MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Movimiento general en el plano Mov.Compuesto (Principio de Independencia de los Movimientos de Galileo) Movimiento Parabólico Movimiento Circular

I. Movimiento General en un plano: Mov. Bidimensional

Tiempo

=tangente

=radial

u y ur son vectores variables.

i , j , kson vectores constantes.

Entonces: d idt

=0 , d jdt

=0 , d kdt

=0

a) ur=cosθ i+senθ j

d ur

dt=(−senθ

dθdt )i+(cosθ dθ

dt ) jd ur

dt=dθ

dt(−senθ i+cosθ j )

d ur

dt=dθ

dtu

b) uθ=−senθ i+cosθ j

d uθ

dt=(−cos θ dθ

dt )i+(−senθdθdt ) j

d uθ

dt=−dθ

dt(cosθ i+senθ j )

d uθ

dt=−dθ

dtur

c) r(posición)

v=d rdt

=Velocidad en latrayectoria

a=d vdt

=Aceleración en latrayectoria

d) θ(Posición angular)

ω=d θdt

=Velocidad angular

α=d ωdt

=Aceleraciónangular

Análisis del Movimiento

1) Posición: r=r ur

2) Velocidad:

v=d rdt

=drdt

ur+rd ur

dt

v=d rdt

=drdt

ur+rdθdt

uθ

⟹ v=vradial ur+r ωangular uθ

En un movimiento circular r = constante, entonces drdt

=0, luego:

v=r ωang uθ

v=V tangencial uθ

Donde: V tangencial= r ¿)

NOTA

La velocidad radial indica cuánto nos acercamos.

3) ACELERACIÓN

a=d vdt

a=d vdt

=d2rd t 2

ur+drdt

.d ur

dt+ drdt

.dθdt

uθ+rd2θd t 2

uθ+rdθdt

d uθ

dt

Pero

d ur

dt=dθ

dtuθ y

d uθ

dt= - dθ

dtur

⟹ a=d vdt

=[ d2rd t 2−r ( dθdt )

2] ur+[2 drdt

.dθdt

+r d2θd t 2 ] uθ

En un movimiento circular r = constante

drdt

=0 yd2 rd t2

=0

⟹ a=−(r ω2 ) ur+(rα )uθ

Donde:

a tangenciala radial

a radial a tangencial

a t=α . r

II. Movimiento Circular Trayectoria: Circunferencia. Módulo der constante.

a total=−r ( dθdt )2

ur+rd2θd t 2

uθ

Aceleración radial: Dirigida al centro. “Ligado” a la trayectoria circunferencial. Conocido como aceleración centrípeta.

ac=−(r ω2) ur

|ac|=r ω2

Aceleración tangencial: Recorre la trayectoria.

a t=(rα) uθ

NOTA:

Con estas fórmulas se puede verificar que el movimiento circular es resultado de la acción de la aceleración centrípeta.

CURVATURA Y RADIO DE CURVATURA

a t=rα

a t=rd2θd t 2

=rdωdt

=d (rω )dt

→rω=rdθdt

=d (rθ )dt

=dSdt

=V tang

a t=d (V T )dt

=d2Sd t2

α=d2θd t 2

=dωdt

Se define una magnitud llamada CURVATURA K como:

k=|d uT

dS |Y su inversa:

1k=ρ(Radio decurvatura)

Aplicándose las siguientes relaciones:

1)d uT

dS=k uN

2)d uT

dS. uT=0

3) aT=v . av

4) aN=¿ v x a∨ ¿V

¿

Y

X

A

A’

C

5) ρ= v3

¿ v x a∨¿¿

Demostración 1) d uT

dS=k uN

d uθ

dt=−dθ

dtur→

duT

dt=−dθ

dtuN

d uT

dt.dSdS

=−dθdt

uN

d uT

dS. v=−ωuN

d uT

dS=−ω

vuN

d uT

dS=−1

ρuN

d uT

dS=−k uN L.q .q .d .

Demostración 2) d uT

dS. uT=0

Como d uT

dS=k uN

d uT

dS. uT=k uN .uT

uN .uT=0 , pues uN⊥ uT, entonces

d uT

dS. uT=0 L .q .q . d .

Demostración 3) aT=v . av

v . a=(v ut ) . (aN uN+aT uT )

ut . uT=|ut||ut|.cos (0 )=1

ut . uT=0 , uN⊥ uT

¿ va t

v . av

=aT l . q . q . d

Si tenemos la forma (expresión) de la curva, entonces podemos hallar el radio de curvatura por factores geométricos.

ρ=[1+( dydx )

2]32

d2 yd x2

EJEMPLO:

Un móvil se desplaza sobre la trayectoria y=3x2, con rapidez constante de 10 m/s. Hallar la aceleración de la partícula cuando pasa por el punto (1,3)

a=aN uN+aT uT

→aT=dvdt

=d (10m /s )

dt=0

aN=−r w2 uN

aN=r ( vr )2

aN=v2

ρ=

(10m / s)2

ρ

Hallando ρ=[1+( dydx )

2]32

d2 yd x2

y=3 x2

dydx

=6 x→ (1,3 ) dydx

=6

d2 yd x2

=6→ (1,3 ) d2 y

d x2=6

Entonces

ρ=[1+(6 )2 ]

32

6=37.51m

Finalmente

aN=v2

ρ=

(10m / s)2

37.51=2.67m /s2