2.4 Termo-elasticidad en materiales isotrpicos2.4. Termo-elasticidad en materiales isotrpicos

Considere un medio continuo no restringido constituido por un material elstico isotrpico en

una configuracin no deformada. Si se presenta un cambio uniforme de temperatura en elmaterial, todas las lneas infinitesimales en el volumen del elemento sufren una expansin igual,

puesto que el material es isotrpico. Por lo anterior, las componentes de deformacin debido al

cambio de temperatura , con respecto a las coordenadas cartesianas, es.

0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

donde es el coeficiente de expansin trmica del material. Para un medio no homogneo, elcoeficiente puede ser una funcin de las coordenadas y de la temperatura, = ( ).

Ahora considere que el medio continuo se sujeta a fuerzas o desplazamientos que induce esfuerzos

, ,. . . , en un punto del slido. Por consiguiente, si , ,. . . , representas el estado dedeformaciones en un punto despus de la aplicacin de las fuerzas, el cambio de las deformaciones

producido por las fuerzas se representa por las ecuaciones:

00 = 00 = 00 = 00 = 00 = 00 =

(2.61)

Sustituyendo la ec. (2.61) en la ecs. (2.26) se tienen las componentes del tensor de esfuerzos:

= (1+)(12) [(1 ) + ( + )] (12) = (1+)(12) [(1 ) + ( + )] (12) = (1+)(12) [(1 ) + ( + )] (12)

= = =

(2.62)

Sustituyendo las ecs. (2.62) en las ecs. (2.32) se tienen las componentes del tensor de deforma-

ciones:

= 1 [ ( + )] + = 1 [ ( + )] + = 1 [ ( + )] +

= = =

(2.63)

Para el elemento unidimensional los desplazamiento, deformaciones y esfuerzos debidos al incre-

cGelacio Jurez, UAM 95

2.4 Termo-elasticidad en materiales isotrpicosmento de temperatura se muestran en la fig. (2.8) y para decrementos en la fig. (2.9).

Figura 2.8: Elemento unidimensional sujeto a incremento de temperatura .

Figura 2.9: Elemento unidimensional sujeto a decremento de temperatura .

2.4.1. Ejemplo

Un riel de ferrocarril de longitud = 28m se ha proyectado para que, a una temperaturade 0 = 28 C, ste no presente esfuerzos. El material del riel es acero con mdulo elstico = 21 106 kg cm2 y coeficiente de expansin trmica = 1172 106 C1 . Determineel esfuerzo en los rieles cuando la temperatura baja a = 12 C en los siguientes casos:a) Cuando los extremos de los rieles ests fijos.

b) Cuando existe una tolerancia al acortamiento = 7 mmc) Cuando se registra una temperatura de = 50 C y los rieles estn fijos.

Solucin

a) El incremento de temperatura es:

= 0 = 12 C 28 C = 40 CcGelacio Jurez, UAM 96

2.4 Termo-elasticidad en materiales isotrpicosAl tratarse de un acortamiento, se producirn esfuerzos de tensin en el riel, de la ec. (2.62):

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

(1 2)

= = 21 106 kg cm2 1172 106 C1 (40 C) = 984 48 kgcm2

b) El alargamiento producido por el incremento = 40 C es:

= = = = (28m)

1172 106 C1

(40 C)

= 13126mm acortamiento

Puesto que se tiene una tolerancia al acortamiento = 7 mm , el desplazamiento efectivo es:

= + = 13126mm+ 7mm = 6126mmPor lo que el esfuerzo ser:

= = 21 106 kg cm26126mm

28000mm

= 45945 kg

cm2

c) Si se registra una temperatura final = 50 C el incremento es:

= 0 = 50 C 28 C = 22 CLos esfuerzos se calculan de la ec. (2.62):

= = 21 106 kg cm2 1172 106 C1 (22 C) = 54146 kgcm2

2.4.2. Ejemplo

Una presa de concreto que se proyecto a una temperatura ambiente 0 = 15 C se tiene en unpunto las deformaciones = 8 106, = 35 104 y = 8 1019 . a una temperaturade 0 = 28 C, ste no presente esfuerzos. El concreto tiene con mdulo elstico = 22 105 kg cm2 , coeficiente de Poisson = 020 y coeficiente de expansin trmica = 112 106 C1. Determine:

a) El estado de esfuerzos sin considerar cambios de temperatura

b) El estado de esfuerzos y deformaciones si la temperatura increment a = 50 C.c) El estado de esfuerzos y deformaciones si la temperatura decrement a = 2 C.

cGelacio Jurez, UAM 97

2.4 Termo-elasticidad en materiales isotrpicosd) Verifique en los incisos b y c que los esfuerzos no excedan el esfuerzo mximo a compresin

del concreto de = 250 kg cm2 o el de tensin de = 25kg cm2.

Solucin

a) El estado de esfuerzos sin efectos de temperatura es:

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

=22 105 kg cm2(1 + 02) (1 2 (02))

(1 02) 8 106 + 02 35 104 + 8 1019 = 19433 kg

cm2

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

=22 105 kg cm2(1 + 02) (1 2 (02))

(1 02) 35 104+ 02 8 106 + 8 1019 = 85 067 kg

cm2

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

=22 105 kg cm2(1 + 02) (1 2 (02))

(1 02) 8 1019 + 02 8 106 +35 104 = 20 900 kg

cm2

b) El incremento de temperatura es:

= = 0 = 50 C 15 C = 35 CIncluyendo el efecto de la temperatura el estado de esfuerzos es:

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

(1 2)

= 19433 kgcm2

22 105 kg cm2

(1 2 (02))112 106 C1

(35 C) = 163 17 kg

cm2

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

(1 2)

= 85 067 kgcm2

22 105 kg cm2

(1 2 (02))112 106 C1

(35 C) = 228 8 kg

cm2

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

(1 2)

= 20 900 kgcm2

22 105 kg cm2

(1 2 (02))112 106 C1

(35 C) = 164 63

cm2kg

c) El incremento de temperatura es:

= = 0 = 2 C 15 C = 13 CIncluyendo el efecto de la temperatura el estado de esfuerzos es:I

cGelacio Jurez, UAM 98

2.4 Termo-elasticidad en materiales isotrpicos

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

(1 2)

= 19433 kgcm2

22 105 kg cm2

(1 2 (02))112 106 C1

(13 C) = 33954 kg

cm2

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

(1 2)

= 85 067 kgcm2

22 105 kg cm2

(1 2 (02))112 106 C1

(13 C) = 3168 kg

cm2

= (1 + ) (1 2) [(1 ) + ( + )]

(1 2)

= 20 900 kgcm2

22 105 kg cm2

(1 2 (02))112 106 C1

(13 C) = 32487

cm2kg

d) Los esfuerzos a compresin, en el inciso b) , son menores a = 250 kg cm2 y losesfuerzos a tensin en el inciso c) son mayores a = 25 kg cm2, por lo que habra problemasde agrietamiento.

cGelacio Jurez, UAM 99

2.4 Termo-elasticidad en materiales isotrpicos2.4.3. Tarea

Una losa de concreto dentro de dos dos muros rgidos, mostrada en la fig. 2.10, se proyect a

una temperatura ambiente 0 = 20 C sujeta a una presin en la superficie de 2000 kgm2. Laspropiedades mecnicas del concreto son: mdulo elstico = 22 105 kg cm2, coeficiente dePoisson = 020 y coeficiente de expansin trmica = 112106 C1. Determine el estado deesfuerzos, deformaciones y variacin de la longitud que experimentan sus aristas considerando:

a) La presin en la superficie.

b) La presin en la superficie y una temperatura final de = 40 C.c) La presin en la superficie y temperatura final de = 2 C.d) Determine si es suficiente una junta constructiva de 5mm en la direccin para las condi-ciones ) ).

Figura 2.10: Losa

cGelacio Jurez, UAM 100