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Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Departamento de Ingeniería Civil

INFORME DE TOPOGRAFíA (CI3502)

Informe Taller N° 1: “Método de Cross”

Sección 1

Grupo 8

Nombres Alexis Córdova Ch.

Nicolás Escobar R.

Profesor Iván Bejarano B.

Ayudante Cristóbal Pineda

Fecha Realización Martes 03 de mayo

Fecha Entrega Martes 24 de mayo

2

Índice

1. Introducción .................................................................................................................................... 3

2. Cálculos ........................................................................................................................................... 7

3. Análisis de Errores y Conclusiones ................................................................................................ 18

3

1. Introducción 1.1. Introducción General

En el presente informe se da a conocer el trabajo realizado durante el primer taller en

terreno del curso de Topografía: Método de Cross.

Esta experiencia permitirá el desarrollar un procedimiento numérico iterativo, el cual será

utilizado para compensar redes cerradas. El método empleado recorrerá los diversos bucles

establecidos durante la realización del ejercicio, realizando reparaciones en los errores que

presenten los desniveles al realizar una NGC, para así minimizar la propagación del error, de

manera que, independiente el camino que se recorra, se obtenga de la sumatoria de desniveles un

valor igual a cero. Para esto, como se mencionó anteriormente, se utilizará el método de

nivelación geométrica cerrada.

El ejercicio se llevó a cabo el día martes 03 de mayo, dando inicio a la experiencia

aproximadamente a las 14:00hrs. La ubicación en donde se realizó fue entre las calles Vergara y

Almirante Latorre, y entre Domeyko y Toesca, siendo en específico, la cuadra de Domeyko con

Vergara la que en este informe presentará la NGC (ver figura 1).Un clima soleado proporcionó

buenas condiciones de trabajo.

Figura 1: Croquis del Terreno

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1.2. Introducción Teórica

Se presentan las fórmulas de cálculo usadas en este informe.

I. Error de cierre circuito cerrado de nivelación:

�� = ∑ �� − ∑ ��

Donde ii

LAT∑ [m]: Suma de lecturas atrás,

yii

LAD∑ [m]: Suma de lecturas adelante.

II. Error unitario para la compensación de las cotas:

� = ��

n : Número de posiciones instrumentales totales para nivelar el tramo,

ce [m]: Error de cierre,

ue [m]: Error unitario.

III. Error unitario para la compensación de los desniveles:

� = ��∑ �� ⁄ ��

||/ cs

iidn∑ [m]: Suma de desniveles sin compensar.

IV. Compensación de los desniveles parciales:

� �� = � �� ⁄ − � ∙ �� ⁄ �

csdn

/[m]: Desnivel sin compensar, c

dn [m]: Desnivel compensado.

V. Compensación de las cotas:

�� = �� ⁄ − � ∙ �

cs

kC

/ [m]: Cota sin compensar,

k : Posición instrumental k-ésima, c

kC [m]: Cota compensada.

5

VI. Ángulo de esviaje del Eje de Colimación y la Línea de fe:

�� ≈��

e [m]: Error de estaciones conjugadas,

Dh [m]: Distancia horizontal entre las miras, RADi [rad]: Ángulo de esviaje entre EC y línea de fe.

VII. Propagación de errores:

��(��) = !" # $%$&� ∙ ��'(

VIII. Error Método de las Estaciones Conjugadas:

� = �� + �*2 − ,� + ,*2

AL [m]: Lectura de mira lejana desde primera posición instrumental,

BL [m]: Lectura de mira lejana desde segunda posición instrumental,

Ah [m]: Lectura de mira cercana desde primera posición instrumental,

Bh [m]: Lectura de mira cercana desde segunda posición instrumental.

IX. Corrección Unitaria

∆K = eu· k

6

1.3. Metodología empleada en terreno

1.3.1. Método de las Estaciones Conjugadas

Se ubica el nivel del ingeniero en las cercanías de una de las dos miras, las que están

separadas entre ellas a una distancia Dh determinada. Se toman lecturas sobre cada una de las

miras (La y hb), para luego realizar lecturas con el nivel trasladado a las cercanías de la otra mira

(las miras no se deben desplazar cuando se trabaja con este método). Estas nuevas lecturas las

llamaremos ha y Lb.

1.3.2. Método Aplicado para la Nivelación Geométrica Cerrada

Al inicio del taller se observan los puntos de referencia que se usarán durante la

experiencia, en base a estos y a la distancia que existe entre ellos, se determinan puntos de ayuda,

por consiguiente se definirán la cantidad de posiciones instrumentales a realizar. De esta manera

los puntos principales a medir serán PR8, PR7 y PR6. Entre PR8 y PR7 se adicionarán dos puntos

más de medición que se designarán como A y B, mientras que entre PR7 y PR6, sólo se ubicará un

punto adicional identificado como C. Finalmente se realizarán 10 posiciones instrumentales para el

cálculo de desniveles, dos por cada uno de los cinco bucles a desarrollar. En cada bucle se colocan

miras en los extremos y se procede a leer hilos medios en cada una de ellas (es importante hacer

esto respetando el orden), siguiendo lo aprendido en cátedras sobre la NGC.

Al procesar estos datos podemos obtener el desnivel entre dos puntos, utilizando las

fórmulas explicitadas en la introducción teórica.

1.3.2. Método de Cross

1) Se determina la cantidad de bucles a utilizar.

2) Luego de calcular los desniveles a partir de la NGC de cada bucle, se compensan,

respetando el orden impuesto.

3) Una vez compensado todos los bucles, se compensa el bucle completo.

4) El procedimiento se repite hasta que los errores de cierre de cada bucle pequeño

sea menor a 10-4 [m].

7

2. Cálculos 2.1. Errores instrumentales (Estaciones Conjugadas)

Mediante el método de estaciones conjugadas se procedió a calcular el error de calaje.

Los datos medidos son:

Ha = 1.366 [m]

Hb = 1.382 [m]

La = 1.37 [m]

Lb = 1.377 [m]

Así, el error de calaje será

e = -0,05[m]

2.2. Registro de los tramos, cálculo del error de cierre

2.2.1. Bucles entre PR8 y PR7

Medidas tomadas en terreno para los tramos nivelados y su cálculo de errores, utilizando las

fórmulas II y III.

La tabla 1 da cuenta de los valores en el primer bucle:

Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+)[m] Dns/c (-)[m]

PR8 1.94 - - -

A 0.98 0.969 0.971 -

PR8 - 1.949 - 0.969

SUMA 2.92 2.918 0.971 0.969 Tabla 1

./ = 0.002 [m]

.0= 0.001031 [m]

8

Los datos del segundo y tercer bucle son los siguientes:

Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+)[m] Dns/c (-)[m]

A 1.729 - - -

B 1.584 1.993 - 0.264

PR7 1.195 1.192 0.392 -

B 2.004 1.589 0.394

A - 1.74 0.264

SUMA 6.512 6.514 0.656 0.658 Tabla 2

./= - 0.002 [m]

.0= -0.001522 [m]

2.2.1. Bucles entre PR7 y PR6

Al igual que para los dos bucles del primer tramo, se entregan los datos y se calculan los

errores asociados.

En la tabla 3 están los datos del primer bucle en el segundo tramo:

./ = - 0.001 [m].

.0= -0.002268 [m]

Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+) [m] Dns/c (-) [m]

PR7 1.501 - - -

C 1.271 1.281 0.220 -

PR7 - 1.492 - 0.221

SUMA 2.772 2.773 0.220 0.221

Tabla 3

9

La tabla 4 entrega datos del segundo bucle:

./ = - 0.002 [m].

.0= -0.017241 [m]

2.3. Compensación error de cierre

2.3.1. Según número de posiciones instrumentales

Para las compensaciones realizadas según el número de posiciones instrumentales, se utilizó

un error unitario distinto al enunciado anteriormente, el cual corresponde al error unitario para la

compensación de cotas. Se presentan todos los bucles en las tablas 5, 6,7 y 8.

• Datos del primer bucle tramo PR8 – A:

./ = 0.002 [m].

1= 2

.0= 0.001 [m]

Punto LAT [m] LAD [m] CI CPs/c [m] k ∆K CPc [m]

PR8 1.94 - 101.94 100.000 0 0 100.000

A 0.98 0.969 101.951 100.971 1 0.001 100.970

PR8 - 1.949 - 100.002 2 0.002 100.000

SUMA 2.92 2.918 - - - - -

Tabla 5

Con esto, se calculó el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = 0.970 [8].

Punto LAT [m] LAD [m] Dns/c (+) [m] Dns/c (-) [m]

C 1.520 - - -

PR6 1.535 1.579 - 0.059

C - 1.478 0.057 -

SUMA 3.085 3.057 0.057 0.059

Tabla 4

10

• Datos del segundo y tercer bucle tramo A – B – PR7:

./ = - 0.002 [m].

1= 4

.0= - 0.0005 [m]


A 1.729 - 101.729 100.000 0 0 100.000

B 1.584 1.993 101.32 99.736 1 -0.0005 99.737

PR7 1.195 1.192 101.323 100.128 2 -0.001 100.129

B 2.004 1.589 101.738 99.734 3 -0.0015 101.736

A - 1.74 - 99.998 4 -0.002 100.000

SUMA 6.512 6.514 - - - - -

Tabla 6

Con esto, se calcula el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = 0.129[8], en el tramo A – PR7. Luego se obtiene el desnivel entre PR8 Y PR7 como la suma de los desniveles en cada bucle. Con esto tenemos que: ;.<1=>?@=>A = B. CDD [m].

• Datos del primer bucle tramo PR7 – C:

./ = - 0.001 [m].

1= 2

.0= -0.0005 [m]


PR7 1.501 - 101.501 100.000 0 0 100.000

C 1.271 1.281 101.491 100.22 1 -0.0005 100.221

PR7 - 1.492 - 99.999 2 -0.001 100.000

SUMA 2.772 2.773 - - - - -

Tabla 7

Con esto, se calcula el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = 0.221 [8].

11

• Datos del segundo bucle tramo C – PR6:

./ = - 0.002 [m].

1= 2

.0= -0.001 [m]


C 1.520 - 101.520 100.000 0 0 100.000

PR6 1.535 1.579 101.476 99.941 1 -0.001 99.942

C - 1.478 - 99.998 2 -0.002 100.000

SUMA 3.085 3.057 - - - - -

Tabla 8

Con esto, se calcula el desnivel como la diferencia de las cotas compensadas, lo que nos entrega un desnivel �2 = −0.058 [8]. Luego se obtiene el desnivel entre PR3 Y PR4 como la suma de los desniveles en cada bucle. Con esto tenemos que: ;.<1=>A@=>G = C. BGH [m].

2.3.2. Según desnivel

Para el cálculo del desnivel compensado se utilizó la fórmula IV y los valores calculados en 2.2.

• Datos del Bucle 1 tramo PR8 – A:

Punto LAT [m] LAD [m] Dn(+)s/c [m] Dn(-)s/c [m] Dnc [m]

PR8 1.94 - - - -

A 0.98 0.969 0.971 - 0.9699

PR8 - 1.949 - 0.969 -0.9699

SUMA 2.92 2.918 0.971 0.969 0.0000 Tabla 9

I.<1=>?@J = C. DGDD [K]

12

• Datos del Bucle 2 tramo A – B – PR7:


A 1.729 - - - -

B 1.584 1.993 - 0.264 -0.2635

PR7 1.195 1.192 0.392 - 0.3925

B 2.004 1.589 0.394 -0.3934

A - 1.74 0.264 - 0.2644

SUMA 6.512 6.514 0.656 0.658 0.0000 Tabla 10

I.<1J@=>A = C. BLD [K]

Con testo tenemos que el desnivel entre PR8 y PR7 es

I.<1=>?@=>A = B. CD?D[K]

• Datos del Bucle 1 tramo PR7 – C:


PR7 1.501 - - -

C 1.271 1.281 0.220 - 0.2205

PR7 - 1.492 - 0.221 -0.2205

SUMA 2.772 2.773 0.220 0.221 0.0000 Tabla 11

I.<1=>A@M = C. LLCN [K]

• Datos del Bucle 2 tramo C – PR6:


C 1.520 - - -

PR6 1.535 1.579 - 0.059 -0.0579

C - 1.478 0.057 - 0.0579

SUMA 3.085 3.057 0.057 0.059 0.0000 Tabla 12

I.<1M@=>G = −C. CNAD [K]

13

Con testo tenemos que el desnivel entre PR7 y PR6 es

I.<1=>A@=>G = C. BGLG[K]

2.4. Compensación de la red según Método de Cross y cotas

Se presentan ahora las cuatro iteraciones resultantes, una en cada tabla

Primera Iteración:

PUNTO dns/c [m]

dnc [m]

PR1

PR2 0,56 0,56143929

PR9 1,361 1,364497988

PR8 -0,5359 -0,534522651

PR1 -1,395 -1,391414627

ec -0,0099 eu -0,00257016

PUNTO dns/c [m]

dnc [m]

PR2

PR3 0,543 0,541934311

PR4 1,372 1,369307321

PR9 -0,543 -0,544065689

PR2 -1,364497988 -1,367175944

ec 0,007502012 eu 0,001962594

PUNTO dns/c [m]

dnc [m]

PR9

PR4 0,544065689 0,541982724

PR5 1,3917 1,386371854

PR6 -0,396 -0,397516092

PR9 -1,525 -1,530838487

ec 0,014765689 eu 0,003828516

PUNTO dns/c [m]

dnc [m]

PR8

PR9 0,534522651 0,524790878

PR6 1,530838487 1,502967315

PR7 -0,4625 -0,470920494

PR8 -1,529 -1,556837699

ec 0,073861138 eu 0,018206474

PUNTO dns/c [m]

dnc [m]

PR1

PR2 0,56143929 0,558340601

PR3 0,541934311 0,538943274

PR4 1,369307321 1,361749856

PR5 1,386371854 1,378720207

PR6 -0,397516092 -0,399710058

PR7 -0,470920494 -0,473519593

PR8 -1,556837699 -1,56543018

PR1 -1,391414627 -1,399094106

ec 0,042363864 eu 0,005519188

Tabla 13: Primera Iteración

14

Segunda Iteración

PUNTO dn s/c [m] dn c [m]

PR1

PR2 0,558340601 0,558103949

PR9 1,367175944 1,366596469

PR8 -0,524790878 -0,52501331

PR1 -1,399094106 -1,399687109

ec 0,00163156 eu 0,000423848


PR2

PR3 0,538943274 0,54005901

PR4 1,361749856 1,364568989

PR9 -0,541982724 -0,540860696

PR2 -1,366596469 -1,363767302

ec -0,007886064 eu -0,002070228


PR9

PR4 0,540860696 0,538468798

PR5 1,378720207 1,372622964

PR6 -0,399710058 -0,401477734

PR9 -1,502967315 -1,509614028

ec 0,01690353 eu 0,004422393


PR8

PR9 0,52501331 0,525570396

PR6 1,509614028 1,511215866

PR7 -0,473519593 -0,473017146

PR8 -1,56543018 -1,563769116

ec -0,004322435 eu -0,001061091


PR1

PR2 0,558103949 0,558292778

PR3 0,54005901 0,540241734

PR4 1,364568989 1,365030679

PR5 1,372622964 1,373087378

PR6 -0,401477734 -0,401341897

PR7 -0,473017146 -0,472857105

PR8 -1,563769116 -1,563240029

PR1 -1,399687109 -1,399213538

ec -0,002596193 eu -0,000338341

Tabla 14: Segunda Iteración

15

Tercera Iteración


PR1

PR2 0,558292778 0,558688091

PR9 1,363767302 1,364732952

PR8 -0,525570396 -0,525198253

PR1 -1,399213538 -1,39822279

ec -0,002723853 eu -0,000708075


PR2

PR3 0,540241734 0,539948005

PR4 1,365030679 1,364288513

PR9 -0,538468798 -0,538761562

PR2 -1,364732952 -1,365474955

ec 0,002070663 eu 0,000543699


PR9

PR4 0,538761562 0,538861417

PR5 1,373087378 1,373341869

PR6 -0,401341897 -0,401267512

PR9 -1,511215866 -1,510935774

ec -0,000708822 eu -0,000185342


PR8

PR9 0,525198253 0,525193495

PR6 1,510935774 1,510922085

PR7 -0,472857105 -0,472861389

PR8 -1,563240029 -1,563254192

ec 3,68934E-05 eu 9,05976E-06


PR1

PR2 0,558688091 0,558639985

PR3 0,539948005 0,539901512

PR4 1,364288513 1,364171039

PR5 1,373341869 1,373223615

PR6 -0,401267512 -0,401302064

PR7 -0,472861389 -0,472902105

PR8 -1,563254192 -1,563388798

PR1 -1,39822279 -1,398343185

ec 0,00066060 eu 8,61062E-05

Tabla 15: Tercera Iteración

16

Cuarta Iteración


PR1

PR2 0,558639985 0,55855603

PR9 1,365474955 1,36526974

PR8 -0,525193495 -0,52527243

PR1 -1,398343185 -1,39855334

ec 0,00057826 eu 0,00015029


PR2

PR3 0,539901512 0,53990982

PR4 1,364171039 1,36419203

PR9 -0,538861417 -0,53885312

PR2 -1,365269739 -1,36524873

ec -5,86056E-05 eu -1,5389E-05


PR9

PR4 0,538853125 0,5388739

PR5 1,373223615 1,37327655

PR6 -0,401302064 -0,4012866

PR9 -1,510922085 -1,51086385

ec -0,000147409 eu -3,8545E-05


PR8

PR9 0,525272426 0,52529237

PR6 1,510863847 1,51092121

PR7 -0,472902105 -0,47288415

PR8 -1,563388798 -1,56332944

ec -0,00015463 eu -3,797E-05


PR1

PR2 0,558556028 0,5585647

PR3 0,539909821 0,5399182

PR4 1,364192033 1,36421321

PR5 1,373276547 1,37329786

PR6 -0,401286595 -0,40128037

PR7 -0,472884149 -0,47287681

PR8 -1,563329436 -1,56330517

PR1 -1,398553341 -1,39853163

ec -0,00011909 eu -1,5523E-05

Tabla 16: Cuarta Iteración

Luego de esta cuarta iteración el método finaliza, pues en el próximo cálculo de errores de

cierre, en todos los bucles, su diferencia será:

�� < 10@P

17

2.5. Determinación de Cotas

Considerando los valores compensados de la última iteración fue posible determinar la

cota a lo largo del circuito.

PUNTO Cota

[m.s.n.m.]

PR1 100

PR2 100,558565

PR3 101,098483

PR4 102,462696

PR5 103,835994

PR6 103,434714

PR7 102,961837

PR8 101,398532

PR1 100

Tabla 17: Cotas

2.6. Propagación de errores

Utilizando la fórmula VII, se procedió a calcular los errores asociados a las mediciones

realizadas en terreno

Qdn = 0.005 [m]

QDN = 0.0089 [m]

Qcota = 0.0181 [m]

Qcotafinale = 0.0217 [m]

18

3. Análisis de Errores y Conclusiones 3.1 Análisis de Errores

La mayoría de los errores calculados en este informe se deben, en gran medida, a la

aproximación visual que se debe hacer para obtener 3 cifras significativas al medir la mira.

Además. , en este terreno, también afecto la presencia de fuertes vientos por momentos, lo que

dificultaba mantener la mira en una posición correcta. Otro factor importante es la irregularidad

del terreno. Cabe señalar, que estos hechos además explican los errores observados al aplicar el

método Cross.

3.1 Resumen de Resultados

Se entrega una tabla con las cotas de cada PR ajustadas a cuatro cifras significativas

PUNTO Cota

[m.s.n.m.]

PR1 100

PR2 100,558565

PR3 101,098483

PR4 102,462696

PR5 103,835994

PR6 103,434714

PR7 102,961837

PR8 101,398532

PR1 100

Tabla 18: Cotas ajustadas a cifras significativas

19

A modo de resumen, una tabla con las cotas relativas

PR1 PR2 PR3 PR4 PR5 PR6 PR7 PR8 PR9

PR1 - 0,5586 - - - - - 1,3985 -

PR2 -0,5586 - 0,5399 - - - - - 1,3653

PR3 - -0,5399 - 1,3642 - - - - -

PR4 - - -1,3642 - 1,3733 - - - -0,5389

PR5 - - - -1,3733 - -0,4013 - - -

PR6 - - - - 0,4013 - -0,4729 - -1,5109

PR7 - - - - - 0,4729 - -1,5633 -

PR8 -1,3985 - - - - - 1,5633 - 0,5253

PR9 - -1,3653 - 0,5389 - 1,5109 - -0,5253 -

Tabla 19: Cotas Relativas

3.3 Conclusiones

Debido a las sucesivas iteraciones para reducir los errores de cierre, el método de Cross

mostro que logra éste objetivo. Es importante señalar, que para aplicar este método es necesario

errores de cierre, de las mediciones individuales, menor a 10@R. En el caso de éste terreno se

logro un error de cierre menor a 10@P (error admisible del método) en la cuarta iteración.

La importancia de éste método es que es muy útil y rápida para calcular desniveles en

terrenos muy ampliar y al existir libertad en las posiciones instrumentales se adapta a muchos

diversos terrenos y no tiene grandes limitantes en este sentido. Todo ello se logra mediante

particionar el problema grande en problemas más pequeños. Así mismo, ocupando bucles se logra

con éxito adaptarse a los accidentes del terreno.

Otro método utilizado en este terreno es la nivelación geométrica cerrada, esta nivelación

es conocida y además entrega buenas estimaciones de los errores de calaje presentes en las

mediciones realizadas.

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