ÍNDICE GENERAL

1. Presentación 2

2. Datosbásicos. 3

3. Temarioybibliografía. 53.1. Temario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2. Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. TemariodeprácticasconMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Temariodeactividadesacadémicamentedirigidas. . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Objetivos. 11

5. Metodología,horarioycronología. 185.1. Horarioymetodología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Cronología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Evaluación. 24

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PRESENTACIÓN

Estaguíadidácticapretende,porunaparte,contenerlacantidadsuficientedeinforma-ciónsobrelaasignaturaCálculoparaqueelalumnadopuedaconocer,antesdecomenzarelcurso,lamayoríadelosaspectosbásicosdelaasignaturacomopuedenserelprogramadelaasignatura,losobjetivosaalcanzar,lasincronizaciónyorganizacióndelasclases,losmétodosdeevaluaciónetc.Porotrapartepretendeserunaguíadiariadeltrabajoquehayquehaceralolargodelcurso.

LaasignaturaCálculotieneunaimportanciamúltipledentrodelatitulacióndeInge-nierodetelecomunicación;porunaparteesunaasignaturainstrumentalqueproporcionaherramientasal restodeasignaturasde la titulaciónparadesarrollarconéxitosus res-pectivosprogramas.Porotraparteproporcionaconocimientosqueseránútilesparaeldesarrolloprofesionaldelosfuturosingenierosy,porúltimo,introduceciertasnocionesderigor,ordenypulcritud,quesoninherentesallenguajeymétodosmatemáticosyque,sinduda,resultaránútileseneldesarrollointegraldelosalumnos.

Paracursarestaasignaturanoesnecesarioningúnrequisitoespecial,sibienescon-venientehabercursadomatemáticasenbachillerato.Losalumnosquenohayancursadomatemáticasenbachilleratoencontraránunadificultadañadida,yaqueenclasesepresu-poneunnivelbásicoqueeselquecorrespondealnivelmediodeunalumnodebachille-ratoquehacursadomatemáticas.Portantolosalumnosquenohancursadomatemáticasenbachilleratodeberán“ponerselaspilas”paraalcanzaresenivelcuantoantes.

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DATOS BÁSICOS.

Datosbásicosdelaasignatura.

Nombre: Cálculo.

Titulación: Ingenierodetelecomunicación.

Curso: Primero.

Tipo: ObligatoriadeUniversidad.

Duración: Anual.

Descriptores: Cálculodiferencialeintegraldefuncionesdeunayvariasvariables.Ecuacionesdiferenciales.Aplicacioneseningeniería.Introducciónalanálisisvec-torial.

CréditosLRU: 12(9teóricosy3prácticos).

CréditosECTS: 9.6(7.2teóricosy2.4prácticos).

Datosbásicosdelprofesor.

Nombre: JerónimoAlaminosPratsyJoséExtremeraLizana.

Departamento: Análisismatemático.

Centro: FacultaddeCiencias.

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Ubicación: JerónimoAlaminos:Despacho16,Dpto.Análisismatemático,FacultaddeCiencias;Despacho17,terceraplantaETSIIT.

JoséExtremera:Despacho3,Dpto.Análisismatemático,FacultaddeCiencias;Des-pacho17,terceraplantaETSIIT.

Teléfono: JéronimoAlaminos:958246308.JoséExtremera:958243277.

e-mail: JéronimoAlaminos::alaminos@ugr.es

JoséExtremera:jlizana@ugr.es

Horariodetutorías: JerónimoAlaminos:Lunes,de10a11horas(Fac.deCiencias);Martes,de10a11(Fac.deCiencias);Miércoles,de9a11yde17a18(ETSIIT);Jueves,de10a11(Fac.deCiencias)

JoséExtremera:Lunes,de17a19horas(Fac.deCiencias);Miércoles,de8a9horas(ETSIIT) yde17a20horas(Fac.deCiencias).

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TEMARIO Y BIBLIOGRAFÍA.

3.1. Temario.

Eltemariovienedeterminadoporlosdescriptoresdelaasignatura.Estádivididoentrestemasquecontienenvariaslecciones.

Tema1:CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN FUNCIONES DE UNA VARIA-BLE.REPASO Y AMPLIACIÓN.

• 1.1:Conceptosgenerales.

◦ 1.1.1:Larectarealyelplanocomplejo.Sucesiones.◦ 1.1.2:Continuidadyderivabilidaddefuncionesdevariablereal.

• 1.2:Series.

◦ 1.2.1:Seriesnuméricasyseriesdepotenciasrealesycomplejas.◦ 1.2.2:FórmuladeTaylor.Desarrolloenseriedepotenciasdelasfuncioneselementales.

• 1.3:Integración.

◦ 1.3.1:Áreaeintegral.◦ 1.3.2:Cálculodeprimitivas.◦ 1.3.3:Aplicaciones:cálculodeáreasplanas,longitudesdecurvas,volú-menesysuperficieslateralesdesólidosderevolución.

Tema2:CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN FUNCIONES DE VARIAS VA-RIABLES.

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• 2.1:Planoyespacioeuclídeos.

◦ 2.1.1:Productoescalarymódulo.Distanciaeuclídea.◦ 2.1.2:Funcionesdevariasvariables:límitesycontinuidad.

• 2.2:Camposescalaresyvectoriales.

◦ 2.2.1:Derivadasparcialesydireccionales.Vectorgradienteymatrizjaco-biana.Álgebradederivadas.

◦ 2.2.2:Derivadasdeordensuperior.Matrizhessiana.◦ 2.2.3:Derivaciónimplícitaeinversa.

• 2.3:Optimizacióndecamposescalares.

◦ 2.3.1:Extremosrelativos.◦ 2.3.2:Extremoscondicionados:multiplicadoresdeLagrange.◦ 2.3.3:Extremosabsolutos.

• 2.4:Integraciónmúltiple.

◦ 2.4.1:Integralesdoblesytriples.◦ 2.4.2:Cambiodevariable:integraciónencoordenadaspolares,cilíndricasyesféricas.

◦ 2.4.3:Aplicaciones:áreas,volúmenes,masas,centrosdemasas,momen-tosdeinercia.

Tema3:ECUACIONES DIFERENCIALES.

• 3.1:Métodoselementalesdeintegración.

◦ 3.1.1:Ejemplosdeecuacionesdiferencialesordinarias.Métodosaproxi-madosdesolución:IsoclinasypoligonalesdeEuler.

◦ 3.1.2:Ecuacionesconvariables separadas,ecuacionesexactas, factoresintegrantes.

• 3.2:Ecuacionesdiferencialeslineales.

◦ 3.2.1:Ecuacionesdiferencialeslinealesdeorden 1.◦ 3.2.2:Ecuacionesdiferencialeslinealesdeordensuperior.

3.2. Bibliografía.

Lasiguientebibliografíaesorientativa.Hayquehaceralgunasprecisionesalrespecto.

Nohay«unlibrodetexto»oficialdelaasignatura.Encadaunodeloslibrosquevamosaenumerarhaycapítulosquepuedenseraprovechadasparadistintaspartesdelaasignaturaoquecontienenejerciciosoproblemasquesonsimilaresalosqueharemosenclase.Encualquiercasonoesnecesariocomprarseningúnlibro.

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Labibliografíaesparaconsultar.Loslibrosqueaparecenenellaestánenlabiblio-teca(lamayoríatantoenlabibliotecadelafacultaddecienciascomoenladelaETSIIT) ysepuedenretirar.

Lalistadelibrosqueaparecenenlabibliografíanoesexhaustiva.Altratarsenuestraasignaturadeuncálculogeneralhaymuchosmáslibros,detítulossimilares,quepuedenserutilizadosparaconsultar.Bastaconecharleunvistazoalíndicedellibroparaversinospuedeserdeutilidad.

Aunquelosprogramasdebachilleratosonlosmismosentodosloscentros,esposi-blequealgunosalumnoshayanestudiadomenosprofundamentequeotrosciertostemas.Enlamayoríadeloslibrosdelabibliografíasepuedenconsultartemasdebachillerato.Sialgúnalumnotieneproblemasespecíficosconalgúntemaenparti-cular,sólotienequeconsultarconelprofesorparaqueleorienteenquélibropuedeencontrarinformaciónsobreeltemaconcreto.

Encadaunode los librosharemosunabrevedescripcióndelcontenidoyde laadecuaciónanuestrocurso.

1. AYRES,F., Cálculodiferencialeintegral. McGraw-Hill,1990.

Enestelibroestárecogidobásicamentetodoeltemariodelcurso.Encadalecciónsehaceunabreveintroducciónteóricayhayejerciciosresueltosyotrossuplemen-tarios.Alfinaldellibrosedanlassolucionesdelosejercicioscomplementarios.Elnivelelbásicoypuedeservira losalumnosquenecesitenapoyoenalgún temaconcreto.

2. BRADLEY,G.L., SMITH,K.J., Cálculode una variable.Volumen1. Prentice-Hall,1998.

3. BRADLEY,G.L.,SMITH,K.J., Cálculodevariasvariables.Volumen2. Prentice-Hall,1998.

Tantoeldedicadoaunavariablecomoavariasvariablessiguenelmismoesque-ma.Losteoremasestánpuestosalfinaldellibro,conalgunasdemostraciones.Tieneejemplosyejerciciospropuestosdelosquesedalasoluciónalfinaldellibro.Tam-biéntienereseñashistóricasdematemáticosilustres.TambiénutilizaelprogramaMathlabdandoinstruccionessobresuuso.Latemáticadelosdosvolúmeneseslaqueseindicaeneltítulo.

4. GARCÍA-MAROTO,A., Ecuacionesdiferencialesordinarias.Problemasútiles. Gar-cíaMarotoEditores,2006.

Esmuybásicoperotieneloimprescindibleparaelpocotiempoquetenemosparadedicarlealasecuacionesdiferenciales.Ellibroconsistebásicamenteenproblemas.

5. STEWART,J., Cálculodiferencialeintegral. InternacionalThomsonEditores,1998.Prentice-Hall,1998.

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Paraproblemasdefuncionesdeunavariableestámuybien.Muyextenso,conmu-chosejercicios,lamitaddeellosconsolucionesalfinaldellibroyconapéndicesinteresantescomo,porejemplo,eldedicadoanúmeroscomplejos.

6. THOMAS,G.B.,FINNEY,R.L., Cálculo(unavariable). AddisonWesleyLongman,1998.

Aligualqueelanteriortambiénesmuyextensoeinclusotienealgunapartededicadaaecuacionesdiferenciales.Tambiénaproximadamente lamitadde los ejerciciostienenlassolucionesalfinaldellibro.

7. THOMAS,G.B.,FINNEY,R.L., Cálculocongeometríaanalítica(2volúmenes). Ad-disonWesleyIberoamericana,1987.

Sondosvolúmenesquecubrenelprogramacompletodelaasignatura,inclusotie-neapéndicesdedicadosaalgunosapartadosdeálgebralinealquecomplementanbienloscontenidos.Aligualquelosanteriorestieneunagrancantidaddeejemplosresueltosyejerciciosdelosquesedanlassolucionesalfinaldellibro.

3.3. TemariodeprácticasconMaxima

Lasprácticasdeordenadorseorganizanen15sesionessemanalesduranteelsegundocuatrimestre.

Sesión1:Introducciónalmanejodelprograma.

Sesión2:Introducciónalmanejodelprograma(segundaparte).

Sesión3:Capacidadgráficadelprograma.Representacióngráficadefuncionesdeunavariable.

Sesión4:Representacióndecurvasdefinidasporcoordenadaspolaresyparamétri-cas.Animaciones.

Sesión5:Resolucióndeecuaciones.Métodosestándar.

Sesión6:Métodosconstructivosparalasolucióndeecuaciones.

Sesión7:Sucesiones.Límitesdesucesionesydefunciones.Continuidadyderiva-bilidad.

Sesión8:Rectastangentesysecantes.Extremosrelativos.

Sesión9:PolinomiodeTaylor.Aproximación.

Sesión10:Integracióndefuncionesdeunavariable.

Sesión11:Representacióngráficadefuncionesdedosvariables.Curvasenelespa-cio.

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Sesión12:Diferenciabilidad.Derivadasparcialesyrepresentacióndelplanotan-gente.

Sesión13:Extremosrelativosycondicionadosdefuncionesdevariasvariables.

Sesión14:Integracióndefuncionesdevariasvariables.

Sesión15:Ecuacionesdiferencialesordinarias.

3.4. Temariodeactividadesacadémicamentedirigidas.

Elcursotambiéncomprendeunaseriedeactividadesacadémicamentedirigidas,com-puestasporeldesarrollodedistintostemasque,obiensedebieranhaberestudiadoenbachillerato,peroahoralosestudiamosconmásdetalleyprofundidad,obiensontemasnuevosqueseestudianporprimeravez.Tambiénhaytemasdeotrasdisciplinasquesonnecesariosparaeldesarrollodelcurso.Estasactividadesestánligadastemporalmentealprogramadelaasignatura,comocomentaremosenlacronologíadelaasignatura.Enlacronologíalodenominamosseminario.

1. Diagonalizacióndematrices.

2. Progresionesaritméticasygeométricas.

3. Elnúmeroe.Algunoslímitesrelacionados.

4. Funcionesexponencialesylogarítmicas.

5. Funcionestrigonométricasehiperbólicas.

6. Cálculodederivadas.

7. AplicacionesprácticasdelpolinomiodeTaylor.

8. Cálculodediferenciales.

9. Formascuadráticas.

10. Métodosdeclasificacióndeformascuadráticas.

11. Cálculodeáreasylongitudesdecurvas.

12. Áreayvolumendecuerposderevolución.

13. SumasdeRiemannyseries.

14. Criteriosdecomparaciónparaintegralesimpropias.

15. MétododelaspoligonalesdeEuler.

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16. Factoresintegrantes.

17. Aplicacionesprácticasdelasecuacionesdiferenciales.

Paraeldesarrollodelosanteriorestemassepuedeutilizarlabibliografíapropiadelprogramadelaasignatura.

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OBJETIVOS.

LaasignaturaCálculoesunaasignaturaobligatoriadeuniversidadenelplandeestu-diosdelatitulación.Almismotiempoesunaasignaturaeminentementeinstrumental,esdecir,proporcionainstrumentos,técnicasyconocimientosquedebenserútilesalrestodelasasignaturasparaalcanzarlascompetenciaspropiasdeuningeniero.Estacaracterísticahacequeelconocimientodeestaasignatura,deunaformaindirecta,ayudeadesarrollarlamayoríadelascompetenciasdeltítulodeingenieroentelecomunicación.

Porotrapartelaasignaturaporsímismacontribuyeadesarrollarcompetenciasdelatitulación.Dentrodelascompetenciastransversales(libroblanco)estaasignaturacontri-buiríaadesarrollarlassiguientes.

Competenciasinstrumentales:

• Capacidaddeanálisisysíntesis.

• Capacidaddeorganizaciónyplanificación.

• Comunicaciónoralyescritaenlalenguanativa.

• Resolucióndeproblemas.

Competenciaspersonales:

• Trabajoenequipo.

• Habilidadesenlasrelacionesinterpersonales.

• Razonamientocrítico.

Competenciassistémicas:

• Aprendizajeautónomo.

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• Creatividad.

• Motivaciónporlacalidad.

Vamosadescribirtambiénlosobjetivosprincipalesquesedeseanobteneralolargodelcurso.Laenumeracióndeestosobjetivosvienerelacionadafundamentalmenteconeltemariodelaasignatura.Paralasactividadesacadémicamentedirigidas,losalumnosquepreparen los trabajos tienencomoobjetivogeneraldesarrollar lacapacidaddebuscarinformación,organizarlayexponeruntrabajo,apartedelosobjetivospropiosdecadaactividad.

Paralasprácticasconordenador,portratarsedeunaherramientapararesolverpro-blemasrelativosaltemariodelaasignaturaelúnicoobjetivoquepodríacomentarseesdesarrollarlacapacidaddetraducirlosdistintosproblemasqueestudiamosallenguajeinformáticoapropiadoparaquepuedan ser resueltos,ademásde familiarizarseconelprogramaMaxima.

Encualquiercaso,antesdeenumerarlosobjetivosquesepretendenalcanzar,temaportema,existenobjetivosgeneralesdetodalaasignaturaqueesconvenientefijar.

Esobjetivotrasversaldelaasignaturaintroduciralosalumnosenelmétodoyenellenguajematemáticoscombinandolaprácticaconlaexplicitacióndelmismo.Losalumnosdebenhabituarseasaberanalizar,comprenderyreproducirdemostracio-nesdealgunosteoremasimportantes,asícomoadiscutirconejemplosycontra-ejemploslafuncióndelashipótesisenlatesisyaidentificarerroresenrazonamien-tosincorrectos.

Profundizarenelconocimientoqueyasetienedelosnúmerosrealesylasfuncionesrealesdevariablereal,manejandoconsolturalasdistintasclasesdefuncionesqueintervienenenel cálculoy en lamodelizaciónde fenómenosy saberutilizar elcálculodiferencialeintegralenrelaciónconsuestudio.

Relacionarlosnúmeroscomplejosconlosreales,analizandolaspropiedadesquecompartenamboscuerposasícomolasdiferencias.

Identificarconceptoshastaahorapropiosdelanálisisunidimensional,comolade-rivacióneintegración,comocasosparticularesdeconceptosmultidimensionales.

Relacionarlaintuicióngeométricaconconceptosdelcálculodefuncionesdevariasvariables.

Relacionarlasecuacionesdiferencialesconlosconceptosdederivacióneintegra-ción.

Estosseríanlosobjetivosgeneralesquesepretendenalcanzarenelcurso.Enunnivelmásconcretopodemosanalizarlosanterioresobjetivostemaportema.Seríanlossiguientes:

Cálculodiferencialeintegralenfuncionesdeunavariable.

• Distinguirlosnúmerosnaturales,enteros,racionales,realesycomplejos.

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• Relacionarlaspropiedadesdelosnúmerosrealesconsuestructuradecuerpoordenado.

• Operarcondesigualdadesyvaloresabsolutos.

• Aplicarelprincipiode inducciónparaestudiarpropiedadesde losnúmerosnaturales.

• Relacionarlosconceptosdesucesiónacotada,convergenteymonótona,esta-bleciendolasdistintasimplicacionesentrelostresconceptos.

• Calcularellímitedeunasucesióndefinidaporrecurrencia.

• Calcularlímitesdesucesiones,aplicandoresultadosteóricos.

• Utilizarelálgebradelímitesdesucesionesparaestudiarelcomportamientodesucesionesdenúmerosreales.

• Conocerlarelaciónentreelcomportamientodeunasucesiónyelcomporta-mientodesusparciales.

• Conocerlaspropiedadesdecuerpodelosnúmeroscomplejos.

• Operarcorrectamenteconnúmeroscomplejosenformabinómica.

• Operarcorrectamenteconnúmeroscomplejosenformapolar.

• Distinguirelargumentoprincipaldelargumento.

• Distinguirellogaritmoprincipaldellogaritmo.

• Cambiarlosnúmeroscomplejosdeformapolarabinómicayviceversa.

• Interpretargeométricamentelasumayelproductodenúmeroscomplejos.

• Calcularlasraíces n-ésimasdeunnúmerocomplejo.

• Conocerlasfuncioneselementalescomplejasysuspropiedades.

• Interpretarelconceptodelímitedeunasucesiónenelambientedelasfuncio-nesrealesdevariablereal.

• Relacionarlaexistenciadelímitedeunafunciónenunpuntoconlaposibleexistenciadelímiteslaterales.

• Interpretarelconceptodedivergenciadeunafunciónenunpunto.

• Convertirlímitesen ∞ enlímitesen 0 yviceversa.

• Reconocerlasdistintasindeterminaciones.

• Discutirlacontinuidaddeunafunciónenunpunto.

• Discutirlacontinuidaddeunafunciónenunconjunto.

• Relacionar la continuidaddeuna funciónenunpuntoconel conceptodelímitedelafunciónenesepunto.

• Reconocerlosdistintostiposdediscontinuidades.

• Aplicar,paraconocerlaestructuradelaimagendeunafunción,elteoremadeBolzano,elteoremadelvalorintermedioyelteoremadecompacidad.

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• Conocerlaspropiedadesdelasfuncionescontinuaseinyectivas.

• Conocerlasfuncioneselementales;sucrecimiento,comportamientoencual-quierpunto,etc.

• Resolver indeterminaciones (biende sucesiones o de funciones) en las queintervenganfuncioneselementales.

• Resolverindeterminacionesmediantelaregladelnúmero e.

• Discernirsiunafunciónesderivableenunpunto.

• Interpretargeométricamenteelconceptodederivadadeuna funciónenunpunto.

• Calcularlasderivadasdelasfuncioneselementalesydelacomposición,suma,producto,etc.,detalesfunciones.

• Utilizarladerivabilidaddeunafunción,juntoconlaspropiedadesdeladeri-vabilidad(TeoremadeRolle,delvalormedio,etc.)paracalcularlaimagendedichafunción.

• UtilizarlasreglasdeL’Hôpitalparaelcálculodelímites.

• UtilizarlasreglasdeL’Hôpitalparaestudiarladerivabilidaddeunafunciónenunpunto.

• ConocerelpolinomiodeTaylordeunafunciónenunpuntoyaplicardichopolinomioparaestimarelvalordelafunciónenunpunto.

• UtilizarelpolinomiodeTaylorparadiscernir siuna funciónalcanzaenunpuntocríticoalgúntipodeextremorelativoyquéclasedeextremoes.

• Utilizarlosresultadosconocidosreferidosacrecimientoyextremosrelativosdeuna función, juntocon losdeconcavidadyconvexidadparaestudiar lagráficadedichafunción.

• Distinguirenunaseriedenúmerosrealeseltérminogeneraldelaseriedelasucesióndesumasparciales.

• Distinguir laconvergenciadeunaseriede laconvergenciaabsolutayde laconvergenciaincondicional.Conocerlasimplicacionesentrelostresconcep-tos.

• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodecomparación.

• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodelaraíz.

• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodelcociente.

• DecidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodeRaabe.

• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodecondensación.

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• DecidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodeLeibniz.

• Calcularlasumadeunaseriegeométrica.

• Calcularlasumadeunaserietelescópica.

• Calcularlasumadeunaseriehipergeométrica.

• Distinguirenunaseriedepotenciaslosdistintoselementos:centrodelaserie,eltérminogeneralyelradiodeconvergencia.

• Calcularelradiodeconvergenciadeunaseriedepotenciasutilizandoelcri-teriodelaraízyeldelcociente.

• Desarrollarenseriedepotenciaslafunciónbinomial.

• Desarrollarenseriedepotenciaslasfuncionesrelacionadasconlasfuncioneselementales.

• ConocersomeramentelosfundamentosdelaintegraldeRiemann.

• Aplicarlaspropiedadesdelaintegralparadecidirsiunafunciónesintegrable.

• Analizarlaspropiedadesdeunafuncióndefinidamedianteunaintegralinde-finida:teoremafundamentaldelcálculo.

• CalcularintegralesmediantelaregladeBarrow.

• Decidirsiunafunciónesimpropiamenteintegrableycalcularsuintegralim-propiacuandolosea.

• Calcularintegralesmedianteelcambiodevariable.

• Calcularintegralesmediantelaintegraciónporpartes.

• Decidirelmétodoapropiadoyaplicarloparacalcularintegralesdedistintostiposdefuncionesatendiendoalaclasedefunciónenelintegrando.

• Calcularmedianteintegracióneláreadeunconjunto.

• Calcularmedianteintegraciónlalongituddeunacurva.

• Calcularmedianteintegraciónelvolumendeunsólidoderevolución.

• Calcularmedianteintegraciónlasuperficielateraldeunsólidoderevolución.

Cálculodiferencialeintegralenfuncionesdevariasvariablesreales.

• Conocerloselementosdelatopologíade Rn yrelacionarlaconlatopologíade R.

• Calcularlanormadeunvectoryelproductoescalardedosvectores.

• Identificarconjuntosabiertos,cerrados,compactos,etc.de Rn.

• Descomponerunafunciónde Rn en Rm ensusfuncionescomponentes.

• ConocerelconceptodelímitedeunafuncióndeRn enRm eidentificarcuándohayunaindeterminación.

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• Conocerelconceptodelímitedeunafunciónde Rn en R.• Relacionarlosdosconceptosanteriores.

• Estudiarsiunafuncióndevariasvariablesrealestienelímiteenunpuntoysiescontinuaendichopunto.

• Calcularderivadasdireccionalesdeunafunciónrealdevariasvariablesreales.

• Calcularderivadasparcialesdeunafunciónrealdevariasvariablesreales.

• Construirladiferencialdeunafunciónrealdevariasvariablesreales.

• Construirladiferencialdeunafunciónvectorialdevariasvariablesreales.

• Asociar lamatriz jacobianadeunafunciónenunpuntoasudiferencialendichopunto.

• Interpretargeométricamenteelconceptodefunción f : R2 → R difenciableenunpunto:planotangentealagráficadelafunciónendichopunto.

• Interpretargeométricamenteelconceptodegradientedeunafunción f : R2 →R.

• Aplicarelteoremadelafunciónimplícitaparadecidircuandounaecuaciónen R2 defineimplícitamenteaunavariablecomofuncióndelaotra.

• Aplicarelteoremadelafunciónimplícitaparadecidircuandom ecuacionesenRn+m definenimplícitamentea m variablescomofuncionesdelas n variablesrestantes.

• Aplicarelteoremadelafunciónimplícitaparacalcularderivadasparcialesdefuncionesdefinidasimplícitamente.

• Calcularelplanotangentealagráficadeunafunción f : R2 → R definidaimplícitamente.

• Interpretargeométricamenteelconceptodegradientedeunafunción f : R2 →R cuandoéstaestádefinidaimplícitamente.

• Calcularlamatrizhessianadeunafunciónenunpunto.

• Utilizarlamatrizhessianadeunafunciónenunpuntocríticoparaelcálculode losextremosrelativosde la funciónendichopunto.Relacionarloconelcasounidimensional.

• UtilizarelmétododelosmultiplicadoresdeLagrangeparacalcularlosextre-moscondicionadosdeunafunción.

• Decidircuandounconjuntode Rn escompacto.Aplicarloparaelestudiodeproblemasdeextremosabsolutos.

• Conocersomeramente los fundamentosdela integraldeRiemannpara fun-cionesde Rn en R:sumassuperioreseinferiores,integralsuperioreinferior,etc.

• Calcularintegralesdefuncionescontinuasmedianteintegracióniterada.

• Decidirsiunconjuntode Rn esunconjuntomedible-Jordan.

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• CalcularintegralesdefuncionesaplicandoelmétododeFubinienconjuntosmedibles-Jordan.

• Conocerloscambiosdevariableestándarparacalcularintegralesdefuncionesde R2 en R yfuncionesde R3 en R:cambioacoordenadaspolares,cilíndricasyesféricas.

• Aplicarelteoremadecambiodevariableparacalcularintegralesdefuncionesatendiendoalanaturalezadelintegrando.

• Aplicar la integraciónde funcionesdevariasvariablesparacalcularáreasyvolúmenesdeconjuntosdelplanoydelespacio,respectivamente.

• Aplicarlaintegracióndefuncionesdevariasvariablesparacalcularcentrosdegravedaddeconjuntosenelespacio.

• Aplicarlaintegracióndefuncionesdevariasvariablesparacalcularmomentosdeinercia.

Ecuacionesdiferenciales.

• Conocerelconceptodeecuacióndiferencialordinariaydeecuacióndiferen-cialenderivadasparciales.

• Distinguirlostiposdesolucionesdeunaecuacióndiferencial:lasoluciónge-neralylassolucionesparticulares.

• Distinguirunasoluciónexactadeunasoluciónexactadeunasoluciónapro-ximada.

• Identificaralgunostiposdeecuacionesdiferencialesordinarias:variablesse-paradas,homogéneas,exactas,lineales.

• Resolverecuacionesdiferencialesdelostiposenunciadosenelapartadoante-rior.

• Reducirecuacionesdiferencialesquenoseandeningunodelostiposanteriores(medianteuncambiodevariable)aalgunodeellos.

• Identificardistintosproblemasfísicos,geométricosymecánicoscomoproble-masdeecuacionesdiferenciales.

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METODOLOGÍA,HORARIO YCRONOLOGÍA.

5.1. Horarioymetodología.

Elhorariodelaasignaturaestáenlapáginawebdelatitulación.Enlineasgeneralesse tieneunacarga lectivade4horassemanalesduranteelprimercuatrimestrey3se-manalesduranteelsegundo,ademásdelasclasesdeprácticasdeordenador(15horas,enelsegundocuatrimestre),cuyohorariotambiénseencuentraenlapáginawebdelatitulación.

Enclase,encadalección,elprofesordaráunresumenteóricodelalecciónalavezqueestudiaráalgunosejemplosyejerciciosqueilustrenlateoría.Despuésserepartiráunarelacióndeejerciciosyproblemas(atravésdeltablóndedocenciadelauniversidadocolgándoloenlapáginawebdelosprofesores)quelosalumnostendránqueresolver.Unaveztranscurridountiempoprudentepararesolverlosenclasesecomentaránlasdificul-tadesquesehantenidoconlosejercicios.Elenfoquedelaasignaturaeseminentementepráctico,porloquelaintroducciónteóricanoesmásqueunsoporteparapoderrealizarlosproblemaspropuestos.

Adicionalmente,losalumnosquelodeseen,engruposdedosotres,prepararáncon-juntamenteconelprofesorlosapuntesdelostemasdelasactividadesacadémicamentedirigidas.A principiodecadatrimestreelprofesorpropondrálostemasadesarrollarylosrepartiráentrelosalumnosvoluntarios,indicándoleacadagrupodealumnoslasemanaenlaquetendránquetenerpreparadoel temaasignado.Dosotressemanasantesdelafechaprevistahabráreunionesentreelprofesorycadaunodelosgruposdealumnosparaobtenerlabibliografíanecesaria,organizareltrabajo,resolverlasdudasquesurjan

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yelaborarlostemasqueserepartiránalrestodeloscompañeros.Finalmenteenlafechaprevistalosalumnosexpondránsutrabajoenclaseresolviendolasdudasdelrestodeloscompañerosquepuedansurgir.Dependiendodeltemaelegidolasesiónpuededurarunahoradeclaseoalgomenos.Laideaesqueestosseminariosocupenaproximadamenteentreun 15 yun 20% delacargalectivatotaldelaasignatura.Lasituaciónidealesquetodoslosalumnosparticipenenalgúnseminarioperodadoelnúmerodealumnosma-triculadosesdifícilque todospuedanhacerlo.Además losgruposde trabajoparaqueseanoperativosnodeberíantenermásde 3 o 4 miembros.Sihubieramáscandidatosparaprepararlosseminariosquepuestosyaveríamoslasolución.

ParalasclasesdeprácticasconelprogramaMaximaelprofesorpondráeneltablóndedocencialasemanaanterioracadasesiónunguiónconeltrabajoquesevaarealizarenlaclase.Enclaseserepasaránlosapuntesdelguiónhaciendohincapiéenlosproblemasquepuedansurgireneldesarrollodeltema.Despuéssedejauntiempopararealizarejer-ciciossobreloexplicadoencadasesión.Debidoalacapacidaddelauladeinformática,esnecesariohacertresgruposdeprácticas.Comoquieraqueenotrasasignaturastambiénsedividenlasprácticasengruposmáspequeñosseprocuraráquelosgruposesténhechosdeformaqueningúnalumnotengaqueestarendosclasesalavezytambiénseprocu-rará,enlamedidadeloposible,quenoexistandemasiadoshuecosenelhorariodelosalumnos.Encualquiercaso,paralasconsideracionesanterioressetomacomomodelounalumnomatriculadoentodaslasasignaturasdeprimercursoysolamenteenestecurso.Losalumnosquenoesténenestasituaciónnotienengarantizadoquenolecoincidandistintasclases.Debenestudiar,antesdematricularse,silesesposibleasistiratodaslasasignaturasenlasquedeseanmatricularse.

Paralasclasesdeprácticasconordenadorlosalumnosesconvenientequellevenundispositivoparaalmacenarsu trabajo (disqueteopen-drive)obienpuedenmandarsutrabajocomoficheroadjuntoaunacuentadecorreoelectrónico.

5.2. Cronología

Elcursoseorganizaen30semanaslectivas,divididasendoscuatrimestres,cadaunodeelloscon15semanaslectivas.Ladistribucióndeltrabajoenlasdistintassemanaseslasiguiente:

Primercuatrimestre.

• Semana1:

◦ Presentación.Informaciónsobreelcurso.Númerosreales:propiedadesdelasuma,productoyorden.Conjuntosma-yoradosyminorados.Supremoseínfimos.Axiomadelsupremo.Propieda-desde N, Z y Q.Existenciadenúmerosirracionales.Inducción,problemasdeinducción.

• Semana2:

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◦ Topologíade R.Conjuntosabiertosycerrados,acumulación,frontera,etc.Relación1deejercicios.Númeroscomplejos:definición,móduloyargumento.Ejemplos.

• Semana3:

◦ FórmuladeDeMoivre.Raícesdeunnúmerocomplejo.Exponencialcom-pleja. Logaritmo complejo, exponenciales y potenciales. Relación2 deejercicios.

• Semana4:

◦ Relación2deejercicios.Sucesionesdenúmerosreales.Convergencia.Ál-gebradelímites.Monotoníayacotación.Sucesionesporrecurrencia.Su-cesionesdivergentes,álgebradelímitesconsucesionesdivergentes.Inde-terminaciones.CriteriodeStolz.Criteriodelaraíz.

◦ Seminario:Elnúmeroe.Algunoslímitesrelacionados.◦ Seminario:Progresionesaritméticasygeométricas.

• Semana5:

◦ Resolucióndelaindeterminación 1∞.Relación3deejercicios.Definición de límite funcional. Límites laterales. Continuidad. Relaciónconellímite.TeoremadeloscerosdeBolzano.Teoremadelvalorinter-medio.Teoremadecompacidad.

◦ Seminario:Funcionesexponencialesylogarítmicas.

• Semana6:

◦ Problemasdecontinuidad.Funcionescontinuaseinyectivas.Relación4deejercicios.

◦ Seminario:Funcionestrigonométricasehiperbólicas.

• Semana7:

◦ Derivadadeunafunciónenunpunto.Reglasdederivaciónyderivacióndelasfuncioneselementales.Extremosrelativos.TeoremadeRolle.Teoremadelvalormedio.Teoremadelvalormediogeneralizado.Consecuenciassobrecrecimiento.ReglasdeL’Hôpital.

◦ Seminario:Cálculodederivadas.

• Semana8:

◦ Derivadasdeordensuperior.Aplicaciónalcálculodeextremosrelativos.PolinomiodeTaylor.FórmuladeTaylor.Concavidadyconvexidad.

◦ Seminario:AplicacionesprácticasdelpolinomiodeTaylor.

• Semana9:

◦ Relación5deejercicios.Definiciónyejemplosdefuncionesintegrables.Propiedades.

• Semana10:

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◦ Aditividadde la integraciónrespectoal intervalo.Condicionessuficien-tesdeintegrabilidad.TeoremaFundamentaldelcálculo.RegladeBarrow.Integraciónporpartes.Cambiodevariable.

• Semana11:

◦ Cálculodeprimitivas:funcionestrigonométricas,racionaleseirracionales.◦ Seminario:Áreayvolumendecuerposderevolución.

• Semana12:

◦ Integraciónimpropia.Relación6deejercicios.◦ Seminario:Criteriosdecomparaciónparaintegralesimpropias.

• Semana13:

◦ Relación6deejercicios.Seriesdenúmerosreales.Definicionesyejemplos.Criteriosdeconvergen-ciadeseries:criteriodecomparación.

• Semana14:

◦ Criteriosdeconvergenciaparaseriesde términospositivos.CriteriosdeDirichlet,AbelyLeibniz.ConstantedeEuler-Mascheroni.Sumasdeseries.

◦ Seminario:SumasdeRiemannyseries.

• Semana15:

◦ Relación7deejercicios.

Periododeexámenes.

Segundocuatrimestre.

• Semana16:

◦ Seriesdepotencias.Radiodeconvergencia:definiciónycálculo.Funcio-nesdefinidasporseriesdepotencias.Derivacióneintegracióndeseriesdepotencias.SeriedeTaylor.

◦ Sesión1ªdeprácticasdeordenador.

• Semana17:

◦ Seriebinomial.Seriesdepotenciasdelasfuncioneselementales.Relación8deejercicios.

◦ Sesión2ªdeprácticasdeordenador.

• Semana18:

◦ Funcionesdevariasvariablesreales.Topologíade Rn.Funcionesvectoria-lesyescalares.Límitedeunafuncióndevariasvariables.Estrategiasparacalcularlímites.

◦ Sesión3ªdeprácticasdeordenador.

• Semana19:

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◦ Continuidaddefuncionesdevariasvariables.Teoremadecompacidad.Di-ferenciabilidaddefuncionesdevariasvariables.Diferenciabilidadyfun-cionescomponentes.Derivadasdireccionalesyparciales.Interpretacióngeométricadelasderivadasparcialesdeunafunciónrealdedosvariablesreales.Planotangente.

◦ Seminario:Cálculodediferenciales.◦ Sesión4ªdeprácticasdeordenador.

• Semana20:

◦ Vectorgradiente:definicióneinterpretacióngeométrica.Matrizjacobiana.Regladelacadena.

◦ Sesión5ªdeprácticasdeordenador.

• Semana21:

◦ Teoremadelafuncióninversa.Teoremadelafunciónimplícita.Planotan-genteaunasuperficiedefinidaimplícitamente.Vectorgradiente:interpre-tacióngeométrica.Derivadasdeordensuperior.TeoremadeSchwarz.Ma-trizhessiana.

◦ Seminario:Formascuadráticas.◦ Seminario:Métodosdeclasificacióndeformascuadráticas.◦ Sesión6ªdeprácticasdeordenador.

• Semana22:

◦ TeoremadeTaylor.Extremosrelativos:definiciónypropiedades.Extremoscondicionados.

◦ Seminario:Diagonalizacióndematrices.◦ Sesión7ªdeprácticasdeordenador.

• Semana23:

◦ Relación9deejercicios.◦ Sesión8ªdeprácticasdeordenador.

• Semana24:

◦ Relación9deejercicios.◦ Sesión9ªdeprácticasdeordenador.

• Semana25:

◦ Integraciónde funcionesdevariasvariables:definicionesyTeoremadeFubini.Conjuntosmedibles.Integraciónsobreconjuntosmedibles.

◦ Sesión10ªdeprácticasdeordenador.

• Semana26:

◦ Cambiosdevariable.Cambiosacoordenadaspolares,cilíndricasyesféri-cas.

◦ Sesión11ªdeprácticas:

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• Semana27:

◦ Relación10deejercicios.◦ Sesión12ªdeprácticasdeordenador.

• Semana28:

◦ Ecuacionesdiferenciales.Definiciones.Solucióngeneralysoluciónparti-cular.Clasificación.Ecuacionesenvariablesseparadas.Ecuacioneslinea-lesdeorden1.Ecuacionesexactasyreduciblesaexactas.Factoresinte-grantes.

◦ Seminario:MétododelaspoligonalesdeEuler.◦ Seminario:Factoresintegrantes.◦ Sesión13ªdeprácticasdeordenador.

• Semana29:

◦ Factoresintegrantes.Ecuacioneslinealesdeordensuperiora1.Métododevariacióndeconstantes.Sistemasdeecuacionesdiferencialeslineales.

◦ Seminario:Aplicacionesprácticasdelasecuacionesdiferenciales.◦ Sesión14ªdeprácticasdeordenador.

• Semana30:

◦ Relación11deejercicios.◦ Sesión15ªdeprácticasdeordenador.

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EVALUACIÓN.

Parasuperarlaasignaturahayunasrecomendacionesbásicasque,sibiennoesobliga-torioseguirlas,síqueesbastanteconveniente.Porejemplosepodríancitarlassiguientes:

Estudiartodoslosdías.Noesnecesariosaberselascosasdememoriatodoslosdíasperosíqueesnecesariorepasarcadadíaeltrabajohechoenclase,ordenarlo,pasaralimpiolosapuntesoproblemassobrelosquesehayatrabajadoenclase.Alfinaldecadalecciónesmuyconvenientehacerunresumenconlomásimportante,losresultadosytécnicasmásútiles,etc.Segúnalgunoscálculossonnecesarias1.5horasdetrabajoadicionaldelalumnoporcadahoradeclasepresencial.Siestosehacecadadíanorepresentaunesfuerzoímprobo,perosilodejamosparalasemana(oelmes)anterioralexamensimplementenohaytiempo.

Hacerlosejercicios.Laresolucióndeejerciciosesuntrabajoquerequiereunesfuer-zoquepuedeparecerfrustrante:sobretodoalcomienzodecadatemalosejercicios“seresisten”asalir.Eselmomentodeintentarlopordiversosmétodosyrecordarqueparaquelosejerciciosseanresueltosbienescasinecesariohaberseequivo-cadounascuantasveces,esdecircasinuncasalenalprimerintento.Poresodejareseprimerintentoparaeldíadelexamenesbastantepeligroso.Porotrapartelaresolucióndeejerciciosesuntrabajoquerequieredel trabajodelestudiante,nodelprofesor:nosirveparanadacopiarlasolucióndelejercicio.Elprofesorpuedeayudar,encaminar,corregir,etc.,perosobreuntrabajopreviodelalumno.

Este trabajononecesariamente tienequeser individual.Sepuedenhacergrupospararesolver losproblemas.Elcontactoconotrosalumnosa lahoradeabordarunproblemaesenriquecedor.Losproblemasnosiempresepuedenhacerdeunaúnicaformasinoque,aveces,hayvariasformasdehacerlo.Evaluarcuálesmás

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rentable,másdirectaomáscómodaesuntrabajodeequipo.Detodasformashayquetenerencuentaqueelobjetivonoestenerlosproblemasyejercicioshechos,sinohacerlos.Escaquearsedentrodeungruponoconsigueengañaranadie.

Hayquepreguntar todo lo queno se entienda.Al profesor se le puede, y se ledebe,preguntartodoloquenoseentiendaonoquedeabsolutamenteclaro.Bienenclase,al terminar laclase,enhorariode tutoríaoporcorreoelectrónico.Porsupuestosihayalgunadudayelalumnopuedeaclararlaporotrosmediospuedeutilizarlos(consultarlibros,compararconloscompañeros,etc,)peroencualquiercasoelprofesorestaráencantadoderesolver lasdudasque leplanteéis (cuandopueda,claro).

Enprácticasdeordenadorquizálofundamentalseapracticarmucho,porelloesconvenientequeademásdelassesionesdeprácticaspractiquéisporvuestracuenta.Enlaescuelaexistenaulasdelibreaccesoquepuedenserutilizadasporlosalum-nos.DichasaulasestánequipadasconordenadoresquetienenaccesoalprogramaMaxima;paracualquierdudaconsultarconelprofesor.

Hay que darse de alta en la cuenta de correo que la universidad ofrece a cadaalumno.Medianteelaccesoidentificadosepuedeaccederaltablóndedocenciadelaasignaturaqueeselmediomedianteelqueelprofesordarálasrelacionesdeejercicios,losapuntesdelosseminarios,lascalificacionesdelosexámenesytodalainformaciónrelativaalaasignaturaquecreaconveniente.Esportantomuycon-venienteconsultareltablóndedocenciaperiódicamente.Sihayalgunadudasobrecomodarsedealtaenelserviciodecorreosepuedeconsultarconelprofesor.

Veamosahoralaevaluacióndelaasignatura.Laevaluacióndecadaunadelaspartesenlasqueestádivididalaasignaturaesdistinta:

Prácticasdeordenador.

Duranteelcursoserealizaráncontrolesperiódicosenclase(3o4)sobreelapren-dizajedelasdistintastécnicasestudiadasenlassesionesdeprácticasconMaxima.Estassesionesseharánsinprevioavisopero,porsupuesto,losalumnospuedenuti-lizartodoelmaterialquetenganasualcance,yaseanapuntes,elmenúdeayuda,etc.Lanotaparasuperarestaspruebasesunamediamayoroigualque 4.Encasodequenolasuperen(odeseenobtenerunacalificaciónmayor)siemprepuedenoptaraunexamendeprácticasqueserealizaráeldíadelsegundoexamenparcial(verpáginawebdelatitulaciónparalasfechas).Sisuperanestaspruebasestacalificaciónrepresentaráel 15% delacalificaciónfinaldelaasignatura.

LaspruebasdeprácticasconordenadorconsistiránendistintosejerciciosqueelalumnodeberáresolverutilizandoelprogramaMaxima.Alutilizardichoprogramasegeneraráunficheroqueseráeldocumentoqueelprofesorcalificará.Laformadepresentardichoficheropuedeserdedosformas:obienmedianteundispositivodealmacenamientotipopen-drivequeseentregaalprofesoralfinaldelasesiónobien

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enviandoelficherocomoadjuntoalacuentadecorreoelectrónicodelprofesor.Evi-dentementeestasegundaopcióndeberáhacersedesdeelauladeordenadores.Esporelloconvenientequelosalumnostenganabiertaunacuentadecorreoelectró-nico.Launiversidadproveedecuentasdecorreoelectrónicoatodoslosalumnosy,preferentemente,estacuentaeslaquedebeserutilizadayaqueatravésdeltablóndedocenciaelprofesorpuedeconocerladirecciónelectrónicadedichacuenta,yestecanaldecomunicaciónseráampliamenteutilizadodurantetodoelcurso.

Paralosalumnosquetenganquepresentarsealaconvocatoriadeseptiembreselesharáunaprueba(usualmenteelmismodíaqueestáfijadoelexamendeseptiembre,dependiendodeladisponibilidaddelauladeordenadores),queotravezcontaráun15% delacalificaciónfinal.

Actividadesacadémicamentedirigidas/seminarios.

Losalumnosqueparticipenenlaelaboraciónyexposicióndeunodelostemasdelapartadodeactividadesacadémicamentedirigidasobtendránporestaactividadun15% delacalificaciónfinal(incluidalaconvocatoriadeseptiembresifueranece-sario)Estaactividadsecalificamediantelaobservaciónporpartedelprofesordeltrabajorealizadoenlapreparacióndeltema,delaclaridaddelaexposiciónydeldominiodeltemaalaclararlasdudasdeloscompañeros.Desafortunadamenteelelevadonúmerodealumnosmatriculadoshacequenotodoslosalumnospuedandesarrollarestetipodeactividades.Comosehacomentadoanteriormenteseasig-naránalprincipiodecadacuatrimestrelasactividadesalosgruposdealumnosquelasoliciten.

Clasesteórico-prácticas.

Duranteelcursoserealizarán3o4pruebasduranteelhorariolectivoqueversaránsobrelasrelacionesdeproblemasquesehayantrabajadoanteriormente.Estasprue-basserealizaránavisandoúnicamenteconunoodosdíasdeantelación.Conellosepretende,porunaparte,quelosalumnosseanconscientesdequeesnecesariollevareltrabajoaldía.Porotraparte,siseavisaraconmásantelación,losalumnospodríandedicarseenexclusivaaestudiarunaasignaturaconloquedescuidaríanelrestodelasasignaturasyestasituaciónseintentaevitarportodoslosmedios.Estaspruebasrepresentanun 10% delacalificaciónfinaldecadaalumno.

Ademásserealizarándosexámenesparcialesenlasfechasprevistasqueconten-drándistintoscuestiones, fundamentalmenteproblemas,de lamateriaestudiada.Tambiénesposiblequesepreguntenalgunosaspectosteóricos.Parasuperarlaasig-naturamedianteestemétodoesnecesarioobtenerencadaunodelosexámenesparcialesunacalificaciónmayoro igualacuatro.Sienalgunode losexámenesparcialeselalumnoobtuvieraunacalificaciónmenorque4entoncesdeberápre-sentarsealexamenfinaldelaasignatura,enelque,parasuperarlaasignaturadeberáobtenerunacalificaciónmayoroiguala4.Laestructuradelexamenfinalessimilaraladelosparciales.Lacalificaciónobtenidaporlamediadelosparcialesoenel

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examenfinalrepresentaun 60% delacalificaciónsielalumnohaparticipadoenunseminarioyun 75% sinohaparticipadoenninguna.

Parasuperarlaasignaturaesnecesarioquelasmediaponderadaanteriorseamayoroiguala5.

Nosuperaránlaasignatura(ademásdelosalumnosquenosepresentenalaspruebas,evidentemente)aquellosalumnosqueesténenunadelassiguientessituaciones:

Hanobtenidoenlamediadelasdistintaspruebasdeprácticasconordenador(yenlapruebafinal)unacalificaciónmenorque4.

Hanobtenidoenalgúnexamenparcialunacalificaciónmenorquecuatro(silohanhecho)yenelexamenfinaltambiénhanobtenidounacalificaciónmenorque4.

Sinoestánenloscasosanterioresperolamediaponderadasalepordebajode5.

Estosalumnosdeberánpresentarsea laconvocatoriadeseptiembredonde tendránunexamendeprácticasconordenador (15%delacalificación)yunexamenteórico-práctico(70 u 85% delacalificación,dependiendodesiparticiparonenalgúnseminario).Parasuperarlaasignaturaenestaconvocatoriaesnecesarioquelacalificacióndeambosexámenesseamayoroiguala4yquelamediaponderadaseamayoroiguala5.

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