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UNAM-ENP A L G E B R A PLANTEL 9

ING. PABLO DAVILA SILVA

UNIDAD III PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES

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Nmero real

En matemticas, los nmeros reales son aquellos que poseen una

expresin decimal e incluyen tanto a los nmeros racionales (como:

31, 37/22, 25,4) como a los nmeros irracionales, que no se pueden

expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no

peridicas, tales como: .

Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque

carentes del rigor necesario para los propsitos formales de

matemticas y otras ms complejas pero con el rigor necesario para el

trabajo matemtico formal.

Durante los siglos XVI y XVII el clculo avanz mucho aunque careca

de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba

necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones

como pequeo, lmite, se acerca sin una definicin precisa.

Esto llev a una serie de paradojas y problemas lgicos que hicieron

evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemtica,

la cual consisti de definiciones formales y rigurosas (aunque

ciertamente tcnicas) del concepto de nmero real.




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Historia

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes

alrededor del ao 1000 a.C.; alrededor del 500 a.C. el grupo de

matemticos griegos liderados por Pitgoras se dio cuenta de la

necesidad de los nmeros irracionales. Los nmeros negativos fueron

ideados por matemticos indios cerca del 600, posiblemente

reinventados en China poco despus, pero no se utilizaron en Europa

hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descart

las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba

irreales. En ese siglo, en el clculo se utilizaba un conjunto de

nmeros reales sin una definicin concisa, cosa que finalmente

sucedi con la definicin rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construccin total de los nmeros

reales exige tener amplios antecedentes de teora de conjuntos y

lgica matemtica. Fue lograda la construccin y sistematizacin de

los nmeros reales en el siglo XIX por dos grandes matemticos

europeos utilizando vas distintas: la teora de conjuntos de George

Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un




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lado, y el anlisis matemtico de Richard Dedekind (vecindades,

entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemticos lograron la

sistematizacin de los nmeros reales en la historia, no de manera

espontnea, sino utilizando todos los avances previos en la materia:

desde la antigua Grecia y pasando por matemticos como Descartes,

Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y

Weierstrass.

Evolucin del concepto de nmero

Se sabe que los egipcios y babilnicos hacan uso de fracciones

(nmeros racionales) en la resolucin de problemas prcticos. Sin

embargo, fue con el desarrollo de la matemtica griega cuando se

consider el aspecto filosfico de nmero. Los pitagricos

descubrieron que las relaciones armnicas entre las notas musicales

correspondan a cocientes de nmeros enteros, lo que les inspir a

buscar proporciones numricas en todas las dems cosas, y lo

expresaron con la mxima todo es nmero.

En la matemtica griega, dos magnitudes son conmensurables si es

posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean mltiplos

de la ltima, es decir, es posible encontrar una unidad comn para la

que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio




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pitagrico de que todo nmero es un cociente de enteros, expresaba

en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser

conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagrico se tambale ante el

problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un

tringulo rectngulo, pues no es conmensurable respecto de los

catetos. En notacin moderna, un tringulo rectngulo cuyos catetos

miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si es un nmero racional donde est reducido a sus

trminos mnimos (sin factor comn) entonces 2q=p.

La expresin anterior indica que p es un nmero par y por tanto p

tambin, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q=(2m)=4m, y

por tanto q=2p.

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un

nmero par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no

tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de

ambos).

Por tanto, la suposicin misma de que es un nmero

racional debe ser falsa.

Surgi entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagrico:

todo nmero era racional, mas la hipotenusa de un tringulo




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rectngulo issceles no era conmensurable con los catetos, lo cual

implic que en adelante las magnitudes geomtricas y las cantidades

numricas tendran que tratarse por separado, hecho que tuvo

consecuencias en el desarrollo de la matemtica durante los dos

milenios siguientes.

Los griegos desarrollaron una geometra basada en comparaciones

(proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores

numricos, usando diversas teoras para manejar el caso de medidas

inconmensurables, como la teora de proporciones de Eudoxo. As, los

nmeros irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de

la aritmtica puesto que slo podan ser tratados mediante el mtodo

de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagricos encontraron

(en notacin moderna) que si a/b es una aproximacin a entonces

p=a+2b y q=a+b son tales que p/q es una aproximacin ms precisa.

Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores nmeros que

dan una mejor aproximacin. Dado que las longitudes que expresan

los nmeros irracionales podan ser obtenidas mediante procesos

geomtricos sencillos pero, aritmticamente, slo mediante procesos

de infinitas aproximaciones, origin que durante 2000 aos la teora de

los nmeros reales fuese esencialmente geomtrica, identificando los

nmeros reales con los puntos de una lnea recta.

Nuevos avances en el concepto de nmero real esperaron hasta los

siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notacin algebraica, lo que




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permiti la manipulacin y operacin de cantidades sin hacer

referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron

frmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma

mecnica mediante algoritmos, los cuales incluan races e incluso, en

ocasiones, nmeros no reales (lo que ahora conocemos como

nmeros complejos). Sin embargo, no exista an un concepto formal

de nmero y se segua dando primaca a la geometra como

fundamento de toda la matemtica. Incluso con el desarrollo de la

geometra analtica este punto de vista se mantena vigente, pues

Descartes rechazaba la idea que la geometra pudiera fundamentarse

en nmeros, puesto que para l la nueva rea era simplemente una

herramienta para resolver problemas geomtricos.

Posteriormente, la invencin del clculo abri un perodo de grande

avances matemticos, con nuevos y poderosos mtodos que

permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo

infinito mediante el concepto de lmite. As, un nmero irracional pudo

ser entendido como el lmite de una suma infinita de nmeros

racionales (por ejemplo, su expansin decimal). Como muestra, el

nmero puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la

intuicin geomtrica) mediante la serie:

entre muchas otras expresiones similares.




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Para entonces, el concepto intuitivo de nmero real era ya el moderno,

identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud

(racional o no). El clculo abri el paso al anlisis matemtico, que

estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el

anlisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las

demostraciones apelaban an a la intuicin geomtrica. Esto conllev

a una serie de paradojas e imprecisiones.

Operaciones con nmeros reales

Con nmeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones

bsicas con dos excepciones importantes:

1. No existen races de orden par (cuadradas, cuartas, sextas,

etc.) de nmeros negativos en nmeros reales, (aunque s

existen en el conjunto de los nmeros complejos donde

dichas operaciones s estn definidas).

2. La divisin entre cero no est definida (pues cero no posee

inverso multiplicativo, es decir, no existe nmero x tal que

0x=1).




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Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras reas de las

matemticas como el clculo: existen asntotas verticales en los

lugares donde el denominador de una funcin racional tiende a cero,

es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentara

una divisin entre cero, o no existe grfica real en aquellos valores de

la variable en que resulten nmeros negativos para races de orden

par, por mencionar un ejemplo de construccin de grficas en

geometra analtica.

Notacin

Los nmeros reales se expresan con fracciones decimales que tienen

una secuencia infinita de dgitos a la derecha de la coma decimal,

como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente tambin se presentan

con tres puntos consecutivos al final (324,823211247), lo que

significara que an faltan ms dgitos decimales, pero que se

consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias fsicas son siempre una aproximacin a

un nmero real. No slo es ms conciso escribirlos con forma de

fraccin decimal (es decir, nmeros racionales que pueden ser

escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en

cualquier caso, cunde ntegramente el concepto y significado del




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nmero real. En el anlisis matemtico los nmeros reales son objeto

principal de estudio. Puede decirse que los nmeros reales son la

herramienta de trabajo de las matemticas de la continuidad, como el

clculo y el anlisis matemtico, mientras que los nmeros enteros lo

son de las matemticas discretas, en las que est ausente la

continuidad.

Se dice que un nmero real es recursivo si sus dgitos se pueden

expresar por un algoritmo recursivo. Un nmero no-recursivo es

aqul que es imposible de especificar explcitamente. Aun as, la

escuela rusa de constructivismo supone que todos los nmeros reales

son recursivos.

Los ordenadores slo pueden aproximarse a los nmeros reales por

nmeros racionales; de todas maneras, algunos programas de

ordenador pueden tratar un nmero real de manera exacta usando su

definicin algebraica (por ejemplo, " ") en vez de su respectiva

aproximacin decimal.

Los matemticos usan el smbolo (o, de otra forma, , la letra "R"

en negrita) para representar el conjunto de todos los nmeros reales.

En matemtica, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el

significado de que el campo subyacente es el campo de los nmeros

reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, etc.




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Construcciones de los nmeros reales

Caracterizacin axiomtica

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los nmeros

reales a partir de axiomas, siendo la caracterizacin ms comn

mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto (R) es el conjunto de los nmeros reales si satisface las

siguientes tres condiciones:

1. (R) es un campo.

2. (R) es un conjunto totalmente ordenado y el orden es

compatible con las operaciones del campo:

Si entonces ;

Si y entonces .

3. El conjunto R es completo: satisface el axioma del

supremo:

Todo conjunto no vaco y acotado superiormente tiene un

supremo.

En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los nmeros

reales (y no de un conjunto de nmeros reales) y estableciendo su

unicidad se puede usar el smbolo para representarlo.




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Puede caracterizarse el conjunto de los nmeros reales como un

conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas:

1. Si , entonces (Cerradura en la suma)

2. Si , entonces (Conmutatividad en la

suma)

3. Si , entonces (Asociatividad

en la suma)

4. Existe de manera que para todo (Neutro

aditivo)

5. Para cada existe un elemento tal que

(Inverso aditivo)

6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicacin)

7. Si , entonces (Conmutatividad en la

multiplicacin)

8. Si , entonces (Asociatividad en la

multiplicacin)

9. Existe de manera que para cualquier

(Neutro multiplicativo)

10. Para cada existe un elemento tal

que (Inverso multiplicativo)




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11. Si , entonces

(Distributividad de la multiplicacin en la suma)

12. Si , entonces se cumple slo una de estas:

(Tricotoma)

o

o

o

13. Si , y entonces

(Transitividad)

14. Si y , entonces (Monotona

en la suma)

15. Si , y , entonces

(Monotona en la multiplicacin)

Construccin por nmeros decimales

Consideramos los nmeros decimales como los conocemos

intuitivamente. Sabemos que , es

decir, el nmero se expresa como el nmero entero 3 y una

secuencia infinita de dgitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un nmero decimal se expresa entonces como donde x

es un nmero entero y cada di es un elemento del conjunto

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.




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Al conjunto de todos los nmeros decimales donde x es un

nmero entero positivo se le denota por y se le llama el

conjunto de los nmeros reales positivos.

Al conjunto de todos los nmeros decimales donde x es un

nmero entero negativo se le denota por y se le llama el

conjunto de los nmeros reales negativos.

Al nmero decimal se le llama cero.

Al conjunto se le denota por y se le

llama conjunto de nmeros reales.

Se define la relacin de orden total de los nmeros decimales como

1. para todo

2. siempre que y

3. para todo

4. Dados dos nmeros reales cualesquiera y

, en cualquiera de los casos siguientes:

o

o




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Nmeros

Complej

os

Real

es

Racional

es

Enter

os

Natural

es

Uno

Primos

Compues

tos

Cero

Negativos

Fraccionarios

Fraccin

propia

Fraccin

impropia

Irracionales Algebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios




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Los nmeros naturales

Los nmeros naturales surgen de la necesidad de contar, de

enumerar: ={1,2,3,4...}

Con los nmeros naturales se puede sumar. De hecho,

con la operacin suma, los naturales forman un

semigrupo conmutativo.

Con la operacin producto los naturales tambin tienen

estructura de semigrupo conmutativo.

El infinito de los nmeros naturales se denomina infinito

numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en

correspondencia biyectiva con el conjunto de los nmeros

naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el

conjunto de las potencias sucesivas de un nmero , es

decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y

-1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los

nmeros enteros y el de los racionales tambin son

infinitos numerables como se ver ms adelante.

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente

ordenado, es decir, existe una relacin de orden total, lo

que significa que existe una relacin de orden y que dos

elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados




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entre s usando dicha relacin. Dicho de otra forma, dados

dos naturales, e , o bien , o bien .

Todo subconjunto no vaco del conjunto de los naturales

tiene un elemento mnimo, esto es, existe un elemento tal

que para todo de se tiene . Por ejemplo, el

subconjunto formado por los nmeros pares tiene como

elemento mnimo a 2.

Dados dos nmeros naturales , no es cierto en

general que exista un natural tal que . Si tal

existe se denomina cociente exacto de por , y la

divisin se denomina exacta. En este caso se dice que

es divisible por , o que es un divisor de , o que es

un mltiplo de . Cuando no es as, siempre es posible

encontrar y que verifiquen con . Los

nmeros , , y se denominan dividendo, divisor,

cociente y resto respectivamente y el procedimiento para

determinar y a partir de y se denomina divisin

entera.




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Nmeros Primos (historia en el siguiente captulo)

Un nmero primo es aqul nmero natural que slo es divisible por s

mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...,

son nmeros primos.

Hay infinitos nmeros primos. Un famoso procedimiento para

encontrar nmeros primos es la denominada criba de Eratstenes, que

consiste en tomar una lista de los nmeros naturales e ir tachando

sucesivamente los mltiplos de cada natural que an no hubiera sido

tachado previamente.

El uso de nmeros primos grandes tiene aplicaciones en criptografa

(ocultacin de secretos).




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Descomposicin de un nmero compuesto

en factores primos

Todo nmero natural admite una descomposicin en producto de

nmeros primos. Esta descomposicin es nica salvo el orden de los

primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos

ejemplos.

Encontrar la factorizacin de nmeros grandes es un problema con

elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningn algoritmo

eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptogrficos se basan en

este problema.




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Los nmeros enteros

Cuando se necesita adems restar surgen los nmeros enteros

={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los enteros se obtienen a partir de los naturales aadiendo

los opuestos para la operacin suma.

Si a y b denotan nmeros naturales, la suma de dos

nmeros enteros a+(-b), se define como:

el entero positivo a-b, si a > b, 0, si a=b el entero

negativo -(b-a) si a < b

La suma de dos enteros negativos se define como

(-a)+(-b)=-(a+b).

De hecho, los enteros, con la operacin suma tienen

estructura de grupo conmutativo.

Si adems de la suma, consideramos la operacin de

multiplicacin definida como

o (-a)(-b)=ab

o (-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene

estructura de anillo conmutativo y con unidad.




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Por cierto, qu hay ms?, nmeros enteros o nmeros

naturales?. Ntese que se puede establecer una

correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos,

, por ejemplo como sta:

si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es tambin infinito numerable.

Tambin es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la

relacin de orden definida en la forma obvia y que extiende la relacin

de orden que se tiene en . Tambin es cierto que en los enteros todo

subconjunto acotado inferiormente tiene elemento mnimo, y

recprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene

elemento mximo.

Los nmeros irracionales

Hay nmeros que no son racionales, es decir que no pueden ser

expresados como cociente de dos nmeros enteros. Por ejemplo,

piensa en el nmero cuya representacin decimal es




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0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representacin decimal no es exacta ni peridica, por

tanto no puede corresponderse con ningn nmero racional.

Veamos otros ejemplos.

Se trata de un ejemplo tpico de nmero no racional con una

demostracin muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional




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En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales

de . Adems se muestra una manera de construir el nmero

sobre la recta real con regla y comps y finalmente se da una serie de

nmeros racionales que converge hacia .




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Para construir la serie que converge hacia hemos usado

obviamente la sucesin de cifras decimales indicada ms arriba.

Tambin podamos haber definido una sucesin de nmeros

racionales que converge hacia de la forma siguiente

Donde es el mayor nmero entero que verifica .




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Otro de los ejemplos csicos de nmeros irracionales que estamos

acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que

representa la relacin entre el permetro y el dimetro de una

circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y

comps el nmero sobre la recta real. El problema es conocido

como la rectificacin de la circunferencia y hay mtodos algebraicos

para demostrar que no tiene solucin, a pesar de que mucha gente la

busc durante siglos (y algunos siguen buscndola hoy en da). Otros

problemas de parecida ndole son los famosos de la cuadratura del

crculo, que consiste en construir con regla y comps un cuadrado que

tenga la misma rea que un crculo dado, y la triseccin del ngulo,

que consiste en dividir un ngulo dado en tres partes iguales. Todos

ellos son imposibles con regla y comps y puede demostrarse

algebraicamente su imposibilidad.

En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de

y adems una serie de nmeros racionales que converge hacia .




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La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de

advertir que su convergencia es bastante lenta. Cuntos trminos te

hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales correctas?

Tambin el nmero e, base de los llamados logaritmos naturales o

neperianos es un nmero irracional. Este nmero surge de forma

natural al considerar el inters compuesto.




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Supongamos que tenemos un capital unidad a un inters anual (en

tanto por uno). Al cabo del ao nuestro capital ser .

Sin embargo, si dividimos el ao en dos semestres e incorporamos el

inters al finalizar cada uno dos semestres, al final del primer perodo

tendremos y al finalizar el ao

Si dividimos el ao en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al

capital al final del cada perodo, tendremos

respectivamente al final de cada

cuatrimestre.

Si dividimos el ao en n perodos tendremos al final del ao .

Se define e como el lmite del resultado anterior cuando n se hace

infinitamente grande (infinitos perodos infinitamente pequeos),

siendo , es decir

En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de

e, as como dos formas de ver como lmite de sucesiones de

nmeros racionales (en el segundo caso se trata de una serie).




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Igual que pasaba con , no es posible dibujar con regla y comps un

punto en la recta real a distancia e del origen.

Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales,

solamente aqullas finitas o peridicas se correspondern, como ya se

vio, con nmeros racionales; el resto forman el conjunto de los

nmeros irracionales




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Los nmeros reales

La unin de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los

nmeros reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto

en , y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar grficamente el

conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa

un nmero.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e

son heredadas por .




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RESUMEN

CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS

NUMEROS REALES

SE CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES

Un numero racional es un numero real que se puede expresar como el

cociente a/b de dos nmeros enteros a y b con b diferente de cero. Los

nmeros reales que no son racionales se llaman irracionales. Por

ejemplo, la razn del permetro de una circunferencia a su dimetro es

irracional. Este nmero real se denota por P y se escribe P = 3.1416

para indicar que P es aproximadamente igual a 3.1416. Otro ejemplo de

un nmero irracional es 2.

Los nmeros reales se pueden representar por expresiones decimales

infinitas. Por ejemplo, realizando la divisin puede verse que la

representacin decimal del numero racional 177/55 es 3.2181818...,

en donde los dgitos 1 y 8 se repiten indefinidamente. Los nmeros

reales pueden representarse siempre por expresiones decimales

peridicas, es decir, en las que hay una combinacin de dgitos que se

repiten indefinidamente. Los nmeros irracionales pueden

representarse por expresiones decimales infinitas no peridicas.




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PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1) Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los

reales.

2) Propiedad Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes

a los reales.

3) Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a+(-a)=0

4) Existencia de elemento neutro: a+0 = a

5) Propiedad Conmutativa del producto: a.b = b.a

6) Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c = a.(b.c)

7) Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1

8) Existencia de elemento neutro(del producto) : a.1 = a

9) Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c = (a+c).(b+c)

10) Tricotoma : a>b , ab>c entonces a>c

12) Propiedad Uniforme.




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Recta numrica

La recta numrica es un grfico unidimensional de una lnea en la

que los nmeros enteros son mostrados como puntos especialmente

marcados que estn separados uniformemente. Frecuentemente es

usada como ayuda para ensear la adicin y la sustraccin simples,

implicando especialmente nmeros negativos.

La recta numrica. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los

nmeros enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los nmeros

reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido.

Est dividida en dos mitades simtricas por el origen, es decir el

nmero cero. En la recta numrica mostrada arriba, los nmeros

negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

Recta numrica real

La recta numrica real o recta de coordenadas es una

representacin geomtrica del conjunto de los nmeros reales. Tiene

su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos

en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el




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otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a

uno entre cada punto de la recta y un nmero real.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de

una lnea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un

punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que

represente al nmero 1. Esto establece la escala de la recta numrica.




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EJERCICIOS PROPUESTOS




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