8/16/2019 InformeEjercicioN1

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Ejercicio N°1: Introducción al Control Adaptativo

Rodrigo OrósticaDepartamento de Ingenierı́a Eléctrica

Universidad de Chile

EL7017-Control Adaptativo de Sistemas

Email:reorostica@ing.uchile.cl

I. INTRODUCCIÓN

El siguiente informe presenta los resultados del Ejercicio

N°1 del curso EL7017-Control Adaptativo de Sistemas, el

cual está enfocado en introducir al estudiante en conceptos y

aplicación de la teorı́a de control adaptativo.

La tarea esta dividida en 2 problemas que son tratados

de forma independiente en las siguientes 2 secciones. El

primero de ellos enfocado a analizar el comportamiento de

los controladores adaptativos directo, indirecto algebraico,

indirecto dinámico y combinado en una planta de primer orden

inestable, mientras que el segundo centra su problemática en

el diseño de un observador de estado de orden completo en

una planta estable.

Para finalizar, se concluye sobre la experiencia enfatizando

en el rendimiento de las diferentes clases de controladores

analizados y en la utilidad de disponer de un observador de

estado.

II. PROBLEMA 1

En este problema se tiene una planta inestable y desconocida

de primer orden,

ẋ p(t) − 3x p(t) = 2u(t)

x p(0) = 1

y el modelo de referencia asintóticamente estable,

ẋm(t) + 3xm(t) =   r(t)

xm(0) = 0

y se pide realizar controladores adaptables que permitan

que el error de control tienda a 0. Junto con esto, mediante

simulaciones, se pide analizar el comportamiento bajo distintas

condiciones como son tipos de entradas, pertubaciones,

ganancias adaptativas, condiciones iniciales entre otros.

 II-A. Generalidades

En lo que sigue se usará la notación vista en clases para

un sistema de primer orden, lo que significa que en este caso

particular se tendrá:

Para la planta,

a p = −3;   k p = 2;   x p(0) = 1

y para el modelo de referencia,

am = 3;   bm = 1;   xm(0) = 0

Lo primero a desarrollar es el modelo en Simulink de cada

uno de los controladores adaptables solicitados. Es evidente

que a partir de un controlador combinado es posible obtener

el resto bajo ciertas simplificaciones de entradas y parámetros

pero como se trata de una tarea introductoria que busca

familiarizarse con estas estrategias, la construcción de los

modelos se realiza en forma incremental comenzando por el

controlador directo, pasando posteriormente por el indirectoalgebraico, indirecto dinámico para finalizar en el controlador

combinado.

En las figuras (1) y (2) se observan los esquemas para el mo-

delo correspondiente al control directo e indirecto algebraico

a modo de ejemplo del trabajo desarrollado. La realización del

modelo se hizo se forma modular diferenciando  planta,modelo

de referencia, modelo de identificaci´ on,  ley de control, errores

de lazo cerrado  y   leyes de ajustes.

Figura 1. Controlador Directo

En lo que sigue, el análisis de cada de los controles

se desarrolla de forma independiente en las próximassecciones del informe para finalizar comentando similitudes

y diferencias.

 II-B. Control Directo

Este esquema de control calcula los parámetros del

controlador (θ  y  k ) mediante las leyes de ajustes definidas en

[1] sin estimación previa de los parámetros de la planta.

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Figura 2. Controlador Indirecto Algebraico

En esta situación las variables libres son las 2 condiciones

iniciales correspondientes a los parámetros del controlador,

definidos como   θ0   y   k0; y 2 más correspondientes a lasganancias adaptativas de las leyes de ajuste llamadas   γ θ1   y

γ k1   siguiendo la denominación en [2].

Inicialmente, se realiza una serie de simulaciones variando

las condiciones iniciales, antes mencionadas, con ganancias

adaptativas unitarias. Las simulaciones se realizan a paso fijo

igual a  ∆T   = 0,01[s]  con el objetivo de utilizar un indice decomparación similar al IAE (integral del valor absoluto del

error), que se definirá mediante:

IAE discreto

N 

i=1

e2(i)   (1)

Nótese que para que sean comparables 2 simulaciones,se

debe considerar el mismo tiempo final para ambas.

En la tabla (I) se observan cuales son las condiciones ini-

ciales simuladas junto con el indice definido previamente para

30[s] de simulación. Los resultados indican que la condición

[−5 10]   muestra los mejores resultados.

Cuadro IIEA  PARA DISTINTAS CONDICIONES INICIALES

C.I [θ0  k0] IEA

[0 0]   3250

[10 5]   24607

[5 10]   17528

[5 5]   14709

[−5 10]   5596

Junto con la tabla se obtienen gráficos para el error de

control y para los parámetros   θ   y   k   en función del tiempo.

Estos resultados se aprecian en las figuras (3) y (4), respecti-

vamente, y es posible notar que la condición inicial con mejor

ı́ndice IAE es la [0 0]  seguida por la que presenta menor sobreoscilación, en el caso de la condición   [0 0]   se observa unaoscilación mayor que retrasa su tiempo de estabilización con

respecto a los otros casos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−5

0

5

10

15

20Control Directo−Varación en condiciones iniciales

 

[0 0][10 5]

[5 10]

[5 5][−5 10]

Figura 3. Error para distintas C.I. en controlador directo

En cuanto a los parámetros del controlador, de la figura

(4) es posible concluir que no necesariamente se alcanzan los

valores deseados (θ∗ y   k∗), el   único caso en que ocurre es

para C.I=[0 0]   siendo estos valores  θ∗ = −3,  k∗ =   12

.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−20

−10

0

10Control Directo−theta para distintas C.I.

 

[0 0][10 5]

[5 10]

[5 5][−5 10]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−5

0

5

10Control Directo−k para distinta C.I

 

[0 0][10 5]

[5 10]

[5 5][−5 10]

Figura 4. Parámetros para distintas C.I. en controlador directo. Arriba:  θ(t).Abajo:  k(t)

Ahora manteniendo constante las C.I en  [θ0   k0] = [0 0], seanaliza el comportamiento del controlador adaptativo directo

al variar la ganancias adaptativas. Se prueban un total de 3

situaciones para un entrada escalón de magnitud 5, primero

las 2 ganancias adaptativas son iguales a 1, y en las otras se

varia una independiente de la otra, como se puede observar

en la descripción de la figura (5).

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En la situación base [γ θ1   γ k1] = [0 0]  se observa que antesde la estabilización del error de control el sistema oscila, pero

estas oscilaciones se ven reducidas al aumentar la ganancia

γ θ1, tanto en cantidad como en amplitud. Se puede concluir

, luego, que las ganancia involucradas son capaces de regular

las oscilación.

0 2 4 6 8 10−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Control Directo−Variación de ganancias

Tiempo[s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

[1 1]

[10 1]

[1 10]

Figura 5. Error para distintas ganancias adaptativas, [γ θ1]  γ k1

Por   último, se hace una comparación variando el tipo de

referencia y dada la importancia de las referencias acotadas,

se utiliza un escalón y una señal sinusoidal. Las del primer

tipo se estudiaron previamente y en ellas se observa que

luego de alcanzarse un error de control nulo, permanece de

este modo pues no hay cambio en la referencia ni tampoco

perturbaciones externas. Para una entrada sinusoidal de

amplitud 5 y frecuencia f=0.25[Hz] los resultados se observan

en la figura (6).

0 5 10 15 20 25 30−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Comportamiento del error para una referencia sinusoidal

Tiempo[s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

error de control

referencia sinusoidal. A=5. f=0.25[Hz]

Figura 6. Comportamiento del error para referencia sinusoidal

De la gráfica se desprende que cuando hay un cambio

de signo en la referencia, el error deja de ser nulo

momentáneamente para luego volver al valor permanente.

 II-C. Controlador Indirecto Algebraico

En esta clase de controlador se estiman los parámetros

de la planta (â p   y   k̂ p) para luego generar un controladorbasado en una expresión algebraica de los valores calculados

calculados, ver ecuaciones (2) y (3).

θ   =  â p − am

ˆk p

(2)

k   =  bm

k̂ p(3)

En este controlador, se tienen 3 condiciones iniciales

modificables, el estado estimado (x̂ p), y aquellas relacionadas

con las leyes de ajustes de los parámetros del modelo

de identificación,   k̂ p0   y   â p0.Además tienen 2 gananciasadaptativas  γ kp1   y  γ ap1.

La consideración que hay que tener en la implementación

del modelo radica en evitar que k̂ p  se haga nulo porque de serası́ se indefinen los valores de los parámetros de control, véase

ecuaciones (2) y (3). Para resolver lo planteado se sigue la

estrategia mencionada en [1], definiendo   b̄ = 0,1, además  k̂ p0no se modifica y se fija su valor en 1, de modo tal que  k̂ p0  >  b̄.

A continuación se presenta un desarrollo similar al

efectuado con el control directo, considerando una referencia

constante igual a   r(t) = 5. Se comienza analizando lo queocurre al fijar las ganancias en   1   y variar las condicionesiniciales, incluyéndose valores similares a los anteriores y

además un caso que corresponde a los valores en estado

estacionario  [x̂ p0   â p0] = [5

3  − 3], en la tabla (II) se pueden

observar los casos tratados junto con el valor de  IAE discretodel error de control(ec) y de identificación (ei) para los

primeros 30[s] de simulación.

Cuadro IIIEA  PARA DISTINTAS CONDICIONES INICIALES

C.I [x̂p0   âp0]   IEA  ec   IEA  ei

[0 0]   502 502

[ 53  − 3]   109 177

[10 0]   8276 6917

[5 10]   19260 18260

El indice utilizado muestra que el caso en que se obtuvo

mejor rendimiento es con condiciones iniciales próximas a

las de régimen permanente ([ 53  − 3). Además se aprecia una

correlación entre el error de control y de estimación lo que

es lógico pues mientras más certera sea la estimación de los

parámetros de la planta, mejor deberı́an ser los resultados en

la salida.

En la figura (7) se muestran los error de control (lineas

sólidas) e identificación (lineas discontinuas) para los distintos

casos de condiciones iniciales, a excepción del   [5 10]   que

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0 0.5 1 1.5−2

0

2

4

6

8

10Control Indirecto−Error de control y estimación para distintas C.I

Tiempo[s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

[0 0] ec[0 0] ei

[5/3 −3] ec[5/3 −3] ei

[10 0] ec[10 0] ei

Figura 7. Errores de estimación e identificación para distintas condicionesiniciales

está fuera de rango. Se logra apreciar que en todos los casos

se consigue la estabilización aunque los tiempos en que se

alcanzan no son idénticos, de hecho existe una compensación

entre este y el  IAE .

Manteniendo constantes las condiciones iniciales:  x̂ p  = 0),k̂ p0  = 1  y  â p0  = 0; y para un referencia escalón de amplitud5, se analiza lo que sucede al modificar las ganancias

adaptativas. Se tienen en total 3 casos, el primero, ambas son

iguales a la unidad, y en los otros, cada una se varia dejando

contante la otra.

Los resultado se muestran en la figura (8) indicándose

la situación en la leyenda del gráfico: [   γ kp1   γ ap1]. Al

variar las ganancias hay pequeños cambios en los tiempos de

estabilización, los que mejoran al aumentar el valor de  γ ap1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Control Indirecto−Error de control al modificar ganancias adaptativas

Tiempo[s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

[1 1]

[10 1]

[1 10]

Figura 8. Error de control para distintos valores de ganancia

Finalmente se modifica la entrada manteniendo constante el

resto de los parámetros, para lo cual se considera una refe-

rencia sinusoidal de amplitud 5 y frecuencia   f   = 0,25[Hz].En la figura (9) se observa el comportamiento de la señal de

control y se aprecia que a diferencia de lo que ocurre con una

señal constante, cuando existe un cambio se signo la medida

del error es perturbado aunque vuelve a estabilizarse en breve.

0 5 10 15 20 25 30−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5Error de control para referecia sinusoidal

Tiempo[s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

Figura 9. Error de control para referencia sinusoidal

 II-D. Controlador Indirecto Din´ amico

Este modelo de controlador, al igual que el anterior,

considera un modelo de identificación, de ahı́ el nombre de

indirecto, pero a diferencia del algebraico se definen errores

de estimación en lazo cerrado, véase ecuaciones (4) y (5),

que se suman a las leyes de ajustes del control para darle una

caracterización dinámica.

θ   =   −â p + k̂ pθ + am   (4)

k   =   k̂ p − bm   (5)

En este controlador, se tienen 5 condiciones inicialesmodificables:x̂ p0,θ0,k0,   k̂ p0   y   â p0   y 7 ganancias adaptativassujetas a cambio.

En este controlador no es necesario restringir en el modelo

el valor del parámetro   k̂ p   pues de calcula mediante unaecuación diferencial, por esta razón en las simulaciones que

analizan la influencia de la C.I.

En la figura (10) se muestra el esquema del modelo

implementado y en la (11) una simulación para una referencia

constante de valor igual a 5, haciendo iguales a 0 las

condiciones iniciales y unitarias las ganancias. El valor del

IAE es  1652.

 II-E. Controlador Combinado

El control adaptativo combinado es una mezcla de las

estrategias de control directo e indirecto pues en las leyes

de ajuste se utiliza tanto el error de control como el de

estimación.De hecho, bajo ciertas restricciones, es posible

obtener el resto: control directo, indirecto algebraico e

indirecto dinámico.

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6/8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Error de control para controlador adaptativo indirecto dinámcico

Tiempo[s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

Figura 13. Error de control para controlador adaptativo combinado

ẋ(t) =

 0 1−2 3

x(t) +

04

u(t); x(0) =

12

  (6)

y(t) =

1 0

x(t)El objetivo es diseñar un observador de estado completo y

simular el comportamiento de este y de la planta bajo diversas

situaciones que consideran el efecto de diferentes condiciones

iniciales, el tipo de entradas, perturbaciones externas, cambio

de los parámetros de la planta durante la simulación, entre

otros.

 III-A. Generalidades

El cálculo de los valores propios de la matriz  A  permite

concluir que la planta es estable (λ1   =   −1   y   λ2   =   −2)y además que el par   (A, C )   es observable. Lo anterior se

realiza con las funciones  eig()  y  obsv(), respectivamente.

Dado que la realización en variables de estado si es

observable es posible llevar a cabo el procedimiento indicado

para lo cual es necesario fijar los valores del vector   F   de

modo tal que (A−FC)  tenga sus polos en el lugar deseado.

Dados los polos de la planta, los del observador se fijaran

de modo tal que sean por lo menos 10 veces m ás rápidos paraevitar problemas de convergencia. El procedimiento es llevado

a cabo en MATLAB con la función   K   =   place[A,B ,P ]que permite determinar el vector de ganancias en un sistema

realimentado de modo tal que el espectro de  (A−BK) esté enlo valores de P . Esta función también puede ser utilizada para

determinar  F  si se considera la dualidad control/observación

que indica que si el par  (A,C)   es observable, es controlableel par  (AT,CT), de modo tal que  F = KT.

Con el fin de notar la importancia de la elección de los polos

del observador se generan 2 vectores de ganancia  F, uno de

ellos con los polos 10 veces más rápido que los de la planta

( p = [−10 − 20]) y otro con polos 10 veces más lentos. Los

valores vienen dados a continuación en el orden respectivo:

F1 =

 27,0000117,0000

;F2 =

−2,70006,1200

 III-B. Resultados

A partir del diseño en Simulink de la planta y el

observador (véase figura (14)) se realizan simulaciones en

diversas situaciones comenzando con el comportamiento de

las salidas (real y estimada) para los 2 vectores de ganancia

F determinados previamente dada una entrada de tipo escalón

de magnitud 5 y con condiciones iniciales para el integrador

del observador igual a  x̂0  = [1 0]T .

Figura 12. Esquema control adaptativo combinado

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Figura 14. Esquema de planta y observador de estado para problema N°2

Los resultados se muestran en la figura (15) para el primer

segundo de simulación, donde se gráfica la salida de la

planta y las estimadas en ambos casos. Cuando los polos del

observador son más rápidos que los de la planta, la salida

estimada converge rápidamente produciéndose diferencias

solo en un comienzo debido a las distintas condiciones

iniciales entre la planta y el observador. En el caso de fijar

los polos de modo que sean más lentos, se aprecia que la

convergencia no se produce durante el tiempo mostrado (se

comienza a aproximar a partir de los 15[s]).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Tiempo [s]

       S     a       l       i       d     a     s

Comportamiento del observador para 2 vectores F

 

y planta

y estimada F1

y estimada F2

Figura 15. Comportamiento de la salida del observador bajo diferentes valoresde ganancia F

Dado que los mejores resultados se observan cuando el

observador posee polos más rápidos que la planta, en lo

sucesivo se continuará el trabajo con el vector de ganancia F1.

La siguientes simulaciones buscan determinar la importan-

cia de las condiciones iniciales del observador, por lo que se

realizan una serie de pruebas cambiando dichas condiciones  x̂0para la entrada previa, un escalón de amplitud 5. Los valores

utilizados son los siguientes:

x̂0  = [0 1]T , [1   − 2]T , [50   − 2]T , [1 50]T , [50 50]T 

En la figura (16) se observa el error correspondiente

a la diferencia entre la salida estimada y la de la planta,

e = ŷ−y, para las condiciones iniciales indicadas. Se observaque mientras más distantes se encuentren estas de las de la

planta mayores serán los errores al comienzo pero en todos

los casos, con el transcurso del tiempo, este se hace nulo.

En el caso lı́mite en que las C.I del observador sean sean

idénticas a las de la planta el error es nulo como es de esperar.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

   E  r  r  o  r  e  s

   (   \   h  a   t   {  y   } −  y   )

 

[0 1]

[1 50]

[1 −2]

[50 50]

[50 2]

Figura 16. Error ante distintas condiciones iniciales

En el enunciado se pide además modificar los parámetros dela planta aumentándolos un  50 %  durante la simulación paraanalizar la robustez del diseño del observador. Lo indicado

se consigue en Simulink generando una interrupción que se

dispara en un tiempo fijado por el usuario (t=5[s]), la cual

cambia los datos del  workspace, véase figura (14).Téngase en

cuenta que se modifican los valores de las matrices  A,B   y

C  de la planta mientras que los del observador se conservan

intactos.

Los resultados mencionados se muestran en la figura

(17), considerando condiciones iniciales para el observador

x̂0   = [0 1]T  y una entrada escalón de amplitud 5 para la

planta. En el momento en que se produce el cambio de los

parámetros el error de estimación es nulo lo que implica que

tanto planta como observador tendrán el mismo estado, pero

posterior a esto sus dinámicas serán distintas y dado que se

tiene una señal de entrada constantes se producirá un error

permanente, o sea, el error de estimación será no nulo como

se muestra en la gráfica.

Para continuar con el análisis, bajo las consideraciones

anteriores de entrada y C.I., se simula una perturbación

externa sobre la salida de la planta (en la entrada tendrá un

efecto similar por lo que se omite) correspondiente a un

pulso de amplitud 1.5 y ancho igual a 2[s] en un momento en

que los estados estimados alcanzan los valores de los de la

planta. El resultado se observa en la figura (18) y como es de

esperar la estimación de la salida no se ve afectada en mayor

medida, pues sólo existen errores de estimación en los puntos

donde hay discontinuidades. En este caso la corrección se

realiza gracias a la diferencia de las salidas.

Consideremos finalmente lo que ocurre cuando se modifica

el tipo de entrada. De las ecuaciones es posible deducir que

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8/8

0 2 4 6 8 10−5

0

5

10

15

20Variación de parámetros de la planta en t=5[s]

Tiempo [s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

y planta

y estimada

Error de estimación

Figura 17. Cambio de parámetros en la planta en t=5[s]

0 2 4 6 8 10−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18Perturbacion externa correpsondiente a pulso de amplitud 1.5

Tiempo [s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

y planta

y estimada

Error de estimación

Figura 18. Perturbación externa

sin importar el tipo, desde el momento en que los estadostanto de observador como de la planta son idénticos, el error

de estimación será nulo, a diferencia de lo que ocurre con

una perturbación externa la cual requerirá un tiempo antes de

que   e  = ŷ − y  sea cero. En la figura (19) se observa lo queocurre para una entrada correspondiente a una sinusoide y a

una suma de escalones, para C.I  x̂0  = [5 10]T .

IV. CONCLUSIÓN

En la tarea se abordan dos aspectos principales, diseño

de controladores adaptativos y de observadores de estado

completo.

Mediante las simulaciones de la planta con los controladores

es posible corroborar que las leyes de ajuste si aseguran

estabilidad y que el error de referencia se anula. Según el

tipo de controlador existen una serie de parámetros libres

que permiten mejorar el comportamiento en cuando a sobre

oscilaciones como tiempo de estabilización. Dado que las

leyes de ajustes no son lineales es imposible separar por

completo el comportamiento y efecto de cada una de las

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−10

−5

0

5

10Entrada Sinusoidal

Tiempo [s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−10

0

10

20

30

40

50Entrada suma de escalones

Tiempo [s]

     A    m    p     l     i     t    u     d

 

y planta

y estimadaError de estimación

Figura 19. Tipos de entrada

ganancias, aunque si se obtuvieron conclusiones parciales queson expresadas en el documento. En cuanto a las condiciones

iniciales, al variarlas se obtienen las mejores respuestas

mientras más próximas son a los parámetros de la planta.

Queda pendiente la tarea de determinar una buena estrategia

que permita ajustar parámetros en especial para el caso del

control combinado, y surge la pregunta de cual es la mejor

forma de diseñar este tipo de controladores cuando el orden

de la planta es mayor.

En cuanto al problema de observadores, es importante

destacar que el fin   último es poder aplicar el conocimiento

de la estimación de estado para el control. En la planta dadano era necesario realizar esto pues ya era estable aunque si

se podrı́a haber mejorado la dinámica.

REFERENCIAS

[1] 3.0 Sistemas Adaptativos Simples.[2] Tabla Resumen v1.1: Elementos de Controladores Adaptativos para

Plantas Simples.