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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICA Y MATEMÁTICAS
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FÍSICA
“INFLUENCIAS DE LAS CORRIENTES DE
SEGUNDA CLASE EN INTERACCIÓNES DE
NEUTRINOS CON NUCLEONES”
INFORME FINAL DE PRACTICA PRE PROFESIONAL
PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE
LICENCIADO EN FÍSICA
AUTOR :
Br. Jaime Ulices Romero Menacho
ASESOR :
Dr. Antonio I. Rivasplata Mendoza
TRUJILLO-PERÚ
2014
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JURADO CALIFICADOR
Mg. Oscar Morillo Alva
Presidente
Mg. Ricardo Gil Ramírez
Secretario
Dr. Antonio Rivasplata Mendoza
Vocal
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A mis queridos padres Hilda y Ulices
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AGRADECIMIENTOS
A Dios primero que nada.
Al asesor Dr. Antonio I. Rivasplata Mendoza del laboratorio de Física Teórica – UNT
por las valiosas discusiones que llevaron a la culminación de esta tesis.
A todos los profesores de la Escuela de Física de la Facultad de Ciencias Físicas y
Matemáticas.
A mis compañeros: Denis Manuel Abanto Gonzales, Oswaldo Juver Acosta Rebaza,
José Carlos Albán Palacios, Jorge Alejandro Alfaro Pinedo, Silvino Altamirano
Saldaña, Marino Johony Angulo García, Javier Alfonso Angulo Vega, Tito Milton
Armas Quezada, Wilson Aníbal Arqueros Sánchez, Pedro Paul Avalos Lázaro, Gilmer
Rafael Avalos Sigüenza, Jorge Luis Benites Rengifo, Víctor Manuel Bobadilla Lamg,
Ramos Alberto Bocanegra Ramos, José Luis Cárcamo Silva, Ezaine Ramiro Carranza
Rengifo, Julia Rosa Carranza Vargas, Noé Artemio Carrera Trujillo, Francisco Alcides
Casahuaman Crispín, Enrique Criste Castañeda Sebastián, Asunción Yonel Castillo
Namoc, José Alberto Castillo Sánchez, Robert Edwin Castro Medina, Purificación
Cerna Flores, Segundo Manuel Chávez Pinedo, Manuel Avelino Condormango Solano,
Aladino Cubas Tinoco, Jorge Hernán Dávalos Alvarado, Marcial Fernando Díaz
Figueroa, Samuel Alfonso Díaz Jara, Roberto Javier Diego Zavaleta, Jorge Enrique
Domínguez Morillo, Aldo Estrada Posada, José Oswaldo Goicochea Ledesma, Luis
Sánchez Goicochea Saldaña, Oswaldo Efraín Guarniz Chávez, Jorge Luis Hernández
Caro, Andrés Elías Horna Abril, Reenaty Amanda Huatay Enriquez, Arístides Martin
Ibáñez Ulloa, Rider Jaimes Reátegui, Vladimiro Darío Jara Hidalgo, Juan Javier
Lizárraga Gutiérrez, Tomas Temistocles López Bautista, Elsi Violeta Mejía Uriarte,
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Agustín Roberto Mendoza Alfaro, Nancy Dora Neyra Olguín, Percy Enry Paredes
Guevara, Wilder Teófilo Peláez López, José Martin Peña Vinces, Adela Aurora Pérez
Carreño, Yvone Esther Pérez Sanjinez, Carlos Plascencia Medina, Sixto Ricardo Prado
Gardini, José Fernando Rabanal Muñoz, Arístides Reyes Vásquez, Víctor Manuel Rojas
Avalos, Edmer Hohny Rojas Moreno, Denis Roldan Chafloque, Jaime Raúl Romero
Cruz, Antonio William Rosas Obeso, Juan Carlos Ruiz Aredo, Walter Ismael
Sagastegui Lescano, Edmundo Sánchez Quito, Luis Enrique Sánchez Romero, Roberto
Ysacc Sato Berru, Jorge Luis Seminario Quezada, Alfonso Hernán Siccha Reyna,
Willmans Nolberto Ticlla Mostacero, Ausberto Wilson Urquiaga Vásquez, Augusto
Vásquez Navarro, Guillermo Verastegui Peña, Ronald Iván Vereau Álvarez, José Luis
Vilcamango Medina, Carlos Alberto Zavaleta Caballero, Carlos Agustín Zavaleta
Salvatierra, Luis Alfredo Zelada Abanto, Jorge Luis Zúñiga Fernández, Yoni Walter
Milla Gonzales, por los gratos momentos en nuestra vida universitaria.
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RESUMEN
En el presente trabajo se ha estudiado procesos semileptónicos, en particular de aquellos
que describen el decaimiento de nucleones mediante la emisión de leptones. Se ha
hecho una reseña histórica del problema hasta llegar a las Corrientes de Segunda Clase
(CSC).
Asimismo, se ha calculado la amplitud del decaimiento de neutrones en protones y
leptones, y su cuadrado, del que depende la sección eficaz diferencial y total del
proceso. Las magnitudes calculadas han sido expresadas en función de la polarización
de los nucleones iniciales y finales.
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ABSTRACT
The present work studies semileptónicos processes, particularly those describing the
nucleon decay by emitting leptons. It has become a historical overview of the problem
up to the Second Class Currents (CSC).
Furthermore, we calculated the amplitude of the decay of neutrons into protons and
leptons, and its square, to which the differential and total cross section of the process.
The calculated values have been expressed in terms of the polarization of the initial and
final nucleons.
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ÍNDICE
Pág
JURADO CALIFICADOR
DEDICATORIA ......................................................................................................... i
ARADECIMIENTO .................................................................................................. ii
RESUMEN ............................................................................................................... iv
ABSTRACT ............................................................................................................... v
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN.............................................................................. 1
CAPÍTULO II: HAMILTONIANO DE PROCESOS ................................................ 2
SEMILEPTÓNICOS .................................................................................................. 3
2.1. HAMILTONIANO DE LA INTERACCIÓN DÉBIL ...................................... 3
2.2. FÓRMULA GENERAL PARA LAS CORRIENTES HADRÓNICAS
CARGADAS DÉBILES ................................................................................... 9
2.3. EL PROBLEMA DE LAS CORRIENTES DE SEGUNDA CLASE .......... 13
CAPÍTULO III: SECCIÓN EFICAZ DIFERENCIAL DE LA DISPERSIÓN DE
NEUTRINOS EN NUCLEONES ............................................................................ 19
3.1. ELEMENTOS DE MATRIZ DE LA DISPERSIÓN CUASIELÁSTICA
DE NEUTRINOS EN NUCLEONES .......................................................... 19
3.1.1. CÁLCULO DEL TENSOR LEPTÓNICO ................................................... 21
3.1.2. CÁLCULO DEL TENSOR HADRÓNICO ................................................. 22
3.1.3. CÁLCULO DEL CUADRADO DEL ELEMENTO DE MATRIZ ............. 25
3.2. CINEMÁTICA DE LOS PROCESOS DE CAPTURA DE
NEUTRINOS POR NUCLEONES A BAJAS ENERGÍAS ...................... 28
CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES ..................................................... 33
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................... 34
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CAPÍTULO I:
INTRODUCCIÓN
El diseño de un modelo que permita entender las interacciones electromagnética y débil
como dos distintas manifestaciones de una interacción más fundamental, la electrodébil,
constituyó un gran paso en el camino de la unificación de todas las interacciones entre
partículas elementales, conocidas hasta la fecha.
Partiendo de tres principios fundamentales: la invariancia local de calibre, la ruptura
espontánea de la simetría y la condición de renormalización Weinberg [1, 2, 3], Salam
[4, 5] y Glashow [6, 7, 8] lograron crear una hermosa teoría, conocida actualmente bajo
el nombre de “modelo estándar” o “modelo de WSG”, con ayuda de la cual no sólo
fueron explicados muchos de los resultados experimentales existentes, sino también se
hicieron muchas importantes predicciones físicas.
Muchas de estas predicciones han sido brillantemente verificadas en los experimentos.
En 1973 se observaron por primera vez interacciones débiles de las corrientes neutras, y
en 1983 se descubrieron los bosones débiles W y Z , que intervienen en la teoría
(conjuntamente con el fotón) como portadores de la interacción. Pero, al mismo
tiempo, algunas consecuencias de la teoría aún no han sido verificadas
experimentalmente. Hasta el momento no se ha verificado la existencia real, en la
naturaleza, de las partículas de Higgs. Además, queda por verificar los valores
predichos de los momentos anómalos de los fermiones [9].
Adicionalmente, la teoría estándar ha dejado sin respuesta un conjunto de importantes
cuestiones, entre las cuales ocupan un lugar importante problemas como la masa del
neutrino y las denominadas corrientes de segunda clase (CSC), según la clasificación de
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Weinberg [10]. En el primer caso la teoría permite la participación de neutrinos sin
masa, como neutrinos masivos en las interacciones, aunque en la versión mínima la
masa de esta partícula se toma como nula [11].
En lo referente a las corrientes de segunda clases, en el modelo de WSG usualmente se
las considera iguales a cero sobre la base de diferentes hipótesis (tales como las
hipótesis de la conservación de la corriente vectorial, de la invariancia isotópica y de la
invariancia T). Es indispensable subrayar que ninguno de los experimentos realizados
hasta el momento ha dado una respuesta completa al problema de la existencia de las
CSC en la naturaleza.
Por eso es de actualidad la búsqueda teórica de efectos provocados tanto por la masa no
nula del neutrino, cuanto por la existencia de las CSC en la naturaleza, que puedan ser
observados en el experimento.
El problema de las CSC y su posible influencia en la evolución de procesos
semileptónicos constituye el tema de la presente tesis. Las CSC se introducen en la
teoría fenomenológicamente (Con ayuda de los denominados “factores de forma”) y se
estudia su aporte en las distintas características de los mencionados procesos. Se verá
que en algunos casos el aporte de las CSC es considerable.
La actual teoría de partículas elementales no prohíbe ni confirma la existencia de las
CSC. Sin embargo, la mayoría de los cálculos teóricos referentes a procesos en los que
participan hadrones se hacen considerando que tales corrientes no existen (Para lo cual
se recurre a diversas hipótesis, no todas ellas verificadas experimentalmente). Y si bien
es cierto que hasta ahora su coincidencia con los resultados experimentales es aceptable,
el mejoramiento de la precisión de las mediciones puede mostrar en el futuro
considerable divergencia entre la teoría y el experimento.
Por tal razón, en el presente trabajo se ha hecho un estudio del proceso
( ) ( ) ( ) ( )
para deducir de las particularidades de los procesos semileptónicos.
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CAPÍTULO II
HAMILTONIANO DE PROCESOS SEMILEPTÓNICOS
2.1. HAMILTONIANO DE LA INTERACCIÓN DÉBIL
El primer hamiltoniano de la interacción débil fue propuesto por Fermi [20], en
1934, como parte fundamental de la teoría del decaimiento . Por analogía con la
electrodinámica, se lo escribió como un producto de dos expresiones vectoriales
tetradimensionales, denominadas corrientes (nucleónica y leptónica). Este
hamiltoniano tiene la forma
c.h.2
enp
FW
GH (2.1)
donde 0 , “c. h.” representa la conjugada hermítica del primer término y
FG es la constante de interacción, denominada con el nombre de Enrico Fermi.
En el sistema natural de unidades ( 11 c, ) la constante de Fermi
2510031 pF Mx,G , con la masa del protón GeV,M p 9380 .
Por su construcción el hamiltoniano de Fermi WH es invariante con respecto de las
transformaciones del grupo propio de Lorentz y de la inversión del espacio. Con
su ayuda se logró explicar las propiedades generales de todos los procesos débiles
conocidos hasta ese momento (el decaimiento de electrones y positrones, la
captura electrónica y otros).
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En 1936 Gamow y Tellier desarrollaron la idea de Fermi y propusieron un método
más general para construir el hamiltoniano del decaimiento , lineal sobre todos
los campos y sus adjuntos y que no contiene las derivadas de dichos campos
h.c.ˆˆ2
j
jenjpjF
W OOCG
H (2.2)
donde jO representa las cinco posibles combinaciones de matrices : escalar (
S ), vectorial (V ), tensorial (T ), seudovectorial ( A) y seudoescalar ( P ). En
consecuencia jO es igual a 55 ,,,,I . En lo referente a las constantes
jC se puede decir que, en general (si no se exige la invariancia con respecto a la
inversión del tiempo), pueden ser magnitudes complejas que se definen en el
experimento.
Es necesario tener en cuenta que, en caso de decaimiento de un nucleón no
relativista, cuando el momento transferido q es pequeño, el término con PO ,
que responde al producto de las corrientes seudoescalares, puede ser despreciado.
Después de que Wu y su grupo [21] verificó y corroboró la hipótesis de Lee y
Yang de la violación de la paridad espacial en los procesos de decaimiento los
físicos llegaron a la conclusión de que el hamiltoniano WH debe ser invariante
con respecto a la inversión del espacio. En consecuencia, el hamiltoniano también
debe contener una parte seudoescalar, en otras palabras, debe tener la forma
h.c.ˆˆ2
5'
jjjjenjp
FW CCOO
GH (2.3)
como jC , las constantes 'jC pueden ser complejas, en el caso general, y se
determinan en el experimento.
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Al estudiar la polarización de los electrones emitidos en el decaimiento y otras
características que se miden en los experimentos se estableció que las constantes
de los términos tensorial y escalar del hamiltoniano son muy pequeñas (Es verdad
que en ningún experimento se ha demostrado que sean iguales a cero [24]). Por
eso, como regla general, estos términos se desechan del hamiltoniano y éste se
escribe en la forma:
h.c.2
55 j
enpF
W IIG
H (2.4)
Aquí el parámetro caracteriza la relación entre las intensidades de la parte
vectorial y seudovectorial de la corriente hadrónica y representa lo mismo para
la corriente leptónica. Para los neutrinos y antineutrinos sin masa toma los
valores 1 y 1 , y sus helicidades son iguales a 1 y 1 .
La teoría V–A de la interacción débil fue generalizada independientemente por
Feynman y Gell Mann, por un lado, y por Sudarshan y Marshak, por otro.
Después del aporte de Cabbibo todos los procesos débiles cargados pueden ser
descritos sólo con la ayuda de un hamiltoniano efectivo en forma de un producto
corriente por corriente:
JJ*
2F
W
GH
en el cual cc cossenJ J lJ ( c es el ángulo de Cabbibo).
En la expresión para la corriente total, el término l representa la corriente
leptónica, J es la corriente hadrónica que conserva la extrañeza y J , la corriente
hadrónica que no la conserva. Todas tienen una estructura V–A:
...11 55
eel
., AVAVJ JJJ
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Las corrientes hadrónicas pueden ser expresadas a través de los campos de los
quarks s,d,c,u (Vea [25 – 27]). Este esquema fue propuesto en 1970 por
Glashow, Illiopulos y Maiani (Se le conoce como modelo GIM). Los campos de
los quarks sd y entran en las corrientes de Cabbibo en forma de las siguientes
combinaciones [7]:
cc
cc
sendss
sensdd
cos'
cos'
En consecuencia, la corriente hadrónica cargada adopta la forma:
'.1'1 55 scdu lJ
A medida que la teoría se desarrollaba se difundía más la opinión de que el
hamiltoniano del tipo “corriente por corriente” constituye una aproximación del
verdadero hamiltoniano a bajas energías [28]. Además, como se hace notar en
[29], el modelo aproximado conduce a la irrenormalizabilidad, las correcciones
radiativas infinitas y las divergencias. Pero también, con este hamiltoniano se
obtienen buenos resultados sólo en la primera aproximación de la teoría de
perturbaciones sobre la constante de enlace débil [26].
La culminación del desarrollo de la teoría de la interacciones débiles lo constituye
el modelo propuesto algo más de cuarenta años atrás por Weinberg, Salam y
Glashow (Vea [1 – 8]). Este modelo se basa en los principios de invariancia local
de calibre y de ruptura espontánea de la simetría. El primero nos conduce a la
aparición de las partículas intermediarias, los bosones ZW,W y, los que
desempeñan el papel de portadores de la interacción débil. Y el segundo es el
responsable de que, en un principio sin masa, las partículas adquieran masa (Con
excepción del neutrino y antineutrino).
Como grupo de calibre del modelo WSG interviene el producto directo de los
grupos 2SU y 1U ( 12 USU ), en correspondencia con el cual en la
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teoría se introducen campos de calibre: el isotriplete de campos de Yang Mills sin
masa A y el campo isosinglete de Maxwell B . En lo referente a su masa, las
partículas vectoriales la adquieren por la interacción con el campo escalar de
Higgs como resultado de la ruptura espontánea de la simetría.
Los campos de las partículas verdaderas (físicas) se expresan como
combinaciones de los campos introducidos anteriormente. A los bosones cargados
les corresponde una combinación de los campos 21 y AA , mientras que el campo
3A se combina con el campo B para obtener los campos del fotón y del bosón
neutro 0Z . Es decir,
,2/
,2/
21
21
iAAW
iAAW
.cos
,cos3
30
WW
WW
senAB
AsenBZ
donde W es el denominado ángulo de Weinberg.
El hamiltoniano de interacción de las corrientes cargadas tiene la forma:
,112
552/3 eWeW
gWH
y los hamiltonianos que responden a las corrientes neutras y electromagnéticas
son descritos por la fórmulas:
,114'2
155
222 eseneZgg WZH
Aeeseng WH
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El modelo WSG reúne la interacción débil con la electromagnética, a pesar de las
considerables diferencias entre sus magnitudes observables. El modelo las
considera como dos manifestaciones de la más general interacción electrodébil.
Es natural que, de acuerdo con el principio de correspondencia, el modelo de
WSG debe reproducir los resultados experimentales tanto de la electrodinámica,
como del esquema de las interacciones débiles de Feynman – Gell Mann
(Esquema V – A). Por eso, además de los principios que constituyen el
fundamento, se postula la hipótesis de que los leptones se unen en isodobletes de
mano izquierda e isosingletes de mano derecha:
., R
e
LeR
eL
Sobre la base del modelo de WSG se han hecho muchas predicciones (Los
bosones intermediarios, las corrientes débiles neutras y otros), que después fueron
brillantemente ratificadas en el experimento. Las corrientes débiles neutras fueron
descubiertas en 1973 y una década después (En 1983) los experimentadores
descubrieron los bosones intermediarios ZW y , después de lo cual el modelo fue
reconocido por todos.
Sin embargo, el modelo WSG no esta libre de defectos. En primer lugar, algunas
de sus predicciones hasta ahora no han tenido una ratificación experimental [29,
31]. En segundo lugar, no es unívoco el mecanismo de aparición de las masas
(Mecanismo de Higgs). Es que en su forma más sencilla (Cuando en la teoría se
introduce sólo un campo isodoblete de campos escalares), después de aplicar el
procedimiento de ruptura espontánea de la simetría queda un bosón de Higgs.
Pero si se emplea más de un isodoblete (Que no está prohibido por el esquema
estándar 12 USU L ) se obtiene como resultado toda una serie de partículas
de Higgs, cuyas masas es imposible predecir por la teoría.
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Otros problemas no resueltos lo constituyen la cuestión de la masa del neutrino, la
posibilidad de que existan las oscilaciones del neutrino, las corrientes de segunda
clase y otros.
2.2. FÓRMULA GENERAL PARA LAS CORRIENTES HADRÓNICAS
CARGADAS DÉBILES
De acuerdo con la hipótesis vectorial–axial, la corriente hadrónica cargada débil
)( J puede ser expresada como la suma de una parte vectorial V y otra axial
A , cuyas fórmulas pueden ser fácilmente obtenidas sobre la base de hipótesis
generales, en particular, la invariancia de la teoría con respecto del grupo de
Lorentz (Vea, por ejemplo, 17 ).
La corriente vectorial puede ser expresada de la forma siguiente:
,,''' 'α pupppuNNppV pp VV
donde la matriz p,'pV es un cuadruvector y sólo depende de los momentos
lineales y las proyecciones del espín de las partículas.
Para definir la forma explícita de la matriz p,'pV hay que desarrollarla sobre
el sistema completo de las dieciséis matrices del álgebra de Dirac, lo cual nos da
55α ,' EDCBA IppV
Todos los coeficientes del desarrollo anterior depende del momento lineal de los
hadrones 'pp y y de todos sus posibles productos escalares. Además, A debe
ser un cuadruvector, B y C , tensores de segundo y tercer rango,
respectivamente, D , un seudotensor de segundo rango y E , un seudovector.
Todos pueden ser definidos empleando un raciocinio general.
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El coeficiente E , obviamente, debe ser igual a cero ya que es imposible
construir un seudovector no nulo empleando sólo los vectores p y 'p . A su vez,
el coeficiente A puede tener sólo la forma:
'21 papa A
Los coeficientes1a y
2a son cuadruescalares. En consecuencia, en el caso general
deben depender sólo de cuadruescalares obtenidos de los cuadruvectores p y 'p
. Por otra parte, con estos vectores se puede obtener solamente una magnitud
escalar 'pp , ya que los otros dos escalares 2p y
2'p son constantes
2222 '; fi MpMp . Por eso, los coeficientes 1a y
2a sólo pueden ser
funciones de 'pp .
La dependencia de 'pp puede ser expresada a través del cuadrado del impulso
transferido q . En efecto, de la definición de ppqq ' se infiere que
'2222 ppMMq if . Llegamos pues finalmente a deducir que los
coeficientes 1a y
2a son funciones sólo del impulso transferido.
Por su parte, el tensor B debe tener la siguiente forma:
'''' 54321 ppbppbppbppbgb B (2.5)
Donde, debido a los mismos fundamentos que en el caso del vector A , las
magnitudes ib son funciones sólo del cuadrado del impulso transferido 2q .
No es difícil mostrar que todos los términos del desarrollo (2.5), con excepción
del primero, se expresan sea a través de p , sea a través de 'p . Esto lo
podemos probar, por ejemplo, con el tercer sumando, el cual, en forma completa,
debe ser escrito como:
pupppu ''
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Como los espinores 'pu y pu satisfacen la ecuación de Dirac, en lugar de la
expresión anterior se puede escribir:
puppuM f '
En consecuencia, el tercer miembro del desarrollo (2.5) y, con él, los términos
análogos se pueden incluir en el vector A .
El tensor C lo expresaremos en la forma:
'''''''
''''
''
1098
765
4321
pppcpppcpppc
pppcpppcpppc
pppcpppcpgcpgc
C
(2.6)
Como en el caso precedente, se puede mostrar que todos los términos del
desarrollo (2.6), con excepción de los dos primeros, pueden ser incluidos en los
términos proporcionales a , p y 'p . Efectivamente, después de la
contracción con la matriz y de reagrupar los términos obtenidos, en el
desarrollo quedarán sólo las siguientes magnitudes:
,''y'',',',', pppppppppppppp
los cuales, con ayuda de la ecuación de Dirac, se pueden transformar así:
puMMppppupuppppu
puppuMMpuppppu
puMMppppupuppppu
puppuMMpuppppu
puMppupuppu
pupuMpuppu
fi
fi
fi
fi
f
i
''''''
,'''''
,''''
,'''
,'2'''
,''
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Está claro que el seudotensor D puede ser expresado mediante la forma:
.' ppdD
y, si se emplea la identidad ggg5 , se puede
demostrar que:
pppppppp ''''5 D .
En consecuencia, contiene sólo magnitudes proporcionales a , p y 'p .
En conclusión, en su forma más general la corriente vectorial tiene la forma:
,'' 23
22
21 puqfpqfpqfpuV
(2.7)
que puede ser reescrita en la forma equivalente:
,'''' 23
22
21 puqfqqfnqfpuV (2.8)
donde 'ppn .
Usualmente, la corriente hadrónica cargada V es expresada en una forma algo
diferente, a la cual se puede llegar con ayuda de la ecuación de Dirac. En efecto:
,''' pupppppupuqpu
lo cual, después de emplear la ecuación de Dirac, nos da:
.'' puMMngpupuqpu if (2.9)
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Por eso, el término de la fórmula (2.8), proporcional a punpu ' , puede ser
escrito como una combinación lineal de los términos puqpu ' y
pupu ' , y la corriente cargada adopta su forma final
.' 222
21 puqqFiqqFqFpuV S (2.10)
Con ayuda de un raciocinio análogo para la corriente axial se puede obtener la
siguiente expresión:
.' 5222 puqqiFqqFqFpuA PTA (2.11)
En conclusión, la corriente cargada de los hadrones J que intervienen en los
procesos semileptónicos, es definida por seis funciones del cuadrado del impulso
transferido. Con su ayuda se incluye la interacción fuerte de los nucleones de la
cual depende su estructura. Por eso estas funciones reciben el nombre de
factores de forma.
2.3. EL PROBLEMA DE LAS CORRIENTES DE SEGUNDA CLASE
En una transformación:
),exp( 2TiCG
constituida por el producto de una rotación en radianes alrededor del segundo
eje del espacio isoespinorial por una conjugación de la carga C , los términos de
la corriente hadrónica J se comportan de manera distinta. En la corriente
vectorial V los términos con los factores de forma1F y
2F no cambian de
signo (Tienen una paridad G positiva), mientras que el término con el factor SF
sí lo hace (Su paridadG es negativa). A su vez, en la corriente axial A los
términos con los coeficientesAF y
PF cambian de signo (Poseen paridadG
negativa) y el que tiene el coeficienteTF no lo cambia (EsG positivo).
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Por eso, siguiendo a Weinberg 10 , las corrientes hadrónicas son clasificadas en
Corrientes de Primera Clase (CPC) y Corrientes de Segunda Clase (CSC). Entre
las primeras se consideran los términos con1F ,
2F ,AF y
PF , y entre las últimas,
los términos con SF yTF .
La existencia real de las CSC crearía grandes dificultades a la teoría, en especial
al modelo de Weinberg – Salam (Sobre este aspecto se puede ver 4735 ). La
cuestión es que los factores de forma aparecen cuando las corrientes puntuales
son “moduladas” por la interacción fuerte que son invariantes con relación a las
rotaciones isotópicas y conservan la paridad de carga, es decir, garantizan una
paridad G definida. Por eso, la presencia de CSC en la teoría significaría, sea que
las corrientes puntuales de inicio no son invariantes con relación a la
transformaciónG , sea una ruptura de la invariancia isotópica de la interacción
fuerte 39 .
No es posible introducir corrientes puntuales de inicio sin determinada paridad
G empleando sólo un isodoblete de campos fermiónicos. En efecto, con la
ayuda del isodoblete npN , se puede expresar sólo las siguientes corrientes
puntuales
npv y .5npa
Éstas se obtienen como la suma de los dos primeros términos del isovector
,,, 321 vvvv
y tienen la forma:
.
22
2221
215
2121
iaaNiNa
ivvNiNv
No es difícil demostrar que en una transformación G estas corrientes se
comportan de la siguiente forma:
,' vv es decir, vGvG 1
y
,' aa o sea, aGaG 1
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Esto demuestra que las mencionadas corrientes poseen una determinada paridad
G : la corriente vectorial, positiva y la axial, negativa.
En consecuencia, para introducir corrientes puntuales de inicio que no tengan
una determinada paridad G es imprescindible contar, por lo menos, con dos
diferentes isomultipletes de campos fermiónicos, con los mismos números
cuánticos, excepto el espín. Por ejemplo 39 , en las teorías de calibre
12 USU se puede emplear los siguientes isodobletes:
sincos 21
1
1
nn
pN
y
.cossin 21
2
2
nn
pN
En este caso las corrientes vectoriales de inicio van a tener la forma:
i
ii NiNv ,21
que de manera desplegada se escribe así:
12212211 sencos npnpnpnpv .
En una transformación G , el primer sumando mantiene la paridad G y el
segundo, no.
De manera usual se actúa de otra manera: Recurriendo a diferentes hipótesis
generales, entre las cuales están la conservación de las corrientes vectoriales
(CCV), la invariancia isotópica y otras, las CSC se asumen iguales a cero.
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Por ejemplo, la hipótesis de que la corriente vectorial se conserva (CCV) lleva a
igualar a cero el coeficiente SF . Es que en el enfoque usual la parte vectorial de
la corriente débil V , su conjugada herméticaV y la corriente electromagnética
EV constituyen un único isotriplete. Y el aspecto central de la hipótesis es que
los factores de forma de cada uno de los miembros del isotriplete deben ser
idénticos. Por eso, partiendo de que el coeficiente SF para la corriente
electromagnética es igual a cero, se concluye que también para la corriente débil
el mencionado coeficiente se hace cero 29 .
No es difícil demostrar que el factor de forma SF en la corriente electromagnética
es igual a cero. En efecto, de la forma de la corriente para dos estados protónicos
p y 'p
,''exp 21 pqiFqFFpxppiV Se
se deduce que:
,0'' '21 pqqiFppqFppFpV S
e
o
.0' 2'
1 pqqiFqqFMMFpV Sppe
El primer sumando es igual a cero porque la masa de los estados inicial y final es
la misma, el segunda también es cero porque la matriz es antisimétrica. Por
eso, del hecho de que la cuadrudivergencia es cero se deduce que el coeficiente
SF también es cero.
Lamentablemente, los resultados de los experimentos ejecutados para verificar la
hipótesis de la CCV no responden de manera clara si el término escalar de la
corriente de segunda clase está presente o no. La precisión de las mediciones es
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insuficiente y, en el mejor de los casos, por ejemplo, en los experimentos de
decaimientoy de captura del muón 5048 , permite fijar límites como
1 pS MF ( pM , masa del protón).
La igualdad a cero del términoTF se logra sobre la base de las hipótesis de
invariancia isotópica e invariancia T de la corriente axial. La invarianciaT el
carácter real del mencionado factor de forma, al tiempo que la invariancia
isotópica implica queTT FF 17 .
El interés por las CSC ha crecido considerablemente en el último decenio en
relación con el descubrimiento de nuevos canales de decaimiento del leptón
(Vea, en particular, 5451 ). Sucede que en los experimentos de decaimiento
de esta partícula se ha logrado registrar que sólo el 93,5( 2,4) % va por los
canales exclusivos, mientras que el 6% restante queda sin registrar. Por eso
apareció la suposición de que el porcentaje que falta son decaimientos no
previstos en el enfoque usual. Entre estos procesos se ha indicado los
decaimientos provocados por corrientes de segunda clase: (Que va
por acción de la parte vectorial de la CSC) y (Causado tanto por la
parte axial, como por la parte vectorial de la CSC) 54 .
En los años 1986 – 1987 apareció una información de que la probabilidad
relativa del segundo de los mencionados procesos, establecida
experimentalmente, se encuentra entre 1,5 y 5,1 % 53,51 . Mas, los resultados
de los nuevos experimentos ejecutados en el dispositivo CELLO (Colisionador
ee de PETRA) indican que el límite superior de los decaimientos anómalos no
es mayor de 1% 56 .
Limitaciones parecidas dan los resultados preliminares del análisis del
decaimiento del leptón efectuado en el dispositivo ALEPH (Colisionador ee
de LEP) 57 , mientras que del estudios de los experimentos en ARGUS se
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deduce que la probabilidad relativa del canal es igual a
% 05,033,0 47 .
Concluyendo se puede decir que el estudio del decaimiento anómalo del leptón
no ha respondido de manera definida a la pregunta de si existen o no las CSC.
En lo concerniente al estudio teórico de estos decaimientos, prohibidos por el
modelo usual, se puede citar los trabajos 5847 .
Resultan de interés en la búsqueda de las CSC los procesos que van a altas
energías y elevados impulsos transferidos. Los términos condicionados por las
CSC son proporcionales al 4-impulso transferido, de modo que en caso de altos
valores de q , aquéllos podrían desempeñar un apreciable papel. Estas
investigaciones han sido llevadas a cabo. Por ejemplo, en el trabajo 61 se ha
analizado los efectos de las CSC en la dispersión cuasi elástica de neutrinos en
neutrones, y en 62 , en la escisión neutrínica del neutrón. Es más, en 64 se ha
establecido que el valor del factor de forma axial de las CSC no sobrepasa el
valor de 16,2
pM .
En la actualidad continúa la preparación de investigaciones experimentales de la
interacción de leptones con nucleones y núcleos polarizados 7569 . Estos
experimentos se llevarán a cabo en dispositivos más precisos, con etodologías
mejoradas, debido a lo cual aparece un estímulo adicional para la búsqueda
teórica de probables efectos de las CSC.
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CAPÍTULO III
SECCIÓN EFICAZ DIFERENCIAL DE LA DISPERSIÓN DE
NEUTRINOS EN NUCLEONES
3.1. ELEMENTOS DE MATRIZ DE LA DISPERSIÓN CUASIELÁSTICA DE
NEUTRINOS EN NUCLEONES
A los procesos de dispersión cuasi-elástica de neutrinos (antineutrinos) en
neutrones (protones) en la teoría cuántica de campos les corresponde el diagrama
de la figura 1.
p
n
Figura 1. Procesos de dispersión cuasi-elástica de neutrinos (antineutrinos) en
neutrones (protones)
Según las reglas de Feynman, los elementos de matriz de tales procesos se
expresan de la siguiente manera
./
222
22
JMq
MqqMGM
W
WWFfi
(3.1)
tiempo
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Aquí, FG es la constante de Fermi, WM representa la masa del bosón
intermediarioW y q , el impulso transferido en el proceso. A través de y J se
han representado las corrientes hadrónica y leptónica, las que tienen la forma:
)()1()'( 5 kuku y , AVJ
donde, V y A son las corrientes vectorial y axial, cuya fórmula se ha escrito en
el tercer parágrafo del capítulo precedente.
El parámetro η, presente en las corrientes leptónica y hadrónica, es igual a
)1(1 en caso de una dispersión de neutrinos (antineutrinos) en neutrones
(protones). Además, )'(kk es el 4-impulso de los leptones iniciales (finales),
razón por la cual
' kkq .
Debido a que la masa del bosón intermediario W es relativamente grande, el
segundo sumando del paréntesis de la fórmula (1) resulta despreciable para
energías de hasta cientos de GeV. Por eso, para calcular la sección eficaz
diferencial de los procesos de dispersión cuasi-elástica es suficiente emplear la
siguiente fórmula aproximada:
.2
22
2
J
Mq
MGM
W
WFfi
(3.2)
Por su parte, el cuadrado del elemento de matriz debe ser igual a
.2
JLCM fi (3.3)
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Aquí ,)/()2/( 22242WWF MqMGC mientras que L y J se denominan
tensores leptónico y hadrónico, respectivamente. Estas magnitudes se calculan
por separado.
3.1.1. CÁLCULO DEL TENSOR LEPTÓNICO
A través de L (el tensor leptónico) se ha representado el producto de la
corriente leptónica por su hermítica , la cual se expresa mediante la
fórmula:
)'()1()( 5 kuku
, (3.4)
con 1 , para 3,2,1 ; y 1 para 4 .
En consecuencia, el tensor leptónico va a tener la forma:
)()1()'()'()1()( 55 kukukukuL
, (3.5)
ó
)1()'()'()1()()( 55
kukukukuTrL (3.6)
Las expresiones subrayadas dentro del signo de la traza se denominan
operadores de proyección sobre un estado con impulso definido (operadores de
polarización). Para los fermiones tienen la forma [17]:
imkiE
ikuku
)(
2
)(1)()( 5
,
en la cual mes la masa de la partícula, k representa su 4-impulso y es el
seudovector de polarización.
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Para los neutrinos y antineutrinos sin masa sus operadores de proyección tienen
una forma más sencilla [17]
)(2
)(1)()( 5
kiE
kuku
,
mientras que para los operadores de polarización de los leptones resultantes,
cuyo espín no se tiene en cuenta, se expresan por la fórmula:
)(2
1)()( '
kiE
kuku .
Después de reemplazar en la fórmula (3.6) las expresiones para los operadores
de proyección de los neutrinos (antineutrinos) incidentes y de los electrones
(positrones) finales, y calcular las trazas, para el tensor leptónico se obtiene la
siguiente fórmula:
''' )'('
2
kkkkgkkkkEE
L . (3.7)
Aquí es el seudotensor totalmente antisimétrico de cuarto rango, cuyo
primer elemento ( 1234 ) es igual a 1 y los demás 1 ó -1, dependiendo del número
de transposiciones que hay que ejecutar para pasar de dicho elemento hasta el
primero.
3.1.2. CÁLCULO DEL TENSOR HADRÓNICO
El tensor hadrónico J está constituido por el producto de la corriente
hadrónica J por la hermítica J . Gracias a que la corriente J (lo mismo que la
hermítica J ) se expresa como la suma de la corriente vectorial ( V ) y la
corriente axial ( A ), el tensor hadrónico tendrá la forma:
AAAVVAVVJ
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Las corrientes V y A tienen una estructura análoga, en consecuencia todos los
sumandos de la fórmula precedente se calculan de la misma manera. Por eso, en
el presente parágrafo se incluye el cálculo completo del primero de ellos, al cual
lo representaremos por 1J .
Con ayuda de la ecuación de Dirac y de las propiedades de las matrices γ, la
corriente hadrónica V puede ser expresada en la forma:
)()'( 3'
21 pupfipfifpuV ,
y su hermítica
)()'( 3'
21 pupfipfifpuV .
En ambas expresiones, a través de )3,2,1( ifi se han expresado las siguientes
combinaciones de los factores de forma iF :
SS FFfFFfFMFf 2322211 ,,2 .
En consecuencia, 1J puede ser escrito en la forma:
)()'(
)'()(
3'
21
3'
211
pupfipfifpu
pupfipfifpuJ
lo que, a su vez, es igual a:
pfipfifpu
pupfipfifpupuTrJ
3'
21
3'
211
)'(
)'()()(.
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Por definición, los operadores de polarización de los nucleones iniciales y finales
tienen la siguiente forma (Vea, por ejemplo, [17]):
,2
)(1)()( 5 Mip
Ei
ipupu
i
MipEi
ipupu
f
'5
2
)(1)'()'( .
En consecuencia, el tensor 1J adoptará la forma:
pfipfifiMpi
pfipfifiMpiTrDJ
3'
21''
5
3'
2151
)()(1
)()(1
.
con 1)'4(
EED .
La multiplicación de todos los términos que se encuentran dentro de la traza se
ejecuta considerando las propiedades de anticonmutación de las matrices de γ.
Los términos obtenidos están constituidos por el producto de diferente número
de matrices γ, y su traza se calcula considerablemente fácil. Después de ejecutar
todas las operaciones llegaremos al siguiente resultado:
31
''
21''''
21
21
'
232321
21
''
22221
''
22331
221
1
)'()()(
)'(2
)'(2
)'(
ffpppppp
ffpppppp
fMpfMp
MppfffffMfpppp
MppffMfpp
MppffMfpp
MppfgEE
Jfi
El tensor hadrónico total tiene una expresión muy complicada por lo que no lo
incluimos en el texto. Subrayaremos solamente que en su expresión los factores
de forma de las CPC y CSC aparecen en forma de las siguientes combinaciones:
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PPTA
SS
FFgFFgFMFg
FFfFFfFMFf
23221
2322211
,,2
,,,2
3.1.3. CÁLCULO DEL CUADRADO DEL ELEMENTO DE MATRIZ
Después de multiplicar los tensores leptónico y hadrónico, para el cuadrado del
elemento de matriz se obtiene la siguiente fórmula:
.)'()'()'()'()()''()'(
)()''()'()''()'()(~
9876
543210
2
FFFFFFFFFF
kkkkkk
kkkkkkCM fi
donde 122242 ')/(2~
fiWWF EEEEMqMGC y las expresiones )9,,1i(i Fson funciones de los factores de forma y los productos escalares de los 4-
impulsos de las cuatro partículas. Estos coeficientes son iguales a
gf
Mggggg
Mfffffgf
MgggffMf
M
MgggffMf
M
MgMf
pkkppkkp
ppM
ppM
kkpppkkppkkp
ppMpp
kkpkkp
ppMpp
kkpkkp
ppppkk
11
2
32321
2
32321
2
1
2
1
22
22121
22
2
2
22
33131
22
3
2
22
1
22
10
)'')(()')('(
)'(
)'(.
.'')'')(()')('(2
)'(2)'(.
.')'')('(2
)'(2)'(.
.')')((2
)'()'()'(2
F
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;1
')'()'(2
11.')'()(')''(2
.
.'')'')(()')('(2
')'')('(22
')'')((22
)'(
)'(2)''(2
)'()'()'(2
)'()'()'(2
313
2
22
2
21213232
22
2
333131
2
2
1
2
1
2
21
2
2111
2
1
2
1
2
31
2
31
2
21
2
211
ggffM
ggffM
gffggffg
gfM
gfgffgM
gfMMgf
Mfggf
gfMMfgMgf
MfgMgf
pppkkp
kppkkppppk
MM
kkpppkkppkkp
Mkkpkkp
Mkkpkkp
pp
ppMpk
pppppk
ppppkk
F
;1
')()'(2
11.'')()(')'(2
.
.'')'')(()')('(2
')'')('(22
')')((22
)'(
)'(2)'(2
)'()'()(2
)'()'()'(2
313
2
22
2
21213232
22
2
333131
2
2
1
2
1
2
21
2
2111
2
1
2
1
2
31
2
31
2
21
2
212
ggffM
ggffM
gffggffg
gfM
gfgffgM
gfMMgf
Mfggf
gfMMfgMgf
MfgMgf
ppkpkp
pkkpkpppkp
MM
kkpppkkppkkp
Mkkpkkp
Mkkpkkp
pp
ppMkp
ppppkp
ppppkk
F
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;1
')()'(2
11.'')()(')'(2
.
.'')'')(()')('(2
')'')('(22
')')((22
)'(
)'(2)(2
)'()'()'(2
)'()'()'(2
212
2
33
2
31312323
33
2
222121
2
2
1
2
1
2
31
2
3111
2
1
2
1
2
21
2
21
2
31
2
313
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ggffM
gffggffg
gfM
gfgffgM
gfMMgf
Mfggf
gfMMgfMfg
MfgMgf
ppkpkp
pkkpkpppkp
MM
kkpppkkppkkp
Mkkpkkp
Mkkpkkp
pp
ppMkp
ppppkp
ppppkk
F
ggffM
ggffM
gffggffg
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gfMMgf
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gfMMfgMgf
MfgMgf
pppkpk
pkkpkpppkp
MM
kkpppkkppkkp
Mkkpkkp
Mkkpkkp
pp
ppMkp
pppppk
ppppkk
313
2
22
2
31312323
33
2
222121
2
2
1
2
1
2
13
2
1311
2
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134
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FffM
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gggfffgfgfM
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Mpp
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MMpk
MM
MMkp
MMkk
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P
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1
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211
321321
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2
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2
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FFM
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T
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MMMkp
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321321
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1211
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2
22
2
9
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3.2. CINEMÁTICA DE LOS PROCESOS DE CAPTURA DE NEUTRINOS
POR NUCLEONES A BAJAS ENERGÍAS
Para calcular el cuadrado de los elementos de matriz y las secciones eficaces
diferenciales es imprescindible definir la cinemática de los probables
experimentos. En el caso de los procesos que están siendo estudiados en el
presente trabajo es más sencillo elegir el sistema de laboratorio, en el cual las
partículas del blanco se encuentran en reposo. Además, para simplificar los
cálculos es más cómodo tomar como eje z el sentido del impulso de las partículas
incidentes (Vea el dibujo 1).
En este sistema los impulsos de las partículas que intervienen en los procesos
analizados se expresan de la siguiente manera:
fiE,piE,k
iM,piE,k
pk
k
','''
,0, (3.8)
Para calcular los productos escalares, de los cuales dependen los elementos de
matriz y sus cuadrados, se emplea la ley de conservación del 4-momento
'' pkpk (3.9)
que puede ser escrito por separado para el impulso tridimensional y la energía:
fEEME
'
,'ppk
(3.10)
De la primera ecuación (3) se puede obtener la relación entre los ángulos θ y α,
que definen el sentido del movimiento de las partículas después de la
interacción. Estos ángulos ( '.arccos,'.arccos pkkk
se relacionan
entre si de la siguiente manera (Vea el dibujo 1):
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.'
cos'cos,sin
'
'sin
p
kk
p
k
Con ayuda de la ecuación (3) también se puede obtener la fórmula para la
energía de las partículas finales como funciones de la energía E de los neutrinos
incidentes y del ángulo de salida del leptón final.
Para altas energías ( GeV1E ) los leptones finales pueden, con un alto grado de
precisión, ser considerados sin masa ( 'Eme ). En tal caso 2'E' k
y las
energías de las partículas finales serán iguales a
,1
'
E
E para el leptón saliente
y
,1
1
ME f para el nucleón final.
Aquí M/E y 2/sin2 2 .
El cuadrado del impulso transferido 2q también se expresa a través de la energía
E y del ángulo y es igual a
12 22
Mq
Asimismo, los productos escalares entre los 4-impulsos de las partículas que
intervienen en la interacción pueden ser expresados como funciones de 2q y de
. Sus fórmulas son las siguientes:
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'.2/'.
'.'2/2/.
,2/'.,2/'.
2
22
222
kppk
pkpk
ppkk
q
qMq
Después de reemplazar estos productos escalares en las fórmulas para los
coeficientes iF , se puede extraer de todos ellos el factor común 2/cosM4 22
y el elemento de matriz tomará la forma:
'''
''''''
''''~~2
98
765
43210
AAAAA
AAAAA
kk
kkkkkk
kkkkCM fi
Aquí 1
f2222
W22
F EE2/cos2MqMMG8C~~
.
Los coeficientes A sólo dependen, además de los factores de forma iF , del
ángulo de dispersión θ y de la energía de los neutrinos incidentes, y se expresan
mediante las fórmulas:
;2/tan/42
2 211
2112
22
1
2
1
2
1
22
1
2
1
MEgfgfMq
FFFg
g
q0
A
;
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2
2/tan/2
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2
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Tr
T
1
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M
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/
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2
2/tan2
2
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2
111
2
121
2
11
2112
2
A
;
2/sec
2
2/tan/2
2
211
2
111
2
121
2
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1212
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M
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T
3
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;
/
2/sec
2
2/tan2
2
211
2
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2
121
2
11
1212
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T
T
T
fEFgFf
M
qgFg
MFgFfEMgf
FFFg
4
A
;
2/sec2
2/tan2
2
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21
111
2
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2/sec2
2/tan2
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2/tan2
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1121
111
211
121
112122
22
FgM
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E
g
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gFg
M
FfgFF T8
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.222
221
21 TFFqgF
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CAPÍTULO IV
CONCLUSIONES
En el presente trabajo se ha formulado el hamiltoniano de los procesos semileptónicos,
en particular de aquellos que describen el decaimiento de nucleones mediante la emisión
de leptones. Para eso se ha hecho una reseña histórica del problema, la que ha incluido
las propuestas hechas en el desarrollo de esta área de la Ciencia, hasta llegar a las que
incluyen las Corrientes de Segunda Clase (CSC).
Asimismo, se ha calculado la amplitud de proceso de decaimiento de nucleones, en
particular, los neutrones, en otros nucleones, por ejemplo, protones, y leptones. Después
de ello se ha calculado el cuadrado de la mencionada amplitud, de la que depende la
sección eficaz diferencial y total del proceso.
Las magnitudes calculadas han sido expresadas en función de la polarización de los
nucleones iniciales y finales.
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BIBLIOGRAFÍA
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1957. V105. p1413
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Phys. Rev. 1969. V180. p1502
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class currents in quasielastic neutrino and antineutrino interactions. J. Scien.
Hiroshima Univ. 1987. VA51 N1 p1
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