Inferencia No Parametrica Problemas Resueltos Con Pruebas de Chi Cuadrado

Patricio Alcaíno Martínez

Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales

I: Estadística Descriptiva

VI: Inferencia en la mediaIV: Inferencia no paramétrica

Casos y problemas

resueltos

Patricio Alcaíno MartínezDerechos Reservados

Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales

Inferencia no paramétrica

Inferencia

• Contraste de asociación• Pruebas de Chi-cuadrado

• Prueba de McNemar• Test G

•

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Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resueltosInferencia No paramétrica: Contrastes de asociación de variables categóricasPatricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

Palabras iniciales

Estimados usuari@s:

• Este material que pongo a su disposición, está creado a partir de casos e investigaciones reales en distintos ámbitos de las Ciencias Sociales. Los datos han sido cambiados para ajustarlos a un criterio didáctico. Por ello, la información y conclusiones a las cuales llegan, no son necesariamente válidos en la realidad cotidiana, ni sirven de referencia para fundamentar trabajos e investigaciones.

• Los casos y problemas aquí presentados constituyen una muestra representativa de situaciones frecuentes a enfrentar en investigación social con variables categóricas, en lo referido al test o contraste de asociación o independencia. A saber:

1. Contraste de hipótesis con Chi-cuadrado de Pearson y la corrección de Yates.

2. Contraste de hipótesis con el test G o de razón de verosimilitudes.

3. Contraste, test o dócima de asociación con muestras pareadas mediante la prueba de McNemar.

• La metodología de contraste se hace a través del valor-p, que es el criterio más utilizado en este momento, toda vez que aparece incorporado a muchos softwares de análisis estadístico hoy en boga.

• Este volumen está dirigido a tratar operacionalmente el tema de los contrastes de asociación a partir de datos de frecuencia, abordando tanto el tema del cálculo numérico como la interpretación de los estadísticos que resultan. El lector deberá manejar los conceptos y procedimientos elementales de Inferencia Estadística y contraste de hipótesis y tener competencia en el cálculo de probabilidades con el modelo Chi-cuadrado.

• Para trabajar con este material el usuario deberá hacer uso de calculadora y la tabla de probabilidades Chi-cuadrado, tablas que se adjuntan en las páginas finales de este documento.

• El uso de este material queda restringido solamente al ámbito académico.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

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Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resueltos Inferencia No paramétrica: Contrastes de asociación de variables categóricas Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

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Caso 1: Estado civil y síntomas depresivos Sobre la base de los resultados de un estudio, se ha afirmado que las madres casadas presentan menos síntomas de depresión que las solteras. En una muestra de mujeres de 18-19 años con 1 hijo, se recabó la siguiente información, en número de casos, desagregadas por estado civil:

ESTADO CIVIL SÍNTOMAS DEPRESIVOS

Total Sí No

Casadas 45 131 176 Solteras 83 127 210 Total 128 258 386

1.1. Contraste, con estos datos y un1% de significación, la hipótesis de que el síntoma depresivo de las mujeres está asociado a su estado civil. Construya sus conclusiones respecto del caso. 1.2. ¿Qué significa, en este contexto, cometer error de tipo II? Solución: 1.1. Situación típica de resolver a través del contraste de hipótesis de asociación con la prueba Chi-cuadrado. La muestra es lo suficientemente grande como para utilizar Chi-cuadrado de Pearson, esto es, sin corrección por continuidad de Yates. Significación:

α = 0,01 Hipótesis:

H0: Los síntomas depresivos de la mujer son independientes de su estado civil H1: Los síntomas depresivos de la mujer están asociados a su estado civil

Estadístico de prueba:

258128210176

386)8313112745( 22obs ⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅=χ = 8,4

Valor p:

)4,8(P* 21;p >χ=α = 0,0037

Decisión:

Como , se rechaza H0 al 1%. 01,0* <α Conclusión:

Los síntomas depresivos de la mujer están asociados a su estado civil (p = 0,0037). 1.2. El error de tipo II consiste en no rechazar la hipótesis nula siendo que es falsa. En este caso significa no rechazar la independencia entre síntomas depresivos y estado civil, dado que en realidad sí hay asociación.


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Caso 2: Consumo de cocaína y terapia En cierta universidad de USA, se realizó un estudio con 187 consumidores compulsivos de cocaína, los que fueron aleatoriamente asignados a acupuntura auricular o a terapia de relajación sin acupuntura. Durante el estudio, los sujetos fueron sometidos a exámenes de orina para detectar la presencia de cocaína en el organismo. De 103 sujetos asignados a tratamiento de auriculopuntura, 35 presentaron evidencia de cocaína en la orina, mientras que entre los sometidos a relajación, 51 de un total de 84. 2.1. A un nivel de significación del 1%, contraste la hipótesis de que el consumo de cocaína durante el estudio resultó asociado al tipo de tratamiento. Solución: Se trata de contrastar la posible asociación entre dos variables categóricas, dicotómicas:

Evidencia de cocaína en la orina: Sí – No Tratamiento: Auriculopuntura – Terapia de relajación

Es aplicable una prueba de hipótesis de asociación con la Chi-cuadrado. Primeramente se llevarán los datos a una tabla de contingencia 2x2.

TRATAMIENTO Cocaína en la orina

Total Sí No

Auriculopuntura 35 68 103 Relajación 51 33 84 Total 86 101 187

Significación:

= 0,01 α

Hipótesis:

H0: La presencia de cocaína en la orina es independiente del tratamiento H1: La presencia de cocaína en la orina está asociada al tipo de tratamiento


338684103

187)51683335( 22obs ⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅=χ

)3,13(P* 21;p >χ=α

01,0* <

= 13,3

Valor p:

= 0,0003

Decisión: Como α , se rechaza H0 al 1%.

Conclusión:

La presencia de cocaína en la orina está asociada al tipo de tratamiento (p = 0,0003).


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Caso 3: Salud y sobrepeso El gráfico de la figura presenta, en N° de casos, la evaluación del estado general de salud de una muestra de personas adulto mayor, según si presentan peso normal o sobrepeso.

Bueno Malo

12 10 08 06 04 02 00

ESTADO DE SALUD

Nº decasos

Peso normal Sobrepeso

Estado general de salud de adulto mayor, según peso

3.1. Con los datos del gráfico, analice, al 5%, la existencia de una relación significativa entre peso y estado general de salud en el adulto mayor. 3.2. ¿En qué consiste cometer error de tipo I en este contraste? Solución: 3.1. Se cuenta con dos variables dicotómicas, con datos de frecuencia. Por esta razón es aplicable una prueba de hipótesis de asociación con la Chi-cuadrado. Primero se llevarán los datos a una tabla de contingencia 2x2.

ESTADO DE SALUD

PESO Total

Normal Sobrepeso Bueno 12 8 20 Malo 4 10 14 Total 16 18 34

El tamaño de la muestra es menor a 40, lo que hace aconsejable el uso de la Chi-cuadrado con corrección de Yates. La frecuencia observada en una de las celdas es 4, menor que lo aconsejable en cada celda, que es 5, lo que podría hacer pensar en cierta inestabilidad del cálculo. Pero esa

celda tiene una frecuencia esperada igual a 163414

⋅

α

= 6,6, por lo que todas las celdas

cumplirían con el mínimo aconsejable de 5 en su valor esperado. Significación:

= 0,5 Hipótesis:

H0: El estado general de salud del adulto mayor es independiente de su peso H1: El estado general de salud del adulto mayor está asociado a su peso


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18161420

34)345,0581012( 22obs ⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅−⋅=χ = 2,13

Valor p:

)13,2(P* 21;p >χ=α = 0,1449

Decisión:

Como , NO se rechaza H0 al 5%. 05,0* >α Conclusión:

El estado general de salud del adulto mayor no está asociado a su peso (p = 0,1449). 3.2. El error de tipo I es rechazar la hipótesis nula siendo que es veradera. En el marco del caso consiste en rechazar la independencia entre estado de salud y peso en el adulto mayor, dado que en realidad están asociados.


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Caso 4: Deserción estudiantil Una ONG realiza un estudio de deserción estudiantil en la educación superior en una muestra aleatoria de estudiantes de educación superior. Los estudiantes fueron segmentados según género y tipo de carrera y se les hizo un seguimiento a lo largo del primer semestre de estudio, instancia en la que se determinó si habían abandonado o no sus estudios. Las variables estudiadas fueron las siguientes:

• Deserción: Deserta del sistema: 1 = Sí; 0 = No • Género: Sexo del encuestado: 1 = Hombre; 2 = Mujer • Tipo de carrera: Carrera de estudio del encuestado: 1 = Profesional; 2 =

Técnica

Los datos obtenidos de la investigación se analizaron con el test de independencia χ , llegándose a las siguientes conclusiones:

2

α

• C1: La deserción se da igual en hombres y mujeres (p = 0,0838) • C2: La deserción está asociada al tipo de carrera (p = 0,0184)

De acuerdo a esta información: 4.1. Indique cuál fue la hipótesis nula en el contraste de la conclusión C1. 4.2. Para la conclusión C2, ¿cuál fue la decisión en el contraste? 4.3. Si ambas hipótesis fueron contrastadas al mismo nivel de significación, de los valores usuales en investigación social, ¿cuál es ese valor? 4.4. Si la correlación entre Deserción y Tipo de carrera fue de negativa y significativa, ¿qué conclusión puede sacar de ello? Solución: Se trata del contraste de asociación entre variable categóricas, definidas con dos valores dicotómicos. El contraste fue realizado con pruebas con la Chi-cuadrado. 4.1. En este tipo de contaste, la hipótesis nula siempre afirma la independencia entre las variables. Por lo tanto, la hipótesis nula para el contraste que llevó a la conclusión C1 fue: H0: La deserción es independiente del sexo del estudiante. 4.2. Al afirmar asociación entre variables, la conclusión C2 está refutando la independencia entre deserción y tipo de carrera que plantea la hipótesis nula. Por lo tanto la decisión fue rechazar la hipótesis nula a un nivel de significación . 4.3. En la conclusión C1 no se rechazó la hipótesis nula con α < 0,0838. Entonces la significación pudo ser 1% o 5%. En la conclusión C2 se rechazó la hipótesis nula con α > 0,0184. Entonces la significación pudo ser 5% o 10%.

α =5%. Por lo tanto, la significación utilizada en ambos contrastes fue 4.4. Correlación negativa indica que los valores “bajos” de deserción (1 = Sí) están asociados a valores “Altos” de Tipo de carrera (2 = técnica). Por lo tanto se concluye que la deserción está asociada a las carreras técnicas.


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Caso 5: Percepción de la situación económica Se hizo en Chile un estudio hacia fines del año 2010 con una muestra informantes dirigentes sociales, 17 hombres y 15 mujeres, a fin de conocer su percepción de la situación económica del país. Los resultados son los siguientes, en número de casos:

Sexo Percepción de la situación económica Total

Buena Aceptable Deficiente Hombre 8 6 3 17 Mujer 9 4 2 15 Total 17 10 5 32

5.1. Con un nivel de significación del 10% realice un contraste de hipótesis para responder a la afirmación de que la percepción de la situación económica está asociada al género del encuestado. Solución: 5.1. Primero se calculan los valores esperados bajo la hipótesis de independencia verdadera. Valores esperados:

Sexo Percepción de la situación económica Total

Buena Aceptable Deficiente Hombre 9,03 5,31 2,66 17 Mujer 7,97 4,69 2,34 15 Total 17 10 5 32

Esta tabla tiene el 50% de las celdas con valores esperados menores que 5, lo que resta validez al análisis. Por lo tanto, se reorganizan los datos para llevarlos a una tabla de 2x2. Como la variable “Percepción de la situación económica” está medida a escala ordinal, se juntarán los valores Aceptable y Deficiente en una misma categoría. La tabla resultante es la siguiente:

Sexo Percepción de la situación económica

Total Buena Aceptable-

Deficiente Hombre 8 9 17 Mujer 9 6 15 Total 17 15 32

El tamaño de la muestra hace aconsejable aplicar el contraste de asociación mediante el Chi-cuadrado con corrección de Yates.


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Significación: 10,0=α

Hipótesis: H0: La percepción de la situación económica es independiente del sexo del encuestado. H1: La percepción de la situación económica está asociada al sexo del encuestado. Estadístico de prueba:

15·17·15·17

32·)32·5,09·96·8( 22Yates

−−=

(P* =α

χ = 0,1422

Valor p:

)1422,021;p >χ = 0,706

Decisión:

No se rechaza H0, al 10%. Conclusión:

La percepción de la situación económica es independiente del sexo del encuestado (p = 0,706)


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Caso 6: Estado civil y situación laboral de mujeres Se realiza un estudio para esclarecer la posible asociación entre el estado civil de las mujeres y su situación laboral, conjeturando inicialmente que las mujeres que trabajan remuneradamente fuera del hogar son, fundamentalmente, solteras. Para los efectos, el estudio investigó a 44 mujeres casadas y 34 solteras, independientes entre sí. Los resultados se organizaron en una tabla como la siguiente:

Mujeres según estado civil y situación laboral Trabaja remuneradamente

Estado civil Total Casada Soltera

Sí No Total 44 34 78

El análisis de la tabla de contingencia dio los siguientes estadísticos:

Estadística valor p Chi2-Pearson 5,4985432 0,0190 Chi2-con corrección de Yates 4,4638738 0,0346 Test-G 5,5293445 0,0187 Chi2-McNemar 2,88 0,0897 Correlación-fi -0,265507 0,0188 Q de Yule -0,502551

Con estos datos, y un 5% de significación, realice el análisis necesario para validar o refutar las siguientes afirmaciones: 6.1. La situación laboral de la mujer está asociada a su estado civil. 6.2. Las mujeres que trabajan remuneradamente son, fundamentalmente, solteras. Solución: 6.1. La situación laboral de la mujer está asociada a su estado civil Para estudiar la asociación entre variables categóricas en una tabla de 2x2 es utilizable el test de asociación con de Pearson, con o sin corrección de Yates, el test G (razón de

verosimilitudes), que también se basa en . El test de McNemar no sirve en este caso, ya

que es aplicable a casos con muestras pareadas.

2χ

2χ

Las hipótesis del caso son las siguientes:

H0: La situación laboral de la mujer es independiente de su estado civil H1: La situación laboral de la mujer está asociada a su estado civil

Los tres estadísticos basados en Chi cuadrado que aparecen en el cuadro, tienen un valor p menor a la significación del 5%, al igual que el test de Fisher. Estos cuatro resultados


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confirman el rechazo de la hipótesis de independencia. Por lo tanto, se puede afirmar, que:

La situación laboral de la mujer está asociada a su estado civil (p< 0,05). 6.2. Las mujeres que trabajan remuneradamente son, fundamentalmente, solteras. Ya se concluyó que la situación laboral de la mujer está asociada a su estado civil. Falta analizar ahora la dirección de dicha asociación. Para los efectos sirven los dos estadísticos que aparecen en la tabla de estadísticos: el coeficiente de correlación φ y la Q de Yule.

Ambos estadísticos son negativos y existe un valor p menor al 5%. Esto hace concluir que la correlación entre estado civil y situación laboral es inversa y significativa al 5%. De acuerdo a la organización de la tabla de frecuencias, esta correlación indica que la situación laboral de “Sí trabaja remuneradamente”, está correlacionada con el estado civil “Soltera”. Aunque la correlación es baja en valor absoluto, es significativa, lo que lleva a poder concluir que:

En la mujer, la situación laboral de “sí, trabajando”, está asociada, en forma baja, pero significativa, a las solteras (p<0,05).


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Caso 7: Obesidad en el tiempo En el marco de una investigación de la obesidad, se hizo un seguimiento a 40 adolescentes obesos y 40 no-obesos, todos independientes entre sí. Cuando adultos, se verificó su estado de peso de los mismos, encontrando los siguientes datos:

ADULTOS ADOLESCENTES

Total Obeso No-obeso

Obeso 16 21 37 No-obeso 24 19 43 Total 40 40 -

7.1. A un nivel de significación del 10%, contraste la hipótesis de que los adolescentes obesos suelen ser adultos obesos. Analice y formule una conclusión en el marco del caso. Solución: 7.1. De acuerdo a la descripción y datos dados, se trata de una muestra pareada en una situación antes-después. Por lo tanto, es aplicable el contraste con el estadístico Chi-cuadrado de McNemar. Significación:

α = 0,10 Hipótesis: H0: La obesidad es independiente de la etapa etaria del encuestado. H1: La obesidad está asociada a la etapa etaria del encuestado. Estadístico de prueba:

2124

)2124( 22McNemar +

−=

2,0(P* 21;p >χ=α

χ = 0,2

Valor p:

)= 0,6547

Decisión:

No se rechaza H0, al 10%. Conclusión:

La obesidad es independiente de la etapa etaria del encuestado (p = 0,6547). Esto significa que los adolescentes obsesos no necesariamente siguen siéndolo cuando adultos.


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Caso 8: El debate televisivo, ¿cambió la intención de voto? Se investiga la intención de voto en las elecciones presidenciales en 240 sujetos. Después de un debate de los dos candidatos por televisión, se les volvió a consultar a los mismos sujetos su intención de voto, llegando a los datos de la tabla siguiente:

Intención de voto DESPUÉS del debate Votaría por candidato TOTAL

A B Intención de voto

ANTES del debate Votaría por candidato

A 51 45 96 B 80 64 144

TOTAL 131 109 240 8.1. Con estos datos, y un nivel de significación del 5%, contraste la hipótesis de que el debate televisivo cambió significativamente la intención de voto. Solución: 8.1. De acuerdo a los datos dados y descripción del caso, se trata de una muestra pareada en una situación antes-después. Por lo tanto, es ideal realizar el contraste con el estadístico Chi-cuadrado de McNemar. Significación:

α = 0,10 Hipótesis: H0: La intención de voto es igual antes y después del debate. H1: La intención de voto es distinta antes y después del debate. Estadístico de prueba:

4580

)4580( 22McNemar +

−=χ

)8,9(P* 21;p >χ=α

= 9,8

Valor p:

= 0,0017

Decisión:

Se rechaza H0, al 5%. Conclusión:

La intención de voto cambió significativamente después del debate televisivo (p = 0,0017).


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Caso 9: Accidentes de tránsito con resultado de muerte Se investiga una muestra aleatoria de accidentes de tránsito, según sexo del conductor (1 = mujer; 2 = hombre) y su hubo o no resultado de muerte (1 = sí; 0 = no). Se desea saber si sexo y accidentes de tránsito con resultados de muerte están o no asociados y la dirección de la asociación, si la hubiera. El análisis de una tabla de 2x2 arrojó los siguientes resultados de estadísticos:

2χ

2χ

= 4,2; Q-Yule= 0,498

9.1. Sobre la base de estos resultados, construya las conclusiones del caso, al 5% de significación. Solución: El estadístico se usa en el contraste de asociación. Como la tabla es de 2x2, por ser ambas variables dicotómicas, esta Chi-cuadrado tiene 1 grado de libertad. Por lo tanto, el valor p de la prueba es: 0,0404, rechazándose la hipótesis de independencia, al 5% de significación. Por otro lado, el estadístico Q de Yule indica una dirección positiva de la correlación entre sexo (hombre = 2 y Resultado de muerte (1 = sí), ya que esos son los valores mayores de ambas variables. Por lo tanto, el análisis nos permite afirmar la existencia de una asociación significativa entre sexo del conductor y accidente de tránsito con resultado de muerte (p = 0,0404), verificándose que los resultados de muerte se asocian a los conductores hombres. Conclusión:

Al 5%, se puede afirmar que los accidentes con resultado de muerte están significativamente asociados a los conductores de sexo masculino (p<0,05).


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Caso 10: Estrés post-terremoto Después del terremoto en Chile en febrero de 2010, se realizaron una serie de estudios de los fenómenos sociales asociados al acontecimiento. Uno de ellos enfocó el estrés post-terremoto de la población en relación al grupo socioeconómico de los sujetos. La tabla adjunta muestra el estado de estrés pos-terremoto según condición socioeconómica de un grupo de personas seleccionadas aleatoriamente.

Condición socioeconómica

Con estrés Sin estrés Total

Alta 15 25 40 Media 20 32 52 Baja 60 15 75 Total 95 72 167

10.1. Con estos datos, y a un nivel de significación del 1%, ¿está el estrés post-terremoto asociado a la condición socioeconómica? Solución: Se trata de un contraste de hipótesis de asociación entre variables categóricas. Una es dicotómica (estado de estrés) y otra ordinal de tres valores (Condición socioeconómica). Para el contraste, se requiere una prueba con la Chi-cuadrado en una tabla de 3x2. Como no se tiene una tabla de 2x2 no pueden ser utilizadas las fórmulas de cálculo abreviados. Hipótesis:

H0: fo = fe El estrés pos-terremoto es independiente de la condición socioeconómica. H1: fo fe El estrés pos-terremoto NO es independiente de la condición socioeconómica.

≠

Cálculo de la frecuencia esperada: En cada celda se calcula la frecuencia esperada.

Condición socioeconómica

Con estrés Sin estrés Total

Alta 22,8 17,2 40 Media 29,6 22,4 52 Baja 42,6 32,4 75 Total 95 72 167

1ª fila, 1ª columna: 9516740fe ⋅= = 22,8

1ª fila, 2ª columna se calcula por diferencia: 40 – 22,8 = 17,2


16

2ª fila, 1ª columna: 9516752fe ⋅= = 29,6

2ª fila, 2ª columna se calcula por diferencia: 52 – 29,6 = 22,4 3ª fila, 1ª columna: se puede calcular por diferencia: 95 – 22,8 – 29,6 = 42,6 3ª fila, 2ª columna se calcula por diferencia: 72 – 42,6 = 29,4

Cálculo del estadístico de prueba: Una vez calculadas todas las frecuencias esperadas, se calcula Chi-cuadrado:

2OBSχ =

e

2eo

f)ff( −∑ =

8,22)8,2215( 2− +

2,17)2,1725( 2− +

6,29)6,2920( 2− +

4,22

)4,2232( 2− +6,42

)6,4260( 2− +4,32

)4,3215( 2−

2OBSχ

)9,29( 22;p >χ

2OBSχ = 2,67 + 3,54 + 3,11 + 4,11 + 7,11 + 9,34 = 29,88

= 29,9

Grados de libertad: Para una tabla de 3 x 2 los grados de libertad son:

=ν (3 – 1) · (2 – 1) = 2 gl. Cálculo del valor p:

= 0 P* =α

Decisión:

El valor p es prácticamente cero, por lo que se rechaza la hipótesis de independencia, al 1%.

Conclusión:

El estado de estrés pos-terremoto NO es independiente de la condición socioeconómica (p = 0).


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Caso 11: Universidades y GSE Se investiga una muestra aleatoria de estudiantes universitarios, según grupo socioeconómico y tipo de universidad en la cual estudian (Estatales –Privadas).

Universidades Grupo socioeconómico Alto Medio alto Medio bajo Bajo

Estatales 13 17 4 3 Privadas 38 19 2 2

11.1. A un nivel del 5% haga una prueba de hipótesis con el test G para validar la afirmación que dice que los estudiantes universitarios de las universidades privadas son preferentemente de los estratos socioeconómicos altos. Solución: El test G, también llamado “razón de verosimilitud”, es una prueba de Chi-cuadrado, que entrega mejores resultados que el de Pearson. Está dado por:

∑ ⋅=e

oo f

flnf2G

11.1. La tabla tiene un 50% de celdas que no cumplen con la cantidad mínima exigida por la prueba de Chi-cuadrado. Para resolver esto, se fusionará la columna “medio bajo” con “bajo”, quedando así:

Universidades Grupo socioeconómico Total Alto Medio alto Medio bajo-bajo

Estatales 13 17 7 37 Privadas 38 19 4 61 Total 51 36 11 98

Ahora se procede a calcular las frecuencias esperadas en cada celda:

Para la celda Estatal/Alto: 51·9837fe = =19,3

Y así sucesivamente. Se llega a la siguiente tabla:

Universidades Grupo socioeconómico Total Alto Medio alto Medio bajo-bajo

Estatales 19,3 13,6 4,1 37 Privadas 31,7 22,4 6,9 61 Total 51 36 11 98


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La tabla resultó con una cela con la frecuencia esperada menor a 5, que es el valor mínimo recomendado para la prueba. Pero, así mismo, se acepta hasta un 20% de las celdas que no cumplan con el requisito. Como en este caso. Por lo tanto, se procede al cálculo del estadístico G.

Se calcula en cada celda el valor de:e

o fofln·f

Universidades Grupo socioeconómico Total

Alto Medio alto Medio bajo-bajo Estatales -5,11 3,80 3,65 Privadas 6,83 -3,13 -2,15 Total 3,89

El estadístico G es igual a:

∑ ⋅=e

oo f

flnf2

=ν

)8,7(P 22;p >χ

G

G = 2 (-5,11 + 3,80 + 3,65 + 6,83 – 3,13 – 2,15) G = 2 · 3,89 = 7,78

Grados de libertad:

Para una tabla de 2 x 3 los grados de libertad son: (2 – 1) · (3 – 1) = 2 gl.

Esta G es una Chi-cuadrado con 2 grados de libertad.

Valor p:

= 0,0202 * =α

Decisión: Con este valor del p-value, se rechaza la hipótesis nula de independencia, al 5%. Conclusión:

El tipo de universidad de los estudiantes, está asociado al grupo socioeconómico de estos (p = 0,0202).


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Caso 12: IVE en España Se seleccionan 50 mujeres españolas y 30 extranjeras residentes en España, que se realizaron una IVE1. A estas se les consultó si ya se habían realizado una IVE anterior. El resultado es que, de las españolas, 18 ya lo habían hecho anteriormente, mientras que de las extranjeras, un total de 20. 12.1. ¿Existe una diferencia en la realización de IVE anterior respecto de la nacionalidad de las mujeres? Use un 10% de significación. Solución: 12.1. Con los datos se construye la siguiente tabla:

IVE anterior Nacionalidad Total Española Extranjera

Sí 18 20 38 No 32 10 42

Total 50 30 80 Hipótesis:

H0: fo = fe H1: fo ≠ fe Estadístico de prueba: Usando la forma abreviada del estadístico Chi-cuadrado de Pearson, se tiene:

= 2obsχ

30·50·42·3880·)32·2010·18( 2−

21;pχ

= 7,07.

Valor p:

P( > 7,07) = 0,0082 (según tabla)

Como valor p < 0,10; se rechaza la hipótesis de homogeneidad al 10%. La diferencia es relevante. Haciendo un breve análisis de % en cada columna, se tiene que el:

=100·5018 36,0%

De las mujeres españolas se han hecho un IVE anterior, mientras que en las extranjeras ese % llega al:

=100·3020

66,7%, sendo la diferencia, significativa, de acuerdo a test

realizado. Conclusión: La proporción de mujeres que se realiza IVE es mayor en las mujeres extranjeras residentes en España que las españolas (p = 0,0082).

1 IVE: Interrupción Voluntaria del Embarazo.


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Caso 13: Compra de café En un supermercado se observa a 46 personas que compran café, de las cuales 27 llevan de la marca A, mientras que las restantes 19 llevan marca B. 13.1. Al 5%, ¿constituye este dato un fundamento para afirmar que las personas compran preferentemente el café marca A? Solución: 13.1. Las hipótesis son: H0: las frecuencias observadas son iguales a las esperadas. H1: las frecuencias observadas son distintas a las esperadas. En el marco del caso, la hipótesis nula afirma que la compra del café es independiente de la marca, que las personas compran por igual marca A o B y que las diferencias son debidas al azar. La hipótesis alternativa afirma que hay diferencias en la marca que compran. La situación se puede resumir como sigue:

Frecuencia Marca de café Total

A B Observada 27 19 46

Cálculo del valor de Chi-cuadrado. Se calculan las frecuencias esperadas, bajo la hipótesis de que no hay diferencia por marca de café. Como se ve, si no hay diferencia, se espera que de las 46 personas, 23 compren café A y 23 compren B.


A B Observada 27 19 46 Esperada 23 23 46

Para la primera celda, el cálculo es:

23

)2327( 2− = 0,70

Para la segunda celda, el cálculo es:

23

)2319( 2−

2obsχ

= 0,70

Por lo tanto, = 0,7 + 0,7 = 1,4

El valor p: Grados de libertad: 2 celdas – 1 = 1 gl.


21

=α* 0,2367. Este resultado lleva a no rechazar la hipótesis nula.

Conclusión: Con estos datos, no se puede afirmar que los compradores tienen preferencia por una marca de café. Solución con el test G:


A B Observada 27 19 46 Esperada 23 23 46

Para la primera celda el valor es:

2327ln·27 = 4,33

Para la segunda celda el valor es:

2319ln·19 = –3,63

Estadístico de prueba G:

G = χ = 2 · (4,33 – 3,63) = 1,4 2obs

=α*

0,2367 El resultado y conclusiones son equivalentes al de la prueba anterior.


22

Caso 14: Salud, ejercicio y sexo Se investiga en una muestra aleatoria de personas algunas variables de sus hábitos de vida, para lo cual se han recogido datos de las siguientes variables: = Estado general de salud (4 = muy bueno; 3 = bueno; 2 = regular; 1 = malo) 1X

X = Sexo (1 = femenino; 2 = masculino). 2

3X = Nivel de ejercicio diario (0 = Ninguno; 1 = Moderado y 2 = Intenso).

Con las tablas de contingencia correspondientes, fueron calculados los siguientes estadísticos Chi-cuadrado para contrastes de asociación:

14.1. χ ( , ) = 8,2 21X 2X

2 X X

21X 2X

14.2. χ ( , ) = 4,6 2

1X

3

3X14.3. χ ( , ) = 6,2 2

Con esta información, analice y construya una conclusión al 5% para cada una de las parejas de variables. Solución: Calculando los valores p de cada estadístico, se tiene:

14.1. χ ( , ) = 8,2

α =* 23;pχP( > 8,2) = 0,0421 Esta tabla tiene 3 grados de libertad. Entonces,

Se rechaza H0, al 5%. Conclusión: El estado general de salud está asociado al sexo (p = 0,0421).

14.2. χ ( , ) = 4,6 22X 3X

Esta tabla tiene 2 grados de libertad. Entonces, =α* P( > 4,6) = 0,1003 22;pχ

No se rechaza H0, al 5%. Conclusión: El nivel de ejercicio diario es independiente del sexo (p = 1003).

14.3. χ ( , ) = 6,2 21X 3X

α =* 23;pχP( > 8,2) = 0,4012 Esta tabla tiene 6 grados de libertad. Entonces,

No se rechaza H0, al 5%. Conclusión: El estado general de salud es independiente del nivel de ejercicio diario (p = 0,4012).

PROBABILIDAD p DE LA DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA A LA DERECHA DE 2iχ

GRADOS DE LIBERTAD 2;νχ p

1 2 3 4 5 6 0,2 0,6547 0,9048 0,9776 0,9953 0,9991 0,9998

0,4 0,5271 0,8187 0,9402 0,9825 0,9953 0,9989

0,6 0,4386 0,7408 0,8964 0,9631 0,9880 0,9964

0,8 0,3711 0,6703 0,8495 0,9384 0,9770 0,9921

1,0 0,3173 0,6065 0,8013 0,9098 0,9626 0,9856

1,2 0,2733 0,5488 0,7530 0,8781 0,9449 0,9769

1,4 0,2367 0,4966 0,7055 0,8442 0,9243 0,9659

1,6 0,2059 0,4493 0,6594 0,8088 0,9012 0,9526

1,8 0,1797 0,4066 0,6149 0,7725 0,8761 0,9371

2,0 0,1573 0,3679 0,5724 0,7358 0,8491 0,9197

2,2 0,1380 0,3329 0,5319 0,6990 0,8208 0,9004

2,4 0,1213 0,3012 0,4936 0,6626 0,7915 0,8795

2,6 0,1069 0,2725 0,4575 0,6268 0,7614 0,8571

2,8 0,0943 0,2466 0,4235 0,5918 0,7308 0,8335

3,0 0,0833 0,2231 0,3916 0,5578 0,7000 0,8088

3,2 0,0736 0,2019 0,3618 0,5249 0,6692 0,7834

3,4 0,0652 0,1827 0,3340 0,4932 0,6386 0,7572

3,6 0,0578 0,1653 0,3080 0,4628 0,6083 0,7306

3,8 0,0513 0,1496 0,2839 0,4337 0,5786 0,7037

4,0 0,0455 0,1353 0,2615 0,4060 0,5494 0,6767

4,2 0,0404 0,1225 0,2407 0,3796 0,5210 0,6496

4,4 0,0359 0,1108 0,2214 0,3546 0,4934 0,6227

4,6 0,0320 0,1003 0,2035 0,3309 0,4666 0,5960

4,8 0,0285 0,0907 0,1870 0,3084 0,4408 0,5697

5,0 0,0253 0,0821 0,1718 0,2873 0,4159 0,5438

5,2 0,0226 0,0743 0,1577 0,2674 0,3920 0,5184

5,4 0,0201 0,0672 0,1447 0,2487 0,3690 0,4936

5,6 0,0180 0,0608 0,1328 0,2311 0,3471 0,4695

5,8 0,0160 0,0550 0,1218 0,2146 0,3262 0,4460

6,0 0,0143 0,0498 0,1116 0,1991 0,3062 0,4232


1 2 3 4 5 6 6,2 0,0128 0,0450 0,1023 0,1847 0,2872 0,4012

6,4 0,0114 0,0408 0,0937 0,1712 0,2692 0,3799

6,6 0,0102 0,0369 0,0858 0,1586 0,2521 0,3594

6,8 0,0091 0,0334 0,0786 0,1468 0,2359 0,3397

7,0 0,0082 0,0302 0,0719 0,1359 0,2206 0,3208

7,2 0,0073 0,0273 0,0658 0,1257 0,2062 0,3027

7,4 0,0065 0,0247 0,0602 0,1162 0,1926 0,2854

7,6 0,0058 0,0224 0,0550 0,1074 0,1797 0,2689

7,8 0,0052 0,0202 0,0503 0,0992 0,1676 0,2531

8,0 0,0047 0,0183 0,0460 0,0916 0,1562 0,2381

8,2 0,0042 0,0166 0,0421 0,0845 0,1456 0,2238

8,4 0,0038 0,0150 0,0384 0,0780 0,1355 0,2102

8,6 0,0034 0,0136 0,0351 0,0719 0,1261 0,1974

8,8 0,0030 0,0123 0,0321 0,0663 0,1173 0,1851

9,0 0,0027 0,0111 0,0293 0,0611 0,1091 0,1736

9,2 0,0024 0,0101 0,0267 0,0563 0,1013 0,1626

9,4 0,0022 0,0091 0,0244 0,0518 0,0941 0,1523

9,6 0,0019 0,0082 0,0223 0,0477 0,0874 0,1425

9,8 0,0017 0,0074 0,0203 0,0439 0,0811 0,1333

10,0 0,0016 0,0067 0,0186 0,0404 0,0752 0,1247

10,2 0,0014 0,0061 0,0169 0,0372 0,0698 0,1165

10,4 0,0013 0,0055 0,0155 0,0342 0,0647 0,1088

10,6 0,0011 0,0050 0,0141 0,0314 0,0599 0,1016

10,8 0,0010 0,0045 0,0129 0,0289 0,0555 0,0948

11,0 0,0009 0,0041 0,0117 0,0266 0,0514 0,0884

11,2 0,0008 0,0037 0,0107 0,0244 0,0476 0,0824

11,4 0,0007 0,0033 0,0097 0,0224 0,0440 0,0768

11,6 0,0007 0,0030 0,0089 0,0206 0,0407 0,0715

11,8 0,0006 0,0027 0,0081 0,0189 0,0376 0,0666

12,0 0,0005 0,0025 0,0074 0,0174 0,0348 0,0620

Elaborada con función DISTR.CHI(x;grados_de_libertad) de Excel. Gentileza ALKAYNO S. A. 2011. Derechos Reservados.

0

2iχ

2χ

p

ν

Tabla Chi-cuadrado PROBABILIDAD p DE LA DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA A LA DERECHA DE 2iχ

GRADOS DE LIBERTAD 2

;νχ p 1 2 3

0,1 0,7518 0,9512 0,9918 0,2 0,6547 0,9048 0,9776 0,3 0,5839 0,8607 0,9600 0,4 0,5271 0,8187 0,9402 0,5 0,4795 0,7788 0,9189

0,6 0,4386 0,7408 0,8964 0,7 0,4028 0,7047 0,8732 0,8 0,3711 0,6703 0,8495 0,9 0,3428 0,6376 0,8254 1,0 0,3173 0,6065 0,8013

1,1 0,2943 0,5769 0,7771 1,2 0,2733 0,5488 0,7530 1,3 0,2542 0,5220 0,7291 1,4 0,2367 0,4966 0,7055 1,5 0,2207 0,4724 0,6823

1,6 0,2059 0,4493 0,6594 1,7 0,1923 0,4274 0,6369 1,8 0,1797 0,4066 0,6149 1,9 0,1681 0,3867 0,5934 2,0 0,1573 0,3679 0,5724

2,1 0,1473 0,3499 0,5519 2,2 0,1380 0,3329 0,5319 2,3 0,1294 0,3166 0,5125 2,4 0,1213 0,3012 0,4936 2,5 0,1138 0,2865 0,4753

2,6 0,1069 0,2725 0,4575 2,7 0,1003 0,2592 0,4402 2,8 0,0943 0,2466 0,4235 2,9 0,0886 0,2346 0,4073 3,0 0,0833 0,2231 0,3916


1 2 3

3,1 0,0783 0,2122 0,37653,2 0,0736 0,2019 0,36183,3 0,0693 0,1920 0,34763,4 0,0652 0,1827 0,33403,5 0,0614 0,1738 0,3208

3,6 0,0578 0,1653 0,30803,7 0,0544 0,1572 0,29573,8 0,0513 0,1496 0,28393,9 0,0483 0,1423 0,27254,0 0,0455 0,1353 0,2615

4,1 0,0429 0,1287 0,25094,2 0,0404 0,1225 0,24074,3 0,0381 0,1165 0,23084,4 0,0359 0,1108 0,22144,5 0,0339 0,1054 0,2123

4,6 0,0320 0,1003 0,20354,7 0,0302 0,0954 0,19514,8 0,0285 0,0907 0,18704,9 0,0269 0,0863 0,17935,0 0,0253 0,0821 0,1718

5,1 0,0239 0,0781 0,16465,2 0,0226 0,0743 0,15775,3 0,0213 0,0707 0,15115,4 0,0201 0,0672 0,14475,5 0,0190 0,0639 0,1386

5,6 0,0180 0,0608 0,13285,7 0,0170 0,0578 0,12725,8 0,0160 0,0550 0,12185,9 0,0151 0,0523 0,11666,0 0,0143 0,0498 0,1116


1 2 3

6,1 0,0135 0,0474 0,10686,2 0,0128 0,0450 0,10236,3 0,0121 0,0429 0,09796,4 0,0114 0,0408 0,09376,5 0,0108 0,0388 0,0897

6,6 0,0102 0,0369 0,08586,7 0,0096 0,0351 0,08216,8 0,0091 0,0334 0,07866,9 0,0086 0,0317 0,07527,0 0,0082 0,0302 0,0719

7,1 0,0077 0,0287 0,06887,2 0,0073 0,0273 0,06587,3 0,0069 0,0260 0,06297,4 0,0065 0,0247 0,06027,5 0,0062 0,0235 0,0576

7,6 0,0058 0,0224 0,05507,7 0,0055 0,0213 0,05267,8 0,0052 0,0202 0,05037,9 0,0049 0,0193 0,04818,0 0,0047 0,0183 0,0460

8,1 0,0044 0,0174 0,04408,2 0,0042 0,0166 0,04218,3 0,0040 0,0158 0,04028,4 0,0038 0,0150 0,03848,5 0,0036 0,0143 0,0367

8,6 0,0034 0,0136 0,03518,7 0,0032 0,0129 0,03368,8 0,0030 0,0123 0,03218,9 0,0029 0,0117 0,03079,0 0,0027 0,0111 0,0293


1 2 3

9,1 0,0026 0,0106 0,0280 9,2 0,0024 0,0101 0,0267 9,3 0,0023 0,0096 0,0256 9,4 0,0022 0,0091 0,0244 9,5 0,0021 0,0087 0,0233

9,6 0,0019 0,0082 0,0223 9,7 0,0018 0,0078 0,0213 9,8 0,0017 0,0074 0,0203 9,9 0,0017 0,0071 0,0194

10,0 0,0016 0,0067 0,0186

10,1 0,0015 0,0064 0,0177 10,2 0,0014 0,0061 0,0169 10,3 0,0013 0,0058 0,0162 10,4 0,0013 0,0055 0,0155 10,5 0,0012 0,0052 0,0148

10,6 0,0011 0,0050 0,0141 10,7 0,0011 0,0047 0,0135 10,8 0,0010 0,0045 0,0129 10,9 0,0010 0,0043 0,0123 11,0 0,0009 0,0041 0,0117

11,1 0,0009 0,0039 0,0112 11,2 0,0008 0,0037 0,0107 11,3 0,0008 0,0035 0,0102 11,4 0,0007 0,0033 0,0097 11,5 0,0007 0,0032 0,0093

11,6 0,0007 0,0030 0,0089 11,7 0,0006 0,0029 0,0085 11,8 0,0006 0,0027 0,0081 11,9 0,0006 0,0026 0,0077 12,0 0,0005 0,0025 0,0074

Elaborada con función DISTR.CHI(x;grados_de_libertad) de Excel. Gentileza ALKAYNO S. A. 2011. Derechos Reservados.

0

2iχ

2χ

p

ν

0

2iχ

2χ

Distribución Chi Cuadrado - Percentiles 2Valores de tales que la probabilidad sea menor o igual a la especificada (*). χ

Grados de libertad ν 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,85 0,90 0,925 0,95 0,975 0,99 0,995

1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,04 0,06 0,15 0,27 0,45 0,71 1,07 1,64 2,07 2,71 3,17 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 0,33 0,45 0,71 1,02 1,39 1,83 2,41 3,22 3,79 4,61 5,18 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 0,11 0,22 0,35 0,58 0,80 1,01 1,42 1,87 2,37 2,95 3,66 4,64 5,32 6,25 6,90 7,81 9,35 11,34 12,84 4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 1,37 1,65 2,19 2,75 3,36 4,04 4,88 5,99 6,74 7,78 8,50 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 1,99 2,34 3,00 3,66 4,35 5,13 6,06 7,29 8,12 9,24 10,01 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 2,66 3,07 3,83 4,57 5,35 6,21 7,23 8,56 9,45 10,64 11,47 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 3,36 3,82 4,67 5,49 6,35 7,28 8,38 9,80 10,75 12,02 12,88 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 4,08 4,59 5,53 6,42 7,34 8,35 9,52 11,03 12,03 13,36 14,27 15,51 17,53 20,09 21,95 9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 4,82 5,38 6,39 7,36 8,34 9,41 10,66 12,24 13,29 14,68 15,63 16,92 19,02 21,67 23,59 10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 5,57 6,18 7,27 8,30 9,34 10,47 11,78 13,44 14,53 15,99 16,97 18,31 20,48 23,21 25,19

11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 6,34 6,99 8,15 9,24 10,34 11,53 12,90 14,63 15,77 17,28 18,29 19,68 21,92 24,73 26,76 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 7,11 7,81 9,03 10,18 11,34 12,58 14,01 15,81 16,99 18,55 19,60 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 7,90 8,63 9,93 11,13 12,34 13,64 15,12 16,98 18,20 19,81 20,90 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 8,70 9,47 10,82 12,08 13,34 14,69 16,22 18,15 19,41 21,06 22,18 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 9,50 10,31 11,72 13,03 14,34 15,73 17,32 19,31 20,60 22,31 23,45 25,00 27,49 30,58 32,80

16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 10,31 11,15 12,62 13,98 15,34 16,78 18,42 20,47 21,79 23,54 24,72 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 11,12 12,00 13,53 14,94 16,34 17,82 19,51 21,61 22,98 24,77 25,97 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 11,95 12,86 14,44 15,89 17,34 18,87 20,60 22,76 24,16 25,99 27,22 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 12,77 13,72 15,35 16,85 18,34 19,91 21,69 23,90 25,33 27,20 28,46 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 13,60 14,58 16,27 17,81 19,34 20,95 22,77 25,04 26,50 28,41 29,69 31,41 34,17 37,57 40,00

21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 14,44 15,44 17,18 18,77 20,34 21,99 23,86 26,17 27,66 29,62 30,92 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 15,28 16,31 18,10 19,73 21,34 23,03 24,94 27,30 28,82 30,81 32,14 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 16,12 17,19 19,02 20,69 22,34 24,07 26,02 28,43 29,98 32,01 33,36 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 16,97 18,06 19,94 21,65 23,34 25,11 27,10 29,55 31,13 33,20 34,57 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 17,82 18,94 20,87 22,62 24,34 26,14 28,17 30,68 32,28 34,38 35,78 37,65 40,65 44,31 46,93

30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 22,11 23,36 25,51 27,44 29,34 31,32 33,53 36,25 37,99 40,26 41,76 43,77 46,98 50,89 53,67 35 17,19 18,51 20,57 22,47 24,80 26,46 27,84 30,18 32,28 34,34 36,47 38,86 41,78 43,64 46,06 47,66 49,80 53,20 57,34 60,27 40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 30,86 32,34 34,87 37,13 39,34 41,62 44,16 47,27 49,24 51,81 53,50 55,76 59,34 63,69 66,77 45 24,31 25,90 28,37 30,61 33,35 35,29 36,88 39,58 42,00 44,34 46,76 49,45 52,73 54,81 57,51 59,29 61,66 65,41 69,96 73,17 50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 39,75 41,45 44,31 46,86 49,33 51,89 54,72 58,16 60,35 63,17 65,03 67,50 71,42 76,15 79,49

60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 48,76 50,64 53,81 56,62 59,33 62,13 65,23 68,97 71,34 74,40 76,41 79,08 83,30 88,38 91,95 70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 57,84 59,90 63,35 66,40 69,33 72,36 75,69 79,71 82,26 85,53 87,68 90,53 95,02 100,4 104,2 80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 66,99 69,21 72,92 76,19 79,33 82,57 86,12 90,41 93,11 96,58 98,86 101,9 106,6 112,3 116,3 90 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 76,20 78,56 82,51 85,99 89,33 92,76 96,52 101,1 103,90 107,6 109,97 113,2 118,1 124,1 128,3 100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 85,44 87,95 92,13 95,81 99,33 102,95 106,91 111,67 114,66 118,50 121,02 124,34 129,56 135,81 140,17

Valores calculados usando la función PRUEBA.CHI.INV() de Excel.

Gentileza ALKAYNO S. A. 2011. Derechos Reservados.

Inferencia No Parametrica Problemas Resueltos Con Pruebas de Chi Cuadrado

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