UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN

Inferencia Estadística Prof. Alma Placencia

Conjunto de métodos y procedimientos, que basados en una o más muestras aleatorias de la población en estudio, nos permiten concluir o inferir para toda la población. Estudiaremos:

- Conceptos básicos. - Distribuciones muestrales. - Estimación puntual. Propiedades. - Estimación por intervalos. - Dócimas de Hipótesis para parámetros de una y dos poblaciones. - Dócimas de Bondad de Ajuste. - Regresión y Correlación lineal simple.

Conceptos Básicos:

- Población: Conjunto de elementos que tienen la característica estudiada. - Muestra: Subconjunto de la población o universo. - Parámetro: medida estadística de la población, denotada por θ (teta). Cuando θ se

puede calcular, es único, por lo cual se considera como constante. - Estadística: medida obtenida con los datos muestrales. Se utilizan para “estimar”

los parámetros cuando son desconocidos. Se denotan por teta sombrero, teta techo

( )θ̂ . Para cada muestra de la población, resulta un valor distinto para una misma estadística, por lo cual la estadística se considera una variable aleatoria y por lo tanto tiene su distribución de probabilidad, llamada “Distribución Muestral”.

Ejemplo:

Parámetro

Estadística

• Media poblacional N

XN

ii∑

== 1µ • Media Muestral n

X

X

n

ii∑

== 1

• Tamaño Población = N • Tamaño Muestra = n • Varianza Poblacional

( )

N

XN

ii∑

=−

= 1

2

2µ

σ

• Varianza Muestral

( ) ( )11

1

221

1

2

2

−

−=

−

−=

∑∑==

n

XnX

n

XX

s

n

i

n

ii

• Proporcional Poblacional N

XP = • Proporción Muestral

n

Xp =ˆ

- Teorema Fundamental en Inferencia, es el Teorema del Límite Central (T.L.C.) Teor: Sea (X1, X2,…,Xn) una m.a. (n) de una población X, con E[X] = µ y V(X) = σ2.

Para n suficientemente grande, se cumple que la media muestral

nNX

2

;~σµ ,

estandarizado resulta: )1;0(~ Nn

X

σµ−

Distribución Muestral de X

Distribuciones Muestrales

1) Sea (X1, X2,…,Xn) una m.a. (n) de ( )2;~ σµNX , para n suficientemente grande,

entonces por el T.L.C., la media muestral )1;0(~ Nn

X

σµ−

Distribución Muestral

de X cuando σ2 es conocida. * Cuando σ2 es desconocida es estima con la varianza muestral s

2, resultando

12~ −

=−

ntnss

X µ t de Student con (n – 1) g.l. Distribución Muestral de X , cuando

σ2 es desconocida.

2) Sea (X1, X2,…,Xn) una m.a. (n) de X ~ B (1 ; P), con E(X) = P y V(X) = P(1 – P), entonces por T.L.C., la proporción muestral

( )⇒

−n

PPPNp

1;~ˆ ( )

( )1;0~1

ˆN

n

PP

Pp

−−

Distribución muestral de p̂ .

3) Sea (X1, X2,…,Xn) una m.a. (n) de X ~ N (µ ; σ2), entonces, sabemos que:

( ) 22

2

~ niX χ

σµ∑ −

, pero cuando µ es desconocida se estima con la media muestral X ,

resultando que:

( )=

−∑=

21

2

σ

n

ii XX ( ) 2

12

2

~1

−−

n

sn χσ

, distribución Muestral de la varianza

muestral s2. Nota:

También se deben estudiar distribuciones muestrales de: ( ) ( ) 22

212121 /;ˆˆ; ssppXX −− .