Igor Eduardo Otiniano Mejía

Comportamento dinâmico de dutos enterrados: Metodologia e Implementação Computacional

Tese de Doutorado

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientadores: Deane de Mesquita Roehl Celso Romanel

Rio de Janeiro, setembro de 2008

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Igor Eduardo Otiniano Mejía

Comportamento dinâmico de dutos enterrados: Metodologia e Implementação Computacional

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Profa . Deane de Mesquita Roehl Orientador

PUC-Rio

Prof. Celso Romanel Co-orientador

PUC-Rio

Prof. João Luís Pascal Roehl Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Prof. Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Profa . Mildred Ballin Hecke Universidade Federal do Paraná

Prof. Fernando Saboya A. Junior Universidade Estadual do Norte Fluminense

José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, 11 de setembro de 2008

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Igor Eduardo Otiniano Mejía Mestre em Engenharia Civil pela PUC-Rio em 2003. Graduado em Engenharia Civil pela Universidade Privada de Tacna em 1994. Atua na linha de pesquisa de termodinâmica e dutos enterrados.

Ficha Catalográfica

CDD: 624

CDD: 624

Otiniano Mejía, Igor Eduardo

Comportamento dinâmico de dutos enterrados: metodologia e implementação computacional / Igor Eduardo Otiniano Mejía ; orientadores: Deane de Mesquita Roehl, Celso Romanel. – 2008. 167 f. ; 30 cm

Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008. Inclui bibliografia

1. Engenharia civil – Teses. 2. Elementos finitos. 3. Elementos de interface. 4. Interação solo-duto. 5. Modelo linear–equivalente. 6. Tubulações enterradas. I. Roehl, Deane de Mesquita. II. Romanel, Celso. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

Aos meus pais Ricardo (in memoriam) e Esperanza,

à minha esposa Ana,

e ao meu filho José Ricardo,

pelas orações, apoio e confiança.

Agradecimentos

Primeiramente, agradeço a Deus por ter me dado a oportunidade de estar no

mundo.

As pessoas que passaram e passam pelo que eu passei e passo: ficar longe da

família em busca de um ideal comum.

A minha orientadora Professora Deane Roehl, um muito obrigado especialíssimo

pela oportunidade de desenvolvimento desta pesquisa, pela enorme

disponibilidade para orientação, confiança e paciência para o desenvolvimento

deste trabalho - “chegamos”.

Ao Professor Celso Romanel, por ter me ajudado para que eu encontrasse o

melhor caminho para a conclusão desta jornada.

Aos professores do curso de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia Civil

– PUC-Rio pelos ensinamentos transmitidos durante os cursos de Mestrado e

Doutorado.

Aos meus amigos, dos cursos do mestrado e doutorado, especialmente aos da sala

609 que proporcionaram sempre enriquecedores debates, pela amizade e

agradável convívio.

Aos funcionários da secretaria de Engenharia Civil, pela atenção para comigo e

extraordinário desempenho para com todos os alunos.

À “Cidade Maravilhosa”, por ter sido a cidade que me acolheu em seu berço.

À Capes e ao CNPq pelo apoio financeiro.

Resumo

Otiniano Mejía, Igor Eduardo; Roehl, Deane. Comportamento dinâmico de dutos enterrados: Metodologia e Implementação Computacional. Riode Janeiro, 2008. 167p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Neste trabalho apresenta-se uma metodologia de análise do comportamento

mecânico de dutos enterrados usados no transporte de gás e outros fluidos sujeitos

a cargas dinâmicas. Em especial são considerados carregamentos provocados por

sismos. Emprega-se uma modelagem em elementos finitos com base em uma

discretização com elementos especiais de viga para modelar o duto. Não

linearidades geométricas e do material são consideradas numa formulação

Lagrangeana total. As equações de equilíbrio são formuladas a partir do principio

dos trabalhos virtuais, segundo as componentes de tensão e deformação no

elemento viga-duto. A técnica do Módulo Reduzido de Integração Direta (RMDI)

é empregada na qual se incorpora o comportamento elasto-plástico do material.

Esta abordagem exclui da análise os efeitos do enrugamento nas paredes do duto.

As matrizes para resolução por elementos finitos dessas equações são derivadas.

Nessa metodologia os efeitos da interação solo-duto são incorporados. O solo é

modelado através de elementos bidimensionais considerando um modelo

constitutivo Linear-Equivalente, acoplados ao duto por meio de elementos de

interface localizados entre o duto e o solo. Finalmente são considerados contornos

artificiais amortecidos para possibilitar a representação do problema através de

um trecho finito. Foram usados para as análises históricos de acelerações do tipo

sismo, entre estes o sismo ocorrido em Pisco – Perú no ano 2007. Desenvolve-se

um programa para computador segundo a metodologia apresentada. Finalmente

são estudados alguns exemplos com o objetivo de avaliar numericamente os

resultados da análise obtidos e formular algumas conclusões sobre o

comportamento de dutos enterrados sujeitos a cargas dinâmicas.

Palavras-chaveElementos finitos; interação solo-duto; elementos de interface; modelo linear

equivalente; tubulações enterradas.

Abstract

Otiniano Mejía, Igor Eduardo; Roehl, Deane. Dynamic Behavior of buried pipes Methodology and computational implementation. Rio de Janeiro, 2008. 167p. D.Sc. Thesis – Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work presents a numerical methodology for the analysis of buried

pipes employed by the transport of oil and gas subject to dynamic loads. Emphasis

is given to seismic loads. A finite element model based on a special class of beam

element for the pipe representation is employed. Both geometric and material non-

linearities are considered in a total Lagrangean formulation. The equilibrium

equations are formulated based on the virtual work principle considering the stress

and deformation components of the beam-pipe element. The Reduced Modulus

Direct Integration (RMDI) technique is employed by which the elasto-plastic

material behavior is incorporated. This technique excludes from the analysis the

local buckling effects of the pipe walls. The corresponding finite element matrices

for this element are obtained. In this methodology the effects of the constant

internal pressure as well as the soil-pipe interaction are included. The soil is

modeled through two-dimensional elements with material behavior described

through a linear equivalent model. Interface elements couple beam-pipe elements

with soil elements and account for soil-pipe interaction. Finally silent boundary

elements are incorporated to the model to reproduce the semi-infinite boundary

conditions in the finite size model. Distributed loads are considered constant with

respect to the global axis. Acceleration histories are applied to simulate seismic

dynamic loads among which the acceleration histories of the earthquake which

occurred in Pisco-Perú in 2007. A finite element computer code is developed

according to the methodology presented. Some examples are studied with the

objective to evaluate numerically the analysis results and to formulate some

conclusions to the behavior of buried pipes subject to seismic loads.

Keywords Finite elements; soil-pipe interaction; interface elements; linear equivalent

model; buried pipes.

Sumário

1 Introdução 22

1.1 Tubulações enterradas 22

1.2 Transporte de gás natural 23

1.3 Efeitos sísmicos 26

1.3.1 Parâmetros sismológicos. 29

1.3.2 Ondas planas de tensão (elásticas) 31

1.4 Objetivos e organização do trabalho 33

2 Modelos para dutos enterrados 36

2.1 Mecânica do problema 36

2.2 Definição do movimento 37

2.3 Modelos numéricos de interação duto-solo 39

2.4 Pesquisas na área de tubulações. 40

2.5 Procedimento simplificado para projeto sísmico de dutos

enterrados 45

3 Formulação do elemento viga-duto 52

3.1 Introdução 52

3.2 Hipóteses do modelo matemático 52

3.3 Hipóteses cinemáticas fundamentais 53

3.4 Relações constitutivas 57

3.4.1 Algoritmo implícito de Euler (Backward Euler) 63

3.4.2 Integração das tensões 65

3.5 Equação de trabalho virtual incremental 67

3.6 Discretização em elementos finitos 69

3.6.1 Interpolação de deslocamentos 70

3.6.2 Matrizes de deformação-deslocamento 73

3.6.3 Equações de equilíbrio para o elemento finito 74

4 Formulação do modelo numérico do solo 77

4.1 Modelos constitutivos 77

4.2 Comportamento dos solos 78

4.3 Resumo dos principais modelos constitutivos para solos 81

4.4 Modelo Linear Equivalente 82

4.5 Discretização do elemento finito para o solo 90

5 Elementos finitos de interface e contornos artificiais 94

5.1 Elemento de Goodman, Taylor e Brekke (1967). 94

5.2 Elemento de Ghaboussi, Wilson e Isenberg (1973) 97

5.3 Elemento de Pande e Sharma (1979) 100

5.4 Elemento de Desai, Lightner e Siriwardane (1984). 104

5.5 Critérios e métodos numéricos utilizados nos contornos artificiais

do meio contínuo. 106

5.5.1 Contornos absorventes locais no domínio do tempo 107

5.5.2 Matriz de elementos de contorno 107

5.5.3 Controle do tamanho do elemento 108

6 Métodos de solução 110

6.1 Introdução 110

6.2 Revisão de procedimentos de solução 110

6.3 Processo iterativo para solução do sistema de equações de

equilíbrio não lineares: método Newton-Raphson 111

6.4 Solução do sistema de equações de equilíbrio no domínio do

tempo 115

6.4.1 Algoritmos de integração 116

6.4.2 Algoritmos de Newmark incondicionalmente estáveis 116

6.4.3 Convergência de um algoritmo 118

7 Exemplos e validação da metodologia. 120

7.1 Verificação do modelo elástico linear. 120

7.2 Verificação do modelo linear equivalente. 124

7.3 Verificação do Modelo Linear Equivalente para um histórico de

acelerações. 126

7.4 Verificação do Modelo Linear Equivalente para um histórico de

acelerações e consideração de contornos absorventes. 129

7.5 Verificação do modelo duto-solo submetido a cargas dinâmicas. 131

7.6 Verificação do modelo duto - solo usando aço API- 5L 500mm.

e um sismo de 8,0 graus de magnitude (Pisco – Perú 2007). 133

7.7 Verificação do modelo duto-solo usando aço API- 5L 600mm e

um sismo de 8,0 graus de magnitude (Pisco – Perú 2007). 139

7.8 Verificação do modelo duto-solo usando aço API- 5L 600mm e

um sismo de 8,0 graus de magnitude (Pisco – Perú 2007) e

efeitos de subpressão. 141

7.9 Verificação do modelo duto - solo usando aço API- 5L 500mm

e um sismo de 8.0 graus de magnitude considerando tensões

residuais (caso ocorrido no projeto Camisea - Perú.) 143

8 Conclusões 148

9 Referências bibliográficas 152

10 Anexo 159

10.1 Perfil Geotécnico – Areias do setor de Camisea 159

10.2 Efeito da forma das partículas – Areias do setor de Camisea 165

Lista de figuras

Figura 1.1 – Esquema de tubulação enterrada ........................................22

Figura 1.2 - Reservas de gás natural da América do Sul. (Gástech) .......25

Figura 1.3 – Principais conexões dos gasodutos entre os países da

América do sul. .....................................................................25

Figura 1.4 - Bloco - diagrama mostrando uma representação

esquemática do foco ou hipocentro, plano de falha e

epicentro. ..............................................................................26

Figura 1.5 - Continente universal Pangea. ...............................................28

Figura 1.6 - Distribuição geográfica das placas tectônicas da terra. Os

números representam as velocidades em cm/ano entre as

placas, e as setas, os sentidos do movimento. Teixeira,

Toledo, Fairchild e Taioli (2000). ..........................................28

Figura 1.7 - Efeitos de subducção entre duas placas adjacentes. ...........29

Figura 1.8 - Acelerograma e suas principais características. ...................30

Figura 1.9 - Diferentes tipos de ondas planas de tensão em material

sólido ....................................................................................33

Figura 1.10 - Registro de ondas sísmicas. ...............................................33

Figura 2.1 - Detalhe da ação das ondas de sismo no sistema duto-solo. 37

Figura 2.2 - Propagação das ondas no espaço........................................37

Figura 2.3 - Modelo duto-solo em elementos finitos submetidos ao

carregamento do acelerograma horizontal. ..........................38

Figura 2.4 - Modelo simplificado de sistema duto–solo............................38

Figura 2.5 - Modelo elasto-plástico Idealizado para as forças de

interação solo-duto nas três direções espaciais, ASCE

(1984). ..................................................................................47

Figura 2.6 - Relação carga–deformação lateral na interface solo-duto

para diferentes casos, O’Rourke (1999). ..............................47

Figura 2.7 - Esquema do procedimento de projeto proposto para

tubulações enterradas. (Rodríguez, P. 2003). ......................51

Figura 3.1 - Sistema de coordenadas, global e local................................54

Figura 3.2 - Configurações deformadas para 0t , t t e t t t ........55

Figura 3.3 - Deformações no tubo fletido. ................................................55

Figura 3.4 - Exemplo de divisão da seção transversal do duto. ...............62

Figura 3.5 - Superfície de plastificação: princípio da normalidade. ..........63

Figura 3.6 - Procedimento de integração implícito e explícito. .................65

Figura 3.7 - Elemento de viga com três nós. ............................................70

Figura 3.8 - Inclinação do elemento de viga-duto.....................................73

Figura 4.1 - a) Variação de K com p’, b) Variação de G com p’ e com

oct . .......................................................................................80

Figura 4.2 - Relação tensão - deformação para diferentes deformações.

Report No EERC-70-10. .......................................................83

Figura 4.3 - Curvas de variação do módulo de cisalhamento para areias

sob diferentes densidades relativas – Seed e Idriss (1970). 86

Figura 4.4 - Curvas de variação do módulo de cisalhamento para

diferentes índices de plasticidade – Vucetic e Dobry (1991) 87

Figura 4.5 - Curvas de variação da razão de amortecimento para

diferentes índices de plasticidade – Vucetic e Dobry (1991) 88

Figura 4.6 - Definição das coordenadas naturais de um triangulo. ..........90

Figura 5.1 - Elemento de junta, espessura nula = 0, sistema de

coordenadas locais , ........................................................95

Figura 5.2a - Geometria do elemento de interface

[Ghaboussi, Wilson e Isenberg (1973)].................................97

Figura 5.2b - Detalhe do elemento de interface

[Ghaboussi, Wilson e Isenberg (1973)].................................98

Figura 5.3a - Elemento de interface com dois elementos planos

adjacentes [Pande e Sharma (1979)]. ................................101

Figura 5.3b - Elemento de interface isoparamétrico parabólico

[Pande e Sharma (1979)]. ..................................................101

Figura 5.4 - Esquema dos modos de deformação na interface

[Desai, Lightner e Siriwardane (1984)]. ..............................104

Figura 5.5 - Esquema do elemento de interface

[Desai, Lightner e Siriwardane (1984)]. ..............................106

Figura 7.1 - Esquema do estrato horizontal. ..........................................121

Figura 7.2 - Malhas de elementos finitos usados nas análises. .............122

Figura 7.3 - Resposta elástica linear para o deslocamento no tempo

para a parte superior do estrato (nó 92 da figura 7.2). .......123

Figura 7.4 - Resposta elástica linear para o deslocamento no tempo

para a parte media do estrato (nó 47 da figura 7.2)............123

Figura 7.5 - Valores da variação do módulo de rigidez ao cisalhamento

G com a deformação cisalhante (EERC 70-10

DECEMBER 1970 – SOIL MODULI AND DAMPING

FACTORS FOR DYNAMIC RESPONSE ANALYSES).......124

Figura 7.6 - Valores da razão de amortecimento (Report EERC 70-10

DECEMBER 1970 – SOIL MODULI AND DAMPING

FACTORS FOR DYNAMIC RESPONSE ANALYSES).......125

Figura 7.7 - Resposta Linear Equivalente para o deslocamento

horizontal para a parte superior do estrato

(nó 92 figura 7.2). ...............................................................125

Figura 7.8 - Resposta Linear Equivalente para o deslocamento

horizontal para a parte media do estrato

(nó 47 figura 7.2). ...............................................................126

Figura 7.9 - Acelerograma usado na análise..........................................127

Figura 7.10 - Malha de elementos finitos usada na análise com o

programa QUAKE...............................................................128

Figura 7.11 - Malha de elementos finitos gerada pelo programa MTool 128

Figura 7.12 - Deslocamento horizontal no tempo - malha sem

contornos absorventes. ......................................................129

Figura 7.13 - Deslocamento horizontal no tempo considerando a

malha com contornos absorventes. ....................................130

Figura 7.14 - Malha com contornos absorventes, duto e elementos

de interface. ........................................................................131

Figura 7.15 - Deslocamento horizontal no tempo, Para o ponto 1. ........132

Figura 7.16 - Deslocamento horizontal no tempo, Para o ponto 3. ........133

Figura 7.17 - Tensão – Deformação para aço API- 5L-X70 ...................134

Figura 7.18 - Acelerograma usado na analises e Período espectral do

Sismo..................................................................................135

Figura 7.19 - Malha incluindo contornos absorventes. ...........................136

Figura 7.20 - Seção do duto, subdivisão do duto e ponto de avaliação

de tensões. .........................................................................136

Figura 7.21 - Deslocamento horizontal no tempo, Para o ponto 1. ........137

Figura 7.22 - Tensão - Tempo, para o ponto 1 (parte superior do duto) 138

Figura 7.23 - Tensão - Tempo, para o ponto 1 (parte superior do duto) 138

Figura 7.24 - Seção do duto, subdivisão do duto e ponto de avaliação

de tensões. .........................................................................139

Figura 7.25 - Deslocamento horizontal no tempo, para o ponto 1..........140

Figura 7.26 - Tensão - Tempo, para o ponto 1 (parte superior do duto) 140

Figura 7.27- Tensão, para o ponto 1 (parte superior do duto)................141

Figura 7.28 – Subpressão aplicada ao duto. ..........................................142

Figura 7.29 – Deslocamento horizontal no tempo, para o ponto 1. ........142

Figura 7.30 – Tensão, para o ponto 1 (parte superior do duto). .............143

Figura 7.31 - Falha no poliduto acontecida no dia 22 de dezembro do

2004....................................................................................144

Figura 7.32 - Seção do duto, região da solda.........................................145

Figura 7.33 - Tensões para o ponto 1 parte superior do duto sem

solda. ..................................................................................146

Figura 7.34 - Tensões para o ponto 1 parte superior do duto Tensão

Residual = 100 MPa ...........................................................146

Figura 7.35 - Tensão para o ponto 1. .....................................................147

Figura 10.1 - Sismógrafo Digital ORION 3S. ..........................................159

Figura 10.2 - Ensaio de Penetração Estandar (SPT). ............................161

Figura 10.3 - Ensaio de Piezocone (CPTU). ..........................................162

Figura 10.4 - Ensaio do Dilatômetro de Marchetti (DMT). ......................163

Figura 10.5 – Velocidades de ondas S e P nas areias da região de

Camisea. ............................................................................164

Figura 10.6 - Carta de esfericidade (S) e redondez (R). ........................165

Figura 10.7 - Distribuição pelo tamanho do mineral, onde se nota o

predomínio dos grãos angulares. .......................................167

Lista de símbolos

A área;

Am aceleração máxima do solo perpendicular à direção de propagação da

onda;

B operador de deformação deslocamento

C velocidade de propagação da onda sísmica;

xC razão entre deformação circunferencial e deformação longitudinal;

rxC razão entre deformação radial e deformação longitudinal;

EPC modulo elasto-plástico; BEC amortecimento para o elemento de contorno;

D diâmetro exterior do duto;

Dep matriz elasto-plástica;

E modulo de Young ou Elasticidade;

F força axial;

fy tensão de escoamento; t

eqF força axial equivalente;

g aceleração da gravidade;

G modulo de cisalhamento;

'H constante de encruamento equivalente;

IP índice de plasticidade;

K rigidez volumétrica;

gK curvatura máxima do solo;

1K coeficiente de rigidez da seção transversal de uma viga (axial);

2K coeficiente de rigidez da seção transversal de uma viga (flexão);

3K coeficiente de rigidez da seção transversal de uma viga (coupling);

t L comprimento corrente do elemento viga-tubo;

iL funções de interpolação de elementos finitos triangulares;

teqM momento equivalente;

MM escala de Mercalli Modificada;

ML magnitude local; t

iN funções de interpolação de elementos finitos viga-duto;

p pressão interna; t

ijs tensor desviador do segundo tensor de tensões Piola-Kirchhoff;

tijS segundo tensor de tensões Piola-Kirchhoff;

S tensão;

S tensão efetiva;

yS tensão cisalhante máxima;

t S tensão circunferencial constante;

Sx tensão longitudinal;

Sr tensão radial;

t espessura do duto;

r radio;

R forças internas; ,u v deslocamentos em coordenadas locais x, y;

coeficiente de Poisson;

Vm velocidade horizontal máxima do solo;

Vp velocidade de propagação de onda P;

Vs velocidade de propagação de onda S;

Vd vetor de desequilíbrio de forças;

tol tolerância;

m quantidade de sub incrementos;

h parâmetro de endurecimento;

p’ tensão media efetiva;

U forças desbalanceadas;

W ext trabalho externo;

Pa pressão atmosférica;

PHA aceleração pico horizontal;

K2max coeficiente adimensional;

Dr densidade relativa;

TCF trilhão de pés cúbicos;

Ti matriz de transformação (elemento de interface);

Tu resistência ultima horizontal axial;

Pu resistência ultima horizontal transversal;

Qu resistência ultima horizontal vertical;

ur deslocamento relativo;

e espessura do elemento;

en erro global;

xsi tamanho de sub incremento;

,x y coordenadas globais;

angulo de orientação;

, parâmetros de amortecimento de Rayleigh;

' constante entre 0 e 1;

, parâmetro do algoritmo de integração numérica;

M porção da matriz de massa;

K porção da matriz de rigidez;

pd deformação plástica efetiva incremental;

P deformação plástica efetiva acumulada;

0t deformação longitudinal no centróide do elemento;

pt

deformação plástica efetiva incremental;

Pt

deformação plástica na direção circunferencial;

Pt r

deformação plástica na direção radial;

Pt x

deformação unitária plástica na direção longitudinal;

tx

deformação unitária longitudinal;

g deformação axial de campo livre;

incremento;

operador Nabla;

curvatura;

rotações;

tensão;

freqüência;

coordenada natural axial;

ij delta de Kronecker;

'm tensão efetiva principal media;

parâmetro de encruamento;

matriz tangente elástica modificada;

coordena natural;

configuração da estrutura;

tensão cisalhante;

densidade do material;

D tolerância em termos de deslocamento;

F tolerância em termos de força;

E tolerância em termos de energia;

deformação normal;

deformação tangencial;

multiplicador plástico;

DutC matriz de amortecimento do duto;

SoloC matriz de amortecimento do solo;

[ ]t PD matriz de propriedades de material da seção transversal da tubulação;

[ ]t F matriz de força axial;

[ ]t N matriz de funções de interpolação;

[ ]K matriz de rigidez;

[ ]EK matriz de rigidez elástica para um elemento;

[ ]EPK matriz de rigidez elasto-plástica para um elemento;

[ ]t M matriz de momento;

DutM matriz de massa do duto;

soloM matriz de massa do solo;

[ ]tT matriz de transformação;

{ }P vetor de carga externa;

{ }Q vetor de força equilibradora;

{ }u vetor deslocamento;

a valor absoluto de a;

“Á homens que lutam um dia e são bons, há outros

que lutam um ano é são melhores, há os que lutam

muitos anos é são muito bons. Mas há os que lutam

toda a vida e estes são imprescindíveis.”

Bertold Brecht

1 Introdução

1.1 Tubulações enterradas

A segurança de tubulações enterradas tem sido muito pesquisada nos

últimos anos devido ao grande risco de dano ocasionado por deslocamentos e

deformações do solo e/ou por propagação de ondas sísmicas.

As propriedades dos solos sofrem grandes modificações quando são

submetidos a solicitações dinâmicas. Os modelos constitutivos que reproduzem

adequadamente o comportamento dos solos em situações estáticas tornam-se

incapazes de predizer como evoluem as tensões e as deformações quando as

cargas aplicadas são variáveis no tempo. Por outro lado, as solicitações dinâmicas

são muito mais freqüentes que as estáticas na natureza. As situações mais críticas

acontecem durante terremotos, onde os solos sofrem grandes deformações que

modificam suas características.

Os modelos constitutivos desenvolvidos para analisar esse tipo de problema

no solo não são simples.

Figura 1.1 – Esquema de tubulação enterrada

23

No caso de dutos, a hipótese de comportamento linear pode levar a

resultados errôneos que mascaram a resposta real da estrutura e dificultam uma

determinação precisa da sua segurança. Por essa razão, métodos de análises que

incorporem os efeitos não-lineares e dinâmicos são necessários ao projeto.

Na prática, a análise é realizada de acordo a os critérios de projeto em cada

caso, não havendo um único procedimento adotado pelos engenheiros. Em

particular, as normas de projeto sísmico não contemplam o projeto de sistemas de

dutos enterrados.

1.2 Transporte de gás natural

Um dos aspectos que mais caracteriza o gás natural é a possibilidade de seu

estado físico ser adaptado às condições de transporte desde a zona onde é

produzido até a região onde será utilizado, freqüentemente distantes uma da outra.

Destacam-se as três seguintes alternativas principais:

a) Sob a forma liquefeita em navios criogênicos.

O transporte de gás natural liquefeito (GNL), à temperatura de

162°C negativos, em navios criogênicos, só costuma ser

econômico para grandes volumes e distâncias. É usado onde não há

a possibilidade de adotar outra alternativa como, por exemplo, nas

transferências do Sudeste da Ásia e da Austrália para o Japão, ou

onde não havia alternativa na época em que os sistemas foram

implantados,como por exemplo da Argélia para a França e

Espanha. Os navios utilizados nesse transporte são da ordem de

100 mil m3 de capacidade.

b) Sob a forma de compostos derivados líquidos ou sólidos.

O transporte do gás natural sob a forma de compostos derivados é,

na maior parte das vezes, a forma mais econômica, uma vez que

ele é transformado em produtos líquidos ou sólidos que têm custo

de transporte mais baixo.

24

c) Gasodutos.

Gasoduto é uma tubulação para conduzir o gás natural que nele é

introduzido sob pressão por meio de compressores. Nos Estados

Unidos, por exemplo, existem hoje cerca de 500 mil km de dutos,

atendendo a quase 50 milhões de clientes.

Por força do fluxo, há uma perda de energia por atrito, e a pressão

vai caindo ao longo da tubulação, sendo necessárias estações de

compressão ao longo da linha para elevar a pressão e permitir a

continuidade do fluxo do produto.

Nos dutos de transporte de longa distância, as pressões usuais

podem atingir de 9 a 12 MPa logo após a estação de compressão,

caindo, ao longo do duto, até cerca de 3 a 4 MPa, fazendo-se

necessária uma outra estação de compressão. Esse ciclo pode se

repetir várias vezes, permitindo atingir distâncias praticamente

ilimitadas.

Como exemplo, um gasoduto de 4 mil km leva mais de 200

milhões de metros cúbicos por dia de gás natural desde a Rússia,

na região dos Montes Urais, até o centro da Alemanha Ocidental, a

custos econômicos.

Nas redes de distribuição para consumo urbano, visando à

segurança das comunidades, a pressão é reduzida para 0,5 a 0,6

MPa nos ramais.

O espaçamento entre as estações de compressão resulta de

avaliações econômicas, mas varia na faixa de 150 a 600 km.

Freqüentemente, adota-se um diâmetro grande para o fluxo inicial

previsto, com um espaçamento maior das estações de compressão.

À medida que o volume a transportar cresce com o aumento da

demanda, introduzem-se estações intermediárias de compressão.

O custo de implantação do duto depende fundamentalmente da taxa

de ocupação humana das áreas atravessadas, das dificuldades

impostas pelo relevo, de eventuais obras especiais exigidas

(travessias de grandes rios, de estradas etc.).

As tubulações têm se constituído na solução mais amplamente

utilizada para o transporte do gás natural.

25

As figuras 1.2 e 1.3 apresentam as reservas reais de gás natural na América

do Sul e as principais conexões dos gasodutos em operação, construção e estudo,

respectivamente.

Figura 1.2 - Reservas de gás natural da América do Sul. (Gástech) TCF (sigla em inglês para trilhão de pés cúbicos, o equivalente a 56 bilhões de metros cúbicos).

Figura 1.3 – Principais conexões dos gasodutos entre os países da América do sul. (CTGÁS - Centro de Tecnologias do Gás).

26

1.3 Efeitos sísmicos

Os sismos ou tremores de terra constituem um fenômeno geológico que

sempre aterrorizou as populações que vivem em determinadas zonas da Terra.

Sismos são abalos naturais da crosta terrestre que ocorrem em um período de

tempo restrito, em determinado local, e que se propagam em todas as direções

(ondas sísmicas), dentro da crosta terrestre e em sua superfície, sempre que a

energia elástica se liberta bruscamente em algum ponto (foco ou hipocentro).

Ao ponto situado na interseção da projeção vertical do hipocentro com a

superfície terrestre dá-se o nome de epicentro, quase sempre rodeado pela região

macrossísmica, que abrange todos os pontos onde o abalo possa ser sentido pelo

homem.

Figura 1.4 - Bloco - diagrama mostrando uma representação esquemática do foco ou

hipocentro, plano de falha e epicentro.

O material da crosta terrestre, de acordo com as leis físicas, quando

submetido à ação de forças (pressões e tensões) deforma-se até atingir o seu limite

de elasticidade. Caso a ação da força prossiga, o material entra em ruptura,

libertando instantaneamente toda a energia que havia acumulado durante a

deformação elástica. Em termos gerais, é aquilo que se passa quando a litosfera

fica submetida a tensões. Sob o efeito das tensões causadas, a maior parte das

vezes, pelo movimento das placas tectônicas, a litosfera acumula energia.

Logo que, em certas regiões, o limite de elasticidade é atingido, dá-se uma

ou várias rupturas que se traduzem por falhas. A energia bruscamente libertada ao

longo dessas falhas origina os sismos. Se as tensões prosseguem, na mesma

27

região, a energia continua a acumular-se e a ruptura conseqüente far-se-á ao longo

dos planos de falha já existentes. As forças de fricção entre os dois blocos de uma

falha, bem como os deslocamentos dos blocos ao longo do plano de falha, não

atuam nem se fazem sentir de maneira contínua e uniforme, mas por "pulsos"

sucessivos, originando cada "pulso" um sismo, as chamadas réplicas. Numa dada

região, os sismos repetem-se ao longo do plano de falha, que por sua vez é um

plano de fraqueza na litosfera.

Compreende-se então porque é que os sismos se manifestam geralmente

pelo abalo principal, logo no seu início. Só no momento em que as tensões levam

as rochas rígidas dotadas de certa elasticidade ao "potencial de ruptura" é que a

falha se produz, oferecendo um duplo caráter de violência e instantaneidade.

Depois da ruptura inicial, verifica-se uma série de rupturas secundárias, as quais

correspondem ao reajustamento progressivo das rochas fraturadas, originando

sismos de fraca intensidade, as já referidas réplicas. Acontece que, por vezes,

antes do abalo principal observam-se sismos de fraca intensidade, denominados

abalos premonitórios.

Deve-se notar que os sismos só ocorrem em material rígido. Por

conseqüência, os sismos produzem-se sempre na litosfera, jamais na astenosfera

que é constituída por material plástico.

A teoria atualmente mais aceita para explicar os movimentos sísmicos foi

formulada pelo cientista alemão Alfred Wegener (1912), conhecida como a teoria

da deriva dos continentes, a qual admite que há 200 milhões de anos todos os

continentes estavam unidos, formando uma só massa continental, denominada

Pangea (figura 1.5). No início da era geológica do Mesozóico, esta massa

universal começou a fraturar e dividir-se, formando as massas continentais que

hoje existem. Os conhecimentos adquiridos pelos pesquisadores e cientistas

durante as últimas décadas tendem a confirmar esta teoria da formação dos

continentes.

A crosta terrestre está dividida em dezessete placas principais que se

movimentam lateralmente umas em relação às outras, impulsionadas por correntes

de convecção térmica que se originam no manto terrestre. Esses movimentos estão

associados direta (sismos por subducção) ou indiretamente (sismos intraplaca)

com a atividade sísmica do planeta.

28

a) Sismos de subducção

Estudos oceanográficos demonstram que no centro do Oceano

Atlântico há uma cadeia montanhosa de aproximadamente 40.000

km de extensão, que se expande e ramifica, formada por material

magmático proveniente do manto da Terra. Para compensar a saída

desse material magmático é necessário que correntes descendentes

mergulhem material da crosta, em movimentos de subducção

(figura 1.7). As zonas onde ocorre esta perda de material são

conhecidas como zonas de subducção. Os movimentos de

subducção são acompanhados de grande liberação de energia, que

se irradia sob forma de ondas de tensão, provocando tremores e,

conforme a intensidade, terremotos.

Figura 1.5 - Continente universal Pangea.

Figura 1.6 - Distribuição geográfica das placas tectônicas da terra. Os números

representam as velocidades em cm/ano entre as placas, e as setas, os sentidos do

movimento. Teixeira, Toledo, Fairchild e Taioli (2000).

29

b) Sismos intraplacas

Representam aproximadamente 25% dos sismos ocorridos a nível

mundial, e são caracterizados como de falhamento superficial.

Ocorrem entre 5 e 20 km de profundidade, região onde se

localizam as rochas de maior dureza e de maior capacidade de

armazenamento de energia de deformação. Estes sismos estão

indiretamente associados com o fenômeno da subducção, pois são

causados pelas concentrações superficiais de tensões no interior

das placas tectônicas, que por sua vez são geradas pelos

movimentos de subducção. Por serem de pouca profundidade,

produzem em geral danos significativos nas regiões mais próximas

ao seu epicentro.

Figura 1.7 - Efeitos de subducção entre duas placas adjacentes.

1.3.1 Parâmetros sismológicos.

a) Magnitude

A magnitude é uma medida instrumental da importância do evento,

relacionada com a energia sísmica liberada durante o processo de

ruptura em uma falha. Ela é uma constante única e independente do

local de observação. A escala de magnitude mais usual é a proposta

por Richter em 1933, expressa por ML e conhecida como

magnitude local.

30

b) Intensidade

A intensidade é uma medida subjetiva dos efeitos de um sismo,

pois se refere ao grau de percepção do movimento em determinada

região. Várias escalas têm sido propostas para medição da

intensidade, tais como a escala Mercalli, Rossi y Forel, escala

MSK, escala JMA, etc. A escala mais utilizada é chamada de

Mercalli Modificada, usualmente expressa pela sigla MM.

c) Aceleração

A aceleração é o parâmetro principal de projeto e é definida como

a máxima amplitude registrada em um acelerógrafo, para um

determinado sismo. Este registro de acelerações, conhecido como

acelerograma, mostra as acelerações produzidas no terreno em

função do tempo, conforme figura 1.8.

Figura 1.8 - Acelerograma e suas principais características.

d) Atenuação

Atenuação é definida como a variação na amplitude das ondas

sísmicas, em conseqüência de sua transmissão (e perda de energia)

através do interior e pela superfície da Terra. Muitas vezes é

representada por expressões matemáticas que procuram relacionar

a aceleração máxima do terreno A com a magnitude do sismo e as

distâncias epicentral ou focal.

31

1.3.2 Ondas planas de tensão (elásticas)

As ondas sísmicas propagam-se através dos corpos por intermédio de

movimentos ondulatórios, como qualquer onda, dependendo a sua propagação das

características físico-químicas dos corpos atravessados. As ondas sísmicas

classificam-se em dois tipos principais: as ondas que se geram nos focos sísmicos

e se propagam no interior do globo, designadas ondas interiores, volumétricas ou

profundas (ondas P e S), e as que são geradas com a chegada das ondas interiores

à superfície terrestre, designadas por ondas superficiais (ondas L e R). No mesmo

contexto referimos as ondas primárias, longitudinais, de compressão ou

simplesmente ondas P, ondas transversais, de cisalhamento ou simplesmente

ondas S, ondas de Love ou ondas L e ondas de Rayleigh ou ondas R.

As ondas sísmicas são detectadas e registradas nas estações sismográficas

por aparelhos chamados sismógrafos. Os sismógrafos mais antigos consistiam,

essencialmente, em um pêndulo (vertical ou horizontal) ao qual eram acoplados

diversos mecanismos de amplificação, de amortecimento e de registro. Alguns

desses sismógrafos ainda se encontram em pleno funcionamento. Os sismógrafos

mais modernos são do tipo eletromagnético. Os registros efetuados por estes

aparelhos são os sismogramas, cuja interpretação, reservada à especialistas,

consiste no reconhecimento e na leitura dos tempos de chegada das ondas

sísmicas, permitindo calcular a que distância se encontra o epicentro de um

determinado sismo, a chamada distância epicentral. Deste modo, com os dados

fornecidos por três estações sismográficas é possível determinar a localização

exata do epicentro de um sismo.

Quando uma rocha se fratura devido a deformações da crosta, libera energia

acumulada no material e dissipada principalmente sob forma de calor. A menor

parte é irradiada para a superfície sob forma de ondas sísmicas que se propagam

através dos materiais geológicos sólidos (ondas de tensão). Dois tipos de ondas de

tensão podem ser identificados em excitações sísmicas: as ondas de corpo e as

ondas de superfície (figura 1.9).

a) Ondas de corpo.

As ondas de corpo se classificam em ondas primárias (P) e em

ondas secundárias (S). As ondas P se propagam na mesma direção

32

de vibração das partículas e as ondas S são as que fazem vibrar

uma partícula na direção perpendicular a sua trajetória de

propagação, sendo também conhecidas como ondas transversais ou

de cisalhamento. Dependendo da direção de vibração da partícula

são ainda denominadas SV (movimento contido no plano de

propagação) ou SH (movimento normal ao plano de propagação).

b) Ondas de superfície.

As ondas de superfície se propagam na zona superficial da Terra e

se manifestam com maior freqüência em sismos pouco profundos.

Os movimentos produzidos pelas ondas de superfície estão em

geral restritos a profundidades inferiores a 30 km. As ondas de

superfície podem ainda ser classificadas como:

Ondas Love (L), que ocorrem em formações estratificadas,

provocando movimentos similares aos da onda SH, fazendo vibrar

partículas superficiais na direção perpendicular à direção de

propagação da onda.

Ondas Rayleigh (R), que produzem movimentos elípticos de

partículas superficiais, contidos no plano de propagação da onda.

Ondas R têm velocidade de propagação ligeiramente inferior às

ondas SV, dependendo do valor do coeficiente de Poisson do

material.

Como as ondas P se propagam com maior velocidade que as ondas S (daí

serem conhecidas como ondas primárias), em casos de abalos sísmicos são as

primeiras a serem registradas (figura 1.10). Perto do epicentro, as ondas P têm

geralmente uma componente vertical maior, são de alta freqüência (períodos

baixos) e afetam de forma mais prejudicial às estruturas baixas e rígidas, com

menores valores de períodos naturais. A distâncias maiores (superiores a 150 km,

segundo Sauter 1989) prevalece nos registros sísmicos a ocorrência de ondas de

superfície que, em geral, mais severamente afetam estruturas altas, de menor

33

rigidez e maiores valores de períodos naturais, propagando-se através de grandes

distâncias em virtude da menor atenuação das ondas de superfície.

Em eventos de foco profundo prevalecem as ondas de corpo P e S, enquanto

que em sismos de foco superficial predominam as ondas de superfície.

Figura 1.9 - Diferentes tipos de ondas planas de tensão em material sólido

Dourado J. C. (1984).

Figura 1.10 - Registro de ondas sísmicas.

1.4 Objetivos e organização do trabalho

A maior parte dos projetos que envolvem dutos enterrados considera

exclusivamente um comportamento elástico-linear para o sistema duto-solo.

Desconsiderar a possibilidade de plastificação do solo e o duto tem conduzido

34

freqüentemente a projetos muito conservadores, que se afastam do

comportamento real do sistema.

O objetivo deste trabalho é desenvolver uma metodologia de análise para

um modelo numérico acoplado que permita levar em conta a interação duto-solo,

para o estudo do comportamento de dutos enterrados sujeitos a cargas dinâmicas

pelo método dos elementos finitos.

Emprega-se para tal uma formulação viga-duto para modelar a tubulação.

Esse modelo se baseia no trabalho desenvolvido por Zhou & Murray (1996), o

qual é apresentado na dissertação intitulada "Modelo numérico para o estudo do

comportamento de dutos enterrados" (Otiniano, 2003) e uma formulação com

elementos bidimensionais para modelar o solo, baseada na resposta sísmica do

modelo Linear Equivalente proposto por Schnabel, Lysmer & Seed em 1972.

Com base neste modelo foi desenvolvido um sistema computacional em

linguagem FORTRAN para análise de dutos enterrados. Com esta ferramenta,

estuda-se o efeito da interação duto-solo no comportamento de dutos sujeitos a

cargas dinâmicas, pressões internas e tensões residuais nas uniões soldadas.

O trabalho está formalmente organizado em 8 capítulos, com os seguintes

conteúdos:

O capítulo 1 apresenta a importância dos dutos no transporte de gás natural

e outros fluidos e faz uma breve descrição dos efeitos e parâmetros sísmicos. Os

modelos para dutos enterrados, a mecânica do problema, pesquisas recentes na

área de dutos enterrados e uma forma simplificada de projeto sísmico adotado em

outros países são apresentados no capitulo 2.

A formulação de elementos finitos adotada para a análise de linhas de

tubulação, levando em conta hipóteses fundamentais que atendem às relações

deformação-deslocamento e relações constitutivas, é apresentada no capítulo 3.

Por meio das equações de trabalho virtual são formuladas as equações finais da

análise de dutos. Ao final do capítulo, apresenta-se a discretização por elementos

finitos.

No capítulo 4 são discutidos os modelos constitutivos para o solo e

apresentada a discretização dos elementos finitos para o mesmo. No capítulo

seguinte, são descritos os tipos de elementos finitos de interface e os contornos

artificiais empregados nesta pesquisa.

35

No capítulo 6 é apresentado o método de solução para o sistema de

equações não-lineares. Estes métodos são incrementais e iterativos. Também se

discute o critério de convergência.

O capítulo 7 apresenta e discute as simulações realizadas neste trabalho, que

permitem formular as conclusões e sugestões obtidas no desenvolvimento desta

tese, apresentadas no capítulo 8.

2 Modelos para dutos enterrados

2.1 Mecânica do problema

O movimento da superfície do terreno durante um sismo é um dado de

grande interesse na hora de projetar dutos enterrados. Hoje é difícil estimar com

alguma precisão o movimento sísmico esperado; se pode unicamente adiantar

algumas características típicas deste movimento. A figura 2.1 apresenta em

detalhe o tipo de onda sísmica que atinge este tipo de estruturas assim como os

diferentes tipos de materiais que compõem o modelo a analisar.

O primeiro passo lógico ao iniciar o estudo do movimento da superfície do

terreno durante os sismos é analisar os movimentos ocorridos no passado e

interpretá-los com teorias suficientemente aproximadas.

Existe um grande número de pesquisas relativas à caracterização do

movimento sísmico da superfície do solo, trabalhos onde a partir dos dados

básicos do sismo esperado tais como distancia epicentral, profundidade focal,

magnitude, intensidade entre outros permitem obter um movimento sísmico de

cálculo.

Estes procedimentos, mais ou menos estabelecidos permitem conhecer o

movimento do solo livre da presença do duto enterrado (movimento de campo

livre) embora no projeto de dutos enterrados seja preciso estabelecer o

comportamento do sistema solo-duto submetido a ações sísmicas já que a

presença do duto modifica o movimento.

O mecanismo pelo qual a presença do duto enterrado influi na resposta no

comportamento do solo e reciprocamente é conhecido como interação solo-duto.

O mecanismo é complexo, motivo pelo qual é necessário recorrer a um grande

número de hipóteses simplificadoras a fim de resolver o problema.

37

É freqüente analisar os dutos enterrados sem levar em conta o efeito de

interação, isto porque o efeito da interação reduz os esforços que ocorrem nos

dutos, o que recai num projeto conservador.

Figura 2.1 - Detalhe da ação das ondas de sismo no sistema duto-solo.

2.2 Definição do movimento

A figura 2.2 mostra como as ondas sísmicas se propagam no espaço. Uma

forma de definir o movimento de um ponto durante um sismo consiste em três

acelerogramas simultâneos segundo três direções ortogonais.

Os acelerogramas são leis de evolução temporal da aceleração que resultam

complexas. A inspeção direta de um acelerograma permite deduzir diretamente

qual foi a duração da fase forte do sismo o qual foi à máxima aceleração.

Figura 2.2 - Propagação das ondas no espaço.

38

Uma simplificação ao procedimento anterior é utilizar apenas um

acelerograma relativo a um eixo horizontal, paralelo à superfície do solo como é

apresentado na figura 2.3.

Adota-se ainda que o acelerograma numa outra direção horizontal é similar

e que na direção vertical é de certa forma proporcional ao correspondente

horizontal.

Os estudos de interação são mais simples quando consideramos uma das três

componentes do movimento.

Figura 2.3 - Modelo duto-solo em elementos finitos submetidos ao carregamento do

acelerograma horizontal.

Imaginemos o sistema solo - duto caracterizado por uma massa M , uma

rigidez K e um amortecimento C para o sistema apresentado na figura 2.4.

KBS

Figura 2.4 - Modelo simplificado de sistema duto–solo.

Quando um sismo desloca o sistema unicamente em uma direção horizontal

é possível avaliar o deslocamento da massa M em função do acelerograma do

sismo, do fato a seguinte equação básica da dinâmica permite escrever:

0))(( KxxCtuxM (2.1)

Nesta equação, a variável x e suas derivadas em relação ao tempo x e x

descrevem, respectivamente, o deslocamento, a velocidade e aceleração da massa

39

M em relação ao terreno, a soma de x e u descreve a aceleração absoluta do

sistema.

A equação 2.1 pode ser reescrita como:

)(tuMKxxCxM (2.2)

A dificuldade que apresenta a equação anterior é que a rigidez e forças

internas dependem dos deslocamentos.

A solução desta equação diferencial não linear pode ser obtida de acordo

com os algoritmos iterativos propostos por Newton-Raphson e integração

numérica das equações em sucessivos intervalos de tempo segundo Newmark.

Estes temas são tratados em maior detalhe no capitulo 6 deste trabalho.

2.3 Modelos numéricos de interação duto-solo

Há em geral três grandes grupos de modelos analíticos considerando

propostas distintas.

Uma é a interação solo-duto, onde se propõe analisar a interação entre o

duto e o solo com foco na resposta do solo; conseqüentemente modelos simples

para o duto são empregados e modelos mais complexos para o solo. Citasse o

modelo de Mohr-Coulomb como o modelo mais simples, o modelo de Lade Kim

(1988), o modelo MIT-E3, desenvolvido por Whittle (1987) e Whittle (1991),

considerando tanto o comportamento elástico não-linear, como também

deformações irreversíveis nos ciclos de carregamento e descarregamento.

Cabe mencionar que também foram estudadas as formulações propostas por

Zienkiewicz & Shiomi (1984), Zienkiewicz et al (2000) que consideram as

equações de Biot (1956) para analisar a transmissão de ondas em meios porosos

saturados.

Outra proposta é o modelo de interação duto-solo, neste tipo de análise tem-

se um modelo mais completo para o duto, de modo a que se possam incluir não

linearidades, e um modelo simples para o solo, sendo o mais freqüente o uso de

molas com propriedades lineares para modelar o comportamento do solo nas

proximidades do duto.

40

Finalmente, também podemos combinar as duas propostas anteriores, ou

seja, considerar os dutos como elementos tipo viga ou ainda elementos de casca

ou tubo e o solo, por sua vez, por elementos planos ou tridimensionais em

modelos numéricos que representem de forma mais precisa o comportamento do

solo.

2.4 Pesquisas na área de tubulações.

No âmbito local o desenvolvimento das pesquisas na área de tubulações e

descrito a seguir.

No final das décadas passadas foram desenvolvidas na PUC-Rio duas

dissertações na área de tubulações intituladas “Avaliação dos Critérios Para

Análise Espectral Sísmica de Sistemas de Tubulações” Waldo Jim Castañaga

Ojeda (1998) e “Desenvolvimento de Espectros de Resposta para a Análise

Estrutural Sísmica em Sistemas de Tubulações” Marcelo Cerqueira Valverde

(1998).

No primeiro trabalho são apresentadas avaliações de critérios e métodos

empregados na análise e no projeto dos sistemas de tubulação nas usinas

nucleares, dentro do método de análise modal-espectral. Foram tratados tópicos da

interação entre o sistema de tubulação e a estrutura que o suporta mediante o uso

de espectros acoplados. Foram avaliados parâmetros de esforços internos em

trechos de um modelo de um sistema real de tubulações da usina nuclear

brasileira, Angra 3. Os padrões foram obtidos por análises no tempo de cada

modelo sob o acelerograma de projeto.

O segundo trabalho refere-se às pesquisas dos mecanismos de interação

entre dois sistemas vitais nas usinas nucleares, ou seja, o sistema principal e o

secundário. Estes mecanismos são avaliados por meio da sua influência nos

espectros de resposta, em pontos da estrutura passíveis da existência de suportes

nas linhas de tubulação (sistema secundário). Foram consideradas duas hipóteses.

A primeira não considera a interação dos sistemas e a segunda avalia esta

interação com a introdução de um suporte em cada ponto do sistema principal. As

respostas estruturais foram obtidas por integração direta da equação de

41

movimento do sistema sujeito a dois acelerogramas simultâneos, nas direções

horizontais e verticais.

Continuando com a pesquisa dos trabalhos anteriores, no ano 2000 foi

apresentada na PUC-Rio a dissertação intitulada “Localização Ótima de

Suportes Estruturais em Linhas de Tubulações de Usinas Nucleares” Nelly

Piedad Rubio Rubio, trabalho que estabelece uma metodologia para a

determinação da localização ótima de suportes em linhas de tubulação de centrais

nucleares, atendendo a que as tensões atuantes nos elementos da linha de

tubulação, devido aos vários carregamentos impostos, estejam dentro dos limites

especificados no código da “American Society of Mechanical Engineers” e da

“American National Standards Institute” e que os deslocamentos da linha de

tubulação não excedam o valor do deslocamento máximo admissível. Empregou-

se na modelagem dos tubos elementos de viga. A partir de uma análise preliminar,

formulou-se o problema de otimização topológica com restrições de geometria,

tensões e deslocamentos.

Seguidamente no ano 2001 foram apresentadas na PUC-RIO as dissertações

intituladas “Um estudo numérico e experimental para a avaliação da

interação solo – duto” Maria Marta de Castro Rosas e “Análise de problemas

tridimensionais solo-estrutura pelo método dos elementos finitos no domínio

de Fourier” Janaina Veiga. No primeiro trabalho diante a exploração e produção

crescente de petróleo do tipo semi – submersíveis, estudo-se as regiões críticas

onde ocorrem as maiores tensões, em um projeto de riser, ou seja, o trecho junto

ao ponto de conexão na plataforma e o trecho junto ao piso marinho. Este trabalho

apresenta um estudo da interação solo-duto de risers rígidos. Na primeira parte do

trabalho são relatados os resultados de um modelo físico realizado no IPT

(Instituto de Pesquisas Tecnológicas), e, na segunda os resultados de análises

numéricas que procuraram reproduzir os ensaios no modelo físico. São

apresentadas também comparações entre os dois modelos. O segundo trabalho

estuda problemas geotécnicos e de interação solo-estrutura utilizando o método

dos elementos finitos acoplado com a transformada de Fourier. Pela aplicação da

transformada de Fourier, as equações diferenciais que governam o problema

elástico linear, com as correspondentes condições de contorno, são reescritas no

plano de Fourier, permitindo que um problema de natureza tridimensional possa

ser numericamente analisado por uma discretização bidimensional. Alguns

42

elementos de interface, com formulação publicada na literatura, foram também

considerados na implementação computacional.

Continuando com a pesquisa e conscientes do que uma das formas mais

comuns de danos presentes nos dutos é a corrosão foi desenvolvida no ano 2002

na PUC-Rio a dissertação intitulada “Avaliação Numérica da Capacidade de

Carga de Dutos Corroídos” Joabson Lima Alves. Esse trabalho apresenta uma

revisão dos métodos empíricos desenvolvidos utilizados para esta determinação.

Entretanto estes métodos se mostram, em geral, bastantes conservadores nesta

determinação. Assim, métodos alternativos têm sido desenvolvidos baseados no

método dos elementos finitos. Este trabalho avalia a capacidade de carga de dutos

corroídos submetidos a carregamentos combinados que tentam simular os que

ocorrem no campo. Estes carregamentos são: pressão interna, momento fletor e

cargas axiais. Carregamentos axiais são provenientes da variação de temperatura e

do efeito Poisson existente nas extremidades dos dutos devido à pressão interna.

Neste trabalho realizou-se a modelagem de dutos submetidos à carregamentos

combinados, onde se tentou reproduzir ao máximo as condições de ensaio.

Tomou-se como base ensaios experimentais e numéricos encontrados na

literatura. Aspectos globais sobre a modelagem são detalhados.

No ano 2003 as pesquisas efetuadas na PUC-Rio na área de dutos enterrados

e interação solo - duto foi apresentada na dissertação intitulada “Modelo

numérico para o estudo do comportamento de dutos enterrados” Igor

Otiniano Mejía, trabalho que propõe uma metodologia de análise numérica para

dutos enterrados, considerando não-linearidades geométricas e não-linearidades

de material baseada na formulação Lagrangeana Total. Empregando uma

modelagem com base em uma discretização com elementos especiais de viga. As

equações de equilíbrio são formuladas a partir do principio dos trabalhos virtuais,

segundo as componentes de tensão e deformação no elemento viga-duto, com

emprego da técnica do Módulo Reduzido de Integração Direta (RMDI), na qual

incorpora-se o comportamento plástico do material. Incorporam-se, nesta

metodologia os efeitos de pressão interna constante no duto assim como a

interação solo-duto através da modelagem do solo por meio de molas elasto-

plásticas verticais e horizontais.

Seguidamente no ano 2004 a consideração de elementos de interface entre o

solo e o duto, foi estudada na dissertação intitulada “Analise não - linear da

43

interação solo – duto em encostas empregando elementos de Interface”

Fernando Pereira Lazaro, trabalho desenvolvido em parceria entre a Universidade

Federal do Paraná e a PUC-Rio. Este trabalho simula a interação do duto e do solo

circunvizinho em encostas sujeitas a escorregamentos de taludes. Emprega o

Método dos Elementos Finitos na análise do problema bidimensional, para

simular o duto, o solo e a região circunvizinha ao duto. Na modelagem do duto

emprega-se um elemento de viga; para o solo e para a região circunvizinha são

utilizados elementos isoparamétricos planos. Adotam-se as hipóteses do Estado

Plano de Deformação para representar o comportamento do solo e uma alteração

na matriz constitutiva de acordo com Desai e Siriwardane (1984) para a região de

interface. É considerado um modelo elástico, perfeitamente plástico para as

propriedades físicas do solo e da região de interface enquanto para o duto o

modelo adotado e linear elástico.

Continuando com a parceria entre a Universidade Federal do Paraná e a

PUC-Rio no ano 2005 foi apresentada a dissertação intitulada “Análise não

linear via elementos finitos de um modelo de vigas para dutos enterrados”

Luiz Antonio Farani De Souza. Este trabalho apresenta um modelo numérico

aplicando a técnica de elementos finitos para a análise não-linear de tensões e

deformações de dutos enterrados. A formulação incremental do elemento viga-

duto é desenvolvida a partir do princípio dos trabalhos virtuais, com base nas

componentes do segundo tensor de tensão Piola-Kirchhoff e do tensor de

deformação de Green-Lagrange, com o emprego da técnica do Módulo Reduzido

por Integração Direta (RMDI). O elemento viga-duto é obtido, a partir de

elementos especiais de viga bi e tridimensional. A descrição cinemática do

elemento admite grandes deslocamentos, grandes rotações, mas pequenas

deformações e se dá com base em uma Formulação Lagrangeana Total. Assume-

se o modelo constitutivo elasto-plástico para o duto, com o escoamento segundo o

critério de von Mises com endurecimento isotrópico. A interação entre o solo e o

duto é feita através de um conjunto discreto de molas elásticas idealmente

plásticas nas direções vertical, lateral e longitudinal, conectadas ao eixo do duto.

Os efeitos da temperatura e pressão interna no duto são considerados.

Recentemente a Universidade Federal do Rio de Janeiro apresenta as

pesquisas feitas na área de dutos submarinos no trabalho de tese intitulado

"Metodologia para análises e projeto de dutos submarinos submetidos a altas

44

pressões e temperaturas via aplicação do método dos elementos finitos"

Carlos de Oliveira Cardoso – COPPE (2005). Este trabalho apresenta os avanços

recentes na avaliação do comportamento estrutural de dutos aquecidos em

especial de dutos submarinos. Para avaliar o comportamento estrutural de dutos

submarinos aquecidos foram implementadas rotinas no programa AEEPECD que

permitam tratar não linearidades físico - geométricas envolvidas durante o

processo de flambagem termodinâmica, assim como o efeito acoplado momento-

pressão e leis constitutivas para a interação solo-duto que permitam avaliar o

efeito de valar escavadas no leito marinho.

A seguir são apresentadas brevemente algumas pesquisas internacionais na

área especifica de dutos enterrados considerando a interação solo-duto, sendo o

solo modelado através de molas.

Dentre esses trabalhos, podem se destacar:

Trautmann, O’Rourke & Kulhawy (1985) descrevem um estudo

experimental do comportamento de dutos enterrados sujeitos a

movimentos verticais do solo, com ênfase particular sobre os efeitos

da densidade do solo e a da profundidade do duto.

Zhou & Murray (1993) discutem o comportamento de dutos

enterrados incluindo os efeitos de flambagem e enrugamento,

quando estes são submetidos a grandes assentamentos geotécnicos

impostos.

Razaqpur & Wang (1995) apresentam um modelo para a análise da

interação solo-duto através de um processo termo-mecânico, usando

um modelo unidimensional simplificado para determinar o

congelamento do solo. O duto é modelado por um elemento finito

que o considera como uma viga sobre uma fundação de Winkler.

Zhou & Murray (1996) apresentam duas técnicas (RMDI e ISPDR)

de determinação das rigidezes e forças equilibradoras para modelos

de dutos enterrados. Análises incluindo o amolecimento como

resultado do efeito de flambagem local são discutidas.

Ilmura (2004) apresenta três modelos mecânicos para estimar as

tensões no duto sujeito a assentamento do solo. Os três modelos são

45

aplicáveis em: porções enterradas; porções expostas; e na interface

entre as porções enterradas e expostas de dutos lineares. A

formulação para o cálculo das tensões é derivada assumindo uma

viga elástica sobre uma fundação elástica.

2.5 Procedimento simplificado para projeto sísmico de dutos enterrados

A seguir será apresentada em resumo uma análise conceitual do fenômeno

de interação solo-duto, sob o qual se sustenta o procedimento de projeto sísmico

usado atualmente nesse tipo de estrutura no Chile e em outros países.

Este procedimento baseia-se no trabalho de tese apresentado por Rodríguez,

P. (2003) na Universidade do Chile, intitulada "Consideraciones para el diseño

sísmico de tuberías enterradas".

Deformação Axial de Campo Livre

Para estimar as deformações de campo livre induzidas no solo

considera-se uma onda simples com uma forma constante. A

deformação máxima do solo (tração ou compressão) na direção de

propagação para ondas P ou R (Vm na direção da excitação) está

definida pela equação (2.3).

CVm

g (2.3)

onde Vm é a velocidade horizontal máxima do solo e C a velocidade

de propagação da onda sísmica.

Para o caso de ondas S, nas quais Vm é perpendicular à direção de

propagação, pode-se mostrar que a maior deformação axial se

origina para um angulo de 45° entre o duto e a direção de

propagação. Neste caso o valor da deformação é a indicada na

equação (2.4).

46

CVm

g 2(2.4)

Deformação de Flexão ou Curvatura de Campo Livre

De forma similar, a curvatura máxima do solo, gK , é a segunda

derivada do deslocamento transversal com relação ao eixo

longitudinal do duto é dada pela equação (2.5).

2CAK m

g (2.5)

onde Am é a aceleração máxima do solo perpendicular à direção de

propagação da onda.

A deformação por flexão tem efeitos quantitativamente menores

sobre o duto em comparação com a deformação axial; somente para

dutos de grande diâmetro e freqüências altas, a flexão origina

esforços significativos.

Interação Solo-Duto

Os danos em dutos enterrados durante sismos são devidos às forças

e deformações impostas pela interação entre o solo e o duto. Para

fins de análise, qualquer deformação arbitrária do solo pode ser

decomposta em uma componente paralela ao eixo do duto e uma

componente transversal ao eixo. Na direção transversal, a interação

envolve deformações relativas e cargas tanto no plano vertical como

no horizontal. No caso de movimento relativo do solo na direção

vertical, deve-se distinguir entre o movimento acima e abaixo do

duto, uma vez que as forças são diferentes em cada caso, como

mostra a figura 2.5. Esta interação pode ser idealizada por molas

equivalentes, as quais têm um comportamento perfeitamente elástico

até alcançar a capacidade máxima do solo, a partir da qual se

comporta perfeitamente plástico.

47

Horizontal Transversal Horizontal Axial Horizontal Vertical

Figura 2.5 - Modelo elasto-plástico Idealizado para as forças de interação solo-duto nas

três direções espaciais, ASCE (1984).

Forças de Interação em Dutos Enterrados

As forças de interação para um duto imerso em um meio qualquer

podem ser determinadas como mostra a figura 2.6. Pode-se

estabelecer uma relação entre a força e a deformação. Com ajuda da

determinação destas forças e a deformação associada pode-se

modelar a interação do solo com o duto usando molas equivalentes.

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,40,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

H/D =2

H/D =4

H/D =6

H/D =8,5

Deformação adimensional y/D

Forç

a ad

imen

sion

al F

/H

DL

L

D

H

Figura 2.6 - Relação carga–deformação lateral na interface solo-duto para

diferentes casos, O’Rourke (1999).

48

A American Society of Civil Engineering, ASCE (1984), propõe,

para métodos de análises, modelos elasto-plásticos idealizados como

aqueles mostrados na figura 2.5. Deve-se notar que, o modelo

elasto-plástico é totalmente caracterizado por dois parâmetros; a

resistência última Tu, Pu e Qu em unidades de força por unidade de

comprimento nas três direções e a máxima deformação elástica t,

p, q, em unidades de comprimento.

As expressões que permitem caracterizar o modelo, ou seja, estimar

Tu, Pu, Qu, t, p e q, não foram incluídas neste trabalho. Estas são

explicadas em detalhe por Rodríguez, P. (2003).

O coeficiente de mola equivalente do solo elástico K, em unidades

de força por unidade de área, é a relação entre a resistência última e

a metade da deformação elástica máxima, por exemplo, 2Tu/ t para

a direção horizontal segundo o eixo do duto. É importante ressaltar,

que esse coeficiente K é efetivo apenas para deslocamentos relativos

menores que os valores máximos da deformação elástica t, p e q,

sob os quais a resistência é constante.

O procedimento consiste em determinar a deformação axial máxima do duto

considerando a deformação máxima do solo por propagação de ondas e a

deformação máxima transmissível por atrito na interface solo-duto. Uma vez

obtida a deformação do duto é possível determinar os esforços de tração e

compressão, os quais são de igual magnitude, dada a natureza senoidal da onda

sísmica modelada. Com as deformações e esforços de projeto verificam-se os

distintos modos de falha descritos segundo o caso estudado.

A seguir descreve–se o procedimento passo a passo

a) Estimativa da deformação máxima do solo

Utiliza-se a fórmula

CVm

g (2.6)

49

Necessita-se conhecer Vm e C para o sismo de projeto. O sismo de

projeto dependerá dos critérios adotados e da importância da

tubulação. O valor depende do tipo de deformação (axial ou giro)

e do tipo de onda; Rodriguez (2003).

A velocidade máxima, Vm, é obtida a partir de um estudo de

sismologia específica do sitio ou dos registros de sismos anteriores

em caso de não se dispor desta informação.

A velocidade de propagação da onda sísmica, C, pode ser

determinada por uma avaliação geofísica ou sismológica. Tanto as

ondas de corpo como as superficiais podem afetar o projeto de

tubulações enterradas. Para as ondas de corpo a velocidade de

propagação com respeito à superfície se encontra na faixa de 2000

a 5000 m/s, O´Rourke e El Hmadi (1988), e a ALA (2001)

recomendam o valor de 2000 m/s no caso de não se ter melhor

informação. No caso de ondas superficiais, das quais as ondas R

são as de interesse, a determinação da velocidade de propagação é

complexa já que apresentam um comportamento disperso.

O valor para a velocidade de propagação de ondas R varia em geral

entre 300 a 700 m/s.

É valido ressaltar que tanto as faixas como as recomendações

mencionadas são de origem norte-americana considerando um

material rochoso.

b) Determinação da deformação máxima transmissível na

interface solo-duto.

Utiliza-se a equação (2.7):

AELT su

p (2.7)

O parâmetro Tu corresponde à força máxima por unidade de

comprimento que pode transmitir o solo para o duto.

50

O comprimento de onda, caso não se tenha melhor informação,

pode ser assumido como 1000 m segundo as normas de projeto da

ALA (2001).

c) Escolha da deformação axial de projeto

Escolhe-se simplesmente o menor dos valores entre a deformação

máxima do solo e a deformação máxima transmissível na interface

solo-duto. Com esta deformação pode-se avaliar os esforços e

verificar os critérios de falha.

d) Determinação do esforço de corte e flexão em dutos de grande

diâmetro

No caso em que o diâmetro do duto seja importante, deve-se

verificar também os esforços de corte e de flexão. Um parâmetro

para determinar a influência destes efeitos foi apresentado por

Arias (1978).

A flexão se avalia segundo a curvatura obtida com a equação

2CA

Kx

mg (2.8)

e) Verificação dos critérios de falha

Os critérios de falha mudam significativamente de acordo com o

tipo de duto, já que cada um apresenta características distintas de

mecanismos de falha.

A seguir são citados alguns dos critérios mais comuns.

Falha de tração

Flambagem local

Flambagem global

51

A figura 2.7 apresenta um esquema reduzido do procedimento simplificado

para projeto sísmico de dutos enterrados.

Figura 2.7 - Esquema do procedimento de projeto proposto para tubulações enterradas.

(Rodríguez, P. 2003).

Obtenção de dados do terreno o

aterro

Material Propriedades do solo ( , , Sw, K0)

Definição das propriedades do duto:

Dimensões Material Uniões

Determinação do sismo de projeto

Magnitude Distancia epicentral Tipo de sismo

Determinar velocidade máxima de partícula

segundo relações de atenuação chilenas

Avaliação da deformação máxima transmissível na

interface solo-duto [Ver Rodriguez (2003)]

Avaliação da deformação máxima do solo

Eleição do menor valor como a deformação de projeto

Determinação da resistência axial última da

interface solo-duto Tu [Ver Rodriguez (2003)]

Verificação de critérios de falha

3 Formulação do elemento viga-duto

3.1 Introdução

Apresenta-se a seguir o modelo adotado no presente trabalho para o duto o

qual recorre a um modelo de viga especifico para dutos enterrados. Neste modelo

efeitos de enrrugamento local não são contemplados.

O elemento viga-duto desenvolvido neste capitulo, é apropriado para

representar os carregamentos usuais atuantes em dutos enterrados e avaliar as

deformações do sistema estrutural.

A formulação do elemento viga-duto inclui os seguintes tópicos:

Hipóteses cinemáticas fundamentais.

Relações constitutivas.

Equação de trabalho virtual.

Discretização do elemento finito

3.2 Hipóteses do modelo matemático

As seguintes hipóteses são formuladas no desenvolvimento do modelo

matemático.

Seções planas do tubo permanecem planas e o tubo permanece com

a seção transversal constante, ou seja, perfeitamente circular.

Tensões radiais e cisalhantes são insignificantes e podem ser

ignoradas.

Tensões longitudinais e circunferenciais são de magnitude

considerável, motivo pelo qual devem ser levadas em conta.

53

Considera-se o material do tubo com comportamento elasto-plástico

com escoamento segundo o critério de von Mises.

Todas as deformações ativas e tensões distribuídas são simétricas em

relação ao plano vertical da seção transversal do duto. (ou seja,

flexão em um plano).

Estas hipóteses são baseadas na seguinte interpretação do comportamento de

dutos.

A hipótese cinemática da teoria de vigas de Bernoulli (primeira hipótese) é

justificada, porque a distorção da seção transversal resulta principalmente do

enrugamento local.

Uma linha de tubulação é uma estrutura flexível linear onde deformações

axiais e de flexão são dominantes. Conseqüentemente tensões de corte têm menor

influencia na resposta de linhas de tubulação.

Como a espessura da parede do duto é significativamente pequena em

comparação com o diâmetro e comprimento do duto, a tensão radial é desprezada

comparada com as tensões longitudinal e circunferencial. A segunda hipótese é

baseada nestes fatos.

A quarta hipótese define o emprego da teoria de plasticidade para a análise.

Embora, muitas outras teorias estejam disponíveis, esta teoria é a mais usada para

materiais metálicos semelhantes a um duto de aço.

3.3 Hipóteses cinemáticas fundamentais

Os sistemas de coordenadas global e local para o modelo de viga-duto são

definidos na figura (3.1), onde o eixo x do sistema local de coordenadas passa

através do eixo central da seção transversal, e o plano yx define o plano de

flexão da viga.

54

Figura 3.1 - Sistema de coordenadas, global e local.

Os deslocamentos u e v são na direção do eixo x e eixo y respectivamente

no sistema de coordenadas local.

O sistema de coordenadas global e denotado por x~ e y~ e todas as

quantidades definidas no sistema global de coordenadas são similarmente

denotadas, com um til sobreposto à letra.

Os vetores ot u e ovt são os deslocamentos incrementais do eixo central da

seção transversal relativos à configuração de referencia ver figuras (3.2) e (3.3).

As componentes de deslocamento incremental de qualquer ponto na seção

transversal podem ser expressas de acordo com a seguinte equação de acordo com

a primeira hipótese na seção 3.1.

v- t ot t o t

du u yd x

(3.1a)

v vt t o (3.1b)

Os deslocamentos totais no sistema de coordenadas globais são

apresentados como:

t t ttu u u (3.2a)

v v vt t t

t (3.2b)

55

E as configurações deformadas para diferentes instantes são apresentadas na

figura 3.2; em quanto que a seção deformada do duto é apresentada na figura 3.3.

Figura 3.2 - Configurações deformadas para 0t , t t e t t t .

y

y

u

uy

y

d vd x

t 0

t

t 0

t

x

y

d xtd vt 0

Seção indeformada

Seção deformada

x

Figura 3.3 - Deformações no tubo fletido.

Os deslocamentos do eixo centroidal são obtidos a partir dos deslocamentos

incrementais.

t t to o t ou u u (3.3.a)

v v vt t t

o o t o (3.3.b)

56

onde as quantidades com subíndices à esquerda são os valores totais de tempo

indicado pelo índice. Esta notação é usada por Bathe (1982) e será aplicada no

decorrer da próxima seção.

Os incrementos ot u~ e ov~t são determinados a partir da equação de

equilíbrio incremental, e os incrementos no sistema local de coordenadas ut e vt

são obtidos por transformação de coordenadas:

cos s n vt to ot o t tu u e (3.4.a)

v cos vt to ot o t tsen u (3.4.b)

a rc ta nt

t ot

o

d yd x

(3.5)

A única componente diferente de zero do tensor de deformações é a

deformação axial na direção x . A forma incremental para esta componente de

deformação pode ser derivada a partir da expressão geral do tensor de deformação

tridimensional usado por Bathe (1982) como:

( )t t tt x x t x (3.6)

com a deformação incremental dada por:

xdud

tt

xt (3.7)

Os índices à esquerda indicam a configuração t tomada como a

configuração de referência.

Substituindo as equações (3.1) e (3.2) na equação (3.7) a componente de

deformação pode ser expressa em termos de componentes de deslocamento do

eixo centroidal.

57

2

2

vt o t ot x t t

d u dyd x d x

(3.8)

A seguir são definidas a deformação incremental linear axial no eixo

centroidal e a curvatura incremental linear respectivamente:

xdudt

otot (3.9)

2

2

xdvd

tot

t (3.10)

Substituindo-se as definições anteriores obtém-se a componente de

deformação axial em um ponto qualquer da seção:

totxt y (3.11)

3.4 Relações constitutivas

A relação tensão-deformação para um elemento viga-duto é uma relação

uniaxial no sistema de coordenadas locais, porque a pressão interna é considerada

constante (condição essencial de carregamento do duto). A tensão circunferencial

constante introduzida pela pressão interna deve ser levada em conta na relação

tensão-deformação.

O uso da teoria da plasticidade se baseia no critério de escoamento de von

Mises, ou seja, o escoamento se inicia quando a média quadrática das diferenças

entre as três tensões principais se iguala a tensão total efetiva. As equações (3.12)

e (3.13) apresentam o critério de escoamento e a tensão total efetiva

respectivamente.

yS32 (3.12)

58

2 21 4 4 22

t t tx xS S S S S (3.13)

onde yS é o valor da máxima tensão cisalhante que causa o início do escoamento

no ensaio de tração.

A relação tensão-deformação uniaxial implica que componentes

incrementais de deformação plástica podem existir em três direções, enquanto as

tensões incrementais estão só na direção x .

xt S00

'

'

'

t t tr xt t t

t t tt r t r r rr rx t r

t t tt x t x t xx xr xx

P P pSS P P pS P P p

(3.14)

onde

' (1 )(1 )(1 2 )

E(3.15.a)

(1 )(1 2 )E

(3.15.b)

23 .

1 '/t t t

mn mm nntGP s s

H G S para xrnm ,,,(3.15.c)

Na nomenclatura acima índices repetidos não indicam soma e o valor do

parâmetro H´ é:

' T

T

EEHE E (3.16)

sendo E e TE os modulo de rigidez para o caso da relação tensão deformação bi

linear usada nesta formulação.

59

Os subíndices e r representam as direções circunferencial e radial. O

tensor desviador de tensões é definido como:

13

..t t tij ij kk ijs S S (3.17)

Para a hipótese de tensão radial nula, a componente normal do tensor

desviador de tensões fica:

1 23

t t txs S S (3.18.a)

13

t t tr xs S S (3.18.b)

1 23

t t tx xs S S (3.18.c)

Entre as componentes da deformação incremental plástica, a componente na

direção x é independente. As outras duas componentes relacionam-se à

componente axial através das restrições de tensões incrementais nulas nessas

direções. Portanto a relação entre a tensão incremental independente e a

deformação incremental independente pode ainda ser considerada como um tipo

especial de relação tensão-deformação uniaxial.

Se tensões cisalhantes e correspondentes deformações cisalhantes são

desprezadas, a relação incremental tensão-deformação pode ser expressa da

seguinte forma:

Índices simples são usados porque só as componentes normais são

consideradas.

A tensão circunferencial St pode ser calculada como:

22

t D tS pt

(3.19)

Sendo D e t , diâmetro exterior e espessura do duto, e p a pressão interna

respectivamente.

60

As tensões incrementais na direção radial e circunferencial são nulas porque

a tensão radial é assumida nula e a tensão circunferencial é constante devido à

condição de pressão interna de operação constante no duto.

Aplicando estas condições às duas primeiras equações obtemos o seguinte:

'

'

00

t t tr t x

t xt t tt rr rr rx

P P pP P P

(3.20)

resolvendo a equação acima tem-se:

.t

t xt xt

t r rx

CC

(3.21)

onde

1'

'

tt tt x xr

t t tt rx r rr rx

C PP PC P P P

(3.22)

A terceira linha da equação (3.14) descreve a relação tensão-deformação

incremental entre a tensão independente e deformação longitudinal que pode ser

expressa como:

t E Pt x t xS C (3.23)

onde't EP t t t t t

x x rx xr xxC C P C P P (3.24)

Observa-se que para incrementos elásticos de deformação o coeficiente do

material recai na relação elástica.

t x t xS E (3.25)

61

A deformação plástica efetiva incremental pode ser expressa pela seguinte

expressão:

2 2 223

p P P Pt t t r t x (3.26)

onde os componentes da deformação plástica incremental são:

11 1

1 1

P t t tt t xr x

P t t tt r r rr rx t rx t x

t t tPx xr xxt x

CP P PP P P C

EP P P

(3.27)

É essencialmente correto assumir que seções planas permanecem planas e

circulares porque os efeitos de enrugamento local não são levados em conta.

Conseqüentemente as forças internas do elemento viga-duto são dependentes

somente da distribuição de tensões longitudinais.

Os esforços resultantes podem ser definidos como:

t t

xA

F S dA (3.28)

t t

xA

M S y dA (3.29)

onde Ft e Mt são força axial e momento flexor, respectivamente e y é a

coordenada no plano de flexão.

A relação constitutiva pode ser especificada no nível de tensão-deformação

onde as tensões podem ser avaliadas diretamente para deformação incremental.

Para um estado de tensões obtido pelo procedimento anterior as forças

internas Ft e Mt na seção transversal são integradas numericamente. O número

de pontos onde são avaliadas as forças internas na seção transversal depende da

divisão adotada para a mesma, isto é cada parcela de área tem um incremento de

força interna segundo sua posição e sua área.

62

r y

dA

Figura 3.4 - Exemplo de divisão da seção transversal do duto.

Finalmente a descrição do comportamento elastoplástico implementado

neste trabalho, atende também as seguintes definições.

Lei de evolução das deformações plásticas.

SF

(3.30)

Critério de plastificação.

0, SSfSF (3.31)

Lei de evolução do encruamento

pdd (3.32)

onde é o parâmetro de encruamento definido em função do incremento de

deformação plástica equivalente.

A noção de carregamento/descarregamento pode ser definida através das

condições de Kuhn-Tucker, expressas como:

0,,0,0, SFSF (3.33)

A relação 3.31 é conhecida como princípio da normalidade, pode ser

interpretada como a condição de que o vetor incremento de deformação plástica

63

seja normal à superfície de plastificação no espaço das tensões, pois SF é um

vetor de direção normal à superfície de escoamento no ponto referente ao estado

de tensão como apresenta a figura 3.5.

Figura 3.5 - Superfície de plastificação: princípio da normalidade.

O comportamento elastoplástico neste trabalho é aproximado por meio de

técnicas de integração implícita considerando plasticidade associativa com

encruamento isotrópico e critério de von Mises.

3.4.1 Algoritmo implícito de Euler (Backward Euler)

O procedimento implícito por si só garante a convergência e estabilidade,

evitando a aplicação de técnicas, tais como sub-incrementação. Este é

incondicionalmente estável e caracteriza-se, através de uma interpretação

geométrica, por proporcionar um retorno à superfície de plastificação segundo a

direção normal à própria superfície na posição atual, como pode ser observado na

figura 3.6. Para o caso específico do critério de von Mises e lei de fluxo

associativa a projeção proporcionada pelo procedimento implícito ocorre sempre

na direção radial, sendo por isso denominado “Radial Return Mapping”.

Segundo Simo & Hughes (1988), este procedimento implícito garante a

convergência quadrática inerente ao método de Newton-Raphson fazendo uso da

matriz tangente elastoplástica consistente.

64

As relações do algoritmo implícito, particularizadas para o modelo proposto,

podem ser escritas, da seguinte forma:

Deformações totais

utt 1 (3.34)

Tensões p

ttet DS 111 (3.35)

Deformações plásticas

11

1 tp

tt

pt

pt S

F(3.36)

Parâmetro de encruamento p

ttttt 111 (3.37)

Deformação plástica efetiva

pt

pt 11 3

2 (3.38)

Lei de encruamento

1'

1 tyt HSS (3.39)

Critério de plastificação

0, 1111 tttt SSfSF (3.40)

onde é o operador de deformações que atua sobre o campo de deslocamentos

u definido no passo de tempo ttt, , eD é a matriz constitutiva elástica, yS é

tensão de escoamento inicial.

A figura 3.6 mostra em forma gráfica o procedimento de integração

implícito e explicito.

65

Figura 3.6 - Procedimento de integração implícito e explícito.

3.4.2 Integração das tensões

No processo de integração das tensões pelo procedimento implícito, é

necessário considerar uma etapa de previsão, que é tomado como um passo

puramente elástico, através das seguintes relações:

utt 1 (3.41)

Ptte

tent DS 11 (3.42)

)(, 11 ttentt

tent SSfSF (3.43)

Se o estado de tensão, obtido na previsão elástica, não violar a condição de

plastificação, encontrando-se na superfície de plastificação ou em seu interior,

significa que o estado obtido é admissível e compatível com o modelo adotado.

Por outro lado, se as tensões obtidas estiverem fora da superfície de plastificação

um outro estado de tensão deve ser procurado de modo a se tornar compatível

com o modelo adotado. Desta forma tem-se:

tentet SDS 1

11 (3.44)

66

Pttttt 111 (3.45)

11

1 tp

tp

tt

pt

pt S

F (3.46)

onde é a matriz tangente elástica modificada definida como:

1

1

1

te S

D (3.47)

Deve-se observar que as expressões 3.44, 3.45 e 3.46 dependem da

determinação do parâmetro (multiplicador plástico).

Para uma melhor compreensão de todo o procedimento implícito aqui

discutido, apresenta-se, de forma resumida, os passos do algoritmo.

Atualizar as deformações e calcular as tensões de tentativa

utt 1

ptte

tent DS 11

Verificar o critério de plastificação com as tensões de tentativa

ttentt

tent SSfSF 11,

Se 01ten

tF

Então: finalizar

Senão: resolver a equação de consistência e determinar

0, 1111 tttt SSfSF

Atualizar as variáveis internas com o valor de

tentet SDS 1

11

Pttttt 111

67

11

1 tp

tp

tt

pt

pt S

F

3.5 Equação de trabalho virtual incremental

Definidos os tensores de tensão e deformação e a relação constitutiva, a

equação de trabalho virtual do duto pode ser desenvolvida.

Considere-se um duto sujeito a um conjunto de forças que lhe provocam

uma deformação. Com base no seu estado de equilíbrio, a configuração do corpo é

modificada por um conjunto de deslocamentos pequenos e compatível com as

condições fronteira, que se designam deslocamentos virtuais. O princípio dos

trabalhos virtuais ou princípio dos deslocamentos virtuais estabelece que o

trabalho realizado pelas tensões internas na deformação virtual do duto é igual ao

trabalho realizado pelas forças exteriores nos deslocamentos virtuais dos seus

pontos de aplicação. De um modo mais simplista é correto afirmar que o trabalho

interno de deformação é igual ao trabalho externo das forças aplicadas.

Trabalho Interno = Trabalho Externo (3.48)

Apresenta-se em seguida a expressão do princípio dos trabalhos virtuais

(PTV) adaptada ao caso da viga-duto de acordo com as hipóteses apresentadas.

Nas expressões que se seguem, o prefixo indica que os deslocamentos ou

deformações são virtuais.

A equação do trabalho virtual do sistema é

0 0 0

0 0 00 0

t t t t t t t tij ij i i i iv v s

S d V F u d V T u d S (3.49)

onde

0 0 0t t t

ij ij ijS S S (3.50)

0 0 0t t t

ij ij ij (3.51)

68

A equação de trabalho virtual pode ser obtida levando em conta as

componentes de tensão e deformação do elemento viga-duto. Isto poder ser

expresso como:

t t

V

t tt xtS t

t xd V t t

V

t tttS t

t d Vt t

extW (3.52)

Os dois primeiros termos representam o trabalho virtual das tensões do duto

e a parte direita da equação é o trabalho virtual externo originado pela aplicação

de carga. Considerando as seguintes relações:

t t tt x x t xS S S (3.53)

t t tt S S Constante (3.54)

t tt x t x (3.55)

t t tt t x t xC (3.56)

onde as equações (3.18) e (3,21) são usadas para obter respectivamente as

equações (3.53), (3.54), (3.55) e (3,56), logo os dois termos na equação (3.49)

resultam:

I IIv

txtxtxtx

t

t

VdSS )( VdCS t

vxtx

tt

t

)( (3.57)

Os algarismos romanos I e II representam os termos da equação (3.52).

Substituindo a equação (3.23) na equação anterior e integrando na seção

transversal temos:

L L

tteq

toteq

tttt

tot

tott

tot

t

t t

xdMFxdKKKKIII 2331 (3.58)

onde os termos de mais alta ordem são ignorados. Os coeficientes

69

1 t

t t EP t

AK C d A (3.59.a)

22 t

t t EP t

AK C y d A (3.59.b)

3 t

t t EP t

AK C yd A (3.59.c)

Representam a rigidez da seção transversal. As forças internas totais

equivalentes no tempo t são definidas como

t

t t t t teq x xA

F S C S d A (3.60.a)

t

t t t t teq x xA

M S C S yd A (3.60.b)

As forças internas totais equivalentes constam da contribuição de tensão

axial da tensão circunferencial e são definidas com base no trabalho virtual

equivalente.

L

ttt

tot

tott

tot

t

t

xdKKKK 2331

L

tteq

toteq

text

tt

t

xdMFW(3.61)

Esta é a equação de trabalho virtual incremental para um elemento viga-

duto.

3.6 Discretização em elementos finitos

Estabelecida a equação do trabalho incremental virtual na equação (3.61), a

discretização em elementos finitos pode ser desenvolvida. O procedimento de

discretização inclui: interpolação de deslocamentos, expressões matriciais da

relação deformação - deslocamento e relações constitutivas, e finalmente a

equação de equilíbrio para o elemento viga-duto com matrizes de rigidez e vetores

de carga, e equilíbrio para a estrutura.

70

3.6.1 Interpolação de deslocamentos

Treliças, vigas retas e pórticos, em geral, são representados por seus eixos

baricêntricos, que podem ser discretizados por um elemento finito unidimensional.

2tt

tx

L(3.62)

Figura 3.7 - Elemento de viga com três nós.

Para o elemento acima são considerados três graus de liberdade por nó:

deslocamento axial, deslocamento transversal e rotação de nó.

Dados 1u , 2u e 3u o deslocamento u em qualquer ponto do elemento finito

fica determinado pela função aproximadora )(u .

20 1 2( )t t tu a a a (3.63)

A partir desta função obtemos as seguintes funções de interpolação.

tt N 11 (3.64)tt N4 (3.65)

7 .1 12

t t tN (3.66)

71

Dados os deslocamentos transversais v1, v2 e v3, e as rotações 1 , 2 e 3 , o

deslocamento v em qualquer ponto do elemento finito fica determinado pela

função v( ).

2 3 4 50 1 2 3 4 5v t t t t ta a a a a a (3.67)

A partir desta função a obtemos as seguintes funções de interpolação.

2 t t 22

1 (3 +4)(-1+ )4

.t tN (3.68)

2 t t 23

1 L ( 1 + ) ( -1. + )8

t tN (3.69)

t 2 t 25 (-1+ ) (1+ )t N (3.70)

t 2 t 26

1 L ( -1 + ) ( 1 + )2

.t tN (3.71)

2 t 28

1 ( 3 - 4 ) ( 1 + )4

.t tN (3.72)

t 2 t t 29

1 L (-1 + ) (1 + )8

t N (3.73)

Os deslocamentos incrementais no sistema local de coordenadas podem ser

expressos como:

0

0vt t

t et

uN u (3.74.a)

onde

1 4 7

2 3 5 6 8 9

0 0 0 0 0 00 0 0

t t tt

t t t t t t

N N NN

N N N N N N(3.74.b)

e

72

1

1

1

2

2

2

3

3

3

v

v

v

t

t

t

t

t e t

t

t

t

t

u

uu

u

(3.75)

Há seis componentes de deslocamentos associados com o deslocamento

transversal e três associados com o deslocamento longitudinal. A interpolação é

quadrática para o deslocamento longitudinal e de quinto grau para o deslocamento

transversal.

Os deslocamentos nodais incrementais no sistema de coordenadas local

podem ser obtidos pela seguinte transformação:

0 0

0 0

0 0

t

tet e t

t

T

u T u

T

(3.76)

onde { et u~ } é o vetor de deslocamentos incrementais nodais no sistema de

coordenadas global, e

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

t t

t t tT (3.77)

com

3 1arcsint t

tt

y yL

(3.78)

Esta é a forma incremental para a orientação do elemento.

73

Figura 3.8 - Inclinação do elemento de viga-duto

3.6.2 Matrizes de deformação-deslocamento

As deformações foram definidas na seção (3.3) e suas os componentes estão

dadas pelas equações (3.9) e (3.10). Substituindo os deslocamentos incrementais

da equação (3.74) na equação (3.9) e (3.10) as componentes de deformação

tornam-se:

t o tt e

t

B u (3.79)

onde

´ ´ ´1 4 7

´´ ´´ ´´ ´´ ´´ ´´2 3 5 6 8 9

0 0 0 0 0 00 0 0

t t tt L

t t t t t t

N N NB

N N N N N N (3.80)

A prima simples e prima dupla na equação (3.80) representa a primeira e

segunda derivada com respeito à coordenada xt local do elemento.

74

3.6.3 Equações de equilíbrio para o elemento finito

De acordo com a discretização dos deslocamentos, das deformações do duto

e dos deslocamentos das molas discretizados, a equação de trabalho incremental

virtual resulta na equação matricial de equilíbrio do elemento finito. Substituindo

as equações (3.74) e (3.79) na equação (3.61) tem-se:

xduBDBu ett

L

ptTtTet

et

'

xdMF

Bupu t

tTt

L

Tet

eext

tTet

et

'

(3.81)

Nesta equação a matriz de rigidez da seção transversal para o duto e

definida como:

1 3

3 2

t tt P

t t

K KD

K K(3.82)

Os coeficientes 1Kt , 2Kt e 3Kt são obtidos pela integração da equação

(3.59). As matrizes de força interna são definidas como:

00

tt

t

FF

F(3.83.a)

00

tt

t

MM

M(3.83.b)

onde Ft e Mt são as forças internas totais equivalentes definidas na equação

(3.60).

A matriz de rigidez elasto-plástica é definida como:

xdBDBK t

L

tptTteEP

t

et

]][[][][ (3.84)

75

os vetores de cargas internas ao nível de elemento, para o duto são definidos

como:

et L

t

t

tTte

pt xd

MF

BQ (3.85)

substituindo as equações (3.84) e (3.85) na equação (3.81) obtemos:

ep

teext

tTetet

eEP

tTet QPuuKu (3.86)

As transformações para elementos das matrizes de rigidez e vetores de

carga, do sistema de coordenadas locais para o sistema de coordenadas globais são

apresentadas como:

TT

KT

TK t

teEP

tt

tet

00

][0

0][ (3.87.a)

e

eP

tt

tet Q

TT

Q0

0(3.87.b)

A matriz acima Tt é definida na equação (3.77).

Apos a aplicação do método da rigidez direta a equação de global

incremental é dada por:

QPuK text

tt

t ][ (3.88)

Uma análise dinâmica completa não dispensa as parcela correspondente ao

amortecimento e inércia na analise. Na literatura a forma mais comum de

incorporação do amortecimento é através do amortecimento viscoso. Este tem

origem em forças que se opõem ao movimento da estrutura à medida que esta se

76

desloca em um meio. Tais forças dependem de vários fatores, como tamanho e

formato do corpo e da freqüência de vibração da estrutura, além de serem

proporcionais à velocidade com que esta se move. Considerando-se a parcela de

amortecimento e inércia, obtemos a seguinte equação:

QPuKuCuM text

tt

ttDuttDut ][][][ (3.89)

Na equação DutM , a matriz de massa total, esta última dada a partir do

espalhamento das matrizes de massa eDutM de todos os elementos da malha, onde

para cada elemento temos.

)( meV

TeDut dVNNM (3.90)

Na equação 3.89, DutC é a matriz de amortecimento do duto segundo

Rayleigh, definida pela combinação linear entre as matrizes de rigidez e de

massas, Clough et al. (1975)

KMC tKDutMDut ][ (3.91)

sendo M e K uma proporção das matrizes de massas e de rigidez.

4 Formulação do modelo numérico do solo

4.1 Modelos constitutivos

Um dos maiores desafios para a engenharia é compreender, analisar e prever

o comportamento dos materiais e das estruturas, face aos carregamentos e às

solicitações impostas por sua utilização. Muito embora o conhecimento dos

materiais e das estruturas seja cada vez maior, dificilmente ao proceder qualquer

tipo de análise, o conjunto completo das características e das particularidades

presentes na realidade é representado. Essa constatação é particularmente

verdadeira para o caso da engenharia geotécnica, onde as condições de contorno e

a heterogeneidade do subsolo são conhecidas em apenas algumas posições

discretas onde são investigadas.

Esta representação completa é além de pouco usual, pouco desejada. O

entendimento e a compreensão da realidade são simplificados na medida em que

se reduzem as complexidades do mundo real, fazendo-se uma análise a partir de

modelos simplificados.

Para a engenharia geotécnica, em particular, um dos aspectos de maior

relevância refere-se à definição das relações entre as tensões e as deformações

observadas. Assim, historicamente, uma diversidade de modelos e equações

constitutivas vem sendo propostas com o objetivo de melhor representar as muitas

variáveis e particularidades envolvidas no comportamento dos solos (Mendonça,

H. M. 2005).

Os modelos propostos possibilitam representar matematicamente o

comportamento dos solos, sendo que, em geral apenas o seu aspecto macroscópico

é levado em conta. Portanto, características referentes à sua estrutura interna não

são utilizadas de forma direta na construção dos modelos, ficando a atenção

direcionada à similaridade entre as respostas oferecidas pelo solo modelado e o

solo real.

78

De acordo com o que será descrito mais a frente, os primeiros modelos

constitutivos empregados para representar a resposta tensão-deformação dos

solos, foram praticamente os mesmos modelos usados para previsão da resposta

tensão-deformação dos metais. A única distinção é a introdução do conceito de

tensões efetivas, para o caso dos solos, em substituição às tensões totais, utilizadas

para descrever o comportamento dos metais, de qualquer forma, para esse

conjunto mais antigo de modelos constitutivos era suficiente considerar o

comportamento dos solos em termos de tensões.

Conforme será apresentado nas seções subseqüentes deste capítulo, o solo,

quando em regime elástico, apresenta comportamento bastante distinto,

dependendo se está submetido a tensões de cisalhamento ou apenas à compressão

isotrópica. Entretanto, deve-se observar que, no caso real, as respostas oferecidas

por esses dois tipos de carregamento não são desacopladas, já que a aplicação de

tensões de cisalhamento, além da distorção, causam, também, variação de volume.

4.2 Comportamento dos solos

Baseando-se, principalmente, na observação do comportamento dos solos

através de ensaios de laboratório e ensaios in situ, diversos avanços foram

conquistados no campo da mecânica dos solos, e com isso uma série de

características e propriedades, puderam ser enunciadas. Particularmente, através

dos ensaios de adensamento (compressão edométrica) e ensaios triaxiais, os

principais aspectos associados à rigidez e à resistência dos solos foram

identificados.

Naturalmente, após esses primeiros avanços, o desafio da engenharia

geotécnica foi estabelecer um modelo constitutivo que melhor representasse o

comportamento observado dos solos.

Antes de identificar as principais propriedades dos solos que deverão ser

satisfeitas pelos modelos constitutivos propostos, algumas definições

complementares são necessárias.

Considerando um material com comportamento elástico linear, a relação

tensão-deformação pode ser expressa por:

79

ES (4.1)

Se o material for, também, isotrópico, a equação acima pode ser reescrita,

em termos das constantes elásticas K , módulo de rigidez volumétrica do material,

e G , módulo de rigidez ao cisalhamento transversal conforme apresentado abaixo

Essas constantes podem ser definidas a partir do módulo de Young (ou de

elasticidade) E e do coeficiente de Poisson, através das expressões:

213EK (4.2)

12EG (4.3)

Apesar das constantes E e serem suficientes para descrição da resposta

elástica de materiais isotrópicos, a utilização de K e G apresenta-se como mais

adequada para o estudo dos solos, uma vez que permitem separar a deformação

elástica em suas parcelas associadas à variação de volume e à mudança de forma,

respectivamente.

A seguir são apresentadas as principais propriedades dos solos, conforme

destacado por Atkinson (1993) e Wu (1976), que devem ser contempladas pelos

modelos constitutivos:

Com aumento da tensão (tensão média efetiva p’) e, conseqüente,

redução do índice de vazios do solo, há aumento da rigidez, seguido

de aumento do módulo de rigidez volumétrica K e também, do

módulo de rigidez ao cisalhamento transversal G (figura 4.1a e

4.1b). Adotam-se como positivas as tensões de compressão;

Os solos sofrem redução na rigidez ao cisalhamento transversal

quando submetidos a tensões cisalhantes. Esse comportamento dos

solos, que é altamente não-linear, implica numa redução substancial

do módulo de rigidez ao cisalhamento quando o solo se aproxima da

ruptura. Em caso de descarregamento, para um novo carregamento, o

80

valor de G volta a crescer (figura 4.1b). Essa consideração indica

que o solo pode sofrer aumento significativo de rigidez com uma

alteração na trajetória de tensões a que está submetido. Esse aumento

de rigidez é tanto maior, quanto mais expressiva for essa mudança na

direção da trajetória de tensões, como no descarregamento, por

exemplo. Utilizando-se os critérios de resistência, pode-se definir

uma superfície de ruptura para os solos, a partir da qual não é mais

possível aumentar as tensões antiesféricas. De um modo geral, o

critério de Mohr-Coulomb é um dos mais utilizados na definição

dessa superfície;

Figura 4.1 - a) Variação de K com p’, b) Variação de G com p’ e com oct .

Os solos, de um modo geral, apresentam comportamentos

diferenciados conforme a direção em que são solicitados. Isso

significa que há uma tendência de se comportarem

anisotropicamente;

Conforme pode ser observado a partir dos ensaios de compressão

isotrópica ou ainda no ensaio de compressão edométrica, os solos

sobreadensados apresentam redução de rigidez quando atingem a

tensão de pré-adensamento. Essa tensão de pré-adensamento pode

ser considerada como a tensão de escoamento do solo, que nada

mais é do que a fronteira entre a região de comportamento elástico e

a região de comportamento plástico.

81

De qualquer forma, a existência de deformações irreversíveis, comprovada

por diversos ensaios de laboratório (compressão isotrópica, edométrica e ensaio

triaxial convencional, sem variação da tensão de confinamento), sugere a adoção

de modelos elasto-plásticos para definição de modelos matemáticos para os solos.

A bibliografia disponível sobre as propriedades dos solos reais é bastante

ampla, não se restringindo apenas aos aspectos acima discutidos. Por outro lado,

tratar de outros aspectos que não aqueles já apontados, consiste em tarefa

suplementar e específica, que se afasta dos propósitos deste trabalho.

Acredita-se, porém, que a abrangência dos assuntos discutidos já é

suficiente para os objetivos que ora buscamos, bem como, para resolução dos

problemas mais complexos da engenharia geotécnica.

4.3 Resumo dos principais modelos constitutivos para solos

A seguir são apresentadas as características dos principais grupos de

modelos constitutivos disponíveis na literatura para representar o comportamento

dos solos.

Os modelos mais conhecidos e utilizados são os modelos elásticos,

devido à sua facilidade de implementação. Em contrapartida esses

modelos não consideram as deformações permanentes. Pode-se

mencionar o modelo elástico linear e elástico não linear nesse grupo.

Outro grupo de modelos achados na literatura são os modelos

hipoelásticos, que por sua vez, são capazes de reproduzir

carregamentos com endurecimento e/ou amolecimento assim como

descarregamento elástico. Esse grupo de modelos apresenta

problemas na sua implementação devido ao grande número de

parâmetros sem sentido físico a serem ajustados.

Os modelos quase-lineares são caracterizados por representar o

comportamento não linear do solo, com rigidez dependente da

tensão, esses modelos não conseguem simular o amolecimento

plástico.

82

Outros modelos comumente usados na literatura são os modelos

elasto-plásticos básicos, modelos que atendem a critérios de

escoamento que incorporam dependência da tensão esférica e

conseguem simular o endurecimento e amolecimento plástico.

Destaca-se nesse grupo o modelo de Mohr-Coulomb e o modelo de

Druker-Prager.

Finalmente temos os modelos elasto-plásticos avançados, modelos

que adotam uma superfície de plastificação com endurecimento e

amolecimento isotrópicos, alguns modelos consideram fluxo não

associado (modelo de Lade-Kim) enquanto outros são capazes de

considerar fluxo associado (modelo Hierárquico).

4.4 Modelo Linear Equivalente

Conforme o visto no ítem 4.3 os modelos elasto-plásticos básicos e elasto-

plásticos avançados possuem implementação complicada uma vez que requerem

grande número de parâmetros sem sentido físico, são de difícil ajuste, além de

carecer de experiência na sua utilização. Por essas razões adota-se no presente

trabalho o Modelo Linear Equivalente para a modelagem do comportamento

dinâmico do solo.

Nos anos 70 foram desenvolvidos procedimentos analíticos para avaliar a

resposta dos solos a carregamentos sísmicos. Em casos específicos alguns

procedimentos para determinar a resposta do solo foram bem sucedidos, sucesso

que depende essencialmente da incorporação das propriedades corretas dos solos

nas análises. Conseqüentemente grandes esforços foram direcionados para uma

melhor determinação das propriedades do solo a serem usados nas análises.

No caso da resposta do solo envolvendo deslocamentos de solo

residual, a resposta foi determinada principalmente pelo módulo cisalhante G e

características de amortecimento do solo sob condições de carga cíclica

simétricas.

Os solos geralmente têm uma relação tensão-deformação não linear como

a mostrada na figura 4.2.

83

Figura 4.2 - Relação tensão - deformação para diferentes deformações. Report No

EERC-70-10.

O módulo cisalhante é usualmente expresso como o módulo secante

determinado no ponto extremo da curva enquanto o fator de amortecimento é

proporcional à área interna descrita pela curva. Verifica-se dessa forma que essas

propriedades dependem fortemente da magnitude da deformação, e ambos,

módulo cisalhante e fator de amortecimento podem ser determinados como

funções da deformação induzida num depósito de solo.

Essas pesquisas e resultados foram apresentados no relatorio 70-10 do

Earthquake Engineering Research Center University of California – Berkeley,

California, trabalho que estabelece os critérios e parâmetros para a adoção do

método linear equivalente.

Atualmente o Método Linear Equivalente é o modelo utilizado na maioria

das aplicações e implementado em grande parte dos programas computacionais

elaborados para investigação da resposta dinâmica de maciços de solo.

O Método Linear Equivalente distingüe-se pelas seguintes características:

O método usa propriedades lineares nos elementos. Essas

propriedades são estimadas segundo o nível de movimentação

dinâmico. Observa-se neste modelo que para excitações dinâmicas

leves os elementos podem ser superamortecidos enquanto para fortes

excitações elementos podem ser sub amortecidos.

84

Como o método é essencialmente elástico, não se têm como calcular

deformações ou deslocamentos permanentes assim como mudanças

que acompanham o fenômeno de liqüefação, já que unicamente a

movimentação oscilatória é modelada, sendo necessário aplicar uma

técnica complementar desacopladamente (Newmark, 1965; Makdisi

e Seed, 1978).

É correto aceitar que durante o processo de fluxo plástico na teoria

da plasticidade, o tensor incremental de deformações é associado a

alguma função do tensor de tensões, originando uma regra de fluxo.

Na teoria da elasticidade assim como usado no Método Linear

Equivalente, as relações do tensor de deformações (não incremental)

são associadas ao tensor de tensões.

O modelo constitutivo do material é integrado no método por uma

curva de tensão-deformação.

Nos casos onde ondas P e S sejam propagadas simultaneamente num

meio, o método linear equivalente trata essas ondas

independentemente, conseqüentemente não é permitida a interação

entre as duas componentes de movimento.

A relação tensão-deformação de solos sob carregamento cíclico exibe

normalmente um laço de histerese entre as trajetórias de carregamento e de

descarregamento, fato que pode ser mecanicamente modelado descrevendo-se as

trajetórias ou considerando-se parâmetros do material que possam representar de

maneira aproximada a forma geral do laço. Na segunda alternativa, adotada no

Modelo Linear Equivalente, a inclinação do laço de histerese, proporcional à

rigidez do solo, é descrita pelo módulo de cisalhamento secante e a abertura do

laço, com área proporcional à energia dissipada no ciclo, pela razão de

amortecimento.

Ambos os parâmetros, referidos como parâmetros lineares equivalentes, são

atualizados iterativamente em função dos níveis de deformação cisalhante

induzidos na massa de solo. Para a seleção dos novos valores, utiliza-se uma

distorção média ou efetiva empiricamente estimada como 2/3 da deformação

cisalhante máxima (0,65 de acordo com Seed e Martin (1966), ou (M-1)/10, de

acordo com Idriss e Sun (1992)) onde M é a magnitude do terremoto. A seleção

85

dos parâmetros lineares equivalentes é feita para cada elemento, de acordo com o

procedimento descrito a seguir.

Os valores iniciais do módulo cisalhante )( maxG e do amortecimento são

estimados para cada elemento finito da malha. A resposta dinâmica do sistema é

então determinada, calculando-se a deformação cisalhante máxima na história do

tempo em cada elemento. A partir desses resultados, as amplitudes da deformação

cisalhante efetiva em cada elemento são computadas, consultando-se as curvas do

material correspondente para observar se o nível de deformação é compatível com

os valores das propriedades dinâmicas utilizadas na avaliação da resposta. Se as

propriedades do solo não forem compatíveis, as propriedades lineares

equivalentes são atualizadas e o processo é repetido até atingir a convergência, o

que ocorre geralmente após 3 a 5 iterações. Este modelo foi implementado em

vários programas comerciais (GeoStudio 2004) e acadêmicos como os elaborados

na Universidade da Califórnia, Berkeley - SHAKE (Schnabel et al., 1972),

QUAD-4 (Idriss et al., 1973), FLUSH (Lysmer et al., 1975), dentre outros.

De acordo com Bray et al. (1995), o programa SHAKE91 (Idriss e Sun,

1992), em virtude da incorporação do modelo linear equivalente, somente deve ser

empregado para movimentos com PHArocha de 0,35g. De acordo com

informações da literatura, o modelo linear equivalente não produz resultados

confiáveis para situações onde PHAsolo é maior do que 0,4g (Ishihara, 1996).

A relação entre a variação dos parâmetros lineares equivalentes com o nível

das deformações cisalhantes foi estudada por vários autores. Até vinte anos atrás,

as reduções de módulo para solos coesivos e granulares eram tratadas

separadamente (Seed e Idriss, 1970), conforme mostra a figura 4.3 para o caso das

areias. Para as areias, Seed e Idriss propuseram a seguinte expressão para cálculo

do máximo valor do módulo de cisalhamento maxG .

2/1'max2max 1000 mKG em psf (4.4)

2/1'

max2max 7,21a

ma P

PKG em Pa

(4.5)

86

Nessa expressão 'm e a tensão efetiva principal média, aP a pressão

atmosférica e o coeficiente adimensional max2K (no intervalo entre 30 a 70) é

obtido de tabelas (Seed e Idriss, 1970) em função do índice de vazios ou

densidade relativa da areia.

Para pedregulhos, Seed et al. (1984) indicaram valores de max2K no

intervalo entre 80 a 180 enquanto que para solos coesivos estimativas preliminares

de G são obtidas com base no índice de plasticidade IP, razão de pré-

adensamento OCR e da resistência ao cisalhamento não-drenada.

Figura 4.3 - Curvas de variação do módulo de cisalhamento para areias sob

diferentes densidades relativas – Seed e Idriss (1970).

A partir da década de 1980, estudos de Dobry e Vucetic (1987), Sun et al.

(1988), Vucetic e Dobry (1991), entre outros, concluíram que há uma transição

gradual entre o comportamento de materiais granulares e coesivos, sendo que a

forma das curvas de redução de módulo de cisalhamento é mais afetada pelo

índice de plasticidade do que pelo índice de vazios.

Para pedregulhos, apesar da dificuldade experimental da execução de

ensaios em laboratório, algumas evidências indicam que a curva média de

87

degradação de G tem forma similar, porém mais achatada, do que a curva média

das areias (Seed et al., 1986).

As características de plasticidade também influenciam a razão de

amortecimento do solo, como também constatado em Kokushu et al. (1982),

Dobry e Vucetic (1987), Sun et al. (1988), Vucetic e Dobry (1991), entre outros.

A figura 3.3 mostra que a razão de amortecimento para solos coesivos altamente

plásticos é menor do que para solos granulares, sendo a curva correspondente a

.0IP

De acordo com Seed et al. (1984) o amortecimento em pedregulhos é muito

similar ao das areias.

Figura 4.4 - Curvas de variação do módulo de cisalhamento para diferentes

índices de plasticidade – Vucetic e Dobry (1991)

88

Figura 4.5 - Curvas de variação da razão de amortecimento para diferentes índices

de plasticidade – Vucetic e Dobry (1991)

A variação do módulo de cisalhamento G é definida pela expressão

proposta por Ishibushi e Zhang (1993).

0),(´

max

))(,( mIPmmIPK

GG

(4.6)

492,0)(000102,0lntanh15,0),( IPnIPK (4.7)

3,1145,04,0

0000556,0lntanh1272,0),( IPemIPm (4.8)

7010*7,2701510*0,715010*37,3

00,0

)(

115,15

976,17

404,16

IPIPIPIPIPIP

IP

IPn (4.9)

A função que controla a variação da razão de amortecimento, dependente do

índice de plasticidade IP , da redução do módulo de cisalhamento max/GG e

89

indiretamente da tensão normal octaédrica ´m , também foi apresentada por

Ishibushi e Zhang (1993).

1547,1586,02

1333,0max

2

max

0145,0 3,1

GG

GGe IP

(4.10)

As deformações cisalhantes em cada ponto de Gauss são calculadas em

todos os instantes de tempo em que se subdivide a duração total do terremoto e as

normas destes vetores são computadas. A maior destas normas é utilizada para

atualização dos parâmetros do Modelo Linear Equivalente.

O valor da razão de amortecimento pode ser informado como constante,

caso no qual o programa utiliza a formulação de Rayleigh (equação 4.11) para

construção da matriz de amortecimento.

No domínio do tempo a matriz de amortecimento pode ser construída com

base na formulação de Rayleigh, através da combinação linear entre as matrizes

de massa e de rigidez.

KMC (4.11)

onde e são os parâmetros de amortecimento de Rayleigh.

Como o amortecimento de solos depende do estado de deformações,

conforme já discutido, Idriss (1973) sugeriu a aplicação da formulação de

Rayleigh no nível de elemento como:

eeeee KMC (4.12)

onde os parâmetros de amortecimento para cada elemento são definidos com

base na razão de amortecimento local (função das deformações cisalhantes

efetivas no elemento) e da freqüência natural fundamental do sistema 1 obtida a

partir do cálculo dos autovalores em um problema de vibração livre não

amortecida.

90

1ee

1

ee

(4.13)

A matriz de amortecimento global [C] é obtida através do processo

convencional de montagem de matrizes do método dos elementos finitos. A

integração no tempo da equação do movimento é feita através do método de

Newmark.

4.5 Discretização do elemento finito para o solo

Assim como no caso unidimensional, é mais conveniente trabalhar-se com

um sistema de coordenadas naturais L, adimensionais, definido na figura 4.6.

Figura 4.6 - Definição das coordenadas naturais de um triangulo.

A variação linear de u dentro do elemento pode ser expressa da forma:

yxu 321 (4.14a)

ou em forma matricial:

91

3

2

1

33

22

11

3

2

1

111

yxyxyx

uuu

(4.14b)

onde 1 , 2 e 3 são parâmetros a determinar.

Invertendo a matriz acima, obtém-se:

3

2

1

321

321

03

02

01

3

2

1 222

21

uuu

aaabbbAAA

A(4.15)

onde, jki xxa , kji xxb , jkkji yxxxA02 , para i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1;

k = 3, 1, 2; A é a área do elemento.

Substituindo as expressões de 1 , 2 e 3 , e arrumando:

33303

22202111

01

221

2212

21

uyaxbAA

uyaxbAA

uyaxbAAu

(4.16)

ou

332211 uNuNuNu (4.17)

Analogamente para v temos:

332211 vNvNvNv (4.18)

A relação entre as coordenadas cartesianas de um ponto qualquer são dadas

por:

92

yaxbAA

L iiii02

21

(4.19)

Isto significa que, para um elemento triangular linear, as funções de

interpolação iN são as próprias coordenadas naturais iL . Pode-se verificar,

facilmente, que estas funções atendem a um requisito básico para as funções de

interpolação, que é o de assumir o valor 1 quando aplicada no nó associado, e o

valor zero nos demais.

A seguir obtemos explicitamente a matriz B.

321

321

000000LLL

LLLN (4.20)

vu

Ny

x

xy

y0

0x

(4.21)

xy

y

xyxy

y

xyxy

y

xy

xxx

LL

LLL

LLL

L

LLLBN

,,3

,3

,,3,,2

,2

,,2,,1

,1

,,1

,3,2,1

000000

xy

y0

0x

(4.22)

12

21

2131

13

1323

32

32

123123000

000

ba

aba

aba

a

bbbB (4.23)

De posse dos dados acima, pode-se calcular explicitamente para o elemento

de deformação constante as expressões das matrizes de rigidez e massa.

Para a matriz elementar de rigidez eK , obtém-se:

BEBtAKTe (4.24)

93

Para obtenção da matriz de massa do elemento eM , a expressão inicial é:

dLLLLLL

M e321

3

2

1

(4.25)

Considerando a expressão geral de integração de áreas, em coordenadas

triangulares,

AkjikjidLLL kji 2

)2(!!!

321 (4.26)

obtém-se:

211121212

12AM e (4.27)

Uma análise dinâmica completa não dispensa as parcela correspondente ao

amortecimento e inércia na análise. O amortecimento tem origem em forças que

se opõem ao movimento do solo à medida que este se desloca.

Apos a aplicação do método da rigidez direta a equação de global

considerando-se a parcela de amortecimento e inércia é dada por:

exttSolotSolotSolo FuKuCuM ][][][ (4.28)

Na equação acima, soloC é a matriz de amortecimento do solo, a qual, em

geral, será obtida segundo o item 4.4

5 Elementos finitos de interface e contornos artificiais

São muito freqüentes situações que envolvem o contato entre diferentes

materiais como, por exemplo, em problemas de interação solo-estrutura, como por

exemplo, estacas, muros, dutos, entre outros. Como o comportamento mecânico

do sistema solo-estrutura é bastante influenciado pelas condições de interface,

várias formulações de elementos finitos especiais, chamados de elementos de

interface, foram propostas na literatura com o objetivo de modelar numericamente

este problema da forma mais próxima a realidade.

Dentre estes elementos, podem ser citados os propostos por Goodman et. al.

(1967), Ghaboussi et. al. (1973), Pande e Shanna (1979), Desai et. al. (1984), Beer

(1985), Day e Potts (1994), entre outros. As principais características, hipóteses e

limitações destas diversas formulações são examinadas nas seções seguintes.

5.1 Elemento de Goodman, Taylor e Brekke (1967).

Este foi o primeiro elemento de interface proposto na literatura, com

espessura nula, idealizado para representar o comportamento mecânico de falhas,

dobras e descontinuidades em massas rochosas.

Considere o elemento da figura 5.1, de comprimento L e contendo quatro

pontos nodais.

Através do princípio dos trabalhos virtuais, é possível escrever-se â matriz

de rigidez local do elemento de interface por;

1

1 2''' dLBCBk T (5.1)

'00'

'C

CC (5.2)

95

L

3yu

3xu

Figura 5.1 - Elemento de junta, espessura nula = 0, sistema de coordenadas locais

, .

As quantidades 'C e 'C representam propriedades do material

relacionadas a rigidez do elemento por unidade de comprimento nas direções

tangencial e normal, respectivamente.

Quando uma força é aplicada sobre uma amostra de rocha fraturada, de

comprimento L e espessura unitária, ocorrerá um encurtamento nesta direção

normal devido tanto à compressão elástica da rocha quanto aos deslocamentos

verificados na própria fratura, incluindo as deformações e esmagamentos das

asperezas existentes na superfície da junta. Subtraindo-se os deslocamentos

elásticos do encurtamento total da amostra, obtém-se uma curva que relaciona a

força normal, por unidade de comprimento, com o deslocamento da interface. Na

região de comportamento linear, a curva é caracterizada pelo parâmetro 'C .

Raciocínio semelhante pode ser empregado para interpretação da quantidade 'C .

Os deslocamentos nodais relativos entre os nós do topo e da base da

interface,

basetopo

basetopo

uuuu

u (5.3)

são relacionados com os deslocamentos nodais

442211 ... yxyxyxT uuuuuu (5.4)

96

Através da matriz [B'] assim definida

4321

4321

00000000

'NNNN

NNNNB (5.5)

onde, as funções de interpolação na direção são:

21

41 NN (5.6a)

21

32 NN (5.6b)

A matriz de rigidez do elemento (equação 5.1) pode então ser facilmente

integrada.

A matriz de rigidez global do sistema é construída através dos

procedimentos convencionais do MEF, tendo-se o cuidado de transformar a matriz

de rigidez do elemento de interface k expressa no sistema local para as

coordenadas globais x, y. Esta transformação é dada por.

TkTk T (5.7)

com

coscossen

senT (5.8)

sendo o ângulo formado entre o eixo global x e o eixo local do elemento

.

Na resolução do problema, os parâmetros 'C e 'C são considerados

nulos quando a tensão normal no elemento de interface for de tração, sendo os

cálculos repetidos para estes novos valores. Caso a tensão cisalhante seja maior do

que a resistência ao cisalhamento na interface, o valor de 'C é alterado para este

valor limite, ou um valor residual, com as componentes de tensão novamente

calculadas.

97

5.2 Elemento de Ghaboussi, Wilson e Isenberg (1973)

Neste elemento de interface, de espessura não nula, os deslocamentos

relativos entre o topo e a base da interface são considerados como graus de

liberdade independentes.

Na figura 5.2a observa-se que os graus de liberdade do elemento planos

superior correspondem aos deslocamentos relativos existentes entre o topo e a

base do elemento de interface.

Considerando-se um elemento de interface definido por apenas 2 pontos

nodais (figura 5.2b), é possível escrever-se:

X

Y

4

3

2

1

2

14

3

1

2Elemento plano superior

Elemento plano inferiorElem

ento

dein

terfa

ce

1yu

2yu

2xu3yu

3xu

4xu

4yu1xu

Coordenadas globais

Figura 5.2a - Geometria do elemento de interface [Ghaboussi, Wilson e Isenberg

(1973)].

98

2

1

1yu

2yu

2xu

1xue

L

1u

2u

1u

2u

Figura 5.2b - Detalhe do elemento de interface [Ghaboussi, Wilson e Isenberg

(1973)].

Interfacex

Inferiorx

Superiorx uuu 141 (5.10)

Interfacey

Inferiory

Superiory uuu 141 (5.11)

Interfacex

Inferiorx

Superiorx uuu 232 (5.12)

Interfacey

Inferiory

Superiory uuu 232 (5.13)

Os deslocamentos relativos nas direções normal u e tangencial u

variam linearmente ao longo do elemento de interface, de acordo com:

2211 uNuNu (5.14)

2211 uNuNu (5.15)

Sendo 121

1N e 121

2N as funções de interpolação lineares

utilizadas na formulação deste elemento de interface.

As componentes de deformação normal e tangencial podem então

ser obtidas como

eu

(5.16)

99

lu

(5.17)

onde e é a espessura do elemento de interface (figura 5.2b).

As componentes de deformação podem então ser relacionadas com os

deslocamentos relativos nodais através de

1

2

1

1

210

210

02

102

1

uuuu

ll

ee (5.18)

ou, simbolicamente.

B (5.19)

Componentes de tensão podem ser facilmente calculadas através da relação

constitutiva do material na interface,

CCCC

(5.20)

ou, simbolicamente.

C (5.21)

A matriz de rigidez local do elemento de interface pode então ser

determinada por

V

T dVBCBk (5.22)

100

Esta matriz deve ser transformada pela relação (5.8) na etapa de formação

da matriz de rigidez global do sistema, referida aos eixos globais x, y. Obtém-se

finalmente que,

22231221

23112311

12231223

21112311

22222222

22222222

6BABABABA

BABABABABABABABA

BABABABA

eLk (5.23)

onde,

221 bCaCA (5.24)

222 aCbCA (5.25)

abCCA3 (5.26)

abCB1 (5.27)

222 baCB (5.28)

411 xxL

a (5.29)

41 yyLIb (5.30)

5.3 Elemento de Pande e Sharma (1979)

Conceitualmente, é uma extensão do elemento de interface proposto por

Ghaboussi et. al. (1973), considerando-se os deslocamentos relativos nodais como

graus de liberdade independentes, mas adotando-se um elemento de interface

parabólico formado por 8 pontos nodais (figura 5.3a).

Da figura 4.3b percebe-se que os graus de liberdade nodais são dados por

8877665544332211 ,,,,,,,,,,,,,,,' yxyxyxyxyxyxyxyx uuuuuuuuuuuuuuuu (5.31)

101

X

Y

Elemento plano superior

Elemento plano inferiorElem

ento

de in

terfa

ce

yu

xu

Coordenadas globais

Figura 5.3a - Elemento de interface com dois elementos planos adjacentes [Pande

e Sharma (1979)].

X

Y

Coordenadas globais

71 yy uu

1xu

2yu

2xu

3yu

3xu62 yy uu

53 yy uu

71 xx uu

62 xx uu

53 xx uu

81 yy uu

81 xx uu

43 yy uu

43 xx uu

1yu

Figura 5.3b - Elemento de interface isoparamétrico parabólico [Pande e Sharma

(1979)].

Os deslocamentos nodais podem ser obtidos através do vetor '

aplicando-se as condições

102

81

81

71

71

62

62

53

53

43

43

3

3

2

2

2

1

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

2

1

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

(5.32)

ou, ainda.

'T (5.33)

Com a matriz de transformação [T] expressa por

1000000000000010010000000000000100100000000000100001000000000001000010000000100000000100000001000000001000100000000000010001000000000000101000000000000001010000000000000010000000000000000100000000000000001000000000000000010000000000000000100000000000000001

T (5.34)

103

A equação de equilíbrio do elemento finito de interface pode então ser

escrita como

fk (5.35)

onde, f representa as componentes das forças nodais aplicadas no elemento.

Reescrevendo esta equação em termos dos graus de liberdade expressos por

(5.33), tem-se:

'' fTTk (5.36)

com,

8877665544332211 ,,,,,,,,,,,,,,,' yxyxyxyxyxyxyxyx fffffffffffffffff (5.37)

de onde resulta:

'' fTkT T (5.38)

ou, simplificando

''' fk (5.39)

A matriz de rigidez do elemento plano inferior permanece inalterada

(formulada com base nos deslocamentos nodais como graus de liberdade),

enquanto que a matriz de rigidez do elemento superior deve ser transformada

tendo em vista a interface comum formada pelos nós 5, 6 e 7 com graus de

liberdade expressos sob forma de deslocamentos relativos.

Neste processo, é empregada uma nova matriz de transformação T , de

ordem 16x16, resultando em uma matriz de rigidez transformada 'k para o

elemento plano superior com dimensão (22x22).

A solução do problema, a partir deste ponto, segue os procedimentos usuais

do método dos elementos finitos.

104

5.4 Elemento de Desai, Lightner e Siriwardane (1984).

O elemento de interface proposto por Desai, Lightner e Siriwardane (1984)

é um elemento delgado ("thin-layer element") que pode representar problemas de

interação solo-estrutura sob vários modos de deformação, conforme indicado na

figura 5.4. A principal vantagem deste elemento é que sua formulação é a mesma

dos elementos quadrilaterais planos o que torna sua implementação computacional

bastante fácil na maioria dos casos.

a) contato aderente

c) modo de abertura

b) contato liso

d) modo fechamento

S n

S n

Figura 5.4 - Esquema dos modos de deformação na interface [Desai, Lightner e

Siriwardane (1984)].

A matriz constitutiva iIC do elemento de interface é dada por

CC

CCC iI (5.40)

Na expressão anterior C relaciona-se com as tensões normais, C

com as tensões cisalhantes e C , C introduzem o efeito de acoplamento na

105

relação constitutiva. A determinação experimental destes últimos coeficientes é

complicada, sendo as componentes de acoplamento geralmente ignoradas.

A componente C é função das características do solo, da estrutura e do

material na zona de interface:

estsi CnCnCnC 321 (5.41)

com 1n , 2n e 3n os fatores de participação (variando entre 0 e 1) das leis

constitutivas do solo na interface iC do, solo no depósito sC e do elemento

estrutural estC .

A componente de cisalhamento C é assumida como o valor do módulo

de cisalhamento do material da interface, sendo obtido através da execução do

ensaio de cisalhamento direto em laboratório.

nr

rrrni e

uuuGC ,,, (5.42)

onde

iG é o módulo de cisalhamento do material da interface

n é a tensão normal

é a tensão cisalhante

ru é o deslocamento relativo

e é a espessura do elemento.

A implementação deste elemento de interface segue, daqui por diante, os

procedimentos usuais do MEF. Na prática, de acordo com estudos realizados por

Desai et. al. (1984), a espessura do elemento de interface deve estar situada no

intervalo LeL 1,001,0 , sendo L o comprimento do elemento de interface

(figura 5.5).

106

Figura 5.5 - Esquema do elemento de interface [Desai, Lightner e Siriwardane

(1984)].

5.5 Critérios e métodos numéricos utilizados nos contornos artificiais do meio contínuo.

Um dos problemas que inevitavelmente deve-se enfrentar na simulação

numérica de propagação de ondas no meio semi-infinito é a modelagem dos

contornos artificiais. As condições de contorno têm que ser definidas com o

objetivo de minimizar os reflexos artificiais das ondas nos bordos do domínio

computacional, ou seja, simular a extensão infinita do meio contínuo permitindo

que as ondas se propaguem somente da parte interior para a região exterior. Esses

contornos artificiais são comumente denominados contornos absorventes

(absorbing boundaries).

Os contornos artificiais podem ser subdivididos em dois tipos: contornos

absorventes locais e não locais. As condições de contornos absorventes locais são

formuladas utilizando operadores diferenciais com respeito ao espaço e tempo e

são resolvidos no domínio do tempo. Por outro lado, as condições de contornos

absorventes não locais estão descritas através de operadores integrais e

diferenciais com respeito ao espaço ou tempo. Geralmente, as condições de

contornos absorventes não locais são utilizadas em análises no domínio da

freqüência. Kausel (1988) refere-se a este tipo de modelos como contornos

consistentes não-locais.

107

5.5.1 Contornos absorventes locais no domínio do tempo

A grande vantagem deste tipo de condição de contorno é que são locais no

espaço e tempo, sendo desta maneira numericamente mais eficientes que as

condições de contorno não locais. Os contornos absorventes locais fornecem

soluções razoavelmente satisfatórias para muitos problemas com pouco esforço

numérico. A seguir, apresenta-se uma breve revisão das contribuições mais

importantes neste campo de pesquisa. Este tipo de solução foi primeiramente

proposto para resolver problemas de interação solo-estrutura em engenharia civil.

Lysmer e Kuhlemeyer (1969) desenvolveram o famoso contorno de

amortecimento viscoso (viscous damping boundary). Este método atenua

consideravelmente as ondas de compressão, mas não diminui suficientemente o

reflexo das ondas cortantes. No entanto, hoje em dia, o método de contorno

viscoso continua sendo o contorno absorvente mais utilizado nos problemas

numéricos de engenharia estrutural, sendo utilizado em programas de elementos

finitos com variados propósitos, tais como Abaqus, Adina, Ansys, etc.

A popularidade deste método se deve a sua simples interpretação física na

forma de um amortecedor. Posteriormente este método de contorno viscoso foi

generalizado por White et al. (1977).

Atualmente, este método é amplamente utilizado nos problemas de

propagação de ondas, modeladas através do método de elementos finitos.

5.5.2 Matriz de elementos de contorno

Lysmer e Kuhlemeyer (1969) propuseram elementos de contorno dinâmicos

com o propósito de evitar a reflexão da propagação das ondas no contorno da

malha. Estes elementos possuem contornos viscosos conectados aos nós da

fronteira de uma malha de elementos finitos, cujas propriedades são função do

tipo de solo existente naqueles elementos. Mediante esta adequação podem-se

absorver perfeitamente as ondas planas incidentes com ângulo normal (90°), mas

para outros ângulos, a eficiência não é total.

108

A seguinte matriz de amortecimento pode ser adicionada nos elementos

localizados ao longo do contorno da malha de elementos finitos,

dSNVNCS

uTuBE (5.43)

com,

s

p

VbVa

V0

0(5.44)

A matriz uN contém as funções de interpolação, é a densidade do

material, pV e sV são as velocidades de propagação de ondas P e S

respectivamente, a e b indicam coeficientes a determinar para minimização da

energia refletida no contorno. Lysmer e Kuhlemeyer (1969) sugeriram a adoção

de 1ba .

5.5.3 Controle do tamanho do elemento

Um dos aspectos da análise realizada através de elementos finitos que

requer cuidadoso controle é a escolha do tamanho do elemento, principalmente

nos casos em que efeitos de alta freqüência são importantes.

Kuhlemeyer e Lysmer (1973) constataram que o tamanho do elemento na

direção de propagação da onda tem grande influência nos resultados da análise

dinâmica, pois grandes elementos mostram-se incapazes de transmitir movimentos

sob altas freqüências. Aqueles autores propuseram uma regra empírica que o

tamanho do elemento finito para uma transmissão eficiente da freqüência não

deve ser maior do que 1/8 do menor comprimento de onda, atualizando a sugestão

anterior (Lysmer e Kuhlemeyer, 1969) que fixava o limite de 1/12.

Estudos mais detalhados da influência do tamanho do elemento finito em

análises dinâmicas foram feitos por Celep e Bazant (1983) e Mullen e Belytschko

(1982), com as seguintes principais conclusões:

109

Quando o comprimento de onda é menor ou igual do que dez vezes o

tamanho do elemento na direção de propagação da onda, então o

fenômeno de reflexão de ondas espúrias não é importante.

Uma variação súbita do tamanho dos elementos finitos pode causar

significativas reflexões na interface entre os elementos de diferentes

tamanhos. O emprego de uma variação gradual do tamanho dos

elementos finitos reduz a ocorrência do fenômeno, mas não o

elimina.

6 Métodos de solução

6.1 Introdução

Existem vários métodos de solução de equações não-lineares, cada qual com

uma justificativa racional. Ao contrario dos métodos de solução de sistemas

lineares, estes métodos não garantem, em geral, a convergência para o resultado

correto de qualquer problema. O analista deve ser capaz, baseado na sua

experiência, de escolher o método mais adequado para o problema em questão.

Além disso, mesmo após escolhido o método, alguma dificuldade aparece na

determinação de parâmetros do tipo tolerâncias, incrementos de carga e número

máximo de iterações.

Este capítulo apresenta a técnica de solução para sistemas de equações

algébricas não-lineares obtidas após a integração das equações de equilíbrio do

sistema discreto. O capítulo começa com uma revisão dos procedimentos

existentes que podem ser usados para obter uma solução adequada.

6.2 Revisão de procedimentos de solução

A dificuldade na análise não-linear é que a rigidez e forças internas, as quais

têm que ser levadas em conta para o procedimento de solução, são dependentes

dos deslocamentos. Vários procedimentos têm sido desenvolvidos com diferentes

maneiras de tratar esta dependência, mas isto é freqüentemente difícil de realizar,

essencialmente para problemas de severas não linearidades e condições locais de

carregamento e descarregamento. Se o fenômeno fundamental presente no

comportamento da estrutura pode ser capturado pelo procedimento de solução,

aproximações e simplificações podem ser introduzidas de forma a melhorar a

eficiência do procedimento da análise. No entanto a eficiência é freqüentemente

111

sacrificada para alcançar estabilidade no processo de solução. Conseqüentemente

muitas alternativas têm sido exploradas e não é a intenção revisar todos os

procedimentos de solução neste trabalho. Primeiramente é revisado neste capítulo

o procedimento incremental iterativo para análises estáticas de estruturas não-

lineares. Isto define a formulação básica para procedimentos de solução. O

procedimento de Newton Raphson é o procedimento clássico.

6.3 Processo iterativo para solução do sistema de equações de

equilíbrio não lineares: método Newton-Raphson

Lembrando que a aplicação do carregamento na estrutura é feita mediante

incrementos em intervalos de tempo t , e assumindo que as condições de

equilíbrio em um instante t já sejam conhecidas, o processo iterativo é usado para

se determinar as condições de equilíbrio no instante tt ! . Doravante,

sobrescritos colocados à esquerda de matrizes e vetores indicam o instante em que

foram avaliados.

O processo é aplicado no nível da estrutura, portanto após o espalhamento

das matrizes de rigidez e massa, bem como dos vetores de força.

Conhecido o vetor de forças externas Ftt ! no instante tt ! , utiliza-se a

equação FuK ". para, de forma aproximada, determinar o incremento R do

vetor de forças internas Rt , necessário à manutenção do equilíbrio em tt ! .

uKR T

t " (6.1)

Com respeito à equação (6.1), cabe esclarecer que a matriz de rigidez

tangente T

tK (matriz de rigidez resultante do acoplamento da matriz de rigidez do

tudo e solo) é função não só das propriedades físicas do material que constitui o

corpo, mas também do nível de carregamento da estrutura, necessitando ser

atualizada permanentemente. O subscrito indica que a atualização foi feita no

instante t. Na prática:

)( RKK t

TT

t " (6.2)

112

O vetor de deslocamentos incrementais u corresponde aos deslocamentos

experimentados pelos pontos materiais do corpo ao passar de uma configuração de

equilíbrio no instante t para outra no instante tt ! . Portanto, o deslocamento

total é dado por:

uuu ttt !" ! (6.3)

Analogamente, o vetor Rtt ! correspondente à nova configuração de

equilíbrio é dado por:

RRR ttt !" ! (6.4)

Substituindo (6.1) em (6.4), vem:

RRuK ttt

T

t #" !

(6.5)

O método pretende fazer com que:

0$# ! ! RF tttt

(6.6)

Assumindo a condição limite, é possível substituir Rtt ! por Ftt ! na

equação (6.5), tal que:

%"#" ! RFuK ttt

T

t

(6.7)

Na equação (6.7), Z é um vetor de desequilíbrio de forças, ou seja, que

representa um residuo. O objetivo do método é fazer com que este vetor tenda a

zero.

Em uma única iteração, seria resolvida a equação (6.7) em u . Em seguida,

o vetor de deslocamentos seria atualizado com uso de (6.3). E, antes de se

prosseguir para o próximo passo de carregamento, seria atualizado o vetor de

113

forças internas com uso de (6.1) e (6.4), e a matriz de rigidez tangente com uso de

(6.2).

Entretanto, uma única iteração geralmente não basta para fazer o vetor Z de

desequilíbrio de forças aproximar-se de zero o suficiente a fim de garantir a

convergência entre o vetor F de forças externas e o vetor R de forças internas.

Através de sucessivas iterações, é possível fazer Z tender a zero dentro de um

limite de tolerância aceitável. Sob este enfoque, segue-se o fluxo a seguir até a

convergência:

& Já tendo sido atualizados, na iteração anterior, tanto os vetores de

deslocamento e de forças internas, quanto a matriz de rigidez

tangente, a k-ésima iteração inicia com o cálculo de novo vetor de

deslocamentos incrementais )(ku :

)1()()1( # ! !# ! #" k

T

ttttkk

T

tt RFuK (6.8)

Na primeira iteração, quando k = 1:

T

t

T

ttk

T

tt KKK "" !# ! 0)1(

(6.9)

RRR tttktt "" !# ! 0)1(

(6.10)

Nas equações (6.9) e (6.10), respectivamente, T

tK e Rt resultaram

da convergência no passo de carregamento anterior.

& Em seguida, com o novo vetor de deslocamentos incrementais

calculado, é feita a atualização do vetor de deslocamentos:

)()1()( kkttktt uuu !" # ! !

(6.11)

Na primeira iteração, quando k = 1:

uu ttt " ! )0(

(6.12)

114

Em (6.12), ut resultou da convergência no passo de carregamento

anterior.

& Em seguida, é atualizado o vetor de forças internas:

)()1()( kk

T

ttk uKR " # !

(6.13)

)()1()( kkttktt RRR !" # ! !

(6.14)

& Em seguida, é atualizada a matriz de rigidez tangente com uso de

(6.2). No Método Newton-Raphson modificado a matriz de rigidez

tangente só é atualizada ao final do passo de carregamento,

preparando-a para o passo seguinte (durante o processo iterativo

permanece inalterada).

& Em seguida, é verificada a convergência. Bathe propõe três critérios

possíveis para a verificação, concomitantes, ou não, baseados em

normas de deslocamento, força e energia, respectivamente:

Dktt

k

u

u'(

! )(

)(

(6.15)

Fttt

ktttt

RF

RF'(

#

# !

! ! )(

(6.16)

) *Ettt

kttttk

RFu

RFuT

T

'(#

# !

# ! !

)()1(

)1()(

(6.17)

A norma de um vetor r, aqui definida, é dada por:

rrr T"

(6.18)

Nas expressões (6.15) a (6.17), os escalares D' , F' e E' são as tolerâncias

em termos de deslocamento, força e energia, respectivamente.

115

Caso a convergência não tenha sido alcançada, ou seja, caso algum dos

critérios, escolhidos dentre (6.15) a (6.17), não se verifique, o processo se repete

desde o primeiro passo do fluxo.

No caso da análise dinâmica, a equação (6.8) é acrescida das parcelas

correspondentes às forças de inércia e ao amortecimento.

)1()()1()()1()()1( # ! !# ! !# ! !# ! #" !! kttttkk

T

ttkttkttkttktt RFuKuCuM (6.19)

Cabe adiantar que, neste caso, à diferença entre o vetor de forças externas

Ftt ! e à última atualização disponível para o vetor de forças internas )1( # ! ktt R ,

que aparece no membro direito da equação (6.18), são somadas a parcelas

originadas pelo desmembramento dos termos de inércia e amortecimento que

aparecem no membro esquerdo, dando origem a um vetor de resíduos efetivo. O

processo iterativo deve controlar e reduzir este vetor até o alcance da

convergência.

6.4 Solução do sistema de equações de equilíbrio no domínio do

tempo

É usual resolver o sistema de equações acopladas no domínio do tempo.

Neste sentido, são inúmeros os algoritmos propostos. A idéia básica é a integração

numérica das equações em sucessivos intervalos de tempo t, descrevendo uma

série histórica para cada grau de liberdade. Por tanto, a solução é conhecida

apenas em instantes discretos de tempo, defasados de t.

O processo de discretização no tempo da equação (3.88) consiste em

substituir os vetores de deslocamentos )(tu , velocidades )(tu e acelerações

)(tu pelas suas respectivas aproximações vd tt , e at .

)(tFdKvCaM ttt "!! (6.20)

116

6.4.1 Algoritmos de integração

Sem dúvida, o algoritmo de Newmark é o mais popular. Hughes apresenta

as equações que o definem:

) *+ ,aat

vtdd ttttttt ! ! !#

! !" -- 2212

2

(6.21a)

) *+ ,aatvv tttttt ! ! !# !" ..1 (6.21b)

Cada par de parâmetros ! e " define um tipo de algoritmo diferente, com

propriedades totalmente distintas. As equações (6.21) são utilizadas em conjunto

com a equação (6.20) em uma seqüência de cálculo que começa a partir dos

valores iniciais

6.4.2 Algoritmos de Newmark incondicionalmente estáveis

São aqueles cuja estabilidade é assegurada pela relação entre os parâmetros

! e ", independente do intervalo de tempo de integração numérica. Algoritmos

desta natureza obedecem à relação:

2

12 // .-

(6.22)

Algoritmos de Newmark condicionalmente estáveis São aqueles cuja

estabilidade depende da escolha criteriosa do intervalo de tempo t. Algoritmos

desta natureza apresentam a seguinte relação entre os parâmetros ! e ":

2

1/.

e 2

10-

(6.23)

Neste caso, a escolha de t deverá obedecer à seguinte condição:

117

-.

.1-.

.1

2 #

34

567

8 #!#!34

567

8 #

(

2

2

1

22

1

1

22nn

n

t

(6.24)

Apresenta-se abaixo o algoritmo de solução passo a passo relativo ao

método de Newmark.

Cálculos iniciais:

(A) Cálculo das matrizes de rigidez K, massa M, e amortecimento C

(B) Obtenção das condições iniciais: uuu 000 ,,

(C) Seleção do passo de tempo t e dos parâmetros ! e "

5.0/.

2)5.0(25.0 .- !/

(D) Cálculo das constantes

)(1

20t

a

"- )(1

ta

"

-.

)(1

2t

a

"-

121

3 #"-

a 114 #

#"-.

a 334

5667

8#3

4

567

8 " 225 -

.ta

)1(6 .# " ta ta " .7

(E) Cálculo da matriz de rigidez efetiva CaMaKK 10* !!"

(F) Resolver 1*#K

Para cada passo de tempo:

(G) Cálculo do vetor de força efetivo

)()(* 541320 uauauaCuauauaMRR tttttttt !!!!!!" !

(H) Cálculo dos deslocamentos

** 1 RKutt # ! "

(I) Cálculo das velocidades e acelerações

uauauuau ttttttt 320 )( ###" ! !

uauauu tttttt

! ! !!" 76

118

6.4.3 Convergência de um algoritmo

O erro global )(ten produzido pelo algoritmo em um instante t é dado por:

)()( tyyte nn

t

n #" (6.25)

Segundo Jacob, um algoritmo consistente apresenta um limite máximo para

o erro global )(ten .

)()()( ttteAtte nnnn 9 #" ! (6.26)

Aplicando a equação (6.26) sobre si própria reiteradas vezes a partir do

instante inicial, obtém-se o seguinte resultado:

:"

##" #"""m

i

imn

i

nn

m

nmn ttAtteAtte0

1)()0()( 9

(6.27)

)()()( ttteAtte nnnn 9 #" ! (6.28)

Lembrando as condições iniciais, conclui-se que )0( "ten é nulo, portanto,

à equação (6.27) recai em:

:"

##" #""m

i

imn

i

nmn ttAttte0

1)()( 9

(6.29)

Considerando que o algoritmo seja estável e consistente, Hughes demonstra

que a equação (6.29) pode ser reescrita por:

) * k

mmn tcttte ("

(6.30)

A expressão (6.30) é uma particularidade do Teorema de Lax, segundo o

qual “as propriedades de estabilidade e consistência são condições necessárias e

119

suficientes para a convergência de um algoritmo”. A partir dela, fica claro que o

erro global tende à zero na medida em que t se torna infinitamente pequeno.

7 Exemplos e validação da metodologia

Este capítulo tem como objetivo avaliar numericamente a metodologia

apresentada neste trabalho para análise de tubulações enterradas submetidas a

carregamentos dinâmicos.

O objeto desta verificação é ratificar que o modelo descrito está

corretamente formulado, bem como sua implementação numérica.

As soluções foram obtidas por um procedimento incremental iterativo com

convergência para o equilíbrio em cada passo.

Na discretização foram empregados elementos tipo viga de três nós para

modelar o duto, elementos triangulares de três nós para modelar o solo, elementos

de interface (Goodman, Taylor e Brekke) para idealizar o contato entre o duto e o

solo e finalmente contornos absorventes para levar em conta um semi-espaço

infinito, conforme o apresentado no capítulo 5.

Os valores das propriedades físicas do solo foram retirados do relatório dos

ensaios efetuados nas areias do setor de Camisea, indicado no item 10 do presente

trabalho.

7.1 Verificação do modelo elástico linear.

A seguir apresenta-se a resposta dinâmica de um estrato horizontal de solo

submetido a uma aceleração senoidal na base.

Aplicou-se o modelo numérico considerando um modelo constitutivo linear

elástico para o solo (modelo simples) com a finalidade de avaliar o correto

funcionamento dos módulos do programa (leitura de dados, algoritmos de solução

e saída de dados entre outros) desenvolvidos neste trabalho.

A seguinte figura mostra um estrato horizontal com espessura H = 30,00

metros, apoiado sob base rochosa. Para efeitos da modelagem este estrato será

considerado como uma coluna de 1,00 m de base e 30,00 m de altura.

121

Figura 7.1 - Esquema do estrato horizontal.

Nesta verificação o solo foi modelado através do modelo elástico-linear. As

características do solo adotadas na análise são as seguintes: peso especifico =

19,20 kN/m3, módulo de rigidez ao cisalhamento transversal G = 21 MPa,

enquanto que a base do estrato está submetida a uma excitação do tipo aceleração

senoidal horizontal, de amplitude Ac = 3 m/s² e velocidade angular !" 2# .

A solução analítica para este problema, é dada pela seguinte expressão

(Cuéllar,1974):

$$%

&''(

)$%

&'(

) **

*$%

&'(

) *

**

*# +

,

# H

tnV

nV

Ht

H

yn

H

nV

n

A

tyu s

sn s

x 2

)12(sin

)12(

2)sin(

2

)12(sin

4

)12(

)12(

4

),(1 2

2

222

2

!!

""

!

"!!

"

(7.1)

onde -G

Vs # é a velocidade das ondas de corte e A é a amplitude da excitação

na base, que pode ser obtida por, 2"cAA # .

A equação 7.1 considera um caso totalmente unidimensional, onde o

deslocamento vertical em todos os pontos do estrato de solo e deslocamentos

horizontais na base são nulos e o volume do solo permanece constante.

As condições de contorno aplicadas restringem o deslocamento vertical em

todos os pontos e o deslocamento horizontal nos nós da base.

122

A figura 7.2 apresenta as malhas de elementos finitos usadas nas análises. A

malha da esquerda foi usada por Lopez (2005), enquanto que a malha da direita

foi usada nas análises feitas com o programa QUAKE e na metodologia proposta

neste trabalho. Foram usados elementos finitos triangulares lineares nas malhas

nesta verificação.

0 2 4-4 -2

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

D is ta n c ia H o riz o n ta l (m )

Altu

ra (

m)

Figura 7.2 - Malhas de elementos finitos usados nas análises.

A figura 7.3 apresenta a solução elástica do problema, comparando as

respostas obtidas por Lopez (2005), programa QUAKE e a formulação proposta

neste trabalho, assim como a resposta analítica, para um nó da parte superior do

estrato horizontal (nó 92 da figura 7.2).

123

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

De

slo

ca

me

nto

X (

m)

Elástico Linear (QUAKE)

Elástico Linear (Lopez 2005)

Elástico Linear (TESE)

Solução Analítica

Figura 7.3 - Resposta elástica linear para o deslocamento no tempo para a parte

superior do estrato (nó 92 da figura 7.2).

A figura 7.4 apresenta a resposta analítica do problema e a solução obtida

pela formulação proposta neste trabalho para um nó da parte media do estrato

horizontal (nó 47 da figura 7.2).

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Deslo

cam

en

to X

(m

)

Elástico Linear (TESE)

Solução Analítica

Figura 7.4 - Resposta elástica linear para o deslocamento no tempo para a parte

media do estrato (nó 47 da figura 7.2).

Pode-se verificar que a resposta obtida com a formulação proposta usando

um modelo elástico linear para o solo é muito próxima da solução teórica e que as

124

soluções das outras formulações acompanham o mesmo comportamento para o

deslocamento no tempo.

7.2 Verificação do modelo linear equivalente.

Uma vez verificada a eficácia dos algoritmos do programa, foi

implementado para o caso do exemplo anterior o modelo linear equivalente,

modelo que através de suas características permite modificar as propriedades do

solo segundo as deformações do mesmo para cada incremento de tempo na analise

e fornece uma resposta dinâmica muito mais confiável do que a resposta obtida

com o modelo elástico linear (modelo com propriedades constantes no tempo).

Para efetuar uma análise que envolve o modelo linear equivalente é

necessário definir, através de duas curvas, o módulo de rigidez ao cisalhamento

transversal G e amortecimento que será adotado para o solo. Estas curvas são

definidas atendendo aos critérios apresentados no item 4.4.

Neste exemplo foram usadas as curvas apresentadas nas figuras 7.5 e 7.6,

para o modulo de rigidez ao cisalhamento transversal e para o amortecimento

respectivamente.

Figura 7.5 - Valores da variação do módulo de rigidez ao cisalhamento G com a

deformação cisalhante (EERC 70-10 DECEMBER 1970 – SOIL MODULI AND DAMPING

FACTORS FOR DYNAMIC RESPONSE ANALYSES)

125

Figura 7.6 - Valores da razão de amortecimento (Report EERC 70-10 DECEMBER

1970 – SOIL MODULI AND DAMPING FACTORS FOR DYNAMIC RESPONSE

ANALYSES)

As figuras 7.7 e 7.8, apresentam a comparação da resposta em termos de

deslocamentos horizontais segundo o programa QUAKE e a formulação

apresentada neste trabalho, para a parte superior do estrato horizontal (nó 92

figura 7.2) e para a parte central do estrato horizontal (nó 47 figura 7.2).

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

De

slo

ca

me

nto

X (

m)

Figura 7.7 - Resposta Linear Equivalente para o deslocamento horizontal para a

parte superior do estrato (nó 92 figura 7.2).

126

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

De

slo

ca

me

nto

X (

m)

Figura 7.8 - Resposta Linear Equivalente para o deslocamento horizontal para a

parte media do estrato (nó 47 figura 7.2).

Como se pode verificar a resposta ao problema proposto usando a

formulação proposta nesta tese é menor do que a resposta obtida com o programa

QUAKE. Essa diferença pode ser originada do fato do programa QUAKE

modificar o valor do módulo de rigidez ao cisalhamento transversal G para todos

os elementos da malha ao mesmo tempo enquanto a formulação proposta nesta

tese faz essa redução para cada elemento da malha individualmente.

Comparando as respostas para a hipótese de comportamento elástico linear

(item 7.1) e linear equivalente (item 7.2) pode-se observar que os deslocamentos

obtidos para o caso elástico linear são maiores, o que indica que a solução elástica

linear é mais conservadora.

7.3 Verificação do Modelo Linear Equivalente para um histórico de

acelerações.

O passo seguinte foi introduzir o carregamento do tipo histórico de

acelerações ao exemplo, o que se a diferencia dos exemplos anteriores nos quais a

aceleração num instante dado obedecia a uma função senoidal.

A figura 7.9 apresenta as acelerações que foram usadas na análise

dinâmica.

127

Historico de acelerações

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Acele

ração

(g

)

Figura 7.9 - Acelerograma usado na análise.

É importante indicar que as ondas sísmicas (sejam as compressivas, sejam

as de corte) têm, na origem, vasta gama de freqüências. Todavia, devido à

atenuação durante a propagação, as mais significativas como no caso dos sismos

têm freqüências entre 2 e 10 Hertz. Levando em conta estes valores e atendendo

os critérios de controle do tamanho do elemento (Kuhlemeyer e Lysmer 1973)

foram geradas as malhas de elementos finitos apresentadas a seguir.

Neste exemplo foi modelado o talude apresentado na figura 7.10 onde

foram usadas as curvas das figuras 7.5 e 7.6 para representar a degradação do

modulo cisalhamento transversal e amortecimento. Foi considerado um peso

especifico =18 kN/m3; módulo de rigidez ao cisalhamento transversal maxG =

37,5 MPa ; coeficiente de Poisson .=0,334 e um período fundamental do solo

#sT 3,5 s.

128

Figura 7.10 - Malha de elementos finitos usada na análise com o programa

QUAKE.

Figura 7.11 - Malha de elementos finitos gerada pelo programa MTool

A verificação da resposta foi feita com ajuda do programa de elementos

finitos QUAKE levando em conta o modelo linear equivalente e elementos

bidimensionais tipo Q4, para modelar o comportamento do solo com os

parâmetros indicados anteriormente.

As figuras 7.10 e 7.11 apresentam respectivamente, a malha gerada pelo

programa QUAKE e a malha de gerada pelo programa MTool. A malha gerada

pelo programa Mtool foi usada na análise com a formulação proposta no presente

trabalho considerando elementos triangulares de deformação constante.

A figura 7.12 apresenta o deslocamento horizontal (metros) no tempo do

ponto indicado na malha de elementos finitos da figura 7.10 (coordenadas 30; 20),

129

para a formulação proposta neste trabalho e para a solução pelo programa

QUAKE.

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deslo

cam

en

to X

(m

)

Figura 7.12 - Deslocamento horizontal no tempo - malha sem contornos

absorventes.

Pode-se verificar novamente que a resposta ao problema proposto usando

a formulação proposta é menor do que a resposta obtida com o programa

QUAKE.

7.4 Verificação do Modelo Linear Equivalente para um histórico de

acelerações e consideração de contornos absorventes

Agora o problema consiste em modificar a modelagem do item 7.3

incluindo os contornos absorventes.

Foi comentado neste trabalho que para maior eficiência computacional, é

desejável que o número de elementos finitos seja o menor possível. Como o

tamanho máximo do elemento é controlado pelo critério definido por Kuhlemeyer

e Lysmer (1973), a minimização do número de elementos se converte em um

problema de minimização do tamanho da malha de elementos finitos.

Análises efetuadas pelo método dos elementos finitos sempre encontram

dificuldades na representação de domínios onde o substrato rochoso situa-se

muito além da região de interesse do problema. Uma técnica bastante utilizada em

análises estáticas é truncar a malha a alguma grande distância e empregar

contornos elementares (rígidos) como “aproximação” da real geometria do

130

problema o que produz resultados desastrosos em análises dinâmicas devido às

reflexões de onda ocorridas nos contornos rígidos artificialmente introduzidos.

A técnica de contornos especiais para problemas dinâmicos utilizada neste

trabalho foi à proposta por Lysmer e Kuhlemeyer (1969)

Segundo a formulação proposta neste trabalho é necessário avaliar as

velocidades de propagação de ondas P e S que são usadas na formulação dos

contornos especiais. Sendo assim, de acordo com as propriedades mecânicas do

solo temos os seguintes valores: velocidade de onda P, pV = 275 m/s, e velocidade

de onda S, sV = 150 m/s.

A figura 7.13 apresenta a variação do deslocamento horizontal em relação

ao tempo (para o ponto mostrado na figura 7.10). Nesta figura pode-se observar

que os deslocamentos para os primeiros instantes da análise são muito próximos

para as respostas da formulação desta tese e a resposta do QUAKE, mas depois

aparecem algumas discrepâncias. Mesmo assim a formulação proposta nesta tese

consegue reproduzir o comportamento dinâmico da estrutura.

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Deslo

cam

en

to X

(m

)

LE e Contornos (QUAKE)

LE e Contornos (TESE)

Figura 7.13 - Deslocamento horizontal no tempo considerando a malha com

contornos absorventes.

Comparando as respostas apresentadas nas figuras 7.12 e 7.13 podemos

verificar que a influência dos contornos absorventes nos deslocamentos e as

tensões no solo são atenuadas, ou seja, pode-se dizer que o modelo com contornos

absorventes apresenta deslocamentos menores.

131

7.5 Verificação do modelo duto-solo submetido a cargas dinâmicas.

Nesta etapa, foi modificada a modelagem apresentada no item 7.4 de

forma a incluir o duto e verificar o comportamento da interação duto-solo com os

elementos de interface localizados entre os elementos tipo viga e o solo assim

como os contornos absorventes para finalmente submeter o modelo a

carregamento dinâmico.

Figura 7.14 - Malha com contornos absorventes, duto e elementos de interface.

A seção do duto foi dividida em 32 partes iguais.

132

O histórico de acelerações usado nesta análise foi o apresentado na figura

7.9. A seguir apresentam-se as características do duto e os parâmetros de solo e

contornos absorventes que integram o modelo.

Foi usado um aço de baixa resistência, com início de escoamento de

fy=250 MPa com uma relação tensão deformação bi-linear, considerando os

seguintes valores para o módulo de rigidez ET=75000 MPa e E=2050000 MPa, a

pressão interna do duto foi de 9MPa, espessura do duto = 6,35 mm e diâmetro =

0,325m.

Para o solo foram usadas as curvas das figuras 7.5 e 7.6 para representar a

degradação do modulo cisalhamento transversal e amortecimento; um módulo de

rigidez ao cisalhamento transversal maxG = 37,5MPa, um coeficiente de Poisson

334,0#solo. , peso especifico =18,00 KN/m3 e velocidades de onda P, pV =275

m/s e S, sV =150 m/s.

As figuras 7.15 e 7.16 apresentam o deslocamento horizontal em metros

do ponto 1 e 3 da malha definidos na figura 7.14. Pode-se observar que para as

condições de pressão interna nula e pressão interna igual a 9MPa, o deslocamento

no tempo para estes pontos é menor no caso da ausência de pressão interna e

também que os deslocamentos do ponto 3 são menores do que os ocorridos no

ponto 1.

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10De

slo

ca

me

nto

X (

m)

Figura 7.15 - Deslocamento horizontal no tempo, Para o ponto 1.

133

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10De

slo

cam

en

to X

(m

)

Figura 7.16 - Deslocamento horizontal no tempo, Para o ponto 3.

Observando as respostas dos itens 7.4 e 7.5 verifica-se que os

deslocamentos no caso em que o modelo considera o duto, são menores que os

apresentados na figura 7.13, o que se explica pela presença do duto, elemento que

fornece rigidez ao sistema.

7.6 Verificação do modelo duto - solo usando aço API- 5L / 500mm.

e um sismo de 8,0 graus de magnitude (Pisco – Perú 2007).

Os tubos empregados na construção dos novos dutos apresentam

diâmetros maiores de 300 mm, com espessuras pequenas e operam sob alta

pressão, o que permite um ganho de produtividade tanto pelo aumento do volume

de fluido transportado quanto pela redução do peso da estrutura. Isto só se tornou

possível com o desenvolvimento contínuo de graus mais elevados de aços

microligados classe API (American Petroleum Institute), com características de

soldabilidade, resistência mecânica e tenacidade cada vez melhores. Na

construção da linha principal do gasoduto Bolívia-Brasil, por exemplo, foram

empregados tubos de aço API- 5L-X70 de fabricação nacional.

Ensaios de laboratório apresentam o seguinte comportamento para a

relação tensão-deformação para este tipo de aço.

134

Figura 7.17 - Tensão – Deformação para aço API- 5L-X70

No exemplo a seguir foi usada a modelagem e os parâmetros adotados no

ítem 7.5 apenas modificando as propriedades do duto, o tipo de excitação e a

pressão interna máxima, para então verificar o deslocamento horizontal e tensões

com relação ao tempo no duto para o ponto 1 do talude apresentado na figura

7.19. Do mesmo modo que no item anterior, foram usados dois casos de pressão

interna, um sem pressão interna e outro com 10 MPa.

O sismo utilizado nesta análise foi o sismo de Pisco – Perú, terremoto com

epicentro na porção oceânica do Perú, próximo às cidades de Pisco, Ica e

Imperial, teve profundidade focal de 30,2 Km, magnitude 8,0 na escala Richter e

Intensidade VIII na escala Mercalli Modificada (MM), sendo sentido com

intensidade VI na capital Lima e intensidade IV nas cidades de Chosica e

Ayacucho. O terremoto principal ocorreu as 18:40:57 horas (hora local) da quarta-

feira 15 de Agosto do 2007 e foi sentido inclusive nos edifícios altos da cidade de

Manaus-Brasil, a 2.100 km de distância. O evento principal foi seguido por 140

sismos menores com magnitudes inferiores a 6,3. Parte da rede de fornecimento

de energia elétrica, telecomunicações e estradas foram danificadas. O terremoto

matou pelos menos 510 pessoas e feriu outras 1600, vítimas do desabamento de

vários edifícios.

135

Acelerograma Sismo Pisco- Perú 2007

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Tempo (Segundos)

Acele

raçao

(g

)

Figura 7.18 - Acelerograma usado na analises e Período espectral do Sismo.

A figura 7.18 apresenta o histórico de acelerações do sismo de Pisco 2007,

registro retirado do site do “Centro Peruano Japonés de Investigaciones

Sísmicas y Mitigación de Desastres (CISMID)”. O registro refere-se à estação

acelerográfica Ica-2, localizada no Laboratório de Mecânica de Solos da

Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Nacional San Luis Gonzaga de

Ica (Acelerógrafo Analógico modelo RION). A aplicação da técnica do quociente

espectral (H/V) tem permitido identificar freqüências predominantes de 1,8 – 2,5

Hz (0,40- 0,56 seg.) para o sismo em questão.

A figura 7.19 apresenta o sistema integrado pelo duto enterrado, elementos

de interface, solo e contornos absorventes, submetido ao sismo em questão.

136

Figura 7.19 - Malha incluindo contornos absorventes.

A seguir são apresentadas as características dos elementos que integram o

modelo. Deve se indicar que a seção do duto foi dividida em 32 partes iguais

como mostra a figura 7.20.

Figura 7.20 - Seção do duto, subdivisão do duto e ponto de avaliação de tensões.

Na classificação API-5L, os algarismos que identificam o material

informam sua tensão limite de escoamento mínima, em ksi (lb/in2). Assim, API-

X70 representa um aço com limite de escoamento mínimo de 70.000 psi

(equivalente a 480 MPa), nesta forma foi considerado o inicio do escoamento do

aço fy=480 MPa e um limite de resistência de 595 MPa (especificação API 5L

PSLI[40]), com uma relação tensão deformação bi-linear, considerando para o

137

módulo de rigidez ET=75000 MPa e E=2050000 MPa, a pressão interna do duto

foi de 10MPa. espessura do duto = 9,75 mm e diâmetro = 0,500 m.

Para o solo foram usadas curvas das figuras 7.5 e 7.6 para representar a

degradação do modulo cisalhamento transversal e amortecimento; módulo de

rigidez ao cisalhamento transversal maxG = 37,5 MPa, coeficiente de Poisson

334,0#solo. , peso especifico =18,00 KN/m3 e velocidades de onda P, pV =275

m/s e S, sV =150 m/s.

Na figura 7.21 é apresentado o deslocamento horizontal calculado em

metros do ponto 1 da malha apresentado na figura 7.19, para as condições de

pressão interna igual a zero e pressão interna igual a 10 MPa. Pode-se verificar

que o deslocamento no tempo para este ponto é menor no caso da ausência de

pressão interna.

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

De

slo

ca

me

nto

X (

m)

Figura 7.21 - Deslocamento horizontal no tempo, Para o ponto 1.

A seguir são apresentadas as tensões totais efetivas avaliadas no ponto 1

na parte superior do duto com ajuda da equação 3.13, para as condições de

pressão interna nula e pressão interna igual a 10 MPa.

138

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Figura 7.22 - Tensão - Tempo, para o ponto 1 (parte superior do duto)

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

100,00

200,00

300,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Figura 7.23 - Tensão - Tempo, para o ponto 1 (parte superior do duto)

Segundo as tensões que ocorrem no duto, apresentadas nas figuras 7.22 e

7.23 é possível verificar que no caso da análise do sistema com pressão interna

(10MPa) as tensões totais efetivas ultrapassam o valor de fy, portanto o

comportamento não linear do aço do duto é solicitado.

139

7.7 Verificação do modelo duto-solo usando aço API- 5L / 600mm e

um sismo de 8,0 graus de magnitude (Pisco – Perú 2007).

No exemplo seguinte modifica-se com respeito ao exemplo anterior a

seção do duto. Neste exemplo foi considerada uma espessura de 9,75 mm e um

diâmetro de 60 cm como indica a figura a seguir.

Figura 7.24 - Seção do duto, subdivisão do duto e ponto de avaliação de tensões.

A figura 7.25 apresenta o deslocamento horizontal calculado em metros

em relação ao tempo, do ponto 1 da malha apresentada na figura 7.19 para as

condições de pressão interna igual a zero e pressão interna igual a 10 MPa. Pode-

se verificar que o deslocamento no tempo para este ponto é menor no caso da

ausência de pressão interna.

140

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Deslo

cam

en

to X

(m

)

Figura 7.25 - Deslocamento horizontal no tempo, para o ponto 1.

A seguir são apresentadas a tensões avaliadas na parte superior do duto

para as condições de pressão interna nula e pressão interna igual a 10 MPa.

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Figura 7.26 - Tensão - Tempo, para o ponto 1 (parte superior do duto)

141

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

100,00

200,00

300,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Figura 7.27- Tensão, para o ponto 1 (parte superior do duto)

Neste caso pode-se observar que os deslocamentos são incrementados de

pequeno valor. Segundo as tensões que ocorrem no duto, apresentadas nas figuras

7.26 e 7.27 pode-se verificar que no caso da analise do sistema com pressão

interna (10 MPa) as tensões totais efetivas ultrapassam o valor da tensão de

escoamento inicial fy, por tanto o comportamento não linear do aço do duto é

solicitado. Pode-se verificar ainda que o incremento de pressão interna origina

tensões totais efetivas maiores no duto. Finalmente o incremento de diâmetro do

duto acarreta pequenos incrementos em termos de deslocamentos, enquanto que

para as tensões os incrementos são consideráveis.

7.8 Verificação do modelo duto-solo usando aço API- 5L / 600mm e

um sismo de 8,0 graus de magnitude (Pisco – Perú 2007) e

efeitos de subpressão.

Neste exemplo foi incluída ao caso anterior a ação da subpressão como

uma força vertical com sentido contrario a gravidade, variável no tempo aplicada

no duto.

142

Subpressão

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Tempo (Segundos)

Fo

rça V

ert

ical

(T/m

)

Figura 7.28 – Subpressão aplicada ao duto.

Esta carga foi gerada levando em conta o histórico de acelerações do

sismo de Pisco 2007 mostrado na figura 7.18.

Como se pode verificar nas seguintes figuras os deslocamentos horizontais

tiveram uma pequena diminuição, isto se deve a que foi evidenciado um

deslocamento vertical que acompanhado ao deslocamento horizontal apresenta

deslocamentos resultantes ligeiramente maiores que os apresentados no exemplo

anterior.

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Tempo (s)

De

slo

ca

me

nto

X (

m)

Pressão interna = 0

Pressão interna = 10 MPa

Figura 7.29 – Deslocamento horizontal no tempo, para o ponto 1.

143

-400

-200

0

200

400

600

800

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Tempo (s)

Te

ns

ão

To

tal E

feti

va

(M

pa

)

Pressão interna = 0

Pressão interna = 10 MPa

Figura 7.30 – Tensão, para o ponto 1 (parte superior do duto).

Ao ser avaliado o duto sob pressão interna foi verificada a ruína do mesmo

logo após o duto atingir a tensão de escoamento limite.

7.9 Verificação do modelo duto - solo usando aço API- 5L / 500mm

e um sismo de 8.0 graus de magnitude considerando tensões

residuais (caso ocorrido no projeto Camisea - Perú.)

Camisea é na atualidade o maior projeto energético da historia peruana.

Este projeto envolve a extração do gás natural de uma área conhecida como os

Lotes 88 e 56, localizados em ambas as margens do rio Urubamba na Amazônia

peruana. O custo total do projeto é 1.600 milhões de dólares, incluído a

construção de dois gasodutos que passam pela cordilheira dos Andes antes de

chegar ao litoral para sua distribuição.

O sistema consiste num gasoduto de 732 km e um poliduto de 650 km de

extensão atravessando os Andes a 4,800 metros de altitude sobre o nível do mar.

O gasoduto termina na cidade de Lurin, localizada a 30 km ao sul de Lima.

144

Quatro falhas ocorreram até o ano de 2006 em seções localizadas nos km

9, km 51, km 200 e km 220 do poliduto por uma variedade de causas, entre elas a

má execução da solda, inspeção de solda inadequada, corrosão e movimentação de

terra. Acrescenta-se ainda que os dutos sofreram transporte inadequado

apresentando biseis de fabricação deformados. Adicionalmente as obras de

estabilização do solo foram inadequadas em certos trechos, o que tem resultado

em movimentos de terra que incrementam as tensões nas soldas.

Cinco meses depois de iniciadas as operações, ocorreu uma ruptura no

poliduto (diâmetro 20”) ocasionando um vazamento, atingindo o rio Urubamba-

Malvinas. A quantidade de líquidos derramados foi estimada em 183 metros

cúbicos. A falha no poliduto ocorrida no dia 22 de dezembro do 2004 pode ser

apreciada na figura 7.31

Figura 7.31 - Falha no poliduto acontecida no dia 22 de dezembro do 2004.

A fim de reproduzir a presença de tensões residuais na solda, um elemento

de viga com tensões iniciais de tração é introduzido na análise. Os valores

adotados com a finalidade de efetuar uma análises paramétrica foram tensões de

tração de 100 MPa, 200 MPa e 300 MPa seguindo a recomendação (LAW, M.,

PRASK, H., LUZIN, V. e GNAUPEL-HEROLD, T., “Residual Stress

Measurements in Coil, Line pipe and Girth Welded Pipe”) na qual estes valores

dependem da espessura do aço e qualidade da execução da solda podendo chegar

a 500 MPa.

145

Foi considerado o início do escoamento do aço fy=480 MPa e um limite de

resistência de 595 MPa (especificação API 5L PSLI[40]), com uma relação tensão

deformação bi-linear, considerando os seguintes valores para o módulo de rigidez

ET=75000 MPa e E=2050000 MPa. A pressão interna do duto foi de 10MPa

espessura de 9.75mm e 50 cm de diâmetro.

Figura 7.32 - Seção do duto, região da solda.

Por outro lado, o material da solda foi considerado com inicio de

escoamento de 580 MPa e um limite de resistência de 645 MPa, valores retirados

do trabalho apresentado por Cooper (2004) (Soldagem e Caracterização das

Propriedades Mecânicas de Dutos de Aço API 5L, Robert Eduardo Cooper

Ordóñez Campinas, 2004 S.P. Brasil).

Para o solo foram usadas as curvas das figuras 7.5 e 7.6 para representar a

degradação do modulo cisalhamento transversal e amortecimento; módulo de

146

rigidez ao cisalhamento transversal maxG = 37,5MPa, coeficiente de Poisson

334,0#solo. , peso especifico =18,00 KN/m3 e velocidades de onda P, pV =275

m/s e S, sV =150 m/s.

As figuras 7.33 e 7.34 apresentam as tensões totais efetivas no duto para o

caso de tensões residuais nulas e 100 MPa, respectivamente.

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Figura 7.33 - Tensões para o ponto 1 parte superior do duto sem solda.

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Figura 7.34 - Tensões para o ponto 1 parte superior do duto Tensão Residual =

100 MPa

147

A figura 7.35 apresenta a variação de tensões totais efetivas no tempo para

o duto, devido aos carregamentos impostos ao sistema (sismo, pressão interna e

tensão residual). Como se pode verificar, a inclusão dos efeitos da tensão residual

é de grande importância nas análises de dutos com solda, pois no modelo

analisado a inclusão de tensões residuais de 200 MPa e 300 MPa levaram o duto a

ruína logo após atingir a tensão do limite de resistência do material da solda (645

MPa).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 7.35 - Tensão para o ponto 1 - vários casos de carga para tensão residual.

8 Conclusões

É importante ressaltar que as análises simplificadas ou elásticas lineares

dos dutos enterrados apresentam respostas conservadoras, pois se verifica que a

resposta não-linear com a presença de contornos absorventes elimina o reflexo das

ondas, o que é percebido na diminuição dos deslocamentos. Ou seja, desprezar

esses efeitos torna o projeto conservador, podendo inclusive modificar totalmente

o problema analisado.

Apresentam-se as principais conclusões obtidas através dos exemplos

apresentados. Focaliza-se a obtenção de uma metodologia para análise dinâmica

de dutos enterrados, que utiliza técnicas de análise não-linear computacionalmente

eficientes e suficientemente aproximadas para a solução do problema.

Os exemplos apresentados no capitulo 7 são avaliados com dados retirados

de dutos existentes, assim como as propriedades do solo. De fato, no

desenvolvimento deste trabalho, mostra-se a forte influência dos parâmetros

geométricos e mecânicos no comportamento do duto e, especialmente, na

interação entre solo e duto. Valores irreais das propriedades do solo tornam a

solução inexistente.

A metodologia apresentada é iniciada a partir de uma análise dinâmica 2D

unicamente para o solo, usando um modelo elástico-linear. Os resultados são

satisfatórios, sendo esse modelo a base para este trabalho. Tais valores são

verificados a partir de cálculos analíticos (Cuellar, 1974).

Com o modelo validado no exemplo 7.1, a etapa seguinte é incluir o

Modelo Linear Equivalente e na seqüência incorporar contornos absorventes na

malha a analisar. As respostas dos exemplos 7.3 e 7.4 são verificadas com ajuda

do programa QUAKE. Com a observação dos resultados, conclui-se que a análise

com contornos absorventes apresenta deslocamentos menores.

A partir do exemplo 7.5, são incluídos os elementos de viga de três nós

para representar o duto enterrado considerado nos problemas subsequentes. A

149

primeira verificação relativa aos deslocamentos é que a incorporação do duto no

sistema traz uma diminuição dos mesmos.

O incremento de diâmetro do duto de 500 mm para 600 mm apresentado

nos exemplos 7.6 e 7.7 acarreta pequenos incrementos em termos de

deslocamentos, enquanto que, para as tensões, os incrementos são consideráveis.

Quanto ao Modelo Linear Equivalente adotado para simular o

comportamento dinâmico do solo, pode-se afirmar que é de fácil uso, devido à

simplicidade de implementação. Quando comparado aos modelos elasto-plásticos

dinâmicos, esse modelo disponibiliza curvas de redução de módulo cisalhante G

e amortecimento. O Modelo Linear Equivalente tem sido usado por mais de trinta

anos, obtendo bons resultados em diversas situações de previsão do

comportamento do solo.

De acordo com Bray et al. (1995), a incorporação do Modelo Linear

Equivalente somente deve ser empregado para movimentos com aceleração

máxima de 0,35g. Conforme informações da literatura, o Modelo Linear

Equivalente não produz resultados confiáveis para situações de aceleração

máxima de 0,4g. Atendendo à observação anterior, os registros sísmicos adotados

neste trabalho não ultrapassam tais valores: acelerograma da figura 7.9 com

aceleração de pico de 0,30g e sismo ocorrido no Pisco-Perú 2007 (figura 7.18)

com acelerações de pico de 0,35g e 0,23g.

Os históricos de aceleração apresentados nas figuras 7.9 e 7.18 são

registrados com incrementos de tempo de 0,02 e 0,01 segundos, respectivamente.

Esses incrementos de tempo são adotados na prática para registros sísmicos, a fim

de facilitar os cálculos de integração no tempo e garantir a estabilidade da

solução.

O comportamento não-linear do duto é solicitado quando uma combinação

de forças (pressão interna, cargas externas e outras) e deformações origina tensões

maiores que a tensão de escoamento inicial do material. Esse comportamento não-

linear requer um procedimento especial para a avaliação dos incrementos de

tensão. Neste trabalho utiliza-se o método implícito de Euler, também conhecido

como Backward Euler.

A implementação computacional dessa formulação, utilizando elementos

de viga com três nós, é bastante eficiente. Atesta-se também o bom

comportamento das funções que interpolam os deslocamentos.

150

A solução da equação não-linear do sistema acoplado solo-duto através do

procedimento incremental iterativo proposto por Newton-Raphson apresenta bons

resultados, mesmo com poucas iterações numéricas.

A geração da malha de elementos finitos usada nas análises levam em

conta o critério de controle do tamanho de elementos proposto por Kuhlemeyer e

Lysmer (1973). As ondas tipo P e S têm freqüências entre 5 e 10 Hertz e as

velocidades avaliadas para os materiais dos exemplos variam entre 275 e 175 m/s.

Isso permite o uso de elementos com tamanho máximo de 2,75 m.

A utilização de dutos tipo API-L5 melhora de forma significativa o

comportamento estrutural dos dutos e reduz significativamente o peso dos

mesmos. Por outro lado, as grandes tensões que suportam requer a proteção dos

pontos frágeis (soldas). Verifica-se que as tensões residuais, além de outros

problemas, como transporte defeituoso e mau acabamento, expõem esses pontos a

potenciais falhas, conforme apresentado nos exemplos.

A metodologia apresentada nesta tese permite avaliar o comportamento de

dutos nos pontos frágeis, incorporando no modelo as tensões residuais que, por

acaso, apareçam nos mesmos. É importante ressaltar que a desconsideração desses

efeitos pode resultar em um projeto com idéia de segurança maior que a

verdadeira. Conseqüentemente, as faixas de pressão interna às quais os dutos são

submetidos podem ser faixas que o levem à ruína, como ocorre no exemplo 7.9.

Nesse contexto, propõe-se uma metodologia consistente aproximada para

avaliação do comportamento dinâmico de dutos enterrados, a ser aplicado levando

em conta o emprego do método dos elementos finitos como técnica de

discretização do sistema estrutural, além de usar elementos tipo viga, de três nós,

para modelar o duto e elementos bidimensionais para o solo. O comportamento

dinâmico deste é representado pelo Modelo Linear Equivalente. A interação solo-

duto é modelada através de um sistema que integra os elementos viga-duto com

elementos de interface e do solo. A solução faz uso do método de Newton-

Raphson e algoritmos de Newmark, conjuntamente.

Para prosseguimento dos estudos, recomenda-se:

A inclusão de efeitos introduzidos pelas deformações por

cisalhamento, temperatura e enrugamento da seção na representação

151

do elemento viga-duto e avaliação de sua influência na resposta do

duto enterrado;

O uso de modelos elasto-plásticos com encruamento cinemático para

modelar o comportamento dinâmico do solo;

A consideração da presença do fluido no esqueleto sólido para

realização de uma análise bi-fásica e incorporação dos efeitos de

liquefação;

Otimização do processo de inversão da matriz de rigidez global do

sistema.

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10 Anexo

10.1 Perfil Geotécnico – Areias do setor de Camisea

O resumo apresenta os resultados dos parâmetros obtidos para as areias

estudadas através de provas SPT, CPTU e DMT. A partir dessa informação e de

ensaios em laboratório são encontrados vários perfis geotécnicos, os quais serão a

base para a modelagem numérica.

De provas anteriores, podemos afirmar, sem dúvida, que os resultados

obtidos com o CPTU e DMT são mais confiáveis que os obtidos mediante o SPT.

Esse fato é verificado na etapa de campo, onde são realizados vários testes SPT

nas proximidades do local de interesse, com resultados diferentes.

São estudadas as propriedades mecânicas básicas das areias de Camisea

desde diferentes perspectivas, usando diversos ensaios de campo (SPT, DMT,

CPTU) e ensaios de laboratório. Os resultados de todos os métodos são

consistentes, mas atesta a grande dificuldade em representar corretamente um

depósito de areia.

Para a obtenção dos parâmetros dinâmicos do solo na região de Camisea,

utiliza-se, dentre outros equipamentos, um sismógrafo L4-3D, como o

apresentado na figura a seguir.

Figura 10.74 - Sismógrafo Digital ORION 3S.

160

As principais características do sismógrafo L4-3D são as seguintes:

• Três sensores de velocidade ortogonais.

• Freqüência natural de 1 Hz.

• Amortecimento de 70%.

• Resistência da bobina de 5500 Ohm.

O procedimento usado em cada um dos pontos analisados consiste em

obter de 1 a 3 registros com duração média de 15 minutos. Para tal, o sismômetro

deve ser colocado, orientado e nivelado em cada um dos pontos. Aguarda-se cerca

de uma hora para que a massa do sensor se estabilize e se possa, através do

registrador digital, visualizar o estado do sismômetro e programar a hora de inicio

do registro da vibração ambiental do solo (registro de microtrepidações).

As medições não devem ser afetadas diretamente por fontes locais, como,

por exemplo, veículos, usinas industriais e similares. Outro fator importe é locar o

equipamento no momento da medição diretamente no solo natural.

É importante destacar que não é possível utilizar todas as correlações

propostas pelas diferentes técnicas de campo, já que em alguns casos são obtidos

dados incoerentes e, em outros, há a necessidade de grande quantidade de

parâmetros, que as torna inviáveis.

161

Ensaio de Penetração Estandar (SPT)

Figura 10.75 - Ensaio de Penetração Estandar (SPT).

162

Ensaio de Piezocone (CPTU)

Figura 10.76 - Ensaio de Piezocone (CPTU).

163

Ensaio do Dilatômetro de Marchetti (DMT)

Figura 10.77 - Ensaio do Dilatômetro de Marchetti (DMT).

164

É estimado, a partir de ensaios triaxiais das areias da região de Camisea, um

ângulo de atrito que varia entre 35° (solo não-drenado) e 35.7° (solo drenado).

A seguir, são apresentados os valores obtidos a partir das provas de

laboratório para a velocidade das ondas de corte e os calculados com as

correlações de Cho et al.(2002).

Método obtenção emáx emín Vs(m/s) λ

Laboratório 0.90 0.65 130-190 0.9

Cho et al., (2002) 1.06 0.67 155 0.88

Das provas de campo feitas, é indubitável que a mais confiável é o CPTU,

seguido por DMT e SPT. Em geral, os parâmetros obtidos pelo CPTU e DMT

tendem a ser similares, pois opta-se por adotar valores médios.

A figura a seguir mostra um dos perfis geotécnicos representativos da

região.

Figura 10.78 – Velocidades de ondas S e P nas areias da região de Camisea.

165

10.2 Efeito da forma das partículas – Areias do set or de Camisea

Estudos recentes de Ashmawy (2003) e Santamarina (2004) mostram que a

forma das partículas tem grande influência no comportamento mecânico dos solos

granulares. A forma caracteriza as areias mediante os seguintes parâmetros

adimensionais: Esfericidade (S) e Redondez (R).

Baseados nos parâmetros anteriores, Cho (2002) e Santamarina (2004)

propõem uma série de correlações obtidas a partir de provas de laboratório,

realizadas em 33 amostras de areia (17 se obtêm triturando fragmentos de granito

e as 16 restantes são areias naturais de diversas partes do mundo). Para poder

utilizar a metodologia proposta por Santamarina, utiliza-se a seguinte figura, a

qual é função da esfericidade e redondez das partículas.

Figura 10.79 - Carta de esfericidade (S) e redondez (R).

As linhas diagonais correspondem a partículas de regularidade constante.

( cte=ρ ) .Krumbein & Sloss (1963)

A partir dos coeficientes S e R, Cho (2002) propõe as seguintes correlações:

• Relação de vazios

emáx = 1.5 − 0.82ρ e emín = 0.9 − 0.44ρ

166

onde 2

)(Re

SRgularidad

+==ρ ,

• Velocidade de ondas de corte

βσα

=kPa

V medias 1

onde α é a velocidade de ondas de corte a 1kP;

α e β refletem a sensibilidade da velocidade de ondas de corte à

tensão media.

• Parâmetros do estado crítico

Rcs 1742−=φ e R4,02,1 −=Γ

onde csφ é o ângulo de atrito no estado crítico;

Γ é a interseção da linha de estado crítico, para uma tensão média

de 1 kPa.

Para o caso das areias de Camisea, são obtidos os seguintes parâmetros para

o solo:

S = 0,7

R = 0,35

emáx = 1,06

emín = 0,67

Vs = 150m/s

csφ = 36

Γ = 1,0

λ = 0,88

167

Figura 10.80 - Distribuição pelo tamanho do mineral, onde se nota o predomínio

dos grãos angulares.

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