II.2. FLUJO INTERNO 0809

8/7/2019 II.2. FLUJO INTERNO 0809

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II.2. Flujo Interno

_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 08

1

UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Escuela Politcnica Superior de Ingeniera de Gijn

Ingenieros Industriales

Curso 2008-2009

Apuntes de Mecnica de Fluidos: 2 parte

2. FLUJO INTERNO.

Julin Martnez de la Calle

rea de Mecnica de FluidosGijn diciembre 2008


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2. FLUJO INTERNO.

2.1. Flujos laminar y turbulento.1.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.1.1.2. Modelos de turbulencia.

2.2. Flujo estacionario e incompresible en conductos.

1.2.1. Prdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach.1.2.2. Clculo de tuberas.1.2.3. Redes de tuberas: mtodo de Hardy-Cross.

2.3. Flujo no estacionario.1.3.1. Oscilaciones tubo en U.1.3.2. Establecimiento del flujo.1.3.3. Golpe de ariete.

2.4. Problemas resueltos.

2.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO.

En flujo viscoso interno, el fluido est confinado entre paredes (conductos) y en funcin del nmero deReynolds, se tienen comportamientos radicalmente distintos:

- En flujos con viscosidad dominante (Re bajos), las partculas siguen las trayectorias marcadas por lasparedes, el flujo es ordenado y las magnitudes solo depende de la posicin y del tiempo; es eldenominado flujo laminar. En el flujo de Poiseuille entre placas planas, el fluido se mueve en laminasparalelas a las paredes, siendo la central la de mxima velocidad. En el flujo en un conducto circular(tubera), el fluido se mueve en tubos concntricos, con velocidad exclusivamente axial (desdevelocidad nula en la pared a velocidad mxima en el eje)

- En flujos con inercia dominante (Re altos), el flujo es agitado y fluctuante, en cuanto a que los valoresde las magnitudes oscilan en torno a un valor medio; es el denominado flujo turbulento. En el caso delflujo por una tubera, aunque la velocidad es fundamentalmente axial, hay componentes radiales ytangenciales, y adems con fluctuaciones continuas.

- En flujos intermedios sin dominio apreciable de la viscosidad o de la inercia, se pueden presentarfluctuaciones espordicas en funcin de perturbaciones externas, es el flujo de transicin.

2.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.

Para resolver un flujo genrico, se dispone de un sistema homogneo de 7 ecuaciones diferenciales: 2 deconstitucin1 y 5 de conservacin2; con las 7 magnitudes del flujo: 4 escalares: p, , T, , y las 3 componentesdel vector velocidad. Pero el sistema solo tiene solucin analtica para casos muy concretos con fuertes hiptesisrestrictivas.

Actualmente no se dispone de la solucin general de las ecuaciones que rigen el movimiento de losfluidos; no obstante, las tcnicas numricas, estn aportando soluciones, aunque es conveniente su validacinexperimental.

Particularizando para el flujo incompresible, isotrpico e isotermo de un fluido newtoniano , lasmagnitudes del flujo son la presin y las tres componentes de la velocidad; disponiendo de 4 ecuacionesdiferenciales: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:

0 11Ec. de Navier-Poisson: ( )v I 2 = + r & , tensor de tensiones para un fluido newtoniano y Ec. trmica de estado (f(p,,T)=0).2Ec. de continuidad, Ec. Vectorial de Navier-Stokes (3 ecuaciones escalares) y Ec. de Energa.


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vz

vz

t

2Tanto el flujo laminar como el turbulento, vienen descritos por las ecuaciones anteriores. En flujo

laminar, en funcin de la geometra y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analticas.En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes del flujo, se tienenvariables estocsticas, para las que actualmente no se conoce solucin analtica.

Las primeras medidas experimentales sobre flujos laminar y turbulento, las realiz Osborne REYNOLDS,con el flujo en tuberas de vidrio. En los ensayos en flujo laminar (bajos3 Re), obtuvo que el flujo se podaasimilar al movimiento de tubos concntricos, cada uno a una determinada velocidad, con valor mximo en eleje, y con un perfil parablico hasta velocidad nula en las paredes. Estaba constatando que se trataba de un flujode Poiseuille, en donde el gradiente de presin axial es el que provoca el flujo, y que la velocidad slo tienecomponente axial, y vara con el radio:

3En los ensayos en flujo turbulento (altos Re), obtuvo que aunque el movimiento es fundamentalmente

axial, las componentes radial y tangencial son no nulas, aunque de poca magnitud.

4Y sobre todo observo, que aunque estando en flujo estacionario, el valor de una magnitud, en unadetermina posicin del flujo, no es constante, aunque oscilan en torno a un valor medio. Estas consideraciones, lellevaron a considerar a las variables, como suma de un valor medio y de su correspondiente fluctuacintemporal. As la componente axial de velocidad ser:

5En donde el valor medio de la componente axial de la velocidad, a lo largo de un periodo de promedio

(siempre mucho mayor que el tiempo caracterstico asociado a las fluctuaciones de velocidad) es:

6

Fig. 1. En un instante y posicin: vz = velocidad axial; vz = fluctuacin de velocidad axial; = valor medio de la velocidad axial.Anlogamente se tienen expresiones para las otras dos componentes de la velocidad y para la presin:

7 8 9Aunque el inicio del estudio de flujo turbulento se inicio con las experiencias de Reynolds en flujo en

conductos de seccin circular (tuberas), en donde se utilizan coordenadas cilndricas, por la facilidad de lanotacin en coordenadas cartesianas, los desarrollos siguientes entorno a la turbulencia los desarrollaremos encartesianas.

3En flujo en tuberas, se suele tomar como Re lmite de flujo laminar: Re = 2300; no obstante se puede tener flujo laminar a Re mayores,pero una perturbacin exterior provoca el paso a flujo turbulento.


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Por su propia definicin, el valor medio de la fluctuacin turbulenta es nulo, definindose como unamedida de la turbulencia, su valor cuadrtico medio, que se denomina intensidad de turbulencia; as para lafluctuacin de la componente x del vector velocidad, que usualmente se denota por u, se tiene:

10

Para flujo incompresible, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde las magnitudes(u,v,w,p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuacin, integran un conjunto de 4 ecuacionesque se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes):

0zw

yv

xu

=

+

+

dtud

z'w'u

y'v'u

x'u'u

z

u

y

u

x

uxp

g2

2

2

2

2

2

x =

+

+

+

dtvd

z'w'v

y'v'v

x'u'v

z

v

y

v

x

vyp

g2

2

2

2

2

2

y =

+

+

+

dtwd

z'w'w

y'v'w

x'u'w

z

w

y

w

x

wzp

g2

2

2

2

2

2

z =

+

+

+

[11]

En el trmino de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), se tienen dos tipos de esfuerzos:

Esfuerzos laminares:z

u,

y

u,

x

u

;z

v,

y

v,

x

v

;z

w,

y

w,

x

w

Esfuerzos turbulentos o de Reynolds: ( ) ( ) ( )'w'w,'v'v,'u'u ( ) ( ) ( )'w'v,'w'u,'v'u

Cada una de las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos, es suma de dos trminos: el laminar y el

turbulento; por ejemplo la primera componente xx es: ( ) turbulentoarminlaxx uuxu

+=

=

El tensor de tensiones viscosas completo es:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

==

'w'wzw

'w'vyw

'w'uxw

'w'vzv

'v'vyv

'v'uxv

'w'uzu

'v'uyu

'u'uxu

T

[12]

Resumiendo: en flujo turbulento las tensiones tangenciales, estn integradas por dos tipos de tensiones:

- Las tensiones debidas a la viscosidad y a los gradientes de velocidad, que se denominan laminares.- Las tensiones debidas a la densidad y a las fluctuaciones de velocidad, que se denominan turbulentas.

A las tensiones turbulentas se les suele denominaresfuerzos turbulentos de Reynolds.


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2.1.2. Modelos de turbulencia.

La determinacin de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds, es la gran dificultad pararesolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia, delos que citaremos los denominados de una ecuacin de Boussineq y de Prandtl.; y los de dos ecuacionescomo los k- y los k-.

a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ: se define la viscosidad turbulenta, como una propiedaddel flujo, que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad:

velocidaddegradiente

oturbulentesfuerzot = ( )

+

=x

v

y

u'v'u tturbulento

[13]

b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L), como elrecorrido libre medio de una partcula en los torbellinos turbulentos, sin que choque con otra partcula; con loque las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: uvL(u/y); siendo la viscosidad turbulenta :

yu

L2

t

[14]

Von Karman, estableci la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L), y la posicin (y) en lacapa lmite4, con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta, y con ella el esfuerzo turbulento de Reynolds:

yL = ( )y

uy

y

uL 22t

=

[15]

( ) ( ) ( ) 222txytturbulento yyu

y

u

y

u

y

uy

y

u'v'u

=

=

===

[16]

El coeficiente de Karman, es una constante universal en flujo turbulento = 0,41Con estas consideraciones, en el caso del flujo en conductos, se puede deducir el perfil de velocidades

en flujo turbulento, que viene dado por la ley logartmica de la capa lmite de Millikan:

( )( )

+

= BurR

lnk

1uru

**

[17]

En donde u* es la velocidad de friccin, definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: w=(u*)2; k es

el coeficiente de Karman (k=0,41) y B es aproximadamente 5,0.

4El concepto de CAPA LMITE, establecido por Ludwing PRANDTL, se desarrollara en la leccin II.3 (Flujo externo). Bsicamente, es lazona del flujo en las proximidades de las paredes slidas, en donde son apreciables los esfuerzos viscosos debidos a altos gradientes develocidad.


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2.2. FLUJO ESTACIONARIO e INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS.

En el transporte de un fluido por un conducto, es necesario determinar la potencia necesaria para moverun determinado caudal. En funcin del rgimen del flujo se tienen soluciones analticas para flujo laminar ysoluciones de anlisis dimensional para flujo turbulento. Aunque en flujo turbulento se pueden tener solucionesnumricas con determinados modelos de turbulencia, la bondad de los resultados de anlisis dimensional son

suficientemente precisos para las aplicaciones tcnicas.

En ingeniera hidrulica, la potencia disipada (Pd) por el flujo en un conducto, se suele calcular a partir de laevaluacin de la energa disipada (Ep) por unidad de peso (mg), a la que se denomina PERDIDA DE CARGA:

18 19

2.2.1. Prdida de carga: Ecs. de Hagen-Poiseuille y de Darcy-Weisbach.

Se ha definido perdida de carga, como la energa disipada por unidad de peso; para una tubera (longitud L,dimetro D) se denominan prdidas lineales.

Rgimen Laminar (Re


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Rgimen Turbulento (Re>4000): los esfuerzos de rozamiento tienen trminos laminares y trminos turbulentos,con lo que no es posible la resolucin de Navier-Stokes. No obstante, como la perdida de carga vienedeterminada por la tensin de rozamiento del fluido sobre las paredes de la tubera:

4 4

25Por anlisis dimensional, se puede obtener que la tensin en la pared viene determinada por el nmero de Eulerasociado a dicha tensin que se denomina factor de friccin o de Darcy:

4 8 26Quedando como expresin de la prdida de carga, la Ec. de Darcy-Weisbach:

2 27

Aunque estrictamente el factor de friccin aparece para poder determinar las prdidas de carga en rgimenturbulento, se podra obtener el correspondiente factor de friccin asociado al rgimen laminar, en donde laperdida de carga viene dada por la Ec. [23], obtenindose, que el factor de Darcy slo depende del Re.

64 28En donde Re es el nmero de Reynolds del flujo que circula por la tubera:

4 29Con lo la Ec. de Darcy-Weisbach tambin sera aplicable a flujo laminar, con el factor de Darcy dado por la Ec.[28]; no obstante es ms cmodo usar directamente la Ec. derivada de la Hagen-Poiseuille, la Ec. [23].

En cambio en rgimen turbulento, el factor de friccin depende, adems del nmero de Re, de larugosidad relativa: r=/D; en donde es la rugosidad absoluta de la tubera, que representa las alturaspromedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubera. Segn pusieron de relieve Prandtl y vonKarman, esa dependencia est determinada por la relacin entre la rugosidad y el espesor de la subcapa lmitelaminar, que es la zona de la capa lmite, directamente en contacto con la superficie interior de la tubera y losesfuerzos son exclusivamente viscosos. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapalmite laminar, la tubera puede considerarse lisa y el factor de friccin slo depende del nmero de Reynolds,segn la expresin emprica que obtuvo Prandlt, a parir de la ley logartmica de velocidad en la capa lmite:

Tubera lisa:

= fRe

51,2

log2f

1

[30]

Para nmeros de Reynolds grandes (rgimen turbulento completamente desarrollado) la importanciade la subcapa lmite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de friccin pasa a depender slo dela rugosidad relativa (von Karman, 1938):

=

7,3log2

f

1doDesarrollanteCompletameTurbulentoRgimen r [31]

Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron unanica expresin para el factor de friccin que puede aplicarse en todo el rgimen turbulento:

1 2 3,7 2,51 32


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Esta ecuacin tiene el inconveniente de que el factor de friccin aparece en forma explcita, y deberecurrirse al clculo numrico para su resolucin. Una solucin alternativa, es la ecuacin de Haaland:

+

Re

9,6

7,3log8,1

f

111,1

r [33]

De la que se puede obtener directamente la funcin implcita f=f(Re):

+

Re

9,6

7,3log

3086,0f

11,1r2

[34]

Para resolver el problema de la resolucin numrica de la Ec. de Colebrook, Moody desarroll un diagrama quelleva su nombre, en donde se muestra una familia de curvas de iso-rugosidad relativa, con las que se determina elfactor de friccin a partir de la interseccin de la vertical del nmero de Reynolds, con la iso-curvacorrespondiente.

En el diagrama de Moody, se representa en doble escala logartmica, el factor de friccin vs el nmero deReynolds, con distintas curvas de rugosidad relativa.

El flujo laminar ReRe>4000: zona crtica de paso de flujo laminar a turbulento4000>Re y f=f(r,Re): zona de transicin con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds10000>Re y f=f(r): zona turbulencia completamente desarrollada, dependencia solo de rugosidad


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2.2.2. Clculo de tuberas:

CASO (1): clculo de la prdida de carga.

DATOS: tubera: D, L, fluido: ,

flujo: Q

CLCULO: perdida de carga: hp

RESOLUCIN: 1. nmero de Reynolds:

=

=

D

Q4vDRe

2. para FLUJO LAMINAR (Re4000):

f = f (Re, r) : Ec. Colebrook:

+

=

fRe

51,2

7,3

log2

f

1 r

Ec. Darcy-Weisbach: 252

2

pl QD

L

g

f8...

g2

v

D

Lfh

===

CASO (2): clculo del caudal.

DATOS: tubera: D, L, fluido: , flujo: hp

CLCULO: caudal: Q

RESOLUCIN: 1. FLUJO LAMINAR (Re4000):

Ec. Darcy-Weisbach:22

52p

Q

K

Q

L8/Dghf =

=

=

L8

DghK

52p

Nmero de Reynolds:

=D

Q4Re

=

=

D

K4

Q

K

D

Q4fRe

Ec. Colebrook:

+

=

K4

D51,2

7,3logK2Q r


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CASO (3): clculo del dimetro.

DATOS: tubera: L, fluido: , flujo: Q, hp

CLCULO: dimetro: D

RESOLUCIN: 1. FLUJO LAMINAR (Re4000):

Ec. Darcy-Weisbach: 52

52p

DCLQ8

Dghf =

= [Ec.1]

=

2

2p

LQ8

ghC

Ec. Colebrook:

+

=f

D

Q451,2

7,3

D/log2

f

1[Ec.2]

En las dos ecuaciones, se tienen como incgnitas f y D, la resolucin simultaneapor mtodos iterativos da sus valores.

se supone una velocidad de 4 m/s en la iteracin inicialinicial

D Q /=

D = Dinicial

Ec. 1: f=CD5

r

Colebrook r D Ec.2 f =f(Re, )

4QRe

D

=

=

5Colebrookf f 10

< NOSI

D = (fColebrook/C)0,2

DATOS

FIN


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+tubera 31

malla 3

tubera 32

tubera 33tubera 34

tubera 35

nudo

5

malla 3

malla 4

malla 5

malla 6

tubera 45

tubera 55tubera 65

2.2.3. Redes de tuberas: mtodo de Hardy-Cross.

En una instalacin de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberas acopladas en serie, en paraleloo como una combinacin de ambas, que integran una red de tuberas. En las tuberas en serie, el caudal quecircula por ellas es el mismo, y la prdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puedeconsiderar como una nica tubera cuyo trmino resistente es la suma de los trminos individuales. Se defineresistencia de una tubera al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la prdida de carga:

g

8

D

Lfk

25 = [35]

2

i

i

i

iptotalp Qkhh

== [36]

Para rgimen turbulento totalmente desarrollado, el factor de friccin solo depende de la rugosidadrelativa, y es constante a partir de un determinado valor (alto) del nmero de Reynolds; con lo que se puedesuponer que la resistencia de la tubera es constante.

Cuando dos o ms tuberas se colocan en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudalesindividuales, pero la prdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberas. Las ecuaciones que

rigen las tuberas en paralelo son:=

i

itotal QQ [37]

2ii

222

211p Qk...QkQkh ==== [38]

Cuando se tiene una red de tuberas, el problema inicial a resolver, es el reparto de caudales por cadauna de las tuberas que integran la red. Se establecen los trminos de malla y de nudo, para cada malla la sumade prdidas de carga es nula, y para cada nudo la suma de caudales es nula; con lo que se obtiene un sistema deecuaciones, integrado por la m ecuaciones de las mallas y las n ecuaciones de los nudos, que es homogneo(m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la t tuberas que integran la red..

Ecuaciones de las mallas: de la malla 1 a la malla m ; para unadeterminada malla i, se establece un sentido positivo de la malla(normalmente el dextrgiro); el caudal circulante por una tubera ij espositivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla; con lo quese tiene para cada malla i:

0QQkj

ijijij =

0QQkQQkQQkQQk 343434333333323232311i31 =+++

Ecuaciones de los nudos: del nudo 1 al nudo n ; para undeterminado nudo i, el caudal que le llega de una determinadatubera ij es positivo, y se sale es negativo; con lo que se tiene paracada nudo i:

0Qj

ij = 0QQQQ 65554535 =+++

En el mtodo de Hardy-Cross, se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones, para cada malla, secalcula un caudal corrector de la malla, que va disminuyendo conforme la iteracin de clculo se vaaproximando a la solucin. El caudal corrector para una malla i viene dado por la ecuacin:

( )

=

jijij

jijijij

i Qk2

QQk

Q [39]


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2.3. FLUJO NO ESTACIONARIO.

Consideraremos dos casos de flujo no estacionario (o transitorio):

(1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubera conectada a un depsito, desde que se abre la vlvula dedescarga a la atmsfera, hasta que se alcanza rgimen estacionario en todo el conducto.

(2) Sobrepresiones y depresiones, que se tienen en el fenmeno del golpe de ariete, en donde el cierre de lavlvula de descarga, provoca oscilaciones de presin, que se mueven a alta velocidad por el conducto por efectode la compresibilidad del fluido.

2.3.1. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario.

A partir de la figura, se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa (dm), entre dossecciones separadas por un diferencial de longitud axial (dx), en un determinado instante (t), en donde lavelocidad de todas las partculas en el interior de la tubera es v = v(t):

40La tensin en la pared puede expresarse a partir del coeficiente de friccin de Darcy: w = fv

2/8; y el rea de laseccin recta es: A = D2/4; con lo que se tiene la ecuacin diferencial v vs t:

8 12 41

El gradiente de presin en la direccin del flujo, se obtiene a partir de la perdida de carga, que aparece en elbalance energtico entre la superficie libre del depsito y el chorro de salida:

1,06 2 42En donde hpE son las prdidas de carga singulares en la conexin de entrada entre depsito y tubera; h pS son lasprdidas de carga singulares en la seccin de salida del chorro a la atmsfera y h pl son las prdida de cargalineales a lo largo de la longitud de la tubera. El coeficiente 1,06 viene dado porque en el trmino de la energacintica de salida (por unidad de peso) se utiliza la velocidad media, y se supone que el flujo en todo momento es

turbulento; aunque estrictamente sera laminar desde el instante inicial de apertura de la vlvula, hasta el instanteen que la velocidad de salida, da lugar a un Re > 2000, y en ese intervalo el coeficiente, que es el factor decorreccin de energa cintica, tendra un valor de 2, en vez de 1,06 que es el correspondiente a flujo turbulento(ver ejercicio 2.1.)

p dxxp

p

+

dx

w

w

v(t)

L

H


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La relacin entre perdida de carga lineal (a lo largo de toda la longitud de la tubera) y el gradiente de presin

axial para una tubera horizontal es:

43

A partir de las Ecs. [42] y [43], se puede obtener el gradiente de presin en un determinado instante:

1,06 2 44Obteniendo finalmente la ecuacin diferencial entre la velocidad y el tiempo:

2

45

En donde la constante C( = kpe+kps+1,06+f/D), se puede determinar a partir del valor de la velocidad media enrgimen estacionario (v0): 2 0 2 46Separando variables en la Ec. [45] queda:

1 47

La integracin nos da el tiempo transcurrido desde el instante inicial con velocidad nula hasta un instantedeterminado en donde la velocidad de todas las partculas que circulan por la tubera es v:

2 48Por el carcter asinttico de la funcin v=v(t), se suele considerar como tiempo de establecimiento, cuando sealcanza el 99% de v0; con lo que su valor es:

2 0,99 0,99 2,646 49


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2.3.2. Golpe de Ariete.

A partir de la figura, cuando la vlvula de descarga se cierra instantneamente, el fluido empieza apararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando, desde la seccin de la vlvula (2) enel instante inicial, hasta la seccin de conexin con el depsito (1). El cierre provoca una onda de sobrepresin6,que va viajando aguas. La velocidad de la onda de presin7, viene determinada por la compresibilidad del fluido,la geometra y la elasticidad de la tubera:

/1 // 50

Cuando la onda de sobrepresin llega a la seccin (1) de conexin con el depsito, todo el fluido de latubera est parado y comprimido, y a partir de ese instante, el fluido empieza a salir hacia el depsito,sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el depsito secciones de fluido, en direccin al depsito; lassecciones movilizadas del depsito, se quedan descargadas: la onda de sobrepresin al llegar al depsito a

rebotado una onda de depresin.

Cuando la onda de depresin, llega a la vlvula cerrada, se tiene todo el flujo de la tubera enmovimiento haca el depsito, y sin sobrepresin,; a partir de ese instante, secciones sucesivas (desde la vlvulaal depsito) se van parando y quedando a baja presin. La llegada de la onda de depresin a la vlvula, provocaun rebote de una onda de depresin, que conforme se mueve hacia el depsito, va parando el flujo y dejndolo abaja presin.

6La sobrepresin del cierre instantneo de la vlvula, viene dada por la Ec. de Allievi: p=v0a; en donde v0es la

velocidad media del fluido antes del cierre, y a la velocidad de la onda de sobrepesin. Se deduce a partir del balance defuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presin:

= vQdF ( )[ ]avvAvAdp 000 = avdp 0= 7La velocidad de la onda de presin depende del mdulo de compresibilidad del lquido circulante, y de las caractersticaselsticas de la tubera: un aumento de presin hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su mdulo decompresibilidad (K), pero a la vez, aumenta el volumen de la tubera, en funcin de su dimetro, espesor y mdulo deelasticidad o mdulo de Young (E), lo que lleva a obtener un mdulo de dilatacin volumtrica (K):

dpK

VdVfluido = ; dpeE

DVdVtubera = ;

E

K

e

D1

K...

dpeE

DVdp

K

Vdp

VdV

dpV'K

+==

+==

)E/K)(e/D(1

a

)E/K)(e/D(1

K)E/K)(e/D(1

K'K

d

dpa 0

+=

+

=

+=

=

=

L

v0 p

(1) (2)(i)

p=gv0 Ec. Allievi


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CP2CP1

CP3CP4

CP5

CP6

% cierre

tcierre2L/a

t

cierre lineal

cierrelento

La llegada de la onda de depresin, a la seccin (1) del depsito, deja a todo el flujo parado, pero adepresin; con lo que a partir del instante de llegada, el fluido vuelve a entrar en la tubera, dejandosucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presin inicial: la onda de depresin al llegar al depsito rebotauna onda de sobrepresin. Esta situacin se prolonga hasta que la onda de sobrepresin, llega a la vlvula, y sevuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presin provocado por el cierre de la vlvula.

A este fenmeno de generacin de oscilaciones de presin (sobre y depresin), generado por el cierre de

vlvulas, se denomina golpe de ariete. Aunque en el anlisis anterior, no se han considerado efectos disipativos,en el proceso real, las sobrepresiones y depresiones mximas se alcanzan al principio, y conforme pasa el tiempose van amortiguando. La resolucin numrica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes), por elmtodo de caractersticas, permite obtener resultados contrastados con los experimentales.

Continuidad: 0x

va

t

p 2 =

+

Navier-Stokes en direccin axial: 0t

v

2

vv

D

f

x

pseng =

+

+

+

La ecuacin de continuidad, se obtiene a partir de considerar el mdulo de dilatacin volumtricafluido- tubera: K=dp/d=a2, y despreciando la variacin convectiva de presin frente a la local

0x

v

dt

dp'K

dp'K

d

0x

v

dt

d

=

+

=

=

+

0x

v'K

dt

dp=

+ 0

x

va

t

p 2 =

+

En la ecuacin de Navier-Stokes en direccin axial, la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidadde volumen) viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach. Se ha supuesto que la tubera tiene un ngulo deinclinacin ; y se ha despreciado la aceleracin convectiva frente a la local.

Para explicar cualitativamente el fenmeno del golpe de ariete, en el cierre instantneo de una vlvula,consideremos las siguientes grficas de la presin en funcin del tiempo, en las secciones del fluido (1) y (2) yuna seccin intermedia (i). El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubera de longitud L, es L/a; con lo queel tiempo que tarda la onda de presin generada por el cierre de la vlvula ser 2L/a. El cierre no es posible quesea instantneo, distinguiendo entre cierre rpido, cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento encaso contrario. En cierre rpido, cuando la primera onda de presin generada por el cierre de la vlvula, retornoa la vlvula, sta ya se encuentra totalmente cerrada, y se rebota una onda de presin de igual magnitud. Encierre lento, cuando la primera onda llega en el instante 2L/a, la vlvula est parcialmente abierta, y parte de laintensidad de la onda incidente pasa aguas arriba, y parte se refleja agua abajo.

En el cierre rpido, prcticamente se alcanza la sobrepresin de Allievi:

51

En cierre lento, el mismo Allievi, obtuvola ecuacin de la presin mxima, en funcin deltiempo de cierre, considerando el cierre de lavlvula, sin prdidas y lineal (%cierre =100t/tcierre):

1 4 52

Si la ley de cierre de la vlvula no es

lineal, se puede seguir el mtodo de Bergeron, endonde se considera el cierre en cierres parcialesinstantneos (CP), cada fraccin de tiempo 2L/a.


16/30

II.2. Flujo Interno


16

Movimiento de ondas de sobrepresin (+p) y de depresin (-p), desde su origen en el cierre de la vlvula (t=0), hasta larepeticin del ciclo en la propia vlvula (t=4L/a).

a

L4

t

p(1)

p0p

p

t

p(i)

p0p

p

t

p(2)

p0p

p

a2

L

a2

Lt = 0t =

a2

L3t =

a2

L4t =

a2

L5t =

a2

L7t =

a2

L2t =

a2

L6t =

a2

L8

t = seccin (i )

ONDA DESOBREPRESIN (+p)

DEPSITO (1):LA ONDA

REFLEJADA ESDE SENTIDO

CONTRARIA ALA ONDA

INCIDENTE

VLVULA (2):LA ONDA

REFLEJADAES DELMISMO

SENTIDO QUELA ONDA

INCIDENTE

ONDA DEDEPRESIN (-p)


17/30

II.2. Flujo Interno


17

P 2.1. Factor de correccin de energa cintica.En una seccin de una tubera, la energa cintica es distintaa la energa cintica asociada a la velocidad media del flujo, teniendo que obtener un factor de correccin ().DETERMINE: 1. La velocidad media y el factor de correccin de la energa cintica para flujo laminar.

2. La velocidad media y el factor de correccin de la energa cintica para flujo turbulento.DATOS: Flujo laminar: u = U0(1-r

2/R2); Flujo turbulento: u = U0(1-r/R)m

En donde u es la velocidad axial en una posicin radial r, y U0 la velocidad mxima a radio cero.

Para flujo turbulento el exponente m depende del nmero de Re, segn la siguiente tabla:m 1/6 1/7 1/8 1/9Re 104 105 106 107

RESOLUCIN: La velocidad media y el factor de correccin de energa cintica son:

: : 1

:

2

(1) FLUJO LAMINAR: en donde la distribucin de velocidad axial es radial: u = u(r) = U0(1-r2/R2)

1 / 2 12 21 /2 2

En flujo laminar, la distribucin de velocidad es parablica, la velocidad media es la mitad que la mxima, y elfactor de correccin de energa cintica es 2. Por tanto cuando se exprese la energa cintica de la masa queatraviesa una seccin de la tubera (por unidad de tiempo) se deber poner:

2 La no existencia del factor (1/2) en la presin dinmica es muy despistante y hay que tener cuidado.(2) FLUJO TURBULENTO: en donde la distribucin de velocidad axial es radial: u = u(r) = U0(1-r/R)

m

1/ 2 21 2

1/2

1 2

41323

A partir de los datos de la tabla adjunta para flujo turbulento, se tienen los siguientes resultados:

m 1/6 1/7 1/8 1/9Re 104 105 106 107

v/U0 0,7912 0,8167 0,8366 0,8526 1,0768 1,0584 1,0459 1,0371

En flujo turbulento, la distribucin de velocidad es tal, que la velocidad media es un poco ms pequea que lamxima, y el factor de correccin de energa cintica es prcticamente 1. Por tanto cuando se exprese la energacintica de la masa que atraviesa una seccin de la tubera (por unidad de tiempo) se deber poner:

1

12

La existencia del factor (1/2) en flujo turbulento, de nuevo es despistante pues es como si no hubiese factor decorreccin. Muchas veces para evitar esta confusin, aunque el factor sea prcticamente 1, se suele poner suvalor para destacar la existencia del factor de correccin y que la distribucin de velocidad no es uniforme; p.e.: 1,06


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II.2. Flujo Interno


18

L

p

Q Q

P 2.2. Aplicacin de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Viscosmetro capilar.En flujo laminar en conductos, lasecuaciones de Navier-Stokes, se pueden resolver analticamente, y la prdida de carga viene determinada por laecuacin de Hagen-Poiseuille. Una aplicacin caracterstica de este resultado, es la determinacin de laviscosidad de un fluido, por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar.

DETERMINE: 1. Viscosidad dinmica en cP y cinemtica en cSt.2. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar.2. Caudal mximo que debe circular por el conducto, para asegurar flujo laminar.

DATOS: Viscosmetro: longitud: L= 2400 mm, dimetro: D = 10 mmFluido: caudal = 6 litros/minuto; perdida de presin: -p = 16 kPa; densidad: = 830 kg/m3

Flujo laminar: Re


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II.2. Flujo Interno


19

P 2.3. Aplicacin de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte.En lasmquinas herramienta, en la zona de corte se debe aportar un aceite. El dispositivo ms sencillo, es tener undepsito superior, del que por gravedad se lleva mediante un conducto el aceite a la zona de corte; el sistema secompleta con un recipiente inferior, que recoge y filtra el aceite, y mediante una bomba se retorna al depsitosuperior. El nivel del aceite (H) en el depsito superior se mantiene constante.

DETERMINE el dimetro que tiene que tener el conducto.

DATOS: Depsito superior: nivel de aceite: H = 20 mmConducto vertical: longitud: L= 350 mmCoeficientes de prdidas entrada y salida: Kpse = 0,4; Kpss = 0,9Fluido: caudal = 100 cm3/minuto;

viscosidad: = 1,910-3 Pas; densidad: = 950 kg/m3

RESOLUCIN:

Supondremos inicialmente, que el flujo es laminar, con lo que se puede aplicarla Ec. de Hagen-Poiseuille, para determinar las prdidas lineales a lo largo del conducto:

p 4

128 Lh Q

g D

=

El balance energtico (en trminos de energa por unidad de peso, es decir en altura o carga) entre la superficielibre y el chorro de salida es (recuerde que el factor de correccin de la energa cintica en flujo laminar es =2):

2Expresando la velocidad media en funcin del caudal y la prdida de carga por la Ec. de Hagen-Poiseuille:

2 128 2 2 128 8De donde se obtiene la expresin del dimetro:

128 8 /

128 0,0019950 0,350 10010609,8 0,40,92 8 1001060 9,80,0200,350

/

Comprobemos, que el flujo es laminar:

4

4 10010

600,002 1,910950 , 2300

H

L


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II.2. Flujo Interno


20

P 2.4. Aplicacin de la Ec. de Darcy-Weisbach: Perdida de carga en un oleoducto. El alto caudal, quecircula por un oleoducto, hace que las prdidas de carga sean considerables: se tiene flujo turbulento, en dondela prdida de carga es proporcional al cuadrado del caudal. Por lo cual, es necesario localizar subestaciones debombeo, entre el pozo de petrleo y el puerto de carga.

DETERMINE: 1. La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo.2. La potencia disipada por viscosidad.

DATOS: Conducto horizontal: dimetro: D = 2000 mm, rugosidad: = 0,2 mmCrudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por da);(1 barril = 50 galones USA = 189,27 litros)

viscosidad: = 5,3610-3 Pas; densidad: = 860 kg/m3Presin manomtrica salida bomba: 40 bar

RESOLUCIN:

(1) LONGITUD DEL OLEODUCTO ENTRE SUBESTACIONES: la prdida de carga viene dada por la Ec. deDarcy-Weisbach:

2p 5 2

L 8h f Q

D g=

En donde el factor de friccin o factor de Darcy, viene determinado por la Ec. de Colebrook:

r1 2,512 log3,7f Re f

= +

La rugosidad relativa es: r= /D = 0,2/2000 = 0,0001; y el nmero de Reynolds es:

4 44,381 2 6,2326 10 4,475 10En donde el caudal se ha calculado en el S.I.:

36 3B 1da 0,18927mQ 2 10 4,381m / s

da 24 3600s 1Barril= =

La viscosidad dinmica del crudo es: =/ = 5,3610-3/860 = 6,232610-6 m2/s

Con rugosidad relativa: r = 0,0001 y nmero de Reynolds: Re = 4,475105, de la Ec. de Colebrook se obtiene, el

factor de Darcy: f=0,014. El factor de friccin, tambin se puede obtener a partir del diagrama de Moody:

En el problema, la prdida de carga, viene impuesta por la prdida de presin admisible en el conducto (alconsiderarse horizontal), y que viene dada por la presin manomtrica a la salida de la bomba:

5

p

p 40 10h 474,608m

g 860 9, 8

= = =

8

474,60829,880,0144,381

, (2) POTENCIA DISIPADA POR FRICCIN EN LA TUBERA:

4,381 4010 17524

0,014

4,475105


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II.2. Flujo Interno


21

P 2.5. Aplicacin de la Ec. de Darcy-Weisbach: determinacin de dimetro de un conducto. El problemabsico de diseo en flujo en conductos, es la determinacin del dimetro del conducto, para unas determinadasprestaciones. Los datos de partida, son habitualmente, el fluido a transportar, el caudal a mover y la prdida decarga admisible; en cuanto a la geometra del conducto, se conoce su longitud y su rugosidad, pero no sudimetro. Si el flujo es laminar, el problema es inmediato ya que de la Ec. de Hagen-Poiseuille, lo nico que sedesconoce es el dimetro. En cambio, en flujo turbulento, en la Ec. de Darcy-Weisbach, se desconocen tanto eldimetro como el factor de friccin; por lo que se tiene que utilizar la Ec. de Colebrook, que a su vez tambintiene como nicas incgnitas, el dimetro y el factor de friccin: la forma implcita de la Ec. de Colebrook, hacenecesario recurrir a un mtodo iterativo de resolucin simultanea de las dos ecuaciones.Considere la tubera que une la salida de la bomba hasta la entrada a un sistema de riego por aspersin, en dondea partir de los datos:

DETERMINE el dimetro mnimo del conducto.

DATOS: Conducto horizontal: longitud: L = 50m, rugosidad: = 0,1 mmAgua: caudal: Q = 1,8 m3/minuto; viscosidad: = 1 mPas; densidad: = 1000 kg/m3Perdida de presin admisible: 2,34 bar

RESOLUCIN: la prdida de carga viene determinada por la Ec. de Darcy-Weisbach: 2p5 2

L 8h f Q

D g=

; de

donde se tiene la relacin entre el dimetro y el factor de friccin:

2p 5

2

h gf D

8LQ

= Ec.1

El factor de friccin viene dado por la Ec. de Colebrook: r1 2,51

2 log3,7f Re f

= +

;

En donde r=/D; y Re=4Q/D; con lo que se obtiene una segunda relacin entre f y D:

1 / D 2,51

2 log 4Q3,7f fD

= +

Ec. 2

Para la resolucin del sistema, de puede obtener una nica ecuacin explicita entre f y D; en donde2

p

2

h gk

8LQ

=

5 5

1 / D 2,512 log

4Q3,7kD kDD

= +

Ec. 3

En el problema, con los datos :5

p

p 2,34 10h 23,878 m

g 1000 9,8

= = =

; L = 50 m; Q = 1,8m3/min=0,03m3/s;

Se tiene que la constante de la Ec. 3, es:2 2

p -52 2

h g 23,878 9,8k 6415,4 m

8LQ 8 50 0, 03

= = =

Con lo que se tiene la ecuacin:

3

5 56

1 0,1 10 / D 2,512 log

4 0,033,76415,4D 6415,4DD 10

= +

Cuya solucin es: D = 80 mm


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II.2. Flujo Interno


22

Otra forma de resolver las dos ecuaciones simultneas (1) y (2), es por iteraciones; cuyo diagrama de resolucines:

En el problema:

1 ITERACIN: D Q / 0,03/ 0,098m= = = (se supone inicialmente una velocidad media de 4 m/s)Ec. 1: f = kD5 = 6415,40,0985 = 0,057Ec. 2: Re = (40,03/0,09810-6) = 4105

r= 0,110-3

/0,098=0,001fColebrook= 0,0205

2 ITERACIN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,0205/6415,4)0,2 = 0,080 m

Ec. 1: f = 0,0205Ec. 2: Re = (40,03/0,08010-6) = 4,78105

r= 0,110-3/0,080=0,00125

fColebrook= 0,021

3 ITERACIN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,021/6415,4)0,2 = 0,080 m

Ec. 1: f = 0,0205Ec. 2: Re = (40,03/0,08010-6) = 4,78105

r= 0,110-3/0,080=0,00125

fColebrook= 0,021 (CONVERGENCIA) . D=80 mm

inicialD Q /=

D = Dinicial

Ec. 1: f=kD5

r

Colebrook r D Ec.2 f =f(Re, )

4QRe D

=

=

5Colebrookf f 10

< NO

SI

D = (fColebrook/k)0,2

DATOS

FIN


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II.2. Flujo Interno


23

P 2.6. Flujos estacionario y no estacionario. En el sistema de inyeccin por ral comn de un motor Dieselde inyeccin directa, se dispone de un colector de combustible a muy alta presin, de la que salen conductos paracada uno de los cilindros. En el extremo de cada conducto, se localiza una electrovlvula que deja pasar elcombustible al inyector. El tiempo de apertura de la electrovlvula se controla electrnicamente, en funcin delrgimen de giro del motor y de la carga. En el cierre de la electrovlvula (prcticamente instantneo), se provocaun golpe de ariete que genera una onda de sobrepresin en el conducto.

DETERMINE: 1) La velocidad del combustible en el conducto (v0), en flujo estacionario.2) La funcin v=v(t) que da la evolucin temporal de la velocidad en el conducto.3) Tiempo de apertura del inyector y velocidad que alcanza el combustible en el conducto.4) Velocidad de la onda de presin en el golpe de ariete provocado por el cierre.5) Sobrepresin mxima en el cierre de la electrovlvula.

DATOS:Conducto: D = 2 mm; L = 300 mm ; espesor: e =3 mm; rugosidad: = 0,01 mm ; mdulo Young: E = 2500MPaPresin manomtrica en el common-rail: 1323 bar; Presin manomtrica en cmara combustin: 54,3 barCombustible: densidad: = 832 kg/m3; mdulo de compresibilidad: K = 1620 MPaInyector: coeficiente de perdidas: KPS = 28,3; tiempo apertura: el equivalente a 5 de giro del cigeal.Motor: 4 cilindros, 4 tiempos, girando a 4000 rpm

(1) VELOCIDAD EN RGIMEN ESTACIONARIO:La cada de presin entre el common-rail y la cmara decombustin, determinan las prdidas lineales en el conducto de unin y las prdidas singulares en el inyector:

Despreciando la variacin de cotas entre el ral comn y la cmara de combustin, las energas cinticas y lasperdidas singulares en la conexin de la tubera con el ral comn, nos queda:

2 2 2 12 De donde la velocidad de rgimen estacionario es:

2

El coeficiente de friccin de Darcy en el conducto, viene dado por la Ec. de Colebrook, que para flujo turbulentototalmente desarrollado toma la forma:

=

7,3

D/log2

f

1 =

=

=

7,32/01,0

log4

1

7,3D/

log4

1f

220,030

Con lo que el valor de la velocidad de rgimen permanente es:

2 2132354,3108320,030,3000,002 28,3 96,43 /


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II.2. Flujo Interno


24

(2) ECUACIN DE ESTABLECIMIENTO DEL FLUJO: se considera una apertura instantnea del inyector,con lo que en el rgimen no estacionario, la evolucin temporal de la velocidad por el conducto, desde velocidadnula en el inicio, hasta que se alcance asintticamente la velocidad de flujo estacionario, se puede obtener apartir del balance de fuerzas elementales sobre un volumen elemental en el interior del conducto (de tamaodV=Adx):

El rea de la seccin recta es: A = D2/4; con lo que la expresin anterior se reduce a:

4

El gradiente de presin en la direccin axial, se determina por la diferencia de presiones entre el inicio de latubera en el ral comn y el final en su conexin con el inyector, por unidad de longitud de la tubera:

2 12 Si consideramos que desde el instante inicial el flujo es turbulento completamente desarrollado (es muchosuponer, pero por facilitar las cosas ), el factor de Darcy es constante y la tensin en la pared ser:

8

Con todo se tiene la ecuacin diferencial v vs t: 12 Es interesante darse cuenta que el parntesis, es un valor conocido, pues en rgimen estacionario con velocidadconstante (v0, que habamos obtenido en el apartado anterior) la aceleracin es nula y se obtiene:

Quedando definitivamente:

1 Separando variables: 1 Cuya integracin desde el instante inicial (t=0, v=0) hasta un instante t con velocidad v es:

2

p dxx

pp

+

w

v(t)

w

dx


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II.2. Flujo Interno


25

Con lo que la evolucin temporal de la velocidad es:

1 1En donde la constante de tiempo a es:

2 2132354,3108320,30096,43 10542,2 (3) TIEMPO DE APERTURA DEL INYECTOR Y VELOCIDAD EN EL INSTANTE DEL CIERRE DELINYECTOR:

El tiempo de apertura del inyector se determina a partir de la velocidad de giro del motor y de los grados delcigeal en los que se tiene abierto dicho inyector:

10

4000

360

60

0,417 10 0,417 Tenga en cuenta que un ciclo de trabajo (2 vueltas para un motor de 4 tiempos) girando el motor a 4000 rpm serealiza en 30 milisegundos (=(60000 ms/min)/ (2000 ciclos/min)).

Con todo lo anterior, la velocidad alcanzada al cabo de los 0,417 ms en los que est abierto el inyector ser:

1 1 96,43 ,,, 1,,, 1 94,08 /Que es prcticamente la velocidad de equilibrio, por el alto valor de la constante de tiempo.

(4) VELOCIDAD DE LA ONDA DE PRESIN PROVOCADA POR EL CIERRE INSTANTANEO DELINYECTOR: se dispone de todos los datos, con lo que:

=+

=+

=

66

6

102500003,0/101620002,01

832/101620

eE/DK1

/Ka 1166,07 m/s

El numerador de la expresin (/) es la velocidad snica en el fluido en flujo externo, que es igual a: / 162010832 1395,4 /

El efecto de la elasticidad de la tubera (a travs del modulo de elasticidad o de Young) provoca una ligeradisminucin de la velocidad de propagacin de los pulsos de presin, provocados por el cierre del inyector.

(5) INCREMENTO DE PRESIN MXIMA PROVOCADA POR EL CIERRE DEL INYECTOR: viene dadopor la Ec. de Allievi: ( ) vap ariete =

En donde v, es la disminucin de velocidad provocada por el golpe de ariete; en este caso desde la velocidadque se alcanza en el tiempo de apertura del inyector (prcticamente la de flujo estacionario), hasta velocidad nulaen su cierre instantneo:

( ) === 08,9407,1166832vap ariete 91,274MPa = 912,74 bar

El periodo de las ondas de presin provocada por el cierre del inyector, es de 2L/a, es decir:

T = 20,300/1166,07 = 0,515 ms

Recordando que el inyector vuelve a abrirse al cabo de 2 vueltas del cigeal, que corresponde a un tiempo de 30ms, es decir unos 58 ciclos de pulsos de presin, suficientes para que se extingan los pulsos de presin.


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II.2. Flujo Interno


26

v(t)

H

P 2.7. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario. En una central hidrulica de alta montaa, por latobera principal, se descarga un chorro haca los alabes de la turbina Pelton. Desde la toma del embalse, hasta latobera, hay una tubera por la que circula el agua.

DETERMINE: 1. Velocidad media en rgimen estacionario, y caudal estacionario.2. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario: desde que se abre totalmente la vlvula decontrol de la tobera, hasta que la velocidad media alcanza el 99 % de la velocidad estacionaria.

DATOS: Central: diferencia de cotas entre embalse y chorro: H = 385 mTuberas: dimetro: D = 800 mm; longitud: L = 3467 m; rugosidad absoluta: = 1 mmCoeficientes de prdidas singulares: entrada tubera: kpse = 0,8; tobera: kpss=4,4Reduccin de rea de la tobera: 5:1

RESOLUCIN:

(1) VELOCIDAD MEDIA EN RGINE ESTACIONARIO: el balance energtico entre la superficie libre delembalse y el chorro de salida es:

g2

vK

g2

v

g2

vK

g2

v

D

Lf

g2

vKH

20

2chorro

20

pss

20

20

pse =+++=

La velocidad del chorro es 5 veces la de la tubera, con lo que la constante K es:

K = Kpse + fL/D + Kpss + 25

Suponiendo, que el flujo es turbulento totalmente desarrollado, es decir, el factor de friccin, slo depende de larugosidad relativa a travs de la Ec. de von Karman:

02075,0

7,3

800/1log4

1

7,3log4

1f

2r2

=

=

=

Considerando como valor del coeficiente de correccin de energa cintica: = 1,06; la constante K es:

63,1212506,14,4800,0/346702075,08,02506,1KD/flKK psspse =+++=+++=

La velocidad media en rgimen estacionario queda: ===63,121

)385)(8,9(2

K

gH2v0 7,88 m/s

El caudal en rgimen estacionario es: =

=

=4

800,088,7

4

DvQ

22

00 3,96 m3/s

=

7,3log2

f

1 r


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II.2. Flujo Interno


27

(2) TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO DEL FLUJO: La ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento,aplicada a un elemento de fluido entre son secciones de la tubera en la direccin axial es:

/

El gradiente de presin piezomtrica en la direccin axial, se determina por las prdidas de carga lineales en el

tramo de tubera: Las prdidas de carga en la tubera, se pueden obtener del balance energtico (energa por unidad de peso):

( )g2

vCh

g2

v2506,1KKh

g2

v)2506,1(

g2

vKh

g2

vKH

2

pl

2

psspsepl

22

psspl

2

pse +=+++=+++=

2

Si consideramos que desde el instante inicial el flujo es turbulento completamente desarrollado (es muchosuponer, pero por facilitar las cosas ), el factor de Darcy es constante y la tensin en la pared ser:

8 Con todo se tiene la ecuacin diferencial v vs t: 12 El parntesis viene determinado por la velocidad de rgimen estacionario:

12 0 12 Quedando la Ec. diferencial: 1 La evolucin temporal de la velocidad media en la tubera, viene dada por la integracin de la ecuacindiferencial anterior:

1

1

vvee t

t

A

A

0+

= 0Lv

gH2A =

p

dxx

pp

+

w

v(t)

dxdz


28/30

II.2. Flujo Interno


28

Se considera como tiempo de establecimiento del flujo estacionario, el instante en donde la velocidad media es el99% de la correspondiente a flujo estacionario:

vv

vvln

gH2

Lvt

0

00

+

= gH

Lv646,2

01,0

99,1ln

gH2

Lv

v99,0v

v99,0vln

gH2

Lvt 00

00

000ientoestablecim ==

+=

Numricamente:

( ) ( )( ) ( )

===3858,9

88,73467646,2

gH

Lv646,2t 0ientoestablecim 19,2 s

En la grfica siguiente, se representa la evolucin temporal de la velocidad en la tubera:

Velocidad (m/s) vs tiempo (s)

( ) ( )( )( ) 10s276,088,73467 3858,92LvgH2A === 1

188,7

1

1vv

eeeet

t

t

t

276,0

276,0

A

A

0

+

=

+

=

Sera interesante evaluar lo que pasa con el nmero de Reynolds:

0,80010 8 10 6,304 101

1

ee

t

t

276,0

276,0

+

Re vs t(s)

Es decir, prcticamente a partir del primer segundo, el Re es mayor de 106, y por tanto el flujo es turbulento.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0,E+00

1,E+06

2,E+06

3,E+06

4,E+06

5,E+066,E+06

7,E+06

0 5 10 15 20 25 30


29/30

II.2. Flujo Interno


29

P 2.8. Golpe de ariete: en el sistema del problema anterior, se inicia la operacin de cierre de la vlvula dedescarga. En funcin del tiempo de cierre (lento o rpido), analice el movimiento de las ondas de presin y susamplitudes en la vlvula de descarga. En el cierre de la vlvula, cada posicin del elemento de cierre origina unadeterminada velocidad de paso del agua (desde v0 con la vlvula totalmente abierta, a 0 con la vlvula cerrada);

considere, que la velocidad de paso el proporcional a la raz cuadrada de la presin en la vlvula: iii pkv = ;

la constante de proporcionalidad, depende de la posicin del elemento de cierre y de la densidad del fluido.

DETERMINE: 1. Velocidad de la onda de presin.2. Sobrepresin mxima de Allievi (cierre instantneo).3. Oscilaciones de presin en la vlvula con cierre instantneo.

DATOS: Central Hidrulica: diferencia de cotas entre embalse y chorro: H = 385 mAgua: mdulo de compresibilidad: K = 2200 MPa; densidad: = 1000 kg/m3

Tuberas: dimetro: D = 800 mm; longitud: L = 3467 m; rugosidad absoluta: = 1 mmespesor: e =10 mm; mdulo de Young: E= 2000 MPa

Velocidad en rgimen estacionario: v0 = 7,88 m/s

RESOLUCIN:

(1) Velocidad de la onda de presin:)E/K)(e/D(1

a

)E/K)(e/D(1

Ka 0

+=

+

=

La velocidad snica en el seno del agua, viene dada por su mdulo de compresibilidad (K=2200 MPa) y su densidad(=1000 kg/m3):

===1000

102200/Ka

6

0 1483,24 m/s

El efecto de la elasticidad de la tubera, hace que la velocidad de la onda de presin en el golpe de ariete (a), sea inferior a lacorrespondiente a flujo no confinado (a0); en este caso del orden del 90%.

)2000/2200)(10/800(124,1483

)E/K)(e/D(1aa 0

+=

+= =157,223 m/s

(2) Sobrepresin mxima de Allievi: con cierre instantneo, conforme el fluido se va parando, su presinexperimenta un incremento, que se puede obtener, a partir de analizar un volumen de control estacionario, en unentorno diferencial al frente de onda:

= vQdF ( ) ( )( )0000 vaaAvAppAp +=+ 0avp =

s

m88,7

s

m223,157

m

kg1000avp

30== = = 12,4 bar

Esta sobrepresin, se suele expresar en unidades de carga o altura:

===

=

= 88,78,9223,157

vga

gav

gp

H 00 126,42 m

a

a

v0p0 p0+pv=0a

(a+v0)p0 p0+pa


30/30

II.2. Flujo Interno 30

(3) Oscilaciones de presin en cierre rpido. El tiempo desde que con el cierre de la vlvula se inicia el frentede onda de presin, hasta que retorna a la vlvula, es:

===223,157

34672

a

L2t retorno 54,5 s

La presin con la vlvula cerrada es: m385s

m8,9

m

kg1000gHp

2300 == = 37,73 bar

La sobrepresin de Allievi es:s

m88,7

s

m223,157

m

kg1000avp

30== = = 12,4 bar

Si el cierre total de la vlvula se hace antes de que el frente de onda retorne, se tiene cierre rpido, y noconsiderando efectos disipativos, la presin manomtrica en la vlvula, oscila peridicamente, desde p0+p ap0-p, con periodo 2L/a.Numricamente, presiones desde 37,73+12,4 = 50,13 bar a 37,73-12,4 = 25,33 bar, con periodo igual al tiempode retorno de 54,5 s.

T = 54,5 s

Pvlvula

tp0 = 37,730 barp = 12,4 bar

p = 50,13 bar

p = 25,33 bar

II.2. FLUJO INTERNO 0809

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