Ing. Miguel Jiménez C. M.Sc. -...

Ing. Miguel Jiménez C. M.Sc.

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SOLUCIONARIO "Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen 'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones."

Sobre Redes

por Ing. Miguel Jiménez Carrión M.Sc George B. Dantzig , el creador de la

programación lineal, en una entrevista publicada en The College Mathematical

Journal, marzo de 1986.

Ruta más corta Árbol de Extensión Mínimo

Flujo Máximo

2004

Redes Solucionario Ing. Miguel Jiménez C. M.Sc.

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CAPÍTULO I EJEMPLOS

MODELO DE REDES 1) Acelerar actividades sin exceder el dinero asignado

1. MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA

Una compañía ha averiguado que un competidor está planeando sacar un nuevo tipo de producto con ventas potenciales muy grandes. Esta compañía ha estado trabajando en un producto similar y la investigación está casi terminada. Ahora se quiere sacar el producto más rápidamente para alcanzar a la competencia. Se tienen que lograr cuatro etapas independientes (o sin traslape) incluyendo lo que falta de la investigación que por el momento se lleva a cabo a paso normal. Sin embargo, cada etapa se puede realizar en un nivel de prioridad o de quiebre para acelerar la terminación. Los tiempos requeridos (en meses) y el costo (en millones de dólares) para los distintos niveles son:

a) Red con ramas orientadas.

8 3 2 4 6

Modelo Matemático Min Ct = 2x12 + 9x13 + 6x23 + 8x24 + 1x34 + 3x35 + 4x45 + 3x46 + 5x67 + 2x57

s.a x12 + x13 = 1 x23 + x24 – x12 = 0

x34 + x35 – x13 – x23 = 0 x45 + x46 – x24 – x34 = 0 x57 – x45 – x35 = 0 x67 – x46 = 0 x57 + x67 = 1 xij = 0 ó 1

b) Red con ramas no orientadas.

Modelo Matemático

Min Ct = 2x12+9x13+6x23+6x32+8x24+8x42+1x34+1x43+3x35+3x53+4x45+4x54+3x46+ 3x64+5x67+2x57

s.a x12 + x13 – x21 – x31 = 1 x21 + x23 + x24 – x12 – x32 – x42 = 0

x31 + x32 + x34 + x35 – x13 – x23 – x43 – x53 = 0 x42 + x43 + x45 + x46 – x24 – x34 – x54 – x64 = 0 x53 + x54 + x57 – x35 – x45 – x75 = 0 x64 + x67 – x46 – x76 = 0 x75 + x76 – x57 – x67 = – 1 xij = 0 ó 1

8

4 1 6

5

2

3

3 9

1

2

3

4

5

6

7

2

Nodo origen

Nodo destino

4 1 6

5

2 3

9

1

3 5

2 Nodo destino7Nodo

origen

t (tiempo) c(costo)

Investigación Restante Desarrollo Sist. diseño Inicio de Producc.. y manufactura y Distri

Nivel t c t c t c t c Normal 5 3 Prioridad 4 6 3 6 5 9 2 3 Quiebre 2 9 2 9 3 12 1 6 Se dispone de $30 000 000 para estas cuatro etapas. El problema es determinar el nivel a que debe conducirse cada etapa para minimizar el tiempo total hasta que se pueda comercializar el producto sujeto a las restricciones de presupuesto. Planteamiento de la solución La red se construye representando en cada nodo el par (etapa, dinero disponible) y los arcos por el tiempo. El nodo D es un nodo auxiliar para identificar el final de la red. A esta red se le aplica el algoritmo de ruta más corta, en donde cada nodo es el par ordenado y el nodo origen es el nodo (0, 30).

3

2

3

2

3 2

5

3

5 3

5

3

5

2

1

2 1

2

1

2 0

0

0

0

(2,21)

(2,18)

(2,15)

(2,12)

(3,12)

(3,9)

(3,6)

(3,3)

(4,9)

(4,6)

(4,3)

(4,0)

5

4

2

(1,27)

(1,24)(0,30)

(1,21)

Dest.

La solución correspondiente es: (0,30) – (1,21) – (2,15) – (3,3) – (4,0) Y significa que el menor tiempo para poder comercializar el producto es 10 días y para lograrlo, cada etapa se debe realizar de la siguiente manera: Etapa 1 a un nivel de quiebre, Etapa 2 a un nivel de prioridad, Etapa 3 a un nivel de quiebre y Etapa 4 a un nivel de prioridad.

3

Redes Solucionario

2) Reemplazo de equipo RentCar está desarrollando un plan de reemplazo para su flotilla de automóviles, para un horizonte de planificación de cinco años (1996 al 2000). Al principio de cada año se toma una decisión acerca de si se debe mantener un automóvil en operación o si se debe reemplazar. Un automóvil debe estar en servicio por lo menos un año, pero se debe reemplazar después de tres años. La siguiente tabla proporciona el costo de reemplazo como una función del año en el cual se adquiere un automóvil y el número de años en operación. Costo del reemplazo (dólares) por determinados años en operación Año en que se adquirió 1 2 3 1996 4000 5400 9800 1997 4300 6200 8700 1998 4800 7100 1999 4900 El problema se puede formular como una red en la cual los nodos 1 a 5 representan los años 1996 al 2000. Los arcos del nodo 1 (año 1996) pueden llegar sólo a los nodos 2, 3 y 4, debido a que un automóvil debe estar en operación entre uno y tres años. Los arcos de los otros nodos se pueden interpretar de manera similar. El número asociado a cada arco representa el costo del reemplazo. La solución al problema es equivalente a encontrar la ruta más corta entre los nodos 1 y 5. La figura siguiente muestra la red resultante, a la cual se debe aplicar el algoritmo de la ruta más corta. 3) La ruta más confiable P. Q. Díaz conduce diariamente a su trabajo. Debido a que acaba de terminar un curso de análisis de redes, Díaz puede determinar la ruta más corta al trabajo. Desafortunadamente, la ruta seleccionada está excesivamente patrullada por la policía y con todas las multas pagadas por exceso de velocidad, la ruta más corta no es la mejor elección. Por consiguiente, Días ha decidido elegir una ruta que maximice la probabilidad de no ser detenido por la policía. La red en la figura que sigue muestra las posibles rutas entre su casa y la FII - UNP (lugar donde estudia Ingeniería Industrial), y las probabilidades asociadas que no lo detengan en cada segmento. Por consiguiente, la probabilidad de que no lo detengan camino a la universidad es el producto de las probabilidades asociadas con los segmentos sucesivos. Por ejemplo, la probabilidad de que no lo multen en la ruta 1 à 3 à 5 à 7 es: 0.9 x 0.3 x 0 25 = 0.0675. El objetivo de Días es seleccionar la ruta que maximice la probabilidad de que o lo multen.

4900

7100

4800

8700

6200

4300

9800

1 4 52 3


6

0.4 0.1 0.6

0.5

0.25

0.35

0.3

0.8

0.9

2

3

4

5

60.2

7 1

El problema se puede formular como un modelo de la ruta más corta, utilizando una transformación logarítmica que convertirá el producto probabilidad en la suma de los logaritmos de probabilidades, es decir, si pik = p1 x p2 x........ pk es la probabilidad de que no lo detengan log p1k = log p1 + log p2 + ……..log pk Luego como, matemáticamente la maximización de pik es equivalente a la maximización de log pik, y debido a que log pik ≤ 0, la maximización de log pik, a su vez, es equivalente a la minimización de – log pik. Utilizando esta transformación, las probabilidades individuales pj, en la figura anterior se reemplaza con – log pj, para todas las j, en la red, por tanto la red de la ruta más corta es la que sigue y a la cual se le puede aplicar el algoritmo de la ruta más corta.

0.30103

0.60206

0.45593

0.52288

0.09691

0.04576

2

3

4

5

6

0.397941.000000.22185

0.69897

7 1

5400 4000 Solución: 1 – 3 – 5 – 7 0.04576 + 0.52288 + 0.60206 = 1.1707 Grado de confiabilidad de la ruta: 0.0675 ( antiLog –1.1707)

2 5

3 6

41 7

4) Para la siguiente red: a) Use los valores esperados para

estimar la ruta más corta del nodo 1 al nodo 7.

b) Encuentre la probabilidad aproximada de que el recorrido se realice en no mas de 25 días. Utilice la tabla de distribución Normal para su respuesta.

Tiempo Rama 1-2 1-3 2-4 2-5 3-4 3-6 4-5 4-6 5-7 6-7 en días para Valor esperado estimado 4 6 4 8 4 9 3 3 6 5 recorrer cada rama Varianza estimada 5 10 8 12 6 10 12 7 8 5 Respuesta: a) ruta mas corta 1 – 2 – 4 – 6 – 7 con 16 días; b) prob. 0.96407

5

.n

Redes Solucionario

5) Considere un sistema electrónico que consta de cuatro componentes, cada uno de los cuales debe funcionar para que el sistema también lo haga. La confiabilidad de éste se puede mejorar si se instalan varias unidades paralelas en una o más de las componentes. La siguiente tabla muestra la probabilidad de que las respectivas componentes funcionen si consisten en una , dos o tres unidades en paralelo, así como sus respectivos costos en cientos de dólares. Dadas las limitaciones de presupuesto se pueden gastar un máximo de $1000. utilice los modelos de redes para determinar cuantas unidades paralelas deben instalarse en cada una de las cuatro componentes para maximizar la probabilidad de que el sistema funcione.

Solución: Lo primero que tiene que hacerse es construir la red que represente el problema, para este caso los nodos van a ser representados por el par ordenado (nº de componente, dinero disponible), en tal caso es necesario describir todas las combinaciones factibles partiendo de un nodo inicial (0,10) que representa ningún componente y los 1000 dólares disponibles, luego el nodo (1,x) que representa el primer componente y x dinero disponible después de instalar 1, 2 ó 3 unidades de ese componente y así sucesivamente; el arco está representado por la confiabilidad según se instalan 1, 2 ó 3 unidades. El nodo D representa un nodo auxiliar que se utiliza para representar el final de la red. La red que resulta es la que se muestra a continuación. Ahora a esta red se le da el tratamiento que se le dio al problema número 3, para encontrar su solución. Respuesta: (0,10) – (1,7) – (2,5) – (3,4) – (4,0) – D 0.8 x 0.6 x 0.7 x 0.9 = 0.3024 Que constituye la máxima confiabilidad. Esto significa que se debe instalar los componentes de la siguiente manera: 3u del comp. 1, 1u del comp. 2, 1u del comp. 3 y 3u del comp. 4

Probabilidad y costo de funcionamiento Nro de unidades Comp. 1 Comp. 2 Comp.3 Comp. 4 paralelas prob costo prob. Costo prob costo prob. costo 1 0.5 1 0.6 2 0.7 1 0.5 2 2 0.6 2 0.7 4 0.8 3 0.7 3 3 0.8 3 0.8 5 0.9 4 0.9 4

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

0.50.9

0.7

0.70.5

0.9

0.7

0.5

0.70.9

0.5

0.7

0.7

0.9

0.8

0.7

0.8

0.7

0.9

0.8

0.7

0.7

0.6

0.8

0.7

0.6

0.8

0.7

0.6

0.8

0.6

0.5

(0,10)

(2,7)

(2,5)

(2,4)

(2,6)

(2,3)

(3,6)

(3,4)

(3,3)

(3,2)

(3,5)

(4,4)

(4,2)

(4,3)

(4,1)

(4,0)

D

(1,9)

(1,8)

(1,7)


8

2. MODELO DE ÁRBOL DE EXTENSIÓN MÍNIMO

a) Red.

Modelo Matemático (con cierta sutileza para este caso particular)

8

4 1 6

5

2

3

3 9

2

3

4

5

62

71

(El modelo general está al final de este solucionario) Min Ct = 2x12 + 9x13 + 6x23 + 8x24 + 1x34 + 3x35 + 4x45 + 3x46 + 2x57 + 5x67

s.a x12 + x13 >= 1 x23 + x24 >= 1 x34 + x35 >= 1 x45 + x46 >= 1 x57 + X67 >= 1

x12 + x13 + x23 + x24 + x34 + x35 + x45 + x46 + x57 + x67 = 6 xij = 0 ó 1

1) Un banco ha decidido conectar terminales de computadora en cada una de sus sucursales a la computadora central de su oficina matriz mediante líneas telefónicas especiales con dispositivos de telecomunicaciones. No es necesario que la línea telefónica de una sucursal esté conectada directamente con la oficina matriz. La conexión puede ser indirecta a través de otra sucursal que esté conectada (directa o indirectamente) a la matriz. El único requisito es que exista alguna ruta que conecte a todas las sucursales con la oficina matriz. El cargo por las líneas telefónicas especiales es directamente proporcional a la distancia cableada, en donde esta distancia (en km.) es:

Principal Suc. 1 Suc. 2 Suc. 3 Suc. 4 Suc. 5 Oficina principal 190 70 115 270 160Sucursal 1 190 100 240 215 50Sucursal 2 70 100 140 120 220Sucursal 3 115 240 140 175 80Sucursal 4 270 215 120 175 310Sucursal 5 160 50 220 80 310

Determine cuáles son los pares de sucursales que deben conectarse con las líneas telefónicas especiales de manera que cada una quede conectada (en forma directa o indirecta) a la oficina matriz a un costo total mínimo. Solución: Op S2 con 70 se elige arbitrariamente el 1er nodo y se conecta con el menor

arco; en este caso se elige Op. y sea se conecta Op con S2 Op − S2 70

7

Redes Solucionario

Nodos conectados Op S3 con 115 S2 S1 con 100 se elige el menor. O sea se conecta S2 con S1 Op − S2 − S1 70 + 100 = 170 Op S3 con 115 S2 S4 con 120 S1 S5 con 50 se elige el menor. O sea se conecta S1 con S5 Op − S2 − S1 − S5 170 + 50 = 220 Op S3 con 115 S2 S4 con 120 S1 S4 con 215 S5 S3 con 80 se elige el menor. O sea se conecta S5 con S3 Op − S2 − S1 − S5 − S3 220 + 80 = 300 Como solo falta conectar S4 se toma ese nodo como punto de partida y se conecta con el nodo cuya rama es la de menor costo y se conecta. S4 S2 con 120 el árbol quedaría como: Op − S2 − S1 − S5 − S3 300 + 120 = 420. I S4 Con un costo total correspondiente a 420 Km. de cable de línea telefónica. 2) En una gran ciudad se está presupuestando el costo total que demandaría interconectar los cuatro parques principales con nuevo alumbrado público a través de las avenidas que los conecta, se prevé que el alumbrado sea en ambos lados de la avenida a través de postes de concreto centrifugado instalados cada 30 metros uno de otro. Las distancias en metros entre los parques es: Del parque A al parque B 780 metros, Del parque B al parque C 990 metros, Del parque A al parque C 990 metros, Del parque B al parque D 1050 metros, Del parque A al parque D 720 metros, Del parque C al parque D 810 metros, Determine el número mínimo de postes que se necesitan para hacer posible el alumbrado público sin tener que utilizar todas las avenidas. Solución Primero se encuentra el árbol de extensión mínimo de la red que se muestra, luego se calcula el número de postes como sigue: Red:

810

780

1050

990

720

990

B

A

C

D


10

Después de realizar las iteraciones del algoritmo, el árbol mínimo es: Conjeturas:

a) Las distancias corresponden desde los bordes de los parques. b) Las distancias son de centro a centro de cada parque

Para el ítem a) Entre los parques B – A : 780 ÷ 30 = 26 tramos de 30m., equivalente a 27 postes por lado. Entre los parques A – D : 720 ÷ 30 = 24 tramos de 30m., equivalente a 25 postes por lado. Entre los parques D – C : 810 ÷ 30 = 27 tramos de 30m., equivalente a 28 postes por lado. Número de postes requeridos = 2 ( 27 + 25 + 28 ) = 2 ( 80) = 160 Para el ítem b) Distancia total a llenar de postes es: 780 + 720 + 810 = 2310m, que hacen un total de: 2310 ÷ 30 = 77 tramos de 30m; en consecuencia se requieren 78 postes por lado, es decir el número de postes será: 2 ( 78) = 156 postes. * En ambos casos el número de postes es igual al número de tramos más uno en este caso hay 6 tramos y se necesitan 7 postes.

810

780

720

B

A

C

D

3) El servicio de Parques Nacionales planea desarrollar una zona campestre para el turismo. Se han señalado cuatro sitios en el área para llegar a ellos en automóvil. Estos sitios y las distancias (en kilómetros) entre ellos, se presentan en la tabla que sigue. Para dañar lo menos posible el medio ambiente, el Servicio de Parques desea minimizar el número de kilómetros de caminos necesario para proporcionar el acceso deseado. Determine cómo deberán construirse los caminos para lograr este objetivo. (1) (2) (3) (4) (5)

Entrada al parque Cascada Formación rocosa Mirador Pradera

(1) Entrada al parque ... 7.1 19.5 19.1 25.7 (2) Cascada 7.1 ... 8.3 16.2 13.2 (3) Formación rocosa 19.5 8.3 ... 18.1 5.2 (4) Mirador 19.1 16.2 18.1 ... 17.2 (5) Pradera 25.7 13.2 5.2 17.2 ... Solución: (1) (2) con 7.1 se elige arbitrariamente el 1er nodo y se conecta con el menor

arco; en este caso se elige (1). y sea se conecta (1) con (2). (1) − (2) 7.1

9

Redes Solucionario

Nodos conectados (1) (4) con 19.1 (2) (3) con 8.3 se elige el menor. O sea se conecta (2) con (3) (1) − (2) − (3) 7.1 + 8.3 = 15.4 (1) (4) con 19.1 (2) (5) con 13.2 (3) (5) con 5.2 se elige el menor. O sea se conecta (3) con (5) (1) − (2) − (3) − (5) 15.4 + 5.2 = 20.6 Como solo falta conectar (4) se toma ese nodo como punto de partida y se conecta con el nodo cuya rama es la de menor costo y se conecta. (4) (2) con 16.2 el árbol quedaría como: (1) − (2) − (3) − (5) 20.6 + 16.2 = 36.8 I (4) Los caminos deben construirse conectando la Entrada al Parque con Cascada y esta con Formación Rocosa, y desde allí con Pradera y finalmente hacer el tramo Cascada Mirador, con un recorrido total de 36.8 Km. 4) Verifique que el árbol mínimo de la red, es el que se muestra en líneas gruesas. Construya el modelo matemático de esta red y utilice QBS para resolver el modelo matemático, si sus respuesta es coincidente (29 unidades) su modelo está bien formulado, de lo contrario reformúlelo.

4

9

9

2

7

7

23

6

3

5

8

4 7

3

8

4

5

72

91

38

6


12

3. MODELO DE FLUJO MÁXIMO

a) Red.

El modelo matemático

6

4

6 5

6

2

5

9

4

9

7

7

8

4

3

6

7

5

3

9 1

2

3

4

5

6

Nodo Origen

7 Nodo destino

Max F = x67 + x57

s.a x12 + x13 = x67 + x57

x12 + x32 + x42 = x21 + x23 + x24 x13 + x23 + x43 + x53 =x31 + x32 + x34 + x35 x24 + x34 + x54 + x64 = x42 + x43 + x45 + x46 x35 + x45 + x75 = x53 + x54 + x57 x46+ x76 = x64 + x67

x12<=7, x21<=7, x13<=9, x31<=9, x23<=6, x32<=4, x24<=8, x42<=9, x34<=3, x43<=5, x35<=3, x53<=2, x45<=4, x54<=6, x46<=5, x64<=5, x57<=7, x75<=6, x67<=6, x76<=4. Xij >= 0 Solución usando el algoritmo de Flujo Máximo 1 – 2 – 4 – 6 – 7 flujo de 5 unidades total = 5 la red queda:

6

9 1 10

6

2

5

14

4

9

12

2

3

4

3

6

7

0

3 9

1

2

3

4

5

6 7

1 – 2 – 4 – 5 – 7 flujo de 2 unidades total = 5 +2 = 7 la red queda:

8

9110

8

2

516

4

9

14

0

1

2

3

6

5

0

39

1

2

3

4

5

6 7

11


14

1 – 3 – 5 – 7 flujo de 3 unidades total = 7 + 3 = 10 b) la red queda: 1 – 3 – 4 – 5 – 7 flujo de 2 unidades total = 10 + 2 = 12 la red queda: El programa de transporte se obtiene comparando la ultima red con la primera, y donde hay disminución de capacidad significa un embarque: Embarcar de 1 a 2, 7 unid. de flujo Embarcar de 3 a 5, 3 unid. de flujo Embarcar de 1 a 3, 5 unid. de flujo Embarcar de 4 a 6, 5 unid. de flujo Embarcar de 2 a 4, 7 unid. de flujo Embarcar de 6 a 7, 5 unid. de flujo Embarcar de 3 a 4, 2 unid. de flujo Embarcar de 5 a 7, 7 unid. de flujo Esta forma de embarque garantiza un flujo máximo de 12 unidades. 2) Cuatro fábricas se dedican a la producción de cuatro tipos de juguetes. La siguiente tabla enumera los juguetes que cada fábrica puede producir.

Todos los juguetes requieren la misma mano de obra y el mismo material por unidad. Las capacidades diarias de las cuatro fábricas son: 250, 180, 300 y 50 juguetes respectivamente. Las demandas diarias para los cuatro juguetes son: 200, 150, 350 y 300 juguetes respectivamente. a) Diseñe la red que represente el problema

planteado; b) Determine el programa de producción de las fábricas que podrán satisfacer mejor las demandas de los cuatro juguetes. Solución: a)

Fábrica mezcla de productos de juguetes

F1 1, 2, 3 F2 2, 3 F3 1, 4 F4 3, 4

300

350

150

200

50

300

50

300

300

180

250

O D

50

180

180

250

250

250

F1

F2

F3

F4

J1

J2

J3

J4

11

9110

8

5

5 16

4

12

14

0

1

2

3

6

0 O – F1 – J1 – D con un flujo de 200 2 4

20 6

1 3 5

6

200

200

300

350

150

0

50

300

50

300

300

180

50

D

50

180

180

250

250

50

F1

F2

F3

F4

J1

J2

J3

J4

200

O

7

13

9110

10

5

7 16

4

14

14

0

1

0

1

6

0 2 4

00 4

1 3 5

6 7 O – F1 – J2 – D con un flujo de 50

50

200

200

300

350

100

0

50

300

50

300

300

180

0

D

50

180

180

250

200

50

F1

F2

F3

F4

J1

J2

J3

J4

50

250

O

O – F2 – J2 – D con un flujo de 100

100100

50

200

200

300

350

0

0

50

300

50

300

300

80

0

D

50

180

80

250

200

50

F1

F2

F3

F4

J1

J2

J3

J4

150

250

O

13

Redes Solucionario

15

O – F2 – J3 – D con un flujo de 80 O – F3 – J4 – D con un flujo de 300 O – F4 – J3 – D con un flujo de 50 El flujo máximo es de 200 + 50 + 100 + 80 + 300 + 50 = 780. El programa de embarque se obtiene por diferencia de esta última red y la primera, se deja al alumno que determine el programa de embarque.

50

50

100 180

50

200

200

300

270

0

0

50

300

50

300

300

0

0

O D

50

180

80

250

200

50

F1

F2

F3

F4

J1

J2

J3

J4

250

150

50

80

0300

100 180

50

200

200

270

0

0

50

0

50

300

0

0

0

O D

50

180

80

250

200

50

F1

F2

F3

F4

J1

J2

J3

J4

250

150

50

80300

300

0300

100 180

50

200

200

220

0

0

0

0

0

300 0

0

0

O D

50

180

80

250

200

50

F1

F2

F3

F4

J1

J2

J3

J4

250

150

50

130300

300


16

3) Caso oleoducto Una compañía es propietaria de una red de oleoductos que se utiliza para transportar petróleo desde el pozo hasta diversos lugares de almacenamiento. En la siguiente tabla se indica el pozo, 6 lugares de almacenamiento y la cantidad de metros cúbicos de petróleo que fluyen por hora por los conductos:

Pozo Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Alm.5 Alm.6 Pozo 6000 0 6000 0 0 0 Alm.1 0 2000 0 3000 0 0 Alm.2 0 2000 3000 2000 2000 0 Alm.3 0 0 3000 0 1000 2000 Alm.4 0 3000 2000 0 0 5000 Alm.5 0 0 2000 1000 0 5000 Alm.6 0 0 0 0 0 0 Debido a los diversos diámetros de los caños, también son variables las capacidades de flujo. Al abrir y cerrar selectivamente las diversas secciones de la red de oleoductos, la empresa puede abastecer cualquiera de los puntos de almacenamiento. a) Si la empresa desea abastecer el punto de almacenamiento 6 y utilizar en forma completa la capacidad del sistema, ¿cuánto tiempo se necesitará para satisfacer la demanda de 100000 metros cúbicos de este punto? ¿cuál es el flujo máximo para este sistema de oleoductos? b) Si se presenta una ruptura entre los puntos de almacenamiento 1 y 2 y se cierra en ambos lados, ¿cuál es el flujo máximo para el sistema? ¿cuánto tiempo se requerirá para abastecer al punto 6 de almacenamiento? Solución: Red a) Lo primero que debe hacerse es calcular el flujo máximo de la red tomando como nodo origen el pozo y como nodo destino el tanque de almacenamiento número 6; luego el flujo máximo será el caudal que entra al tanque de almacenamiento Nº 6; y para determinar el tiempo en atender la demanda de éste tanque se divide la demanda (100000), entre el caudal que ingresa, el resultado será el tiempo necesario en horas. Los cálculos se aprecian a continuación:

0

00

5

12

523

21

3

2

3

2

3

2

0

6

6

A1

A2

A3

A4

A52

0

P A6

Redes Solucionario

17

P – A1 – A4 – A6 con un flujo de 3000 m3/h P – A1 – A2 – A4 – A6 con un flujo de 2000 m3/h

P – A3 – A2 – A5 – A6 con un flujo de 2000 m3/h

P – A3 – A5 – A6 con un flujo de 1000 m3/h

0

03

5

12

226

21

3

2

3

2

0

2

0

3

6

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

3

2

0

05

5

12

046

21

3

0

3

4

0

0

0

1

6

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

5

2

0

25

3

14

046

21

1

0

5

4

0

0

2

1

4

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

5

0

0

35

2

24

046

20

1

0

5

4

0

0

3

1

3

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

5

0


18

P – A3 – A6 con un flujo de 2000 m3/h Ya no existe ningún otro camino de flujo positivo del origen P al destino A6, en consecuencia el flujo máximo es de 10000 m3/h. (3000 + 2000 + 2000 + 1000 + 2000). El tiempo que demanda en atender la demanda del Tanque de almacenamiento A6 es: 100000 ÷ 10000 = 10 horas. El programa de embarque que permite el flujo máximo de 10000 m3 /h es el siguiente: Enviar del pozo al tanque de almacenamiento A1 5000 m3/h Enviar del pozo al tanque de almacenamiento A3 5000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A1 al A4 3000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A1 al A2 2000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A2 al A4 2000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A4 al A6 5000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A3 al A2 2000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A2 al A5 2000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A3 al A5 1000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A5 al A6 3000 m3/h Enviar del tanque de almacenamiento A3 al A6 2000 m3/h b) si se rompe el tramo de A1 a A2 entonces el arco A1 – A2 se elimina de la red, en este caso se vuelve a calcular el flujo máximo de la red, procediéndose de la misma manera que en el caso a), tal como se indica:

2

35

2

24

046

00

1

0

5

4

0

0

5

1

1

A1

A2

A3

A4

A50

5

P A6

20

00

5

12

523

21

3

2

3

3

0

6

6

A1

A2

A3

A4

A5

0

P A6

Redes Solucionario

19

P – A3 – A6 con un flujo de 2000 m3/h P – A3 – A5 – A6 con un flujo de 1000 m3/h P – A3 – A2 – A5 – A6 con un flujo de 2000 m3/h P – A1 – A4 –A6 con un flujo de 3000 m3/h

22

00

5

12

523

01

3

2

3

3

2

6

4

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

0

22

10

4

22

523

00

3

2

3

3

3

6

3

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

0

02

30

2

24

523

00

1

2

5

3

5

6

1

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

0

02

33

2

24

226

00

1

2

5

0

5

3

1

A1

A2

A3

A4

A5 A6P

3


20

P – A3 – A2 – A4 – A6 con un flujo de 1000 m3/h El flujo máximo que se logra en estas condiciones es 9000 m3/h, lo cual disminuye en 10% respecto al anterior y el tiempo que se tardaría sería: 100000/9000 = 11hrs. 60 min., 40 seg. Se deja al estudiante para que realice el programa de embarque bajo estas condiciones:

4) Un padre de familia tiene cinco hijos (adolescentes) y les quiere asignar cinco tareas domésticas. La experiencia pasada le ha enseñado al padre que resulta contraproducente imponerle obligaciones a un hijo. Teniendo esto en mente, les pide a sus hijos que hagan una lista de sus preferencias entre las cinco tareas, como lo muestra la siguiente tabla.

Ahora, la modesta meta del padre es determinar tantas tareas como sea posible, respetando al mismo tiempo las preferencias de sus hijos. Determine el número máximo de tareas que se pueden terminar y la asignación de las tareas a los hijos.

Solución: La red

Del nodo auxiliar “O” origen, todas las ramas tienen una capacidad máxima de 1, lo que significa que cada hijo debe hacer solo una tarea, ya que son 5 tareas; y además el padre desea asignar las tareas de acuerdo a sus preferencias sin imponer una tarea a ningún hijo que no le gusta hacer, esta condición están representadas por las ramas Hi – Tj (i = j = 1,2,3,4,5). Finalmente la red hace uso del nodo auxiliar “D” para mostrar el final, cuando todas las tareas han sido representadas. Aplicando el algoritmo de flujo máximo el padre solo puede asignar 4 tareas de las cinco. Se deja al alumnos determinar las posibles alternativas que tiene el padre en la asignación de tareas.

No Hijo Tarea preferida 1 Juan 1 2 Andrés 3, 4 o 5 3 Luis 2 4 Carlos 1, 2, o 3 5 Jorge 1 o 2

02

34

2

24

136

00

0

1

6

0

6

3

0

A1

A2

A3

A4

A5

3

P A6

1

1

1

1

1

1

1 1

1 1

D

1

1O

1

1

1

1

1

1

1T5

T4

T1 H5

H3

H1 T2

H4 T3

1

H2


22

5) Tres refinerías envían un producto de gasolina a dos terminales de distribución a través de una red de ductos. Cualquier demanda que no se pueda satisfacer por medio de la red se adquiere de otras fuentes. Hay tres estaciones de bombeo que sirven a la red de ductos, como lo muestra la figura siguiente. El producto fluye en la red en la dirección que muestran las flechas. La capacidad de cada segmento del ducto es: (MBD = Millones de barriles al día).

de 1 a 4 : 20 MBD de 2 a 4 : 10 " de 2 a 6 : 60 " de 2 a 5 : 20 "



a) Supóngase que la capacidad máxima diaria de la bomba 6 en la red de la figura se limita a 55 millones de MBD. Determine la capacidad máxima de la red. b) Si se la capacidad de la refinería 2 disminuye en un 40%, en cuanto se disminuye el abastecimiento en los terminales 7 y 8. Solución: a) En primer lugar se debe agregar dos nodos auxiliares uno origen y otro destino, del primer nodo auxiliar salen ramas a las refinería indicando la capacidad máxima de producción de cada refinería por ejemplo la refinería 1 solo puede producir una capacidad de 20 MBD, la refinería 2 solo puede producir 90 MBD que corresponde a ( 10 + 60 + 20); y finalmente la refinería 3 solo puede producir 15 MBD; al otro nodo auxiliar se conectan ramas de los nodos 8, indicando las demandas en cada terminal así: el terminal 7 demanda 60 MBD ( 10 + 50); y el terminal 8 demanda 50 MBD ( 30 + 20). Sin embargo esto no es todo, existe una restricción en el problema y está dada por la limitación de capacidad de bombeo en la estación 6 y que debe ser representada en la red; esta situación requiere que la red se incorpore con un nodo adicional entre la estación 6 y los terminales 7 y 8, es decir de la estación 6, sale un arco con una capacidad máxima de 60 MBD que representaría la capacidad de la bomba y partir de este nodo adicional se representan las capacidades de los ductos a los terminales 7 y 8, tal como se muestra en la red que sigue:

1

2

3

4

5

6

7

8

Refinerías Estaciones de bombeo Terminales

Aplicando el algoritmo de flujo máximo a esta red se tiene: O – 2 – 6 – 6-1 – 7 – D con un flujo de 50 MDB O – 2 – 4 – 7 – D con un flujo de 10 MDB

50

60

20

50 55

3030

10

1020

20

15

20

60

10

15

90

20

1

2

3

4

5

6

7

8

O 6-1

50

30

10 1050

50

5050

50

10

20

0 5

30

10

20

20

15

20

10

15

40

20

1

2

3

4

5

6

7

8

O 6-1

10

10

0 60

30

1060

50

5050

50

0

20

0 5

30

0

20

20

15

20

10

15

30

20

1

2

3

4

5

6

7

8

O D 6-1

D

D

21

Redes Solucionario

23

O – 1 – 4 – 5 – 8 – D con un flujo de 20 MDB O – 2 – 6 – 6-1 – 8 – D con un flujo de 5 MDB O – 3 – 5 – 8 – D con un flujo de 10 MDB El flujo máximo que circula en la red es de 95 MBD. El programa de embarque se obtiene por diferencia, el cual se deja al alumno para que lo determine.

10

0

20

30

2010

20

20 20

0

10

60

30

10 60

50

5050

0

20

0 5

0

0

0

15

20

10

15

30

1

2

3

4

5

6

7

8

O 6-1 D

25

10

0

25

25

2010

20

20 20

0

10

65

30

10 60

50

5555

0

15

0 0

0

0

0

15

20

5

15

25

1

2

3

4

5

6

7

8

O 6-1 D

10

5 10

5 25

10

0

35

15

300

20

20 20

0

10

65

30

10 60

50

5555

0

15

0 0

0

0

0

20

5 25

1

2

3

4

5

6

7

8

O 6-1 D


24

b) Si disminuye la producción en la refinería 2 en 40%, significa que la producción máxima de ésta refinería será de 54 MDB. (0.60 x 90). La red que habría que analizar será: Aplicando el algoritmo de flujo máximo se obtiene que este alcanza a 85 MDB lo que significa un decremento del abastecimiento normal de 10.53% aproximadamente. El alumno deberá determinar este nuevo flujo máximo con su respectivo programa de embarque.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Una compañía constructora ha reunido los datos (en dólares) referentes a camiones de volteo que se muestran en la tabla siguiente: Ningún camión de volteo se conserva más de 5 años. Determínese una política de reemplazo

para un camión, que actualmente tiene 2 años, minimice el costo total de operación durante los próximos 9 años. Considérese que los camiones nuevos cuestan $21000 dólares y que sólo se compran camiones nuevos para reemplazar a los viejos. (Sugerencia: Tómese Y0 como

inicio del período. Entonces, Y1 a Y9 son los inicios de los próximos 9 años y Y-2 representa el día en que el camión actual fue comparado y Y-1 no es necesaria). 2) En fecha reciente se ha reservado el parque "EL ANGOLO" para pasear y acampar. No se permite la entrada de los automóviles al parque, pero existe un sistema de caminos angostos para Tranvías y Jeeps conducidos por los guardabosques. En la Figura que sigue, se muestra este sistema de caminos (sin las curvas), en donde O es la localización de la entrada al parque; las otras letras designan la localización de estaciones de guardabosques (y otras instalaciones). Los números dan las distancias de esos caminos sinuosos en Km.

Edad en años 0 -1 1 - 2 2 - 3 3 - 4 4 - 5

Costo de Mantenimiento 7000 7500 9700 7700 9000

Ingreso perdido por descompostura 500 800 1200 800 1000

Valor de venta al final del año 16000 6000 9000 3500 2500

50

60

20

50 55

3030

10

1020

20

15

20

60

10

15

54

20

1

2

3

4

5

6

7

8

O 6-1 D

Redes Solucionario

El parque contiene un paisaje maravilloso en la estación "T". Se usa un número pequeño de tranvías para transportar visitantes de la entrada del parque a la estación "T" y regreso, para quienes desean contemplar este paisaje sin tener que caminar.

La dirección del parque está encarando en este momento el problema de instalar líneas telefónicas debajo de los caminos, para establecer comunicación de este tipo entre las estaciones (incluyendo la entrada al parque). Puesto que la instalación es cara y a la vez perturba el medio ambiente, se instalarán las líneas sólo debajo del número suficiente de caminos para proveer cierta conexión entre todo par de estaciones. La cuestión es dónde deben colocarse las líneas para realizar esto con un número total mínimo de kilómetros de línea instalada. 3) En un pequeño pero creciente aeropuerto, la compañía aérea local está comprando un nuevo tractor para el tren transportador del equipaje hacia y desde las aeronaves. Un nuevo sistema mecanizado de transporte de equipaje será instalado en 3 años, por lo tanto el tractor no se necesitará después, Sin embargo, debido a que se le dará un uso fuerte y a que los costos de mantención son elevados, puede ser aún rentable económicamente reemplazar el tractor al cabo de 1 ó 2 años de uso. La siguiente tabla da el costo neto asociado con la compra de un tractor en el año i y su utilización en el año j (donde año 0 es ahora):

J 1 2 3 0 8 18 31

i 1 -- 10 21 2 -- -- 12 El problema es determinar ¿Cuántas veces debería ser reemplazado el tractor (si es que se hace) para minimizar los costos totales de los tractores?. ¿Cómo puede formularse este problema como un modelo de la ruta más corta?.


26

5) Determine el flujo máximo entre los nodos 1 y 7 de la red que se muestra, luego construya el modelo matemático y resuélvalo. Si el flujo máximo no es coincidente reformule su modelo

matemático. 6) Responda V o F según corresponda: a) ( ) Las variables de decisión en los tres modelos de redes son binarias. b) ( ) El objetivo de un modelo de transporte es el mismo que el modelo de la ruta más corta. c) ( ) Los modelos de red son modelos más fáciles de resolver que su correspondiente modelo de programación lineal asociado. d) ( ) En los modelos de flujo máximo importa calcular el máximo flujo que circula en la red al menor costo. e) ( ) Los arcos en una red que no tienen orientación significa que fluye algún tipo de información en ambos sentidos de la red. 7) Cite tres ejemplos de árbol de extensión mínimo aplicados a nuestra Universidad. En este punto solo se mostrará un ejemplo para ilustrar cómo se caracteriza y/o define una red de acuerdo a lo solicitad: Ejemplo: La Universidad está interesada en implementar la Intranet mediante fibra óptica de

manera que todas las facultades queden interconectadas con esta línea especial, sabiendo que cada facultad tiene su propia red de computadoras. En este caso las facultades representarían los nodos o vértices de la red en donde existen servidores para la red local de cada facultad, y las ramas o arcos o aristas serían las líneas de fibra óptica que unen cada facultad entre si. El interés entonces de las autoridades universitarias es determinar el mínimo costo que demanda la interconexión de todas las facultades.

8) Construya el modelo matemático del problema No 5 de la página 7 9) Cuatro fábricas se dedican a la producción de cuatro tipos de juguetes. La siguiente tabla enumera los juguetes que cada fábrica puede producir.

Todos los juguetes requieren la misma mano de obra y el mismo material por unidad. Las capacidades diarias de las cuatro fábricas son: 250, 180, 300 y 50 juguetes respectivamente. Las demandas diarias para los cuatro juguetes son: 200, 150, 350 y 300 juguetes respectivamente. a) Diseñe la red que represente el problema planteado; b) Determine el

programa de producción de las fábricas que podrán satisfacer mejor las demandas de los cuatro juguetes.

Fábrica mezcla de productos de juguetes

F1 1, 2, 3 F2 2, 3 F3 1, 4 F4 3, 4

4) Determine ruta más corta del nodo 1 al 7 y construya el modelo matemático de la siguiente red:

25


28

Redes Solucionario

10) Modelo matemático general del árbol de extensión mínimo para esta red.

Restricciones que garantizan la conectividad de cada nodo

Restricciones que garantizan la no existencia de ciclos

Restricción que

garantiza que el árbol

este compuesto

por n-1 ramas

Min Ct = 2x12 + 9x13 + 6x23 + 8x24 + 1x34 + 3x35 + 4x45 + 3x46 + 2x57 + 5x67

s.a x12 + x13 >= 1

x12 + x23 + x24 >= 1 x13 + x23 + x34 + x35 >= 1 x24 + x34 + x45 + x46 >= 1

x35 + x45 + x57 >= 1 x46 + x67 >= 1 x57 + x67 >= 1

x12 + x13 + x23 + x24 + x34 + x35 + x45 + x46 + x57 + x67 = 6 x12 + x13 + x23 <= 2 x23 + x24 + x34 <= 2 x34 + x35 + x45 <= 2

x45 + x46 + x67 + x57 <= 3 x34 + x35 + x46 + x57 + x67 <= 4

xij = 0 ó 1

8

4 1 6

5

2

3

3 9

1

2

3

4

5

6

7

2


Espero que este solucionario ayude a los estudiantes a comprender mejor los modelos de redes y los problemas que dichos modelos representan. Este primer volumen trata sobre tres modelos de redes que son vistos en el curso de investigación de operaciones II y se centra básicamente en la representación matemática de los modelos, en el problema que representa y los algoritmos de solución, mostrando en todo momento paso a paso el proceso de solución de los algoritmos. Así mismo se encontrará información que por experiencia del autor a lo largo de 16 años en esta materia considera es necesaria para una mejor comprensión de los alumnos.

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Ing. Miguel Jiménez C. M.Sc. -...

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