Societat Catalana de Matematiques

President: Carles Perello VallsVicepres.: Josep Lluıs Sole ClivillesSecretaria: Marianna Bosch CasaboTresorera: M. Teresa Martınez-SearaVocals: Ramon Eixarch

Antoni Goma NasarreJosep Grane Manlleu

Josep M. Mondelo GonzalezIgnasi Mundet Riera

Carles Romero ChesaOriol Serra Albo

Manuel Udina AbelloEnric Ventura Capell

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesJuny 2008. Numero 25

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

enric.ventura@upc.edu

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

Acte d’investidura del professorSir Michael Atiyah.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1

Internacional 7Sir Michael Atiyah, doctor honoris causa 7

In memoriam 14Jordi Dou Mas de Xexas 14

Noticiari 15El CRM avui i plans de futur 15La SBM-XEIX informa 18Sobre la FEEMCAT 20Museu de Matematiques de Catalunya 21Les conjectures matematiques 23GEMT2007 24Les universitats informen 26Activitats amb ajut de la SCM 29

Activitats de la SCM 32Trobada SCM–SCF 32XLIV Olimpıada Matematica 33

Agenda 34

Contribucions 35Historia de la revista SCM/Notıcies 35Entrevista a Robert L. Devaney 38

Premis 42Premi Abel 2008 42Premi FSB 2007 44Premi Josep Teixidor de Matematiques 2007 49Borses i Premi Ferran Sunyer i Balaguer 2008 51

Parlem de llibres 51

Raco biografic 60

Webs de matematiques 63

Problemes 64

Tesis 68

La Junta informa

Report de la Junta

Al moment de fer balanc de les activitats dutesa terme des de l’inici d’aquest curs, es fa palesque la SCM te una dinamica interna molt rica,marcada per totes aquelles activitats regularsque s’organitzen any rere any. A l’octubre, lainauguracio de curs va correr a carrec d’en Car-les Simo amb una conferencia sobre els Estudisen dinamica: dels aspectes locals als globals.Va seguir l’assemblea anual, on es va presen-tar l’informe dels actes del curs anterior (cf.SCM/Notıcies 24) i dels projectats per a aquestcurs, es va aprovar el pressupost un cop vistel tancament de comptes (vegeu l’article de lanostra tresorera, que segueix aquest report), esva aprovar tambe la nova quota d’inscripcio a lesproves Cangur i s’informa sobre el Museu de laMatematica. Uns dies abans ja s’havia realitzatl’activitat inicial de l’ESTALMAT i, al novem-bre, va seguir la fase catalana de les OlimpıadesMatematiques. Al desembre va sortir el segonnumero del Butlletı i tambe el Notıcies 24 moltendarrerit, per un problema amb les distribu-cions de publicacions de l’IEC, i malgrat elsconstants esforcos per part de l’Enric Ventu-ra perque les informacions ens arribin a temps.Amb aquest numero ja arribem al Notıcies 25 i,tal com veureu a l’editorial, s’ha fet un esforcper actualitzar el web i que hi pugueu trobartots els numeros anteriors digitalitzats.

Al gener, amb el nou any, comencen els Pro-blemes a l’Esprint i els segueixen les provesCangur de la primavera —enguany el 3 d’abril—,que tambe inclouen un concurs de relats ma-tematics i convoquen un nombre de participantssempre creixent i sempre impressionant: aquestcurs han estat al voltant dels 24.000 entre Ca-talunya, Valencia i les Illes Balears! La comissioque hi treballa realitza cada any una feina fabu-losa, de gestio molt complexa i obtenint sempreuns resultats encomiables que la Junta vol agrairdes d’aquı. Tambe a la primavera s’organitzenles conferencies per a estudiants universitaris,iniciativa de la Junta anterior i que enguanys’han dedicat a l’enginyeria financera a carrecd’en Sebastian del Bano. Per Sant Jordi es vaatorgar el Premi Evariste Galois al millor tre-

ball d’investigacio, bibliografic o d’assaig sobrematematiques, que aquest any ha guanyat enFrancesc Castella Cabello de la UPC. El curses cloura, com es costum, amb l’XI TrobadaAnual de la SCM, prevista per al juny de 2008.I, de manera tambe forca regular, durant el curshem anat rebent peticions per al Fons de Promo-cio d’Activitats i s’han atorgat de moment tresajuts: a les VI Jornadas de Matematica Discretai Algorıtmica (Lleida, 21 - 23 de juliol de 2008),al MEGA-2009 (Effective Methods in AlgebraicGeometry, Barcelona, 15 - 19 de juny de 2009)i al congres Dynamical Systems and Topology(Tossa de Mar, 15-19 d’abril).

A aquesta dinamica cal afegir-hi llavors aque-lles altres activitats de caracter mes excepcionalque venen a completar el batec anual de la So-cietat. El curs es va iniciar amb la II Jornadasobre l’Ensenyament de les Matematiques, quevam poder incloure en l’anterior Notıcies. Dinsel conjunt d’actes de celebracions del Centenaride l’IEC, es va celebrar el novembre passat unajornada fisicomatematica commemorant tambeUn segle de dialeg entre fısica teorica i ma-tematica, amb les intervencions d’en Joan Gir-bau (UAB), en Paul Townsend (Universitat deCambridge), en Philip Candelas (Universitatd’Oxford) i en Josep Antoni Grıfols (UAB); enaquest mateix numero trobareu un escrit deta-llant com va anar la jornada. Tambe a la tardor,del 14 de novembre a l’11 de desembre, vam po-der acollir a Barcelona, al Campus La Salle dela Universitat Ramon Llull, l’exposicio sobre lahistoria dels ICM creada per en Guillermo Cur-bera per a l’ICM 2006, El segle xx a traves delsmatematics, que va ser visitada per nombrosesescoles, professors i estudiants universitaris. I elcurs es cloura al juliol amb la fase final de l’o-limpıada matematica internacional, que aquestany se celebra a Madrid, i per a la qual la SCMcol.labora en la fase organitzativa de coordinaciodels correctors dirigida per l’Ignasi Mundet.

Queden nomes per esmentar alguns aspec-tes relatius a les relacions exteriors de la nostrasocietat. El Comite Espanol de Matematicas(CEMat), l’organ que representa l’Estat espa-

1

nyol a la IMU (International Mathematical Uni-on), ha renovat Presidencia i Junta Directiva.Actualment en Carles Perello i la Marta Sanz enformen part com a representants de la SCM, l’O-riol Serra es a la Comissio de Desenvolupamenti Cooperacio, en Jordi Deulofeu a la d’Educa-cio, l’Antoni Malet a la d’Historia i en JosepMasdemont a la Comissio d’Informacio i Comu-nicacio Electroniques. Al Consell de l’EuropeanMathematical Society segueixen com a delegatsen Carles Casacuberta i la Marta Sanz. I, final-ment, s’ha signat el conveni de reciprocitat amb

la Societat Australiana de Matematiques, talcom ho havıem anunciat a l’anterior informe.

No es sempre facil trobar la manera de de-dicar temps i energia a la Societat. En escriureaquest informe i fer balanc de les activitats iactes d’aquest ultim perıode, una s’adona de laimportant contribucio que representa aquestasuma de petits i grans esforcos per part de tantsassociats. La major tasca de la Junta es mante-nir aquesta dedicacio i intentar-la ampliar sobrela base de nous projectes i noves il.lusions. Hiseguirem treballant.

Marianna BoschSecretaria de la SCM

Informe comptable SCM 2006

Benvolguts socis,Primer de tot vull agrair l’oportunitat que

em dona la Junta actual de la SCM de tornar adirigir-me a vosaltres per tal d’explicar el tan-cament de comptes de l’any 2006. Com ja es vacomentar en l’assemblea de presa de possessiode la nova Junta, em vaig oferir a ajudar-losa tancar els comptes de l’exercici que estava a

punt d’acabar-se ates que bona part havia trans-corregut sota el mandat de la Junta anterior.Per tant, tambe forma part d’aquest oferimentque ara expliqui com va anar aquest any, tal comes va aprovar en l’assemblea del 19 d’octubre de2007.

Us recordem quin va ser el pressupost apro-vat per l’assemblea de 29 de setembre de 2005:

Pressupost comptable SCM 2006

Activitat Ingressos Sub. IEC Sub. extr. Sub. FPA Despeses Total

Cangur 45.000 15.000 60.000 0Cangur Internacional 18.000 12.000 30.000 0Olimpıada 4.000 4.000 0Cursos 1.000 1.000 0Publicacions 3.000 7.000 10.000 0Trobada 1.200 3.000 4.200 0Congres SM Txeca 9.000 9.000 0Congres Alguer 4.000 4.000 0Trobada Ensenyament 1.200 1.500 2.700 0ICM 2006 6.000 6.000 0Biblioteca digital 3.000 3.000 0Conferencies estudiants 2.000 0Funcionament SCM 14.500 −14.500Nomines 13.500 −13.500Quotes socis (quota 32 e ) 30.000 30.000Congres Valencia 0Fons Cooperacio 0Total 99.400 64.500 163.900 2.000

Fons PA 2.000 −12.000 0 −10.000

Total 101.400 52.500 163.900 −10.000

2

I a continuacio us presentem quin ha estat el balanc real de les diferents activitats:

Resum comptable SCM 2006

Activitat Ingressos Sub. IEC Sub. extr. Sub. FPA Despeses Total

Cangur 51.015,00 4.500,00 10.857,50 69.157,79 -2.785,29

Cangur Internacional 14.630,00 13.000,00 22.049,22 5.580,78

Olimpıada 2.661,90 700,00 3.340,61 21,29

Cursos 0,00

Publicacions 462,64 11.600,00 13.279,27 -1.216,63

Trobada 969,00 1.500,00 2.605,30 -136,30

Congres SM Txeca 5.671,06 3.000,00 16.932,51 25.603,57 0,00

Congres Alguer 3.000,00 1.236,00 4.236,17 0,00

Trobada Ensenyament 0,00

ICM 2006 21.068,02 28.600,70 -7.532,68

Biblioteca digital 183,00 -183,00

Conferencies estudiants 500,00 1.300,08 -800,08

Funcionament SCM 753,60 18.507,22 -17.753,62

Nomines 7.230,35 -7.230,35

Quotes socis 29.379,00 29.379,00

Congres Valencia 7.033,77 7.033,77

Fons Cooperacio 1.659,79 -1.659,79

Total 99.871,14 27.471,06 54.959,29 18.168,51 197.753,07 2.716,93

Fons PA 3.188,94 -3.677,62 -18.168,51 0,00 -18.657,19

Total 103.060,08 27.471,06 51.281,67 0,00 197.753,07 -15.940,26

Tal com vam fer l’any passat, hem separaten tres columnes les entrades per subvencions,diferenciant entre les que ens arriben de l’IEC,les que ens autosubvencionem des del Fons dePromocio d’Activitats i les que ens arriben d’al-tres fonts.

Tot i que el global de l’any mostra un resultatmolt acurat respecte al que s’havia pressupos-tat, si mirem partida per partida hi ha algunesdiferencies significatives que cal esmentar.

En primer lloc, la prova Cangur va generarmes ingressos dels previstos, pero tambe mesdespeses, essent el global un resultat negatiu en-cara que no tan gran com d’altres anys. D’altrabanda, la reunio Cangur internacional organit-zada a Barcelona sembla donar uns beneficisde gairebe 6.000 e, tot i que en realitat corres-ponen a despeses que la SCM ja havia assumiten anys anteriors. Aquestes despeses s’hauriend’haver mantingut latents fins a aquest moment,pero, com ja es va explicar en l’informe de l’any

passat, com que el servei de comptabilitat del’IEC ja les havia imputades com a despeses, jano va ser possible corregir-ho.

L’augment de les despeses en publicacionsprove del numero extraordinari en angles de laSCM/Notıcies que es va fer amb motiu de l’ICM2006.

La partida destinada al Segon Congres Txec-Catala de Matematiques ha tingut una desviacioconsiderable respecte al pressupost. A causa delgran nombre de participants, les despeses vanser superiors al que s’havia previst, mentre queles subvencions es van mantenir aproximada-ment en la lınia prevista. Per tant, ates que larealitzacio d’un congres encaixa perfectamentamb els objectius amb els quals va ser creat elFons de Promocio d’Activitats, la junta anteri-or va creure adient eixugar el deficit d’aquestcongres amb recursos de l’FPA.

El congres que va tenir lloc a l’Alguer vaveure retallades lleugerament les subvencions

3

previstes en 1.000 e i, ates que la SCM ja s’ha-via compromes amb una certa quantitat, tambees va aplicar el deficit a l’FPA.

Una altra activitat destacada de l’any 2006va ser l’ICM, que, tot i tenir una quantitat moltimportant de subvencions especıfiques obtingu-des per la SCM per a dur-lo a terme, tampocvan cobrir el cent per cent de les despeses. Uncop mes haurıem pogut apel.lar al seu caracterd’extraordinari per emprar l’FPA, pero, atesque varem rebre una quantitat considerable pro-cedent dels excedents del Congres de Valenciade 2005, varem optar per assumir aquest deficit.Respecte al Congres de Valencia, cal explicar queel 2005 varem aportar-hi uns diners amb el com-promıs que participarıem en el seu financament,assumint perdues i guanys proporcionalmentamb les altres societats matematiques espanyo-les participants. Afortunadament, el Congresva tenir excedent, i aixo ens ha ajudat a qua-drar els comptes de l’any 2006 amb unes xifresraonables.

Pel que fa a les quotes de socis, l’any 2006es va aplicar per segona vegada la quota basicade 32 euros i, seguint amb la tactica d’augmentsbianuals, per a l’exercici 2007 aquesta passavaa ser de 34 e i aixı es mantindria el 2008.

El resum final de l’any es que aquest va co-mencar amb una SCM amb un valor negatiude 3.868,28 e i va acabar amb un benefici de2.716,93 e i un saldo negatiu de 1.151,35 e. Pelque fa a l’FPA, aquest va comencar amb un valorde 68.919,33 e i ha acabat amb 50.262,14 e.

I ja que aquest es el darrer informe comp-table de la Junta presidida per en Carles Casa-cuberta, crec convenient fer un petit resum decom varem rebre la SCM i com l’hem deixada.

El valor comptable de la SCM a 1 de generde 2002 era de 2.544,53 e negatius. La Juntava entrar el juny d’aquell any quan la majorpart de les activitats ja s’havien dut a termei varem tancar l’any amb un saldo negatiu de16.648,37 e despres de molts esforcos per arri-bar a coneixer la situacio exacta patrimonial dela Societat. Va ser, doncs, objectiu de la Juntaaconseguir deixar-la amb un saldo positiu al fi-

nal del mandat, sense renunciar, per aixo, a unincrement significatiu de les nostres activitats ipromocio. Tot i que no hem aconseguit eixugardel tot el saldo negatiu, i han quedat 1.151,35 ependents, entenem que hem assolit una granpart del nostre objectiu i que les activitats orga-nitzades durant aquests quatre anys han estatmoltes i molt importants.

Val a dir que tot aixo no hauria estat possiblesense els recursos aportats pel Fons de Promociod’Activitats provinents dels excedents del 3ecm.En cap moment dels quatre anys varem caureen la temptacio de tractar de netejar els deutesde la SCM amb aquests fons, i entenem que totallo que s’hi ha pagat han estat activitats queencaixaven perfectament amb els objectius pelsquals es va crear el Fons. Fins i tot hem evitatla temptacio de tancar la societat a zero a finalsde 2006.

Varem rebre l’FPA amb un valor d’uns105.000 e i el deixem aproximadament a lameitat. Per tant, deixem recursos per tal quela nova Junta pugui mantenir el mateix ritmed’activitats que fins ara. Aquests dos perıodes(un total aproximat de vuit anys) fou el tempsque la Junta va recomanar el 2001 que dures elFons de Promocio d’Activitats.

Tambe cal destacar que durant els darrersanys el volum de subvencions captades per laSocietat de procedencies diverses ha augmentatmolt substancialment. Segons el resum comp-table de 2006, el total d’ingressos de la SCMper conceptes diversos va ser d’uns 200.000 e,una xifra molt superior a la d’anys anteriors ique reflecteix un ritme ben alt d’activitats i depublicacions.

Pressupost de la SCM per a l’any 2008

En l’assemblea del 19 d’octubre de 2007 es vaaprovar tambe el pressupost per a l’any 2008 iaquı cedeixo la paraula a la nova tresorera pertal que expliqui els seus trets principals.

Be, com a nova tresorera que tot just hapassat aquest primer exercici, el pressupost quevarem presentar a l’assemblea de la Societat vaesser un pressupost continuista del de 2007.

4

Pressupost 2008 de la SCM

Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos activitats Despeses activitats Subtotals

Publicacions 6.600,00 7.000 15.000,00 -8.400,00

Quotes 31.080,00 31.080,00

Despeses de Secretaria 11.580,50 -11.580,50

Fons de promocio 5.000,00 -5.000,00

Olimpıada 3.000,00 1.000,00 4.000,00 0,00

11a Trobada 2.000,00 500,50 4.000,00 -1.499,50

5a Trobada Ensenyament 4.000,00 900,00 6.000,00 -1.100,00

Cangur 2008 9.000,00 18.000,00 58.999,50 85.999,50 0,00

Conferencies estudiants 1.000,00 1.500,00 -500,00

ESTALMAT 6.000,00 6.000,00 12.000,00 0,00

Altres activitats 2.000,00 5.000,00 -3.000,00

Total 33.600,00 25.000,00 91.480,00 150.080,00 0,00

A data d’avui ja sabem que caldran algunsretocs al pressupost presentat. L’any 2007, elsajuts de l’IEC per a activitats ordinaries havienestat de 9.000 e i, a banda d’aixo, el Cangurtenia una subvencio de 9.000 e i l’Olimpıada de4.000. L’IEC tambe havia concedit un ajut ex-traordinari de 6.000 e al projecte ESTALMATde manera transitoria mentre aquest no resoliaels problemes de financament provocats per laretallada de subvencions de la Fundacio Vodafo-ne.

Per aixo inicialment preveiem en el pressu-post de 2008 els mateixos diners per part del’IEC. Malauradament, aixo no ha estat aixı;el pressupost d’activitats ordinaries ha estatde 10.000 e, lleugerament superior al de l’any2007, i les activitats internacionals han rebut15.000 e entre totes. Cal afegir aquı que aquestsdarrers diners tambe hauran de cobrir parcial-

ment les despeses de la trobada de correctors del’Olimpıada Internacional, que enguany es faraa Barcelona amb el suport parcial de la SCM.

Pel que respecta al Cangur, en l’Assembleadel 19 d’octubre de 2007 es va aprovar apujar-neles quotes fins a 4 e per participant a partir dela propera edicio. Aixı que, en cas que aquestany els comptes anessin justos, creiem que ambaquesta puja el pressupost ja quedara ajustaten la propera edicio.

Per acabar, cal dir que l’IEC ha donat a laSocietat una subvencio extra de 1.000 e, perpoder editar algun article en color al Butlletı.

Res mes, trencant amb la tradicio establer-ta fins ara i ates que la comptabilitat de l’IECfunciona amb mes puntualitat, esperem poderdonar-vos els resultats del tancament del pressu-post de l’any 2007 en el proper numero d’aquestarevista.

Joan Carles Artes i Tere M.-SearaExtresorer i tresorera de la SCM

Editorial

Teniu a les mans el 25e numero de la revistaSCM/Notıcies. Si be som matematics i sabemque la rellevancia d’un nombre depen de la pro-pietat que tinguem en consideracio, es clar quepopularment els vint-i-cinquens aniversaris secelebren sempre d’una manera especial. I esque la SCM/Notıcies no fa pas 25 anys (per a

aixo falta encara bastant), pero sı que fa el 25enumero! Aixı, doncs, l’enhorabona!

SCM/Notıcies va editar el seu primer nu-mero (per cert, el 0 i no l’1) el febrer de l’any1995. El 2 de febrer d’aquell mateix any s’ha-via renovat la Junta de la SCM, que va quedarencapcalada per Sebastia Xambo, i els nous

5

membres van aportar la il.lusio i l’empenta ne-cessaries per fer neixer aquesta publicacio, quearriba avui al numero 25. En aquell primernumero hi podem llegir:

La potenciacio de la informacio als socises una de les fites que la nova Junta de la SCMs’ha proposat d’assolir. [...] Pel que fa a les pu-blicacions, s’ha decidit iniciar una publicacio, enprincipi bimensual, amb el tıtol SCM/Notıcies.La iniciativa es pot considerar com una amplia-cio dels continguts i dels objectius del Noticiaride la SCM, del qual en Carles Casacuberta enva escriure quatre numeros, i a qui hem d’ex-pressar el nostre agraıment per la seva bonadisposicio a seguir col.laborant en les tasquesde recopilar informacio per a la nova publicacio.[...] El present numero 0 de SCM/Notıcies, ambcontinguts i format de tempteig, hauria de servirper a encarrilar aquesta publicacio, que volemque considerin propia tots els membres de laSCM.

Certament, despres de l’evolucio seguida alllarg d’aquests 25 numeros, podem afirmar queaquella iniciativa va ser forca encertada. Avui,la SCM/Notıcies fa un paper cohesionador ipositiu envers la comunitat matematica catala-na, es la revista propia dels socis de la SCM,es la nostra revista. Cert que no ha estatbimensual com es plantejava en un principi, jaque 25 numeros en 13 anys fan una periodicitatmitjana d’uns sis mesos, segurament l’adequadaper a una publicacio d’aquestes caracterıstiques.Pero aixo no vol dir que les intencions inicialsno s’hagin complert, sino tot el contrari, teninten compte la tendencia creixent del volum totalde la revista, que ha passat d’aquelles tımides15 o 20 pagines dels numeros inicials a les 60 o70 ja consolidades en aquests darrers numeros.

Pero no em proposo parlar-vos de la historia

de la SCM/Notıcies. En aquest numero troba-reu un escrit de l’Agustı Reventos, que sı queen parla. L’Agustı em va precedir en el carrecd’editor i es qui va fer donar el principal salt dequalitat a la revista, fins a assolir els estandardsactuals. De fet, us oferim la traduccio al cata-la (i actualitzacio) de l’article publicat en an-gles en el numero especial que vam fer en oca-sio de l’ICM 2006, l’agost d’aquell mateix any.L’Agustı ja menciona en el seu escrit tota unaserie de persones que han contribuıt a fer que laSCM/Notıcies sigui avui tal com es; m’uneixoals seus agraıments a totes elles, i a tants i tantssocis (molts cops anonims) que tambe hi heuposat el vostre important gra de sorra. Nomesvull fer esment especial de la Maria Julia, ques’ocupa de la tasca d’edicio en LATEX(sovint nogens facil ni agraıda); pero que, a mes, fa tambede ma dreta de l’editor, estant al cas de totsels detalls del proces d’edicio.

Finalment, com a petita celebracio d’aquest25e numerari, hem cregut convenient d’actu-alitzar la part del web de la SCM que parlade la SCM/Notıcies (ja tocava!). Si hi feu uncop d’ull (http://scm.iec.cat → publicacions →SCM/Notıcies), veureu que hi hem afegit unındex complet de tots els articles apareguts enaquests 25 numeros, aixı com les edicions digitalscompletes de tots ells. Des de la redaccio, ensproposem de mantenir viu aquest arxiu historicen lınia de la SCM/Notıcies, tot afegint-hi elsnous numeros que vagin apareixent. Tanmateix,i com a signe de vitalitat per continuar millorant,aprofitem tambe aquesta ocasio per a encetaruna nova seccio, el raco biografic, a carrecd’Eduard Recasens, que dedicara cada numeroa un personatge matematic rellevant. No caldir que qualsevol aportacio vostra, tambe per aaquesta seccio, sera molt ben rebuda.

Enric VenturaEditor de la SCM/Notıcies

Benvinguda als nous socis

Des d’aquestes lınies, la SCM dona la mes cordi-al benvinguda als socis que us heu donat d’altaa la Societat Catalana de Matematiques du-rant l’any 2007: Francesc Garcia Tercero, Xa-vier Martınez Palau, Enric Meinhardt-Llopis,Alberto Jose Montero Agudo, Eduard Ortega

Esparza, Gerard Planas Conangla, Josep LluısPol i Llompart, Abdo Roig Maranges, MonicaRomero Gomez, i el Departament d’Informaticai Matematica Aplicada de la Universitat de Gi-rona.

6

Fe d’errates

Al numero anterior hi hem detectat un parell d’errates. A la presentacio de la fotografia de laportada hi deia: [...] i Albert Violant, president de SBM-Xeix. Hauria de dir: [...] i Josep LluısPol, president de SBM-Xeix. Tambe al numero 24, a l’apartat de tesis, el tıtol de la tesi de JavierHerranz Sotoca ha de ser Some Digital Signature Schemes with Collective Signers (el que hi figuravacorrespon a la tesi de Dolors Puigjaner i Riba). Demanem disculpes als afectats.

Internacional

Sir Michael Atiyah, investit doctor honoris causa per la UPC

El dia 25 d’abril de 2008, el professor Sir Michael Francis Atiyah fou investit doctor honoris causaper la Universitat Politecnica de Catalunya, a proposta conjunta de la Facultat de Matematiquesi Estadıstica, els quatre departaments de Matematica Aplicada i el Departament d’Estadıstica iInvestigacio Operativa de la UPC. A continuacio reproduım la Laudatio pronunciada per SebastiaXambo i el discurs de resposta de Sir Michael Atiyah.

Laudatio de Sir Michael Atiyah

Rector Magnıfic, distingits membres delClaustre i del Consell Social, autoritats aca-demiques; professors, estudiants, personal d’ad-ministracio i serveis; Presidente, vicepresidentey secretario de la Conferencia de Decanos deMatematicas; honorable consol del Regne Unit aBarcelona; convidats, amigues i amics; professorSir Michael Francis Atiyah,Bon dia, buenos dıas, good morning,(sabah al-khair).

El protocol formal d’aquest acte demana ferun elogi dels merits del professor Sir MichaelFrancis Atiyah. Aquests merits, pero, son tanclars i extraordinaris, i han estat reconeguts perun seguit tan nombros d’instancies del mes altnivell arreu del mon, que no em sembla adientfer-ne referencia aquı, i encara menys quan elspoden trobar reflectits en el resum biografic dela targeta d’invitacio a aquest acte [v. l’annexal final] o, amb forca mes detalls, en els postersexposats a l’entrada d’aquest auditori [v. www-fme.upc.edu].

A canvi, fare unes consideracions sobre la se-va obra que han estat escollides amb la intenciode subratllar algunes de les virtuts d’una mentprodigiosament fecunda i clara. Al meu enten-dre, aquestes virtuts son la base de la qual hanbrollat les seves extraordinaries contribucionscientıfiques i, com a consequencia, els reconeixe-ments de que ha estat objecte.

A les persones que cursavem matematiquesa final dels anys seixanta, les primeres onadesd’Atiyah ens van arribar en forma de dos llibres.El primer porta per tıtol K-Theory i fou publicatel 1967 per l’editorial Benjamin. El segon llibrefou l’Atiyah-Macdonald, es a dir, Introducti-on to commutative algebra, que va ser publicatel 1969 per Addison-Wesley. Son llibres molt di-ferents, i en molts sentits, pero ambdos ens vanrevelar noves vies per crear coneixement i ensvan meravellar per la seva insuperable habilitatde fer-nos-el accessible.

Sir Michael Atiyah durant l’acte d’investidura.

El llibre K-Theory conte les notes de lesconferencies que Atiyah va impartir a Harvardla tardor de 1964. En aquell moment, fa deuanys que Atiyah ha acabat brillantment la sevaetapa de formacio a Cambridge i des d’alesho-res ha publicat un seguit d’articles que mostren

7

l’amplada i la profunditat de la seva mirada.Entre aquests articles hi ha els que va escriu-re en col.laboracio amb Friedrich Hirzebruchsobre l’anomenada teoria K. Dona fe de lasignificacio d’aquests treballs el fet que el 1962imparteix la conferencia The Grothendieck ringin geometry and topology al Congres Internacio-nal de Matematics (ICM) celebrat a Estocolm.La importancia d’aquesta teoria quedara encarames clara en els desenvolupaments posteriorsrelacionats amb la teoria de l’ındex.

L’altre llibre que he esmentat, Introductionto commutative algebra, fou escrit per Micha-el Atiyah i Ian Macdonald en ocasio d’un cursimpartit a Oxford a estudiants de tercer dela llicenciatura de matematiques. Per a moltsmatematics es un llibre modelic. Presenta a laperfeccio, en menys de 140 pagines, les idees es-sencials del tema, incloent-hi les connexions ambla geometria algebraica i la teoria de nombres.Els problemes al final de cada capıtol, molt benescollits, formen una part integral del dissenydel llibre. La seva solucio sistematica es essenci-al per a una comprensio cabal de les idees i novoldria deixar de dir que aquesta tasca s’ha con-siderat, des de la publicacio del llibre, com unamena de ritu iniciatic per a l’estudiantat de ma-tematiques. Ha estat, doncs, i continua essent,una referencia obligada per als estudiants dematematiques i per als professors d’algebra. Laversio castellana, a carrec de Griselda Pascual(1926–2001), fou publicada el 1973 per l’edito-rial Reverte i es la versio mes usada entre elsnostres estudiants.

Entre l’ICM de 1962 i l’ICM de 1966, Mi-chael Atiyah inicia recerques sobre el que Is-raıl M. Gel’fand anomena el problema del’ındex (fa referencia al nombre de solucionsindependents dels sistemes d’equacions en deri-vades parcials anomenats el.lıptics) i aviat trobauna estrategia per a resoldre’l. Per dur a ter-me aquesta estrategia troba adient col.laboraramb I. Singer (publiquen un article fonamentalel 1963) i amb R. Bott (dos articles clau sobrela questio, un el 1964 i l’altre el 1966). A mes,generalitza el problema a les varietats ambvora (aquest resultat apareix com a apendixdel volum 57 dels Annals of Mathematics Stu-dies de Princeton, el qual conte els fruits d’unseminari fet el 1965 sobre The Atiyah-Singerindex theorem). M’adonava de la significaciodel teorema de l’ındex i que era un punt impor-

tant del meu treball, pero hauria estat difıcilpredir que el tema em continuaria ocupant, dediverses maneres, durant els vint anys seguents.A mes, m’hauria sorpres molt si se m’haguesdit que aquest treball seria important, en el seumoment, per a la fısica teorica (del Comenta-ri d’Atiyah al tercer volum dels seus CollectedWorks).

Arribem aixı a l’ICM de 1966, celebrat aMoscou, en el qual es merescudament guardo-nat amb la medalla Fields:

Michael Francis Atiyah (Universitat d’Ox-ford) ha treballat amb Hirzebruch en teoria K;ha demostrat, conjuntament amb Singer, el teo-rema de l’ındex per a operadors el.lıptics sobrevarietats complexes; ha treballat conjuntamentamb Bott per demostrar un teorema del puntfix relacionat amb la “formula de Lefschetz”.[Aquesta es la citacio que es troba al web de laUnio Matematica Internacional]

Es obligat esmentar aquı la monografia Ellip-tic operators and compact groups (Lecture No-tes in Mathematics, 401, Springer-Verlag, 1974).Esta basada en el cicle de conferencies queAtiyah va impartir el 1971 a l’Institut d’Es-tudis Avancats de Princeton i en certa maneraes a la teoria de l’ındex d’Atiyah-Singer el quela K-Theory fou per a la teoria K d’Atiyah-Hirzebruch. Potser es menys coneguda, pero esmagistral en el proposit (una extensio de la te-oria de l’ındex als operadors transversalmentel.lıptics), en la varietat i sofisticacio de lestecniques usades, i en la brevetat (menys decent pagines!).

En aquest punt es oportu fer referenciaal fet que el 1975, fruit d’un curs d’estiu alCIME (Centro Internazionale Matematico Es-tivo, a Italia), Atiyah publica un altre reportsobre la teoria de l’ındex, amb el tıtol Classi-cal groups and classical differential operatorson manifolds, que encara avui constitueix unaexcel.lent introduccio al tema.

La seguent onada d’Atiyah ens arriba a finalsdels anys setanta. Mes concretament, el 1979,amb la monografia Geometry of Yang-Mills fi-elds, corresponent a les Lezioni Fermiane pro-mogudes per l’Accademia Nazionale dei Lincei ila Scuola Normale Superiore de Pisa. En el mo-ment d’impartir aquestes llicons, nomes haviapassat un any des del moment en que Atiyahva orientar el seu interes envers les anomenadesteories gauge, o de Yang-Mills, amb l’a-

8

tencio posada en la interaccio entre la geometriai la fısica. Enfocat a una audiencia de fısics imatematics, es un treball de sıntesi de diver-sos punts de vista, incloent-hi el del programatwistor de Penrose, i que conte construccions iresultats molt celebrats en aquell moment, compot ser la construccio de solucions autoduals deles equacions de Yang-Mills (anomenades instan-tons), fruit d’Atiyah, Ward, Drinfeld i Manin.Com en les monografies esmentades abans, l’ex-tensio del treball no arriba a les cent pagines.

La influencia d’aquesta monografia, i delsnombrosos treballs en la mateixa direccio quela van seguir, ha estat immensa. Sens dubte espot prendre com el punt en que es va restablirla mena d’interaccio constructiva entre fısica imatematiques que s’havia perdut a la primerameitat del segle xx (amb algunes excepcions,com es el cas de Hermann Weyl). De fet, aquestrestabliment s’ha donat amb escreix, ja que sifins aleshores havien estat les matematiques lesque s’aplicaven a la fısica, a partir d’alesho-res s’ha anat veient cada cop mes clar que lesidees inspirades en la fısica poden tenir unesconsequencies extraordinaries en el mon de lesmatematiques.

La cresta de la singular onada que va seguires pot identificar amb la publicacio el 1990 dela breu monografia The geometry and physics ofknots, la qual recull les conferencies impartidesper Atiyah el 1988 a Florencia sota els auspicisde l’Accademia Nazionale dei Lincei. L’objected’aquesta meravellosa obra es exposar la teoriade Jones, transformada per Witten en una teo-ria quantica de camps topologica. Es una frasecerta, pero per comprendre’n l’abast es necessarifer-se carrec de tres desenvolupaments que hantingut lloc entre The geometry of Yang-Millsfields i The geometry and physics of knots, totfixant-nos en el paper que hi va tenir Atiyah.

Un primer esdeveniment sorprenent es vaproduir a principi dels anys vuitanta per obrade Simon Donaldson, un deixeble d’Atiyah, quanva usar les equacions de Yang-Mills per deduirespectaculars resultats sobre la geometria endimensio 4 (la dimensio de l’espai-temps d’Ein-stein). Per aquests treballs, Donaldson fou guar-donat amb la medalla Fields a l’ICM de 1986(Berkeley).

El segon desenvolupament va associat al fısicEdward Witten, que mereix una mencio moltespecial. En justes paraules del mateix Atiyah:

El seu domini de les matematiques es assolitper pocs matematics, i la seva habilitat per in-terpretar idees fısiques en forma matematica esunica. Repetidament ha sorpres la comunitatmatematica amb aplicacions brillants de la in-tuıcio fısica que han conduıt a nous i profundsteoremes matematics. Aquestes paraules s’hanextret de la descripcio del treball de Wittenen ocasio de l’atorgament de la medalla Fieldsa l’ICM de 1990 (Kyoto), cosa que el va con-vertir en l’unic fısic a qui s’ha fet aquesta altadistincio.

I el tercer desenvolupament que cal consi-derar es el treball de Vaughan Jones, que vaobtenir, cap a final dels anys vuitanta, nous in-variants de nusos (objectes de natura puramenttopologica) mitjancant idees relacionades ambla fısica. Per aquests treballs, Jones tambe vaser guardonat amb la medalla Fields a l’ICM deKyoto.

I es en aquest punt que Atiyah presentaun treball en un simposi sobre Hermann Weyl(1987), en el qual conjectura que la teoria deDonaldson i els invariants de Jones han de te-nir una explicacio basada en la teoria quanticade camps. Aquesta interpretacio, l’exposa pocdespres Witten en dos articles publicats el 1989,l’un relatiu a Jones i l’altre a Donaldson, queinicien la teoria quantica de camps topologica.

D’aquesta manera s’enten millor l’objecte,que repetim, de The geometry and physics ofknots : [exposar] la teoria de Jones, transforma-da per Witten en una teoria quantica de campstopologica.

Els he parlat d’una part molt significativade l’obra de Michael Atiyah, pero he de dir quequant a extensio nomes es una petita fraccio dela seva obra fins al 2004. En efecte, els sis volumsactuals dels seus Collected Works, publicats el1988 i el 2004 (5 i 1 volums, respectivament),apleguen mes de quatre mil pagines, mentre queles memories de que hem parlat (K-Theory, Thegeometry of Yang-Mills fields, Elliptic operatorsand compact groups, Classical groups and clas-sical differential operators on manifolds i Thegeometry and physics of knots) no arriben a lescinc-centes pagines.

Es una satisfaccio recordar aquı que Micha-el Atiyah fou guardonat el 2004, conjuntamentamb I. Singer, amb el Premi Abel pel seu des-cobriment del teorema de l’ındex, que relligatopologia, geometria i analisi, i pel seu desta-

9

cat paper en l’establiment de ponts entre lesmatematiques i la fısica teorica.

Un aspecte interessant de l’obra d’Atiyah esque conte un bon nombre de peces (gairebe qua-ranta) que ell en diu quasimatematiques ique de fet son assajos, visions panoramiquesd’alguna questio o escrits biografics. Pel quefa a l’extensio, no arriben a una decima partde la seva obra coneguda, pero tenen una granimportancia perque ofereixen vies mes planeresd’acces al seu pensament que les dels articles mestecnics. A mes, posen de manifest que Atiyahes tambe un escriptor de primera fila. La sevaprosa es fluida, nıtida, efectiva. No s’entrebancaen res, no conte coses superflues i sempre fa laimpressio que ho ha dit tot.

Sir Michael Atiyah amb el rector de la UPC.

Michael Atiyah ha visitat Barcelona el 1997,el 1998 i el 2007. El proposit de les visites de1997 i 1998 va ser presidir les reunions del Co-mite Cientıfic del tercer Congres Europeu deMatematiques (3ecm). La institucio amfitrionafou la Societat Catalana de Matematiques (Ins-titut d’Estudis Catalans), com a responsablede l’organitzacio del 3ecm per delegacio de laSocietat Matematica Europea. (Deixin-me recor-dar aquı que els perllongats esforcos de MichaelAtiyah van tenir un paper decisiu en la funda-cio d’aquesta societat.) La institucio amfitrionaen la visita de 2007 va ser la Facultat de Ma-tematiques i Estadıstica (FME) de la UPC, i elproposit va ser l’impartiment de la conferenciakeynote titulada Riemann’s influence in analy-sis, geometry and number theory en el marc delCurs Riemann de l’FME. En la visita de 2007,Atiyah tambe fou invitat pel Centre de RecercaMatematica a fer una conferencia amb el tıtolDuality in mathematics and physics. Aquestaconferencia es va impartir a la Facultat de Ma-tematiques de la Universitat de Barcelona.

Deixin-me retornar per un moment a l’AnyMundial de les Matematiques (any 2000). Una

de les multiples activitats de Michael Atiyahen aquella ocasio fou presidir el desenvolupa-ment del projecte de la Unio Matematica In-ternacional que acaba amb la publicacio delllibre Mathematics: Frontiers and Perspectives(American Mathematical Society, 2000). Un delsarticles (The two cultures of Mathematics, deW. T. Gowers) inclou la citacio que segueixd’una entrevista de Minio a Atiyah:

Minio: Com selecciona un problema per a l’estu-di?

Atiyah: Penso que aixo suposa una resposta, perono crec que sigui la meva manera de treballar. Hiha persones que s’asseuen i es diuen: com he deresoldre aquest problema? Jo no ho faig. El quefaig es moure’m per les aigues matematiques,pensant, essent curios, estant interessat, par-lant amb persones, incitant idees; emergeixencoses i les prossegueixo. O veig que quelcomes relaciona amb alguna altra cosa que conec,intento connectar-ho i les coses es desenvolupen.Practicament no he comencat mai amb una ideadel que fare o d’on voldria arribar. Estic interes-sat en les matematiques; parlo, aprenc, debato,i aixı preguntes interessants simplement emer-geixen. No he comencat mai amb un objectiuconcret, excepte el d’entendre les matematiques.

Professor Sir Michael Francis Atiyah, estemmolt agraıts, molt felicos i molt orgullosos per-que ha acceptat la nostra invitacio a rebre undoctorat honoris causa de la nostra universitat,i, per extensio, de la comunitat matematica engeneral. Permeti’m acabar intentant donar-li labenvinguda a la nostra institucio, a la nostracomunitat matematica, en una de les llenguesque estima des la seva infantesa i adolescencia:

(marhaban bik fi jamatina).

Annex: text inclos a la invitacio a l’acted’investidura

Michael Francis Atiyah (Londres, 1929) es llicen-cia a Cambridge (GB). Estudiant de W. Hodge,fou elegit fellow del Trinity College (Cambridge)el 1954 i un any despres obtingue el doctorat.Poc despres ana a l’Institut d’Estudis Avancats(IAS) de Princeton, despres a Cambridge (lectorel 1957, fellow del Pembroke College el 1958) ia Oxford (1961), on fou fellow del St. Catheri-ne’s College. En el perıode 1963–1969 ocupa laSavilian Chair de Geometria a Oxford. Despresdel nomenament el 1969 com a professor de Ma-

10

tematiques a l’IAS, el 1973 esdevingue professorde recerca de la Royal Society a Oxford i fellowdel St. Catherine’s College. El 1990 fou nomenatmaster del Trinity College (Cambridge) i pri-mer director de l’Institut per a les Ciencies Ma-tematiques Isaac Newton. President de la RoyalSociety (1990–1995) i chancellor de la Univer-sitat de Leicester (1995–2007), actualment esprofessor emerit a la Universitat d’Edimburg ipresident de la Royal Society d’Edimburg. L’any2000, el professor Atiyah presidı el Comite delPrograma Cientıfic del 3ecm (3r congres de laEuropean Mathematical Society, Barcelona, ju-liol de 2000).

Els assoliments cientıfics del professor Atiyahfins al 2004 es reflecteixen fidelment en els sisvolums dels seus Collected Works (CW). Publi-cats per l’Oxford University Press, amb un totalde mes de quatre mil pagines, constitueixen unprecios tresor de resultats i d’idees que conti-nuaran inspirant les noves generacions com hohan fet fins ara. Son la font insubstituıble perconeixer les troballes i els desenvolupaments ori-ginals d’una ment prodigiosa, reconeguda ambuna llista impressionant de distincions que in-clouen les mes altes que es concedeixen en elcamp de les matematiques: la Medalla Fields(1966) i el Premi Abel (2004), aquest compartitamb I. Singer per un resultat (el teorema del’ındex d’Atiyah-Singer) que va posar de mani-fest profundes connexions entre la geometria il’analisi (CW 3 i 4) i posteriorment entre aquestsdominis i la fısica (CW 5). Felicment, es mem-

bre estranger de la Reial Academia de Cienciesd’Espanya.

La col.laboracio amb Singer persistı mes devint anys. Dues de les moltes altres col.laboraci-ons cientıfiques d’Atiyah foren igualment inten-ses i fructıferes: amb F. Hirzebruch, durant mesd’una decada, sobre els fonaments de la teoriaK topologica i el seu us per resoldre problemesimportants i difıcils (CW 2), i amb R. Bott, du-rant mes de vint anys, especialment recordadaper la formula dels punts fixos d’Atiyah-Bott.Al final dels anys setanta, Atiyah comenca aconstruir nous ponts entre les matematiques i lafısica teorica, cosa que va originar un corrent denoves idees i renovada energia per a una floridasense precedents d’ambdues (CW 5 i 6). Mereixaquı un esment especial la seva interaccio ambE. Witten, sobretot des de la primeria dels anysnoranta, que ha dut a profunds discernimentssobre l’enrevessada i desconcertant natura dela relacio, en les dues direccions, entre les ma-tematiques i la teoria quantica de camps.

El professor Atiyah ha tingut molts deixebles(S. Donaldson, N. Hitchin, F. Kirwan, P. Kron-heimer, G. Lusztig, G. Segal, entre d’altres) i esplenament actiu tant en recerca com en molts al-tres ambits. Actualment, per exemple, col.laboraamb el distingit neurofisioleg S. Zeki en estudisdel cervell huma, particularment quan efectuaoperacions matematiques.

El 18 de desembre impartı una conferenciaa l’FME per emmarcar el Curs Riemann (www-fme.upc.edu).

Sebastia XamboUPC

Discurs de Sir Michael Atiyah

Deixin-me primer expressar-los com em satisfai m’honora rebre aquesta distincio de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya, que continua lacol.laboracio i l’amistat que sorgiren durant elCongres Europeu de Matematiques, celebrat aBarcelona fa vuit anys, i que, a mes, es un reco-neixement a l’afinitat que hi ha entre Catalunyai Escocia, el lloc on ara visc i treballo. La historiade tots dos paısos i les seves fortes identitatsculturals tenen unes grans semblances, fet queha quedat remarcat amb la construccio del nouParlament escoces segons el disseny d’un famosarquitecte catala, Enric Miralles, que dissorta-dament morı abans de veure’n la complecio.

Una ocasio com aquesta es una bona opor-tunitat per reflexionar sobre les matematiques,el camp d’expertesa al qual he dedicat la vida.Que son les matematiques? Aquesta es la questiofonamental que vull considerar. Podem parlarde materies especıfiques, com ara la geometria,l’aritmetica o l’algebra; podem il.lustrar-ho es-mentant teoremes famosos com son el vell teore-ma de Pitagores o el mes recent darrer teoremade Fermat, pero aixo es un mer aperitiu quenomes descriu, no defineix.

La meva resposta es que les matematiquesson un llenguatge, un mitja especıfic de comuni-cacio que es pot comparar profitosament amb

11

els llenguatges naturals, com ara l’angles o elcatala. Son constructes culturals que han evo-lucionat durant milers d’anys i que forneixen elmarc de la civilitzacio. Un nado no parla ni sapmatematiques. Tanmateix, donat un entorn soci-al apropiat, les capta rapidament, cosa que posade manifest que el cervell huma te la capacitatinnata de parlar i de comptar. Si be aquestacapacitat es present, de manera limitada, enmolts animals, nomes l’Homo sapiens ha desen-volupat la capacitat de fer llargs discursos i dedemostrar teoremes significatius. Son els tretsdistintius de la nostra especie.

Es instructiu comparar la prehistoria del llen-guatge i de les matematiques. Abans de l’escrip-tura, les persones es comunicaven mitjancantla parla, que devia incloure alguns conceptesmatematics elementals. Els primers humans de-vien elaborar eines i, aixı, devien coneixer ladiferencia entre una pedra (rodona) i una fletxa(recta).

Un exemple sorprenent s’esdevingue a Esco-cia fa 4.000 anys. Si be la vida era primitivai no hi ha indicis de llenguatge escrit, em vasorprendre molt descobrir que ja coneixien elscinc solids platonics, incloent-hi el mes elaborat,l’icosaedre, format per vint triangles equilaters.D’aquests models, se’n troben molts al nordd’Escocia, cosa que revela un grau sorprenentde sofisticacio matematica.

Pero fou l’emergencia de l’escriptura quepermete a la civilitzacio fer un progres rapid.Primer amb llenguatges pictografics, com son elsjeroglıfics egipcis, que evolucionaren vers l’alfa-bet llatı modern (per be que hem de reconeixerque els caracters xinesos no van pas frenar lacivilitzacio a Asia).

La matematica ha evolucionat d’una manerasimilar amb la introduccio de notacions i sim-bolismes millors. L’Imperi roma funciona forcabe amb les xifres romanes, pero la substitucioper la notacio decimal arabiga fou un pas degegant. Confesso que estic desconcertat per lamanera com els enginyers romans construırenuns edificis tan magnıfics amb un simbolismearitmetic tan primitiu. Intentin multiplicar nom-bres grans usant xifres romanes i entendran elmeu astorament davant les edificacions romanes.

Curiosament, l’arribada de la notacio deci-mal a l’Europa occidental durant el Renaixe-ment fou, amb molta certesa, a traves d’Espa-nya, on es produı un profitos encontre de les

cultures arab i llatina en llocs com ara Tole-do. Tanmateix, en adoptar la notacio decimalarabiga, l’Occident va cometre un error consi-derable que no es reconeix gaire. Com saben,l’arab s’escriu de dreta a esquerra i, logicament,quan els europeus adoptaren les xifres decimalsarabigues n’haurien d’haver invertit l’ordre. Elresultat d’aquest error es que quan escrivim tresdıgits, com ara 462, no sabem, fins que no aca-bem, si el primer dıgit, 4, representa les unitats,les desenes o les centenes. Per als arabs, quellegeixen de dreta a esquerra, aquesta confusiono existeix.

A mes de comparar l’evolucio historica de lesmatematiques i del llenguatge natural, tambepodem comparar-ne les funcions, descrivint-neels diversos usos. Aixı, el llenguatge te un uspractic per als afers diaris, un us literari pertransmetre idees mes abstractes i un us poeticper expressar les emocions. Hi ha una divisio si-milar en la matematica entre utilitat, que menaa la matematica aplicada, i la matematica pura,mes enfocada a idees abstractes.

Assistents a l’acte d’investidura.

A la part superior hi ha l’aspecte esteticde la matematica, on la bellesa es la llum queens guia. Aquesta idea la desenvolupare aquestatarda en la meva conferencia al Museu de laCiencia. Deixin que els digui, en aquest punt,que a molts dels meus col.legues matematics noels agrada dir que la matematica es un mer llen-guatge. Diuen que el missatge es, clarament, mesimportant que el mitja. Ben cert; pero cal consi-derar que un llenguatge flexible pot transmetremolts missatges. Comparar la matematica ambl’angles, posem per cas, no la denigra. Un mitjaque transmet els pensaments de Shakespeare esun dels triomfs mes elevats de la humanitat. Elmateix val per a la matematica, el mitja ambque podem accedir a les idees de Gauss.

12

Ara voldria introduir-me en el camp de l’e-ducacio. Generalment es reconeix que la llenguai la matematica son els dos pilars de l’educacio.En altres temps, la llengua que es coneixia noera nomes la vernacla (l’angles o l’espanyol),sino tambe el llatı i el grec, que facultaven l’es-tudiant per llegir la Bıblia i els autors classics. Ames, el domini d’aquestes difıcils llengues es con-siderava un bon entrenament de la ment, ambla qual cosa no sols es formava doctes en elsclassics, sino tambe advocats, sacerdots, metgesi polıtics.

En la comparacio de la matematica amb elllenguatge natural hi ha una diferencia notable.Malgrat la diversitat de la cultura humana ar-reu del mon, la matematica es essencialmentuniversal. Les diferencies historiques entre lesmatematiques dels diferents paısos han desa-paregut. La matematica xinesa es la mateixaque l’espanyola, cosa que no es pot dir del llen-guatge natural. En ambits cientıfics s’usa habi-tualment l’angles, que fa el paper previst ori-ginariament per al llenguatge artificial que esl’esperanto. Potser algun dia aquest paper eltindra el xines, pero mentrestant preferim ladiversitat linguıstica.

Els matematics usem els sımbols algebraicsperque son mes concisos que les paraules, pero enels nostres pensaments (i fins i tot en molts delsnostres escrits) usem les paraules per transme-tre conceptes. Si agafen una revista matematica,se sorprendran de trobar-hi que el simbolismeno se n’hagi apoderat completament i que hipredominin les paraules habituals. A la inversaes diferent. Llibres i diaris sovint usen nombres,pero nomes d’una manera molt reduıda. Hi hauna certa resistencia a usar formules entre elsqui no son matematics. Ho vaig descobrir quanel meu centre a Oxford redactava uns nous es-tatuts. S’hi descrivia detalladament com caliaregular el nombre de les diferents categories deFellows. Els vaig llegir amb cura i vaig com-provar que podia canviar diverses pagines detext per una unica formula. Si be els meus col-legues, comptant-hi els advocats, van reconeixerla brevetat i la logica de la meva formulacio,es van oposar a l’us d’una formula simbolica ila van tornar a transcriure a l’angles. Els vancaldre diverses lınies, pero almenys el resultatfou millor que l’original.

Permetin-me, com a il.lustracio, descriurel’educacio al Cambridge del segle xix, on les

matematiques van ocupar el lloc de les llenguesclassiques com la millor forma d’entrenamentmental. A causa de la fama i el llegat d’IsaacNewton, es va atorgar a la matematica un llocpreeminent, amb la qual cosa va acabar domi-nant tot el proces formatiu. Es considera que lapractica medieval dels examens orals basats enl’art de la retorica era inapropiada per a les ma-tematiques, amb la qual cosa s’hi van introduirels examens escrits, que van esdevenir molt com-petitius. El ranquing de candidats s’ordenavaestrictament pels merits. Als de la categoria mesalta se’ls atorgava el tıtol de wrangler. El pri-mer d’aquests s’anomenava the senior wrangleri la seva fama i fortuna quedaven efectivamentgarantides.

Aquestes conteses anuals eren com curses decavalls. Dels probables guanyadors se’n parlavaobertament a la premsa nacional i s’apostavasobre els resultats. Els preparadors eren primor-dials i a Cambridge s’anomenaven coaches. Nohe descobert fins fa poc que coach, paraula queactualment s’usa en esports com ara el tennis oel futbol, prove de l’argot estudiantil de Cam-bridge. Els estudiants van copsar l’analogia entreel coach, o carruatge, que anava de Cambridgea Londres i els seus professors. Ambdos, car-ruatges i estudiants, havien de seguir un camıprecıs per arribar al seu objectiu. Des de lesmatematiques, el mot coach es difongue primera la famosa cursa de rem Oxford-Cambridge idespres als esports en general.

Preparadors i examens dominaven l’escenaride Cambridge i una gran part de la recerca espublica primer en forma de problemes d’examen.Per exemple, un teorema famos de geometriadiferencial, que te molta importancia en fısica,conegut com a teorema de Stokes, aparegue pri-mer en l’examen de 1854. Era l’any en que s’e-xaminava el jove James Clerk Maxwell, que mestard esdevindria el fısic mes gran del seu temps,i es diu que fou l’unic estudiant que el resolguesatisfactoriament.

A proposit d’aixo, deixin-me fer esment queuna gran part del temps i l’energia que he es-mercat els darrers anys han estat dedicats apromoure que s’erigıs una estatua de Maxwellal centre d’Edimburg. Espero que sera descober-ta el proper novembre. Edimburg ja esta prouben proveıda d’estatues d’homes famosos, comara Adam Smith, l’economista, i David Hume,el filosof. Tambe te estatues de reis, polıtics i

13

teolegs. Pero la ciencia natural, tot i la seva granimportancia intel.lectual i practica, mai no haestat reconeguda. Maxwell redrecara la balanca.Edimburg per fi retra homenatge al seu fill mesfamos.

El sistema de Cambridge de preparar ma-tematics proposant-los problemes d’examen des-afiadors, produı una escola de fısics matematicsde primera lınia. Impressionat per aquest siste-ma, Felix Klein intenta importar-lo al seu paıs,Alemanya. Trasplantar practiques educatives,pero, es tan difıcil com trasplantar especimensbotanics, s’han d’adaptar al sol, i la temptativade Klein fracassa.

Al segle xix l’educacio superior estava reser-vada als homes. Mes tard, quan a Cambridge esvan fundar escoles femenines, es permetia a lesdones fer els mateixos examens que els homes, i

fins i tot els seus noms apareixien en el ranquingfinal (entre el quinze i el setze lloc, per exemple),pero no se’ls atorgava cap titulacio.

L’any 1890 es produı el fet remarcable queuna dona, Phillipa Fawcett, es classifica mes beque el primer de la promocio, cosa que produınotıcies sensacionals a les primeres pagines delsdiaris i celebracions extravagants a Cambridge.Pero no fou fins a 1945 que finalment Cambridgeatorga titulacions a les dones.

Per concloure, deixin-me dir-los com m’hadelectat ser un matematic, participant d’una ex-periencia cultural tan extensa, bella i universal.En particular he fet contactes amb matematicsd’arreu del mon, incloent-hi Barcelona. Els agra-eixo de nou haver-me atorgat el tıtol de doctorhonoris causa de la seva universitat.

Michael Atiyah

In memoriam

Jordi Dou Mas de Xexas (1911–2007)

El 17 d’octubre passat ens va deixar en JordiDou, distingit problemista i sens dubte el mesprolıfic dels problemistes espanyols de la segonameitat del segle xx.

Francisco Bellot, Jordi Dou i Sebastia Xambo

(president de la SCM) a l’Olimpıada de Tarra-

gona el 1996.

En Jordi Dou va neixer a Olot (Girona) el1911. Va cursar els estudis d’ensenyament pri-

mari i secundaria a les Escoles Pies d’Olot finsl’any 1928. Despres va anar a Barcelona, on esva llicenciar en arquitectura i matematiques perla Universitat de Barcelona. El 1941, va obtenirel grau de doctor en Arquitectura i va entrar al’Ajuntament de Barcelona com a cap de la sec-cio de Valoracions, i mes tard a la de Patrimonion va continuar fins a la seva jubilacio.

Durant tot aquest temps en Jordi Dou vaser professor de matematiques a l’Institut Milai Fontanals de Barcelona i a l’Escola d’Arqui-tectura i a la Facultat de Matematiques de laUniversitat de Barcelona. Com a matematic,va ser molt actiu en el camp dels problemes isolucions, especialment en geometria. Les sevespropostes i solucions van apareixer en les millorsrevistes del mon en el seu camp com ara Ame-rican Mathematical Monthly, Crux Mathemati-corum i Mathematics Magazine. Va contribuiral CRUX des del seu inici fins a l’any 2001, i alMonthly durant quaranta-quatre anys. Tambeva ser editor de l’Escaire. A mes, va acompanyarcom a lıder l’equip espanyol a l’Olimpıada In-ternacional de Matematiques celebrada a Parısl’any 1983.

14

Jordi Dou ha estat un mestre per a molts al-tres matematics que compartim amb ell l’entusi-asme de posar i resoldre problemes. Actualment,seguint la seva empremta, diverses contribucionsde matematics espanyols apareixen regularmenten revistes com Crux with Mayhem, Monthly,Magazine, The College Mathematics Journal id’altres amb columnes de problemes nacionalsi internacionals.

Els dies 22 i 23 de febrer de 1996 va celebrar-se a Tarragona la XXXII Olimpıada Matematica

Espanyola, organitzada per la Real SociedadMatematica Espanola, la SCM i la UniversitatRovira i Virgili. Jordi Dou hi va assistir com amembre honorari del jurat i alla va ser objected’un sentit homenatge.

Jordi Dou ha llegat la seva enorme col.lecciode problemes a la Societat Catalana de Ma-tematiques. Ens queda ara, per honorar el seurecord, la ingent tasca de classificar-los i, algundia, poder fer-ne una publicacio especial.

Josep Grane i Jose Luis Dıaz-BarreroUPC

Noticiari

El CRM avui i plans de futur

Fa poc mes d’un any que va comencar a treballarl’equip actual de direccio al Centre de RecercaMatematica (CRM). Com molts lectors ja sa-ben, el CRM va ser creat per Manuel CastelletSolanas l’any 1984 com un centre de recerca pro-pi de l’Institut d’Estudis Catalans. L’any 2002va passar a ser un consorci format per l’IEC ila Generalitat de Catalunya, amb un Consellde Direccio on hi ha quatre representants decadascuna d’aquestes dues institucions.

Per acord del Consell de Direccio, JoaquimBruna Floris va ser nomenat director el 26 demarc de 2007 per a un perıode de quatre anys,acompanyat, a proposta seva, per un equip for-mat per Carles Casacuberta Verges, Marta SanzSole i Joan de Sola-Morales Rubio. El Consellde Direccio tambe va distingir Castellet amb elcarrec de director honorari del CRM en reco-neixement de la tasca excepcional que va dur aterme al capdavant del Centre durant mes devint-i-dos anys.

Una de les primeres actuacions del nou equipde direccio va ser proposar una llista renovadade noms per al Consell Cientıfic Assessor, quees l’ens que serveix de guia per a la polıticacientıfica del CRM i alhora actua com a avalua-dor de la majoria de propostes rebudes. Des de2007 esta format per les persones seguents: Jau-me Aguade (UAB), Alfredo Bermudez de Cas-tro (Universitat de Santiago de Compostel.la),

Michel Boileau (Universitat de Tolosa), AlineBonami (Universitat d’Orleans), Bodil Bran-ner (Universitat de Teconologia de Dinamarca,Lyngby), Luis Caffarelli (Universitat de Texas aAustin), Eduard Casas-Alvero (UB), Jose LuisFernandez (Universitat Autonoma de Madridi AFI, Analistas Financieros Internacionales),Gerhard Frey (Institut fur Experimentelle Mat-hematik, Essen), Oscar Garcıa Prada (CSIC,Madrid), Antonio Huerta (UPC), Andreu Mas-Colell (UPF), Dominique Picard (UniversitatParıs VII), Kristian Seip (Universitat de Cienci-es i Tecnologia de Noruega, Trondheim), MariaEulalia Vares (Centro Brasileiro de PesquisasFısicas, Rio de Janeiro) i Dominic Welsh (Uni-versitat d’Oxford).

L’equip de secretaria del CRM estava formatel 2007 per cinc persones: Ana Garcıa-DonasRomera, Nuria Hernandez Martın, Neus PortetSerda, Consol Roca Guillen i Mari Paz Vale-ro Navazo. S’ha previst ampliar-lo durant l’any2008 a causa de les noves necessitats del Centre.

Objectius

La missio definida als estatuts del CRM es larecerca i la formacio avancada en l’ambit deles matematiques, mitjancant la col.laboracioi les sinergies amb les universitats i les insti-tucions de recerca de Catalunya, amb l’objec-tiu d’esser un referent cientıfic internacional en

15

aquest ambit. El CRM es un centre amb im-plantacio interuniversitaria, en el sentit que dela seva activitat se’n beneficia el conjunt de larecerca en matematiques del paıs. La polıticacientıfica del CRM per a l’assoliment de la sevamissio te dos eixos d’actuacio:

• Donar suport als grups d’investigacio, orga-nitzant tipus d’activitats que en depassen lacapacitat, amb projeccio internacional i aco-llint visitants per tal de propiciar treballs encol.laboracio.

• Des d’un punt de vista mes proactiu, disse-nyar i executar polıtiques estrategiques queincideixin en debilitats de la recerca ma-tematica a Catalunya entesa globalment, comson el programa IAE d’incentivacio d’areesestrategiques i el pla de creacio d’un cos propii estable d’investigadors d’excel.lencia.

L’any 2007 va acabar el primer contracteprograma del CRM i es va iniciar el proces pera aprovar-ne un de nou per al perıode 2008–2013.Aquest nou contracte programa parteix d’un plaestrategic que ha estat elaborat per l’equip dedireccio. Els seus aspectes mes importants esdescriuen a continuacio.

Consolidacio

El CRM continuara fomentant la recerca enmatematiques i arees afins mitjancant l’orga-nitzacio de programes de recerca de durada va-riable (entre tres mesos i un any), juntamentamb congressos, cursos avancats, workshops ialtres activitats cientıfiques. A mes, seguira aco-llint investigadors a nivell postdoctoral a travesde diverses convocatories (principalment bequesMarie Curie, beques del Ministeri, beques Bea-triu de Pinos i beques propies del CRM) i tambeinvestigadors de qualsevol perfil i prestigi reco-negut per a estades de treball en col.laboracio.Totes les propostes d’organitzacio d’activitatsi d’estades en el Centre es poden fer arribar al’equip de direccio seguint les instruccions deta-llades en el web del CRM (www.crm.cat).

Programa IAE d’incentivacio d’arees es-trategiques

Un dels capıtols mes interessants del pla es-trategic del CRM es la posada en marxa d’unprograma per a la incentivacio d’arees de recercaconsiderades deficitaries i d’interes especial. El

Centre te la capacitat (que de vegades costa mesd’adquirir a les unitats de les universitats) depropiciar activitats en temes importants peroque no es conreen, o no es conreen amb prou in-tensitat, en els departaments de les universitatscatalanes.

La importancia d’aquests temes estrategicsha de venir suportada per raons com ara elcaracter emergent en la comunitat internacio-nal, que garanteix la possibilitat d’incorporar-sea temes importants en la seva fase incipient, obe justificada per una mancanca historica enel medi local que hagi pogut ser detectada demanera suficientment clara, o be deguda a l’apa-ricio d’una oportunitat imprevista que el CRMcregui que es el moment d’aprofitar.

Entre els temes considerats prioritaris, elCRM continuara donant suport a les areestematiques del projecte MATHFSS (ShapingNew Directions in Mathematics for Science andSociety) de la Comissio Europea, que el CRMha coordinat entre 2005 i 2008: neurocienciamatematica, seguretat de dades digitals i ma-tematica financera. En els darrers anys el CRMja ha fet diverses accions en aquestes arees: vaatorgar tres beques predoctorals el 2006, ha or-ganitzat congressos i programes de recerca i hadonat suport a la creacio de grups de treballemergents.

A mes d’aquestes arees concretes, el CRMesta dedicant esforc i recursos a la promocio dela recerca en matematica industrial i aplicacionsde la matematica, en el seu sentit mes ampli. Lamatematica industrial es la part de la recercamatematica que estudia els problemes proposatsper les industries i les empreses, pero tambe elsproblemes provinents d’altres institucions o or-ganismes, com els problemes suggerits per lesadministracions publiques o per la recerca bi-omedica. Des de 2007 ha assumit l’organitzaciodels GEMT (Grups d’estudi de matematica itecnologia) i des de 2008 esta oferint beques pera la realitzacio de treballs de master en empre-ses i en altres institucions de recerca cientıfica,com el Centre d’Investigacio de Medicamentsde l’Hospital de Sant Pau de Barcelona.

Formacio d’una plantilla propia

Fins ara, el CRM nomes ha acollit investiga-dors per a estades temporals i no ha tingutuna plantilla de personal investigador estable.

16

Tanmateix, per tal de reforcar el seu perfil insti-tucional i assolir amb mes garanties d’exit elsseus objectius de foment d’arees estrategiquesde recerca, el CRM es proposa d’anar adquirintgradualment personal propi de llarga durada. Elnou contracte programa haura d’aportar recur-sos per a fer-ho possible, i tambe es mantindrauna polıtica activa de captacio de personal atraves de les crides d’ICREA o d’altres convo-catories de l’Administracio catalana, estatal oeuropea.

Es preten facilitar la incorporacio de nousinvestigadors al sistema de recerca catala oferint-los condicions de treball adients per a la sevaconsolidacio i per a la formacio d’un equip. ElCRM ofereix ajuts d’instal.lacio o start-up per acada investigador senior que s’incorpori, consis-tent en una borsa de recerca, un becari doctoralper a quatre anys i un becari postdoctoral per atres anys. Amb aixo es preten que l’investigadorconsolidi el seu propi grup de recerca abans dequatre anys. El CRM vol dur a terme aquestesactuacions coordinadament amb les universitatsi n’afavorira el pas dels investigadors que esformin en aquests grups.

Estructures i projectes estatals

Des de 2006, el CRM forma part com a nodedel projecte Ingenio Mathematica (i-MATH) delprograma estatal Consolider Ingenio 2010. Di-verses activitats del CRM ja s’han organitzaten el marc d’aquest projecte o be han tingutfinancament parcial a traves d’ell. Es un projec-te d’abast ampli, que aplega un gran nombrede grups de recerca de tot l’Estat i es proposaaportar els recursos necessaris per a una millo-ra quantitativa i qualitativa de la recerca enmatematiques i arees afins durant cinc anys.

D’altra banda, entre finals de 2007 i princi-pis de 2008 s’ha dissenyat una nova estructuraestatal per a la recerca en matematiques, ano-menada Instituto Espanol de Matematicas (IE-Math). S’ha previst que sigui un consorci formatper quatre seus, una de les quals sera el CRM,participat tambe per les comunitats autonomeson son ubicades les seus. En la data de redacciod’aquest article encara no s’ha constituıt for-malment el consorci i per tant no podem donarmes detalls de la seva estructura i el seu funcio-nament. En tot cas, la voluntat de la comissioque l’ha posat en marxa era que servıs com avia de contractacio de personal investigador de

qualitat, des de becaris doctorals fins a seniors,dins d’un programa global per a articular unacarrera investigadora en matematiques. A mes,es disposara de recursos per a l’organitzacio deprogrames de recerca i d’altres activitats, aixıcom un programa de formacio doctoral.

Es preveu que l’entrada en funcionamentde l’IEMath donara impuls a la captacio d’in-vestigadors d’excel.lencia pel CRM i aportararecursos estatals sobre la base de l’existenciad’un cofinancament. Si aquest ambicios projec-te es materialitza seguint les lınies previstes,suposara una via molt important de reforc del’activitat del CRM, ja que els seus principisfundacionals coincideixen en gran part amb elsobjectius estatutaris del CRM.

Cal destacar el fet que la candidatura delCRM com a seu de l’IEMath es va presentarcom una proposta conjunta amb les facultats idepartaments de Matematiques del seu entorn.Es va configurar un comite CRM-IEMath for-mat per investigadors catalans d’alt nivell, quetindra com a missio principal la tutela del per-sonal jove adscrit al Centre i la supervisio de lesactivitats del programa de formacio. Aquest haestat un pas notable, no nomes com a millorade la implantacio del CRM dins l’Estat, sinocom una via de col.laboracio mes directa ambles institucions academiques catalanes, una viaque el Centre vol consolidar i ampliar aprofitantles oportunitats de diversificacio i creixementque s’estan obrint.

Internacionalitzacio

Un dels distintius del CRM es el seu prestigiinternacional, aconseguit al llarg de molts anysd’organitzacio d’activitats i de participacio enprojectes i en organismes principalment euro-peus, com el comite ERCOM de la SocietatMatematica Europea o el programa EPDI, queatorga beques postdoctorals cada any. Aquestnotable prestigi, unit al perfil del CRM sem-blant al d’altres centres de recerca europeus onels programes de visitants excedeixen substanci-alment la plantilla, ha aportat molts avantatgesal Centre en anys recents i es vol mantenir iincrementar tant com sigui possible.

Entre d’altres iniciatives recents, el CRMorganitza conjuntament amb la Societat Ma-tematica Europea una jornada cientıfica dinsd’ESOF 2008 (EuroScience Open Forum), quetindra lloc a Barcelona el juliol de 2008. El tema

17

de la jornada sera Can Mathematics Help Medi-cine? (21 de juliol) i tindra com a conferenciantsinvitats Alfio Quarteroni (Politecnico di Milanoi EPF Lausanne), Dominique Chapelle (INRIA-Rocquencourt) i Peter Deuflhard (Zuse-Institut,Berlın).

Difusio d’informacio i contacte

El CRM difon les seves activitats a traves dela seva base de dades i mante tres series de pu-

blicacions: la serie Preprints del CRM, la serieQuaderns del CRM (que recull principalmentels textos dels cursos avancats organitzats pelCentre) i la serie de monografies Advanced Cour-ses CRM Barcelona, distribuıda per l’editorialsuıssa Birkhauser.

Podeu trobar mes informacio sobre les prope-res activitats del CRM i sobre el funcionamentdel Centre o el llistat d’investigadors al webwww.crm.cat.

Carles CasacubertaMembre de l’equip de direccio

La SBM-XEIX informa

Aprofitem el convit de l’Enric Ventura, editor deSCM/Notıcies, per fer una primera presentaciode la nostra Societat a traves d’aquest mitja.Veureu com la Societat Balear de MatematiquesSBM-XEIX, segurament per la seva joventut, esuna mica hiperactiva i dispersa, pero il.lusiona-da i entusiasta amb tot allo que tingui a veureamb les matematiques mes enlla de les taulesde multiplicar. A tall d’explicacio, us farem cinccentims d’allo que enguany portem entre mans.

Comencarem l’any editant el nostre primercalendari dedicat al numero 8. Tots els mesostenen una fotografia amb —com a mınim— un 8i una breu explicacio matematica. Un molı, unpop, un far de planta octogonal, la capsa d’unaensaımada... L’acollida fou tan bona entre elsnostres socis i socies que ja estam pensant en elde l’any que ve, dedicat of course al 9.

Una de les activitats de la qual estem messatisfets son les passejades matematiques enfamılia. Es tracta d’un projecte de col.labora-cio amb l’Ajuntament de Palma a traves delprograma Viure i Creixer. Pensades per a unpublic de totes les edats, aquestes sortides estanguiades per gent de la Societat i s’aprofiten perdescobrir les matematiques que tenim al nostrevoltant. De moment, hem desenvolupat les trespropostes seguents:

• Matematiques per la Ciutat Vella. Passejant pelmagic nucli antic de Palma els participants

escolten histories relacionades amb la historiade la matematica i de la ciutat i poden ex-perimentar de quantes maneres diferents espoden asseure disset persones en el banc deCort, com es pot fer el panot Gaudı al pas-seig del Born, quines matematiques trobemal sepulcre de Ramon Llull...

• Matematiques i natura. Galileu ja deia que elllenguatge de la natura son les matematiques.A la platja des Carnatge podem descobrir lasuccessio de Fibonacci a les pinyes, veure siles proporcions humanes s’acosten a la raoauria o mirar el sentit de gir de les espiralsdels caragolets de mar, entre d’altres.

• Matematiques a la defensiva. Al castell de Bell-ver les famılies poden mesurar l’alcada de latorre de l’homenatge utilitzant uns pals i unamica de trigonometria, buscar les simetriesde les marques maconiques, l’orientacio dediverses ciutats del mon a partir dels eixosdel castell, construir una escala de caragol...

Una altra activitat, conjunta amb l’Ajunta-ment de Palma, son els tallers de jocs i valorsamb famılies, que es realitzen a les bibliotequesmunicipals, van adrecats als mes petits de lacasa i fan matematiques tot aprenent valors ijugant.

Continuant amb les col.laboracions instituci-onals, la nostra seu esta situada a sa Cabaneta,municipi de Marratxı, i amb aquest Ajuntamenttambe hem dut a terme un projecte molt in-teressant i diferent del que havıem fet fins ara.Sa Cabaneta i Portol, dos dels nuclis urbansde Marratxı, tenen una gran tradicio amb la

18

ceramica, siurells, greixoneres, cossiols... Cadaany l’Ajuntament organitza la Fira del fang ienguany la SBM-XEIX n’ha dissenyat el cartelldidactic. El tema ha estat La successio delfang. En aquest cartell hi hem pogut observaruna successio numerica feta de fang, la tauladel vint-i-cinc en una tauleta cuneıforme, lespecetes comptables sumeries, una successio deteules, una sanefa de rajoles de mocadoret, unasuccessio de greixoneres, una successio caoticade siurells, una successio de modernes tasses iuna successio de fotografies d’artesans del fang.Cadascuna d’aquestes successions l’hem acom-panyada d’una explicacio relacionada amb lesmatematiques. Val a dir que la presentacio delcartell va ser tot un exit per la seva originalitati que els tallers didactics que es realitzaren elsmatins funcionaren prou be.

Proves Cangur 2008, 3 d’abril, Inca.

Un dels projectes de mes envergadura quehem iniciat aquest curs es el de la creaciod’un Centre d’aprenentatge de matematiques.Gracies a una llicencia d’estudis per a recercas’ha pogut redactar el projecte i en aquest mo-ment s’esta dotant un petit local. Aquest centrerebra visites d’escoles i d’instituts de secundariaon es realitzaran activitats d’allo mes divers ambles matematiques. Les tres lınies seran les derebre alumnat, anar als centres a fer propostesi guiar itineraris matematics.

Enguany sera la tercera vegada que partici-pem a la Fira de la Ciencia de les Illes Balears,enguany a Mallorca i Eivissa, i el tema a trac-tar seran les matematiques en temps del rei

En Jaume. Coincidint amb el 800 aniversari delnaixement del Conqueridor, hem volgut dedicarel nostre estand a les matematiques medievals,calculistes, abacistes, matematiques arabs, ins-truments de mesura tradicionals, tot un mercatmedieval matematic a la Fira de la Ciencia, onconviuran les dues cultures.

Dos dies a l’any, l’11 de novembre i el 2 defebrer, a la Seu de Palma hi ocorre un fet preciosi singular: la gran rosassa de l’absis es reflec-teix a sota de la rosassa petita, tangencialment;un efecte fascinant si el dia es clar. Aprofitantl’avinentesa, des de la SBM-XEIX, aquests dosdies i tambe el 23 de desembre hem fet Ma-tematiques a la Seu on hem intentat fer arribaral public en general una explicacio del perqued’aquest fenomen. Hem intentat estimar les di-mensions de la Seu, hem escoltat una xerradainteressant sobre nombres sagrats i com aquestasimbologia es present a la Seu, hem observat lano-perpendicularitat dels pilars, com es podenconstruir els arcs sobre paper, quins necessitencontraforts i quins no amb unes maquetes defusta i tambe hem comprovat algunes del lespropietats del nombre 153.

Pero sens dubte el projecte mes gran pel quefa a la quantitat de gent que afecta han estat lesacabades de celebrar proves Cangur. Enguanyha estat la primera vegada que la nostra Socie-tat ha fet cap en la seva organitzacio i s’hi havolgut imprimir un caracter una mica diferent.Fins l’any passat, l’alumnat realitzava les pro-ves al seu institut i aixo dificultava la percepciodel fet internacional d’aquesta diada. Enguany,a Mallorca, s’ha concentrat l’alumnat en trespalaus d’esports (Palma, Inca i Manacor) ons’han reunit gairebe 3.000 alumnes (4.000 en elconjunt de les Illes). A les altres illes, la faltade teixit en socis ha obligat a continuar ambla dinamica de les altres edicions, pero confiemque aixo tambe canviara aviat. Despres de laprova, l’alumnat va poder gaudir d’una actuaciode matemagia a cada una de les seus.

Podeu seguir el dia a dia de l’SBM-XEIX atraves del nostre web www.xeix.org obert al monde les matematiques des de qualsevol dels seusambits.

Una abracada des de les Illes.

Maria TriaySocietat Balear de Matematiques, SBM-XEIX

19

Sobre la FEEMCAT

La Federacio d’Entitats per a l’Ensenyamentde les Matematiques a Catalunya (FEEMCAT)es una associacio sense finalitats lucratives queen l’actualitat reuneix les quatre associacionsd’ensenyants de matematiques de tots els ni-vells educatius: Associacio de Professors deMatematiques de les Comarques Meridionals(APMCM), Associacio d’Ensenyants de Ma-tematiques de les Comarques Gironines (ADEM-GI), Associacio de Professors i Mestres de Ma-tematiques (APaMMs) i Associacio de Barce-lona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Ma-tematiques (ABEAM). Els seus objectius priori-taris son:• Afavorir la millora de l’ensenyament, la in-

vestigacio i la difusio de les matematiques entots els seus nivells educatius.

• Contribuir a la millora de les condicions pe-dagogiques i generals del seu ensenyament.

• Fomentar activitats que afavoreixin la forma-cio del professorat.

• Generar i divulgar documentacio pedagogica,en particular impulsar la creacio de materialdes de la perspectiva del professor catala.

• Convocar i organitzar activitats dirigides a l’a-lumnat per tal de fomentar la seva capacitati gusts matematics.

• Promoure l’intercanvi d’experiencies entregrups de professorat, entre associacions i or-ganismes afins d’ambit catala, estatal i inter-nacional.

• Establir relacions amb organismes oficials queincideixin en el seu camp d’accio.En ocasio del canvi de la Junta de Govern

realitzat el gener de 2008, les juntes entrant isortint de la FEEMCAT volem manifestar lanostra satisfaccio pels lligams de col.laboracioque s’han establert amb la Societat Catalana deMatematiques (SCM) i que esperem manteniri refermar en tots aquells aspectes que resultind’interes per la seva incidencia en l’educaciomatematica al nostre paıs. Entre les activitatssignificatives dutes a terme conjuntament du-rant els darrers anys consten les seguents:• Organitzacio i seguiment de l’activitat del

Projecte Estalmat. El 2006 vam signar unacord de col.laboracio per a regular-ne, l’or-ganitzacio conjunta.

• 2003: Primera Trobada SCM-FEEMCAT so-bre l’ensenyament de les matematiques.

• 2004: Segona Jornada SCM-FEEMCAT sobrel’ensenyament de les matematiques. Homenat-ge a Miguel de Guzman.

• 2005: El 8 d’octubre es va realitzar la Jor-nada FEEMCAT-SCM sobre la formacio delprofessorat, d’infantil a la universitat.

• 2006: Participacio a l’ICM, juntament amb elCRM i les universitats, amb el suport del De-partament d’Educacio. Aquesta actuacio es varealitzar a partir de la Resolucio 368/VII delParlament de Catalunya, sobre el suport insti-tucional del Govern al Congres Internacionalde Matematics de 2006.

• Des de 2006: Elaboracio del portal Edumat-cat(http://phobos.xtec.cat/edumatcat), con-juntament amb el Departament d’Educacio iamb la col.laboracio de les universitats. Hompreveu tenir actualitzat aquest web per alcongres ICMI 2008.

• A partir de 2006: Acollida del grup de treballMuseu de Matematiques de Catalunya.

• 2006 i 2007: Reunions amb els coordinadorsde les PAU amb l’objectiu d’estudiar milloresque poden introduir-se a les PAU i debatrela conveniencia de l’us de les calculadoresgrafiques durant la realitzacio de les proves.

• 2007: El 29 de setembre es va realitzar la Jor-nada FEEMCAT-XEIX-SCM, Per que hemd’estudiar matematiques? Reflexions entornal currıculum des d’infantil fins a la universi-tat. Al final d’aquesta jornada els assistentsvan signar un manifest dirigit al Departamentd’Educacio recollint la preocupacio generadaarran de l’assignacio horaria de matematiquesa l’ESO, menor a Catalunya que a la resta decomunitats de l’Estat.

• 2007: Problemes a l’esprint s’incorpora com aactivitat conjunta de la FEEMCAT i la SCM.

Es intencio de la nova Junta seguir valorantcadascuna de les intervencions conjuntes SCM-FEEMCAT i intensificar aquesta relacio sempreque sigui possible, amb el benentes que la col-laboracio mutua facilitara la tasca de vetllar perl’educacio matematica dels ciutadans del nostrepaıs.

Carme Aymerich i Pilar Royopresidenta i expresidenta de la FEEMCAT

20

Cap a la creacio d’un Museu de Matematiques de Catalunya

La formacio matematica de les persones es es-sencial per al desenvolupament democratic itecnologic de les societats. El mon actual seriaimpossible sense les matematiques, ja que aques-ta formidable construccio de la intel.ligencia hu-mana es al darrere de la practica totalitat delsobjectes que ens envolten i dels models i lesteories que emmarquen la nostra vida. Parado-xalment, moltes persones en tenen una imatgedeformada i no les identifiquen amb la culturani veuen les aplicacions que se’n deriven. Peraixo mateix, un dels grans reptes que afrontenara mateix les societats desenvolupades es el depromoure la democratitzacio del coneixementmatematic. Des d’aquesta perspectiva, ens calentots els instruments possibles per presentar unesmatematiques humanes, plenes d’historia, apli-cables i funcionals. Un d’aquests instruments es,sens dubte, disposar d’un museu de les matema-tiques.

A partir d’aquesta inquietud va neixer elgrup per a l’elaboracio del projecte de creaciod’un museu de matematiques la primavera de2006, sota els auspicis de la FEEMCAT (Fede-racio d’Entitats per a l’Ensenyament de les Ma-tematiques a Catalunya). Posteriorment, el grupva ser acollit per la Societat Catalana de Ma-tematiques i per l’Institut de Ciencies de l’Edu-cacio de la Universitat Politecnica de Catalunya.A mes, en el decurs d’aquests gairebe dos anys, elgrup s’ha obert a altres institucions, que tambehi col.laboren, com el Departament d’Educaciode la Generalitat de Catalunya, la Facultat deMatematiques i Estadıstica de la UPC, la Facul-tat de Matematiques de la UB i el professoratde matematiques de la UPF. Ara mateix, estanen proces d’incorporar-s’hi d’altres entitats.

Els objectius generals que emmarquen el nos-tre treball son els de divulgar i estimular unaimatge social positiva de les matematiques, po-sar de manifest la seva presencia i el paper quejuguen per a la nostra cultura i per al nostreprogres i donar suport i complementar la tascaque es fa als centres educatius des de primariafins a la universitat.

Les primeres passes del grup han estat diri-gides a definir i dissenyar el projecte, prepararexemples que permetin visualitzar-lo, divulgar-

lo, cercar suports i crear un espai virtual queempari el museu.

Paral.lelament, s’han visitat museus i expo-sicions i s’han mantingut entrevistes de treballamb algunes de les seves direccions (Matema-tikum de Giessen a Alemanya, MatematicaViva de l’Atractor a Lisboa, La Fete a Fer-mat i el museu de la Maison natale de Pi-erre Fermat a Franca, ¿Por que las Ma-tematicas? dins l’International Congress ofMathematicians a Madrid, la Fira de Museusi Educacio a Barcelona). El grup tambe haparticipat com a convidat a The EuropeanAnnual Conference for Science Centres and Mu-seums a Lisboa.

En aquests moments ja tenim un dissenyinicial del projecte i treballem en la preparaciod’exemples amb la intencio de presentar unaexposicio itinerant que s’inauguraria amb motiude les JAEM (Jornadas para el Aprendizaje yla Ensenanza de las Matematicas) que tindranlloc a Girona el juliol de 2009.

El fil conductor d’aquesta primera mostraseria el de la proporcionalitat, tema mitjancantel qual es poden relacionar aspectes molt diver-sos de l’activitat matematica i que, a mes, te lavirtut d’admetre lectures per a tots els nivells,des dels aspectes mes elementals fins a aquellsde considerable complexitat.

Durant aquests dos anys tambe hem treba-llat en els apectes logıstics i organitzatius: hemcontactat amb entitats publiques i privades pertrobar suport economic, hem comencat a estu-diar possibles ubicacions de la seu definitiva delmuseu a partir de contactes amb alguns muni-cipis i amb la Diputacio de Barcelona i heminiciat l’estudi dels aspectes jurıdics que hand’emparar el projecte.

Volem un museu que mostri la utilitat i l’apli-cabilitat de les matematiques, que contribueixia la millora de la seva imatge, amb una fortadimensio estetica, amb grans espais i grans for-mats, amb materials de qualitat i de dissenyacurat i que convidi a la manipulacio, a la refle-xio i a la contemplacio. Creiem que un museues un bon lloc per pensar, per provocar reac-cions i emocions, per estimular, per interessari que permeti fer visible el que tenen en comu

21

coses diferents. Pensem que el museu ha de sermes aviat un punt de trobada i no un lloc pervisitar i que no hauria de ser un perllongamentde l’escola. El museu ha d’estar al servei de lesinstitucions educatives, pero des de fora. Volemun museu viu: perque sigui manipulatiu i perquefaci recerca i prepari noves exposicions i nousmaterials.

En algunes ocasions, d’entrada i especial-ment amb persones no matematiques, el nostreprojecte ha estat rebut amb cert escepticismei hem sentit dir coses com ara: Voleu dir unmuseu de matematiques? o Tan malamentestan les matematiques que ja les voleu dur almuseu? o En el nom que proposeu —Museude Matematiques de Catalunya— nomes hi so-bren dues paraules: museu i matematiques.Tanmateix, despres, quan hem pogut explicarque pretenem i com volem dur-ho a terme, lesopinions han estat molt favorables i encoratjado-res. Aixo ens anima a seguir endavant i reforcala nostra ferma conviccio que, tot i la complexi-tat de l’empresa, el Museu de Matematiques deCatalunya, amb una seu estable, amb recursos iun espai adequat, es possible. Tota la comuni-

tat matematica esta convidada a participar enaquest projecte col.lectiu.

Podeu trobar mes informacio sobre el mu-seu al web http://www.mmaca.cat que es va ferpublic el maig passat.

En aquest moment els coordinadors del grupson: Anton Aubanell actualment es el respon-sable del CREAMat (Centre de Recursos perEnsenyar i Aprendre Matematiques) del Depar-tament d’Educacio de la Generalitat de Cata-lunya), Josep Rey el Departament d’Educacioli ha concedit una reduccio del 50 % de la sevajornada com a professor per poder desenvoluparel seu treball en el si del Grup del Museu deMatematiques i Damia Sabate es el responsablede formacio del professorat de secundaria en elsambits de matematiques i de ciencies experimen-tals de l’ICE (Institut de Ciencies de l’Educaciode la Universitat Politecnica de Catalunya).

Anton Aubanell, Josep Rey, Damia Sabate

Reunio de treball del grup.

22

Les conjectures matematiques no resoltes, reptes matematicsper al segle XXI

L’any 2000, any mundial de les matematiques,el Clay Institute dota set premis, amb un mi-lio de dolars cadascun, per la resolucio de setgrans conjectures matematiques, anomenadesdes d’aleshores Els Problemes del Mil.lenni,una de les quals ja constava a la llista dels 23problemes presentats per David Hilbert l’any1900. Per a mes informacio podeu consultar elweb de l’institut, http://www.claymath.org.

Durant aquest semestre, el CosmoCaixa iel Centre de Recerca Matematica, sota la co-ordinacio de Manuel Castellet, han organitzatun cicle de sis conferencies sobre sis conjecturesmatematiques de gran interes avui dia, quatrede les quals precisament, problemes del mil.lenni.El cicle, dirigit a la comunitat cientıfica catalanaen sentit ampli, presenta, de la ma dels expertsi comunicadors mes destacats, l’origen, l’estat il’aplicabilitat de sis d’aquestes grans conjectures(una d’elles, la de Poincare, recentment resolta),que afecten aspectes tan variats com els lımitsde la computabilitat, l’estudi de turbulencies, lateoria de fractals o el paper de la musica delsnombres primers en la teoria de les partıculeselementals. Totes sis conferencies han tingutlloc a l’auditori del CosmoCaixa, amb gran exitd’assistencia i, segons opinio generalitzada, to-tes han estat molt interessants i de gran valordivulgatiu. Agraım des d’aquestes lınies, doncs,la bona feina feta tant pels conferenciants compels organitzadors del cicle. A continuacio, femun petit resum del contingut de cadascuna.

• Dia 17 de gener, Marcus du Sautoy (Univer-sitat d’Oxford, Regne Unit), La musica delsnombres primers (presentadora de la sessio:Pilar Bayer, UB). Per que Beckham va es-collir la samarreta numero 237? Com es queel 17 es la clau de la supervivencia evolutivad’una especie estranya de cigala? Els nom-bres primers son els atoms de l’aritmetica—l’hidrogen i l’oxigen del mon dels nombres.Malgrat la seva importancia fonamental enl’ambit de les matematiques, representen undels enigmes mes seductors en la recerca delconeixement huma. E1 1859, el matematicalemany Bernhard Riemann va tirar enda-vant una idea —una hipotesi— que semblavarevelar una harmonia magica existent en el

camp dels nombres. Hi ha un milio de dolarsesperant que algu resolgui el misteri de la par-titura oculta que podria explicar la cacofoniadels nombres primers.

• Dia 14 de febrer, Jaume Llibre (UniversitatAutonoma de Barcelona, Catalunya), La con-jectura 3x + 1 i els lımits de la matematica(presentador de la sessio: Armengol Gasull,UAB). El problema 3x + 1 estudia el compor-tament d’una successio de nombres naturalsque comenca per un natural n qualsevol ique continua amb el natural 3n + 1 si n essenar, o el n/2 si n es parell. La conjectura3x+1 assegura que, comencant des de qualse-vol natural n, la repeticio iterada de la funcioprodueix sempre finalment el valor 1. Malgratque aquest fet s’ha pogut comprovar per a totn mes petit o igual que 4035225266123964416amb potents ordinadors, la matematica actu-al encara no ha estat capac de trobar-ne unademostracio. El gran matematic Paul Erdos(1913-1996) creia que la matematica encarano estava preparada per a aquest problemaaparentment tan simple. Continua tenint rao?

• Dia 4 de marc, Antonio Cordoba (Univer-sitat Autonoma de Madrid, Espanya), Lesmatematiques als dominis d’Eol i Neptu: lesequacions de Navier-Stokes (presentador dela sessio: Joaquim Bruna, UAB). Les ma-tematiques dels fluids concerneixen tres es-tadis de la materia (lıquid, gas i plasma) iel seu estudi es un tema central en fısica ienginyeria, pero tambe en matematiques, desdel segle xviii fins als nostres dies. Malgrat laseva importancia i la dedicacio que ha rebut,l’analisi dels fluids ensopega amb dificultatsenormes ates el caracter no lineal de les sevesequacions, anomenades d’Euler i de Navier-Stokes. Tot i que han donat lloc a teoriesprofundes, encara queden moltes preguntesbasiques la resposta de les quals seria impor-tant de coneixer per, entre d’altres objectius,poder entendre els fenomens turbulents.

• Dia 10 d’abril, Robert Devaney (Universitatde Boston, EUA), La geometria fractal delconjunt de Mandelbrot (presentadora de lasessio: Nuria Fagella, UB). En aquesta con-ferencia descrivim, mitjancant una combina-cio d’experiments informatics, vıdeos i tecni-

23

ques geometriques, les belles matematiquesque hi ha darrere el conjunt de Mandelbrot.El conjunt de Mandelbrot es basa en unes ex-pressions matematiques simples: x2 + c, peroes sorprenent que una formula tan senzilla pu-gui portar a imatges tan complicades. Moltshan vist les intricades i belles estructures quesorgeixen d’aquest conjunt, pero pocs s’ado-nen que cadascuna d’aquestes estructures teel seu propi significat matematic especıfic, ique els matematics poden entendre aquestacomplexitat gairebe fins al mes mınim detall.Hi ha, pero, un petit problema: nomes en-tendrem completament x2 + c si la vora delconjunt de Mandelbrot esta, com dirıem, lo-calment connectada, i fins ara ningu no sapsi aixo es cert.

• Dia 6 de maig, Avi Wigderson (Institute ofAdvanced Studies, Princeton, EUA), El pro-blema P versus NP i els lımits del conei-xement (presentador de la sessio: Josep Dıaz,UPC). El problema P versus NP es unproblema matematic precıs, pero es unic pelseu significat filosofic i per l’impacte que tin-dria la seva resolucio. Si P es igual a NP ,podem aspirar a resoldre de manera rapidala majoria dels altres reptes matematics i ci-entıfics que se’ns plantegen. Si P no es iguala NP , podem aspirar a fer que la seguretatde les interaccions electroniques sigui incon-dicional. En aquesta conferencia, formularemel problema P versus NP i explicaremaquestes relacions de tanta transcendencia.

Tambe descriurem la recerca que ha suscitataquest problema en complexitat computacio-nal i parlarem dels intents que s’han fet pera resoldre’l.

• Dia 29 de maig, Gang Tian (Universitat dePrinceton, EUA), La conjectura de Poincarei la geometria (presentador de la sessio: JoanPorti, UAB). La conjectura de Poincare, pre-sentada l’any 1904, dona una caracteritzaciotopologica de l’espai tridimensional mes sim-ple, la 3-esfera. Ha estat la questio central dela topologia, una branca molt important deles matematiques, i, des que es va formularara fa mes de cent anys, ha estat tempteja-da repetidament amb tota mena de metodestopologics, pero no hi ha hagut manera deresoldre-la. La seva importancia i la seva difi-cultat es van posar en relleu l’any 2000, quanva entrar a formar part dels set problemesmatematics del mil.lenni de l’Institut Clay. El2002 i el 2003, G. Perelman va presentar tresesborranys que demostraven com fer servir elsmetodes geometrics, en particular el flux deRicci tal com l’havia introduıt i estudiat Ha-milton, per establir la conjectura de Poincareen afirmatiu. Els metodes geometrics impli-caven la metrica riemanniana, iniciada perRiemann a mitjan segle xix i desenvolupa-da al llarg dels darrers cent cinquanta anys.L’objectiu d’aquesta conferencia es proporci-onar una breu panoramica de la conjecturade Poincare i la geometria relacionada, d’unamanera intuıtiva.

Grups d’Estudi de Matematica i Tecnologia, GEMT2007

Aquestes jornades, que s’anomenen Grupsd’Estudi de Matematica i Tecnologia, jas’havien realitzat anteriorment els anys 2001,2002 i 2003 (es poden veure dades sobreaquestes edicions a www-fme.upc.es/gemt/). Se-gueixen l’estil dels European Study Groupswith Industry, que van comencar a realitzar-se a Oxford fa gairebe quaranta anys (ve-geu www.maths.ox.ac.uk/ociam/Study-Groups/),pero en el nostre cas tenen un format una mi-ca mes reduıt, tant pel que fa al nombre departicipants com pel nombre de temes abordats.

En uns Grups d’Estudi es reuneixen inves-tigadors en matematiques, que principalmentson professors i investigadors, i durant uns dies

treballen en alguns dels problemes suggerits perpersones que formen part d’equips d’investigaciod’empreses, institucions o equips tecnologics nomatematics. Aquests tecnolegs, amb els qualss’ha contactat previament, presenten els proble-mes en la primera sessio del primer dia. Posteri-orment, els matematics es divideixen en grups,un per a cada problema, on es procura resoldre’lo apuntar possibles vies de solucio. Finalment,a la darrera sessio, es presenten les conclusions,que posteriorment tambe es deixen per escrit.

Els GEMT2007 es van celebrar els dies 9, 10i 11 de juliol als locals de la FME de la UPC.Van comptar amb l’assistencia de vint-i-vuit par-ticipants, que provenien de diverses universitats

24

catalanes. L’organitzacio va realitzar-se conjun-tament entre l’OSRM de la FME i el CRM,va gaudir del suport economic del projecte I-MATH i va fer-se en coordinacio amb el centreCESGA, de Santiago de Compostela, que tambeorganitza jornades amb finalitats similars.

En aquesta edicio s’han estudiant els proble-mes seguents:

1. Modelitzacio matematica del rem en elllagut catala, problema presentat per dosmembres de la Federacio Catalana de Rem.Es tractava d’estudiar algunes caracterısti-ques geometriques i mecaniques d’aquest es-port tradicional.

2. Previsio de la produccio eolica, presen-tat per l’empresa Ambio, SA. El problemaconsistia a millorar algunes de les formes ac-tualment utilitzades per a la previsio diariade la produccio en parcs eolics.

3. Diagnosi de fallades multiples a la xarxade pluviometres del sistema de clavegueramde Barcelona, presentat per un equip de laUPC (departament d’ESAII) que fa estudisper encarrec de l’empresa Clabsa. El pro-blema consistia a detectar (on line) els plu-viometres que estaven fallant a partir de lesdades enviades per la xarxa de pluviometresi pels aparells de mesura de la xarxa del cla-vegueram de Barcelona.

Tant els matematics assistents com els quevan plantejar els problemes han valorat molt po-sitivament els resultats obtinguts. El sentimentgeneral d’uns i altres ha estat que els problemess’han pogut treballar poc, per manca de temps,pero aquest es un fet inevitable en unes jor-nades d’aquesta mena. Mes aviat, els resultatss’han d’entendre com a primeres aproximacionsque mereixerien un tractament mes aprofunditi detallat en el futur.

De cada problema se n’ha redactat una res-posta per escrit, que nomes preten recollir lesidees que van sorgir a les discussions, pero que,com que s’ha pogut redactar amb menys pressa,tambe ha permes presentar les respostes als pro-blemes d’una manera una mica mes completa.

Aquestes respostes, juntament amb els enunci-ats dels problemes, apareixeran en una petitapublicacio, que encara esta pendent de realitzar-se. Aquests escrits tambe podran llegir-se en elweb.

Grup de participants als GEMT2007.

Des del punt de vista estrictament mate-matic, els problemes han involucrat temes moltdiversos: geometria, mecanica, equacions diferen-cials i metodes numerics en el primer problema(llagut catala); estadıstica, optimitzacio i geo-metria en el segon problema (produccio eolica),i geometria, interpolacio i optimitzacio en eltercer problema (pluviometres). Aixo es unabona mostra que els problemes suggerits desd’interlocutors no matematics es caracteritzenprecisament perque son consistents amb la mo-tivacio del problema, i no necessariament ambles eines per a resoldre’l.

L’interes dels Grups d’Estudi esta en el fetque treuen profit del caracter transversal que tela matematica. La matematica s’usa en moltesactivitats de recerca, pero de vegades passa queels investigadors especialitzats no tenen prouconeixements matematics o prou experiencia enaquest camp. En aquest sentit, els Grups d’Es-tudi representen una empenta important per aactivitats de recerca que puguin quedar estan-cades per causa de dificultats matematiques.

Un altre resultat dels GEMT es l’ajuda quedona als grups de matematics a coneixer pro-blemes nous d’aplicacions i a entrar en contacteamb equips tecnologics als quals d’altra manerapotser no els hauria resultat facil d’accedir.

J. A. Carrillo, E. Fossas, J. Sola-MoralesOrganitzadors

25

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB durant el curs 2007–2008

La Facultat de Matematiques de la Universi-tat de Barcelona, dins del marc de col.laboracioamb els professors de l’ensenyament secundari,ha continuat les diverses activitats que ja fadiversos anys que es porten a terme.

Matefest 2008.

Aixı, doncs, els dies 7 i 14 de gener va te-nir lloc la xerrada-taller Estadıstiques curio-ses per part de la doctora Olga Julia, del De-partament de Probabilitat, Logica i Estadıstica,que ens va mostrar com molt sovint es fa unus erroni de les estadıstiques en els mitjans decomunicacio, fet que porta a notıcies curiosesi sovint falses o contradictories. A continuaciode la xerrada, els alumnes van participar en untaller on van realitzar, de manera practica, ex-periments de probabilitat i estadıstica. Hi vanparticipar un total de set-cents alumnes de batxi-llerat de trenta-dos centres diferents, distribuıtsen quatre torns.

El semestre de primavera vam escoltar, elsdies 23 i 30 de gener, el doctor Oriol Pujol, delDepartament de Matematica Aplicada i Analisi,que ens va parlar de Visio artificial: que ve-uen les maquines?. En aquesta xerrada ens vaexplicar en que consisteix la intel.ligencia arti-ficial, i ens va mostrar alguns robots de Legopreviament programats per a realitzar tasquessenzilles. Seguidament, al taller, els alumnesvan poder experimentar pel seu compte el quehavien escoltat previament. La participacio va

ser de set-cents vint alumnes de batxillerat, detrenta-tres centres diferents, tambe distribuıtsen quatre torns.

El matı del dia 30 d’abril es va celebrarl’edicio d’enguany de la Matefest/Infofest(http://www.ub.edu/matefest/verb1−1infofest).Aquesta festa singular l’organitzen els mateixosalumnes de la Facultat i va adrecada als alum-nes del segon cicle d’ESO i tambe de batxillerat.En aquesta jornada, es va poder experimentaramb les diverses vessants de les matematiques ide la informatica, en les diferents paradetesi estands repartits per tot l’edifici historic de laUB. Al llarg del matı tambe es va poder gaudirde conferencies i tallers. Com a novetat, aquestany es van exhibir multitud d’objectes d’interesmatematic provinents del futur Museu de laMatematica (trobareu un article en aquestamateixa SCM/Notıcies).

Coincidint amb la Matefest/Infofest, la Fa-cultat organitza la Jornada de Portes Obertesadrecada a tots els alumnes de secundaria quevulguin informacio sobre els ensenyamentsque impartim.

Matefest 2008.

Des de la Facultat continuem donant su-port a diversos treballs de recerca en matemati-ques, posant en contacte els nostres alumnes iprofessors amb aquells alumnes i tutors de bat-xillerat que aixı ho han demanat. Tornarem acomencar aquesta activitat durant els primersmesos de 2009.

Trobareu informacio de les activitats al webwww.ub.edu/futursinousestudiants/ubicat i mesgeneral sobre la Facultat a www.mat.ub.edu.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

26

Dissabtes de les Matematiques i altres activitats de suport i divulgacio a la UAB

Un any mes, l’oferta divulgativa del Departa-ment de Matematiques de la UAB ha girat alvoltant de l’activitat dels Dissabtes de les Ma-tematiques, que s’han realitzat durant el mesd’abril. Iniciades l’any 2000, aquestes jornadeshan anat evolucionant fins a adquirir el formatactual, que a mes d’oferir xerrades molt interes-sants en les diverses arees de coneixement de lamatematica es complementen amb tallers d’ex-periments, jocs i concursos dels quals tots anemaprenent.

Dissabtes de les Matematiques, curs 2007-2008.

L’objectiu principal d’aquesta activitat es di-fondre la presencia de les matematiques en moltsaspectes de la vida diaria i en les noves tecnolo-gies, obrint les portes a un public molt ampli:des d’alumnes d’ESO i batxillerat a professorsde secundaria i als alumnes de la mateixa lli-cenciatura, que col.laboren intensament a l’horadel taller fent de monitors.

L’encarregat de la primera sessio que obriala nova temporada dels Dissabtes de les Ma-tematiques 2008 fou el professor Josep LluısSole, que, amb la frase de Dant Abandoneu totaesperanca els qui aquı entreu, ens va situar a lesportes, no de l’infern, sino d’un casino. Vam gau-dir d’una xerrada titulada Les matematiquesde la incertesa, plena de referencies culturals,anecdotes i paradoxes que semblen contradir elque ens dictaria el sentit comu, amb la qualels assistents van poder descobrir unes quantespinzellades de la teoria de la probabilitat.

La segona jornada, Els fractals a la natu-ra, va ser a carrec del professor Joan Torregro-sa. Des d’objectes de la natura fins a la medicinamoderna, els assistents van ser introduıts al con-cepte i estructura dels objectes fractals i, fins i

tot, en varen poder observar en un broquil, unafulla de falguera o una radiografia ossia. En el ta-ller, tothom va poder construir els seus fractalsamb paper o pintura per endur-se’ls a casa, oobservar en directe com una reaccio quımica d’e-lectrolisi amb coure anava creant una estructurafractal.

El va seguir un dissabte molt diferent, cen-trat a presentar i analitzar metodes de votacio.Una xerrada captivadora del professor XavierMora i, es clar, molt oportuna per a fer-nos refle-xionar en un any intens d’eleccions. Metodes devotacio: podrıem fer-ho millor i no caure en unaparadoxa despres d’una altra? Un apassionantconcurs va acabar la jornada d’aquest dissabte.

Per tancar el cicle d’enguany, i commemo-rant l’any que la UAB dedica a la computacio,el professor Juan Jesus Donaire va presentarLes matematiques que s’amaguen darrere unacamera digital. Ara ja no podrem deixar d’ex-plicar les diferencies que s’amaguen darrere delsdiferents formats digitals. I quina millor manerad’acabar que anant a visitar el Centre de Visioper Computador, ubicat al mateix campus deBellaterra, a qui hem d’agrair que ens mostres-sin l’ampli ventall de projectes capdavanters ques’hi duen a terme.

Dissabtes de les Matematiques, curs 2007-2008.

Ara be, a mes d’aquestes jornades es desen-volupen altres activitats de suport i divulgacio.Des del Departament, i a traves del progra-ma Argo de la UAB, es dona suport a Tre-balls de recerca en matematiques. La tascad’aquest programa es la de posar en contac-te els alumnes de batxillerat que ho sol.licitinamb el professor mes adient dins del Departa-ment. Al llarg del curs es realitzen xerrades

27

divulgatives, tant en els instituts com dins elcampus, per a aquells que el visiten. Tota lainformacio practica sobre aquests programesde divulgacio, suport i visites, aixı com la re-

vista electronica de divulgacio Mat2, la podeuconsultar al nou web del Departament de Ma-tematiques, http://www.uab.cat/matematiques,dins l’apartat de Divulgacio.

Berta Barquero i Natalia CastellanaOrganitzadores

Activitats de la FME durant el curs 2007–2008

Com ja va essent tradicio, la Facultat de Mate-matiques i Estadıstica de la UPC ha dedicat elcurs 2007–2008 a una personalitat del mon de lamatematica: enguany hem triat G. F. BernhardRiemann. La llico inaugural del curs, La funcioζ de Riemann, va anar a carrec del professorJordi Quer.

Llico inaugural.

En el conjunt d’activitats del cicle La dona:element innovador en la ciencia, que va organit-zar la Real Sociedad Espanola de Matematicas,amb la col.laboracio de professorat del Departa-ment de Matematica Aplicada 4 de la UPC, laFME va acollir el 28 de novembre i els dies 12 i 19de desembre les conferencies que van impartirles professores M. Jesus Carro (UB), Guada-lupe Gomez (UPC) i Sonia Martınez (UCSD)titulades Matematicas y Matematicas, LaEstadıstica: una cuestion de supervivencia iControl individual y coordinado de multiplessistemas mecanicos, respectivament. En aquestcontext, durant el mes de marc, al vestıbul dela facultat, hi va haver l’exposicio La dona:element innovador en la ciencia sobre les acti-vitats de dones de tots els temps que han tingutun paper rellevant en el progres cientıfic. Aques-ta exposicio ha estat visitada i comentada peralguns dels estudiants de secundaria que hanparticipat en les activitats que, al voltant del’estadıstica, s’organitzen els dijous.

Durant el mes de novembre, per Sant Albert,es van fer les fotografies tradicionals amb totsels estudiants a les escales del pati i, uns diesmes tard, els actes d’entrega de diplomes alstitulats.

El dia 18 de desembre, el professor M. Atiyahva contribuir a donar rellevancia al curs Rie-mann amb la conferencia Riemann’s Influencein Geometry, Analysis and Number Theory.

Abans de comencar la conferencia, el vice-rector Xavier de las Heras va anunciar, en nomdel rector de la UPC, l’acord pres pel Consellde Govern de nomenar Sir Michael Atiyah doc-tor honoris causa per la Universitat Politecnicade Catalunya. L’anunci va ser acollit amb gransatisfaccio per tots els assistents.

El mes de gener el professor L. Espanol de laUniversitat de La Rioja va participar en el queen diem un cafe matematic. Va parlar-nos dela biografia de Rey Pastor i de la seva activitatcom a editor de textos universitaris.

La Jornada Riemann tingue lloc el mesde febrer i, tambe emmarcades en el curs Ri-emann, vam poder gaudir de les conferenciesque va donar el professor Munoz Porras, de laUniversitat de Salamanca, el mes d’abril.

Inauguracio del cicle La dona: elementinnovador en la ciencia.

Els estudiants de la FME han continuat or-ganitzant el concert de Nadal i el de Primavera,

28

que aquest any ha estat per Sant Jordi. La qua-litat de les seves actuacions fa que aquest esde-veniment sigui molt esperat per tota la facultat.El grup de teatre enguany ha representat Elsdeu negrets, d’Agatha Christie. Es remarcableel nivell d’interpretacio que assoleixen, a mes dela qualitat dels decorats, els efectes de llum i so,etc. Totes dues representacions van ser un exit.

El dimarts 22 d’abril a les 12 h el guanya-dor de l’edicio 2008 del Premi Ferran Sunyer iBalaguer, Luis Barreira, de l’Instituto Superi-or Tecnico de Lisboa, va donar la conferenciaHiperbolicity and Recurrence, en la qual vadescriure el treball guanyador d’aquest premi.

Tal com ja s’havia anunciat, el dia 25 d’a-bril Sir Michael Atiyah va ser investit doctorhonoris causa per la UPC en un acte solemnea l’edifici Vertex de la nostra Universitat. Enaquest mateix numero de SCM/Notıcies podeutrobar un article dedicat especıficament a aquesttema. Despres del lliurament de la 5a edicio delPremi Poincare al millor treball de recerca de se-cundaria en matematiques i/o estadıstica, la con-ferencia Riemann y el analisis matematico acarrec del doctor Antonio Cordoba (UAM) vadonar per clausurat el curs 2007–2008. Podeutrobar mes informacio a www-fme.upc.es.

Margarida MitjanaVicedegana de Relacions de la FME

Activitats amb ajut de la SCM

Congres Internacional 300 aniversari Leonhard Euler (1707-2007)Barcelona, 20–21 de setembre de 2007

El 15 d’abril de 2007 va fer tres-cents anys queva neixer un dels matematics mes importantsde la historia, Leonhard Euler (1707–1783). ElGrup de Recerca d’Historia de la Ciencia i dela Tecnica (GRHCT), juntament amb el Depar-tament de Matematica Aplicada I de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya, va commemoraraquest tricentenari celebrant un congres inter-nacional, adherint-se aixı a tots els homenatgesque la comunitat cientıfica li va fer arreu delmon.

En el congres es va analitzar l’obra d’Euleri el seu impacte des de la seva vessant com aenginyer i des de l’area d’historia de la ciencia.Amb aquestes analisis es volia transmetre alsparticipants una percepcio de la matematicacom a ciencia util, humana, interdisciplinaria,dinamica i heurıstica i a la vegada ampliar laformacio cientıfica dels futurs enginyers i ma-tematics aportant-los nous coneixements.

Si cal destacar quelcom de l’obra d’Euler po-dem enumerar dos trets: la seva ingent producciocientıfica materialitzada en la gran quantitat dememories que va publicar, on va reflectir totsels coneixements de la matematica pura i mixtames innovadors del moment, i la gran diver-sitat d’aquesta qualificada produccio amb tre-balls que incidiren en diferents camps d’aplicacio

de les matematiques com ara la hidrodinamica,l’optica, l’artilleria, la construccio naval, etc. Lescontribucions d’Euler obriren la porta a la ma-tematica contemporania, ja que molts treballsmatematics desenvolupats al segle xix es varenfonamentar en els resultats eulerians obtingutsen el segle anterior.

El dijous 20 de setembre, a les 11 h, a l’AulaCapella de l’Escola Tecnica Superior d’Engi-nyeria Industrial de Barcelona, despres d’unesparaules de benvinguda del director de l’Escolad’Enginyeria Industrial de Barcelona, FrancescRoure, el professor d’historia de la ciencia Gui-llermo Lusa, coordinador del GRHCT, va fer lapresentacio del congres. Tot seguit varen tenirlloc les dues primeres conferencies, la prime-ra impartida per Giovanni Ferraro (Universi-tat de Molise, Campobasso) titulada Euler’stheory of integration. El professor Ferraro eshistoriador de la matematica i la seva recercaprincipal esta centrada en les matematiques delssegles xviii i xix. Especialitzat en l’obra d’Euler,ha publicat molts articles sobre els seus treballscientıfics a revistes de primer rang. El professorFerraro va presentar la nocio d’integral en l’obrai en l’epoca d’Euler. Explicava com Euler inten-tava definir noves funcions emprant l’operaciod’integracio, pero a la vegada ens assenyalava

29

que les presentava amb un estatus diferent deles ja conegudes en aquella epoca. Euler, segonsFerraro, considerava l’analisi com la ciencia queinvestigava els objectes matematics d’una mane-ra abstracta i general. Concretament basava elsseus arguments en alguns exemples en que Eu-ler trobava la integral general en les equacionsdiferencials.

La segona conferencia fou impartida per Car-les Perello (UAB, Barcelona) sota el tıtol Pro-blemes d’enginyeria a L. Euler. El professorPerello, que ha combinat al llarg de la seva vi-da professional activitats com a enginyer i coma matematic, ja va intervenir al cicle de con-ferencies de l’any 1982 per commemorar el 200aniversari de la mort d’Euler (Societat Catalanade Ciencies, Seccio de Matematiques). Esta es-pecialitzat en el camp cientıfic de les equacionsdiferencials i es actualment president de la So-cietat Catalana de Matematiques. Ha treballatsobre Euler, posant de relleu els seus resultatsmes utils a l’enginyeria. En la seva dissertaciova parlar dels treballs d’Euler sobre la turbinahidraulica de reaccio, la flexio de les bigues il’estabilitat de flotacio dels vaixells. Ambduesconferencies dels professors Ferraro i Perello va-ren ser seguides d’un interessant debat per unacinquantena de persones.

A la tarda es varen presentar les comunica-cions lliures sobre la figura i l’obra d’Euler. Calassenyalar que els ponents eren de procedenciamolt diversa, i varen abracar amb les seves inter-vencions diferents aspectes del treball d’Euler.Aixı, des de la vessant d’Euler enginyer i fısic-matematic, el professor Sebastia Xambo, degade la Facultat de Matematiques i Estadıstica dela UPC, ens va parlar d’Euler i la dinamicadel solid rıgid; Josep M. Pons Poblet i MiquelCasafont (UPC) varen dissertar sobre El feno-men del vinclament de columnes segons Euler,i Juan Miguel Suay Belenguer, de la Universi-tat Miguel Hernandez d’Elx (Alacant), en laseva comunicacio ens va parlar de Los moli-nos y las cometas de Mr. Euler Le fils. Modelosmatematicos para las maquinas hidraulicas enel siglo xviii. Altres ponents varen presentaraltres obres amb aspectes mes matematics i/ocomparatius: Pedro Gonzalez Urbaneja va par-lar d’Euler y la geometrıa analıtica; JuanNavarro Loidi (IBDG-Guipuzcoa, Paıs Basc)va presentar la seva ponencia sota el tıtol Elnumero e en los textos matematicos espanoles

del siglo xviii; Josep Pla, de la Universitat deBarcelona, va dissertar sobre “Tractatus de nu-merorum doctrina capita sedecim quae super-sunt” i els “Disquistiones Arithmeticae”: unacomparativa; tambe Luis Espanol i EmilioFernandez, del Departamento de Matematicasde la Universitat de la Rioja (Logrono), ambel tıtol Euler, Rey Pastor y la sumabilidad deseries, ens varen alliconar sobre les interpre-tacions d’alguns aspectes matematics de l’obrad’Euler. Finalment, Eduard Recasens, professorde la Facultat de Matematiques de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya, ens va parlarSobre un dels treballs d’Euler en geometriaclassica: l’E135. Amb un ambient distes i cor-dial i amb la sensacio d’haver fet bona feina,es va cloure la jornada amb un sopar en queorganitzadors, conferenciants i ponents varemcontinuar debatent sobre la figura d’Euler.

Participants a la taula rodona.

Al llarg de les dues jornades va romandre alvestıbul de l’ETSEIB l’exposicio Que va dir Eu-ler?, en que a traves d’un seguit de posters esmostrava una seleccio de textos originals d’Eulertraduıts al catala per Carles Puig-Pla i M. RosaMassa-Esteve. Des d’aquı volem agrair al profes-sor Martin Mattmuller, que va fer una exposiciosimilar, titulada Experiencing Mathematics,al Museu d’Historia Natural de Basilea (de junya setembre de 2007), el permıs per utilitzar laidea i algun dels textos.

El divendres 21 de setembre a la sala d’ac-tes de la Facultat de Matematiques i Estadısticade la UPC despres d’unes paraules de benvin-guda del dega de la Facultat, a les 11 h va tenirlloc la tercera conferencia La funcio beta a l’o-bra d’Euler per Amadeu Delshams i M. RosaMassa (UPC, Barcelona). El professor Delshamses cap del Departament de Matematica Aplica-da I i director del grup de recerca EquacionsDiferencials, Geometria, Sistemes Dinamics i deControl, i Aplicacions (EGSA) de la Universitat

30

Politecnica de Catalunya. Va participar en elCurs Poincare (2003–2004) organitzat per la Fa-cultat de Matematiques i Estadıstica i col.laboraassıduament amb el grup GRHCT, en particularamb la professora d’historia de la ciencia Massa,en estudis sobre els treballs d’Euler. El professorDelshams ens va alliconar sobre com Euler el1730 va deduir els valors d’algunes integrals, queavui anomenem funcions beta, quan intentavatrobar el terme general de la progressio factori-al. Tambe ens va mostrar treballs posteriors enque Euler calculava algunes taules d’aquestesintegrals relacionant-les amb altres taules calcu-lades vuitanta anys abans per Pietro Mengoli(1626–1686).

La quarta conferencia va ser impartida perEberhard Knobloch (Universitat de Berlın) sotael tıtol Euler transgressing limits: the infiniteand music theory. El professor Knobloch esdirector de l’edicio dels escrits matematics deLeibniz des de 1976 i actualment es presidentde l’Academia Internacional de la Historia deles Ciencies i president de l’European Societyfor the History of Science. Es un dels promotorsde la celebracio mundial del tricentenari d’Euler.El professor Knobloch en la seva conferencia ensva fer palesa la creativitat matematica d’Eulera traves de quatre exemples: l’analisi de l’infinit,el tractament de la funcio Z, la utilitzacio de lesseries divergents i les aportacions eulerianes ala teoria musical. Emprant dues pantalles, unaamb l’original i l’altra amb la traduccio i inter-pretacio, a poc a poc ens va anar submergint

en l’univers d’un Euler optimista que creia pro-fundament en la possibilitat de solucionar elsproblemes matematics.

Finalment, moderada pel professor d’historiade la ciencia Antoni Roca-Rosell (UPC, Barcelo-na), es va celebrar una taula rodona sobre l’im-pacte de l’obra d’Euler. Els ponents eren els ma-teixos conferenciants del congres: Amadeu Dels-hams, Giovanni Ferraro, Eberhard Knobloch iCarles Perello. Aquı els participants varen teniruna darrera oportunitat d’intervenir i debatresobre el que va representar l’obra euleriana pera la ciencia.

Per part dels organitzadors, ara estem edi-tant un numero especial de la revista Quadernsd’Historia de l’Enginyeria sobre Euler amb lescomunicacions i les conferencies del congres.

Les entitats col.laboradores han estat la Uni-versitat Politecnica de Catalunya (ETSEIB iFME), la Catedra Unesco de Tecnica i Cultura,la Societat Catalana d’Historia de la Ciencia ide la Tecnica i el Fons de Promocio d’Activi-tats de la Societat Catalana de Matematiques.A totes agraım que hagin fet possible aquestesdeveniment. De fet, cada commemoracio d’a-niversari te la seva propia justificacio i aquestal’entenem valida per tot allo que representa iaporta l’homenatjat. El seu vessant doble dematematic i enginyer ens ha permes dur a termeun tipus d’experiencia en que l’enginyeria i lamatematica esdevenen dues capes de pinturaque donen mes llum al quadre del coneixement.

M. Rosa Massa-EsteveComite Organitzador, UPC

Primer workshop sard-catala sobre logica borrosa i algebraicaCaller, Sardenya, 5 i 6 d’octubre de 2007

En els darrers anys s’ha observat una intensifica-cio de l’activitat de recerca en les fronteres entrela logica borrosa, la logica algebraica abstracta,i les logiques relacionades amb la computacioquantica. En particular, els metodes de la logicaalgebraica abstracta han mostrat la seva utilitaten l’estudi i classificacio de diverses classes delogiques no classiques, incloent les logiques mo-dals, les logiques borroses, les logiques subestruc-turals o les logiques de la computacio quantica.

En aquestes relacions hi tenen un paper centralles estructures algebraiques ordenades.

Aquest workshop es va organitzar per a con-solidar les relacions, ja existents, entre membresde les dues comunitats d’investigadors en elstemes esmentats. Aquestes relacions inclouencol.laboracions en recerca i articles conjunts, es-tades de logics italians a l’Institut de Recercaen Intel.ligencia Artificial del CSIC localitzat alcampus de Bellaterra (Barcelona), i intervenci-

31

ons al Seminari de Logiques No Classiques dela Universitat de Barcelona. En aquesta ocasioes van reunir set investigadors italians i quatrede catalans, a mes de tres investigadors d’altresnacionalitats. El workshop va consistir en tretzeponencies i les discussions subseguents, i unataula rodona amb estudiants sobre les aplica-

cions actuals de la logica a la tecnologia i al’ensenyament de la matematica. Va ser coor-dinat per Francesco Paoli, de la Universitat deCaller, i va tenir el suport d’aquesta universitati de la Societat Catalana de Matematiques atraves del seu Fons de Promocio d’Activitats.

Josep Maria FontUB

Activitats de la SCM

Trobada SCM–SCFEn el centenari de l’IEC, un segle de dialeg entre la fısica teorica i la matematica

Jornada conjunta de la Societat Catalana de Fısica i la Societat Catalana de Matematiques,17 de novembre de 2007

La fısica es a la base de tot. Aquest va ser ellema que la SCF va adoptar el 2005 per celebrarl’Any Internacional de la Fısica. Certament, elsfısics ens referıem a un tot mes aviat ma-terial —amb els matisos que escaiguin. De fet,pensant particularment en la matematica, esben evident que no era un tot gaire total,perque sense ella la fısica esdeve muda, incapacd’articular i expressar el coneixement que pos-seeix; cega, incapac de fer una prediccio precisai contrastable qualitativament; i paralıtica, in-capac de connectar amb el que es el seu exitfonamental: la produccio de tecnologia. La ma-tematica no es tan sols un instrument per a lafısica, sino que es, en un cert sentit, el seu mediespiritual, mentre que el material es el mon ma-teix on practica l’observacio i l’experimentacio.Pero vet aquı tambe que la matematica al seutorn es deutora de la fısica, ja pels problemesi reptes que aquesta li planteja o proposa, japerque de vegades li aporta un estil, una manerafısica d’enfocar un problema, que pot donarnova llum a la seva resolucio matematica. Detotes aquestes obvietats es dedueix que el dialegentre la fısica i la matematica es d’allo mes con-venient i enriquidor per a ambdues disciplines.

Amb aquest esperit, el dia 17 de novembrede 2007 tingue lloc a la seu de l’Institut d’Es-tudis Catalans una jornada sota el lema Enel centenari de l’IEC, un segle de dialeg entrela fısica teorica i la matematica, organitzadaconjuntament per la SCF i la SCM. Feia temps

que les dues societats consideravem l’oportu-nitat de fer alguna activitat conjunta —de fetno era la primera que feiem— i ens va semblarque la celebracio del centenari de l’IEC era unabona ocasio per dur-la a terme. La jornada vaconsistir en quatre ponencies i un debat conjuntal final.

El primer ponent fou Joan Girbau, profes-sor de la UAB. En la seva conferencia El proble-ma de Cauchy per a l’equacio d’Einstein, des-pres d’una introduccio molt acurada als orıgensd’aquesta equacio, base de la relativitat general,discutı els problemes d’existencia d’una solu-cio unica donades unes dades inicials sobre unahipersuperfıcie —el problema de Cauchy—, iobserva les peculiaritats que afecten el formalis-me per causa que la teoria es invariant sota elsdifeomorfismes —el requeriment postulat perEinstein de la independencia respecte del siste-ma de coordenades triat—, cosa que comportal’existencia de lligams que les dades inicials hande satisfer aixı com tambe que la unicitat de lasolucio ho es llevat de difeomorfismes.

El segon ponent fou Paul Townsend, pro-fessor de la Universitat de Cambridge. En laseva conferencia Supersymmetry, mechanicsand geometry feu una exposicio sobre aplica-cions recents de les idees de supersimetria a lamecanica. Ho exemplifica en particular mostrantcom es podia derivar la formulacio de Hamilton-Jacobi de la mecanica considerant extensionssupersimetriques —o, millor dit, amb una conti-

32

nuacio analıtica de la supersimetria ordinaria—de certes lagrangianes invariants sota reparame-tritzacions. El professor Townsend es reconegutcom un dels pioners, juntament amb EdwardWitten, de l’anomenada teoria M , que represen-taria el marc unificador de les teories de cordes,i que encabiria tambe d’altres estructures dediferents dimensions com les p-branes.

El tercer ponent, Philip Candelas, professorde la de la Universitat d’Oxford, titula la se-va conferencia The impact of modern physicson mathematics, en que exposa la influenciad’idees procedents de la fısica per proporcionarnous metodes en les matematiques. Candelas esautor de resultats que permeteren la resolucio,a principi dels anys noranta, del problema enu-meratiu de comptar les corbes holomorfiques dequalsevol grau en una varietat de Calabi-Yau.Candelas es basa en la idea de la simetria demirall, motivada per raonaments de tipus fısicen el marc de la teoria de cordes. En la seva con-ferencia tambe va mencionar les aplicacions deles teories de camps no abelianes topologiques ala teoria de nusos, que redescobreixen de maneramolt directa resultats que amb el raonament ma-tematic tradicional havien portat molt de tempsi dificultats. Entre d’altres aplicacions que men-ciona, feu esment del fet que molts aspectes delprograma de Langlands es poden entendre com aconsequencies de la dualitat electricomagneticaen teories de gauge supersimetriques.

El quart ponent, Joan Grıfols, professor de laUAB, ja a la sessio de la tarda, va fer, en laseva conferencia titulada La construccio fısicadel mon: impacte d’un segle de relativitat iquantica, una exposicio de la visio de l’uni-vers, en les seves diferents escales, que presentala fısica contemporania. La seva ponencia va ser

molt constructiva, tot deixant veure tant la pro-gressiva sofisticacio matematica en que la fısicas’ha anat desenvolupant com els debats concep-tuals a que ha anat donant lloc en el transit desdel vell paradigma basat, diguem-ne, en Newtoni Maxwell al nou paradigma edificat a partirde les dues grans revolucions de la fısica delsegle xx. Tot emfasitzant la immensa aportacioal nostre coneixement que aquestes revolucionshan representat, el ponent va reunir d’una ma-nera molt amena la perspectiva historica ambl’esquema logicodeductiu propi de les disciplinesque, com la fısica, son ja molt madures des delpunt de vista matematic.

Finalment, com a clausura de la sessio, hihague un interessant debat entre els ponents,amb la participacio del public, que se centrasobretot al voltant dels efectes en la comuni-tat matematica de la nova onada de metodesprocedents de la fısica teorica contemporania.Es debate en particular sobre el rigor en ma-tematiques, ates que moltes vegades s’atribu-eix a la fısica teorica uns estandards de rigorno tan alts com els que es requereixen a lesmatematiques —de fet, en un dels llibres dela col.leccio de Landau i Lifchitz, els mateixosautors ja adverteixen al lector o lectora sobreaquesta manca de rigor—, amb el possible riscque comporta per a l’activitat de recerca deprendre camins equivocats, per causa d’haveravancat a base d’unes hipotesis que tal vegadaen el futur es puguin demostrar falses. El puntde vista general en el debat va ser, pero, que s’-havien d’acceptar els riscs, tot interpretant queprecisament una tasca ben consubstancial a lesmatematiques es la rigoritzacio, entesa no pastant com un punt de partida sino d’arribada.

Josep Maria PonsSCF

XLIV Olimpıada Matematica

Els dies 27, 28 i 29 de marc va tenir lloc lacelebracio de la XLIV Olimpıada MatematicaEspanyola, a la Facultat de Matematiques dela Universitat de Valencia. Va haver-hi un to-tal de cent divuit participants, que ja s’havienclassificat previament per a la final en les di-ferents fases locals de l’Olimpıada. Es varenatorgar sis medalles d’or, dotze de plata i di-

vuit de bronze. Els guardonats amb la medallad’or foren Diego Izquierdo (Madrid), Alejan-dro Gimeno (Valladolid), Juan Jose Madrigal(Catalunya), Arnau Messegue (Catalunya), Ga-briel Furstenheim (Madrid) i David Alfaya (Va-lladolid). I les dotze medalles de plata varenser per a Moises Herradon (Madrid), Luis Car-los Garcıa (Murcia), Pedro Bibiloni (Balears),

33

Andres Rodrıguez (Madrid), Santiago Codesido(Galıcia), Alberto Calderon (Burgos), Francis-co Rullan (Balears), Ricard Martınez (Cata-lunya), Noel Perez (Salamanca), Nabil Abde-rraman (Madrid), Glenier Lazaro (La Rioja) iAhmed Nuh Blanca (Valencia).

Al web www.uv.es/facmat/Olimpiada08 espot trobar mes informacio sobre aquesta fasefinal, incloent els diaris oficials de la competicio,els enunciats dels problemes, la llista completade participants i guardonats i una seleccio defotografies.

Els sis guanyadors de la medalla d’or for-maran l’equip que representara Espanya a lapropera Olimpıada Matematica Internacional,IMO-2008. Precisament aquest any se celebrara

a Madrid del 10 al 22 de juliol, organitzada per laReal Sociedad Matematica Espanola i amb la col-laboracio, entre d’altres entitats, de la SocietatCatalana de Matematiques. Al proper numerode SCM/Notıcies inclourem un article mes ex-tens sobre aquest esdeveniment matematic. Demoment, podeu trobar-ne mes informacio con-sultant la pagina web oficial de la IMO-2008 awww.imo-2008.es.

En la fase espanyola d’aquesta XLIV Olim-pıada Matematica, Catalunya hi presentava noucandidats i es va emportar en total dues me-dalles d’or, una de plata i tres de bronze; pertant, tindrem dos representants a l’OlimpıadaInternacional. No esta gens malament! Felicitatsals guanyadors, a tots els participants, i anims!

Agenda

3rd Compositional Data AnalysisWorkshop

Organitza: V. Pawlowsky-Glahn (U. Girona),C. Barcelo (U. Girona) i Gl. Mateu (U. Girona).Data i lloc: del 27 al 30 de maig de 2008 a laUniversitat de Girona.

http://ima.udg.edu/Activitats/CoDaWork08

Advanced Course on Taylor Methods andComputer Assisted Proofs

Organitza: IMUBData i lloc: del 3 al 7 de juny de 2008 a l’IMUB.

http://http://www.imub.ub.es/cap08

CIM/CRM Workshop on Financial TimeSeries

Data i lloc: del 12 al 14 de juny de 2008 al CIM,Coimbra.Comite cientıfic: P. Teles (Porto School of Eco-nomics, Portugal) i P. Munoz (UPC).

http://www.cim.pt/wfts2008

Workshop on Categorical Groups

Data i lloc: del 16 al 20 de juny de 2008 al’IMUB.Comite cientıfic: P. Carrasco (U. Granada), J. El-gueta (UPC), J. Kock (UAB) i A. Rodrıguez(U. Granada).

http://www.crm.cat/Categorical−Groups

GAP VI: Workshop on Geometry andPhysics

Data i lloc: del 16 al 21 de juny de 2008 al CRM.Coordinadors: C. Curras (UB), R. Loja Fer-nandes (Instituto Superior Tecnico, Portugal),D. Iglesias (CSIC), E. Miranda (UAB), S. VuNgoc (U. Rennes) i Ping Xu (U. Penn State U.).

http://www.crm.cat/GAPVI

Conference on Moment Maps

Data i lloc: del 25 al 28 de juny de 2008 al CRM.Comite organitzador: J. Amoros (UPC),C. Curras (UB), R. Loja Fernandes (InstitutoSuperior Tecnico, Portugal), E. Miranda (UAB)i S. Vu Ngoc (U. Rennes).

http://www.crm.cat/MomentMaps

Thematic Days: New Perspectives onMalliavin Calculus

Data i lloc: 25 de juny de 2008 al CRM.Organitzadora: M. Sanz-Sole (UB).

http://www.crm.cat/Conferences/0708/

malliavin/malliavin.html

HOCAT 2008. Homotopy Structures inGeometry and Algebra; Derived Catego-ries, Higher Categories

Data i lloc: del 30 de juny al 5 de juliol de 2008al CRM.Comite cientıfic: C. Casacuberta (UB), A. Joyal(U. de Quebec), J. Kock (UAB), A. Neeman(U. Nacional Australiana) i F. Neumann (U.Leicester).

http://www.crm.cat/HOCAT2008

34

5e Congres Europeu de Matematiques

Data i lloc: del 14 al 18 de juliol de 2008 aAmsterdam.Organitzacio: European Mathematical Society iUniversitat d’Amsterdam.

http://www.5ecm.nl

Jornades de matematica discreta ialgorıtmica

Data i lloc: del 21 al 23 de juliol del 2008 a laUniversitat de Lleida.Organitzacio: Universitat de Lleida.

http://www.jmda2008.udl.cat

Barcelona Conference on AsymptoticStatistics (BAS2008)

Data i lloc: de l’1 al 5 de setembre de 2008 alCRM.Coordinador: Vladimir Zaiats (U. Vic).

http://www.crm.cat/BAS2008

Advanced Course on Stability and Insta-bility in Mechanical Systems

Data i lloc: del 15 al 19 de setembre de 2008 alCRM.Coordinador: R. de la Llave (U. Texas, Austin),T. M. Seara (UPC) i A. Delshams (UPC).

http://www.crm.cat/ACSIMS

Conference on Stability and Instabilityin Mechanical Systems: Recent progressand mathematical theory

Data i lloc: del 22 al 26 de setembre de 2008 alCRM.Coordinador: R. de la Llave (U. Texas, Austin),T. M. Seara (UPC) i A. Delshams (UPC).

http://www.crm.cat/CSIMS

Workshop on Interactions between repre-sentation theory and commutative alge-bra

Data i lloc: del 25 al 27 de setembre de 2008 al’IMUB.Comite cientıfic: L. Angeleri-Hugel (U. dell’Insu-bria, Italia), D. Herbera (UAB) i H. Krause (U.Paderborn, Dinamarca)

http://www.crm.cat/IRTACA

Programa de recerca Stability andInstability in Mechanical Systems(SIMS08)

Data i lloc: de setembre a desembre de 2008 alCRM.Coordinador: A. Delshams (UPC), R. de la Llave(U. Texas, Austin) i T. M. Seara (UPC).

http://www.crm.cat/Research/0809/SIMS08/

Contribucions

Historia de la revista SCM/Notıcies

El febrer de 1995 va apareixer el numero 0 de larevista SCM/Notıcies. Volia ser una publicacioperiodica que amplies i millores el Noticiari dela SCM, publicacio de dues pagines amb la infor-macio mes rellevant de l’actualitat matematicacatalana i internacional.

El responsable d’aquell primer Noticiari fouen Carles Casacuberta. En aquells quatre pri-mers numeros, publicats el 1993 i 1994, s’hianunciaven les beques Leibnitz, el Premi FerranSunyer Balaguer, l’ICM 94, les beques postdoc-torals i els semestres de sistemes dinamics i degeometria diferencial del CRM, l’Europroj 94,les VI Jornades Pedagogiques, el Temu 95, laCreu de Sant Jordi a Lluıs Santalo, els guanya-

dors de la Medalla Fields, l’aparicio de les obrescompletes de Pere Menal, etc.

El mes de febrer de 1995, el professor Se-bastia Xambo fou elegit president de la Soci-etat Catalana de Matematiques (SCM). Unade les fites del nou president i de la Junta queencapcalava fou ampliar el Noticiari : aixı vaneixer l’actual SCM/Notıcies. El primer comiteeditorial estava format per Carles Casacuberta,Joaquin Ortega i Antoni Goma, i coordinat pelmateix Sebastia Xambo. No nomes es tractavade tenir una revista que reflectıs l’actualitat ma-tematica catalana i internacional i que informesels socis de la SCM de les activitats que es duiena terme impulsades per la nova Junta, sino que

35

tambe es volia tenir un mitja de divulgacio deles matematiques a Catalunya i, sobretot, unmitja de comunicacio natural de la comunitatmatematica catalana, el nostre diari.

Vist amb la perspectiva de mes de deu anysd’historia, tots aquests objectius inicials s’hananat aconseguint amb gran mesura. Actualment,la SCM/Notıcies es una publicacio periodica benconeguda en els diferents ambits matematics delnostre paıs, tant universitaris com de secundaria,i fa prou be el seu paper de nexe d’unio i depunt d’informacio del conjunt de matematicscatalans.

Tornem, pero, als seus inicis. Ja el 1995, elprofessor J. L. Ruiz, de la Universitat Politec-nica de Catalunya, va iniciar el disseny de laSCM/Notıcies i del Butlletı en LATEX2e. El resul-tat fou un fitxer d’estil, scm.cls, que ha facilitatenormement la tasca d’edicio de la revista i queli ha donat un estil propi. Altres persones hancol.laborat tambe de manera decisiva en aques-tes feines d’edicio i d’imatge: en J. Trias va ferun programa PostScript per a ajudar en l’ediciode figures; en Toni Escola va participar com aresponsable de publicacions de l’IEC; mes enda-vant, ja el 2001, la Teresa Sabater va dissenyarel format actual de la revista, que es va estre-nar en el numero 15, i en Joan Torregrosa vaimplementar-lo en LATEX. Finalment, la MariaJulia es qui s’ha encarregat, des del numero 9,de la composicio i l’edicio final en LATEX, sem-pre amb molta cura, dedicacio i eficacia. I laNuria Fuster, des de la secretaria de la SCM, haestat sempre al peu del cano de totes les tasquesadministratives.

Pel que fa al contingut, la SCM/Notıcies vainiciar unes seccions fixes que s’han consolidatamb el temps i que encara es mantenen. Concre-tament, en el numero zero ja apareixa la secciode problemes per a ser resolts, i tambe proposats,pels lectors. I la seccio de ressenyes de llibres.Ja en el numero u, s’engega la seccio de tesis,on es fan sistematicament ressenyes de totes lestesis de matematiques llegides a Catalunya.

La seccio de problemes, la coordina inicial-ment el professor Goma, amb la col.laboraciodel professor Josep Grane, que, com a coordi-nador de l’Olimpıada Matematica a Catalunya,aporta material d’aquestes proves. El professorGrane s’incorpora tambe al comite editorial dela SCM/Notıcies des dels seus inicis.

El professor Goma, com a responsable de

les proves Cangur a Catalunya, tambe escriuperiodicament per a la SCM/Notıcies tota lainformacio relativa a aquestes proves: dates, gua-nyadors, participacio, etc. Les seccions sobre elCangur i l’Olimpıada son fixes, i ja classiques,a la SCM/Notıcies.

En el numero 7 el professor Pelegrı Viader ila professora Anna Pol substitueixen al profes-sor Joaquin Ortega en el comite editorial de laSCM/Notıcies.

A partir del numero 9 em faig carrec, a pe-ticio de Sebastia Xambo, de la SCM/Notıciesamb un comite de redaccio format per SebastiaXambo, Antoni Goma, Josep Grane i CarlesCasacuberta. La seccio de tesis i ressenyes dellibres es mantenen i les assumeixo jo mateix. Laseccio de problemes passa a mans de Pelegrı Vi-ader. S’inicia una seccio especial sobre el 3ecm,Barcelona 2000, a carrec de C. Casacuberta.

Uns quants numeros, al voltant del 10, va-ren mantenir una seccio amb consideracionslinguıstiques sobre la manera correcta de tra-duir al catala aquelles paraules o expressionstecniques que els matematics utilitzem habitu-alment, o be en angles, o be fent-ne adaptacionscasolanes sovint sense prou fonament linguıstic.

Primer numero en color.

A partir del numero 16 la seccio de proble-mes passa a ser responsabilitat de Carles Rome-ro. I en el numero 18 s’inicia la columna de laSocietat Matematica Europea, que mes tardsera la seccio d’Internacional, a carrec de MartaSanz.

A partir del numero 20 em substitueix en elcarrec d’editor el professor Enric Ventura. Se-gueixen col.laborant amb ell, en les diferents sec-cions, l’Antoni Goma, el Carles Romero, la Mar-ta Sanz i en Josep Pla, que ha agafat ultimament

36

amb molta iniciativa la seccio de llibres. Elsset numeros editats sota la direccio de l’Enric(l’ultim dels quals teniu ara a les mans) do-nen continuıtat a la lınia general de la revista,que mante les seccions tradicionals i intentaengegar-ne de noves i interessants, com podenser el forum de debat entre els socis, lesuniversitats informen, activitats amb ajut dela SCM, la nova pagina sobre webs de ma-tematiques, o el raco biografic que s’estrenaen el present numero.

Cal esmentar que, entre els numeros 22 i23, se’n va publicar un d’especial, en angles,amb motiu de l’ICM 2006. Amb la seva distribu-cio gratuıta a l’estand que la Societat Catalanade Matematiques va tenir durant l’ICM 2006 aMadrid (se’n van repartir prop de cinc-centescopies!), la SCM/Notıcies va contribuir amb elseu granet de sorra a la visibilitat internacionalde la comunitat matematica catalana.

A continuacio, podeu trobar una llista deles notıcies mes destacades dels vint-i-cincSCM/Notıcies que s’han editat al llarg d’aquestsja mes de tretze anys. Ben segur que alguna evo-cara algun record a mes d’un soci:

• Homenatge a William K. Clifford(SCM/Notıcies 1).

• La prova de Taylor i Wiles del teorema deFermat (SCM/Notıcies 3).

• El realisme en les matematiques(SCM/Notıcies 7). Traduccio d’Antoni Gomad’un article de Morris W. Hirsch al Bulletinde la AMS, 1995, numero 32.

• Les medalles Fields de 1998 (SCM/Notıcies9).

• El 3ecm (SCM/Notıcies 10).• Entrevista al professor Josep Vaquer

(SCM/Notıcies 11).• Entrevista a Shiing Shen Chern

(SCM/Notıcies 12). Traduccio de ImmaGalvez de l’entrevista publicada a NoticesAMS, 45, numero 7.

• Gerbert d’Orlhac i la cultura cientıfica a l’any1000 (SCM/Notıcies 12).

• Any Mundial de les Matematiques. Jornadaal Congres de Diputats (SCM/Notıcies 13).

• Tercer Congres Europeu de Matematiques.Informe de cloenda (SCM/Notıcies 14).

• Reunio de Degans i Directors de Matemati-ques a Barcelona (SCM/Notıcies 15).

• Homenatge a William Tutte (SCM/Notıcies17).

• Homenatge a Lluıs Antoni Santalo(SCM/Notıcies 18).

• Vinte aniversari del CRM (SCM/Notıcies 20).• Forum de debat sobre la formacio del profes-

sorat de matematiques (SCM/Notıcies 21).• El professor Jean-Pierre Serre investit doctor

honoris causa per la UB (SCM/Notıcies 21).• EMS-SCM Joint Mathematical Weekend

(SCM/Notıcies 22).• Parlem de llibres (SCM/Notıcies 22).• La creu de Sant Jordi per a M. Antonia Ca-

nals i Manuel Castellet (SCM/Notıcies 23).• Medalles Fields i premis Nevanlinna, Gauss i

Abel 2006 (SCM/Notıcies 23).• Kangourou sans Frontieres (SCM/Notıcies

23).• Arran de l’ICM 2006 (SCM/Notıcies 24).• Mathematics genealogy project (SCM/Notıcies

24).

L’evolucio ascendent de la qualitat d’aques-ta revista de divulgacio al llarg dels seus tretzeanys de vida (tant pel que fa als continguts coma la imatge) no son res mes que el reflex de la vi-talitat de la Societat Catalana de Matematiquesi de la comunitat matematica catalana en gene-ral, molt mes enlla dels granets de sorra que hemaportat tant els qui ens hi hem dedicat en elpassat com els qui s’hi dediquen en l’actualitat.No puc acabar, per tant, sense agrair la col.labo-racio desinteressada de molts dels socis de laSCM en l’edicio de la SCM/Notıcies al llarg detots aquests anys. Sense la vostra contribucio(com a autors, redactors, traductors, revisors,etc.) no s’hauria pogut tirar endavant aquestarevista. Gracies, doncs, a tots.

Agustı ReventosExeditor de la SCM/Notıcies

37

Entrevista al professor Robert L. Devaney

Robert L. Devaney va neixer a l’estat de Mas-sachussets, Nova Anglaterra, ara fara seixantaanys. La seva carrera professional ha estat for-tament lligada, despres del perıode doctoral ipostdoctoral, a la Universitat de Boston (i mesconcretament al grup de sistemes dinamics delDepartament de Matematiques de BU), peroBarcelona ha estat per a ell una ciutat de re-ferencia, cosa que ha fet possible que el congresen ocasio del seu seixante aniversari es facia Tossa de Mar, aquest mes d’abril de 2008(http://math.bu.edu/bobfest/).

En la seva (llarga) carrera com a matematic,cal destacar una prolıfera suma de treballs derecerca i, al mateix temps, una atencio moltespecial per la divulgacio, tant a la societat engeneral, com a la comunitat cientıfica o al col-lectiu de docents (universitaris o d’ensenyamentsecundari) de matematiques en particular.

Com a investigador, la seva carrera ha anatevolucionant sempre dins de l’area de sistemesdinamics fins a estabilitzar-se en la dinamicacomplexa. Com ell mateix moltes vegades ex-plica, la bellesa estetica i la riquesa topologicadels conjunts que s’obtenen d’iterar famılies defuncions senzilles el va captivar. La seva irrupcioen la dinamica complexa no va ser, pero, con-vencional. Quan la majoria dels investigadors alvoltant dels anys vuitanta i noranta miraven d’-explicar fenomens lligats a funcions polinomials,amb atencio especial en la famılia quadratica,ell va encetar l’estudi de les funcions enteres (omeromorfes), com la famılia exponencial com-plexa. Aquests treballs pioners son de referenciaobligada de molts treballs actuals sobre aquesttipus de funcions.

Pero es ben clar que, com a matematic, De-vaney ha esmercat moltes energies a difondreles matematiques, i els sistemes dinamics demanera molt particular, a tots els col.lectius re-ceptius. Ha escrit i editat llibres de text pera alumnes tant de secundaria com d’universi-tat o de doctorat, ha impartit una llarguıssimallista de seminaris i col.loquis en universitatsd’arreu del mon posant en relleu la seva capa-citat de comunicacio, ha dirigit mes de deu te-sis doctorals (dues de les quals a alumnes sor-tits d’universitats catalanes, el Pau Atela i laNuria Fagella), ha estat l’anima del Fields Day(en que, cada any, mes de mil alumnes de se-

cundaria de tot Massachussets passen un diaparlant de matematiques i descobreixen la vita-litat de la nostra professio), i mante una planaweb interactiva on hom pot jugar tot descobrintnocions basiques de sistemes dinamics com lesd’orbita, convergencia, perıode, caos, etc.; l’apar-tat Webs de matematiques d’aquesta revistaus en parla. Totes aquestes activitats li hanvalgut forca premis i distincions al maxim ni-vell nacional als EUA, com el (NSF) Director’sAward o el Haimo Award.

Robert L. Devaney.

En els darrers anys la nostra professio estapatint molts canvis. Des de la perspectiva de larecerca, cada cop es mes competitiva i es mes im-portant trobar problemes que combinin la sevaaplicacio i interes matematic. Des de la pers-pectiva de la docencia, els currıculums de ma-tematiques dels alumnes de secundaria han patitrebaixes substancials, o la mes que notoria dava-llada del nombre d’estudiants a les aules de lesfacultats de matematiques. Aprofitant la visitadel professor Devaney a Barcelona hem pensatque podria ser interessant per als lectors de laSCM/Notıcies fer-li algunes preguntes per veurequines son les seves impressions de tot plegat.Per tal de contextualitzar les preguntes, hemdividit l’entrevista en tres parts.

La relacio amb Barcelona i el congresd’abril

P. Recorda la seva primera visita a Barcelona?Quan va ser?R. Recordo molt be, tant matematicament compersonalment, la meva primera visita a Barce-lona (i totes les que he anat fent despres) l’any1983. Vaig estar allotjat en un hotel molt a prop

38

del passeig de Gracia i vaig tenir l’oportunitatde trobar-me amb molts matematics de Barcelo-na que coneixia pels seus treballs. A mes a mes,va ser en aquesta visita a Barcelona, que varemportar els nostres fills a Europa per primer copi ells tambe en tenen un record molt bo. Sentcom soc un amant de navegar i de l’opera, tenirel Liceu i el port a prop l’un de l’altre, amanitamb els bars de tapes per fer un mos, i un muntde bons matematics, fan de Barcelona la mevaciutat preferida.P. El Departament de Matematiques de la Uni-versitat de Boston (BU) ha acollit molts jovesmatematics per a fer la tesi doctoral o estadespostdoctorals. Quina es la seva experiencia?R. Durant els darrers anys un nombre alt dematematics catalans han fet la tesi doctoral, es-tades postdoctorals o, simplement, estades derecerca a BU, i de la mateixa manera forca estu-diants meus de BU han tingut l’oportunitat detreballar i/o visitar Barcelona. Aquesta interac-cio ha estat extremament bona i productiva, perla qual cosa estic molt agraıt a tots els qui hanfet possible aquestes col.laboracions al llarg delsanys.P. Com valoraria la relacio cientıfica amb els di-ferents grups de sistemes dinamics a Barcelona?R. He tingut forca col.laboracions amb gent deBarcelona, tant quan treballava en mecanicacelest com despres en dinamica complexa. I elque es mes important per a mi, molts dels meusamics a Barcelona han continuat aquestes in-teraccions amb estudiants meus d’arreu en di-versos projectes de recerca.P. Esta content que el congres per celebrar elseu seixante aniversari sigui a Catalunya?R. A quin altre lloc ningu voldria celebrar-lo?Sere felic de poder tornar a Barcelona per com-memorar qualsevol altra data. M’encanta aquestlloc!

Recerca en matematiques

P. Va defensar la seva tesi doctoral l’any 1973sota la direccio de Stephen Smale (premi field,1966). Aquella va ser una epoca daurada pel quefa als sistemes dinamics, i s’hi van coure moltsdels conceptes clau com l’estabilitat estructural,la ferradura de Smale, la nocio de caos, etc. Qui-na es, en la seva opinio, la influencia de l’escolade Smale en la realitat dels sistemes dinamicsactuals?R. Be, primer cal remarcar que els sistemes

dinamics, tal com els coneixem, venen de meslluny, de Poincare i fins i tot abans. Pero escert que Smale va donar un (nou) punt de vis-ta topologic a la dinamica. Abans de Smale,com que l’estudi topologic era mes senzill endimensions altes, es tendia a mirar a sistemesdinamics en dimensio alta, pero amb l’exemplede la ferradura (Smale horseshoe). Smale va po-sar de manifest que estudiar sistemes dinamicsen dimensio baixa era compatible amb estudi-ar dinamica, i prou interessant. Mes encara, vaposar de manifest a la comunitat que no totsels sistemes dinamics son simples; al contrari, elcomportament caotic es forca comu. La comu-nio d’aquests dos aspectes va promoure l’estudide sistemes dinamics plans i posteriorment endimensio u (tant real com mes tard complexa),amb emfasi especial al fenomen del caos.P. Com voste sap, a Catalunya (i mes generica-ment a tot l’estat espanyol i a molts altres paısoseuropeus), la formacio i la carrera professionalcom a investigador molts cops es realitza dins dela mateixa institucio. En canvi als EUA aquestacarrera es realitza en diverses institucions, fins atrobar una situacio professional estable. Quinava ser la seva trajectoria professional despresde la seva tesi doctoral (abans havia obtingutl’undergraduate degree al College of the HolyCross, Worcester, MA) fins a convertir-se enprofessor a BU?R. Un cop acabada la tesi doctoral l’any 1973,vaig passar dos anys de postdoc a la Universi-tat de Northwestern (Evanston, Chicago), onvaig aprendre moltes coses de matematics tanrellevants com Don Saari, Bob Williams, JohnFranks i Clark Robinson. Despres vaig anar a laUniversitat de Tufts (Medford, Boston, MA), onvaig treballar amb Ziggy Nitecki. Casualment,mentre era a Tufts, es va obrir una oportunitata la veına Universitat de Boston (Boston, MA),on estaven mirant de consolidar un equip detreball en sistemes dinamics. Tot i gaudir d’u-na posicio permanent a Tufts ,vaig pensar queparticipar en aquest nou projecte era una tascaengrescadora. Ara puc dir que va ser una moltbona tria.P. Ja hem vist que la seva carrera professional,com es usual als EUA, va fer forca canvis fins ala seva estabilitzacio a BU. Pero el que potserno es tan usual, es el canvi de lınia de recer-ca poc despres de finalitzada la tesi doctoral.Que el va empenyer als anys vuitanta a deixar la

39

mecanica celest (amb que havia treballat fins lla-vors) i posar-se a treballar en una nova lınia derecerca en estat embrionari com era la dinamicacomplexa?R. De fet, la meva recerca va evolucionar al llargdels anys. La mecanica celest era un camp moltatractiu amb moltes preguntes interessants idifıcils per treballar. Penseu que en aquell tempshi treballaven matematics tan importants comKolmogorov, Arnold, Moser, etc. I els havienprecedit Poincare, Lagrange, Legendre, etc. Aixı,doncs, era una area que despertava l’interes demolts matematics. La meva recerca en mecanicacelest es va anar centrant a estudiar la seccio dePoincare per a alguns sistemes, la qual cosa emva portar a estudiar sistemes dinamics generatsper aplicacions (funcions) del pla que preserva-ven area. Un cop era aquı, em vaig interessarper aplicacions planes mes generals com l’apli-cacio d’Henon i finalment en sistemes dinamicsen dimensio 1. En aquest punt de l’evolucio ci-entıfica (som al voltant de 1980), igual que vapassar a molts d’altres matematics, vaig quedarfascinat per les meravelloses imatges del conjuntde Mandelbrot i el meu interes per la dinamicacomplexa estava servit.P. Quin dels seus treballs primerencs endinamica complexa creu que ha tingut mes in-fluencia o n’esta mes orgullos?R. Penso que del que estic mes orgullos es delmeu treball en funcions transcendents, espe-cialment de la famılia exponencial complexaEλ(z) = λez, i de les connexions entre dinamicai topologia que s’obtenen en estudiar aquestesfuncions (Cantor bouquets, indecomposable con-tinua, etc). Cal emfasitzar que en els anys vui-tanta molt pocs investigadors treballaven ambfuncions transcendents, ates que tothom es con-centrava en funcions racionals. Curiosament, ara,quan molts d’ells treballen amb funcions mero-morfes transcendents, jo treballo mes que maien funcions racionals...P. Tot i que no podem oblidar que els pares dela dinamica complexa son Julia i Fatou ambels seus treballs durant la decada 1920–1930,i tampoc no podem oblidar personatges tanimportants com Siegel, Baker o tants d’altres,voste pertany a la generacio de matematics queva iniciar un impuls important a la dinamicacomplexa coincidint amb el naixement de lainformatica. Com veu el camp de la dinamicacomplexa despres de trenta anys?

R. La dinamica complexa ha experimentat, du-rant aquest perıode, una infinitat de noves lıniesque inclouen l’estudi en dimensio superior, l’es-tudi d’equacions diferencials complexes, l’estudidels espais dinamics i de parametre de moltesfamılies, etc. Amb tot, almenys com jo ho veig,som en un atzucac pel que fa a preguntes fona-mentals de l’area, com ara la demostracio de laconnectivitat local del conjunt de Mandelbrot.Necessitem noves idees o mirar en altres bran-ques de la matematica per poder fer un pas enaquesta direccio. Certament, aixo passara, peroquan i com, no ho se.

Docencia i matematiques

P. Es conegut que el seu interes molt concret endidactica de les matematiques ve de lluny. Creuque hi ha un problema quan els matematics hand’explicar el que fan i per que ho fan?R. Sı, certament els matematics tenim un pro-blema en aquest punt. Tot i que hi ha altresparametres a tenir en compte, un fet clau queexplica molt be que ens passa es el que en-senyem. Tots els estudiants dels EUA tenenalmenys dotze anys de cursos de matematiquesmentre son a l’escola primaria, secundaria i bat-xillerat. I que es el que ells veuen/estudien? Elsexpliquem geometria del segle quart aC, algebradel segle xi, i si son molt aplicats i segueixeninteressats els expliquem calcul del segle xvii.Per tant, mai en tots aquests anys veuen res nou,actual i interessant en el camp. Compareu aixoamb altres branques de la ciencia com biologia,astronomia, enginyeria, etc. Els alumnes podenpercebre l’interes de tots aquests ambits del co-neixement, ja que veuen les seves aplicacionso usos actuals. Molt probablement no podentenir un coneixement gaire profund d’aquestesnoves realitats, pero almenys capten que soninteressants i actuals. Penso que, en la mesuradel possible, hem d’incorporar la matematicacontemporania als currıculums docents. Aixo nonomes fara la nostra tasca docent mes interes-sant per a nosaltres mateixos sino que fara lamatematica mes interessant als nostres estudi-ants.P. En un cert sentit, l’interes per l’educacio ma-tematica no es prou ben valorat per la comunitatmatematica mes activa en recerca. Per que creuque passa aixo?R. Als EUA aquest es un problema important.La rao de fons, no la se. El que sı que se es que

40

fins fa molt pocs anys no hi havia cap tipus d’in-centiu per comunicar eficientment matematiquesal public en general. Sovint vaig poder veurecom fer un pas en aquesta direccio era consi-derat com un cert descredit a la meva carreracom a investigador. Aixo, es clar, va ser equi-valent a un suıcidi de la disciplina matematica,ja que el public en general i el govern en parti-cular va anar perdent interes per donar suporteconomic a res que tingues a veure amb la recer-ca matematica. Imagineu un bioleg, un fısic oun astronom que no volgues comunicar els seusultims descobriments o avencos a la societat: maipassa ni passara. Pero ara aixo esta canviant.Penso que la incorporacio dels ordinadors a larecerca i, per tant, la possibilitat de visualitzarles matematiques esta tenint un impacte decisiu.La NSF (National Scientific Foundation) estaposant cada cop mes emfasi en aspectes d’educa-cio en ciencies, i particularment, matematiques.Consequentment, cada cop mes investigadors deprimer nivell en matematiques estan involucratsen activitats relacionades en docencia.P. Voste es un dels impulsors de l’organitzaciodels Mathematics Fields Days. Podria explicaruna mica en que consisteixen?R. Cada any organitzem dos Math Days a laUniversitat de Boston. Venen uns cinc-cents osis-cents alumnes de batxillerat (cadascun delsdies) i, basicament, els expliquem que es nou i en-grescador en matematiques. Fem el mateix doscops a l’any a diferents ciutats dels EUA. Comque ja fa quinze anys que l’activitat es porta aterme, molts cops trobo gent que fa forca anysva venir, i encara recorda molt positivament latrobada, cosa que m’omple de gratificacio.P. A Catalunya hi ha quasi be unanimitat en elfet que el nivell matematic dels estudiants dematematiques de batxillerat es molt mes baixque fa uns anys. Hi ha la mateixa percepcio alsEUA?R. Sı, l’habilitat matematica es molt mes baixaque anys enrere. Pero aixo tambe es cert enmoltes altres disciplines. Hom pot culpar la tec-nologia o el context social com a causa d’aquestfet. Pero una de les raons es la tipologia d’estu-diants que tenim a l’aula. Quan jo estudiava al’escola, els cursos de matematiques eren consi-derats d’elit i, per tant, molts estudiants, i enespecial les noies, eren desanimats a cursar-los.Ara, la cultura ha canviat forca, i molta gent veuinteressant fer cursos de matematiques, sempre

que la seva profunditat no sigui massa elevada.Aixo ens porta a l’aula una diversitat mes grand’alumnes, i nous reptes per part dels professorsper mirar de donar a cadascu allo que busca.P. Seguint els arguments anteriors, que creu quepodem fer des de la Universitat per motivar elsnostres alumnes?R. Penso que una bona eina es promoure ac-tivitats com el Math Day. D’aquesta maneraes pot treballar amb professors de secundaria obatxillerat, mostrant-los noves matematiques (imes contemporanies) que poden explicar al seutorn als alumnes que tenen a l’aula. Aixo faraque l’interes dels estudiants per la matematicavagi creixent i els estimularem a considerar lesmatematiques com una eina util i necessaria.P. En la majoria dels seus llibres (com, perexemple, la nova versio del Hirsch–Smale sobresistemes dinamics) fa una aposta clara per unapresentacio qualitativa. Per que creu que aquestaes una aproximacio millor a la teoria?R. Temps enrere, quan no podıem usar els ordi-nadors, l’unica eina que tenıem per coneixerles solucions de les edo era calcular-les. Elsmatematics miraven de resoldre les equacionsanalıticament, molts cops sense exit. La ma-nera que tenien per sortir-se’n (quan l’equaciono tenia solucio analıtica) era canviar el modelper tal d’obtenir una equacio que sı que es po-gues resoldre. Recordo que, en un curs de fısicaquan anava a l’escola, l’equacio del pendol esva convertir en una equacio lineal que sı quees podia resoldre, pero que mostrava molt par-cialment tota la riquesa dinamica del pendol.Ara l’us apropiat dels ordinadors permet resol-dre numericament i qualitativament les equaci-ons i coneixer, almenys en primera aproximacio,que passa amb les solucions sense necessitat deconeixer-les explıcitament.P. Molts matematics de les nostres universitatshan apres equacions diferencials estudiant laprimera edicio dels Hirsch-Smale. Com va serque varen pensar de fer-ne una segona ediciorevisada (on voste n’es un dels autors)?R. La rao es doble. La primera es que el lli-bre va ser escrit quan els sistemes dinamics, talcom ara els entenem, estaven en un momentmolt germinal. Nocions basiques com la de ca-os nomes son introduıdes de forma tangencialen la primera edicio. La segona rao es que laprimera edicio va ser escrita basicament per ma-tematics (nomes cal mirar el nivell d’algebra

41

que cal per llegir-la). Ara, almenys als EUA,molts estudiants d’aquest tipus de cursos prove-nen de moltes arees diferents (enginyers, biolegs,economia, etc). Com a consequencia d’aixo, elsautors inicials volien fer arribar el llibre a una

audiencia molt mes gran i afegir-li algunes deles aportacions dels ultims temps a problemespresentats a l’edicio anterior. Es aixı que varenencarregar-me la nova edicio.

Xavier Jarque i Nuria FagellaUB

Premis

Premi Abel 2008 per a Thompson i Tits

El Premi Abel 2008, ha estat atorgat conjuntament a John Griggs Thompson (graduate researchprofessor a la Universitat de Florida) i Jacques Tits (professor emerit al College de France) fortheir profound achievements in algebra and in particular for shaping modern group theory, segonsdiu textualment el text de nominacio de la Norwegian Academy of Science and Letters, que esl’organisme que atorga aquest prestigios guardo anual, des de 2003.

A continuacio, reproduım dos textos de Arne B. Sletsjφe sobre el treballs pels quals han merescutaquest guardo (podeu trobar els originals al web del premi Abel, http://www.abelprisen.no/en/). Latraduccio es de Josep Rubio de la UPC.

John Griggs Thompson. Jacques Tits.

Per que es concedeix el Premi Abel 2008a John G. Thompson?

El Comite Abel escriu sobre John GriggsThompson a la mencio per al premi Abel 2008:Thompson va revolucionar la teoria dels grupsfinits provant teoremes extraordinariament pro-funds que van posar els fonaments de la clas-sificacio completa dels grups finits simples, undels exits mes grans de les matematiques delsegle xx.

Aquı el Comite Abel es refereix a l’enormeprojecte internacional conegut amb el nom deClassificacio dels Grups Finits Simples, que vacomencar durant la decada dels cinquanta iva acabar als voltants de l’any 1980. DanielGorenstein, que va tenir una visio de conjunt detot el projecte i que el va conduir a un final amb

exit, mes tard va escriure: la classificacio delsgrups finits simples es va completar el febrer de1981.

Poca gent podia imaginar que aquesta eta-pa s’assoliria en tres decades. Els grups sim-ples son els atoms de la teoria de grups; essentsimples, son les peces fonamentals constitutivesde tots els altres grups finits. Una classificacio detots els grups finits ha de comencar, per tant,amb els grups simples.

En el Congres Internacional de Matematicsd’Amsterdam, l’any 1954, Richard Brauer vasuggerir una estrategia per a la complecio d’a-quest projecte. El comentari final de Gorensteines referia a una de les demostracions mes re-marcables de la historia de les matematiques.Aquesta demostracio abraca mes de mil pagines

42

de cinc-cents articles fets per mes de cent ma-tematics de tot el mon. A continuacio donemuna versio reduıda del teorema:

Teorema de classificacio dels grups finitssimples. Tot grup finit simple o be pertany auna de les tres famılies seguents: grups cıclicsd’ordre primer, grups alternats, o grups de Liefinits; o be es un dels vint-i-sis grups esporadics.L’avanc mes important en el projecte de classifi-cacio va ocorrer l’any 1962. Com diu el Comite:En un avanc clau, Feit i Thompson van de-mostrar que tot grup simple no elemental te unnombre parell d’elements. Equivalentment, totgrup finit d’ordre senar es resoluble.

Aixo es un bonic exemple del fet que, moltsovint, el mes simple es tambe el millor (i el mesdifıcil): el teorema es pot enunciar utilitzantvuit paraules i pot ser entes per un estudiant dematematiques de llicenciatura; la demostraciooriginal omplia un volum sencer del Pacific Jour-nal of Mathematics (255 pagines), i el resultatva causar una revolucio dins de la teoria moder-na de grups. El seguent teorema de Thompsondonava una classificacio dels anomenats grupsN . El Comite escriu: Mes endavant Thompsonva ampliar el seu resultat i va establir una classi-ficacio d’un tipus important de grup finit simple,anomenat grup N . Arribats a aquest punt, elprojecte de classificacio semblava estar a l’abastde la ma i...

El visionari conferenciant del Congres d’Am-sterdam va arribar a una conclusio semblantquan un altre cop va fer una xerrada sobre elprojecte, al Congres Internacional de Nica del’any 1970. Richard Brauer digue: Fins als anysseixanta no se sabia realment res de veritableinteres sobre grups simples generals d’ordre fi-nit...

Thompson va continuar el seu treball sobreel projecte de classificacio, i el seu interes esva centrar en els vint-i-sis grups esporadics. Elscinc primers d’aquests grups es van trobar enuna etapa primerenca de la teoria de grups, con-cretament per Emile Mathieu als anys 1860. Elsgrups de Mathieu no eren especialment grans. Elmes gran, el M24, te ordre 244.823.040, un nom-bre petit tenint en compte que es tracta d’ungrup esporadic. El grup esporadic mes gran fouanomenat el Monstre per John Conway. Per en-tendre’l, cal anar a l’espai de dimensio 196.883,i te mes elements que el nombre total d’atoms

del Sol, exactament:

808.017.424.794.512.875.886.459.904.

961.710.757.005.754.368.000.000.000 .

Un altre dels grups esporadics ha rebut el nomdel seu creador, John Thompson. S’anomenaThompson gruppa, abreviadament Th. L’ordredel Th es 90.745.943.887.872.000, tambe rela-tivament petit comparat amb el Monstre. Enla seva mencio, el Comite fa referencia al tre-ball de Thompson sobre els grups esporadics: Laseva gairebe increıble conclusio es que tots elsgrups finits simples pertanyen a certes famıliesestandard, amb l’excepcio dels vint-i-sis grupsesporadics. Thompson i els seus estudiants vanjugar un paper fonamental en la comprensiode les propietats fascinants d’aquests grups es-poradics, incloent-hi el mes gran, l’anomenatMonstre.

Thompson es considerat per molts com elprincipal expert mundial en grups finits. El seunom estara lligat per sempre mes a l’enormeprojecte de classificacio, o tambe a la Guerradels Trenta Anys, com Daniel Gorenstein el vaanomenar. Pero el punt culminant es el teoremade Feit-Thompson, tan compactament formulatque paga la pena tornar-lo a repetir: tot grupfinit d’ordre senar es resoluble.

Per que es concedeix el Premi Abel 2008a Jacques Tits?

El Comite Abel escriu sobre Jacques Tits a lamencio per al premi Abel 2008: Tits crea unanova visio altament influent dels grups com a ob-jectes geometrics. Va introduir el que es coneixamb el nom de construccio de Tits, que codificaen termes geometrics l’estructura algebraica delsgrups lineals.

Igual que Thompson, Tits treballa en teoriade grups. Pero hi ha una diferencia en les sevesarees d’interes. Mentre que Thompson treballaprincipalment en grups finits, l’interes de Titsrecau en els grups lineals, normalment infinits.

Tot i aixı, els dos conceptes no son tan dife-rents, ja que satisfan el mateix conjunt d’axio-mes. El dos grups de simetria seguents il.lustrenles diferencies entre els casos finit i infinit. Enun cercle donat inscrivim un n-gon regular, ambtotes les seves arestes de la mateixa longitud.Un n-gon te 2n simetries (que formen el grupdiedric). Si permetem que el nombre d’arestes

43

tendeixi a infinit, el polıgon es va assemblantmes i mes a un cercle. El mateix passa amb elgrup de simetries, passant d’un grup finit enel cas discret del n-gon a un grup continu en elcas del cercle. Aixo il.lustra la natura dels grupslineals.

Durant la decada dels seixanta, Tits va crearun marc geometric per estudiar els grups lineals.En un sistema teoric extraordinari, donant nomsprovinents de l’arquitectura a tots els concep-tes, Tits podia donar una descripcio geometricad’estructures purament algebraiques. Crea elsbuildings, els apartments i les galleries ; els nomsde les components de la construccio ajuden ellector a crear una intuıcio molt profitosa dequestions algebraiques difıcils.

L’arquitectura de Tits no nomes es una cons-truccio espectacular d’interes teoric. El Comitemenciona diverses aplicacions d’aquesta cons-truccio: La teoria de construccions es un principiunificador central d’una varietat extraordinariad’aplicacions, com per exemple a la classificaciode grups algebraics i grups de Lie, a grups finitssimples, a grups de Kac-Moody (utilitzats pelsfısics teorics), a geometria combinatoria (utilit-zada en informatica) i a l’estudi del fenomen derigidesa en espais de curvatura negativa.

Un altre camp esmentat pel Comite lliga els

dos homenatjats: L’aproximacio a la geometriade Tits va ser essencial en l’estudi i desenvolupa-ment dels grups esporadics, incloent el Monstre.

Un dels grups esporadics esta sovint relacio-nat amb Tits: l’anomenat grup de Janko–Hall.Tits va descriure aquest grup com el grup d’auto-morfismes d’un graf de 100 vertexs i 1.800 ares-tes. Aquest grup te ordre 604.800; sovint Tits fabroma sobre aquest nombre: l’ordre 604.800 delgrup de Janko–Hall coincideix amb el nombrede segons d’una setmana. Tits tambe te el seunom lligat a una altra branca de la teoria degrups. Citant el Comite: [Tits] tambe va establirla celebre alternativa de Tits: tot grup linealfinitament generat es virtualment resoluble o beconte una copia del grup lliure amb dos gene-radors. Aquest resultat ha inspirat nombrosesvariacions i aplicacions.

Un grup virtualment resoluble es un grupque conte un subgrup d’ındex finit resoluble. Ungrup lliure amb dos generadors es generat peraquests dos generadors, i no hi ha relacions en-tre ells ni entre les seves potencies. Per tant, siun grup lineal finitament generat es tal que nopodem trobar dos generadors lliures, aleshorescom a mınim conte un subgrup resoluble d’ındexfinit. L’alternativa de Tits es un altre resultatprofund i potent que il.lumina la teoria de grups.

Premi FSB 2007Lectures on determinantal idealsRosa Maria Miro-Roig

La font classica sobre el tema d’ideals determi-nantals ha estat, i segueix essent, el llibre Deter-minantal Rings de Winfried Bruns i Udo Vetter,publicat el 1988 i ara ja exhaurit (pero dispo-nible en lınia a [2]). Aquests autors comencenamb l’observacio els anells i les varietats deter-minantals han estat un tema central d’algebracommutativa i de geometria algebraica. El seuestudi ha atret molts investigadors prominentsi ha motivat la creacio de teories que es podenconsiderar en l’actualitat part de la teoria ge-neral d’anells commutatius. I continuen dient:son algebristes i, per tant, el tema sera tractatdes d’un punt de vista algebraic.

Durant els aproximadament vint anys desde la publicacio del llibre de Bruns i Vetter, eltema ha continuat inspirant forca recerca i, defet, molta d’ella ha tingut mes sabor geometricque no pas algebraic. Aquest nou i precios llibreescrit per Rosa Maria Miro-Roig proporcional’util servei d’il.lustrar algunes de les direccionsgeometriques d’aquesta lınia de recerca, des dela perspectiva d’un dels autors mes actius enaquesta aventura. Mentre que, certament, du-rant aquest temps tambe s’ha fet molta recercaen altres direccions, els temes coberts a la mono-grafia son tractats de manera molt entenedora,i donen al lector una idea acurada de la situacio

44

actual i de la bellesa d’aquest tema. Es un textmolt clar, gairebe autocontingut, i forca merei-xedor del premi Ferran Sunyer i Balaguer 2007.L’entusiasme de l’autora per a aquest tema hies ben pales.

En gran mesura, l’interes i la feina feta perla Rosa Maria en aquesta area neix de la col-laboracio conjunta [8], que ella i jo vam escriurejuntament amb Jan Kleppe, Uwe Nagel i ChrisPeterson, encara que ha anat forca mes llunyd’aquelles arrels inicials. Aquella col.laboracio vainspirar molts altres treballs de diversos autors,entre els quals figura el seu llibre i un altre quevaig escriure sobre teoria de l’enllac i moduls dedeficiencia [9]. Mentre escric aquesta ressenya,em venen a la memoria les tres setmanes de1997, quan tots cinc ens vam trobar a Barcelonaper a estudiar aquests temes, com un dels mo-ments de treball mes emocionants i entranyablesque mai he tingut: bons amics, bon menjar ivi espanyols, i un bon ritme de progres sobreles questions que estavem estudiant. Que millorque tot aixo!

El tema general del treball de la Rosa Ma-ria (tant en aquest llibre com en gran part delsseus treballs d’investigacio) son els subesque-mes d’un espai projectiu Pn; per tant, tots elsideals que estudia son homogenis (es a dir, ad-meten un conjunt de generadors que constade polinomis homogenis) a l’anell de polinomisR = K[x0, . . . , xn], on K es un cos algebraica-ment tancat de caracterıstica zero.

El llibre de la Rosa Maria comenca amb uncapıtol d’introduccio. Primer explica resultatsbasics sobre resolucions lliures minimals, fun-cions i polinomis de Hilbert, esquemes ACM,esquemes AG, ideals determinantals i teoria del’enllac. Molt del material d’aquest capıtol (aixıcom tambe parts del segon i del tercer) es pottrobar tambe a [9], referencia no citada al lli-bre de la Rosa Maria; el lector interessat potconsultar tambe aquesta referencia.

Donarem primer una breu visio de conjuntd’aquest material basic, com qui fa una visitade deu minuts al Museu del Prado.

Un subesquema, V , de l’espai projectiu esdefineix a traves d’un ideal homogeni saturatIV , o, equivalentment, a traves del feix ideal IV .Diem que V es aritmeticament Cohen-Macaulay(ACM) si R/IV es un anell Cohen-Macaulay. Hiha una formulacio equivalent donada per l’anul-lacio de la cohomologia H i(Pn, IV (t)) per a tot t

i per 1 ≤ i ≤ dim V , i una altra en termes de laresolucio lliure minimal de R/IV (concretament,que la llargada d’aquesta resolucio coincidei-xi amb la codimensio de V ). Mes generalment,l’obstruccio de V per a ser ACM pot ser mesura-da pels moduls de deficiencia

⊕t H i(Pn, IV (t)),

per a 1 ≤ i ≤ dim V .Diem que V es aritmeticament Gorenstein

(AG) si R/IV es un anell de Gorenstein. Equi-valentment, V es AG si es ACM i l’ultim modulen la resolucio lliure minimal de R/IV te rang 1.En son un cas especial els V d’interseccio com-pleta, i. e. quan la codimensio de V es igual alnombre mınim de generadors de IV .

Com el seu nom suggereix, un ideal deter-minantal Ir(A) es un ideal que estigui generatpels menors r × r d’una matriu A amb entra-des polinomiques i mida p× q. Com que volemideals homogenis, exigim que la mateixa matriuA sigui homogenia; es a dir, que A represen-ti un morfisme de R-moduls lliures graduatsφ : F → G de grau zero i, per tant, que elsseus menors siguin homogenis. Si els menors sonmaximals, es a dir si r = maxp, q, diem queaquest ideal es determinantal estandard. Si Aes una matriu m × m simetrica i homogeniallavors Ir(A) s’anomena un ideal determinantalsimetric. De fet, en tots aquests casos hi ha unasuposicio tecnica addicional sobre la codimensiodel locus (el lloc geometric definit per aquestsmenors), que no mencionarem aquı. Comentem,pero, que imposant una condicio encara mes for-ta sobre el locus d’una certa submatriu, obtenimuns ideals determinantals estandards especialsanomenats bons ideals determinantals.

Quan volem estudiar el locus a l’espai pro-jectiu definit per un ideal determinantal dequalsevol classe, ens referim a una varietat de-terminantal o, mes generalment, a un esque-ma determinantal. Diverses varietats classiques,com les varietats de Segre, els scrolls racio-nals normals o les varietats de Veronese, sonexemples d’esquemes determinantals. La Ro-sa Maria dona tot el background necessari so-bre ideals determinantals, incloent temes comel complex d’Eagon-Northcott i el complex deBuchsbaum-Rim. Tambe introdueix els esque-mes parametrics W (b, a) per a esquemes deter-minantals, que seran d’interes a la segona meitatdel llibre.

Aquests temes, especialment la nocio d’es-quemes AG, son centrals per a la teoria de

45

l’enllac. Des del punt de vista geometric, dossubesquemes es diu que estan G-enllacats (resp.CI-enllacats) si son equidimensionals sense com-ponents en comu, i la seva unio es AG (resp.una interseccio completa). Hi ha una reformu-lacio algebraica, que ometrem aquı, que evitala necessitat de no tenir components en comu.La relacio d’equivalencia generada per aquestsenllacos s’anomena G-liaison (resp. CI-liaison)i, en ambdos casos, podem refinar-la considerantla relacio d’equivalencia even liaison, generadaper quantitats parells dels esmentats enllacos.(Una de les filosofies que sorgiren de [8] es pre-cisament que l’even G-liaison es, en gran me-sura, una teoria de divisors per a subesquemesACM. Aquest punt de vista ha estat llargamentdesenvolupat des de llavors, principalment perHartshorne en una serie d’articles seus.)

En el cas de codimensio dos, moltes de lesidees esmentades s’expressen conjuntament d’u-na manera particularment simple i elegant. Pri-mer, en aquest context tots els esquemes AGson interseccions completes. La resolucio lliureminimal de l’anell de coordenades R/IV d’unesquema ACM de codimensio dos te llargadados i, per tant, te la forma

0 → F2×A−→ F1 → R → R/IV → 0,

on rank F1 = rank F2 + 1. La matriu A s’anome-na matriu de Hilbert-Burch de V , i el celebreteorema de Hilbert i Burch diu que els menorsmaximals de A formen un conjunt generadorminimal per a IV . Aixı, els esquemes ACMde codimensio dos son sempre determinantalsestandard. Aixo no es cert per a codimensionssuperiors.

El capıtol 2 comenca amb mes resultatsbasics sobre teoria de l’enllac en codimensioarbitraria. Aquı la Rosa Maria descriu el com-portament de certes resolucions localment lliu-res de IV sota enllac (utilitzant un argumentestandard sobre mapping cones) i, com a con-sequencia, descriu de quina manera els modulsde deficiencia son invariants. Es a dir, si V1 i V2

estan enllacats, llavors els moduls de deficienciade V1 i V2 estan relacionats per una combinaciouna mica tecnica de desplacament, dualitat iintercanvi d’ındexs. I una consequencia immedi-ata n’es la invariancia per enllac de la propietatACM; aixo es central per a molts dels temesd’aquest llibre. Una altra bonica i importantconsequencia es que si V1 i V2 estan parellament

enllacats llavors hi ha un enter fix d tal queH i(Pn, IV1(t)) ∼= H i(Pn, IV2(t + d)) per a tot1 ≤ i ≤ dim V1 i tot t.

Un dels primers resultats importants sobreteoria de l’enllac diu que, en codimensio dos,tots els esquemes ACM son a la classe de CI-liaison d’una interseccio completa (i. e. son es-quemes anomenats licci). Aixo es un resultat deGaeta [3] i d’Apery [1] per a corbes de P3, i dePeskine i Szpiro [12] en general i en el llenguatgemodern d’esquemes; normalment es coneix coma teorema de Gaeta. Un dels problemes que mo-tivaren [8] fou el seguent: fins a quin punt es potestendre a codimensio mes alta, el teorema deGaeta que, per codimensio dos, diu que tots elsesquemes ACM son licci? Tal com la Rosa Ma-ria explica detalladament en les primeres duesseccions del capıtol 2, hi ha bastant a dir sobreles classes de CI-liaison de subesquemes ACMde codimensio ≥ 3. Un d’aquests resultats es elfet que hi ha infinites classes de CI-liaison quecontenen esquemes determinantals estandards.Pero en certa manera, un problema mes prome-tedor es el de determinar que es pot dir per aG-liaison.

Es encara una pregunta oberta de gran in-teres si tots els esquemes ACM son a la classede G-liaison d’una interseccio completa (anome-nats esquemes glicci). Se sap [10] que la respostaes afirmativa llevat deformacio, pero mes enllad’aixo no hi ha cap resultat general conegut.Tanmateix una de les idees del nostre grup deBarcelona fou que, en codimensio dos, es mesproductiu pensar en els nostres esquemes coma determinantals estandard, mes que com a es-quemes ACM (tot i que son nocions equivalentsen aquell context). Aixo va portar a un delsnostres resultats mes interessants, generalitzantdirectament el teorema de Gaeta: els ideals de-terminantals estandard son glicci en qualsevolcodimensio! L’ultima seccio del capıtol 2 esbossala prova d’aquest resultat.

En matematiques, sovint es dona el cas quequan una pregunta oberta es massa difıcil, es po-den extreure idees mirant certs casos particularsespecialment interessants, fins i tot encara queels metodes usats siguin massa especials per aesperar poder estendre’ls al cas general. Un d’a-quests problemes oberts es el ja mencionat sobresi els subesquemes ACM son glicci, i els idealsdeterminantals estandard van proporcionar unaprimera classe amplia molt interessant d’exem-

46

ples. Una altra conjectura important en que elsideals determinantals proporcionen tambe unaclasse amplia i interessant d’exemples es la con-jectura de la multiplicitat, que ara expliquem.

Sigui R/I una algebra de Cohen-Macaulaygraduada, de codimensio c, i amb resolucio lliureminimal

0 → Fc → Fc−1 → · · ·→ F2 → F1 → R → R/I → 0.

Cadascun d’aquests moduls lliures es un sumanddirecte de copies torcades de R; en particular,cada sumand es de la forma R(−a) per a algunenter positiu a. Per a l’i-esim modul lliure Fi,denotem per mi el mes petit d’aquests enterspositius, i per Mi el mes gran. Denotem pere(R/I) la multiplicitat de R/I —en el cas enque I es l’ideal saturat d’un subesquema V dePn, e(R/I) es simplement el grau de V . Llavorsla conjectura de la multiplicitat diu que

1c!

c∏i=1

mi ≤ e(R/I) ≤ 1c!

c∏i=1

Mi. (1)

Aquesta es una bonica conjectura, que ha ins-pirat molta recerca, pero que roman oberta engeneral per a codimensio ≥ 3. La conjectura esdeu a Herzog, Huneke i Srinivasan [5], i derivad’un resultat de Huneke i Miller [7], els qualsestudiaren el cas en que mi = Mi per a tot i (i. e.quan R/I te una resolucio pura) i provaren queles dues desigualtats son igualtats en aquest cas.La conjectura de multiplicitat estesa ([6], [11])diu que, al contrari, si alguna de les desigualtatsde (1) es una igualtat, llavors l’altra tambe, iR/I te una resolucio pura.

Al capıtol 3 del seu llibre, la Rosa Maria trac-ta la conjectura de la multiplicitat per a idealsdeterminantals estandard. Comenca amb l’ar-gument per a ideals determinantals estandardde codimensio 2, tractat originalment a [5], queresol el cas ACM en codimensio 2. La conjecturade la multiplicitat per a ideals determinantalsestandard en codimensio arbitraria va ser demos-trada per primer cop per la Rosa Maria mateix,encara que poc temps despres d’apareixer el seupreprint es resolia la conjectura de la multiplici-tat estesa per a ideals determinantals estandard(independentment i gairebe simultania) a [6]i [11]. Al capıtol 3 dona una prova d’aquestfet. En l’ultima mitja decada s’han demostratmolts altres casos especials i extensions de la

conjectura de la multiplicitat, pero resoldre-lacompletament roman un problema central i des-afiador en algebra commutativa.

Gran part dels capıtols 4 i 5 es dediquen adescriure el treball de la Rosa Maria amb JanKleppe. El capıtol 4 tracta un aspecte comple-tament diferent dels esquemes determinantalsestandard: els seus esquemes de Hilbert corres-ponents. Si hom fixa els graus de les entradesd’una matriu homogenia (i. e. la matriu de grau)i hom considera totes les possibles matrius ho-mogenies amb la matriu de grau donada i elsesquemes que aquests ideals determinantals de-fineixen, es pot demostrar que el corresponentlocus d’esquemes determinantals estandard esirreductible dins el seu esquema de Hilbert. LaRosa Maria denota aquest lloc geometric perWs(b, a). El lloc geometric dels esquemes deter-minantals bons es denotat per W (b, a).

Els tres problemes que s’estudien al capıtol 4son els seguents: 1) trobar la dimensio de W (b, a)i de Ws(b, a); 2) determinar si la clausura deW (b, a) es una component en el corresponentesquema de Hilbert, i 3) es l’esquema de Hil-bert corresponent genericament llis al llarg deW (b, a)? La Rosa Maria dona solucions parcialsa aquests tres problemes.

El lector s’haura fixat que no hem parlat en-cara d’ideals determinantals simetrics. Aquestses reserven per al capıtol 5, on Rosa Maria trac-ta tots els problemes anteriorment esmentatsper al cas d’aquests ideals. Despres de donar unresultat parcial, cita un teorema de Gorla [4]dient que tots aquests ideals son glicci. Respectela conjectura de la multiplicitat, demostra totun seguit de casos especials per a ideals deter-minantals simetrics, incloent el cas dels menorssubmaximals. Finalment, per a la llisor i dimen-sio de l’esquema de Hilbert, demostra un seguitde resultats parcials interessants i difıcils, pera esquemes determinantals simetrics, principal-ment en el cas submaximal.

En resum, aquest llibre omple un buit ambel seu enfocament geometric de l’estudi dels ide-als i esquemes determinantals. Recull diversosproblemes oberts importants sobre aquest temai descriu diversos aspectes interessants dels tre-balls existents sobre aquests problemes. A mes,es essencialment autocontingut. Es va escriurecom una col.leccio estesa d’apunts d’una serie deconferencies de la Rosa Maria a l’Indian Institu-te of Technology, a Mumbai. Com a tal, l’autora

47

se centra en els aspectes d’aquests problemesen els quals ha fet contribucions. Ha fet unafeina admirable en l’organitzacio i exposicio. Lameva unica crıtica es que el llibre hauria estatuna referencia mes util si la Rosa Maria haguesinclos mes citacions de treballs relacionats peral lector interessat (les seves llistes curtes a lespagines 8, 66 i 130 no son suficients). Pero aixono es cap mancanca seriosa, i ella mateixa l’ad-met en la seva introduccio. En la introducciotambe expressa el seu desig que el materialque escullo sera beneficios i clarificador per allector. En la meva opinio, donada la quanti-tat de feina interessant, extensa i impressionantque ha fet en aquesta area, ha aconseguit ambescreix aquest objectiu. Es una referencia valu-osa per a tothom interessat en aquests temes.I, certament, tots els afortunats de tenir unacopia del llibre de Bruns i Vetter poden reservarel lloc adjacent de la prestatgeria per a aquestllibre.

Referencies

[1] Apery, R. Sur certains caracteres nume-riques d’un ideal sans composant impropre.C.R.A.S. 220 (1945), 234–236.

[2] Bruns W.; Vetter, U. DeterminantalRings. Lecture Notes in Mathematics,1327. Berlın: Springer-Verlag, 1988. Acces-sible a:ftp://ftp.mathematik.uni-osnabrueck.de/pub/osm/kommalg/DetRings.ps.gz.

[3] Gaeta, F. Sulle curve sghembe algebrichedi residuale finito. Annali di Matematicas. iv, t. xxvii (1948), 177–241.

[4] Gorla, E. The G-biliaison class of symme-tric determinantal schemes. Preprint math.AG/0505414.

[5] Herzog, J.; Srinivasan, H. Bounds formultiplicities. Trans. Amer. Math. Soc.,350 (1998), 2879–2902.

[6] Herzog, J.; Zheng, X. Notes on themultiplicity conjecture. Collect. Math., 57(2006), num. 2, 211–226.

[7] Huneke, C.; Miller, M. A note on themultiplicity of Cohen-Macaulay algebraswith pure resolutions. Canad. J. Math.,37 (1985), 1149–1162.

[8] Kleppe, J.; Migliore, J.; Miro-Roig,R. M.; Nagel, U.; Peterson, C. Gorens-tein Liaison, Complete Intersection LiaisonInvariants and Unobstructedness, Memoirsof the Amer. Math. Soc., vol. 154, 2001,116 pags. ISBN 0-8218-2738-3.

[9] Migliore, J. Introduction to Liaison The-ory and Deficiency Modules. Birkhauser,Progress in Mathematics, 165, 1998.

[10] Migliore, J.; Nagel, U. Monomial Ide-als and the Gorenstein Liaison Class of aComplete Intersection. Compositio Math.,133 (2002), 25–36.

[11] Migliore, J.; Nagel, U.; Romer, T.Extensions of the Multiplicity Conjectu-re. Per publicar a Trans. Amer. Math.Soc.

[12] Peskine, C.; Szpiro, L. Liaison des va-rietes algebriques. I. Inv. Math., 26 (1974),271–302.

[13] Rao, P. Liaison among Curves in P3. In-vent. Math., 50 (1979), 205–217.

Tal com esta indicat a les bases del pre-mi, el treball ha estat publicat per l’EditorialBirkhauser. Series: Progress in Mathematics, vol.264.

Juan C. MiglioreUniversity of Notre Dame, EUA

48

Premi Josep Teixidor de Matematiques 2007Localitzacio i conservacio d’estructures en homotopia estable, Javier Gutierrez

La teoria d’homotopia ordinaria estudia elsespais topologics des d’un punt de vista queens permet doblegar-los i aixafar-los, pero maitrencar-los. La teoria d’homotopia estable, prin-cipal objecte d’estudi d’aquesta tesi, captural’essencia de l’homotopia ordinaria prescindintde les particularitats de les dimensions baixes.Aixo s’aconsegueix invertint el functor X 7→ ΣXque envia un espai a la seva suspensio, la qualcosa s’obte adherint per la base dos cons so-bre X.

ΣX =

La successio d’espais X, ΣX, Σ2X, . . . de-termina un espectre Σ∞X, que son els objec-tes de la categoria d’homotopia estable. For-malment, un espectre E consta d’una successiod’espais E0, E1, E2, . . . i aplicacions ΣEn →En+1, encara que la millor manera d’entendre’lses a traves de les teories de cohomologia genera-litzades E∗. Aquestes teories fan correspondrea cada espai X un grup abelia graduat E∗(X),el qual nomes depen del tipus d’homotopia deX, de manera que E∗(ΣX) ∼= E∗+1(X).

Exemples rellevants de teories de cohomolo-gia son la cohomologia singular H∗(X, A) ambcoeficients a un grup abelia A i la teoria K,K∗(X). El grup K0(X) classifica fibrats vecto-rials sobre X.

Existeix una bijeccio entre els tipus d’homo-topia d’espectres i les teories de cohomologiaE ↔ E∗ donada per la formula

En(X) = limk→∞

[ΣkX, En+k],

on a la dreta de la igualtat trobem un lımitdirecte de conjunts de classes d’homotopia d’a-plicacions. L’espectre HA associat a la coho-mologia singular H∗(X, A) s’anomena espectred’Eilenberg-MacLane del grup abelia A.

La categoria d’homotopia estable, en con-trast amb l’ordinaria, posseeix una rica estruc-tura analoga a la d’altres categories d’interes enalgebra i geometria algebraica. Es una categoria

triangulada en el sentit de Verdier, com la cate-goria derivada d’un anell. A mes, poseeix unamena de producte tensorial que es el productesmash d’espectres E ∧ F . Durant molts anyses va creure que un tal producte no podia exis-tir. El descobriment recent d’aquest producteha impulsat un desenvolupament de la teoriad’homotopia estable que esten l’algebra i la geo-metria algebraica ordinaries a traves del functord’Eilenberg-MacLane A 7→ HA. Aquestes novesdisciplines es coneixen comunament com a bravenew algebra i brave new algebraic geometry.1

Un espectre anell E es estricte si la multipli-cacio µ : E ∧ E→E es estrictament associativaµ(µ ∧ idE) = µ(idE ∧µ) i unitaria. En general,pot ser que aquestes relacions nomes siguin d’-homotopia µ(µ ∧ idE) ' µ(idE ∧µ). Podem ferla mateixa distincio per a espectres modul, etc.

Moltes teories de cohomologia E∗ prenenvalors E∗(X) que tenen una estructura natu-ral d’anell. Per exemple, el producte cup dotala cohomologia singular H∗(X, A) d’estructurad’anell, si A es un anell. El producte tensorialde camps vectorials determina la multiplicacioa K∗(X). En aquests casos, l’espectre associatE es un espectre anell.

Les tecniques de localitzacio ens permeteninferir propietats globals d’un objecte a par-tir de propietats locals d’objectes mes senzills.Son de molta utilitat en algebra. Un exempleelemental: per estudiar els nombres enters Zens podem concentrar en la divisibilitat per unprimer donat p. Per a aixo, podem considerarel subanell Z(p) ⊂ Q format per les fraccions m

nen que p - n. En aquest anell, qualsevol elementfactoritza com a producte d’una potencia del pri-mer pn per una unitat, d’aquı la seva simplicitatcomparat amb Z. A mes, Z =

⋂p primer

Z(p).

Les localitzacions tambe tenen una llargatradicio en topologia algebraica. L’exemple mesclassic son les peces de Postnikov Pn(X), n ≥ 0,que s’obtenen truncant l’homotopia de X a di-mensions ≤ n. En aquest cas, X es reconstrueixprenent un lımit invers X = lim

∞←nPnX.

Aquesta tesi porta a terme un estudi pro-fund de les localitzacions en teoria d’homotopia

1Vegeu l’article de R. M. Vogt, Introduction to algebra over ‘brave new rings’, The 18th Winter SchoolGeometry and Physics (Srnı, 1998). Rend. Circ. Mat. Palermo, (2), supl. 59 (1999), 49–82.

49

estable en el marc de la brave new algebra. Laidea de localitzacio homotopica es la seguent:donada una aplicacio entre espectres f : A → Bes diu que un espectre Z es f-local si Z pen-sa que f es una equivalencia d’homotopia, es adir, si f indueix bijeccions [ΣnB,Z] ∼= [ΣnA,Z],n ≥ 0. Per a tot espectre X existeix una apli-cacio X → LfX universal entre totes les quetenen un codomini f -local. Aixo determina unfunctor de localitzacio Lf a la categoria d’espec-tres que es idempotent Lf ' L2

f i pren valorsf -locals. La majoria de les localitzacions quees coneixen son d’aquest tipus. Un cas interesd’especial son les localitzacions respecte a lateoria d’homologia E∗ associada a un espectreE. En aquest cas, f es la unio de totes les apli-cacions X → Y que indueixen un isomorfismeen homologia E∗(X) ∼= E∗(Y ).

En un dels resultats principals d’aquesta te-si, l’autor determina quan un functor Lf enviaun espectre anell E a un espectre anell LfE demanera que el morfisme universal E → LfE si-gui multiplicatiu i unitari. Hi ha dues condicionssuficients: quan l’homotopia de E i LfE estiguiconcentrada a dimensions ≥ 0 o quan Lf siguicompatible amb l’estructura triangulada de lacategoria d’homotopia estable. S’il·lustra ambexemples que aquest resultat es, probablement,el mes general possible. A mes, l’autor donadiferents caracteritzacions de la compatibilitatde Lf amb l’estructura triangulada. Tambe obteels resultats analegs per a espectres modul.

Aixı mateix, es prova que els espectres anellestrictes es preserven per localitzacions sotales mateixes hipotesis que al paragraf anteri-or. Aquest resultat es consequencia d’un altredels resultats principals d’aquesta tesi, valid encategories homotopiques mes generals, que donacondicions sobre Lf per a la preservacio, nonomes d’anells, sino d’algebres sobre operades.

La tesi conte un bon nombre de calculs delocalitzacions d’espectres d’Eilenberg-MacLane.Per exemple, es prova que LfΣnHA te, com amaxim, dos grups d’homotopia no trivials endimensions n i n + 1. A mes, si Lf es una lo-calitzacio homologica, construeix un triangleexacte per al calcul dels grups d’homotopia notrivials de LfHA. Aquests grups es calculenexplıcitament per a A = Z, Z/(pn), Q aixı comper als enters p-adics, entre altres.

En general, demostra que LfΣnHZ 'ΣnHA en que A es un anell rıgid. A mes, pro-va que tot anell rıgid es pot obtenir d’aquestamanera. Existeixen anells rıgids de cardinal ar-bitrariament gran; per tant, dedueix que hi hauna classe propia de functors Lf no equivalents.Aixo contrasta fortament amb el fet conegut del’existencia de nomes un conjunt de localitzaci-ons homologiques no equivalents.

Es conegut que si A es un anell, HA esun espectre anell estricte. Les categories ho-motopiques de HA-moduls estrictes i no estric-tes son tanmateix molt diferents en general. Laprimera es equivalent a la categoria derivada deA, que posseeix molt bones propietats, mentreque la segona es mes misteriosa. L’autor provaque ambdues categories mai no coincideixen sila dimensio global de A es > 1 pero que sonequivalents si A es un cos o A ⊂ Q.

Aquesta tesi conte molts altres resultats d’in-teres per als experts en la materia. Les tecniquesde localitzacio son potser les principals eines decalcul que es fan servir per a abordar els majorsproblemes oberts en teoria d’homotopia, com elcalcul dels grups d’homotopia de les esferes. Peraquest motiu creiem que la tesi constitueix unavenc significatiu en aquest camp de les mate-matiques, i es prou mereixedora del premi JosepTeixidor de Matematiques a la millor tesi 2007.

Fernando MuroUB

50

Borses i Premi Ferran Sunyer i Balaguer 2008

Com ja es ben conegut, la Fundacio Ferran Su-nyer i Balaguer atorga anualment el premi queporta el mateix nom a la millor monografia ma-tematica (escrita en angles i com a mınim de150 pagines) de caracter expositiu i que presentiels darrers desenvolupaments d’una area activaen recerca, en la qual el concursant hagi contri-buıt de manera important. El premi consisteixen 12.000 euros i en la publicacio de l’obra ala serie Progress in Mathematics de BirkhauserVerlag. La convocatoria actual esta oberta finsal 5 de desembre de 2008, i el nom del guanyadorsera anunciat a Barcelona l’abril de 2009.

D’entre un total d’onze treballs presentats,en l’edicio de 2008 ha estat guardonada la mo-nografia que porta per tıtol Dimension andRecurrence in Hyperbolic Dynamics, presen-tada per Luis Barreira de l’Instituto SuperiorTecnico de Lisboa. En el proper numero de laSCM/Notıcies inclourem una recensio detalladad’aquest treball, mentre que en aquest mateixnumero que esteu llegint n’hi trobareu una deltreball guanyador l’any 2007.

D’altra banda, l’any 2007 la Fundacio Fer-ran Sunyer i Balaguer, amb la col.laboracio deBirkhauser Verlag, comenca a atorgar les Bor-ses Ferran Sunyer i Balaguer, ofertes als millorsprojectes d’estudi o de recerca matematica rela-cionats amb la tesi doctoral. Els sol.licitants hande ser estudiants de doctorat de matematiques

d’una universitat dels Paısos Catalans, en eltram final de la tesi doctoral. L’objectiu de laborsa es reforcar la formacio en recerca, mit-jancant una beca de 1.200 euros mensuals per afer una estada d’entre un i tres mesos d’estudio de recerca en una institucio fora de l’ambitgeografic de la universitat d’origen o tambe, enel cas de posseir el tıtol de doctor en el mo-ment d’iniciar l’estada, en el Centre de RecercaMatematica. La borsa FSB es compatible ambles beques i contractes tant predoctorals compostdoctorals, pero no amb els ajuts de les ad-ministracions publiques per a la mateixa estadade recerca objecte de la beca.

Els guanyadors de les Borses FSB 2007 vanser Maria Aguareles, per fer una estada al Cen-tre de Recerca Matematica, i Gerard Ascensi,per anar a la Universitat de de Ciencies i Tec-nologia de Noruega. En l’edicio d’aquest 2008han estat atorgades quatre borses per a RocAlabern per fer una estada de dos mesos a laUniversitat de Pittsburg, Maria Barbero per feruna estada de dos mesos a la Universitat deQueen’s, Jose Manuel Gesto per fer una estadade tres mesos al Centre de Recerca Matematica,i Ruben Sevilla per fer una estada de tres me-sos a la Universitat de Gal.l Swansea. La nostrafelicitacio per a tots ells.

Per a mes informacio sobre la Fundacio Fer-ran Sunyer i Balaguer, http://ffsb.iec.cat.

Parlem de llibres

The Music of PrimesLa musica de los numeros primos

Autor: Marcus du SautoyEditorial: HarperCollins Publishers. Nova York, 2003Traduccio castellana de Joan MirallesEditorial: Acantilado. Barcelona, 2007.

En ocasio de la presentacio, a la Facultat deMatematiques i Estadıstica de la UPC (Barce-lona), de la traduccio castellana del llibre deMarcus du Sautoy, The Music of Primes, Sebas-tia Xambo, com a dega i com a amic, va tenirl’amabilitat d’invitar-me a l’acte de presentacioel dia 25 d’abril de 2007, tot suggerint-me que

dones resposta a la pregunta seguent: Es potdivulgar la hipotesi de Riemann (al public engeneral)?

Haig de dir que em vaig sentir especialmenthonorat perque considero que l’obra que Marcusdu Sautoy ens ofereix es un llibre de divulgaciomatematica excel.lent i, realment, es molt difıcil

51

disposar de textos de divulgacio d’aquesta qua-litat.1 M’atreviria a dir que, d’entre els que hellegit, nomes The Code Book de Simon Singh teuna qualitat divulgativa del mateix nivell queel llibre de Du Sautoy.2

Es tractava, doncs, de l’acte de presentaciod’un llibre sense fissures, quelcom que suposavaun repte afegit. En definitiva, l’ocasio ens pro-porcionava a tots una oportunitat molt bona perparlar de matematiques i tambe, d’una maneraparticular, de com fer-les amenes i comprensi-bles a tota mena de publics.

Tambe ens obria la porta a plantejar-nos unaaltra pregunta, pero aquesta mena de pregun-tes tenen una resposta que s’allunya dels meusconeixements: Per quins set sous els dos llibresde divulgacio matematica mes notables dels dar-rers anys no han estat traduıts al catala? Unaresposta rapida —i potser poc meditada— esque produir en catala no resulta profitos per alseditors. Aixo no obstant, nomes porta a afirmar—cosa de la qual no dubto en absolut— que elcatala es molt lluny encara de ser una llenguanormalitzada.3

Hom pot dir que, llevat dels textos de di-vulgacio cientıfica, la resta no te un gran valorcultural. Tanmateix hauria de discrepar d’aques-ta afirmacio, pero, en qualsevol cas, palesa lamanca de normalitat del catala a casa nostra.

Del significat de la divulgacio cientıfica

Pero no ens desviem i tornem a la presentaciodel llibre i a la pregunta d’en Sebastia.

La resposta immediata a la pregunta es clara,rotunda i precisa: Sı. Nomes cal adrecartothom que hi estigui interessat als textosseguents:4 Prime Obsession. Bernhard Riemannand the Greatest Unsolved Problem in Mathe-matics de John Derbyshire.5, el llibre de Marcusdu Sautoy, o Dr. Riemann’s zeros de Karl Sab-bagh.6

I, a Catalunya, podem recorrer a La hipo-tesi de Riemann de Pilar Bayer, i al meuDels problemes de Hilbert als problemes delmil.leni.7

No se, estimat amic que llegeixes aquesteslınies, si mai t’has preguntat quins son els pressu-postos que hi ha dessota d’un text de divulgaciocientıfica. Jo, en un intent de ser serios i reflexiu—l’ocasio m’ho exigia—, m’ho vaig plantejar.

I tot seguit em vaig adonar que, si volia sercuros, em calia precisar el significat del termes;es a dir, calia fer dues o tres precisions i aclari-ments:8

(α) Que entenem com a divulgacio de lamatematica?

(β) Quin significat hem d’atribuir a l’expres-sio el public en general?

(γ) Per que la hipotesi de Riemann es unproblema matematic adequat per a explicar ma-tematica a una audiencia de no matematics?

1De fet, ja l’havia recomanat tant com havia pogut: a companys universitaris, a professors de batxillerat i d’ESO,a mestres i a totes aquelles persones que havia considerat prou interessades en temes culturals, malgrat que fossinmatematics.

2Simon Singh, The Code Book . Londres: Fourth Estate, 1999. Traduccio castellana de Jose Ignacio Moraza, Loscodigos secretos, Madrid: Debate, 2000.

3Tres apunts: no hi ha comics en catala, no hi ha divulgacio cientıfica en catala, no hi ha manuals dels que serveixenper fer turisme per l’estranger. I, molt simptomatic, a TV3, de tant en tant, ens informen que una pel.lıcula singular—d’un bon grapat de les que hi ha en el cartell— ha estat traduıda al catala.

4Tots tres s’han traduıt a llengues diverses, cosa que posa de manifest l’existencia d’un public internacional ampliinteressat per questions matematiques exposades de manera divulgativa amb una atencio especial a la hipotesi deRiemann.

5John Derbyshire, Prime Obsession. Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics,Washington, DC: Joseph Henry Press, 2003.

6Karl Sabbagh, Dr. Riemann’s zeros, Londres: Atlantic Books, 2002.7Vegeu, respectivament, les pagines 29–62, 131–139 i 157–158, del text col.lectiu Els set problemes del mil.lenni .

Sabadell: Obra Social Caixa Sabadell, 2007.8Em sembla que son valids tambe en divulgacio de la ciencia en general, pero jo solament em referire a la matematica.

52

De la divulgacio matematicaLa divulgacio matematica es, de fet, un au-

tentic acte comunicatiu pragmatic en el sentitlinguıstic del terme. Podem resumir aquest sig-nificat pragmatic usant el que hom coneix comel principi de cooperacio de Grice.9 En sıntesi,aquest principi diu:En un acte comunicatiu hi ha quatre caracte-rıstiques que en cap cas no poden ser obviades.Son:

1. Contribuir amb el maxim d’informacio possi-ble.

2. No dir mai res que no s’adequi a allo quevolem comunicar.

3. Evitar l’ambiguitat i l’obscuritat.4. Contribuir a l’exit de l’acte conversacional.

En tot acte contextual de comunicacio calque hi hagi un coneixement compartit —unainterseccio no buida de coneixements comunsentre el qui comunica i el qui rep l’acte comu-nicatiu. Es un requisit irrenunciable, perque, siaquest coneixement compartit no existeix, l’actecomunicatiu no es possible, en el sentit que noes efectiu, no assoleix l’objectiu que es proposa.

Del public en generalSi acceptem l’aproximacio anterior sobre la

divulgacio matematica, es clar que hem de pre-cisar el que s’enten per public en general,perque es molt important coneixer l’audienciaa la qual va adrecada l’exposicio. Els coneixe-ments compartits, entre el divulgador i el recep-tor, son forca diferents per a audiencies diverses.Per aixo, crec que, en aquest context, hi ha,almenys, quatre menes d’audiencies possibles:10

1. Els matematics de professio o docents univer-sitaris, que no son, pero, especialistes en laquestio que es preten divulgar.

2. Els professors de nivells intermedis (darrerscursos de secundaria i primers cursos d’en-senyaments universitaris cientıfics i, potsertambe, de caire filosofic).

3. Els estudiants que gaudeixen amb la ma-tematica i els problemes que suscita.

4. El public en general, englobant en aquesta ex-pressio tan vaga tothom qui tingui un nivellde cultura prou ampli, uns certs coneixementsmatematics i cientıfics elementals i un interesreal —aixo es essencial— per les questionsmatematiques.

De l’objectiu de la divulgacio matematicaEntenc que l’objectiu principal de la popu-

laritzacio de la matematica es fer paleses d’unamanera clara i distinta —amb paraules del’eminent filosof frances Rene Descartes— lesidees mes notables que hi ha en una questioo problema matematic, tot evitant, tant comsigui possible, els tecnicismes, pero sense obvi-ar els conceptes matematics, els trencamentsepistemologics, les equivalencies logiques, les ge-neralitzacions possibles, les controversies que avoltes es generen, etc.11

En qualsevol text de divulgacio matematicaes necessari comencar amb els fets mes primarisi elementals —son els mes facils de comprendre—i anar ascendint suaument, d’acord amb els co-neixements que hom suposa que tenen els lec-tors, fins a assolir les fites mes altes possible.En el viatge —que, com diu Kavafis, volemque sigui llarg, ple de ventures, ple de conei-xences— trobarem els matematics que hancreat parts importants de la matematica i, enl’exposicio, podrem incloure fragments de les se-ves vides, descriure els indrets on van treballar,la matematica que els envoltava quan ells vanapareixer en escena, els seus exits, fracassos ierrors, etc.12

En resum, la divulgacio matematica consis-teix a parlar de matematiques, a explicar-ne elsproblemes, i alhora a descriure’n els creadors illurs histories. Tot aixo evitant, tant com siguipossible, els tecnicismes, pero incidint en elsconceptes i nocions matematics amb el maximde precisio que considerem idonia perque el textpugui ser ben compres. Com ja he dit abans,aquest objectiu s’ha de vincular ıntimament alsconeixements matematics dels lectors i oients,si volem que la comunicacio tingui exit.

9P. Grice, Meaning, Philosophical Reviews, 1957, 337–338. Versio castellana: Significado, Cuadernos de Crıtica,Mexic, 1978. Vegeu Margarida Bassols. Les claus de la pragmatica, Vic: Eumo, 2001, 143–177.

10Considero que, en els textos de divulgacio, s’hauria d’explicitar el nivell de coneixement matematic que els lectorsnecessiten en cada moment per comprendre’n el contingut. Una introduccio succinta —o uns signes de complexitat oespecificitat— seria mes que suficient per a assolir aquest objectiu.

11En aquest context pot ser d’utilitat revisar les idees que hi ha en el text de Morris Kline. Mathematics: The Lostof certainty , Nova York: Oxford University Press, 1980. Traduccio castellana d’Andres Ruız Merino, Matematicas. Laperdida de la certidumbre. Madrid: Siglo XXI de Espana Editores, SA, 1985.

12Marcus, en el seu text, compleix a la perfeccio aquest objectiu.

53

De les conclusions de l’analisi precedentAra ja puc respondre amb una mica mes de

detall la pregunta que ens havıem plantejat al’inici de l’exposicio.

La hipotesi de Riemann es un bon problemaper ser explicat a nivells molt diversos. Arrencaamb un context matematic forca elemental: elsnombres primers, les seves propietats i dificul-tats. En el seu desenvolupament historic trobemels mes il.lustres matematics del darrer segle imig, i permet adonar-nos que les seves perso-nalitats, contextos vitals i conceptes son forcadiferents. A mesura que avancem en el desenvo-lupament de la questio ens adonem que hi hahagut trencaments epistemologics importants,que ha calgut estendre conceptes de forma sor-prenent: les funcions, per exemple, s’han hagutd’estendre a camps numerics nous. A mes, lahipotesi de Riemann admet generalitzacions endominis matematics molt mes abstractes d’a-quell en que s’origina. I, finalment, la hipoteside Riemann travessa parts molt diverses de lamatematica. De fet es un problema molt bo percopsar la transversalitat de la matematica. Pera mi, ja ho he dit en moltes altres ocasions, aixoes un tret realment important —potser n’es unacaracterıstica essencial— de la matematica.

I, ultra tot el que hem dit, cal indicar tambeque no es un problema totalment alie a les ques-tions d’indecidibilitat aritmetica. En d’altres pa-raules, es possible plantejar, i potser respondre,la pregunta seguent de caire metamatematic o fi-losofic, si ho preferiu: La hipotesi de Riemann esindependent dels axiomes aritmetics de Peano?

Totes aquestes situacions i problemes ma-tematics poden ser presentats a un nivell relati-

vament elemental i ens permeten de triar entreun bon nombre de questions adequades segons elgrau de dificultat que en cada moment vulguemassolir.

Dit tot aixo, hem d’indicar que la hipotesi deRiemann suscita una dificultat forca greu per-que pugui ser compresa des d’un nivell elemen-tal d’exposicio i desenvolupament matematics.Aquest punt de dificultat rau en el fet que calun cert coneixement d’analisi complexa. Cal, al-menys, entendre com s’estenen les funcions realsal pla complex i com es comporten aquestes ex-tensions en el nou reialme —un reialme aritmeticque te un comportament geometric molt in-teressant que cal comprendre nıtidament—, per-que la hipotesi de Riemann tracta precisamentd’aixo.13

Conclusio

Espero haver donat una resposta raonable i ra-onada a la pregunta inicial. La hipotesi de Rie-mann es una questio matematica extremamentadequada per parlar de matematiques i de ma-tematics (malgrat que jo aixo darrer no ho hagifet), com podreu constatar molt millor encarasi llegiu la traduccio de Joan Miralles de Mu-sic of Primes que presentem. Es un llibre que,despres d’haver-lo llegit ja fa mes d’un any, l’-he recomanat de manera entusiasta als meuscol.legues i amics, tant als que son matematicscom a aquells altres que estan interessats en elconeixement huma.

Moltes gracies a totes i tots per la vostraatencio, i tambe moltes gracies a Marcus peraquest llibre.

Josep Pla i Carrera2000, Any Mundial de les Matematiques. UB

13Vegeu, per exemple, a Marcus du Sautoy, The Music of Primes, 84–101, unes pagines excel.lents, exposades ambel maxim de simplicitat possible, pero en absolut elementals. O be, si desitgem una exposicio mes concisa sobre lesfuncions complexes, John Derbyshire, Prime Obsession, 201–222.

54

El tejido del cosmos. Espacio, tiempo y la texturade la realidad

Autor: Brian GreeneEditorial: Drakontos. Col.leccio Crıtica, 2006.

Aquest llibre de divulgacio cientıfica es una nar-racio dels diversos punts de vista des dels qualsla fısica ha anat descrivint els conceptes d’espaii de temps. El seu autor, investigador en el campde les supercordes, ens guia de manera solventi molt amena a traves d’aquests avatars. Mesencara, ho fa de manera entenedora, usant per aaquesta finalitat excel.lents analogies i exemplesde la vida quotidiana. Es una obra assequibleper a lectors curiosos que, tot i no tenir afini-tat cientıfica, estiguin disposats a seguir el filde l’autor. El premi d’aquesta lectura consis-teix a arribar a entreveure els subtils canvis queels nostres models de l’espai i del temps hanexperimentat fins als nostres dies.

Greene situa l’origen de les idees cientıfiquessobre l’espai en la controversia entre Newton,partidari de l’espai absolut, i Leibniz, defensorde l’aspecte relacional. I, amb el gir del famoscubell de Newton com a fil d’Ariadna, assistima l’oscil.lacio de les diverses teories entre l’una il’altra posicio. Aixı, compareixen primer Mach iles dues teories de la relativitat d’Einstein. D’al-tra banda, tambe la mecanica quantica apor-ta novetats a les nostres idees quotidianes so-bre l’espai. La coneguda oposicio d’Einstein ala interpretacio probabilista de l’escola de Vie-na, cristal.litzada en el famos article d’Einstein-Podolski-Rosen sobre variables ocultes, donalloc, via un aclamat article de Bell, a la conside-racio que l’espai es no local: coses que passen ara

aquı, influeixen de manera instantania en cosesque passen exactament ara en un lloc distant.

Del temps, sabem per la nostra percepciousual que, d’una banda, flueix i, de l’altra, queho fa en una direccio determinada: l’ou esclafatmai no es recompon. El problema es que a lesequacions de la fısica no hi ha cap indici d’aques-ta direccionalitat del temps. Es un bon tema derecerca l’encabir aquesta, aixı anomenada, flet-xa del temps en el marc de la fısica. En aquestsentit, Greene ens presenta molt habilment elconcepte d’entropia, de Boltzmann, i les sevesaplicacions a tot l’univers. A mes, la sensaciode flux es posada en questio per la teoria dela relativitat. Tambe la mecanica quantica hiaporta el seu punt de vista.

L’autor tambe ens detalla el conflicte entrela teoria de la relativitat general i la mecanicaquantica, encarnat de ple en l’estudi dels foratsnegres, perque son objectes amb molta massai extremament petits. Greene exposa llavors lapossible solucio a aquest conflicte: la teoria deles supercordes, petits filaments vibrants d’ener-gia, diu. Segons aquesta teoria, cada partıculaconeguda es un patro d’oscil.lacio d’una super-corda; paga la pena esmentar que cal considerardimensio deu per l’espai. Un dels exits impor-tants d’aquesta teoria es que, a mes d’englobar lamecanica quantica, conte el gravito, la partıculamissatgera del camp gravitacional. Mes enda-vant ens mostra, pero, els problemes que teaquest marc: manca de prediccions experimen-tables, es treballa amb equacions aproximades,grandaries extremament petites, etc. Hi ha, pero,moltes esperances i prediccions dipositades en elGran Col.lisionador d’Hadrons que aquest 2008ja estara en funcionament a Ginebra, com arala creacio de microforats negres i la creacio demultitud de noves partıcules.

L’origen de la fletxa del temps ha conduıttambe a progressos en astrofısica que son curo-sament detallats per Greene. En particular elsde la teoria inflacionaria, que descriu instantsanteriors als que estudia la teoria del big bang, il’explicacio de les petites variacions observadesrecentment en la radiacio de fonts de microones

55

amb una precisio sorprenent. Tambe la teoria desupercordes hi te a dir la seva en aquests ambitsrecondits.

I per finalitzar, una citacio: ser investigadores un ofici de risc, diu, referint-se al permanent

estat de perplexitat que cal superar. Un risc quetambe ha aconseguit superar, i amb mestria, enla redaccio d’aquest text.

Graziel

Statistical independence in probability, analysis andnumber theory

Autor: Mark KacEditorial: The Carus Mathematical Monographs, num. 12, MAA, 1959.Traduccio catalana: Independencia estadıstica en probabilitat, analisi iteoria de nombres, Pelegrı Viader. Publicacions de la SCM, num. 3, 2006.

Aquest llibre de Mark Kac (1914–1984) es elresultat de la transcripcio i posterior edicio iampliacio d’una serie de conferencies que l’autorva impartir entre 1955 i 1958. El llibre, com aconsequencia d’aixo, te la rara propietat d’aple-gar al mateix temps la frescor de l’alta divulgacioi el rigor d’un text matematic. Aixo fa que espugui llegir de moltes maneres i amb diferentsintensitats d’acord amb els interessos de cadascu.En qualsevol cas, tothom hi trobara alguna cosaprofitosa al mateix temps que gaudira d’una ex-posicio fluida, clara i que, a banda de resultats,vol explicar els mecanismes de pensament quehi ha darrere. En resum: una delıcia de lectura.

En el seu prefaci, Kac ens parla dels objec-tius que te en escriure aquesta monografia:

[. . . ] mostrar que: a) observacions extrema-ment simples son, sovint, el punt de partidade teories molt riques i fructıferes, i b) moltsdesenvolupaments, aparentment no relacio-nats entre si, son, en realitat, variacions delmateix tema.

El tema, en aquest cas, es el que s’indica altıtol: la independencia estadıstica o, mes bendit, el concepte d’independencia estadıstica.Kac va estar obsessionat pel concepte d’in-dependencia des dels inicis de la seva activitatmatematica. El tema li va ser proposat per HugSteinhaus, el seu mestre i director de tesi, i haestat al rerefons de quasi tota la seva activi-tat matematica. D’una manera o altra, gairebetots els grans resultats de Kac han estat lligatsal concepte d’independencia que, cal recordar,era una tema forca embolicat a principis delsegle xx quan encara la probabilitat era miradaamb sospita per molts matematics. En paraules

de Kac:

La nocio d’independencia es va originar enla teoria de la probabilitat i, durant moltde temps, va ser usada amb un grau elevatd’imprecisio, de tal manera que va aixecarsospites sobre la seva seriositat com a teoriamatematica.

Ates que Kac, igual que Steinhaus, era unmatematic amb un vessant molt aplicat (quepreferia les aplicacions a les generalitzacions abs-tractes), a l’hora d’explicar-nos les subtileses delconcepte d’independencia tria fer-ho mostrant-nos les aplicacions del concepte a tres camps enels quals ell mateix va fer contribucions moltimportants: la mateixa probabilitat, l’analisi ila teoria de nombres.

En el primer i segon capıtols del llibre, Kacintenta explicar-nos com aquesta ambiguitaten la nocio d’independencia que es troba enels orıgens de la probabilitat i l’estadıstica (no-cio que es extramatematica) aconsegueix esvair-se i convertir-se en una nocio intramatematicaa partir de la regla del producte de les pro-babilitats d’esdeveniments independents i larealitzacio d’un model de repeticio de provesde Bernoulli que va venir de la ma de Bo-rel i la seva memoria de 1909 Sur les pro-babilites denombrables et leurs applicationsaritmetiques ()Rend. Circ. Mat. Palermo 27,247–271). En aquesta memoria, Borel fa notarque els dıgits εi(= 0, 1) del desenvolupamentbinari d’un nombre real de l’interval [0, 1]

t =ε1(t)

2+

ε2(t)22

+ε3(t)23

· · ·

son funcions (o variables aleatories, com mes en-davant se’n diran) independents en el sentit

56

matematic de la paraula, de manera que cadanombre real es pot considerar una realitzaciod’infinites repeticions del llancament d’una mo-neda. De fet, en comptes de treballar amb εk(t),Kac treballa amb les funcions de Rademacher,rk(t) que es defineixen com

rk(t) = 1− 2εk(t), k = 1, 2, . . .

i que prenen valors 1 i −1. Amb l’ajut d’aquestesfuncions, Kac enceta el llibre amb l’exhibicio (demanera absolutament magnıfica) d’un exemplesorprenent en el qual la integral d’un productees igual al producte d’integrals! ConcretamentKac demostra que per qualsevol x ∈ R∫ 1

0

(eix

r1(t)2 · eix

r2(t)

22 · · ·)

dt =∫ 1

0eix

r1(t)2 dt ·

∫ 1

0eix

r2(t)

22 dt · · · .

Aquest resultat es el que li dona peu a les re-flexions sobre el concepte d’independencia queabans comentavem.

En el capıtol 2, Kac s’endinsa en el modelde Borel i analitza el concepte de llei dels gransnombres amb l’ajut de problemes classics comla ruına del jugador i la normalitat dels nom-bres reals en el sentit de Borel (gairebe tots elsnombres reals de [0, 1] tenen asimptoticament elmateix nombre de zeros que uns en el seu desen-volupament binari). El problema de la ruına deljugador es pot plantejar com l’estudi del compor-tament asimptotic de r1(t)+r2(t)+ · · ·+rn(t) siinterpretem que t representa les infinites tiradesd’una moneda no trucada que ens proporciona $1de guany cada cop que surt cara i $1 de perduacada cop que surt creu. Amb quatre pinzelladesen te prou per estudiar i resoldre aquests pro-blemes. Paga la pena fer notar que molts autors

posteriors han fet servir aquesta presentacio deKac en els seus textos (per citar-ne un parell,Probability and Measure, P. Billingsley, JohnWiley & Sons, Nova York, 1995; Measure The-ory and Probability, M. Adams i V. Guillemin,Birkhauser, Boston 1996 (reedicio de l’originaldel 1986)). Amb aquests conceptes a la sevadisposicio enceta un dels seus grans temes (queja havia estudiat Steinhaus): la convergencia deseries llacunars. Com ja ha fet en els altres casos,Kac comenca el tema amb un exemple senzill iengrescador:

Quina es la probabilitat que la serie∑∞k=1±ck (ck ∈ R) convergeixi, sabent que

els signes s’han triat cadascun de maneraindependent amb probabilitat 1/2?

La questio havia estat resolta per Rademac-her, que va demostrar un resultat equivalent: si∑∞

k=1 c2k < ∞, la serie

∑∞k=1 ckrk(t) convergeix

gairebe pertot.Kac presenta una demostracio de Paley i

Zigmund que utilitza de manera essencial laindependencia de les funcions de Rademacheri immediatament, amb una d’aquestes obser-vacions extremament simples a les quals esreferia al prefaci, esten el resultat a la serie∑∞

k=1 ck sin 2π2kt adaptant la demostracio dePaley i Zigmund. Aquest resultat connecta ambresultats sobre series llacunars mes generals.

En el capıtol 3 del llibre ens trobem amb elnucli central del llibre: la llei normal. El mateixKac diu a la seva autobiografia (Enigmas ofChance: An Autobiography. Nova York, Harperand Row, col.l. Sloan Foundation Series, 1985.Publicada postumament per Gian-Carlo Rota):on hi ha independencia, ha d’apareixer la lleinormal i aquesta cerca de la llei normal endiferents situacions de la matematica i la fısicaes una altra de les seves obsessions. Novamentcomenca amb un exemple senzill. En aquest cas,un refinament de la llei dels grans nombres queha estudiat al capıtol anterior:

limn→∞

µω1

√n < r1(t) + · · ·+ rn(t) < ω2

√n

=1√2π

∫ ω2

ω1

e−y2/2 dy .

i n’ofereix una demostracio detallada que li per-met generalitzar i arribar al teorema de conti-nuıtat de les transformades de Fourier-Stieltjes(que no demostra):

57

Si σn(ω) es una successio de funcions dedistribucio tals que, per a tot real ξ

limn→∞

∫ ∞−∞

eiξω dσn(ω) = c(ξ)

i c(ξ) es una funcio contınua per ξ = 0, lla-vors existeix una unica funcio de distribucio,σ(ω) tal que∫ ∞

−∞eiξω dσ(ω) = c(ξ)

ilim

n→∞σn(ω) = σ(ω)

per a tot ω pel qual σ(ω) sigui contınua.

El capıtol s’acaba amb un resultat que es moltinstructiu, tant des del punt de vista concep-tual com tecnic: donada una superposicio devibracions amb frequencies incommensurables

qn(t) =√

2cos λ1t + · · ·+ cos λnt√

n

el temps relatiu que qn(t) roman entre ω1 i ω2

segueix una llei normal:

limn→∞

(lim

T→∞

12T

µω1 < qn(t) < ω2 ∩ (−T, T ))

=12π

∫ ω2

ω1

e−y2/2 dy.

Aquesta observacio va ser molt important per aKac. En les seves propies paraules:

El fet que aixo ens porti a la llei normal [...]generalment associada amb fenomens aleato-ris, es potser una indicacio que els punts devista determinista i probabilista no son tanirreconciliables com pot semblar a primercop d’ull. Penetrar mes en aquesta questioens portaria massa lluny, pero podem recor-dar unes paraules de Poincare, que va dir(segur que mig de broma) que alguna cosamisteriosa hi devia haver en la llei normal,perque els matematics opinaven que era unallei de la naturalesa, mentre que els fısicsestaven convencuts que es tractava d’un teo-rema matematic.

En el capıtol 4 Kac entra en el terreny de lateoria de nombres. El tıtol del capıtol s’ha fetfamos: Primes play a Game of Chance (elsnombres primers juguen un joc d’atzar). Partint

de la senzilla idea de densitat d’un conjunt denombres enters positius, A:

DA = limN→∞

#enters k ∈ A ∩ 1, 2, . . . , NN

Kac raona:

Considerem els enters divisibles per un pri-mer p. La densitat del conjunt d’aquestsenters es clarament 1/p. Prenem ara el con-junt dels enters divisibles alhora per p i q(on q es un altre primer). Ser divisible per pi q es equivalent a ser divisible per pq i, enconsequencia, la densitat del nou conjunt es1/pq. Ara

1pq

=1p· 1q

,

i podem interpretar aquest fet dient que elsesdeveniments ser divisible per p i serdivisible per q son independents. Aixo esmante, evidentment, per a qualsevol nombrede primers i podem dir, d’una manera unamica pintoresca, que els primers juguen unjoc d’atzar! Aquesta observacio tan senzi-lla, gairebe trivial, es el comencament d’unnou desenvolupament que relaciona d’unamanera significativa, d’una banda, la teo-ria de nombres i d’una altra, la teoria de laprobabilitat.

Aquest comencament espectacular (que despress’ha aprofitat molt; penso, per exemple, en Ser-ge Lang i els seus famosos dialegs (The Beautyof Doing Mathematics. Three Public Dialogues,Nova York, Springer-Verlag, 1985) serveix a Kacper entrar en un terreny tan dur com el de la te-oria de nombres. Comenca formalitzant aquestaobservacio tan senzilla que hem citat i ho faintroduint les funcions enteres:

ρp(n) =

1, p |n,

0, p - n.

Aquestes funcions ρp(n) son independents ison les que li serviran de peces basiques per anarcompletant un puzle que el dura a un teoremacentral del lımit, que es allo que ell busca.

Obviament, les funcions ρp(n) estanfacilment connectades amb altres funcions addi-tives de la teoria de nombres:

φ(n)n

=∏p

(1− ρp(n)

p

)on φ(n) es la funcio d’Euler que compta els en-ters menors o iguals a n que li son relativament

58

primers. Aquesta connexio permet a Kac obteniramb eines probabilıstiques resultats sobre funci-ons enteres fortament additives. A banda d’im-portants resultats sobre la funcio log(φ(n))/n,Kac ataca la funcio ν(n), el nombre de divi-sors primers de n (sense comptar multiplicitat),i obte, amb les eines probabilıstiques que hadesenvolupat, resultats ja coneguts obtingutsamb altres metodes. Concretament, Hardy i Ra-manujan, fent servir metodes purament analıtics,havien demostrat el 1917 (The normal numberof prime factors of a number n, G. Hardy iS. Ramanujan. Quart. J. Math. Oxford, 48 1917,76–92) que si gn es qualsevol successio per laqual lim gn = ∞, tenim

limn→∞

1n

#enters m ≤ n : |ν(m)− log log n| >

gn

√log log n

= 0.

Es a dir, en paraules dels propis Hardy i Rama-nujan, que gairebe qualsevol enter m te, apro-ximadament, log log m divisors primers. Kacpresenta una demostracio de Turan (mes facilque la de Hardy i Ramanujan) i precisa encarames el resultat demostrant que si Kn(ω1, ω2) esel nombre d’enters m, 1 ≤ m ≤ n, pels quals

log log n + ω1

√log log n < ν(m)

< log log n + ω2

√log log n ,

llavors,

limn→∞

Kn(ω1, ω2)n

=1√2

∫ ω2

ω1

e−y2/2 dy .

Aquest resultat te el merit de tenir una generalit-zacio a funcions fortament additives en generalque es coneix com el teorema d’Erdos-Kac TheGaussian Law of Errors in the Theory of Addi-tive Number Theoretic Functions. P. Erdos iM. Kac. American Journal of Mathematics, 621940, 738–742).

L’ultim capıtol del llibre s’aparta una mi-ca dels anteriors, pero aporta noves eines perestudiar alguns dels problemes dels capıtols pre-cedents. De fet, fent servir paraules de Kac,el capıtol consisteix essencialment en una es-pectacular aplicacio del teorema ergodic a lesfraccions continuades.

Kac tambe va estar interessat en la mecanicaestadıstica. Aquest capıtol presenta les ideesprincipals de la teoria ergodica i les relaciona

amb dos problemes. D’una banda, la segona lleide la termodinamica i de l’altra, les fraccionscontinuades. En el primer cas, Kac fa una des-cripcio molt amena i didactica de les paradoxeslligades amb la concepcio mecanica de la materiai la irreversibilitat del temps. Com es poden re-conciliar el comportament irreversible del tempsi el teorema de Poincare sobre sistemes dinamicsconservatius, que, amb certes condicions gene-rals, tenen la propietat que gairebe tot estatinicial del sistema es torna a adquirir amb ungrau d’aproximacio tan gran com es vulgui? Kac,amb quatre pinzellades, aporta una descripcioprou clara del problema en termes de sistemesdinamics i la solucio de Boltzmann. Per fer-ho,fa una descripcio molt senzilla i entenedora delteorema ergodic de G. D. Birkhoff que, en laseva versio discreta, ens diu que si T : Ω → Ωes una transformacio d’un espai de probabilitat(Ω, µ) en si mateix que conserva la mesura (es adir, tal que µ(T−1(A)) = µ(A) per a tot A mesu-rable) i T tambe es ergodica (es a dir, nomes tecom a conjunts invariants —T−1(A) = T (A)—,conjunts de mesura 0 o 1), llavors, donada unafuncio f : Ω → R que sigui µ-integrable, per agairebe tot x ∈ Ω es te que

limn→∞

1n

n∑k=1

f(T k(x)) =∫

Ωf(x) dµ.

El teorema ergodic te moltes aplicacions (unad’elles es, per exemple, una demostracio rapidadel teorema de Borel sobre nombres normals delcapıtol 2), pero una de les mes espectaculars esla que presenta Kac a l’ultima seccio del llibre:les fraccions continuades regulars. Un nombrereal de l’interval unitat I = (0, 1] admet undesenvolupament en fraccio continuada regular

x =1

a1 +1

a2 +1

a3 + .. .

on a1, a2, · · · son enters positius que, de fet, espoden considerar funcions de x:

a1(x) =[

1x

], a2(x) =

11x−[

1x

] , · · ·,

on, com es habitual, [y] denota la part enterade y.

59

Les formules per a les a es poden inclouretotes dintre d’un mateix esquema. Si

T (x) =1x−[

1x

],

llavors,

a2(x) = a1(T (x)) ,

a3(x) = a2(T (x)) = a1(T 2(x)) , etc.

T (·) no es mes que una transformacio de I ensi mateix i aixo fa pensar en la possibilitat d’a-plicar el teorema ergodic. Cal, pero, trobar lamesura invariant. Aixo, que no es gens facil, hova fer Gauss, que va conjecturar que aquestamesura era

ρ(x) =1

log 21

1 + x.

La comprovacio de l’ergodicitat de T no es trivi-al (i Kac no la fa), pero, si l’acceptem, l’aplicaciodel teorema ergodic a T porta a resultats forcasorprenents. Concretament, si prenem la funciof(x) = a1(x), el teorema ergodic ens diu queper a gairebe tot x ∈ I,

limn→∞

(a1a2 · · · an)1/n = C ,

on C es una constant que es coneix com a cons-tant de Khintchine (aquest matematic rus vaser el primer a trobar-la el 1935 amb metodestotalment diferents). Observem que el resultates forca sorprenent perque ens diu que, per a gai-rebe qualsevol nombre real de l’interval unitari,els dıgits del seu desenvolupament en frac-cio continuada regular tenen, asimptoticament,la mateixa mitjana geometrica! (Els lectors in-teressats poden consultar el llibre de la mateixacol.leccio, Ergodic Theory of Numbers, K. Da-jani i C. Kraaikamp, The Carus MathematicalMonographs, num. 29, MAA, 2002.)

Finalment, un comentari sobre els proble-mes. A gairebe totes les seccions del llibre hiha les referencies mes rellevants i un petit grupde problemes que estenen els resultats presen-tats. En alguns casos portant a nous terrenysd’exploracio. Com Kac mateix diu, [. . . ] tambehe inclos uns quants problemes. Aquests pro-blemes son, en general, difıcils i el lector nos’hauria de desanimar si no els resol sense unesforc considerable.

Pelegrı ViaderUPF

Raco biografic

Bernhard Riemann (1826-1866)

Bernhard Riemann va neixer el 17 de setembrede 1826 a Breselenz, un poble situat al nord d’A-lemanya. De petit no va anar a l’escola, pero elseu pare, que era pastor lutera, va fer-li de mes-tre. El 1840, per als estudis de secundaria, anaprimer a l’Institut de Hannover i dos anys des-pres al de Luneburg. L’any 1846, seguint el desigdel seu pare, va matricular-se a la Universitat deGottingen com a estudiant de filologia i teologia,pero un any despres va obtenir el permıs pa-tern per estudiar matematiques; aquest interescap a les matematiques li provenia de l’epocade secundaria, quan el director de l’institut deLuneberg li havia deixat llibres d’Euclides, Ar-quimedes, Descartes, Newton i Legendre. Enparticular, va llegir el tractat sobre teoria denombres de Legendre en nomes sis dies.

Bernhard Riemann.

El 1847 va traslladar-se a Berlın, on rebeles llicons de Dirichlet sobre analisi i teoria denombres, les de Jacobi sobre mecanica i algebra,i amb Eisenstein estudia les funcions el.lıptiques.

60

Acabats els estudis a Berlın, va tornar a Gottin-gen per entrar com a ajudant al laboratori defısica que dirigia Wilhelm Weber, i es en aquestperıode quan comenca el seu interes per la fısica;d’altra banda, en aquests mateixos anys, va lle-gir el filosof Johann Herbart, el qual l’influencianotablement, sobretot en tot allo relacionat ambla nova manera en que concebe l’espai.

L’analisi complexa es un dels camps mes des-tacats de la produccio cientıfica de Riemann. Elnovembre de 1851 defensa la tesi doctoral titula-da Fonaments per a una teoria general de funci-ons d’una variable complexa. En aquest treballintroduı metodes topologics i per a l’analisi deles funcions multivalorades, les superfıcies queavui porten el seu nom. L’altra fita fonamentalen el camp complex fou la publicacio sis anysmes tard al Journal de Crelle de la Teoria defuncions abelianes.

El desembre de 1853, en el proces de laseva habilitacio com a privatdozent a Gottin-gen, en una de les memories presentades Sobrela representacio d’una funcio per series trigo-nometriques introduı allo que avui anomenemla integral de Riemann, i en una altra de lesmemories presentades Sobre les hipotesis enque es fonamenta la geometria introduı i ana-litza el concepte de varietat n-dimensional i lesrelacions metriques de les quals es susceptible.

El 1855, l’any en que mor Gauss, la Uni-versitat de Gottingen havia creat una catedraa la qual va accedir Dirichlet, qui havia estatgran mestre de Riemann. I a Dirichlet el succeıRiemann, el 1859.

A la tardor de 1858, en una visita a Gottin-gen dels matematics italians Brioschi, Betti iCasorati, Riemann coneix i inicia una llargaamistat amb Enrico Betti. L’altre gran amic deRiemann fou el matematic Richard Dedekind,amb qui solia mantenir llargues converses.

L’any 1859 Riemann fou nomenat membrede l’Academia de Gottingen i membre correspo-nent de la de Berlın. Es per aquest motiu queviatja a aquesta ciutat, on visita Weierstrass,Kummer i Kronecker. Com a treball per a l’en-trada a l’academia presenta Sobre el nombre denombres primers inferiors a un nombre donat,que es on es troba enunciada la seva conjecturasobre la localitzacio dels zeros no trivials de la

funcio zeta, conjectura que fins al dia d’avui (14d’abril de 2008) encara resta oberta.

Riemann, que fou un matematic de brillantimaginacio i els treballs del qual obririen moltsdels camins que conduıren cap a la matematicadel segle xx, era una persona de caracter reser-vat i amb una salut molt debilitada. Quan teniatrenta-sis anys, el 1862, va casar-se amb EliseKoch, que era una amiga de les seves germanes.L’infortuni va fer que, tot just dos mesos des-pres, Riemann sofrıs una pleuresia que l’afectagreument. A partir de llavors comenca una no-va vida donant menys classes i passant llarguestemporades a Italia, pel seu clima mes benigne.

Lapida de B. Riemann al cementiri de Selasca.

El 1863 va anar a Pisa per trobar-se amb Betti,Beltrami, Briochi i Casaroti i aquest mateix anynasque Ida, la seva unica filla. En un tercer vi-atge a Italia s’establı a Selasca, un bell llogaretal costat de la ciutat de Verbania que es trobavorejant el llac Maggiore, i fou en aquest indreton, quan li faltaven dos mesos per complir qua-ranta anys, afectat d’una tuberculosi, morı. Erael 20 de juliol de 1866. Riemann fou enterratal cementiri de Selasca, pero una remodelaciod’aquest va fer que desaparegues la seva tombai avui el que hi ha es una lapida que es trobapenjada a la paret dreta segons s’entra al petitcementiri, com es pot apreciar a la fotografiaadjunta.

Per a una biografia de Riemann i la se-va obra, hi ha dos llibres excel.lents: el deM. Monastyrsky: Riemann, Topology and Phy-sics, (Birkhauser, segona edicio 1999) i el deDetlef Laugwitz: Bernhard Riemann 1826–1866:Turning Points in the Conception of Mathema-tics, (Birkhauser, 1999).

Eduard RecasensUPC

61

Webs de matematiques

El web de Bob Devaney: l’exploracio del conjunt de Mandelbrot

El conjunt de Mandelbrot, descobert per BenoitB. Mandelbrot durant la decada de 1970, esel mes conegut i estudiat dels conjunts frac-tals. Aquest conjunt presenta alguns dels reptesmatematics mes fascinants dels nostres temps,i a mes, les imatges que es produeixen en fergrafiques de punts propers al conjunt de Man-delbrot son d’una bellesa aclaparadora i hanestat algunes de les imatges matematiques mesdifoses a tot el mon.

El professor Bob Devaney, de la Univer-sitat de Boston, de qui podeu trobar unaentrevista interessant en aquesta mateixa re-vista, es un dels matematics que millor co-neix aquest conjunt, com es va fer pales a laseva xerrada al CosmoCaixa, titulada Thefractal geometry of the Mandelbrot set. Elprofessor Devaney te en el seu web perso-nal, http://math.bu.edu/people/bob/, un Man-delbrot set explorer, que consta d’una seried’exploracions (un total de 9) per les propietatsdel conjunt, comencant per la seva definicio icontinuant amb les propietats dels seus punts.

Recordem que el conjunt de Mandelbrot vedefinit per la dinamica del polinomi z2 + c enel pla complex. Un punt c pertany al conjuntsi les iteracions d’aquest polinomi, comencanta z = 0, queden acotades dins la bola de radi2 (en el pla complex). La forma del conjunt esben coneguda: te un cos principal en forma decardioide del qual surten uns bulbs i filaments,aixı com les copies mes petites d’ell mateix que lidonen la coneguda estructura fractal. El conjuntes connex, pero encara no se sap si es localmentconnex.

La primera exploracio del conjunt de Man-delbrot del web d’en Bob Devaney explica totaixo i dona exemples de punts que hi pertanyeni punts que no, aixı com les iteracions correspo-nents del polinomi definidor per a aquests valors.Igualment, hi ha un applet Java en el qual potsdonar el punt que vulguis dins la bola de radi 2i veure les iteracions del polinomi per a aquestpunt. Aixı, podem fer experiments amb punts

per veure on acaben, i si l’orbita tendeix a serperiodica o no, etc.

Observem, doncs, que el conjunt de Mandel-brot es defineix pel comportament de l’orbita de0 per l’accio del polinomi z2 + c. Si ara fixem unc determinat, el conjunt de Julia per a aquestvalor c es defineix com el conjunt d’aquells puntsinicials l’orbita dels quals es acotada. Per tant,per a cada valor de c tenim un conjunt de Julia.Altre cop, en Devaney ens mostra un applet queens dibuixa diferents conjunts de Julia per adiferents valors de c. Les seguents exploracionsdel web ens exposen les relacions entre el con-junt de Mandelbrot i els conjunts de Julia: si unpunt pertany al conjunt de Mandelbrot, el seuconjunt de Julia es connex, pero si no hi pertany,aleshores el Julia es un conjunt de Cantor, i enparticular, es totalment disconnex.

Les exploracions del conjunt de Mandelbrotcontinuen explicant i donant exemples de quines el perıode d’un bulb, donat pel nombre debranques de l’estrella enganxada al bulb, i elcalcul del nombre de rotacio d’un bulb, segonsl’orbita d’aquestes branques. Aquests nombresestan ordenats al voltant de la cardioide princi-pal en el mateix ordre que els nombres racionalsentre zero i u, comptant des de la cuspide de lacardioide. Segons en Devaney, per a demostraraquest fet tot el que es necessita es una mica decalcul complex!

El web d’en Bob Devaney es un dels webspersonals d’un matematic mes desenvolupatsque conec. No nomes ens condueix a fer un viat-ge fascinant pels voltants del conjunt de Mandel-brot, sino que tambe inclou, entre altres coses,una col.leccio d’applets Java per a entendre elcaos i altres fractals, calculant, per exemple,conjunts de Julia per a funcions complexes dife-rents de z2 + c, en particular polinomis de grausuperior, fraccions racionals o funcions trans-cendents. Us recomano molt encoratjadamentuna excursio pel web d’en Bob Devaney, especi-alment per les fascinants propietats del conjuntde Mandelbrot. No us decebra.

Josep BurilloUPC

62

Problemes

La seccio de problemes de la SCM/Notıcies te atents, amables i competents lectors que ens hanenviat les solucions de tots els problemes proposats al numero anterior!

Hem rebut una solucio del problema A77 del professor Joaquim Nadal Vidal, que tambe ensresol els altres tres problemes, l’A78, l’A79 i l’A80 i ens proposa enunciats. Moltes gracies!

El professor J. Monterde, des de Valencia, ens envia la solucio de l’A79 i el professor MiquelAmengual la de l’A80 junt amb un nou enunciat, derivat d’aquest. Altra vegada, el nostre agraımenta tots els qui col.laboren en aquesta seccio.

De les solucions rebudes del problema A80 hem preferit publicar la del proponent, l’estudiantXavi Ros, perque ens recorda molt l’estil d’aquelles velles demostracions que la matematica hinduantiga feia de teoremes geometrics com el de Pitagores: un simple “Mira!”.

Queda pendent, pero, la resolucio del problema A76, proposat en el numero 23 de SCM/Notıcies.Animeu-vos, que es geometria de la bona!

Us tornem a recordar que, si treballeu amb TEX o LaTEX, ens evitareu moltıssima (i ingrata) feinade transcripcio del vostre treball i que les adreces de correu per enviar-nos-el son cromero@xtec.cat,o be, carles.romero.c@gmail.com. Fins aviat!

Problemes proposats

A81. (Proposat a la fase espanyola de la XLIVOlimpıada Matematica, Valencia, 29 de marcde 2008.) Hom assigna un color, d’entre c colorsdisponibles, a cadascun dels punts del pla. Ve-geu si es que hi ha algun trapezi inscriptible enun cercle, de manera que els seus quatre vertexstinguin el mateix color.A82. (Proposat per la redaccio.) Per a qualsevolnombre natural n definim

f(n) = 1! + 2! + 3! + · · ·+ (n− 1)! + n!

=n∑

i=1

i!

Trobeu tots els valors de n pels quals f(n) esun quadrat perfecte.A83. (Proposat per Miquel Amengual Covas,

Cala Figuera, Mallorca.) Sigui 4ABC un tri-angle amb costats a, b i c i medianes respectivesma, mb i mc. Sigui 4PQR el triangle que teper costats ma, mb i mc. Sigui r el radi de lacircumferencia inscrita al triangle 4ABC i siguiρ el radi de la circumferencia circumscrita altriangle 4PQR. Demostreu que

ρ ≥ r√

3

En quines condicions hi ha igualtat?

A84. (D’una recopilacio de problemes d’o-limpıades iberoamericanes.) En un triangle4ABC el cercle inscrit es tangent al costat BCen el punt D i el cercle exinscrit oposat al vertexB es tangent al costat BC en el punt E. A mes,AD = AE. Demostreu que 2C − B = 180.

Solucions

A77. (Proposat per Gerard Planes Conangla,estudiant, FME, UPC.) Un nombre finit m depagesos participa en un concurs per tal de saberquin d’ells es mes bon negociant. Inicialment,tots ells tenen la mateixa quantitat de diners, icomencen invertint-los en un nombre finit n deparcel.les de conreu, tot seguint sempre aquest

mateix patro: cada comprador indica els dinersque vol invertir en cadascuna de les n parcel.les(no hi ha cap preu prefixat) i, de cada parcel.la,se n’endu la fraccio

Fi =di

xi,

on di ∈ R representa els diners que ha decidit

63

invertir en la parcel.la i-esima i xi es la suma detots els diners que tots els m concursants hanacabat pagant per aquesta parcel.la en particu-lar. A mes, cap dels pagesos no sap com hanrepartit els seus diners els altres pagesos. Un copfet aixo, es procedeix a calcular els beneficis: acada pages, cada parcel.la li produira el benefici:

Bi = Ai · Fi,

on Ai > 0 es una constant propia de cada par-cel.la que indica la qualitat de la terra, i Fi esla fraccio posseıda de la parcel.la. El beneficitotal que obtindra cada pages sera la suma delsbeneficis Bi obtinguts a cada parcel.la.

Finalment, es fa el recompte de beneficis decada pages i el que te uns beneficis estrictamentinferiors a la resta es eliminat (en cas d’empatentre els ultims classificats, tots ells serien eli-minats). Aleshores, es repeteix el proces —estornen a subhastar terres i a calcular beneficis—pero nomes entre els pagesos que no han estateliminats. El concurs acaba quan nomes quedaun concursant, o quan l’ultim queda empatatamb el primer.

Es demana trobar com ha de distribuir unpages els diners entre les parcel.les per arribaramb tota seguretat a la fase final i demostrarque aquesta estrategia de distribucio es unica.

Solucio: (Solucio de la redaccio.) Consideremn parcel.les de coeficients Ai > 0, i = 1, . . . , n,i m pagesos amb 1 euro cadascun per invertir.Sigui xi ≥ 0 la suma de les inversions de totsels pagesos a la parcel.la i. Clarament, com quecada pages disposa d’un sol euro,

n∑i=1

xi = m .

Posem A =∑n

i=1 Ai. Si di,j es la inversio quefa el pages j a la parcel.la i, el seu benefici es

Bj =n∑

i=1

Aidi,j

xi

i la suma dels beneficis de tots els pagesos es

m∑j=1

n∑i=1

Aidi,j

xi=

n∑i=1

Ai

∑mj=1 di,j

xi=

=n∑

i=1

Aixi

xi=

n∑i=1

Ai = A

perque∑m

j=1 di,j = xi. Per tant, A es la sumadels beneficis de tots els pagesos.

Com que, si tots els pagesos fan servir lamateixa estrategia, tots obtindran els mateixosresultats, el benefici de cadascun d’ells en aques-tes circumstancies seria

Bj =A

m, j = 1, . . . ,m .

I, com es obvi, si algun dels concursants obte unbenefici mes gran que aquesta quantitat, n’hi haalgun altre que n’obte un benefici mes petit. Enconsequencia, un concursant, per tal d’assegurar-se no ser eliminat, ha d’aplicar una estrategiaque com a mınim li asseguri uns beneficis igualsa A/m.

Ara demostrare que, per a un pages j deter-minat, una estrategia aixı es fer

di,j =Ai

A

la qual aconsegueix, com a mınim, el beneficidemanat.

Amb aquesta estrategia, el benefici es:

B =n∑

i=1

Ai

AiA

xi=

n∑i=1

A2i

Axi.

Cal demostrar que B ≥ Am . Ho fare mitjancant

induccio sobre el nombre de parcel.les.

i) Si n = 1, A1 = A i x1 = m. Resulta:

B =A2

1

Ax1=

A2

Am=

A

m≥ A

m

i la desigualtat es valida.

ii) Suposem que la desigualtat es valida per an. Per a n + 1 parcel.les tenim:

n∑i=1

Ai = A−An+1

n∑i=1

xi = m− xn+1 .

Aleshores,

B =n∑

i=1

A2i

Axi+

A2n+1

Axn+1

≥ A−An+1

m− xn+1+

A2n+1

Axn+1

i es tracta de veure que

A−An+1

m− xn+1+

A2n+1

Axn+1≥ A

m

64

o sigui que

A2xn+1 −AAn+1xn+1 + mA2n+1 −A2

n+1xn+1

mAxn+1 −Ax2n+1

≥ A

m.

Si parem esment als fets que∑n+1

i=1 xi = m i quexi ≥ 0, i = 1, . . . , n, n + 1, tenim que xn+1 ≤ mi, per tant, m− xn+1 ≥ 0. En consequencia, eldenominador

mAxn+1 −Ax2n+1

es positiu o nul i podem manipular la desigualtatanterior a plaer.

Hauria de ser

mA2xn+1 −mAAn+1xn+1 + m2A2n+1

−mA2n+1xn+1 ≥ mA2xn+1 −A2x2

n+1

o sigui,

−mAAn+1xn+1 + m2A2n+1 −mA2

n+1xn+1

≥ −A2x2n+1

es a dir,

A2x2n+1 −

(mAAn+1 + mA2

n+1

)xn+1

+ m2A2n+1 ≥ 0 .

El discriminant d’aquesta expressio es

∆ = m2A2n+1 (A + An+1)

2 − 4m2A2A2n+1

= m2A2n+1

((A + An+1)

2 − 4A2)

=

= m2A2n+1

(2AAn+1 + A2

n+1 − 3A)

i, com que An+1 ≤ A, resulta ∆ ≤ 0 i, per tant,es segur que

A2x2n+1 −

(mAAn+1 + mA2

n+1

)xn+1

+ m2A2n+1 ≥ 0 .

En consequencia, tambe es segur que

A−An+1

m− xn+1+

A2n+1

Axn+1≥ A

m

i, finalment, queda establert que

B ≥ A

m

i la desigualtat es valida per a n + 1 parcel.les.

La conclusio es que l’atribucio

di,j =Ai

xi

compleix la condicio demanada.A mes, aquesta estrategia es unica. En efec-

te, suposem que dels m > 1 pagesos, tots menysun, posem el m-esim, apliquen l’estrategia japresentada i que l’estrategia d’aquest consisteixa posar la quantitat xi = di,m ≥ 0 a la parcel.lai, i = 1, . . . , n > 1. Aleshores, com que el be-nefici de cadascun dels altres pagesos es, segur,mes gran o igual que A

m , cal veure que el mınimd’aquest guany es produeix quan l’m-esim pagestambe fa servir l’estrategia dels altres. Per veure-ho, fare servir el metode dels multiplicadors deLagrange. Per a qualsevol dels m − 1 pagesosortodoxos, el benefici es la funcio de n variables

B(xi) =n∑

i=1

Ai

AiA

(m− 1)AiA + xi

=n∑

i=1

Ai

m− 1 + AAi

xi

amb la condicio

g (x1, x2, . . . , xn) =

(n∑

i=1

xi

)− 1 = 0 .

Aleshores cal resoldre les n + 1 equacions∂B∂xi

= λ ∂g∂xi

g (x1, x2, . . . , xn) = 0 .

Tenim∂B

∂xi= − A(

m− 1 + AAi

xi

)2

i∂g

∂xi= 1 .

Aleshores, el sistema a resoldre es−A“

m−1+ AAi

xi

”2 = λ∑ni=1 xi = 1 .

De les n primeres equacions en resulta

xi =

(√−A

λ+ 1−m

)Ai

A

i, de la darrera,

1 =

√−A

λ+ 1−m

65

o sigui, √−A

λ= m

i, en consequencia,

xi = (m + 1−m)Ai

A=

Ai

A

es un extrem de B que, per les condicions delproblema, es un mınim: precisament allo quevolia demostrar!

A78. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.) Sigui 4ABC un tri-angle, sigui D el segon punt d’interseccio de labisectriu de l’angle BAC amb el circumcercledel triangle 4ABC i siguin B′ y C ′ els respec-tius peus de les perpendiculars a la bisectriuAD tirades des dels vertexs B i C. Demostreuque

BB′ + CC ′ ≤ AD .

En quines condicions hi ha igualtat?

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal Vidal, IESde Cassa de la Selva.)

Tenim:

sinA

2=

CC ′

b=

BB′

c

o sigui,

BB′ = c sinA

2, CC ′ = b sin

A

2.

Els angles C = ACB i ADB son iguals perqueson angles inscrits que abasten el mateix arc.Tambe ho son bA

2 = CAD i CBD per la mateixarao. Si ara apliquem el teorema dels sinus altriangle 4ABD tenim:

AD =c sin

(B + CBD

)sin ADB

=c sin

(B + bA

2

)sin C

.

Hem de provar, doncs, que

c sinA

2+ b sin

A

2≤

c sin(B + bA

2

)sin C

.

Com que sin A ≤ 1,

sin A sin

(C +

A

2

)≤ sin

(C +

A

2

)(∗)

i, per complementarietat, C + bA2 = C+

180− bB− bC2 = 90 − bB− bC

2 i

sin A cosB − C

2≤ sin

(C +

A

2

).

Ara apliquem la formula de l’angle doble:

2 sinA

2cos

A

2cos

B − C

2≤ sin

(C +

A

2

)

i tenim 90− bA2 = 90− 180− bB− bC

2 = bB+ bC2 i que

C + bA2 = 180 − A− B + bA

2 = 180 −B − bA2 i,

per complementarietat i suplementarietat,

2 sinA

2sin

B + C

2cos

B − C

2≤ sin

(B +

A

2

)i ara, amb les formules d’addicio d’angles, obte-nim

sinA

2

(sin B + sin C

)≤ sin

(B +

A

2

).

Ara multipliquem per c

sin bC :

c sin bA2 sin B

sin C+ c sin

A

2≤

c sin(B + bA

2

)sin C

pero, segons el teorema dels sinus aplicat altriangle 4ABC,

c sin B

sin C= b

i, finalment,

b sinA

2+ c sin

A

2≤

c sin(B + bA

2

)sin C

com volıem veure.Situats a la posicio inicial (∗), es obvi que

la igualtat es produira quan sin A = 1, es a dir,quan el triangle sigui rectangle en el vertex A.

66

A79. (D’una olimpıada universitaria iberoame-ricana.) Els divisors positius d’un nombre enterpositiu n estan escrits en ordre creixent a partirdel nombre 1, i fins a n:

1 = d1 < d2 < d3 < · · · < n .

S’ha de trobar la n que compleix:

i) n = d13 + d14 + d15

ii) (d5 + 1)3 = d15 + 1 .

Solucio: (Solucio de J. Monterde. Departa-ment de Geometria i Topologia. Facultat deMatematiques. Universitat de Valencia.) Divi-dim l’equacio i) n = d13 + d14 + d15 per n. Elresultat es de la forma

1 =1a

+1b

+1c

amb a, b i c nombres naturals que podem supo-sar a > b > c > 1. L’unica possibilitat es a = 6,b = 3 i c = 2. Per tant,

n = 2d15 = 3d14 = 6d13 .

Aixı, els quatre primers divisors de n son 1, 2,3 i 6.

La segona condicio, ii) (d5 + 1)3 = d15 + 1es pot reescriure com a

d5(d25 + 3d5 + 3) = d15

i, com que 3 es un divisor de n = 2d15, tambe hoes de d15 = d5(d2

5 +3d5 +3), la qual cosa implicaque 3 divideix d5. Aixo vol dir que, com que d5

es el cinque divisor de n, aleshores d5 = 9.

La segona condicio es pot llegir ara com a

103 = d15 + 1

es a dir, d15 = 999 i, per tant,

n = 1998

A80. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME (UPC).) Sigui 4ABC un triangle ambmedianes ma, mb i mc. Sigui 4PQR el triangleque te per costats ma, mb i mc i siguin da, db idc les distancies del baricentre d’aquest triangleals seus vertexs. Demostreu que:

a) da + db + dc = p

b) [PQR] =34[ABC]

on p i [ABC] denoten, respectivament, el semi-perımetre i l’area del 4ABC.

Solucio: (Solucio del proponent.) Vegeu!

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

Tesis

• Francisco Palacios Quinonero va llegir la seva tesi, dirigida per PereRubio i Dıaz, titulada Contribucio al problema d’interpolacio de Birkhoff, eldia 20 de desembre de 2004. La tesi correspon al Departament de MatematicaAplicada III de la Universitat Politecnica de Catalunya.

67

L’objectiu de la tesi es desenvolupar la inter-polacio de Birkhoff mitjancant polinomis lla-cunars. La interpolacio algebraica de Birkhoffconsisteix a determinar un polinomi de graumenor que n imposant n condicions que fixenel valor del polinomi o de les seves derivadesen determinats punts. Els problemes classics deLagrange, Taylor, Hermite, Hermite-Sylvesteri Abel-Gontcharov son casos particulars de lainterpolacio algebraica de Birkhoff.

Un espai de polinomis llacunars de dimension es el conjunt de polinomis que es pot generarper combinacio lineal de n potencies diferents degraus, en general, no consecutius. En particular,quan prenem potencies de graus 0, 1, . . . , n− 1,resulta l’espai de polinomis de grau menor quen, que es l’espai emprat en la interpolacio alge-braica classica.

En la interpolacio algebraica classica, el nom-bre de condicions determina l’espai d’interpola-cio. Contrariament, en la interpolacio mitjancant

polinomis llacunars, les condicions d’interpola-cio determinen unicament la dimensio de l’espaid’interpolacio i pot existir una infinitat d’espaissobre els quals realitzar la interpolacio. Aixo enspermet construir millors estrategies d’interpola-cio en determinades situacions com, per exemple,en la interpolacio de funcions de gran creixe-ment (interpolacio d’exponencials i de branquesasimptotiques).

L’aportacio de la tesi consisteix en la defini-cio d’un marc teoric adequat per a la interpolaciode Birkhoff mitjancant polinomis llacunars, i enl’extensio al nou marc dels principals elementsde la interpolacio algebraica de Birkhoff. En con-cret, es generalitza la condicio de Polya, es carac-teritza la regularitat condicionada, s’estableixencondicions suficients de regularitat ordenadaque generalitzen el teorema d’Atkinson-Sharma,s’esten la descomposicio normal i s’estableixencondicions suficients de singularitat en els casosindescomponibles.

• Jesus Fernandez Sanchez va llegir la seva tesi, dirigida per Eduard CasasAlvero, titulada On sandwiched surface singularities and complete ideals, el dia23 de febrer de 2005. La tesi correspon al Departament d’Algebra i Geometriade la Universitat de Barcelona.

L’interes original en les singularitats sandwichedprove d’una pregunta de J. Nash a H. Hiro-naka a principis dels anys seixanta: es possibleresoldre les singularitats d’una varietat algebrai-ca reduıda mitjancant una successio finita detransformacions de Nash? El 1983, Hironaka de-mostra que mitjancant una successio finita detransformacions de Nash normalitzades aplica-des a una superfıcie s’obte una altra superfıcieX que domina biracionalment una superfıcie nosingular. Per definicio, les singularitats de la su-perfıcie X son singularitats sandwiched. El 1990M. Spivakovsky demostra que les singularitatssandwiched tambe es poden resoldre mitjancanttransformacions de Nash normalitzades, donantaixı una resposta afirmativa a la pregunta inicialde Nash per al cas de superfıcies sobre C.

Des de llavors, hi ha hagut un interes cons-tant en les singularitats sandwiched des del puntde vista de la teoria de deformacions per deJong i van Straten (1998), i tambe per Gus-tavsen (2003). Tambe han rebut una atencioespecial com a camp de proves per a la conjec-

tura de Nash i el problema dels wedges per partde Lejeune-Jalabert i Reguera (1999), en quela idea principal consisteix a estendre algunsarguments combinatoris propis de les singulari-tats de superfıcies toriques per les singularitatssandwiched.

Les singularitats sandwiched son aquellessingularitats que s’obtenen per l’explosio d’unideal complet en l’anell local d’un punt regu-lar en una superfıcie, i per tant, son singulari-tats racionals. Aquestes son singularitats aılla-des la resolucio de les quals no altera el generearitmetic de la superfıcie. Entre les singularitatssandwiched es troben els quocients cıclics i lessingularitats minimals i constitueixen, doncs,una amplia classe de singularitats racionals. Lessingularitats sandwiched son Cohen-Macaulay,pero no son interseccio completa en general, ino existeixen equacions simples o facils per elles.L’objectiu d’aquesta tesi es estudiar les singu-laritats sandwiched a traves de la geometriadels punts base infinitament propers dels idealscomplets explotats per obtenir-les.

68

Els punts infinitament propers son una einaantiga per descriure singularitats, i ja aparei-xen en el treball de M. Noether. El seu us i lesseves propietats, com la proximitat, el satel.litis-me, etc. permeten una descripcio entenedora delcomportament de les singularitats de corbes pla-nes i, en general, proporcionen un estudi moltacurat de les singularitats de varietats en uncontext mes ampli.

Els ideals complets son introduıts per OscarZariski l’any 1938. Zariski desenvolupa una teo-ria aritmetica paral.lela a la teoria geometrica desistemes lineals de corbes planes a traves d’unconjunt de punts amb multiplicitats assignades.Un fet clau d’aquesta teoria es que tot idealcomplet en un anell local regular de dimensiodos te una factoritzacio unica en ideals com-plets irreductibles; aquests ideals irreductibless’anomenen ideals simples.

Com a resultats base relacionant les singula-ritats sandwiched en una superfıcie X i els puntsbase de l’ideal complet I explotat per obteniraquesta superfıcie, determinem els punts singu-lars de X, les seves multiplicitats i els seus ciclesfonamentals en termes dels punts base de I, idonem una formula explıcita per la multiplicitatde corbes en les singularitats de X tambe enfuncio d’aquests punts base.

Aquests fets ens permeten estudiar l’e-xistencia d’equacions locals per a les corbes de X.Deduım consequencies relatives als seus ordresde singularitat i fem calculs explıcits relatius al’existencia de divisors de Cartier sobre X i amb

propietats prefixades. En particular, provem queles tangents a les components excepcionals de Xpassant per una mateixa singularitat sandwic-hed son linealment independents. Tot aixo ensporta a l’estudi dels feixos d’ideals completsamb cosuport finit en X, i a deduir resultatsrelatius a la factoritzacio i semifactoritzacio d’i-deals complets en l’anell local d’una singularitatsandwiched.

En una prepublicacio de 1968, que vaapareixer el 1995, Nash introduıa l’estudi delsespais d’arcs com una nova via per entendreles singularitats. La principal questio, conegudames endavant com la conjectura de Nash, es-tableix que hi ha una bijeccio entre el conjuntde components irreductibles de l’espai d’arcsper a una singularitat i el conjunt de les sevescomponents essencials. En un article aparegutrecentment l’any 2004, Ishii i Kollar donen uncontraexemple que la conjectura es falsa en ge-neral. Per la nostra banda, en el darrer capıtolde la tesi, anunciem alguns dels resultats obtin-guts en relacio amb aquesta conjectura per alcas de singularitats sandwiched. Concretament,demostrem que per a aquestes singularitats, lescomponents reduıdes del cicle fonamental estanefectivament associades a components irreduc-tibles de l’espai d’arcs. Tambe provem que pertal de demostrar la conjectura per les singula-ritats sandwiched es suficient provar-ho per lessingularitats primitives (singularitats sandwic-hed que s’obtenen explotant un ideal completirreductible).

• Remei Calm Puig va llegir la seva tesi, dirigida per : Ernest Gardenes Martın,titulada Analisi intervalar modal: la seva construccio teorica, implementacioi possibilitats d’aplicacio a la simulacio i al control, el dia 22 d’abril de 2005.La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada III de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

Aquesta tesi contribueix al desenvolupament dela teoria intervalar modal. Conte una implemen-tacio de l’aritmetica intervalar modal i un estudidels problemes semantics que apareixen en l’esti-macio de parametres, simulacio i regulacio d’unmodel intervalar.

En el capıtol introductori es presenta unresum dels resultats basics de l’analisi interva-lar modal que inclou un preliminar sobre lesdeficiencies dels intervals classics, seguit de laconstruccio dels intervals modals, per finalit-

zar amb l’estudi de les extensions racionals isemantiques de les funcions contınues.

En aquesta tesi s’estudia el problema de la in-terpretacio i l’optimacio de les funcions racionalsmodals. Per a les funcions racionals multiinci-dents es donen les condicions que ens permetenobtenir un calcul interpretable i, a ser possible,optim a partir d’un calcul racional intervalar.Si no es possible obtenir un calcul optim, esmostra la possibilitat d’obtenir una optimacioparcial a partir de noves funcions racionals. S’in-

69

trodueixen noves condicions per a l’estudi del’optimacio sintactica de funcions racionals quedepenen de les modalitats dels seus arguments.Per aixo, es donen els conceptes de modalitatpartida i d’optimacio lateral que ens portaran ala definicio de c-arbre d’optimacio, que permetraampliar el conjunt de funcions per a les qualses pot assegurar l’optimacio.

La tesi tambe conte alguns detalls de la im-plementacio de l’aritmetica intervalar modal enC++. En aquesta aritmetica s’implementen lesoperacions basiques de l’aritmetica intervalar,els operadors monaris i els de relacio i permetrealitzar un control de la truncacio i de les ex-cepcions de les operacions en punt flotant ques’ajusten a la filosofia intervalar. S’utilitzen elstres tipus de precisio intervalar: float, double ilong double.

Una part important de la tesi esta dedicadaa l’aplicacio dels intervals modals a l’estimaciode parametres d’un model, a la simulacio i a laregulacio d’alguns sistemes fısics. Es presentaun enfocament semantic, ates que l’analisi in-tervalar modal permet la possibilitat de donaruna formulacio logicosemantica a aquest tipus

de problemes. Aixı doncs, s’estudia l’estimaciodels parametres desconeguts d’un model inter-valar a partir de dades experimentals incertes.Es determina un interval de parametres que enspermeti assegurar que per a qualsevol valor d’a-quest interval, s’obte una trajectoria admissibledel model. Tambe es fa un altre plantejamenten el qual l’interval de parametres obtingut per-met obtenir qualsevol sortida experimental. Unavegada obtinguts els parametres del model, s’es-tudia el problema de la simulacio i la regulacioper alguns models particulars.

Finalment la metodologia estudiada s’aplicaa un model de qualitat d’aigues d’un riu, en par-ticular a un tram del riu Ter. De les diferentsvariables que caracteritzen el model de qualitat,es centra l’atencio en les corresponents al cicledel nitrogen. Per aquest model es fa una estima-cio dels seus parametres de manera que permetiidentificar el flux minimal de trajectories querecobreixen totes les dades experimentals. Unavegada obtinguts aquests parametres es presen-ten resultats diversos sobre simulacio i regulaciodel model intervalar.

• Antonio Capella Kort va llegir la seva tesi, dirigida per Xavier Cabre, titu-lada Stable solutions of nonlinear elliptic equations: qualitative and regularityproperties, el dia 16 de setembre de 2005. La tesi correspon al Departamentde Matematica Aplicada I de la Universitat Politecnica de Catalunya.

La tesi tracta sobre les propietats d’estabilitatper a les solucions d’equacions el.lıptiques se-milineals. Son particularment interessants lesrelacions que hi ha entre aquesta estabilitat, lasimetria, la regularitat i les propietats varia-cionals dels dominis acotats i no acotats. Enaquest treball es consideren sobretot, pero noexclusivament, les solucions amb simetria radial.

L’estudi sobre aquestes questions es basa enidees i metodes desenvolupats per De Giorgi iSimons (entre d’altres) sobre l’existencia i laregularitat de superfıcies minimals. Els metodesdesenvolupats per a demostrar la no existenciade cons singulars minimals en l’espai euclidia dedimensio menors o igual a set son de particularimportancia per al nostre treball. La connexioentre les equacions el.lıptiques semilineals i lessuperfıcies minimals esta relacionada amb elsresultats de Modica i Mortola per a models se-

milineals per a transicions de fase.La primera part d’aquesta tesi esta dedicada

a provar que les solucions radials i acotades deles equacions el.lıptiques semilineals definidesen tot l’espai son inestables per a dimensionsn ≤ 10. En dimensio n = 11 es presenta unexemple de solucio sencera estable, la qual co-sa mostra com el resultat anterior es optim.A mes, s’estudien algunes de les propietats ge-ometriques relacionades amb l’estabilitat i ines-tabilitat per a les solucions radials en tot l’espai.

En la segona part del treball es proven es-timacions optimes per al tipus de solucions es-tables quan el domini es una bola. Aquestes es-timacions s’apliquen al problema, ben conegut,de la regularitat de les solucions extremals; pro-blema que va ser proposat per Brezis i Vazquezi que es obert per a dominis generals. Tambe esdemostren resultats de regularitat per al cas de

70

l’operador p-laplacia, exhibint d’aquesta maneral’amplia aplicabilitat dels metodes desenvolu-pats en aquest treball.

A l’ultim capıtol, tot aplicant aquestsmetodes, s’estudia l’estabilitat de les solucions

per a reaccions a la frontera d’un mig espai,amb condicions de Neumann no lineals, conside-rant la hipotesi de la radialitat per a variablestangencials a la frontera.

• Xavier Molinero Albareda va llegir la seva tesi, dirigida per ConradoMartınez Parra, titulada Generacio ordenada de classes d’estructures combi-natories, el dia 10 d’octubre de 2005. La tesi correspon al Departament deLlenguatges i Sistemes Informatics de la Universistat Politecnica de Catalunya.

Existeixen quatre problemes molt relacionatssobre la generacio d’objectes combinatoris:drawing (donada una classe combinatoria i unatalla, generar un objecte a l’atzar), ranking (cal-cular el rang d’un objecte donat a partir d’unaclasse combinatoria, segons un ordre previamentestablert), unranking (donada una classe com-binatoria, generar un objecte de rang i talladonats, segons un ordre previament establert)i iteracio o generacio exhaustiva (generar totsels objectes d’una classe combinatoria i talladonades, segons un ordre previament establert).En aquesta tesi doctoral es combinen algunsprincipis coneguts amb noves idees en un ambitgeneric per solucionar eficientment els tres dar-rers problemes. Els algorismes son generics enel sentit que les entrades consideren una especi-ficacio finita de la classe combinatoria a la qualpertanyen els objectes combinatoris.

Es donen algorismes d’unranking i rankingd’objectes de talla n amb cost mitja O(n

√n)

per l’ordre lexicografic i O(n log n) per l’ordre

bustrofedic. En el cas de las classes iteratives(classes en que no hi ha recursio), el cost es Θ(n).Tambe s’estudien diferents heurıstiques per mi-llorar l’execucio dels algorismes d’unranking,i la distribucio de probabilitat del cost del’unranking de les classes etiquetades amb l’or-dre lexicografic.

Per al problema de la iteracio, s’han disse-nyat algorismes amb cost amortitzat constantper a una amplia famılia de classes admissibles,incloent les mes rellevants (classes admissiblesetiquetades superexponencials i classes admissi-bles no etiquetades superpolinomiques). Tambees presenten diferents tecniques (com, per exem-ple, la utilitzacio dels punters de cerca) per mi-llorar l’eficiencia dels algorismes.

La flexibilitat dels algorismes presentats enaquesta tesi permeten adaptar-los facilment ales biblioteques de programari combinatori, comper exemple el paquet Conbstruct per MAPLE oel paquet MUPAD-Combinat per MUPAD.

• Maria Rosa Estela Carbonell va llegir la seva tesi, codirigida per ErnestGardenes Martın i Antonio Huerta Cerezuela, titulada Aplicacio de l’analisiinterval modal a problemes en diferencies, el dia 28 d’octubre de 2005. Latesi correspon al Departament de Matematica Aplicada III de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

Aquesta tesi presenta aplicacions de l’analisi in-terval modal a l’estudi de problemes diferencialsaplicats basicament a la resolucio de problemesde l’ambit de l’enginyeria, precedits d’una revi-sio de la teoria basica del sistema dels intervalsmodals i d’un estudi exhaustiu de l’optimalitatparcial de les funcions racionals, incorporant elsconceptes d’optimalitat equivalent i optimalitat

condicionada, que representen una ampliacio ala teoria de l’analisi interval modal ja existent.

Definim els intervals identificant-los amb elconjunt de predicats que accepten o be rebutgensobre la recta real, fet que permet corregir defi-ciencies estructurals i semantiques de l’analisiinterval classic, pero que sobretot crea la teoriainterval en la funcio basica dels intervals com a

71

referencies al sistema dels nombres reals compa-tibles amb la inevitable necessitat de truncacioque acompanya qualsevol valor numeric experi-mental.

Revisada la teoria basica de l’analisi inter-val modal, ens proposem aplicar-la a la resolu-cio de problemes de l’ambit de l’enginyeria. Enplantejar-nos la resolucio de problemes fins i totelementals, com el de la propagacio de la caloren una dimensio, ens trobem amb problemes deplantejament en l’aplicacio de la teoria interval,a causa de les restriccions que imposa la possi-bilitat de calculs optimals. Aquesta situacio ensporta a l’estudi de l’optimalitat condicionada,que es presenta al tercer capıtol de la tesi.

Imposant restriccions a les modalitats delsarguments de les funcions racionals apareixennous conceptes, com ara el de modalitat par-tida o optimalitat lateral, que finalment per-meten introduir el concepte de funcio racionalsintacticament c-commutativa, que permet tenirun conjunt mes ampli de funcions a les qualsassociar un calcul optimal.

Sobre el conjunt dels intervals podem definirdiferents sistemes d’operacions aconseguint, perexemple, el sistema dels intervals modals ambla seva aritmetica fonamental o be, amb unaaritmetica lineal o paral.lela. Aquesta darreraaritmetica s’introdueix al quart capıtol de latesi.

Des del punt de vista de l’analisi intervalmodal hem estudiat equacions en diferenciesdefinides com a solucio numerica a equacionsdiferencials. El model interval i els metodes decalcul numeric son objectivament diferents: men-tre que el calcul numeric calcula trajectoriessingulars aproximades, el calcul interval calculafeixos de trajectories associades a una estrategiadeterminada per les modalitats dels intervals. Ames, el calcul intervalar esta fonamentat en lainclusio de les solucions intervalars i es per aixo

que dona lloc essencialment a models exactesdes del punt de vista de les semantiques associa-des a la inclusio, a diferencia del calcul numeric,que es basa essencialment en el concepte d’apro-ximacio.

Una propietat estructuralment basica del’analisi interval es la no conveniencia d’aprofi-tar els algorismes dels metodes numerics classicscom a algorismes intervalars, ates que l’estruc-tura interval es essencialment mes gran que ladels nombres reals i, per tant, hem de plante-jar cada problema interval sempre ab initio, al’interior del mateix context interval. Fonamen-talment aixo ve determinat pel fet que no tesentit plantejar les relacions d’inclusio al conjuntdels nombres reals i no te sentit prescindir-neen el context intervalar.

Tres capıtols de la tesi estudien els diferentsproblemes que sorgeixen amb les equacions endiferencies intervalars, explicitant les situaci-ons que requereixen un context lineal i, en con-sequencia, el suport aritmetic dels intervals demarques.

Tambe s’han estudiat problemes de contorn,que es plantegen al calcul numeric classic, essen-cialment sobre un context geometric lineal. Atesque les operacions aritmetiques basiques delsintervals modals no son operacions lineals, noseran les operacions adients per a models quedemanin linealitat global. Els sistemes amb ope-racions lineals obliguen a un estudi mes elaboratde la modalitat, pero mantenen la geometrialineal que usualment esta exigida pel planteja-ment experimental del problema. Apareix unproblema logic amb la truncacio dels intervals,que ens porta inevitablement a l’aritmetica demarques.

A un dels apendixs es presenta una bibliote-ca C++ que implementa l’aritmetica intervalarmodal per coprocessadors Intel.

• Antonio Garijo Real va llegir la seva tesi, codirigida per Nuria FagellaRabionet i Xavier Jarque Ribera, titulada Iteration of certain families of trans-cendental maps and phase portrait of complex differential equations, el dia 19de gener de 2006. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada iAnalisi de la Universitat de Barcelona.

72

Aquesta tesi esta organitzada en dues parts, i elfil conductor son les funcions complexes d’unavariable complexa.

A la primera part estudiem la iteracio de lafamılia de funcions enteres transcendents

Fλ,m(z) = λzm exp(z), on m ≥ 2 i λ ∈ C.

Per a tots els valors del parametre λ l’origen esun punt fix superatractor i z = −m es un puntcrıtic.

En el context de la dinamica complexa el pladinamic es divideix en dos conjunts invariants,el conjunt de Fatou i el conjunt de Julia, segonsque els iterats de la funcio formin una successiode funcions normals o no. D’altra banda en elpla de parametres es poden estudiar tant elsfenomens hiperbolics com els de bifurcacio.

En el pla dinamic investiguem la topologiade la conca d’atraccio de l’origen i en el pla deparametres concentrarem el nostre interes enels fenomens de captura, es a dir, valors del

parametre tal que el punt crıtic sigui atret perl’origen.

A la segona part ens interessem per l’equaciodiferencial ordinaria

dz

dt= f(z), z ∈ C, t ∈ R,

on f es una funcio meromorfa. El primer proble-ma es la recerca de la forma normal d’aquestaedo prop d’un punt singular, pero imposant quel’equivalencia vingui donada per una funcio con-forme. Tambe estem interessats en l’estudi delscontinus d’orbites periodiques d’aquests siste-mes. Finalment, en la funcio de perıode delssistemes del tipus

dz

dt= f(z)g(z)

en particular podem provar que aquests sistemestenen com a molt un perıode crıtic.

• Marıa Jesus Alvarez Torres va llegir la seva tesi, dirigida per ArmengolGasull Embid, titulada Critical points and periodic orbits in planar differentialequations, el dia 13 de juny de 2006. La tesi correspon al Departament deMatematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

En aquesta tesi treballam amb un sistema d’e-quacions diferencials ordinaries al pla de la for-ma

x = P (x, y),y = Q(x, y),

(2)

on P (x, y) i Q(x, y) son funcions analıtiques.Pel teorema de Poincare-Bendixson es ben

conegut que l’estructura topologica del sistemaanterior esta completament determinada per laconfiguracio de les seves solucions singulars, esa dir, els punts crıtics, les orbites periodiques iels policicles (conjunt de solucions format perpunts crıtics i orbites que uneixen aquests puntscrıtics). En aquest treball ens centram a estudiarels primers dos tipus de solucions singulars.

En relacio amb els punts crıtics, estudiamprincipalment els nilpotents i el problema centre-focus. Tambe estudiam com bifurcar orbites pe-riodiques a partir d’un punt crıtic monodromicnilpotent. Aquest estudi el realitzam mitjancantdues tecniques diferents: el calcul de constantsde Lyapunov generalitzades i les formes normals.

Com a consequencia dels resultats obtinguts po-dem caracteritzar els centres d’algunes famıliesde camps al pla amb l’origen com a punt nilpo-tent i donar fites inferiors pel nombre de cicleslımits (orbites periodiques aıllades) d’aquestesfamılies. En la tesi tambe estudiam els puntscrıtics completament degenerats (o linealmentzero) i donam un algorisme basat en k-blow upsper a la seva dessingularitzacio.

Relatiu a les orbites periodiques, el problemaobert mes important a l’area es el problema 16de Hilbert. Aquest problema pregunta si existeixuna fita uniforme, H(n), pel nombre de cicleslımits de tots els camps vectorials polinomialsde grau n. Els nostres resultats s’emmarquen enaquest difıcil problema. Treballam amb equaci-ons d’Abel i altres sistemes al cilindre i donamfites inferiors pel nombre d’orbites periodiquesque poden tenir. Tambe donam nous criterisper fitar superiorment el nombre d’orbites pe-riodiques.

73

• Carlos Alonso Infante Vargas va llegir la seva tesi, dirigida per Xavier Xarles i Ribas,titulada Cicles algebraics y reduccio semiestable, el dia 11 de juliol de 2006. La tesi correspon alDepartament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

En aquesta memoria s’estudien els grups deChow d’una varietat llisa i projectiva sobre uncos complet, mitjancant l’estudi del morfismecicle. Concretament, es construeix un morfisme,anomenat morfisme reduccio que te com a do-mini els grups de Chow de la varietat i la sevaimatge cau dins d’un quocient del grup de Chowde la reduccio. A diferencia del morfisme ciclel -adic, aquest morfisme te l’avantatge de no de-pendre del nombre primer l, i de permetre’nsdescriure la imatge del morfisme cicle l -adicen el cas de varietats amb reduccio totalmentdegenerada.

Les idees principals de fons que es fan serviren aquesta memoria son dues. La primera con-sisteix en restringir les varietats amb reduccioestrictament semiestable i, a partir de combi-

nacions dels grups de Chow dels componentsde la reduccio, construir estructures enteres ioperadors sobre elles, de manera que es puguinreconstruir els grups de Chow de la varietatinicial. La segona idea consisteix en relacionaraquests operadors sobre les estructures enteresamb la monodromia associada a la cohomologiade la varietat. L’existencia d’una monodromiano trivial es una particularitat de les varietatsamb reduccio totalment degenerada. Es donatambe la descomposicio de l’operador de mono-dromia sobre la cohomologia de De Rham.

Finalment, la memoria acaba amb un capıtoldedicat a l’aplicacio de la teoria desenvolupadaper al cas de tors analıtics i productes de corbesde Mumford.

• Jordi Pujolas Boix va llegir la seva tesi, dirigida per Steven D. Galbraith iPaz Morillo Bosch, titulada On the decisional diffie-hellman problem in genus 2,el dia 29 de setembre de 2006. La tesi correspon a la Facultat de Matematica iEstadıstica de la Universitat Politecnica de Catalunya.

En aquesta tesi tractem el problema decisio-nal de Diffie-Hellman en el grup de punts dela varietat jacobiana de corbes supersingularsde genere dos sobre cossos finits. La solucio aaquest problema es interessant per a criptogra-fia de clau publica, especialment en signaturesdigitals i en sistemes de criptografia basats enla identitat. L’existencia d’un aparellament bi-lineal i no degenerat en aquests grups redueix

la solucio del problema DDH a l’existencia deprou funcions de distorsio. Aquestes funcions estroben a l’anell d’endomorfismes de la varietatjacobiana. Mostrem exemples de corbes super-singulars, sobre cossos finits de caracterısticaparell i de caracterıstica senar, tals que l’algebrad’endomorfismes te dimensio 16 sobre els racio-nals i solucionem el problema DDH en algunsd’aquests exemples.

74

Suites de Sturm, indice de Maslov et périodicité de BottBarge, J. / Lannes, J., École Polytechnique, Paris, France

The classical theory of Sturm sequences provides an algorithm for determining the number of roots of a polynomial with real coeffi cients contained in an open interval. The main purpose of this monograph is to show that a suitable generalization of the theory of Sturm sequences provides, among others: a notion of Maslov index for an algebraic loop of lagrangians defi ned over a commutative ring; a proof of the fundamental theorem of (algebraic) hermitian K-theory (theorem due to M. Karoubi); a proof of the theorems of (topological) Bott periodicity (in the spirit of the work of F. Latour); the computation of the relative K2-group, symplectic-linear, for all commutative ring (in the spirit of the work of R. Sharpe).

2008. Env. 210 p. HardcoverISBN-13 978-3-7643-8709-9Progress in Mathematics, tome 267Due in 05.2008

Vanishing and Finiteness Results in Geometric AnalysisA Generalization of the Bochner Technique

Pigola, S., Università dell‘Insubria, Como, Italia / Rigoli, M., Università di Milano, Italia / Setti, A.G., Università dell‘Insubria, Como, Italia

This book presents very recent results involving an extensive use of analytical tools in the study of geometrical and topological properties of complete Riemannian manifolds. It analyzes in detail an extension of the Bochner technique to the non compact setting, yielding conditions which ensure that solutions of geometrically signifi cant differential equations either are trivial (vanishing results) or give rise to fi nite dimensional vector spaces (fi niteness results). The book develops a range of methods from spectral theory and qualitative properties of solutions of PDEs to comparison theorems in Riemannian geometry and potential theory. All needed tools are described in detail, often with an original approach. Some of the applications presented concern the topology at infi nity of submanifolds, Lp cohomology, metric rigidity of manifolds with positive spectrum, and structure theorems for Kähler manifolds. The book is essentially self-contained and supplies in an original presentation the necessary background material not easily available in book form.

2008. Approx. 295 p. HardcoverISBN 978-3-7643-8641-2Progress in Mathematics, Vol. 266

Determinantal Ideals

Miró-Roig, R.M., Universitat de Barcelona, Spain

Winner of the Ferran Sunyer i Balaguer Prize 2007.

Determinantal ideals are ideals generated by minors of a homogeneous polynomial matrix. Some classical ideals that can be generated in this way are the ideal of the Veronese varieties, of the Segre varieties, and of the rational normal scrolls. Determinantal ideals are a central topic in both commutative algebra and algebraic geometry, and they also have numerous connections with invariant theory, representation theory, and combinatorics. Due to their important role, their study has attracted many researchers and has received considerable attention in the literature. In this book three crucial problems are addressed: CI-liaison class and G-liaison class of standard determinantal ideals; the multiplicity conjecture for standard determinantal ideals; and unobstructedness and dimension of families of standard determinantal ideals.

2008. XVI, 138 p. HardcoverISBN-13 978-3-7643-8534-7Progress in Mathematics, Vol. 264

Birkhäuser Verlag AGViaduktstrasse 424051 Basel / Switzerland

Tel. +41 61 205 07 77e-mail: sales@birkhauser.chwww.birkhauser.ch

EMS Textbooks in Mathematics

Oleg BogopolskiTechnical University of Dortmund, Germany

Introduction to Group Theory

2008. 16.5 x 23.5 cm. X, 177 pages.Hardcover € 38.00

For the Americas: US$ 48.00

ISBN 978-3-03719-041-8

This book quickly introduces beginners to general group theory and then focuses on threemain themes:

• finite group theory, including sporadic groups;

• combinatorial and geometric group theory, including the Bass–Serre theory of groupsacting on trees;

• the theory of train tracks by Bestvina and Handel for automorphisms of free groups.

With its many examples, exercises, and full solutions to selected exercises, this textprovides a gentle introduction that is ideal for self-study and an excellent preparationfor applications. A distinguished feature of the presentation is that algebraic and geo-metric techniques are balanced. The beautiful theory of train tracks is illustrated by twonontrivial examples.

Presupposing only a basic knowledge of algebra, the book is addressed to anyoneinterested in group theory: from advanced undergraduate and graduate students to spe-cialists.

EMS Publishing House Fliederstrasse 23 orders@ems-ph.orgETH-Zentrum FLI C4 CH-8092 Zürich, Switzerland www.ems-ph.org

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iec.cat Adreca web: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditacio*) Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms:o Institucio

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio bancaria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de

Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi/el compte corrent/la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

SignaturaLes quotes per a l’any 2007 i 2008 son les seguents: 34 euros socis ordinaris, 17 euros socis estudiants imembres de societats amb conveni de reciprocitat, 68 euros institucions, 20 euros EMS i 23,5 eurosRSME les dues ultimes pagant la quota a traves de la SCM.

*Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula.