Paper Title (use style: paper title)

Modelamiento de un sistema trmico de primer orden

Juan Sebastian Gomez TorresDepartamento de Ingeniera Elctrica y Electrnica Universidad de los Andes Bogot, Colombiajs.gomez362@uniandes.edu.co Nathalia Lopez GomezDepartamento de Ingeniera Elctrica y Electrnica Universidad de los Andes Bogot, Colombiana.lopez225@uniandes.edu.co

Juanita Tocarruncho LuqueDepartamento de Ingeniera Elctrica y Electrnica Universidad de los Andes Bogot, Colombiaj.tocarruncho1271@uniandes.edu.co

AbstractEl principal objetivo de esta prctica correspondi al diseo e implementacin de un control automtico para un sistema trmico de primer orden hacienda uso de herramientas como LabVIEW y MATLAB para la adquisicin y visualizacin de los datos obtenidos. Inicialmente se realiz una familiarizacin con el software utilizado, interactuando con la interfaz y los elementos para el diseo del sistema de control. Posteriormente, se estableci el modelo matemtico que describe el comportamiento dinmico del sistema, estimando experimentalmente los parmetros de ste; teniendo en cuenta estos elementos fue posible la implementacin de varios sistemas de control, tales como: controlador on-off con histresis, controlador utilizando el mtodo de sintonizacin y un controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo). AGREGAR PRINCIPALES RESULTADOS Y CONCLUSIONES.KeywordsLabWIEW; sistema de control; style; styling; insert (key words)Introduccin LabVIEW es un software de programacin grfica diseado para la simulacin de diversos tipos de sistemas llevando a cabo un proceso de escalado desde el diseo hasta el desarrollo de pruebas. Adems se presenta como una herramienta verstil para la aplicacin en diversas reas del conocimiento, la adquisicin de datos y procesamiento de seales, automatizacin de sistemas, enseanza acadmica, etc. [1]. Los sistemas autorregulados en la industria son de gran importancia ya que proveen a lneas de ensamblaje y de produccin la capacidad de brindar productos de mejor calidad y productividad, e incluso llegando a reducir costos y evitando posibles errores. Estas ventajas han llevado a una nueva revolucin industrial en la que los sistemas son capaces de mantener las variables crticas de produccin en un rango en el cual el producto no se vea afectado [2].En el presente informe se estn analizando procesos que involucran cambios de temperatura que son regulados automticamente, esto es de gran inters ya que en la gran mayora de procesos de produccin los cambios de temperatura pueden alterar drsticamente la calidad del producto, llegando inclusive al dao total en el producto si la temperatura cambia drsticamente. Para esto se llevaron a cabo experimentos en los cuales se modelaban situaciones reales a una escala pequea, mediante el uso de herramientas como LabVIEW. Por otro lado, el uso de herramientas como MATLAB permitieron realizar procesos de anlisis de datos y simulacin, estos ltimos estn basados en idealidades y por lo tanto permiten una comparacin adecuada con los experimentos realizados para detectar errores y sus diferentes fuentes.Sistema de primer orden:Estos sistemas son los ms comnmente encontrados en la industria, ya que dan informacin del almacenamiento que tiene un sistema y de la forma como este se comporta ante un estmulo. En su anlisis se destaca el conocimiento del trmino de la ganancia K y el desplazamiento en el tiempo , ya que estas ecuaciones se rigen por la siguiente ecuacin en el dominio de Laplace: (1)Controlador on-off con histresis Los controladores de este tipo son capaces de dar dos seales, del mismo modo que un interruptor (encendido o apagado), as que son incapaces de dar una seal intermedia. Estos mecanismos de control son simples y permiten mantener una variable en un rango determinado al activar o desactivar una fuente de poder, por ende son ampliamente usados en control de plantas trmicas.Controladores PID:Este mtodo de controlar un sistema consiste en la determinacin de los trminos de ganancia, tiempo Integral y tiempo derivativo en un sistema. Estos valores se estiman con las primeras partes de la experimentacin. Una vez implementados estos valores permitirn al sistema relacionar los valores de la seal de control con un error. Los cambios en las variables provocan que el sistema responda de manera ms rpida o lenta dependiendo de lo que sea ms eficiente para cada caso [2].El propsito final de este informe es encontrar los parmetros que ms afectan los sistemas auto-controlados, las fuentes de error que los llegan a afectar y la manera de determinar mejores variables del sistema de control. De este modo, la rapidez con la que el sistema responda se aumenta, la eficiencia y la estabilidad son factores que se logran apropiadamente al tener un sistema controlado eficientemente.

MetodologaLa prctica fue desarrollada en 4 etapas, las cuales se describen a continuacin:Sesin 1: Adquisicin de datos por medio de LabVIEWEn esta sesin el principal objetivo fue realizar un acercamiento al software LABVIEW, utilizado para medir el voltaje a la salida de una planta trmica dada una entrada.Los equipos utilizados en esta prctica fueron los mismos para las siguientes tres sesiones de laboratorio.Equipos Fuente de voltaje de 5 V y bananas Planta trmica Tarjeta de adquisicin de datos de NI (con mdulos de entrada y salida analgicas). Computador con LABVIEW y MATLABEl montaje experimental empelado fue igual para las 4 sesiones de la prctica y consisti en la conexin de la planta trmica a la fuente de voltaje y a la tarjeta de adquisicin de datos. La conexin con la fuente se realiz con el uso de las bananas mientras que en la conexin con la tarjeta se emplearon cables para conectar los pines de tal forma que los pines de salida de la planta se conectaran con los pines de entrada de la tarjeta y los pines de entrada de la planta se conectaran con los pines de salida de la tarjeta. Para el montaje descrito se realiz un programa en LABVIEW que generara un voltaje a la entrada de la planta trmica y registrara la temperatura en la planta como se observa en la figura 1.

Figura 1. Programa en LABVIEW para la sesin 1.

Figura 2. Interfaz grfica de LABVIEW para la sesin 1

Seguido esto, se estableci un voltaje de 5V en la interfaz del programa (figura 2) y se encendi la fuente de voltaje y la planta trmica. Se ejecut el programa creado en LABVIEW durante 5 minutos para obtener los valores de la temperatura manteniendo el voltaje constante durante este lapso de tiempo

Sesin 2: Modelamiento de un sistema trmico de primer ordenTeniendo en cuenta las caractersticas del sistema utilizado, correspondiente a la planta trmica, se plantea el modelo matemtico de un sistema trmico de primer orden, junto con la definicin experimental de los parmetros de dicho modelo.Empleando el mismo montaje y programa en LABVIEW que la sesin 1 se procedi a establecer un voltaje de 4V en la interfaz del programa y a encender la fuente de voltaje. Posteriormente se ejecut el programa durante 30 minutos para lograr que el sistema se estabilizara y con los datos se realiz una grfica en Matlab para determinar los parmetros del modelo. Con estos parmetros se realiz la simulacin de la figura 3 en Simulink para comparar los datos obtenidos experimentalmente con los datos del sistema simulado.

Figura 3. Simulacin en Simulink de la sesin 2.

Sesin3: Control ON-OFF de temperatura en LabVIEWEn esta sesin se implementa un control on-off con histresis en el sistema trmico donde se determina un rango dentro del cual se desea que permanezca la temperatura.El montaje experimental de la planta trmica con la fuente y la tarjeta de adquisicin de datos es igual que en la sesin 1 y el programa implementado en LABVIEW es el que se observa en las figuras 3 y 4.

Figura 3. Programa en LABVIEW para la sesin 3.

Figura 4. Interfaz grfica de LABVIEW para la sesin 3

Se procedi a encender la fuente de voltaje y a elegir valores para los lmites de temperatura para luego ejecutar el programa en LABVIEW y graficar los datos obtenidos.Trabajo complementario sesin 3Como complemento de la sesin 3 se emple el bloque Time Domain Math de LABVIEW para analizar la integracin y derivacin de las siguientes 3 seales con el programa en LABVIEW de la figura 5: Seal cuadrada de 2VPP y f =1Hz. Seal triangular de 5Vpp y f = 2Hz. Seal diente de sierra de 1Vpp y F=0.5Hz.

Figura 5. Programa en LABVIEW para trabajo complementario de la sesin 3

Sesin 4: Control PID de temperaturaEn la cuarta y ltima sesin se tuvo como objetivo implementar un controlador PID en el sistema trmico y analizar como el mtodo de sintonizacin influenciaba las caractersticas del sistema. Para esto se emple el montaje experimental descrito en la sesin 1 y el programa en LABVIEW ilustrado en las figuras 6 y 7.

Figura 6. Programa en LABVIEW para la sesin 4.

Figura 7. Interfaz grfica de LABVIEW para la sesin 4

Se realizaron 3 corridas en esta sesin donde los parmetros que se ingresaron en la interfaz grfica del programa para la primer corrida fueron determinados utilizando los parmetros obtenidos experimentalmente de la sesin 2 de forma que:

(2) (3) (4)

Donde es 100 dado que fue la constante de tiempo que se emple. En la segunda y tercer corrida se modificaron estos parmetros para disminuir el tiempo de respuesta y el sobre-impulso a los valores que se encuentran en la tabla 1. Una vez obtenidos los datos se generaron las grficas en MATLAB.

TABLA I. Parmetros para las corridas de la sesin 4ParmetroCorrida

123

260.54100100

2.605455

0010

de referencia30 C30 C30 C

Trabajo complementario sesin 4Adicional al procedimiento ya descrito para la sesin 4 se emple Simulink para simular el programa de la figura 6 con y sin un controlador como se observa en la figura 8 con el fin de observar la respuesta del sistema.

Figura 8. Simulacin en Simulink de la sesin 4 con y sin controlador

Resultados y Anlisis de ResultadosSesin 1: Adquisicin de datos por medio de LabVIEW

Figura 9. Grfica Temperatura vs. Tiempo de la sesin 1.Como se observa en la figura 9 la temperatura en la planta aumento desde 24.5 hasta 28.5 al suministrarle un voltaje constante de 5V. No es posible determinar los parmetros que describen este sistema dado que se ejecut el programa en LABVIEW por un tiempo inferior al necesario para que el sistema se estabilizara. Sesin 2: Modelamiento de un sistema trmico de primer ordenLa ecuacin matemtica de primer orden para describir la salida del sistema respecto a una entrada est definida como:

Con la ecuacin (7) se definen los parmetros del sistema que corresponde a la constante de tiempo del proceso y es la ganancia del proceso. Utilizando la transformada de Laplace se obtiene la funcin de transferencia:

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales

Por lo tanto la ecuacin de transferencia queda definida:

De acuerdo con el modelo anteriormente planteado y los datos experimentales se determinan los parmetros de la funcin de transferencia de la siguiente forma:

(13) (14)

Estos parmetros se pueden determinar de forma grfica con los datos representados en la figura 10, sin embargo, se realiz el anlisis con Matlab para eliminar el error del observador y obtener los valores exactos de los parmetros que se ajustan a los datos experimentales. Se emple la herramienta Import Data -> Time Domain Data para as estimar la funcin de transferencia de donde se obtuvieron los siguientes valores para los parmetros:

Figura 10. Grfica Temperatura vs. Tiempo de la sesin 2.

En la figura 10 se evidencia que los datos obtenidos de forma experimental se ajustan de forma casi exacta al sistema simulado por Simulink empleando los parmetros para la funcin de transferencia experimentales. Como era de esperarse para un sistema de primer orden la temperatura incremento de forma exponencial hasta estabilizarse en un valor k.Sesin 3: Control ON-OFF de temperatura en LabVIEW En esta sesin de la prctica inicialmente se eligi un rango lmite para la temperatura correspondiente a [20, 23], sin embargo, al transcurrir el tiempo fue evidente que no se podra determinar si el programa se encontraba en funcionamiento dado que la temperatura ambiente en el momento rondaba 21C y la planta trmica no se encendera. En vista de esto, el rango se cambi a [24,26] y fue ah donde se encendi la planta trmica hasta que la temperatura alcanz el valor mximo del rango permitido causando que se apagara como se observa en la figura 11. De esta forma se comprob que el programa en LABVIEW cumpla su funcin ya que se encenda la planta cuando la temperatura disminua ligeramente por debajo del lmite inferior del rango de temperatura establecido y se apagaba cuando sobrepasaba ligeramente el lmite superior. La determinacin del estado de la planta trmica (encendida-apagada) se logra a partir de la lnea roja en la figura 11 correspondiente al voltaje suministrado a la planta donde un voltaje de 5V indica que la planta se encuentra encendida mientras que un voltaje de 0V indica que la planta est apagada.

Figura 11. Grfica Temperatura vs. Tiempo de la sesin 3.Trabajo complementario sesin 3El bloque Time Domain Math de LabVIEW tiene como opciones, entre otras, derivar o integrar una seal que se le d como entrada. Los valores que retorna son: Para Integral (Sum[Xdt]): retorna el valor de una sumatoria con el punto anterior, mediante la siguiente formula

Para Derivative (dX/dt): Retorna el valor de la derivada de la funcin que le ingresa como seal, haciendo uso de la pendiente

Para el anlisis de esta funcin de LabVIEW se us un Time Domain Math de integracin y derivacin para una seal cuadrada de amplitud 1 y 1Hz de frecuencia, una seal triangular de amplitud 2.5 y 2 Hz y por ltimo una seal de sierra de 0.5 de amplitud y 0.5 Hz.En la figura 12 se tiene la integral de una seal cuadrada, se tiene que la suma del punto anterior con el siguiente nos da una seal triangular centrada en 0.25 y con 1 Hz. Esto se debe a que la funcin est sumando los valores que la seal cuadrada tiene en sus extremos positivos y negativos, los cuales explican las subidas y bajadas de la funcin integrada a tasas constantes y que cambian de sentido cuando la seal cuadrada salta a su extremo negativo.

Figura 12. Seal cuadrada y su integral en LabVIEW.

Para la derivada de la seal cuadrada vemos la figura 13, es notable que la derivada no se comporta idealmente, ya que si lo hiciera de esta manera el valor de la derivada en los puntos que la seal cuadrada cambia de extremo serian de infinito y menos infinito, sin embargo los valores de la derivada en estos puntos son enormes, lo cual sugiere que el modelo se ajusta cercanamente a la idealidad. Por otro lado en los valles altos y bajos de la seal cuadrada no hay un cambio en la amplitud por lo cual la derivada es 0. Los picos aparecen con una frecuencia de 2Hz ya que son dos por cada cambio de pico de la seal de entrada.

Figura 13. Seal cuadrada y su derivada en LabVIEW.

Para la integral de una seal triangular se tiene la figura 14. Al usar el mtodo de integracin se obtiene como resultado una seal tipo sinodal con la misma frecuencia que la seal de entrada pero una amplitud de 0.15 centrada en 0.15.

Figura 14. Seal triangular y su integral en LabVIEW.

En la figura 15 se puede apreciar la derivada de una seal triangular. Se puede notar que el resultado es una seal cuadrada de amplitud 10 y con la misma frecuencia de la seal de entrada. Esto se da porque el valor de la derivada en las subidas y bajadas de los tringulos son constantes del mismo valor con smbolo cruzado, y a que en cada una de las puntas de los tringulos la derivada es igual a 0.

Figura 15.Seal triangular y su derivada en LabVIEW.

En la figura 16 se puede apreciar la integral de una seal de sierra. La suma da como resultado una seal con la misma frecuencia que la seal de entrada que se comporta suavemente en los extremos inferiores y con picos en los extremos superiores. Los cambios bruscos son ocasionados por los saltos en picada recta que da la seal de entrada, en los cuales se empieza a restar el valor ms negativo posible de la seal de entrada al valor de la integral.

Figura 16. Seal de sierra y su integral en LabVIEW.

En la figura 17 se puede ver la seal de sierra y su derivada. La derivada de esta seal tiende a menos infinito para el final de cada uno de los dientes de la seal de entrada ya que en estos puntos hay un salto en la amplitud, por ende, estos valores aparecen con la misma frecuencia de la seal de entrada. Para los dems valores la seal adquiere un valor constante que es el de la pendiente que tienen los extremos ascendientes de cada diente, no se nota en la grfica de la derivada porque estos valores son pequeos comparados con lo que el programa da para tratar de representar menos infinito.

Figura 17. Seal de sierra y su derivada en LabVIEW.

Sesin 4: Control PID de temperaturaEn la primera corrida que se realiz se emplearon los parmetros obtenidos experimentalmente en el controlador con los cuales se obtuvo un tiempo de respuesta (tiempo que tarda el controlador en actuar sobre la respuesta) de aproximadamente 1080 segundos y un sobre-impulso (valor por encima de referencia) de aproximadamente 1.5 (figura 18). Con el fin de minimizar ambos de estos valores se modificaron los parmetros y . Un incremento en el valor de ocasiona un aumento en el sobre-impulso del sistema as como un incremento en el tiempo de establecimiento del sistema (tiempo que tarda en llegar a estado estacionario) por lo cual se decidi disminuir este valor. Por otro lado, incrementar el ocasiona una disminucin en el tiempo de respuesta, razn por la que se decidi aumentar este valor [3]. De esta forma se obtuvo la grfica evidenciada en la figura 19 donde se observa que el tiempo de respuesta efectivamente disminuye y tiene un valor de aproximadamente 550 segundos. Adicionalmente, se detecta una disminucin significativa en el tiempo de establecimiento que pasa de 1200 segundos en la corrida 1 a 600 segundos en la corrida 2. El sobre-impulso sin embargo no se vio afectado con la modificacin de estos parmetros, Con esto se comprueba el efecto que tiene la modificacin de los parmetros y sobre la respuesta del sistema.

Las figuras 18, 19 y 20 se obtuvieron con los siguientes parmetros:

TABLA II. Variacin de parmetros. ParmetroCorrida 1Corrida 2Corrida 3

260.54200200

2.605444

001

Figura 18. Grfica Temperatura vs. Tiempo de la corrida 1 de la sesin 4.

Por ltimo se modific el valor de para poder determinar qu efecto tena sobre la respuesta del sistema. En la literatura se encuentra que aumentar el valor de este parmetro ocasiona una disminucin en el sobre-impulso y en el tiempo de establecimiento del sistema [3] por lo cual se le otorg un valor mayor a 0 en la corrida 3 a diferencia de las primeras 2 corridas. Como se logra ver en la figura 20 el aumento el valor de tuvo como consecuencia una disminucin en el tiempo de establecimiento que paso de ser 600 segundos a 550 ms sin embargo no afect el sobre-impulso. Los cambios hechos sobre los parmetros del controlador si afectaron el tiempo de respuesta y el tiempo de establecimiento del sistema ms no el sobre-impulso. Esto se puede deber a que el valor del sobre-impulso era relativamente pequeo (1.5 C) y puede ser que el sistema ya estuviese en el valor mnimo de sobre-impulso posible. Cabe resaltar que el objetivo de esta sesin era el de identificar los efectos de sobre el sistema y en la corrida 2 se cambiaron 2 parmetros al tiempo. Hubiese sido ptimo dejar 2 de ellos constantes y modificar solo uno a la vez para lograr observar el efecto que tena cada parmetro por s solo sobre el sistema.

Figura 19. Grfica Temperatura vs. Tiempo de la corrida 2 de la sesin 4

Figura 20. Grfica Temperatura vs. Tiempo de la corrida 3 de la sesin 4

Trabajo complementario sesin 4Los resultados obtenidos para el control PID sin saturacin y con saturacin se presentan a continuacin:

Figura 21. Grfica Temperatura vs. Tiempo PID sin saturacin.

Figura 20. Grfica Temperatura vs. Tiempo PID con saturacin.

Al comparar los resultados obtenidos en las figuras 21 y 22 es posible evidenciar diferencia de la curva alrededor del valor objetivo correspondiente a 30C; en la grfica de control sin saturacin se observa que el una vez el controlador alcanza este valor estabiliza el sistema y lo mantiene constante. En el caso del control PID con saturacin se evidencia que la curva alcanza valores por encima de 30C; este efecto puede deberse a que el integrador del controlador contina integrando aun cuando la entrada se encuentre saturada [4]. Esto muestra entonces que es necesario conocer el sistema que se est modelando y el efecto que pueden tener los actuadores sobre la respuesta obtenida para establecer las condiciones apropiadas para el controlador.

Conclusiones

A partir de los resultados obtenidos y el anlisis realizado es posible afirmar que el modelo utilizado correspondiente a la ecuacin diferencial de primer orden describe de forma apropiada el fenmeno que ocurre en la planta trmica. Como consecuencia de esto, se consideran correctos los clculos para determinar los parmetros de la ecuacin de transferencia.

Al establecer una comparacin de los controladores utilizados en la prctica, es posible concluir que utilizando el controlador PID se obtiene una respuesta ms precisa respecto al valor establecido como objetivo, esto se debe a que este tipo de controladores posee una accin integral que mantiene una desviacin mnima del valor medido con respecto al valor deseado. Adems realiza un proceso de retroalimentacin de forma continua, lo cual permite un monitoreo constante del error. En contraste los controladores On-Off posee un error de tipo oscilatorio debido al tipo de respuesta de este controlador y por lo tanto no alcanza un estado estable a travs del tiempo, esto genera menos precisin y por lo tanto una aplicacin en sistemas simples.

References

G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions, Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529551, April 1955. (references)

Robert H Bishop, R. D. (2011). Modern Control systems. New Jersey: Pearson Education, Inc.[3]C. Sierra, Andrs, Salgado Jimmy, Dominguez, PRACTICA DE LABORATORIO N 1.4 CONTROL PID DE TEMPERATURA. 2015.[4]Goodwin, Graham C., Graebe, Stefan E., and M. E. Salgado, Control System Design.