Índice general

7. Fuentes del campo magnético 1 ,2 27.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2. Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3. Ley de la circulación de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.4. Flujo magnético y ley de Gauss para B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.4.1. Flujo magnético: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.4.2. Ley de Gauss para B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.5. Magnetismo en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.5.1. Corrientes de magnetización y vector magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.5.2. Intensidad de campo magnético H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.5.3. Clasificación de las sustancias magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.5.4. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1Versión 20102Formato electrónico: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_EyM/Apuntes-FuentesCampoMagnetico.pdf

1

Tema 7

Fuentes del campo magnético 1,2

7.1. IntroducciónHemos visto que un campo magnético producefuerzas sobre cargas móviles, tanto cuando es-tas cargas se consideran aisladamente comocuando constituyen una corriente que circulapor un circuito; en este último caso, las fuerzassobre el circuito pueden producir pares quefuerzan al giro del circuito.

En este tema, vamos a centrar nuestra atenciónen la producción de campos magnéticos.

Ya sabemos que los primeros sistemas quefueron observados por el hombre como produc-tores de campos magnéticos eran los imanes.

Sin embargo, en 1819 Oersted observó quecuando colocaba una brújula en las proximi-dades de un hilo conductor por el que circulabauna corriente, la aguja de la brújula se desvi-aba; este efecto también sucede cuando en lasproximidades de la brújula se coloca un imán.

De ahí, se dedujo que si ambos (imán y cir-cuito) producían el mismo efecto lo hacían me-diante el mismo sistema, es decir, ambos crea-ban un campo magnético.

Esta observación fue la primera que estable-ció una conexión íntima entre la electricidad(la corriente) y el magnetismo, que hasta esemomento eran ciencias separadas.

7.2. Ley de Biot y SavartDespués de los descubrimientos de Oersted,Biot y Savart observaron que una corriente

eléctrica es capaz de ejercer fuerza sobrecualquier imán.

Realizaron una serie de experimentos con cor-rientes llegando a una ley que lleva su nombre yque resulta ser el equivalente en Magnetostáti-ca a la ley de Coulomb en la Electrostática.

Campo magnético creado por un elementode corriente filiforme:

Supongamos un hilo conductor recorrido poruna corriente I.

Consideremos un elemento diferencial de lon-gitud d 0 tal que r 0 es el vector de posición deeste elemento diferencial de longitud respectode un origen de coordenadas O.

Consideremos ahora un punto de observaciónP definido mediante el vector de posición r taly como muestra la figura

y

z

O

'rrR −=

x

'r

r

P

P'I

'dα

Bd

Figura 7.1:

2

7.2 Ley de Biot y Savart 3

El vector que va desde el elemento d 0 hasta Psería R = r − r 0 y R = R

R .

Los experimentos llevados a cabo porBiot y Savart mostraron que:

• El vector dB es perpendicular tanto a d 0

como a R.

• La magnitud de dB es inversamente pro-porcional a R2.

• La magnitud de dB es directamente pro-porcional a la corriente y a la longitud d 0

del hilo.

• La magnitud de dB es directamente pro-porcional a sinα, donde α es el ánguloque forman los vectores d 0 y R.

De acuerdo con las observaciones anteriores, laexpresión para la ley de Biot y Savart es:

dB = KmId 0 × R

R2

El valor de la constante Km depende del sis-tema de unidades usado. En el SI vale:

Km =μ04π= 10−7 [Tm/A]

La cantidad μ0 se la conoce como permeabil-idad del vacío y su valor, usando las expre-siones anteriores es

μ0 = 4π × 10−7 [Tm/A]

Por lo tanto, la ecuación de Biot y Savart que-da

dB =μ04π

Id 0 × R

R2

Analogías y diferencias entre la ley deCoulomb y la de Biot-Savart:

Obsérvese las similitudes (y diferencias) entrela expresión anterior y una similar para la leyde Coulomb:

dE =1

4πε0

dq0

R2R

1. En ambos casos hay una constante quedepende del sistema de unidades y quemultiplica a la expresión: 1

4πε0para el ca-

so de la fuerza eléctrica y μ04π para el caso

de la fuerza magnética.

2. En un caso el elemento que produce elcampo es dq0 y en el otro es Id 0.

3. Ambas tienen una dependencia de 1R2 con

la distancia.

4. La dirección de dE es radial respecto ala carga fuente, mientras que la de dB esperpendicular al plano formado por Id 0

y R.

Campo magnético creado por una corrientefiliforme:

En un caso real no existen elementos de corri-ente aislados sino circuitos.

Por ello, para hallar el campo magnético pro-ducido por una corriente que sigue un hilodefinido por la curva C

0, la expresión a usar

es la suma de todos y cada uno de los elemen-tos de corriente que contribuyen a ella, es decir

B =μ04π

ZC0

Id 0 × R

R2=

μ0I

4π

ZC0

d 0 × R

R2

con la integral extendida a toda la distribuciónde corriente.

Ejemplo 1 Hallar el vector inducción magnéticaB creado por una corriente recta I de longitud finitaL.

Solución:

7.2 Ley de Biot y Savart 4

z

O

zzII ˆ'd'd =

φ|d| d BB =

zzr ˆ''=

)0,,(P φρ

R

ρρ ˆ=r

2' Lz =

1' Lz −=

Figura 7.2:

Dada la forma del problema usaremos coordenascilíndricas. Hacemos que el hilo que transporta lacorriente coincida con el eje z y tomamos el ori-gen de coordenadas en un punto de ese eje, perode manera que (y así no perdemos generalidad) elpunto donde se va a calcular el campo tenga z = 0y φ = 0. El problema se puede ver en la figura.Aunque este circuito no es completo, es decir, noes cerrado y por lo tanto no es real, sirve como ele-mento básico para analizar circuitos de forma com-pleja. De la figura podemos escribir las siguientesexpresiones:

r = ρ ρ,

r 0 = z0z,

R = r − r 0 = ρ ρ− z0z,

R2 = ρ2 + z02,

d 0 = dz0 z,

luego

d 0 ×R = dz0 z × (ρ ρ− z0 z) = ρ dz0 φ

y aplicando la expresión para B

B =μ0I

4π

ZC

d 0 × R

R2=

μ0Iρ φ

4π

Z L2

−L1

dz0

(ρ2 + z02)3/2

Integrales como la de la expresión anterior ya sehan resuelto en Electrostática, al hallar el campoeléctrico, por lo que, sin repetir todo el proceso seobtiene

B =μ0Iρ φ

4π

∙z0

ρ2(ρ2 + z02)1/2

¸L2−L1

de donde

B = μ0I4πρ

∙L2

(ρ2 + L22)1/2

+L1

(ρ2 + L21)1/2

¸φ

o bien en función de los ángulos α1 y α2

B = φμ0I

4πρ(sinα2 + sinα1)

y como se ve de la expresión anterior B es siempreperpendicular al plano formado por la corriente yel vector R.A partir de la expresión obtenida podemos hallar

el campo creado por un hilo de longitud infinitarecorrido por una intensidad I. En este caso L1 →∞ , L2 → −∞, con lo que α2 → π

2 y α1 → π2 y el

campo magnético para este caso, sería

B =μ0I

2πρφ

Esta expresión muestra que para una corrientede longitud infinita las líneas de fuerza de B soncircunferencias cuyo eje coincide con la corriente,tal y como se ve en la figura.

Ejemplo 2 Hallar la fuerza que se ejercen entre sidos corrientes. La primera de ellas tiene una longi-tud infinita y un valor de I 0. La segunda tiene unalongitud l, un valor de la corriente I, es paralela ala anterior y está situada a una distancia ρ.

7.2 Ley de Biot y Savart 5

Solución:

'dI'

ρ L

dI

Figura 7.3:

Elegimos como sistema de coordenadas uno detipo cilíndrico con la primera de las corrientes situ-ada en el eje z. Esta corriente de longitud infinitacrea un campo magnético sobre la segunda, de valor

B =μ0I

0

2πρφ

La expresión de la fuerza creada por un campomagnético sobre una corriente I era

F = I

Zd ×B

y como B es uniforme en cada trozo del segundohilo

F = I

µZd

¶×B = IL×B = IL z ×

µμ0I

0

2πρφ

¶de donde

F = −μ0II0L

2πρρ

En este caso en que hemos supuesto que ambascorrientes tienen el mismo sentido, la dirección dela fuerza es −ρ es decir, atractiva.La expresión anterior puede servir para definir

el amperio. Si los dos hilos conducen la mismacorriente, la longitud del segundo hilo es 1m , ladistancia respecto al primero es 1m y la fuerza es2×10−7N las corrientes que circulan tienen un valorde 1A.

Ejemplo 3 Una espira circular tiene un valor delradio a y por ella circula una corriente I. Hallar lainducción magnética en un punto de su eje y expre-sarla en función del momento dipolar magnético dela espira.

Solución:

),0,0(P z

y

z

x'd 1I

1R2R

'1r'2r

r

a

'd 2I

Figura 7.4:

1dB

'1r

r

zBB z ˆd2d 1=z

O'2r

1R2R

a2

ρ

2dB

'd 1I'd 2I

Figura 7.5:

En la figura se puede ver la espira circular deradio a que yace en el plano xy. El eje z coincidecon el eje de la espira y es en los puntos de esteeje donde hay que hallar la inducción magnética.Tomando dos elementos de corriente simétricos re-specto al origen, se observa que la inducción mag-nética total producida por ambos tiene dirección z.

7.2 Ley de Biot y Savart 6

Por tanto, la inducción magnética debida al anillocompleto tendrá también dirección z. La inducciónmagnética debida a los dos elementos de corrientesimétricos es:

dB = dB1 + dB2 = 2dB1z z = 2³dB1 · z

´z

donde

dB1 =μ0I

4π

d 0 ×R

R3

Observando la figura

r = z z,

r 0 = aρ,

R = r − r 0 = z z − aρ,

R3 =¡a2 + z2

¢3/2,

d 0 = adφ0 φ,

de donde

d 0 ×R = adφ0 φ× (z z − aρ) = adφ0zρ+ a2dφ0z

luego

|dB| = 2³dB1 · z

´=

μ0I

2πR3

³d 0 ×R

´· z

=μ0I

2πR3¡adφ0zρ+ a2dφ0z

¢· z

=μ0Ia

2

2πR3dφ0

Integrando

|B| = μ0Ia2

2π (a2 + z2)3/2

Z π

0

dφ0

de donde

B =μ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2

z

En el centro del círculo z = 0

B =μ0I

2az

mientras que a gran distancia del disco z À a

B =μ0Ia

2

2z3z

Como el momento magnéticom de la espira es unvector cuya magnitud es el producto de la intensi-dad de la espira por su superficie IS y su dirección

es perpendicular a la superficie de la espira con elsentido de avance de un tornillo que gire en el mis-mo sentido que la intensidad, es decir,

m = I S = Iπa2z

la inducción magnética creada por la espira en unpunto de su eje se puede expresar como

B =μ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2

z =μ0m

2π (a2 + z2)3/2

Figura 7.6:

Ejemplo 4 Se enrolla un hilo conductor alrede-dor de un cilindro de sección recta circular de ra-dio a y longitud total L, dándose al finalizar elarrollamiento un total de N vueltas. El dispositivoobtenido se llama solenoide. Hallar la inducciónmagnética en un punto de su eje. Usar para ello laexpresión de B obtenida en el ejemplo anterior.

Figura 7.7:

7.3 Ley de la circulación de Ampère 7

Solución:Aunque el arrollamiento tenga de hecho forma de

hélice, si el hilo es muy delgado y el paso de hélicemuy pequeño se podría considerar a cada vueltacomo una corriente circular, por lo que el solenoideequivaldría a N corrientes circulares de radio a. En-tonces se podría obtener B en un punto P del ejecomo la suma de las contribuciones individuales delas N espiras circulares.Sea n el número de vueltas por unidad de longi-

tud, es decir

n =N

L

y sea dz0 una diferencial de longitud del solenoideen el plano z0 (ver figura). El número de espirascontenidas en un dz0 situado a una distancia z =zp − z0 de P sería dN = ndz0. Como el campocreado por una espira era

B =μ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2

z

el diferencial de campo creado por el dN sería

dB =μ0Ia

2 dN

2ha2 + (zp − z0)

2i3/2 z

El valor total de B se obtendría integrando entre0 y L

B =

Z L

0

μ0nIa2dz0

2ha2 + (zp − z0)

2i3/2 z

=μ0nIa

2

2z

Z L−zP

−zp

d z0

(a2 + z2)3/2

donde hemos hecho el cambio de variable

z0 = z0 − zp

dz0 = dz0

z0 = 0 =⇒ z0 = −zpz0 = L =⇒ z0 = L− zp

Realizando la integración se obtiene

B =μ0nI

2

⎧⎪⎨⎪⎩ L− zpha2 + (L− zp)

2i1/2 + zp¡

a2 + z2p¢1/2

⎫⎪⎬⎪⎭ z

Podemos expresar el resultado en función de losángulos α1 y α2

B =μ0In

2(cosα2 + cosα1) z

Si el solenoide fuera infinítamente largo, α1 → 0y α2 → 0 luego

B = μ0nI z

Figura 7.8: Inducción magnética debida a unsolenoide corto.

7.3. Ley de la circulación deAmpère

Enunciado:

Vimos en Electrostática la existencia de unaley, la de Gauss, que relacionaba las fuentesdel campo con el valor de éste y que en casosde especial simetría permitía calcular el vectorcampo eléctrico de forma sencilla.

En Magnetostática existe una ley similaraunque con una formulación bastante diferentedenominada ley de Ampère.

Hemos resuelto, usando la ley de Biot y Savart,el problema de calcular la inducción magnéti-ca B creada por un hilo recto y de longitudinfinita recorrido por una intensidad I.

7.3 Ley de la circulación de Ampère 8

El resultado obtenido

B =μ0I

2πρφ

muestra que las líneas de fuerza de B son cir-cunferencias concéntricas que yacen en planosperpendiculares al eje del hilo y con centro enéste.

Si calculamosHCB · d tomando como curva

C una cualquiera de estas circunferencias seobtiene,I

C

B · d =

IC

μ0I

2πρ

³φ · φ

´d

=μ0I

2πρ

IC

d =μ0I

2πρ2πρ = μ0I

Se puede demostrar que este resultado,obtenido para el caso de una corriente rectay de longitud infinita, y tomando como cur-va C una circunferencia concéntrica con ella,tiene en realidad un carácter mucho mas gen-eral: el mismo resultado se obtendría eligien-do cualquier curva cerrada así como cualquierconfiguración de corrientes.

De esta manera, podemos enunciar la ley de lacirculación de Ampère, de forma matemáticacomo I

C

B · d = μ0Ienc

donde C indica cualquier curva cerrada e Iences la intensidad total encerrada por esa cur-va. Dada una curva C se obtendría el valorde Ienc sumando algebraicamente (es decir, ca-da una con su signo) todas las corrientes queatraviesan la superficie encerrada por C.

Implicaciones:

Podemos, con objeto de comprender las impli-caciones de la ley de la circulación de Ampére,contemplar varios casos que se muestran en lafigura.

Sean dos corrientes I1 = I e I2 = I que tienenlos sentidos marcados en la figura

3C4C

2C

1C

2I1I

Figura 7.9:

Tracemos ahora varias curvas Ci y veamos laaplicación de la ley a cada caso:

a) La curva C1 encierra la corriente I1 y serecorre en la dirección marcada en lapropia curva. La corriente I1 tiene la mis-ma dirección que el vector superficie (per-pendicular a la superficie encerrada y consentido de avance del tornillo que gire co-mo C) por lo queI

C1

B · d = μ0I

La corriente I2 influye en el valor del cam-po pero no en su circulación.

b) La curva C2 encierra la corriente I2 y serecorre en la dirección marcada en lapropia curva. La corriente I2 tiene direc-ción opuesta al vector superficie (perpen-dicular a la superficie encerrada y consentido de avance del tornillo que gire co-mo C2) por lo queI

C2

B · d = −μ0I

La corriente I1 influye en el valor del cam-po pero no en su circulación.

c) La curva C3 encierra las corrientes I1 e I2y se recorre en la dirección marcada en lapropia curva. La corriente total encerradasería I1 + I2 = I − I = 0 por lo queI

C3

B · d = 0

7.3 Ley de la circulación de Ampère 9

La situación de ambas corrientes, siempreque estén dentro de C3, influye en el valordel campo pero no en su circulación.

d) La curva C4 no encierra ninguna corrientepor lo que I

C4

B · d = 0

Ejemplo 5 ¿Cuál es la circulación de B a lo largode la curva señalada en la figura?

Figura 7.10:

Solución: IC

B · d = μ0(I1 + I2 − I3)

Aplicación:

La ley circuital de Ampére se puede emplearpara, en casos de gran simetría y conociendo ladistribución de corrientes, hallar la inducciónmagnética B.

En este sentido su aplicación práctica sigueun camino paralelo a la ley de Gauss en Elec-trostática.

Como sucedía allí, el principal problema parahallar la inducción magnética está en la elec-ción correcta de la curva C. Para poder aplicarla ley con provecho se deben elegir curvas enlas que B sea constante y con dirección bienparalela, bien perpendicular a la curva C, conobjeto de simplificar el proceso.

Ejemplo 6 Hallar la inducción magnética B crea-da por un hilo recto de longitud infinita que trans-porta una corriente I.

Solución:Por consideraciones de simetría, la inducción

magnética debida a un hilo infinito coincidente conel eje z tendrá dirección φ y dependerá sólo de ladistancia del hilo al punto de observación, luego

B = B(ρ)φ.

El teorema de Ampère estableceIC

B · d = μ0Ienc

Tomamos como curva amperiana una circunfer-encia de radio ρ, contenida en el plano x− y y cen-trada en el origen. Además, tomamos como sentidopositivo de la circunferencia +φ, por tanto

d = d φ.

La circulación resultaIC

B · d =

IC

B(ρ)φ · d φ

=

IC

B(ρ)d = B(ρ)

IC

d = B(ρ)2πρ.

La corriente encerrada vale

Ienc = I.

Sustituyendo las dos últimas expresiones en el teo-rema de Ampère se obtiene

B(ρ) =μ0I

2πρ

Teniendo en cuenta el análisis inicial de la simetríadel problema, el resultado buscado es

B =μ0I

2πρφ

Ejemplo 7 Un hilo conductor recto de longitud in-finita y radio a conduce una corriente continua I0que está distribuida uniformemente a través de susección recta. Hallar el campo magnético en todopunto del espacio.

7.3 Ley de la circulación de Ampère 10

Solución:Por consideraciones de simetría, el campo busca-

do tiene la forma

B = B(ρ)φ,

por tanto, calcularemos B mediante el teorema deAmpère I

C

B · d = μ0Ienc

Igual que en el problema del hilo delgado, la ampe-riana será una circunferenciaEn este caso, el cable tiene grosor finito, por tanto

tendremos que distinguir dos regiones: el interiordel cable (ρ < a); y el exterior (ρ > a).

z

ρ

Sd

a

d

I z

ρ

Sd

a

d

I

a<ρ a≥ρ

Figura 7.11:

Caso ρ < a:La circulación valeI

C

B · d =

IC

B(ρ)φ · d φ

=

IC

B(ρ)d

= B(ρ)

IC

d = B(ρ)2πρ.

Para determinar la corriente encerrada, comenzare-mos calculando la densidad de corriente. Teniendoen cuenta que la corriente está uniformemente dis-tribuída

J =I0πa2

z

Por tanto, la corriente encerrada vale

Ienc =

ZZs

J · dS = J

ZZs

dS

=I0πa2

πρ2 = I0

³ρa

´2Sustituyendo los resultados anteriores en el teoremade Ampère se obtiene:

B =μ0I0ρ

2πa2φ

Caso ρ > a :La circulación tiene la misma misma expresión

que en el caso ρ < a, es decirIC

B · d = B(ρ)2πρ.

Ahora la corriente encerrada será la corriente total

Ienc = I0,

Teniendo esto en cuenta, se obtiene

B =μ0I02πρ

φ

ρa

ρ/1∝Bρ∝B

Figura 7.12:

Ejemplo 8 Hallar la inducción magnética en todopunto del espacio, creada por un hilo conductor rec-to, de longitud infinita y de sección recta circularcon radio a que conduce una corriente continua dis-tribuida en su sección recta de forma no uniformede forma que J = J0ρ/a.

7.3 Ley de la circulación de Ampère 11

Solución:

B(r) =μ0J0 a

2

3ρφ para ρ > a

B(r) =μ0J0 ρ

2

3aφ para 0 < ρ < a

Ejemplo 9 Hallar la inducción magnética creadapor un solenoide de longitud infinita, por el que cir-cula una corriente I, formado por espiras de radioa, con una densidad de n espiras por unidad delongitud.

Solución:

II

z

extB

intB

Figura 7.13:

Según la simetría del problema, la inducciónmagnética tendrá la dirección del eje del solenoide.Denotaremos por Bint la inducción en el interiordel solenoide y por Bext la inducción en el exterior,luego

B(ρ) =

½Bint z ρ < a−Bext z ρ > a

I

z

extB

intB

L

d

d

a

ρ

Figura 7.14:

Aplicando el teorema de Ampère en un rectán-gulo, la circulación resultaI

C

B · d = BintL+BextL

y la corriente encerrada

Ienc = nIL

por tanto

BintL+BextL = μ0nIL

de dondeBint +Bext = μ0nI

Se observa que la expresión anterior no depende ρ,por otra parte, el campo en el infinito debe ser cero,por tanto Bext = 0, de donde

B =

½μ0nI z ρ < a0 ρ > a

z

B

Figura 7.15:

7.3 Ley de la circulación de Ampère 12

Ejemplo 10 Hallar la inducción magnética creadapor una bobina toroidal. Una bobina toroidal se con-sigue arrollando un conductor que transporta unacorriente I alrededor de un anillo (toroide).

Figura 7.16:

Solución:

El cálculo exacto de la inducción magnética crea-da por una bobina toroidal debe hacerse aplican-do la ley de Boit-Savart. Aquí, haremos un cálculoaproximado. Para ello, adoptaremos coordenadascilíndricas y supondremos que

B = B(ρ)φ.

Aplicaremos ahora la ley de Ampère. Consider-aremos amperianas circulares de radio ρ, centradasen el eje del anillo y que se encuentran en el planoque contiene al eje central del toroide (eje del ar-rollamiento). Denotando por a y b a los radios in-ternos y externo del toroide, respectivamente, sedistinguen tres zonas: ρ < a; a < ρ < b y b < ρ.

d

ρ

a

b

I

Figura 7.17:

En los tres casos, las circulación valeIC

B · d = B

IC

d = B2πρ

Para la corriente encerrada tenemos:

Ienc =

⎧⎨⎩ 0 ρ < aNI a < ρ < b0 b < ρ

Sustituyendo esto resultados en la ley de Ampère,se obtiene

B =

⎧⎪⎨⎪⎩0 ρ < a

μ0NI

2πρφ a < ρ < b

0 b < ρ

En algunas situaciones, conviene aproximar esta ex-presión por una constante. Esto puede hacerse sinmás que reemplazar la coordenada ρ por el radiomedio del toroide, es decir

ρ ' a+ b

2,

entonces

B =μ0NI

π(a+ b)φ

7.4 Flujo magnético y ley de Gauss para B 13

7.4. Flujo magnético y ley deGauss para B

7.4.1. Flujo magnético:

El flujo magnético se define de la misma man-era que el flujo eléctrico.

Supongamos que tenemos una superficie S a laque dividimos en elementos infinitesimales dSde forma que este vector sea perpendicular ala superficie en cada punto.

El flujo magnético deB a través de dS se definecomo

dΦm = B · dS

El flujo a través de toda la superficie se obten-dría por integración, de manera que

Φm =

ZZS

B · dS

La unidad de flujo magnético es el weber, demanera que 1Wb = 1T ×m2.

Ejemplo 11 Hallar el flujo magnético a través dela sección circular de un solenoide con un radiointerno a = 7, 5mm, un número de vueltas porunidad de longitud n = 2 × 103m−1 y por el quepasa una corriente I = 320mA.

Solución:

Φm =

ZZS

B·dS = BS = μ0nIπa2 = 1, 4×10−7 [Wb]

Ejemplo 12 Una espira rectangular de ancho a yde longitud b se encuentra a una distancia c de unhilo infinito que transporta una corriente I. El hiloes paralelo al lado largo de la espira b. Hallar elflujo magnético a través de la espira.

I

c a

b

z

O y

Figura 7.18:

Solución:Según la definición de flujo, tendremos que cal-

cular

Φm =

ZZSe sp ir a

Bhilo · dS.

La inducción magnética producida por un cable delongitud infinita vale

Bhilo =μ0I

2πρφ.

En el plano de la espira se cumple ρ = y y φ = −x,por tanto

Bhilo = −μ0I

2πyx.

El diferencial de superficie para la espira es dS =−dydz x, por tanto el flujo será

Φm =

ZZSe s p i ra

Bhilo · dS

=

ZZSe s p i ra

µ−μ0I2πy

x

¶· (−dydzx)

=μ0I

2π

Z b

0

dz

Z c+a

c

1

ydy

=μ0Ib

2πln

µc+ a

c

¶

7.4.2. Ley de Gauss para B

En Electrostática veíamos que el flujo del cam-po eléctrico era proporcional a la carga eléctri-ca encerrada, es decir, el número de líneas defuerza que salen a través de una superficie cer-rada sólo dependía de la carga neta encerrada.

7.5 Magnetismo en la materia 14

La situación es distinta en el caso de los cam-pos magnéticos. Las líneas de fuerza de estosúltimos forman lazos cerrados por lo que, cuan-do consideramos una superficie cerrada querodea un volumen por cada línea de fuerza queentra en el volumen debe haber otra que saley el flujo será nulo:

Φm =

IS

B · dS = 0

La ecuación anterior muestra que la car-ga magnética encerrada en un volumen,cualquiera que éste sea, es siempre nula, lo queimplica que no existen las cargas magnéticaso lo que es lo mismo, no hay polos magnéti-cos aislados; las fuentes mas simples de campomagnético son los dipolos magnéticos.

7.5. Magnetismo en la mate-ria

Los átomos poseen momentos magnéticos de-bido tanto al movimiento orbital de los elec-trones como al spin.

Estos momentos magnéticos tienen un efectoconjunto de modo que en la mayoría de loscasos se producen interferencias de unos conotros dando como consecuencia un momentomagnético total nulo.

Sin embargo, determinadas sustancias presen-tan momentos magnéticos totales distintos decero incluso en ausencia de campos magnéticosexternos, es decir, tienen momentos magnéti-cos permanentes.

No es posible, mediante el uso de la FísicaClásica estudiar los orígenes del magnetismoen la materia de forma satisfactoria; para elloes necesario recurrir a la Física Cuántica.

Sin embargo si es posible, apoyándonos en ob-servaciones experimentales y en explicacionesde tipo fenomenológico, describir los aspectosmas básicos del magnetismo en la materia.

De esta manera es posible clasificar la casi to-talidad de los materiales frente a su compor-tamiento magnético en tres categorías:

• Materiales diamagnéticos: Cuando unmaterial no tiene momentos mag néticospermanentes es diamagnético. Si a estosmateriales se les somete a un campo mag-nético externo, aparecen momentos mag-néticos inducidos. En realidad estos mo-mentos magnéticos inducidos aparecen entodos los materiales por lo que se puededecir que todos los materiales son dia-magnéticos. Sin embargo, el efecto dia-magnético es tan débil frente a otros efec-tos que su presencia pasa desapercibidacuando los materiales presentan momen-tos magnéticos permanentes.

• Materiales paramagnéticos: El para-magnetismo se produce cuando al aplicarun campo magnético externo los dipolosmagnéticos permanentes sufren una alin-eación parcial con este campo externo.En estos materiales, la interacción entrelos momentos magnéticos permanentes esdébil de manera que se encuentran orien-tados aleatoriamente. La alineación par-cial que sufren los dipolos en presencia decampo externo crece con la intensidad delcampo y decrece con el aumento de tem-peratura.

• Materiales ferromagnéticos: Su com-portamiento es muy complejo. Presentanuna fuerte interacción entre los momen-tos magnéticos vecinos por lo que el alin-eamiento, incluso en ausencia de campomagnético externo es muy fuerte. De es-ta manera pueden formar imanes perma-nentes.

7.5.1. Corrientes de magnetización yvector magnetización

El estudio de los materiales magnéticos sigueun camino muy similar al de los materialesdieléctricos.

Supongamos que colocamos algún tipo de ma-terial dentro de un campo magnético. Porejemplo, podríamos situar un material de for-ma cilíndrica en el interior de un solenoide.

El material se magnetiza de manera que lascorrientes atómicas del cilindro se alinean

7.5 Magnetismo en la materia 15

de manera que sus momentos magnéticosrespectivos quedan paralelos al eje del cilindrotal y como muestra la figura

Debido a la cancelación recíproca de las cor-rientes entre momentos magnéticos vecinos lacorriente neta en cualquier punto del interiordel material es nula, quedando sólo una corri-ente neta de naturaleza superficial, por lo queel material magnético se comportaría de formasimilar a como lo hace un solenoide.

Otra forma de estudiar el problema es definiren el interior del material una densidad dedipolos magnéticos mediante un nuevo cam-po vectorial denominado vector magnetizaciónM , como la densidad de momento magnéticopor unidad de volumen, es decir

M =dm

dτ

Parece evidente que ambas magnitudes, la den-sidad de corriente equivalente y la magneti-zación deben estar relacionadas.

No entraremos aquí a estudiar estas relaciónsino que seguiremos un camino similar al queutilizamos en medios dieléctricos definiendo unnuevo vector denominado intensidad de cam-po.

7.5.2. Intensidad de campo magnéti-co H

Supongamos que disponemos de una regiónen la que existe un campo magnético B0 pro-ducido por algún conductor por el que circulacorriente.

Si llenamos esa región con un material, el cam-po magnético total B en la región sería

B = B0 +Bm

donde Bm es el campo producido por el mate-rial.

Parece claro que el valor de Bm debe estarrelacionado con el vector magnetización M demanera lineal. Es posible demostrar que

Bm = μ0M

Resulta conveniente introducir un nuevo vec-tor denominado intensidad de campo mag-nético H de manera que

H =B

μ0−M

En el caso de estar en el vacío, el vector mag-netización sería nulo con lo que

H =B

μ0

De la ecuación que define H de forma generalpodemos hallar B

B = μ0

³H +M

´Tanto H como M tienen dimensiones de Am.

Para poder comprender mejor las implica-ciones de las expresiones anteriores consider-emos el caso particular de un toroide que con-duce una corriente I así como el espacio encer-rado por el toroide. Si este espacio estuvieravacío

M = 0

B = B0 = μ0H

Tal y como vimos, en el caso del toroide vacío

B0 = μ0nI z

por lo queμ0nI = μ0H

es decirH = nI

7.5 Magnetismo en la materia 16

Si ahora llenamos el interior del toroide conuna sustancia magnética, H dentro de la sus-tancia no cambia y sigue valiendo nI, por loque el vector intensidad de campo magnéti-co sólo depende de las corrientes verdaderas,es decir de las corrientes en el devanado deltoroide.

Sin embargo el campo magnético B = B0+Bm

depende tanto de las corrientes verdaderas B0como de las de magnetización Bm es decir, detodos los tipos de corriente.

Vemos como el papel de H es similar al que enElectrostática juega el vector desplazamientoD mientras que el jugado por el campo mag-nético B es similar al del campo eléctrico E.

7.5.3. Clasificación de las sustanciasmagnéticas

En la mayor parte de las sustancias, por ejem-plo en las diamagnéticas y en las paramagnéti-cas, el vector magnetizaciónM es proporcionala la intensidad de campo H. En este caso sepuede escribir

M = χH

donde χ es un factor llamado susceptibilidadmagnética que no tiene dimensiones.

Para muestras paramagnéticas χ es positivo yM yH tienen la misma dirección, mientras quepara muestras diamagnéticas χ es negativo yM yH tienen direcciones opuestas. La relaciónentreM y H en las sustancias ferromagnéticases mucho mas complicada que la descrita.

Si sustituimos la relación anterior en la expre-sión de la inducción magnética obtenemos

B = μ0

³H +M

´= μ0

³H + χH

´= μ0 (1 + χ) H

o bienB = μH

donde la constante μ recibe el nombre de per-meabilidad magnética del material

μ = μ0 (1 + χ)

Podemos hacer una clasificación del compor-tamiento de la materia en presencia de camposmagnéticos en función del valor de la perme-abilidad magnética de la siguiente forma:

Diamagnéticas μ < μ0Paramagnéticas μ > μ0Ferromagnéticas μÀ μ0

En las sustancias diamagnéticas, que son lasmas usadas en ingeniería de comunicaciones,se cumple que μ es casi idéntico a μ0 por loque habitualmente se hace μ = μ0.

Ejemplo 13 El devanado de un toroide tiene60 vueltas/m de hilo de cobre que transporta unacorriente de 5A. El núcleo es de hierro con unapermeabilidad magnética de 5000μ0 en las condi-ciones que se indican. Hallar H, B y M tanto si elnúcleo fuera el vacío como si fuera hierro.

Solución:En el vacío:

H0 = nI = 60 vueltas/m×5A = 300 [vueltas×A/m]

B0 = μ0H = 4π × 10−7 × 300 = 3× 10−4 [T]M = 0

y en el hierro:

H = 300 [vueltas×A/m]

B = μmH = 5000× 4π × 10−7 × 300 = 1,88 [T]M = 1,5× 106 [A/m]

siendo B 5000 veces mayor que B0.

7.5.4. Ferromagnetismo

Algunas sustancias de naturaleza cristalina(su estructura atómica interna está ordena-da) tienen dipolos magnéticos permanentes ymuestran efectos magnéticos intensos, comopor ejemplo el hierro, cobalto, níquel, etc.

Los momentos magnéticos permanentes de es-tas sustancias tienden a alinearse paralelos en-tre sí, incluso en presencia de campos magnéti-cos muy débiles.

7.5 Magnetismo en la materia 17

Una vez alineados, la sustancia permanecemagnetizada incluso en ausencia de campomagnético externo, es decir, presenta magneti-zación permanente (son imanes). Esto se debeal fuerte acoplamiento entre momentos mag-néticos próximos.

En los materiales ferromagnéticos hay unasregiones microscópicas denominadas domin-ios, dentro de las cuales todos los momentosmagnéticos están alineados. El tamaño de es-tos dominios está comprendido entre 10−8my 10−12m. Las fronteras entre los dominios sellaman paredes de los dominios.

Cuando la muestra está desmagnetizada losdominios se orientan al azar de manera queel momento magnético total es nulo como semuestra en la figura

Cuando la muestra se somete a un campo mag-nético externo, los momentos de algunos do-minios tienden a alinearse con el campo lo queda lugar a una magnetización total neta distin-ta de cero. Las observaciones experimentalesmuestran que los dominios orientados en la di-rección del campo aplicado crecen a expensasde los no orientados.

Al eliminar el campo externo puede per-manecer una magnetización debido a que elpredominio de dominios orientados permanece.

La agitación térmica a temperaturas normalesno es suficiente para romper esta orientaciónprivilegiada.

Pensemos en un sistema experimental capaz demedir la respuesta característica de un mater-ial ferromagnético.

Supongamos una muestra de un material deeste tipo con forma de toroide. Sobre es-ta muestra se realiza un arrollamiento de Nvueltas que se conecta a un generador.

Para medir el flujo magnético en este toroidese usa una segunda bobina que también utilizael toroide como núcleo pero cuyos terminalesestán unidos a un galvanómetro.

Se aumenta el flujo magnético aumentando laintensidad de la primera bobina desde 0 hastaI.

En la segunda bobina se detecta esta variacióndel flujo (se induce una corriente en la segundabobina tal y como veremos en el siguientetema). El dispositivo completo se muestra enla figura

Supongamos ahora que, inicialmente la mues-tra está desmagnetizada. Al aumentar la cor-riente desde 0 hasta I el campo H aumentadesde 0 hasta nI. Esto hace que B aumente.

La curva que describe la variación de B conH se muestra en la figura y corresponde a lazona Oa

A medida que el campo aumenta también au-menta el número de dipolos alineados que se

7.5 Magnetismo en la materia 18

hace máximo al llegar al punto a. En este pun-to el núcleo de hierro estará próximo a la satu-ración, es decir, con la totalidad de sus domin-ios orientado en la misma dirección del campo.

Si ahora la corriente se reduce a cero eliminan-do el campo externo, la curva de magneti-zación o curva B-H sigue el camino ab. Vemosque en b la inducción magnética B no es ceroaunque si lo es el campo externo H, lo que seexplica por el hecho de que, ahora, el núcleode hierro del toroide está magnetizado debidoa la magnetización remanente producida porel alineamiento de un gran número de dipolos.

Si a partir de b invertimos el campo externo yaumentamos su intensidad los dominios se re-orientan en la nueva dirección del campo hastaque la muestra está de nuevo desmagnetizadacuando se llega al punto c donde B = 0. Unaumento adicional de la corriente provoca queel hierro se magnetice en la dirección opuestaacercándose a la saturación al llegar al puntod.

Si ahora invertimos todo el proceso reduciendoprimero la corriente a cero, y luego la aumen-tamos pero en la dirección positiva se sigue latrayectoria defa. Vemos que de esta manera seha descrito un ciclo conocido como ciclo dehistéresis que es característico y distinto paracada material ferromagnético.

El lazo de histéresis mostrado en la figura escaracterístico de las sustancias ferromagnéti-cas denominadas duras: es ancho lo que indicauna magnetización remanente grande. Losmateriales ”blandos” como el hierro muestranciclos estrechos y se magnetizan y desmagne-tizan con facilidad. Así el área encerrada en ellazo representa el trabajo necesario para llevarel material por el ciclo de histéresis. Por ellolos materiales de determinados dispositivoscomo los transformadores deben hacerse conmateriales blandos para que las pérdidas deenergía sean mínimas