III IV cuadrante...Practica de trigonometría 1. Si el lado terminal de un ángulo en posición...

90

0

360

180

270

- 360

0 180

90

270

360

180

RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA

1. Ángulos:

Ángulos en posición estándar o en posición normal: el vértice se ubica en el origen y el lado inicial

coincide con el semi-eje X positivo.

Podemos tener ángulos n posición estándar que sean:

Positivos: el lado terminal gira en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Negativos: el lado terminal gira en igual sentido que las manecillas del reloj.

Ángulos Cuadrantales: son ángulos en posición estándar y su lado terminal es un semi– eje de

coordenada.

Lado inicial

Lado terminal

I

cuadrante

II

cuadrante

III

cuadrante

IV

cuadrante

180 0

360

90

270

Materia II examen Parcial del II Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno José Martí”

Prof. Luis Morales C. 1

250

225 110

135

Nota: para determinar si un ángulo es cuadrantal debemos dividirlo entre 90 y el resultado de la división

debe ser un número entero.

Ejemplo:

13901170

390270

490360

Entonces los ángulo de 360, el de –270 y el de 1170 son ángulos cuadrantales.

Ángulos Coterminales: Son dos ángulos en posición estándar, que tienen el mismo lado terminal.

Ejemplo:

250360110 225360135

Entonces 110 y –250 son ángulos coterminales, también -135 y 225 son ángulos coterminales.

Ángulo de Referencia: Si es un ángulo en posición estándar no cuadrantal, su ángulo de referencia

, es el que se forma con el lado terminal de y el eje X.

Un ángulo de referencia siempre es agudo (menor a 90) y positivo.

entonces el ángulo de referencia de 140 es 40 y el ángulo de referencia de 310 es 50.

Para encontrar un ángulo coterminal se

debe aplicar:

360

360

Para encontrar un

ángulo de referencia

se debe aplicar:

180

180

140

40240

60

310 50160

20



I

Todas +

II

Sen +

Csc +

IV

Cos +

Sec +

III

Tan +

Cot +

Medidas de ángulos en radianes y en grados.

180

Para pasar de grados a radianes multiplicamos por 180

Para pasar de radianes a grados multiplicamos por

180

2. Razones trigonométricas:

3. Funciones trigonométricas:

Consideremos un ángulo en posición estándar y un unto P( x , y ) en su lado terminal.

Entonces de este punto vamos a considerar a X como el cateto adyacente y a Y como el cateto opuesto, y

la hipotenusa la encontramos por el teorema de Pitágoras.

Ejemplos:

Si el punto (-3, 5) pertenece al lado terminal de un ángulo en posición normal, entonces:

1. En que cuadrante se ubica el ángulo :

2. El valor de sec es

Respuesta: el ángulo se ubica en el segundo cuadrante, y 3

34sec

4. Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:

x

y

z

x

y

opuestocat

adyacentecat

y

x

adyacentecat

opuestocat

y

z

adyacentecat

hipotenusa

z

y

hipotenusa

adyacentecat

x

z

opuestocat

hipotenusa

z

x

hipotenusa

opuestocatsen

inversa

inversa

inversa

.

.cot

.

.tan

.sec

.cos

.csc

.

5

3

34

34

53

dim

2

222

222

c

c

c

bac

ientoproce34



Cuadrante

Función I II III IV

Sen + +

Cos + – +

Tan +

Csc + +

Sec + +

Cot + +

5. El circulo trigonométrico: es un círculo con su centro en el origen y de radio igual a 1.

Dada un punto P( x, y) que pertenezca al circulo trigonométrico, y un ángulo en posición normal cuyo

lado terminal contienen al punto P( x, y) , entonces:

ysen

xcos

x

ytan

x

1sec

y

1csc

y

xcot

6. Características de las funciones trigonométricas:

A) función: Seno

*Dominio:

*Codominio:

*Ámbito: 1,1

*Intersección con el eje X: 0,k

Con k

*Intersección con el eje Y: 0,0

*Periodo: 2

B) función: Coseno

*Dominio:

*Codominio:

*Ámbito: 1,1

*Intersección con el eje X:

0,

2

k

Con impar esk que tal,k


*Periodo: 2

(0,-1)

(-1,0)

(1,0)

(1,0)

1

1

322 03

1

1

322 03



C) función: Tangente

*Dominio:

2

1,

2

kk

*Codominio:

*Ámbito:

*Intersección con el eje X: 0,2

Con k


*Periodo:

Practica de trigonometría

1. Si el lado terminal de un ángulo en posición

normal se ubica en el segundo cuadrante, entonces

la medida de ese ángulo es:

a) 85º

b) 190º

c) -120º

d) -245º

4. De acuerdo con los datos de la figura, la

medida del ángulo corresponde a:

a) -75º

b) -105º

c) -165º

d) -195º

5. Si =10

, la medida de un ángulo coterminal

con corresponde:

a) 10

19

b) 10

9

c) 10

11

d) 10

6

6. Si m =12º, entonces un ángulo coterminal

con corresponde a:

a) 78º

b) -12º

c) 348º

d) -348º

7. La medida de un ángulo coterminal con un

ángulo de 36

23 corresponde a:

a) 36

5

b) 36

13

c) 36

49

d) 36

95


ángulo de -65 es:

a) 65º

b) 295º

c) -155º

d) -245º



9. Las medidas de un par de ángulos coterminales son:

a) 30º y -30º

b) 330º y 390º

c) 330º y -390º

d) -330º y -390º

10. ¿En cual sistema de coordenadas, se representan ángulos coterminales?

11. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo

cuadrantal?

a) 405º

b) 510º

c) -490º

d) -540º


cuadrantal?

a) 45º

b) 135º

c) 270º

d) 300º

13. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 135º es

a) -405º

b) -135º

c) 855º

d) 45º

14. Analice las siguientes representaciones de ángulos.

I- II- III-

¿Cuáles de ellas representan ángulos en posición estándar y cuadrantales?

a) Todas

b) Solo I

c) Solo II

d) Ninguna

15. La medida, en radianes, de un ángulo 16. ¿Cuál medida, en radianes, corresponde a un

a) b)

c) d)



cuadrantal corresponde a

a) 3

2

b) 6

7

c) 4

5

d) 2

7

ángulo cuadrantal?

a) 3

5

b) 4

3

c) 2

d) 3

2

17. Un ángulo cuya medida en radianes es 36

13se

ubica en el cuadrante

a) I

b) II

c) III

d) IV

18. La medida de un ángulo ubicado en el segundo

cuadrante corresponde a

a) 12

b) 12

7

c) 12

11

d) 12

13

19. ¿En cual cuadrante se ubica el lado terminal

de un ángulo de medida -115º?

a) I

b) II

c) III

d) IV

20. ¿En cual cuadrante se ubica el lado terminal

de un ángulo de medida 575º?

a) I

b) II

c) III

d) IV

21. El lado terminal de un ángulo en posición

estándar se ubica en el segundo cuadrante. Una

posible medida de ese ángulo es

a) -315º

b) -195º

c) -105º

d) -85º

22. La medida en grados, de un ángulo cuya

medida en grados es 5 , es

a) 15.71

b) 1800

c) 900

d) 450

23. Un ángulo mide 330º. ¿Cuál es su medida en

radianes?

a) 6

11

b) 11

6

c) 30

d) 150

24. Un ángulo mide 2º. ¿Cuál es su medida en

radianes?

a) 2

b) 45

c) 90

d)

360

25. La medida en grados, de un ángulo de 3

4, es

a) -60º

b) -120º

c) -240º

d) -480º

26. Analice las siguientes proposiciones

I- -160 equivale en radianes a 9

4

II- 150 equivale en radianes 6

5

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?

a) Ninguna

b) Ambas

c) Solo II d) Solo I



27. Un ángulo mide 9

radianes. ¿Cuál es su

medida en grados?

a) 10º

b) 20º

c) 80º

d) 100º

28. La medida de un ángulo en radianes es 6

17

¿Cuál es la medida en grados?

a) 510º

b) 255º

c) 162º

d) 63º

29. La medida de un ángulo en radianes es 3. ¿Cuál

es la medida en grados?

a) 30

b) 60

c)

270

d)

540

30. La medida de un ángulo en radianes es 4

15

¿Cuál es la medida en grados de ese ángulo?

a) 48º

b) 96º

c) 675º

d) 1350º


ángulo de 3

2es:

a) 3

19

b) 3

14

c) 3

18

d) 14

3

32. La medida en grados de un ángulo de medida

6

11 es

a) -150º

b) -210º

c) -330º

d) -240º

33. La medida en radianes de un ángulo que mide

144º es

a) 5

2

b) 5

4

c) 5

6 d)

5

8

34. Si está ubicado en posición normal y m

=4

7 entonces, el lado terminal de se ubica

en el

a) I cuadrante

b) II cuadrante

c) III cuadrante

d) IV cuadrante


ángulo de -165 es:

a) -525º

b) 165º

c) -15º

d) 15º

36. Analice las siguientes proposiciones

I. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es

12

11se ubica en el tercer cuadrante.

II. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es

12

11 se ubica en el segundo cuadrante.

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?

a) Solo I

b) Solo II

c) Ambas

d) Ninguna



37. Considere la siguiente figura. un posible valor

del ángulo destacado es

a) -120º

b) -275º

c) 130º

d) 210º

38. Si el lado terminal de un ángulo en posición

normal, coincide con la parte negativa del y,

entonces son posibles medidas de ese ángulo

a) 4

y

4

3

b) 4

y

4

3

c) 2

3 y

2

d) y -

39. Si a y b son dos ángulos colocados en posición

normal de manera que el lado terminal de a

coincide con el lado Terminal de b y m =130º entonces una posible medida del ángulo b es

a) 50º

b) 230º

c) -130º

d) -230º


ángulo de medida 4

7 es

a) 4

7

b) 4

15

c) 4

5

d) 4

9

41. Un ángulo negativo de medida en posición estándar y con el lado terminal en e tercer cuadrante

determina un ángulo de referencia de 70º, ¿cuál es el valor en radianes de ?

a) 18

11

b) 18

25

c) 5

10

d) 9

8

42. De las figuras, ¿cuál corresponde a un ángulo en posición normal?



43. Un ejemplo de la medida de un ángulo

coterminal al ángulo, cuya medida es , es

a) + 90º

b) - 180º

c) +180º

d) + 360º

44. La medida en radianes de un ángulo es ,2

1

entonces la medida aproximada en grados

corresponde a:

a) 90º

b) 180º

c) 28,65º

d) 57,30º

45. Sea la medida de un ángulo en posición

estándar, si ,0 entonces la medida de un

ángulo coterminal con corresponde a

a) -

b) 2

c) 4

d) -

46. La medida en radianes de un ángulo es 2.

¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo

coterminal con él?

a) -2

b) 2

c) 22

d) 2 2

47. Si la medida en radianes de un ángulo en

posición estándar es

3, entonces ¿en cuál

cuadrante se ubica el lado Terminal de dicho

ángulo?

a) I

b) II

c) III

d) IV

48. La medida de un ángulo en posición estándar

cuyo lado terminal se ubica en el tercer cuadrante

es

a) 9

11

b) 9

14

c) 18

13

d) 18

19

49. La medida en grados de un ángulo que mide 50. La medida de un ángulo en radianes es

6

17

a)

c)

d)

b)



3

4 radianes es:

a) -900º

b) 450

c) -240º

d) 72

2

¿Cuál es la medida en grados?

a) 510º

b) 255º

c) -162º

d) 63º

51. La medida en grados de un ángulo que mide 9

radianes es:

a) 9

b) 20

c)

1620

d)

3240


cuadrantal?

a) 45º

b) 135º

c) 270º

d) 300º


ángulo de 12

5 radianes es

a) 12

19

b) 12

7

c) 12

11

d) 12

17


ángulo de -115º es:

a) 115º

b) 130º

c) 245º

d) 345º


ángulo de 36

23corresponde a:

a) 36

5

b) 36

13

c) 36

49

d) 36

95


cuadrantal?

a) 405º

b) 510º

c) -490º

d) -540º

57. Un ángulo coterminal con un ángulo de medida -

370º corresponde a:

a) 10º

b) 80º

c) -10º

d) -80º


ángulo de 65º es:

a) -65º

b) 425º

c) 605º

d) -115º

59. La medida en radianes de un ángulo en posición

estándar cuyo lado terminal se ubica en el tercer

60. Si el par ordenado (-5,3) pertenece al lado

terminal de un ángulo en posición estándar, ese



cuadrante es

a) 120

b) 12

5

c) 12

11

d) 12

13

lado se ubica en el cuadrante

a) I

b) II

c) III

d) IV

61. Si el lado terminal de un ángulo estándar

contiene el punto (-3,-2), entonces el lado

terminal pertenece al cuadrante

a) I

b) II

c) III

d) IV

62. El ángulo de referencia de un ángulo de

medida 300º corresponde a

a) 30º

b) 60º

c) -30º

d) -60º

63. El ángulo de referencia de un ángulo cuya

medida es -280º corresponde a

a) 10º

b) 80º

c) -10º

d) -80º

64. La medida de un ángulo de referencia de un

ángulo de 6

7es

a) -30º

b) -60º

c) 30º

d) 60º

65. Un ángulo de medida en posición normal y

con el lado Terminal en el segundo cuadrante

determina un ángulo de referencia de 30º entonces

un valor de es

a) 330º

b) 300º

c) 150º

d) 120º

66. En la figura, es un ángulo en posición

normal y determina un ángulo de referencia de

60º, entonces la medida de corresponde a

a) -150º

b) -120º

c) 120º

d) 150º

67. En la figura, es un ángulo en posición normal

y determina un ángulo de referencia de 30º,

entonces la medida de corresponde a

a) -150º

b) -120º

c) 120º

d) 150º

68. El ángulo de referencia de un ángulo cuya

medida es 290º corresponde a

a) -70º

b) -20º

c) 70º

d) 20º

69. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de es:

a) -327º

1

-1 1

-1

1

-1 1

-1



b) -323º

c) 327º

d) 303º

70. Si sen < 0 y sec <0 entonces el lado

Terminal de se localiza en el

a) I cuadrante

b) II cuadrante c) III cuadrante

d) IV cuadrante

71. Si sen es positivo y cos es positivo,

entonces el ángulo se encuentra en el:

a) IV cuadrante

b) III cuadrante c) II cuadrante

d) I cuadrante

72. Si cos es negativo y tan es positivo, entonces

el ángulo se encuentra en el:

a) III cuadrante

b) IV cuadrante

c) II cuadrante d) I cuadrante

73. la función tangente es negativa en los

cuadrantes:

a) I y II

b) I y III

c) II y III

d) II y IV

74. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple

que:

a) sen es positivo y csc es negativo

b) cos es negativo y cot es positivo

c) cos es positivo y tan es negativo

d) sen es positivo y cos es negativo

75. Si es un ángulo agudo y tan =N entonces

se cumple que:

a) N < 1 b) N > 1

c) N = 0

d) N > 0

76. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple

que:

a) tan >0 y sen >0

b) csc <0 y cos >0

c) cos <0 y cot <0

d) sen <0 y sec >0

77. Si =150º podemos afirmar que:

a) sen y cos son negativos

b) sen y cos son positivos

c) cos es positivo y tan es negativo

d) sen es positivo y cos es negativo

78. Si es un ángulo en el III cuadrante y sen =N

entonces se cumple que:

a) N < -1

b) N > 1

c) N > 0

d) N < 0

79. Según los datos de la figura, el valor de sen

corresponde a

a) 4

3

b) 4

5

c) 3

4

d) 5

4

80. Si el lado terminal de pasa por el punto (-3,5)

entonces sen es igual a

a) 3

5

b) 34

345

c) 4

5

d) 34

343

81. Si el lado terminal de un ángulo de medida ,

colocado en posición estándar, contiene el punto (-

1,2), entonces sec corresponde a

a) 5

b) 5

1

c) 2

5

d) 5

2

82. De acuerdo con los datos de la figura, se cumpla

con certeza que

83. De acuerdo con los datos de la figura el valor

de sec es



a) cos = b

b) tan =b

a

c) cot =b

a

d) sen = a

a) 5

b) 2

5

c) 5

d) -2

5

84. De acuerdo con los datos de la figura, si las

coordenadas de P son

6

2,

6

2, entonces el valor

de cos es

a) 6

2

b) 6

4

c) 6

2

d) -6

2

85. De acuerdo con los datos de la figura, el valor

en radianes de es:

a) 3

4

b) 6

5

c) 6

7

d) 6

86. En la figura, es la medida de un ángulo en

posición normal, el cual determina un ángulo de

referencia de 60º, entonces tan corresponde a:

a) 3

b) 3

1

c) 3

1

d) 3



referencia de 60º, entonces el valor de sec

corresponde a:

a) 2

b) 2

1

c) 3

2

d) 2

3



referencia de 30º, entonces el valor de csc

corresponde a:

a) 2

1

b) -2

c) 3

2

d) 2

3


de cos es

a) 2

b) 2

1

c) 2

1

d) 2

90. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de

cos es


de cot es

2

1,

2

3



2

1,

2

3

a) -2

b) 2

1

c) 3

2

d) 2

3

a) 3

b) 3

1

c) 3

1

d) 3

92. De acuerdo con la información en la figura, el

valor de csc es

a) 3

2

b) -2

3

c) 5

3

d) 3

5


en radianes de es

a) 3

4

b) -6

5

c) -6

7

d) -6

94. En la figura, es un ángulo exposición normal

y determina un ángulo de referencia de 60º,

entonces cos corresponde a

a) 2

1

b) -2

1

c) 2

3

d) 2

3

95. De acuerdo con los datos de la figura, si el

ángulo cuya medida es determina un ángulo de

referencia de 60º entonces el valor de cos es

a) 2

1

b) -2

1

c) 2

3

d) 2

3

96. De acuerdo con la figura, la función cot está

representada por la razón

a) v

u

b) u

1

c) u

v

d) v

u



referencia de 30º, entonces el valor de tan

corresponde a:

a) 3

b) 3

1

c) 3

1

d) 3



99. De acuerdo con los datos de la figura, en el

círculo trigonométrico, la medida de OC equivale



referencia de 60º, entonces el valor de cos

corresponde a:

a) 2

1

b) -2

1

c) 2

3

d) 2

3

a

cos

a) tan

b) sen

c) 1

100. De acuerdo con los datos de la figura, en el

círculo trigonométrico, la medida de BC equivale a

a) cos

b) tan

c) sen

d) 1

101. De acuerdo con la figura. ¿Cual es el valor de

sec ?

a) 2

3

b) 3

3

c) 3

d) 3

32

102. Si el lado terminal de un ángulo de medida

interseca a la circunferencia trigonométrica es

5

10,

5

15, entonces el valor de sec

corresponde a

a) 15

5

b) -10

5

c) 2

3

d) 3

2

103. El lado terminal de un ángulo de medida ,

colocado en posición estándar, interseca el círculo

trigonométrico en el punto

7

13,

7

6, entonces

el valor de cot corresponde

a) 7

6

b) -13

6

c) 7

13

d) 6

13

104. Si el lado terminal de un ángulo de medida

interseca a la circunferencia trigonométrica en

105. Si tan =13

4 y está en el II cuadrante

entonces sen es igual a



4

6,

4

10, entonces el valor de tan es

a) 5

3

b) 3

5

c) 5

3

d) 3

5

a) 185

1854

b) 29

13

c) 29

294

d) -29

294

106. Sea la medida de un ángulo cuyo lado

terminal de ubica en el segundo cuadrante con un

ángulo de referencia de medida . Si sen =7

2,

entonces el valor de cot

a) 3

2

b) 2

3

c) -3

2

d) -2

3

107. Si está en el III cuadrante y cos =x

1 ,

entonces cot es igual a

a) 1

1

2

x

b) 1

12

2

x

x

c) 12 x

d) 1

1

2 x

108. Si se sabe que está en el segundo cuadrante y

tan =x entonces cos = es igual a

a) 21 x

x

b) x

1

c) 21

1

x

x

d) 21

1

x

109. Considere las siguientes proposiciones

respecto de un ángulo en posición estándar de

medida , cuyo lado terminal se ubica en el

segundo cuadrante y la medida de su ángulo de

referencia es

I. cot = -cot

II. csc = csc

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

a) Todas

b) Solo I

c) Solo II

d) Ninguna

110. El valor de sen

3

2corresponde a

a) -3

2

b) 2

3

c) 2

1

d) 3

1

111. El valor de sec6

11 corresponde a

a) 2

b) 2

3

c) 3

32

d) 3

32

112. La expresión cot (-248º) es equivalente a

a) cot 22º

b) cot 68º

113. El valor de sec4

5 corresponde a



c) - cot 22º

d) - cot 68º a)

2

1

b) 2

c) -2

1

d) - 2

114. El valor de tan3

8 corresponde a

a) 3

b) - 3

c) 3

3

d) -3

3

115. El valor de csc4

5 corresponde a

a) 2

1

b) 2

c) -2

1

d) - 2

116. El valor de sec 300º es

a) 2

b) 3

55

c) 2

1

d) -3

32

117. El valor de sen 340º es equivalente a

a) sen 20º

b) -sen 120º

c) cos 20º

d) - cos 20º

118. El valor de sen 150º es

a) -3

2

b) -3

1

c) 2

1 d)

2

1

119. ¿Cuál de las siguientes igualdades es

incorrecta?

a) cos 225º= - cos 45º

b) sen 315º=-sen 45º

c) cos 315º= cos 45º

d) cos 135º= cos 45º

Repuestas a los ejercicios de Trigonometría

1 D 31 B 31 B 91 D 121 B



2 B 32 C 32 C 92 B 122 D

3 D 33 B 33 B 93 B 123 D

4 C 34 D 64 D 94 B 124 C

5 A 35 A 65 C 95 B 125 D

6 D 36 C 66 B 96 D 126 D

7 D 37 D 67 A 97 B 127 D

8 B 38 C 68 C 98 A 128 B

9 C 39 D 69 C 99 D 129 A

10 C 40 B 70 C 100 C 130 B

11 D 41 A 71 D 101 D 131 A

12 C 42 B 72 C 102 A 132 B

13 C 43 D 73 D 103 B 133 A

14 C 44 C 74 D 104 A 134 B

15 D 45 C 75 D 105 C 135 A

16 C 46 D 76 C 106 D 136 B

17 D 47 D 77 D 107 D 137 C

18 D 48 C 78 A 108 C 138 A

19 C 49 C 79 D 109 A 139 C

20 C 50 A 80 B 110 B 140 B

21 B 51 C 81 A 111 D 141 D

22 C 52 C 82 C 112 D 142 A

23 A 53 A 83 A 113 D 143 D

24 C 54 C 84 B 114 B 144 B

25 C 55 D 85 C 115 D 145 A

26 C 56 D 86 B 116 A 146 B

27 B 57 C 87 A 117 B 147 B

28 A 58 B 88 B 118 D 148 B

29 D 59 C 89 B 119 D 149 B

30 C 60 B 90 B 120 C 150 B

III IV cuadrante...Practica de trigonometría 1. Si el lado terminal de un ángulo en posición...

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