Implementación de una metodología de simulación híbrida ...

Implementación de una metodología de simulación híbrida para el estudio

de modelos electromagnéticos y electromecánicos en sistemas

eléctricos de potencia

Juan Camilo Gallego González

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Energía Eléctrica y Automática

Medellín, Colombia

2017

Implementación de una metodología de simulación híbrida para el estudio

de modelos electromagnéticos y electromecánicos en sistemas

eléctricos de potencia

Juan Camilo Gallego González

Trabajo final de maestría en perfil de profundización presentado como requisito parcial

para optar al título de:

Magister en Ingeniería – Ingeniería Eléctrica

Director:

Ing. Javier Gustavo Herrera Murcia. PhD.

Línea de Investigación:

Alta tensión

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Energía Eléctrica y Automática

Medellín, Colombia

2017

Resumen y Abstract V

Agradecimientos:

A la Universidad Nacional de Colombia

forjadora de mi perfil profesional.

Al profesor Javier Herrera por su paciencia,

colaboración permanente y exigencia.

A mi familia por su amor y apoyo

incondicional.

A Daniela, por su paciencia, apoyo y ser mi

compañera de viaje en este camino llamado

vida.

Resumen y Abstract VI

Resumen

Este trabajo presenta una metodología de simulación híbrida desarrollada por G. W. J.

Anderson [2], la cual permite la simulación en paralelo de fenómenos transitorios con

pasos de tiempo lento y rápido en un mismo sistema eléctrico usando una técnica que

permite dividir el sistema total en subsistemas. En la primera parte del documento se

caracterizan los modelos de simulación que serán usados en este trabajo.

Posteriormente, se presenta la metodología de simulación híbrida que través de un nodo

denominado “frontera” logra compartir información entre varios subsistemas a través de

circuitos equivalentes que logran representar cada uno de ellos. Finalmente, a través de

un algoritmo de simulación híbrida desarrollado como parte de este trabajo se estudian

algunos casos básicos e idealizados con el fin de validar la metodología utilizada. Con

base en lo anterior, se verifica que con la metodología de simulación implementada es

posible estudiar de manera simultánea fenómenos transitorios con diferentes pasos de

tiempo dentro de una misma simulación. Dadas las ventajas de esta técnica y su poca

aplicación en el entorno local, y además de su amplio rango de aplicaciones en el sector

consultor e industrial, este trabajo es un punto de partida que servirá de referencia para

su futuro estudio e implementación.

Palabras clave: Metodología, modelo, simulación electromagnética, simulación

electromecánica, simulación híbrida.

Contenido VII

Abstract

This work presents a hybrid simulation methodology developed by G. W J. Anderson [2],

which allows the parallel simulation of transient phenomena with slow and fast time steps

in the same electrical system using a technique which allows the complete system to be

divided into subsystems. Initially, the simulation models that will be used in this paper are

characterized. Later, the hybrid simulation methodology is presented, which through a

node called "Interface", information among the subsystems is shared using equivalent

circuits that permit to represent each one of them. Finally, through a hybrid simulation

algorithm developed as part of this work, some basic and idealized cases are studied in

order to validate the methodology used. Based on the above, it is verified that with the

simulation methodology implemented, it is possible to simultaneously study transient

phenomena with different time steps within the same simulation. Given the advantages of

this technique and its limited application in the local environment, and in addition to its

wide range of applications in the consulting and industrial sector, this work is a starting

point that will be a reference for future study and implementation.

Keywords: Methodology, model, electromagnetic simulation, electromechanical

simulation, hybrid simulation.

Contenido IX

Contenido

Pág.

1. Generalidades .......................................................................................................... 5 1.1 Transitorios Electromecánicos............................................................................ 5

1.1.1 Transformación de Park ................................................................................... 8 1.1.2 Modelo de la máquina para estudios de estabilidad ....................................... 11

1.2 Transitorios Electromagnéticos ........................................................................ 17 1.2.1 Resistencia .................................................................................................... 17 1.2.2 Inductancia .................................................................................................... 18 1.2.3 Capacitancia .................................................................................................. 21 1.2.4 Línea de transmisión ..................................................................................... 24

2. Simulación híbrida ................................................................................................. 35 2.1 Revisión bibliográfica acerca de la simulación híbrida ...................................... 35 2.2 Generalidades de la simulación híbrida ............................................................ 37 2.3 Partición del sistema ........................................................................................ 37 2.4 Representación del sistema a través de circuitos equivalentes ........................ 39 2.5 Implementación de los circuitos equivalentes ................................................... 42

2.5.1 Cálculo de 𝑰𝐜 en el subsistema de dinámica lenta.......................................... 42 2.5.2 Cálculo de 𝑬𝟏 en el subsistema de dinámica rápida ...................................... 44

2.6 Protocolo de intercambio de información .......................................................... 45 2.6.1 Metodología 1 de intercambio de información ................................................ 45 2.6.2 Metodología 2 de intercambio de información ................................................ 47 2.6.3 Metodología 3 de intercambio de información ................................................ 48

2.7 Resumen .......................................................................................................... 51

3. Resultados .............................................................................................................. 53 3.1 Circuito monofásico RLC .................................................................................. 53 3.2 Circuito trifásico RLC ........................................................................................ 59 3.3 Sistema trifásico con líneas monofásicas ......................................................... 63 3.4 Sistema trifásico con línea polifásica acoplada ................................................. 70 3.5 Máquina sincrónica conectada a una fuente ideal a través de un circuito RLC . 74

4. Conclusiones y trabajo futuro ............................................................................... 81 4.1 Conclusiones .................................................................................................... 81 4.2 Trabajo futuro ................................................................................................... 84

Contenido X

Lista de figuras

Pág.

Figura 1-1: Circuitos del rotor y estator de la máquina sincrónica (Basado en [21]) .... 6

Figura 1-2: Circuitos equivalentes en eje d y q (Tomado de [21]) ............................ 11

Figura 1-3: Red externa de dos puertos (tomado de [18]) ....................................... 14

Figura 1-4: Modelo máquina sincrónica conectada a barra infinita (tomado de [23]) 16

Figura 1-5: Circuito equivalente de resistencia (tomado de [3]) ................................ 18

Figura 1-6: Circuito equivalente de inductancia (tomado de [3]) ............................... 19

Figura 1-7: Tres Inductancias acopladas .................................................................. 21

Figura 1-8: Circuito equivalente de capacitancia (tomado de [3]) ............................. 22

Figura 1-9: Circuito 𝜋 polifásico con capacitancias conectadas en derivación

acopladas (tomado de [3]) .............................................................................................. 23

Figura 1-10: Condiciones de frontera de la línea de transmisión (tomado de [17]) ..... 25

Figura 1-11: Circuito equivalente de línea de transmisión (tomado de [3]) ................. 28

Figura 1-12: Trasformación del dominio de las fases al modal en una línea de

transmisión (tomado de [15]) ........................................................................................... 31

Figura 2-1: Partición del sistema durante el periodo transitorio (basado en de [1]) ... 38

Figura 2-2: Representación de los circuitos equivalentes usados en simulación

híbrida (tomada de [1]) .................................................................................................... 39

Figura 2-3: Representación flujo de carga y cortocircuito (tomado de [1]) ................ 40

Figura 2-4: Metodología 1 de intercambio de información (tomado de [1]) ............... 46

Figura 2-5: Metodología 2 de intercambio de información (tomado de [1]) ............... 47

Figura 2-6: Metodología 3 de intercambio de información propuesto por Anderson

para condiciones normales de operación (tomado de [1]) ............................................... 49

Figura 2-7: Método de intercambio de información propuesto por Anderson para

condiciones de falla (tomado de [1]) ................................................................................ 50

Figura 2-8: Representación de la metodología de simulación híbrida ....................... 52

Figura 3-1: Circuito monofásico RLC ........................................................................ 54

Figura 3-2: Resultado de la tensión en la frontera usando la metodología 1 para el

circuito RLC monofásico ................................................................................................. 55





Figura 3-5: Tensión medida en la frontera por el subsistema lento con las tres

metodologías para el circuito RLC monofásico ............................................................... 58

Contenido XI

Figura 3-6: Tensión medida en la frontera por el subsistema rápido con las tres

metodologías para el circuito RLC monofásico ............................................................... 58

Figura 3-7: Circuito trifásico RLC ............................................................................. 59


circuito RLC trifásico ...................................................................................................... 61

Figura 3-9: Resultado de la tensión en la frontera de las tres fases usando la

metodología 1 para el subsistema de dinámica rápida ................................................... 62


metodología 1 para el subsistema de dinámica lenta ..................................................... 63

Figura 3-11: Sistema trifásico con líneas monofásicas .............................................. 64

Figura 3-12: Resultado de la tensión en la frontera usando metodología 1 para el

circuito RLC trifásico con líneas de transmisión monofásicas ......................................... 66






metodologías para el circuito RLC trifásico con líneas de transmisión monofásicas ....... 69


metodologías para el circuito RLC trifásico con líneas de transmisión monofásicas ....... 70

Figura 3-17: Sistema trifásico con línea polifásica acoplada ...................................... 71


circuito trifásico con línea de transmisión polifásica ........................................................ 73

Figura 3-19: Resultado de la tensión al final de la línea usando la metodología 1 para

el circuito trifásico con línea de transmisión polifásica .................................................... 74

Figura 3-20: Diagrama unifilar máquina sincrónica conectada a fuente ideal a través

de un circuito trifásico RLC ............................................................................................. 75

Figura 3-21: Ángulo del rotor de la máquina sincrónica ............................................. 78

Figura 3-22: Velocidad angular de la máquina sincrónica .......................................... 79

Figura 3-23: Tensión en la frontera sistema máquina conectada a barra infinita a

través de circuito RLC .................................................................................................... 80

Contenido XII

Lista de tablas

Pág.

Tabla 3-1: Parámetros del circuito monofásico RLC. .................................................. 54

Tabla 3-2: Parámetros del circuito monofásico RLC. .................................................. 60

Tabla 3-3: Parámetros circuito trifásico RLC con líneas de transmisión monofásicas . 65

Tabla 3-4: Parámetros circuito trifásico con línea de transmisión polifásica acoplada . 71

Tabla 3-5: Parámetros de la máquina sincrónica y del circuito trifásico RLC con líneas

de transmisión monofásicas ............................................................................................ 76

Introducción

En general, es posible afirmar que los sistemas eléctricos de potencia presentan un

comportamiento electromecánico debido a la característica de operación de las máquinas

de generación presentes en éstos, junto a un comportamiento electromagnético debido a

la presencia de elementos pasivos como líneas de transmisión, transformadores y

componentes electrónicos y de elementos no lineales que los conforman. Los sistemas

eléctricos de potencia son diseñados para soportar los esfuerzos a los que son

sometidos durante una falla, los cuales constituyen la causa principal de eventos

asociados a transitorios electromagnéticos (EMT por sus siglas en inglés) y a transitorios

electromecánicos o comúnmente denominados de estabilidad transitoria (TS por sus

siglas en inglés).

Durante la etapa de diseño de los sistemas eléctricos se analizan estos efectos a partir

de simulaciones en programas de computador, lo cual permite dimensionar sus equipos,

su control y sus protecciones. En general, son los programas TS los que permiten simular

los eventos transitorios electromecánicos, mientras los programas EMT permiten simular

los eventos transitorios electromagnéticos [6]. No obstante, en ocasiones resulta

conveniente analizar simultáneamente estos dos tipos de fenómenos; por ejemplo, en [3]

se propone el estudio transitorio de estabilidad multimáquina cuando el sistema contiene

convertidores de corriente continua de alta tensión (HVDC por sus siglas en inglés).

En estos casos, la estabilidad del sistema eléctrico se ve afectada tanto por las grandes

constantes de tiempo de la respuesta electromecánica de los generadores, como por las

cortas constantes de tiempo del control electrónico de los convertidores de potencia.

Realizar las simulaciones a través de una metodología exclusivamente EMT o TS para

representar ambos tipos de fenómenos resulta ineficiente debido a la cantidad de

constantes de tiempo involucradas en el modelado de estos transitorios.

2 Introducción

Por otro lado, el estudio de propagación de transitorios electromagnéticos de maniobra o

tipo rayo en presencia de generadores, y la estimación de los efectos que este tipo de

eventos pueden traer al funcionamiento de máquinas presentes en el sistema, también

involucra diferentes constantes de tiempo y duración de los fenómenos las cuales

pueden diferir en varios ordenes de magnitud.

Considerando que las simulaciones del tipo EMT tienen pasos de tiempo de hasta

decenas de microsegundos y los programas del tipo TS tienen pasos de por lo menos

200 veces los anteriores, incluir las ecuaciones del movimiento de los generadores en

programas de transitorios electromagnéticos para representar el comportamiento

electromecánico de los sistemas de potencia multimáquina resulta extremadamente

ineficiente [3]. Asimismo, representar el comportamiento electromagnético en los

programas TS tiene su limitante por la carencia en la precisión de los resultados [1].

La simulación híbrida es una técnica utilizada por primera vez en el año 1981 con la idea

original de Heffernan de modelar sistemas HVAC-HVDC (sistemas de conversión de

corriente alterna de alta tensión (HVAC por sus siglas en inglés) a HVDC)

simultáneamente [7]. Esta técnica combina las ventajas de la simulación electromecánica

y electromagnética, permitiendo la representación simultánea de sub-sistemas con

diferentes dinámicas y constantes de tiempo, y que pueden ser simulados con pasos de

tiempo independientes. A través de esta aproximación, se logra caracterizar de manera

eficiente grandes sistemas de potencia y una alta precisión en el modelado de

componentes no lineales. Esta técnica permite inclusive, su implementación en

simuladores digitales en tiempo real [1].

En sistemas eléctricos de potencia, la simulación híbrida permite con un bajo costo

computacional representar la dinámica de los generadores en sistemas de corriente

alterna (AC por sus siglas en inglés) y obtener una adecuada precisión en los modelos

dinámicos de las líneas de transmisión, transformadores, reactores y componentes de

potencia electrónicos, siendo esta una de las principales ventajas de esta técnica [1][2].

Aunque esta herramienta nació para solucionar el problema de la representación de

sistemas AC-DC (sistemas de conversión de corriente alterna a sistemas de corriente

directa (DC por sus siglas en inglés), su uso no está restringido a ésta. Una porción

particular del sistema AC puede requerir un modelado detallado y este mismo enfoque de

Introducción 3

simulación híbrida puede ser extendido a estos casos. Las aplicaciones incluyen el

análisis detallado de los compensadores sincrónicos o estáticos, dispositivos FACTS, o

inclusive la representación de los efectos de la dependencia de la frecuencia en líneas de

transmisión [3].

Dadas las ventajas de esta técnica y su poca o inexistente aplicación en el entorno local,

y además debido a su amplio rango de aplicaciones en el sector consultor e industrial,

este trabajo de maestría apunta a establecer una metodología local de simulación que

sirva como punto de referencia para su estudio e implementación.

En este trabajo se estructuró un algoritmo de simulación híbrida desarrollado en MATLAB

[27], el cual permita observar el comportamiento y la respuesta de fenómenos transitorios

considerando paralelamente sistemas AC de dinámicas lentas y de dinámicas rápidas.

Particularmente, el estudio se enfoca en las diferentes aproximaciones de simulación

híbrida aplicadas a casos de estudio simples, pudiéndose aplicar a simulaciones de

estabilidad transitoria o de sistemas AC-DC como los mencionados anteriormente. Para

la evaluación de los resultados obtenidos, se usaron casos idealizados los cuales

permitieron evidenciar la validez del método empleado al ser comparados con el

programa ATP/EMTP [26] el cual utiliza la metodología tradicional de solución EMT.

1. Generalidades

En este capítulo se presenta el marco teórico asociado a la simulación tradicional de

sistemas electromecánicos y electromagnéticos para el estudio de fenómenos

transitorios. Particularmente se especifican los modelos a utilizar en las simulaciones

híbridas presentadas en el siguiente capítulo.

1.1 Transitorios Electromecánicos

Tal como se define en [3], los transitorios electromecánicos se refieren a todas aquellas

interacciones entre la energía mecánica almacenada en las máquinas rotativas y la

energía eléctrica almacenada en la red. Dentro de los estudios de transitorios

electromecánicos más representativos se encuentra la simulación de estabilidad

transitoria en sistemas eléctricos de potencia. En este tipo de estudios, normalmente los

componentes del sistema de potencia son simulados con modelos de estado estable. Sin

embargo, las máquinas rotativas y sus controles, se modelan considerando la dinámica

mecánica y eléctrica de las mismas [1].

Las máquinas rotativas están conformadas en esencia por un rotor, llamado también

campo, el cual es el elemento giratorio de la máquina, y un estator, conocido también

como armadura. En la Figura 1-1 se presenta un esquema circuital de la máquina

sincrónica, en ella se muestran los diferentes devanados que la conforman. El estator

está compuesto por tres devanados desfasados 120° físicos uno del otro. El rotor está

conformado por al menos un devanado conocido como devanado de excitación, el cual

es alimentado por una fuente de tensión DC llamada tensión de excitación, y es el

encargado de producir el campo magnético que induce voltajes alternos en los

devanados del estator [21]. En general, los rotores presentan devanados en cortocircuito,

conocidos como de amortiguamiento, los cuales controlan que la máquina opere siempre

a la velocidad de sincronismo.

6 Implementación de una metodología de simulación híbrida para el estudio de modelos electromagnéticos y electromecánicos en sistemas eléctricos

de potencia

Figura 1-1: Circuitos del rotor y estator de la máquina sincrónica (Basado en [21])

En este punto es importante aclarar que el rotor es representado matemáticamente a

través de dos ejes ficticios, el primero conocido come eje directo (d) y el segundo como

eje de cuadratura (q). De acuerdo con la referencia [21], el eje d está centrado

magnéticamente en el polo norte del rotor, mientras que el eje q está desfasado 90º del

eje d, normalmente esta posición relativa se asume en adelanto, pero podría

considerarse también en atraso respecto al eje d [21].

En la Figura 1-1, el rotor está conformado por un devanado de excitación (𝑓𝑑), el cual se

localiza sobre el eje d, y tres devanados amortiguadores ubicados, uno en el eje directo

(1𝑑), y los otros dos en el eje cuadratura (1𝑞 y 2𝑞).

De acuerdo con la referencia [20], las ecuaciones relacionadas al comportamiento del

estator y del rotor de una máquina sincrónica trifásica se pueden escribir como se

muestra a continuación.

𝑣𝑎 = 𝑖𝑎𝑟𝑠 +𝑑𝜆𝑎

𝑑𝑡 (1.1)

Generalidades 7

𝑣𝑏 = 𝑖𝑏𝑟𝑠 +𝑑𝜆𝑏

𝑑𝑡 (1.2)

𝑣𝑐 = 𝑖𝑐𝑟𝑠 + 𝑑𝜆𝑐

𝑑𝑡 (1.3)

𝑣𝑓𝑑 = 𝑖𝑓𝑑𝑟𝑓𝑑 +𝑑𝜆𝑓𝑑

𝑑𝑡 (1.4)

𝑣1𝑑 = 𝑖1𝑑𝑟1𝑑 + 𝑑𝜆1𝑑

𝑑𝑡 (1.5)

𝑣1𝑞 = 𝑖1𝑞𝑟1𝑞 + 𝑑𝜆1𝑞

𝑑𝑡 (1.6)

𝑣2𝑞 = 𝑖2𝑞𝑟2𝑞 + 𝑑𝜆2𝑞

𝑑𝑡 (1.7)

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

2

𝑃𝜔 (1.8)

𝐽2

𝑃

𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒 − 𝑇𝑓𝑤 (1.9)

Las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.3) corresponden al comportamiento del estator, mientras

que de la (1.4) a la (1.9) están asociadas al comportamiento del rotor. La dinámica

mecánica del rotor es representada por las ecuaciones (1.8) y (1.9), donde:

𝜆: Corresponde al enlace de flujo (flujo magnético total por cada devanado)

𝜔: Velocidad angular del campo magnético rotativo

𝑣: Tensiones en terminales de cada devanado

𝑖: Corriente en terminales de cada devanado

𝑟: Corresponde a la resistencia de cada devanado

𝐽: Es el momento de inercia

𝑇𝑚 : Es el toque mecánico aplicado al eje de la máquina

𝑇𝑒 : Es el toque eléctrico de origen eléctrico de la máquina

𝑇𝑓𝑤 : Es el torque producido por la fricción del viento

P: Es el número de polos de la máquina


de potencia

El subíndice 𝑓𝑑 se refiere al devanado de excitación el cual se localiza sobre el eje d, el

subíndice 1𝑑 se refiere al devanado de amortiguamiento sobre el eje d, y finalmente 1𝑞 y

2𝑞 se refieren respectivamente al devanado de amortiguamiento 1 y 2 ubicados sobre el

eje q. Algunos modelos de máquina incluyen un número mayor o menor de devanados

de amortiguamiento dependiendo de la complejidad del mismo. En este documento se

considera una máquina con dos devanados en el eje q y uno en el eje d.

1.1.1 Transformación de Park

Considerando que los devanados de la máquina están acoplados magnéticamente, y que

dichos acoples dependen de la posición del rotor y del tiempo [19], para el estudio de

máquinas rotativas se utiliza matemáticamente una matriz “T” conocida como

transformación de Park o “dq0” (en referencia a los ejes directo, de cuadratura y de

secuencia cero respectivamente), que logra desacoplar las inductancias dependientes de

la posición del rotor [21] [22]. Con dicha matriz se logra convertir las componentes en el

dominio de las fases “abc” al sistema de referencia “dq0”. De manera similar, usando la

matriz inversa de “T”, se logra convertir las componentes del sistema “dq0” al sistema

“abc”, tal como se muestra a continuación:

[𝑋𝑎𝑏𝑐 ] = [𝑇][𝑋𝑑𝑞𝑜 ] (1.10)

[𝑋𝑑𝑞0 ] = [𝑇−1][𝑋𝑎𝑏𝑐 ] (1.11)

La matriz de transformación de Park, definida en [21], se expresa de la siguiente forma:

𝑇 = √2

3

[ cos (𝜃) cos (𝜃 −

2𝜋

3) cos (𝜃 +

2𝜋

3)

−sen(𝜃) −sen(𝜃 −2𝜋

3) −sen(𝜃 +

2𝜋

3)

1

√2

1

√2

1

√2 ]

(1.12)

Una vez aplicada la transformación a las ecuaciones del estator (1.1), (1.2) y (1.3), éstas

se pueden escribir de la siguiente forma:

Generalidades 9

𝑣𝑑 = 𝑖𝑑𝑟𝑠 − 𝜔𝜆𝑞 +𝑑𝜆𝑑

𝑑𝑡 (1.13)

𝑣𝑞 = 𝑖𝑞𝑟𝑠 − 𝜔𝜆𝑑 +𝑑𝜆𝑞

𝑑𝑡 (1.14)

𝑣0 = 𝑖0𝑟𝑠 +𝑑𝜆0

𝑑𝑡 (1.15)

Para representar la máquina sincrónica en el sistema de referencia “dq0”, las ecuaciones

(1.4) a la (1.9) permanecen iguales, donde, de acuerdo con [19] [21]:

𝜆𝑑 = −𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝐿𝑎𝑑 𝑖𝑓𝑑 + 𝐿𝑎𝑑 𝑖1𝑑 (1.16)

𝜆𝑞 = −𝐿𝑞 𝑖𝑞 + 𝐿𝑎𝑞 𝑖1𝑞 + 𝐿𝑎𝑞 𝑖2𝑞 (1.17)

𝜆0 = −𝐿0 𝑖0 (1.18)

𝜆𝑓𝑑 = 𝐿𝑓𝑓𝑑 𝑖𝑓𝑑 + 𝐿1𝑑 𝑖1𝑑 − 𝐿𝑎𝑑 𝑖1𝑑 (1.19)

𝜆1𝑑 = 𝐿𝑓𝑑 𝑖𝑓𝑑 + 𝐿11𝑑 𝑖1𝑑 − 𝐿𝑎𝑑 𝑖1𝑑 (1.20)

𝜆1𝑞 = 𝐿11𝑞 𝑖1𝑞 + 𝐿𝑎𝑞 𝑖2𝑞 − 𝐿𝑎𝑞 𝑖𝑞 (1.21)

𝜆2𝑞 = 𝐿𝑎𝑞 𝑖1𝑞 + 𝐿22𝑞 𝑖2𝑞 − 𝐿𝑎𝑞 𝑖𝑞 (1.22)

𝐿𝑑 = 𝐿𝑎𝑑 + 𝐿𝑙 (1.23)

𝐿𝑞 = 𝐿𝑎𝑞 + 𝐿𝑙 (1.24)

𝐿𝑓𝑑 = 𝐿𝑓𝑓𝑑 − 𝐿𝑓1𝑑 (1.25)

𝐿1𝑑 = 𝐿11𝑑 − 𝐿𝑓1𝑑 (1.26)

𝐿1𝑑 = 𝐿11𝑑 − 𝐿𝑎𝑞 (1.27)


de potencia

𝐿2𝑑 = 𝐿22𝑞 − 𝐿𝑎𝑞 (1.28)

Donde 𝐿 corresponde a la inductancia asociada a los devanados de cada eje ficticio del

estator representados por los subíndices d, q, 0, y los demás subíndices ya

mencionados, los cuales constituyen los devanados del rotor. Estas inductancias

representan los enlaces concatenados del flujo tanto en el estator como en el rotor y

entre ellos. 𝐿𝑙 hace referencia a la inductancia de dispersión de los ejes d y q por

acoplamiento entre estos dos, y 𝐿𝑎𝑑 y 𝐿𝑎𝑞 corresponden a las inductancias propias de

cada devanado.

En la Figura 1-2 se muestran los circuitos equivalentes de cada eje, que presentan

simultáneamente el comportamiento de las variables eléctricas del rotor y el estator. En

éstos, se incluyen las inductancias previamente mencionadas y se consideran las

ecuaciones presentadas en este numeral.

Generalidades 11

Figura 1-2: Circuitos equivalentes en eje d y q (Tomado de [21])

(a) Circuito equivalente eje d

(b) Circuito equivalente eje q

1.1.2 Modelo de la máquina para estudios de estabilidad

Tal como se indica en [19], para estudios de estabilidad, existen diferentes modelos

simplificados que se usan para representar el comportamiento de la máquina durante un

evento transitorio. Un modelo ampliamente usado en la literatura para tal fin, es el

modelo conocido como “2.2” debido a que considera en el eje “d” el devanado de

excitación y un devanado de amortiguamiento, y en el eje “q” considera dos devanados

amortiguadores [18].


de potencia

Tal como se menciona en [19], este modelo es usado para representar la máquina

sincrónica de rotor liso, en el cual se consideran los efectos de régimen subtransitorio,

conocido como un periodo de pocos ciclos en el que después de una perturbación las

variables eléctricas decaen rápidamente.

En este modelo las ecuaciones eléctricas del estator en variables de Park se muestran a

continuación:

𝐸′′𝑞 − 𝑉𝑞 = 𝑟𝐼𝑞 − 𝑥′′𝑑𝐼𝑑 (1.29)

𝐸′′𝑑 − 𝑉𝑑 = 𝑟𝐼𝑑 + 𝑥′′𝑞𝐼𝑞 (1.30)

Las ecuaciones del rotor en variables de Park son:

𝑑𝐸′

𝑞

𝑑𝑡=

1

𝑇′𝑑0

[𝐸𝑓𝑑 + (𝑥𝑑 − 𝑥′𝑑)𝐼𝑑 − 𝐸′

𝑞] (1.31)

𝑑𝐸′𝑑

𝑑𝑡=

1

𝑇′𝑞0

[−(𝑥𝑞 − 𝑥′𝑞)𝐼𝑞 − 𝐸′

𝑑] (1.32)

𝑑𝐸′′𝑞𝑑𝑡

=1

𝑇′′𝑑0[𝐸′𝑞 + (𝑥′𝑑 − 𝑥′′

𝑑)𝐼𝑑 − 𝐸′′𝑞] (1.33)

𝑑𝐸′′𝑑𝑑𝑡

=1

𝑇′′𝑞0[𝐸′𝑑 − (𝑥′𝑞 − 𝑥′′

𝑞)𝐼𝑞 − 𝐸′′𝑑] (1.34)

𝑑𝜔

𝑑𝑡=

𝜔𝑟

2𝐻[𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 − 𝐷(𝜔 − 𝜔𝑟)] (1.35)

𝑑𝛿

𝑑𝑡= 𝜔 − 𝜔𝑟 (1.36)

Donde,

𝜔𝑟: Velocidad sincrónica

𝛿: Posición angular del rotor

𝑃𝑚: Potencia mecánica de la máquina proveída por la turbina de la máquina

Generalidades 13

𝑃𝑒: Potencia eléctrica de la máquina

𝐸𝑓𝑑: Voltaje proporcional al voltaje de campo (voltaje de excitación del rotor)

𝐸′𝑞: Voltaje detrás de la reactancia transitoria en el eje q

𝐸′𝑑: Voltaje detrás de la reactancia transitoria en el eje d 𝐸′′𝑞: Voltaje detrás de la reactancia subtransitoria en el eje q

𝐸′′𝑑: Voltaje detrás de la reactancia subtransitoria en el eje d

𝑥′𝑞: Reactancia transitoria en el eje q

𝑥′𝑑: Reactancia transitoria en el eje d

𝑥′′𝑞: Reactancia subtransitoria en el eje q

𝑥′′𝑑: Reactancia subtransitoria en el eje d

𝑇′𝑑0: Constante de tiempo transitoria asociada al eje d en circuito abierto

𝑇′′𝑑0: Constante de tiempo subtransitoria asociada al eje d en circuito abierto

𝑇′𝑞0: Constante de tiempo transitoria asociada al eje q en circuito abierto

𝑇′′𝑞0: Constante de tiempo subtransitoria asociada al eje q en circuito abierto

D: Constante de amortiguamiento

H: Constante de inercia de la máquina sincrónica, 𝐻 = 1

2

𝐽𝜔𝑟2

𝑠𝑏, con 𝑠𝑏 potencia base

En este punto es importante indicar que tal como se menciona en [21], las reactancias

transitorias y subtransitorias, así como las constantes de tiempo asociadas, son

parámetros de la máquina que permiten representar aquellos periodos posteriores a una

perturbación en el sistema. En el periodo subtransitorio las corrientes que se inducen en

los circuitos del rotor decaen rápidamente, mientras que en el periodo transitorio éstas lo

hacen más lentamente. Por lo tanto, las reactancias transitorias y subtransitorias

representan aquellas vistas en terminales del generador durante los periodos

mencionados, y las constantes de tiempo determinan la tasa de caída de las tensiones y

corrientes en la máquina en dichos periodos. En la referencia [21] estos parámetros

mencionados se presentan en función de las inductancias mostradas en los circuitos

equivalentes de eje directo y de cuadratura presentados en la Figura 1-2.


de potencia

De acuerdo con las ecuaciones presentadas en este numeral, el modelo de máquina

sincrónica para estudios de estabilidad transitoria requiere la solución simultánea de

ecuaciones diferenciales y algebraicas. Este tipo de sistemas pueden ser solucionados

mediante métodos de integración numérica [24]. En este trabajo se usará el método

conocido como Runge-Kutta de orden cuatro [28].

Es importante aclarar que para establecer una solución a partir del método numérico

mencionado, se requiere que las variables 𝑖𝑑 e 𝑖𝑞 sean expresadas en función de las

variables de estado del sistema de ecuaciones diferenciales, para evitar que aparezcan

simultáneamente ecuaciones algebraicas y diferenciales. Para lograr esto, tal como se

indica en la referencia [18], se recurre a una red externa de dos puertos como la

presentada en la Figura 1-3. En los terminales de uno de los puertos está conectado el

generador, mientras que en el segundo se conecta una fuente de tensión ideal E𝑏∠0,

representando un barraje infinito, aproximación que se usará en este trabajo.

Figura 1-3: Red externa de dos puertos (tomado de [18])

El circuito presentado en la Figura 1-4 se puede representar mediante una red de dos

puertos como la mostrada en la Figura 1-3. Teniendo en cuenta que en el primer puerto

se conectan los terminales del generador, el voltaje se puede calcular mediante la

siguiente expresión tomada de la referencia [18]:

𝑉 =𝐼

ℎ11+ ℎ12𝐸𝑏 (1.37)

Generalidades 15

Donde ℎ11 es la admitancia de cortocircuito de la red medida en terminales del

generador, ℎ12 es un parámetro híbrido (conocido como ganancia de voltaje de circuito

abierto). Véase Anexo B para mayor información.

En general, tanto ℎ11 como ℎ12 son complejos. En una red constituida por una

impedancia en serie (Re + jxe), es posible evidenciar que:

1

ℎ11= 𝑅𝑒 + 𝑗𝑥𝑒 , ℎ12 = 1.0 + 𝑗0.0 (1.38)

De manera general ℎ11 y ℎ12 se pueden expresar de la siguiente forma:

1

ℎ11= 𝑧𝑅 + 𝑗𝑧𝑖 , ℎ12 = ℎ1 + 𝑗ℎ2 (1.39)

Considerando (1.39), la ecuación (1.37) puede ser expresada de la siguiente forma:

(𝑣𝑞 + 𝑗𝑣𝑑)𝑒𝑗𝛿 = (𝑧𝑅 + 𝑗𝑧𝑖)(𝑖𝑞 + 𝑗𝑖𝑑)𝑒𝑗𝛿 + (ℎ1 + 𝑗ℎ2)𝐸𝑏 (1.40)

Multiplicando en ambos lados de la ecuación por 𝑒−𝑗𝛿 se obtiene

(𝑣𝑞 + 𝑗𝑣𝑑) = (𝑧𝑅 + 𝑗𝑧𝐼)(𝑖𝑞 + 𝑗𝑖𝑑) + (ℎ1 + 𝑗ℎ2)𝐸𝑏𝑒−𝑗𝛿 (1.41)

Separando las partes real e imaginaria de la expresión anterior se obtiene:

𝑣𝑞 = 𝑧𝑅𝑖𝑞 − 𝑧𝐼𝑖𝑑 + ℎ1𝐸𝑏 cos 𝛿 + ℎ2𝐸𝑏 sin 𝛿 (1.42)

𝑣𝑑 = 𝑧𝐼𝑖𝑞 + 𝑧𝑅𝑖𝑑 + ℎ2𝐸𝑏 cos 𝛿 − ℎ1𝐸𝑏 sin𝛿 (1.43)

Las ecuaciones(1.42) y (1.43) se pueden sustituir en (1.29) y (1.30 ), para obtener id e iq

en términos de las variables de estado 𝐸′𝑑, 𝐸′𝑞 y 𝛿.

Considerando el circuito mostrado en la Figura 1-4, y despreciando la resistencia R, es

posible obtener los siguientes parámetros híbridos de la red de dos puertos:

𝑧𝑅 = 𝑅𝑒 𝑧𝐼 = 𝑥𝑒 , ℎ1 = 1.0, ℎ2 = 0


de potencia

Figura 1-4: Modelo máquina sincrónica conectada a barra infinita (tomado de [23])

Con los parámetros mencionados, se obtiene que:

𝑣𝑞 = 𝑅𝑒𝑖𝑞 − 𝑥𝑒 𝑖𝑑 + 𝐸𝑏 cos 𝛿 (1.44)

𝑣𝑑 = 𝑥𝑒𝑖𝑞 + 𝑅𝑒𝑖𝑑 − 𝐸𝑏 sen𝛿 (1.45)

Sustituyendo 𝑣𝑞 y 𝑣𝑑 en las ecuaciones (1.29) y (1.30) se obtiene:

𝑖𝑑 =(𝑥′′𝑞 + 𝑥𝑒)( −𝐸′′𝑞 +𝐸𝑏cos 𝛿) + 𝑅𝑒(𝐸′′𝑑 +𝐸𝑏sen 𝛿)

(𝑥𝑒 + 𝑥′′𝑑)(𝑥𝑒 + 𝑥′′

𝑞) + 𝑅𝑒2 (1.46)

𝑖𝑑 =(𝑥′′𝑑 + 𝑥𝑒)( −𝐸′′𝑑 +𝐸𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛿) + 𝑅𝑒(𝐸′′𝑞 −𝐸𝑏cos𝛿)

(𝑥𝑒 + 𝑥′′𝑑)(𝑥𝑒 + 𝑥′′

𝑞) + 𝑅𝑒2 (1.47)

Con las variables 𝑖𝑑 e 𝑖𝑞 en función de las variables de estado 𝐸′′𝑞, 𝐸′′𝑑 y 𝛿, a través del

método Runge-Kutta de orden cuatro se solucionan las ecuaciones (1.31) a (1.36) para

obtener la respuesta transitoria de la máquina sincrónica correspondiente al modelo

descrito en este numeral. Es importante advertir que en este modelo se han omitido los

controles de la máquina sincrónica.

Generalidades 17

1.2 Transitorios Electromagnéticos

De acuerdo con [1], en sistemas eléctricos de potencia, los fenómenos transitorios

electromagnéticos se refieren a aquellos que involucran la interacción entre la energía

almacenada en el campo magnético de los inductores y en el campo eléctrico de los

capacitores. Estos transitorios se encuentran usualmente en un rango de microsegundos

y unos pocos periodos (un periodo equivale a 0,0166 segundos a una frecuencia de

60 Hz).

Los modelos para simulación de transitorios en el dominio del tiempo se basan en una

técnica introducida en la década de 1960 por el profesor H. Dommel que combina el

método de las características y la regla trapezoidal de integración para la solución de las

ecuaciones diferenciales asociadas a este tipo de fenómenos. Esta técnica ha ganado

aceptación universal y se ha convertido en una herramienta general en la simulación de

transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia [16].

A continuación, se presentará el modelo de algunos componentes del sistema usados en

aproximaciones del tipo EMTP.

1.2.1 Resistencia

Las resistencias son usadas entre otras cosas para representar [15]:

a) Resistencia de cierre y apertura en interruptores de potencia

b) Resistencias de estructuras de torres de transmisión

c) Resistencias de puesta a tierra de transformadores y neutros de generadores

d) Mediciones, donde las corrientes no pueden ser obtenidas de otra manera en

simulaciones EMTP.

e) Equivalentes de red en paralelo con inductancias.

f) Líneas largas en estudios de descargas atmosféricas si no hay reflexiones

provenientes del extremo remoto durante todo tiempo de simulación

g) Cargas resistivas

En la Figura 1-5 se muestra la representación de la resistencia través de un circuito

equivalente.


de potencia

Figura 1-5: Circuito equivalente de resistencia (tomado de [3])

Considerando la Figura 1-5, la corriente que circula por la resistencia R entre los nodos k

y m está dada por la siguiente ecuación:

𝑖𝑘𝑚(𝑡) =1

𝑅(𝑉𝑘(𝑡) − 𝑉𝑚(𝑡))

(1.48)

1.2.2 Inductancia

De acuerdo con [15], los circuitos magnéticamente acoplados son comunes en los

sistemas eléctricos de potencia; generadores, transformadores y líneas trifásicas son

ejemplo de ellos. No obstante, existen casos donde se encuentran inductancias no

acopladas que entre otras cosas pueden representar:

a) Reactores monofásicos y rectores de neutro en esquemas de compensación en

derivación.

b) Parte de circuitos de descarga en estaciones con capacitores serie.

c) Equipos de estaciones convertidoras en HVDC.

d) Parte inductiva de la impedancia de un circuito equivalente de Thevenin, cuando

los parámetros de secuencia positiva y cero son iguales.

e) Parte inductiva de circuitos 𝜋 monofásicos.

f) Parte inductiva de un circuito equivalente de carga.

g) Parte de un descargador para simular las características dinámicas del mismo.

h) Parte de circuitos electrónicos.

Para simulaciones transitorias, la ecuación diferencial exacta que representa una

inductancia a partir del esquema de la Figura 1-6(a) está dada por:

Generalidades 19

𝑉𝑘 − 𝑉𝑚=𝐿𝑑𝑖𝑘𝑚

𝑑𝑡 (1.49)

Usando la regla de integración trapezoidal, cuyo desarrollo matemático se presenta en

[15], la inductancia se puede representar con el circuito equivalente mostrado en la

Figura 1-6(b), el cual está conformado por una resistencia cuyo valor es 2L/Δt en paralelo

con una fuente de corriente conocida, denominada 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡), la cual corresponde a

un valor histórico que se actualiza en cada instante de tiempo (t).

Figura 1-6: Circuito equivalente de inductancia (tomado de [3])

Considerando el circuito mostrado en la Figura 1-6(b), la corriente que circula por el

inductor entre los nodos k y m está determinada por la siguiente ecuación:

𝑖𝑘𝑚(𝑡) =𝛥𝑡

2𝐿[𝑉𝑘(𝑡) − 𝑉𝑚(𝑡)] + 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡)

(1.50)

Donde la fuente de historia 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡) está determinada por la siguiente ecuación:

𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡) = 𝑖𝑘𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡) + [𝛥𝑡

2𝐿 (𝑉𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡) − 𝑉𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡)]

(1.51)


de potencia

1.2.2.1 Inductancia en sistemas polifásicos acoplados

De acuerdo con [15] las inductancias magnéticamente acopladas entre otras cosas

pueden representar:

a) Partes inductivas de transformadores

b) Parte inductiva de la impedancia de la fuente de un circuito equivalente de

Thevenin para representar un sistema cuyos parámetros de secuencias positiva y

cero son diferentes.

c) Partes inductivas de circuitos polifásicos

En sistemas polifásicos acoplados, los elementos diagonales de la matriz [L] son las

inductancias propias y los elementos fuera de la diagonal son las inductancias mutuas,

resultando una matriz simétrica como se muestra a continuación:

𝐿 = [

𝐿𝑠 𝐿𝑚 𝐿𝑚

𝐿𝑚 𝐿𝑠 𝐿𝑚

𝐿𝑚 𝐿𝑚 𝐿𝑠

] (1.52)

Las inductancias acopladas entre el grupo de nodos ka, kb y kc y el grupo de nodos ma,

mb y mc, como en el ejemplo que se muestra en la Figura 1-7, son solucionadas en

estado estable a través de la siguiente ecuación:

[𝐼𝑘𝑚(𝑡)] =1

𝑗𝜔[𝐿−1][𝑉𝑘] − [𝑉𝑚]

(1.53)

Donde corresponde a la frecuencia angular del sistema.

Generalidades 21

Figura 1-7: Tres Inductancias acopladas

Para soluciones transitorias, las ecuaciones (1.50) y (1.51) se pueden extrapolar para

para representar la inductancia en sistemas acoplados [15] como se muestra a

continuación.

[𝑖𝑘𝑚(𝑡)] =𝛥𝑡

2[𝐿−1][𝑉𝑘(𝑡)] − [𝑉𝑚(𝑡)] + [𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡)] (1.54)

Donde [L] corresponde a una matriz como la presentada en (1.52) y el valor histórico

𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡) está determinado por la siguiente ecuación:

[𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦 (𝑡 − 𝛥𝑡)] = [𝑖𝑘𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡)] +𝛥𝑡

2 [𝐿−1][𝑉𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡)] − [𝑉𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡)] (1.55)

1.2.3 Capacitancia

De acuerdo con [15] los elementos capacitivos pueden ser usados para representar entre

otras cosas:

a) Capacitores serie y conectados en derivación

b) Capacitancias conectadas en derivación para la representación de circuitos 𝜋 de

líneas de transmisión

c) Equipos de estaciones convertidoras en HVDC

d) Capacitancias parásitas en transformadores y generadores

e) Transformadores de potencia capacitivo y divisores de tensión capacitivo

f) Parte de un generador


de potencia

Para simulaciones transitorias, la ecuación diferencial exacta que representa una

capacitancia a partir del esquema de la Figura 1-8(a), está dada por:

𝑖𝑘𝑚=𝐶𝑑(𝑉𝑘−𝑉𝑚)

𝑑𝑡 (1.56)

De manera análoga como se realizó con la inductancia, usando la regla de integración

trapezoidal se puede representar la capacitancia con el circuito equivalente mostrado en

la Figura 1-8(b), conformado por una resistencia cuyo valor es Δt/2C en paralelo con una

fuente de corriente conocida denominada 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡), la cual corresponde a un valor

histórico que se actualiza en cada instante t.

Figura 1-8: Circuito equivalente de capacitancia (tomado de [3])

Considerando el circuito mostrado en la Figura 1-8(b), la corriente que circula por el

capacitor entre los nodos k y m está determinada por la siguiente ecuación:

𝑖𝑘𝑚(𝑡) =2𝐶

𝛥𝑡[𝑉𝑘(𝑡) − 𝑉𝑚(𝑡)] + 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡)

(1.57)

Donde el valor histórico 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡) está determinado por la siguiente ecuación:

Generalidades 23

𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡) = −𝑖𝑘𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡) − [2𝐶

𝛥𝑡 (𝑉𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡) − 𝑉𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡)]

(1.58)

1.2.3.1 Capacitancia en sistemas polifásicos acoplados

De acuerdo con [15] la única aplicación conocida que utiliza capacitancias acopladas es

para representar elementos conectados en derivación de circuitos 𝜋 polifásicos, tal como

se muestra en la Figura 1-9.

Figura 1-9: Circuito 𝜋 polifásico con capacitancias conectadas en derivación

acopladas (tomado de [3])

Los modelos de aproximación EMT aceptan en general que los elementos que

conforman las ramas en cada extremo del circuito 𝜋 sean matrices de capacitancias de la

forma 1/2 [C]. En todos los casos [C] es simétrica, cuyos elementos diagonales son las

capacitancias propias y los elementos por fuera de la diagonal son las capacitancias

mutuas, resultando para sistemas trifásicos una matriz como la que se muestra a

continuación:

𝐶 = [

𝐶𝑠 𝐶𝑚 𝐶𝑚

𝐶𝑚 𝐶𝑠 𝐶𝑚

𝐶𝑚 𝐶𝑚 𝐶𝑠

] (1.59)


de potencia

De acuerdo con [3], las ecuaciones (1.57) y (1.58) se pueden extrapolar para calcular la

corriente que circula por un arreglo de capacitancias acopladas como se muestra a

continuación.

[𝑖𝑘0(𝑡)] =1

𝛥𝑡[𝐶][𝑉𝑘(𝑡)] + [𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦_𝑘0(𝑡 − 𝛥𝑡)] (1.60)

Donde [C] corresponde a una matriz como la presentada en (1.59) y el valor histórico

𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡) está determinado por la siguiente ecuación:

[𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦_𝑘0 (𝑡 − 𝛥𝑡)] = −[𝑖𝑘0(𝑡 − 𝛥𝑡)] −1

𝛥𝑡 [𝐶][𝑉𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡)] (1.61)

1.2.4 Línea de transmisión

A continuación, se presenta la solución de las ecuaciones de la línea de transmisión

monofásica y polifásica en el dominio de la frecuencia y del tiempo.

1.2.4.1 Línea de transmisión monofásica en el dominio de la frecuencia

De acuerdo con la referencia [17], las ecuaciones de la línea de transmisión monofásica

en el dominio de la frecuencia se pueden escribir de la siguiente forma:

(𝑧) = +𝑒−𝛾𝑧 + −𝑒𝛾𝑧 (1.62)

𝐼(𝑧) = 𝐼+𝑒−𝛾𝑧 + 𝐼−𝑒𝛾𝑧

=+

𝑍𝑐𝑒−𝛾𝑧 +

−

𝑍𝑐𝑒𝛾𝑧

(1.63)

Donde,

𝛾 = 𝑗𝜔√𝑙𝑐 (1.64)

+

𝐼+= 𝑍𝑐 = √

𝑙

𝑐

(1.65)

𝑍𝑐: Corresponde a la impedancia característica de la línea (Ω)

Generalidades 25

𝑧: Corresponde a la posición a lo largo de la línea de transmisión (m)

: Corresponde a la frecuencia angular del sistema.

+, −, 𝐼+ e 𝐼− deben ser determinadas a partir de las condiciones de frontera del

sistema asociado con la línea de transmisión. Como ejemplo se considera el circuito de la

Figura 1-10 para el cual se presentarán las condiciones de frontera de la línea de

transmisión, las cuales podrían ser otras dependiendo de los elementos conectados en

los extremos de ésta.

Figura 1-10: Condiciones de frontera de la línea de transmisión (tomado de [17])

De la Figura 1-10 se pueden determinar las siguientes condiciones de frontera en los

extremos de la línea de transmisión:

(0) = 𝑠 − 𝑠𝐼(0) (1.66)

(ℒ) = 𝐿𝐼(ℒ) (1.67)

Evaluando las ecuaciones (1.62) y (1.63) en la frontera (z = 0, z = ℒ) se obtiene:

(0) = + + − (1.68)

𝐼(0) =+

𝑍𝑐+

−

𝑍𝑐

(1.69)

(ℒ) = +𝑒−𝛾ℒ + −𝑒𝛾ℒ (1.70)


de potencia

𝐼(ℒ) =+

𝑍𝑐𝑒−𝛾ℒ +

−

𝑍𝑐𝑒𝛾ℒ

(1.71)

Ya que la solución en las fronteras debe ser única, se igualan los dos conjuntos de

ecuaciones. Igualando las ecuaciones (1.66) y (1.68) se obtiene:

+ + − = 𝑠 −𝑠

𝑍𝑐(+ + −) (1.72)

De manera similar, igualando las ecuaciones (1.67) y (1.70) se obtiene:

+𝑒−𝛾ℒ + −𝑒𝛾ℒ =𝐿

𝑍𝑐(+𝑒−𝛾ℒ + −𝑒𝛾ℒ) (1.73)

Con las ecuaciones (1.72) y (1.73) se pueden determinar las constantes + y − y con

ellas la solución a las ecuaciones de la líneas de transmisión. Estas ecuaciones

expresadas de forma matricial se pueden presentar de la siguiente forma:

[(𝐶 + 𝑆) (𝐶 − 𝑆)

(𝐶 − 𝐿)𝑒−ℒ (𝐶 + 𝐿)𝑒

ℒ] [

+

−] = [𝑍𝑐𝑠0

] (1.74)

De esta manera es posible conocer el valor de la tensión y la corriente en cualquier punto

a lo largo de la línea para unas condiciones de frontera determinadas.

1.2.4.2 Línea de transmisión polifásica en el dominio de la frecuencia

En el análisis de líneas trifásicas acopladas se utiliza la técnica de transformación de

similaridad, método descrito por extenso en [17], para el cual se logra representar la línea

a través de aproximaciones llamadas “modos” que se pueden analizar de manera

independiente uno del otro, de manera similar a como se realiza en sistemas trifásicos

acoplados usando el teorema de las componentes simétricas.

De acuerdo con la referencia [17] y de forma análoga al caso monofásico, para cada

modo las ecuaciones de la línea de transmisión monofásica en el dominio de la

frecuencia se pueden escribir de la siguiente forma:

Generalidades 27

(𝑧) = 𝐶𝐼(𝑒−𝑧𝐼𝑚

+ + 𝑒𝑧𝐼𝑚−) (1.75)

𝐼(𝑧) = 𝐼(𝑒−𝑧𝐼𝑚

+− 𝑒𝑧𝐼𝑚−) (1.76)

donde 𝐼 es la matriz de transformación modal cuyo cálculo se presenta en el numeral

1.2.4.4, 𝐼𝑚+ e 𝐼𝑚

− son constantes en el dominio modal para el modo m que deben ser

determinadas a partir de las condiciones de frontera del sistema asociado a la línea de

transmisión.

De la misma manera como se hizo para el caso monofásico, con las condiciones de

frontera se determinan las tensiones en los extremos de la línea trifásica:

(0) = 𝑆 − 𝑆𝐼(0) (1.77)

(ℒ) = 𝐿 + 𝐿𝐼(ℒ) (1.78)

Evaluando la expresión (1.75) para z = 0 y z = ℒ, e igualándola con las expresiones

(1.77) y (1.78) respectivamente se obtienen las siguientes ecuaciones:

𝐶𝐼[𝐼𝑚+ + 𝐼𝑚

− ] = 𝑆 − 𝑆𝐼[𝐼𝑚+ − 𝐼𝑚

− ] (1.79)

𝐶𝐼[𝑒−ℒ𝐼𝑚

+ + 𝑒ℒ𝐼𝑚− ] = 𝐿 + 𝐿𝐼[𝑒

−ℒ𝐼𝑚+ − 𝑒ℒ𝐼𝑚

− ] (1.80)

Con las ecuaciones (1.79) y (1.80) se pueden determinar las constantes 𝐼𝑚+ e 𝐼𝑚

− y con

ellas las ecuaciones de la línea de transmisión. Estas ecuaciones expresadas de forma

matricial se pueden presentar de la siguiente forma:

[(𝐶 + 𝑆)𝐼 (𝐶 − 𝑆)𝐼

(𝐶 − 𝐿)𝐼𝑒−ℒ (𝐶 + 𝐿)𝐼𝑒

ℒ] [

𝐼𝑚+

𝐼𝑚−] = [

𝑆

𝐿

] (1.81)


de potencia

1.2.4.3 Línea de transmisión monofásica en el dominio del tiempo

Considerando una línea de transmisión de parámetros distribuidos sin pérdidas, de

acuerdo con [3], las ecuaciones diferenciales que describen la onda de propagación de la

línea están dadas por:

−𝑑𝑢(𝑥, 𝑡)

𝑑𝑥= 𝐿′

𝑑𝑖(𝑥, 𝑡)

𝑑𝑡

(1.82)

−𝑑𝑖(𝑥, 𝑡)

𝑑𝑥= 𝐶′

𝑑𝑣(𝑥, 𝑡)

𝑑𝑡

(1.83)

Donde L’ y C’ representan la inductancia y capacitancia por unidad de longitud.

Usando la regla de integración trapezoidal, cuyo desarrollo matemático se presenta en

[3], la línea de transmisión se puede representar con el circuito equivalente mostrado en

la Figura 1-11(b). A partir de éste, se representa la información de corriente y tensión en

cada uno de los extremos de la línea usando un circuito para cada uno de ellos

conformado por la impedancia característica de la línea en paralelo con una fuente de

corriente, denominada 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑦(𝑡 − 𝛥𝑡), la cual corresponde a un valor histórico que se

actualiza en cada instante de tiempo (t).

Figura 1-11: Circuito equivalente de línea de transmisión (tomado de [3])

Generalidades 29

Considerando el circuito mostrado en la Figura 1-11(b), la corriente que circula por la

línea desde el extremo asociado al nodo k hacia el m está determinada por la siguiente

ecuación:

𝑖𝑘𝑚(𝑡) =1

𝑍𝑐[𝑉𝑘(𝑡)] + 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡_𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡)

(1.84)

donde el valor histórico 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡_𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡) está determinado por la siguiente ecuación:

𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡_𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡) = −[1

𝑍𝑐 (𝑉𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡)] − 𝑖𝑚𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡)

(1.85)

Considerando el circuito mostrado en la Figura 1-11(b), la corriente que circula por la

línea desde el extremo asociado al nodo m hacia el k está determinada por la siguiente

ecuación:

𝑖𝑚𝑘(𝑡) =1

𝑍𝑐[𝑉𝑚(𝑡)] + 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡_𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡)

(1.86)

Donde el valor histórico 𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡_𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡) está determinado por la siguiente ecuación:

𝐼𝐻𝑖𝑠𝑡_𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡) = −[1

𝑍𝑐 (𝑉𝑘(𝑡 − 𝛥𝑡)] − 𝑖𝑘𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡)

(1.87)

1.2.4.4 Línea de transmisión polifásica acoplada en el dominio del tiempo

De acuerdo con [15] para líneas de transmisión sin pérdidas en medios homogéneos se

cumple la siguiente condición:

LC = CL = 𝜇휀1𝑛 (1.88)

Donde el medio que rodea la línea es homogéneo con una permitividad ε y una

permeabilidad μ. [L] y [C] representan respectivamente las inductancias y capacitancias

asociadas a la línea. La transformación de similaridad se basa en la diagonalización de

las matrices [L] y [C] a partir de una matriz [T] que de acuerdo con la referencia [17]

puede ser calculada con la siguiente ecuación:

TtL T = Lm (1.89)


de potencia

Donde Lm es una matriz diagonal o desacoplada, cuyos elementos de la diagonal están

compuestos por los valores modales de [L] y los elementos fuera de la diagonal son cero

como se muestra a continuación.

L𝑚 = [

𝑙𝑚1 0 … 0

0⋮

0

𝑙𝑚2 ⋱ ⋮

⋱

…

⋱

0

0

𝑙𝑚𝑛

] (1.90)

Similarmente, considerando la ecuación (1.88), la matriz de capacitancias se puede

expresar:

C = μεL−1 (1.91)

Considerando que la matriz [T] tiene la propiedad de que su inversa es a su vez igual a

su transpuesta [17], la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente forma:

T−1C Tt−1= TtC T

= με TtL−1 T

=1

𝑣2 L𝑚

−1

(1.92)

Donde v = 1/√𝜇휀

La impedancia característica en el modelo monofásico se calcula como se muestra a

continuación

𝑍𝑐 = √𝐿

𝐶 (1.93)

Extrapolando la ecuación (1.93) al dominio modal y reemplazando en ésta Cm obtenido

de la ecuación (1.92), se obtiene la impedancia característica para cada uno de los

modos:

𝑍𝐶𝑚𝑖 = 𝑣𝑙𝑚𝑖 (1.94)

Generalidades 31

Como resultado de esto, todos los modos tienen la misma velocidad de propagación:

𝑣𝑚𝑖 = 𝑣 =1

√𝜇휀 (1.95)

De acuerdo con lo anterior y extrapolando la solución de la línea de transmisión

monofásica al dominio modal, es posible conocer las ecuaciones que describen el

comportamiento de la línea de transmisión en sistemas polifásicos acoplados. En [15] se

presenta un método para resolver las ecuaciones de línea junto con el resto de la red,

que en general se basa en transformaciones entre el dominio de las fases y el dominio de

los modos en cada instante de tiempo tal como se indica en la Figura 1-12.

Figura 1-12: Trasformación del dominio de las fases al modal en una línea de

transmisión (tomado de [15])

Por simplicidad, en la Figura 1-12 se asumieron tres fases para la línea de transmisión.

Las ecuaciones de la línea de transmisión son solucionadas en el dominio modal y

transformadas en cada paso de simulación al dominio de las fases para obtener la

solución del resto del sistema.

Las ecuaciones de la línea en el dominio modal de acuerdo con lo anterior, se pueden

escribir de la misma forma que para el caso monofásico (véase ecuación (1.85)), como

se muestra a continuación para los modos a, b y c:

𝑖𝑘𝑎−𝑚𝑎(𝑡) =1

𝑍𝑐𝑎𝑣𝑎(𝑡) + ℎ𝑖𝑠𝑡𝑘𝑎−𝑚𝑎(𝑡 − 𝜏𝑎) (1.96)


de potencia

𝑖𝑘𝑏−𝑚𝑏(𝑡) =1

𝑍𝑐𝑏𝑣𝑏(𝑡) + ℎ𝑖𝑠𝑡𝑘𝑏−𝑚𝑏(𝑡 − 𝜏𝑏)

𝑖𝑘𝑐−𝑚𝑐(𝑡) =1

𝑍𝑐𝑐𝑣𝑐(𝑡) + ℎ𝑖𝑠𝑡𝑘𝑐−𝑚𝑐(𝑡 − 𝜏𝑐)

donde el valor histórico para cada modo está determinado por la siguiente ecuación:

ℎ𝑖𝑠𝑡𝑘𝑎−𝑚𝑎(𝑡 − 𝜏𝑎) = −1

𝑍𝑎𝑣𝑎(𝑡 − 𝜏𝑎) − 𝑖𝑘𝑎−𝑘𝑎(𝑡 − 𝜏𝑎)

ℎ𝑖𝑠𝑡𝑘𝑏−𝑚𝑏(𝑡 − 𝜏𝑏) = −1

𝑍𝑏𝑣𝑏(𝑡 − 𝜏𝑏) − 𝑖𝑘𝑏−𝑘𝑏(𝑡 − 𝜏𝑏)

ℎ𝑖𝑠𝑡𝑘𝑐−𝑚𝑐(𝑡 − 𝜏𝑐) = −1

𝑍𝑐𝑣𝑐(𝑡 − 𝜏𝑐) − 𝑖𝑘𝑐−𝑘𝑐(𝑡 − 𝜏𝑐)

(1.97)

Considerando la Figura 1-12, se puede interconectar la línea con el resto de la red

usando transformación modal a través de la siguiente ecuación:

[𝑖1−2𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒] = [𝑌𝑠𝑢𝑟𝑔𝑒][𝑣1

𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒] + [ℎ𝑖𝑠𝑡1−2𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒] (1.98)

donde la matriz de admitancia en cantidades de fase corresponde a:

[𝑌𝑠𝑢𝑟𝑔𝑒] = [𝑇𝑖] [

𝑍𝑎−1 0 0

0 𝑍𝑏−1 0

0 0 𝑍𝑐−1

] [𝑇𝑖]𝑡

(1.99)

y el vector de historia también en cantidades de fase corresponde a:

[ℎ𝑖𝑠𝑡1−2𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒] = [𝑇𝑖] [

ℎ𝑖𝑠𝑡1𝑎−2𝑎

ℎ𝑖𝑠𝑡1𝑏−2𝑏

ℎ𝑖𝑠𝑡1𝑐−2𝑐

] (1.100)

De la implementación del modelo de línea polifásica se observa gran similitud con la

implementación de modelos dinámicos de máquinas. En éstos, las ecuaciones de

acoplamiento rotor-estator son desacopladas a través de la llamada transformación de

Generalidades 33

Park a través de la cual diagonaliza las matrices y produce circuitos equivalentes

llamados de eje directo y de cuadratura (ver numeral 1.1.1).

2. Simulación híbrida

En este capítulo se presenta la base teórica y metodológica de la simulación híbrida

considerando de manera particular la referencia [2]. Inicialmente se exponen las

generalidades de este tipo de simulación. Posteriormente, se presentan las

consideraciones necesarias para realizar la partición del modelo del sistema eléctrico de

potencia, el cual será representado en porciones o subsistemas que permitirán analizar

en la misma simulación modelos con pasos de tiempo diferente. A partir de lo anterior, se

presentará la estructura de intercambio de información en un punto llamado “frontera”

que logra enlazar los subsistemas y finalmente se describe la base matemática de la

implementación del algoritmo. Todas las ecuaciones presentadas en este capítulo son

tomadas de la referencia [2].

2.1 Revisión bibliográfica acerca de la simulación híbrida

Como se menciona en [1][2] la idea original de simulación híbrida fue propuesta en el año

de 1981 por Heffernan [7][8][9], con el objetivo de analizar sistemas HVAC-HVDC. En

este trabajo, el modelado de los sistemas DC se realizó a través de técnicas de variables

de estado, mientras que los sistemas AC fueron representados mediante un programa de

estabilidad convencional. Tal como se menciona en [2], el intercambio de información

entre los dos programas se realizó a través de las variables de tensión y potencia, para lo

cual se usó la técnica de trasformada rápida de Fourier (FFT por sus siglas en inglés) con

el fin de obtener la variable de tensión, mientras que para la extracción de la variable de

potencia se usó una aproximación conocida como RMS, técnica que logra determinar

información de las formas de onda a la frecuencia fundamental a partir de valores

discretos para los cuales se determina el valor cuadrático medio (RMS por sus siglas en

inglés) de la señal.


de potencia

En el año de 1988 Reeve y Adapa [10][11] consideran en su estudio el efecto de los

armónicos generados por sistemas electrónicos en la red AC [1]. En este estudio se

cambia la ubicación de frontera a un punto fuera de la terminal de los convertidores, lugar

donde la distorsión y desbalance de las fases era menor. Al igual que en el estudio de

Heffernan, para la solución EMT (subsistema de dinámica rápida) se usó un análisis

detallado, mientras que para el resto de la red AC se modeló de manera convencional

con un programa de estabilidad. Tal como se menciona en [2], Reeve a diferencia de

Heffernan, usa una técnica de extracción de datos basada en una aproximación de

ajustes de curva en lugar de la técnica de FFT [10][11].

Posteriormente, Anderson [12] presenta una nueva aproximación de armónicos, para la

cual se representa el equivalente electromecánico en el subsistema de dinámica rápida

como una fuente dependiente de la frecuencia en lugar de una fuente a la frecuencia

fundamental como lo realizaron los dos primeros autores [1]. En 1998 Sultan [13] adopta

las aproximaciones antes mencionadas, pero extiende la ubicación de la interfaz en la

red AC y al mismo tiempo representa la red simulada por la aproximación TS (subsistema

de dinámica lenta) como un equivalente dependiente de la frecuencia.

De acuerdo con [6], desde la idea original de simulación híbrida presentada por

Heffernan, los estudios posteriores se han concentrado en la selección del circuito y el

intercambio de información en la interfaz o “frontera” entre los dos sistemas. Los estudios

de Heffernan [7][8][9], Reeve [10][11] y Anderson [12] se basaron en el desarrollo de

interfaces tipo serie, es decir cuando el subsistema de dinámica rápida está corriendo, el

subsistema de dinámica lenta está estático y viceversa. Por lo tanto, con esta

metodología es difícil realizar simulaciones en tiempo real por la pérdida de tiempo de

cada aproximación mientras recibe información del otro. En los estudios en los que el

subsistema de dinámica rápida es visto como como una carga PQ [10][11][13], una

admitancia [5] o una fuente de corriente [7][8][9][10][11], la interfaz de los circuitos

propuestos era únicamente adaptable a interfaces de secuencia serie.

Estudios recientes han presentado metodologías de simulación híbrida en la que una

interfaz llamada “de secuencia paralela” es utilizada, permitiendo que ambos

subsistemas se ejecuten simultáneamente, pudiéndose realizar simulaciones en tiempo

Simulación híbrida 37

real [1][6], tomando ventaja del bajo costo computacional de la representación dinámica

de los sistemas AC en los programas de estabilidad y la precisión de los modelos

dinámicos de los componentes de potencia electrónicos o que deben ser modelados con

aproximaciones EMT.

2.2 Generalidades de la simulación híbrida

La simulación híbrida pretende obtener el comportamiento de las variables eléctricas de

un sistema en el cual existen componentes que exhiben diferentes dinámicas en el

tiempo. Fundamentalmente, la metodología subdivide el sistema eléctrico total en

subsistemas, los cuales se encuentran interconectados a través de nodos de frontera

definidos de acuerdo con las dinámicas de los componentes y los lugares en los cuales

se desea conocer la evolución de las variables eléctricas del circuito.

De acuerdo con lo indicado en [2], la simulación híbrida puede considerar múltiples nodos

de frontera. Inicialmente, cuando el sistema completo está en equilibrio, las variables

eléctricas se obtienen a partir de una simulación basada en pasos de tiempo largos, o

inclusive en estado estacionario. La rutina de simulación híbrida se activa en un tiempo

seleccionado previo a la ocurrencia de una variación de topología del circuito como la

producida por una falla en el sistema eléctrico de potencia modelado. A partir de allí, el

sistema se subdivide en regiones de dinámicas lentas (pasos de tiempo largo) y de

dinámicas rápidas (pasos de tiempo cortos).

2.3 Partición del sistema

De acuerdo con lo indicado en la referencia [2], se define al “sistema 1” como la parte

electromecánica y su comportamiento es estimado a través de simulaciones basadas en

estabilidad transitoria, utilizando aproximación fasorial o un paso de tiempo largo. Por

otro lado, el sistema definido como “sistema 2” corresponde a la parte del sistema cuyo

comportamiento se obtiene a partir de técnicas de simulación de transitorios

electromagnéticos como las presentadas en el numeral 1.2 y utilizando un paso de

tiempo mucho menor al anterior. En un tiempo previo a una variación de la topología del

sistema completo, se toma un valor instantáneo de las variables eléctricas necesarias


de potencia

para compartir información en la frontera definida entre los dos sistemas e inicia el

intercambio de información entre el sistema 1 y el sistema 2; a este periodo se le llama

“periodo transitorio”.

Se debe tener en cuenta que en algunas implementaciones de la simulación híbrida, tal

como se presenta en la Figura 2-1, durante el periodo transitorio también se continúa

solucionando paralelamente el subsistema de dinámicas rápidas (sistema 2) a partir de la

misma aproximación usada para el sistema 1. Cuando los resultados de los dos tipos de

simulaciones del sistema 2 producen resultados comparables, se detiene la simulación

híbrida y la solución del sistema completo retorna a una solución establecida por las

condiciones del sistema 1. En este trabajo no se aplica esta aproximación y a partir de la

variación de la topología se continúa la simulación híbrida hasta alcanzar un tiempo

máximo establecido.

Figura 2-1: Partición del sistema durante el periodo transitorio (basado en de [1])

De acuerdo con la Figura 2-1, una vez inicia el periodo transitorio, el subsistema de

dinámica lenta obtiene la solución para el “sistema 1” mientras intercambia información


con el subsistema de dinámica rápida. Por otro lado, el subsistema de dinámica rápida

soluciona el “sistema 2” mientras intercambia información con el subsistema de dinámica

lenta. Paralelamente, el sistema 2 es solucionado por el subsistema de dinámica lenta

hasta que el periodo transitorio finaliza, a partir del cual el sistema completo se soluciona

únicamente a través del subsistema de dinámica lenta.

2.4 Representación del sistema a través de circuitos equivalentes

El intercambio de información en los puntos de frontera se basa en la implementación de

un circuito equivalente sencillo que logre representar el comportamiento de los

subsistemas. Para ello es necesario un circuito equivalente representando el sistema 1

visto desde los terminales del sistema 2 y viceversa. En la Figura 2-2 se muestran los

circuitos equivalentes conectados al punto de frontera que representan el sistema 1 y el

sistema 2, donde 1 y 1 representan la fuente de tensión y la impedancia del circuito

equivalente del sistema 1, mientras 𝐼𝐶 y 2 representan la fuente de corriente y la

impedancia del circuito equivalente del sistema 2.

Figura 2-2: Representación de los circuitos equivalentes usados en simulación híbrida

(tomada de [1])


de potencia

Para el subsistema de dinámica lenta, 𝐼𝐶 y 2 componen el circuito equivalente del

sistema 2. La impedancia equivalente 2 puede ser representada de manera arbitraria

considerando que la corriente de la fuente 𝐼𝐶 puede ser modificada para entregar al

sistema 1 el flujo de potencia correcto. De acuerdo con [2], para evitar una posible

inestabilidad numérica, 2 se puede estimar de los resultados del flujo de carga inicial,

valor que se mantiene constante a lo largo de la simulación.

Para el subsistema de dinámica rápida, el equivalente del sistema 1 está conformado por

una fuente de tensión 1 y una impedancia 1. Una simplificación de 1 consiste en una

impedancia serie R-L, representando el equivalente a la frecuencia fundamental del

sistema 1. El valor de 1 se puede derivar de un análisis de flujo de carga y cortocircuito

antes del cambio de topología en el nodo de frontera.

De acuerdo con lo anterior, de un análisis de flujo de carga inicial (previo a cualquier

perturbación del sistema) se puede conocer la tensión y la corriente en el nodo de

frontera. De manera similar, de un análisis de cortocircuito se puede determinar la

corriente de falla en el nodo de frontera. En la Figura 2-3 (a) y (b) se presenta el circuito

utilizado para estimar el flujo de carga y la corriente de cortocircuito en el nodo de

frontera.

Figura 2-3: Representación flujo de carga y cortocircuito (tomado de [1])

(a) (b)


Considerando que la impedancia y la tensión equivalente de Thevenin (1 y 1), pueden

obtenerse de las ecuaciones de flujo de carga y cortocircuito, del circuito presentado en

la Figura 2-3(a) se obtiene la ecuación:

1 = 𝐼1 + (2.1)

Del circuito presentado en la Figura 2-3(b) se obtiene la ecuación:

1 = 𝐼1 (2.2)

Combinando las ecuaciones (2.1) y (2.2), se obtiene la impedancia de Thevenin como se

muestra a continuación:

1 =

𝐼 − 𝐼

(2.3)

Con 1 conocida a partir del análisis anterior, a través de las ecuaciones (2.1) ó (2.2) se

obtiene 1.

Es importante indicar que aunque durante un evento transitorio la impedancia de las

máquinas sincrónicas en el sistema 1 puede cambiar, la impedancia 1 puede ser

representada constante, variando únicamente 1.

Dado que en los subsistemas de dinámica rápida la representación de la impedancia

equivalente no es solo a la frecuencia fundamental, se han estudiado modelos para

representar las impedancias equivalentes con frecuencias armónicas. En [2] se presenta

la discusión de este tema el cual no será abordado en este trabajo.

Considerando que 1 y 2 son constantes y conocidas para todo el periodo de

simulación, es necesario determinar para cada paso de simulación los valores de las

fuentes 1 e 𝐼𝐶. Esta información puede ser conocida a partir de algún conjunto de

parámetros entre los cuales se encuentran la tensión, la corriente, la potencia activa, la

potencia reactiva y el ángulo de la potencia en el nodo de frontera. En [2] el voltaje, la

corriente y el ángulo son los parámetros seleccionados para estimar los valores de estas


de potencia

fuentes. En el siguiente numeral se expone la implementación matemática de la

simulación híbrida considerando lo anterior.

2.5 Implementación de los circuitos equivalentes

Para completar la construcción de los circuitos equivalentes, es necesario obtener los

valores de 1 e 𝐼c. Partiendo de la Figura 2-2, es el voltaje en la frontera e 𝐼1 es la

corriente a través de la misma interfaz, la cual es asumida en la dirección mostrada. A

partir de 𝑉 e 𝐼1 se pueden calcular las fuentes de corriente y tensión de los circuitos

equivalentes como se presenta a continuación.

2.5.1 Cálculo de 𝐜 en el subsistema de dinámica lenta

De la simulación del subsistema de dinámica rápida se puede conocer la corriente, la

tensión y el ángulo entre ellos en el nodo de frontera. Esta información es usada para

modificar la fuente de corriente 𝐼c del circuito equivalente del sistema 2 usado en el

subsistema de dinámica lenta. De acuerdo con [2], la actualización de 𝐼c puede ser

calculada de la siguiente forma. De la Figura 2-2 se tiene:

1 = 𝐼11 + V (2.4)

V = 𝐼22 (2.5)

𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼c (2.6)

Remplazando 𝐼2 de la ecuación (2.6) en (2.5) se obtiene:

V = 𝐼12 + 𝐼c2 (2.7)

Considerando la forma fasorial de la ecuación (2.4) se obtiene:

E1 = I1Z1∠(𝜃𝐼1 + 𝜃𝑧1) + 𝑉∠𝜃𝑉

= I1Z1 cos(𝜃𝐼1 + 𝜃𝑧1) + 𝑗I1Z1 sin(𝜃𝐼1 + 𝜃𝑧1

) + 𝑉 cos 𝜃𝑉 + 𝑗𝑉 sin 𝜃𝑉

(2.8)

Teniendo en cuenta que el ángulo del factor de potencia Ø entre el voltaje y la corriente

es conocido, 𝜃𝐼1 puede ser expresado como se indica:

𝜃𝐼1 = 𝜃𝑉 − ∅ (2.9)


De la ecuación (2.8):

E1 = I1Z1 cos(𝜃𝑉 + 𝛽) + 𝑗I1Z1 sin(𝜃𝑉 + 𝛽) + 𝑉 cos 𝜃𝑉 + 𝑗 sin𝜃𝑉 = I1Z1(cos𝜃𝑉 cos𝛽 − sin 𝜃𝑉 sin𝛽) + 𝑉 cos 𝜃𝑉 + 𝑗[I1Z1(sin𝜃𝑉 cos𝛽 + cos 𝜃𝑉 sin𝛽) + 𝑉 sin 𝜃𝑉]

(2.10)

Donde 𝛽 = 𝜃𝑍1

− ∅

Si E1 = E1r + 𝑗E1, comparando únicamente los términos reales:

E1𝑟 = (I1Z1 cos𝛽 + 𝑉) cos𝜃𝑉 + (−(I1Z1 sin 𝛽) sin𝜃𝑉) (2.11)

Como 1 es conocida y constante en todo el periodo de simulación, y del subsistema de

dinámica rápida se pueden conocer las magnitudes de los valores de 𝑉, I1 y el ángulo ∅ y

por lo tanto 𝛽, solo falta conocer 𝜃𝑉 . 𝐸1 puede ser calculada a partir de la ecuación (2.4),

con Z1 conocida y los valores de corriente (I1) y tensión (𝑉) obtenidos de la simulación del

paso anterior en el subsistema de dinámica lenta.

Considerando la siguiente relación trigonométrica:

𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sin 𝑥 = √𝐴2 + 𝐵2 cos(𝑥 ± ψ) (2.12)

Donde:

ψ = 𝑡𝑎𝑛−1[±𝐵

𝐴]

(2.13)

𝐴 = I1Z1 cos𝛽 + 𝑉 (2.14)

𝐵 = −I1Z1 sin𝛽 (2.15)

𝑥 = 𝜃𝑉 (2.16) De la ecuación (2.11) y usando la relación trigonométrica previamente expuesta, se

obtiene el ángulo del voltaje 𝜃𝑉 del subsistema de dinámica lenta:

𝜃𝑉 = cos−1 [𝐸1𝑟

√𝐴2+𝐵2] − ψ (2.17)

ψ = tan−1 [−𝐵

𝐴]

(2.18)


de potencia

Con 𝜃𝑉 conocido, 𝜃𝐼1 se puede calcular usando la ecuación (2.9), y ahora es posible

determinar el valor de la fuente de corriente 𝐼c del equivalente del sistema 2 en el

subsistema de dinámica lenta a partir de la ecuación (2.7):

c =V

Z2∠(θV − θ𝑧2

) − 𝐼1∠𝜃𝐼1 (2.19)

2.5.2 Cálculo de 𝟏 en el subsistema de dinámica rápida

De manera similar, la información del sistema 1 obtenida a través del subsistema de

dinámica lenta puede ser usada para calcular la fuente de tensión E1 que será usada en

el subsistema de dinámica rápida. Conociendo la corriente, la tensión y el ángulo entre

ellos en el nodo de frontera del subsistema de dinámica lenta, a través de un análisis

similar al presentado en el numeral 2.5.1, el ángulo del voltaje 𝜃𝑉 del subsistema de

dinámica rápida puede ser calculado como se indica a continuación:

θ𝑣 = cos−1 [𝐼𝑐𝑟

√𝐶2+𝐷2] − ψ (2.20)

Donde 𝐼𝑐𝑟 es la parte real de la corriente 𝐼c , con:

𝐶 =𝑉

𝑍2cos θ𝑧2

− 𝐼1 cos∅ (2.21)

𝐷 =𝑉

𝑍2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑧2

− 𝐼1 𝑠𝑖𝑛 ∅ (2.22)

∅ = 𝜃𝑉 − θ𝐼1 (2.23)

ψ = tan−1 [−𝐷

𝐶] (2.24)

Conociendo el ángulo del voltaje 𝜃𝑉, a partir de la ecuación (2.23) se puede obtener el

ángulo de la corriente θ𝐼1.

Con 𝜃𝑉, 𝜃𝐼1 , 𝑉 e 𝐼1 conocidos ahora es posible determinar el valor de la fuente de tensión

E1 del equivalente del sistema 1 en el subsistema de dinámica rápida a partir de la

ecuación (2.4).


2.6 Protocolo de intercambio de información

Considerando que una de las grandes ventajas de la simulación híbrida es poder separar

un sistema en porciones y cada uno de ellos ejecutarlos a diferentes pasos de tiempo, el

intercambio de información debe ser compartido en puntos apropiados a lo largo del

periodo de simulación. De acuerdo con la referencia [2], el intercambio de información

entre los subsistemas de dinámicas lentas y rápidas se puede llevar a cabo de tres

maneras diferentes, de las cuales en este trabajo solo se implementaron dos,

presentadas en los numerales 2.6.1 y 2.6.2. La alternativa 3 es la más costosa desde el

punto de vista computacional ya que requiere de un proceso iterativo para compartir

información entre los subsistemas particionados. Información detallada de esta

metodología se puede encontrar en [2].

Adicionalmente en [2] se propone una metodología adicional desarrollada por el autor, la

cual también será implementada en este trabajo y es descrita en el numeral 2.6.3. A

continuación, se presentan las metodologías de intercambio de información en los nodos

de frontera.

2.6.1 Metodología 1 de intercambio de información

En la Figura 2-4 se presenta la metodología 1 de intercambio de información en la

frontera, para la cual la transferencia se realiza con la información obtenida de la

simulación ejecutada en el paso de tiempo anterior al de simulación actual. Por

simplicidad se asume que la longitud del paso de tiempo del subsistema de dinámica

lenta es igual a la longitud de un periodo de la señal fundamental, tiempo en el que se

realiza el intercambio de información.


de potencia

Figura 2-4: Metodología 1 de intercambio de información (tomado de [1])

En la Figura 2-4 se muestra la secuencia que sigue la metodología 1 para el

procedimiento de intercambio de información. La marca 1 representa el envío de

información del sistema lento al rápido para actualizar el circuito equivalente del sistema

1 visto desde el subsistema solucionado a través de la aproximación EMT, la cual

corresponde a la obtenida por el subsistema de dinámica lenta en la simulación del

periodo anterior. De la misma manera, la marca 2 representa el envío de información del

sistema rápido al lento para actualizar el circuito equivalente del sistema 2 usado por el

subsistema solucionado a través de la aproximación TS, la cual corresponde a la

obtenida por el subsistema de dinámica rápida en la simulación del periodo anterior. Una

vez ambos equivalentes son actualizados de acuerdo con el procedimiento descrito en el

numeral 2.5, el subsistema solucionado a través de la aproximación EMT es ejecutado

por varios pasos de tiempo durante un ciclo de la señal fundamental (marca 3) y de la

misma forma el subsistema solucionado a través de la aproximación TS es ejecutado

para el mismo periodo (marca 4). Una vez el subsistema de dinámica lenta alcanza el de

dinámica rápida, el proceso vuelve a comenzar por un nuevo ciclo (marca 5) hasta

completar el tiempo máximo de simulación.



En la Figura 2-5 se muestra que la información que se transfiere del subsistema

solucionado a través de la aproximación TS al EMT corresponde a la obtenida en el ciclo

anterior al de simulación actual, sin embargo la información del subsistema solucionado a

través de la aproximación EMT al TS se realiza en el ciclo de simulación actual.

Figura 2-5: Metodología 2 de intercambio de información (tomado de [1])

La Figura 2-5 muestra la secuencia que sigue el método 2 para el proceso de intercambio

de información. La marca 1 representa el envío de información del sistema lento al rápido

para actualizar el circuito equivalente del sistema 1 del subsistema solucionado a través

de la aproximación EMT, la cual corresponde a la obtenida por el subsistema de

dinámica lenta en la simulación del periodo anterior. Una vez el equivalente del sistema 1

es actualizado de acuerdo con el procedimiento descrito en el numeral 2.5, el subsistema

solucionado a través de la aproximación EMT es solucionado por varios pasos de tiempo

durante un ciclo de la fundamental (marca 2). Posteriormente, el sistema rápido envía

información del periodo actual al sistema lento para actualizar el circuito equivalente del

sistema 2 del subsistema solucionado a través de la aproximación TS (marca 3). Una vez

el circuito equivalente del sistema 2 es actualizado, el subsistema solucionado a través

de la aproximación TS es ejecutado por un periodo de la fundamental (marca 4). Cuando

el subsistema de dinámica lenta alcanza el de dinámica rápida, el proceso vuelve a

comenzar por un nuevo ciclo (marca 5) hasta completar el tiempo máximo de simulación.


de potencia

De acuerdo con [2], los sistemas lentos normalmente representados por modelos

electromecánicos, presentan una dinámica relativamente lenta frente a perturbaciones en

el sistema eléctrico de potencia debido a la naturaleza de las máquinas rotativas, por lo

que asumir que su circuito equivalente usado en la simulación híbrida sea actualizado

con la información del periodo anterior al de simulación actual es una aproximación

adecuada. Por otro lado, resulta adecuado y razonable asumir que los subsistemas

modelados con la aproximación EMT, los cuales presentan respuestas más rápidas

frente a perturbaciones en el sistema, sean actualizados con la información del periodo

actual de simulación. Por lo anterior, el método presentado en la Figura 2-5(b), se

considera adecuado tenido en cuenta que al no ser iterativo es económico desde el punto

de vista computacional y conveniente por la naturaleza de los sistemas que

intercambiarán información.


En [2] se desarrolla también una metodología que logra combinar los métodos descritos

en los numerales 2.6.1 y 2.6.2, cuya diferencia con éstos radica en que en este último se

considera que el paso de simulación del sistema lento debe ser menor al periodo de la

señal fundamental y que ante una falla, el método de intercambio presenta una variación

respecto al proceso durante condiciones normales de operación. Este protocolo de

intercambio de información se muestra en la Figura 2-6 y Figura 2-7, el primero usado

para intercambiar información en condiciones normales de operación y el segundo usado

para el intercambio de información durante perturbaciones del sistema.


Figura 2-6: Metodología 3 de intercambio de información propuesto por Anderson para

condiciones normales de operación (tomado de [1])

En la Figura 2-6 se muestra la secuencia que sigue el método para el proceso de

intercambio de información con la variación realizada en [2]. La marca 1 representa el

envío de información del subsistema de dinámica lenta al rápido para actualizar el circuito

equivalente del sistema 1 en el subsistema de dinámica rápida. Luego, el subsistema de

dinámica rápida solucionado a través de la aproximación EMT se ejecuta por varios

pasos de tiempo durante medio periodo de la señal fundamental lo cual es mostrado con

la flecha marcada como 2. La información del último periodo de simulación es procesada

y enviada desde el subsistema de dinámica rápida al sistema 1 para alimentar el circuito

equivalente del sistema 2, lo cual se indica a través de la flecha marcada como 3; esta

información enviada corresponde a una ventana de tiempo de medio ciclo antes y medio

ciclo después desde donde comienza el tiempo de simulación del subsistema de

dinámica lenta solucionado a través de la aproximación TS, lo cual es indicado por la

flecha marcada con un 4. En este punto ya se ha actualizado nuevamente la información

del sistema 1 para ser enviada a su circuito equivalente en el subsistema de dinámica

rápida, lo cual se ha marcado con la flecha 5 y se repiten nuevamente los pasos

indicados previamente hasta que se presente una contingencia en el sistema de

potencia.

En la Figura 2-7 se muestra la secuencia numérica de la segunda parte del método

propuesto por Anderson en [2], cuando en el sistema se presenta una perturbación.


de potencia

Figura 2-7: Método de intercambio de información propuesto por Anderson para

condiciones de falla (tomado de [1])

En el instante de falla, el subsistema de dinámica lenta envía información de las variables

eléctricas en la frontera al circuito equivalente del sistema 1 en el subsistema de

dinámica rápida. Como en este punto no se ha enviado información de la nueva

condición de falla del sistema, se ejecuta el subsistema de dinámica rápida solucionado a

través de la aproximación EMT considerando la perturbación del sistema lo cual se

marca con la flecha 2 y posteriormente con la información obtenida en un periodo

completo de la señal fundamental se envía información de la aproximación EMT al

circuito equivalente del sistema 2 (flecha marcada con el número 3). La condición de falla

es ahora considerada en el subsistema de dinámica lenta, el cual es ejecutado durante

un periodo de la señal fundamental hasta alcanzar nuevamente el tiempo en que se

encuentra el subsistema de dinámica rápida, lo cual es representado con la flecha 4. En

este punto se activa nuevamente el protocolo descrito para la Figura 2-6 hasta que se

presente una nueva perturbación.

Es importante indicar que para las tres metodologías anteriormente expuestas, la

información transferida desde el subsistema de dinámica rápida (EMT) al subsistema de

dinámica lenta (TS) para actualizar el circuito equivalente del sistema 2 requiere de un

proceso de extracción de la onda a la frecuencia fundamental a partir de señales

generalmente distorsionadas y desbalanceadas. Este proceso de extracción puede


realizarse a partir de métodos como la aproximación RMS, transformada de Fourier o un

procedimiento conocido como “ajuste de curva” que permite obtener información de la

frecuencia fundamental basado en la técnica del error de mínimos cuadrados [2]. En este

trabajo se utilizó el último método, el cual es indicado por extenso en el Anexo 1.

2.7 Resumen

De acuerdo con lo indicado entre los numerales 2.3 y 2.6, la simulación híbrida consiste

en subdividir un sistema eléctrico de tal forma que éste pueda ser estudiado

completamente y de manera simultánea, dependiendo de la naturaleza de los elementos

que lo componen, con diferentes pasos de simulación. Tomando como ejemplo la

Figura 2-8, el sistema de potencia fue dividido en dos porciones. La primera parte

compuesto por el sistema 1 y la segunda parte por el sistema 2. La simulación híbrida

permite ejecutar el sistema 1 a través de un subsistema de dinámica lenta (con un paso

de simulación largo o mayor al del sistema 2), mientras que el sistema 2 es ejecutado a

través de un subsistema de dinámica rápida (con un paso de simulación corto o mucho

menor al del sistema 1). Ambos sistemas se mantienen actualizados de lo que ocurre con

su contraparte (denominado también intercambio de información) a través de un circuito

equivalente cuya información es enviada por el modelo detallado del sistema que

representan.


de potencia

Figura 2-8: Representación de la metodología de simulación híbrida

3. Resultados

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos con el algoritmo de simulación

híbrida desarrollado en MATLAB [27] como parte del alcance de este trabajo, el cual

permitió observar el comportamiento y la respuesta de fenómenos transitorios

considerando paralelamente sistemas AC de dinámicas lentas y de dinámicas rápidas.

Se presentarán cinco casos de estudio simples en los cuales se han estudiado

respectivamente circuitos RLC monofásicos, RLC trifásicos, RLC trifásicos con línea de

transmisión monofásica, trifásicos con línea de transmisión acoplada y finalmente un

circuito compuesto por una máquina sincrónica conectada a una fuente de tensión ideal a

través de circuitos RLC con línea de transmisión monofásica. Para la validación de los

resultados, éstos fueron comparados con los obtenidos a través del programa ATP/EMTP

[26] el cual utiliza la metodología tradicional de solución EMT.

3.1 Circuito monofásico RLC

El primer caso utilizado para validar la metodología de simulación híbrida es el circuito

RLC presentado en la Figura 3-1, el cual está conformado por dos subsistemas; el

primero denominado “sistema 1” constituido por una fuente de tensión y una impedancia

RL, y el segundo denominado “sistema 2” conformado por una fuente de tensión, una

impedancia RL, un capacitor en derivación y una resistencia que sirve de enlace en el

nodo de frontera entre el sistema 2 y el sistema 1. Posterior al tiempo inicial de

simulación, el sistema 2 sufre un cambio en su topología y una resistencia es conectada

a través de un interruptor ideal en el nodo de frontera.

54 Implementación de una metodología de simulación híbrida para el estudio de modelos electromagnéticos y electromecánicos en sistemas eléctricos de

potencia

Figura 3-1: Circuito monofásico RLC

En la Tabla 3-1 se presentan los valores de los parámetros del circuito de la Figura 3-1.

Tabla 3-1: Parámetros del circuito monofásico RLC.

Sistema Descripción Valor Unidad

1

E1 1 ∠0° V

R1 100 Ω

L 1,0 mH

2

E2 2 ∠0° V

R1 1,0 Ω

R2 0,1 Ω

R3 1,0 Ω

L 1,0 mH

C 10 μF

Para la simulación del circuito RLC monofásico se consideraron condiciones iniciales, las

cuales fueron obtenidas a través de un flujo de carga inicial a partir del cual se calcularon

las impedancias de cada uno de los circuitos equivalentes de los subsistemas modelados

las cuales son mostradas a continuación:

1 = 100 + 0,377j Ω

2 = 1,1003 + 0,3775j Ω

Sistema 1 Sistema 2

R2

E1 E2

R L

C

L R1

R3

Interruptor

Resultados 55

Se consideró además que en el instante t =0,05 s, en el sistema ocurre un cambio en su

topología (conexión de un elemento resistivo R3 en el nodo de frontera) y que el sistema

permanece con dicho elemento hasta alcanzar el tiempo máximo de simulación.

En la Figura 3-2 se presenta la tensión en la frontera medida por el subsistema de

dinámica lenta y el subsistema de dinámica rápida a través del protocolo de intercambio

de información denominado en este documento como metodología 1 descrita en el

numeral 2.6.1. Aunque de acuerdo con la referencia [2], en esta metodología el

intercambio de información se propone llevarse a cabo cada ciclo de la señal

fundamental, en este trabajo se realizó cada medio ciclo. Los resultados son

contrastados con el programa de simulación ATP-EMTP como se muestra en la siguiente

figura.


circuito RLC monofásico

En la Figura 3-2 puede observarse que la tensión en la frontera del circuito mostrado en

la Figura 3-1 obtenida a partir del subsistema de dinámica rápida coincide con la obtenida

con el programa de simulación ATP usado para validar los resultados, y que la tensión

obtenida con el subsistema de dinámica lenta presenta un comportamiento relativamente

similar al de dinámica rápida desde el punto de vista de la magnitud de la tensión en

cada instante donde se comparte información con el otro subsistema (cada medio ciclo).


potencia





intercambio de información se realiza cada ciclo de la señal fundamental, en este trabajo

se realizó cada medio ciclo. Los resultados son contrastados con el programa de

simulación ATP-EMTP como se muestra en la siguiente figura.



Como se evidenció para la metodología 1, de la Figura 3-3 puede observarse que la

tensión en la frontera obtenida a partir del subsistema de dinámica rápida coincide con la

obtenida con el programa de simulación ATP, y que la tensión obtenida con el

subsistema de dinámica lenta presenta un comportamiento relativamente similar al de

dinámica rápida desde el punto de vista de la magnitud de la tensión en cada instante

donde se comparte información con el otro subsistema (cada medio ciclo).




Resultados 57

numeral 2.6.3. Los resultados son contrastados con el programa de simulación ATP-

EMTP como se muestra en la siguiente figura.



Como se evidenció para las dos primeras metodologías, de la Figura 3-4 puede

observarse que la onda de tensión en la frontera obtenida a partir del subsistema de

dinámica rápida coincide con la obtenida con el programa de simulación ATP, y que la

tensión obtenida con el subsistema de dinámica lenta presenta un comportamiento

relativamente similar al de dinámica rápida desde el punto de vista de la magnitud de la

tensión en cada instante donde se comparte información con el otro subsistema (cada

medio ciclo).

En la Figura 3-5 y Figura 3-6 se presenta de manera comparativa la tensión en el nodo

de frontera medida por los subsistemas de dinámica lenta y dinámica rápida

respectivamente, considerando las tres metodologías de intercambio de información

implementadas en este trabajo.


potencia


metodologías para el circuito RLC monofásico

De la Figura 3-5 se concluye que la tensión en la frontera medida por el subsistema de

dinámica lenta para las tres metodologías de intercambio de información es diferente

únicamente en la vecindad del instante donde ocurre el cambio en la topología del

sistema eléctrico.


metodologías para el circuito RLC monofásico

Resultados 59

De la Figura 3-6, respecto a la implementación de las tres metodologías de intercambio

de información, se puede concluir que no se evidencian diferencias en la señal de tensión

en la frontera medida por el subsistema de dinámica rápida.

3.2 Circuito trifásico RLC

Similar al caso presentado en el numeral 3.1, se desarrolló en Matlab un circuito RLC

trifásico presentado en la Figura 3-7, el cual está conformado por dos subsistemas; el

primero denominado “sistema 1” constituido por una fuente de tensión y una impedancia

RL acoplada, y el segundo denominado “sistema 2” conformado por tres circuitos

monofásicos independientes alimentados por una fuente de tensión, y cada uno

conformado por una impedancia RL, un capacitor en derivación y una resistencia que

sirve de enlace en los tres nodos de frontera entre el sistema 2 y el sistema 1. Posterior

al tiempo inicial de simulación, uno de los circuitos monofásicos del sistema 2 sufre un

cambio en su topología y una resistencia es conectada en el nodo de frontera.

Figura 3-7: Circuito trifásico RLC

Sistema 2

Sistema 1

R2

E1 E2 R L

C

L R1

R3

R2

C

L R1

R2

C

L R1

Interruptor


potencia

En la Tabla 3-2 se presentan los valores de los parámetros del circuito de la Figura 3-7.

Tabla 3-2: Parámetros del circuito monofásico RLC.


1

[E1] [1 ∠0°

1 ∠240°1 ∠120°

] V

[R] [1,223 1,223 1,2231,223 1,223 1,2231,223 1,223 1,223

] Ω

[L] [3,5 1,0 1,01,0 3,5 1,01,0 1,0 3,5

] mH

2

[E2] [2 ∠240° 2 ∠120° 2 ∠0°

] V

R1 1 Ω

R2 0,1 Ω

R3 1 Ω

L 1 mH

C 10 μF

Para el circuito RLC trifásico se consideró la energización simultánea de las fuentes de

tensión en el tiempo inicial de simulación. Se consideró además que en el instante

t =0,05 s, en el sistema ocurre un cambio en su topología (conexión de un elemento

resistivo R3 en uno de los circuitos monofásicos asociados al sistema 2 en el nodo de

frontera) y que el sistema permanece con dicho elemento hasta alcanzar el tiempo

máximo de simulación.

Las impedancias obtenidas para cada uno de los circuitos equivalentes de los

subsistemas modelados son mostradas a continuación:

1𝒔𝒆𝒄 𝟎 = 3,669 + 2,0735j [Ω] (Impedancia equivalente de secuencia cero del sistema 1)

1𝒔𝒆𝒄+ = 0,0 + 0,9425j [Ω] (Impedancia equivalente de secuencia positiva del sistema 1)

1𝒔𝒆𝒄− = 0,0 + 0,9425j [Ω] (Impedancia equivalente de secuencia negativa del sistema 1)

Resultados 61

2 = 1,1003 + j0,3775 Ω (Para cada circuito monofásico del sistema 2)





intercambio de información se realiza cada ciclo de la señal fundamental, en este trabajo

se realizó cada medio ciclo. Los resultados son contrastados con el programa de



circuito RLC trifásico

En la Figura 3-8 puede observarse que la tensión de la fase A en la frontera obtenida a

partir del subsistema de dinámica rápida coincide con la obtenida con el programa de

simulación ATP, y que la tensión obtenida con el subsistema de dinámica lenta presenta

un comportamiento relativamente similar al de dinámica rápida desde el punto de vista de

la magnitud de la tensión en cada instante donde se comparte información con el otro

subsistema (cada medio ciclo).

En la Figura 3-9 se presenta el resultado de las tensiones de las fases A, B y C medidas

en el nodo de frontera a partir del subsistema de dinámica rápida donde puede


potencia

observarse un comportamiento adecuado a lo largo del periodo de simulación

manteniéndose el desfase de 120° entre las tensiones en los periodos de estado estable

y evidenciándose perturbaciones en la forma de onda ante la energización del sistema y

ante cambios en la topología de la red.


metodología 1 para el subsistema de dinámica rápida

En la Figura 3-10 se presenta el resultado de las tensiones de las fases B y C medidas

en el nodo de frontera a partir del subsistema de dinámica lenta. Se observa que a

diferencia de los resultados mostrados en la Figura 3-9, donde para la fase A se

evidencia un comportamiento relativamente similar al de dinámica rápida desde el punto

de vista de la magnitud de la tensión en cada instante donde se comparte información

con el otro subsistema, para las fases B y C la condición es diferente. Este

comportamiento se debe considerar normal partiendo del hecho de que la actualización

de los equivalentes de estas fases se hace cada medio ciclo de la fase A. Lo anterior

sugiere que sería idóneo que el intercambio de información se realizara en ciclos

diferentes para cada una de las fases, lo que en contraparte implicaría un mayor costo

computacional en la solución.

Resultados 63


metodología 1 para el subsistema de dinámica lenta

En este caso de simulación no se consideraron las metodologías 2 y 3, teniendo en

cuenta que para el caso presentado en el numeral 3.1 se obtuvieron resultados similares

en las tres metodologías.

3.3 Sistema trifásico con líneas monofásicas

Similar al caso presentado en el numeral 3.2, se desarrolló en Matlab un circuito RLC

trifásico pero está vez se incluyeron líneas de transmisión monofásicas. El circuito es

presentado en la Figura 3-11, el cual está conformado por dos subsistemas; el primero

denominado “sistema 1” constituido por una fuente de tensión y una impedancia RL

acoplada, y el segundo denominado “sistema 2” conformado por tres circuitos

monofásicos independientes alimentados por una fuente de tensión, y cada uno

conformado por una resistencia asociada a la fuente de alimentación, una línea de

transmisión, una impedancia RL, un capacitor en derivación y una resistencia que sirve

de enlace en los tres nodos de frontera entre el sistema 2 y el sistema 1. Posterior al

tiempo inicial de simulación, uno de los circuitos monofásicos del sistema 2 sufre un

cambio en su topología y una resistencia es conectada en el nodo de frontera.


potencia

Figura 3-11: Sistema trifásico con líneas monofásicas

Para el circuito RLC trifásico se consideró la energización simultánea de las fuentes de

tensión en el tiempo inicial de simulación. Se consideró además que en el instante

t =0,05 s, en el sistema ocurre un cambio en su topología (conexión de un elemento

resistivo R3 en uno de los circuitos monofásicos asociados al sistema 2 en el nodo de

frontera) y que el sistema permanece con dicho elemento hasta alcanzar el tiempo


Las impedancias de cada uno de los circuitos equivalentes de los subsistemas

modelados son mostradas a continuación:





Sistema 2

Sistema 1

Interruptor

E1 RL

R1

R4

C

R2 L

R1 R3

E2 C

C

R3

R3 R1 R2 L

R2 L

Línea

monofásica

Resultados 65

En la Tabla 3-2 se presentan los valores de los parámetros del circuito de la Figura 3-11

Tabla 3-3: Parámetros circuito trifásico RLC con líneas de transmisión monofásicas


1

[E1] [1 ∠0°

1 ∠240°1 ∠120°

] V

[R] [1,223 1,223 1,2231,223 1,223 1,2231,223 1,223 1,223

] Ω

[L] [3,5 1,0 1,01,0 3,5 1,01,0 1,0 3,5

] mH

2

[E2] [2 ∠240° 2 ∠120° 2 ∠0°

] V

R1 1 Ω

R2 0,1 Ω

R3 1 Ω

R4 1 Ω

L 1 mH

C 10 μF

Impedancia característica

(Línea) 500 Ω

Velocidad (Línea)

300000000 m/s

Longitud (Línea)

25000 m



de información denominado en este documento como metodología 1. Los resultados son


figura.


potencia

Figura 3-12: Resultado de la tensión en la frontera usando metodología 1 para el

circuito RLC trifásico con líneas de transmisión monofásicas

En la Figura 3-12 puede observarse que la onda de tensión en la frontera del circuito

mostrado en la Figura 3-11 obtenida a partir del subsistema de dinámica rápida coincide

con la obtenida con el programa de simulación ATP usado para validar los resultados, y

que la tensión obtenida con el subsistema de dinámica lenta presenta un comportamiento



medio ciclo).





figura.

Resultados 67



Como se evidenció para la metodología 1, en la Figura 3-13 también puede observarse

que la tensión en la frontera obtenida a partir del subsistema de dinámica rápida coincide

con la obtenida con el programa de simulación ATP, y que la tensión obtenida con el

subsistema de dinámica lenta presenta un comportamiento relativamente similar al de

dinámica rápida desde el punto de vista de la magnitud de la tensión en cada instante

donde se comparte información con el otro subsistema (cada medio ciclo).





figura.


potencia



Como se evidenció para las dos primeras metodologías, en la Figura 3-14 puede

observarse que la onda de tensión en la frontera obtenida a partir del subsistema de

dinámica rápida coincide con la obtenida con el programa de simulación ATP, y que la

tensión obtenida con el subsistema de dinámica lenta presenta un comportamiento



medio ciclo).

En la Figura 3-15 y Figura 3-16 se presenta de manera comparativa la tensión en el nodo

de frontera medida por los subsistemas de dinámica lenta y dinámica rápida

respectivamente, considerando las tres metodologías de intercambio de información

implementadas en este trabajo.

Resultados 69


metodologías para el circuito RLC trifásico con líneas de transmisión monofásicas

Tal como se evidenció para el caso monofásico presentado en el numeral 3.1,

considerando la Figura 3-15 se concluye que la tensión en la frontera medida por el

subsistema de dinámica lenta para las tres metodologías de intercambio de información

es diferente únicamente en la vecindad del instante donde ocurre el cambio en la

topología del sistema eléctrico.


potencia


metodologías para el circuito RLC trifásico con líneas de transmisión monofásicas

En concordancia con los resultados presentados para el caso monofásico presentado en

el numeral 3.1, de la Figura 3-16, respecto a la implementación de las tres metodologías

de intercambio de información, se puede concluir que no se evidencian diferencias en la

forma de onda de tensión en la frontera medida por el subsistema de dinámica rápida.

Debido a que los resultados de las tres metodologías son similares, los casos a

continuación solo contemplan la metodología 1.

3.4 Sistema trifásico con línea polifásica acoplada

Se simuló el circuito trifásico con línea polifásica acoplada presentado en la Figura 3-17,

el cual está conformado por dos subsistemas; el primero denominado “sistema 1”

constituido por una fuente de tensión y una impedancia [RL] acoplada, y el segundo

denominado “sistema 2” conformado por una línea de transmisión polifásica acoplada y

en su extremo una resistencia con una alta impedancia para simular que la línea se

encuentra desconectada en su extremo.

Resultados 71

Figura 3-17: Sistema trifásico con línea polifásica acoplada

En la Tabla 3-2 se presentan los valores de los parámetros del circuito de la Figura 3-17

Tabla 3-4: Parámetros circuito trifásico con línea de transmisión polifásica acoplada


1

[E1] [1 ∠0°

1 ∠240°1 ∠120°

] V

[R] [1,223 1,223 1,2231,223 1,223 1,2231,223 1,223 1,223

] Ω

[L] [3,5 1,0 1,01,0 3,5 1,01,0 1,0 3,5

] mH

2

R 1000 Ω

L+ (Línea)

0,025 mH

L0 (Línea)

0,015 mH

C+ (Línea)

0,01 uF

C0 (Línea)

0,0167 uF

Longitud (Línea)

1000 M

Sistema 1 Sistema 2


potencia

Para el circuito trifásico con línea polifásica se consideró la energización de la línea de

transmisión y que posterior a ésta el sistema permanece energizado sin cambios

topológicos hasta alcanzar el tiempo máximo de simulación. Las impedancias de cada

uno de los circuitos equivalentes de los subsistemas modelados son mostradas a

continuación:




2𝒔𝒆𝒄 𝟎 = −3,669 − 2,0735j [Ω] (Impedancia equivalente de secuencia cero del sistema 2)


2𝒔𝒆𝒄− = 0,0 − 0,9425j [Ω] (Impedancia equivalente de secuencia negativa del sistema 2)

En la Figura 3-18 se presenta la tensión en la frontera (al inicio de línea) medida por el

subsistema de dinámica lenta y el subsistema de dinámica rápida a través del protocolo

de intercambio de información denominado en este documento como metodología 1. Los

resultados son contrastados con el programa de simulación ATP-EMTP como se muestra

en la siguiente figura.

Resultados 73


circuito trifásico con línea de transmisión polifásica

En la Figura 3-18 puede observarse que la onda de tensión en la frontera del circuito

mostrado en la Figura 3-17 obtenida a partir del subsistema de dinámica rápida coincide

con la obtenida con el programa de simulación ATP usado para validar los resultados, y

que la tensión obtenida con el subsistema de dinámica lenta presenta un comportamiento



medio ciclo).

En la Figura 3-19 se presenta la tensión al final de la línea por el subsistema de dinámica

rápida a través del protocolo de intercambio de información denominado en este

documento como metodología 1. Los resultados son contrastados con el programa de



potencia

Figura 3-19: Resultado de la tensión al final de la línea usando la metodología 1 para el

circuito trifásico con línea de transmisión polifásica

De acuerdo con la Figura 3-19, aunque la onda de tensión obtenida a través del

subsistema de dinámica rápida y aquella obtenida con el programa ATP/EMTP no son

exactamente iguales, es posible evidenciar un comportamiento similar entre estas dos

señales comparadas, y por lo tanto se puede concluir que con la metodología de

simulación híbrida se obtienen resultados aceptables para el caso estudiado.

En este caso de simulación no se consideraron las metodologías 2 y 3, teniendo en

cuenta que para los casos presentados en el numeral 3.1 y 3.3 se obtuvieron resultados

similares en las tres metodologías.

3.5 Máquina sincrónica conectada a una fuente ideal a través de un circuito RLC

Finalmente, y considerando un caso similar al presentado en el numeral 3.2, se

implementó un circuito compuesto por una máquina sincrónica conectada a una fuente

ideal (barra infinita) a través de un circuito RLC. El diagrama unifilar del circuito es

presentado en la Figura 3-20, el cual está conformado por dos subsistemas trifásicos; el

primero denominado “sistema 1” constituido por una máquina sincrónica cuyo modelo de

simulación corresponde al descrito en el numeral 1.1.2 y el segundo denominado

“sistema 2” conformado por tres circuitos monofásicos independientes alimentados por

Resultados 75

una fuente de tensión, y cada uno conformado por una impedancia RL, un capacitor en

derivación y una resistencia que sirve de enlace en los tres nodos de frontera entre el

sistema 2 y el sistema 1. Posterior al tiempo inicial de simulación, los tres circuitos

monofásicos del sistema 2 sufren un cambio en su topología debido a la conexión de una

resistencia en el nodo de frontera.

El circuito RLC trifásico se consideró energizado antes del tiempo inicial de simulación,

además que en el instante t =2 s, en el sistema ocurre un cambio topológico (conexión de

un elemento resistivo R3 en los circuitos monofásicos asociados al sistema 2 en el nodo

de frontera) y que el sistema permanece con dicho elemento hasta alcanzar el tiempo


Figura 3-20: Diagrama unifilar máquina sincrónica conectada a fuente ideal a través de

un circuito trifásico RLC

Las impedancias de cada uno de los circuitos equivalentes de los subsistemas

modelados son mostradas a continuación:

1 = 0,12 pu (Impedancia 𝑋′′𝑑 = 𝑋′′𝑞)


Sistema 2

Sistema 1 Frontera


potencia

En la Tabla 3-2 se presentan los valores en p.u. de los parámetros del circuito de la

Figura 3-11, cuyos valores base son 1000 MVA y 400 kV.

Tabla 3-5: Parámetros de la máquina sincrónica y del circuito trifásico RLC con líneas

de transmisión monofásicas


1

𝑥𝑑 1,93 pu

𝑥𝑞 1,77 pu

𝑥′𝑑 0,23 pu

𝑥′𝑞 0,50 pu

𝑥′′𝑑 0,12 pu

𝑥′′𝑞 0,12 pu

𝑇𝑑 5,2 pu

𝑇𝑞 0,81 pu

𝑇′𝑑 2,2 pu

𝑇′𝑞 0,081 pu

𝐻 3,74 pu

𝐷 0 pu

f 50 Hz

2

[E2] [2 ∠240° 2 ∠120° 2 ∠0°

] V

R1 1 Ω

R2 0,1 Ω

R3 4 Ω

L 1 mH

C 10 μF

Los parámetros de la máquina sincrónica fueron tomados de la referencia [18].

Adicionalmente se tuvieron en cuenta las siguientes condiciones iniciales:

𝐸′𝑑 = 0,663 pu

𝐸′𝑞 = 0,749 pu

Resultados 77

𝐸′′𝑑 = 0,588 pu

𝐸′𝑞 = 0,815 pu

𝐸𝑓𝑑 = 2,68 pu

𝛿 = 44°

En la Figura 3-21 se presenta la gráfica del ángulo del rotor de la máquina sincrónica

obtenido a través de la metodología 1 de simulación híbrida. Los resultados son

contrastados con el programa de simulación Power Factory Digsilent. La gráfica superior

corresponde al resultado obtenido a través del software comercial, mientras que la

gráfica inferior muestra el resultado obtenido a través del algoritmo de simulación

implementado en Matlab.

Aunque se observan diferencias en los resultados obtenidos, es posible evidenciar que el

comportamiento del ángulo del rotor es similar en ambas simulaciones considerando que

una vez se conecta la máquina al sistema, éste presenta una serie de oscilaciones en el

tiempo previo a la variación en la topología de la red y unos instantes posteriores. Dichas

diferencias se deben en parte a que el modelo de máquina sincrónica y la técnica de

solución implementada en este trabajo no son iguales a las de Power Factory Digsilent.

Se observa además que en ambas simulaciones se presenta un incremento en el valor

del ángulo hasta el tiempo final de simulación. En Power Factory Digsilent el ángulo

alcanza un valor de aproximadamente 35°, mientras que en Matlab el ángulo alcanza los

65° aproximadamente.


potencia

Figura 3-21: Ángulo del rotor de la máquina sincrónica

En la Figura 3-22 se presentan los resultados del comportamiento de la velocidad angular

de la máquina rotativa. Se evidencia un comportamiento análogo en ambas simulaciones

teniendo en cuenta que se presentan oscilaciones similares en la velocidad angular

durante los primeros instantes de simulación y en el tiempo posterior al cambio

topológico. Adicionalmente, al final del tiempo máximo de simulación, en ambos casos la

velocidad angular se establece en aproximadamente 314 rad/s.

9,99997,99996,00004,00002,0000-0,0000 [s]

85,584

67,652

49,720

31,788

13,857

-4,0754

[deg]

DIg

SIL

EN

T

DigSILENT

Resultados 79

Figura 3-22: Velocidad angular de la máquina sincrónica

Finalmente, en la Figura 3-23 se presentan los resultados del comportamiento de la

tensión en el nodo de frontera medido por los subsistemas rápido y lento. Se puede

apreciar que los resultados son aceptables y comparables con otras simulaciones

realizadas en este trabajo.

9,99997,99996,00004,00002,0000-0,0000 [s]

320,08

317,12

314,15

311,19

308,22

305,26

[Rad/s]

DIg

SIL

EN

T

DigSILENT


potencia

Adicionalmente, los resultados fueron contrastados con el programa Power Factory

Digsilent, el cual entrega una señal RMS de la tensión. Éstos se consideran consistentes

teniendo en cuenta que previo al cambio en la topología de la red, la tensión en el nodo

de frontera se encontraba cerca del 1,0 p.u., y posterior a éste, la tensión en la frontera

se estableció en un valor cercano a los 0,8 p.u.

Figura 3-23: Tensión en la frontera sistema máquina conectada a barra infinita a través

de circuito RLC

4,99993,99993,00002,00001,0000-0,0000 [s]

1,2142

1,0332

0,8521

0,6710

0,4899

0,3088

[p.u.]

DIg

SIL

EN

T

DigSILENT

4. Conclusiones y trabajo futuro

4.1 Conclusiones

De acuerdo con los objetivos propuestos y el desarrollo de este trabajo se puede concluir

que:

Se estableció una metodología de simulación híbrida basada en la referencia [2] que

permite obtener el comportamiento de las variables eléctricas de un sistema en el cual

existen componentes que exhiben diferentes dinámicas en el tiempo, subdividiendo el

sistema eléctrico total en regiones de dinámicas lentas (pasos de tiempo largo) y de

dinámicas rápidas (pasos de tiempo cortos). Esta metodología se puede extrapolar al

estudio de fenómenos transitorios que involucran sistemas AC-DC, o AC-AC para las

cuales se desea relacionar modelos electromecánicos y electromagnéticos presentes

en un sistema eléctrico de potencia.

Se generó un algoritmo basado en simulación híbrida que permitió obtener la

respuesta de fenómenos transitorios de dinámicas lentas y dinámicas rápidas

simultáneamente, para el cual se implementaron tres metodologías diferentes para

intercambiar información en el nodo de frontera.

Se estudiaron una serie de casos con el fin de validar la metodología de simulación

híbrida y los diferentes protocolos de intercambio de información. Con base en lo

anterior, se demostró que la metodología implementada presenta resultados

comparables a los obtenidos con metodologías tradicionales de simulación y por lo

tanto se consideran válidos.

Considerando las conclusiones anteriores, el objetivo de “Implementar una

metodología de simulación híbrida que permita relacionar modelos electromecánicos y


potencia Título de la tesis o trabajo de investigación

electromagnéticos presentes en sistemas eléctricos de potencia” fue cumplido en su

totalidad.

De acuerdo con los resultados obtenidos a partir de las tres metodologías de intercambio

de información implementadas en este trabajo, no se encontraron diferencias

significativas entre las tensiones medidas en los nodos de frontera obtenidas a partir de

los subsistemas de dinámicas rápidas.

Con relación a los resultados de los subsistemas de dinámicas lentas obtenidos a partir

de las tres metodologías de intercambio de información implementadas en este trabajo,

las tensiones medidas en los nodos de frontera presentan diferencias únicamente en el

instante en que se produce un cambio en la topología del circuito, las cuales dejan de ser

significativas en instantes diferentes a éste. Este resultado es razonable considerando

que para las tres metodologías implementadas la actualización del equivalente del

sistema lento se realizó con información obtenida medio ciclo previo al tiempo actual de

simulación.

Respecto a las tres metodologías de intercambio de información implementadas en este

trabajo, la más exigente corresponde a la denominada como “Metodología 3”, debido a

que su solución requiere de un protocolo de intercambio de información para condiciones

normales de operación y otro diferente para aquellas condiciones en las que se produce

una perturbación en el sistema. Adicionalmente el equivalente del sistema rápido es

actualizado con información del tiempo actual de simulación. En contraparte, la

metodología de intercambio de información menos intensa, es la denominada como

“Metodología 1”, la cual considera únicamente un protocolo de intercambio de

información durante el periodo total de simulación y además, tanto el equivalente del

sistema lento como del rápido se actualizan con información correspondiente al paso de

tiempo anterior al de simulación actual.

Las metodologías de intercambio de información implementadas en este trabajo fueron

probadas en subsistemas con un número limitado de elementos, pero éstas podrían

extrapolarse a subsistemas de mayor complejidad.

Conclusiones y trabajo futuro 83

En la simulación híbrida se requiere implementar un modelo de estado estable que

permita obtener un flujo de carga inicial de toda la red con el objetivo de establecer las

condiciones iniciales de la simulación y obtener las impedancias de los circuitos

equivalentes de los subsistemas de dinámicas lentas y rápidas. Este proceso inicial,

como otros ya mencionados, incrementan el costo computacional de la solución.

Se encontró que aunque las impedancias de los circuitos equivalentes de los

subsistemas de dinámicas lentas y rápidas se obtienen a partir de un flujo de carga

inicial, previo a cualquier perturbación en el sistema, y que a pesar de que éstas

permanecen constantes en todo el periodo de simulación, los resultados obtenidos para

ambos subsistemas son adecuados. Esta aproximación resulta computacionalmente

eficiente, especialmente en sistemas de mayor complejidad, ya que estas impedancias

no tienen que ser actualizadas durante el periodo de simulación.

Para las tres metodologías implementadas en este trabajo, la información transferida

desde el subsistema de dinámica rápida al subsistema de dinámica lenta para actualizar

el circuito equivalente del sistema rápido es obtenida a través de un procedimiento

llamado “ajuste de curva” que permite obtener información de la frecuencia fundamental

basado en la técnica del error de mínimos cuadrados. El proceso anterior incrementa el

costo computacional de la solución en la simulación híbrida.

La solución de los modelos que representan los sistemas electromecánicos involucra

gran complejidad debido a que para éstos se debe resolver simultáneamente un conjunto

de ecuaciones algebraicas y diferenciales. Por lo anterior, la implementación de dichos

modelos en la metodología de simulación híbrida reviste gran importancia, ya que su

simplificación se traduce en una reducción en el costo computacional de la solución.

La inclusión de elementos trifásicos acoplados, como por ejemplo la línea de transmisión,

en los subsistemas analizados a través de la aproximación de simulación híbrida,

involucran transformaciones del dominio de las fases al dominio modal y viceversa,

ocasionando que el rendimiento de la solución se vea afectado.

Considerando que algunos procesos y metodologías, como las previamente

mencionadas, intensifican la solución del algoritmo de simulación híbrida, resulta



conveniente la implementación de técnicas de programación que lo hagan

computacionalmente eficiente.

4.2 Trabajo futuro

Con este trabajo se avanzó en el conocimiento local de la simulación híbrida y se

lograron establecer diferentes metodologías usadas para intercambiar información entre

los nodos de frontera de los subsistemas modelados. De acuerdo con lo anterior, se

pueden generar los siguientes trabajos futuros que complementen o mejoren la

metodología de simulación híbrida propuesta:

Comparar el costo computacional de las tres metodologías de intercambio de

información utilizadas en este trabajo, estableciendo posibles ventajas y desventajas

que tiene la implementación de cada una ellas dentro del algoritmo de simulación

híbrida.

Estudiar metodologías diferentes para realizar el intercambio de información en los

nodos de frontera entre los subsistemas con distintas dinámicas de tiempo que

puedan ser más económicas desde el punto de vista computacional.

En este trabajo se implementó un modelo de la máquina sincrónica para el estudio de

transitorios electromecánicos en sistemas eléctricos de potencia basado en el método

numérico conocido como Runge-Kutta de orden cuatro. Se propone estudiar métodos

de solución diferentes que permitan comparar el desempeño de éstos, en la

metodología de simulación híbrida implementada en este trabajo.

A. Anexo: Algoritmo de Ajuste de curva



En la referencia [2] se desarrolló un algoritmo de ajuste de curva que permite obtener

información de la frecuencia fundamental basado en la técnica del error de mínimos

cuadrados. Esta técnica se describe a continuación tal como se presenta en dicha

referencia:

Asumiendo la señal sinusoidal con una frecuencia 𝜔 en radianes por segundo y un

desfase de 𝜑 relativo a un tiempo arbitrario 𝑇0.

𝑦(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) (A. 1)

donde 𝜑 = 𝜔𝑇0 . La ecuación anterior puede ser reescrita de la siguiente forma:

𝑦(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑇0) − 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑇0) (A. 2)

Asumiendo que 𝐶1 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) y 𝐶2 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) y si 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) y 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) son

representados por las funciones 𝐹1(t) y 𝐹2(t) respectivamente, entonces:

𝑦(𝑡) = 𝐶1𝐹1(𝑡) + 𝐶2𝐹2(𝑡) (A. 3)

𝐹1(t) y 𝐹2(t) son conocidos si la frecuencia fundamental también es conocida. Sin

embargo, la amplitud y fase de frecuencia son desconocidas, por lo tanto 𝐶1 y 𝐶2 deben

ser determinados a partir de la ecuación (A. 3). Si la señal 𝑦(𝑡) es distorsionada,

entonces la desviación puede ser descrita por la función de error 𝐸 como se presenta a

continuación:

𝑥(𝑡) = 𝑦(𝑡) + 𝐸 (A. 4)

Por el método de ajuste de curva de mínimos cuadrados, el tamaño del error es medido

como la suma de del cuadrado de los valores residuales individuales de tal forma que:

𝐸 = ∑𝑥𝑖 − 𝑦𝑖2

𝑛

𝑖=1

(A. 5)

donde 𝑥𝑖 = 𝑥(𝑡0 + 𝑖𝛥𝑡) y 𝑦𝑖 = 𝑦(𝑡0 + 𝑖𝛥𝑡)

Anexo: Algoritmo de Ajuste de curva 87

de la ecuación (A. 3) se obtiene.

𝐸 = ∑𝑥𝑖 − 𝐶1𝐹1(𝑡𝑖) − 𝐶2𝐹2(𝑡𝑖)2

𝑛

𝑖=1

(A. 6)

Donde el valor residual 𝑟 en cada paso discreto es definido como:

𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝐶1𝐹1(𝑡𝑖) − 𝐶2𝐹2(𝑡𝑖) (A. 7)

En forma matricial se puede presentar:

[

𝑟1𝑟2⋮𝑟𝑛

] = [

𝑥1𝑥2

⋮𝑥𝑛

] − [

𝐹1(𝑡1) 𝐹2(𝑡1)𝐹1(𝑡2)

⋮𝐹2(𝑡2)

⋮𝐹1(𝑡𝑛) 𝐹2(𝑡𝑛)

] [𝐶1

𝐶2]

(A. 8)

o de manera más compacta:

[𝑟] = [𝑋] − [𝐹][𝐶] (A. 9)

El componente de error puede ser descrito en términos de la matriz residual como se

muestra a continuación:

𝐸 = [𝑟]𝑇[𝑟]

= [𝑟1 𝑟2 … 𝑟𝑛] [

𝑟1𝑟2⋮𝑟𝑛

]

= 𝑟12 + 𝑟2

2 + ⋯𝑟𝑛2

= [[𝑋] − [𝐹][𝐶]]𝑇[[𝑋] − [𝐹][𝐶]]

= [𝑋]𝑇[𝑋] − [𝐶]𝑇[𝐹]𝑇[𝑋] − [𝑋]𝑇[𝐹][𝐶] + [𝐶]𝑇[𝐹]𝑇[𝐹][𝐶]

(A. 10)

El error requiere ser minimizado, y por lo tanto:

𝜕𝐸

𝜕𝐶= −2[𝐹]𝑇[𝑋] + 2[𝐹]𝑇[𝐹][𝐶] = 0

[𝐹]𝑇[𝐹][𝐶] = [𝐹]𝑇[𝑋]

[𝐶] = [[𝐹]𝑇[𝐹]]−1

[𝐹]𝑇[𝑋]

(A. 11)



Si [𝐴] = [𝐹]𝑇[𝐹] y [𝐵] = [𝐹]𝑇[𝑋] entonces:

[𝐶] = [𝐴]−1[𝐵] (A. 12)

y por lo tanto:

[𝐴] = [𝐹1

𝐹2] [𝐹1 𝐹2]

= [𝐹1𝐹1(𝑡𝑖) 𝐹1𝐹2(𝑡𝑖)𝐹2𝐹1(𝑡𝑖) 𝐹2𝐹2(𝑡𝑖)

]

= [𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22]

(A. 13)

Elementos de la matriz [A] pueden ser derivados como se presenta a continuación:

𝑎11𝑛= [

𝐹1(𝑡1)⋮

𝐹1(𝑡𝑛)]

𝑇

[𝐹1(𝑡1)

⋮𝐹1(𝑡𝑛)

]

= ∑ 𝐹12(𝑡𝑖

𝑛−1

𝑖=1

) + 𝐹12(𝑡𝑛)

= 𝑎11𝑛−1+ 𝐹1

2(𝑡𝑛)

etc.

(A. 14)

Similarmente,

[𝐵] = [𝐹1(𝑡𝑖)𝑥(𝑡𝑖)𝐹2(𝑡𝑖)𝑥(𝑡𝑖)

]

= [𝑏1

𝑏2]

(A. 15)

y

𝑏1𝑛= 𝑏1𝑛−1

+ 𝐹1(𝑡𝑛)𝑥(𝑡𝑛) (A. 16)

𝑏2𝑛= 𝑏2𝑛−1

+ 𝐹2(𝑡𝑛)𝑥(𝑡𝑛) (A. 17)

A partir de estas ecuaciones, los valores de 𝐶1 y 𝐶2 pueden ser calculados

recursivamente usando datos secuenciales.

B. Anexo: Redes de dos puertos


potencia

Las redes de dos puertos se definen como circuitos conformados por un par de

terminales de entrada y salida respectivamente.

Existen diferentes tipos de redes de dos puertos. En este trabajo se utilizó una red con

parámetros híbridos H. En esta red, se eligen como variables independientes la corriente

de entrada I1 y el voltaje de salida V2, de la siguiente forma:

𝑉1 = ℎ11𝐼1 + ℎ12𝑉2 (B. 1)

𝐼2 = ℎ21𝐼1 + ℎ22𝑉2 (B. 2)

Las ecuaciones anteriores escritas matricialmente se presentan a continuación:

[𝑉1

𝐼2] = [

ℎ11 ℎ12

ℎ21 ℎ22] [

𝐼1𝑉2

]

[H]

(B. 3)

Del sistema matricial se pueden obtener los parámetros híbridos de la siguiente forma:

ℎ11 =𝑉1

𝐼1|𝑉2=0

(B. 4)

ℎ12 =𝑉1

𝑉2 |𝐼1=0

(B. 5)

Anexo: Redes de dos puertos 91

ℎ21 =𝐼2

𝐼1 |𝑉2=0

(B. 6)

ℎ22 =𝐼2

𝑉2 |𝐼1=0

(B. 7)

h11 y h21 se pueden determinar considerando el puerto de salida en corto circuito, y el

circuito alimentado a través de la fuente asociada al puerto de entrada. Se denominan

impedancia de entrada con la salida en corto circuito y ganancia de corriente con la

salida en corto circuito, respectivamente.

h22 y h12 se determinan con el puerto de entrada en circuito abierto, y el circuito

alimentado a través de la fuente asociada al puerto de entrada. Se denominan

admitancia de salida con la entrada en circuito abierto y ganancia inversa de voltaje con

la entrada en circuito abierto, respectivamente.

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potencia

Título de la tesis o trabajo de investigación

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Implementación de una metodología de simulación híbrida ...

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