Pontificia Universidad Catlica de Chile Departamento de Ingeniera Mecnica y Metalurgia ICM 2003 Sistemas Electromecnicos Profesor Luciano Eduardo Chiang Snchez

Informe Laboratorio 1 ICM2003 Sistemas Electromecnicos

Benjamn A. Lagos B.

IntroduccinLas inductancias son elementos que se pueden encontrar en mltiples aplicaciones, desde electrnica hasta dispositivos de conversin de energa elctrica a mecnica. Para nosotros como ingenieros mecnicos, estos ltimos son de especial inters, ya que con ellos podemos disear diferentes tipos de mecanismos tales como cerraduras elctricas, vlvulas, sensores, etc. Es por esto que su estudio es necesario. En el presente informe se dan a conocer 2 experiencias de laboratorio realizadas con bobinas. La primera consiste en comparar un valor terico de la inductancia (considerando la reluctancia del elemento) con uno determinado usando un modelo de circuito RL (usando la resistencia del circuito, la frecuencia angular y el desfase corriente-voltaje). La segunda parte de la experiencia consiste en calcular de manera terica el peso mximo que se puede levantar con un electroimn y compararlo con el peso posible de levantar en la prctica. Adems se hace un anlisis de la corriente ocupada por el electroimn en el proceso.

Aspectos previosInstrumentos usadosPara esta experiencia se usaron los siguientes instrumentos de medicin: Multimetro El multmetro es una herramienta de medicin digital capaz de medir Voltaje (continuo y alterno), Resistencia y corriente ( alterna y continua) en general.

Ilustracin 1: Multimetro Fluke 87

Generador de funciones Permite entregar una onda de forma cuadrada, sinusoidal o triangular permitiendo variar algunas de sus propiedades.

Ilustracin 2: Generador de funciones INSTEK GFG-8216A

Osciloscopio digital Es un instrumento que representa seales elctricas que pueden variar con el tiempo. Solo mide voltaje a travs de sus 2 entradas. Permite calcular diferentes cosas de cada seal ingresada (V medio,V rms, Vpeak-to-peak, frecuencia).

Ilustracin 3:Osciloscopio digital Tektronix TDS1002B

Fuente DC Permite generar corriente continua hasta 30 V por cada uno de sus dos canales.

Ilustracin 4 : Fuente de poder Instek GPS-3303

Hay 2 canales variables y uno fijo de 5v y un mximo de 3 amperes. Cada una de las 3 tiene salidas positiva (rojo) y negativa (negro) Los canales variables tienen un voltaje de 0-30 volt, el amperaje se puede limitar hasta 3 amperes, mximo. Los botones del centro permiten conectar las fuentes en serie o en paralelo.

Marco TericoCircuito RL El inductor real se puede modelar como un circuito RL donde R es la resistencia interna y L el valor de la inductancia.

Ilustracin 5 : Circuito RL

La ecuacin que gobierna a este sistema es: ( )

Cuya solucin, asumiendo una respuesta oscilatoria, para la corriente es: ( ) ( ( ) ( ))

(

)

(

)

(

)

Que puede escribirse como: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) ( ))

Donde , que representa el desfase entre la corriente y el voltaje de la fuente, est dado por: ( ) ( )

A partir de esa expresin se puede determinar la inductancia teniendo el desfase: ( )

Ecuacin 1

Clculo de la resistencia interna de una bobina El clculo de la resistencia interna de una bobina se puede determinar segn:

Ecuacin 2Donde Lc: largo del conductor, Ac: rea del conductor y : la resistividad del conductor. Para determinar el largo del conductor, consideremos una bobina de alto H y dimetro del ncleo D.

Ilustracin 6 : Ejemplo de bobina con nucleo de hierro y sus caractersticas http://www.falconacoustics.co.uk

Sean: V: el nmero de vueltas por capa (estimado segn D/d) d: el dimetro del alambre conductor N: el nmero de vueltas dado Ncap: el nmero de capas (estimado segn [ ], la parte entera de N/V) [ ], la parte entera de

Ilustracin 7: Esquema de la bobina y sus dimensiones

Segn el esquema de la ilustracin 7, el largo de las primeras capas puede escribirse como: ( ( ( En general para la i-sima capa: ( ( ) ) ) ) )

Finalmente sumando para todas las capas tenemos la siguiente expresin:

(Ecuacin 3

(

) )

Clculo de la inductancia de un inductor El clculo de la inductancia de un inductor se puede determinar de la siguiente manera: Considerando que el flujo en un inductor se puede calcular segn:

Donde

: reluctancia del inductor, dada por :

Donde: : largo de la bobina : permeabilidad del ncleo : rea de la seccin transversal del ncleo Segn la ley de Faraday, al pasar una corriente i a travs de un circuito, se genera una fuerza electro motriz inducida dada por: | | | |

Y ya que la cada de tensin en una inductancia cumple con:

Tenemos entonces que: | |

Ecuacin 4

Clculo de la fuerza ejercida por un solenoide Se puede demostrar que la fuerza ejercida por un solenoide es de la forma:

( )

Ecuacin 5Donde: N: nmero de vueltas i: corriente que pasa a travs del conductor ( ): reluctancia del sistema en funcin de la distancia x calculada como: ( ) : rea de la seccin transversal del ncleo : permeabilidad del vacio

Ilustracin 8 : Esquema del campo en un solenoide y la fuerza que ejerce

Si este sistema es modelado segn un circuito RL alimentado por una fuente de corriente continua de voltaje V, y la dinmica de la masa m sigue la ecuacin: ( ) son: )

Entonces las ecuaciones en el espacio del estado ( ) ( ( ) ) (

Ecuaciones 6,7,8

Montaje experimentalPrimera parte: comparacin del valor de la resistencia terico y emprico Usando la Ecuacin 2 se compara la resistencia interna de la bobina calculada de manera terica con la resistencia medida por medio del multmetro. Segunda parte: comparacin del valor de la inductancia terico y emprico En la primera parte de esta experiencia deseamos comparar el valor terico de la inductancia (Ecuacin 4) con el valor calculado segn la medicin del desfase (Ecuacin 1). El modelo de circuito a utilizar es el siguiente donde: R1: Resistencia de 1ohm usada para medir la corriente RL: Resistencia interna de la inductancia Vcos(t): onda sinusoidal de 22 V a 100 Hz entregada por el generador de funciones

Ilustracin 9: Modelo de circuito usado

En el osciloscopio se midieron los voltajes de la bobina (CH1) y de la resistencia R1 (CH2). Por medio de los datos recopilados se pretende encontrar el desfase entre la corriente y la fuente de voltaje ya que R1 est en fase con la corriente y VL en fase con la fuente.

Tercera parte: Comparacin terico-emprica de la fuerza de un solenoide Usando la Ecuacin 5 se calcula el peso terico posible de levantar a diferentes distancias del solenoide y a condiciones elctricas determinadas (11.3 V & 1.05 A).

Ilustracin 10: Circuito empleado para el solenoide

Cuarta parte: Simulacin de la corriente en el electroimn para el mximo peso levantado Usando las Ecuaciones 6,7,8 y por medio de tcnicas numricas se puede simular la evolucin de la corriente en el tiempo de manera transiente.

Resultados

Parte1:

Parte2:

Para obtener la Inductancia segn la Ecuacin 1 es necesario tener el desfase entre la corriente y la fuente de voltaje. Si resolvemos la ecuacin diferencial asociada a este problema y graficamos los valores de la corriente, su derivada y la excitacin en la fuente( sin importar sus amplitudes), obtenemos:

Ilustracin 11 : Rojo: Fuente de voltaje alterno , Azul : i(t), Verde: di/dt

Con lo que es posible determinar el desfase usando el voltaje en la inductancia (Ldi/dt) y la corriente. El grfico entregado por el osciloscopio para 22V y 100Hz en la fuente es:

Ilustracin 12: CH1: voltaje en la inductancia, CH2: voltaje en R1=1 Ohm

Segn la informacin de la imagen y los datos se obtuvieron los siguientes parmetros (importantes ya que el archivo entregado por el osciloscopio entregaba solo el valor del voltaje medido sin el tiempo asociado).

Con estos parmetros fue posible graficar los datos en funcin del tiempo, amplificando adecuadamente la corriente para poderla ver bien.

Ilustracin 13: Grfico del voltaje de la inductancia(azul) y la corriente (verde)

Para determinar el desfase se tom el intervalo de tiempo [0-0.01] y se buscaron los mximos de cada curva, y con ello el tiempo en que ocurran. Con los valores de t1 y t2 obtenidos se pudo calcular el ngulo de desfase y la inductancia usando la ecuacin 1.

Parte3:

Adems se midieron varios valores de masa y la distancia a la que el solenoide fue capaz de levantarlas. En la siguiente tabla se comparan estos valores junto con el peso terico posible de levantar a esa distancia.

Parte 4: Simulacin de la corriente que pasa por el solenoide Usando las ecuaciones en el espacio del estado e iterando por medio del mtodo de newton obtenemos los siguientes grficos para la corriente y para la distancia entre la golilla y el ncleo. Se us una masa mxima de 6 gramos.

0,012000,01000 distancia(m) 0,00800 0,00600 0,00400 0,00200 0,00000 0 0,005 Tiempo (s) 1,2 1 Corriente (A) 0,8 0,01 0,015 x

0,60,4 0,2 0 0 0,005 0,01 0,015 i

Tiempo (s)Ilustracin 14: Grficos para la corriente simulada

Anlisis de datos y conclusionesParte 1: Comparando ambas resistencias tenemos:

No es una gran diferencia, estn dentro del orden de magnitud. La diferencia puede originarse por diferencias de la conductividad del cable usado con la conductividad del cobre sacada de la literatura. Otro factor importante puede ser las suposiciones hechas al hacer el clculo y la medicin de los datos, ya que estos pueden tener cierto error de medicin. Parte 2:

Aqu encontramos una diferencia tremenda. Al parecer el calcular la inductancia por medio del desfase no es buena tcnica, a menos que se tenga una gran precisin en los instrumentos usados. Una de las causas de la diferencia es que el valor de tan(desfase) que est incluido en la ecuacin 1 hace que pequeas variaciones del desfase haga que cambie mucho el valor de la inductancia calculada. Si graficamos el valor de el desfase terico en el grfico anterior obtenemos

Ilustracin 15: Grafico del desfase entre la corriente y el voltaje en la inductancia( incluye desfase terico)

Aqu vemos que el desfase terico se aproxima al peak inferior de la curva verde lo que puede suponer un error de medicin, por lo que probablemente los bornes de la sonda del osciloscopio fueron puestos al revs la medir la seal en la resistencia de 1 ohm. Parte 3: El peso terico es casi 400 veces el peso levantado en la prctica. Esto denota lo mala que es la aproximacin de que el flujo total que sale del solenoide llega a la golilla, ya que se pierde mucho flujo en el camino. Por otro lado el rea de la golilla era menor a la del ncleo y adems la golilla tena un hoyo al medio lo que reduca el contacto. Todos esos factores adems de errores de medicin, pueden ser los causantes del error. Parte 4 El grfico de X indica lo que se espera, que disminuya con el tiempo hasta llegar a 0. El grfico de la corriente muestra un comportamiento diferente, aumentando hasta llegar a un peak y luego bajando hasta llegar a 0. Como comentario final puedo decir que para mejorar esta experiencia sera mejor medir (para la parte 2) el voltaje directamente desde la fuente. Otra manera de mejorar la experiencia podra ser teniendo ms precaucin al medir las longitudes usada. Para evitar el ruido en las mediciones podra usarse un filtro electrnico.

Bibliografa Richard C. Dorf (1993). Propiedad de los materiales magnticos. Electrical Engineering Handbook. IEEE Press. ISBN 0-8493-0185-8.