Índice general

I Módulo 1

1 ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Modelos matemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Crecimiento de una colonia de moho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II Módulo 2

2 Funciones numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Determinación ambiental del sexo en las tortugas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. . . . . . . . . 242.3 Imagen de una función numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Gráfica de una función numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Prueba de la recta vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Funciones definidas por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Funciones crecientes y decrecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Valores máximos y valores mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

III Módulo 3

3 Funciones numéricas. Segunda parte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1 Funciones cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Funciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Funciones radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Composición de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IV Módulo 4

4 Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1 Estudio de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Rectas secantes y recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2

V Módulo 5

5 Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.1 La derivada como un límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 La función derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Máximos y mínimos locales en una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4 Existencia de la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

VI Módulo 6

6 Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.1 Cálculo directo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Regla de la suma, producto y cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

VII Módulo 7

7 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 Funciones continuas en un valor de x = a y en un intervalo . . . . . . . . . . . . . 1067.3 Algunas propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

VIII Módulo 8

8 Teorema del Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.1 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.2 Intervalos de crecimiento y decremiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.3 Derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.4 Estudio de valores máximos y mínimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

IX Módulo 9

9 Comportamientos asintóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.1 Asíntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Asíntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.3 Forma estándar de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

I

1 ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Modelos matemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Crecimiento de una colonia de moho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Módulo

1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

“Lo que observamos no es la naturaleza en si misma sino la naturalezaexpuesta a nuestros métodos de indagación.”

Werner Heisenberg (1901 - 1976)

1.1 Introducción.¿Qué es el cálculo diferencial e integral? ¿Por qué es útil conocer sus ideas? ¿Qué tipo

de problemas permite resolver? ¿Es imprescindible aprenderlo?

El cálculo infinitesimal, o simplemente cálculo como también suele llamarse, se desarrollóa lo largo de la historia de una manera no muy diferente ni especial al desarrollo de otras ramasde las matemáticas. No fue la mente de una única persona quien lo desarrolló ni se construyóen forma progresiva y ordenada; más bien, se desarrolló sobre la base de numerosos trabajos,ensayos y problemas estudiados a lo largo de mucho tiempo.

Figura 1.1: Euclides (izquierda). Ar-químedes (derecha).

Sus inicios pueden encontrarse en la Antigua Grecia con los trabajos de Euclides, Arquí-medes y Apolonio. Luego, durante la Edad Oscura y la expansión territorial europea fueronlos árabes e hindúes quienes resguardaron y enriquecieron esos conocimientos griegos; hastaque en el Renacimiento Occidental se renovó y profundizó la investigación científica comometodología para conocer e intentar explicar los fenónemos de la naturaleza. En esta etapa, lahistoria del cálculo infinitesimal puede describirse en tres grandes períodos: anticipación, eldesarrollo y la formalización (ver Figura 1.2).

Figura 1.2: Línea de tiempo correspondiente a los tres períodos que comprenden el desarrollo del cálculo.

Durante el período de anticipación fue cuando se comenzó a utilizar procesos infinitospara encontrar el valor de áreas y encontrar máximos y mínimos de cantidades. En la etapa dedesarrollo, Issac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 1716) reunieron todasestas técnicas bajo los conceptos de derivada e integral. La última etapa, ya a partir del sigloXIX, corresponde a la formalización del cálculo infinitesimal reformulando los desarrollos entérminos de límite de funciones numéricas y sucesiones. El reduccionismo es un término de

la sociología que se utiliza para de-nominar el proceso mediante el cualse quieren explicar los fenómenos deuna ciencia con los términos y pro-cedimientos de otra. Se dice que unaciencia es reducida a otra cienciamás general.

Las técnicas y procedimientos del cálculo tuvieron mucho éxito y resultaron muy útilespara explicar fenómenos concretos de otras ciencias como la física, ingeniería o la astronomía.Sus desarrollos estuvieron íntimamente ligados al desarrollo de las teorías sobre la mecánica,el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la acústica, la óptica, termodinámica, etc.

En las ciencias químicas o las ciencias biológicas la relación con el cálculo diferenciale integral se establace quizás de manera indirecta, o en términos reduccionistas, a travésde la física y los conocimientos generados en los estudios del movimiento de partículas, lacomposición de la materia, la termodinámica, la cinética de gases, transporte de energía, etc.Por ejemplo, es común que en los procesos biológicos aparezcan términos como: circulación

6 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

de la sangre, bombas, presión, conexiones nerviosas, redes neuronales, dinámica poblacional,etc. O en el caso de sistemas químicos, se considere la intervención de una gran cantidad demoléculas que, desde el punto de vista mecánico, se mueven y colisionan en forma aleatoria.

Otras áreas de la matemática apare-cen en las ciencias naturales apor-tando sus estructuras en otro tipode modelos, tales como los mode-los geométricos en la estructura delADN o en la conformación de na-notubos, la teoría de grafos en lasredes neuronales, la teoría de sime-trías en la estructura de los cristales,la estadística, etc.

Pero la relación más profunda entre la matemática y las ciencias naturales se establecea través de la noción de modelo. En particular, los modelos matemáticos basados en elcálculo diferencial e integral porque involucran el estudio de cómo cambian o cómo varíanlos sistemas. Se trata del estudio de funciones, sus cambios y cómo son esos cambios. Laposición de un automovil cambia en función del tiempo transcurrido, la cantidad de glucosaen la sangre cambia según aumenta la cantidad de insulina, la velocidad a la que se realiza unareacción química varía según la temperatura.

Presentaremos una versión resumida de la noción de modelo en la construcción delconocimiento científico. Los interesados en profundizar sobre el tema pueden consultar:

La noción de modelo en Ciencias. Olimpia Lombardi. Educación en Ciencias. Vol. II. Nro. 4.https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw

1.2 Modelos matemáticos.La relación entre la matemática y las ciencias naturales no se realiza de forma azarosa

o descontrolada; se enmarca en lo que se denomina modelos. Construimos modelos pararepresentar de alguna manera, alguna parte de la naturaleza, algún fenómeno o sistema realque es de nuestro interés.

C La palabra modelo tiene múltiples interpretaciones que van desde la moda, cosméticay belleza (las modelos de pasarela), la política (profundización del modelo, modelode desarrollo) hasta la connotación normativa como sinómimo de ejemplaridad (elniño modelo). También existe en las matemáticas una concepción formalista de modeloasociado a los sistemas axiomáticos. Por eso es necesario determinar con alguna precisióna qué llamaremos modelo matemático y de esa manera evitar confusiones.

Sistema Real

Modelo 1

Modelo 2

...

Modelo n

No existe el modelo del sistema.

Figura 1.3: Esquema orientativo so-bre diferentes modelos que puedenrepresentar a un mismo sistema.

Comenzamos diciendo que no existe el modelo de un sistema real dado, sino una multi-plicidad de modelos según los factores que se eligen, los postulados, las estructuras, etc. Laelección del modelo a utilizar depende del interés de cada caso particular (ver Figura 2.1).

Un sistema real es un sistema complejo, que involucra una gran cantidad de factores, porlo que se vuelve complicado – y a veces imposible - tener en cuenta todas y cada una de lasmúltiples características de sus elementos. Por este motivo se prefiere trabajar con sistemassimplificados e idealizados, abstrayendo y reduciendo el problema bajo estudio sólo a lasvariables que se consideran relevantes. Esta reducción es lo que en ciencias experimentales(biología, química, física, etc.) se denomina modelo.

Todos los modelos tienen un conjunto de definiciones y enunciados que le dan forma.Son las hipótesis teóricas que se hacen sobre el sistema. En muchas ocasiones (vale aclararque no siempre ocurre, ni necesariamente tiene que ser así), estos enunciados se escriben entérminos matemáticos. Cuando nos referimos amodelo matemático nos referimos entonces ala utilización de las herramientas matemáticas (funciones, geometría, etc.) y su propio lenguajematemático para modelar una situación correspondiente a un sistema real. Las herramientasmatemáticas podrían variar según las necesidades abarcando uno o varias disciplinas internas dela matemática como el cálculo infinitesimal, la matemática discreta, la teoría de probabilidades,la teoría de grafos, etc.

C En particular, en el marco del cálculo infinitesimal el planteo del modelo se realiza entérminos de las interacciones o las fuerzas que actuan en él y que producen cambios.El cálculo es, en esencia, el estudio del cambio, ¿cómo cambian las cosas? Y elconcepto matemático fundamental son las funciones como forma de relacionar dos omás cantidades numéricas.

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas. 7

A partir de las hipótesis y enunciados de partida es posible deducir consecuencias sobre elmodelo y el supuesto comportamiento del sistema. La utilidad y la validez del modelo propuestose testea mediante las consecuencias que sean observables en el sistema real, de maneraaproximada, dentro de un margen de error considerado aceptable. Los datos experimentales(datos empíricos) y las predicciones teóricas deben contrastarse para determinar el grado devalidez delmodelo construido y funcionar como sistema de retroalimentación. En algunos casosse requiere hacer algunos ajustes; pero en otros casos corresponde abandonar completamenteel modelo.

En la Figura 1.4 se representa en forma esquemática la situación descripta anteriormente.

Sistema real(físico, químico, biológico, etc.)

Modelo matemático.Ecuaciones, definiciones, fórmulas.Generalizaciones, simplificaciones.

Teoría, hipótesis, marco teórico.

Resultadosexperimentales

Prediccionesteóricas

Comparación.Confrontación.

Se construye.

Se aplica sobre el modelo.

Figura 1.4: Relación esquemática entre el modelo, el sistema real y la teoría.

Debemos distinguir los dos grandes niveles en la construcción de un modelo en las cienciasexperimentales:

El sistema real, yel modelo construido.

Entre ambos, sistema real y modelo, se establece una relación compleja. En general sucedeque hay elementos del sistema que se descartan y por lo tanto no aparecen en el modelo que seestá considerando. También puede darse el caso inverso, pueden existir elementos del modeloconstruido que no tienen su correspondiente en el sistema real.

1.3 Modelos empíricos y modelos deterministas.Lo detallado en la Sección 1.2 corresponde formalmente a lo que se denomina modelo

determinista y se refiere al que construye un sistema de causas y consecuencias entre losacontecimientos. De tal manera que conociendo los valores de ciertas magnitudes sería posibledeterminar los acontecimientos futuros del sistema en su todo completo. Claro está que, al serlos modelos una simplificación, la relación causa-efecto está supeditada a las simplificacionesque se realizaron previamente. También se debe considerar que los datos observables nuncason accesibles con 100% de precisión por lo que las comparaciones y deducciones se analizanen términos probabilísticos.

Existen otros modelos matemáticos, denominados modelos empíricos o modelos esta-dísticos, que se construyen sólo a través de los datos experimentales observados sin que sepretenda que los datos recolectados sigan una relación de causa-efecto asociada a alguna ley

8 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

propia del sistema. En estos modelos empíricos las predicciones se realizan al ajustar losdatos a algún modelo funcional que sea lo más sencillo posible sin dejar de ser representativode la situación. Las descripciones se realizan en términos estadísticos.

Para enfatizar lo anterior recomendamos visitar el sitio web:http://tylervigen.com/spurious-correlations

en el que se presentan estudios estadísticos que correlacionan variables tan dispares como:Número de personas que se caen dentro de la pileta vs. cantidad de películas en las queaparece Nicolas Cage.Consumo per cápita de queso vs. el número de personas que mueren enredados en lassábanas.Consumo per cápita de muzzarella vs. cantidad de doctorados en ingeniería civil.

Los modelos estadísticos no pretenden establecer leyes ni explicar el por qué de la situación.No está dentro de sus posibilidades metodológicas.

En ambos casos demodeladomatemático es común que incluso luego de ya haber logradoformular el sistema en estudio, la etapa de comparación experimental permite avanzar en elgrado de comprensión del sistema manipulando algunos parámetros numéricos del modelo ycontrastando con sistemas similares pero distintos.

1.4 Modelos lineales

Como primer acercamiento a los modelos matemáticos, desarrollaremos algunos modeloslineales, pues son muy sencillos de construir y comprender.

Los dos primeros casos corresponden a modelos empíricos con datos para realizar unaregresión lineal utilizando el método de mínimos cuadrados. Luego se propone un modelodeterminístico con una dinámica lineal entre variables.

1.4.1 Tablas de crecimiento para niñas y niños de la República Argentina

Las tablas de crecimiento son herramientas poderosas para evaluar la salud de los niñosy las niñas. Se utilizan en medicina clínica para estudiar cómo crecen o ganan peso los niños yniñas en comparación con sus pares y estudiar el impacto de determinadas acciones para eltratamiento de enfermedades crónicas. Muy especialmente se utilizan para estudiar la velocidadde crecimiento de los individuos.

Se elaboran estudiando la altura y el peso en diferentes edades agrupándolos y analizandoel porcentaje de niños y niñas debajo de cada una de las medidas que se desea estudiar. Porejemplo, sin que sea la manera más relevante, se estudia la “mediana” o “percentil 50” de laestatura como el valor con respecto al cual el 50 % de los individuos tiene una estatura menoro igual a este valor y el otro 50 % es más alto (mayor o igual). Para comprender su significadopodemos imaginar a todos los niños de 4 años parados y ordenados en una fila de acuerdo consus estaturas en orden creciente.

Figura 1.5: Población de niños de 4años desordenados.

1.4 Modelos lineales 9

Figura 1.6: Niños de 4 años en filaordenados de menor a mayor.

Caminando a lo largo de esta fila, llegamos a un punto entre dos niños donde la mitad estápor detrás y la otra mitad por delante de nosotros. La estatura correspondiente a este punto esel percentil 50.

Figura 1.7: Ubicación del percentil50 en la fila ordenada de niños.

Estudiaremos en esta actividad las tablas de crecimiento elaboradas por profesionalesdel Servicio de Crecimiento y Desarrollo del Hospital Nacional de Pediatría “Prof. Dr. JuanP. Garrahan” y publicadas en el año 2009. Hemos extraído una parte de la información delartículo referente a los datos numéricos del percentil 50 de la altura según la edad de niños yniñas de varias regiones del país.

En los siguientes links pueden acceder a los materiales completos:

Tablas de crecimiento. Hospital Nacional de Pediatría “Prof. Dr. juan P. Garrahan”.

http://www.garrahan.gov.ar/tablas-de-crecimiento/crecimiento-y-desarrollo/crecimiento-y-desarrollo-tablas-de-crecimiento

Referencias de peso y estatura desde el nacimiento hasta la madurez para niñas y niños argentinos.Incorporación de datos de la OMS de 0 a 2 años, recálculo de percentiles para obtención devalores LMS. Año 2009.

https://drive.google.com/open?id=1IXJhPJVpC6cWkd7MEev5ig-4fNevyD8n

Figura 1.8: Hospital Nacional de Pe-driatría “Prof. Dr. Juan P. Garrahan”.

El estudio contempla datos recopilados de:

250 niños y niñas de 2 a 3 años del Hospital de San Roque (en Gonnet). La Plata, BuenosAires.1800 niños y niñas de 4 a 12 años seleccionados/as de la ciudad de La Plata en formaaleatoria a partir de los domicilios, sorteados sobre una fotografía aérea de la ciudad ysus manzanas. Año 1970.1800 niños y niñas de Córdoba. Año 1970.15200 estudiantes secundarios de todo el país de 12 a 19 años de 1985.Todas las muestras estuvieron constituidas por niños sanos y niñas sanas.

En la Tabla 1.1 se presenta un extracto de los datos recopilados y que utilizaremos para laactividad.

10 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

Edad (en años) Altura de niños (en cm) Altura de niñas (en cm)

4 101,87 100,55 107,93 106,76 114,15 112,987 120,24 118,798 125,92 124,119 131,07 129,2210 135,76 134,5611 140,27 140,5612 145,35 147,0313 151,52 152,9114 158,39 157,1715 164,57 159,58

Tabla 1.1: Percentiles 50 de estaturas de niños y niñas. Extractos de los datos recopilados.

Por ejemplo, el percentil 50 para niñas de 7 años de edad es de 118,79 cm. Por lo tanto, el50 % de las niñas de 7 años analizadas tiene a lo sumo 118,79 cm de altura.

En las Figuras 1.9a y 1.9b se representan los datos consignados de la Tabla 1.1.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altu

ra(encm

)

(a) Niños.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altu

ra(encm

)

(b) Niñas.

Figura 1.9: Percentiles 50 de estaturas de niños y niñas correspondientes a la Tabla 1.1.

Actividad 1.1a) Podemos observar que los puntos dibujados en cada sistema de ejes coordenados

no están alineados. ¿Cómo puede justificarse? Elijan uno de los sexos y muestrenanalíticamente que los puntos no están alineados.

b) Si bien no hay una recta que pase por todos los puntos a la vez, ¿hay alguna rectaque se pueda utilizar como alternativa? O sea, los puntos están “casi” alineados. Loque nos interesa es estudiar rectas que se aproximen a los puntos lo más posible.¿Qué recta utilizarían? ¿Con qué criterio la eligen? Determinen la ecuación de larecta elegida.

�

1.4 Modelos lineales 11

El problema consiste en elegir una recta que represente al conjunto de datos de la mejormanera posible; para lo cual tendremos que decidir previamente, qué entendemos por “lamejor manera posible”. Considerando que las rectas están determinadas por la pendiente yla ordenada al origen buscamos una manera de elegir m (la pendiente) y b (la ordenada alorigen) para que la recta

y = mx + b

se aproxime lo mejor posible a los datos recopilados.

En este caso, hemos decidido tomar a

x como la variable en el eje horizontal asociada a la edad,y como la variable en el eje vertical asociada al percentil 50 de la altura.

Hay infinitas opciones posibles para elegir la recta. Tomaremos un ejemplo que nospermitirá definir una idea de error en la aproximación. Por ejemplo, en la Figura 1.10 semuestra la recta que pasa por los puntos correspondientes de niños de 9 y 10 años.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altu

ra(encm

)

Figura 1.10: Recta que pasa por los puntos con edades 9 y 10.

La recta no pasa por todos los puntos y parece no ser una buena elección. Es posible quesea una mala elección de la pendiente. Se observa, ver Figura 1.11 que hay puntos alejados dela recta; algunos de ellos se encuentran por debajo de la recta y otros se encuentran por arribade ella. Hay diferencia entre los valores observados (valores experimentales de la Tabla 1.1) ylos valores correspondientes a la recta.

El enfoque tradicional paramedir el error y resolver esta situación es elevar al cuadradocada diferencia entre el valor experimental y el valor del modelo y luego calcular el promedio.El valor que se obtiene se llama error cuadrático medio (ECM) y es el que tradicionalmentese utiliza para analizar qué tan buena es la recta elegida. El criterio que utilizaremos paradecidir si una recta es mejor que otra será estudiando los errores cuadráticos medios asociadosa cada una.

12 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altu

ra(encm

)

Diferencia positiva

Diferencia negativa

Figura 1.11: Diferencias entre los datos observados y la recta.

Actividad 1.2a) Calculen la ecuación de la recta anterior y el correspodiente ECM.b) Calculen el ECM de la recta elegida en la actividad 1.1.c) Recopilar los datos de los ECM de otros grupos de estudiantes del aula que

seguramente eligieron una recta distinta en la actividad 1.1.�

Figura 1.12: Paso 1: acceder a laplanilla de cálculos.

Para calcular el error cuadrático medio asociado a un modelo lineal y una serie dedatos se puede utilizar la planilla de cálculos del .

Paso 1: Necesitaremos el clásico. Se accede mediante el linkhttps://www.geogebra.org/classicAcceder a la Hoja de cálculo. Figura 1.12.

Paso 2: Tipear los datos de edad y altura en las columnas A y B. Usar la primer filapara los títulos de cada columna.Para ahorrar este paso pueden usar el siguiente link para un recursocon los datos de la Tabla 1.1 ya cargados. https://ggbm.at/mrkCx7n8

Paso 3: La columna C se completará con los valores del modelo lineal que se analiza.En este caso la recta que pasa por los puntos de edades 9 y 10 (Figura 1.9).Completamos la celda C2 con la fórmula correspondiente a la ecuación de larecta que se está estudiando y apretamos ENTER.

= 4.69 ∗ A2 + 88.86Paso 4: En la columna D calculamos el cuadrado de la diferencia entre las columnas B

y C.

= (B2 − C2)2

Paso 5: Usando el arrastre automático completamos las filas de la tabla. Figura 1.13.Paso 6: En la celda D14 calculamos el ECM promediando los valores de la columna D.

= SUMA(D2 : D13)/12

Figura 1.13: Paso 5: Arrastre auto-mático de las fórmulas.

El error cuadrático medio nos da una medida del error que se comete con la recta elegida:a) El ECM siempre es un número mayor o igual a 0.b) La única opción para que el ECM sea igual a 0 es cuando la recta elegida pasa exactamente

por todos los puntos experimentales.c) Si el ECM es un valor cercano a 0 quiere decir que la recta elegida está muy próxima

de los puntos experimentales.

1.4 Modelos lineales 13

Método de mínimos cuadrados.El método de mínimos cuadrados es,desde su creación por el astrónomoy matemático francés Lagrange en elsiglo XVII, el más usado de los mé-todos estadísticos. El motivo de supopularidad es principalmente su fá-cil aplicación y que siempre permiteuna respuesta explícita.

¿Cómo encontrar la recta con el ECM más cercano a cero posible para garantizar quehemos encontrado la mejor recta según este criterio? La respuesta a esta pregunta está enel método de mínimos cuadrados. Es el método que permite encontrar la pendiente y laordenada al origen de la recta que estamos buscando. Este método se desarrolla en el curso deAnálisis de datos y ahora lo utilizaremos con .

Determinaremos la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados.

Paso 1: Señalar el conjunto de datos de la tabla elaborada previamente. Corresponde alas celdas A2:B13.

Paso 2: Seleccionar la herramienta Análisis de regresión de dos variables

dentro del menú . Se abrirá una nueva ventana con los puntos graficados.Paso 3: En la nueva ventana seleccionarModelo de regresión = Lineal.

4 6 8 10 12 14 16

100

120

140

160

Edad (en años)

Altu

ra(encm

)

Datos experimentalesModelo inicial

Modelo Mínimos cuadrados.

Figura 1.14: Comparación entre los dos modelos lineales estudiados.

Actividad 1.3 Determinen la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados de losdatos asociados al grupo de niños y al grupo de niñas. �

Ninguna otra recta tendrá, para el mismo conjunto de datos (niños o niñas), un ECM másbajo que el obtenido por el método de mínimos cuadrados.

Analizando las unidades de las cantidades involucradas en los coeficientes y variables dela ecuación tenemos que:

La altura y de los datos tiene unidad de medida cm por lo tanto, tanto m.x como b debenestar en cm.Dado que la edad x está dada en años, entonces la pendiente m tendrá como unidadcm/año.

Hemos elaborado un modelo lineal mediante tratamiento de datos a través del método demínimos cuadrados para el crecimiento de niños y niñas en la Argentina. Con este modelomatemático, ¿qué tipo de preguntas pueden responderse? Vean si pueden completar la siguienteactividad.

14 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

Actividad 1.4a) ¿Cuál es la altura estimada para un niño de 7 años y 6 meses de edad?b) ¿Cuál es la altura que el modelo predice para los recién nacidos varones?c) Si una niña de 6 años tiene una altura de 110 cm, estimar qué tan alta será a los 7

años de edad.�

El modelo predice que la altura de un niño de 7 años y seis meses de edad será 122.10 cmy se determina sustituyendo x = 7.5 años en la ecuación de la recta. Este es un ejemplo deinterpolación porque se ha un estimado un valor desconocido pero que se encuentra entrevalores observados.

Chirridos porminuto

Temperatura(°C)

176 26.944185.6 25.833174.4 25.556140 23.056140 21.389130.4 20.000115.6 18.889110.8 18.333102 16.38981.5 13.88950 12.778144.8 22.500132 18.889116 20.278126.8 20.278124 20.000115 18.88994 15.000129.6 21.111124 20.556118 19.44490 16.25082.4 14.722140 22.222132.4 21.667126 20.556115.2 19.16785.2 15.556151.2 23.889148 22.917148.4 22.500144.8 21.111125.6 19.722120.8 18.889125.2 20.556104.4 17.222100.8 17.22294.64 16.11174 11.111110.8 18.333104 17.22286.8 15.000

Tabla 1.2: Chirridos por minuto ytemperatura de una especie de grillosen Nebraska.

El valor de 80.72 cm que predice el modelo para varones recien nacidos se obtienesustituyendo x = 0 años en la ecuación lineal. Este es un ejemplo de extrapolación porque seha predicho un valor en una edad que está fuera del rango considerado en las observaciones.Consecuentemente, estamos menos seguros acerca de la precisión de esa predicción. Más aún,nos resulta sospechoso el valor obtenido para un recién nacido.

Es posible responder el último punto de varias maneras: una manera sería evaluar en x = 7años, como se hizo en el primer punto, y así obtener el valor estimado de 118.20 cm. Otraopción, podría ser utilizar el valor de la pendiente de la recta, que es 5.54 cm/año: se estimaque la niña crezca 5.54 cm cada año. Por lo tanto,

110 cm + 5.54 cm = 115.54 cm

.

¿Cuáles son algunas limitaciones y cómo podrían mejorar el modelo?La limitación más inmediata tiene que ver con el rango de edades con los que se cuenta en

la Tabla 1.1. Por ejemplo, para predecir la altura de jóvenes varones de 25 años llegamos a218.66 cm, un valor que no resulta para nada razonable. Es recomendable analizar con máscuidado los resultados para aquellas edades que estén fuera del intervalo [4, 15].

1.5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano?En verano, durante las tardes o las noches, el canto de los grillos no pasa desapercibido;

es difícil evitar escuchar ese “cri-cri” que emiten los grillos machos (los únicos que cantan)cuando intentan atraer a las hembras. ¿Cómo influye la temperatura ambiente en el “chirrido”de los grillos?

Actividad 1.5 Un método casero bastante popular en las provincias del norte dice que sepuede conocer la temperatura ambiente escuchando el cantar de los grillos. Hay que contarla cantidad de chirridos por minuto que se escuchan, dividiendo por 7 y luego sumando 4.Se considera en este caso que la temperatura está medida en grados Celsius. Determinenuna expresión algebraica que relacione la temperatura ambiente y la cantidad de chirridosdescripta por el método casero. Detallen las variables utilizadas y sus unidades. �

La Tabla 2.1, construida en base a los datos experimentales de un estudio realizado enColorado (Estados Unidos) en el año 2007, relaciona el promedio de la cantidad de chirridosde una especie de grillos emitidos durante un minuto con la temperatura ambiente en gradosCelsius.

Los datos están disponibles enhttps://www.globe.gov/explore-science/scientists-blog/archived-posts/sciblog/index.html_

p=45.html

1.6 Crecimiento de una colonia de moho. 15

Link de recursocon los datos de la Tabla 2.1ya cargados. https://ggbm.at/TjC5AyaG

Actividad 1.6 Utilicen para realizar las actividades:a) Representen gráficamente los datos de la tabla mediante un gráfico de puntos. En

el eje horizontal ubicar la cantidad de chirridos y en el eje vertical la temperatura.Incorpore al gráfico la recta asociada al método casero.

b) Realicen un ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados. Incorporen algráfico anterior la recta obtenida.

c) Describan la diferencia entre las rectas encontradas. ¿Cuál considera que aproximamejor los datos?

d) ¿Qué limitaciones aparecen desde el punto de vista biológico para utilizar estosmodelos?

e) ¿En qué rango de temperaturas son válidos?f ) ¿Cómo podría mejorarse la precisión del modelo determinado por mínimos cuadra-

dos?g) ¿Por qué cantan más los grillos en verano?

�

Las respuestas que pudieron desarrollar dan cuenta de la complejidad de la relación entre elproblema biológico y el modelo matemático. Es muy probable que las respuestas no hayan sidocompletas pero seguramente permiten apreciar cómo se aproximan el modelo matemático y elproblema biológico. Con el debido cuidado, nos permite apreciar cómo se usan las matemáticasy alguna de sus limitaciones.

La pregunta d) es de naturaleza biológica, y la matemática juega un papel pobre allí.Podríamos preguntarnos sobre las cuestiones biológicas que se estudian. Desde un punto devista práctico, este termómetro biológico tiene usos limitados. Los grillos generalmente cantansólo algunos meses en el año y durante la noche cuando la temperatura es superior a los 10° C.

Las preguntas e) y f ) resultan importantes por el vínculo entre el proceso de modeladomatemático y el problema biológico que se estudia. El rango de validez en cuanto a lastemperaturas determinan el dominio en el cual corresponderá usar el modelo. Generalmente,los límites para usar el modelo matemático están dados por los puntos entre los cuales se hanrecolectado los datos (o posiblemente ligeramente un poco más allá de los datos recolectados).En nuestro caso, los datos disponibles se encuentran entre los 9°C y los 27°C. Que es apropiadapara las noches en Colorado durante agosto y septiembre. El método casero, aunque alejadoun poco de los datos recopilados, es mucho más sencillo de utilizar en una noche de veranocon amigos.

La última pregunta g) puede ponerse también en términos de limitaciones del modelo. Elmodelo no puede responder a la pregunta de causalidad entre las dos variables. No hay unaexplicación del fenómeno que permita deducir cómo influye la temperatura ambiente en lafrecuencia con la que los grillos frotan sus patas traseras para generar el chirrido; sólo unacorrelación estadística de las observaciones. Será necesario conocer más sobre el metabolismoy la morfología del insecto para plantear alguna hipótesis de respuesta a la pregunta. Luegovendrán otras tantas como: ¿Por qué es tan difícil ubicar al grillo que canta cuando estamos enuna habitación? ¿Por qué cantan al unísono todos los grillos del campo?

Actividad 1.7 En las actividades previas ubicamos en el eje horizontal los valores corres-pondientes a los chirridos por minuto de los grillos y en el eje vertical a la temperaturaambiente. Sin embargo, es más natural que la variable independiente sea la temperaturadado que por algún mecanismo que desconocemos afecta al grillo haciendo que produzcamás chirridos por minuto. Encuentren, a partir de la ecuación obtenida en la Actividad1.6 item b) la ecuación lineal que represente la cantidad de chirridos en función de latemperatura. Estime la cantidad de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 21ºC.�

1.6 Crecimiento de una colonia de moho.Nos proponemos ahora desarrollar brevemente un modelo determinista. O sea, ya no

desde el punto de vista estadístico ajustando datos. Examinaremos el crecimiento de una

16 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

colonia de moho que se forma en una medio líquido nutritivo. Por ejemplo, en las tazas de caféo té con azucar que quedan varios días sin limpiar en los escritorios. El moho está compuestoprincipalmente por hongos y bacterias. Crecen mejor en condiciones cálidas y húmedas.

Figura 1.15: Varias colonias demoho sobre la superficie de frascocon bebida kombucha.

En la Figura 1.16 se muestran imágenes fotográficas tomadas de una colonia de mohoque crece en la superficie de una mezcla de té y azúcar. Las imágenes fueron tomadas alas 10:00 hs cada mañana durante 10 días consecutivos. Debajo del recipiente se ubicó unagrilla cuadriculada con líneas separadas cada 2 mm. Para determinar cómo crece la coloniaestudiaremos el área que ocupa la colonia a medida que pasan los días. Consideraremos que elárea ocupada por el moho es una medida razonable del tamaño de la población.

C Nos interesa construir un modelo matemático que permita predecir el tamaño de lacolonia en los días siguientes; que pueda manipularse para estudiar otros casos decolonias circulares, etc.

Actividad 1.8 Antes de continuar con la lectura hagan una pausa aquí e intenten resolver elproblema planteado. Se requerirá observar las fotografías con atención, plantear algunashipótesis sobre el modo en que está creciendo la colonia, definir variables adecuadas yrelacionarlas mediante ecuaciones. �

Figura 1.16: Fotografías de una colonia de moho tomadas en días sucesivos. Las líneas del fondo están separadas en intervalos de 2milímetros.

Observamos de la serie de fotografías lo siguiente:a) Parece que la colonia crece en forma circular.b) El crecimiento de la colonia se produce en el borde de la región. O sea, el interior oscuro

de las fotos permanece estable y aparece un aro de color claro rodeando la colonia.c) El aro blanco alrededor de la colonia parece tener el mismo grosor todos los días.Tomando como supuestos los ítems anteriores especificaremos la siguiente notación:Tomaremos t para indicar el día.Tomaremos

A0, A1, A2, . . . , A9

para indicar el área en mm2 de la colonia en los correspondientes días.

1.6 Crecimiento de una colonia de moho. 17

TomaremosR0, R1, R2, . . . , R9

para indicar el radio en mm de la colonia en los días correspondientes suponiendo quela colonia es circular.

En forma genérica tendremos que At y Rt indican el área y radio de la colonia en el día t.Siendo t un número natural entre 0 y 9 (inclusive).

Nos proponemos encontrar una fórmula que nos permita calcular At para distintos valoresde t mayores o iguales a 0.

At = ¿? para valores de t ≥ 0

De los supuestos anteriormente podemos plantear que el radio de la colonia aumenta cadadía un valor fijo que denominaremos K . O sea, K será el incremento diario que sufre el radiode la colonia al comienzo del día cuando fue fotografiada. Escrito en términos algebraicos sería

Rt+1 − Rt = K

que es equivalente a

Rt+1 = Rt + K

y luego

R1 = R0 + K

R2 = R1 + K = (R0 + K) + K = R0 + 2K

R3 = R2 + K = (R0 + 2K) + K = R0 + 3K

y por lo tanto

Rt = R0 + t K (1.1)

La ecuación 1.1 es una relación lineal entre las variables t y Rt .En la Tabla 1.3 se presentan los valores de las áreas de la colonia determinados por

observación de las fotografías (faltan los datos correspondientes a los días 2 y 6). Con estosdatos es posible determinar valores aproximados para R0 y K .

Día Área (en mm2)

0 41 823 504 785 12667 2488 3269 420

Tabla 1.3: Valores observados delárea de la colonia en los días sucesi-vos

Actividad 1.9a) Calculen valores aproximados de R0 y K y utilizarlos para determinar una fórmula

para

At = (1.2)

.b) Completen los valores del área para los días 2 y 6. Controlen los valores estimados

con el gráfico 1.17 y los correspondientes de las fotografías.

18 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

0 2 4 6 8

0

100

200

300

400

Tiempo - Días

Áreade

lacolonia-m

m2

Figura 1.17: Valores observados del área de la colonia en los días sucesivos.

c) Mediante una hoja de cálculo en comparen los valores observados y los valoresque predice el modelo. ¿El modelo es adecuado? ¿Hace falta hacer alguna correccióno algún ajuste a la propuesta?

d) La fórmula 1.2 está determinada por los valores R0 y K aproximados medianteobservación. ¿Qué pasará en otras colonias de moho? El modelo permite predecirel comportamiento cambiando los valores correspondientes a R0 y K . Por ejemplo,grafiquen At vs. t para una colonia cuyo radio inicial (al comienzo de la observación)es de 1 mm y cada día el radio de la colonia aumenta 1 mm.

�

C El análisis realizado en el item d) es de orden teórico. Con el fin de estudiar el modelo yesta predicción faltaría realizar un experimento que permita contrastar con resultadosexperimentales.

1.7 Ejercitación. 19

1.7 Ejercitación.Ejercicio 1.1 En cada caso, hallen la ecuación de la recta que satisface las condicionesmencionadas:a) pasa por el punto (2,−3) y tiene pendiente −

13

b) pasa por el punto (7, 5) y tiene pendiente 0c) pasa por los puntos (3,−1) y (2,−1)d) pasa por los puntos (−1, 3) y (5,−3)e) corta al eje y en 2 y pasa por el punto (−2, 3)f) paralela a la recta 3x − 6y = 1 y pasa por el punto (1, 0)g) perpendicular a la recta 4x − 3y + 2 = 0 y pasa por el putno (3, 2).

�

Ejercicio 1.2 Escriban la ecuación de una recta para cada una de las siguientes gráficas �

Ejercicio 1.3 Encuentren las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen que sonperpendiculares y paralelas a la recta y = 3 − 2x. �

Ejercicio 1.4 Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 0).¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen para esta recta? Grafiquen la recta. �

Ejercicio 1.5 La curva de crecimiento para períodos cortos puede considerarse una línearecta. Supongamos que la población de erizos blancos de mar tienen un diámetro mediode 28 mm al comienzo de junio y de 30 mm al comienzo de julio. Estimen la media deldiámetro para la población de erizos blancos de mar el 20 de junio, el 10 de junio, el 1 deagosto y el 15 de agosto. ¿Cuál o cuáles de todas las respuestas es la más confiable? �

Ejercicio 1.6 Para un rango de valores, la absorbancia A leída por un espectrofotómetrovaría en forma lineal con la concentración del nickel (II), N . Si el espectrofotómetro no seencuentra correctamente calibrado a cero para la señal de referencia entonces se necesitausar la fórmula

A = kN + b

para algunas constantes k y b.a) Supogamos que una muestra con 0.02 mg/ml de nickel (II) da una absorbancia de

0.26 y una con 0.04 mg/ml de nickel (II) da una absorbancia de 0.44. Determimen loscorrespodientes valores para k y b considerando que la absorbancia es un número sinunidades.

b) Encuentren la absorbancia para una muestra con 0.035 mg/ml de nickel (II).

20 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral?

c) Encuentren cuánto nickel (II) hay en una muestra que da una absorvancia de 0.31.�

Ejercicio 1.7 Para un gas que se mantiene a volumen constante, la presión P dependelinealmente de la tempertura T . Luego, podemos escribir la ecuación

P = kT + b,

para algunas constantes k y b.a) Supongamos que se corre un experimento y se encuentra que cuando T = 0◦C,la

presión P = 760 mm de Hg. Y que cuando T = 100◦C, la presión P = 1040 mmde Hg. Encuentren las constantes k y b para la ecuación anterior (indicando susunidades).

b) El cero absoluto puede aproximarse encontrando dónde la presión es P = 0. Encuentrenla temperatura en ◦C para el cero absoluto a partir del item anterior.

�

Ejercicio 1.8 La tabla 1.4 muestra el crecimiento de un niño. Encuentren y grafiquen laecuación de la recta que relaciona M y a. Muestren, de manera analítica, que todos lospuntos están sobre el gráfico. ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa la ordenadaal origen?

�

Edad (a) Masa (M)

semana 1 1,5 kgsemana 2 2,1 kgsemana 4 3,3 kgsemana 8 5,7 kg

Tabla 1.4: Crecimiento de un niño.

Ejercicio 1.9 Todas las conversiones de mediciones, pesos, temperaturas, etc. son relacioneslineales. Usaremos esta información para determinar una fórmula que relacione la temperaturaen grados Celsius con la temperatura en grados Fahrenheit.

EstadosUnidos es uno de los pocos países que usa la escala Fahrenheit para la temperatura.El punto de congelación del agua es 32◦F y 0◦C. El punto de ebullición del agua es 212◦Fy 100◦C (al nivel del mar). �

Ejercicio 1.10 La presión del aire suministrada por el regulador a un buzo varía linealmentecon la profundidad del agua. Cuando el buzo está a 33 pies, el regulador entrega 29.4psi (libras / pulgadas al cuadrado), mientras que a 66 pies, el regulador entrega 44.1 psi.Encuentren la presión de aire entregada en la superficie 0 pies, a los 50 pies, y a los 130 pies(la profundidad máxima para el buceo recreacional). �

Ejercicio 1.11 Encuentren una fórmula para convertir la temperatura en Celcius, c, en unatemperatura en Fahrenheit, f . �

II

2 Funciones numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Determinación ambiental del sexo en las tortugas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Imagen de una función numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Gráfica de una función numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Prueba de la recta vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Funciones definidas por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Funciones crecientes y decrecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Valores máximos y valores mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Módulo

2. Funciones numéricas.

“Los músculos de las matemáticas se conectan con el esqueleto de las cienciasexperimentales mediante los tendones de la modelación matemática.”

Glenn Ledder

Este módulo pretende desarrollar la capacidad de interpretar y usar información presentadaen una variedad de formas familiares, matemáticas y no matemáticas. Como hemos mencionadoanteriormente, el cálculo diferencial e integral estudia los procesos en los que hay cantidadesnuméricas que cambian a medida que otras cantidades también lo hacen. La herramientafundamental para ello serán las funciones numéricas.

El aprendizaje de las funciones numéricas requiere:Conocer las distintas formas de representación de las funciones numéricas.Leer e interpretar la información que tiene cada una de ellas.Traducir la información de una forma de representación en otra.Identificar las fortalezas y las debilidades de cada forma de representación.

Funciones numéricas

Representaciónverbal

Representacióngráfica

Representaciónen tabla.

Representaciónalgebraica

Figura 2.1: Las 4 formas usadasusualmente para representar a lasfunciones numéricas.

En este módulo formalizaremos la definición de función numérica en la matemáticadetallando sus elementos más fundamentales: variable independiente, variable dependiente,regla de asignación, dominio, codominio e imagen. También algunas de sus propiedadesprincipales como crecimiento, decrecimiento, valores máximos y valores mínimos.

2.1 Determinación ambiental del sexo en las tortugas.Los estudios de campo muestran, aunque aún no hay gran comprensión sobre el tema, que

el sexo de algunos reptiles depende del ambiente en el que se incuban sus huevos. El factormás importante en este aspecto es la temperatura. En el gráfico de la Figura 2.2 se presentanalgunos datos obtenidos sobre una especie de tortugas de agua dulce.

Más información en:https://drive.google.com/open?id=1kD9vifv_WqATk-L2qZVjTL3nBjosjySF

22 24 26 28 30 32

0

20

40

60

80

100

Temperatura de incubación - ◦C

Porcentajede

críash

embras.

Figura 2.2: Porcentaje de crías hembras en la incubación de huevos de Chrysemys picta avarias temperaturas.

24 Capítulo 2. Funciones numéricas.

Actividad 2.1 Examinen la gráfica de la Figura 2.2 y luego realicen las siguientes actividades.a) Si quisiéramos elaborar una tabla de valores representativos de la gráfica: ¿cuántas

columnas tendría? ¿Cuántas filas? ¿Qué encabezados correspondería poner en cadacolumna?

b) Elaboren una tabla de valores según lo detallado en el item anterior.c) Escriban una descripción verbal de la dependencia entre el porcentaje de tortugas

hembras y la temperatura de incubación de los nidos de huevos de Chrysemys picta.d) ¿Es posible establecer una representación algebraica que modele la situación? ¿Cuál

podría ser una representación funcional en forma algebraica sencilla?�

El item d) puede que haya sido el más difícil de resolver o de ponerse de acuerdo en elgrupo: para temperaturas inferiores a 28◦C, casi todas las crías son macho. En cambio paratemperaturas mayores a 29◦C casi todas las crías son hembra. Para temperaturas intermediasentre los 28 y los 29 grados centígrados la disposición de los datos no permite avanzar muchoen la tarea.

Esbozamos lo anterior de la siguiente manera:

Si la temperatura es menor a 28◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 0

Si la temperatura es mayor a 29◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 100

Si la temperatura se encuentra entre los 28◦C y los 29◦C entonces el porcentaje de crías hembra es incierto.

Si temperatura < 28◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 0

Si temperatura > 29◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 100

Si 28◦C < temperatura < 29◦C entonces el porcentaje de crías hembra es incierto.

Porcentaje de crías hembras =

0 Si temperatura < 28◦C. . . . . . . . . . . . . . . . .

Incierto 28◦C < Si temperatura < 29◦C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 Si temperatura > 29◦C

C La estructura anterior resume la información sobre la relación entre la temperatura deincubación y el porcentaje de crías hembras: cada renglón establece el valor asignado alporcentaje de crías hembra según se cumpla la condición de la temperatura de incubacióncorrespondiente.

2.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas.Hemos visto ya algunos ejemplos en donde construimos modelos matemáticos definiendo

funciones que relacionen dos cantidades mensurables.La altura de los niños en función de la edad.La frecuencia de los chirridos de los grillos dependiendo de la temperatura ambiente.El porcentaje de tortugas hembras en un nido de huevos como una función de latemperatura de incubación.

2.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. 25

Definición 2.2.1 — Definición de función.Una función es una ley de asignación que a cada elemento x de un conjunto A le hace

corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.

Se escribe: f : A→ B

A B

x y

f

f

y = f (x)

x

f

f (x)

Materiaprima

Aquí se realizala operación

Resultado

Figura 2.3: Representación de unafunción como una máquina que re-cibe materia prima, opera y luegodevuelve un resultado.

En este caso, f es el nombre de la función.El conjunto A se denomina dominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable independiente.

A = Dominio de f = Dom( f )

El conjunto B se denomina codominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable dependiente.Así, x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente.En nuestro curso, los conjuntos A y B siempre se referirán a conjuntos numéricos.

C Cuando escribimos y = f (x) decimos que y es el valor de la función f cuando laevaluamos en x.

y = f (x)

y es f evaluada en x

y es f de x

y es la imagen de x mediante la función f

Que f sea una función significa que no puede existir un elemento de A sin su correspondienteelemento en B, y que a cada elemento de A no le puede corresponder más de un elemento deB como resultado.

Una de las dificultades en la simboli-zación matemática es que muchasveces se usan los mismos símbolospero para cosas distintas. El uso delos paréntesis es un ejemplo.

Uso de paréntesisEl uso de paréntesis en la notación de función es muy especial para las funciones. Hay que

tener especial cuidado y no confundirlo con una multiplicación. Cuando escribimos

f (x)

no debe entenderse como si fuera

f .(x) ni f × (x)

.El símbolo dentro de los paréntesis es siempre la variable independiente, un miembro del

dominio, y f (x) es un valor de la variable dependiente, un miembro del codominio.

26 Capítulo 2. Funciones numéricas.

� Ejemplo 2.1 Para representar el área de un círculo como función de su radio utilizamosla fórmula algebraica

S(r) = πr2

La variable independiente es r . Corresponde a la medida del radio del círculo. Debeser un número positivo porque corresponde a una longitud (no puede ser cero ni unnúmero negativo). Queda entonces determinado el dominio como Dom(S) = (0,+∞)

Y la variable dependiente es S. Corresponde a la medida del área del círculo.Simbolizamos

S : (0,∞) → R

Por ejemplo, para calcular el área de un círculo de radio r = 2 cm escribimos

S(2 cm)︸ ︷︷ ︸*

= π (2 cm)︸ ︷︷ ︸**

2 = π 4 cm2

* y ** son dos usos distintos del paréntesis en una expresión matemática.�

Algunos ejemplos:

Conjunto ∅Conjunto vacío. Sin elementos.

Conjunto (a, b){x ∈ R : a < x < b }

Conjunto [a, b]{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Conjunto (a, b]{x ∈ R : a < x ≤ b }

Conjunto (a,+∞){x ∈ R : a < x }

Conjunto (−∞, b]{x ∈ R : x ≤ b }

Conjunto (−∞,+∞)Todos los números reales. R.

Tabla 2.1: Repaso de algunos ejem-plos de notación de intervalos paralos conjuntos numéricos.

� Ejemplo 2.2 Cuando estudiamos el crecimiento de la colonia de moho utilizamos la notaciónAt para indicar el área de la colonia al comienzo del día t. La Figura 2.4 presenta latabla de valores y la gráfica asociada.

Construimos un modelo matemático definiendo la función

At = A(t) = π(R0 + K .t)2

La variable independiente es t. Corresponde a los días transcurridos desde la primeraobservación. Debe ser un número natural del conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

La variable dependiente es A. Corresponde al área de la colonia.Simbolizamos

A : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → R

�

Día Área (en mm2)

0 41 82 –3 504 785 1266 –7 2488 3269 420

0 2 4 6 8

0

100

200

300

400

Tiempo - Días

Áreade

lacolonia-m

m2

Figura 2.4: Tabla y gráfica asociadas al crecimiento del área de la colonia de moho en los días sucesivos.

2.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. 27

� Ejemplo 2.3 La Figura 2.5 muestra el gráfico de un electrocardiograma (EGG). El EGGmide el potencial eléctrico V (medido en milivolts) en una cierta dirección (hacia elelectrodo positivo de un cable) correspondiente a una parte particular del corazóncomo una función del tiempo (en segundos). Para un valor del tiempo t dado, el gráficonos proporciona un valor correspondiente de V .

Figura 2.5: Electrocardiograma

�

2.2.1 Dominio natural de una función numérica.El dominio de una función está determinado por motivos que pueden clasificarse en 3

categorías:

Motivos relacionados con el contexto.El sistema real en estudio impone restricciones sobre las variables.Si l representa una longitud, el área o el volumen de un objeto entonces no puede sercero ni tomar valores negativos.Si P representa la población de la Argentina entonces debe ser un número natural; laparte decimal no puede ser distinta de cero.Hay una temperatura teórica que es la más baja posible. Dependiendo del sistemade medición utilizado corresponde a 0 grados Kelvin, −273.15 grados centígrados o−459.67 grados Farenheit. De modo que, si T es la temperatura de un sistema en gradoscentígrados entonces debe cumplirse que

−273.15 < T

Motivos relacionados con limitaciones matemáticas.Momentáneamente tomaremos como restricciones matemáticas dos operaciones que no

se pueden realizar en los números reales.No está permitida la división por cero. Expresiones como

10

x + x0

300

no están definidas ni se aceptan como válidas.No está permitido calcular raíces cuadradas o raíces de orden par a números negativos.Por ejemplo, las siguientes expresiones no son válidas

√−1 4√

−33 +√−2

8

Motivos arbitrarios que decide cada persona.Cada persona puede imponer una restricción sobre el dominio de una función por algún

motivo que considere importante o por puro antojo. La decisión de estudiar la altura de niños y

28 Capítulo 2. Funciones numéricas.

niñas para edades entre 4 y 16 años es una decisión del investigador. O sin motivo alguno, sepuede decidir estudiar la función

S(r) = π r2

en el intervalo (2, 5].

Dominio natural de una función numérica.En el caso de funciones numéricas se define:

Definición 2.2.2 — Dominio natural de una función numérica.Dada una función f representada por medio de una expresión matemática, llamamos

dominio natural de f al mayor conjunto de números reales tales que la fórmula permitacalcular un resultado real. Si el codominio no está indicado, asumimos que es R.

� Ejemplo 2.4 El dominio natural de f (x) = x3 son todos los reales ya que no hay dificultadesen calcular x3. Algunos de sus valores son:

f (0) = 0 f (−2) = (−2)3 = −8 f(

12

)=

(12

)3=

18

�

� Ejemplo 2.5 El dominio natural de g(x) =√

x es el intervalo [0,+∞). Algunos de susvalores son:

g(0) = 0 g(9) =√

9 = 3

�

2.3 Imagen de una función numérica.La variable dependiente de una función no siempre toma todos los valores del codominio

declarado. Por ejemplo, la función f : [0,+∞) → R dada por f (x) =√

x no toma nuncavalores negativos.

Definición 2.3.1 — Imagen de una función numérica. Se llama imagen de una función alconjunto de todos los valores efectivamente alcanzados por la función. Dada una funciónf : A→ B, se llama imagen de f al conjunto de elementos de B que son el resultado def (x) para algún elemento x de A. Se suele notar Im( f ) o f (A). En notación de conjuntos,se define

Im( f ) = { f (x) : x ∈ A}

C Calcular la imagen de una función no es una tarea trivial. Por ejemplo, para f (x) = x2

tenemos que Im( f ) = [0,+∞) porque los resultados de x2 pueden ser arbitrariamentegrandes pero no pueden ser negativos. Sin embargo, calcular la imagen de la funcióng(x) = x4 − 3x2 + x ya no es una tarea tan sencilla (más adelante, aprenderemosherramientas que nos permitirán hallarla).

2.4 Gráfica de una función numérica.Si f es una función con Dom( f ) = A entonces la gráfica de f está compuesta por puntos

del plano coordenado de la forma(x, f (x)) .

2.5 Prueba de la recta vertical. 29

Los pares ordenados son pares de entrada-salida. En otras palabras, la gráfica de f estáformada por todos los puntos (x, y) del plano coordenado tales que y = f (x) para x ∈ Dom( f ).

Por ejemplo, si consideramos la función f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1 entonces elpunto (3, 5) pertenece a la gráfica porque x = 3 pertenece al dominio de la función y f (3) = 5.Sin embargo, el punto (2, 5) no lo está porque f (2) , 5.

La gráfica de una función también nos permite tener información del dominio (sobre el ejehorizontal) y la imagen (sobre el eje vertical) como indica la Figura 2.6.

(a) El punto (x, f (x)) ubicado en la gráfica de lafunción.

(b) Dominio e imagen de una función representadosen los ejes cartesianos.

Figura 2.6: Gráfica de la función, dominio e imagen

Actividad 2.2 En la Figura 2.7 se muestra la gráfica de una función g.1. Determinen los valores de g(1) y g(5).2. Determinen el dominio y la imagen de g.

�

Figura 2.7: Gráfica de la función g.

Ya vieron anteriormente como hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntospor donde pasa, un punto y la pendiente ó la pendiente y la ordenada al origen, llegando arepresentar sus gráficas o reconocerlas por su aspecto. En base a lo que saben sobre gráficas derectas, realicen las siguientes actividades.

Actividad 2.3 Tracen una gráfica y encuentren el dominio e imagen de cada función

a) f (x) = 5x + 1 b) g(x) = x − 1 con x ≥ 2�

Actividad 2.4 Determinen el dominio natural de las siguientes funciones. Escríbanlo enpalabras y con la notación de intervalos.

a) f (x) =√

2x − 1 b) g(x) =1

x2 + x�

2.5 Prueba de la recta vertical.Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical

se interseca con las curva más de una vez.

En la Figura 2.8 se puede ver que si cada recta vertical x = a interseca a la curva sólo unavez, en el punto (a, b), entonces se tiene que f (a) = b. Pero si una recta x = a se interseca conla curva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar la gráfica de unafunción, porque no puede asignar dos valores diferentes a a.

30 Capítulo 2. Funciones numéricas.

Figura 2.8: Dos ejemplos que representan la regla de la recta vertical.

� Ejemplo 2.6 La curva de ecuación x = y2 − 2 que aparece en la Figura 2.9, no es la gráficade una función de x porque como podemos ver, existen muchas rectas verticales queintersecan dos veces a esa curva. Sin embargo, sí contiene las gráficas de dos funcionesde x, f (x) = +

√x + 2 y g(x) = −

√x + 2 (parte superior e inferior de la curva) como

se representa en las Figuras ?? y ??. �

(a) x = y2 − 2 (b) y =√

x + 2 (c) y = −√

x + 2

Figura 2.9: Gráficas de la curva x = y2 − 2 y las dos funciones f (x) = +√

x + 2 y g(x) = −√

x + 2

2.6 Funciones definidas por partes.Hay funciones que se definen empleando distintas fórmulas en diferentes partes de sus

dominios; como por ejemplo la función que relacionaba el porcentaje de tortugas hembras enun nido con la temperatura de incubación.

Actividad 2.5 Calculen f (0), f (1) y f (3) y realicen la gráfica de f para

f (x) =

2 − x si x ≤ 1

x + 3 si x > 1

�

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.10: Gráfica de la función f .

Actividad 2.6 Encuentren una fórmula para la función f cuya gráfica se da en la Figura2.10. Indiquen su dominio e imagen. �

2.7 Funciones crecientes y decrecientes. 31

Actividad 2.7 Decididan cual de las siguientes ecuaciones define a y como función de x

a) x + y = 1 b) x2 + y2 = 4 c) y4 + x = 2�

Figura 2.11: Cuatro gráficas para de-cidir si son funciones.

Actividad 2.8 Determinen, en cada caso de la Figura 2.11, si la curva es la gráfica de unafunción de la variable x. Si lo es, establezcan su dominio e imagen.

�

2.7 Funciones crecientes y decrecientes.En la Figura 2.12 se muestra el gráfico de una función f que se eleva y luego comienza a

descender. Expresaremos en forma algebraica el comportamiento creciente o decreciente dela función considerando el sentido u orientación que tienen los ejes cartesianos.

El eje x tiene una orientación de izquierda a derecha. La relación x1 < x2 equivale a quex1 está ubicado a la izquierda de x2 sobre el eje x.El eje y tiene una orientación de abajo hacia arriba. La relación y1 < y2 equivale a quey1 está ubicado debajo de y2.

Definición 2.7.1 — Funciones crecientes y decrecientes.Una función f es creciente en un intervalo I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2)

Y se dice que es decreciente en I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2)

Figura 2.12: Gráfica de una función con sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Figura 2.13: Gráfica de la funciónf (x) = x2.

� Ejemplo 2.7 La gráfica de la función f (x) = x2 que se encuentra en la Figura 2.13. Podemosver que es decreciente en el intervalo (−∞, 0] y creciente en intervalo [0,+∞). �

32 Capítulo 2. Funciones numéricas.

Actividad 2.9 Observen las gráficas de las funciones f y g que se encuentran en la Figura2.14.

a) Indiquen el dominio y la imagen para f y para g.b) Calculen f (−4) y g(3).c) ¿Para qué valores de x resulta f (x) = g(x)?d) Estimen el/los valores de x tales que f (x) = 1.e) Indiquen el intervalo donde la función f es creciente.

�

Figura 2.14: Gráficas de las funcio-nes f y g.

2.8 Valores máximos y valores mínimos.Los valoresmáximos ymínimos de una función son de interés porque marcan situaciones

extremas en el evento que se estudia. Por ejemplo, en la Figura 2.15 se tomó una porción delritmo cardíaco según un EGG y se observa que el potencial eléctrico aumenta y disminuyereiteradas veces, en el punto R se encuentra el punto más alto de la gráfica y en el punto S elpunto más bajo.

El punto R tiene coordenadas (0.22, 1) y el punto S tiene coordenadas (0.25,−0.11). Demodo que

P(0.22 s) = 1 milivolts y P(0.25 s) = −0.26 milivolts

El valor más grande que se registra es 1 milivolts a los 0.22 segundos. El valor más bajoque se registra es −0.26 milivolts a los 0.25 segundos.

Figura 2.15: Porción del ritmo cardíaco determinado por un EGG.

Definición 2.8.1 — Valores máximos y mínimos absolutos.Sean c y d dos números en el dominio de la función f .Entonces f (c) es elvalor máximo absoluto de f si f (c) ≥ f (x) para todo x en el dominio de f .

Y f (d) es elvalor mínimo absoluto de f si f (d) ≤ f (x) para todo x en el dominio de f .

El valor máximo o mínimo absoluto es llamado también valor máximo o mínimoglobal; o, en forma genérica, valores extremos globales.

En la misma porción del ritmo cardíaco se observa que hay otros picos y valles en lagráfica que no son tan altos como R ni tan bajos como S pero que el cardiólogo toma como

2.8 Valores máximos y valores mínimos. 33

interés. En la Figura 2.16 quedan marcados los puntos R, P y T como ejemplos de picos y lospuntos S y Q como ejemplos de valles. Hay otros más pero por simplicidad no los marcamos.

Figura 2.16: Valles y picos en la gráfica correspondiente al EEG.

Definición 2.8.2 El número f (c) es unvalor máximo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cercano a c.valor mínimo local de f si f (c) ≤ f (x) cuando x está cercano a c.

Los valores máximos y mínimos locales también suelen llamarse valores máximoso mínimos relativos; o, en forma genérica, valores extremos locales.

Figura 2.17: Gráfica de f (x) = x2.

Actividad 2.10 Consideren que la separación de la grilla de la Figura 2.16 correspondehorizontalmente a 0.05 segundos y verticalmente a 0.24 milivolts.

Determinen los valores extremos locales. Indiquen también el tiempo (en segundos)para los cuales se alcanzan esos valores extremos locales.

�

� Ejemplo 2.8 En las Figuras 2.17 y 2.18 se encuentran las gráficas de las funciones f (x) = x2

y g(x) = x3, respectivamente. Observen que f (0) = 0 es el mínimo absoluto (y local)de f porque f (x) ≥ f (0) para todo x en el dominio de f . Sin embargo, no existeningún punto que sea el más alto de la parábola, por lo que f no tiene máximo absoluto.En el caso de la función cúbica g vemos que no tiene ni máximo ni mínimo absoluto.Y tampoco tiene valores extremos locales. �

Figura 2.18: Gráfica de g(x) = x3.

34 Capítulo 2. Funciones numéricas.

2.9 Ejercitación.

Figura 2.19: Temperatura promedio globalen función del tiempo

Ejercicio 2.1 En la Figura 2.19 se muestra el gráfico de la temperatura global promedio Tdurante el siglo XX.

a) ¿Cuál fue la temperatura global promedio en el año 1950?b) ¿En qué año la temperatura promedio fue de 14, 2◦C?c) ¿En qué año se produjo la temperatura más baja? ¿Y la más alta?d) Estimen la imagen de T .

�

Ejercicio 2.2 En los años cálidos los árboles crecen más rápido y forman anillos más anchos,pero en los años más fríos, crecen más lentamente y los anillos se estrechan. La gráfica de laFigura 2.20 muestra los anchos del anillo de un Pino de Siberia desde el año 1500 al año2000.

a) ¿Cuál es la imagen de la función que representa el ancho del anillo del pino?b) ¿Qué dice el gráfico sobre la temperatura de la tierra? ¿Refleja el gráfico las erupciones

volcánicas de mediados del siglo XIX?�

Figura 2.20: Ancho del anillo del árbol.

Ejercicio 2.3 Un esófago saludable tiene un pH aproximado de 7.0. Cuando ocurre un reflujoácido, el ácido del estómago (que tiene un pH que va desde 1.0 a 3.0) fluye hacia atrásdesde el estómago hacia el esófago. Cuando el pH del esófago es menor que 4.0, el episodiorecibe el nombre de reflujo ácido clínico y puede causar úlceras y dañar el revestimientodel esófago. El gráfico de la Figura 2.21 muestra el pH del esófago para un paciente conreflujo ácido que se encuentra dormido. ¿Durante qué intervalo de tiempo se considera queel paciente tiene un episodio de reflujo ácido clínico? �

Figura 2.21: pH del esófago para un pa-ciente con reflujo ácido.

Ejercicio 2.4 La Figura 2.22 muestra los pesos corporales promedios de renacuajos criadosen diferentes densidades. La función f muestra el peso corporal cuando la densidad es de10 renacuajos/L. Para las funciones g y h, las densidades son de 80 y 160 renacuajos/L,respectivamente. ¿Qué información le brindan estos gráfico sobre el efecto de hacinamiento?�

Figura 2.22: Peso corporal promedio derenacuajos en diferentes densidades.

Ejercicio 2.5 Las regiones tropicales se caracterizan por tener muchas precipitaciones eintensa luz solar y tienen temporadas de crecimiento más largas que las regiones másalejadas del ecuador. Como resultado de esto, las regiones tropicales poseen una mayorriqueza de especies, es decir, un mayor número de especies. El gráfico 2.23 muestra cómovaría el número de hormigas con respecto a la latitud.

a) ¿Cuántas especies esperarían encontrar a los 30◦S? ¿Y a los 20◦N?b) Si en un lugar determinado encuentran unas 100 especies de hormigas, ¿en qué latitud

aproximada estarían?�

Figura 2.23: Número de especies de hor-migas según la latitud.

Ejercicio 2.6 Den tres ejemplos de funciones que aparezcan en la vida diaria que puedan serdescriptos verbalmente. Los ejemplos deben contemplar la descripción del dominio y de laimagen de las funciones. Acompañar las descripciones con un gráfico para cada función. �

Ejercicio 2.7 En la gráfica de la Figura 2.24 se muestra el peso de cierta persona en funciónde su edad. Describan en palabras cómo varía con el tiempo el peso de esta persona. ¿Quécrees que sucedió con esta persona cuando tenía 30 años? �

2.9 Ejercitación. 35

Figura 2.24: Peso de una person en funciónde su edad.

Ejercicio 2.8 El gráfico de la Figura 2.25 muestra la fuerza horizontal ejercida por el suelosobre una persona al caminar. Los valores positivos indican fuerzas en la dirección deavance y los valores negativos indican fuerzas en la dirección reversa (hacia atrás). Den unaexplicación de la forma que tiene la gráfica de la función, incluidos los puntos donde cruzael eje. �

Ejercicio 2.9 Determinen el dominio natural de cada función:

a) f (x) =2x + 1

x2 − x + 1b) g(x) =

3√xx2 + 1

c) h(x) =√

4 − x�

Ejercicio 2.10 Consideren la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x.a) ¿Cuál es su dominio natural?b) Calculen f (0), f (1), f (−1).c) ¿Para qué valores de x se cumple que f (x) = 0?

�

Figura 2.25: Fuerza horizontal ejercida porel suelo sobre una persona al caminar.

Ejercicio 2.11 Hallen, en forma analítica, la intersección entre las gráficas de los siguientespares de funciones.

a)

f (x) = 2x2

g(x) = 3x + 9b)

f (x) =

32

x2 − x

g(x) =32

x2 − x + 2

c)

f (x) = x2 + 6x + 9

g(x) = −12

x2 − 1d)

f (x) = x2 + 2x − 2

g(x) = 2x − x2 − 2�

III

3 Funciones numéricas. Segunda parte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1 Funciones cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Funciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Funciones radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Composición de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Módulo

3. Funciones numéricas. Segunda parte.

“La ciencia no tiene patria. Pero el hombre que hace ciencia sí la tiene”.Bernardo Houssay (1887 - 1971)

En el Módulo 1 trabajamos principalmente con modelos lineales y en cómo encontrar elmejor modelo lineal para un conjunto de datos experimentales. En el Módulo 2 desarrollamosla definición de función con sus elementos principales y sus propiedades de crecimiento,decrecimiento, máximos y mínimos. Los problemas biológicos o químicos raramente sonlineales y es por eso que en este Módulo comenzaremos con el estudio de otras funciones.

3.1 Funciones cuadráticas.3.1.1 Velocidad en la síntesis de mRNA.

La bacteria Escherichia coli, que abreviaremos E. coli, es capaz de reproducirse muyrápidamente. Bajo condiciones ideales de crecimiento, puede dividirse cada 20 minutos.Esta capacidad de duplicación está acompañada por la velocidad en la que las células logransintetizar el mRNA durante la transcripción. Estudiaremos la relación que existe entre lavelocidad con la que se producen los diferentes componentes interiores de cada célula y eltiempo que tardan en duplicarse.

La bacteria E. coli es uno de los or-ganismos patógenos más relevantesen el humano, tanto en la produc-ción de infecciones gastrointestina-les como de otros sistemas (urinario,sanguíneo, nervioso). Fue descritapor primera vez en 1885 por Theodo-re von Escherich, bacteriólogo ale-mán, quien la denominó Bacteriumcoli commune. Posteriormente la ta-xonomía le adjudicó el nombre deEscherichia coli, en honor a su des-cubridor.

El ADN brinda el código genético para todas las proteínas que se usan directa o indirecta-mente en todos los aspectos del crecimiento, mantenimiento y reproducción de las células. Lasíntesis de proteínas se organiza en dos procesos: transcripción y traducción. Ver Figura 3.1.

Figura 3.1: Procesos de transcripción y traducción en la síntesis del ADN.

Transcripción:La transcripción de un gen bacterial está controlada por una secuencia de pasos donde

la proteína RNA polimerasa lee el código genético y produce un mensaje complementariomRNA a modo de plantilla o molde. Este mRNA es un boceto con una corta vida útil y sirvepara producir una proteína específica de la célula bacteriana.

Traducción:La traducción del mRNA en una bacteria comienza rápidamente luego de la transcripción.

Los ribosomas leen el mRNA y ensamblan secuencialmente una serie de aminoácidos (basadosen los elementos específicos leídos) para formar un polipéptido. Se cree que ciertas propiedades

40 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

físicas en los átomos hacen que estos polipéptidos se pliegen formando estructuras terciariasque crean proteínas activas; y frecuentemente estas estructuras terciarias se combinan conotros elementos para producir otras proteínas o enzimas.

µ r

0.6 4.31 9.11.5 132 192.5 23

Tabla 3.1: Datos para la cantidad µ de dupli-caciones por hora y la velocidad de síntesis delmRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.

Diferentes tiempos de duplicación celular hacen variar la velocidad de producción delos componentes internos de la célula. En la Tabla 3.1 se muestran datos que relacionan lacantidad de duplicaciones que realiza una bacteria en una hora (medido en duplicaciones/hs)que denominaremos µ, y la velocidad de síntesis de mRNA se determina por r × 105

nucleótidos/minuto/célula. En la Figura 3.2 se muestran los datos correspondientes de la tabla.

0.5 1 1.5 2 2.5

5

10

15

20

µ (duplicaciones/hora)

r(nucleóticos/m

inuto/célula×

105 )

Figura 3.2: Gráfico para la cantidad µ de duplicaciones por hora y la velocidad de síntesis delmRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.

Nos proponemos determinar un modelo lineal que ajuste los datos de la Tabla 3.1mediantemínimos cuadrados.

r = mµ + b (3.1)

Actividad 3.1a) ¿Están los datos alineados? En caso afirmativo, determinen la ecuación de la recta

correspodiente. En caso negativo, justifiquen analíticamente.b) Determinen el modelo de ajuste lineal con mínimos cuadrados. Puede realizarse con

o con software alternativos que podrán encontrar a continuación.

Para celular, pc, tablets: Desmos. https://play.google.com/store/apps/details?id=com.desmos.calculator

Para celular: Regresión. https://play.google.com/store/apps/details?id=com.alphemsoft.education.regression

Para celular, pc, tablets: Planillas de cálculo Excel u OpenOffice.

c) ¿Qué valor de r corresponde a µ = 0 duplicaciones por hora? ¿Cuál debería ser elvalor razonable esperable para r en este caso?

�

Según el modelo de ajuste lineal por mínimos cuadrados la ordenada al origen encontradaresulta ser b ≈ −1.28 × 105 nucleótidos por minuto por célula. Que no es acorde al sistemareal dado que la síntesis del mRNA se produce en el proceso de división celular.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

10

20

30

Figura 3.3: Modelos r = mµ paraajustar los datos de la Tabla 3.1.

3.1 Funciones cuadráticas. 41

Realizaremos entonces un ajuste lineal con mínimos cuadrados pero imponiendo lacondición de b = 0 en la ecuación 3.1 quedando

r = mµ (3.2)

lo que haría que sólo necesitemos encontrar el valor de la pendiente m.

Actividad 3.2a) Escriban la expresión que permite calcular el error cuadráticomedioECMasociado

al modelo 3.2 y los datos de la Tabla 3.1. La expresión del ECM deberá quedarexpresada en términos de la variable m: ECM(m).

b) Calculen el ECM para valores de m = 8, m = 9, m = 10.c) ¿Es posible calcular m para conseguir el valor mínimo absoluto del ECM?

�

En forma resumida y simplificada, la expresión del error cuadrático medio en funciónde la pendiente m debería haberles quedado como

E MC(m) = 15

(13.86m2 − 253.36m + 1160.3

)(3.3)

La función 3.3 es una función cuadrática; tiene la forma de polinomio de segundo grado.Estudiaremos ahora las funciones cuadráticas cuya representación gráfica es una parábola.

3.1.2 Funciones cuadráticas.El dominio de las funciones cuadráticas son todos los números reales. Su forma general es

f : R→ R f (x) = ax2 + bx + c (3.4)

donde los valores a, b y c se denominan coeficientes. El coeficiente a, denominado coeficienteprincipal debe ser distinto de cero (puede ser negativo o positivo).

La gráfica de una función cuadrática es una parábola con forma de ∪ o con forma de ∩según sea el signo del coeficiente principal a.

a = 1a = 1

2a = 1.5

(a) Con coeficiente a > 0.

a = −1

a = − 12

a = −1.5

(b) Con coeficiente a < 0.

Figura 3.4: Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas f (x) = ax2 + bx + c según el signo del coeficiente principal.

Un elemento principal en las parábolas es su vértice que se corresponde con el máximoabsoluto (en el caso que a < 0) o mínimo absoluto (en el caso que a > 0). Las coordenadasdel vértice pueden encontrarse completando cuadrados en la expresión 3.4

42 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

f (x) = ax2 + bx + c = a(x2 +

ba

x +ca

)=

= a

[x2 +

ba

x +(

b2a

)2−

(b

2a

)2+

ca

]= a

[(x +

b2a

)2−

b2

4a2 +ca

]= a

(x +

b2a

)2+

4ac − b2

4a

Las coordenadas del vértice serán V =(−

b2a,

4ac − b2

4a

).

También son importantes las intersecciones con los ejes coordenados:

Con el eje x:Calculamos las intersecciones con el eje x resolviendo la ecuación

f (x) = 0

ax2 + bx + c = 0

Esta ecuación tendrá 0, 1 o 2 soluciones reales según el signo del discriminante b2 − 4ac.Si b2 − 4ac < 0: no hay soluciones reales. Por lo tanto la gráfica de la función f nointersecta al eje x.Si b2 − 4ac = 0: hay una única solución real dada por

x1 =−b2a

La intersección es el punto (x1, 0).

Si b2 − 4ac > 0: hay dos soluciones reales distintas dadas por

x1 =−b +

√b2 − 4ac2a

x2 =−b −

√b2 − 4ac2a

.

Las intersecciones son los puntos (x1, 0) y (x2, 0).Los valores x1 y x2 se denominanraíces de la función f .

Con el eje y:Lo que usualmente se denomina ordenada al origen. La calculamos evaluando

f (0) = a02 + b0 + c = c.

La intersección con el eje y está dada por el punto (0, c).

� Ejemplo 3.1 La función cuadrátrica f (x) = x2 + 2x − 3 tiene una gráfica parabólica cuyovértice se encuentra en el punto

V =(−

b2a,

4ac − b2

4a

)=

(−

22,

4(−3) − 44

)= (−1,−4)

Corresponde a un mínimo absoluto porque a = 1 es positivo.Dado que el discriminante b2 − 4ac = 4 − 4(−3) = 16 es positivo se tienen dos

intersecciones con el eje x. Las raíces son

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac2a

=−2 ±

√16

2⇒ x1 = 1 x2 = −3

3.2 Funciones polinomiales. 43

Las intersecciones con el eje x son (−3, 0) y (1, 0). Por otro lado, la interseccióncon el eje y es (0,−3). La gráfica de la función se presenta en la Figura 3.5.

�

−4 −3 −2 −1 1 2

−4

−2

2

4

6

0

Vértice

Figura 3.5: Gráfica de f (x) = x2 + 2x − 3y sus elementos principales.

Actividad 3.3 Determinen los elementos de las siguientes funciones cuadráticas y realicensus gráficas.

a) f (x) = −x2 + x + 2 b) g(x) = x2 + 23 c) h(x) = 2x2 − 12x + 18

�

Actividad 3.4 Determinen el valor de m para el valor mínimo absoluto del ECM(m) en elestudio de síntesis de mRNA. ¿Cuál es el modelo lineal resultante en este caso que ajustalos datos de la Tabla 3.1 mediante mínimos cuadrados?

�

3.2 Funciones polinomiales.En el desarrollo del estudio de la velocidad en la síntesis de mRNA hemos recurrido a las

funciones cuadráticas porque buscamos encontrar el mínimo absoluto de la función ECM(m)al intentar hacer un ajuste lineal por mínimos cuadrados de la forma r = mµ.

Las funciones cuadráticas y las funciones lineales son casos particulares de las funcionespolinomiales: aquellas que tiene su forma algebraica como un polinomio respecto a la variableindependiente.

Definición 3.2.1 — Funciones polinomiales. Para n un entero positivo o cero, una funciónpolinomial de grado n es una función definida por una ecuación de la forma

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn,

donde los números ai son números constantes llamados coeficientes de P. El coeficienteprincipal an debe ser distinto de 0.

Se dice que el polinomio nulo P(x) = 0 no tiene grado.

El dominio de una función polinomial es todo R.

Las funciones polinomiales permitirán construir modelos para situaciones reales donde losmodelos lineales no sean adecuados.

a0

Figura 3.6: Gráfica de P(x) = a0 (funciónconstante).

� Ejemplo 3.2 Las funciones polinomiales de grado 0 tienen la forma general

P(x) = a0 donde a0 es un número constante

Por lo tanto su gráfica, ver Figura 3.6, es una recta con pendiente 0 (recta horizontal)y ordenada al origen a0.

Ejemplos

f (x) = 3 g(x) = −1 h(x) = π

�

� Ejemplo 3.3 Las funciones lineales se corresponden con funciones polinómicas de grado 1.Las funciones cuadráticas se corresponden con funciones polinómicas de grado 2. �

44 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

� Ejemplo 3.4 Para estudiar en forma general las funciones polinómicas de cualquier grado setoma como punto de partida el estudio de funciones polinomiales con un único término(el asociado al coeficiente principal). Son las funciones de la forma

P(x) = xn

que se clasificarán en 2 grupos: las que corresponde a grado n par y las que correspondena grado n impar.

En las Figuras 3.7 y 3.8 se presentan varios ejemplos.�

1−1

1

(a) Con grado n = 2.

1−1

1

(b) Con grado n = 4.

1−1

1

(c) Con grado n = 6.

1−1

1

(d) Con grado n = 8.

Figura 3.7: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número par.

1

1

(a) Con grado n = 1.

1

1

(b) Con grado n = 3.

1

1

(c) Con grado n = 5.

1

1

(d) Con grado n = 7.

Figura 3.8: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número impar.

Actividad 3.5 Determinen la imagen de las funciones f (x) = xn según sea grado n par oimpar. �

Las funciones polinómicas se usan frecuentemente en modelado como un medio paraajustar datos complicados. Las curvas polinómicas ajustan bastante bien a los datos y producenmodelos sencillos y simples que permiten interpretar los datos y construir predicciones sobrecómo se comportarán los experimentos. Existen muy buenas rutinas o algoritmos que permitenajustar por medio de mínimos cuadrados usando modelos polinomiales.

Sin embargo, pese a sus buenas propiedades de comportamiento, aparecen dificultades entérminos algebraicos. Por ejemplo, determinar las raíces de una función polinómica puede serdifícil de realizar para grados de n > 2; y sólo en casos muy especiales para grados n > 4.En general, conocemos la fórmula de Baskara para ecuaciones cuadráticas; pero muy pocos

3.3 Funciones racionales. 45

conocen la fórmula para trabajar con ecuaciones de grado tres o cuatro (a pesar que existen).

Actividad 3.6 Determinen las raíces de las siguientes funciones polinomiales:a) f (x) = x3 − 3x2 − 10x b) g(x) = x6 − 64 c) h(x) = x4 − 5x2 + 4

�

3.3 Funciones racionales.El siguiente paso para ampliar el conjunto de funciones con las que trabajaremos es definir

las funciones racionales:

Definición 3.3.1 — Función racional. Una función racional f es el cociente entre dos polino-mios. La forma general es

f (x) =P(x)Q(x)

donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.

El dominio de f está determinado por aquellos números reales para los cuales Q(x) , 0

Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) , 0} .

3.3.1 Funciones f (x) = x−n (tomando n un número entero positivo)Como casos particulares sencillos se tienen las funciones racionales de la forma

f (x) =1xn

siendo n algún número natural. Por ejemplo, las funciones

f (x) =1x

g(x) =1x2 h(x) =

1x3 r(x) =

1x4

La gráfica de la función f (x) =1x

forma una curva en el plano denomi-nada hipérbola.

En todos los casos, el dominio natural de estas funciones es (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Las funciones se clasificarán en 2 grupos: el grupo correspondiente a n par y el grupocorrespondiente a n impar. Ver las Figuras 3.9a y 3.9b donde se presentan los ejemplos

f (x) =1xy g(x) =

1x2 .

y =1x

(a) Con n = 1.

y =1x2

(b) Con n = 2.

Figura 3.9: Funciones f (x) = x−1 y g(x) = x−2.

46 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

Como se observa en las gráficas, estas funciones tienen dos comportamientos asintóticos.Cuando desarrollemos las ideas delímite de una función volveremos so-bre estos asuntos de comportamien-to asintótico. Por ahora presentamoslas funciones con sus gráficas parapoder identificarlas.

Asíntota vertical:La gráfica de la función es asintótica a la recta vertical x = 0. Tanto del lado de los valores

de x cercanos a cero y positivos, como los valores de x cercanos a cero y negativos.

Asíntota horizontal:La gráfica de la función es asintótica a la recta horizontal y = 0. Tanto para valores

grandes de x y positivos como para valores grandes de x y negativos.

3.3.2 Función homográfica.Otros ejemplos particulares e importantes de funciones racionales son las funciones

denominadas funciones homográficas.

Definición 3.3.2 Una función homográfica f es el cociente de dos funciones lineales. Laforma general es

f (x) =ax + bcx + d

donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.Si c = 0 entonces su dominio natural es todo R.Si c , 0 entonces su dominio natural es el conjunto

{x ∈ R : x , − d

c

}.

Si fuera el caso que ad − bc = 0la función se reduce a una funciónconstante.

Para c = 0, se trata de una función lineal por lo que su gráfica será una recta.

Para c , 0 la gráfica será una hipérbola similar a la gráfica de la función g(x) = 1x

Tendrá a la recta vertical x = −dccomo asíntota vertical.

Tendrá a la recta horizontal en y =accomo asíntota horizontal.

Una vez determinados los elementos anteriores falta averiguar cómo será la orientaciónde las ramas de la hipérbola. Ver Figuras 3.10. Una manera de averiguar cuál de las dosopciones corresponde puede ser evaluando la función en algún valor cualquiera x deldominio.

Figura 3.10: Las dos opciones posibles de orientación de las ramas de la hipérbola.

x = 12

y = 1

−1

Figura 3.11: Función f (x) =2x + 12x − 1

.

� Ejemplo 3.5 La función f (x) =2x + 12x − 1

es una función homográfica.

Su dominio natural es R −{ 1

2}.

La recta y = 1 es la asíntota horizontal y la recta x = 12 es la asíntota vertical. Por

último, evaluamos f (0) = −1�

3.4 Funciones radicales. 47

Actividad 3.7 Realicen las gráficas de las siguientes funciones identificando sus elementosprincipales (asíntotas y orientación de las ramas de la hipérbola).

a) f (x) =−x + 2x − 3

b) g(x) =10x

2 + x�

Actividad 3.8 Determinen una función homográfica que tenga asíntota vertical en la rectax = 0 y asíntota horizontal en la recta y = 2. �

3.4 Funciones radicales.Por último, consideraremos las funciones radicales que son aquellas de la forma

f (x) =√

x g(x) = 3√x h(x) = 8√x

f (x) =√

x

Figura 3.12: Gráfica de f (x) =√

x.

f (x) = 3√x

Figura 3.13: Gráfica de g(x) = 3√x.

Definición 3.4.1 — Funciones radicales. La forma general de las funciones radicales es

f (x) = n√

x = x1/n Para n un número entero positivo.

El dominio natural correspondiente depende del valor de n.Si n es par entonces el dominio natural es [0,+∞).Si n es impar entonces el dominio natural es todo R.

Considerando que y = x1/n es equivalente a yn = x (para valores de x ≥ 0) podemosutilizar los desarrollos del Ejemplo 3.4 para proponer las gráficas de estas nuevas funciones.Ver los Ejemplos f (x) =

√x y g(x) = 3√x en las Figuras 3.12 y 3.13.

3.5 Composición de funciones.A menudo, los procesos que aparecen en los sistemas reales son procesos complejos

que pueden desarmarse en procesos más simples. A continuación ilustraremos con algunosejemplos este tipo de situaciones.

a) La población de coyotes es afectada por un virus de conejos, el Myxomatosiscuniculi. El tamaño de una población de coyotes depende de la cantidad de conejos quehay en el sistema; los conejos se ven afectados por el virus Myxomatosis cuniculi; eltamaño de la población de coyotes es una función que depende de la prevalencia delMyxomatosis cuniculi en los conejos.

b) La incidencia de un ataque cardíaco disminuye con dietas bajas en grasas. Losataques cardíacos son iniciados por aterosclerosis, una acumulación o depósito desustancias grasas en las arterias; en personas con ciertas características genéticas, losdepósitos se reducen con una dieta baja en grasas. En algunas personas, el riesgo deataques cardíacos se ve disminuido por las dietas bajas en grasas.

c) Tiemblas en un ambiente frío. Entrás en un ambiente frío y los receptores del frío(nervios sensibles a la temperatura) envían señales a tu hipotálamo; el hipotálamo haceque las señales se envíen a los músculos, aumentando su tono; una vez que el tonoalcanza un umbral, comienzan las contracciones musculares rítmicas. Ver la Figura 3.14.

Frío Nervio Hipotálamo Temblor

Figura 3.14: Esquema para representar la cadena de relación entre los receptores nerviosos,el hipotálamo y los temblores.

48 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

Los tres ejemplos anteriores son procesos complejos que pueden descomponerse cada unode ellos en dos procesos más simples que se realizan uno a continuación del otro.

Definición 3.5.1—Composición de funciones. Si f y g son dos funciones numéricas entoncesse puede realizar la composición de g con f formando una nueva función h de la siguienteforma

h(x) = f (g(x))

El dominio natural de la función h está determinado por los números x que están en eldominio de g y tales que g(x) pertenece al dominio de f . Simbólicamente queda

Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}

La composición h se escribe f ◦ g.

C Cuando escribimos f ◦ g estamos pensando que primero realizamos el proceso g y luegorealizamos el proceso f .

( f ◦ g)(x) = f ( g(x)︸︷︷︸1° proceso

)

︸ ︷︷ ︸2° proceso

.

Se lee f ◦ g = “g compuesta con f " (se lee al revés de cómo se escribe).Como mencionamos, comenzamos con un x en el dominio de g y calculamos g(x).Si este número g(x) está en el dominio de f , entonces calculamos el valor f (g(x)).Observen que la salida de una función es usada como la entrada de la siguiente función.Por eso decimos que el dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio deg tales que g(x) está en el dominio de f .

xEntrada

g

g(x)

f

f (g(x))Salida

f ◦ g

Figura 3.15: Composión f ◦ g.

En el ejemplo del escalofrío mencionado previamente, las células nerviosas que percibenla baja temperatura serían la función g y el hipotálamo que envía señales al músculo la funciónf . El resultado neto es que la señal de frío aumenta el tono muscular. Esta relación se puedediagramar como en la Figura 3.16. Las flechas muestran la dirección del flujo de información.

Frío Nervio

g

Hipotálamo

f

Temblor

f ◦ g

Figura 3.16: Esquema, en formato composición, para el proceso “frío→temblor".

Actividad 3.9 Pongan nombres en los diagramas que están en las Figuras 3.17 y 3.18 parailustrar la dependencia del número de coyotes con elMyxomatosis cuniculi y la dependenciade la frecuencia de un ataque al corazón con la dieta de una población.

Figura 3.17: Esquema, en formato composición, para el proceso “virus→coyotes".

3.5 Composición de funciones. 49

Figura 3.18: Esquema, en formato composición, para el proceso “dieta→ataquescardíacos".

�

Actividad 3.10 Escriban ejemplos de composición de dos procesos biológicos en formasimilar a los ejemplos de la Sección 3.5. Confeccionen los diagramas de cajas correspon-dientes.

�

� Ejemplo 3.6 La función h(x) =√

x4 + 2 resulta ser la composición de las funcionesf (x) =

√x y g(x) = x4 + 2.

Sabiendo que Dom( f ) = [0,+∞) y Dom(g) = R podemos calcular el dominio de hplanteando

Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}

={

x ∈ R : x4 + 2 ≥ 0}= R

El dominio de h son todos los números reales. �

Actividad 3.11 Consideren las mismas funciones que en el Ejemplo 3.6a) Calculen la composición g ◦ f .b) Determinen su dominio natural.c) ¿Obtuvieron los mismos resultados que en el Ejemplo 3.6?

�

C La actividad anterior permite concluir que la composición de funciones no cumple la leyconmutativa. En general se tendrá que f ◦ g y g ◦ f serán dos funciones distintas.

� Ejemplo 3.7 Si consideramos f (x) = x2 y g(x) = x − 4 y calculamos las funcionescompuestas f ◦ g y g ◦ f se obtienen

( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 4) = (x − 4)2

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = x2 − 4

Dado que los dominios naturales de f y g son todos los reales entonces los dominiosnaturales de f ◦ g y g ◦ f también serán todos los reales. �

50 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

� Ejemplo 3.8 Si consideramos T(r) =√−r + 2 y M(s) =

√s calcularemos M ◦ T y

determinaremos su dominio natural.

(M ◦ T)(r) = M(T(r)) = M(√−r + 2

)=

√√−r + 2 = 4√

−r + 2

Y en cuanto al dominio se tiene Dom(M) = [0,+∞) y Dom(T) = (−∞, 2]; por lotanto,

Dom(M ◦ T) = {r ∈ Dom(T) : T(r) ∈ Dom(M)}

={r ∈ (−∞, 2] :

√−r + 2 ∈ [0,+∞)

}= (−∞, 2]

�

Actividad 3.12 Considerando las funciones M y T del Ejemplo 3.8, calculen

a) T ◦ M b) T ◦ T c) M ◦ M�

C La composición de funciones puede hacerse con más funciones si fuera necesario.Pueden tomar tres o más funciones y componerlas. Por ejemplo, la función compuestaf ◦ g ◦ h está definida como

( f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))).

3.6 Ejercitación.Ejercicio 3.1 Una pelota se lanza verticalmente con una velocidad de 11 m/s desde el niveldel suelo (altura = 0). La altura h medida en metros de la pelota en cada instante t medidoen segundos está determinada por la función h(t) = 11t − 10t2.

a) Realicen la gráfica de la función h.b) Encuentren la altura máxima que alcanza la pelota.c) ¿En qué instante la pelota vuelve a caer al piso?

�

Ejercicio 3.2 Realicen las gráficas y marquen las intersecciones encontradas en el Ejercicio1.11 del Módulo 2. �

A c

0.12 0.050.32 0.140.5 0.210.66 0.3

Tabla 3.2: Concentración c en mi-liMolares y absorbancia A de unamuestra.

Ejercicio 3.3 Un espectrofotómetro usa la ley de Lambert-Beer para determinar la concen-tración de una muestra c basado en su absorbancia A. La ley establece que se satisface unarelación lineal

c = mA

donde m es la pendiente de la recta.La Tabla 3.2 recolecta datos para la concentración c (en miliMolar) y la absorbancia A

de una muestra.a) Determinen una expresión para ECM(m), error cuadrático medio dependiente del

valor de la pendiente m en el modelo lineal propuesto.b) Realicen el gráfico de ECM(m). Determinen la recta correspondiente al mejor ajuste

3.6 Ejercitación. 51

lineal.c) Con el ajuste encontrado determinen la concentración de dos muestras desconocidas

cuyas absorbancias son A = 0.45 y A = 0.62.�

Para resolver desigualdades de laforma

(x − 4)2 − 3 > 0

o de la forma

(x + 1)2 < 7

puede ser útil recordar las siguien-tes equivalencias (para valores de apositivos):

u2 > a

u ∈ (−∞,−√

a) ∪ (√

a,+∞)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

u2 < a

u ∈ (−√

a,√

a).

Ejercicio 3.4 Un rectángulo tiene largo l, ancho a y un perímetro de 40 cm.a) Determinen una expresión del ancho a como función del largo l.b) Determinen una expresión para el área del rectángulo en función del largo l (únicamente

con esa variable independiente).c) Realicen el gráfico de la función anterior y determinen qué valor de l produce que el

rectángulo tenga la mayor área posible.�

Ejercicio 3.5 Determinen el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x) =√

8 − 2x b) h(x) =√

1 − x2 c) g(x) =√

8 − 2x − x2

�

Ejercicio 3.6 Encuentren, para cada caso, funciones f (z) y g(x) tales que las siguientesfunciones h(x) puedan escribirse como f (g(x)).

a) h(x) = (1 + x2)3 b) h(x) =√

x3 + 3 c) h(x) =1

x2 − 2x + 1�

Ejercicio 3.7 Calculen las composiciones, f (g(x)), de los siguientes pares de funciones. Encada caso especifiquen el dominio de la función compuesta. Propongan una gráfica de lafunción compuesta (pueden utilizar el Geogebra).

a) f (z) = z − 1 g(x) = 2x + 1 b) f (z) =1

1 + zg(x) = x2

c) f (z) =z

1 + zg(x) =

x1 − x

d) f (z) =1z

g(x) = 1 + x2

e) f (z) =z

1 − zg(x) =

x1 + x

f ) f (z) =√

z g(x) = x2 − 1�

x 1 2 3 4 5 6

f (x) 3 1 4 2 2 5g(x) 6 3 2 1 2 3

Tabla 3.3: Tabla de valores de f y g.Ejercicio 3.8 Usen la información de la Tabla 3.3 para calcular cada expresión

a) f (g(1)) b) g( f (1)) c) f ( f (1)) d) g(g(1))

e) (g ◦ f )(3) f ) ( f ◦ g)(6)�

Ejercicio 3.9 Usen las gráficas de f y g, Figura 3.19, para evaluar cada expresión en loscasos que sea posible (en los casos que no sea posible expliquen por qué).

a) f (g(2)) b) g( f (0)) c) ( f ◦ g)(0)

d) (g ◦ f )(6) e) (g ◦ g)(−2) f ) ( f ◦ f )(4)�

Figura 3.19: Gráficas de las funciones f yg.

Ejercicio 3.10 Escriban la función At (área de la colonia de moho, Módulo 1) comocomposición de funciones. Relicen un diagrama similar a la Figura 3.17. �

IV

4 Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1 Estudio de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Rectas secantes y recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Módulo

4. Derivadas.

“En la medida que las teorías matemáticas se refieran a la realidad perderán certeza;y en la medida que adquieran certeza se alejarán de la realidad.”

Albert Einstein (1879 - 1955)

En el presente módulo nos dedicaremos a estudiar la velocidad: la velocidad a la que semueve un objeto, la velocidad de las reacciones químicas, la velocidad de crecimiento de uncultivo bacteriano, la velocidad de propagación de una enfermedad, etc.

Los ejemplos anteriores son todos ejemplos que hacen referencia a situaciones donde lavariable independiente es el tiempo.

El movimiento de un objeto está representado por su posición que varía en función deltiempo; la velocidad del objeto nos permite saber si el objeto se mueve rápido, despacio,si avanza o retrocede.En las reacciones químicas, se estudia la cantidad de sustancia que reacciona en funcióndel tiempo. Hay reacciones lentas que pueden durar años y otras muy rápidas quesuceden en una fracción de segundo.La concentración de un medicamento en el cuerpo es variable en función del tiempo.Los estudios farmacológicos y fisiológicos permiten estudiar cómo controlar la velocidadcon que el cuerpo “absorbe” el medicamento.En cuanto al crecimiento de un cultivo, de manera similar, se estudia el tamaño deun cultivo como función del tiempo. El crecimiento de cultivo generalmente se midesegún la densidad óptica o el área ocupada. Se estudian generalmente los factores queinfluyen en la velocidad de crecimiento de las poblaciones; que pueden ser la temperaturaambiente, el tipo de nutriente, la presencia de luz, etc.Las velocidad de propagación de las enfermedades también se refiere al modo en queuna infección se expande en un territorio en función de tiempo medido en días, meses,años, siglos, etc. En este contexto, las velocidades negativas representan procesos dondela cantidad de infectados disminuye.

Sin embargo, las relaciones funcionales en los sistemas reales no siempre refieren exclusi-vamente al tiempo como variable independiente. También se estudia la relación que existeentre variables diversas y nos interesará comprender qué representa la velocidad en esoscontextos. Por ejemplo,

Figura 4.1: Temperatura en función de laaltura.

Figura 4.2: Erlenmeyer y vasos de precipi-tado.

La temperatura ambiente cambia de forma diferente según la altura respecto al nivel delmar en la que nos encontremos. Figura 4.1.La actividad de una enzima en una reacción mejora cuando se varía la temperatura hastauna cierta temperatura crítica a partir de la cual la variación de la temperatura empeorala actividad de la enzima.Al volcar un líquido en un recipiente, la altura del líquido varía según el volumen dellíquido que volcamos. En el caso de un vaso de precipitado la variación de la alturase produce de manera constante; mientras que en un Erlenmeyer la altura del líquidoaumenta más rápido cuanto más lleno está. Ver Figura 4.2. La forma de los recipientes y elmodo

en que varía (su sensibilidad) la altu-ra del líquido respecto a su volumenjuega un papel importante en la pro-pagación de errores experimentalesen los trabajos de laboratorio.

4.1 Estudio de la velocidad.4.1.1 Velocidad promedio.

Comenzaremos estudiando la velocidad con la que se mueve un objeto. Lo que nos interesaes estudiar el cambio de su posición con respecto al tiempo. Por simplicidad y para usar unejemplo muy conocido que sirva de base para las futuras definiciones consideraremos unautomóvil que se mueve por una ruta. Esto quiere decir que nos enfocaremos en el movimientodel auto en una única dirección: la dirección de la ruta. El auto no se mueve hacia los costadosni hacia arriba ni hacia abajo; sólo nos interesa como avanza o retrocede.

56 Capítulo 4. Derivadas.

La descripción del movimiento unidimensinal se realizará de la siguiente manera:

Se elige un punto de referencia sobre la ruta que represente el valor de la posición 0.Usualmente se decide ubicar el 0 en el lugar donde el auto inicia el recorrido.Se elige un sentido de la ruta para que represente los valores positivos de la posición.Se eligen unidades adecuadas para medir la distancia y el tiempo.

Con estas premisas se establece que la posición p del auto en el instante de tiempo t estádada por la función

p(t) = ±la distancia (en unidades) a la ubicación del 0 en el instante t (en unidades)

C La presencia de ± en la expresión anterior se refiere a que la posición del auto seconsidera positiva si el auto se encuentra del lado positivo elegido para la ruta y seconsidera negativa si el auto se encuentra del lado contrario.

t (min) p (km)

0 01 0.352 1,23 94 9,25 9.356 137 188 169 13

Tabla 4.1: Posición del auto (en km) enfunción del tiempo (en minutos).

Por ejemplo, en la Tabla 4.1 se representa la posición p del auto, en kilómetros, desde elpunto de partida y el tiempo t en minutos.

Actividad 4.1 Discutan con sus compañeros/as y con los docentes las siguientes proposicio-nes. Decidan si son verdaderas o falsas. En todos los casos, expliquen sus respuestas.

a) La primera línea de la tabla representa la distancia cero y el tiempo cero.b) Después de un minuto llegó a estar 0,35 km del punto de partida.c) Luego, a los dos minutos ya se encontraba a 1,2 km del punto de partida.d) Entre los minutos 3 y 5 el auto no avanzó.e) Luego acelera para lograr a los 6 minutos estar a 13 km del punto de partida.f ) Un minuto más tarde avanzó 5 km más.g) A los 8 minutos, el auto retrocedió porque la distancia al punto de partida fue de 16

km.h) El último dato que se tiene es que a los 9 minutos el auto se encuentra en la misma

posición que se encontraba a los 6 minutos de haber partido.�

En la Figura 4.3 se representan los datos de la posición (en km) del auto sobre la ruta enfunción del tiempo (en minutos).

0 2 4 6 8

0

5

10

15

t (minutos)

p(km)

Figura 4.3: La posición (en km) del auto sobre la ruta en función del tiempo (en minutos).

4.1 Estudio de la velocidad. 57

Calcularemos la velocidad promedio del auto entre cada par de instantes de la siguientemanera:

Definición 4.1.1 — Velocidad promedio - Recta secante.La velocidad promedio del auto entre dos instantes t1 y t2 (debemos considerar que

t1 y t2 son dos números distintos) es el cociente entre la variación de la posición y lavariación del tiempo

Vprom[t1, t2] =p(t2) − p(t1)

t2 − t1=

∆p∆t︸︷︷︸

forma abreviada

(4.1)

El símbolo ∆ (letra griega Delta) simboliza la variación de la variable a la que acompaña.

La velocidad promedio es un valor numérico que coincide con la pendiente de larecta que pasa por los puntos (t1, p(t1)) y (t2, p(t2)). Esa recta se denomina recta secante ala gráfica de la función p en esos puntos.

Figura 4.4: La velocidad prome-dio como la pendiente de la rectaque pasa por los puntos (t1, p(t1)) y(t2, p(t2)).

t (min)

p(t) (km)

pendiente=∆p∆t

p(t1)

t1

p(t2)

t2

∆p = p(t2) − p(t1)

∆t = t2 − t1

∆t

C La variación promedio entre dos instantes tiene la unidad de medida correspondiente alas que se eligieron para la posición y el tiempo. En nuestro caso corresponde.

Vprom[t1, t2] =kmmin

Actividad 4.2 Discutan las siguientes proposiciones (respecto a la Tabla 4.1). Decidan sison verdaderas o falsas. En todos los casos, expliquen sus respuesta.

a) La velocidad promedio del auto fue menor entre los instantes 0 y 2 que entre losinstantes 3 y 5.

b) La mayor velocidad promedio entre los datos registrados es la Vprom[6, 7].c) Todas las velocidades promedio registradas son positivas.d) Entre los instantes 0 y 1 y entre los instantes 3 y 5 el auto recorrió la misma cantidad

de km. Por lo tanto, laVprom[0, 1] = Vprom[3, 5]

e) La Vprom[0, 9] se puede calcular como el promedio de las velocidades promedioentre 0 y 1, entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc. hasta 8 y 9.

�

58 Capítulo 4. Derivadas.

4.1.2 Velocidad instantánea.La velocidad promedio determina cómo varía la posición de un objeto entre dos instantes

de tiempo. En los movimientos unifomes, la velocidad promedio del objeto es la mismapara cualquier par de instantes que elijamos. En los movimientos no uniformes, la velocidadpromedio puede variar según el intervalo que tomemos.

Cuando decimos que la velocidad promedio entre los 6 y los 7 minutos es de 3,65 km/minno tenemos información precisa sobre la velocidad del auto en los instantes intermedios.Tenemos que recurrir al velocímetro interno del auto que nos indica con la aguja la velocidaden cada instante variando la inclinación de la aguja cuando aceleramos o frenamos.

Consideremos ahora otro auto en las condiciones mencionadas previamente para ladescripción del movimiento unidimensional. También en este caso consideraremos quep(0) = 0.

Pero en esta oportunidad, la posición p (en metros) del auto en cada instante t (en segundos)está dada por la fórmula

p(t) = 3t2 para t ≥ 0

La gráfica de la función p se presenta en la Figura 4.5.

t (seg)

1 2 3

p (en metros)

10

20

30

0

Figura 4.5: Gráfica de la función posiciónp(t) = 3t2.

Intervalo Vprom

[1, 3]

[1, 2]

[1, 1.5]

[1, 1.2]

Tabla 4.2: Varios valores para la variaciónpromedio de la función posición p(t).

Actividad 4.3a) Calculen la Vprom[1, 3].b) Para un valor t > 1, redondeen la expresion correcta de Vprom[1, t]

3t2 − 33t2 − 3t − 1

3t2

tc) Usen la fórmula señalada anteriormente para confirmar el valor de Vprom[1, 3].

d) Completen la Tabla 4.2 y grafiquen las rectas secantes correspondientes en laFigura 4.5.

e) ¿Cuál de los valores: 12 m/s o 6.6 m/s es una mejor aproximación de la velocidadque marca el velocímetro del auto en t = 1 segundo? Explicar la respuesta.

f ) ¿Se obtiene un resultado mejor si se calcula Vprom[1, 1.1]?

g) Elijan un valor de t que mejor la precisión.

h) ¿La respuesta del item g) es la mejor de todas las aproximaciones? ¿Se puedemejorar? Si la respuesta es sí, expliquen cómo correspondería realizar esa mejora. Sila respuesta es no, explicar el razonamiento.

i) ¿Cuál es el valor de Vprom[1, t] en el caso que t = 1 segundo?

j) ¿Cuál es el valor que consideran que representa la velocidad instantánea del autoen el instante t = 1 segundo?

�

4.2 Rectas secantes y recta tangente. 59

4.2 Rectas secantes y recta tangente.

Como mencionamos previamente el valor

Vprom[1, t] =∆p∆t

representa la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función p que pasa por los puntos

(1, p(1)) (t, p(t))

En la Figura 4.6 se representan las rectas secantes asociadas a los puntos de la Tabla 4.2.

t (seg)

11.11.2 1.5 2 3

p (m)

10

20

30

0

(2, p(2))

(1.5, p(1.5))

(3, p(3))

(1, p(1))

Valores de t que se aproximan a 1.

Figura 4.6: Gráfica de la función posición p(t) = 3t2 y varias rectas secantes asociadas a lospuntos de la Tabla 4.2.

Intervalo Vprom

[1, 3] 12

[1, 2] 9

[1, 1.5] 7.5

[1, 1.2] 6.6

[1, 1.1] 6.3

[1, 1.01] 6.03

[1, 1.001] 6.003

[1, 1.0001] 6.0003

Tabla 4.3: Varios valores para la variaciónpromedio de la función posición p(t).

Definición 4.2.1 — Recta tangente - velocidad en un instante. Se denomina recta tangenteen el punto (1, p(1)) a la gráfica de una función p a la recta que pasa precisamente por elpunto (1, p(1)) y cuya pendiente coincide con el valor de la velocidad en el instante t = 1.

Vprom[1, t]︸ ︷︷ ︸Pendiente de la recta secante paralos puntos (1, p(1)) y (t, p(t)).

6︸︷︷︸Pendiente de la recta tangente en el

punto (1, p(1)).

La definición requiere determinar el valor de la pendiente de la recta tangente medianteun proceso de aproximación usando las pendientes de las rectas secantes.

60 Capítulo 4. Derivadas.

t (seg)1 3

p (en metros)

10

20

30

0

∆p

∆t t (seg)1 2

p (en metros)

10

20

30

0

∆p

∆t t (seg)1 1.5

p (en metros)

10

20

30

0

∆p

∆t

t (seg)11.2

p (en metros)

10

20

30

0

∆p∆t t (seg)

11.1

p (en metros)

10

20

30

0

∆p∆t t (seg)

11.01

p (en metros)

10

20

30

0

∆p∆t

Figura 4.7: Recurso Geogebra.

En el siguiente link pueden trabajar con un recurso simple que visualiza cómodeterminar la velocidad instantánea del auto en el instante t = 1 aproximando elvalor por las correspondientes velocidades promedio.https://ggbm.at/R7maabHt

Al mover el punto magenta podemos dinamizar el proceso de aproximación al punto(1, p(1)) que nos permite ir calculando los valores de las pendientes de las rectassecantes

∆p∆t[1, t]

para poder determinar el valor de la pendiente de la recta tangente.

En la Figura 4.8 se presenta otras tres gráficas de funciones con situación similar de rectatangente en un punto de su gráfica. En el caso del gráfico C la recta graficada no es la rectatangente.

Figura 4.8: Tres casos que aceptan recta tangente en el punto (2, 4) perteciente a la gráfica.

4.2 Rectas secantes y recta tangente. 61

En la Figura 4.9 vemos tres situaciones en donde no hay recta tangente en el punto (3, 2)(perteneciente a la gráfica de la función). Las situaciones A y B seguramente no presentendudas a los lectores pero la última (situación C) suele llevar a muchas discusiones.

Figura 4.9: En ninguna de estas situaciones la curva posee recta tangente en el punto (3, 2).

Actividad 4.4 ¿Qué argumento pueden dar para explicar por qué no hay recta tangente en elpunto (3, 2) en ninguno de los casos de la Figura 4.9?

�

4.2.1 Recta tangente.En esta sección generalizaremos las nociones anteriores para el caso de funciones numéricas

de la forma y = f (x).

Definición 4.2.2 — Recta tangente al gráfico de una función. Supongamos que el dominio dela función f contiene un intervalo abierto que contiene al número a.

Supongamos además que existe un número ma tal que para puntos b , a en el intervalo,

cuando b se aproxima a a entoncesf (b) − f (a)

b − ase aproxima a ma .

Entonces ma es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a, f (a)).

El gráfico de y = ma (x − a) + f (a) es la recta tangente a la gráfica de f en (a, f (a)).

Figura 4.10: Recta tangente en elpunto (a, f (a)) a la gráfica de la fun-ción f .

x

f Recta tangentey = ma(x − a) + f (a)

a

f (a)(a, f (a))

62 Capítulo 4. Derivadas.

C La frase

cuando b se aproxima a a entoncesf (b) − f (a)

b − ase aproxima a ma .

permite conectar la geometría y el cálculo asociado al problema de determinar lavelocidad instantánea de un móvil. Por ahora la usaremos como idea intuitiva; enocasiones diremos “está cerca de” en vez de “se aproxima a” pero estaremos refiriendoa lo mismo.

� Ejemplo 4.1 Consideremos la función f (x) = x2 y el punto (1, f (1)) perteneciente a sugráfica. Para hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1, 1)debemos encontrar el valor de ma (la pendiente) para escribir la ecuación

y = ma (x − 1) + f (1).

Comenzamos calculando la pendiente de una recta secante que pase por el punto(1, f (1)) y por un punto de la forma (x, f (x)) con x , 1

Vprom[1, x] =∆ f∆x[1, x] =

f (x) − f (1)x − 1

=

=x2 − 1x − 1

=(x − 1)(x + 1)

x − 1=

= x + 1 ¿Se aproxima a algún valor cuandox se aproxima a 1?

Aunque “aproximarse” sea algo sin una definición precisa es bastante razonableescribir

x︸︷︷︸Se aproxima a 1

+1

se aproxima︷︸︸︷ 2

Por lo tanto,

cuando x se aproxima a 1 entoncesf (x) − f (1)

x − 1se aproxima a 2.

La pendiente de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1, 1) es 2, por loque la ecuación de la recta tangente es y = 2(x − 1) + 1.

�

Actividad 4.5 Realicen la gráfica de la parábola y = x2 y la recta tangente en el punto (1, 1).�

Actividad 4.6 Para dar un poco de sentido a la expresión “aproximar” respondan lassiguientes preguntas usando la intuición sobre los valores que se piden.

a) Cuando b se aproxima a 4, ¿a qué número se aproxima 3b?b) Cuando b está cerca de 5, ¿de qué número está cerca b3?c) Cuando b está cerca de 5, ¿de qué número está cerca 3b + b3?

4.2 Rectas secantes y recta tangente. 63

d) Cuando b se acerca a 0, ¿a qué número se acercab2

b?

e) Cuando b está cerca de 3, ¿a qué número se aproxima2b

Nota: La respuesta no es 0.66 ni 0.67.�

¿Cómo respondieron a la pregunta del inciso c)? Una opción habrá sido quizás tomarvalores de b aproximados a 5 y cada vez más cercanos, para luego calcular 3b+b3. Por ejemplo:si consideramos 4.99 entonces 3 4.99 + 4.993 = 139.22. Si tomamos 4.99999 (más cercanoa 5 que el anterior) entonces 3 4.99999 + 4.999993 = 139.99922. Es razonable pensar que3b+ b3 se acerca a 140 si b se acerca a 5. En esta caso también es posible evaluar directamentela expresión 3b + b3 por b = 5 y obtener 3 5 + 53 = 140.

2

.25

0

(2, 14 )

(x, 1x2 )

Figura 4.11: Gráfica de la función f (x) =1x2 y la recta secante que pasa por los puntos(2, 1

4

)y

(x, 1

x2

).

� Ejemplo 4.2 Determinaremos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f (x) =1x2

(2, 1

4

).

La Figura 4.11 presenta una parte (la correspondiente al cuadrante I) de la gráficade la función y la recta secante que pasa por los puntos

(2, 1

4

)y

(x, 1

x2

)para un x , 2.

Para determinar la pendiente de la recta secante escribimos

∆ f∆x[2, x] =

f (x) − f (2)x − 2

=

1x2 −

14

x − 2=

4−x2

4x2

x − 2=

4 − x2

4x2(x − 2)

=(2 − x)(2 + x)

4x2(x − 2)=

−1︷ ︸︸ ︷���(2 − x)(2 + x)

4x2���(x − 2)︸ ︷︷ ︸1

=−(2 + x)

4x2

Si ahora consideramos que x se aproxima a 2 entonces∆ f∆x[2, x] se aproxima a

−(2 + 2)4 22 = −

14.

La ecuación de la recta que estamos buscando es y = − 14 (x − 2) + 1

4 . �

Actividad 4.7 En los siguientes casos, determinen la ecuación de la recta tangente a lagráfica de la función f en el punto indicado. Realicen las gráficas de las funciones y lasrectas tangentes.

a) f (x) =1x

en el punto (1, 1). b) f (x) =1x

para x = −1.

c) f (x) =2x − 4x − 1

para x = 2. d) f (x) =√

x en el punto (4, 2)�

64 Capítulo 4. Derivadas.

4.3 Límites.Nos proponemos trabajar con la frase que utilizamos en la sección anterior para definir la

pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (a, f (a)). Tomamos unvalor de b , a y escribimos:

cuando b se aproxima a a entoncesf (b) − f (a)

b − ase aproxima a ma .

Nos interesa separar los dos procesos que allí intervienen

Proceso 1:

b se aproxima a a (para b , a)

Proceso 2:

f (b) − f (a)b − a

se aproxima a ma

Este segundo proceso está relacionado con nuestro interés particular de calcular lapendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = a o lo que era equivalente lavelocidad instantánea de un móvil en el tiempo t = a. Sin embargo, para el propósito quetenemos en esta sección de estudiar esta interacción de los procesos, vamos a simplificar elproblema y pensar que la expresión

f (b) − f (a)b − a

es una expresión que llamaremos

E(b) =f (b) − f (a)

b − a.

Nos interesa entonces estudiar la frase, para b , a

cuando b se aproxima a a︸ ︷︷ ︸Proceso 1

entonces E(b) se aproxima a ma .︸ ︷︷ ︸Proceso 2

Ambos procesos se refieren a la misma noción de aproximarse. Y se plantea que elProceso 2 es una consecuencia del Proceso 1. La interacción de estos dos procesos comouna cadena que se coordinan forman parte de la noción de límite que desarrollaremos en estasección.

� Ejemplo 4.3 El Ejemplo 4.2 estuvo dedicado a calcular la ecuación de la recta tangente

a la gráfica de la función f (x) =1x2 en el punto con abscisa x = 2. Calculamos la

Vprom[2, x], para x , 2

cuando x se aproxima a 2︸ ︷︷ ︸Proceso 1

entonces4 − x2

4x2(x − 2)se aproxima a m2.︸ ︷︷ ︸

Proceso 2�

4.3 Límites. 65

Actividad 4.8 Discutan en el grupo con sus compañeros/as y con los docentes las siguientespreguntas relacionadas con el Proceso 1.

a) ¿Quién se aproxima a quién? ¿Quién se mueve y quién se queda quieto?b) ¿Por que se debe considerar que b , a?c) ¿Es importante que b > a? ¿Puede ser b < a?

�

El Proceso 1 es un proceso dinámico. No es estático. No es evaluar en f (2.1) y listo. Esconsiderar a la variable b como un número que se mueve hacia a, aproximándose.

2b −→ ←− b

Sin embargo, vamos a tener que diferenciar lo siguiente:

Actividad 4.9 Considerar b con los siguientes valores

b︷ ︸︸ ︷1 1.5 1.7 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 −→

Discutan en el grupo sobre las siguientes afirmacionesa) b se está acercando a 0.b) b se está acercando a 2.c) b se está acercando a 3.

¿Qué diferencias hay entre las afirmaciones b) y c)?�

La primera afirmación es falsa dado que sucede lo contrario: b está alejándose de 0. Sinembargo, las afirmaciones b) y c) pueden ser considerardas ambas verdaderas. Por ello, esnecesario ponernos de acuerdo en que lo que realmente nos interesa es la afirmación b).

Definición 4.3.1 — Límite b→ a b→ a+ b→ a−.Decimos que la variable b tiende a a cuando podemos asegurar que la distancia entre b ya puede hacerse tan pequeña como uno quiera. No hacemos diferencia aquí si b es másgrande o más chico que a.

Escribiremos b −→ a. También se dice que a es el límite de b.

Diremos que la variable b tiende por derecha a a cuando sabemos que b −→ a peroademás b es siempre mayor a a.

Escribiremos b −→ a+. También se dice que a es el límite por derecha de b.

Diremos que la variable b tiende por izquierda a a cuando sabemos que b −→ a peroademás b es siempre menor a a.

Escribiremos b −→ a−. También se dice que a es el límite por izquierda de b.

a

b<a︷ ︸︸ ︷b −→ a−

b>a︷ ︸︸ ︷a+ ←− b

66 Capítulo 4. Derivadas.

C En las notaciones en las que usamos la flecha −→ hay que destacar/remarcar que

b︸︷︷︸Se mueve

−→ a︸︷︷︸Está quieto

C La palabra límite tiene muchos significados en nuestro idioma castellano. En generalasociamos la palabra límite con las ideas de: frontera, límite geográfico, poner límites,poner un tope, velocidad límite como velocidad máxima. Sin embargo, cuando decimos“a es el límite de b” no estamos haciendo referencia a ninguno de los casos anteriores: ano es la frontera de b, a no es el tope de b, etc.En sentido matemático, el significado de la palabra límite está asociado más a la idea deobjetivo o a dónde queremos llegar.“Queremos que b llegue a a". “Nuestro objetivoes que b alcance a a”.Tendremos que acostumbranos a este nuevo significado de la palabra; que a menudo, sino estamos atentos o atentas, causará confusión.

C Por último, no siempre podremos decir que b→ a. En ocasiones los valores de b secomportarán de manera tal que no estarán acercándose o tendiendo a ningún valorespecífico.Como por ejemplo los siguientes 2 casos:

b︷ ︸︸ ︷1 2 3 4 5 6 7 8 −→ ?

b︷ ︸︸ ︷1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 −→ ?

Continuamos ahora con el Proceso 2 de la frase que comenzamos estudiando.

E(b) se aproxima a ma .

Actividad 4.10 Discutan las siguientes preguntas relacionadas con el Proceso 2.a) ¿Quién se aproxima a quién? ¿Quién se mueve y quién se queda quieto?b) ¿Cómo se escribiría el proceso usando la notación de −→ ?

�

La frase completa utilizando estas ideas descriptas anteriormente queda expresada como

cuando b −→ a︸ ︷︷ ︸Proceso 1

entonces E(b) −→ ma .︸ ︷︷ ︸Proceso 2

En forma más compacta

lı́mb→a

E(b) = ma

lı́m

b→ a︸ ︷︷ ︸Proceso 1

E(b)

Proceso 2︷︸︸︷= ma

Algunas maneras usuales de leer la expresión anterior:

“Cuando b tiende a a entonces E(b) tiende a ma”.“El límite de E(b) es ma cuando b tiende a a”.“El límite de E(b), cuando b tiende a a, es ma”.

4.3 Límites. 67

Definimos entonces el límite de una función numérica f para x → a.

xc da

y

L

y = f (x)

x → a a← x

f(x)→

L

f(x)→

L

Figura 4.12: Esquema para representar quef (x) → L cuando x → a.

Definición 4.3.2 — Límite de f (x) cuando x −→ a.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (c, d) − {a} decimos

lı́mx→a

f (x) = L

si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de xestán suficientemente cerca de a.

Ver Figura 4.12.

En forma similar se definen los límites laterales:

x

da

y

L

y = f (x)

a+ ← x

Figura 4.13: Esquema para representar quef (x) → L cuando x → a+ (por derecha).

xc a

y

Ly = f (x)

x → a−

Figura 4.14: Esquema para representar quef (x) → L cuando x → a− (por izquierda).

Definición 4.3.3 — Límite lateral por derecha de f (x) cuando x −→ a.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (a, d) decimos

lı́mx→a+

f (x) = lı́mx→ax>a

f (x) = L

si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de xestán suficientemente cerca de a con la condición que x > a (los x están a la derecha de a).

Ver Figura 4.13.

Definición 4.3.4 — Límite lateral por izquierda de f (x) cuando x −→ a.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (c, a) decimos

lı́mx→a−

f (x) = lı́mx→ax<a

f (x) = L

si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de xestán suficientemente cerca de a con la condición que x < a (los x están a la izquierdade a).

Ver Figura 4.14.

El límite de una función f puede NO existir cuando x → a por varios motivos. En elcontexto que comenzamos nuestro desarrollo diríamos que falla la relación o coordinaciónentre los procesos 1 y 2. El Teorema 4.3.1 establece un primer resultado teórico para determinarla existencia o no del límite de una función.

Teorema 4.3.1 Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (c, d) − {a} entoncesson equivalentes las siguientes afirmaciones

Existe el límite lı́mx→a

f (x) y es igual al valor L.Existen ambos límites laterales lı́m

x→a+f (x) y lı́m

x→a−f (x) y son iguales al valor L.

Nos parecemás importante que incorporen las nociones de límites, antes que las definiciones.Es necesario que construyan su propia intuición acerca del manejo de límites, y luego logrenasociar esa intuición con las definiciones formales.

68 Capítulo 4. Derivadas.

4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones.En ocasiones es útil reconocer que una función está formada de varias partes o componentes.

Identificar, por ejemplo, a una función como la suma, diferencia, producto o cociente dedos funciones puede ser relativamente simple y en ocasiones, el tratamiento de cada una deestas partes por separado contribuye a la simplificación del análisis de interés. Por ejemplo,investigadores que monitorean la producción anual de granos en cierta región del país,descomponen la producción en el producto entre la cantidad de hectáreas plantadas y elrendimiento por hectárea.

Producción total de maíz = Hectáreas plantadas con maíz × Rendimiento por hectárea

Los factores que influyen en la cantidad de hectáreas plantadas (programas gubernamentales,precio proyectado del maíz, entre otros) son cualitativamente diferentes de los factores queinfluyen en el rendimiento por hectárea (genética del maíz, prácticas de labranza y clima).

4.4.1 Combinaciones aritméticas de funciones o álgebra de funciones.Dos funciones f y g pueden combinarse para construir nuevas funciones,

f + g f − g f gfg,

de manera similar a la que sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números reales.

Definición 4.4.1 — Álgebra de funciones.Dadas dos funciones f (x) y g(x), con Dom( f ) = A y Dom(g) = B, se define

( f + g)(x) = f (x) + g(x) ( f − g)(x) = f (x) − g(x).

Para que estas funciones estén bien definidas, x debe estar tanto en el dominio de fcomo en el dominio de g, es decir, Dom( f + g) = Dom( f − g) = A ∩ B.

Análogamente se define,

( f g)(x) = f (x)g(x)(

fg

)(x) =

f (x)g(x)

.

En el primer caso se tiene que Dom( f g) = A ∩ B, pero como no podemos dividir por

0, Dom(

fg

)= {x ∈ A ∩ B : g(x) , 0}.

� Ejemplo 4.4 Si f (x) =√

x − 2 y g(x) = x2 + 1 entonces

( f + g)(x) =√

x − 2 + x2 + 1

Con Dom( f + g) =

Dom( f )︷ ︸︸ ︷[2,+∞)∩ (−∞,+∞)︸ ︷︷ ︸

Dom(g)

= [2,+∞).

�

4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. 69

� Ejemplo 4.5 Si f (x) = x3 y g(x) = x − 3 entonces

( f g)(x) = x3(x − 3) y(

fg

)(x) =

x3

x − 3.

Con Dom( f g) = R ∩ R = R.

Y Dom(

fg

)= R − {3} Porque g se anula en x = 3.

�

Actividad 4.11 Calculen, en cada caso, las funciones f + g, f − g, f g y f /g. Establezcansus dominios.

a) f (x) = x3 + 2x2 y g(x) = 3x2 − 1 b) f (x) =√

3 − x y g(x) =√

x2 − 1�

4.4.2 Propiedades algebraicas de los límites.

A continuación presentaremos algunas propiedades de límites que usaremos en numerosasocasiones a lo largo del curso.

Las propiedades algebraicas se dicenverbalmente como sigue:

El límite de la suma es la su-ma de los límites.El límite de la diferencia esla diferencia de los límites.El límite de una constante poruna función es la constantepor el límite de la función.El límite de un producto es elproducto de los límites.El límite de un cociente es elcociente de los límites (siem-pre que el límite del denomi-nador no sea cero).

Propiedad 4.4.1 — Propiedades algebraicas de los límites.Sean f y g dos funciones. Supongamos que c es una constante y que existen los límites

lı́mx→a

f (x) lı́mx→a

g(x)

Entoncesa) lı́m

x→a[ f (x) + g(x)] = lı́m

x→af (x) + lı́m

x→ag(x)

b) lı́mx→a[ f (x) − g(x)] = lı́m

x→af (x) − lı́m

x→ag(x)

c) lı́mx→a[c f (x)] = c lı́m

x→af (x)

d) lı́mx→a[ f (x)g(x)] = lı́m

x→af (x) . lı́m

x→ag(x)

e) Si lı́mx→a

g(x) , 0 entonces lı́mx→a

f (x)g(x)

=lı́mx→a f (x)lı́mx→a g(x)

.

� Ejemplo 4.6 Si lı́mx→3

f (x) = 2 y lı́mx→3

g(x) = −3, se tiene que

lı́mx→3[ f (x) + g(x)] = lı́m

x→3f (x) + lı́m

x→3g(x) = 2 + (−3) = −1

lı́mx→3[ f (x)g(x)] = lı́m

x→3f (x). lı́m

x→3g(x) = 2.(−3) = −6

lı́mx→3

f (x)g(x)

=lı́mx→3 f (x)lı́mx→3 g(x)

=2−3

porque lı́mx→3

g(x) , 0.�

Figura 4.15: Gráfica de las funcionesf y g.

Actividad 4.12 Usando las propiedades de límites y los gráficos de las funciones f y g quese encuentran en la Figura 4.15, calculen los siguientes límites (si es que existen).

a) lı́mx→−2[ f (x) + 5g(x)] b) lı́m

x→1[ f (x)g(x)] c) lı́m

x→2

f (x)g(x) + 1

�

70 Capítulo 4. Derivadas.

Si usamos la propiedad del producto repetidas veces se tiene la siguiente propiedad.

Propiedad 4.4.2 Para n un número entero positivo. Si existe lı́mx→a

f (x) entonces

lı́mx→a[ f (x)]n =

[lı́mx→a

f (x)]n

Otra propiedad, similar a la anterior, pero relacionada con las raíces es

Propiedad 4.4.3 Para n un número entero positivo. Si existe lı́mx→a

f (x) entonces

lı́mx→a

n√

f (x) = n

√lı́mx→a

f (x)

En el caso que n sea par se necesita agregar las condidiones adicionales para que lasoperaciones estén definidas. Debe ser f (x) ≥ 0 y lı́m

x→af (x) ≥ 0.

Por último, dos límites especiales

Propiedad 4.4.4lı́mx→a

c = c lı́mx→a

x = a

Los límites de la proposición anterior resultan muy sencillos de analizar desde el punto devista intuitivo y usando el desarrollo del inicio de la sección. Pueden decirse en palabras orealizar las gráficas de las funciones y = c e y = x.

� Ejemplo 4.7 Calculemos el lı́mx→5(2x2 − 3x + 4).

Desarrollamos aplicando las propiedades de la suma, resta potencias y multiplicaciónpor una constante dado que todos los límites involucrados existen según la Propiedad4.4.4.

lı́mx→5(2x2 − 3x + 4) = lı́m

x→52x2 − lı́m

x→53x + lı́m

x→54

= 2 lı́mx→5

x2 + 3 lı́mx→5

x + lı́mx→5

4 = 2 (5)2 + 3 (5) + 4 = 39.

�

� Ejemplo 4.8 Calculamos el lı́mx→−2

x3 + 2x2 − 15 − 3x

.Dado que se trata de un cociente, y viendo que lı́m

x→−25 − 3x = 11 es distinto de 0

podemos usar la propiedad del cociente; y posteriormente las propiedades de suma,resta, muliplicación por una constante y las potencias.

lı́mx→−2

x3 + 2x2 − 15 − 3x

=lı́mx→−2(x3 + 2x2 − 1)

11

=lı́mx→−2 x3 + lı́mx→−2 2x2 − lı́mx→−2 1

11

=(−2)3 + 2 lı́mx→−2 x2 − lı́mx→−2 1)

11

=−8 + 2(−2)2 − 1

11= −

111

�

4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. 71

� Ejemplo 4.9 Calculemos el lı́mx→0

4√

x2 + 4.En este caso usaremos primero la Propiedad 4.4.3 correspondiente a las raíces dado

que x2 + 4 ≥ 0 y lı́mx→0

x2 + 4 = lı́mx→0

x2 + lı́mx→0

4 = 4 ≥ 0.

lı́mx→0

4√

x2 + 4 = 4√

lı́mx→0(x2 + 4) = 4√4

�

Actividad 4.13 Calculen los valores indicados según la información de la gráfica. Den unaexplicación en los casos que no existan.

a) f (−1) b) lı́mx→−1+

f (x) c) lı́mx→−1−

f (x) d) lı́mx→−1

f (x)

e) f (2) f ) lı́mx→2

f (x) g) f (4) h) lı́mx→4

f (x)

i) f (6) j) lı́mx→6

f (x) k) f (7) l) lı́mx→7+

f (x)

m) lı́mx→7−

f (x) n) lı́mx→7

f (x)

�

Actividad 4.14 A partir de la información suministrada en cada inciso calculen los límitessolicitados indicando las propiedades utilizadas.

a) Si lı́mx→4

f (x) = −1 y lı́mx→4

g(x) = 5, calculen lı́mx→4

(f (x) −

25g(x)

).

b) Si lı́mx→a

f (x) = 5 y lı́mx→a

g(x) = −2, calculen lı́mx→a

f (x)g(x) − 2f (x) − g(x)

.�

Propiedad 4.4.5 — Funciones polinomiales y funciones racionales. Si f es una función poli-nomial o una función racional y a pertenece al dominio de f , entonces

lı́mx→a

f (x) = f (a) (4.2)

72 Capítulo 4. Derivadas.

� Ejemplo 4.10 Podemos calcularlı́mx→1(x3 − 3x + 2) = 13 − 3.1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0

lı́mx→8

x − 3x=

8 − 38=

58

dado que 8 pertenece al dominio dex − 3

x�

Por último, como ya hemos ejercitado en el Ejemplo 4.1 en el que trabajamos con la

función f (x) =x2 − 1x − 1

vemos que

lı́mx→1

x2 − 1x − 1

= lı́mx→1

(x − 1)(x + 1)x − 1

= lı́mx→1(x + 1) = 1 + 1 = 2.

Es decir, pudimos calcular el valor del límite usando una función más simple, g(x) = x + 1.Esto es válido porque f (x) = g(x) para todo x , 1. Y para calcular el límite x −→ 1 no sedebe considerar x = 1. En general, tenemos el siguiente resultado:

Propiedad 4.4.6 Si f (x) = g(x) para x , a, entonces

lı́mx→a

f (x) = lı́mx→a

g(x), siempre que alguno de los dos límites exista.

� Ejemplo 4.11 Calculemos el lı́mx→1

g(x) para g(x) =

x + 1 si x , 1

π si x = 1.

Aquí vemos que g está definida en x = 1 y g(1) = π, pero el valor del límite cuandox tiende a 1 se deben calcular como g(x) = x + 1 porque se considerar x , 1,

lı́mx→1

g(x) = lı́mx→1(x + 1) = 2.

�

� Ejemplo 4.12 Calculemos ahora lı́mh→0

(3 + h)2 − 9h

.

Si definimos f (h) =(3 + h)2 − 9

hno podemos calcular el lı́m

h→0f (h) evaluando f (0)

porque la función no está definida en h = 0. Pero si trabajamos algebraicamente lafunción, llegamos a que

f (h) =(3 + h)2 − 9

h=

9 + 6h + h2 − 9h

=6h + h2

h=

h(6 + h)h

= 6 + h,

si h , 0. (Recordemos que sólo consideramos h , 0 cuando h tiende a 0). Luego

lı́mh→0

(3 + h)2 − 9h

= lı́mh→0(6 + h) = 6.

�

Actividad 4.15 Trabajando algebraicamente, calculen los siguientes límites aplicando laPropiedad 4.4.6.

a) lı́mx→2(x + 1)

x2 + x − 6x2 − 4

b) lı́mx→3

x3 − 27x − 3

c) lı́mx→1+

x − 1√

x − 1d) lı́m

y→−1

√y2 + 8 − 3y + 1

�

V

5 Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.1 La derivada como un límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 La función derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Máximos y mínimos locales en una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4 Existencia de la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Módulo

5. Derivada.

“En la medida que las teorías matemáticas se refieran a la realidad perderán certeza;y en la medida que adquieran certeza se alejarán de la realidad.”

Albert Einstein (1879 - 1955)

5.1 La derivada como un límite.Usando la definición de límite podemos reescribir la definición de pendiente de la recta

tangente a la gráfica de una función y de velocidad instantánea de una función de la siguientemanera:

Definición 5.1.1 — Cociente incremental. Dada una función f definida en un intervaloabierto (c, d). Dados a y x en (c, d), dos números reales dentro del intervalo, se denominacociente incremental de f en el intervalo [a, x] al cociente

f (x) − f (a)x − a

=∆ f∆x= Vprom[a, x] (5.1)

El cociente incremental de f en el intervalo [a, x] representa la velocidad promediode f en el intervalo [a, x] o la pendiente de la recta secante entre los puntos de abscisa ay x. También se denomina variación promedio de f en el intervalo [a, x].

Definición 5.1.2 — Pendiente de la recta tangente - Velocidad instántea. Dada una función fdefinida en un intervalo abierto (c, d). Dado a ∈ (c, d), un número real dentro del intervalo,se define la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) como elnúmero real ma (en el caso que exista) determinado por el valor del siguiente límite

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

∆ f∆x= lı́m

x→aVprom[a, x] = ma (5.2)

El número ma determina también la variación instantánea de la función f en x = a.

Para determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2en el punto (a, f (a)) = (a, a2 + 2) calculamos

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

(x2 + 2) − (a2 + 2)x − a

= lı́mx→a

x2 − a2

x − a= lı́m

x→a

(x − a)(x + a)x − a

= lı́mx→a(x + a) = a + a = 2a (5.3)

a ma = 2a

1 20 0-1 -22 4...

...

Tabla 5.1: Valores de ma.

Por lo tanto ma = 2a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) es

y = ma(x − a) + f (a)

y = 2a(x − a) + a2 + 2

En particular, si consideramos a = 1, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f enel punto (1, 3) es

y = 2(x − 1) + 3⇐⇒ y = 2x + 1

.Podemos calcular distintos valores de ma como se muestra en la Tabla 5.1 y obtener las

ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos correspondientes como sigue:

76 Capítulo 5. Derivada.

a = 1 −→ m1 = 2 −→ y = 2(x − 1) + 3⇔ y = 2x + 1

a = 0 −→ m0 = 0 −→ y = 0(x − 0) + 2⇔ y = 2

a = −1 −→ m−1 = −2 −→ y = −2(x + 1) + 3⇔ y = −2x + 1

a = 2 −→ m2 = 4 −→ y = 4(x − 2) + 6⇔ y = 4x + 2

Ecuaciones de las rectas tangente a lagráfica de f en los puntos (a, f (a)).

En la Figura 5.1 se representan las cuatro rectas tangentes calculadas previamente.

x

yf (x) = x2 + 2

y = 2x + 1

y = 2

y = −2x + 1

y = 4x + 2

Figura 5.1: Recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 en el punto (a, a2) paraa = 1, 0, 1 y 2.

Definición 5.1.3 — Función derivada. Dada f una función cuyo dominio es algún intervaloabierto (c, d). Se define como derivada de f a la función definida por la regla

a 7−→ ma

Existen varias formas de escribir a la función derivada. En este curso usaremos lassiguientes notaciones

f ′ =dfdx

f ′(a) =dfdx(a) = ma

Si la variable independiente se denota por la letra x entonces se dice que es la derivadade f respecto a x.

En este caso dominio de la función f ′ está formado por todos los valores en el dominiode f para los cuales existe el límite del cociente incremental.

Si la función f admite derivada en x0 se dice que f es una función derivable en x0.

En el caso de f (x) = x2 + 2 hemos calculado previamente en 5.3 que ma = 2a por lo tanto

f ′(a) = 2a.

El Dom( f ) y el Dom( f ′) son ambos iguales a R (el límite del cociente incremental existepara cualquier valor de a).

5.1 La derivada como un límite. 77

C Hacemos algunos comentarios respecto a la notación que se usa y usaremos con lasderivadas.

Por un lado, en la notacióndfdx

la variable que figura en el denominador hace referenciaa la variable independiente de la función cuyo nombre está en el numerador.

dfdx=

variable dependientevariable independiente

Esta notación se usará en los desarrollos de la siguiente manera

Dada u = t2 + 2 entonces u′ =dudt= 2t

en donde se utiliza en la misma variable independiente t para las funciones u y u′.

Actividad 5.1 Para un mol de oxígeno a 26◦ C, la presión P y el volumen V se relacionanmediante la ecuación

P =1 × 0.082 × 26

Vdonde P se mide en atmósferas y V en litros.

a) Encuentren la derivada de P respecto a V .b) ¿Cuánto vale P′(1)?

�

5.1.1 Sobre las unidades de f ′.En general se tiene que si

lı́mx→a

f (x) = L

entonces las unidades de L son las mismas que las de f (x).Por lo tanto, las unidades de f ′ serán las mismas que tiene el cociente incremental al

cociente incremental∆ f∆x=

unidades de funidades de x

.

Si f (t) es la distancia en metros y t es el tiempo en segundos entonces las unidades def ′(t) (la velocidad) serán metros/segundo.

Si f (x) es la presión en atmósferas (atm) y x es la altitud en km entonces las unidadesde f ′(x) (usualmente llamado gradiente de presión) serán atm/km.

Si f (t) es el tamaño de una población en individuos y t es el tiempo en años entonceslas unidades de f ′(t) (tasa de crecimiento) serán individuos/año.

5.1.2 Definición equivalente para f ′(a).La noción de derivada está asociada al valor del límite de las velocidades promedio

calculadas en el intervalo [a, x]. Usando la notación de ∆ f y ∆x los siguientes cocientesincrementales son equivalentes considerando que ∆x = x − a.

eje x

a x←−

∆x = x − a

eje x

ax−→

∆x = x − a

f (x) − f (a)x − a

=f (a + ∆x) − f (a)

∆x. (5.4)

De modo que la derivada, en el caso de que exista, queda determinada por

dfdx(a) = lı́m

x→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́m∆x→0

f (a + ∆x) − f (a)∆x

La equivalencia x → a ⇐⇒ ∆x → 0 esesencial en este desarrollo. Decir que x tiendea a es equivalente a decir que la diferenciax − a tiende a 0.

Donde hemos considerado la equivalencia: x → a⇐⇒ ∆x → 0.

78 Capítulo 5. Derivada.

Actividad 5.2 Usando la expresión

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).

a) f (x) = 4x3 b) f (x) = 7x − 3 c) f (x) = 5 d) f (x) =1x2

�

Para resolver las Actividades 5.2 y5.3 pueden ser útiles las siguientesigualdades algebraicas

b2 − a2 = (b − a)(b + a)

b3 − a3 = (b − a)(b2 + ab + a2

)b4−a4 = (b−a)

(b3 + b2a + ba2 + a3

)¿Cómo es la expresión equivalentepara (bn − an)?

Actividad 5.3 Usando la expresión

lı́m∆x→0

f (a + ∆x) − f (a)∆x

calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).

a) f (x) = π2 b) f (x) =1x

c) f (x) = 1 − 5x d) f (x) = πx4

�

5.2 La función derivada.El estudio de las funciones que intervienen en los modelos matemáticos se apoya muchas

veces, y en primera instancia, en construcciones gráficas. Ingenuamente, en ocasiones,realizamos construcciones con tablas de valores con 5 o 6 datos (10 datos quizás) conectandolos puntos con una curva suave. Otra veces, mediante softwares graficadores podemos realizarconstrucciones gráficas extremádamente sofisticadas. Sin embargo, estas dos metodologíaspueden ser insatisfactorias en algunas situaciones; por varias razones.• Primero, ¿cómo sabemos que la unión de algunos puntos en un gráfico nos producirá laforma real de la curva?• En segundo lugar, ¿cómo podemos saber dónde están las características relevantes delgráfico?• Y tercero, ¿cómo podemos estar seguros de que no nos hemos perdido nada?

Actividad 5.4 Las gráficas de la Figura 5.2 fueron construidas en forma computacional.Determinen, para cada caso: los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Además, losvalores de x en los que se alcanzan los máximos y los mínimos relativos.

�

−1 −.5 .5 1 1.5 2 2.5

−4

−2

2

4

6

−.4 −.2 .2 .4

.25

.3

.35

.4

.45

.5

Figura 5.2: Gráficas realizadas en forma computacional para la Actividad 5.4.

5.2 La función derivada. 79

Actividad 5.5 Si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x

(no hemos estudiado aún las funciones exponenciales pero los graficadores pueden hacersu gráfica sin dificultad) y g(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamosen la Figura 5.3.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? �

x

y

1

2

−1 1

y = 2x

y = x10

Figura 5.3: Gráficas de las funcionesf (x) = 2x y g(x) = x10.

Algunos comentarios respecto a las actividades anteriores.

• Las gráficas de la Actividad 5.4 corresponden a la misma función

f (x) = (x − 13 )

5 − 2x3 + 15

pero con distintas escalas gráficas.

• La ecuación 2x = x10 tiene 3 soluciones reales (y varias soluciones más que soncomplejas) pero la tercer solución, que no se detecta en los gráficos usuales, se escapa alas escalas tradicionales:

x ≈ 58.77 con el correspondiente y ≈ 258.77 ≈ 4.9 × 1017.

Lo que nos interesa entonces es poder obtener mejores respuestas a este tipo de activi-dades usando análisis matemático. Específicamente, utilizando la función derivada comoherramienta esencial para encontrar todas las características que nos interesen de una función.

eje x

eje y

a

eje x

eje y

a

eje x

eje y

a

Figura 5.4: Ejes cartesianos para laActividad 5.6.

Actividad 5.6a) Discutan con sus compañeros/as y docentes la validez de las siguientes proposiciones:

• Una recta tangente a la gráfica de una función corta la gráfica sólo en un punto.• Si una recta corta la gráfica de una función en un único punto entonces se tratade la recta tangente.

b) Utilicen los 3 sistemas de ejes coordenados de la Figura 5.4 para realizar las gráficasque se piden a continuación:• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que sólo se cortan unavez.• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que se cortan dos omás veces.• La gráfica de una función y una recta que NO sea tangente en x = a y que secorten una única vez en x = a.

�

x mx

-2047.5111620

Tabla 5.2: Valores de mx .

Actividad 5.7 Considerando la Figura 5.5,a) Dibujen las rectas tangentes a la gráfica de la función g en los puntos de abscisa

x = −2, 0, 4, 7.5, 11, 16, 20.b) Completen la Tabla 5.2 con las pendientes de las rectas tangentes.c) Dibujen en la gráfica de la Figura 5.6 los puntos correspondientes a la Tabla 5.2.d) Realicen un bosquejo para la gráfica de g′ como una curva suave que conecte los

puntos. Incorporen una escala adecuada a los ejes cartesianos.e) ¿Cuántas veces corta al eje x la gráfica realizada en la Figura 5.6?f ) Según la gráfica realizada en la Figura 5.6, cuál es el valor de g′(2)? ¿Cuál es el

valor de g′(10)?g) Comparen los valores propuestos de g′(2) y g′(10) con las pendientes de las rectas

tangentes a la gráfica de g en la Figura 5.5. Usen la información para ajustar lapropuesta de gráfica de g′(x).

�

80 Capítulo 5. Derivada.

eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678

Figura 5.5: Gráfica de la función g.

eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678

Figura 5.6: Puntos correspondientes a la Tabla 5.1 y propuesta de gráfica de la función g′.

x f ′(x)

-2-1012

Tabla 5.3: Valores de f ′(x).

Actividad 5.8 En la Figura 5.7a se presenta la gráfica de una función f .a) Determinen, de manera aproximada, los valores f ′(−2), f ′(−1), f ′(0), f ′(1) y f ′(2).

Completen la Tabla 5.3.b) En la Figura 5.7b se presenta un sistema de ejes coordenados para representar los

valores de f ′ en función de x. Representen los valores encontrados en el inciso a).El gráfico no tiene escalas en el eje vertical para que se puedan ubicar los datosencontrados de manera adecuada.

c) En la Figura 5.7b, utilicen los puntos marcados para realizar un bosquejo de lafunción f ′.

�

5.3 Máximos y mínimos locales en una función. 81

−2 −1 0 1 2−10

−5

0

5

10

x (variable independiente)

f(variabledependiente)

(a) Gráfica de la función f .

−2 −1 0 1 2

0

x (variable independiente)

f′(derivada)

(b) Propuesta de gráfica de la función f ′.

Figura 5.7: Gráficas de una función f y propuesta de gráfica de su función derivada f ′.

Actividad 5.9 En el sistema de ejes de la Figura 5.8 bosquejen una porción de la gráfica deuna función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:• k ′(a) = 0• k ′(x) es negativa para los valores de x < a.• k ′(x) es positiva para los valores de x > a.

�

eje x

eje y

a

Figura 5.8: Ejes cartesianos.Actividad 5.10 En el sistema de ejes de la Figura 5.9 bosquejen una porción de la gráfica deuna función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:• k ′(a) = 0• k ′(x) es negativa en ambos lados de x = a.

�

eje x

eje y

a

Figura 5.9: Ejes cartesianos.5.3 Máximos y mínimos locales en una función.

Lo primero que nos proponemos es determinar qué características tienen aquellos puntosde la gráfica de una función derivable en la que se alcanzan los valores máximos locales ylos valores mínimos locales.

Figura 5.10: Gráfica de una fun-ción f con intervalos de crecimiento,intervalos de decrecimiento, valoresmáximos locales y valores mínimoslocales.

c dx1

x0

x2

Mínimo local

¿?

Mínimo local

Máximo local

82 Capítulo 5. Derivada.

Teorema 5.3.1 — Condición necesaria para la existencia de un máximo o mínimo local.Dada una función f definida en un intervalo abierto (c, d) que es derivable en x0 ∈ (c, d)

y alcanza allí un máximo o un mínimo local, entonces (necesariamente) debe ser

f ′(x0) = 0.

Dicho de otra manera: La recta tangente en el punto de abscisa x0 debe ser horizontal.

Si comenzáramos nuestro análisis en un x0 perteneciente al intervalo (c, d) en el cual sealcanza un valor mínimo local veremos cómo se comportan los cocientes incrementales.

c dx1

x0

x2

Mínimo local

Máximo local

∆x > 0

∆ f ≥ 0

∆x < 0

∆ f ≥ 0

Recordemos que:∆x = x − x0∆ f = f (x) − f (x0)

Dado que f (x0) es un valor mínimo local podemos afirmar que f (x0) ≤ f (x) para todoslos valores de x cercanos a x0. O sea, f (x) − f (x0) ≥ 0.

En cambio, x − x0 puede ser positivo o negativo según se tome x → x+0 o x → x−0 .

Por lo tanto, los cocientes incrementales quedan

f (x) − f (x0)

x − x0=∆ f∆x=

Si x → x+0 entonces

∆ f ≥ 0∆x > 0

≥ 0 (1)

Si x → x−0 entonces∆ f ≥ 0∆x < 0

≤ 0 (2)

Como sabemos que f es derivable en x0 entonces las afirmaciones (1) y (2) implican cada unalo siguiente

lı́mx→x+0

f (x) − f (x0)

x − x0≥ 0︸︷︷︸

Por (1)

lı́mx→x−0

f (x) − f (x0)

x − x0≤ 0︸︷︷︸

Por (2)

.

Para satisfacer ambas condiciones a la vez será f ′(x0) = 0 necesariamente.

C Un comentario importante respecto al razonamiento anterior. Utilizamos una propiedadde los límites que no mencionamos previamente: si para todos los valores x cercanos ax0 se cumple que G(x) ≤ M y además se sabe que existe el límite de G(x) para x → x0entonces necesariamente

lı́mx→x0

G(x) ≤ M .

5.3 Máximos y mínimos locales en una función. 83

Actividad 5.11 ¿Cómo debe modificarse el razonamiento anterior para el caso que x0 sea laabscisa de un punto (x0, f (x0)) donde se alcance un valor máximo local?

�

El Teorema 5.3.1 nos brinda una condición necesaria que deben cumplir todos aquellospuntos de la gráfica de una función f derivable en un intervalo abierto alcance un valormáximo local o un valor mínimo local.

Corresponde ahora analizar las siguientes 3 situaciones: ¿por qué decimos condiciónnecesaria, ¿qué pasa si la función no es derivable? y ¿qué pasa si el intervalo no es unintervalo abierto?

5.3.1 Valores estacionarios.La condición f ′(x0) = 0 es una condición necesaria pero no es suficiente. Es posible que

existan puntos para los cuales se cumpla f ′(x0) = 0 pero que, sin embargo, no se alcancen allívalores máximos locales ni valores mínimos locales.

En la Figura 5.7a, la Actividad 5.10 y en la Figura 5.10 aparecen ejemplos en los que larecta tangente en un punto es horizontal pero sin embargo no se trata de un valor máximo nimínimo local.

Definición 5.3.1 — Valores estacionarios. Los valores de x para los cuales f ′(x) = 0 sedenominan valores estacionarios de f .

Por lo tanto, los valores máximos locales y los valores mínimos locales de funcionesderivables en un intervalo abierto siempre se alcanzan en valores estacionarios. Aunque noen todos los puntos estacionarios se alcanzarán siempre valores máximos locales o valoresmínimos locales.

5.3.2 Valores críticos.La condición f ′(x0) = 0 conlleva la hipótesis de saber que la f ′(x0) existe; o sea, de saber

que la función es derivable en x0. Aquellos valores de x0 para los cuales no exista la derivadano están incluidos entonces en el teorema de condición necesaria para los máximos o mínimoslocales. Como ejemplos podemos adaptar las gráficas presentadas en la Figura 4.9 del Módulo4 como siguen en la Figura 5.11.

Figura 5.11: En ninguna de estassituaciones la curva posee recta tan-gente en el punto (3, 2).

En ambos casos, para x = 3 se alcanzan máximos (Gráfica B) o mínimos (Gráfica C)locales de la función; sin embargo, en ninguno de los casos existe f ′(3). De modo que losvalores máximos o mínimos locales de una función también pueden enocntrarse en aquellosvalores de x en los que la función no es derivable.

Definición 5.3.2 — Valores críticos. Aquellos valores de x en el dominio (pero no en elborde) de una función f en los que la derivada no existe ,o aquello en los que la derivadaexiste y vale f ′(x) = 0, se denominan valores críticos de f .

Remarcamos que los valores críticos de una función deben ser siempre valores en sudominio.

84 Capítulo 5. Derivada.

� Ejemplo 5.1 Mostraremos, analíticamente, que f (x) =1xno tiene valores críticos.

Corresponde encontrar los valores del dominio (que no están en el borde) en los que laderivada no existe, y los valores estacionarios.Considerando que el Dom( f ) = R − {0} tenemos que el dominio no tiene bordes.

Según lo que realizaron ustedes en la Actividad 5.3b) se tiene que f ′(x) = −1x2 para

todos los valores de x , 0. O sea que la función es derivable en todo su dominio.Por otro lado, los valores estacionarios de f deben cumplir la ecuación

f ′(x) = 0⇐⇒ −1x2 = 0⇐⇒ −1 = 0

que es absurdo porque −1 es distinto de 0. Por lo tanto la ecuación no tiene solución.No hay valores críticos.

�

Conjuntos Intervalos:

Conjunto ∅Conjunto vacío. Sin elementos.

Conjunto (a, b){x ∈ R : a < x < b }

Conjunto [a, b]{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Conjunto (a, b]{x ∈ R : a < x ≤ b }

Conjunto [a, b){x ∈ R : a ≤ x < b }

Conjunto (a,+∞){x ∈ R : a < x }

Conjunto (−∞, b){x ∈ R : x < b }

Conjunto [a,+∞){x ∈ R : a ≤ x }

Conjunto (−∞, b]{x ∈ R : x ≤ b }

Conjunto (−∞,+∞)Todos los números reales. R.

Tabla 5.4: Los intervalos que formanla base de otros conjuntos más com-plejos que usaremos de dominio.

Actividad 5.12 ¿Cuántos y cuáles son los valores críticos de las siguientes funciones?

a) f (x) = πx4 b) f (x) = x3 − x�

Actividad 5.13 Realicen la gráfica de una función que cumpla las siguientes condiciones:tenga 2 máximos relativos, 4 valores estacionarios, 1 mínimo relativo y 5 valores críticos.

�

5.3.3 Bordes del intervalo.Por último, ¿qué pasa si la función está definida en un conjunto que no es un intervalo

abierto? Los conjuntos que no son intervalos abiertos pueden tener diversas formas: pueden serintervalos cerrados sencillos como el intervalo [1, 5] pero también pueden ser conjuntos máscomplejos como por ejemplo el conjunto de los números racionales Q. Nos concentraremos enlos conjuntos de la forma, que ya conocemos, de la Tabla 5.4, o que se pueden formar uniendouna cantidad finita de ellos. Por ejemplo,• La función f (x) =

√x2 − 1 tiene como dominio natural Dom( f ) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

• La función g(x) =1

x − 3tiene como dominio natural Dom(g) = (−∞, 3) ∪ (3,+∞).

En general, podrá pasar que los valores de x para los cuales las funciones tomen susvalores máximos locales o valores mínimos locales también se encuentren en los bordesde los conjuntos que estemos estudiando. Por ejemplo, una función creciente en el intervalo[−1, 1] toma sus valores máximos y mínimos en los bordes del intervalo. Ver Figura 5.12.

x

y

−1 1

Mínimo local

Máximo local

Figura 5.12: Gráfica de una funciónen un intervalo cerrado con valoresmáximos y mínimos que se alcanzanen los bordes del dominio.

Primeras conclusiones y reflexiones.La exploración de los valores críticos (que incluye los valores estacionarios de una

función y su comportamiento en los bordes del intervalo) permiten tener una la listacompleta de valores en los la función con la que estemos trabajando tome sus valores máximoso mínimos locales. Ninguno de estos valores máximos/mínimos se nos “escapará” siempre ycuando seamos capaces de:• Averiguar en qué valores de x una función es derivable y en qué puntos no. Requiere

mayor destreza en el cálculo de límites de los cocientes incrementales. Nos ocuparemosde esto en la siguiente sección.• Resolver la ecuación f ′(x) = 0. Requiere destreza algebraica para “despejar” la variable

x. Aunque puede suceder que la ecuación no sea resoluble en forma exacta por métodosalgebraicos y tengamos que recurrir a métodos de aproximación.• Identificar correctamente el dominio de la función junto con sus bordes. Aquí se conjuganvarias cosas. Principalmente conocer las características de las funciones básicas.

5.4 Existencia de la derivada. 85

5.4 Existencia de la derivada.Como mencionamos anteriormente, nos interesa saber cuándo existe y cuándo no existe el

límite correspondiente al cálculo de una derivada

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

(5.5)

Ya hemos mencionado en el Teorema 4.3.1 del Módulo 4 (página 13) que la existencia delos łímites laterales y su igualdad es suficiente para poder afirmar que el límite 5.5 existe.

Definición 5.4.1 — Derivadas laterales. Consideramos dos casos por separado.

• Si f es una función definida en un intervalo de la forma [a, d), entonces se denominaderivada lateral por derecha de f en x = a al número, si es que existe,

f ′+(a) = lı́mx→a+

f (x) − f (a)x − a

• Si f es una función definida en un intervalo de la forma (c, a], entonces se denominaderivada lateral por izquierda al número, si es que existe,

f ′−(a) = lı́mx→a−

f (x) − f (a)x − a

Actividad 5.14 Discutan entre compañeros/as y docentes, ¿qué representan geométricamentelas derivadas laterales de una función? Redacten la explicación que consideren adecuada yrealicen un gráfico que sirva como ayuda. �

Actividad 5.15 La Figura 5.13 presenta la gráfica del volumen ventricular del corazóndurante un latido normal de 0.8 segundos. Durante la sístole, el ventrículo se contrae yexpulsa la sangre hacia la aorta. La diástole, es el período en el que el ventrículo se relaja yrecibe sangre que proviene de la vena cava.¿Cómo describirían el comportamiento ventricular a los 0.3 segundos? ¿El ventrículo secontrae a la misma velocidad con la que se relaja? ¿Cuál es la velocidad del flujo de sangre(en ml/segundos) que entra al ventrículo al comenzar la diástole?

�

Figura 5.13: Volumen ventricular (en ml) en función del tiempo (en segundos).

86 Capítulo 5. Derivada.

Teorema 5.4.1 Considerando f una función definida en un intervalo abierto (c, d) quecontiene a x = a.

f es derivable en x = a ⇐⇒ f ′−(a) y f ′+(a) existen y son iguales.

En este caso se cumple: f ′(a) = f ′−(a) = f ′+(a).

Notar: si las derivadas laterales en un punto x = a de una función no existen, o existenpero son distintas, entonces la función no es derivable en x = a.Éstos son los casos estudiados en la Figura 5.11 C.

Figura 5.14: Porción de la gráficade una función cuyas derivadas la-terales existen en x = 3 pero sondistintas.

Actividad 5.16 Estudien las derivadas laterales de las siguientes funciones en el valor dex = a indicado y decidan si la función es derivable allí. En cada caso, realicen la gráfica dela función.

a) f (x) =

x2 para x ≥ 0

x3 para x < 0para a = 0.

b) g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1

r + 3 para r > 1para a = 1.

�

Retomamos el problema de estudiar la existencia del límite lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

Figura 5.15: Porción de la gráfica deuna función en la que no existe ellímite de f (x) para x → 3.

Teorema 5.4.2 Considerando f es una función definida en un intervalo abierto (c, d) quecontiene a x = a.

Si f es derivable en x = a =⇒ lı́mx→a

f (x) = f (a).

La existencia de la derivada en el valor x = a garantiza que el límite lı́mx→a

f (x) tambiénexiste y puede calcularse por simple evaluación.Notar: si el lı́m

x→af (x) no existe o, existe pero es distinto a f (a), entonces la función no es

derivable en x = a.Éstos son los casos estudiados de la forma Figura 5.11 B.

Las funciones que cumple quelı́mx→a

f (x) = f (a) (o sea, aquellaspara las cuales el límite se puede cal-cular simplemente por evaluación)se denominan continuas en x = a.En el próximo Módulo 6 las estudia-remos con más detalles.

Actividad 5.17 Proponemos que, siguiendo el hilo del razonamiento y completando losespacios en blanco, realicen una demostración del Teorema 7.3.2.

Partimos de la hipótesis de que el lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

y vale .

Sabemos también que el lı́mx→a(x − a) y vale .

Usando la propiedad del podemos decir que el límite

lı́mx→a

.

también y vale .

O sea, lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

.(x − a) = lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

.(x − a) = lı́mx→a

f (x) − f (a) = .

Pero decir lı́mx→a

f (x) − f (a) = es equivalente a decir lı́mx→a

f (x) = .�

5.4 Existencia de la derivada. 87

Trabajaremos a continuación una última situación en este módulo en relación a nuestro

problema de determinar la existencia del límite lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

.

x y Vprom[0, x]

1.51.5.1.01

−.01−.1−.5−1−1.5

Tabla 5.5: Actividad 5.18.

Actividad 5.18 La Figura 5.17 presenta la gráfica de la función f (x) = 3√x (recordar lasfunciones radicales del Módulo 3 en página 9).

Nos proponemos estudiar la existencia de la recta tangente a la gráfica en el punto (0, 0).

a) Completen la segunda columna de la Tabla 5.5 con los valores de y correspondientesa los puntos de abscisa x. Grafiquen en la figura las rectas secantes entre los puntos(0, 0) y (x, y).

b) Completen la Tabla 5.5 con los valores correspondientes de las pendientes de lasrectas secantes graficadas en el item a).

c) Se observa que para valores de x que se aproximan a 0 las rectas secantes se“aproximan” a una recta de ecuación . . . ¿qué ecuación tiene la recta tangente a lagráfica en el punto (0, 0)?

d) ¿Qué ocurre con los valores de Vprom[0, x] si agregamos más filas a la tabla tomandovalores de x cada vez más cercanos a 0?

�

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

y = 3√x

x

y

Figura 5.16: Gráfica de la función radical f (x) = 3√x.

88 Capítulo 5. Derivada.

Para determinar si la función f (x) = 3√x es derivable en x = 0 debemos estudiar laexistencia del límite

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

3√xx= lı́m

x→0

1x2/3︸ ︷︷ ︸(∗)

El límite (∗) no puede calcularse por evaluando porque el denominador se anula (no sonválidas las propiedades de cálculo de límites del Módulo 4. La exploración numérica de laActividad 5.18b) y la exploración geométrica de la Actividad 5.18c) muestran que tomandox → 0 (tanto para x → 0+ como x → 0−) los valores de Vprom[0, x] son cada vez más grandesy positivos a la vez que la rectas secantes se “ponen” cada vez más verticales. Escribimos

cuando x se aproxima a 0 entoncesf (x) − f (0)

x − 0aumentan ilimitadamente

O de manera compacta

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= +∞

usando el símbolo de∞ (infinito) para describir el comportamiento de los númerosf (x) − f (0)

x − 0que aumentan indefinidamente tomando valores tan grandes como se quiera; no tienen ningúntecho que les impida seguir creciendo.

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

Figura 5.17: Gráfica de la funciónradical f (x) = 3√x.

Por lo tanto, el límite

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

3√xx= lı́m

x→0

1x2/3 = +∞

no existe (no es ningún número real finito) y la función f (x) = 3√x no es derivable enx = 0. Es necesario marcar aquí la diferencia con los casos anteriores porque la gráfica tienerecta tangente en el punto (0, 0) pero es vertical por lo que no tiene pendiente o como a vecesse dice, tienen pendiente infinita.

C Quedará pendiente para más adelante cuando estudiemos funciones trigonométricas elcaso en el que las rectas secantes oscilan indefinidamente sin tender a una recta rectatangente fija.

VI

6 Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.1 Cálculo directo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Regla de la suma, producto y cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4 Ejercitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Módulo

6. Derivada.

“Los países ricos lo son porque dedican dinero al desarrollo científico tecnológico. Y lospaíses pobres lo siguen siendo si no lo hacen. La ciencia no es cara, cara es la ignorancia.”

Bernardo Houssay (1887 - 1971)

6.1 Cálculo directo de derivadasEn esta sección aprenderemos algunas reglas y técnicas que nos permitirán encontrar

las derivadas de manera general. El cálculo de derivadas sería muy engorroso si siempredebiéramos escribir el cociente incremental y calcular el límite. Calcularemos derivadasde funciones básicas por medio de la definición y luego usaremos las llamadas reglas dederivación para encontrar las derivadas de funciones más complicadas.

Recordemos, del módulo anterior, que usando la noción de límite y de límites lateraleshemos definido la derivada, la derivada por derecha y la derivada por izquierda de unafunción usando el cociente incremental.

Definición 6.1.1 — Función derivada. Dada una función f definida en un intervalo abierto(c, d). Dado x ∈ (c, d), un número real dentro del intervalo, se define la función derivadaa la función definida por la regla

x 7−→ f ′(x) = lı́m∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)∆x

en los casos en que el límite exista. Para funciones definidas en intervalos cerrados [c, d]o semicerrados, [c, d) o (c, d], se considera en el borde del intervalo la derivada lateralcorrespondiente: f ′+(c) o f ′−(d) si los límites existen.

Usamos varias formas de escribir a la función derivada.

f ′ =dfdx

f ′(x) =dfdx(x)

Con varios ejemplos analizamos casos en donde la derivada no existe por lo que el dominiode la función derivada puede ser más pequeño que el dominio de la función original.

� Ejemplo 6.1 En las Actividades 5.2 y 5.3 del Módulo 5 se calcularon las derivadas de lassiguientes funciones:

• Para f (x) = 4x3 se obtuvo f ′(x) = 12x2.

• Para f (x) =1x2 se obtuvo f ′(x) = −

2x3 .

En todos estos casos, el dominio de la función y el dominio de la derivada coinciden.Dom( f ) = Dom( f ′).

Sin embargo, para la función g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1

r + 1 para r > 1de la Actividad 5.16

del Módulo 5 obtuvieron que las derivadas laterales g′−(1) y g′+(1) son distintas, por loque la función g no es derivable en x = 1. O sea 1 < Dom(g′).

�

En las siguientes actividades desarrollaremos algunas técnicas que permitirán sistematizarel cálculo de derivadas para funciones sencillas.

92 Capítulo 6. Derivada.

6.1.1 Derivada de las funciones constantes: f (x) = kComenzamos con un caso sencillo, que se da cuando la función es constante, es decir,

f (x) = k con k una constante. Por ejemplo,

f (x) = 5 g(r) = π2 h(t) =35

Actividad 6.1 Consideren que p(t) indica la posición (en kilómetros respecto al km 0ubicado en el Obelisco) de un automóvil como función del tiempo t (en horas contandodesde las 0 horas del día de hoy), siendo p(t) = 3 km para todo t ≥ 0.

a) Realice la gráfica de p respecto a t.b) Describan en palabras la gráfica de la función p respecto a t y el comportamiento

del automóvil.c) ¿Qué velocidad tiene el automóvil en cada instante t?

�

En forma general, dada f (x) = k, una función constante, sabemos que su dominio naturales Dom( f ) = R. Usando la Definición 7.1.1 determinamos que

lı́m∆x→0

f≡k︷ ︸︸ ︷f (x + ∆x) −

f≡k︷︸︸︷f (x)

∆x= lı́m∆x→0

k − k∆x

= lı́m∆x→0

0∆x= lı́m∆x→0

0 = 0.

Luego, f ′(x) = 0 para cualquier x. Por lo tanto, también es Dom( f ′) = R.

Usando la notación de Leibniz decimos queddx[k] = 0.

6.1.2 Derivada de las funciones lineales: f (x) = mx + bEn el Módulo anterior también calcularon, a partir de la definición, las derivadas de las

funcionesf (x) = 7x − 3 y f (x) = 1 − 5x.

En ambos casos, para cualquier valor de x, llegaron a que f ′(x) es la pendiente de la rectaque resulta ser la gráfica de la función f .

En forma general, podemos decir que

• Para f (x) = mx + b es una función lineal cualquiera, f ′(x) = m para todo x ∈ R.

Actividad 6.2 Expresando el cociente incremental y la definición de derivada, realicen lademostración del resultado anterior: si f (x) = mx + b entonces f ′(x) = m.

�

6.1.3 Derivada de las funciones xn para n = 1, 2, 3, ...Se trata de determinar la derivada de funciones como f (x) = x4 o g(x) = x17. Para ello

necesitamos calcular

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

xn − an

x − a.

Para avanzar en el cálculo del límite, necesitamos simplificar la fracciónxn − an

x − a. En

actividades previas ya han trabajado con expresiones similares en los casos de n = 2, 3 y 4. Enparticular, n = 2, tenemos que

x2 − a2

x − a=(x − a)(x + a)

x − a= x + a, para x , a.

6.1 Cálculo directo de derivadas 93

Para el caso general de n = 1 ,2 ,3, ... necesitamos usar la fórmula, a veces denominadafórmula de suma geométrica,

xn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1 =xn − an

x − a.

Si no vieron esta fórmula con anterioridad o no la recuerdan, pueden verificarla cuidadosa-mente multiplicando ambos lados de la igualdad por x − a. Con esa fórmula podemos avanzaren el cálculo de la derivada de xn:

f ′(a) = lı́mx→a

xn − an

x − a= lı́m

x→axn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1

podemos calcular el límite evaluando en x = a porque se trata de una expresión polinómica

= an−1 + an−2a + an−3a2 + · · · + a an−2 + an−1

= an−1 + an−1 + · · · + an−1︸ ︷︷ ︸son n términos, todos iguales a an−1

= n an−1.

Obtenemos que la derivada de una función potencia f (x) = xn, con n = 1, 2, 3, . . . es

f ′(x) = n xn−1 o, con la notación de Leibniz,ddx[xn] = n xn−1.

� Ejemplo 6.2 Las derivadas de g(x) = x7 y h(x) = x121 son

g′(x) = 7x6 y h′(x) = 121x120,

respectivamente. �

Actividad 6.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones:

a) f (x) = −4x − 8 b) g(u) = 9 c) h(y) = y44

d) r(u) = 1 − 35 x e) t(x) = 0.44 f ) r(x) = x8

�

6.1.4 Derivada de la función√

xCuando se desarrolla el cociente incremental de la función f (x) =

√x en un valor de a ≥ 0

obtenemos, con x , a y x ≥ 0

∆ f∆x=

√x −√

ax − a

=

√x −√

ax − a

.

√x +√

a√

x +√

a=

x − a(x − a).

(√x +√

a) = 1√

x +√

a

f (x) =√

x

Para a = 0 se debe tomar x → 0+ y obtenemos que la derivada no existe porque

lı́mx→0+

∆ f∆x= lı́m

x→0+1√

x= +∞

Para a > 0 podemos calcular el límite por simple evaluación

lı́mx→a

1√

x +√

a=

12√

a

En resumen, para la función raíz cuadrada f (x) =√

x cuyo dominio es [0,+∞) se tiene

que su derivada existe en el intervalo abierto (0,+∞) y f ′(x) =1

2√

x.

94 Capítulo 6. Derivada.

6.2 Regla de la suma, producto y cocienteComo mencionamos al inicio, afortunadamente no es necesario calcular todas las derivadas

que necesitemos usar por definición, sino que bastará, en general, que conozcamos algunas

derivadas básicas (entre ellas queddx

xn = nxn−1) para así poder calcular derivadas de funcionesmás complicadas separándolas en partes más pequeñas. Veremos a continuación las reglaspara derivar una suma, resta, producto y cociente de otras dos funciones.

6.2.1 Derivada de una suma o una resta de funciones derivables

En palabras: la derivada de unasuma es la suma de las derivadas.

Para f y g funciones derivables en x se tiene[f (x) ± g(x)

] ′= f ′(x) ± g′(x)

ddx[ f (x) ± g(x)] =

dfdx(x) ±

dgdx(x)

Supongamos que h(x) = f (x) + g(x), ¿cómo se escribe el cociente incremental de h?

∆h∆x=

h(x) − h(a)x − a

=

[f (x) + g(x)

]−

[f (a) + g(a)

]x − a

=f (x) − f (a)

x − a+g(x) − g(a)

x − a

=∆ f∆x+∆g

∆x

Por lo tanto, con la hipótesis de que f y g son derivables en x se tiene que

lı́m∆x→0

∆h∆x= lı́m∆x→0

∆ f∆x+ lı́m∆x→0

∆g

∆x= f ′(a) + g′(a).

� Ejemplo 6.3 Considerando la regla para derivar funciones potencias y suma de funcionestenemos que para la función f (x) = x4 + x9 se calcula f ′(x) = 4x3 + 9x8 según elsiguiente desarrollo

f ′(x) =(x4 + x9

) ′=

(x4

) ′+

(x9

) ′= 4x3 + 9x8

�

Actividad 6.4 Calculen derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = x4 + 2 b) g(r) = 12 + r12 + r4 c) h(t) = t3 − 4 + t

�

6.2.2 Derivada de un producto de funciones derivablesPara f y g funciones derivables en x se tiene[

f (x).g(x)] ′= g(x). f ′(x) + f (x).g(x)

ddx[ f (x).g(x)] = g(x).

dfdx(x) + f (x).

dgdx(x)

En palabras: la derivada de unaproducto es: la derivada del primerfactor multiplicada por el segundofactor (sin derivar), más la derivadadel segundo factor multiplicada por

el primer factor (sin derivar).En esta situación, al tomar h(x) = f (x).g(x) e intentar escribir el cociente incremental

obtenemos

6.2 Regla de la suma, producto y cociente 95

∆h∆x=

h(x) − h(a)x − a

=f (x).g(x) − f (a).g(a)

x − a

=f (x).g(x) +

sumamos y restamos el mismo término︷ ︸︸ ︷[− f (a).g(x) + f (a).g(x)] − f (a).g(a)

x − a

=f (x).g(x) − f (a).g(x) + f (a).g(x) − f (a).g(a)

x − a

=g(x). [ f (x) − f (a)] + f (a) [g(x) − g(a)]

x − a

=g(x) [ f (x) − f (a)]

x − a+[g(x) − g(a)] . f (a)

x − a

= g(x).f (x) − f (a)

x − a+ f (a).

g(x) − g(a)x − a

= g(x).∆ f∆x+ f (a).

∆g

∆x

Sabiendo que f y g son derivables en a podemos calcular

lı́mx→a

∆h∆x= lı́m

x→ag(x). lı́m

x→a

∆ f∆x+ f (a). lı́m

x→a

∆g

∆x= g(a). f ′(a) + f (a).g′(a)

Recordar que, dado que g es deri-vable en a entonces se cumple quelı́mx→a

g(x) = g(a).Teorema 5.4.2 del Módulo 5.

� Ejemplo 6.4 Calculemos la derivada de la función h(x) = (7x − 3)(x8 − x4).

Tomando f (x) = 7x − 3 y g(x) = x8 − x4 tenemos que f ′(x) = 7 y g′(x) = 8x7 − 4x3.Luego, a partir de la regla del producto, llegamos a que

h′(x) = (7x − 3)′(x8 − x4)+ (7x − 3)(x8 − x4

) ′= 7.(x8 − x4)+ (7x − 3).(8x7 − 4x3)

�

Actividad 6.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.

a) f (x) = (1 − x).x5 b) T(V) = (V2 − V10).(V9 + V2 − 5 − V)�

6.2.3 Derivada de un múltiplo constante de una función derivable

En palabras: la derivada de unaconstante por una función es la

misma constante multiplicada porla derivada de la función.

Si f es una función derivable en x y c es un número real, obtenemos

[c f (x)]′ = c. f ′(x)

ddx(c f )(x) = c

dfdx(x)

� Ejemplo 6.5 La derivada de f (x) = 4x3 puede calcularse de la siguiente manera

f ′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4.(3x2) = 12x2

�

96 Capítulo 6. Derivada.

� Ejemplo 6.6 La derivada de g(x) =x8

5puede calcular de la siguiente manera

f ′(x) =(

x8

5

) ′=

(15 x8

) ′= 1

5 8x7 = 85 x7

�

Actividad 6.6 ¿Cómo se escribe el cociente incremental de la función c. f (x)? Desarrollenpaso a paso cómo se escribe el cociente incremental y la demostración de la regla anterior.

�

6.2.4 Derivada del cociente de dos funciones derivables

Para f y g funciones derivables en x tal que g′(x) , 0 se tiene[f (x)g(x)

] ′=

f ′(x).g(x) − f (x).g′(x)g2(x)

Notación: Usamos la notación

g2(x)

para abreviar la operación

g(x).g(x) = [g(x)]2Actividad 6.7 Escriban la regla anterior usando la notación de Leibniz. ¿Cómo se dice“en palabras” la regla del cociente?

�

Tomando h(x) =f (x)g(x)

, y con algunas cuentas algebraicas similares a las realizadas en la

regla del producto, es posible escribir el cociente incremental de la siguiente forma

∆h∆x=

f (x)g(x) −

f (a)g(a)

x − a=

g(a). f (x)− f (a)x−a − f (a). g(x)−g(a)x−a

g(x)g(a)

de la cual se deduce la regla del cociente mencionada

lı́mx→a

∆h∆x=

g(a). f ′(a) − f (a).g′(a)g2(a)

� Ejemplo 6.7 Usamos la regla del cociente para determinar la derivada de las funciones

homográficas h(x) =ax + bcx + d

.

h′(x) =(

ax + bcx + d

) ′=(ax + b)′(cx + d) − (ax + b)(cx + d)′

(cx + d)2

=a.(cx + d) − c.(ax + b)

(cx + d)2

�

Actividad 6.8 Calculen la derivada de las siguientes funciones

a) f (x) =x2

4x + 1b) g(r) =

3r2 − 5

r − r2

3�

6.2 Regla de la suma, producto y cociente 97

6.2.5 Derivada de las funciones xr para r cualquier número racionalLa regla descripta en la Sección 6.1.3 para funciones potencia con exponente n (entero

positivo) puede extenderse para funciones potencia con exponente r ∈ Q. En primer lugar,para un número entero n cualquiera (tanto positivo, negativo o 0) porque, siendo n < 0 puedeescribirse para x , 0

xn =1

x−n

por lo tanto

(xn)′ =(

1x−n

) ′=(1)′x−n − 1. (x−n)′

(x−n)2=−(−n)x−n−1

x−2n = nx−n−1+2n = n.xn−1.

Para el caso particular n = 0 se de-be hacer mención a una cuestión denotación porque asumimos la equi-valencia entre las expresiones

x0 ≡ 1

de modo que se trata de la derivadade una función constante.

� Ejemplo 6.8 Para calcular la derivada de f (x) = x5 +1x9 operamos

f ′(x) =(x5 +

1x9

) ′=

(x5

) ′+

(x−9

) ′= 5x4 + (−9)x−9−1 = 5x4 − 9x−10 = 5x4 −

9x10

�

En el caso que n ∈ Q (número racional cualquiera n =pqcon p, q ∈ Z, q , 0) la regla es

igualmente válida pero para una demostración hacen falta algunas técnicas que no tenemos eneste momento.

C En estos casos hay que tener especial cuidado con los dominios de las funciones y desus derivadas. Por un lado, en los casos que q sea par, se debe considerar x ∈ [0,∞)porque hay que considerar el dominio de las funciones con raíces de orden par. Porotro lado, si n < 0 también debe considerarse x , 0 (para que el cociente quede biendefinido). Como última situación, si n < 1, la derivada no está definida en x = 0 por loque habrá que reducir el dominio de la derivada.Recuerden el caso n = 1

2 de la Sección 6.1.4 para la función f (x) =√

x = x1/2.

� Ejemplo 6.9 En los siguientes casos se desarrollan las derivadas y los dominios

Para f (x) = x4/3 con Dom( f ) = R se tiene f ′(x) = 43 x1/3 con Dom( f ′) = R.

Para g(x) = x1/3 con Dom(g) = R se tiene g′(x) = 13 x−2/3 con Dom(g′) = R − {0}.

Para h(x) = x5/2 con Dom(h) = [0,∞) se tiene h′(x) = 52 x3/2 con Dom(h′) = [0,∞).

Para t(x) = x1/2 con Dom(t) = [0,∞) se tiene t ′(x) = 12 x−1/2 con Dom(t ′) = (0,∞).

�

Actividad 6.9 Calculen las derivadas de las siguientes funciones y determinen el dominiode las funciones y de sus derivadas.

a) J(w) = w−3 + w3 b) f (x) =1x

c) g(r) =9r3

d) r(x) = 3√x e) h(x) =x + x3√

xf ) E(q) = (q2 − 3q)(q2/3 + 4)

�

98 Capítulo 6. Derivada.

6.3 Regla de la cadenaEnunciaremos a continuación, sin demostrar, la regla correspondiente a la derivada de una

composición de funciones.Recordemos que cuando consideramos la composición de dos funciones es porque armamos

una nueva función compuesta.

x g(x) f (g(x))g f

f ◦ g

En palabras: la derivada de unacomposición de funciones es laderivada de la función exterior(evaluada en la función interior)multiplicada por la derivada de la

función interior.

Teorema 6.3.1 — Regla de la cadena. Si g es una función derivable en x y f es una funciónderivable en g(x) entonces la composición f ◦ g es derivable en x y se puede calcular laderivada de la siguiente manera:

( f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x)

C Para escribir la regla de la cadena en la notación de Leibniz se suele usar las variablesauxiliares y = g(x) y z = f (y) para que el diagrama sea

x y z

Abusando de la notación se escribe:dzdx=

dzdy.dydx

.

En la misma expresión estamos considerando a la variable z como variable dependiente

de la variable x (dzdx

) pero también como variable dependiente de la variable y (dzdy

).

� Ejemplo 6.10 Para calcular la derivada de la función h(x) = (x4 + 1)78 utilizando la reglade la cadena considerando las funciones f (y) = y78 junto a g(x) = x4 + 1 porque lacomposición queda establecida h(x) = f (g(x)). Por lo tanto

h′(x) = f ′(g(x)) = 78(x4 + 1)77.(4x3)

�

� Ejemplo 6.11 Para calcular la derivada de la función h(x) =√

x3 − 1 usando la notación deLeibniz tomamos y = x3 − 1 de modo que z =

√y

dydx= 3x2 dz

dy=

12√y

dzdx=

dzdy.dydx=

12√y

.3x2 =1

2√

x3 − 1.3x2

�

6.4 Ejercitación. 99

Actividad 6.10 Calculen las derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = (3x + 1)7 b) h(x) = (3x + 1)−4 c) g(x) = (x2 − 3x)−4

d) F(x) = 3√

12 − 2x9 e) G(x) =

(x + 1

2x − 1

)5f ) H(x) = (2x + 1)5x3

�

6.4 Ejercitación.Ejercicio 6.1 Calculen la derivada de cada función

a) y = (2x − 7)3 b) y = (3x2 + 1)4

c) y =x3(x4 − 2x2) d) y =

1x − 5

8

e) g(x) = 3(4 − 9x)4 f ) f (x) = 2(1 − x2)3

g) f (t) =√

1 − t h) g(x) =√

3 − 2x

i) y =3√

9x2 + 4 j) g(x) =√

x2 − 2x + 1

k) y = 2√

4 − x2 l) f (x) = 3 4√2 − 9x

m) y =1

x − 2n) s(t) =

1t2 + 3t − 1

ñ) f (t) =(

1t − 3

)2o) y = −

4(t + 2)2

p) y =1

√x + 2

q) g(t) =

√1

t2 − 2

r) f (x) = x2(x − 2)6 s) f (x) = x(3x − 9)3

t) y = x√

1 − x2 u) y = x2√

9 − x2

�

VII

7 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 Funciones continuas en un valor de x = a y en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 Algunas propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Módulo

7. Funciones continuas

Ya hemos mencionado varias veces en actividades anteriores que las funciones derivablestienen una propiedad respecto a cómo se calcula el límite.

Teorema 7.1.1 Dada f una función definida en un intervalo abierto (c, d), tal que a ∈ (c, d).

Si f es derivable en x = a =⇒ lı́mx→a

f (x) = f (a).

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

Figura I

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

Figura II

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

Figura III

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

Figura IV

Figura 7.1: Gráficas de funciones no deri-vables en x = 5.

Actividad 7.1a) ¿Qué dice la derivada (si existe) de una función en x = a sobre la función en ese

x = a?b) Sabemos que las funciones representadas en las gráficas de la Figura 7.1 no son

derivables en x = 5. Completar la Tabla 7.1 con los valores de las pendientes de lasrectas secantes a cada gráfica en los puntos que se indican. Estimen los valores apartir de las gráficas.

Pendiente de la recta secante a travésde los puntos (4.9, f (4.9)) y (5, f (5))

Pendiente de la recta secante a travésde los puntos (5, f (5)) y (5.1, f (5.1))

Figura IFigura IIFigura IIIFigura IV

Tabla 7.1: Pendientes de las rectas secantes.

c) Dibujen las rectas secantes correspondientes de la Tabla 7.1.

d) ¿Qué pasa si tomamos valores de x más cercanos, por derecha y por izquierda, a 5?Describan, en palabras, por qué se dice que la derivada no existe en cada caso.

e) Las respuesta al inciso d), ¿son consistentes con las definiciones de funcionesderivables y no derivables en x = 5?

Definición 7.1.1 — Función derivable. Considerando que un límite existe siemprey cuando los límites laterales existan y sean iguales, la derivada de f en x = a es

f ′(a) = lı́mx→a+

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a−

f (x) − f (a)x − a

en el caso que los límites existan y sean iguales.Si f ′(a) existe, se dice que f es derivable en a. Por el contrario, si f ′(a) noexiste, se dice que f no es derivable en a.

f ) ¿Verdadero o Falso? Según la definición anterior, si la gráfica de una función tieneuna recta tangente en a que es vertical, entonces f ′(a) no existe. Discutan con suscompañeros y docentes; redondéen la respuesta y expliquen el razonamiento.

�

104 Capítulo 7. Funciones continuas

Actividad 7.2 Según la gráfica de la Figura 7.2 respondan:

a) ¿Existe el valor f (5)?b) Redondéen la fórmula que permitiría calcular la derivada f ′(5)

lı́mx→5

f (x) − f (5)x − 5

lı́mx→5

f (x)

c) Decidan si existe f ′(5) y expliquen el razonamiento.d) Un compañero del grupo dice que tiene las siguientes evidencias para afirmar que

f ′(5) existe.• lı́m

x→5−f (x) = lı́m

x→5+f (x) = un número real.

• Todas las rectas tangente antes de x = 5 y después de x = 5 tienen la mismapendiente.

Marquen cuál o cuáles de los ítem anteriores es verdadero o cuáles falso.�

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

Figura 7.2: Gráfica donde falta el puntocon abscisa x = 5.

Actividad 7.3 Según la gráfica de la Figura 7.3 respondan:

a) ¿Cuál es el valor de f (5)?b) Marquen un punto Q sobre la gráfica de la función que esté cerca de P pero que no

sea P.c) Dibujen la recta secante que pasa a través de los puntos P y Q.d) ¿Qué pasa con la pendiente de las rectas secantes si acercamos el punto Q cada vez

más hacia P?e) Según el inciso d), ¿la función es derivable en x = 5?

�

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

P

Figura 7.3: Gráfica donde el punto conabscisa x = 5 está desubidado. Las siguientes afirmaciones son ciertas.

a) El valor f (a) aparece en la definición de derivada

f ′(a) = lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

por lo tanto si f (a) no existe entonces f ′(a) tampoco. El cociente incremental no puedeescribirse, así que no tiene sentido hablar de derivada en valores de a que no están en eldominio de la función.

b) f ′(a) no existe si la recta tangente a la gráfica de f en x = a es vertical.

c) f ′(a) no existe si lı́mx→a

f (x) , f (a).

d) f ′(a) no existe si el lı́mx→a

f (x) no existe.

e) f ′(a) no existe si las derivadas laterales son distintas

lı́mx→a+

f (x) − f (a)x − a

, lı́mx→a−

f (x) − f (a)x − a

105

Actividad 7.4 Indiquen, en cada uno de los gráficos de la Figura 7.4, todos los valores de xsobre el eje x en los que la función no es derivable.

�

x

y

−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3−2−1

1234567

x

y

−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3−2−1

1234567

Figura A Figura B

x

y

−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3−2−1

1234567

x

y

−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3−2−1

1234567

Figura C Figura D

x

y

−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3−2−1

1234567

x

y

−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3−2−1

1234567

Figura E Figura F

Figura 7.4: Gráficas correspondientes a la Actividad 7.4.

106 Capítulo 7. Funciones continuas

7.2 Funciones continuas en un valor de x = a y en un intervalo

Identificaron en la Actividad 7.4, los valores de x en los que una función no es derivable.

• En la Figura E no debe haber ningún valor de x marcado. La función es derivable entodos los valores de x.• En las Figuras A, B, C y D se trata de funciones en los que la gráfica se corta en algúnvalor de x. En la Figura A la gráfica consta de dos tramos completamente separados;que no se pueden unir en x = 4. En la Figura C, la gráfica presenta un salto hacia abajode 1 unidad en x = 6. En las Figuras B y D la gráfica presenta un agujero; este agujeroes independiente del punto (1, 1) de la Figura D.• La Figura F en cambio, es similar a la Figura E porque la gráfica se presenta de maneracontinua, sin saltos, ni agujeros.

Actividad 7.5 Las funciones graficadas en la Figura 7.5 tienen las características de:

a) f (x) no está definida en x = a. b) f (x) = g(x) siempre que x , a.

c) lı́mx→c

g(x) = g(c) para todo c.

x

y

a

f (x)

x

y

a

g(x)

Figura 7.5: Gráficas de las funciones f y g.

Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas explicando su razonamiento.

a) lı́mx→c

f (x) = f (c) para todo c b) lı́mx→c

f (x) = g(c) para todo c

c) lı́mx→a

f (x) no existe en x = a.�

Actividad 7.6 Acorde a las gráficas de la Figura 7.6.a) ¿Cuál es el valor correcto para f (a) en la Gráfica IV: ¿z1 o z2? Marquen la respuesta

correcta y expliquen su razonamiento.b) Las Gráficas I, II y III tienen un trazo continuo sin cortes ni agujeros. ¿Están de

acuerdo?c) Las Gráficas IV, V, VI, VII, VIII y IX son discontinuas en uno o más valores

del intervalo. Marquen cada valor de discontinuidad agregando una marca y unaletra a en el eje x como se muestra en el gráfico IV. Si hay múltiples puntos dediscontinuidad, márquenlos como a1, a2, etc.

d) Basados en la información de la Figura 7.6, den una definición de función continua(en un intervalo).

e) Una prueba de continuidad en un intervalo es imaginarse una hormiga infinitamentepequeña caminando a lo largo de la gráfica de una función. Si la hormiga puedeviajar a lo largo de la curva sin interrupción (por ejemplo, sin caer en ningún agujerocomo el del gráfico VII, la función es continua en ese intervalo. ¿La definición quedieron en el inciso d) resulta consistente con esta prueba? Expliquen.

�

7.2 Funciones continuas en un valor de x = a y en un intervalo 107

x

y

x

y

x

y

Gráfica I Gráfica II Gráfica III

x

y

z1

z2

a

x

y

x

y

Gráfica IV Gráfica V Gráfica VI

x

y

x

y

x

y

Gráfica VII Gráfica VIII Gráfica IX

Figura 7.6: Gráficas de la Actividad 7.6.

Actividad 7.7 Usando nuevamente la Figura 7.6.

a) Indiquen en cada gráfico todos los valores de a sobre el eje x en donde

lı́mx→a+

f (x) , lı́mx→a−

f (x).

b) Verdadero o Falso: Si lı́mx→a+

f (x) , lı́mx→a−

f (x) entonces f es discontinua en a.�

Actividad 7.8 Recordemos que∞ no es un número real, luego si lı́mx→a

f (x) = ∞ entoncesese límite no existe.

a) ¿Qué gráfico de la Figura 7.6 tiene un valor a donde lı́mx→a+

f (x) = lı́mx→a−

f (x) = ∞?b) ¿Corresponde a la gráfica de una función continua en a? Expliquen su razonamiento.

�

108 Capítulo 7. Funciones continuas

Actividad 7.9a) Verdadero o Falso: Si lı́m

x→a+f (x) = lı́m

x→a−f (x) = [un número real] entonces f es

continua en x = a.Si es Falso, den un ejemplo de la Figura 7.6 que muestre que esta afirmación es falsa,y expliquen su razonamiento.

b) Hay dos gráficos en la Figura 7.6 en los que la afirmación del punto anterior es falsa.¿Cuáles son?

c) Para cada uno de esos dos gráficos, escriban lo que conocen del valor de f (a).d) Cada uno de estos dos gráficos tiene un “problema” en x = a que hace que la función

sea discontinua en a. Describan en que difieren esos dos problemas.e) Cada uno de los gráficos VII y VIII tiene un punto de discontinuidad que se dice

removible o evitable. En cierta forma, cada una de esas funciones es discontinua ena porque f (a) no es el valor que esperamos basados en los valores de la funcióncerca de a.

Para lograr que el gráfico sea continuo en a se necesita que f (a) =b∑a

.

�

Pista para el inciso e):Se debe elegir alguna de las siguien-tes opciones

a f (a) x

lı́mx→a

f (x) f (x)

Definición 7.2.1 — Continuidad en un valor de x y en un intervalo.

Una función f es continua en x = a si lı́mx→a

f (x) = f (a).

(el límite de la función se puede calcular evaluando la función)

Una función f es continua en un intervalo (c, d), si es continua en todo punto de eseintervalo.

Si ese intervalo es cerrado [c, d], entonces también debe cumplirse que:

• en c, el borde de la izquierda, lı́mx→c+

f (x) = f (c), es decir, f (x) es continua aderecha en x = c.

• en d, el borde de la derecha, lı́mx→d−

f (x) = f (d), es decir, f (x) es continua aizquierda en x = d.

Actividad 7.10 En grupo, piensen en un ejemplo de la vida cotidiana de un proceso quepueda ser descripto mediante una función continua, y uno que puede describirse por unafunción que contiene una o más discontinuidades. Propongan un gráfico para cada una deestas funciones.

�

7.2 Funciones continuas en un valor de x = a y en un intervalo 109

7.2.1 Identificando discontinuidades a partir de una ecuaciónConsideren las siguientes funciones con sus correspondientes dominios naturales.

i) f (x) = 12 x ii) f (x) =

x para x ≤ 1

−x + 2 para 1 < x ≤ 32x − 7 para x > 3

iii) f (x) = 12 x3 − x − 1 iv) f (x) =

{ 12 x2 − 2 para x ≤ 6

−x2 + 12x − 33 para x > 6

v) f (x) =1x

vi) f (x) =−3 para x < 12 para 1 ≤ x < 23 para x ≥ 2

vii) f (x) ={ 1

2 x2 − 4x + 8 para x , 64 para x = 6 viii) f (x) =

x2 − 4x − 2

ix) f (x) =1

(x − 2)2

Todas estas funciones son lasmis-mas funciones que aparecierongraficadas en la Figura 7.6. Estainformación puede ser útil paracontrolar las respuestas a las pre-guntas en esta Sección.

Actividad 7.11 Considerando las funciones anteriores,

a) ¿Para qué valores de x la función V tiene una discontinuidad? Expliquen el razona-miento.

b) ¿Para qué valores de x la función VIII tiene una discontinuidad? Expliquen elrazonamiento.

c) Para la función VI definida por partes se tiene

• f (1) = • lı́mx→1+

f (x) = • lı́mx→1−

f (x) =

• f (2) = • lı́mx→2+

f (x) = • lı́mx→2−

f (x) =

¿Es f continua en su dominio? Usen los incisos previos para justificar su respuesta.

d) En la pregunta previa, analizamos la continuidad de la función VI en x = 1 y x = 2.A) ¿En qué dos valores de x debería chequearse la continuidad la función II?B) ¿Es la función dada en II continua? Muestren su trabajo.C) ¿En qué valor o valores de x debería chequearse la continuidad la función IV?D) ¿Es la función dada en IV continua? Muestren su trabajo.

e) Usen lo realizado previamente para clasificar a las funciones de los gráficos I, III,VII, y IX como continuas o discontinuas (y anoten los valores de x en los que ftiene una discontinuidad)

�

110 Capítulo 7. Funciones continuas

Actividad 7.12 Clasifiquen las funciones desde la IV a la IX en las categorias de la Tabla 7.2.

Descripción de la gráfica: Deben describir la característica que presenta la gráfica de lafunción según la discontinuidad. Hacer un bosquejo de ejemplo.Descripción analítica: Deben describir analíticamente el comportamiento en el punto dediscontinuidad.

�

Tipo de Número de la función. Descripción Descripcióndiscontinuidad Ejemplo: IV, V, etc. de la gráfica analítica

Salto

Infinito

Agujero

Tabla 7.2: Clasificación de las discontinuidades.

Las funciones VII y VIII deben estar ubicadas en la fila donde se señala que el tipo dediscontinuidad es un agujero. Si rellenamos el agujero de la manera deseada o esperablesegún el valor del límite de la función obtendremos una nueva función que es continua. Porejemplo, la función VII puede debe ser redefinida en x = 6 de tal manera que el valor de lafunción coincida con el valor del límite.

f (x) =

12

x2 − 4x + 8 para x , 6

4 para x = 6=⇒ f̃ (x) =

12

x2 − 4x + 8 para x , 6

2 para x = 6

Actividad 7.13 ¿Cómo se redefine la función VIII para que resulte continua en x = −2? �

7.3 Algunas propiedades de las funciones continuas 111

7.3 Algunas propiedades de las funciones continuasSi dos funciones f y g son continuas en x = a, entonces las siguientes funciones también

son continuas en x = a:

f ± g c. f (c una constante) f .gfg(si g(a) , 0)

O sea, la suma, resta y el producto de dos funciones continuas (con el caso particular delas funciones constantes) en x = a es también una función continua en x = a. El cocientetambién será continuo en x = a siempre y cuando el denominador no se anule en x = a. Lasdemostraciones de estas afirmaciones son consecuencia de las propiedades algebraicas queposeen los límites según lo que se detalló en la Sección 4.4.2 del Módulo 4.

Teorema 7.3.1 — Composición de funciones continuas. Si g es una función continua en a yf es una función continua en g(a) entonces f ◦ g es una función continua en a.

C Según la Propiedad 4.4.5 del Módulo 4 toda función polinómica o racional es continuaen los valores de a que estén en su dominio. O sea, siempre sucederá que

lı́mx→a

f (x) = f (a)

para todos los valores de a que pertenezcan al Dom( f ).También son continuas, en todos los valores del dominio, las funciones racionalescompuestas con funciones raíces de cualquier índice según lo enunciado en el Módulo 4en la Propiedad 4.4.3.

� Ejemplo 7.1 Podemos calcular el límite

lı́mx→4

x3 − 8 +√

x − 2x2 − 4

simplemente por evaluación porque x = 4 pertence al dominio de la funciónx3 − 8 +

√x − 2

x2 − 4(la raíz y el cociente están bien definidos) y esa misma función

es continua en todo su dominio según lo enunciado en el comentario anterior.

lı́mx→4

x3 − 8 +√

x − 2x2 − 4

=43 − 8 +

√4 − 2

42 − 4=

56 −√

212

.

Pero no podemos calcular de igual manera el límite

lı́mx→2

x3 − 8 +√

x − 2x2 − 4

porque la funciónx3 − 8 +

√x − 2

x2 − 4no está definida en x = 2 (se anula el denominador).

Para calcular este límite deberemos hacer otra cosa.�

112 Capítulo 7. Funciones continuas

� Ejemplo 7.2 El valor x = 6 pertence al dominio de la función VII con la que trabajamospreviamente.

f (x) =

12

x2 − 4x + 8 para x , 6

4 para x = 6

Sin embargo, sabemos que la función VII no es continua en x = 6 por lo tanto el límitepara x → 6 no puede calcularse por evaluación. De hecho,

f (6) = 4 es diferente a lı́mx→6

f (x) = 2

�

Actividad 7.14 ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones?

a) f (x) =x2 + 6x + 9

x + 3b) g(x) =

√2x + 3 c) h(x) =

√2 − x2

�

Teorema 7.3.2 — Relación entre la derivada en x = a y la continuidad en x = a de una función.Dada f una función definida en un intervalo abierto (c, d), tal que a ∈ (c, d).

Si f es derivable en x = a =⇒ f es continua en x = a.

Ya hemos mencionado varias veces el teorema anterior. En esta oportunidad lo escribimosen términos de las nuevas definiciones de funciones continuas.

Actividad 7.15 Indiquen cuales dos de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Las tresrestantes son falsas, propongan el gráfico de una función que muestre que son falsas.

a) Si lı́mx→a

f (x) = f (a) entonces f es continua en x = a.b) Si f no es continua en x = a entonces f (a) , lı́m

x→af (x).

c) Si f no es continua en x = a entonces f (a) no está definida.d) Si f no es continua en x = a entonces lı́m

x→af (x) no existe.

e) Si f no es continua en x = a entonces f (a) no está definida o lı́mx→a

f (x) no existe.�

Actividad 7.16 Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuálesson falsas. Para cada afirmación falsa, propongan el gráfico de una función que muestreque son falsas.

a) Si f es continua en un intervalo entonces f es derivable en ese intervalo.b) Si f es derivable en un intervalo entonces f es continua en ese intervalo.c) Si f es discontinua en x = a entonces f ′(a) no existe.

�

7.3 Algunas propiedades de las funciones continuas 113

Cuando decimos que una función es continua en un intervalo y lo ejemplificamos conla frase “es que se puede dibujar la gráfica de la función desde el comienzo hasta el finalsin levantar la punta del lápiz” estamos utilizando una versión verbal del Teorema del ValorIntermedio que enunciamos a continuación:

Teorema 7.3.3 — Teorema del Valor Intermedio. Dada una función f continua en un intervalocerrado de la forma [c, d]. Dado A un valor cualquiera entre f (c) y f (d). Entonces existe almenos un valor de x ∈ [c, d] tal que A = f (x).

Cuando decimos “A entre f (c) y f (d)” estamos contemplando las dos situaciones posibles

f (c) ≤ A≤ f (d) o f (c) ≥ A ≥ f (d) x

y

c d

f (c)

f (d)

A

x

x

y

c d

f (c)

f (d)

A

x1 x2 x3

Figura 7.7: Esquema para el Teorema delValor Intermedio.

La demostración de este teorema requiere un trabajo cuidadoso con la definición de númerosreales y está íntimamente ligada con la propiedad de los números reales de completar la rectareal sin que queden huecos. No haremos la demostración y aceptaremos su validez.

En la Figura 7.7 se presentan dos representaciones posibles de una función continua en elintervalo [c, d]. Su gráfica “debe atravesar” la recta horizontal y = A. El Teorema del ValorIntermedio se comprueba “visualmente” de una manera muy sencilla. Pero su demostraciónformal, desde el punto de vista de la disciplina matemática, es más sofisticada.

Una aplicación del Teorema del Valor Intermedio es la determinación de ceros defunciones continuas.

Los ceros de una función sonaquellos valores de x (en el do-minio) para los cuales f (x) = 0.

Teorema 7.3.4 Dada una función f continua en un intervalo cerrado de la forma [c, d] tal quef (c) y f (d) tienen signo distinto. Entonces f tiene al menos un cero en el intervalo [c, d].

� Ejemplo 7.3 Podemos afirmar que la función f (x) = x4 + x − 3 tiene un cero en el intervalo[0, 2] porque es una función continua (es una función polinómica), f (0) = −3 yf (2) = 15 (tienen signo distinto).

Debe existir x ∈ [0, 2] tal que x4 + x − 3 = 0. No sabemos exactamente cuál es esevalor; pero sí sabemos que existe el cero.

�

Actividad 7.17 ¿Conocen algún procedimiento o se les ocurre algún procedimiento quepermita determinar, de manera aproximada, cuál es el valor del cero de f (x) = x4 + x − 3en el intervalo [0, 2]? Estudien la situación del Ejemplo 7.3 y discutan en el grupo cómocorrespondería hacer para calcular, de manera aproximada, el valor del cero que se estábuscando.

�

Otra consecuencia delTeorema del Valor Intermedio es la determinación de los intervalosde positividad y negatividad de una función continua.

Teorema 7.3.5 Dada una función f continua en un intervalo I de cualquier forma (puedeser abierto, cerrado, semi cerrado, que llegue hasta +∞, etc.) tal que f no tiene ceros en elintervalo, entonces f (x) tendrá siempre el mismo signo en el intervalo: f (x) > 0 en todo I;o f (x) < 0 en todo I.

Si elegimos un valor de prueba a ∈ I, evaluamos f (a) y con ese dato podemos determinarel signo de f (x) para todo el resto de los valores de x ∈ I.

114 Capítulo 7. Funciones continuas

� Ejemplo 7.4 Si consideramos la función f (x) = (x − 3)(x − 1)2(2x + 1)3 podemos afirmarque los únicos ceros de f son x1 = −

12 , x2 = 1 y x3 = 3. Además, f es una función

continua en todo R.

Concluímos, en primer lugar que f no tiene ceros en los intervalos (−∞,− 12 ), (−

12, 1),

(1, 3) y (3,+∞). O sea, los ceros de f subdividen a la recta real en intervalos donde,por el Teorema 7.3.5, la función debe mantener su signo.

�

Actividad 7.18 Siguiendo el desarrollo del Ejemplo 7.4 completen la Tabla 7.3.

Intervalo Valor de prueba a Signo de f (a) Signo de f (x) en todo x el intervalo

Tabla 7.3: Intervalos de positividad y negatividad de la función f (x) = (x − 1)(x − 3)2(2x + 1)3.

�

Si todo salió bien en la Actividad 7.18 los intervalos de positividad y negatividad de lafunción f (x) = (x − 1)(x − 3)2(2x + 1)3 deberían haber quedado de la siguiente manera:

−1/2 1 3

+ + + + + + − − − − − + + + + + + + + +

Actividad 7.19 Justifiquen por qué puede afirmarse que las siguientes funciones tienen almenos un cero en el intervalo indicado.

a) f (x) = 2x3 + x2 + 2 en el intervalo [−2,−1]

b) g(x) =5x − 5 − 5x3 + x4√

40 − x2en el intervalo [−4, 2].

�

Actividad 7.20 Determinen los intervalos de positividad y negatividad de la función

f (x) = x(x + 4)3(x − 1)2(x2 − 4x)(x2 + 2)

Presenten la respuesta dibujando la recta real y los intervalos de positividad y negatividadencontrados.

�

7.3 Algunas propiedades de las funciones continuas 115

El último resultado teórico referido a funciones continuas es el Teorema de Weierstrass.En general, dependerá de cada función, sus características y del dominio en el que esté definida,para poder afirmar que la función alcanza o no alcanza un valor máximo y un valor mínimo.Sin embargo, este resultado teórico nos permite anticipar que las funciones continuas definidasen intervalos cerrados de la forma [c, d] siempre alcanzarán un valor máximo y un valormínimo absoluto.

También aceptaremos la validezde este Teorema sin demostrarlo.

Teorema 7.3.6 — Teorema de máximos y mínimos absolutos. Teorema de Weierstrass. Unafunción f continua en un intervalo cerrado [c, d] alcanzará un valor máximo absolutoen algún valor xM ∈ [c, d] y también alcanzará un valor mínimo absoluto en algúnvalor xm ∈ [c, d].

Por definición de máximos y mínimos absolutos en [c, d] se tiene que

f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM ) para todo x ∈ [c, d]

� Ejemplo 7.5 La función f (x) =

x para x ∈ [0, 1)

0 para x = 1no es continua en el intervalo [0, 1].

Ver la Figura 7.8. Podemos afirmar que alcanza el valor mínimo absoluto 0 en xm1 = 0y también en xm2 = 1; pero no alcanza un valor máximo absoluto en el intervalo. �

x

y

0 1

1y = f (x)

Figura 7.8: Gráfica de la función f .

x

y

0 1

1 y = g(x)

Figura 7.9: Gráfica de la función g.

� Ejemplo 7.6 La función g(x) =1xdefinida para x ≥ 1 es continua en todo el intervalo

[1,∞) pero el intervalo no tiene borde derecho.Podemos afirmar que alcanza el valor máximo absoluto 1 en xM = 1 pero no alcanzaun valor mínimo absoluto en el intervalo. Ver Figura 7.9.

�

� Ejemplo 7.7 La función f (x) = x7 − 3x4 + x3 − 9 es una función continua porque es unafunción polinómica. Por lo tanto, sobre la base del Teorema 7.3.6, podemos afirmarque alcanzará un valor máximo y un valor mínimo en cualquier intervalo de la forma[c, d]. Aunque no sabemos exáctamente cuáles serán esos valores

�

El Teorema 7.3.6 garantiza la existencia de valores máximos y mínimos en una funcióncontinua definida en un intervalo cerrado de la forma [c, d]. Sin embargo, no nos dice cuálesson esos valores máximos y mínimos, y ni siquiera dónde se alcanzan.Pero, en el Módulo 5, detallamos las características que deben cumplirse en x para que lafunción alcance valores máximos o mínimos relativos. ¿Se acuerdan?Los valores máximos o mínimos absolutos (que también son relativos) de funciones continuasen intervalos cerrados de la forma [c, d] se alcanzarán en los x tales que:• x sea uno de los bordes del intervalo: x = c o x = d.• x sea un valor crítico de la función dentro del intervalo:I x sea un valor estacionario dentro del intervalo: existe f ′(x) y además f ′(x) = 0.I f ′(x) no existe (la función no es derivable en x).

La lista completa de valores x que cumplan alguna de las condiciones anteriores nos determinala lista de candidatos para que la función tome allí sus valores máximos y mínimos absolutos.Nuestra capacidad de encontrar los valores máximos o mínimos abolutos estará determinadapor la capacidad que tengamos de confeccionar esta lista de candidatos.

VIII

8 Teorema del Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.1 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.2 Intervalos de crecimiento y decremiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.3 Derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.4 Estudio de valores máximos y mínimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Módulo

8. Teorema del Valor medio

“Los países ricos lo son porque dedican dinero al desarrollo científico tecnológico. Y lospaíses pobres lo siguen siendo si no lo hacen. La ciencia no es cara, cara es la ignorancia.”

Bernardo Houssay (1887 - 1971)

8.1 Teorema de Rolle y Teorema del Valor MedioActividad 8.1 En el viaje desde La Plata a Buenos Aires por la autopista se pasa por dospeajes que están a una distancia de 24 km. En un viaje habitual durante la mañana, un autopasa por el Peaje Hudson a las 9:00 am, y 16 minutos más tarde llega al Peaje Dock Sud.Discutan en el grupo y respondan las siguientes preguntas:

a) ¿La velocidad del auto fue de 90 km/h durante todo el trayecto?b) El conductor del auto recuerda que en algún momento del viaje, el velocímetro marcó

la velocidad de 100 km/h. ¿Es cierto que hubo un momento del viaje en el que lavelocidad del auto fue menor a los 90 km/h?

c) En algún momento del viaje el velocímetro marcó una velocidad de 90 km/h. ¿Escierto?

d) ¿Cualquier auto que haga el trayecto entre los peajes tendrá una velocidad promediode 90 km/h?

e) Para cualquier auto que haga el trayecto, ¿siempre habrá un instante del viaje en elque la velocidad promedio sea exactamente igual a la velocidad instantánea?

�

Actividad 8.2 Respecto a la gráfica de la función f (x) que se presenta en la Figura 8.1.

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

Figura 8.1: Gráfica de una función f en el intervalo [a, b].

120 Capítulo 8. Teorema del Valor medio

a) Dibujen la recta secante que pasa por los puntos A y B.b) Marquen un punto C con coordenadas (c, f (c)) y la recta tangente a la gráfica de la

función f en el punto C que tenga la misma pendiente que la recta secante que pasapor los puntos A y B.

c) ¿Cuáles de las siguientes fórmulas describen la pendiente de las rectas dibujadas?Hay más de una respuesta.

f (c) f ′(a) f ′(b) f ′(c) f (b) − f (a)f (b) − f (a)

b − af (b) − f (a)

f (c)

d) Para cada gráfica de la Figura 8.3, marquen uno o más puntos C, con coordenadas(c, f (c)) en el intervalo (a, b) donde

f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a

e) En el sistema de ejes coordenados de la Figura 8.2, dibujen la gráfica de una funciónque comience en el punto A, termine en el punto B y no exista ningún valor c ∈ (a, b)tal

f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a

x

yy = f (x)

a b

B

A

Figura 8.2: Gráfica de una función f en el intervalo [a, b].

�

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

x

y

y = f (x)

a

f (a)

b

f (b)B

A

Figura 8.3: Gráficas de 3 funcionesen el intervalo [a, b].

Las Actividades 8.1 y 8.2 se refieren a la interpretación dinámica y geométrica delTeoremadel Valor Medio que enunciamos a continuación y que tendrá varias consecuencias paranuestro interés de estudio de funciones numéricas.

Teorema 8.1.1 — Teorema del Valor Medio. Dada f una función continua en un intervalo dela forma [a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) entonces...

a) ... existe un número c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a, o en forma equivalente,

b) ... existe un punto C de la forma (c, f (c)), con c ∈ (a, b) tal que la pendiente de larecta tangente a la gráfica de f en C es igual a la pendiente de la recta secante quepasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).

Actividad 8.3 Considerando las gráficas de la Figura 8.4.a) Traten de encontrar un punto C con coordenadas (c, f (c)), con c ∈ (a, b) tal que

8.1 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio 121

f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a

x

y

B

A

x

y

BA

Figura 8.4: Gráficas de dos funciones f y g en el intervalo [a, b] para la Actividad 8.3.

b) Expliquen por qué no es aplicable el Teorema del Valor Medio en los casos de laActividad 8.3.

�

Actividad 8.4 En los siguientes casos, realicen el gráfico de cada función en el intervalo[a, b] indicado, la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) y todas lasrectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta secante mencionada.

a) f (x) = x2 − 2x + 4 en el intervalo [0, 4].

b) f (x) =1xen el intervalo [ 12, 2].

�

x

y

BA

Figura 8.5: Ejes coordenados para laActividad 8.6.

Actividad 8.5 Decidan si existe o no un valor de c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f (b) − f (a)

b − apara

cada uno de los siguientes casos:

a) f (x) = x5 − 3x3 + 3x + 8 en el intervalo [1, 2]b) f (x) = x2/3 en el intervalo [−1, 1].

�

Actividad 8.6 Para una función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo(a, b). Si f (b) = f (a), ¿es posible asegurar que existe un valor estacionario c de f en elintervalo (a, b)?Usando el sistema de ejes cartesianos de la Figura 8.5,

• Si la respuesta anterior fue no, dibujen una función que no tenga ningún valorestacionario c en el intervalo (a, b).

• Si la respuesta anterior fue si, dibujen una función con algún valor estacionario c enel intervalor (a, b).

�

122 Capítulo 8. Teorema del Valor medio

La Actividad anterior se refiere al Teorema de Rolle que se enuncia de una manera similaral Teorema del Valor Medio.

Teorema 8.1.2 — Teorema de Rolle. Dada f una función continua en un intervalo de la forma[a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) tal que f (b) = f (a). Entonces f tiene almenos un valor estacionario c ∈ (a, b).

O sea, existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Decimos que el Teorema de Rolle (TR) y el Teorema del Valor Medio (TVM) sonequivalentes entre sí porque pueden deducirse uno respecto del otro. Se dice que el TR es uncaso particular del TVM porque sólo contempla los casos en los que f (b) = f (a). Y se diceque el TVM es una extensión del TR porque contempla casos más generales.

Demostración Demostraremos elTeoremadeRolle. Consideremos una función f continuaen un intervalo [a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) tal que f (b) = f (a). Por lahipótesis de que f continua en el intervalo cerrado [a, b] podemos afirmar, Teorema deWeierstrass del Módulo 6 mediante, que la función alcanza un valor máximo y un valormínimo absoluto en el intervalo [a, b]. Si alguno de estos valores (el valor máximo absolutoo el valor mínimo absoluto) se alcanzaran en algún valor c ∈ (a, b) entonces c deberá serun valor estacionario de f . O sea, podemos afirmar que existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Por el contrario, si ambos valores (el máximo absoluto y el mínimo absoluto) sealcanzaran en los bordes del intervalo entonces se cumplirá que

f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) o f (a) ≥ f (x) ≥ f (b) para todo x ∈ [a, b].

Pero la hipótesis f (a) = f (b) implica entonces que f (x) se trata de una funciónconstante en el intervalo [a, b] por lo tanto cualquier valor c ∈ (a, b) cumple que f ′(c) = 0.

Usando como referencia la función definida en el intervalo [a, b] por

g(x) = f (x) −f (b) − f (a)

b − a(x − a) − f (a) (8.1)

es posible deducir ahora el Teorema del Valor Medio.

Actividad 8.7 Dada una función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo(a, b). Muestren que la función g(x) definida en [a, b] por la ecuación 8.1 cumple todaslas hipótesis del Teorema de Rolle. Muestren que si g′(c) = 0 para algún valor c ∈ (a, b)

entonces f ′(c) =f (b) − f (a)

b − a.

�

8.2 Intervalos de crecimiento y decremientoConsideremos una función f derivable en algún intervalo abierto (de cualquier forma).

Sean x1 y x2 dos valores cualesquiera en el intervalo tales que x1 < x2. De acuerdo al Teoremadel Valor Medio, considerando el intervalo [x1, x2] podemos afirmar que existe un valorc ∈ (x1, x2) tal que

f (x2) − f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).

Nos referimos a intervalosabiertos como aquellos en losque no se incluyen sus bordes.Pueden ser de la forma (a, b),(−∞, b), (a,+∞) o (−∞,+∞).

Sabiendo que x2 − x1 es un número positivo, usando la regla de los signos para lamultiplicación podemos considerar varias opciones. Dos de ellas son

f (x2) − f (x1)︸ ︷︷ ︸>0

= f ′(c)︸︷︷︸>0

. (x2 − x1)︸ ︷︷ ︸>0

o f (x2) − f (x1)︸ ︷︷ ︸<0

= f ′(c)︸︷︷︸<0

. (x2 − x1)︸ ︷︷ ︸>0

(8.2)

Las ecuaciones 8.2 junto con la definición de derivada como límite del cociente incrementalpermiten demostrar el siguiente criterio para determinar los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de una función conociendo el signo de su derivada.

8.2 Intervalos de crecimiento y decremiento 123

Teorema 8.2.1 — Criterio para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de unafunción derivable en un intervalo.

Considerando una función derivable en un intervalo abierto (de cualquier forma) entonces

• f es una función creciente en el intervalo =⇒ f ′(x) ≥ 0 en el intervalo.• f ′(x)> 0 en el intervalo =⇒ f (x) es una función creciente en el intervalo.

• f es una función decreciente en el intervalo =⇒ f ′(x) ≤ 0 en el intervalo.• f ′(x)< 0 en el intervalo =⇒ f (x) es una función decreciente en el intervalo.

C El criterio anterior puede extenderse a cualquier tipo de intervalos, que incluyan a unode sus bordes o a ambos bordes, sin necesidad que la función sea derivable en los bordes.En esos casos se necesita que la función sea continua (por derecha o por izquierda)según de qué borde se trate.

x

y

1

6

2

5

Figura 8.6: Gráfica de f (x) = 2x3 − 9x2 +12x + 1.

� Ejemplo 8.1 Dado que la función f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1 es derivable en todo Rdeterminaremos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento usando el Teorema 8.2.1.Para ello calculamos

f ′(x) = 6x2 − 18x + 12 =︸︷︷︸(∗)

6(x − 1)(x − 2) (8.3)

En (∗) hemos calculado las soluciones de la ecuación 6x2 − 18x + 12 = 0.Podemos afirmar que f ′(x) < 0 para x ∈ (1, 2). Por lo tanto, f es decreciente en

ese intervalo. Y f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 1) y para x ∈ (2,+∞). Por lo tanto, f escreciente en cada uno de esos intervalos.

Evaluamos f (1) = 2 − 9 + 12 + 1 = 6 y f (2) = 2 8 − 9 4 + 24 + 1 = 5 para marcar lospuntos (1, 6) y (2, 5) en la Figura 8.6 y esbozar la gráfica de la función f contemplandola información obtenida sobre el crecimiento y decrecimiento de la función.

�

� Ejemplo 8.2 Estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

g(x) = 4x2 +1x.

Considerando que el dominio natural de g es el conjunto (−∞, 0) ∪ (0,+∞) y que enese dominio la función es derivable, calculamos su derivada

g′(x) = 8x −1x2 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Para estudiar los intervalos de positividad y negatividad de g′(x) procederemos demanera similar a como lo hicimos en el Ejemplo 7.4 del Módulo 7.Buscaremos aquellos intervalos en los que la función g′(x) = 8x −

1x2 es continua y

no se anula; para luego determinar el signo de g′(x) usando valores de prueba.

En este caso, g′(x) es continua en los dos intervalos que conforman su dominio: elintervalo (−∞, 0) y el intervalo (0,+∞).

124 Capítulo 8. Teorema del Valor medio

Los ceros de g′(x) son aquellos x que cumplen

g′(x) = 0⇐⇒ 8x −1x2 = 0⇐⇒ 8x =

1x2

Considerandoque x , 0︷︸︸︷⇐⇒ x3 =

18⇐⇒ x = 1

2

0No pertenece

al dominio de g′.

12

g′ = 0

En los intervalos (−∞, 0), (0, 12 ) y (

12,+∞) la función g′(x) es continua y no se

anula por lo que podemos determinar su signo en cada intervalo tomando algún valorde prueba.

Intervalo Valor de prueba a Signo de g′(a) Signo de g′(x) en todo x el intervalo Comportamiento de g(x)

(−∞, 0) −1 g′(−1) = −8 − 1 = −9 Negativo Decreciente

(0, 12 )

14 g′( 14 ) = 2 − 16 = −14 Negativo Decreciente

( 12,+∞) 1 g′(1) = 8 − 1 = 7 Positivo Creciente

�

� Ejemplo 8.3 La función f (x) = x2/3 tiene Dom( f ) = R. Como el exponente es menorque 1, es derivable en el conjunto R − {0} quedando

f ′(x) = 23 x−1/3 =

23

13√x

para x , 0.

La derivada es continua y no se anula (el numerador es distinto de 0 para cualquierx , 0) en los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞).

Para x < 0 se tiene 3√x < 0 y para x > 0 se tiene 3√x > 0. Por lo tanto, f (x) esdecreciente en el intervalo (−∞, 0) y creciente en el intervalo (0,+∞).

�

Actividad 8.8 Estudien los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientesfunciones en sus correspondientes dominios naturales. Escriban en forma explícita losdominios naturales de las funciones y sus intervalos de crecimiento/decrecimiento.

a) f (x) = x3 + 5x b) g(x) = −x3 + 3x2 − 24x c) h(x) = x4/5

d) G(x) =x5+

37

e) F(x) = 9 f ) r(x) =x2

x2 − 1�

8.3 Derivada segunda 125

8.3 Derivada segunda8.3.1 La aceleración de un objeto en movimiento

Actividad 8.9 En una carrera de 400m llanos, dos corredoras que llamaremos A y Bplantearon estrategias distintas para intentar ganar. La posición de cada atleta se representaen la Figura 8.7 con las gráficas de las funciones pA(t) y pB(t) (posición en metros respectoal tiempo de la carrera medido en segundos).

a) ¿Qué representa pA(0) = pB(0)?b) ¿Qué representa pA(47.6) = pB(47.6)? ¿Quién ganó la carrera?c) ¿Cómo se describe la estrategia de la cada corredora? ¿Quién tomó ventaja en el

primer tramo de la carrera? ¿Qué sucedió durante el último tramo de la carrera?

t (en segundo)

p (en metros)

pA(t)

pB(t)

47.6

400

Figura 8.7: Gráficas de las funciones pA y pB.

�

La velocidad instantánea de cada atleta fue cambiando mientras duró la carrera. La atletaA comenzó la carrera despacio y fue incrementando su velocidad hacia el final. En cambio, laatleta B comenzó con un buen ritmo pero en el último tramo fue frenando (quizás debido alcansancio). Decimos que B fue acelerando (acelerando positivamente) porque la velocidad fueen aumento. En cambio, A fue frenando (acelerando negativamente) porque la velocidad fuedisminuyendo.

La aceleración instantánea de un objeto que semueve sobre una ruta o camino (recordemosque nos interesa estudiar objetos que se mueven en una única dirección) representa la maneraen que cambia la velocidad del objeto. La aceleración en cada instante t es la derivada de lafunción velocidad

a(t) = v′(t) =dvdt(t)

Pero sabemos que la velocidad en cada instante t es la derivada de la función posición

v(t) = p′(t) =dpdt(t)

Por lo tanto decimos que la aceleración en cada instante t es la derivada de la derivadade la posición: “la segunda derivada” de la posición

a(t) = v′(t) = p′′(t)

y lo escribimos con doble comilla: ” o usando la notación de Leibniz de la forma:

a(t) =dvdt(t) =

ddt

dpdt(t) =

d2pdt2 (t)

126 Capítulo 8. Teorema del Valor medio

Dado que las unidades de la velocidad v(t) son

∆p∆t=

unidades de punidades de t

se tiene que las unidades de la aceleración a(t) son

∆v

∆t=

unidades de vunidades de t

=unidades de p(unidades de t)2

� Ejemplo 8.4 Si p(t) es la posición en metros (m) y t es el tiempo en segundos (seg) entonceslas unidades de p′′(t) (la aceleración) serán m/seg2.

�

Actividad 8.10 Para un mol de oxígeno a 26◦ C, la presión P y el volumen V se relacionanmediante la ecuación

P =1 × 0.082 × 26

Vdonde P se mide en atmósferas y V en litros.

a) Encuentren la aceleración de P respecto a V .b) ¿Cuánto vale P′′(1)?

�

8.3.2 Concavidad en la gráfica de una función

La derivada segunda representa la razón de cambio de la derivada primera.

x

y

Gráfica I

x

y

Gráfica II

x

y

Gráfica III

x

y

Gráfica IV

Figura 8.8: Gráficas para la Activi-dad 8.11.

Actividad 8.11 Consideren f una función que tiene derivada segunda en un intervalo Iabierto (de cualquier forma).

a) Completen los casilleros:• Si f ′′(x) es positiva en I entonces f ′(x) es .

• Si f ′′(x) es negativa en I entonces f ′(x) es .

b) Marquen en la Figura 8.8, las gráficas que representan una a f tal que:

f ′′ > 0 f ′′ < 0

(hay dos gráficas para cada condición)�

Definición 8.3.1— Intervalos de concavidad. Dada una función f que tiene derivada segundaen todo un intervalo I abierto (de cualquier forma). Diremos que

• f es cóncava hacia arriba en I si f ′′(x)>0 en el intervalo I.

• f es cóncava hacia abajo en I si f ′′(x)<0 en el intervalo I.

C La definición anterior se extiende al caso de funciones que estén definidas en cualquiertipo de intervalos, que incluyan a uno de sus bordes o a ambos bordes, sin necesidadque la función tenga derivada segunda en los bordes. Se necesita en esos casos que lafunción sea continua (por derecha o por izquierda) según sea el caso.

Por ejemplo, la función f (x) =√

x es cóncava hacia abajo en el intervalo [0,+∞).

8.3 Derivada segunda 127

Actividad 8.12 En la Figura 8.9 dibujen las gráficas de dos funciones definidas en el intervalo[a, b] que pasen por los puntos A y B. Una de ellas que sea cóncava hacia arriba en elintervalo, y otra de ellas que sea cóncava hacia abajo en el intervalo.

�

x

y

a b

B

A

Figura 8.9: Para las gráficas de laActividad 8.12.

� Ejemplo 8.5 La función f (x) = x2/3 es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0) y en elintervalo (0,+∞) porque, recordando el Ejemplo 8.3 podemos calcular

f ′′(x) = 23 .

(− 1

3

)x−4/3 = − 2

91

3√x4para x , 0.

Por lo tanto, f ′′(x) < 0 para todo x > 0 y para todo x < 0.�

Actividad 8.13 Estudien los intervalos de concavidad de las funciones f (x) y g(x) de losEjemplos 8.1 y 8.2.

�

Actividad 8.14 En la Figura 8.10 se presenta la gráfica de una función g.

a) ¿Están de acuerdo con afirmar que en el punto (1.3, 6) la gráfica de la funciónpresenta un cambio en su concavidad?

b) Indiquen los intervalos en los que la función graficada es cóncava hacia abajo y losintervalos en los que es cóncava hacia arriba.

c) ¿En qué otros puntos (x, g(x)) la función presenta un cambio en su concavidad?�

eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678

Figura 8.10: Gráfica de la función g.

128 Capítulo 8. Teorema del Valor medio

En (1.3, 6) y (12, 2.9) la función g de la Actividad 8.14 presenta un cambio en la concavidad.Por el contrario, en (16,−3.9) la función presenta la misma concavidad a su alrededor.

Definición 8.3.2 — Puntos de inflexión. Un punto P = (c, f (c)) en la gráfica de una funciónf se dice punto de inflexión si la función f es continua en c y la función presenta allí uncambio en la concavidad.

Diremos que los segmentos rectos de la gráfica de una función no tienen concavidad.

� Ejemplo 8.6 Habiendo estudiado los intervalos de concavidad de las funciones f (x) =

2x3 − 9x2 + 12x + 1 y g(x) = 4x2 +1xen la Actividad 8.13 podemos afirmar que el

punto(

32,

112

)es el único punto de inflexión de la función f y que

(−2−2/3, 0

)es el

único punto de inflexión de g.La función f (x) = x2/3 del Ejemplo 8.5 no tiene puntos de inflexión. �

Actividad 8.15 Determinen los puntos de inflexión de todas las funciones de la Actividad 8.8.�

8.4 Estudio de valores máximos y mínimos localesEl conocimiento que se obtenga del estudio del crecimiento y decrecimiento de una función,

o sobre su concavidad, nos permitirá en la mayoría de los casos determinar la presencia devalores máximos o valores mínimos relativos.

Teorema 8.4.1 — Criterio de la derivada primera para valores máximos o mínimos relativos.

Dado c un valor crítico de una función f continua en c entonces:

• Si f ′ cambia de positva a negativa en c =⇒ f tiene un valor máximo relativo en c.

• Si f ′ cambia de negativa a positiva en c =⇒ f tiene un valor mínimo relativo en c.

• Si f ′ no cambia de signo en c =⇒ f no tiene un valor máximo relativo ni un mínimorelativo en c.

x

y

c

Máximo relativo

x

y

c

Mínimo relativo

x

y

c

Ni máximoni mínimo

x

y

c

Ni máximoni mínimo

Teorema 8.4.2 — Crieterio de la derivada segunda para valores máximos o mínimos relativos.

Dado c un valor crítico de una función f con derivada segunda continua en c

• Si f ′′(c) < 0 =⇒ f tiene un valor máximo relativo en c.

• Si f ′′(c) > 0 =⇒ f tiene un valor mínimo relativo en c.

C El Teorema 8.4.2 no dice nada en el caso que f ′′(c) = 0. En estos casos, para determinarla presencia de algún valor máximo o algún valor mínimo en c se debe recurrir alTeorema 8.4.1.

Actividad 8.16 Determinen los valores máximos y mínimos relativos de las funciones de laActividad 8.8.

�

IX

9 Comportamientos asintóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.1 Asíntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Asíntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.3 Forma estándar de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Módulo

9. Comportamientos asintóticos

“Ella era la tía Re, una especie de hada que llegaba cada dos años llena de regalos, desde los EstadosUnidos, hasta que regresó a Buenos Aires, para desempeñarse como profesora en la Facultad de Farmacia yBioquímica. . . Era una mujer con un carácter muy,pero muy fuerte. Ella solía contar con tono risueño que

una vez el Dr. Houssay le dijo, para elogiarla, que era ’una mujer de pelo en pecho’.”

Dra. Lidia Costa , en referencia a la Dra. Rebeca Gerschman (1903 - 1986)

9.1 Asíntotas verticales

En varias oportunidades hemos mencionado y trabajado con funciones con comportamientoasintótico verticales. Los ejemplos fueron las funciones potencias

f (x) =1xn

para n ≥ 1,

y las funciones homográficas

f (x) =ax + bcx + d

donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.

x

y

a

Gráfica I

x

y

a

Gráfica II

x

y

a

Gráfica III

x

y

a

Gráfica IV

Figura 9.1: Comportamientos asin-tóticos verticales.

Actividad 9.1 En la Figura 9.1 se presentan varias opciones de comportamientos asintóticosverticales. Marcar con las opciones a), b), c) y/o d según lo siguiente:

a) lı́mx→a+

f (x) = +∞ b) lı́mx→a+

f (x) = −∞

c) lı́mx→a−

f (x) = +∞ d) lı́mx→a−

f (x) = −∞�

Actividad 9.2 Unan cada gráfica de la Figura 9.1 con su correspondiente fórmula:

Gráfica I f (x) =1

(x − a)2

Gráfica II g(x) = −1

x − a

Gráfica III h(x) =1

(x − a)3

Gráfica IV r(x) = −1

(x − a)4

�

El comportamiento asintótico vertical hace referencia a un comportamiento de la funciónpara valores de x que se acercan un número fijo a.

132 Capítulo 9. Comportamientos asintóticos

En el Módulo 4 presentamos la noción de límite para una función numérica como unainteracción entre dos procesos:

• Proceso 1: x → a

• Proceso 2: f (x) → L

Forma compacta de la equivalencia

lı́mx→a

f (x) = L

m

lı́mx → a︸ ︷︷ ︸

Proceso 1

f (x)

Proceso 2︷︸︸︷= L

donde L es un número real finito armando la cadena de causa / consecuencia de lasiguiente forma

cuando x −→ a︸ ︷︷ ︸Proceso 1

entonces f (x) −→ L.︸ ︷︷ ︸Proceso 2

Algunas maneras usuales de leer la expresión anterior:

• Cuando x tiende a a entonces f (x) tiende a L.• El límite de f (x) es L cuando x tiende a a.• El límite de f (x), cuando x tiende a a, es L.

Para comportamientos asintóticos verticales utilizamos la misma notación compactaincorporando los símbolos +∞ y −∞ para describir el comportamiento de los valores de f (x).

x

y

a d

x → a+ y f (x) → −∞

x

y

c a

x → a− y f (x) → +∞

x

y

c a

x → a− y f (x) → −∞

Figura 9.2: Ejes coordenados para laActividad 9.3

f (x) → +∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y positivos indefinidamente.

f (x) → −∞ ⇐⇒ Los valores f (x) se hacen grandes y negativos indefinidamente.

x

a d

y

Proceso 2+∞xf (x)

a+ ←− x︸ ︷︷ ︸Proceso 1

Figura 9.3: Representación gráfica de una función tal que lı́mx→a+

f (x) = +∞.

Actividad 9.3 Analicen las gráficas de la Figura 9.3 y realicen en los ejes cartesianos de laFigura 9.2 las representaciones correspondientes a los diferentes casos planteados tantopara el Proceso 1 como el Proceso 2.

�

Resumimos a continuación las definiciones que usaremos para comportamientos asin-tóticos verticales. Son cuatro definiciones, una para cada una de las situaciones descriptaspreviamente.

9.1 Asíntotas verticales 133

Definición 9.1.1 — lı́mx→a+

f (x) = +∞.

Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos

lı́mx→a+

f (x) = +∞

si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).

Definición 9.1.2 — lı́mx→a−

f (x) = +∞.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (c, a), decimos

lı́mx→a−

f (x) = +∞

si los valores f (x) se hacen grandes y positivos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).

En ninguna de estas definicioneses necesario que la función es-té definida en x = a. Al igualque sucede con los límites conlos que ya hemos trabajado, elcomportamiento asintótico verti-cal depende exclusivamente delos valores cercanos a x = a (cer-canos por la derecha o por laizquierda).

Definición 9.1.3 — lı́mx→a+

f (x) = −∞.

Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (a, d), decimos

lı́mx→a+

f (x) = −∞

si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la derecha).

Definición 9.1.4 — lı́mx→a−

f (x) = −∞.Dada una función f definida, al menos, en un intervalo de la forma (c, a), decimos

lı́mx→a−

f (x) = −∞

si los valores f (x) se hacen grandes y negativos de manera indefinida, siempre que losvalores de x están suficientemente cerca de a (por la izquierda).

Definición 9.1.5 — Asíntota vertical.En cualquiera de los casos anteriores se dice que la recta vertical x = a es una asíntota

vertical de la gráfica de la función.

También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico vertical en x = a.

C Remarcamos la siguiente observación para afianzar el trabajo algebraico que viene acontinuación.En todos los casos anteriores, los límites no existen. O sea, no dan como resultado unnúmero real. Los símbolos +∞ y −∞ son sólo símbolos que abrevian el comportamientoasintótico vertical encontrado y no se puede operar con ellos. No pueden aplicarse lasPropiedades 4.4.1 de suma, resta, multiplicación o división tal cual las conocemos delMódulo 4. En la siguiente sección presentaremos algunas nuevas propiedades que nospermitirán determinar límites que involucren operaciones algebraicas.

134 Capítulo 9. Comportamientos asintóticos

9.1.1 Propiedades algebraicas de los límites infinitosEn los casos con los que hemos trabajado anteriormente la presencia de asíntotas verticales

proviene de funciones racionales en las que el numerador es una constante distinta de 0 y eldenominador se acerca a 0.

� Ejemplo 9.1 Considerando la función f (x) =1xy el estudio de x → 0+ y x → 0−.

Cuando consideramos x → 0+ es porque pensamos que x toma valores muy pequeños,cercanos a cero y positivos. Por otro lado, si x → 0− es porque pensamos que x toma

valores muy pequeños, cercanos a cero y negativos. La fracción1xes un número grande

y su signo depende de la regla de los signos entre el numerador y el denominador.

• Si x → 0+ entonces

>0︷︸︸︷1x︸︷︷︸

x>0

→ +∞

• Si x → 0− entonces

>0︷︸︸︷1x︸︷︷︸

x<0

→ −∞

�

x

y

2

Figura 9.4: Comportamiento asin-tótico vertical de la funciónf (x) =

−3xx2 − 4x + 4

.

� Ejemplo 9.2 Analizaremos lı́mx→2

−3xx2 − 4x + 4

.

Dado que el denominador tiende a 0 cuando x → 2, no podemos aplicar la propiedaddel cociente para límites. Para x cerca de 2 se tiene que −3x está cerca de −6 mientrasque el denominador es un número pequeño cercano a 0. Por lo tanto, el límite no existey la función f (x) =

−3xx2 − 4x + 4

presenta en x = 2 un comportamiento asintóticovertical.Para avanzar en el desarrollo necesitamos conocer qué signo tiene el denominador; queen este caso se trata de un binomio cuadrado perfecto

−3xx2 − 4x + 4

=

→−6 (para x → 2)︷︸︸︷−3x

(x − 2)2︸ ︷︷ ︸>0 (para x , 2)

Concluimos entonces que, tanto para x → 2+ o para x → 2−, se tiene−3x(x − 2)2

→ −∞.

lı́mx→2

−3xx2 − 4x + 4

= −∞.

�

9.1 Asíntotas verticales 135

� Ejemplo 9.3 Analizaremos lı́mx→−1

3 − xx2 − x − 2

.

Para x cercano a −1 el numerador 3 − x está cerca de 4 (son valores positivos). Encambio, el denominador x2 − x − 2 tiende a 0 para x → −1. Por lo tanto el límite no

existe y la función g(x) =3 − x

x2 − x − 2presenta un comportamiento asintótico vertical

en x = −1. Estudiaremos qué sucede cuando x → −1+ y x → −1−.Factorizando el denominador usando las raíces x1 = −1 y x2 = 2 se tiene que

x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2).

Y podemos analizar sus intervalos de positividad y negatividad como hicimos en elMódulo 7 con el Teorema del Valor Intermedio en las cercanías de x = −1 usandoalgún valor de prueba.

−1 2

+ + + + − − − − −

Para x → −1+ se tiene que x2 − x − 2 < 0 por lo tanto

lı́mx→−1+

3 − xx2 − x − 2

= −∞

Para x → −1− se tiene que x2 − x − 2 > 0 por lo tanto

lı́mx→−1−

3 − xx2 − x − 2

= +∞

�

Actividad 9.4 Analicen lı́mx→2

3 − xx2 − x − 2

�

x

y

−1

Figura 9.5: Comportamiento asin-tótico vertical de la funcióng(x) =

3 − xx2 − x − 2

.

� Ejemplo 9.4 Analizaremos lı́mx→3

x2 − 4x + 3x − 3

En este caso, para x → 3 tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Porlo tanto no podemos asegurar que exista un comportamiento asintótico vertical. Dehecho, factorizando el numerador usando las raíces x1 = 3 y x2 = 1 se tiene

x2 − 4x + 3x − 3

=(x − 3)(x − 1)

x − 3

para x , 3︷︸︸︷= x − 1

Por lo tanto,

lı́mx→3

x2 − 4x + 3x − 3

= lı́mx→3

x − 1 = 2

La función h(x) =x2 − 4x + 3

x − 3no tiene un comportamiento asintótico vertical en

x = 3. Tiene una discontinuidad evitable.�

x

y

3

Figura 9.6: Discontinuidad evitable

de h(x) =x2 − 4x + 3

x − 3.

136 Capítulo 9. Comportamientos asintóticos

Actividad 9.5 Estudien los siguientes límites e determinen los comportamientos asintóticosverticales

a) lı́mx→0

x2 + 5x2 b) lı́m

x→−1

√x2 + 1x + 1

c) lı́mx→2

x + 2x2 − 4

d) lı́mx→1

x3 − 1x2 − 5x + 4

�

Como ya mencionamos, los límites que no existen no tiene reglas algebraicas clarastal como las aplicamos con los límites que sí existen. Sin embargo existen las siguientespropiedades.Las propiedades mencionadas en

el teorema también son válidasen el caso x → a− para funcio-nes definidas, al menos, en unintervalo de la forma (c, a).

Los ítems c), d) y e) respecto alproducto pueden adaptarse inter-cambiando o cambiando

+∞ −∞

o

L > 0 L < 0.

En estos casos cambiarán las con-clusiones a +∞ o −∞ según laregla de los signos para la multi-plicación.

En el Teorema 9.1.1 no se de-tallan propiedades referidas a laresta o la división de funcionesporque en esos casos se utilizanlas igualdades

f (x) − g(x) = f (x) +(− g(x)

)f (x)g(x)

= f (x).1

g(x)

Teorema 9.1.1 Para dos funciones f y g definidas, al menos, en un intervalo de la forma(a, d); y L un número real

Respecto a la suma

a) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = +∞ entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+

g(x) = −∞ entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = −∞.

c) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = L entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = +∞.

d) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+

g(x) = L entonces lı́mx→a+

f (x) + g(x) = −∞.

Respecto al producto

a) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = +∞ entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+

g(x) = −∞ entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = +∞.

c) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = −∞ entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = −∞.

d) Si lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = +∞.

e) Si lı́mx→a+

f (x) = −∞ y lı́mx→a+

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→a+

f (x).g(x) = −∞.

C Respecto de la suma no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos donde lostérminos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, los casos

lı́mx→a+

f (x) = +∞ y lı́mx→a+

g(x) = −∞

deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna reglao propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según lasparticularidades de las funciones intervinientes.

C Respecto al producto no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casos dondealguno de los factores tiende a 0. O sea, los casos

lı́mx→a

f (x) = ∞ y lı́mx→a

g(x) = 0

deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ninguna reglao propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según lasparticularidades de las funciones intervinientes.

9.2 Asíntotas horizontales 137

� Ejemplo 9.5 Consideremos los siguientes límites:

a) lı́mx→0+

1x+

1x2 b) lı́m

x→0−1x+

1x2

Dado que lı́mx→0+

1x= +∞ y también lı́m

x→0+1x2 = +∞ podemos concluir que

lı́mx→0+

1x+

1x2 = +∞

Sin embargo, lı́mx→0−

1x= −∞ y lı́m

x→0−1x2 = +∞, que son dos comportamientos asintóticos

verticales diferentes por lo que no es posible usar ninguna de las propiedades delTeorema 9.1.1 respecto a la suma.Para calcular el límite debemos operar con la expresión hasta que podamos sacar algunaconclusión. En este caso, podemos sumar las fracciones

1x+

1x2 =

x + 1x2

e identificar que se trata de un cociente donde el numerador tiende a 1 (que es positivo)y el denominador tiende a 0 con valores también positivos. Por lo tanto,

lı́mx→0−

1x+

1x2 = +∞

�

x

y

Figura 9.7: Comportamiento asin-tótico vertical de la funciónf (x) =

1x+

1x2

Actividad 9.6 Decidan cuales de los siguientes límites pueden calcularse utilizando laspropiedades del Teorema 9.1.1 y cuáles no.• En los casos que se pueda usar alguna de las propiedades, indiquen explícitamentecuál/es se utiliza/n y calculen el límite.• En los casos que no se pueda usar ninguna de las propiedades, operen adecuadamentepara poder luego calcular el límite.

a) lı́mx→1(x − 1).

1x − 1

b) lı́mx→4

2(x − 4) +3

x − 4c) lı́m

x→0+1x+

1x3

d) lı́mx→2+

2x − 2

−x

x − 2e) lı́m

x→0x.

1x3 f ) lı́m

x→0x3.

1x

�

9.2 Asíntotas horizontalesOtro límites límites que involucran los símbolos +∞ y −∞ son los de la forma

lı́mx→+∞

f (x) lı́mx→−∞

f (x).

En estos casos se considera

• Proceso 1: x → +∞ o x → −∞

• Proceso 2: f (x) → ¿?O sea, la variable independiente x irá tomando valores cada vez más grandes y positivos

(x → +∞); o podrá tomar valores cada vez más grandes y negativos (x → −∞). De modo quenos interesa conocer cómo se comportan los valores de f (x).

138 Capítulo 9. Comportamientos asintóticos

Por ejemplo, en la Figura 9.8 presentamos dos ejemplos particulares en los que:

• Gráfica I: f (x) → L, siendo L un número real.

• Gráfica II: f (x) → +∞; o sea, los valores de f (x) se hacen grandes y positivos.

x

y

c

Proceso 2

f (x)yL

x −→ +∞︸ ︷︷ ︸Proceso 1

Gráfica I

x

y

c

Proceso 2+∞xf (x)

x −→ +∞︸ ︷︷ ︸Proceso 1

Gráfica II

Figura 9.8: Dos ejemplos para comportamientos de lı́mx→+∞

f (x).

Estudiaremos estos, y otros comportamientos, para x → +∞ o para x → −∞

Definición 9.2.1 — lı́mx→+∞

f (x) = L.Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que

lı́mx→+∞

f (x) = L

siempre que los valores f (x) estén aproximándose al número L, tan cerca como querramos,tomando a x con valores grandes y positivos.

Definición 9.2.2 — lı́mx→+∞

f (x) = +∞.Dada una función definida en algún intervalo de la forma (c,+∞) diremos que

lı́mx→+∞

f (x) = +∞

siempre que los valores f (x) se hagan grandes y positivos a medida que los valores de x sevan tomando valores grandes y positivos.

Actividad 9.7 ¿Cómo corresponderían definir los casos

lı́mx→+∞

f (x) = −∞

lı́mx→−∞

f (x) = +∞ lı́mx→−∞

f (x) = −∞ lı́mx→−∞

f (x) = L

Enuncien las definiciones de los 4 casos anteriores y realicen representaciones gráficascorrespondientes.

�

9.2 Asíntotas horizontales 139

Definición 9.2.3 — Asíntota horizontal.En los casos que lı́m

x→+∞f (x) = L o lı́m

x→−∞f (x) = L, se dice que la recta horizontal

y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función.

También se dice que la función presenta un comportamiento asintótico horizontal parax → +∞ (o para x → −∞).

C Existen situaciones en los que los comportamientos para x → +∞ o x → −∞ no secorresponde con ninguno de los casos presentados en esta sección. Por ejemplo, casososcilatorios que desarrollaremos más adelante con las funciones trigonométricas.

� Ejemplo 9.6 La función f (x) =1xcumple que lı́m

x→+∞

1x= 0 y lı́m

x→−∞

1x= 0. La única

asíntota horizontal de la gráfica de la función es la recta y = 0.La función g(x) = x2 cumple que lı́m

x→+∞x2 = +∞ y lı́m

x→−∞x2 = +∞ (los valores de x2

se hacen grandes y positivos, tanto para valores de x grandes y positivos como para xgrandes y negativos). La gráfica no presenta comportamiento asintótico horizontal.

�

9.2.1 Propiedades algebraicas de los límites para x → +∞ o x → −∞

Los límites para x → +∞ o x → −∞ tienen las mismas propiedades algebraicas que loslímites para x → a en en los casos de f (x) → L. O sea, en los casos que el límite existe: ellímite de una suma es la suma de los límites, el límite de un producto es el producto de loslímites, y el límite de un cociente es el cociente de los límites en los casos que el denominadorno tienda a 0.

Cuando alguno, o ambos, de los límites da como resultado +∞ o −∞ el comportamientoes similar al descripto en el Teorema 9.1.1.

Las propiedades mencionadas enel teorema también son válidasen los casos x → −∞.

Los ítems c), d) y e) respecto alproducto pueden adaptarse inter-cambiando o cambiando

+∞ −∞

o

L > 0 L < 0.

En estos casos cambiarán las con-clusiones a +∞ o −∞ según laregla de los signos para la multi-plicación.

En el Teorema no se detallan pro-piedades referidas a la resta o ladivisión de funciones porque enesos casos se utilizan las igualda-des

f (x) − g(x) = f (x) +(− g(x)

)f (x)g(x)

= f (x).1

g(x)

Teorema 9.2.1 Dadas f y g definidas en un intervalo de la forma (c,+∞) se tiene

Respecto a la suma

a) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = +∞ entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

g(x) = −∞ entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = −∞.

c) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = +∞.

d) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L entonces lı́mx→+∞

f (x) + g(x) = −∞.

Respecto al producto

a) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = +∞ entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = +∞.

b) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

g(x) = −∞ entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = +∞.

c) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = −∞ entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = −∞.

d) Si lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = +∞.

e) Si lı́mx→+∞

f (x) = −∞ y lı́mx→+∞

g(x) = L (L > 0) entonces lı́mx→+∞

f (x).g(x) = −∞.

140 Capítulo 9. Comportamientos asintóticos

C Y hacemos la misma observación que para el Teorema 9.1.1 para las propiedadesrespecto de la suma dado que no están contemplados, bajo ningún aspecto, los casosdonde los términos sumados presentan comportamientos asintóticos distintos. O sea, loscasos

lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = −∞

o, respecto del producto, los casos alguno de los factores tiende a 0

lı́mx→+∞

f (x) = ∞ y lı́mx→+∞

g(x) = 0.

Estos casos deben ser tratados de manera particular sin que pueda establecerse ningunaregla o propiedad específica. Cada situación podrá tener resultados diversos según lasparticularidades de las funciones intervinientes.

� Ejemplo 9.7 Comportamiento en el infinito de una función polinomial.

Para una función polinómica de la forma

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

haremos lo siguiente: sacar factor común el factor anxn (sabiendo que an , 0):

f (x) = anxn(1 +

an−1

an

1x+ · · · +

a1

an

1xn−1 + a0

1xn

).

El factor entre paréntesis se comporta de la siguiente manera

1 +an−1

an

1x︸ ︷︷ ︸

tiende a 0 cuan-do x → ±∞

+ · · · +a1

an

1xn−1︸ ︷︷ ︸

tiende a 0 cuan-do x → ±∞

+ a01xn︸︷︷︸

tiende a 0 cuan-do x → ±∞︸ ︷︷ ︸

tiene a 1 cuando x → ±∞

Por lo tanto, para la función polinómica tenemos

lı́mx→±∞

f (x) = lı́mx→±∞

anxn.

El comportamiento asintótico para x → +∞ o para x → −∞ de las funcionespolinómicas está determinado exclusivamente por el comportamiento del término demayor grado anxn.

�

Actividad 9.8a) Repitan el procedimiento del Ejemplo 9.7 para la función f (x) = −5x5+2x4− x3+1.b) El comportamiento de una función polinómica para x → ±∞ depende de dos cosas:

el signo del coeficiente an y si el exponente n es par o impar. Completen la siguientetabla:

lı́mx→+∞

f (x) = lı́mx→+∞

anxn lı́mx→−∞

f (x) = lı́mx→−∞

anxn

n par an < 0

n par an > 0

n impar an < 0

n impar an > 0

9.2 Asíntotas horizontales 141

c) Calculen los siguientes límites

a) lı́mx→+∞

−7x4 + 2x − 1 b) lı́mx→−∞

−x3 − x2 + 3

c) lı́mx→−∞

√2 x6 + x7 d) lı́m

x→+∞x2 + x

�

� Ejemplo 9.8 Comportamiento en el infinito de una función racional.

Para funciones racionales f (x) =p(x)q(x)

donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas

realizaremos el procedimiento del Ejemplo 9.7 en el numerador y en el denominadorlo que nos permitirá calcular por ejemplo

lı́mx→±∞

−2x2 + x − 1x3 + 3

de la siguiente manera

Para el numerador: −2x2 + x − 1 = −2x2(1 +

1−2x−

1−2x2

).

Para el denominador: x3 + 3 = x3(1 +

3x3

).

Por lo tanto, considerando que x → ±∞

−2x2 + x − 1x3 + 3

=−2x2

(1 + 1

−2x −1−2x2

)x3

(1 + 3

x3

) =−2x︸︷︷︸

tiende a 0

.

tiende a 1︷ ︸︸ ︷(1 +

1−2x−

1−2x2

)(1 +

3x3

)︸ ︷︷ ︸tiende a 1

O sea, lı́mx→±∞

−2x2 + x − 1x3 + 3

= 0. La gráfica de la función f (x) =−2x2 + x − 1

x3 + 3presenta

una asíntota horizontal en la recta y = 0.�

Actividad 9.9 Calculen los límites para x → +∞ y para x → −∞ de las funciones:

a) f (x) =2x + 35x + 7

b) g(x) =x + 1x2 + 3

c) r(x) =1 − 12x3

4x2 + 12

d) m(x) =7x3

x3 − 3x2 + 6xe) w(x) =

2x5 + 3−x2 + x

f ) p(x) =x4

x3 + 1�

Actividad 9.10 Con un procedimiento similar al realizado para funciones racionales esposible calcular límites donde la potencia de x no sea entera o sea negativa. Siemprecorresponde “sacar factor común” la potencia más grande de x.

a) lı́mx→+∞

2√

x + x−1

3x − 7b) lı́m

x→−∞

3√x − 5√x3√x + 5√x

c) lı́mx→+∞

2x5/3 − x1/3 + 7x8/5 + 3x +

√x

�

142 Capítulo 9. Comportamientos asintóticos

9.3 Forma estándar de funciones racionalesLas funciones racionales escritas en su forma general pueden, en algunos casos, re-escribirse

en una forma estándar como se describe a continuación:

Considerando f (x) =p(x)q(x)

entonces:

La división entre polinomios secompara con la división entrenúmeros enteros. Por ejemplo,para realizar la división de 23entre 7 escribimos

23 = 7.3 + 2

• Si el grado de p(x) es menor estricto al grado de q(x) entonces ya queda así su formaestándar.

• Si el grado de p(x) es mayor o igual al grado de q(x) entonces hay que realizar ladivisión entre los polinomios p(x) y q(x) obteniendo el cociente c(x) y el resto r(x).

p(x) = c(x).q(x) + r(x)

¿Se acuerdan cómo se hace? Veremos algunos ejemplos a continuación.Luego de realizar esta división sustituimos en la expresión original de f (x),

f (x) =p(x)q(x)

=c(x).q(x) + r(x)

q(x)

=c(x).q(x)

q(x)+

r(x)q(x)

= c(x)︸︷︷︸Parte polinómica

+r(x)q(x)︸︷︷︸

Parte fraccionaria︸ ︷︷ ︸Forma estándar

(9.1)

• La parte fraccionaria ya no se reduce más porque el resto sólo tiene la opción de ser elpolinomio nulo o tener grado menor estricto al grado del denominador.

� Ejemplo 9.9 Escribiremos la función f (x) =x3 − x2 − 1

x − 1en su forma estándar.

Dado que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador realizamosla división entre los polinomios x3 − x2 − 1 y x − 1 obteniendo

x3 − x2 − 1 = (x − 1). x2︸︷︷︸Cociente

+ (−1)︸︷︷︸Resto

.

Por lo quex3 − x2 − 1

x − 1= x2︸︷︷︸

Parte poinómica

+−1

x − 1︸︷︷︸Parte fraccionaria

�

La forma estándar tiene dos ventajas. La primera es que en muchos casos simplifica loscálculos al bajar el grado del numerador en la parte fraccionaria. La segunda ventaja es queexpone los comportamientos asintóticos de la función.• Para x → ±∞, el comportamiento de la función f (x) está determinado exclusivamentepor la parte polinómica porque la parte fraccionaria tiende a 0. Se concluye que

f (x) ≈ c(x) para x grande positivo o negativo

9.3 Forma estándar de funciones racionales 143

En el Ejemplo 9.9 es

x3 − x2 − 1x − 1

≈ x2︸︷︷︸Parte polinómica

para x grande positivo o negativo

• Cerca de las discontinuidades de la función, el comportamiento asintótico de la funciónracional es igual al de la parte fraccionaria porque la parte polinómica es continua entodo R.

f (x) ≈r(x)q(x)

para x cercano a las discontinuidades

En el Ejemplo 9.9 es

x3 − x2 − 1x − 1

≈−1

x − 1︸︷︷︸Parte fraccionaria

para x cercanos a 1

Si graficamos la parte polinóimica x2 y la parte fraccionaria−1

x − 1, tendremos una idea de

cómo es la gráfica de la función para los valores x → +∞, x → −∞, x → 1+ y x → 1−.

Podemos completar la gráfica dela función a partir del estudio delos intervalos de crecimiento, de-crecimiento, concavidad, valoresmáximos y mínimos, y puntos deinflexión.

x

yy = x2

y =−1

x − 1

1

Figura 9.9: Comportamientos asintóticos de f (x) mediante su parte polinómica x2 y su parte

fraccionaria−1

x − 1.

Actividad 9.11 Para las siguientes funciones racionales, determinen la forma estándar,estudien los términos polinomiales y fraccionarios para determinar los comportamientosasintóticos. Usen la información para proponer un posible gráfico de la función.

a) f (x) =x + 3x + 2

b) g(x) =x2 − 1

xc) h(x) =

x4 + 1x2

d) r(x) =x2

x − 1e) w(x) =

2x2 + x − 1x2 − 1

f ) t(x) =1

2x + 4�