al momento de

inercia respecto al mismo punto en el cual se toma momentos. En

nuestro caso es conveniente tomar momento siempre respecto a un

punto por donde pasen la mayor cantidad de fuerzas, esto permitirá

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realizar menos cálculos. Este punto es el punto de contacto, que

denominaremos "PC" (Figura 29)

Figura 29 - El punto de contacto

El diagrama de cuerpo libre es

Figura 30 - Una fuerza cualquiera

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Pero ante la duda de cómo es la fuerza de rozamiento, es conveniente

tomar momento respecto al punto de contacto "PC", de manera tal que

la única fuerza que provoca momento es "F", pero debe tenerse en

cuenta ahora que la Ecuación 59, se transformará en la Ecuación 60

γ.1

PCPCi

n

iIM =Σ

=

Ecuación 60 - Momento de inercia respecto a un eje cualquiera

En este caso el momento de inercia respecto a "PC" es

22

21

22

1

21

2;1 .)2

(2

RmRRmRmI totalPC ++

+=

Ecuación 61 - Teorema de Steiner

De esta manera la Ecuación 60 queda

γ..)2

(2

. 22

21

22

1

21

2;11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++=−=Σ

=RmRRmRmlFM total

PCi

n

i

Figura 31 - La fuerza de rozamiento

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Esto permite observar que la aceleración angular es horaria (negativa)

y la longitud "l" se determina por geometría. Ahora si estamos en

condiciones de determinar la fuerza de rozamiento. Como el momento

debe ser el mismo respecto a cualquier punto del espacio y de la

misma manera la aceleración angular. Ahora sabiendo esto y tomando

momento respecto al centro de masa (punto o), tendremos

γ.)2

(2

.2

12

21

21

2;121

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=−=Σ

=

RRmRmRfM ro

i

n

i

Ecuación 62 - Invariante vectorial

Como ya hemos dicho, la γ es antihoraria, lo que obligará a una fuerza

de rozamiento resultante que provoque el mismo sentido de momento,

por lo tanto será contraria al eje "x".

¿Qué sucede a distintos ángulos "a"? Si el ángulo "a" es tal que la fuerza "F" pasa por el centro de momentos,

no habrá fuerza que genere la rotación del cuerpo, por lo que solo

habrá traslación, en este caso vemos que el sistema se trasladará hacia

la izquierda (deslizando) por lo que se tendrá rozamiento

Figura 32 - el CIR en el impropio del plano - "fr" incorrecta

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dinámico, pero la fuerza de rozamiento se encuentra mal representada

en la Figura 32, de manera tal que se debe concluir que la fuerza de

rozamiento por deslizamiento y el diagrama de cuerpo libre, se

encontrarán representados según la Figura 33

Figura 33 - Traslación pura, "fr" correcta

En el caso que el ángulo "a" sea aún mayor, la fuerza "F" provocará un

momento antihorario, haciendo que la polea gire alrededor del punto

"PC" (CIR), de manera análoga se puede explicar que la fuerza de

rozamiento estará representada de la misma manera que en la Figura

33, pero ahora el rozamiento será estático, es decir que rodará sin

resbalar, siendo bajo estas condiciones el punto "PC" el centro

instantáneo de rotación.

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Incoherencias Si pensáramos que el diagrama de cuerpo libre fuese el de la "Figura

32 - el CIR en el impropio del plano - "fr" incorrecta", veríamos que es

imposible concluir ecuaciones que permitan determinar un MRU del

centro de masa, ya que

amFi

n

i.

1=Σ

=

0. <=−− amfF rx jamás puede ser cero

0=−+ PNFy

sin embargo hemos visto en clase que se puede tirar de la soga (en un

yo - yo) y que el CM se mueva a velocidad constante (experiencia

áulica)

Figura 34 - Descomposición de fuerzas, ya no es más un DCL

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Pero con este otro esquema, si es posible encontrar valores de la

fuerza "F" y "fr" que permitan que la velocidad del centro de masa sea

constante.

Figura 35 - MRU del CM

0. ==+− amfF rx

Ecuación 63 - existe un valor posible – MRU

0)cos(. =+ rfaF

con esta sola condición no alcanza para encontrar el valor de las

magnitudes físicas que están en juego en este problema, es necesario

plantear la ecuación de momento, pero ahora esta estará igualada a

cero ya que el CM realiza un MRU no puede existir aceleración angular.

0... 211

==−+=Σ=

γor

oi

n

iIRfRFM

21 .. RfRF r=

Ecuación 64 - Aceleración angular igual a cero

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Resolviendo este sistema de dos ecuaciones (Ecuación 63 - existe un

valor posible � MRU y Ecuación 64 - Aceleración angular igual a cero)

permite encontrar las condiciones para un MRU del CM.

Pregunta de interés En función de lo recién comentado dejamos pendiente esta inquietud:

Realizar el diagrama de cuerpo libre de una rueda de automóvil que

tracciona al vehículo, e indicar cual es el sentido de la fuerza de

rozamiento, desarrollar el problema justificando los resultados con

ecuaciones.

El diagrama de cuerpo libre de una rueda será

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Ayuda: si realiza la traslación del momento de una fuerza de manera

tal que una de las fuerzas que provoca el par pasa por el punto

contacto y la otra por el CM habrá trasladado la fuerza de rozamiento

al CM que es la que provoca el movimiento del automóvil.

Ejercicio – enunciado general Dado el sistema de la figura, inicialmente en reposo y conocidas sus masas

y las dimensiones de las mismas, se pide expresar las ecuaciones de la

aceleración de cada cuerpo.

Ejercicio 01

Figura 36

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Ejercicio 02

Ejercicio 03

Ejercicio 04

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