DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA

CÁLCULO 1

APLICANDO CONCEPTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

EN LA EMPRESA ECOEMPAQUES

Autores:

PROFESOR Enrique Morán Montoya

Clase: 707671 Fecha: 3 de diciembre de 2013

Resumen

En esta investigación pondremos en práctica lo aprendido en el curso de Cálculo 1 para ello hemos escogido a la empresa de ECOEMPAQUES dedicada a la elaboración de productos a base de papel reciclado, quien en estos primero meses ha tenido un ingreso reducido y es por ello que necesitan personas capacitadas que puedan informales sobre las medidas que deben tomar para que sus ingresos incrementen. De igual manera presentaremos los riesgos que puede generarse en una empresa si la producción sigue disminuyendo.

Palabras claves: Derivadas, función, límite, ingreso, producción.

Abstract

In this research we will implement what they learned in the course of Calculus 1 for why we have chosen the company ECOEMPAQUES dedicated to the development of products based on recycled paper, that in these first months had a reduced income and that is why need trained people who can inform them of the steps they should take to increase their income. Likewise present risks that can be generated in a company if production continues to decline.

Keywords: Derivatives, function, limit, income production.

Página 2

A. CAPÍTULO 1

1.1 Introducción

Toda empresa necesita saber cómo está avanzando su economía. Para ello se basa en una serie de parámetros que les permite conocer si el trabajo que están realizando es favorable o no. ECOEMPAQUES es una empresa dedicada a la fabricación de productos utilitarios de bajo costo en base a papel reciclado; durante los primeros meses del presente año, ECOEMPAQUES ha sufrido una baja en sus ingresos debido a la carencia de personal capacitado en asuntos económicos. Por ello, busca expertos que puedan aconsejarle qué medidas tomar para hacer que sus ingresos se maximicen, asimismo mostrarle los riesgos que puede sufrir la empresa si la producción sigue disminuyendo. Además de establecer dicha producción en función del tiempo. Para solucionar este inconveniente se utilizará conceptos básicos de funciones, límites y derivadas, temas que hemos realizado en el curso de Cálculo Diferencial y aplicaremos en la vida real. Así pues, esperamos cubrir las expectativas que una empresa de esa magnitud requiere.

1.2 Formulación del problema

La empresa ECOEMPAQUES dedicada a la fabricación de envases de pulpa de papel reciclado, ha tenido un ingreso neto (en millones de soles) representado por la función:

B (x )=1,2x−0,1x3, donde “x” es el número de productos (en miles) fabricados en un mes.

Durante los primeros 5 meses del año 2013, sus ingresos han bajado.

a) Calcule la producción mensual que hará máximo el Ingreso. Esbozar la gráficab) Hasta dónde puede llegar el Ingreso si se produce 1(en miles) envases de pulpa

de papel menos que el resultado anterior.c) ¿Cuál sería la función del ingreso con respecto al tiempo? Si se sabe que

Q ( t )=2t+0,2 es la función del tiempo en que la empresa tarda en fabricar un

producto.

1.3 Definición de objetivos:

Objetivo general:

Aplicar conceptos de cálculo diferencial para solucionar problemas en la empresa ECOEMPAQUES.

Objetivos específicos:

Conocer el valor que maximizará el ingreso de la empresa. Estimar el valor del Ingreso si este sigue disminuyendo. Crear una función del Ingreso con respecto al tiempo.

1.4 Justificación

Página 3

Como estudiantes, pensamos que este trabajo de investigación nos impulsó a desarrollar nuestras habilidades de síntesis, análisis y conocimiento de lineamientos importantes en investigación como la determinación de un problema. La investigación, como ya se mencionó anteriormente está enfocada a aplicar los conceptos básicos de cálculo diferencial para guiar a la empresa ECOEMPAQUES a mantener en buen estado su economía. Nos motivó la elección de dicha empresa como contexto de nuestra investigación puesto que nos permite demostrar una vez más lo importante que son las matemáticas en nuestra vida diaria, incluso es una empresa comprometida con el medio ambiente, lo cual guarda una estrecha relación con nuestra carrera profesional.

1.5 Marco Teórico

B. Capítulo 2

Página 4

APLICACIÓN A LA INVESTIGACION

Funciones DerivadasLimites

Es el conjunto de paresordenados de elementos tal que 2 pares distintosnunca tienen el mismo primer elemento.

Nos sirve para calcularhasta donde una funciontendra su limite exacto,

La derivada permitever, a traves de la pendienteen todo punto de la curva,la evolucion o el cambiode muchos fenomenos fisicos.

nos sirve para

nos sirve para

nos sirve para

Para resolver problemasde la vida diaria ya seafinanzas,economia,medicina,etc.Y de cualquier otra areasocial donde haya que relacionar variables.

Es hasta donde alguieno algo puede llegar a su limite exacto.

Representa como se modificauna funcion a medida que su entrada tambien registraalteraciones.

Aplicacion

Aplicacion

Aplicacion

Un ejemplo comun es cuando se va al mercadoo a cualquier centro comercial donde siempre relacionan un conjunto de determinados objetos conel costo expresado en solespara saber cuanto podemoscomprar.

Un ejemplo muy común es enla vida de un ingeniero en dondeel tendra que medir y calcularel limite cuando una poblacion de bacterias a traves de undeterminado tiempo aumentarasu poblacion.

En una , trabajaba en una fabrica de de una sustancia utilizada como , y las derivadas e integrales, servian para calcular la cantidad de sustancia que se hiba formando dentro de los reactores, en funcion de la temperatura, los catalizadores, y el tiempo.

ocasionsintesis

insecticida

1.6 Etapas y/o actividades

a) Nos piden hallar la producción que hará máximo el ingreso.

1- Sabemos que la función del Ingreso es:

B (x )=1,2x−0,1x3

Máximos ( B’(X)=0 )

B' ( x )=1,2−0,3 x2

0=1,2−0,3 x2

1,2−0,3x2=0

x2=−1,2

−0,3=4

x=±√4

x1=2

x2=−2

x₁ = 2 envases de pulpa de papel

x₂ = -2 envases de pulpa de papel

OBSERVACIÓN:

Descartamos el valor negativo, ya que no tiene sentido fabricar -2 envases de pulpa, puesto que se quiere ganar; por lo tanto, la solución es x = 2

X=2; y =1,6

2- Para saber si el resultado anterior es un máximo o mínimo de la función B(x), debemos aplicar el criterio de la 2da derivada.

Página 5

Recordemos: 

si B ´´(x) < 0 ⇒ Máximo 

si B ´´(x) > 0 ⇒ Mínimo 

si B ´´(x) = 0 ⇒ El criterio falla 

Hallemos entonces la segunda derivada de la función: 

B (x )=1,2x−0,1x3B' ( x )=1,2−0,3 x2

B' ' ( x )=−0,6 x

Evaluamos B' ' ( x ) en x = 2

B' ' ( x )=−0,6 x

B' ' (2 )=−0,6 (2)

B' '(2)=−1,2<0

Por lo tanto x=2 (en miles) envases de pulpa de papel es la producción mensual que hace máximo el ingreso.

*Punto de Inflexión:

B' '(x )=0

0=−0,6 x

0=x

3- Esbozar la gráfica:

Sabiendo el punto crítico x=2 (concavidad)

Página 6

B' (x)>0 B' (x)<0B' (x)>0

0 1-1 32

Analizamos en la B' ( x )

a) X=-1

B' (−1 )=1,2−0,3(−1)2=0,9>0b) X=1

B' (1 )=1,2−0,3(1)2=0,9>0

c) X=3

B' (3 )=1,2−0,3 (3)2=−1,4<0

Página 7

Gráfica n° 01

b) Desean saber el límite del ingreso al reducir en 1 (miles) la producción del resultado anterior (o sea : x = 2)

1- Sabemos que nuestra producción máxima anterior nos resultó 2 (en miles). Entonces, si se dice que a este resultado le restemos 1 para saber hasta dónde puede llegar el ingreso, tendríamos:

limx→1

1,2x−0,1x3

Resolviendo el límite:

limx→1

1,2x−0,1x3

limx→1

1,2(1)−0,1(1)3

limx→1

¿1,1

El ingreso, si la producción llega a 1 (en miles), sería 1,1 (en millones de dólares.

c) Desean tener el Ingreso en función del tiempo.

1- Sabiendo que Q(t) es la función de la producción con respecto al tiempo.

Nos piden :

B (x ) °Q (t) Entonces, procedemos a sustituir:

(B°Q ) ( t )=B (Q ( t ))

B (Q ( t ) )=1,2 x−0,1 x3

B (2t+0,2 )=1,2 (2 t+0,2 )−0,1 (2t+0,2 )3

B (2t+0,2 )=2,4 t+0,24−0,1 (8 t3+2,4 t 2¿¿ +0,008)¿

B (2t+0,02 )=2,4 t+0,24−0,8t 3−0,24 t2−0,024 t−0,0008

B (2t+0,02 )=−0,8t 3−0,242+2,16 t+0,2392

La función del Ingreso con respecto al tiempo es:

Página 8

B (t )=−0,8 t3−0,242+2,16 t+0,2392

C- Capítulo 3

1.7 Contrastamos los resultados con el caso práctico

a) Necesitábamos hallar la producción para que el ingreso sea máximo, obtuvimos como resultado que dicha producción debía ser 2 000, lo cual haría que la empresa ECOEMPAQUES mantenga arriba su economía. Empezando así, con un ingreso de 1,6 (millones de soles).

b) Por otro lado, queríamos saber qué pasaba si la producción de la empresa seguía disminuyendo, para ello estimamos el valor 1 (en miles); lo cual nos dio como resultado que si se producía 1000 envases de pulpa de papel al mes, el ingreso sería de 1,1(millones). Lo obtenido, nos muestra que si la producción disminuye en 1000 cada mes, se perderán 5 millones de soles.

c) Queriendo dar soluciones a ECOEMPAQUES, facilitamos la función B(t) , la cual establece la relación del ingreso con respecto al tiempo. Teniendo en cuenta que

la producción “x” presentaba la siguiente función Q ( t )=2t+0,2. Así pues,

obtuvimos que la función B(t) está dada por B ( t )=−0,8 t3−0,242+2,16 t+0,2392.

1.8 Conclusiones

Tras el análisis especializado gracias a nuestros conceptos matemáticos se arriba a las siguientes conclusiones:

Gracias a los temas correspondientes al curso de Cálculo 1, se ha podido solucionar uno, de los muchos problemas de la vida real.

Para hallar el ingreso máximo es necesario conocer conceptos cómo: Criterio de la segunda derivada, la regla de la cadena (si fuera necesario), entre otros.

Con la ayuda de Límite se logra tener una idea a cuánto asciende o desciende los ingresos a largo plazo.

Es necesario tener presente el tema de composición de funciones, para obtener una función con respecto de otra.

Bibliografía y linkografía

ECOEMPAQUES. Página web http://www.ecoempaques.com.pe/nosotros/acerca-de-nosotros

Espinoza, Canals, Meda Manuel et al. (2008) Cálculo Diferencial: problemas resueltos (1° Ed.). México. Universidad Autónoma Metropolitana. books.google.com.pe/books?isbn=9686708782

Prado, Santiago, Quezada et al. (2006) Cálculo Diferencial para Ingeniería. (1°Ed.) México. Pearson Educación. books.google.com.pe/books?isbn=997767441

Página 9

Roque Roberto (2011) http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20110909093937AAoo2az

Página 10