Societat Catalana de Matemàtiques

President: Carles Casacuberta VergésVicepres.: Josep Grané ManlleuTresorer: Joan C. Artés FerragudSecretari: Josep M. Font LlovetVocals: Jaume Amorós Torrent

Antoni Gomà NasarreAgust́ı Reventós Tarrida

Carles Romero ChesaOriol Serra Albó

Frederic Utzet CivitDelegatde l’IEC: Joan Girbau i Badó

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iecat.net

Secretària: Núria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/Not́ıciesJuliol 2003. Número 19

Edita:Societat Catalana de Matemàtiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Agust́ı Reventós Tarrida

agusti@mat.uab.es

Comitè de Redacció:Sebastià Xambó Descamps

Antoni Gomà NasarreJosep Grané Manlleu

Carles Casacuberta Vergés

Disseny:Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julià

Foto de portada:

Barraca de pastor

ISSN: 1696-8247Dipòsit Legal: B.9480-2003

Índex

Report de la Junta 1Report de la Junta i l’Assemblea 1Memòria d’Activitats 2Falten hores de matemàtiques 6Editorial 9

La columna de l’EMS 9Activitats cient́ıfiques de l’EMS amb

societats nacionals 9

Articles 10Andrei Nikolaievich Kolmogorov (1903-1987) 10Estudi mecànic de la falsa cúpula 12Escaire i cartabó 18

Premis i concursos 22Premi Ferran Sunyer i Balaguer 22Beca Pere Menal de la UAB 22Premi Abel 22F́ısica + Matemáticas en Acción 25El Cangur-2003 ha acabat. Visca el Cangur-2004! 28XXXIX Olimṕıada Matemàtica Espanyola 33

Noticiari 34Sisena Trobada Matemàtica 34Biblioteca matemàtica digital 35

Agenda 39Activitats organitzades pel CRM 39

Llibres 39Geometry, our cultural heritage 39Llet d’ocellet matemàtica. Vint-i-cinc anys de

matemàtiques de la revista Delta 41Mathematics and Music 42Symplectic geometry of integrable

Hamiltonian systems 43Geometria diferencial: varietats diferenciables

i varietats de Riemann 44

Problemes 45Problemes proposats 45Solucions 46

Tesis 51

Report de la Junta

Report de la Junta i l’Assemblea

D’ençà del report publicat en el número an-terior del SCM/Not́ıcies la Junta Directivas’ha reunit en quatre ocasions, i el 3 dejuny es va reunir l’Assemblea general de socis.També s’han reunit el Comitè d’Ensenyament,i (dos cops) el Comitè Cient́ıfic. Les activitatsadreçades als estudiants de secundària han se-guit el seu camı́ amb gran ressò, com s’explicaen articles separats. De les altres activitats, caldestacar:

• La sisena Trobada Matemàtica (4 d’abril),que ha encetat un format més monogràfic, haestat dedicada enguany a Kolmogorov (ambmotiu del seu centenari), amb unes quantesconferències d’interès general que van tocaraspectes diversos del gran matemàtic. La tro-bada va incloure una exposició de pòsters so-bre els treballs de recerca tutelats dels estudi-ants de doctorat, que també va resultar forçainteressant.

• Els mesos de febrer i març va tenir lloc uncurset sobre la calculadora interactiva WI-RIS.

• A finals de maig es va iniciar un nou pro-jecte en col.laboració amb la FEEMCAT, elPrograma d’Est́ımul del Talent Matemàtic,adreçat a nois i noies de dotze i tretze anys.S’han seleccionat vint-i-cinc aspirants d’en-tre més de dos-cents, que durant dos anysassistiran, cada dissabte al mat́ı, a unes ses-sions de problemes i activitats matemàtiques.Sens dubte és una novetat, que té la peculia-ritat que és la primera activitat matemàticafinançada per una entitat privada (la Funda-ción Vodafone) a casa nostra.

• Hi ha en preparació per a la tardor dues tro-bades organitzades conjuntament amb d’al-tres societats: una trobada de la SCM i la FE-EMCAT sobre ensenyament, d’interès tantper al professorat de secundària com per al’universitari; i una sobre Criptografia, orga-nitzada conjuntament amb la RSME, en elmarc de la Setmana de la Ciència.

• També a la tardor, tindrà lloc a Terrassa lafira ≪F́ısica y matemáticas en acción≫, or-ganitzada per la Real Sociedad Española de

F́ısica, on la SCM patrocina un premi de1.500 euros al millor material didàctic de ma-temàtiques presentat en suport paper.

Sembla, doncs, que pel que fa a activitatsper a la propera tardor no cal patir.

Després d’uns debats en el si de la JuntaDirectiva i del Comitè d’Ensenyament, es vadecidir enviar una carta a la consellera d’Ense-nyament, signada conjuntament amb la FEEM-CAT, on es reiterava la preocupació d’ambduessocietats pel nombre d’hores de matemàtiquesals curŕıculums oficials d’ESO i batxillerat i esdemanava una entrevista per tractar aquest te-ma en profunditat. Finalment l’entrevista hofou amb el director general d’Ordenació i In-novació Educativa, senyor Pere Solà; lamen-tem haver de dir que el seu balanç no ofereixres de nou ni cap perspectiva positiva pel quefa a aquesta qüestió. Per cert, el nostre Co-mitè d’Ensenyament ha estat ampliat recent-ment amb la incorporació de Pilar Figueras,presidenta de l’ABEAM.

Pel que fa a les relacions externes, s’ha sig-nat un conveni de reciprocitat amb la Socie-dad Española de Matemática Aplicada (SE-MA), i estem en negociacions amb la Sociedadde Estad́ıstica e Investigación Operativa (SE-IO). Aquests convenis enforteixen les relacionsentre les societats que formen part del comitèespanyol de la Unió Matemàtica Internacional.

Recentment s’ha creat al si de la SCM unaComissió de Relacions Externes a fi d’aprofun-dir en la idea, ja expressada per un grup de socisen el darrer Not́ıcies, d’aconseguir una repre-sentació directa de Catalunya dins de la UMI;inicialment aquesta comissió està formada pelssocis, senyors Delshams, Girbau, Nualart, Ver-dera, i Viader.

La SCM és present en una iniciativa de granabast que a mitjà termini pot comportar unamillora important en la forma de treballar demolts matemàtics: la creació de la BibliotecaMatemàtica Digital. Trobareu informació moltdetallada a la nostra pàgina web; diguem aqúınomés que aquesta iniciativa de la UMI seràinstrumentada a escala europea per un projecte

1

dins del 6è Programa Marc de la UE, on nos-altres participem a través d’un consorci (ambla RSME i el Centro de Información y Docu-mentación Cient́ıfica del CSIC) on ens repre-senta Jaume Amorós. A Catalunya la SCM haassumit la tasca de coordinar el projecte dedigitalització de les revistes matemàtiques ca-talanes: Collectanea Mathematica, PublicacionsMatemàtiques, Mathware and Soft Computing(anteriorment Stochastica), SORT (anterior-ment Qüestió) i Qualitative Theory of Dynami-cal Systems (la més jove, promoguda per la Uni-versitat de Lleida). Els fons del projecte euro-peu es destinaran a l’establiment d’estàndards,de formes de coordinació i altres protocols, ial desenvolupament de la tecnologia necessària.Els diners per a realitzar efectivament la di-gitalització i arxiu hauran de sortir de convo-catòries públiques de recerca, i tindrem el su-port tècnic del CESCA i el Consorci de Biblio-teques Universitàries de Catalunya.

Ja que parlàvem de diners, cal esmentar una

sèrie d’acords de l’Assemblea. Es va aprovar elbalanç definitiu dels comptes de l’exercici 2002,que va generar un dèficit de més de catorze mileuros. Es van aprovar els pressupostos del 2003 iel 2004, que recullen mesures per a eixugar pro-gressivament aquest dèficit, i un dèficit d’anysanteriors encara més gran. També es va apro-var fixar la quota d’associat en 30 euros anuals;malgrat l’augment que això suposa, cal dir queestem encara per sota de societats professionalssimilars del nostre entorn.

Finalment, es va crear el Fons de Promociód’Activitats de la SCM, que administrarà l’ex-cedent econòmic generat pel 3ecm, i que per-metrà finançar noves activitats tant de la SCMcom dels matemàtics catalans en general.

De tot això trobareu més informació a lespàgines web de la SCM:

http://www.iecat.net/scm/

Us animem a fer-ne un bookmark per al vos-tre navegador i a consultar-les sovint.

Josep Maria FontSecretari de la Junta Directiva

Societat Catalana de Matemàtiques. Memòria d’activitats.

Curs acadèmic 2002-2003

Aquesta és una versió un xic resumida de lamemòria d’activitats del curs 2002-2003 ques’ha enviat a l’Institut d’Estudis Catalans per apublicar-la conjuntament amb les de les altressocietats filials. Reflecteix fidelment els puntsprincipals del que hem anat fent durant aquestany acadèmic, que ha estat el primer de la novaJunta Directiva.

Acte inaugural del curs

L’acte inaugural va consistir en una conferènciaa càrrec de Carlos Andradas, catedràtic de laUniversitat Complutense de Madrid i presi-dent de la Real Sociedad Matemática Española(RSME), sobre ≪Polinomios positivos y desi-gualdades polinomiales≫. Tingué lloc el 24 d’oc-tubre de 2002 a la seu de l’IEC.

Sisena Trobada Matemàtica

Les trobades matemàtiques de la SCM escelebren des de fa cinc anys a diferents llocsdels päısos de parla catalana amb la intenció dereunir la comunitat matemàtica catalana, espe-cialment la universitària, entorn d’una activitatd’interès comú. Enguany es va dedicar al granmatemàtic rus A. N. Kolmogorov (1903–1987),amb motiu del centenari del seu naixement.Va tenir lloc el 4 d’abril de 2003 a laseu de l’IEC. Hi van assistir 57 partici-pants inscrits. La trobada també va inclou-re una exposició de 16 pòsters dels tre-balls de recerca tutelats dels estudiantsde doctorat de les universitats catalanes.

2

Curs sobre la calculadora simbòlicaWIRIS

Aquest curs pretenia familiaritzar els assis-tents amb l’entorn de treball de la calculadoraWIRIS, fer-los conscients de la seva potència decàlcul i de representació gràfica i analitzar i ela-borar activitats pràctiques i didàctiques en elscamps de l’anàlisi, l’aritmètica i la geometria iconstatar la facilitat d’elaborar gràfics interac-tius. Va ser organitzat conjuntament amb elportal educatiu edu365.com, amb la col.labora-ció de la Facultat de Matemàtiques i Estad́ısticade la UPC. Hi van participar 23 alumnes. Elcurset va ser impartit per Antoni Gomà, ambla col.laboració especial en una sessió de RamonEixarch i Daniel Marquès, de l’empresa MathsFor More S. L., editora del programa. Aquestaactivitat va obtenir el reconeixement del Depar-tament d’Ensenyament per ser inclosa en el Plade Formació Permanent del Professorat.

XXXIX Olimṕıada Matemàtica

La SCM ha organitzat les proves de la fa-se catalana d’aquesta competició internacionaladreçada als alumnes de batxillerat, aix́ı com laparticipació dels seleccionats catalans en la faseespanyola, sota la coordinació de Josep Granéi Carles Romero. Les proves de la fase catala-na van tenir lloc els dies 14 i 15 de desembrede 2002 simultàniament a Barcelona, Girona,Lleida i Tarragona, amb una participació glo-bal de 63 nois i noies. El Tribunal, nomenatper la Junta Directiva, estava format per JosepVaquer (president), Jaume Llúıs Garcia Roig iJosep Maria Ferran.

Els vuit millors alumnes van obtenir premisen metàl.lic i van participar a la fase espanyo-la, que es va celebrar els dies 3 i 4 de març de2003 a Tenerife, amb molt bons resultats (unamedalla d’or, tres de plata i dues de bronze).Cal destacar Daniel Rodrigo, que va ser el pri-mer classificat espanyol havent-ho estat ja l’anypassat, una circumstància que no s’havia donatmai; participarà a la fase internacional a Tòquiol’estiu de 2003.

La SCM ha organitzat també unes sessionsde preparació per tal d’impulsar la participacióen aquesta activitat i millorar-ne el rendiment,coordinades per Josep Grané.

V Olimṕıada IberoamericanaUniversitària de Matemàtiques

La SCM va prestar la seva col.laboració a laRSME per a organitzar una prova d’aquestacompetició internacional per als aspirants ca-talans. La prova tingué lloc el 16 de novembrede 2002 a la Facultat de Matemàtiques de laUniversitat de Barcelona. Hi varen participar35 universitaris amb resultats força satisfacto-ris, ja que entre els deu premiats a tot l’Estathi figuren cinc catalans.

Vuitena Prova Cangur

S’ha continuat aquesta prova de resolució deproblemes en quatre nivells per a alumnes delsegon cicle d’ESO i de batxillerat, que es rea-litza simultàniament a molts päısos d’Euro-pa i alguns altres, coordinada per l’associacióLe Kangourou sans Frontières. La SCM parti-cipa en les trobades internacionals com a repre-sentant de Catalunya, i agrupa també els cen-tres de les comarques castellonenques, valencia-nes i alacantines que hi participen. Hi ha tambéuna coordinació amb l’organització a les IllesBalears per a utilitzar els mateixos enunciats(tradüıts i adaptats als nostres curricula per laComissió Cangur). La Comissió Cangur dela SCM és presidida per Antoni Gomà i en for-men part Llúıs Almor, Anna Cuxart, RamonEsteban, Antoni Gil, Josep Grané i Carles Ro-mero.

La prova va tenir lloc el 20 de març de 2003i hi van participar 9.510 nois i noies de 372 cen-tres diferents de tot Catalunya, xifres que supo-sen uns augments del 27,1 % i del 18,5 %, res-pectivament, en relació amb l’any anterior. Ésespecialment destacable l’augment de partici-pants de noves comarques valencianes (el Campde Morvedre i la Marina Alta). Enguany el gua-nyador de cada nivell ha rebut un ordinadorportàtil.

S’ha registrat a nom de la SCM l’adreçad’internet www.cangur.org, que hostatja unapàgina web que centralitza l’accés a totes lesactivitats de la SCM dedicades als alumnes desecundària. També inclou enllaços a d’altres ac-tivitats promogudes per la FEEMCAT o les se-ves societats membres.

3

Problemes a l’Esprint

És un concurs de resolució de problemes entemps real, per via telemàtica, on guanya l’e-quip que primer respon correctament totes lespreguntes. Hi participen equips formats peralumnes de cursos diversos (de segon cicle d’E-SO i de batxillerat) d’un mateix centre docentde secundària, que han de col.laborar per a re-soldre un seguit de problemes relacionats entreells. Enguany se n’ha celebrat la quarta edi-ció, amb la col.laboració del portal educatiuedu365.com, que ha facilitat la infraestructurai la loǵıstica. Hi han participat més de tren-ta centres, cosa que ha doblat la participaciód’anys anteriors. El concurs s’inicià el dia 7 demaig a la una del migdia, i els guanyadors vanésser l’IES de la Bisbal d’Empordà i el Col.legiSant Pau Apòstol de Tarragona, que van enviarla seva solució completa al cap de 53 minuts.

Relleus

És un concurs similar a l’anterior, per via te-lemàtica i entre equips de centre, però no entemps real sinó que s’estén del gener al maig.Les solucions d’uns problemes donen accés alssegüents (relleus). Hi han participat 10 centres.Van resultar guanyadors l’IES Jaume VicensVives de Girona i l’IES de la Bisbal d’Empordà.Com l’anterior, va ser organitzat amb la col-laboració del portal educatiu edu365.com.

Concurs de cartells

Es tracta d’un concurs de disseny gràfic, en-tre alumnes d’ESO i batxillerat per a confec-cionar el cartell i el logotip de l’edició 2004 deles proves Cangur. Es van rebre 23 propostes de12 escoles diferents. El guanyador va ser DanielArmengol i Altayó, alumne de primer de batxi-llerat de l’Escola Pia de Balmes (Barcelona).

Programa d’Est́ımuldel Talent Matemàtic

L’objectiu d’aquest programa és seleccionar ungrup redüıt de nois i noies de dotze i tretzeanys i oferir-los durant tot el curs una sessiósetmanal (dissabtes al mat́ı) de classes, tutori-es i altres activitats encaminades a desvetllar iestimular el seu talent matemàtic i el gust perles matemàtiques. Es va iniciar el 1998 a la Co-munitat Autònoma de Madrid, amb el patro-

cini de la Fundación Airtel (avui Vodafone) ila coordinació de la Real Academia de CienciasExactas, F́ısicas y Naturales, sota la direcció delprofessor Miguel de Guzmán, de la UniversitatComplutense de Madrid.

La SCM i la FEEMCAT van acordar defer-se càrrec conjuntament de l’organització delprograma a Catalunya, i es va formar una co-missió organitzadora integrada per Josep Granéi Antoni Gomà per la SCM i Marta Berini perla FEEMCAT. Els dies 9 a 11 de març van te-nir lloc a Vilanova i la Geltrú unes jornades depreparació per als professors, i el 31 de maig esva iniciar el procés per a seleccionar la primerapromoció. Es van presentar uns dos-cents qua-ranta aspirants, dels quals es triaran els vint-i-cinc que seran admesos en la primera edició delprograma, que començarà el curs vinent.

Premi per a estudiants Evarist Galois

Va ser atorgat a proposta d’una ponència no-menada per la Junta Directiva de la SCM, iformada per Josep Maria Font, Olga Julià, Ar-tur Travesa i Armengol Gasull. Els guanyadorsvaren ser, ex aequo, Joaquim Puig i Sadurńı, pelseu treball ≪Reductibilitat d’equacions diferen-cials lineals quasiperiòdiques≫, i Anna López iRatera, pel seu treball ≪Mètodes asimptòticsen dominis de paràmetres que presenten puntsfrontera≫.

La Biblioteca Matemàtica Digital

Aquesta iniciativa de la Unió Matemàtica Inter-nacional pretén coordinar diferents programesde digitalització de la literatura matemàtica detots els temps a fi de preservar-la i posar-la al’abast de tota la comunitat matemàtica. LaSCM forma part de les institucions que hansol.licitat un ajut al Sisè Programa Marc de laUnió Europea, a fi d’establir estàndards, desen-volupar la tecnologia necessària i coordinar es-forços de diferents societats matemàtiques eu-ropees. En l’àmbit català coordina el procés dedigitalització, arxiu i accessibilitat de les re-vistes matemàtiques que es publiquen a casanostra (Collectanea Mathematica, PublicacionsMatemàtiques, Mathware and Soft Computing,SORT, Qualitative Theory of Dynamical Sys-tems), amb la col.laboració tècnica del Consorcide Biblioteques Universitàries de Catalunya i elCESCA.

4

El 3 de juny de 2003 va tenir lloc a la seu del’IEC una sessió informativa sobre aquest pro-jecte, i sobre el projecte LIMES (Large Infras-tructures in Mathematics: Enhanced Services),molt relacionat amb ell ja que té l’objectiu deconvertir la base de dades Zentralblatt MATHen una eina de primer ordre a escala mundi-al basada a Europa i adaptada a les nostrespeculiaritats (per exemple, desenvolupant unainterf́ıcie en català) i que incorpori els darrersavenços tecnològics. La xerrada va anar a càrrecd’Enrique Maćıas, professor de la Universitatde Santiago de Compostela i coordinador espa-nyol del projecte LIMES, i Jaume Amorós, queés el coordinador de la Biblioteca MatemàticaDigital per part de la SCM.

Publicacions

Durant aquest curs han aparegut els números17 i 18 de la revista SCM/Not́ıcies, que és unòrgan de comunicació amb els socis dedicat so-bretot a not́ıcies tant de l’activitat de la So-cietat com de la comunitat matemàtica en ge-neral (catalana i internacional), i el volum 17(números 1 i 2) del Butllet́ı de la Societat Cata-lana de Matemàtiques, que és una revista de di-vulgació matemàtica d’alt nivell. Ambdues pu-blicacions es distribueixen gratüıtament a totsels socis, i totalitzen unes tres-centres quaran-ta pàgines. Cal destacar que la revista de re-ferència Mathematical Reviews editada per l’A-merican Mathematical Society ha demanat lainclusió de SCM/Not́ıcies a la seva base de da-des (el Butllet́ı ja hi és); això significa un reco-neixement que l’interès dels continguts d’aques-ta revista ultrapassa el marc estrictament local.L’editor de SCM/Not́ıcies és Agust́ı Reventós iel del Butllet́ı és Frederic Utzet.

També s’ha publicat un recull de problemesde les Sessions de Preparació per a l’OlimṕıadaMatemàtica, a cura de Josep Grané i amb lacol.laboració de diversos autors. La publicaciós’ha fet en versió paper i en CD-ROM.

Relacions institucionals

• Durant aquest curs s’han mantingut els con-venis de reciprocitat existents amb d’altressocietats matemàtiques (American Mathe-matical Society, Société Mathématique deFrance, Real Sociedad Matemática Española,Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de

les Matemàtiques a Catalunya) i se n’ha sig-nat un de nou amb la Sociedad Española deMatemática Aplicada.

• La SCM és una de les quatre societats ma-temàtiques que constitueixen el Comitè Es-panyol de la Unió Matemàtica Internacional(IMU), i hi és representada pel president dela Societat i un altre membre designat per laJunta Directiva, Marta Sanz. Aquests duespersones, juntament amb Joan Verdera, for-men part a t́ıtol personal del Comitè Execu-tiu que organitza el Congrés Internacional deMatemàtics que tindrà lloc a Madrid el 2006.

• La Junta Directiva va ratificar Llúıs Bibilo-ni com a representant de la SCM al Subco-mitè Espanyol del Comitè Internacional per al’Ensenyament de les Matemàtiques (ICMI).

• En l’àmbit català, el president de la SCM as-sisteix o forma part estatutàriament de di-ferents organismes (ple de l’IEC, Secció deCiències i Tecnologia, Patronat de la Fun-dació Ferran Sunyer i Balaguer, Consell Ci-ent́ıfic Assessor del Centre de Recerca Ma-temàtica). També s’han mantingut entrevis-tes institucionals amb el director general d’U-niversitats i el director general d’Ordenaciói Innovació Educativa de la Generalitat deCatalunya per a tractar diferents afers dintredels objectius de la Societat.

• A petició d’alguns socis la Junta Directivaha creat una Comissió de Relacions Externesper a debatre i impulsar la representació di-recta de la SCM a escala internacional, en lamesura que això sigui possible, com ho és enaquests moments en l’organització Cangur ien la Societat Matemàtica Europea. Aques-ta comissió és coordinada per Joan Verdera ien formen part Amadeu Delshams, Joan Gir-bau, David Nualart i Pelegŕı Viader.

Creació del Fons de Promociód’Activitats

Aquest fons va ser creat per l’Assemblea Gene-ral, a proposta de la Junta Directiva. Es nodreixdel romanent del 3ecm i d’altres subvencions es-pećıfiques que es puguin obtenir, i es dedicaràal finançament d’activitats noves de la SCM ia la promoció d’activitats d’ensenyament o derecerca de les institucions o grups de treball de

5

Catalunya, sempre que benefic̈ıin la comunitatmatemàtica catalana i que s’adiguin amb elsobjectius de la SCM.

En el present curs s’ha finançat (parcial-ment) amb càrrec al Fons la Trobada Ma-temàtica. Per al curs proper es preveu finançarigualment la Trobada, el premi a propostesdidàctiques dins de ≪F́ısica i Matemàtiques enAcció≫, la jornada sobre ensenyament conjuntaamb la FEEMCAT i la jornada cient́ıfica sobrecriptografia conjunta amb la RSME, que estanprevistes per a la tardor de 2004.

Altes i baixes de socis

Durant el curs acadèmic 2002–2003 s’han pro-düıt 25 altes de socis i 25 baixes. El nombre de

socis en acabar el curs és de 1.008. De cara alcurs vinent hi ha previstes diverses iniciativesencaminades a fer créixer aquest nombre.

Assemblea General

Va tenir lloc el 3 de juny de 2003 a la seu del’IEC. Un cop escoltat l’informe del presi-dent, es van prendre diversos acords de caireeconòmic, com la creació del Fons de Promo-ció d’Activitats abans esmentat, l’aprovació delbalanç comptable de l’exercici 2002, l’aprovaciódels pressupostos de 2003 i 2004 i l’augment dela quota anual dels socis ordinaris a 30 euros.

Podeu trobar aquesta informació a la pàginaweb de la Societat: http://www.iecat.net/scm

Falten hores de matemàtiques

La discussió sobre les hores de matemàtiques al’ensenyament secundari ja fa molts anys quedura. Tant la SCM com la FEEMCAT han ac-tuat enèrgicament en diverses ocasions, peròsense massa èxit, de moment, per la manca devoluntat d’actuació dels gestors poĺıtics. Es vatransmetre la preocupació unànime i profundadels matemàtics per la distribució horària de lareforma educativa a l’anterior conseller d’En-senyament, Joan Maria Pujals, i s’ha continuatinsistint a l’actual consellera, Carme Laura Gil.Molts lectors recordaran la sessió commemora-tiva de l’any mundial de les matemàtiques, el19 de juny de 2000, al Parlament de Catalu-nya. S’hi varen sentir moltes veus i fins i tothi va haver una manifestació a l’entrada delParlament. La resposta del Departament d’En-senyament va ser, en aquella ocasió, proposarque l’assignatura optativa d’ampliació de ma-temàtiques s’utilitzés, en els centres que aix́ı hodecidissin, per tal de reforçar la impartició delstemaris obligatoris del batxillerat. Els profes-sors han dit i repetit que aquesta no és unabona solució, i ho varen dir en una carta a laconsellera que es va enviar amb quatre-centescinquanta signatures l’abril de 2002, on es deiatambé que els professors de matemàtiques notenen autoritat moral per promoure més horesde matemàtiques en els seus centres respectius

si el Departament d’Ensenyament es reafirmaa donar per bona la situació actual. Copio unfragment d’aquesta carta, que ha resultat pre-monitori:

≪[. . . ] el que no es pot fer és prescriure uncurŕıculum que és impossible de ser abastat enel nombre d’hores que se li han destinat. [. . . ]Si volem impartir tot el curŕıculum hi haurà unpercentatge molt elevat d’alumnes que no po-dran assolir uns objectius mı́nims; si volem se-guir un ritme de treball més adequat, deixaremuna bona part dels continguts sense treballar. Ide tot això n’haurem de donar comptes davantdels alumnes, dels pares i mares, del propi cen-tre i de l’administració educativa.≫

No ens consta que hi hagués cap resposta aaquesta carta ni cap reacció del Departamentd’Ensenyament.

La nova Junta de la SCM, per tal de conti-nuar la batalla, va reunir el Comitè d’Ensenya-ment de la SCM el 12 de febrer de 2003. Es va-ren sentir moltes idees interessants i es va anarveient clar que el problema no és només exigirquatre hores setmanals de matemàtiques, sinóque cal que hi hagi un estat d’opinió favorablea aquest increment. Encara ara, molts pares imares i alguns centres defensarien possiblementel contrari. El recolzament de l’opinió pública és

6

important, i la conformitat de la resta del pro-fessorat dels centres d’ensenyament encara hoés més. Els responsables poĺıtics no prendran ladecisió necessària de reforçar els ensenyamentscient́ıfics si tenen por de rebre més cŕıtiques quereconeixement.

Com a fruit d’aquesta reunió del Comitèd’Ensenyament, vàrem redactar una carta con-junta els presidents de la FEEMCAT i de laSCM, que es va enviar a la consellera el 15 d’a-bril de 2003. Reprodüım el text complet de lacarta:

≪Honorable Senyora,

≫Com ja sabeu, la Societat Catalana de Ma-temàtiques (SCM) i la Federació d’Entitats pera l’Ensenyament de les Matemàtiques a Cata-lunya (FEEMCAT) estan duent a terme, desde fa molts anys, una tasca ininterrompuda depromoció a tots els nivells de l’ensenyament se-cundari i universitari. L’impacte cada any mésgran de les Proves Cangur de la SCM (que el20 de març d’enguany han aplegat més de deumil estudiants de 3r d’ESO a 2n de batxille-rat) i de l’activitat Fem Matemàtiques de laFEEMCAT (que n’ha reunit uns cinc mil) n’ésuna bona mostra.

≫Com també s’ha manifestat des de fatemps per diverses vies, el col.lectiu de pro-fessors de matemàtiques està molt preocupatpel fet que la proposta de curŕıculums de lesmatèries de matemàtiques i de matemàtiquesaplicades a les ciències socials en el batxille-rat no es pot impartir amb garantia de qualitatamb l’assignació horària actual, que és substan-cialment menor que la de la resta de l’Estat.Aquesta profunda preocupació es va expressaren una carta enviada al Departament d’Ense-nyament l’abril de 2002 amb quatre-centes cin-quanta signatures. La SCM també ha intervin-gut en aquest debat en diverses ocasions i ha ex-pressat la seva plena coincidència amb els puntsde vista dels professors de matemàtiques, perveu dels membres de la Junta Directiva.

≫Recentment la premsa ha difós dades (perexemple, La Vanguardia dels dies 12 i 15 defebrer) que, si bé no és segur que reflecteixinun endarreriment demostrable del nivell en ma-temàtiques dels estudiants catalans, śı que evi-dencien que l’anàlisi de la situació actual s’haestès a capes més àmplies de la societat. Tambéens consta que el Departament d’Ensenyament

ha demanat recentment informes a especialis-tes sobre els continguts mı́nims estatals de ma-temàtiques al batxillerat, d’on es desprèn uninterès a aprofundir en la problemàtica actual.

≫Per tots aquests motius, la SCM i laFEEMCAT, com a entitats expertes i represen-tatives, us demanen que concediu una entrevis-ta als seus presidents, amb l’objectiu d’inter-canviar informacions que portin a un consenssobre la valoració de la situació actual i del fu-tur de l’ensenyament de les matemàtiques a Ca-talunya.

≫Ben atentament,

≫Carles Casacuberta, president de la SCM≫Joan Gómez, president de la FEEMCAT≫

La resposta va ser la concessió d’una entre-vista, no amb la consellera com demanàvem,sinó amb el director general d’Ordenació i In-novació Educativa, Pere Solà. Hi vàrem anarJosep Sales i Carles Casacuberta el dia 3 dejuny. No hi va haver cap novetat. Es va dirmés o menys el mateix que ja s’havia dit enentrevistes anteriors del director general ambels presidents de la SCM i de la FEEMCAT. ElDepartament d’Ensenyament és conscient quehi ha un problema greu i no resolt, però mantéque l’increment d’hores que demanem ni és via-ble en les circumstàncies actuals ni és la millorsolució. Es va apuntar t́ımidament la possibili-tat de programar quatre sessions setmanals de45 minuts, idea que no es va veure realista enl’anàlisi posterior que en vàrem fer. El directorgeneral va oferir, això śı, el seu suport en qual-sevol acte de debat que vulguem organitzar, iva encoratjar-nos a transmetre el problema al’opinió pública.

Els esdeveniments ens han facilitat, malau-radament, aquesta tasca. El 13 de maig, el Se-nat va aprovar un informe sobre la situaciódels ensenyaments cient́ıfics en els centres desecundària, promogut per les societats estatalsde matemàtiques, f́ısica i qúımica. Es va pu-blicar al Butllet́ı Oficial de les Corts Generalsel 22 de maig i des de la SCM n’oferim unacòpia a tothom qui ho vulgui. En aquest infor-me es constata que la situació de l’ensenyamentde les ciències és greu a tot l’Estat i es propo-sen diversos camins de solució, entre els qualsl’increment d’hores de docència.

7

A principis de juliol es varen difondre els re-sultats de la selectivitat a Catalunya. Com re-cordareu, la nota mitjana de matemàtiques vaser de 3,85 sobre 10 i la de matemàtiques apli-cades a les ciències socials va ser de 3,60. Aixòva sortir a la majoria de diaris i va originar car-tes dels lectors i un magńıfic editorial de l’Avuiel dia 6 de juliol, que també us recomanem ius oferim. Des de la SCM s’han enviat articlesd’opinió a l’Avui i a La Vanguardia.

Simultàniament, s’han donat a conèixer lesxifres de matriculats a les titulacions de ma-temàtiques i d’estad́ıstica de les universitats ca-talanes per al curs 2003-2004 i ens han corprèsper la seva migradesa sense precedents.

Cap a on hem d’anar? Tot i que cal con-tinuar demanant l’increment d’hores amb to-ta l’energia possible, creiem que alhora hem deprocurar utilitzar de la millor manera possi-ble les hores que se’ns assignin i guanyar-nosl’interès dels alumnes. Justament amb aquestaidea estem esmerçant molt de temps i esforçosamb la Prova Cangur, el Fem Matemàtiques,l’Olimṕıada i altres activitats de la SCM i dela FEEMCAT, algunes en col.laboració amb elportal educatiu del web del Departament d’En-senyament. Si no hi ha prou hores de classeper fer aprendre bé als alumnes tot el contin-gut dels temaris actuals, que s’intenti convènceralmenys els alumnes que les matemàtiques sóninstrumentals com la llengua, necessàries per aanalitzar problemes de la natura i de la societato per a justificar preses de decisions, i indispen-sables a qualsevol carrera cient́ıfica o tècnica (ia d’altres). Si no ho fem aix́ı, ens quedarem sen-se estudiants de matemàtiques i el progrés delpáıs se’n ressentirà. Transcric un paràgraf del’article que vàrem enviar a La Vanguardia:

≪Per què els alumnes no se senten prou mo-tivats per les matemàtiques? No creiem queaquest sigui un fenomen nou. L’aprenentatge deles matemàtiques exigeix moltes hores de tre-ball personal i obliga a raonar. Això és dif́ıcil isempre ho ha estat. Ara i abans, els joves tri-en el camı́ que consideren òptim en funció del’equilibri entre l’esforç i les expectatives per ales seves possibilitats de futur. Només escolli-ran dedicar una part del seu temps a allò queels resulta dif́ıcil si estan convençuts que elsserà útil. Potser el que està fallant és la manerade convèncer-los que les matemàtiques, com lallengua, són la base d’altres formes de coneixe-ment, de la formació cultural i de l’accés a totesles carreres que porten cap a la societat de lainformació.≫

El 18 d’octubre de 2003, la FEEMCAT i laSCM organitzem conjuntament una jornada de-dicada a l’ensenyament de les matemàtiques. Almat́ı hi haurà diverses ponències i a la tarda esfarà un debat per a una educació matemàticade qualitat a Catalunya. El director generalPere Solà ha confirmat la seva participació enaquest debat. També hi haurà un representantde la Societat Catalana de F́ısica. Abans d’a-questa trobada, durant el mes de setembre, esreunirà un grup de pressió, amb representantsde la SCM, de les associacions que formen laFEEMCAT, de les facultats catalanes, i segu-rament altres persones. Esperem que la redac-ció d’un document unitari adreçat a tots elspartits poĺıtics que tindran veu en les prope-res eleccions catalanes pugui obrir la via cap auna correcció del sistema educatiu actual, quetots trobem imprescindible i urgent.

Carles Casacuberta i VergésPresident de la SCM

8

Editorial

Aclariment

Benvolgut soci: Quan, en el Not́ıcies 16, s’a-gräıa, a l’editorial, la feina feta per diversespersones en la millora de la nostra revistaSCM/Not́ıcies, varem oblidar la tasca realitza-da anys enrere pel professor del Departamentde Matemàtica Aplicada II de la UPC i mem-bre de la SCM José Luis Ruiz Muñoz.

A principis de l’any 1995, a petició de Se-bastià Xambó, president llavors de la SCM, en

José Luis Ruiz Muñoz va iniciar el disseny delSCM/Not́ıcies i del Butllet́ı en LaTeX2e. A ini-ciativa seva la SCM va comprar un paquet co-mercial amb un joc de tipografies, la famı́lia Lu-cida, que és la que s’utiliza encara en el Butllet́ı,tal com ja s’havia informat a SCM/Not́ıcies 1,1995, pàg. 4 i SCM/Not́ıcies 3, 1995, pàg. 6.

Preguem, doncs, al nostre company JoséLuis que disculpi el nostre anterior oblit.

Agust́ı ReventósEditor

La columna de la Societat Matemàtica Europea (EMS)

Activitats cient́ıfiques de l’EMS amb societats nacionals

L’any 2003 l’EMS ha iniciat una nova mani-festació cient́ıfica: els congressos coorganitzatsamb societats matemàtiques d’àmbit nacionalo regional. Amb aquesta iniciativa l’EMS volenfortir les seves relacions amb els socis insti-tucionals proporcionant el seu suport i implica-ció en la realització de reunions cient́ıfiques decaràcter pluridisciplinari. Aquest tipus d’acti-vitats són un element dinamitzador de la vidacient́ıfica de les societats ja que augmenten laparticipació activa dels membres de la comuni-tat matemàtica a la qual representen. Per la se-va banda l’EMS incrementa la seva credibilitatcom a marc idoni per a la promoció de l’activi-tat matemàtica en un sentit global, alhora queexerceix una de les seves missions fonamentals,la d’enfortir el sentiment de cooperació entreels matemàtics europeus.

La primera d’aquestes activitats ha estatel congrés Applied Mathematics and Applica-tions of Mathematics (AMAM 2003) que hatingut lloc a Niça del 10 al 13 del passat mesde febrer, coorganitzat per les societats fran-ceses Société de Mathématiques Appliquées etIndustrielles i Société Mathématique de Fran-ce. El t́ıtol del congrés explica clarament elsobjectius que es volien cobrir: mostrar les ma-temàtiques que intervenen en les aplicacions ca-

da vegada més sofisticades a altres ciències ia la tecnologia i els problemes que les moti-ven. El nucli del programa va consistir en dotzeconferències invitades i quaranta-vuit minisim-posis estructurats en nou grans àrees que co-brien molts àmbits on el desenvolupament deles matemàtiques durant el darrer quart de se-gle ha estat espectacular. El congrés fou unèxit, tant per l’alta qualitat cient́ıfica dels con-ferenciants com per l’àmplia participació i l’a-curada organització. Podeu consultar l’adreçahttp://acm.emath.fr/amam per tenir una visiómés completa del que fou aquest esdeveniment.

La propera cita és l’EMS Mathematical we-ekend organitzat conjuntament amb la Socie-tat Matemàtica Portuguesa els dies 12 a 14de setembre d’enguany. En aquesta ocasió hiha cinc conferències plenàries impartides perM. Audin (Strasburg), J.-M. Bismut (Orsay),B. Dacorogna (Lausanne), H. Föllmer (Berĺın)i G. Lebeau (Nice). Addicionalment, s’organit-zen sessions especials de vuit hores de durada,estructurades en contribucions, sobre els temessegüents: geometria simplèctica i relacionades,anàlisi i geometria, càlcul de variacions, anàlisiestocàstica i finances i equacions d’evolució nolineals. La informació completa es troba a l’a-dreça http://www.math.ist.utl.pt/ems.

9

La Societat Catalana de Matemàtiques hacol.laborat estretament amb l’EMS des de la se-va fundació. L’organització del 3ecm va suposarsense cap mena de dubte un compromı́s moltsòlid d’implicació en les activitats promogudes

per l’EMS. No és doncs estrany que, ara, hagisintonitzat amb aquesta nova iniciativa, i queexpressi el seu interès per organitzar una d’a-questes activitats conjuntes en el futur, proba-blement l’any 2005.

Marta Sanz SoléUB

Articles

Andrei Nikolaievich Kolmogorov (1903-1987)

Aquest any es celebra el centenari del naixe-ment d’Andrei Kolmogorov, una de les figu-res cabdals de la matemàtica del segle xx.La seva creativitat matemàtica ha deixat unaforta empremta en les arrels d’una diversitatsorprenent d’àrees que inclouen la lògica ma-temàtica, la topologia, la probabilitat, els pro-cessos estocàstics, la teoria de la informació,l’estad́ıstica matemàtica, els sistemes dinàmics,la teoria d’autòmates, la teoria d’algorismes,la turbulència, la mecànica celeste, les equa-cions diferencials i les aplicacions de les ma-temàtiques a la biologia, la geologia i la cris-talizatció de metalls. En una producció de mésde tres-cents articles i monografies, Kolmogo-rov va cobrir pràcticament totes les àrees de lesmatemàtiques llevat de la teoria de nombres.I en totes aquestes àrees les seves contribuci-ons van tocar aspectes essencials que van obrircamps sencers de noves investigacions.

La seva amplitud de mires no va restringir-se només a les matemàtiques. Va tenir també uninterès especial per la història (un dels seus pri-mers treballs universitaris feia referència a lesrelacions agràries als segles xvi i xvii a Nov-gorod) i va tenir una especial estima per totesles formes art́ıstiques. En particular es va de-dicar a analitzar profundament la poesia russa,especialment la de Puskin.

També va ser ben conegut el seu interèsper a millorar la formació en matemàtiques al’URSS, des de l’escola secundària fins a l’edu-cació universitària i de recerca, tasca que vaabsorbir gran part del seu temps. Va participaractivament en l’organització de les olimṕıadesmatemàtiques i va promoure la creació de cen-tres especials per a joves talents, tant si havi-en de convertir-se en matemàtics professionals

com si no. Va arribar a donar vint-i-sis horesde classe setmanals a l’escola número 18 de laUniversitat de Moscú, coneguda com l’escolade Kolmogorov, tant de matemàtiques com demúsica, art i literatura, d’acord amb el seu cri-teri que el desenvolupament intel.lectual haviade ser equilibrat. Va crear un col.lectiu d’autors,en el qual participava personalment, per esciu-re textos de geometria, àlgebra i anàlisi per al’escola secundària. Es diu de Kolmogorov queva ser un dels pocs matemàtics allunyats de lapoĺıtica a la Unió Soviètica, mantenint tot i aixòun reconeixement cient́ıfic i social enorme, i esva dedicar discretament a ajudar persones ambtalent sense cap mena de prejudicis. Entre elsmés de seixanta estudiants que van doctorar-se sota la seva direcció hi ha matemàtics de laimportància de Gdenenko, Gelfand o Arnol’d.

Kolmogorov va arribar a la Universitat a latardor del 1920 i ràpidament va promoure’s alsegon curs per a obtenir els 16 quilos de pa i elquilo de carn que es donava a aquests estudi-ants. Al curs 1921-1922 va obtenir el seu primerresultat original sobre l’existència de sèries deFourier amb coeficients que decreixen amb len-titud arbitrària, i poc després va obtenir un pri-mer reconeixement internacional amb la cons-trucció d’una sèrie de Fourier divergent a totarreu. El 1925 es va interessar per la lògica iva publicar un article sobre el terç exclòs, undels primers treballs a la Unió Soviètica ambresultats substancials en el món de la lògica in-tüıcionista.

Una de les seves contribucions més celebra-des, però, va ser la fonamentació axiomàtica dela teoria de la probabilitat. El petit volum Fo-naments de la Teoria de la Probabilitat, publi-cat el 1933 en alemany, va esdevenir ràpidament

10

la formulació definitiva que introdüıa la proba-bilitat com una branca de la matemàtica, po-sava els fonaments per al desenvolupament dela teoria dels processos estocàstics i constitui-ria el nucli essencial de la teoria de control i laśıntesi que Kolmogorov va fer posteriorment dela teoria de la informació i la teoria ergòdica.Les contribucions de Kolmogorov a la teoria deprobabilitats el van convertir en una de les fi-gures més representatives d’aquesta disciplina.

El 1929, amb l’ajuda del que havia de serun dels seus companys inseparables la restade la seva vida, P. S. Aleksandrov, va obte-nir l’única posició disponible a l’Institut deMatemàtiques i Mecànica de la Universitat deMoscou enmig d’una competició duŕıssima, i el1931 va ser nomenat professor de la Universi-tat de Moscou. En la dècada dels anys trenta,Kolmogorov va esciure més de seixanta articlessobre probabilitats, geometria projectiva, es-tad́ıstica matemàtica, teoria de funcions, topo-logia, lògica matemàtica, biologia matemàtica,filosofia i història de les matemàtiques. Entre lescontribucions més destacades d’aquest peŕıodehi ha el descobriment de la noció de cohomo-logia, simultàniament i independent del grantopòleg nord-americà J. W. Alexander.

Al començament dels anys quaranta Kol-mogorov va iniciar els seus estudis sobre elsfenòmens de turbulència. Algunes de les sevesintüıcions tenen el caràcter de noves lleis de lanatura, com la llei ‘2/3’ de Kolmogorov: en unflux turbulent, la diferència quadràtica mitja-na de les velocitats en dos punts és proporcio-nal a la potència 2/3 de la seva distància. Du-

rant la Segona Guerra Mundial va desenvoluparparal.lellament amb Norbert Wiener la teoriade predicció de sèries temporals estacionàries.Després de la Guerra va fer una contribuciócabdal al problema fonamental de la mecànicaclàssica, identificat per H. Poincaré cinquantaanys abans en l’estudi del moviment dels pla-netes al voltant del Sol. Els petits efectes re-lacionats amb la interacció gravitatòria entreels planetes introdueixen una dificultat que fael problema intractable. Kolmogorov va intro-duir una teoria general dels sistemes hamiltoni-ans sota petites pertorbacions que, amb la con-tribució d’Arnol’d i Moser s’ha convertit en elque avui es coneix com a teoria KAM, obrint elcamp del caos en els sistemes dinàmics que ésactualment una àrea de gran vitalitat. Al ma-teix temps va començar a treballar en la teo-ria d’autòmates i la teoria d’algorismes amb elseu estudiant Uspenskii, va introduir la nocióde la màquina de Kolmogorov-Usmenskii, i vadonar suport contra una forta oposició inicial al’URSS al camp de la cibernètica, el que seriafinalment la informàtica. Amb Arnol’d, Kolmo-gorov va resoldre el 1956 el tretzè problema deHilbert en sentit contrari al que es conjectura-va, provant que una funció cont́ınua en qual-sevol nombre de variables es pot escriure comuna composició i suma de funcions d’una solavariable.

Cap al final de la seva vida activa, Kolmo-gorov va deixar d’escriure tement una senilitatestèril que de fet no va arribar, i deixava alsseus col.laboradors la tasca de redactar els re-sultats. Havia encara d’aportar algunes contri-bucions cabdals en la teoria de la informació i lateoria dels algorismes, en especial a la noció decomplexitat que va desenvolupar independent-ment amb R. Solomonoff i G. Chaitin durantla dècada dels seixanta. Un dels darrers articlesde Kolmogorov, publicat l’any de la seva mortamb Uspenskii, està encara dedicat a la teoriadels algorismes i la teoria de la informació.

Aquest recorregut gairebé vertiginós sobrel’activitat matemàtica de Kolmogorov preténdespertar l’interès i la curiositat sobre el per-sonatge. Aquest any es celebren o s’han cele-brat moltes conferències monogràfiques dedica-des a la seva obra, entre les quals la Internatio-nal Conference on Kolmogorov and Contempo-rary Mathematics, organitzada per l’Acadèmiade Ciències de Rússia i la Universitat de Mos-

11

cou. A casa nostra es va fer també una cele-bració del centenari de Kolmogorov a la SisenaTrobada Matemàtica. A les referències que hiha al final d’aquesta breu nota biogràfica tro-bareu més informació sobre aquesta figura uni-versal de la matemàtica del segle xx. Que hoaprofiteu!

Referències

[1] Kolmogorov in perspective. History of Mat-hematics, 20. Providence, RI, AmericanMathematical Society; Londres: LondonMathematical Society, 2000.

[2] A. N. Shiyarev (ed). Selected works ofA. N. Kolmogorov (tres volums), Mathe-matics and its Applications (Soviet Series),27. Dordrecht, Kluwer Academic PublishersGroup, 1993.

[3] http://www.kolmogorov.com/(Kolmogorov centennial site)

Oriol SerraUPC

Estudi mecànic de la falsa cúpula

Resum

En aquest article es presenta l’anàlisi mecànica de l’anomenada falsa cúpula. Cada fila treballa comuna palanca de primer gènere on el fulcre és el punt en què la fila sobresurt de la fila que hi haimmediatament a sota. La llei que s’aplica és la llei de la palanca. Aquest mètode de cobrir l’espaifou usat des de la prehistòria i, després d’un llarg parèntesi, el trobem en la construcció de lesbarraques de pedra seca en l’àrea mediterrània, al llarg del segles xviii, xix i xx.

Introducció

En extenses àrees rurals catalanes —i de fet entots els päısos de la Mediterrània— són visi-bles construccions rústiques en pedra seca quereben diferents noms, però que a Catalunya esconeixen com a barraques de pastor en les àreespirinenques —com el Ripollès— o barraques devinya en comarques de forta tradició vit́ıcola—com el Bages.

En la gran majoria d’aquestes construcci-ons predomina la tècnica de la falsa cúpula perfer la coberta. Aquesta és una tècnica que fouusada en el Neoĺıtic per cobrir els sepulcres detipus tholos, com és el cas de la necròpoli de LosMillares, i també es va usar amb èxit en gransmonuments de la cultura micènica. Ja en tempshistòrics, aquesta tècnica constructiva semblacaure en l’oblit, amb algunes excepcions —compot ser la construcció de certes cúpules de tor-res medievals, on convenia deixar una oberturaen el centre de la cúpula—, fins que a partir delsegle xviii torna a sorgir amb força, no en elshabitacles domèstics, sinó en els refugis tempo-rals de pastors i pagesos.

12

La tècnica de la falsa cúpula és aparentmentsimple. Es van fent filades circulars de lloses, demanera que cadascuna vola una mica respectea la inferior. D’aquesta forma l’espai es va tan-cant en successives filades, cada vegada de radimés petit, fins que es tanca totalment el recinte.La clau de l’estabilitat d’aquesta estructura sónels contrapesos que impedeixen que la càrregasobre la volada d’una filada arribi a bolcar-la.Els barracaires sabien molt bé quin era la vo-lada que podien fer en cada filada perquè totplegat no s’esfondrés. Era un ofici passat pertradició de pares a fills. En les barraques parci-alment esfondrades es pot apreciar bastant béaquesta tècnica constructiva. En les següentsĺınies presentem una anàlisi teòrica sobre l’es-tabilitat d’aquestes construccions.

Anàlisi teòrica de la falsa cúpula

Suposem una regió plana D, limitada per lafunció f(x), l’eix OX i les rectes x = b i x = c.Suposem que la seva densitat és constant (iguala 1). Llavors el moment estàtic de D respectea un eix perpendicular al pla XY que passi perx = a, és:

M =

∫ c

bf(x)|x − a| dx

La palanca de 1r gènere és una màquina for-mada per una vara ŕıgida que recolza sobre unpunt anomenat fulcre. El fulcre parteix la va-ra en dues parts. A l’una s’hi aplica la càrrega(Q) que cal alçar i a l’altra l’esforç (E) que calfer per alçar-la. En la seva versió més simple,la llei de la palanca diu que la càrrega i l’esforçestan en equilibri quan Ql1 = El2, on l1 i l2són els respectius braços de la palanca. En elseu enunciat més general, la llei de la palancaestableix que:

Si M1 és el moment estàtic de la regió D1situada a una banda del fulcre, i M2 és elmoment estàtic de la regió D2 situada al’altra banda, l’equilibri s’aconsegueix quanM1 = M2.

Si D1 és l’esforç i D2 és la càrrega, podem alçarla càrrega sempre que M1 > M2.

En el nostre cas, el moment de l’esforçés:

ME =

∫ a

0mx(a − x) dx = m

∫ a

0(ax − x2) dx =

= m

[

1

2ax2 − 1

3x3]a

0

= m

(

1

2a3 − 1

3a3)

=

=1

6ma3 .

càrrega

volad́ısesforç

fulcre

y = mx

Q2

Q1E

y = n(x− a)

a + ha h αβ

La càrrega (Q) es pot dividir en dues parts.La càrrega Q1 en la vertical de la volada i la

13

càrrega Q2 desplomada. El moment de Q1 és:

MQ1 =

∫ a+h

amx(x − a) dx =

= m

∫ a+h

a(x2 − ax) dx =

= m

[

1

3x3 − 1

2ax2]a+h

a

=

= m

(

1

3a3 +

1

3h3 + a2h + ah2−

−12a3 − 1

2ah2 − a2h − 1

3a3 +

1

2a3)

=

= m

(

1

3h3 +

1

2ah2)

El moment de Q2, suposant que tota lacàrrega actua sobre el punt a + h, és:

Àrea(Q2) =1

2B · H = 1

2m(a + h) · H .

ah

n(x-a)

mx

Q2

H

B

Ara, les dues rectes mx i n(x − a) es tallenal punt

x =an

n − m

i, per tant, l’altura H és:

H =an

n − m − a − h =am

n − m − h .

El moment de Q2 és:

MQ2 = h · Àrea(Q2) =

=1

2mh(a + h)

(

am

n − m − h)

.

Per tant el moment de la càrrega és:

MQ = MQ1 + MQ2 =

= m

[

1

3h3 +

1

2ah2 +

ma2h

2(n − m)−

−12ah2 +

mah2

2(n − m) −1

2h3]

=

= m

(

ma2h + mah2

2(n − m) −1

6h3)

.

Per tenir equilibri trobem que:

Me ≥ MQ

1

6ma3 ≥ m

(

ma2h + mah2

2(n − m) −1

6h3)

a3 ≥ 3ma2h + 3mah2

n − m − h3

3mha + 3m(

ha

)2

n − m −(

h

a

)3

≤ 1 . (1)

Ara, ja que h ≪ a, resulta ha ≪ 1 i(

ha

)

≈ 0 i(

ha

)3≈ 0. Notem també que si l = a+h, llavors

h < 12 . En definitiva, l’expressió (1) ens queda:

3mhan − m ≤ 1 i äıllant h tenim

h ≤ 13a( n

m− a)

.

Si a l = a + h li diem longitud de la llosa, aw gruix de la paret, a µ = mn la lleugeresa de lacúpula i a λ = 1µ la pesantor, llavors obtenim:

3h ≤ (l − h)(λ − 1) ;(λ − 1 + 3)h ≤ l(λ − 1) ;

h ≤ lλ − 1λ + 2

= l1 − µ1 + 2µ

.

Notem que com que h < 12 obtenim lλ−1λ+2 <

l l2 i per tant λ < 4. També notem que 0 ≤ µ ≤ 1i que de fet 14 ≤ µ ≤ 1. Com més proper a 1 ésel valor de µ més lleugera és la construcció (lesparets són més primes) i com més propera és µa 14 més gruixudes són les parets i més pesadaés la construcció.

Exemple: Si 9 = 2; n = 2m i h ≤ 14 l

14

m = 1/2

n = 1

3/4 1/4

màxim volad́ıs

És a dir, la volada màxima pot ser 14 de lalongitud de la llosa.

Observacions:

1. A mesura que pugem la volta, ja que 9 ésfix i l va disminuint, la volada màxima quepodem fer és cada vegada més petita. Segu-rament aquesta és una de les causes per lesquals es tanquen les falses cúpules amb unallinda.

m

n

w

H

x

l

H − xl

=H

w

l =w

H(H − x) = w(1 − x

H)

h ≤ lλ − 1λ + 2

= w(

1 − xH

) Rr − 1Rr + 2

=

= (R − r)(

1 − xH

) R − rR + 2r

=

=(R − r)2R + 2r

(

1 − xH

)

=w2

w + 3r

(

1 − xH

)

.

Aquesta expressió ens dóna la volada màximaper a la filada x, la situada a altura x des del’inici de la volta. Veiem que a mesura que xaugmenta, el valor màxim de h disminueix.Tot i amb això, com que si r i H són fixos, la

volada màxima depèn de l’amplada de la pa-ret w i la funció w

2

w+3r és creixent en w, podemaugmentar la volada màxima de cada filada,augmentant l’amplada de la paret w. Aixòexplicaria per què, en general, les parets deles barraques de vinya solen ser bastant mésamples del que caldria.

2. La falsa cúpula és una estructura molt mésestable del que pot semblar a simple vista.Si a més a més tenim en compte que, a lapràctica, la coberta es recreix amb un con-trapés addicional, fent que la paret exteriorpugi recta molt més amunt del punt on inter-nament arrenca la volta, aquest sobreesforçla fa encara més estable. Això explicaria, peruna banda, que en general las cúpules s’esfon-drin a partir del punt on s’iniciava la cobertad’argila exterior —que el temps s’ha endut, iamb ella el contrapés— i que, per altra ban-da, hagin arribat parcialment fins a nosaltresfalses cúpules del peŕıode neoĺıtic.

esforçaddicional

addicional

càrrega

3. Radi de la cúpula i lleugeresa.

15

La pesantor 9 = n/m es relaciona amb l’am-plada de la paret i el radi de la cúpula:

λ =n

m=

HrH

r+w

=r + w

r.

penden

t m

pend

ent n H

w r

R = w + r

Per tant, obtenim:

λ = 1 +w

r=

R

r.

Si, per exemple, fem 9 = 2, llavors

2 = 1 +w

r; 1 =

w

r; r = w .

Si, per exemple, volem r = 2w, llavors

λ = 1 +w

2w= 1 +

1

2=

3

2=

n

m; n =

3

2m .

En aquest cas, la volada màxima és

h = lλ − 1λ + 2

=1

7l .

Si fem m = 2 i n = 3, llavors H = 3r. Si femm = 1 i n = 1, 5, llavors H = 1, 5r.

n=

1,5

n=

3

m= 1

m=

2

H = 1, 5r

H = 3r

w r

Si r ≫ w, llavors wr → 0 i λ → 1. De ma-nera que la volada h → 0. Llavors per ob-tenir pendents petits i altures raonables ne-cessitem lloses molt primes. Donat que a lapràctica no n’hi ha o es presenten llavors pro-blemes de resistència a la fractura, per a radismolt grans calen altures molt grans, perquèla cúpula és llavors bastant dreta.

Algunes dades reals

A la pràctica, hi ha, com sempre, una sèrie decondicionants que afecten el model. El més im-portant és el tipus de pedres de què es disposaper construir la volta. Com assenyala el pro-fessor Juvanec, habitualment són pedres ≪nor-mals≫ de 15 a 30 cm de longitud i de 7 a 20 cm

d’alçada. En realitat, a les barraques que hemestudiat al Bages, les pedres de la volta són llo-ses de longituds i amplades força més grans. Enuna hi ha una filada en què una sèrie de lloses,simètricament repartides, travessen la paret debanda a banda i sobresurten per l’exterior, cosaque dóna a la construcció un aspecte estètic no-table. En una experiència de reconstrucció reald’una volta, que vam dur a terme amb un bar-racaire, la pràctica no s’allunyà massa del mo-del que aqúı hem exposat. Un altre problemaés el dels pendents interior i exterior de la vol-ta. Juvanec afirma que, en totes les barraquesque ell ha analitzat, la inclinació interior és de60◦ com a mitjana, de manera que la secció for-ma un triangle equilàter. Com es pot veure ala taula següent, els valors que nosaltres hemobtingut donen una mitjana de 49, 54◦ per a lainclinació interior.

Les dades de la taula s’han obtingut d’u-na sèrie de nou barraques de Súria (Bages). Elscàlculs de m i n es fan a partir de les fórmules:

n =hb − hi

ri m =

hb − hiR

on hb és l’alçada de la barraca des del seu centrefins al punt més alt de la volta, hi és l’alçadade la paret interior, des de terra fins al punt onarrenca la volta, r és el radi interior de la vol-ta, pres com la meitat del costat interior de labarraca i R és el radi exterior de la volta, prescom la meitat del costat exterior de la barraca.

16

Pendent interior (n) Pendent exterior (m) Inclinació interior (K) Inclinació exterior (2) Lleugeresa (:)

1,0137 0,6837 45◦ 34◦ 0,6745

1,21739 0,8 50, 6◦ 38, 6◦ 0,6611

1,0322 0,74418 46◦ 36, 65◦ 0,588

1,19 0,7 50◦ 35◦ 0,721

0,68/0,9∗ 0,456/0,5454 34, 2◦/42◦ 24, 5◦/28, 6◦ 0,67/0,61

1,478 0,8 55, 92◦ 38, 66◦ 0,541

2,5 1,538 68, 2◦ 56, 976◦ 0,615

0,871 0,538 41, 04◦ 28, 28◦ 0,586

1,92 1,17 62, 488◦ 49, 49◦ 0,609

L’anàlisi estad́ıstica d’aquestes dades ens dóna els quadres següents:

Lleugeresa

Mean 0,62756Standard Error 0,016818Median 0,6125Standard Deviation 0,053183Sample Variance 0,002828Kurtosis −0,31781Skewness 0,219174Range 0,18Minimum 0,541Maximum 0,721

Inclinació interior

Mean 49,5448Standard Error 3,258231Median 48Standard Deviation 10,30343Sample Variance 106,1607Kurtosis −0,16919Skewness 0,523755Range 34Minimum 34,2Maximum 68,2

Notem que la desviació t́ıpica de la lleuge-resa és molt petita, de forma que, en la nostramostra, el valor 0,6275 és gairebé un invariant.

Agräıments

Un agräıment especial al professor Borut Ju-vanec pels seus valuosos comentaris sobre unaversió prèvia d’aquest article. També al profes-sor Christian Lassure pels seus comentaris.

Referències

[1] Allen, E. Stone Shelters. 5a ed. The MITPress, 1981.

[2] Almagro, M.; Arribas, A. El poblado y lanecrópolis megaĺıticos de Los Millares. Madrid:CSIC, 1963.

[3] Arxiu de Salipota, Possible cadastre de Súriade 1731. Transcripció d’A. Fàbrega, 2002.

[4] Badia, J.; Bofarull, B., Borràs, R., Car-reras, E., Piñero, M. Llançà a l’època me-dieval. Figueres: Edicions El Brau, 1995.

[5] Bassegoda, J. ≪Construcciones rústicas:cómo hacer una barraca de viña≫. La Vanguar-dia, (18 d’abril de 1976).

[6] Bench, J. Les barraques de pedra en sec d’Al-tafulla. Estudis Altafullencs, núm. 3, Centred’Estudis d’Altafulla, 1979.

[7] Benvenuto, E.; Cornadi, M. La statica de-lle false volte. Proceedings of the 1987 first in-ternational seminar on dry stone architecture,Schena editore.

[8] Bergadà, E. Antigues cabanes i altres cons-truccions de pedra col.locada en sec. Museu Mu-nicipal de Molins de Rei, 1986.

[9] D. a. Pedra seca. Butllet́ı Monogràfic editat pelCercle d’Investigació i Documentació Medievalde Catalunya, desembre 2000.

[10] Fàbrega, A. ≪La pedra en sec a la vinya deSúria≫. Comunicació presentada a la Trobadad’Estudiosos de la Pedra Seca. Manresa: 2002.[Pendent de publicació].

[11] Ferrer, Ll. La vinya al Bages. Manresa: Cen-tre d’Estudis del Bages, 1998.

[12] Huélamo, J.-M. Inventari del patrimoni deSúria. Diputació de Barcelona, 2000.

[13] Juvanec, B. Stone Shelters [en ĺınia]¡http://www2.arnes.si/aa/shelters/¿. [Consulta8 d’abril de 2002].

*És una barraca de planta rectangular. El primer valor correspon al costat més llarg

17

[14] Lassure, C. Essai d’analyse architecturale desédifices en pierre sèche a L’Architecture Ruraleen Pierre Sèche. Paŕıs: CERAV, suppl. núm. 1,p. 1-27 i 36-60.

[15] Lassure, C. Dating dry stone hutsfrom dates inscribed in stone [en ĺınia]10th Alps Adria Conference, 2000.¡http://www.pierreseche.com¿. [Consulta 8d’abril de 2002].

[16] Obereiner, J.-L. Eléments pour servir àl’étude statique des voûtes de pierres sèches àencorbellements a L’Architecture Rurale en Pi-erre Sèche. Paŕıs: CERAPS, suppl. núm. 1, p.28-36.

[17] Plans, J. Construccions de pedra seca a la co-marca del Bages; barraques de vinya al termede Sant Fruitós de Bages. Manresa: Centre Ex-cursionista de la Comarca del Bages, 1994.

[18] Plans, J. Barraques de vinya [en ĺınia]¡http://personales.com/espana/barcelona/barraquesvinya/index.html¿ [Consulta 8 d’abrilde 2002].

[19] Siret, L. ≪España prehistórica≫. A: Del Ne-oĺıtico al Bronce. Almeria: Arráez Editores,1999.

[20] Soler, J. M.; Perarnau, J. ≪Les barraquesde vinya al terme municipal d’Artés (Pla deBages)≫. Dovella, núm. 17 (1985), p. 37-43.

[21] Soler, J. M. Les barraques de vinya. Centred’Estudis del Bages, 1994.

[22] Soler, J. M. ≪La tècnica de la “pedra seca”≫.Dovella, núm. 29 (1988), p. 47-52.

[23] Soler, J. M. ≪La construcció en “pedra se-ca”≫. Dovella, núm. 70 (2000), p. 9-11.

[24] Tiret, A. ≪Stabilité des coupoles en pierressèches édifiées sans cintre≫. Archéam núm. 71999-2000, p. 34-48.

[25] Vila, J. M. ≪Arqueologia a Súria. Darreresintervencions≫. Dovella núm. 67 (2000), p. 19-25.

[26] Violant i Simorra, R. Las “barraques” deviña, de paret en seco, del Pla de Bages. ObraOberta, 4. Altafulla, 1981, p. 269-282.

Albert FàbregaIES Mig-Món de Súria i UPC

Escaire i cartabó

Tant a les classes de matemàtiques com a les detecnologia o visual i plàstica, s’utilitza l’escairei el cartabó com a instruments de dibuix. Peròquin és quin? Sorprèn la varietat de definicionsque han rebut ambdós instruments.

En català, al diccionari Fabra (DFa) es de-fineix escaire com a ≪triangle rectangle≫ i car-tabó com a ≪triangle rectangle isòsceles≫. Actu-alment, al diccionari de l’Institut d’Estudis Ca-talans (DIEC, 1995) es defineix escaire i cartabóde la mateixa manera: ≪Instrument de dibuixen forma de triangle rectangle isòsceles≫. Ales-hores, com hem d’anomenar el que té angles de30◦, 60◦ i 90◦? En la segona edició del DIECcaldrà precisar-ho. Si consultem altres diccio-

naris veurem que segons l’any hi ha matisosimportants que, especialment en castellà, handut a alguns a capgirar les definicions originals.A l’IEC es plantegen canviar les definicions detal manera que l’escaire sigui isòsceles i el car-tabó tingui angles de 30◦, 60◦ i 90◦. És a dir, al’inrevés que Fabra. La polèmica està servida.S’han de canviar les definicions del DFa? Hi hadiferents possibilitats: ≪Instrument [de dibuix/ de fuster /...] en forma de [L / triangle / tri-angle rectangle / triangle rectangle isòsceles /triangle rectangle escalè /...] que serveix per atraçar ĺınies perpendiculars, paral.leles, anglesde [30◦ i 60◦ / 45◦]...≫ Analitzem-ho:

18

En català

Obra any escaire cartabó

Dicc. català-valencià-balear 1926-1962 L rectangle, isòscelesa Tortosa

Dicc. Fabra (DFa) 1932-1985 rectangle isòsceles, 45◦

Dicc. català, M. Arimany 1965 rectangle, L isòsceles

Fem matemàtica IV, Teide 1978 rectangle de30◦(dibuix 30◦)

isòsceles (dibuix45◦)

Mat. -5, SM ediciones 1978 (dibuix de 45◦)

Enciclopèdia Catalana, (EC) ...1982... rectangle, L isòsceles, 45◦

Dicc. bàsic, Barcanova 1985-1989 L, (dibuix de 30◦) isòsceles

Gran Larousse Català 1987-1990 rectangle, 30◦ 45◦

Dicc. Miracle 1987 L rectangle

Dicc. Aguiló 1988 =escuadra

Dicc. júnior, ed. Onda 1994 rectangle (dibui-xen els 2)

isòsceles (dibuix de30◦)

Dicc. de l’IEC (DIEC) 1995 isòsceles, L isòsceles

Dicc. etim., J. Bruguera 1996 partir en 4

Dicc. Albert́ı 1996-2000 rectangle isòsceles, 45◦

Dicc. Essencial, ed. 62 2000 fa angle recte isòsceles

Dicc. de mat. i estad., EC 2002 rectangle de 30◦ isòsceles

UJI web rectangle isòsceles, 45◦

Termcat, enginyeria mecànica web isòsceles

Termcat, construcció web 30◦ isòsceles, 45◦

Termcat, geografia/cartografia web isòsceles, 45◦ rectangle, 30◦

Arguments a favor de canviar les definicionsdel DFa:

1. La RAE (Real Academia Española) des del1992 ha prioritzat l’ús dels parlants. Con-cretament des del Servicio de consultas delDRAE (Diccionario de la RAE) del Institutode Lexicograf́ıa de la RAE m’han contestat:≪Hubo una vacilación durante algún tiem-po en el DRAE sobre la caracterización delos términos escuadra y cartabón. Finalmen-te se ha optado por el uso más extendido yaceptado, que asigna tradicionalmente escu-adra al triángulo rectángulo isósceles (condos angulos de 45◦) y cartabón al triángulorectángulo escaleno (con un ángulo de 60◦ yotro de 30◦). El conjunto de una escuadray un cartabón, tal que la hipotenusa de laescuadra sea igual al cateto más largo delcartabón, es un útil muy usado en dibujotécnico≫.

2. Si en castellà té un significat fixat des del1992, els catalanoparlants potser no enten-drien que la traducció d’escaire fos escuadraquan parlem d’angles i cartabón quan par-

lem d’instruments de dibuix. De la mateixamanera, potser tampoc trobarien lògic quela traducció de cartabó fos escuadra. De fet,tots els diccionaris català-castellà tradueixenescaire per escuadra i cartabó per cartabón,com sembla natural. Si no es canvien les de-finicions caldrà canviar les equivalències alsdiccionaris català-castellà, fins i tot en el del’Enciclopèdia Catalana (EC).

3. Segons alguns membres de la Societat Ca-talana de Matemàtiques (SCM), en catalàaquest n’és l’ús més estès.

Arguments a favor de mantenir-les tal comes van donar al DFa.

1. Josep Torras, assessor lingǘıstic de l’EC, emrespongué des d’un punt de vista puramentlingǘıstic: ≪Fins ara l’Enciclopèdia no s’haplantejat el canvi de definicions de cartabói escaire, i jo, com a responsable, no m’a-treviria a fer un canvi tan important. Desd’un punt de vista històric, l’únic que podemdir és que tant el cartabó com l’escaire sónoriginàriament dos instruments, força dife-rents per cert. El cartabó és una eina t́ıpica

19

dels fusters i dels picapedrers, que té for-ma de triangle rectangle isòsceles, empradaper a marcar angles rectes i biaixos de 45o.També s’anomena cartabó la rajola quadra-da que té dos colors en diagonal (colors quetenen, doncs, figura d’un triangle rectangleisòsceles); són les rajoles t́ıpiques de la Bis-bal o les que hi ha al claustre i en altres de-pendències de l’Institut d’Estudis Catalans(antiga Casa de Convalescència). L’escaire,més propi de paletes (també de picapedrers),és format per dos regles fixos formant anglerecte, en forma de L o de T, que serveix per acomprovar si una ĺınia, la cara o costat d’u-na paret o d’una pedra, forma angle recte. Ales ferreteries, l’escaire és també una peça demetall en forma de colze en angle recte, queserveix de reforç de dues peces angulars ode suport d’un prestatge, etc. Aquestes duesdefinicions tradicionals són les recollides pelDFa i el DCVB (Diccionari català-valencià-balear). La GEC afegeix en la definició d’es-caire que és també “un instrument [...] enforma de triangle rectangle”, sense especifi-car si és isòsceles o escalè, amb la qual cosahi hauria sinońımia entre un escaire de tri-angle rectangle isòsceles i un cartabó. Mai,però, no s’ha dit que el cartabó tingués for-ma de triangle rectangle escalè. A les escoles—pel que sé— s’ensenya també que el car-tabó és l’isòsceles i es precisa que l’escaire ésel triangle rectangle amb angles de 30◦, 60◦ i90◦. Aquesta darrera precisió és l’única querecull el Diccionari de matemàtiques i es-tad́ıstica (Enciclopèdia Catalana, 2002). Desdel punt de vista etimològic només podemdir que cartabó prové de l’occità antic escar-tabont, derivat de escartar ‘dividir en qua-tre, partir en quarters’ (d’aqúı el cartabó defuster o la rajola de cartabó i, doncs, l’es-tri de dibuix en forma de triangle isòscelesrectangle). Escaire prové de escairar (ll. ex-quadr-are), i aquest, de caire (ll. quadrum ‘elquadrat, la pedra escairada’); d’aqúı l’einaen forma d’angle recte per a marcar i com-provar els caires de les pedres i dels anglesde les parets. Això ens explica els noms delsestris tradicionals. Però no ens explica l’am-pliació semàntica de escaire en el sentit de‘en forma de triangle rectangle’. Un escai-re amb hipotenusa no permet treballar perla part interior. Crec que l’explicació ens ha

de venir del fet que en francès i en anglèsnomés tenen un sol mot per als dos instru-ments de dibuix: équerre / square (és a dir,escaire). Per a mi, doncs, no em mouria dela tradició i deixaria el cartabó per a l’estrien forma de triangle isòsceles rectangle (enla ĺınia de l’estri del fuster i de la rajola dela Bisbal) i l’escaire per als estris en formad’angle (L o T) i també, per extensió, per alque hi ha afegit la hipotenusa i té forma detriangle rectangle, especialment l’escalè. Enaquest sentit només serien sinònims el car-tabó i l’escaire de biaix de cartabó, és a dir, elque té forma de triangle rectangle isòsceles,però aquesta sinońımia parcial no ens hau-ria de portar fins a intercanviar el significatbàsic d’aquests dos mots, com ha fet el cas-tellà.≫

2. Els autors del Diccionari de matemàtiquesi estad́ıstica (2002) són Joan Jacas i ClaudiAlsina, i s’han reafirmat en la definició quevan donar al diccionari. Joan Jacas em mos-trava com els mestres i professors de dibuix ide matemàtiques sempre s’han referit al tri-angle rectangle isòsceles com a cartabó i altriangle de 30◦, 60◦ i 90◦ com a escaire.

3. En francès i anglès no hi ha una paraulaequivalent a cartabó. Es refereixen als ins-truments de dibuix com a escaire de 30◦ oescaire de 45◦. Aquest ús també es pot feractualment en català si la definició d’escaireés ≪triangle rectangle≫ i en canvi no es po-dria fer si la definició d’escaire precisés queels angles interiors són de 30◦, 60◦ i 90◦. Ésa dir, esdevé més natural la traducció ambel francès i l’anglès si es mantenen les defi-nicions de Fabra. Es compliquen, però, lestraduccions amb el castellà.

4. Els diccionaris consultats coincideixen a dirque escaire significa angle recte i/o objecteen forma de L o T (l’escaire aguanta l’es-tanteria, l’escaire de la porteria de futbol...).De fet, al DIEC del 1995 es diu de escaire:≪Angle recte. [...] Nom donat a qualsevol ob-jecte en forma d’escaire, esp. el que serveixper a reforçar la juntura de dues peces≫.Per tant, sembla natural que en completarla L obtinguem un triangle rectangle, no ne-cessàriament isòsceles. Aleshores no semblacap disbarat dir que un cartabó és un es-

20

caire (ja que el cartabó és un triangle rec-tangle), té un escaire (té un angle recte) oque és un escaire de 45◦ (un triangle rectan-gle amb angles de 45◦). A més, si conservemles definicions del DFa podŕıem referir-nos aun escaire i un cartabó com ≪un joc d’escai-res≫ o, senzillament, escaires. El que no sem-bla acceptable, per altres usos i contextos nomatemàtics, és que el cartabó no tingui dosangles de 45◦.

Si us hi heu fixat tant els uns com els al-tres fan referència a l’ús social per convèncerde la modificació o no de la definició donadaal DFa però no citen cap enquesta ni estudi.Estudiem-ho ara breument (amb més temps ila vostra col.laboració l’aniré ampliant).

En la taula adjunta he escrit només les pa-raules clau (subratllades) per indicar l’opció tri-ada per cada diccionari a partir de la defini-

ció marc que he donat al principi de l’article.Per tant, si escric rectangle significa que aquelldiccionari defineix el mot com a instrument dedibuix en forma de ≪triangle rectangle≫ senseconcretar com són els altres dos angles. O perexemple, ≪(dibuix 30◦ o 45◦)≫ significa que vaacompanyat d’un dibuix amb un triangle rec-tangle que sembla tenir 30◦ o 45◦ però sensedefinicions.

A les taules es veu que en català no hi hagaire vacil.lacions (sorprèn el DIEC del 1995)mentre que en castellà śı. Molts diccionaris ca-talans donen com a entrada cartabò (tal com varecollir Fabra) en lloc de cartabó (terme norma-tiu actual).

Atès que les definicions del DIEC actual s’-han de corregir (els dos són isòsceles), com hau-rien de canviar les definicions? Podeu enviarles respostes i aportacions per a l’estudi a dpi-nol1@pie.xtec.es o a la SCM.

En castellà

Obra any escuadra cartabón

DRAE 1899-1947 rectángulo isósceles

DRAE 1950 rectángulo rectángulo

Dicc. etimológico, ed. SAETA 1954 ángulos rectos triángulo

DRAE 1956-1970 rectángulo isósceles

Dicc. ideológico, ed. Gustavo Gili 1965 rectángulo, L isóceles

Dicc. cŕıtico etim., J. Corominas,ed. Gredos

1973-1987 del occ. partir en 4i no de l’italià

VOX 1980 rectángulo o L isósceles

Dicc. Carroggio 1982 rectángulo o L rectángulo

DRAE 1983-1989 rectángulo rectángulo

1984 isósceles rectángulo

Enc. Salvat Universal 1986 rectángulo 30◦ rectángulo

Dicc. actual, Grijalbo 1988 rectángulo isósceles

Dicc. esencial, Santillana 1991-1996 rectángulo, L no isósceles

Dicc. enc. Santillana 1992 rectángulo, L no isósceles

DRAE 1992-2001 isósceles escaleno

Enc. Salvat 1997 rectángulo o L isósceles

Dicc. Larousse 2000 rectángulo, L isósceles

Dicc. abreviado actual, Aguilar 2000 rectángulo o L rectángulo

Enciclop. Universal Il. Espasa rectángulo rectángulo, 45◦ (di-buixos dels 2)

Dicc. enc. Universal, Espasa 2000 rectángulo o L rectángulo

Dicc. de uso, Maŕıa Moliner 1983 30◦ triángulo oequiláter

Vull agrair a tothom que m’ha ajudat en l’elaboració d’aquest article.

David PinyolIES Estany de la Ricarda (el Prat de Llobregat)

21

Premis i concursos

Premi Ferran Sunyer i Balaguer

La Fundació Privada Ferran Sunyer i Balaguer—vinculada a l’Institut d’Estudis Catalans—conced́ı per onzena vegada el Premi Internaci-onal Ferran Sunyer i Balaguer.

Els professors Fuensanta Andreu-Vaillo i José M. Mazón, de la Universitatde València i Vicent Casellas, de la Uni-versitat Pompeu Fabra, van ser els guanyadorsdel Premi de l’any 2003 per la seva obra Para-bolic Quasilinear Equations Minimizing LinearGrowth Functionals.

L’acte de lliurament del Premi va tenir llocel 24 d’abril, a la seu de l’Institut d’Estudis Ca-talans.

Convocatòria

La Fundació Privada Ferran Sunyer i Balaguerconvoca el Premi Internacional Ferran Sunyer iBalaguer 2004.

El Premi serà atorgat a una monografia ma-temàtica de caràcter expositiu que presenti elsdarrers desenvolupaments d’una àrea activa enrecerca, en la qual el concursant hagi contribüıtde manera important.

La monografia ha d’ésser original, inèdita ino sotmesa prèviament a cap compromı́s d’edi-ció. Ha d’estar escrita en anglès i ha de tenircom a mı́nim 150 pàgines. En casos excepci-onals podran ésser considerats manuscrits enaltres idiomes.

El Premi, d’un import de 10.000 euros, ésdotat per la Fundació. La monografia guanya-dora serà publicada dins la sèrie Progress inMathematics de Birkhäuser Verlag, subjecta ales condicions normals pel que fa referència acopyright i drets d’autor.

El guanyador del Premi serà proposat perun Comitè Cient́ıfic format per H. Bass (Michi-gan), A. Córdoba (Madrid), P. Malliavin (Pa-ris), J. Oesterlé (Jussieu) i O. Serra (Barcelo-na).

Termini d’admissió dels originals:1 de desembre de 2003.Més informació:http://www.crm.es/FerranSunyerBalaguer/ffsb.htm

Beca Pere Menal de la UAB

La Beca Pere Menal, que atorga la Secció deMatemàtiques de la UAB, va ser concedida pelcurs 2002-2003 a Anna Bosch Camos, alum-ne de primer curs de la llicenciatura de ma-temàtiques.

La beca consisteix en la matŕıcula gratüıtade totes les assignatures de la Llicenciatura deMatemàtiques a la UAB, a més d’una quantitatanual de 180 euros en concepte d’adquisició dellibres.

Jean-Pierre Serre, primer Premi

Abel

El proppassat 3 de juny, el matemàtic francèsJean-Pierre Serre va rebre el primer Premi Abelde mans del rei Harald de Noruega, en unacerimònia celebrada a la Universitat d’Oslo.L’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres feiapúblic el dia 3 d’abril que el guanyador del pre-mi Abel 2003 era Jean-Pierre Serre, professoremèrit del Collège de France de Paŕıs, ≪pel seupaper central en la configuració de la forma mo-derna de nombroses parts de les matemàtiques,incloent-hi la topologia, la geometria algebraicai la teoria de nombres≫. En el seu comunicat,l’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres des-tacava que el professor Jean-Pierre Serre és undels més grans matemàtics del nostre temps idurant més de mig segle ha fet contribucionsprofundes al progrés de les matemàtiques, i hocontinua fent. A més, l’obra de Serre és d’u-na amplitud, una profunditat i una influènciaextraordinàries.

El Premi Abel de matemàtiques fou insti-tüıt l’any passat pel Govern noruec per com-memorar el bicentenari del naixement del ma-temàtic noruec Neils Henrik Abel. Aquest Pre-mi ha estat dissenyat com un premi Nobel enmatemàtiques, quant a dotació econòmica, pe-riodicitat i perfil. De fet, el Premi Abel haviaestat primerament proposat per Oscar II, rei deSuècia i de Noruega, l’any 1902, però la idea fouabandonada en trencar-se la unió d’aquests dospäısos. El govern noruec va decidir, l’any 2002,crear la Fundació Neils Henrik Abel Memori-al, amb una dotació de 200 milions de coronesnoruegues (aprox. 25.600.000 euros) i destinada

22

fonamentalment a finançar un premi anual in-ternacional de matemàtiques, dotat amb 6 mi-lions de corones noruegues (aprox. 760.000 eu-ros). El Premi Abel està destinat a reconèixercontribucions d’extraordinària profunditat i in-fluència en matemàtiques pures i aplicades i elpot guanyar una sola persona per l’obra d’unavida, o bé es pot repartir entre unes quantespersones per contribucions fonamentals moltrelacionades. L’Acadèmia Noruega de Ciènciesi Lletres nomena un comitè internacional, perdos anys, el Comitè Abel, format per cinc in-vestigadors en matemàtiques, que és el respon-sable de la nominació i la recomanació de can-didats al Premi Abel. La creació d’un premiinternacional de matemàtiques, expressió de laimportància d’aquesta ciència, amb la intenciód’estimular estudiants i investigadors, ha rebutl’impuls de la Societat Matemàtica Europea ide la Unió Matemàtica Internacional.

El Comitè Abel d’enguany estava formatper Erling Stormer (president), de la Universi-tat d’Oslo (Noruega); John M. Ball, de la Uni-versitat d’Oxford (Anglaterra); Friedrich E. P.Hirzebruch, de l’Institut Max Planck de Ma-temàtiques (Alemanya); David Munford, de la

Universitat de Brown (EUA), i Jacob Palis, del’Institut Nacional de Matemàtica Pura i Apli-cada (Brasil). Durant la setmana de l’1 al 4de juny, s’ha celebrat a Oslo la concessió delprimer Premi Abel. S’han programat diversosactes en honor del guardonat Jean-Pierre Ser-re, i també en memòria de Neils Henrik Abel.Aquests actes han inclòs la conferència Abel im-partida pel professor Serre amb el t́ıtol ≪Pri-me numbers, equations and modular forms≫, iel Simposi Abel, a la Universitat d’Oslo, entred’altres festes i activitats.

Jean-Pierre Serre va néixer el 15 de setem-bre de 1926 a Bages, un petit poble del Rosselló.Estudià al Lycée de Nimes i de molt jove s’in-teressà i destacà en matemàtiques. Per exem-ple, l’any 1944 va guanyar la competició nacio-nal de matemàtiques per a estudiants ConcoursGeneral. L’any següent entrà a l’École Norma-le Supérieur de Paŕıs. Es doctorà a la Sorbo-na l’any 1951. En el Congrés Internacional deMatemàtiques celebrat a Amsterdam l’any 1954va rebre la Medalla Fields, per les seves contri-bucions en topologia i geometria algebraiques.Com és ben conegut la Medalla Fields era, finsara, el guardó més preuat en matemàtiques. So-vint s’ha dit que és el premi Nobel de les ma-temàtiques, encara que té unes caracteŕıstiquesben diferents com és el fet que es concedeix ajoves de menys de quaranta anys, cada quatreanys i té una redüıda dotació econòmica. Serreera jove, certament, quan va rebre la MedallaFields, tenia vint-i-set anys i ha estat el receptormés jove de la història d’aquesta Medalla. Des-près d’ocupar diverses places al Centre Natio-nal de la Recherche Scientifique de Paŕıs i coma professor associat a la Universitat de Nancy,l’any 1956 guanyà la Càtedra d’Àlgebra i Geo-metria al Collège de France, que va ocupar finsque es va retirar l’any 1994 i de la qual ara ésprofessor honorari. La seva posició permanental Collège de France, institut de recerca estatalindependent de la universitat, li ha permès re-alitzar estades periòdiques en diversos centres,per exemple, a l’Institute for Advanced Studya Princeton i a la Universitat de Harvard. Elprofessor Serre ha rebut molts premis i distinci-ons, a més de la Medalla Fields (1954), el PremiGaston Julia (1970), el Premi Balzan (1985), laMedalla d’Or del CNRS (1987), el Premi Ste-ele de l’AMS (1995), el Premi Wolf (2000) i elrecent Premi Abel (2003), entre d’altres.

23

L’obra de Jean-Pierre Serre ha tingut unagran extensió i una gran profunditat, a més d’u-na enorme influència en el desenvolupament dela matemàtica del segle xx, en particular dela topologia algebraica, l’àlgebra, la geometriaalgebraica i la teoria de nombres. L’editorialSpringer ha publicat, fins ara, quatre volumsde la seva obra: I-II-III (1986); IV (2000). Els173 treballs reprodüıts són gran part dels seusarticles d’investigació, els resums dels seus cur-sos al Collège de France, algunes exposicions alSeminari Bourbaki i també algunes cartes, totsamb anotacions comentades, al final de cadavolum, sobre l’estat de les qüestions i proble-mes. A més, és l’autor de més d’una dotzena dellibres especialitzats; la majoria han estat ree-ditats i tradüıts a diversos idiomes, són obresde referència en els temes tractats i han estat isón utilitzats per matemàtics de tot el món. Dela seva producció matemàtica destaca la sevaprofunda i àmplia visió de les matemàtiques, laseva personal manera de formular qüestions id’enfocar els resultats, l’elegància dels seus ra-onaments, aix́ı com la seva clara, concisa i pre-cisa manera d’escriure.

Els treballs inicials de Serre, publicats en-tre el 1950 i 1953, van revolucionar la topolo-gia algebraica; Serre introdueix tècniques quevan fer possible el càlcul d’importants invari-ants, com els grups d’homotopia, obtenint re-sultats espectaculars en el cas de les esferes. Aaquesta etapa correspon la seva tesi doctoral,realitzada sota la direcció de H. Cartan, titu-lada ≪Homologie singulière des espaces fibrés.Applications≫ i publicada ı́ntegrament a An-nals of Mathematics, aix́ı com diversos treballsposteriors. Amb A. Borel obté resultats im-portants sobre l’equivalència homotòpica delsgrups de Lie i amb G. Hochschild introdueixtècniques que van jugar i encara juguen un pa-per fonamental per a l’estudi dels grups i deles àlgebres de Lie. En la ponència presentadaen el Congrés Internacional de Matemàtiquesde l’any 1954, en què va rebre la Medalla Fi-elds, feia veure que nombrosos problemes de ge-ometria algebraica clàssica poden formular-se iestudiar-se de manera més còmoda mitjançatels mètodes cohomològics i, en particular, lateoria de feixos; a més anunciava com podrienestendre aquests mètodes sobre cossos de carac-teŕıstiques qualssevol. L’any següent publica laseva memòria fonamental Faisceaux algébriques

cohérents (FAC), que va obrir nous mètodes engeometria algebraica abstracta. L’any 1956 pu-blica una altra memòria fonamental, Géométriealgébrique et Géométrie analytique (GAGA),en què demostra que, en un cert sentit, el puntde vista algebraic i