Seminario Menor Arquidiocesano

Grado Once Estadstica Tercer Perodo 2015

ESPACIO MUESTRALExperimentos aleatorios. Espacio muestral.Experimentos o fenmenos aleatoriosson los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observado en la realizacin del experimento.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dnde caer, cunto tiempo tardar, etc. Es unaexperiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qu cara quedar arriba. El resultado depende del azar. Es unaexperiencia aleatoria.Suceso aleatorioes un acontecimiento que ocurrir o no, dependiendo del azar.

La vida cotidiana est plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociolgico (viajes, accidentes, nmero de personas que acudirn a un gran almacn o que se matricularn en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.Espacio muestrales el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos porE.

A la coleccin de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llamaespacio muestral.Ejemplos:En un dado, E={1,2,3,4,5,6}En una moneda, E={C,+}

Para empezar, vamos a prestar atencin a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,...

Ejercicio 1-1:Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:a. Lanzar tres monedas.b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.c. Extraccin de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.d. El tiempo, con relacin a la lluvia, que har durante tres das consecutivos.

En este apartado vamos a tratar las nociones bsicas para el tratamiento del azar y que sern necesarios para tratar el siguiente tema, en el que estudiars el concepto de probabilidad.

Azar. Imagen deArturo MandlyenFlickrLicencia Creative Commons by-nc-sa

Los comienzos del estudio matemtico del azar podemos situarlo precisamente como consecuencia del estudio de los juegos de azar. Fueron elCaballero de Meralrededor de 1651, a la vez que los matemticosFermatyPascal,los que comenzaron con un estudio exhaustivo de este tipo de problemas.Actualmente estos conceptos son aplicados prcticamente en todas las ciencias y en una gran variedad de situaciones de la vida real.No podemos siempre determinar lo que va a suceder, pero si podemos realizar un estudio de los casos posibles que pueden darse y qu posibilidades tenemos de que ocurran cada uno de ellos.

Dado. Imagen deArturo MandlyenFlickrLicencia Creative Commons by-nc-sa

Por ejemplo; si lanzamos un dado, sabemos que slo hay seis posibilidades:1,2,3,4,5o6dependiendo delazarla puntuacin obtenida.

OPERACIONES CON SUCESOSSucesos. Operaciones con sucesos.2.1. Sucesos.En elEjercicio 1.1del captulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: Salir mltiplo de 5:A={5,10,15}

Salir nmero primo:C={2,3,5,7,11,13,17}

Salir mayor o igual que 12:D={12,13,14,15,16,17,18}

Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamossucesos.Sucesode un fenmeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestralE.

Los elementos de E se llaman sucesos individuales osucesos elementales.Tambin son sucesos el suceso vaco osuceso imposible, , y el propio E,suceso seguro.Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremosS.Si E tiene un nmero finito, n, de elementos, el nmero de sucesos de E es 2n.Ejemplos: {1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. En un dado hay 26= 64 sucesos. En una moneda hay 22= 4 sucesos, que son: , {C},{+}, {C,+}Es decir, S={,{C},{+},{C,+}}

2.2. Operaciones con sucesos.Dados dos sucesos, A y B, se llaman:Unines el suceso formado por todos los elementos deAy todos los elementos deB.

Interseccines el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, deAy deB.

Diferenciaes el suceso formado por todos los elementos deAque no son deB.

Suceso contrarioEl suceso=E-Ase llama suceso contrario deA.

Dos sucesosAyB, se llamanincompatiblescuando no tienen ningn elemento comn. Es decir, cuando= (AyBsondisjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E.

De manera anloga, decimos que: El sucesose verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos. El sucesose verivica cuando se verifican simultneamenteAyB. El suceso, contrario deA, se verifica cuando no se verificaA. Dos sucesos incompatibles no se verifican simultneamente.

Ejemplo:En el experimentoE= "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:A= "sacar un nmero par".B= {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 5".

C= {4,6} = "obtener un 4 un 6".D= {2,4,6} = "obtener un 2, 4 6".

F= {1,3} = "obtener un 1 un 3".G= "obtener un mltiplo de 3".

AyDson sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales. Cest contenido enA. Luego=C, puesto que siempre que ocurre el sucesoC(sacar 4 6) ocurre el sucesoA, puesto que se obtiene un nmero par. ByCson incompatibles, ya queBC= y complementarios, al cumplirseBC=E. = "sacar un nmero par"{1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} =E. AG= {2,4,6}{3,6} = {6}, es decir, el suceso interseccin de los sucesos "sacar un nmero par" y "obtener un mltiplo de tres" es "sacar un 6". B-D=B= {1,2,3,5}{1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un nmero impar" =. CyFson incompatibles puesto queCF= .

Las operacones unin, interseccin y complementacin (contrario) verifican las propiedades:

UninInterseccin

1. Conmutativa

2. Asociativa

3. Idempotente

4. Simplificacin

5. Distributiva

6. Elemento neutro

7. Absorcin

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denominalgebras de Boole.

En el lgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas comoleyes de De Morgan: El suceso contrario de la unin de dos sucesos es la interseccin de sus sucesos contrarios:

El suceso contrario de la interseccin de dos sucesos es la unin de sus sucesos contrarios:

Ejercicio 2.1-2:Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el nmero y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un nmero primo" y B="salir un nmero cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:a. Calcula los sucesosy.b. Los sucesosAyB, son compatibles o incompatibles?.c. Encuentra los sucesos contrarios deAyB.

TECNICAS DE CONTEOA)CONCEPTO.Suponga que se encuentra al final de una lnea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nmero de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezar a contar un producto tras otro y al final informar al supervisor que son, 48, 54 u otro nmero cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta cuntas muestras o grupos ser posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?.En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezar a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las tcnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestin (el nmero de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, qu son las tcnicas de conteo?Las tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar.Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las tcnicas de conteo seran:-Cuntas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?-Cuntas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniera Qumica?, b) se desea que el presidente sea un qumico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean qumicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.-Cuntas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?Se les denomina tcnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de rbol, las que a continuacin se explicarn y hay que destacar que stas nos proporcionan la informacin detodas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.Las bases para entender el uso de las tcnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuacin se definen y se hace uso de ellos.B) PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizarpuede ser llevado a cabo de N1maneras o formas, el segundo paso de N2maneras o formas y el r-simo paso de Nrmaneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;N1x N2x ..........xNrmaneras o formasEl principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.Ejemplos:1)Una persona desea construir su casa, para lo cul considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su casa?Solucin:Considerando que r = 4 pasosN1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1N1x N2x N3x N4= 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casaEl principio multiplicativo, el aditivo y las tcnicas de conteo que posteriormente se tratarn nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.2)Cuntas placas para automvil pueden ser diseadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y nmeros, b. No es posible repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.Solucin:a.Considerando 26 letras del abecedario y los dgitos del 0 al 926 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automvil que es posible disearb.26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automvilc.1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automvild.1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automvil3)Cuntos nmeros telefnicos es posible disear, los que deben constar de seis dgitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los nmeros y es posible repetir dgitos, b. El cero no debe ir en la primera posicin y no es posible repetir dgitos, c. Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b empiezan por el nmero siete?, d. Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b forman un nmero impar?.Solucin:a.9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 nmeros telefnicosb.9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 nmeros telefnicosc.1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 nmeros telefnicosd.8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 nmeros telefnicosPRINCIPIO ADITIVO.Si se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la ltima de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevadaa cabo de, M + N + .........+ Wmaneras o formasEjemplos:1)Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?Solucin:M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora WhirpoolN = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General ElectricM = 2 x 4 x 2 = 16 manerasN = 3 x 2 x 2 = 12 manerasW = 1 x 2 x 1 = 2 manerasM + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandiaen las prximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas l tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia l tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) Cuntas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) Cuntas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.Solucin:a) V = maneras de ir a las VegasD = maneras de ir a DisneylandiaV = 3 x 2 = 6 manerasD = 3 x 4 = 12 manerasV + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandiab) V = maneras de ir y regresar a las VegasD = maneras de ir y regresar a DisneylandiaV = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 manerasD = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 manerasV + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondoCmo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.PERMUTACIONES.Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinacin y lo que es una permutacin para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinacin y cuando utilizar una permutacin al momento de querer cuantificar los elementos de algn evento.COMBINACIN Y PERMUTACION.COMBINACIN:Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.PERMUTACIN:Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacin y una permutacin, plantearemos cierta situacin.Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando as sea necesario.b) El maestro desea que se nombre a los representantes del saln (Presidente, Secretario y Tesorero).Solucin:a)Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo nico que nos interesara es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quines estn en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinacin, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo nico que nos interesa es el contenido de los mismos.b)Suponga que se han nombrado como representantes del saln a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuacin:CAMBIOSPRESIDENTE:DanielArturoRafaelDaniel

SECRETARIO:ArturoDanielDanielRafael

TESORERO:RafaelRafaelArturoArturo

Ahora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma representacin?Creo que la respuesta sera no, ya que el cambio de funcin que se hace a los integrantes de la representacin original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuestadefinitivamente sera s, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones s importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.A continuacin obtendremos las frmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que est involucrado en las frmulas que se obtendrn y usarn para la resolucin de problemas.n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........xnEjem.10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,8008!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x8=40,3206!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x6=720,etc., etc.Obtencin de frmula de permutaciones.Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.Cuntas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?Solucin:Haciendo uso del principio multiplicativo,14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concursoEsta solucin se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendramos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por ltimo tendramos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.Luego sines el total de participantes en el concurso yres el nmero de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresin anterior, entonces.14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x.......... x (n r + 1)si la expresin anterior es multiplicada por (n r)! / (n r)!, entonces= n x (n 1 ) x (n 2) x ......... x (n r + 1) (n r)! / (n r)!= n!/ (n r)!Por tanto, la frmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:Esta frmula nos permitir obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importantey solo se usen parte (r) delos n objetos con que se cuenta, adems hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.Entonces, qu frmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?Si en la frmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.nPn=n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!Como 0! = 1 de acuerdo a demostracin matemtica, entoncesnPn=n!.

REGLA DE LA PLACE

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables,equiprobables, entonces si A es un suceso, laprobabilidadde que ocurra el suceso A es:

Ejemplos1Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.Casos favorables: 1.

2En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).Casos posibles: 40.Casos favorables de ases: 4.

Casos favorables de copas: 10.

3Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:1Un nmero par.Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Casos favorables:{2, 4, 6}.

2Un mltiplo de tres.Casos favorables:{3, 6}.

3Mayor que 4.Casos favorables:{5, 6}.

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD3.1. Definicin de Probabilidad. Definicin de Probabilidad.Probabilidadde un suceso es el nmero al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el nmero de veces que se realiza el experimento crece.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idnticas condiciones el cociente entre el nmero de veces que aparece un resultado (suceso) y el nmero total de veces que se realiza el experimento tiende a un nmero fijo. Esta propiedad es conocida comoley de los grandes nmeros, establecida porJakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesin de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el nmero de realizaciones aumenta se mantiene estable.

La frecuencia relativa del sucesoA: Propiedades de la frecuencia relativa:1. 0fr(A)1 cualquiera que sea el sucesoA.2. fr() = fr(A) + fr(B)si=.3. fr(E)= 1fr()= 0.

Esta definicin presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran nmero de veces y adems siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad. Definicin axiomtica.La definicin axiomtica de probabilidad se debe aKolmogorov, quien consider la relacin entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el nmero de veces que se realiza el experimento es muy grande.SeaEel espacio muestral de cierto experimento aleatorio. LaProbabilidadde cada suceso es un nmero que verifica:1. Cualquiera que sea el sucesoA,P(A)0.2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unin es igual a la suma de sus probabilidades.=P() = P(A) + P(B).3. La probabilidad total es 1.P(E)= 1.

Definicin de Laplace.En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestralEsean equiprobables,Laplacedefine la probabilidad del sucesoAcomo el cociente entre el nmero de resultados favorables a que ocurra el sucesoAen el experimento y el nmero de resultados posibles del experimento.

Ejemplo:

Consideremos el experimento "lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado".

El espacio muestral esE= {1,X,2}.

Las probabilidades de cada uno de los sucesos son: P()= 0 P({1})= 1/3P({X})= 1/3P({2})= 1/3 P({1,2}) = P({1}) + P({2})= 1/3 + 1/3 = 2/3P({1,X})= 2/3P({2,X})= 2/3 P({1,X,2}) = P(E)= 1

3.2. Propiedades.1. P()= 1 -P( A )2. P( )= 03. SiABP( B ) = P( A ) + P()4. SiABP( A )P( B )5. SiA1, A2, ... , Ak,son incompatibles dos a dos, entonces:P( A1A2...Ak) = P( A1) + P( A2) + ... + P( Ak)

6. P() = P( A ) + P( B ) - P()7. Si el espacio muestralEes finito y un sucesos esA={x1, x2, ... , xK}, entonces:P( A ) = P( x1) + P( x2) + ... + P( xK)

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