InformeEjercicioN2

8/16/2019 InformeEjercicioN2

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Ejercicio N°2: Diseño de Observadores y

Controlador Adaptable

Rodrigo OrósticaDepartamento de Ingenierı́a Eléctrica

Universidad de ChileEL7017-Control Adaptativo de Sistemas

Email:[email protected]

I. INTRODUCCIÓN

El siguiente informe presenta los resultados del Ejercicio

N°1 del curso EL7017-Control Adaptativo de Sistemas, el

cual está enfocado en introducir al estudiante en conceptos y

aplicación de la teorı́a de control adaptativo.

La tarea esta dividida en 2 problemas que son tratados

de forma independiente en las siguientes 2 secciones. El

primero de ellos enfocado a analizar el comportamiento de

los controladores adaptativos directo, indirecto algebraico,

indirecto dinámico y combinado en una planta de primer orden

inestable, mientras que el segundo centra su problemática en

el diseño de un observador de estado de orden completo en

una planta estable.

Para finalizar, se concluye sobre la experiencia enfatizando

en el rendimiento de las diferentes clases de controladores

analizados y en la utilidad de disponer de un observador de

estado.

II. PROBLEMA 1

Para este problema se considera una planta de segundo

orden formulada en variables de estados, ecuación (??).

ẋ(t) =

0 1−2 −3

A

x(t) +

04

B

u(t); x(0) =

1−2

(1a)

y(t) =

1 0

C

x(t) (1b)

En lo que sigue se supone que los parámetros son

desconocidos y en base a ello se diseñan 2 observadores:

usando la realización mı́nima de L¨ uders-Narendra y la

no-mı́nima (Λ,). En ambos casos el análisis de la planta junto el observador se realiza mediante simulaciones frente a

diferentes tipos de entrada, condiciones iniciales y ganancias

adaptivas.

Es de utilidad conocer la función de transferencia de

la planta para conocer la equivalencia entre las distintas

representaciones. Esta viene dada en (??) y determinada con

(??).

G p(s) = 4

s2 + 3s + 2 (2)

II-A. Preliminares

En esta subsección se presentan las expresiones de ambas

realizaciones a utilizar en el diseño de observadores, además

se deduce para el caso particular de sistemas de segundoorden la relación entre la función de transferencia y las

formulaciones en variables de estado que permiten derivar

de forma directa las expresiones tanto para la realización de

L¨ uders-Narendra como (Λ,).

L¨ uders-Narendra: Usando la notación en [?] para el caso

de la realización mı́nima indicada en una planta de orden n,el sistema viene dado por la expresión (??).

ẋ p(t) =a | Ā

x p(t) + bu(t) (3a)

y p(t) = cx p(t) = x1(t) (3b)

con a = [a1 a2 . . . an]T ,b = [b1 b2 . . . bn]

T y cT = [1 0 . . . 0]vectores, y Ā una matriz de Rnx(n−1), que para la realizaciónde L¨ uders-Narendra toma la forma (??)

Ā =

1 1 . . . 1τ 2 0 . . . 0

0 τ 3...

.... . . 0

0 . . . 0 τ n

(4)

Para el caso n = 2 las expresiones previas (??) y (??) en

forma extendida se expresan como:

ẋ1(t)ẋ2(t)

=

a1 1a2 τ 2

x1(t)x2(t)

+

b1b2

u(t) (5a)

y p(t) =

1 0 x1(t)

x2(t)

(5b)

Entonces, la función de transferencia G(s) del sistemabajo esta representación se puede determinar mediante (??),


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revisar [?].

G(s)=C(sI− A)−1B (6a)

=

1 0 s − a1 −1

−a2 s − τ 2

−1

b1b2

(6b)

= 1

det(sI−A

) 1 0

s − τ 2 1

a2 s − a1 b1

b2 (6c)

= b1(s − τ 2) + b2

(s − a1)(s − τ 2) − a2(6d)

=b1 −

b2(s−τ 2)

(s − a1) − a2(s−τ 2)

(6e)

En la ecuación (??) se observa la función de transferencia

resultante donde τ 2 es una constante por fijar y menor quecero.

Si se escoge λ2 = −1 para la planta a analizar (??),al igualar la función de transferencia del sistema (??),

suponiendo parámetros conocidos, con la expresión de laformulación mı́nima de L¨ uders-Narendra (??), se tienen la

siguiente representación (??).

ẋ1(t)ẋ2(t)

=

−2 10 −1

x1(t)x2(t)

+

04

u(t) (7a)

y p(t) =

1 0 x1(t)

x2(t)

(7b)

(Λ ,): Para este caso las ecuaciones de la realizaciónno-mı́nima vienen dadas por (??), considerando un sistema

de orden n.

ẋ1(t)=−λx1(t) + θT ω(t) (8a)

ω̇1(t)=Λω1(t) + u(t) (8b)

ω̇2(t)=Λω2(t) + y p(t) (8c)

y p(t) =

1 0 . . . 0x(t)=x1(t) (8d)

donde θ ∈ R2n corresponde la vector de parámetros yω(t) ∈ R2n es el vector de información, los cuales estandefinidos por:

θ(t) =

c0 cT 1 d0 d

T T

(9)

ω(t) =

u(t) ωT 1 (t) x1(t) ωT 1 (t)

T (10)

además (Λ,) es un par controlable con Λ ∈ R(n−1)x(n−1) yasintóticamente estable. λ es una constante positiva.

Para el caso de un sistema de orden n = 2 la representaciónno mı́nima descrita tiene 3 variables de estado. A continuación

se reescriben las expresiones en (??) de forma matricial.

ẋ1(t)ω̇1(t)

ω̇2(t)

=

−λ + d0 c1 d10 Λ 0

0 Λ

x1(t)ω1(t)

ω2(t)

+

c0

0

u(t)(11a)

y(t) =

1 0 0

x1(t)ω1(t)ω2

(t)

(11b)

donde las constantes c0, c1, d0 y d1 son las que forman elvector de parámetros θ = [c0 c1 d0 d1]

T ∈ R4.Nótese ademásque Λ, , λ, ω1 y ω2 tienen dimensión 1.

Usando (??), la función de transferencia para la realización

no mı́nima (Λ,) toma la forma (??).

G(s) = c0s − c0Λ + c1

s2 + (λ − d0 − Λ)s − (λ − d0)Λ − d1 (12)

que igualando con la función de transferencia de la planta (??)

permite calcular los parámetros de la representación (Λ, ).

Nótese que en este punto se supone conocida la planta. Losvalores de Λ y son parámetros de diseño independientes dela planta y fijados como Λ = −1 y = 1.

Tabla IREPRESENTACIÓN (Λ,)

Cantidad Valor

c0 0

c1 4

d0 −1

d1 0

II-B. Realizaci´ on M ́ ınima L¨ uders-Narendra

Para la implementación de observador, la expresión en (??)

se re- escribe como:

ẋ p(t) =−k | Ā

x p(t) + gy p(t) + bu(t) (13a)

y p(t) = cx p(t) = x1(t) (13b)

con k = [k1 k2 ... kn]T , g = k +a. Los elementos del vector

k son parámetros de diseño de tal modo que se cumpla que

K = [|Ā] sea asintoticamente estable.

Con detalle en [?] se pueden encontrar las expresiones

para la implementacción de un observador de orden n, puesen lo que sigue se realizará la simplificación en la notación

para tratar especı́ficamente la planta (??) de orden 2.

Los parámetros desconocidos son g y b, ambos vectores de

largo 2. Luego, la estructura del observador viene dada por

la expresión ?? en la cual se adicionan dos señales auxiliares

v1(t) y v2(t) para asegurar que el error de estimación tienda

2


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a 0.

˙̂x1(t)˙̂x2(t)

˙̂x

=

−k1 1−k2 τ 2

K

x1(t)x2(t)

+

ĝ1ĝ2

ĝ

y p(t)

+

b̂1b̂2

b̂

u(t) + v1(t) + v2(t) (14a)

y p(t) =

1 0

C

x1(t)x2(t)

(14b)

Para cumplir con las hipótesis, en particular, la estabilidad

asintótica para la matriz K se escoge k = [2 0]T de modo talque si se conocen los parámetros de la planta, a = −k conlo que los elementos del vector g deberı́an ser nulos.

Las leyes de ajustes para los parámetros vienen dadas por

las expresiones en (??), donde además se incluyen ganancias

adaptivas.

˙̂g=−γ g (ŷ p(t) − y p(t)) e(t)

ω2(t) (15a)

˙̂b= −γ ge(t)ω

1(t) (15b)

(15c)

Las variables ω1 y ω2 corresponden a entradas filtradas de

u(t) y y p(t), respectivamente, como se puede observar en (??).

ω1= G(s)u(t) (16a)

ω2=G(s)y p(t) (16b)

(16c)

donde G(s) = [G1(s) G2(s)]T es un vector de funciones

de transferencia que para el problema en cuestión

tendrá dimensión 2 y se calcula mediante un vector

d = [1 d2]T que debe cumplir con la condición de que

CT (sI− K)d sea estrictamente real positiva (E.R.P).

Los elementos de G(s) vienen dados por:

G1(s)= s

s + d2(17a)

G1(s)=

1

s + d2 (17b)

Para la implementación en Simulink del observador mı́nimo

se considera d = [1 1] pues de este modo se cumple queel triplete {CT ,K, d} es E.R.P. Esto se corrobora realizandoun diagrama de Nyquist para la función de transferencia

CT (sI − K)d = s+2

s2+3s+2 , veáse Figura (??), en el cual

está contenido en el primer y cuarto cuadrante del plano

complejo [?].

−1 −0.5 0 0.5 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

s+2

s2+3s+2

Figura 1. Diagrama de Nyquist para CT (sI−K)d = s+2s+3s+2

La determinación de los vectores v1(t) y v1(t) se realizamediante las expresiones en (??).

vT 1 (t)=˙̂bT (t)[0 A2ω

1(t)] (18a)

vT 2 (t)=˙̂gT (t)[0 A2ω

1(t)] (18b)

donde A2 es una matriz de 2x2 que se forma con loselementos de d, ver (??).

A2=

0 −d20 1

=

0 −10 1

(19)

Con las consideraciones mencionadas en cuanto a diseño y

siguiendo un esquema similar al de la Figura (??) se realiza

la implementación del observador de L¨ uders-Narendra en

Simulink.

Figura 2. Esquema de observador bajo representación mı́nima

Con el modelo desarrollado, en las siguientes subsecciones

se analiza el comportamiento del diseño variando el tipo de

entradas, las condiciones iniciales y las ganancias adaptivas.

En la Tabla ?? se muestra un resumen de los parámetros de-

finidos por el diseñador, los cuales se mantienen fijos durante

las pruebas y aunque puede ser de analizar el comportamiento

bajo distintos valores, no se incluirá dicho análisis en el

presente documento.

II-B1. Influencia Tipo de Entradas: Tanto el modelo de

la planta como el observador diseñado se someten a diversas

entradas acotadas, entre las que se incluyen escalones y

3


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Tabla IIRESUMEN DE PARÁMETROS EN OBSERVADOR MÍNIMO)

Parámetros Valor

k

2

0

K

−2 1

0 −1

d1

1

G(s)

ss+11

s+1

A2

0 −1

0 1

g∗

0

0

b∗

0

4

sinusoides. Para estas simulaciones las ganancia adaptivas se

consideran unitarias y las condiciones iniciales iguales a 0.

En un análisis inicial se consideran diversos escalones con

amplitudes iguales a 5, 10 y 15, cuyo error de estimaciónes graficado en la Figura (??). A medida que aumenta la

magnitud de la entrada también lo hace el el tiempo de esta-

blecimiento, el número de sobre oscilaciones y el sobrepaso.

En la Tabla ?? se observa el rendimiento del observador para

las distintas amplitudes mediante el ı́ndice ISE concluyéndose

que el mejor es produce con u(t) = 10u(t).

0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1u(t)=5

Tiempo[s]

A m p l i t u d E r r o r

Error

0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 u(t)=10

Tiempo[s]


Error

0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1u(t)=15

Tiempo[s]


Error

Figura 3. Error de estimación para entradas tipo escalón A·u(t) considerandog0 = [0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ bg = [1 1]

Con respecto a los parámetros estimados, en la represen-

tación mı́nima se tienen un total de 4, descompuestos en 2

vectores de dimensión 2 denominados ĝ y b̂. En la Figura

(??) se tiene la evolución de estos para los distintos escalones,

y además en la Tabla ?? se tienen los valores al final de

la simulación. Como es de espera por el hecho de que las

referencias no son de excitación persistente, los parámetros

estimados no tienen a los calculados conociendo con exactitud

los parámetros de la planta.

0 5 10−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5u(t)=5

Tiempo[s]

V a l o r P a r á m e t r o s

0 5 10

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5u(t)=10

Tiempo[s]


g1(t)

g2(t)

b1(t)

b2(t)

0 5 10−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5u(t)=15

Tiempo[s]


Figura 4. Parámetros estimados en función del tiempo para entradas tipoescalón Au(t) considerando g0 = [0 0] y ganancias adaptivas unitarias

γ bg = [1 1]

Los resultados al aplicar señales sinusoidales de la forma

u(t) = sen(ωt) se observan en la Figura (??) para distintasfrecuencias. Junto con ello, en la Tabla ?? se indican

los valores de los parámetros estimados al termino de la

simulación y el valor para del ISE .

Tanto de la gráfica como de la Tabla ?? se concluye

que el mejor rendimiento del observador se obtiene para la

frecuencia ω = 1[rad/s]. Cuando esta es mayor el númerode oscilaciones crece demasiado lo que se ve reflejado en un

aumento significativo del ISE . Con respecto a los parámetros,

estos no tienen a los deseados.

0 20 40 60 80 100−1

0

1u(t)=10sen(0.1t)

Tiempo[s]


Error

0 20 40 60 80 100−1

0

1u(t)=10sen(1t)

Tiempo[s]


Error

0 20 40 60 80 100−2

0

2u(t)=10sen(10t)

Tiempo[s]

A m p l i t u d E

r r o r

Error

Figura 5. Error de control para entradas tipo sinusoidal 10 sen(ωt) conside-rando g0 = [0 0], b0 = [0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ gb = [1 1]

Finalmente se decide corroborar si las señales de excitación

persistente son capaces de reducir a cero el error paramétrico

4


5/13

tal como se estudió en clases. Los resultados tanto para el

error de estimación como para la evolución de los parámetros

se observan en la Figura (??), considerando una entrada con

cuatro lineas espectrales (suma de 2 sinusoies de distinta

frecuencia). Como era de esperar, los parámetros estimados

tienen a los deseados por lo que el error paramétrico se reduce

a 0.

0 50 100 150 200 250 300−2

−1

0

1

2Error de control

Tiempo[s]


Error

0 100 200 300−1

0

1

2

3

4

5Parámetros

Tiempo[s]

P a r á m e t r o s E s t i m a d o s

g1(t)

g2(t)

0 100 200 300−1

0

1

2

3

4

5Parámetros

Tiempo[s]

P a r á m e t r o s E s t i m a d o s

b1(t)

b2(t)

Figura 6. Error y parámetros en función del tiempo para entrada de tipopersistente u(t) = 10 sen(3t) + 12 sen(2t) considerando g0 = [0 0], b0 =[0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ gb = [1 1]

Tabla IIIRESUMEN DE IS E Y VALOR DE PAR ÁMETROS PARA DISTINTAS ENTRADAS

Entrada ISE g b T[s]

- [0 0] [0 4] -

5u(t) 357 [0.6241 0.1212] [1.8113 0.6981] 100

10u(t) 240 [0.5783 0.1170] [1.9033 0.7060] 10015u(t) 308 [0.5519 0.1123] [1.9401 0.7315] 100

10 sen(0.1t) 1284 [1.0365 0.0189] [1.0899 0.8051] 1000

10 sen(1t) 360 [0.7327 0.7841] [1.5271 0.9870] 1000

10 sen(10t) 6890 [1.0105 0.1390] [0.0390 3.8880] 1000

1 5425 [≈ 0 ≈ 0] [≈ 0 ≈ 0] 500

II-B2. Influencia de Ganancias Adaptivas: La

representación mı́nima para la implementación dispone

de 2 leyes de ajuste vectoriales razón por la cual se

consideran solo 2 ganancias adaptivas las cuales deben tomar

valores positivos en todo momento.

Las ganancias se denominan γ g o γ b según multipliquen a˙̂g o

˙̂b, respectivamente. Las simulaciones se realizan variando

de manera independiente el valor de cada ganancia y para

efectos comparativos en la Tabla ?? se resumen los resultados

indicando las condiciones de la simulación y el ISE . En todos

los casos la entrada corresponde a un escalón de amplitud 10.

1Excitación Persistente 10 sen(3t) + 12 sen(2t)

Tabla IVRESUMEN DE I SE PARA VARIACIÓN DE GANANCIAS ADAPTIVAS.

u(t) = 10

Entrada ISE γ g γ b T[s]

10u(t) 240 1 1 100

10u(t) 175 5 1 100

10u(t) 155 10 1 100

10u(t) 393 1 5 100

10u(t) 421 1 10 100

Se desprende que la convergencia de la salida estimada

tiende con mayor rapidez a cero al aumentar la ganancia

correspondiente al parámetro estimado ĝ. Al variar γ b seobserva el comportamiento contrario. Las comparaciones se

realizan con respeecto al caso base [γ g γ b] = [0 0].

Dado que se las leyes de ajustes son vectoriales se podr ı́a

definir una ganancia para cada componente por lo que se

sugiere realizar simulaciones considerando 4 ganancias en

total.

II-B3. Influencia de Condiciones Iniciales C.I: Bajo la

representación mı́nima se tienen condiciones iniciales para

los parámetros a estimar,4 en total, y además 2 que derivan

de los estados estimados de la planta.

En el análisis efectuado solo se varı́an las condiciones ini-

ciales que se desprenden de las leyes de ajustes, manteniendo

fijas en cero las relacionadas con el estado estimado.

Tabla VRESUMEN DE I SE PARA DISTINTAS CONDICIONES INICIALES .

[γ g γ b] = [0 10]. u(t) = 10

Entrada ISE b̂ ĝ T[s]

10u(t) 421 [0 0] [0 0] 100

10u(t) 4888 [−10 0] [0 0] 100

10u(t) 5062 [10 0] [0 0] 100

10u(t) 351 [0 − 10] [0 0] 100

10u(t) 514 [0 10] [0 0] 100

10u(t) 494 [0 0] [−10 0] 100

10u(t) 461 [0 0] [10 0] 100

10u(t) 422 [0 0] [0 − 10] 100

10u(t) 433 [0 0] [0 10] 100

10u(t) 456 [0 0] [0 4] 100

En la Tabla ?? se indica el ISE para distintas simulaciones

con variadas condiciones iniciales. Por simplicidad se adopta

cambiar la C.I. de forma independiente y comparar con el

caso base correspondiente a todas las condiciones iniciales

nulas.

Los resultados indican que el observador tiene un

mejor rendimiento cuando las entradas son más próximas

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a los valores deseados de los parámetros. Además, el

comportamiento del observador es más sensible a las

variaciones de b̂0 que de ĝ0.

II-C. Realizaci´ on No-M ́ ınima (Λ ,)

Las ecuaciones para el observador de tipo serie-paralelo

vienen dadas por las expresiones en (??), donde las variables

ˆ corresponden a estimadores de los parámetros definidos enla sección precedente ??.

˙̂x1(t)=−λx̂1(t) + θ̂T (t)ω̂(t) (20a)

˙̂ω1(t)=Λω̂1(t) + u(t) (20b)˙̂ω2(t)=Λω̂2(t) + y p(t) (20c)

ŷ p(t) =x̂1(t) (20d)

El modelo de error considerando e(t) = ŷ p(t) − y p(t) es:

ė(t) = −λe(t) + φT (t)ω̂(t) + θT ω̃(t) (21)

donde φ(t) = θ̂(t) − θ y ω̃(t) = ω̂(t) − ω.

La ley de control considera el error y el vector de

información estimado ω̂(t), y se enuncia en (??).

˙̂θ = −e(t)ω̂(t) (22)

La implementación del observador se realiza a nivel de

simulación en Simulink, teniendo en cuenta las funciones

de transferencia que se generan entre salidas intermedias

correspondientes a los distintos elementos del vector de

información, véase ecuaciones (??). En la Figura (??) se

observa un esquema de la realización en la cual el valor del

vector de parámetros es calculado a partir de (??).

X̂ 1(s)=(s − λ)−1U (s) + (s − λ)−1θ̂T (s)Ω̂(s) (23a)

Ω̂1(s)=(sI− Λ)−1U (s) (23b)

Ω̂2(s)=(sI− Λ)−1Y p(s) (23c)

Ŷ p(s) = X̂ 1(s) (23d)

Figura 7. Esquema de implementación de observador en base a realizaciónno mı́nima

A continuación se muestran los resultados de múltiples

simulaciones para analizar el rendimiento del observador bajo

la influencia de distintas entradas, condiciones iniciales y

ganancias adaptivas. Los resultados se dan a conocer mediante

gráficos del error de control y de la evolución del vector

de parámetros, ası́ como mediante tablas que caracterizan el

rendimiento mediante el ı́ndice ISE .

0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1u(t)=5

Tiempo[s]


Error

0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 u(t)=10

Tiempo[s]


Error

0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1u(t)=15

Tiempo[s]


Error

Figura 8. Error de estimación para entradas tipo escalón A·u(t) considerandoθ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

II-C1. Influencia Tipo de Entradas: Dado que lo común

en los problemas de control, especı́ficamente seguimiento,

es tener entradas acotadas se consideran solo escalones y

señales sinusoidales.

Se realizan simulaciones considerando escalones de distinta

amplitud para los cuales se gráfica el error de estimación y la

evolución de los parámetros de la representación (Λ,), véaseFiguras (??) y (??). Al aumentar la amplitud se observa que

aumenta el tiempo de estabilización, junto con la sobreoscila-

ción máxima y el número de oscilaciones.

0 5 10−0.5

0

0.5

1

1.5

2u(t)=5

Tiempo[s]

V a l o r G a n a n c i a s

0 5 10

−0.5

0

0.5

1

1.5

2u(t)=10

Tiempo[s]


c0

c1

d0

d1

0 5 10−0.5

0

0.5

1

1.5

2u(t)=15

Tiempo[s]


Figura 9. Parámetros estimados en función del tiempo para entradas tipoescalón Au(t) considerando θ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivas unitariasγ = [1 1 1 1]

Con respecto a los parámetros de la representación, estos

no coinciden con los obtenidos e indicados en la Tabla ??

dado que la entrada no corresponde a una señal de excitación

6


7/13

persistente. En la Tabla ??, correspondiente a un resumen del

resultado de las simulaciones para distintas entradas, se indica

el rendimiento del observador para los distintos escalones

aplicados ası́ como el valor del vector de parámetros para el

instante en que el error de estimación ha alcanzado el valor

nulo.

El mejor resultado considerando solo la entrada tipo escalón

es para u(t) = 5. Para valores mayores el ISE aumenta.

0 20 40 60 80 100−1

0

1u(t)=10sen(0.1t)

Tiempo[s]


Error

0 20 40 60 80 100−1

0

1u(t)=10sen(1t)

Tiempo[s]


Error

0 20 40 60 80 100−2

0

2u(t)=10sen(10t)

Tiempo[s]

A m p l i t u d

E r r o r

Error

Figura 10. Error de control para entradas tipo sinusoidal 10 sen(ωt) consi-derando θ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

Aplicando como entradas sinusoides de la forma

u(t) = A sen(ωt), de amplitud fija A = 10 y frecuenciavariable, se obtienen los resultados de la Figura (??). De arriba

a abajo, la frecuencia angular tiene los valores ω = 0.1, 1 y10[rad/s]. En la Tabla ?? se indica el rendimiento y el valorde los parámetros calculados por las leyes de ajuste.

Cuando el valor de la frecuencia es bajo como ocurre para

ω = 0.1[rad/s], gráfico superior de (??), cada vez que laseñal de entrada tiene cruces por cero se generan oscilaciones

para el error estimado, lo que es despreciable para mayores

frecuencias. A pesar de obtener mejores resultados en cuanto

a perturbaciones debidas a pasos por cero, valores muy

elevados de ω provocan sobreoscilaciones que aumentansignificativamente el valor del ISE . El mejor rendimiento del

observador se produce para ω = 10[rad/s].

En el caso anterior, obtenido al aplicar una entrada

sinusoidal con una única frecuencia, el valor de los

parámetros determinado con las leyes de ajuste no coincide

con el calculado bajo la suposición del conocimiento total

de la planta. La razón de ello es que la señal de entrada no

es de excitación persistente como ocurre cuando se suman 2

sinusoides de distinta frecuencia, situación observada en la

Figura (??). Es importante notar que cada frecuencia permite

reducir a cero el error paramétrico de 2 cantidades, y como

en este problema la dimensión del vector de parámetros es 4

basta excitar al sistema con la suma de 2 sinusoides de distinta

frecuencia. En el gráfico inferior de (??) se observa como los

parámetros tienden a los esperados al considerar una entrada

de excitación persistente igual a u(t) = 10 sen(3t)+12sen(2t)

0 50 100 150 200 250 300

−2

−1

0

1

2

Error de control

Tiempo[s]


Error

0 50 100 150 200 250 300−5

0

5Parámetros

Tiempo[s]

V a l o r p a r á m e t r o s

c0

c1

d0

d1

Figura 11. Error y ganancia en función del tiempo para entrada de tipopersistente u(t) = 10 sen(3t) + 12 sen(2t) considerando θ0 = [0 0 0 0] y

ganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

Tabla VIRESUMEN DE I SE Y VALOR DE PAR ÁMETROS PARA DISTINTAS ENTRADAS

Entrada ISE c0 c1 d0 d1

- 0 4 −1 0

5u(t) 169 1.2619 0.1935 0.2571 0.0152

10u(t) 208 1.3093 0.2099 0.2269 0.0135

15u(t) 279 1.3253 0.2291 0.2106 0.0122

10 sen(0.1t) 698 0.9787 0.3510 0.5158 −0.1800

10 sen(1t) 298 1.2657 0.3177 0.4967 0.0571

10 sen(10t) 6720 0.0813 3.7521 1.1170 −0.0997

2 9000 −0.0022 4.0072 1.0037 0.0045

II-C2. Influencia de Ganancias Adaptivas: Para cada una

de las componentes de las leyes de ajustes se define una

ganancia adaptiva, la cual debe ser mayor que la unidad.

Tabla VIIRESUMEN DE I SE Y VALOR DE PAR ÁMETROS PARA DISTINTAS

COMBINACIONES DE GANANCIAS. T simulacion = 100[s]

Ganancia ISE c0 c1 d0 d1

[γ c0 γ c1 γ d0 γ d1 ] - 0 4 −1 0

[1 1 1 1] 208 1.2619 0.1935 0.2571 0.0152[10 1 1 1] 460 1.8054 0.0464 0.0599 0.0142

[1 10 1 1] 197 0.9703 0.8021 0.1148 ≈ 0

[1 1 10 1] 199 0.8149 0.0273 0.5950 −0.0160

[1 1 1 10] 207 1.2411 0.1763 0.1934 0.0979

Usando como caso comparativo la situación en que las

ganancias son unitarias, se aumenta cada una de ellas de


7


8/13

manera independiente y los resultados , considerando una

entrada escalón de amplitud 10 y condiciones iniciales

nulas, se muestran en la Tabla ??. El mejor ISE se produce

cuando γ c1 aunque la mejora con respecto al caso decomparación no es significativa. Un análisis global muestra

que el comportamiento del observador no es muy sensible a

estas variaciones lo que posiblemente se debe a que la mitad

de los parámetros deseados son nulos.

En la Figura (??) se tiene el comportamiento transitorio del

error de estimación para las pruebas en las cuales se modifica

la ganancia. Las mayores sobreoscilaciones se presentan cuan-

do se modifica γ c0 que coincide con la situación con mayor ISE .

0 2 4 6 8 10−1

−0.5

0

0.5

1

Tiempo[s]


γ =[1 1 1 1]

γ =[10 1 1 1]

γ =[1 10 1 1]

γ =[1 1 10 1]

γ =[1 1 1 10]

0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

γ =[10 1 1 1 ]

Tiempo[s]


0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

γ =[1 10 1 1 ]

Tiempo[s]


0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

γ =[1 1 10 1 ]

Tiempo[s]


0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

γ =[1 1 1 10 ]

Tiempo[s]


Figura 12. Transiente del error de estimación al variar ganancias considerandoθ0 = [0 0 0 0]

II-C3. Influencia de Condiciones Iniciales C.I: Bajo larepresentación no-mı́nima se tienen un total de 4 condiciones

iniciales que derivan de la ley de ajuste vectorial.

En la Tabla ?? se muestra un resumen de la pruebas

realizadas en el simulador variando de manera independiente

cada una de ellas. De los datos se desprende que la influencia

de las condiciones iniciales esta mas bien relacionado con el

valor absoluto a los parámetros deseados que con el signo.

II-D. An´ alisis Comparativo de Observadores

En las secciones anteriores se estudio el comportamiento de

2 observadores, el de realización mı́nima de Lüders- Narendra

y el no-mı́nimo (Λ,).

Dado que la forma en que estan definidas las ganancias

adaptiva y las condiciones iniciales difieren entre uno y otro,

se opta por realizar las comparaciones en función de las

distintas entradas. Para ello se usa como ı́ndice el ISE en

simulaciones de igual duración.

Tabla VIIIRESUMEN DE I SE PARA DISTINTAS CONDICIONES INICIALES .G ANANCIAS

UNITARIAS. u(t) = 10

Entrada ISE CI [c0 c1 d0 d1] T[s]

10u(t) 208 [0 0 0 0] 100

10u(t) 5030 [−10 0 0 0] 100

10u(t) 5030 [10 0 0 0] 100

10u(t) 588 [0 − 10 0 0] 100

10u(t) 588 [0 10 0 0] 100

10u(t) 798 [0 0 − 10 0] 100

10u(t) 798 [0 0 10 0] 100

10u(t) 264 [0 0 0 − 10] 100

10u(t) 268 [0 0 0 10] 100

Los resultados se entregan en las Tablas ?? y ??,

desprendiendose que para las entradas de tipo escalón y

sinusoidal aplicadas el observador no-mı́nimo presenta

menores ISE . En cuanto a la entrada de excitación

persistente, es el observador basado en la representación de

Lüders-Narendra el que presenta un mejor rendimiento.

En cuanto a la implementación en Simulink, en lo personal,

fue más sencillo implementar el segundo al no requerir definir

señales auxiliares.

III. PROBLEMA 2

Se pide considerar la planta inestable y desconocida de

segundo orden, ecuación (??).

ÿ p(t) − ẏ p(t) − 2y p(t) = u̇(t) + 2u(t) (24)

y p(0) = 0.5; ẏ p(0) = 0; u(0) = 0

y el modelo de referencia asintoticamente estable:

ÿm(t) + 5 ˙ym(t) + 6ym(t) = u̇(t) + 2u(t) (25)

ym(0) = 0; ẏm(0) = 0; u(0) = 0

Se solicita diseñar un controlador adaptable directo que

permita:

ĺımt→∞

(y p(t) − ym(t)) = 0

y estudiar la influencia de las condiciones iniciales, ganancias

adaptivas, tipo de referencia, perturbaciones externas,

variación de parámetros entre otros aspectos.

III-A. Preliminares

En la presente sección se muestran los resultados

correspondiente al control adaptivo por referencia a modelo

(CARM) de plantas de grado relativo unitario utilizando la

notación de los apuntes [?]. Se indican resultados en forma

genera para luego aplicarlos al problema en particular con la

planta dada por (??) y el modelo (??).

8


9/13

Para una planta de orden n y modelo de referenciadel mismo orden, es posible describir sus funciones de

transferencia mediante polinomios en el numerador y

denominador como se indica en (??) y (??).

Para la planta:

W p(s) = k pZ p(s)

R p(s)

(26)

y el modelo:

W m(s) = kmZ m(s)

Rm(s) (27)

donde k p, km son las ganancia de alta frecuencia; Z p y Z m,polinomios mónicos, Hurwitz, de grado n − 1 y R p, Rm lospolinomios para el denominador, ambos mónicos y de grado n.

La deducción de las expresiones para el control, ver [?],

lleva a una serie de igualdades polinomiales para las cuales

se considera una representación de la planta en la forma

no-mı́nima (Λ,) que permite calcular las ganancias deseadaspara el control. Por conveniencia en el desarrollo se escoge

Λ(s) = Z m(s), donde Λ(s) = det(sI − Λ), resultando lasexpresiones en (??).

k∗= k pkm

(28a)

θ∗1(aI − Λ)−1=

Z m(s) − Z p(s)

Z m(s) (28b)

R p(s) − Rm(s)

k pZ m(s) =(θ∗0 + θ

∗T 2 (sI − Λ)

−1 (28c)

donde θ∗T = [k∗ θ∗T 1 θ∗0 θ∗T 2 ] es el vector de parámetrosdeseados del controlador. En la Figura (??) se muestra un

esquema donde es posible apreciar las ganancias mencionadas

que en generar son variantes en el tiempo dados que los

parámetros de la planta son desconocidos.

Figura 13. Esquema de control directo para planta con grado relativo n∗ = 1

En esta actividad, el control por modelo de referencia se

realiza sobre la planta de segundo orden y de grado relativo

n∗ = 1 descrita previamente, la cual además cumple todaslas hipótesis necesarias. Las funciones de transferencia tanto

de la planta como del modelo se indican en ??:

W p(s) =

Z p(s) s + 2

s2 − s − 2 Rp

(29a)

W m(s)=

Z m(s) s + 4

s2 + 5s + 6 Rm

(29b)

y de ellas se desprenden equivalencias directas entre los

distintos parámetros definidos en (??), concluyéndose

que el vector de parámetros deseados ası́ como los de la

representación no-mı́nima vienen dados por los valores de

la Tabla ??. El cálculo se realiza reemplazando en (??) las

expresiones para el problema de segundo orden obteniéndose

las igualdades (??).

k∗= k pkm

⇒ k∗ = 1 (30a)

θ∗1=Z m(s) − Z p(s)

⇒ θ∗1=(s + 4) − (s + 2) (30b)

Rm(s)=R p(s) − k p(θ∗

2 + θ∗

0Z m(s))

⇒ (s2 + 5s + 6)=(s2 − s − 2) + 1(θ∗2 + θ∗

0(s + 2))(30c)

Tabla IXPAR ÁMETROS DE DISEÑO

Cantidad Valor

Λ −4

1

k∗ 1

θ1 2

θ0 −6

θ2 16

Dado el orden de la planta en cuestión Λ, ası́ como lascomponentes del vector de parámetros son escalares. Estos

datos serán usados en el diseño (Λ,) y a nálisis con finescomparativos.

III-B. Dise˜ no, An´ alisis y Conclusiones

El diseño del control directo para la planta en estudio, se

realiza en base a los valores de Λ y determinados en lasección previa, utilizando para el cálculo de los parámetros

las leyes de ajustes indicadas en (??), a las cuales se les

incluye una ganancia adaptiva que se puede modificar

9


10/13

independientemente para cada componente.

φ̇(t) = −sgn(k p)[γ k γ θ1 γ θ0 γ θ2 ] ·

k(t)θ1(t)θ0(t)θ2(t)

(31)

A continuación se muestra el resultado y análisis

para distintas pruebas realizadas a nivel de simulación

considerando la influencia de efectos variados los cualesse modifican de manera independiente para facilitar el análisis.

III-B1. Influencia del Tipo de Referencia: En esta sección

se presenta lo que ocurre con la planta dadas diferentes

referencias. Dado que las señales deben ser acotadas para

cumplir el objetivo de control 3 se escogen como entradas

escalones de distinta magnitud y sinusoidales de amplitud y

frecuencia variada. Con el objetivo de verificar lo que ocurre

en el caso de excitación persistente, también se incluye una

entrada correspondiente a la suma de 2 sinusoidales de distinta

frecuencias.

0 5 10−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Escalon u(t)=5

Tiempo[s]


Error

0 5 10−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Escalon u(t)=10

Tiempo[s]


Error

0 5 10−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Escalon u(t)=15

Tiempo[s]


Error

Figura 14. Error de control para entradas tipo escalón A·u(t−1) considerandoθ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

En todas las simulaciones, dada la condición inicial

impuesta en el enunciado, la referencia en el tiempo inicial

debe ser nula por lo que al aplicar los escalones estos

cambian su magnitud en el instante t = 1 y en el caso delas señales sinusoidales se aplica la función seno (sen(0) = 0).

En la Figura (??) y (??) se observa el comportamiento del

error de control y el vector de parámetros en función deltiempo, para entradas correspondientes a escalones de distinta

amplitud4. En estas simulaciones los valores iniciales para los

parámetros son nulos y las ganancias adaptivas unitarias.

En cuanto al error de control como es de esperar dado que

en todos los casos se tiene el mismo comportamiento inicial,

3Revisar esta explicación4 en cada figura, de izquierda a derecha, se tiene A = 5, A = 10 y A = 15

0 5 10−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Ganancias u(t)=5

Tiempo[s]


0 5 10

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Ganancias u(t)=10

Tiempo[s]


k

θ1

θ0

θ2

0 5 10−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Ganancias u(t)=15

Tiempo[s]


Figura 15. Ganancias en función del tiempo para entradas tipo escalón Au(t−1) considerando θ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

la evolución de este hasta el primer segundo coincide. Con

respecto al tiempo de estabilización los 3 casos muestran

valores similares, aunque no ocurre lo mismo para la máxima

sobreosciliación la cual disminuye con la amplitud de lareferencia. Además es posible notar que el número de

oscilaciones dado un tiempo fijo aumenta significativamente

junto con la amplitud. En la Tabla ?? se observan los

rendimientos para las distintas pruebas obtenidas al variar

el tipo de entrada aśı como sus caracteŕısticas, entre las

que se incluyen las relativas al variar la amplitud de los

escalones. En este caso la mejor performance se produce

cuando u(t) = 15 a pesar del gran número de oscilaciones,las cuales se ven compensadas por la menor sobreoscilación.

Con respecto a los parámetros del controlador mostrados

en la Figura (??) se tiene que estos tienden, en un tiempo

próximo al de estabilización, a una constante para las distintas

amplitudes simuladas, aunque en todos los casos estas son

diferentes a los parámetros óptimos, los cuales también son

incluidos en el mismo gráfico. Esto permite concluir que los

escalones no son señales del tipo de excitación persistente.

Cuando se consideran referencias sinusoidales con amplitud

constante y distintas frecuencias manteniendo fijas las ganan-

cias adaptivas en 1 y condiciones iniciales en 0, el sistema

se comporta como se muestra en la Figura (??) y (??). En

las Figuras, de izquierda a derecha se aplican frecuencias de

ω = 0.1[rad/s], ω = 1[rad/s] y ω = 10[rad/s], y se observaque para las 2 mayores en un tiempo de simulación mayor

al observado en las gráficos el error de control tiende a 0, en

cambio, para la menor frecuencia se observan perturbaciones

cuando existen cruces por cero en la señal de referencia. Con

respecto al error paramétrico este no se hace nulo para este

tipo de entrada.

Si se considera una referencia correspondiente a la suma de

2 señales sinusoidales de distinta frecuencia, se tiene que los

parámetros tienden a los deseados como se puede observar

10


11/13

0 50−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Sinusoide u(t)=10 sen(0.1t)

Tiempo[s]


Error

0 10 20−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Sinusoide u(t)=10sen(1t)

Tiempo[s]


Error

0 10 20−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Sinusoide u(t)=10sin(10t)

Tiempo[s]


Error

Figura 16. Error de control para entradas tipo sinusoidal 10 cos(ωt) consi-derando θ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

0 50−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Ganancias u(t)=10sin(0.1t)

Tiempo[s]


0 10 20

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Ganancias u(t)=10sin(1t)

Tiempo[s]


k

θ1

θ0

θ2

0 10 20−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Ganancias u(t)=10sin(10t)

Tiempo[s]


Figura 17. Ganancias en función del tiempo para entradas tipo sinusoidal10 cos(ωt) considerando θ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivas unitariasγ = [1 1 1 1]

en la Figura (??). En este caso la referencia excita la planta

de modo que es posible la identificación de los parámetros

de modo tal que el error paramétrico se anule. En este caso

como son 4 los parámetros estimados se necesitan por lo

menos 2 sinusoides.

La Tabla ?? muestra un resumen de los rendimientos para

las distintas referencias

Tabla XRESUMEN DE I SE PARA DISTINTAS ENTRADAS

Entrada ISE T[s]

5u(t) 5209 100

10u(t) 3573 100

15u(t) 3267 100

10 sen(0.1t) 64053 100

10 sen(1t) 4315 100

10 sen(10t) 5041 100

5 5425 500

0 500 1000 1500

−2

−1

0

1

2

Error de control

Tiempo[s]


Error

0 500 1000 1500

−5

0

5

1015

20Ganancias

Tiempo[s]


k

θ1

θ0

θ2

Figura 18. Error y ganancia en función del tiempo para entrada de tipopersistente u(t) = 10 sen(1t) + 10 sen(5t) considerando θ0 = [0 0 0 0] yganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

III-B2. Influencia de Ganancias Adaptivas: Para cada una

de las componentes de las leyes de ajustes se define una

ganancia adaptiva, la cual debe ser mayor que la unidad.

0 5 10 15 20 25 30

−2

−1

0

1

2

Tiempo[s]


γ =[1 1 1 1]

γ =[10 1 1 1]

γ =[1 10 1 1]

γ =[1 1 10 1]

γ =[1 1 1 10]

0 5 10

−2

−1

0

1

2

γ =[10 1 1 1 ]

Tiempo[s]

A m

p l i t u d E r r o r

0 5 10

−2

−1

0

1

2

γ =[1 10 1 1 ]

Tiempo[s]

A m


0 5 10

−2

−1

0

1

2

γ =[1 1 10 1 ]

Tiempo[s]

A m


0 5 10

−2

−1

0

1

2

γ =[1 1 1 10 ]

Tiempo[s]

A m


Figura 19. Transiente del error de estimación al variar ganancias considerandoθ0 = [0 0 0 0]

Usando como caso comparativo la situación en que las

ganancias son unitarias, se aumenta cada una de ellas de

manera independiente y los resultados , considerando una

entrada escalón de amplitud 10 y condiciones iniciales

nulas, se muestran en la Figura ??. De ella de tiene el

comportamiento transitorio del error de estimación para las

pruebas en las cuales se modifica la ganancia. En generalel comportamiento mejora en cuanto a la sobreoscilación

máxima y al tiempo de establecimiento en todos los casos,

obteniendo se los mejores resultados para γ = [1 1 10 1].

III-B3. Influencia de Condiciones Iniciales C.I.: Las con-

diciones iniciales derivan de la ley de ajuste de los parámetros

de estimación. Son cuatro en total y su análisis se realiza en


11


12/13

base al caso nominal (condiciones nulas) variando cada una de

ellas de forma independiente. Además se considera la situación

de cuando dichos valores coinciden con el esperado de los

parámetros.

Tabla XIRESUMEN DE IS E PARA DISTINTAS CONDICIONES INICIALES . GANANCIAS

UNITARIAS.

Entrada ISE [k θ1 θ0 θ2] T[s]

5u(t) 4134 [10 0 0 0] 100

5u(t) 5975 [−10 0 0 0] 100

5u(t) 1473 [0 10 0 0] 100

5u(t) 5101 [0 − 10 0 0] 100

5u(t) 2695 [0 0 10 0] 100

5u(t) 474 [0 0 − 10 0] 100

5u(t) 6741 [0 0 0 10] 100

5u(t) 4445 [0 0 0 − 10] 100

5u(t) 308 [1 2 − 6 16] 100

En la Tabla ?? se muestra el ISE para distintas realizaciones,

donde como es de esperar los mejores resultados se obtienen

a medida que las condiciones iniciales están más próximas a

los valores esperados de los parámetros, en particular para el

caso en que son idénticas donde el ISE = 308.

III-B4. Influencia de Variaci´ on Param´ etrica: Usando

el bloque Assertion de Simulink se varian los parámetros

de la planta (se duplican) durante la simulación al aplicar

distintos tipos de entradas: escalón, sinusoide y de excitación

persistente.

En las Figuras (??) ,(??) y (??) se grafica el error

permanente y la evolución de los parámetros para elcontrol adaptativo en cuestión para los 3 tipos de referencia

mencionadas.

0 20 40 60 80 100

−2

−1

0

1

2

Error de control

Tiempo[s]


0 20 40 60 80 100

−5

0

5

10

15

20Parámetros

Tiempo[s]


Error

k

θ1

θ0

θ2

Figura 20. Error y parámetros estimados en función del tiempo para entradade tipo u(t) = 1 0 considerando θ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivasunitarias γ = [1 1 1 1]

Cuando se aplica un escalón, la variación de parámetros

en medio de la simulación no afecta el error de control

ası́ como la evolución de los parámetros. Mas que no afectar

en realidad no se notan los efectos de esta variación.

0 20 40 60 80 100

−2

−1

0

1

2

Error de control

Tiempo[s]


Error

0 20 40 60 80 100

−5

0

5

10

15

20Parámetros

Tiempo[s]


k

θ1

θ0

θ2

Figura 21. Error y parámetros estimados en función del tiempo para entradade tipo u(t) = 10 sen(1t) considerando θ0 = [0 0 0 0] y ganancias adaptivasunitarias γ = [1 1 1 1]

Al aplicar una sinusoide, se aprecia que en el instante de

cambio el error de control se ve perturbado y de manera similarocurre con los parámetros estimados. A pesar de ello, el error

vuelve a tender a 0 como lo asegura el diseño del control

adaptativo al seguir cumpliéndose las mismas hipótesis entre

ellas el grado relativo de la planta y el signo de la ganancia

de alta frecuencia.

0 2000 4000 6000 8000 10000

−2

−1

0

1

2

Error de control

Tiempo[s]


Error

0 2000 4000 6000 8000 10000

−5

0

5

10

15

20Parámetros

Tiempo[s]


k

θ1

θ0

θ2

Figura 22. Error y parámetros estimados en función del tiempo para entradade tipo u(t) = 10sen(5t) + 10 sen(1t) considerando θ0 = [0 0 0 0] yganancias adaptivas unitarias γ = [1 1 1 1]

Cuando se tiene una referencia correspondiente a una

señal de excitación persistente, veáse Figura (??), se

puede hacer un análisis similar al previo, o sea, a pesar

de la perturbación el error de control vuelve a ser nulo.

En este caso también se debe enfatizar en el hecho de

que posterior al cambio paramétrico de la planta el valor

alcanzado por los parámetros estimados no es el deseado

debido que estos últimos se calcularon en base a otros valores.

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REFERENCIAS

[1] M.Duarte, 5.0 Observadores Adaptativos, Universidad de Chile, Depar-tamento de Ingenierı́a Eléctrica.

[2] S. Sastry, Nonlinear Systems: Analysis, Stability and Control. Springer-Verlag, New York, 1999, p. 241

[3] J. Espinoza. Apuntes Sistemas de Control, Universidad de Concepción,Departamento de Ingenierı́a Eléctrica

[4] M. Duarte 6.0 Control Adaptativo por Referencia a Modelo (CARM)de Plantas de Grado Relativo Unitario, Universidad de Chile, Departa-mento de Ingenierı́a Eléctrica.

[5] K. S. Narendra and A. M. Annaswamy. 1989. Stable Adaptive Systems.Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, USA.

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