Modelamiento de la Ecuación de Onda en MATLAB

MARCO TEORICO

La existencia de las ondas electromagnéticas fue comprobada por Heinrich Hertz. Luego de varios cálculos y experimentos, Hertz logró generar y detectar ondas de radio. En general las ondas son medios de transporte de energía o información. Ejemplos comunes de ondas electromagnéticas son las ondas de radio, las señales de televisión, los haces de radar y los rayos luminosos. Todas estas formas de energía electromagnética comparten tres características fundamentales a saber: se desplazan a gran velocidad, adoptan al hacerlo propiedades de ondas e irradian hacia fuera desde una fuente sin la ayuda de ningún vehículo físico discernible.

ECUACION DE ONDA

De una onda podemos decir que es una función tanto del espacio como del tiempo. Esta es forma una ecuación diferencial parcial de segundo orden. En una dimensión, una ecuación escalar de onda adopta la forma de

∂2u∂ t 2

=c2∂2u∂ x2

Donde c es la velocidad de la onda.

SOLUCION ANALÍTICA DE LA ECUACIÓN DE ONDA:

∂2u∂ t 2

=c2∂2u∂ x2

Con condiciones iniciales:

u (0 , t )=0

u (L ,t )=0

u ( x ,0 )=f (x) (Deflexión inicial)

u ( x ,0 )=g(x ) (Velocidad con la que se aplica la deflexión inicial)

a) Utilizando el método de separación de variables

c2F ' ' ( x )G( t)=F (x)G' '(t )

G' ' (t)c2G(t )

=F ' ' (x )F (x)

=k

G' ' (t)c2G(t )

=k

F ' ' (x)F(x )

=k

G' ' ( t )−k c2G(t)=0

F ' ' (x )−k F(x )=0

Se evaluaran 3 casos de la solución1. Si k = 0

F ' ' (x )=0

Una solución de esta ecuación es

F=ax+b Evaluando en los límites dados

Si F (0 )=b=0

F (L )=aL=0 Entonces a =0, por lo tanto esta es una solución trivial y se rechaza.

2. Si k>0, k=α2 , α > 0

F ' ' (x )−∝2F (x)=0

F ( x )=A e∝ x+B e−∝ x

F (0 )=A+B=0entonces A=−B

F (L )=A e∝L+Be−∝Lentonces−Be∝L+Be−∝L=0 ,B=0 Se rechaza

3. Si k<0, k=-α2 , α > 0

F ' ' (x )+∝2F (x )=0

F ( x )=A cos (∝ x)+B sin(∝ x )

F (0 )=A=0

F (L )=B sin(∝ x)=0

sin(∝ x)=0 , para quesea cero∝L=nπ , entonces∝=nπL

F ( x )=B sin( nπL

x)

Ahora se encontrara la solución para G(t)

G' ' (t )−¿

G (t )=A cos( nπL

ct)+B sin( nπL

ct)

Finalmente:

un ( x , t )=Fn ( x )Gn (t )=sin ( nπL

x )(Bncos (cnπL

t )+Bn¿sin ( cnπ

Lt ))

Usando series de Fourier

u ( x , t )=∑n=1

∞

sin ( nπL

x)(Bn cos (cnπL

t )+Bn¿sin ( cnπ

Lt))

Con condición inicial: u ( x ,0 )=∑n=1

∞

Bn sin(nπL

x )=f (x)

Bn=2L∫0

L

f (x)sin( nπL

x )dx

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Discretizacion de la ecuación de onda por diferencias finitas

∂2u∂ t 2

−c2∂2u∂ x2

=0

ui , j+1+ui , j−1−2ui , j

(∆ t)2−c2

u i+1 , j+ui−1 , j−2u i , j

(∆ x)2=0

Despejando ui , j+1 para ver la evolución en el dominio del tiempo tenemos:

ui , j+1=( c ∆ t∆x )

2

(ui+1 , j+u i−1, j−2ui , j )−ui , j−1+2ui , j

Estabilidad de van neumman

Un método general para probar la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales finitas se obtiene de la definición de estabilidad directamente. Teniendo una ecuación de la forma:

vn+1=Bvn

Donde vn es el vector solución en el nivel de tiempo n, y B es una matriz. Es importante notar que toda aproximación en diferencias finitas, incluso aquellas que involucran más de dos niveles de tiempo (como las de la ecuación de onda), pueden escribirse de esa forma simplemente introduciendo valores auxiliares. La ecuación discretizada de onda puede escribirse como:

ui , j+1=2 (1−λ2 )ui , j+λ2 (ui+1 , j+ui−1 , j )−ui , j−1

e introduciendo una solución de la forma un , j=An e jkjh tenemos:

ξ2−2ξ (1−λ2+λ2cos kh )+1=0

que tiene como soluciones

ξ=1+λ2(cos kh−1)±√(1+λ2 (cos kh−1 ))2−1

El término fuera de la raíz esta comprendido entre 1 y 1-2λ2. Nunca puede hacerse mayor que 1 en valor absoluto si λ<1, pero puede hacerse negativo y mayor que la unidad en valor absoluto si λ>1. La raíz es siempre un número imaginario si λ<1, ya que el primer término es siempre inferior a la unidad. Por lo tanto, se cumple que |ξ|<1 si λ<1 o lo que es lo mismo cτ<h, que dice que para que la solución sea estable, la distancia que se propaga la onda durante un paso de integración temporal debe ser menor que el paso de integración espacial.

CODIGO IMPLEMENTADO

ONDA TRANSMITIDA

clear all;clc;nx=100;nt=500;dx=1/(nx);dt=1/(nt);x=0:dx:1;t=0:dt:1; u=zeros(nx,nt); k1=100;k2=250;w=10^2;c1=w/k1;c2=w/k2; for i=1:(nx/2) u(i,1)= sin((k1*x(i))-w*t(1)); u(i,2)= sin((k1*x(i))-w*t(2));end for i=(nx/2)+1:nx u(i,1)= sin((k2*x(i))-w*t(1)); u(i,2)= sin((k2*x(i))-w*t(2));end for j=3:nt-1 t(j+1)=t(j)+dt; for i=2:(nx/2) u(i,j+1)=(((c1*(dt/dx))^2)*(u(i+1,j)+u(i-1,j)-2*u(i,j)))-u(i,j-1)+2*u(i,j); end for i=(nx/2)+1:nx-1 u(i,j+1)=(((c2*(dt/dx))^2)*(u(i+1,j)+u(i-1,j)-2*u(i,j)))-u(i,j-1)+2*u(i,j); endend [X,T]=meshgrid(t(1:nt),x(1:nx));mesh(T,X,u)title('onda')xlabel('longitud (m)')ylabel('Tiempo (s)')zlabel('Amplitud')

RESULTADOS ONDA TRANSMITIDA

ONDA REFLEJADA

clc;nx=100;nt=500;dx=1/(nx);dt=1/(nt);x=0:dx:1;t=0:dt:1; u=zeros(nx,nt);ur=zeros(nx/2,nt); k1=90;k2=200;w=50;c1=w/k1;c2=w/k2; for i=1:(nx/2) u(i,1)= sin((k1*x(i))-w*t(1)); u(i,2)= sin((k1*x(i))-w*t(2));end for i=(nx/2)+1:nx u(i,1)= sin((k2*x(i))-w*t(1)); u(i,2)= sin((k2*x(i))-w*t(2));end for j=3:nt-1 t(j+1)=t(j)+dt; for i=2:(nx/2) u(i,j+1)=(((c1*(dt/dx))^2)*(u(i+1,j)+u(i-1,j)-2*u(i,j)))-u(i,j-1)+2*u(i,j); end for i=(nx/2)+1:nx-1 u(i,j+1)=(((c2*(dt/dx))^2)*(u(i+1,j)+u(i-1,j)-2*u(i,j)))-u(i,j-1)+2*u(i,j); endend for j=1:nt for i=1:nx/2 ur(i,j)=u((nx/2)+1-i,j)-u((nx/2)+i,j); endend for j=1:nt for i=1:nx/2 u(i,j)=u(i,j)+ur(i,j); endend [X,T]=meshgrid(t(1:nt),x(1:nx));

mesh(T,X,u)title('onda')xlabel('longitud (m)')ylabel('Tiempo (s)')zlabel('Amplitud')

RESULTADOS ONDA REFLEJADA

DIFUSION

clear all;clc;nx=100;nt=500;dx=1/(nx);dt=1/(nt);x=0:dx:1;t=0:dt:1; u=zeros(nx,nt);ur=zeros(nx/2,nt); epsilon=40*10^-12;sigma=100;k1=50;k2=20;w=40;c1=w/k1;c2=w/k2;alfa=w*sqrt((1/(2*sqrt(c2)))*sqrt(1+(sigma/(epsilon*w))^2)-1);beta=w*sqrt((1/(2*sqrt(c2)))*sqrt(1+(sigma/(epsilon*w))^2)+1);

for i=1:(nx/2)

u(i,1)= sin((k1*x(i))-w*t(1)); u(i,2)= sin((k1*x(i))-w*t(2));end for i=(nx/2)+1:nx u(i,1)= sin((k2*x(i))-beta*t(1)); u(i,2)= sin((k2*x(i))-beta*t(2));end for j=3:nt-1 t(j+1)=t(j)+dt; for i=2:(nx/2) u(i,j+1)=(((c1*(dt/dx))^2)*(u(i+1,j)+u(i-1,j)-2*u(i,j)))-u(i,j-1)+2*u(i,j); end for i=(nx/2)+1:nx-1 u(i,j+1)=(((c2*(dt/dx))^2)*(u(i+1,j)+u(i-1,j)-2*u(i,j)))-u(i,j-1)+2*u(i,j); endend for j=1:nt for i=1:nx/2 ur(i,j)=u((nx/2)+1-i,j)-u((nx/2)+i,j); endend for j=1:nt for i=1:nx/2 u(i,j)=u(i,j)+ur(i,j); endend for i=(nx/2)+1:nx u(i,1)= exp(-alfa*x(i))*sin((k2*x(i))-beta*t(1)); u(i,2)= exp(-alfa*x(i))*sin((k2*x(i))-beta*t(2));end for j=3:nt-1 for i=(nx/2)+1:nx-1 u(i,j+1)=(((c2*(dt/dx))^2)*(u(i+1,j)+u(i-1,j)-2*u(i,j)))-u(i,j-1)+2*u(i,j); endend [X,T]=meshgrid(t(1:nt),x(1:nx));mesh(T,X,u)title('onda')xlabel('longitud (m)')ylabel('Tiempo (s)')zlabel('Amplitud')

RESULTADOS DIFUSION

Bibliografía

http://www.uv.es/diazj/mne_tema3.pdf

http://pelusa.fis.cinvestav.mx/tmatos/LaSumA/LaSumA2_archivos/Supercomputo/metodos.pdf