Universidad del Quindío. Foronda, Marmolejo, Pérez, Arcos. Informe Análisis Senoidal en estado estable (Fasores).

Resumen— el presente documento permite respaldar la práctica de laboratorio realizada, con la cual se analizaron el comportamiento de circuitos en estado estable, para determinados elementos que permitieran un desfase como respuesta para un valor especifico en el tiempo, de esta forma el informe muestra los tipos de respuesta obtenidos en los distintos instrumentos de medida, comparando las mismas con simulaciones en software y valores calculados.

Índice de Términos— simulación, impedancia, desfase, señal

I. INTRODUCCIÓN

El análisis de circuitos complejos con resistencias, inductancias y capacitancias de tipo senoidal resulta muy esencial. El análisis senoidal por fasores es una manera simple de analizar circuitos sin resolver las ecuaciones diferenciales, por medio de fuentes senoidales a una frecuencia dada, y una vez que el sistema se encuentra en estado estable. Un fasor es una representación en el plano complejo de la magnitud y fase de la señal en el tiempo asociada al fasor. Como este representa una condición de inicio no depende del tiempo. El análisis por fasores simplifica el estudio al caso de ecuaciones algebraicas, pero con la diferencia de que ahora se trabaja con números complejos.

II. RESULTADOS DE APRENDIZAJE RAP

Conocer el funcionamiento y la aplicación de los desplazadores de fase o desfasadores.

Aprender a diseñar e implementar circuitos senoidales en estado estable, de los cuales se puede establecer variaciones de fase de la señal obtenida respecto de la función forzante mediante el uso de elementos pasivos como inductancias, resistencias y capacitancias dando como resultado un desfasador para este caso de un desplazo de fase de 110°

Aprender a diseñar un osciloscopio senoidal variable de 500Hz a 1,5KHz y que pueda tener una amplitud variable con alimentación de corriente directa.

Conocer algunas de las aplicaciones que existen gracias al osciloscopio senoidal mediante frecuencias específicas.

III. MARCO TEORICO

“Desfasadores: Un circuito desfasador suele emplearse para corregir un corrimiento de fase indeseable ya presente en un circuito o para producir efectos especiales deseados.

Análisis Senoidal en estado estable (Fasores)Foronda, Jose; Marmolejo, Alejandro; Pérez, Carlos; Arcos, Brayan.

Facultad de Ingeniería, Universidad Del QuindíoArmenia, Colombia

jrforondam@uqvirtual.edu.coalejomava@gmail.com

carfelcoper@hotmail.combrayanbrs13@gmail.com

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Un circuito RC es conveniente para este propósito, porque su capacitor provoca que la corriente del circuito se adelante a la tensión aplicada. Dos circuitos RC de uso común aparecen en la figura 1. (Circuitos RL o cualesquiera circuitos reactivos también podrían servir para el mismo propósito.) En la figura 1a), la corriente del circuito I se adelanta a la tensión aplicada Vi en algún ángulo de fase θ donde 0< θ < 90°, dependiendo de los valores de R y C. Si Xc = -1/wC, entonces la impedancia total es Z = R+jXC, y el desplazamiento de fase está dado por

θ=tan−1( XcR )

(1)

Esto indica que el corrimiento de fase depende de los valores de R, C y la frecuencia de utilización. Puesto que la tensión de salida a través del resistor está en fase con la corriente, se adelanta (desplazamiento de fase positivo) a como se muestra en la figura 2a).En la figura 1b), la salida se toma a través del capacitor. La corrienteI se adelanta a la tensión de entrada Vi en θ pero la tensión Vo(t) de salida a través del capacitor se atrasa (desplazamiento de fase negativo) de la tensión de entrada vi(t) como se ilustra en la figura 2b).

Figura 1. Circuito RC desfasadores en serie: a) de salida adelantada, b) de salida atrasada

Figura 2. Desplazamiento de fase en circuitos RC: a) salida adelantada, b) salida atrasada.

Se debe tener en cuenta que los circuitos RC simples de la figura 1 también actúan como divisores de tensión. Por lo tanto, conforme el corrimiento de fase θ se aproxima a 90°, la tensión Vo de salida se aproxima a cero. Por esta razón, esos circuitos RC simples sólo se utilizan cuando se requieren corrimientos de fase reducidos. Si se desea tener desplazamientos de fase mayores de 60°, se disponen redes RC simples en cascada, para producir un desplazamiento de fase total igual a la suma de los desplazamientos de fase individuales. En la práctica, el corrimiento de fase debidos a las etapas no es igual, porque la carga de las etapas sucesivas es menor que la de las etapas anteriores, a menos que se usen amplificadores operacionales para separar las etapas.” [1]

“Osciladores: Se sabe que la cd se produce con baterías. Pero, ¿cómo se produce ca? Un medio para hacerlo es el empleo de osciladores, los cuales son circuitos que convierten cd en ca.

Un oscilador es un circuito que produce una forma de onda de ca como salida cuando se le alimenta con una entrada de cd.La única fuente externa que necesita un oscilador es el suministro de potencia de cd. Irónicamente, el suministro de potencia de cd suele obtenerse

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convirtiendo la ca provista por la compañía suministradora de energía eléctrica en cd. Luego de librar la molestia de la conversión, cabría preguntar por qué se debe usar el oscilador para convertir la cd nuevamente en ca. El problema es que la ca provista por la compañía suministradora opera a una frecuencia prestablecida de 60 Hz en Estados Unidos (50 Hz en otras naciones), mientras que muchas aplicaciones como circuitos electrónicos, sistemas de comunicación y dispositivos de microondas requieren frecuencias internamente generadas que van de 0 a 10 GHz o más. Los osciladores sirven para generar esas frecuencias.

Para que los osciladores de onda senoidal sostengan sus oscilaciones, deben satisfacer los criterios de Barkhausen:

1. La ganancia total del oscilador debe ser unitaria o mayor. Por lo tanto, las pérdidas deben compensarse con un dispositivo de amplificación.2. El desplazamiento de fase total (de la entrada a la salida y de nuevo a la entrada) debe ser de cero.

Hay tres tipos comunes de osciladores de onda senoidal: el de desplazamiento de fase, el T gemelo y el puente de Wien. Aquí sólo se considera el oscilador de puente de Wien.

Figura 3. Oscilador de puente de Wien

El oscilador de puente de Wien es de amplio uso en la generación de senoides en la gama de frecuencia inferior a 1 MHz. Es un circuito de amplificador operacional RC con apenas unos cuantos componentes, fácil de ajustar y diseñar. Como se

observa en la figura 3, este oscilador consta en esencia de un amplificador no inversor con dos trayectorias de retroalimentación: la trayectoria de retroalimentación positiva a la entrada no inversora crea oscilaciones, mientras que la trayectoria de retroalimentación negativa a la entrada inversora controla la ganancia. Si se definen las impedancias de las combinaciones RC en serie y en paralelo como Zs y Zp, entonces:

Zs=R 1+ 1jωC 1

=R 1− jωC 1

(2)

Zp=R 2∨¿ 1jωC 2

= R 21+ jωR2 C 2

(3)

La razón de retroalimentación es:

V 2Vo

= ZpZs+Zp

(4)

La sustitución de las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación (3) produce:

V 2Vo

= R 2

R 2+(R 1− jωC 1 ) (1+ jωR 2 C 2 )

= ωR2 C 1

ω ( R 2C 1+R 1C 1+R 2C 2 )+ j (ω2 R 1C 1R 2C 2−1 )

(5)

Para satisfacer el segundo criterio de Barkhausen, V2 debe estar en fase con Vo, lo que implica que la razón de la ecuación (5) debe ser puramente real. Así, la parte imaginaria debe ser de cero. La fijación de la parte imaginaria en cero produce la frecuencia de oscilación ωo como:

ωo2 R 1C 1 R 2C 2−1=0O sea:

ωo= 1

√R 1 R 2C 1C 2 (6)

En la mayoría de las aplicaciones prácticas, R1 = R2 y C1 = C2, de modo que:

ωo= 1RC

=2 πfo (7)

O sea:

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fo= 12 πRC

(8)

La sustitución de la ecuación (7) y R1 = R2 = R, C1 = C2 = C en la ecuación (5) deriva en:

V 2Vo

=13

(9)

Así, para satisfacer el primer criterio de Barkhausen, el amplificador operacional debe compensar mediante el suministro de una ganancia de 3 o mayor a fin de que la ganancia total sea al menos de 1, o la unidad. Recuérdese que en el caso de un amplificador no inversor,

VoV 2

=1+ RfRg

=3 (10)

O sea:

Rf =2 Rg (11)

Debido al retraso inherente causado por el amplificador operacional, los osciladores de puente de Wien están limitados a operar en la gama de frecuencia de 1 MHz o menos.” [2]

“Figuras de Lissajous:

Figura 4. Determinación del ángulo de fase a partir de figuras de Lissajous

La diferencia de fase θ se calcula de la figura de Lissajous mediante la ecuación: AB

=Senθ (12)

Siendo A el punto donde la elipse cruza el eje Y (Figura 4.)” [3]

Para el cálculo del desfase también se puede hacer uso de una regla de tres, simple; por ejemplo, suponiendo que tenemos dos señales donde el periodo T de una de ellas es 1ms y luego mirando el tiempo desfasado, ya sea de un pico de una onda a otra, supongamos que este es 300μs, entonces:

1ms ⇒ 360°

300 μs ⇒ X

O sea:

X=360 °∗300x 10−6 s1 x10−3 s

=108 ° (13)

De este modo también podremos obtener el desfase en grados.

IV. MARERIALES Y EQUIPOS

Los materiales y equipos empleados para la práctica son.

Resistencias. Potenciómetros. Capacitores. Osciloscopio. Generador de ondas. Multímetro. Protoboard. Software Pspice.

V. PROCEDIMIENTO

Problema 1: Teniendo en cuenta la parte teórica de “Desfasadores” de la teoría, implementamos dos circuitos como los de la Figura 1a) uno que desfase aproximadamente 80° y el otro aproximadamente 30° para así obtener un desfase total de más o menos 110°.

Para obtener el desfase para cada caso, con un voltaje Vi aplicado de 6V y una frecuencia f=1KHz :

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Caso 1, desfase aproximadamente de 80° mediante divisor de voltaje:

Vo= Vi∗R

R−j

ωC (15)

ω=2 πf (16)

Reemplazando la ecuación (16) en la ecuación (15) tenemos que:

Vo= 6∗R

R−j

2πfC (17)

Reemplazando valor de resistencia R=5,4Ω y una capacitancia C=4,63μF (Valores medidos), obtenenos:

Vo= 6∗5,4

5,4−j

2π∗(103 )∗4,63∗10−6 ¿0,931∠81,072 °

(18)

Ahora para el caso 2, desfase aproximadamente de 30° mediante divisor de voltaje:

Para obtener estos valores se usó una resistencia R=50,3 Ω y una capacitancia C=4,53μF y se reemplazaron en la ecuación (17)Vo= 6∗50,3

50 , 3−j

2 π (103)(4,53∗10−6)

=4,918∠34,933°

(19)

Entonces para obtener un desfase de aproximadamente 110° se unieron los dos circuitos, poniendo uno de ellos en paralelo a la resistencia del otro, pero primero pasando las capacitancias de dominio del tiempo a dominio de la frecuencia, en este caso f=1KHz con valores de capacitancias C1=4,63μF, C2= 4,53 μF, con la relación

Zc= − j2 πfC

(20)

Así:

Z=5,4∥50,3− j35,133=(5,4)(50,3− j35,133)

55,7− j35,133

Z=5,025− j 0,236 (21)

Como el circuito resultante está en serie se hizo divisor de voltaje para hallar el voltaje en Z

Vz=(6 )∗(5,025− j 0,236)

5,025− j0,236− j 34,373=0,863∠79,049 °

(22)

El voltaje de Z es igual a la suma de los voltajes de la resistencia de 50,3 Ω y la capacitancia de –J35,133 Ω, entonces como el voltaje es conocido hallamos la corriente por ley de ohm

I=0,863∠79,049°50,3− j 35,133

=14,065∗10−3∠113,982°

(23)

Por último se halló el voltaje en la resistencia de 50,3 Ω el cual sería el voltaje donde se desfasa, en este caso aproximadamente 110°

V 50,3Ω=(14,065∗10−3∠113,982° ) (50,3 )V 50,3Ω=0,707∠113,982° (24)

Simulación:

Figura 5. Circuito desfasador

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Figura 6. Análisis AC de circuito desfasador

Figura 7. Señal generada por el circuito desfasador

Figura 8. Figura de Lissajous generada por el circuito desfasador

Para el cálculo del error se usó la formula

%Error=¿Valor teorico−ValorPractica∨¿

Valorteorico

x100¿

(25)

Problema 2: Teniendo en cuenta la parte teórica de “Osciladores” de la teoría, se implementó un circuito de puente de wien como el de la Figura 3 y usando la ecuación (7) pero en este caso R1≠R2, entonces la ecuación (7) quedaría así:

fo= 1

2 πC√ R 1 R 2 (26)

R2 la pondremos como una resistencia fija de aproximadamente 10KΩ y se reemplaza el rango mínimo de la frecuencia dada, el cual es 500Hz al igual que las capacitancias utilizadas las cuales también serán fijas con un valor de 104nF, así:

500 Hz= 1

2 π∗104 nF∗√R 1∗10 K Ω Despejamos

R1

R 1= 1

(2 π∗104 nF∗500 Hz∗√10 K Ω)2=936,771Ω

(27)

Lo mismo se hace para una frecuencia de 1,5Khz:

R 1= 1

(2 π∗104 nF∗1,5 KHz∗√10 K Ω)2=104,085 Ω

(28)

Ahora para la amplitud se hace uso de la ecuación (5) con el término que acompaña a la j siendo igual a cero, y como C1=C2 asi:

V 2Vo

= ωR2 C 1ω ( R 2 C 1+R 1C 1+R 2 C 2 )

O seaV oV 2

=(2R 2+R 1 )

R 2 (29)

Entonces, para 500Hz se reemplazan los valores utilizados para generar esta frecuencia:

V oV 2

=(2∗10 K Ω+936,771Ω)

(10 K Ω)=2,093 (30)

Y para 1,5Khz:

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V oV 2

=(2∗10 K Ω+104,085 Ω)

(10 K Ω)=2,010

(31)

Ahora usando la ecuación (10) y despejando Rf tenemos:

Rf =Rg( VoV 2

−1) (32)

Para 500Hz:

Rf =1 Ω (2,093−1 )=1,093 Rg

Para 1,5Khz:

Rf =1 Ω (2,093−1 )=1,010 Rg

VI. RESULTADOS

Tabla 1. Desfase en cada método y porcentaje de error, problema 1.

Método de análisis Valor( °) %Error

Calculado 113,982 3,620

Análisis AC 114,000 3,636

Figura Lissajous 112,619 2,381

Señales 108,360 1,490

VII. CONCLUSIONES.

Se asimiló el diseño e implementación de circuitos senoidales en estado estable, de los cuales se puede establecer variaciones de fase de la señal obtenida respecto de la función forzante mediante el uso de elementos pasivos como inductancias, resistencias y capacitancias dando como resultado un desfasador para este caso de un desplazo de fase de aproximadamente 110°

Mediante los porcentajes de error en la tabla 1 se verifica que para el Problema 1 se llegó

a la expectativa, ya que, el error obtenido es una buena cifra.

Se asimiló el diseño de un osciloscopio senoidal variable de 500Hz a 1,5KHz y que pueda tener una amplitud variable con alimentación de corriente directa.

Se conocieron algunas de las aplicaciones que existen gracias a circuitos desfasadores, (implementando elementos pasivos y un magnificador de amplitud) como lo es el osciloscopio senoidal mediante a una frecuencia específica.

Se reconocieron posibles causas de error en la implementación de los circuitos, ya que, en ellos existen pérdidas y ganancias debidas, por ejemplo, a las resistencias que tiene cada elemento.

VIII. REFERENCIAS

[1] . Alexander.Charles.K., Sadiku.Matthew N. O. Fundamentos de circuitos eléctricos. 3ª ed. México: McGraw-Hill/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. 2006.

[2] . Alexander.Charles.K., Sadiku.Matthew N. O. Fundamentos de circuitos eléctricos. 3ª ed. México: McGraw-Hill/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. 2006.

[3] . Stanley Wolf, Richard F. M. Smith. Guía para mediciones electrónicas y prácticas de laboratorio. México: Pearson Educación. 1992

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