Estadistica No Parametrica 1-2016
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7/25/2019 Estadistica No Parametrica 1-2016
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ESTADISTICA NO PARAMETRICA
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No se requiere de lossupuestos paramtricos
Se puede usar paravariables no numricas.
Clculos fciles,originados por tamaosde muestra pequeos.
Son convenientes
cuando no se conoce ladistribucin de lapoblacin.
Utilizan menor informacinde la variable.
Es menos potente que los
resultados obtenidos en losmtodos paramtricos.
VENTAJASDESVENTAJAS
ESTADSTICA NO PARAMTRICA
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ESTADISTICA
Test de hiptesis
Paramtricos: hiptesis sobre losparmetros que definen la pobla-cin (por ej., pobl. Normales, ytests sobre la media o la desv.tpica).
No paramtricos: no serefieren a parmetros dela poblacin; se aplicantpicamente cuando noconocemos la distribucin
de la poblacin, o cuando sudistribucin es no normal.
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CULES SON LAS SUPOSICIONES DE LA ESTADSTICANO PARAMTRICA?
Para realizar anlisis no paramtricos, debe partirse de lassiguientes consideraciones:
La mayora de estos anlisis no requieren de supuestos acerca
de la forma de la distribucin poblacional. Aceptandistribuciones no normales.
Las variables no necesariamente deben estar medidas en unnivel por intervalo o de razn, pueden analizar datos nominales
u ordinales.
Si se quiere aplicar anlisis no paramtrica a datos porintervalos o razn, stos deben ser resumidos a categoras
discretas (intervalos). Las variables deben ser categoras.
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Algunas Pruebas o Mtodos No Paramtricas:
Prueba Chi-Cuadrado. Prueba de Signos Prueba de Rangos Signados de Wilcoxon,
Prueba de Mann y Whitney
Prueba de KruskalWallis Prueba de Correlacin Prueba de KolgomorovSmirnov
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Distribucin Ji-Cuadrada o Chi-cuadrada o X2?.
Es una prueba til para variables categricas yestadstica, es aplicable cuando la variable nominalest compuesto por dos o ms categoras. Tiene dosaplicaciones:
1. La prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrada.
2. La prueba Chi-cuadrada de asociacin.
Ambas pruebas se utilizan para determinar si lasfrecuencias observadas (O) en las categoras difierensignificativamente de las frecuencias esperadas (E).
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Es una prueba estadstica para evaluar hiptesisacerca de la relacin entre dos variables categricas.
Smbolo: X2
Hiptesis a probar: Correlaciones
Variables
involucradas:
Dos variables (la prueba Chi-cuadrada no
considera relaciones causales).Nivel de medicin delas variables
Nominal u ordinal (o intervalos o razn reducidasa ordinales)
Procedimiento Chi-cuadrada se calcula por medio de una tabla
de contingencia o tabulacin cruzada, que esuna tabla de dos dimensiones y cada dimensincontiene una variable. A su vez, cada variable sesubdivide en dos o ms categoras.
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Total de Fila x Total de ColumnaF. Esperada=
Total General
CARACTERSTICAS1. La Distribucin X2 se lee con grados de libertad G.L =
(N de filas - 1)(N de columnas - 1).2. No tiene valores negativos. El valor mnimo es 0.3. Todas las curvas son asimtricas4. Cuando aumentan los grados de libertad las curvas son
menos elevadas y ms extendidas a la derecha.
5. Se utiliza para variables medidas en escala nominal uordinal.
6. Las frmulas son:
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Prueba de hiptesis:Determinar si las variables del estudio son independientes o no entre ellas
H0: No existe relacin entre las variables del estudio
H1: Existe relacin entre las variables del estudio
Si
X2obtenido X2crtico entoncesvariables no son independientes; esdecir existe una relacin entre las variables
X2obtenido X2crtico entonces se rechaza la hiptesis nula (H0), ypor lo tanto se acepta la hiptesis alterna (H1).
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Establezca la Ho a ser probada; por ejemplo,Ho: 1 = 2 = 0,5
Especifique el nivel de significancia , por ejemplo:= 0.5
Haga una tabla de frecuencias obtenidasDeduzca las frecuencias esperadas a partir de Ho:Calcule el grado de libertad: Producto de (categoras - 1)Calcule el valor de X2 a partir de las frecuencias obtenidas yfrecuencias esperadas.Mediante la tabla de X2 obtenga el valor terico.Compara dichos valores.
Establezca la conclusin con respecto a Ho:Rechaza Ho si valor de tabla > Valor calculado no estn relacionadas
Acepta Ho si valor de tabla < Valor calculado estn relacionadas
Paso N 1
Paso N 2
Paso N 3
Paso N 4
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Chi Cuadrado : Pruebas de Bondad de Ajuste
Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a unaforma de distribucin particular planteada como hiptesis. Si el ajuste es
razonablemente cercano, puede concluirse que si existe la forma de distribucinplanteada como hiptesis.
Prueba chi-cuadradadonde k: Nmero de categoras o clases
k-m-1: grados de libertad donde m es el nmero de parmetros a estimar.
EJERCICIO:Juan Prez, director de Mercadeo de Alden de Jurez, tiene la responsabilidad decontrolar el nivel de existencias para cuatro tipos de automviles vendidos por lafirma. En el pasado, ha ordenado nuevos automviles bajo la premisa de que loscuatro tipos son igualmente populares y la demanda de cada tipo es la misma. Sin
embargo, recientemente las existencias se han vuelto ms difciles de controlar, yJuan considera que debera probar su hiptesis respecto a una demanda uniforme.Sus hiptesis son:
H0: La demanda es uniforme para los cuatro tipos de autos.H1: La demanda no es uniforme para los cuatro tipos de autos.
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Muestra la expectativa uniforme para una muestra de 48 autos vendidosdurante el ltimo mes
Registro de Ventas de Alden de Jurez
Tipo de auto Ventas observadas Ventas esperadasKia 15 12Fiesta 11 12Focus 10 12Clio 12 12
Debido a que no hay parmetros que estimarse el nmero de grados delibertad es k-1 = 3 grados de libertad.
Si Juan deseara probar al nivel del 5%, se encontrara, como se muestra
Regla de decisin: "815.72
.815.72
" siRechazarsirechazarNo
Como 1.17 < 7.815, la hiptesis de que la demanda no es uniforme no se rechaza.
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Ejemplo 1. Variable, categora y tabla de contingencia 2x2:
Sean las variables TIPO CUENTA (Corriente y Vista) yCLIENTE (Premiun y Vip). La tabla de contingencia otabulacin cruzada es:
CLIENTE
PREMIUN VIP
Corriente
TIPOCUENTA
Vista
20 30
40 25
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Variable
Categora
CLIENTE
PREMIUN VIP
Corriente
TIPOCUENTA
Vista
20 30
40 25
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Ejemplo 2. Estudio de Tabla de contingencia 3x2:
Se estudia a 1040 estudiantes de los niveles de educacinprimaria y secundaria y a los cuales se aplica un instrumento
que mide el aprendizaje de la matemtica, en las dimensionesde aprendizaje conceptual, procedimental y actitudinal.Variables:
APRENDIZAJE categoras: Conceptual, Procedimental, Actitudinal.NIVEL DE EDUCACIN categoras:Primaria, Secundaria.
NIVEL DE EDUCACIN
Primaria Secundaria
APRENDIZAJEConceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100
190 280
170 120
TABLA DE CONTINGENCIA
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Tabla de frecuencias observadas (O):
NIVEL DE EDUCACIN TOTAL
Primaria Secundaria
APRENDIZAJEConceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100 280
190 280 470
170 120 290
TOTAL 540 500 1040
Chi-cuadrada es una comparacin entre las tablas de
frecuencias observadas y la denominada tabla defrecuencias esperadas (la tabla que esperaramosencontrar si las variables fueran estadsticamenteindependientes o no estuvieran relacionadas).
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La frecuencia esperadade cada celda, casilla o recuadro, se
calcula mediante la siguiente frmula aplicada a la tabla defrecuencias observadas:N= es el nmero total de frecuencias observadas.E= (marginal del regln)(marginal de columna) / N.
NIVEL DE EDUCACIN
Marginalde filas
Primaria Secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
(280)(540)/1040 (280)(500)/1040 280
(470)(540)/1040 (470)( 500)/1040 470
(290)(540)/1040 (290)(500)/1040 290
marginal de columnas 540 500 1040
Tabla de frecuencias esperadas (E):
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Frecuencia observada:
NIVEL DE EDUCACIN TOTAL
Primaria Secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
145,4 134,6 280244,0 226,0 470
150,6 139,4 290
TOTAL 540 500 1040
NIVEL DE EDUCACIN TOTAL
Primaria secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100 280190 280 470
170 120 290
TOTAL 540 500 1040
Frecuencia esperada:
Donde:O: frecuencia observada
en cada celdaE: frecuencia esperada
en cada celda
EO2
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E
EOX
2
2
Celda O E O-E (O-E)2 (O-E)2 / E
Conceptual/Primaria 180 145,4 34,6 1197,16 8,23Procedimental/ Primaria 190 244,4 -54,4 2959,36 12,11
Actitudinal / Primaria 170 150,6 19,4 376,36 2,50
Conceptual / Secundaria 100 134,6 -34,6 1197,16 8,69
Procedimental /Secundaria 280 226,0 54,0 2916,00 12,80
Actitudinal / Secundaria 120 139,4 -19,4 376,36 2,70
X2 = 47,33
Para saber si el valor de X2es o no significativo, debemos
calcular los grados de libertad.
G.L. = (N de filas - 1)(N de columnas - 1).
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Para el ejemplo: N de filas = 3 y N de columnas = 2; entoncesG.L. = (3-1)(2-1) = 2.
Luego, acudimos a la tabla de distribucin de Chi-cuadrado, eligiendo nuestro nivel de confianza (= 0,05 = 0,01).
Si el valor obtenido de X2es igual o superior al valor de latabla,decimos que las variables estn relacionadas o noson independientes.
Aplicacin:Para el nivel de confianza de =0,05y g.l.= 2, el X2de tablaes 5,9915(ver tabla).
X2Obtenido =47,33X2Crtico = 5,9915 tabla
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Prueba de hiptesis:
H0: No existe relacin entre el aprendizaje y los
niveles de educacin.
H1: Existe relacin entre el aprendizaje y niveles deeducacin.
X2obtenido X2crtico entonces se rechaza lahiptesis nula (H0), y por lo tanto se acepta la hiptesisalterna (H1).
X2obtenido X2crtico entonces variables no sonindependientes; es decir existe una relacin entre
Aprendizaje y los niveles educativos
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Una fabrica est pensando en implantar uno de los tres sistemas de calificacionespara el desempeo: (1) todas las calificaciones son aprobados-reprobado; (2) todaslas calificaciones estn en el sistema 4.0 y (3) 90% de las calificaciones estn en elsistema 4.0 y 10% son a aprobados-reprobado. Se realiza una encuesta paradeterminar si existe una relacin entre el rea de laboral de cada trabajador y supreferencia para algn sistema de calificacin. Se elige una muestra aleatoria de200 trabajadores del rea operaciones, 200 administrativos, y 100 de produccin.Se pregunta a cada trabajador cul de los tres sistemas de calificaciones prefieren.Los resultados aparecen en la siguiente tabla:
Sistema Calificacin Desempeo
Aprobado-reprobado 4,0 4,0 y aprobado-reprobado
Produccin 26 55 19
Administrativos 24 118 58
Operaciones 20 112 68
a). Cul es la hiptesis nula e hiptesis alterna?
c). Cul es la conclusin?. Utilice = 0,01.
Ejercicio:
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Un investigador cree que, durante los ltimos aos, la composicintnica de la ciudad donde vive ha cambiado. Las cifras ms actuales(reunidas hace unos cuntos aos) muestran que los habitantes de
dicha ciudad presentan la siguiente composicin tnica: 53% noruegos,32% suecos, 8% irlandeses, 5% alemanes y 2% italianos. Para verificaresta idea, este cientfico social obtiene una muestra aleatoria de 750habitantes, con los resultados que se presentan en la siguiente tabla:
Pases Noruegos Suecos Irlandeses Alemanes Italianos
frecuencia 399 193 63 82 13
a). Cul es la hiptesis nula e hiptesis alternativa?c). Cul es la conclusin?. Utilice = 0,01.
Ejercicio:
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Debido a la inflacin, el gobierno est considerando la imposicin de un controlde precios y salarios. Un economista del gobierno, interesado en determinar siexiste una relacin entre el empleo y la actitud hacia este control, rene lossiguientes datos. Los datos muestran, para cada tipo de empleo, el nmero deindividuos en la muestra que estn a favoro contrade los controles.
a). Cul es la hiptesis nula?
b). Cul es la hiptesis alterna?
c). Cul es la conclusin?. Utilice = 0,03.
Ejercicio:
Actitud hacia el control de precios y salarios
A favor En contra
Obreros 90 60
Empresarios 100 150
Profesionales 110 90
EJERCICIO
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EJERCICIO
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La Prueba Ude Mann-Whitney
Es la contraparte de la prueba t para muestras
independientes. Prueba la hiptesis de que la mediana
de las dos poblaciones son iguales contra que no lo
son.
Si Ho es cierta, el promedio de los rangos para los dos
grupos muestrales debe ser aproximadamente igual.
Se utiliza para saber si dos muestrasindependientes provienen de poblaciones quedifieren en su ubicacin (tendencia central).
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La Prueba Ude Mann-Whitney
Ordenacinpor rango
Ordenar por rangos todos los elementos quedeben probarse, en orden creciente
Smbolos
n1= nmero de elementos de la muestra 1
n2= nmero de elementos de la muestra 2
R1= suma de los rangos de los elementos dela muestra 1
R2 = suma de los rangos de los elementos dela muestra 2
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La Prueba Ude Mann-Whitney
Estadstico U U= n1 n2 +n1 (n1+ 1) R12
Una medida de la diferencia entre las observacionesordenadas por rangos de las dos muestras
Media delEstadstico
U= n1 n22
u= n1 n2 (n1+ n2 + 1)12
Clculo delerror estndar
www.leondariobello.com
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Prueba de Suma de Rangos:La Prueba Ude Mann-Whitney
Formulacinde la hiptesis
Ho: Me1 = Me2 Hiptesis nula, no haydiferencia entre las dos poblaciones, por lo
cual tienen la misma mediana
H1: Me1 Me2 Hiptesis alternativa, hay unadiferencia entre las dos poblaciones, por locual tienen medianas diferentes
= nivel de significanciaLmites de laregin deaceptacin
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Prueba de Suma de Rangos:La Prueba Ude Mann-Whitney
Eleccin de laDistribucin
Interpretacin
de resultados
Si el estadstico muestral U cae dentro de laregin de aceptacin es valida la hiptesis nula
de que no hay diferencia y concluiremos quelas distribuciones son iguales
En caso de que algn n sea mayor de 20, sepuede aproximar con la distribucin normal.
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La Prueba de Wilcoxon con signo
Una prueba que utiliza direccin y magnitud, propuestaen 1945 por Frank Wilcoxon, se llama ahoracomnmente prueba de rango con signo deWilcoxon.
Esta prueba se aplica en el caso de una distribucincontinua simtrica.
Utiliza las magnitudes de las diferencias entre lasmediciones y un parmetro de ubicacin segn unahiptesis, en lugar de los signos de las diferenciaswww.leondariobello.com
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Suposiciones
La muestra es aleatoria
La variable es continua
La poblacin se distribuye simtricamente
alrededor de su media
La escala de medicin es al menos de
intervalo
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Hiptesis
a) Ho: = o
Ha: o
b) Ho: o
Ha: < o
b) Ho: o
Ha: > o
Estas son las hiptesis que pueden probarse paraalguna media de poblacin no conocida o
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Pasos para la prueba de Wilcoxon consigno
1. Restar la media hipottica ode cadaobservacin
Di= xi- o
Se elimina cualquier diferencia que de
cmo resultado cero.Tener en cuenta que se reduce el tamao
de n.
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2. Ordenar las diferencias de menor amayor sin importar el signo (slo elvalor absoluto).
Si dos o ms son iguales asignar a cadavalor la media de la posicin que ocupa
en la lista.
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3. Asignar: A las diferencias positivas se les asigna
como W+
A las diferencias negativas se lesasigna como W-
Sumar cada grupo
El menor valor de los dos anteriores seasigna como W.
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4. Comparar los valores obtenidos con losvalores crticos en la tabla (0.05, 0.025 y0.01)
N es el nmero de diferencias halladas, sintomar en cuenta las que son iguales a
cero.
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Ejemplo
En un experimento para medir la efectividad deun medicamento para dormir, basndose enlas horas de sueo de los pacientes, unsiclogo seleccion aleatoriamente 10pacientes a los cuales se les suministr elmedicamento y luego un placebo.
La siguiente tabla muestra las horas de sueode cada paciente con la sustanciasuministrada, as como las diferencias,rangos y conclusin.
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Paciente
Horas de sueo
Diferencia
Rango
(Ignorando el signo)Droga Placebo
1 6.1 5.2 0.9 3.5*2 7.0 7.9 -0.9 3.5*
3 8.2 3.9 4.3 10
4 7.6 4.7 2.9 7
5 6.5 5.3 1.2 56 8.4 5.4 3.0 8
7 6.9 4.2 2.7 6
8 6.7 6.1 0.6 2
9 7.4 3.8 3.6 910 5.8 6.3 -0.5 1
W+ = 50.5 W- = 4.5 W = 4.5
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Ho: la efectividad de la droga es mayor que la delplacebo
Ha: la efectividad de la droga es menor a la delplacebo.
* Los rangos 3ro y 4to han sido promediados
W+ = 50.5 W- = 4.5 W = 4.5
Como W = 4.5, con una significacin de 0.025 sepuede afirmar que el medicamento s es efectivo.
V l ti d T l b d l d d l i l d d Wil
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N
Nivel de significacin para prueba de una cola
.025 .01 .005
Nivel de significacin para prueba de dos colas.05 .02 .01
6 0 --------- --------
7 2 0 --------
8 4 2 0
9 6 3 210 8 5 3
11 11 7 5
12 14 10 7
13 17 13 10
14 21 16 13
15 25 20 16
16 30 24 20
17 35 28 23
18 40 33 28
19 46 38 32
20 52 43 38
Valores crticos de T en la prueba de rangos sealados de los pares igualados de Wilcoxon
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Utilizando Paquete Estadstico SPSS
Rangos
8a
6.31 50.50
2b
2.25 4.50
0c
10
Rangos
negativ os
Rangos
positivos
EmpatesTotal
horas de sueo con
el placebo - horas de
sueo con la droga
N Rangopromedio Suma derangos
horas de sueo con el placebo < horas de sueo con la drog aa.
horas de sueo con el placebo > horas de sueo con la drog ab.
horas de sueo con el placebo = horas de sueo con la drog ac.
Analizar Pruebas no paramtricas 2 muestras relacionadas
Utili d P t E t d ti
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Utilizando Paquete EstadsticoSPSS
Estadsticos de contrasteb
-2.346a
.019
Z
Asy mp. Sig. (2-tailed)
horas de sueo con el placebo- horas de sueo con la droga
Basado en los rangos positivosa.
Prueba de los rang os con signo de Wilcoxonb.
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Prueba de la Suma de Rangosde Wilcoxon
Para comparar dos grupos
Equivalente no paramtrico de la pruebaT.
Consiste de 3 pasos bsicos
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Paso 1
Asignar rangos ascendentemente para
cada grupo
Si se dan valores iguales promediar susrangos
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Paso 2
Sume los rangos en el grupo con el tamao
de muestra ms pequeo.
Si los dos grupos tienen el mismo tamao,se debe elegir uno.
W = suma de todos los rangos en el grupo
con el tamao de muestra ms pequeo.
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7/25/2019 Estadistica No Parametrica 1-2016
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Paso 3 Compare esta suma con el valor hallado en la
tabla de Wilcoxon. Hallar la fila correspondiente al tamao del grupo
con la muestra ms pequea (n). Si el valor de W es menor que el hallado en la
tabla, se rechaza la hiptesis nula, es decir, haydiferencias significativas.
Ho: No existen diferencias significativas entre
medias
Ha: Existen diferencias significativas entre medias
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Ejemplo
Se afirma que un estudiante universitario de ltimo aopuede aumentar su calificacin en el rea del campo deespecialidad del examen de registro de graduados en almenos 50 puntos si de antemano se le proporcionan
problemas de muestra. Para probar esta afirmacin, sedividen 20 estudiantes del ltimo ao en 10 pares demodo que cada par tenga casi el mismo promedio depuntos de calidad general en sus primeros aos en la
universidad. Los problemas y respuestas de muestra seproporcionan al azar a un miembro de cada par unasemana antes del examen. Se registran las siguientescalificaciones del examen:
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ParCon problemas de
muestraSin problemas de
muestradi did0 Rangos
1 531 509 22 -28 5
2 621 540 81 31 6
3 663 688 -25 -75 9
4 579 502 77 27 3.5
5 451 424 27 -23 2
6 660 683 -23 -73 8
7 591 568 23 -27 3.5
8 719 748 -29 -79 10
9 543 530 13 -37 7
10 575 524 51 1 1
Pruebe la hiptesis nula en el nivel de significancia de 0.05 de que losproblemas aumentan las calificaciones en 50 puntos contra la hiptesisalternativa de que el aumento es menor a 50 puntos.
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En este caso d0= 50, por lo que se procedea calcular las diferencias entre lasmuestras y luego restarles el valor de 50.
Para n=10 la tabla muestra que la regincrtica es w+ 11.
w+ = 6 + 3.5 + 1 = 10.5
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Decisin y Conclusin:Como 10.5 es menor que 11 se rechaza
Ho y se concluye con un = 0.05 que
los problemas de muestra, enpromedio, no aumentan lascalificaciones de registro de graduadosen 50 puntos.
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La Prueba DeWILCOXON Para MuestrasGrandes
Estadstico Z
Media delEstadstico
w= n(n+1)4
u= n(n+1)(2n +1)24
Clculo delerror estndar
24
)12)(1(
4
)1(
nnn
nnW
z
PRUEBA DE WILCOXON CON
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PRUEBA DE WILCOXON CONMUESTRAS GRANDES
Se debe de realizar una aproximacion a lanormal, con la media y la desviacion tipicadefinida por las siguientes expresiones:
= n(n + 1)
4
En la expresion anterior n es el tamao dela muestra.
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DESVIACION ESTANDAR
A partir de las expresiones anteriores
deducimos la expresion para Z curva normal
tipificada para esta prueba y seria asi:
24
)12)(1(
nnn
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Valor tipificado
24
)12)(1(4
)1(
nnn
nnW
z