Informe de Investigación 2014

8/18/2019 Informe de Investigación 2014

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LACOMUNICACIÓN

ESCUELA DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

ESPECIALIDAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

INFORME DE INVESTIGACIÓN

“ERRORES QUE PRESENTAN ESTUDIANTES ENLA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SOBRE

ECUACIONES LINEALES”.

AUTORES

Chávez R!"!# L$%! &'()e!.

*)'" G'z"+ez# J!, F)"'-%!-.

P")e(e! T"%-# Je"' A'(),.

TRUJILLO PER/0123

1


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PRÓLOGO

El presente informe de proyecto de investigación, denominado: “ERRORES QUE

PRESENTN !OS ESTU"#NTES EN ! RESO!U$#%N "E PRO&!E'S SO&RE

E$U$#ONES !#NE!ES(, )a sido *n proyecto con *n fin +*e es el de detectarc*ales son los errores +*e cometen est*diantes en primer grado de sec*ndaria

c*ando res*elven prolemas sore ec*aciones lineales, y esto lo )emos )ec)o en

vista +*e casi nadie )a investigado este tema y menos a+*- en Tr*.illo, y p*es nos

res*ltó interesante indagar, oservar y anali/ar alg*nos datos +*e )emos otenido en

ase a *n test +*e )emos aplicado en el $entro Ed*cativo E0perimental “Rafael

Narv1e/ $adenillas(2

Este proyecto constit*ye *na primera e0periencia personal en el campo de la

investigación en la ed*cación matem1tica para todos nosotros como gr*po +*e somos,

siendo el res*ltado de *n ard*o y constante est*dio reali/ado por parte de nosotros los

a*tores2 la ve/ deseamos sirva de aporte para +*ienes deseen contin*ar *n est*dio

de esta nat*rale/a2

Esperamos +*e sea de s* agrado el traa.o +*e )emos reali/ado2

2


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AGRADECIMIENTO

3

grade/co ante todo a "#OS y a n*estras familias por )aernos permitido

desarrollar y reali/ar este )ermoso proyecto de investigación +*e estamos

seg*ros +*e servir1 de gran ay*da a m*c)os otros2

gradecemos al $entro Ed*cativo E0perimental “Rafael Narvae/$adenillas(, por rindarnos la oport*nidad de aplicar n*estro proyecto, as-

mismo manifestamos n*estro agradecimiento a la profesora &etty 3rados

'anay, por s* dedicación en el asesoramiento del presente traa.o de

investigación2

gradecemos de modo partic*lar a la coordinadora general de

sec*ndaria, por )aernos rindado s* apoyo en g*iarnos en la

aplicación de este proyecto de investigación2


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ÍNDICE

Lista detablas…………………………………………………………………………………………………………………. pág. 6

Lista decuadros………………………………………………………………………………………………………………. pág. 6

Lista defguras…………………………………………………………………………………………….…………………. pág. 6

Lista degráfcas…………………………………………………………………………………………..

…………………. pág. 6

1.-

INTROD!!I"N………………………………………………………………………………

………………………… pág. #

1.1.- $or%ulaci&' del proble%a….………………………………….

………………………………………………pág.#

1.1.1.- (iste%a e' el )ue se ubica el proble%a………………………………….

………………………………pág. #

1.1.2.- *'u'ciado del proble%a………………………………….

…………………………………………………. +ág. 1,

1.1.3.- 'tecede'tes del proble%a …………………………………….

…………………………………….... pág.1,

a 'tecede'tes bibliográfcos a 'i/el 'acio'al….………………………………….

……………………. pág. 1,

b 'tecede'tes bibliográfcos a 'i/el i'ter'acio'al….

………………………………….………………. pág. 12

1.1.0.- !aractersticas e i%porta'cia del proble%a…..

………………………………….……………… pág. 10

1.1..- Deli%itaci&' del proble%a…….………………………………….

……………………………………….. +ág. 1

0


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a Li%itacio'es……………………………………….

……………………………………………………………………….pág. 1

b ariables ob4eto de estudio…..………………………………….

………………………………………………pág.1

c I'terroga'tes………………………………….

………………………………………………………………………… pág.1

1.2.- 5ip&tesis…………………………………….

……………………………………………………………………….. pág. 16

1.3.- Ob4eti/os …………………………………….

………………………………………………………………......... pág. 16

1.0.- (upuestos e' )ue se basa el proble%a…..………………………………….

………………………… pág. 1#

1..- Def'ici&' de tr%i'os…..………………………………….

…………………………………………………. pág. 1#

2.- 7T*RIL 8 +RO!*DI*7I*NTO( ….………………………………….

……………………………………… +ág. 39

2.1.- 7aterial…………………………………………………….

…………………………………………………………. +ág. 39

2.1.1.- +oblaci&' : %arco de

%uestreo......................................................................... +ág. 39

2.1.2.- 7uestra ;ta%a


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0.- R*(7*N 8 !ON!L(ION*(

………………………………………………………………….……………… +ág. #

.- R*$*R*N!I( >I>LIO?R@$I!(

……………………………………………………………………….……. +ág. 9

6.-

N*AO(…………………………………………………………………………………………

………………………. +ág. 60

Lista de Tablas:

- Tabla 1: Resultados de la pri%era lista de proble%as ;pág. 1.

Lista de Cuadrs:

6


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! Cuadr 1: !uadro de distribuci&' de Bor%a 'u%rica : porce'tual delos *rrores )ue co%ete' los estudia'tes de 1er a


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! Gr+(,a #: !o%paraci&' e'tre los resultados obte'idos e' el cuadro 6;pág. 09

! Gr+(,a $: !o%paraci&' de la %edia'a= %edia : %oda del !uadro #;pág. ,

IN*ORME DE IN-ESTIGACIÓN

1.! INTRODUCCIÓN:

1.1.! *ORMULACIÓN DEL PRO/LEMA:

1.1.1.! Siste0a e 2ue se ubi,a el 3rble0a:

La educaci&' e' el +erE está ba4o la 4urisdicci&' del 7i'isterio de *ducaci&'=

el cual está a cargo de Bor%ular= i%ple%e'tar : super/isar la poltica

'acio'al de educaci&'. De acuerdo a la !o'stituci&'= la educaci&' es

obligatoria : gratuita e' las escuelas pEblicas para los 'i/eles de i'icial=

pri%aria : secu'daria. *s ta%bi' gratuita e' las u'i/ersidades pEblicas

para los estudia'tes )ue te'ga' u' satisBactorio re'di%ie'to acad%ico :

supere' los eCá%e'es de ad%isi&' ;Rede%= sHB.

La educaci&' se di/ide e' diBere'tes 'i/eles La educaci&' i'icial=correspo'de al perodo e'tre los cero : los ci'co a


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ocupa los Elti%os lugares e' el %u'do. +uesto )ue= segE' el resultado del

i'Bor%e +I( ;2,12= realiado e' el a


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las ecuacio'es li'eales ;+!+= 2,13= : de Bor%a ge'eral= eCiste' /arias

clases de errores )ue se co%ete' al %o%e'to de resol/er u' proble%a

%ate%ático ;7o/sFo/it= 19G#= pero 'adie Fa logrado detectar Fasta aFora

a)u e' Tru4illo cuáles so' los errores )ue co%ete' co' %ás Brecue'cia= esto

lo afr%a%os :a )ue despus de Faber realiado u'a bEs)ueda de tesis o

i'/estigacio'es reBere'tes a este te%a sola%e'te Fe%os e'co'trado u'a

)ue es la )ue Fe%os %e'cio'ado a'terior%e'te )ue es de Li%a

de'o%i'ada J*rrores )ue prese'ta' los estudia'tes de pri%er grado de

secu'daria e' la resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es li'ealesK por la

7agister Lu a


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ecuacio'es li'eales : )ue esta i'/estigaci&' sir/a de a'tecede'te para

%ucFas otras posteriores i'/estigacio'es e' do'de el ob4eti/o sea detectar

cuáles so' los proble%as )ue Face' )ue la %ate%ática 'o sea apre'dida

co%o tal : )ue los procesos de e'se


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co'/ersio'es del registro /erbal al algebraico= pues llega' a pla'tearecuacio'es correspo'die'tes a proble%as se'cillos e'u'ciados/erbal%e'te co'/ersio'es del registro algebraico al /erbal= pues Bue u'a%i'ora la )ue logr& co'struir u' e'u'ciado /erbal correspo'die'te a u'ai'Bor%aci&' cua'titati/a : co' u'a i'c&g'ita= dada e' u' diagra%a de e''

;+!+= 2,13. 'a de las li%itacio'es de esta i'/estigaci&' es )ue la%uestra )ue utiliaro' es de 29 alu%'os por lo cual 'o es u'a %uestrareprese'tati/a 'i adecuada.

Los posteriores a'tecede'tes trata' acerca de la creaci&' : la resoluci&' deproble%as %ate%áticos pero la li%itaci&' se e'cue'tra e' )ue 'o toca'especfca%e'te el te%a de errores e' la resoluci&' de proble%as co'ecuacio'es li'eales.

7alaspi'a ;2,11 afr%a )ue

La acti/idad de crear proble%as %ate%áticos co%ple%e'ta %u: bie' la deresol/er proble%as= por)ue esti%ula aE' %ás la creati/idad : co'tribu:e aprecisar la situaci&'- proble%a= el le'gua4e= los co'ceptos= proposicio'es=procedi%ie'tos : argu%e'tos= )ue se espera %a'e4e' los estudia'tes= e' el%arco de u'a co'fguraci&' epist%ica adecuada. ;p.23#.

*s e' este se'tido la resoluci&' de proble%as : la creaci&' de los %is%osso' acti/idades ese'ciales de las %ate%áticas.

'a de las i'/estigacio'es reBeridas al te%a de Resoluci&' de +roble%as esla tesis doctoral de Ra%re ;2,,# )uie' estudia las estrategias didácticaspara u'a e'se


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s %is%o : sus estudia'tes. *' el 2,11 Depa : $er'á'de a'alia' lasdiBere'cias )ue prese'ta' los estudia'tes de tercer grado de *ducaci&'+ri%aria de u' colegio pri/ado : u' colegio estatal de Li%a e' la resoluci&'de proble%as %ate%áticos de sustracci&' co' el f' de co'ocer lasestrategias aplicadas e' la resoluci&' de proble%as. Las autoras sostie'e'

)ue las diBere'cias )ue se obser/aro' e' los estudia'tes Buero' e' lasFabilidades de co%pre'si&' : resoluci&' e' la resoluci&' de proble%as atra/s de i'dicadores co%o paraBraseo del proble%a= ide'tifcaci&' :represe'taci&' de datos a tra/s de u' gráfco ;co%pre'si&' : elegir laoperaci&' adecuada : aplicar correcta%e'te los algorit%os de sustracci&';resoluci&'.

(obre resoluci&' de proble%as e' el Diseásica Regular ;2,,9 e' el área de 7ate%ática se %e'cio'a lascapacidades para cada grado= las cuales i'/olucra los procesos de

rao'a%ie'to : de%ostraci&'= co%u'icaci&' %ate%ática : resoluci&' deproble%as : se establece )ue

*s 'ecesario )ue el alu%'o resuel/a proble%as de co'teCtos reales o%ate%áticos= para )ue te'ga la oportu'idad de aplicar : adaptar di/ersasestrategias e' diBere'tes co'teCtos= : para )ue al co'trolar el proceso deresoluci&' reSeCio'e sobre ste : sus resultados. La capacidad parapla'tear : resol/er proble%as= dado el carácter i'tegrador de este proceso=posibilita la i'teracci&' co' las de%ás áreas curriculares coad:u/a'do aldesarrollo de otras capacidades asi%is%o= posibilita la co'eCi&' de lasideas %ate%áticas co' i'tereses : eCperie'cias del estudia'te. ;p. 31#.

Fora /ea%os otros a'tecede'tes )ue s toca' el te%a especfco deecuacio'es li'eales

*specfca%e'te e' pri%er grado de secu'daria ;I ciclo u'a de lascapacidades )ue se desea desarrollar e' los estudia'tes es resol/erproble%as de ecuacio'es li'eales co' u'a i'c&g'ita= tal co%o se i'dica e'el D!N ;2,,9

Resuel/e proble%as de traducci&' si%ple : co%ple4a )ue i'/olucra'ecuacio'es li'eales co' u'a i'c&g'ita. ;p 32,.

Las ecuacio'es li'eales será' el ob4eto %ate%ático de la prese'tei'/estigaci&'. +or lo )ue se refere al ob4eto %ate%ático )ue so' lasecuacio'es li'eales +oas ;2,,9 %a'ifesta

Los proble%as de 'aturalea /erbal re)uiere' procesar el e'u'ciado paraco'struir u'a represe'taci&' %ate%ática de ste= la cual= %edia'te lautiliaci&' de reglas de la arit%tica o del álgebra= per%ita obte'er lasoluci&'. *s i%porta'te oBrecer a los estudia'tes espacios e' do'de laresoluci&' de proble%as %edia'te ecuacio'es est ge'ui'a%e'te alalca'ce de ellos : e' do'de las 'otacio'es : las eCpresio'es espo'tá'easde los estudia'tes se traba4e' pacie'te%e'te= pues stas pro/ee'

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Bu'da%e'to para el apre'dia4e de las estructuras si'tácticas del álgebra.;p.6,

La li%itaci&' de esta i'/estigaci&' es )ue 'o %e da cuáles so' los errores)ue co%ete' los estudia'tes e' la resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es

li'eales.b4 Ate,edetes bibli)r+(,s del 3rble0a a i5el itera,ial:

*' los siguie'tes a'tecede'tes= la li%itaci&' se e'cue'tra e' )ue sola%e'tetoca' el te%a de la resoluci&' de proble%as e' %ate%ática pero 'oespecfca%e'te e' las ecuacio'es li'eales

La resoluci&' de proble%as es u'a de las acti/idades %ate%áticasBu'da%e'tales : ta%bi' u'o de los te%as pri%ordiales e' i'/estigaci&'%ate%ática cu:o i'ters se ce'tra e' las difcultades )ue prese'ta' los

estudia'tes para resol/er proble%as %ate%áticos= co%o lo se


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relacio'a co' la capacidad para a'aliar= rao'ar : co%u'icar los resultadosde %a'era eBecti/a= tal co%o se se


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'a de las i'/estigacio'es reBeridas a las ecuacio'es li'eales es la de7aUe: ;2,,6 )uie' se


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1.1.%. Deli0ita,i7 del 3rble0a:a. Las li%itacio'es del proble%a e' relaci&' co' las /ariables= ob4eto de

estudio= co' la %uestra ;ta%a


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- !uáles so' los aciertos %ás Brecue'tes )ue prese'ta' losestudia'tes de 'i/el secu'dario e' la resoluci&' de proble%as sobreecuacio'es li'eales= segE' g'ero

1.". 8IPÓTESIS:

- No tie'e por)ue el proble%a es de tipo diag'ostico ;de u'a sola/ariable.

1.#. O/9ETI-OS:

• Ob4eti/o +ri'cipal

- Deter%i'ar los errores %ás Brecue'tes )ue prese'ta' losestudia'tes de 'i/el secu'dario e' la resoluci&' de proble%assobre ecuacio'es li'eales.

• Ob4eti/os (ecu'darios

- Ide'tifcar los errores %ás Brecue'tes )ue prese'ta' losestudia'tes de 'i/el secu'dario e' la resoluci&' de proble%assobre ecuacio'es li'eales= segE' g'ero.

- *stablecer los aciertos %ás Brecue'tes )ue prese'ta' losestudia'tes de 'i/el secu'dario e' la resoluci&' de proble%assobre ecuacio'es li'eales= segE' seCo.

1G


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1.$.! MARCO TEÓRICO:

1.! Re)istrs de Re3reseta,i7 Se0i7ti,a:

+ara 'uestro te%a de i'/estigaci&' 'os basa%os e' la teora deRegistros de Represe'taci&' (e%i&tica de Ra:%o'd Du/al. Du/al;2,,0 establece )ue

Las represe'tacio'es se%i&ticas= es decir a)uellas produccio'esco'stituidas por el e%pleo de sig'os ;e'u'ciado e' le'gua4e Bor%al=B&r%ula algebraica= gráfco= fgura geo%trica…= 'o parece' ser %ás)ue el %edio del cual dispo'e u' i'di/iduo para eCterioriar susreprese'tacio'es %e'tales= es decir= para Facerlas /isibles oaccesibles a los otros. ;p.10. *' ese se'tido Du/al afr%a )ue lasreprese'tacio'es se%i&ticas= estara' subordi'adas a lasreprese'tacio'es %e'tales : por e'de cu%plira' sobretodo la

Bu'ci&' de co%u'icaci&'. *' la teora del autor se eCpresa )ue u'registro es u' siste%a se%i&tico productor de represe'tacio'es )ueper%ite

a +rese'tar separa'do algu'os aspectos tpicos del ob4etoprese'tado ;el co'te'ido de la represe'taci&'.

b !u%plir /arias Bu'cio'es cog'iti/as co%u'icaci&'= ob4eti/aci&';para s : sobre todo trata%ie'to.

c 5acer tra'sBor%acio'es i'ter'as de co'te'idos;los trata%ie'tos

)ue so' posibles co' las represe'tacio'es se%i&ticas.

d La producci&' de represe'tacio'es se%i&ticas se realiai'te'cio'al%e'te respeta'do reglas= %ie'tras )ue la producci&' 'ose%i&tica es auto%ática.

Du/al ;2,,0 e'Batia la i%porta'cia de la teora de registros dereprese'taci&' se%i&tica e' %ate%ática. *stablece )ue es posiblereprese'tar u' co'cepto %ate%ático e' di/ersos registros dereprese'taci&' se%i&tica.De acuerdo co' el autor= los ob4etos

%ate%áticos 'o so' accesibles a la percepci&' para ello es

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i'dispe'sable represe'tarlos : desarrollar as el pe'sa%ie'to%ate%ático. Los ob4etos %ate%áticos so' abstractos : la %a'era dee'te'derlos es %edia'te represe'tacio'es se%i&ticas co%o gráfcos=letras= 'E%eros= etc.+or ello Du/al ;2,,0 se


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$igura 1. Los tipos de tra'sBor%acio'es de represe'tacio'esse%i&ticas $ue'te Dias ;2,1,= p1

Tra'sBor%aci&' De u'a represe'taci&' se%i&tica e' otrareprese'taci&' se%i&tica

!a%bia'do de siste%a= pero co'ser/a'do la reBere'cia de los %is%osob4etos !o'/ersi&'

+er%a'ecie'do e' u' %is%o siste%a Trata%ie'to

*' el cuadro a'terior Du/al ;2,,0 afr%a )ue a%bastra'sBor%acio'es se caracteria' por lo siguie'te - Los trata%ie'tosso' tra'sBor%acio'es de represe'taci&' de'tro de u' %is%o registropor e4e%plo= eBectuar u' cálculo estricta%e'te e' u' %is%o siste%a

de escritura o de represe'taci&' de 'E%eros resol/er u'a ecuaci&' ou' siste%a de ecuacio'es co%pletar u'a fgura segE' los criterios deco'eCidad : de si%etra. - Las co'/ersio'es so' tra'sBor%acio'es dereprese'tacio'es )ue co'siste' e' ca%biar de registros co'ser/a'dolos %is%os ob4etos= por e4e%plo pasar de escritura algebraica de u'aecuaci&' a su represe'taci&' gráfca. 7edia'te u' e4e%plo co%o elsiguie'te el i'/estigador establece las dos clases de tra'sBor%acio'esprese'tes e' cual)uier acti/idad %ate%ática

$igura 2. Los dos procesos cog'iti/os Bu'da%e'tales del pe'sa%ie'to$ue'te Du/al ;2,,6= p 106

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7edia'te este e4e%plo Du/al ;2,,6 sostie'e )ue el e'u'ciado delproble%a prese'tado e' u' registro /erbal se tra'sBor%a e' u'aecuaci&' ;e' el registro algebraico a eso l de'o%i'a J!o'/ersi&'K :luego se resuel/e la ecuaci&' ;e' el registro algebraico : a eso se

de'o%i'a JTrata%ie'toK *l i'/estigador ;2,12 %e'cio'a )ue laco'/ersi&' puede parecer si%ple. *s por ello )ue la asi%ila%os a u'acodifcaci&' ;traar el grafco de u'a Bu'ci&' o de u'a traducci&' ;dele'u'ciado de u' proble%a. *l grado de co%ple4idad de lasco'/ersio'es está deter%i'ado por tres Bactores de /ariaci&'cog'iti/a

a La co'grue'cia o la 'o co'grue'cia e'tre dos represe'tacio'es deu' %is%o ob4eto= es decir dos represe'tacio'es so' co'grue'tescua'do pode%os Facer correspo'der tr%i'o por tr%i'o las

u'idades del co'te'ido de u'a represe'taci&' co' las u'idades delco'te'ido de otra.

b *l se'tido de la co'/ersi&' cua'do pasa%os de u' registro a otro=por e4e%plo del registro al registro > : cua'do pasa%os del registro> al registro so' dos operacio'es cog'iti/a%e'te diBere'tes. 'apuede ser co'grue'te : la otra 'o co'grue'te.

c La dista'cia cog'iti/a e'tre los registros de las represe'tacio'es departida : de llegada= por e4e%plo pasar de u' registro discursi/o

; le'gua a u' registro 'o discursi/o ;fguras esto es pasar de u'aorga'iaci&' li'eal secue'cial a u'a orga'iaci&' bidi%e'sio'al.

Du/al ;2,,0 prese'ta u'a clasifcaci&' de diBere'tes registros%o/iliados e' el Bu'cio'a%ie'to %ate%ático

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*' esta clasifcaci&' el i'/estigador %a'ifesta )ue lasreprese'tacio'es puede' ser de dos tipos discursi/a ;e' le'gua4e'atural= e' le'gua4e Bor%al o 'o discursi/a ;fguras= gráfcos :a%bos se relacio'a' co' dos clases se registros los %ultiBu'cio'ales;i%plica' di/ersas Bu'cio'es cog'iti/as la co%u'icaci&'=i%agi'aci&'= a'álisis : los %o'oBu'cio'ales ;i%plica' u'a solaBu'ci&' cog'iti/a el procesa%ie'to %ate%ático es decir losalgorit%os. *l e%pleo de di/ersos registros de represe'taci&'se%i&tica e' la ad)uisici&' de u' ob4eto %ate%ático Face posible laco%pre'si&' del %is%o= de %odo )ue los estudia'tes al co'ocer losregistros de represe'tacio'es se%i&ticas apre'de' el ob4eto%ate%ático. La co%pre'si&' de u' ob4eto %ate%ático reposa e' laco'/ersi&' de al %e'os dos registros de represe'taci&' se%i&tica.

Du/al ;2,,0 afr%a

Todo recorrido i'telectual= :a se trate de u' rao'a%ie'to= de u'aeCplicaci&'= de u'a descripci&'= de u' cálculo= de la resoluci&' de u'

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proble%a= i%plica la %a:ora de las /eces )ue las represe'tacio'esse%i&ticas sea' co'/ertidas para poder ser tratadas… La co'/ersi&'de u' e'u'ciado de u'a le'gua 'atural a u'a le'gua Bor%al as co%ola co'/ersi&' i'/ersa= co'stitu:e' difcultades tales para los alu%'os

e' la e'se


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'a de las i'/estigacio'es )ue se relacio'a co' el %arco te&rico es lade !Firo)ue ;2,1, )ue e' su traba4o de Registros de Represe'taci&'se%i&tica del co'cepto de Bu'cio'es prese'ta el siguie'te cuadro e'el )ue resu%e las tareas )ue se realia' al tra'sitar e'tre los registros

/erbal= 'u%rico= gráfco : algebraico e' los estudia'tes deFu%a'idades= tal co%o lo /e%os a co'ti'uaci&'

$igura 0. Resu%e' de las co'/ersio'es : trata%ie'tos e'tre los registros dereprese'taci&' se%i&tica $ue'te !Firo)ue ;2,1,= p21

+or lo eCpuesto a'terior%e'te co'sidera%os la teora de Registros deReprese'taci&' (e%i&tica de Du/al co%o %arco te&rico de 'uestrai'/estigaci&' :a )ue e' la resoluci&' de proble%as es i'dispe'sablerealiar co'/ersio'es e'tre los diBere'tes registros /erbal= 'u%rico=

algebraico : los trata%ie'tos.

2.- Dificultades en el aprendizaje de la matemática

Para Hernández y Moreno (2001), las dificultades en el aprendizaje de

la matemática, se consideran como las dificultades significativas en el desarrollo de

las a!ilidades relacionadas con la Matemática, las cuales no necesariamente son

ocasionadas por pro!lemas serios de salud mental" #ocas (1$$%) se&ala 'ue las

dificultades en el aprendizaje de la matemática no se reducen a los estudiantes

menos capaces para tra!ajar en esta materia, puesto 'ue casi todos los educandos, en

2


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algn momento, tienen dificultades para ad'uirir el conocimiento matemático" ste

investigador agrupa la naturaleza (origen) de dicas dificultades en cinco categor*as+

complejidad de los o!jetos matemáticos, los procesos de pensamiento matemático,

los procesos de ense&anza, los procesos de cognicin

de los estudiantes y las dificultades asociadas a la actitud afectiva y emocional

acia la matemática" #o!re esta ltima, -egg y -oc.er (200$) e/plican 'ue la

actitud y ansiedad acia la matemática influyen en los procesos metacognitivos del

estudiantado y #acin (200) esta!lece 'ue estas actitudes pueden ser alimentadas

de manera positiva o negativa, segn el papel del profesor en las e/periencias de

aprendizaje, las estrategias de regulacin y el manejo de recursos"

Por otra parte, Hernández y Moreno (2001), en su tesis de Maestr*a enducacin, identificaron otros factores 'ue inciden en los pro!lemas de aprendizaje

de la matemática, tales como factores socioeconmicos, pol*ticos y culturales"

3.- Efectos de las dificultades en el aprendizaje de lamatemática:

/isten diversas dificultades 'ue pueden afectar en el aprendizaje de la

matemática" arc*a (1$$) clasifica por áreas estas dificultades" 3ncluye la atencin

selectiva, donde el estudiante solo se motiva para realizar ciertas actividades y, enlapsos !reves, puesto 'ue se distraen con facilidad4 la impulsividad, por la cual los

educandos actan mucas veces sin prever las consecuencias y la inconsistencia"

5ada una de estas dificultades tiene sus efectos en el aprendizaje de la matemática,

por lo cual el docente de!e !uscar estrategias metodolgicas para mermar sus

consecuencias"

-os estudiantes con atencin selectiva se distraen por est*mulos irrelevantes y

se fatigan cuando intentan concentrarse" stos aspectos de!en ser considerados a la

ora de asignar tra!ajos, por ejemplo, dar pe'ue&os momentos de descanso"

-os estudiantes impulsivos, por su parte, al tra!ajar demasiado rápido,

pueden llegar a cometer mucos errores por descuido, tales como cálculos

imprecisos u omisin de s*m!olos, por lo 'ue es conveniente supervisar

constantemente su tra!ajo y ense&arles a leer cuidadosamente los ejercicios" n el

tema de resolucin de pro!lemas alge!raicos, la mediacin del docente es crucial,

pues los ejercicios presentan mucos datos 'ue pueden ser omitidos por estudiantescon estas caracter*sticas" Más 'ue ense&ar matemática, el profesor tam!i6n puede

26


27/73

contri!uir a desarrollar la comprensin lectora, para 'ue el educando logre identificar

los aspectos más importantes del pro!lema"

arc*a (1$$) e/plica 'ue cuando e/isten dificultades en el área de la lectura,

los estudiantes tienden a manifestar pro!lemas en la ad'uisicin del voca!ulario

matemático y confunden t6rminos (como imagen y preimagen, má/imo comn

divisor y m*nimo comn mltiplo, congruencia y semejanza, entre otros) y se les

dificulta distinguir entre un dato necesario y a'uellos 'ue son solo

conte/tualizaciones de un pro!lema" -a investigadora a&ade 'ue a los estudiantes

con pro!lemas de memoria se les dificulta aprender a lgoritmos, se olvidan

fácilmente aspectos más tericos, tales como definiciones o caracter*sticas de un ente

matemático" Mucos de ellos tienen pro!lemas para memorizar las ta!las demultiplicar" n casos como estos, a veces se sugiere proporcionar por escrito las

frmulas y permitir el uso de la calculadora4 sin em!argo, estos recursos de!en ser

analizados cuidadosamente, pues como dice 7rade (200$), la memorizacin tam!i6n

de!e ser ejercitada"

5ada una de estas dificultades y otras 'ue pueden ser presentadas por los

estudiantes necesitan ser conocidas por el docente, para 'ue implemente las

estrategias metodolgicas más apropiadas para disminuir el impacto en elaprendizaje de la matemática" 8un'ue son recomendaciones aplicadas en el tema de

álge!ra, tam!i6n pueden ser trasladadas a otros contenidos de la disciplina"

$.! Errres e 0ate0+ti,as:

Los errores en el estudio de las matemáticas

-os errores en el estudio de la matemática, segn 9adatz (1$%$), no son

simplemente la ausencia de respuestas correctas o el resultado de accidentes

desafortunados, ellos son la consecuencia de procesos definidos cuya naturaleza de!e

ser descu!ierta"

8firma el autor 'ue la consideracin de los aspectos diagnosticados en !ase a

los errores podr*a ayudar a los profesores a planificar los contenidos del plan de

estudios teniendo en cuenta las dificultades de los alumnos" Para lograr 'ue esta

planificacin sea e/itosa no solo es necesario realizar un diagnstico de los errores

cometidos por los estudiantes, sino tam!i6n complementarlo con investigaciones

so!re modelos de errores y so!re los modelos cognoscitivos de las causas de losmismos, es decir el diagnstico de las dificultades de!e ser integrado con las conclusiones

2#


28/73

de la psicolog*a educativa y social"

5omo afirman :el Puerto et al" (200), es dif*cil acer una separacin estricta

entre las causas posi!les de un error, ya 'ue en mucos casos no ay una sola causa

para un determinado error" 8 pesar de esto, el análisis del error diagnstico provee

informacin tanto so!re preguntas !ásicas de la investigacin en el aprendizaje

matemático como ayuda práctica para el profesor con respecto a la individualizacin de

la ense&anza"

Para Movsovitz;Hadar et;al (1$2%) la mayor parte de los errores 'ue cometen los

estudiantes de la escuela secundaria, en matemática, no son accidentales, sino 'ue son

derivados de un proceso cuasi;lgico 'ue de alguna manera tiene sentido para el

alumno"

:esde la concepcin de


29/73

Modelo de clasificación de errores según Mos!oitz "#$%&'

5ategor*as propuestas+

>

M1) rrores de!ido a datos mal utilizados+ 3ncluye los errores 'ue pueden ser relacionados con alguna discrepancia entre los datos dados en el pro!lema y

cmo el alumno los trat"

> M2) rrores de!idos a una interpretacin incorrecta del lenguaje+ 3ncluye los

errores 'ue surgen por una traduccin incorrecta de ecos matemáticos a un

lenguaje colo'uial y viceversa"

> M=) rrores de!idos a inferencias no validas lgicamente+ 3ncluye los errores

cometidos por un razonamiento incorrecto" sta nueva informacin, inválida,

es luego utilizada para resolver el pro!lema planteado ocasionando una

respuesta errnea"

> M?) rrores de!ido al uso de teoremas o definiciones deformadas+ 3ncluye

los errores 'ue aparecen por una distorsin de un principio, una regla,

teorema o definicin" n esta categor*a se encuentran los errores por

aplicaciones de teoremas sin las condiciones necesarias, por aplicacin de

propiedades 'ue no corresponden, por la realizacin de una

valoracin inadecuada de una definicin, teorema o formula"

> M@) rrores de!idos a la falta de verificacin de la solucin+ 3ncluye los errores

cometidos en el resultado final pero no en el proceso, es decir, cada pasodado por el e/aminado es correcto en s* mismo, pero el resultado final, tal

como se presenta, no es una solucin para el pro!lema dado" n esta

categor*a se incluyen los errores 'ue de a!er e/istido una verificacin por

parte de alumno u!iesen sido eliminados"

> M0) rrores t6cnicos+ 3ncluye los errores de cálculo, los errores en la e/traccin

de datos de las ta!las, los errores en la manipulacin de s*m!olos alge!raicos

elementales, etc"

Modelo de clasificación de errores según (ocas "#$$&'

5ategor*as propuestas+

> #1) rrores 'ue tienen su origen en un o!stáculo+ #e considera al

o!stáculo como un conocimiento ad'uirido, no como una falta de

conocimiento, 'ue fue efectivo en algn conte/to especifico, pero 'ue cuando

el alumno utiliza dico conocimiento en otro conte/to, da lugar a respuestas

inadecuadas"

>

#2) rrores 'ue tienen su origen en la ausencia de sentido+ stos pueden dividirseen tres clase+

29


30/73

a) rrores 'ue tienen su origen en la aritm6tica, resultado de no a!er

asimilado elaciones y procesos en un conte/to aritm6tico,

!) rrores de procedimiento, es decir se producen cuando los

alumnos usan de manera inapropiada frmulas, definiciones o

reglas y

c) rrores de!idos a la mala interpretacin del lenguaje matemático"

> #=) rrores 'ue tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales+ stos

errores derivan de la falta de concentracin, !lo'ueos, olvidos, etc"

).- L* +E(,L/01 DE +,LEM*( E1 L* ED*/01 M*4EM54/*

na apro6imación al concepto 7pro8lema7 según S4"'%- 5 6%+7"4)%-8 92:;;< -%4"( 7)V%+"'v" 9!=>


31/73

práctica asta 'ue se a dominado la t6cnica"

#in em!argo, en cual'uiera de estas cinco formas, los pro!lemas son usados

como medios para algunas de las metas se&aladas arri!a" sto es, la resolucin de

pro!lemas no es vista como una meta en s* misma, sino como facilitador del logro de

otros o!jetivos y tiene una inter pretacin m*nima+ resolver las tareas 'ue an sido

propuestas"

(egundo significado: resoler pro8lemascomo !a8ilidad

-a mayor*a de los desarrollos curriculares 'ue a a!ido !ajo el t6rmino

resolucin de pro!lemas a partir de la d6cada de los 0 son de este tipo"

-a resolucin de pro!lemas es frecuentemente vista como una de tantas

a!ilidades a ser ense&adas en el curriculum" sto es, resolver pro!lemas no rutinarios

es caracterizado como una a!ilidad de nivel superior, a ser ad'uirida luego de a!er

resuelto pro!lemas rutinarios (a!ilidad 'ue a su vez, es ad'uirida a partir del

aprendizaje de conceptos y a!ilidades matemáticas !ásicas)"

s importante se&alar 'ue, aun cuando en esta segunda interpretacin del

t6rmino los pro!lemas son vistos como una a!ilidad en s* misma, las

concepciones pedaggicas y epistemolgicas 'ue su!yacen son precisamente las mismas'ue las se&aladas en la interpretacin anterior+ las t6cnicas de resolucin de pro!lemas

son ense&adas como un contenido, con pro!lemas de práctica relacionados, para 'ue las

t6cnicas puedan ser dominadas"

4ercer significado: resoler pro8lemas es 7!acermatemática7.

Hay un punto de vista particularmente matemático acerca del rol 'ue los

pro!lemas juegan en la vida de a'uellos 'ue acen matemática" 5onsiste en creer 'ue el

tra!ajo de los matemáticos es resolver pro!lemas y 'ue la matemática realmente consiste

en pro!lemas y soluciones"

l matemático más conocido 'ue sostiene esta idea de la actividad matemática es

Polya" Cos emos familiarizado con su tra!ajo a trav6s del li!ro AHoD to solve itB

(1$@?) citado por Eilanova (sFf), en el cual introduce el t6rmino Aeur*sticaB para

descri!ir el arte de la resolucin de pro!lemas, concepto 'ue desarrolla luego en

AMatemática y razonamiento plausi!leB (1$@%) y AMatematical :iscoveryB (1$1)

citados por Eilanova (sFf)"

31


32/73

-a conceptualizacin de Polya so!re la matemática como una actividad se

evidencia en la siguiente cita+ APara un matemático, 'ue es activo en la investigacin, la

matemática puede aparecer algunas veces como un juego de imaginacin+ ay 'ue

imaginar un teorema matemático antes de pro!arlo4 ay 'ue imaginar la idea de la

prue!a antes de ponerla en práctica" -os aspectos matemáticos son primero imaginados

y luego pro!ados, y casi todos los pasajes de este li!ro están destinados a mostrar 'ue 6ste

es el procedimiento normal" #i el aprendizaje de la matemática tiene algo 'ue ver con

el descu!rimiento en matemática, a los estudiantes se les de!e !rindar alguna

oportunidad de resolver pro!lemas en los 'ue primero imaginen y luego prue!en

alguna cuestin matemática adecuada a su nivel"B (Polya, 1$@?) citado por Eilanova (sFf)"

Para Polya, la pedagog*a y la epistemolog*a de la matemática están estrecamente

relacionadas y considera 'ue los estudiantes tienen 'ue ad'uirir el sentido de la

matemática como una actividad4 es decir, sus e/periencias con la matemática de!en ser

consistentes con la forma en 'ue la matemática es eca"

9actores ue interienen en el proceso de resolución de pro8lemasmatemáticos ";ilanoa< s=f':

Hasta el momento, sin em!argo, no ay ningn marco e/plicativo completo so!re

cmo se interrelacionan los variados aspectos del pensamiento matemático" n este

conte/to, parece a!er un acuerdo general so!re la importancia de estos cinco aspectos

(#coenfeld, 1$$2)+

a' El conocimiento de 8ase "los recursosmatemáticos'

Para entender el comportamiento individual de un sujeto puesto ante

una situacin matemática (ya sea de interpretacin o de resolucin de pro!lemas), se

necesita sa!er cuáles son las erramientas matemáticas 'ue tiene a su disposicin+ G'u6

informacin relevante para la situacin matemática o pro!lema tiene a mano, Gcmoaccede a esa informacin y cmo la utilizaH

n el análisis del rendimiento en situaciones de resolucin de pro!lemas, los

aspectos centrales a investigar generalmente se relacionan con lo 'ue el individuo

sa!e y cmo usa ese conocimiento, cuáles son las opciones 'ue tiene a su disposicin y

por 'u6 utiliza o descarta algunas de ellas" :esde el punto de vista del o!servador,

entonces, el punto principal es tratar de delinear el conocimiento de !ase de los sujetos 'ue

se enfrentan a la situacin de resolucin de pro!lemas" s importante se&alar 'ue en estos

conte/tos, el conocimiento de !ase puede contener informacin incorrecta" -as

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33/73

personas arrastran sus concepciones previas o sus limitaciones conceptuales a la

resolucin de pro!lemas y esas son las erramientas con las 'ue cuentan"

-os aspectos del conocimiento relevantes para el rendimiento en resolucin de

pro!lemas incluyen+ el conocimiento intuitivo e informal so!re el dominio del

pro!lema, los ecos, las definiciones y los procedimientos algor*tmicos, los

procedimientos rutinarios, las competencias relevantes y el conocimiento acerca de las

reglas del lenguaje en ese dominio (#coenfeld, 1$@) citado por Eilanofa (sFf)"

n suma, los allazgos en la investigacin se&alan la importancia y la

influencia del conocimiento de !ase (tam!i6n llamado ArecursosB) en resolucin de

pro!lemas matemáticos" stos es'uemas de conocimiento son el voca!ulario y las

!ases para el rendimiento en situaciones rutinarias y no rutinarias de resolucin"

8' Las estrategias de resolución de pro8lemas"!eur>sticas'

-as discusiones so!re las estrategias (o eur*sticas) de resolucin de

pro!lemas en matemática, comienzan con Polya, 'uien plantea cuatro etapas en la

resolucin de pro!lemas matemáticos+

Primero: Comprender el problema+ Gcuál es la incgnita, Gcuáles son los datos,

Gcuáles son las condiciones, Ges posi!le satisfacerlas, Gson suficientes para determinar

la incgnita, o no lo sonH Gson irrelevantes, o contradictorias, etc"

Segundo: Diseñar un plan: Gse conoce un pro!lema relacionado, Gse puede

replantear el pro!lema, Gse puede convertir en un pro!lema más simple, Gse

pueden introducir elementos au/iliares, etc"

Tercero: Ponerlo en práctica: aplicar el plan, controlar cada paso, compro!ar 'ue son

correctos, pro!ar 'ue son correctos, etc"

Cuarto: Eaminar la solución: Gse puede ce'uear el resultado, Gel argumento, Gpodr*a

a!erse resuelto de otra manera, Gse pueden usar el resultado o el m6todo para otros

pro!lemas, etc"

#in em!argo, mientras su nom!re es frecuentemente invocado, sus ideas son a!itualmente

trivializadas" Poco de lo 'ue se ace en el nom!re de Polya, conserva el esp*ritu de sus ideas"

l status cient*fico de las estrategias eur*sticas discutidas por Polya en su li!ro, a sido

pro!lemático, a pesar de 'ue la evidencia parece a!erse vuelto a su favor en las pasadas

d6cadas (#coenfeld, 1$$2)"

c' Los aspectos metacognitios

n el curso de una actividad intelectual, como por ejemplo, la resolucin de pro!lemas, en

algn momento se ace un análisis de la marca del proceso" Monitorear y controlar el progreso

33


34/73

de estas actividades intelectuales son, desde el punto de vista de la psicolog*a

cognitiva, los componentes de la metacognicin"

Hallazgos de investigacin en educacin matemática se&alan 'ue el desarrollo de la

autorregulacin en temas complejos es dif*cil y frecuentemente implica modificaciones de

conducta (desaprender conductas inapropiadas de control aprendidas antes)" stos cam!ios pueden ser realizados pero re'uieren largos per*odos de tiempo"

-os aspectos metacognitivos se relacionan, en suma, con la manera en 'ue se seleccionan y

despliegan los recursos matemáticos y las eur*sticas de 'ue se dispone"

d' Los sistemas de creencias

-as creencias, conce!idas como la concepcin individual y los sentimientos 'ue modelan las

formas en 'ue el individuo conceptualiza y acta en relacin con la matemática,

comenzaron a ocupar el centro de la escena en la investigacin en educacin matemática, a

partir de la ltima d6cada" #o!re esta cuestin, -ampert (1$$2) citado por Eilanova (sFf) se&ala+

A5omnmente, la matemática es asociada con la certeza4 sa!er matemática y ser capaz de

o!tener la respuesta correcta rápidamente van juntas" stos presupuestos culturales, son

modelados por la e/periencia escolar, en la cual acer matemática significa seguir las reglas

propuestas por el docente4 sa!er matemática significa recordar y aplicar la regla correcta cuando

el docente ace una pregunta o propone una tarea4 y la AverdadB matemática es determinada

cuando la respuesta es ratificada por el docente" -as creencias so!re cmo acer matemática y

so!re lo 'ue significa sa!er matemática en la escuela son ad'uiridas a trav6s de a&os de mirar,

escucar y practicar"B

-as creencias pueden ser consideradas la zona oscura o de transicin entre los aspectos

cognitivos y afectivos" Iompson (1$$2) citado por Eilanova (sFf), rese& los estudios 'ue

documentan cmo los docentes difieren ampliamente en sus creencias so!re la naturaleza y el

sentido de la matemática, as* como en su visin so!re cuáles son los o!jetivos más

importantes de los programas escolares de matemática, el rol de los docentes y los estudiantes

en las clases de matemática, los materiales de aprendizaje más apropiados, los procedimientos

de evaluacin, etc" stas investigaciones tam!i6n an mostrado 'ue e/isten relaciones entre

las creencias y concepciones de los docentes de matemática por una parte y sus visiones

so!re el aprendizaje y la ense&anza de la matemática y su propia práctica docente,

por otra"

Iompson encontr grandes diferencias en la visin de docentes so!re la naturaleza

y el significado de la matemática" Jna de las principales diferencias encontradas por

Iompson, se relaciona con el rol de la resolucin de pro!lemas en la ense&anza de la

matemática" Por otra parte, tam!i6n o!serv discrepancias entre las creencias 'ue

profesan los docentes y la práctica de la ense&anza 'ue realizan, lo 'ue evidencia 'ue

las creencias de los docentes no se relacionan de una manera simple y directa con su

30


35/73

comportamiento (Iompson, 1$$2) citado por Eilanova (sFf)"

n suma, conscientes o no, las creencias modelan el comportamiento matemático"

-as creencias son a!stra*das de las e/periencias personales y de la cultura a la 'ue uno

pertenece" sto conduce a la consideracin de la comunidad de práctica de la

matemática, como el ltimo, pero no por eso el menos importante, de los aspectos a

considerar"

e' La comunidad de práctica ";ilanoa< s=f'

Jn gran cuerpo de literatura emergente en los ltimos a&os, considera al

aprendizaje matemático como una actividad inerentemente social (tanto como cognitiva),

y como una actividad esencialmente constructiva, en lugar de receptiva"

Hacia mediados de los 0, se produce una e/tensin de la nocin de constructivismodesde la esfera puramente cognitiva, donde fue eca la mayor parte de la

investigacin, acia la esfera social" Mucas l*neas de investigacin cognitiva, se orientan

entonces acia la iptesis de 'ue desarrollamos á!itos y a!ilidades de interpretacin y

construccin de significados, a trav6s de un proceso más conce!ido como de socializacin

'ue como de instruccin"

sta perspectiva cultural es relativamente nueva en la literatura relacionada con la

educacin matemática" -a idea principal, es 'ue la comunidad a la 'ue uno pertenece

modela el desarrollo del punto de vista de sus miem!ros" s decir, el aprendizaje esculturalmente modelado y definido+ las personas desarrollan su comprensin so!re

cual'uier actividad a partir de su participacin en lo 'ue se a dado en llamar la

Acomunidad de prácticaB, dentro de la cual esa actividad es realizada" -as lecciones 'ue

los alumnos aprenden acerca de la matemática en el aula son principalmente culturales y se

e/tienden más allá del espectro de los conceptos y procedimientos matemáticos 'ue

se ense&an+ lo 'ue se piensa 'ue la matemática es, determinará los entornos

matemáticos 'ue se crearán y an la clase de comprensin matemática 'ue se desarrollará"

&.! E,ua,ies lieales , ua 5ariable E,ured; s


36/73

)ue pase cop' SeCibilidad e'tre estos disti'tos usos de la /ariable. T%abie'

es 'ecesario )ue el alu%'o %a'e4e las reglas si'tácticas )ue rige' el

le'gua4e algebraico= pero )ue peudea relacio'ar los disti'tos usos de la

/ariable co di/ersas situacio'es. +ara el logro de esas capacidades rsi'i=

propo'e los siguie'tes aspe'ctos )ue caracteria' el uso de la /ariable para

el desarrollo de Fabilidades algebraicas.

cti/idades )ue i'/olucra' el a%'e4o de la /ariable co%o i'c&g'ita

Reco'ocer e ide'tifcar= e' u'a situaci&' proble%ática= la prese'cia de

algo desco'ocido )ue puede ser deter%i'ado co'sidera'do las

restriccio'es del proble%a. I'terpretar la /ariable si%b&lica )ue aparece e' u'a ecuaci&'= co%o la

represe'taci&' de /alores especifcos. (ustituir la /ariable por el /alor o /alores )ue Face' de la ecuaci&' u'

e'u'ciado /erdadero. Deter%i'ar la ca'tidad desco'ocida )ue aparece e' ecuacio'es o

proble%as= realia'do aperacio'es algebraicas= arit%ticas o de a%bos

tipos. (i%boliar las ca'tidades descocidas ide'tifcadas e' u'a situaci&'

especfca : utiliarlas para pla'tear ecuacio'es.

cti/idades )ue i'/olucra' el %a'e4o de la /ariable co%o 'E%ero ge'eral

Reco'ocer patro'es : percebir reglas : %todos= e' secue'cias : e'

Ba%ilias de proble%as. I'terpretar la /ariable si%b&lica co%o la represe'taci&' de u'a e'tidad

ge'eral= i'deter%i'ada= )ue puede asu%ir cual)uier /alor. Deducir reglas : %todos ge'erales= e' co'secue'cia : e' Ba%ilias de

proble%as. 7a'ipular ;si%plifcar= desarrollar la /ariable si%b&lica.

(i%boliar eu'ciados= reglas o %todos ge'erales.

cti/idades )ue i'/olucra' el %a'e4o de las /ariables co%o u'a relaci&'

Bu'cio'al

Reco'ocer la correspo'de'cia e'tre /ariable relacio'adas=

i'depe'die'te%e'te de la represe'taci&' utiliada ;tablas= gráfcas=

proble%as /erbales= eCpresio'es a'alticas. Deter%i'ar los /alores de la /ariable depe'die'te= dados los /alores de

la i'depe'die'te.

36


37/73

Deter%i'ar los /alores de la /ariable i'depe'die'te= dados los /alores de

la /ariable depe'die'te. Reco'ocer la /ariaci&' co'4u'ta de las /ariables i'/olucradas e' u'a

relaci&' Bu'cio'al= i'depe'die'te%e'te de la represe'taci&' utiliada

;tablas= gráfcas= proble%as /erbales= eCpresio'es a'alticas. Deter%i'ar los i'ter/alos de /ariaci&' de u'a de las /ariables= dado el

i'ter/alo de /ariaci&' de la otra. (i%boliar u'a relaci&' Bu'cio'al= co' base e' el a'álisis de los datos de

u' proble%a.

'.! RESOLUCIÓN ALGE/RAICA DE PRO/LEMAS -ER/ALES se)>Gdi "??#4:

'a tc'ica pote'te para %odeliar : resol/er algebraica%e'te losproble%as /erbales es el uso de letras para eCpresar ca'tidades

desco'ocidas /ariables )ue puede' to%ar u' co'4u'to de /alores

posibles de'tro de ciertos i'ter/alos ;Bu'cio'es proposicio'ales co'

u' deter%i'ado co'4u'to de /alide. 'o de los ob4eti/os %ás

i%porta'tes de la e'seuscar relacio'es %ate%áticas e'tre las ca'tidades co'ocidas :

desco'ocidas. lgu'as palabras proporcio'a' cla/es li'gZsticas de

posibles igualdades : operacio'es.3. *scribir las relacio'es %edia'te eCpresio'es algebraicas.0. Tratar de escribir algu'a ca'tidad de dos %a'eras disti'tas= lo )ue

producirá u'a ecuaci&'.. Resol/er la ecuaci&' o i'ecuaci&' usa'do las tc'icas Bor%ales

dispo'ibles.6. Traducir la soluci&' %ate%ática e'co'trada al le'gua4e origi'al del

proble%a.

#. */aluar la soluci&' 5as e'co'trado lo )ue se peda Tie'ese'tido la respuesta

3#


38/73

+or e4e%plo= si el proble%a era e'co'trar el área de u' rectá'gulo= la

respuesta -0 sera absurda. *4e%plo +edro /i/e a 1G, M% de su lugar

de traba4o. +re/ salir de casa a las 9 Foras : co'ducir a la /elocidad

de , M%HFora. )u Fora llegará al traba4o (oluci&'

1. (ea t X el tie%po )ue tie'e )ue co'ducir ;eCpresado e' Foras2. Dista'cia ;M% X /elocidad ;M%HF . tie%po ;Foras3. +or u'a parte= dista'cia X ,[t : por otra= dista'cia X 1G, M%. 0. ,t X 1G, ;%odelo algebraico del proble%a t X 1G,H, X 3=6. +edro tie'e )ue co'ducir 3=6 Foras. !o%o sale a las 9 Foras :

co'duce dura'te 3=6 Foras= esto es= 3 Foras : 36 %i'utos= llegará al

traba4o a las 12F 36 %. *ste proble%a /erbal %uestra u'a

caracterstica i%porta'te de la %odeliaci&' %ate%ática. *l proble%a

real se Fa si%plifcado para )ue se pueda aplicar la Bu'ci&' )ue

caracteria el %o/i%ie'to u'iBor%e de u'a partcula e X /t ;espacioes igual a la /elocidad %ultiplicada por el tie%po. Ta%bi' /e%os las

posibilidades de ge'eraliaci&' )ue proporcio'a la %odeliaci&'

algebraica la /elocidad : la dista'cia a recorrer so' datos del

proble%a )ue i'ter/ie'e' co%o pará%etros )ue puede' to%ar

otros /alores. Fora bie'= sea' los )ue sea' los /alores de estos

pará%etros= el tie%po se calcula de igual %odo. *' algu'os

proble%as puede ser %u: Etil Facer u' dibu4o o es)ue%a de la

situaci&'.*4e%plo= (i te'e%os )ue resol/er el siguie'te proble%a*' 3 esta'tes de u'a librera Fa: 129 %a'uscritos. *' el segu'do Fa:

# %ás )ue e' el pri%ero. *' el tercero Fa: el doble )ue e' el

segu'do.!uá'tos %a'uscritos Fa: e' cada esta'te9. Resuel/e el proble%a del e4e%plo a'terior.1,. La te%peratura de la tierra a u'os pocos %etros de la superfcie

per%a'ece co'sta'te a u'os 2,\! ta'to e' i'/ier'o co%o e' /era'o.

%edida )ue proBu'dia%os la te%peratura se i'cre%e'ta de%a'era co'sta'te u'os 1,\! por Mil&%etro. )u proBu'didad debe

perBorar u'a co%pa


39/73

por cada pu'to se obtie'e u'a deter%i'ada ca'tidad de euros. 5a:dos participa'tes : el segu'do Fa obte'ido 2, pu'tos %ás )ue elpri%ero. !uá'tos euros se puede' dar por cada pu'to co'seguido

1.%.! DE*INICIÓN DE TERMINOS:

Mate0+ti,as: *s la cie'cia de estructurar u'a realidad estudiada= es el

co'4u'to de sus ele%e'tos= proporcio'es= relacio'es : patro'es de

e/oluci&' e' co'dicio'es ideales para u' á%bito deli%itado.*Ctrado de FttpHH.iboe'eb.co%HiboHdocsH)ue_es_%ate%atica.Ft%l

Al)ebra: *s la ra%a de la %ate%ática )ue estudia la co%bi'aci&' de

ele%e'tos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas.

Origi'al%e'te esos ele%e'tos poda' ser i'terpretados co%o 'E%eros o

ca'tidades= por lo )ue el álgebra e' cierto %odo origi'al%e'te Bue u'a

ge'eraliaci&' : eCte'si&' de la arit%tica.*Ctrado de FttpHHes.iMipedia.orgHiMiH`!3`G1lgebra

C,i0iet Mate0+ti,: *s su te'de'cia a respo'der a situacio'es

%ate%áticas proble%áticas %edia'te la reSeCi&' sobre proble%as : sus

solucio'es de'tro de u' co'teCto social : la co'strucci&' o

reco'strucci&' de accio'es= procesos : ob4etos orga'iá'dolos e'

es)ue%as para tratar co' dicFa situaci&'.*Ctrado de FttpHH.eu%ed.'etHtesis-doctoralesH2,1,Har%H*l

`2,!o'oci%ie'to`2,7ate%atico`2,segu'`2,*d`2,Dubi'sM:.Ft% Re)istr de re3reseta,i7 se0i7ti,a: 5ace' reBere'cia todas

a)uellas co'struccio'es de siste%as de eCpresi&' : represe'taci&' )ue

puede' i'cluir diBere'tes siste%as de escritura= co%o 'E%ero=

'otacio'es si%b&licas= represe'tacio'es tridi%e'sio'ales= grafcas=

redes= diagra%as= es)ue%as= etc. !u%ple' Bu'cio'es de co%u'icaci&'=

eCpresi&'= ob4eti/aci&' : trata%ie'to. *Ctrado de

FttpHHlati'oa%erica'a.ucaldas.edu.coHdo'loadsHLati'oa%erica'a3-

2_.pdB

Le)ua@e Mate0+ti,: *s la le'gua )ue co'stitu:e el siste%a de

sig'os ;s%bolos %ate%áticos= gráfcos= gestos= eCpresio'es corporales=

e'tre otros co%partidos por u'a co%u'idad ;de %ate%áticos o u'ai'stituci&'= co%o la escuela= u' aula= etc. : las reglas de uso de ese

39

http://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fwww.iboenweb.com%2Fibo%2Fdocs%2Fque_es_matematica.html&h=lAQEWm0JNhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://www.eumed.net/tesis-doctorales/2010/arm/El%20Conocimiento%20Matematico%20segun%20Ed%20Dubinsky.htmhttp://www.eumed.net/tesis-doctorales/2010/arm/El%20Conocimiento%20Matematico%20segun%20Ed%20Dubinsky.htmhttp://latinoamericana.ucaldas.edu.co/downloads/Latinoamericana3-2_5.pdfhttp://latinoamericana.ucaldas.edu.co/downloads/Latinoamericana3-2_5.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://www.eumed.net/tesis-doctorales/2010/arm/El%20Conocimiento%20Matematico%20segun%20Ed%20Dubinsky.htmhttp://www.eumed.net/tesis-doctorales/2010/arm/El%20Conocimiento%20Matematico%20segun%20Ed%20Dubinsky.htmhttp://latinoamericana.ucaldas.edu.co/downloads/Latinoamericana3-2_5.pdfhttp://latinoamericana.ucaldas.edu.co/downloads/Latinoamericana3-2_5.pdfhttp://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fwww.iboenweb.com%2Fibo%2Fdocs%2Fque_es_matematica.html&h=lAQEWm0JN


40/73

siste%a el Fabla %ate%ática reE'e los usos de ese siste%a por u'

i'di/iduo e' u' co'teCto e' particular. *Ctrado de

FttpHH.%e'do%atica.%e'doa.edu.arH'ro22HLe'gua4e_co%u'icacio'

_:_e%ocio'es_`2,(e'tipe'sar`2,la`2,7ate%atica_22.pdB

Al)rit0 *s u' co'4u'to prescrito de i'struccio'es o reglas bie'

def'idas= orde'adas : f'itas )ue per%ite realiar u'a acti/idad

%edia'te pasos sucesi/os )ue 'o ge'ere' dudas a )uie' deba realiar

dicFa acti/idad. *Ctrado de FttpHHes.iMipedia.orgHiMiHlgorit%o PRO/LEMA

(egE' el bre/e diccio'ario de la Le'gua *spa


41/73

conceptos previamente adquiridos para dar solución a una situación

nuevaK.+or su parte= R. Delgado ;199G= p.69= co'sidera la resoluci&' de

proble%as co%o u'a Fabilidad %ate%ática : se


42/73

Dis,usi7: co'siste e' estudiar los casos de posibilidad o i%posibilidad

del proble%a= deter%i'a'do los /alores e'tre los cuales puede' /ariar

los datos. *' la discusi&' suele' se


43/73

*l %arco de %uestreo es la relaci&' de alu%'os del 1er a


44/73

e' do'de ellos %is%os i'/e'ta' e' base a u'a situaci&' dada u' proble%a=el cuál ade%ás tie'e' )ue resol/erlo ;la cual abarca desde la pregu'ta 2.aFasta la pregu'ta 2.c.

*l test Bue elaborado por el e)uipo de i'/estigaci&' de la +o'tifcia

'i/ersidad !at&lica del +erE= : 'o Bue so%etido a u' proceso de /alidaci&'=si' e%bargo Bue aplicado a u'a %uestra poblacio'al de 29 alu%'os de 1ergrado de *ducaci&' (ecu'daria del !olegio +arro)uial Rei'a de la +a de(a' Isidro de Li%a +erE dura'te 1 Fora pedag&gica. *ste test Bue creado :aplicado por Lu 7ilagros a


45/73

+or e4e%plo= la %edia arit%tica de G= : -1 es igual a

(e utilia la letra co' u'a barra Forio'tal sobre el s%bolo parareprese'tar la %edia de u'a %uestra ; = %ie'tras )ue la letra ;%u seusa para la %edia arit%tica de u'a poblaci&'= es decir= el /alor esperado de u'a /ariable.

*' otras palabras= es la su%a de /alores de la /ariable : luego di/ididopor do'de es el 'E%ero de su%a'dos= o e' el caso de estadstica el

'E%ero de datos se da el resultado

b4 La 0ediaa Bii3edia; "?1$4:

Mtd de ,+l,ul )eeral:

i = i NiC11-C12 B 1 N1

. . .

. . .

. . N;i-2

C;i-11-C;i-12 B ;i-1 B ;i-1-N;i-2XN;i-1Ci1-Ci2 B i B i-Ni-1XNiC;iW11-C;iW22 B ;iW1 B ;iW1-NiXN;iW1

. . .

. . .

. . .C71-C72 B 7 B 7-N;7-1XN7

!o'sidera%os

- C11 /alor %'i%o *'to'ces

,4 La 0da Bii3edia; "?1$4:

*' estadstica= la 0da es el /alor co' u'a %a:or Brecue'cia e' u'adistribuci&' de datos.

5ablare%os de u'a distribuci&' bi%odal de los datos ad)uiridos e' u'acolu%'a cua'do e'co'tre%os dos %odas= es decir= dos datos )ue te'ga' la

0

http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9Chttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%9Chttp://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)


46/73

%is%a Brecue'cia absoluta %áCi%a. 'a distribuci&' tri%odal de los datoses e' la )ue e'co'tra%os tres %odas. (i todas las /ariables tie'e' la %is%aBrecue'cia dire%os )ue 'o Fa: %oda.

*l iter5al 0dal es el de %a:or Brecue'cia absoluta. !ua'do trata%os

co' datos agrupados a'tes de def'ir la %oda= se Fa de def'ir el i'ter/alo%odal.

La %oda= cua'do los datos está' agrupados= es u' pu'to )ue di/ide ali'ter/alo %odal e' dos partes de la Bor%a p : c-p= sie'do c la a%plitud deli'ter/alo= )ue /erif)ue' )ue

(ie'do la Brecue'cia absoluta del i'ter/alo %odal las Brecue'cias absolutasde los i'ter/alos a'terior : posterior= respecti/a%e'te= al i'ter/alo %odal.

7oda de datos agrupados

+ara obte'er la %oda e' datos agrupados se usa la siguie'te B&r%ula

Do'de

X -i'Berior de la clase %odal.

X es el delta de Brecue'cia absoluta %odal : la Brecue'cia absolutapre%odal.

X es el delta de Brecue'cia absoluta %odal : la Brecue'cia absolutapost%odal.

X %plitud del i'ter/alo %odal

#.! Preseta,i7 dis,usi7 de resultads:

a4 Preseta,i7 de resultads:

CUADRO 1

T6tul: !uadro de distribuci&' de Bor%a 'u%rica : porce'tual de los

*rrores )ue co%ete' los estudia'tes de 1er a


47/73

*ducati/o *Cperi%e'tal RaBael Nar/ae !ade'illas e' la resoluci&' deproble%as co' ecuacio'es li'eales= segE' seCo.

*uete: >ase de datos del Test aplicado a 1er a


48/73

!e'tro *ducati/o *Cperi%e'tal RaBael Nar/ae !ade'illas e' la resoluci&'de proble%as co' ecuacio'es li'eales= segE' seCo.

*uete: >ase de datos del Test aplicado a 1er a


49/73

T6tul: !uadro de distribuci&' de Bor%a 'u%rica : porce'tual de laspregu'tas correctas )ue Ficiero' los estudia'tes de 1er aase de datos del Test aplicado a 1er a


50/73

CUADRO $:

T6tul: !uadro de distribuci&' de Bor%a 'u%rica : porce'tual segE' tipo de error :seCo de los estudia'tes de 1er a


51/73

2.- (e prese'ta' %e'os errores e' el aspecto de Resoluci&' de proble%as co'ecuacio'es li'eales e' base a u' proble%a dado. ;`1#.06 de los errores totales.

CUADRO %

T6tul: !uadro de distribuci&' de Bor%a 'u%rica : porce'tual segE'

'E%ero de pregu'ta : tipo de respuesta de los estudia'tes de 1er a


52/73

A+lisis de ls resultads:

(egE' el cuadro ;cuadro resu%e' : la gráfca 2 pode%os afr%ar )ue

- La %a:or ca'tidad de pregu'tas correctas se e'co'tr& e' la pregu'ta'E%ero 1.a co' u' porce'ta4e de `12.36.

- La %e'or ca'tidad de pregu'tas correctas se e'co'tr& e' la pregu'ta'E%ero 2.b : 2.c co' u' porce'ta4e de ` 1.1.

- La %a:or ca'tidad de pregu'tas co' errores se e'co'tr& e' lapregu'ta 'E%ero 2.b co' u' porce'ta4e de ` 9.G.

- La %e'or ca'tidad de pregu'tas co' errores se e'co'tr& e' la

pregu'ta 'E%ero 1.a co' u' porce'ta4e de `1.13.- La %a:or ca'tidad de pregu'tas /acas se e'co'tr& e' la pregu'ta

'E%ero 1.a co' u' porce'ta4e de `32.01.- La %e'or ca'tidad de pregu'tas /acas se e'co'tr& e' las pregu'tas

'E%ero cuadro 2 te% 0 : pregu'ta 1.e co' u' porce'ta4e de `21.3G.

2


53/73

CUADRO &

T6tul: !uadro de distribuci&' de Bor%a 'u%rica : porce'tual segE' tipo deacierto : seCo de los estudia'tes de 1er a


54/73

2.- (e prese'ta' %e'os aciertos e' el aspecto de Resoluci&' de proble%as co'ecuacio'es li'eales e' base a u' proble%a creado por el alu%'o. ;`.# de losaciertos totales.

Pruebas Estad6sti,as de ti3 des,ri3ti5 Mda; Mediaa Media4

CUADRO ':

T6tul: 7oda= 7edia'a : 7edia de los !uadros 1= 2 : 3

CUADRO1

CUADRO"

CUADRO#

80bres

7oda G 3 167edia'a 11. 3 9.7edia 12.G9 3.#G 1,.00 Mu@eres

7oda G 2 67edia'a # 0 G.7edia 6.G3 0.2G G.G9

Ttal

7oda 26 16 127edia'a 1G. #. 16.7edia 19.#2 G.,6 19.33

*uete: !uadros 1= 2 : 3.

0


55/73

,

1,

1

2,

2

3,

GRÁ*ICA $: C03ara,i71 de la 0edia1a; 0edia 0da del Cuadr '

!-DRO 1

!-DRO 2

!-DRO 3

*uete: !uadro #

b4 Dis,usi7 de resultads:

*l test Bue elaborado por el e)uipo de i'/estigaci&' de la +o'tifcia'i/ersidad !at&lica del +erE= : 'o Bue so%etido a u' proceso de /alidaci&'=

si' e%bargo Bue aplicado a u'a %uestra poblacio'al de 29 alu%'os de 1ergrado de *ducaci&' (ecu'daria del !olegio +arro)uial Rei'a de la +a de(a' Isidro de Li%a +erE dura'te 1 Fora pedag&gica. *ste test Bue creado :aplicado por Lu 7ilagros a


56/73

*uete: Tesis para obte'er el grado de 7agister e' *'se


57/73

*uete: !uadro 1= !uadro 2 : !uadro 3.

'álisis de los resultados

1.- !o%paraci&' de los cuadros del test co' el %arco te&rico Te'ie'do e'

cue'ta )ue los cuadros )ue estu/iero' e' el test 'o te'a' co' )ue

co%pararse respeto a los a'tecede'tes ;Tesis de la +!+ ;+o'tifcia'i/ersidad !at&lica del +erE de la 7g. Lu a


58/73

2.- !o%paraci&' de los resultados= segE' la Tabla 1 de Resultados de la

pri%era lista de proble%as de la Tesis de la +!+ ;+o'tifcia 'i/ersidad

!at&lica del +erE de la 7g. Lu a


59/73

- *l %a:or porce'ta4e de pregu'tas /acas lo tie'e la pregu'ta 1.a

reBere'te a Resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es li'eales e' base

a u' proble%a dado ;`02.1,= si' e%bargo e' 'uestro a'tecede'te

el %a:or porce'ta4e de pregu'tas /acas lo tie'e la pregu'ta 1.d


a u' proble%a dado ;` 0G.2G.- *l %e'or porce'ta4e de pregu'tas /acas lo tie'e la pregu'ta 1.e


a u' proble%a dado ;` 21.3G si' e%bargo e' 'uestro a'tecede'te

el %e'or porce'ta4e de pregu'tas /acas lo tie'e' las pregu'ta 1.b

Resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es li'eales e' base a u'

proble%a dado ;`6.G9.

*l %a:or porce'ta4e de errores lo tie'e la pregu'ta 2.b reBere'te a

Resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es li'eales e' base a u' proble%a

creado por el alu%'o ;` 9.G= esto podra deberse a )ue tal /e a estos

estudia'tes 'o les de4aro' desarrollar su creati/idad= su i%agi'aci&' co%o

lo dice dice +ol:a ;190 citado por ila'o/a;sHB si el apre'dia4e de la

%ate%ática tie'e algo )ue /er co' el descubri%ie'to e' %ate%ática= a los

estudia'tes se les debe bri'dar algu'a oportu'idad de resol/er proble%as

e' los )ue pri%ero i%agi'e' : luego pruebe' algu'a cuesti&' %ate%áticaadecuada a su 'i/el= : ta%bi' podra deberse a Bactores socioeco'&%icos=

polticos : culturales ;5er'á'de : 7ore'o= 2,,1 :a )ue la %a:ora de

estudia'tes 'o /ie'e' del %is%o lugar de procede'cia si' e%bargo e'

'uestro a'tecede'te el %a:or porce'ta4e de errores lo tie'e' las pregu'ta

2.a : 2.c. reBere'tes ta%bi' a Resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es

li'eales e' base a u' proble%a creado por el alu%'o )ue podra' deberse a

los %is%os Bactores :a a'tes %e'cio'ados= pero recalca'do )ue Fa: )ue

te'er e' cue'ta )ue el test )ue aplic& la +!+ e' Li%a se dio a estudia'tes

de u' colegio parro)uial particular e' do'de probable%e'te desarrolla' %ás

te%as religiosos )ue te%as cie'tfcos : pues este es u' Bactor de tipo

cultural )ue i'Su:e ;5er'á'de : 7ore'o= 2,,1.

*l %a:or porce'ta4e de pregu'tas correctas lo tie'e la pregu'ta 1.a

Resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es li'eales e' base a u' proble%a

dado : esto podra deberse a )ue los estudia'tes resuel/e' proble%as co%o

u'a Fabilidad de resol/er proble%as ruti'arios ;Fabilidad )ue a su /e= esad)uirida a partir del apre'dia4e de co'ceptos : Fabilidades %ate%ática

9


60/73

básicas ;ila'o/a= sHB si' e%bargo e' 'uestro a'tecede'te el %a:or

porce'ta4e de pregu'tas correctas lo tie'e' la pregu'ta 1.a : ade%ás la 1.b

)ue ta%bi' so' reBere'tes a Resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es

li'eales e' base a u' proble%a dado : )ue podra' deberse al %is%o Bactor=

o ta%bi' a )ue 'o Fa' te'ido %ucFos errores e' este tipo de error

probable%e'te por)ue 'o posee' difcultades e' el apre'dia4e de la

%ate%ática= particular%e'te e' la resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es

li'eales e' base a u' proble%a dado= : )ue por eso 'o se %a'ifesta'

errores ;(ocas= 199#.

De Bor%a ge'eral= es decir abarca'do todas las pregu'tas del test= los

errores %ás Brecue'tes )ue prese'ta' los estudia'tes de 1er a


61/73

pero si esto se Ficiese co' u'a %uestra %ás gra'de e'to'ces si se

podra' obte'er resultados real%e'te sig'ifcati/os.

Ta%bi' Fa: algu'os aspectos )ue 'ecesita' de u'a i'/estigaci&'

co%ple%e'taria co%o por e4e%plo

- Deter%i'ar si los errores )ue %ás co%ete' los estudia'tes de 1er a


62/73

particular co' %a:or proporci&' e'Batiar e' los errores de

tra'sBor%acio'es de *Cpresio'es si%b&licas a *Cpresio'es /erbales.- +uede' i'cluso seguir i'/estiga'do acerca de estos errores e' la

resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es li'eales : abrir u' B&ru% de

debate /irtual.- Orga'iar ca%pa


63/73


64/73

- La relaci&' e'tre la %oti/aci&' : los errores )ue co%ete' los

estudia'tes de 'i/el secu'dario e' la resoluci&' de proble%as co'

ecuacio'es li'eales.- La relaci&' )ue eCiste e'tre los aciertos )ue co%ete' los estudia'tes

de 'i/el secu'dario co' su percepci&' de la %ate%ática co%o cie'ciae' la resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es li'eales.

- *stablecer cuáles so' los errores %ás Brecue'tes de los estudia'tes

de 'i/el secu'dario e' la resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es

li'eales e' la regi&' de la Libertad.- *stablecer cuáles so' los aciertos %ás Brecue'tes de los estudia'tes

de 'i/el secu'dario e' la resoluci&' de proble%as co' ecuacio'es

li'eales e' la regi&' de la Libertad.

%.! RE*ERENCIAS /I/LIOGRÁ*ICAS:

1. (TOL$I= Q. +. ;1999 *l JerrorK= u' %edio para e'se


65/73

6. D*L +*RTO= (. 7. 7INNRD= !. L. (*7INR= (. . ;2,,6.

J'álisis de los errores u'a /aliosa Bue'te de i'Bor%aci&' acerca del

apre'dia4e de las 7ate%áticasK. Re/ista Iberoa%erica'a de

*ducaci&' . >olet' N\ 3GH0= 7adrid= O*I

FttpHH.rieoei.orgHdeloslectoresH12G+uerto.pdB !o'sulta 'o/.

2,,G.#. Depa= R.= $er'á'de= 7. ;2,11. Resoluci&' de proble%as

%ate%áticos de sustracci&' e' alu%'os de 3er grado de pri%aria de

u' colegio pri/ado : de u' colegio estatal e' li%a.;Tesis de %aestra.

Li%a= +erE +o'tifcia 'i/ersidad !at&lica del +erE=G. Derra%a PPP Rutas del apre'dia4e para 'i/el secu'daria ;sHB.

*Ctrado el 19 de 'o/ie%bre del 2,10 desde

FttpHHblog.derra%a.org.peHrutas-del-apre'dia4e-para-'i/el-secu'dariaH

9. Dias= (. ;2,1,. pre'diage% e% 7ate%ática. (ao +aulo= >rasil

+apirus *ditora1,.Du/al= R. ;2,,0. (e%iosis : +e'sa%ie'to 5u%a'o. !olo%bia

'i/ersidad del alle. ?rupo de *ducaci&' 7ate%ática.11.Du/al= R. ;2,,6. ' te%a crucial e' la educaci&' %ate%ática La

Fabilidad para ca%biar el registro de represe'taci&'. La ?aceta de la

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12.Du/al= R. ;2,12. Lo ese'cial de los procesos cog'iti/os de

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FttpHH.ecured.cuHi'deC.pFpH*cuacio'es_li'eales_e'_u'a_/ariable1.*u%ed PPP tesis doctorales ;( HB. *Ctrado el 16 de setie%bre del

2,10 desde FttpHH.eu%ed.'etHtesis-doctoralesH2,1,Har%H*l

`2,!o'oci%ie'to`2,7ate%atico`2,segu'`2,*d`2,Dubi'sM:.Ft%16.$rade= L. ;2,,9. Desarrollo de co%pete'cias e' educaci&' Desde

preescolar Fasta el bacFillerato ;9*d. 7Cico= D.$. I'telige'cia

*ducati/a1#.?arca= Q. ;199G. 7a'ual de difcultades de apre'dia4e Le'gua4e=

lecto escritura : %ate%áticas. Tercera *dici&'. *spa


66/73

1G.?odi'o= Qua' D. ;2,,3 7ate%áticas : su didáctica para %aestros.

*Ctrado desde FttpHH.ugr.esHj4godi'oHedu%at-

%aestrosH%a'ualH#_lgebra.pdB 19.?pseducatio' PPP !ou'tr: +rofle ;2,13. *Ctrado el ,# de

'o/ie%bre del 2,10. FttpHHgpseducatio'.oecd.orgH!ou'tr:+roflepri%ar:!ou'tr:X+*RktresFoldX1,ktopicX+I

2,.5er'á'de= *.= : 7ore'o= L. ;2,,1. *l laboratorio taller de

%ate%ática 'a alter'ati/a para superar los proble%as de

apre'dia4e de la %ate%ática e' la educaci&' básica ge'eral : la

educaci&' %edia. Tesis de 7aestra. +a'a%á 'i/ersidad

*specialiada de las %ricas.21.5er'a'de= Q. ;1996. (obre Fabilidades e' la resoluci&'de proble%as

arit%ticos /erbales=%edia'te el uso de dos siste%asde

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%ate%ática e' la e'se


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&.! ANEFOS:

*OTOS DEL DÍA DE LA APLICACIÓN DEL TEST A PRIMER GRADO DESECUNDARIA DEL CENTRO EDUCATI-O EFPERIMENTAL RA*AEL

NAR-AEH CADENILLAS 1"


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Informe de Investigación 2014

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