Informática Estadística - Curso de R · Intervalos de conﬁanza Contraste de hipótesis: una...

Intervalos de confianzaContraste de hipótesis: una muestra y dos muestras

Informática EstadísticaCurso de R

Ricardo Ríoshttp://ricardorios.net

Universidad de El Salvador

17 de Junio de 2013

Ricardo Ríos http://ricardorios.net Informática Estadística

Indice

1 Intervalos de confianza

2 Contraste de hipótesis: una muestra y dos muestras

Introducción

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, unintervalo de confianza es un rango de valores(calculado deuna muestra) en el cual se encuentra el verdadero valordel parámetro, con una probabilidad determinadaLa probabilidad de que el verdadero valor del parámetrose encuentre en el intervalo construido se denomina nivelde confianza, y se denota por 1− αLa probabilidad de equivocarnos se llama nivel designificancia y se simboliza α. Generalmente seconstruyen intervalos con confianza 1− α = 95 %

Introducción

Para construir un intervalo de confianza, se puedecomprobar que la distribución Normal Estándar cumple:P(−1,96 < Z < 1,96) = 0,95Ejercicio: Comprobar lo anterior con R

Introducción

Luego si X ∼ N(µ, σ2) entonces el 95 % de las veces secumple:

−1,96 ≤ X̄−µσ√

n≤ 1,96

Despenjando µ de la ecuación tenemos:X̄ − 1,96 σ√

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

El resultado es un intervalo que incluye a µ el 95 % de lasveces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95 % paraµ cuando los distribución de X es normal y se encuentrecompletamente caracterizada

Introducción

−1,96 ≤ X̄−µσ√

n≤ 1,96

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Introducción

−1,96 ≤ X̄−µσ√

n≤ 1,96

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Introducción

−1,96 ≤ X̄−µσ√

n≤ 1,96

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Introducción

−1,96 ≤ X̄−µσ√

n≤ 1,96

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Como calcular los intervalos de confianza en R

Por el momento no existe una función en R que estediseñada especialmente para calcular los intervalos deconfianzaLa única forma de calcularlo es realizando cálculosdirectamente sobre los datosLas funciones para pruebas de hipótesis además de losresultados propios del análisis de pruebas de hipótesis,también nos dan los intervalos de confianza

Ejecutar lo siguiente:

n <- 50alpha <- 0.05x <- rnorm(n)z <- qnorm(1-(alpha/2))se <- 1/sqrt(n)lim.inf <- mean(x) - ( z*se )lim.sup <- mean(x) + ( z*se )lim.inflim.sup

Ejecutar lo siguiente:

n <- 50alpha <- 0.05x <- rnorm(n)z <- qnorm(1-(alpha/2))se <- 1/sqrt(n)lim.inf <- mean(x) - ( z*se )lim.sup <- mean(x) + ( z*se )lim.inflim.sup

Ejercicio

Realizar una función que me permita comprobar elresultado inferencial que aproximadamente el 95 % de lossiguientes intervalosX̄ − 1,96 σ√

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Que se generen con la variable aleatoria normal estandardesta contenida µSugerencia: Hacerlo con 100 intervalos de confianza cadauno tomados a partir de una muestra aleatoria simple deuna normal estandard de tamaño 25 comprobar queaproximadamente en 95 de ellos cae el parámetropoblacional µ

Ejercicio

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Ejercicio

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Ejercicio

n ≤ µ ≤ X̄ + 1,96 σ√n

Indice

1 Intervalos de confianza

2 Contraste de hipótesis: una muestra y dos muestras

Introducción

Una hipótesis estadística es una afirmación con respecto auna distribución de probabilidad (por ejemplo, podríamosdecir que un cierto fenómeno se comporta de forma quepuede explicarse por una distribución normal)En particular, una hipótesis estadística puede ser unaafirmación con respecto a un parámetro (si sabemos quela distribución es normal, entonces podríamos establecerla hipótesis de que µ = 0 )Tambien se suele llamar contrastes de hipótesis

Introducción

Un contraste estadístico de hipótesis es un procedimientomediante el cual se compara lo propuesto por unahipótesis contra la evidencia empírica que proporciona laobservación de datos provenientes de la población sobrela cual se hace la hipótesisEn contrastes de hipótesis se suele hablar de la hipotesisnula denotada por H0 y la hipótesis alternativa denotadapor H1, las cuales son mutuamente excluyentes

Introducción

Un contraste estadístico de hipótesis es un procedimientomediante el cual se compara lo propuesto por unahipótesis contra la evidencia empírica que proporciona laobservación de datos provenientes de la población sobrela cual se hace la hipótesisEn contrastes de hipótesis se suele hablar de la hipotesisnula denotada por H0 y la hipótesis alternativa denotadapor H1, las cuales son mutuamente excluyentes

Introducción

En los contrastes de hipótesis se suelen cometer dos tiposde errores, error tipo I y error tipo IIEl error tipo I, consiste en rechazar H0 cuando H0 esverdadera y su probabilidad asociada denotada por αAdemás se habla del error tipo II, no rechazar H0 cuandoH0 es falsa y su probabilidad asociada denotada por βOtro concepto asociado a un contraste de hipótesis es elde p-valor, el p-valor es una probabilidad y intuitivamentelo voy a interpretar de la siguiente manera: altos valoresdel p-valor me indican concordancia con la hipótesis nulaplanteada, bajos valores del p-valor me indicarandiscordancia con la hipótesis nula

Introducción

Pruebas de Hipótesis (una muestra) en R

Ejemplo PrácticoUna empresa fabrica tornillos con un diametro de 5 cm, elencargado de control de calidad a elaborado el siguienteprocedimiento:

Obtener una muestra aleatoria simple de tamaño 25Realizar el siguiente contraste de hipótesis:H0 : µ = 25H1 : µ 6= 25Nota: Se asume que los datos son normales con varianzadesconocidaDescargar el archivo “tornillos.txt” desde la dirección webhttp://matematica.ues.edu.sv/ricardo/

Ejecutar lo siguiente

x <- scan("tornillos.txt")t.test(x=x, alternative = c("two.sided"), mu=25, conf.level=0.95)

La salida del anterior comando sera

One Sample t-test

data: xt = 0.7, df = 24, p-value = 0.4907alternative hypothesis: true meanis not equal to 2595 percent confidence interval:24.68043 25.64757

sample estimates:mean of x

25.164

Pruebas de Hipótesis (dos muestras) en R

Ejemplo PrácticoUna empresa fabrica tornillos con un diametro de 5 cm endos fábricas a saber A y B, el encargado de control decalidad a elaborado el siguiente procedimiento paraverificar que la producción de las dos fábricas seanhomogeneas:

Obtener una muestra aleatoria simple de tamaño 25 de lasdos fábricasPrimero realizar el siguiente contraste de hipótesis:H0 : σA = σBH1 : σA 6= σBTomando en cuenta este resultado se realiza el siguientecontraste:H0 : µA = µBH1 : µA 6= µB

Ejemplo PrácticoDescargar los archivos “tornillosA.txt” y “tornillosB.txt”desde la dirección webhttp://matematica.ues.edu.sv/ricardo/

Se asume que los datos provienen de distribucionesnormalesEl contraste cambia dependiendo si las varianzas de lasdistribuciones de las poblaciones A y B sean iguales o noLa generalización a mas de dos grupos se conoce comoanalisis de varianza

a <- scan("tornillosA.txt")b <- scan("tornillosB.txt")var.test(a,b, alternative=c("two.sided"))

F test to compare two variances

data: a and bF = 1.5663, num df = 24,denom df = 24, p-value = 0.2787alternative hypothesis: true ratioof variances is not equal to 195 percent confidence interval:0.6902041 3.5542882

sample estimates:ratio of variances

1.566264

t.test(a,b,alternative=c("two.sided"),var.equal=TRUE)

Two Sample t-test

data: a and bt = -7.0947, df = 48,p-value = 5.264e-09alternative hypothesis: true differencein means is not equal to 095 percent confidence interval:-2.294717 -1.281283

sample estimates:mean of x mean of y

25.008 26.796

EjercicioDescargar los datos “coin.txt”Estos datos se correponden con 100 lanzamientos de unamoneda, sale cara = 1 y sale cruz = 0Probar el siguiente contraste:H0 : P = 0,5H1 : P 6= 0,5Sugerencia: Ver la ayuda de la función binom.test y usar elcomando table

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