ESTIMACIÓN Y EXPRESIÓN DE LA

INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN

ING. HAYGAS KAUSTIAN

Documentos de Referencia

La medición es un proceso mediante el cual se cuantifica el valor de una magnitud física definida bajo determinadas condiciones.

Dado que el valor de una medición no se conoce perfectamente, se define un intervalo que tiene como centro la mejor estimación del mensurando, donde puede hallarse el valor perfecto de la medición con una probabilidad del 95%. El semi intervalo cuantifica la incertidumbre de la medición U (uncertainty).

El punto de partida:

¿Cómo estimar el valor del mensurando de una medición directa?:

El mejor estimado del mensurando se obtiene del promedio de n observaciones realizadas bajo condiciones de repetibilidad.

Condiciones de repetibilidad significa:• EL mismo observador

• El mismo instrumento de medición• El mismo método y principio de medición

• Las mismas condiciones ambientales• El mismo lugar

• Mediciones sucesivas del mensurando

EJEMPLO 1:Si realizamos experimentalmente n=100 observaciones de una magnitud bajo condiciones definidas, obteniéndose los siguientes valores:

12,3012,5511,9812,6312,6012,0312,3212,2312,2812,0812,6112,4912,4912,4712,4412,1912,0212,3212,4512,17

11,9012,1412,0012,6912,1212,6212,3612,7712,1312,3312,1412,6612,2712,2912,3112,0812,4112,7712,4412,05

12,0512,3812,4012,2012,4912,1212,3312,4312,4312,2712,5112,3712,6412,2512,0412,2312,5712,3612,5012,18

12,0512,2511,9812,7012,2012,6211,9712,3412,1912,5212,7712,1212,4012,7512,2112,4912,1712,2812,0912,34

12,0912,2512,4212,4512,1712,3112,2212,0312,3012,6112,3312,2912,5612,2412,0112,5312,3512,1212,2812,08

_

El mejor estimado del mensurando es el promedio:

q= 12,3195199152383

Pero, ¿Por qué varían las observaciones y con cuantas cifras decimales debo expresar el resultado?

Las observaciones varían debido a:

•La repetibilidad de instrumento de medición utilizado, la cual es una característica intrínseca de este.• El efecto de las condiciones ambientales sobre el mensurando•El efecto de la destreza del observador en el proceso de medición•Otros efectos de influencias que no podemos identificar, o por lo menos son menos obvias ó difícil de identificar.

Respecto al número de cifras decimales del promedio, lo cierto es que de tener el mismo número de cifras decimales con la que quede expresada la incertidumbre de la medición cuando este se redondea a dos cifras significativas. Para aplicaciones industriales es aceptable redondear la incertidumbre a una cifra significativa.

Nota: Todas la cifras son significativas excepto el cero. El cero es significativo si a su izquierda pueden identificarse algún número distinto de cero.

1,235 4 cifras significativas 3 cifras decimales1,0025 5 cifras significativas 4 cifras decimales0,0025 2 cifras significativas 4 cifras decimales0,002 1 cifra significativa 3 cifras decimales1,002 4 cifras significativa 3 cifras decimales0,0205 3 cifras significativa 4 cifras decimales0,02 1 cifra significativa 2 cifras decimales0,0200 3 cifras significativas 4 cifras decimales

Ejemplo 2: Imagine que usted estimó la incertidumbre de la medición U y obtuvo el siguiente resultado:

U= 0,0583421

Si redondeamos el resultado a dos cifras significativas: U=0,058 Entonces el promedio se expresará: q= 12,319

y el resultado de la medición se expresará: q=(12,319±0,058), P=95%

Para aplicaciones industriales:

Redondeamos la incertidumbre a una cifra significativa: U= 0,06Entonces el promedio se expresa: q= 12,32

y el resultado de la medición se expresará:

q=(12,32±0,06), P=95%

¿Cómo analizar estadísticamente el comportamiento de mis observaciones?

Un histograma de frecuencias absolutas nos ayuda a visualizar este comportamiento. Si construimos el histograma correspondiente a las n=100 observaciones obtenidas en el ejemplo 1, obtenemos lo siguiente:

11,77530443

11,86722014

11,95913586

12,05105158

12,1429673

12,23488301

12,32679873

12,41871445

12,51063017

12,60254588

y may

or...0

5

10

15

20

25

Clase

Frec

uenc

ia

Ahora decidimos realizar n=10000 observaciones del mismo mensurando que en el ejemplo 1 y graficar su histograma de frecuencia el resultado es el siguiente:

11,77530443 11,75791716 12,00770306 12,25748896 12,50727486 12,75706076 13,006846660

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Clase

Frec

uenc

ia

_q= 19,32

Observe que :

•obtenemos un histograma simétrico respecto al promedio. •La mayor cantidad de observaciones se obtienen en el entorno del promedio.•Observar datos alejados del promedio son menos probables.

Graficando el histograma de frecuencias absolutas en términos de probabilidades obtenemos un histograma de frecuencias relativas. La curva envolvente se modela a través de una función denominada función de probabilidades F(q).

q_

De esta manera se estima que los resultados de medición sigan este comportamiento incluso para número de observaciones que se realizan en a práctica, n ≤ 10.

La base de la curva (campana) muestra la dispersión de los resultados.

F(q)

Distribución de probabilidades útiles que modelan el comportamiento de las fuentes de que contribuyen de la incertidumbre de medición:

Rectangular o uniforme Triangular t-student

Utilizado en el caso en que la variables estudiada se comporta aleatoriamente entre dos valores límites sin una distribución o tendencia conocida.

En este caso su dispersión en términos de deviación estándar se estima:

σ

Utilizado en el caso en que la variable estudiada se comporta aleatoriamente entre dos valores límites con una tendencia al valor promedio de los límites.

En este caso su dispersión en términos de deviación estándar se estima:

σ=

Utilizado en el caso de variables que se determinan experimentalmente con un atendencia central estimada por el promedio.

En este caso sus dispersión es igual a la desviación estándar de la muestra:

Sx= S √n

Normal - Gauss

Utilizado en el que el resultado se presenta en términos de un intervalo de confianza

σ= U/2, P:95%

σ= U/3, P:99,7%

Algunas estadísticas útiles:

Promedio de n observaciones

Desviación estándar experimental

Desviación estándar del promedio

PASOS FUNDAMENTALES PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN

Definir el

modelo matem

ático de la

medición

Identificar las fuente

s de incertidumbr

e

Modelar la

distribución de probabi

lidad de cada fuente

Estimar la incertidumbre de

cada fuente en términos

de la desviació

n estándar

Calcular los coeficientes

de sensibilidad

Determinar

la incertidumbr

e combinada

Determinar la incertidumbr

e Expand

ida, P=95%

La definición del modelo matemático:

El modelo matemático de una medición directa, básicamente es una función de una variable, que en términos generales puede modelarse como sigue:

Y= y +Σcorreciones_

Identificación de la fuentes de incertidumbre:

Modelando las fuentes de incertidumbre :

Y=F(x)

Y: (y ± U), P=95%

Repetidas observaciones

Resolución del inst.Correcciones de certif.

Efecto de la temp.Otras fuente

Cuantificando las fuentes de incertidumbre :

Y=F(x)

Repetidas observaciones

Resolución del inst.Correcciones de certif.

Efecto de la temp.Otras fuente

ures

u t= uv=

ur= S √n

u corr.= U/2

Y= y + δtemp +δres +δcert +δotras_Ejemplo:

Combinando las fuentes de incertidumbre :

u comby=

Repetidas observaciones

Resolución del inst.Correcciones de certif.

Efec.de la temp.Otras variables

ures u t=

ui=ur= S √n

u corr.= U/2

==

Y: (y ± U), P=95%

Incertidumbre expandida:

Uexp= k.ucombinada

k: es el factor de cobertura , generar un intervalo de confianza de 95%