IES JOVELLANOS PLAN DE REFUERZO VERANO 2013 4º … · PLAN DE REFUERZO VERANO 2013 4º ESO...

IES JOVELLANOS

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VVEERRAANNOO 22001133 44ºº EESSOO

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CURSO 2012/2013

Departamento de Matemáticas 21/06/2013

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 4º ESO OPCIÓN B

IES JOVELLANOS CURSO 2012/2013

Nombre completo: _________________________________ Curso: ____ Grupo: _____



Unidad 1. Números Reales.

1. Indica justificadamente cuáles de los siguiente números decimales no son periódicos:

a. ...7171171117.1

b. ...230123512351,3

c. ...2360679774,25 =

d. ...561632641282,8

2. Escribe en forma fraccionaria los siguientes números:

a. 5,3

b. 66,0

c. ...5555,3−

d. 15,2

e. ...2555,5

f. ...7575,0

g. ...11,1

h. ...25252525,6

3. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales, según corresponda:

a. ...0111234567891,0−

b. ...4494897427,26 =

c. ...023023023,8

d. 3 8

4. El laboratorio de ciencias es una clase rectangular de 8 metros de largo por 7 de ancho. Indica

razonadamente alguna medida de esa clase que no pueda ser expresada mediante números

racionales.

5. ¿Cuántos números reales existirán comprendidos entre 5,187246 y 5,187247? Escribe tres de

ellos.



Unidad 2. Potencias y Radicales.

1. Calcula:

a. ( ) ( )1625 : −− yxyx b. ( ) ( )2224 3:6 −yxyx

2. Contesta a las siguientes cuestiones:

a. Escribe una regla que indique cuánto vale ( )n1− para los distintos valores de n . ¿Se

puede extender al caso ( )na− ?

b. ¿Es cierta la igualdad ( ) nn −=− 11 ? Justifica tu respuesta

3. Simplifica las siguientes expresiones:

a. 423

386

4259

523

⋅⋅⋅⋅

b. 352

14

238

9163−−

−−

⋅⋅⋅⋅

c. ( ) ( )

( ) 574

243

2523

985

⋅⋅−⋅−⋅− −

d. 435

221

968

183632

⋅⋅⋅⋅

−−

−−−

4. Realiza las siguientes operaciones:

a. 212

6

1

2

5:2

2

7

3

1

5

3−−−

−+

−⋅

+

b. 12

13

1

4

5

2

3−−

−−

−

c. 21

2

3

5

24:

10

3

5

1−−

−−

−

−

5. Indica qué igualdades son verdaderas y escribe el resultado correcto para aquellas que son falsas:

a. 1443

443

=⋅⋅⋅⋅

−−

−

cba

cba

b. 13

13

3

15

32

=

−⋅⋅

−−

c. 523

1

523

523354

243

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

−−−

−−−

d.

3232

3

2

3

2

=

−−−

6. Las raíces de índice par de un radicando positivo tienen dos soluciones, siendo una la opuesta de la otra. ¿Por qué una de las soluciones es exactamente la opuesta de la otra?



7. Expresa en forma de potencia:

a. 3 x

b. 3

1

x

c. 3 6xy

d. 3 24 x

8. Expresa como potencia de exponente fraccionario:

a. 3 aaa b. a

a

9. Expresa mediante un solo radical:

a. 3 b. 3 2

2

10. Simplifica si es posible:

a. 4 7776 b. 6 1024

11. Responde a las siguientes cuestiones: ¿En qué casos ocurre que aa < ? ¿En qué casos

ocurre que aa > ? Justifica tu respuesta lo mejor posible. Busca ejemplos de los dos casos.

12. Racionaliza:

a. 63

1

+

b. 18

265 −

c. 3 23

435 −

d. 332

2263

++

e. ( )323

43 +⋅

f. ( )335

44 +⋅

13. Opera, racionalizando previamente:

a. 18

5

2

503

5

32 +−

b. 284

7221883

+−+

c. 3752

7554827

−++−

14. Razona si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:

a. mnmn abba ⋅=⋅

b. nnn baba +=+

c. baabaaa ⋅=⋅⋅⋅

d. ( )n mn m baba ⋅=



Unidad 3. Logaritmo de un número.

1. Calcula los siguientes logaritmos:

a. 128log;64log;4log 222

b. 161

241

221

2 log;log;log

c. 3222 2log;8log;2log


a. 81log;27log;3log 333

b. 271

391

331

3 log;log;log

c. 3333 3log;27log;3log


a. 100log;10log;1log

b. 10001

1001

101 log;log;log

c. 0000001,0log;01,0log;1,0log

d. 3 10000log;100log;10log

4. Halla la base en la cual el logaritmo de:

a. 10000 es 2 b. 16 es 2

c. 125 es 3/2 d. 729 es 3

5. ¿Verdadero o falso? ¿Por qué?

a. 5log3log2log =+

b. 6log3log2log =+

c. 10log5log15log =−

d. 3log5log15log =−


a. ( )12log1log2log +=+ xx

b. 310310loglog =⋅⇔=+ xx

c. 7log7loglog =+⇔=+ yxyx


a. 1000log100log <

b. 0001,0log01,0log <

c. 81log81log 93 <

d. 100log210000log ⋅<

8. ¿Por qué un número negativo no puede tener logaritmo real?

9. ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica que 0loglog =+ BA ?

Razona tu respuesta.

10. ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica que 5logloglog += AB ?

Razona tu respuesta.

11. Si 2log =Na y 532log =Na , ¿cuánto vale a ? ¿Qué propiedad utilizas? Razona tu

respuesta.



Unidad 4. Polinomios.

1. Dados los polinomios ( ) 5667 24 +++−= xxxxP , ( ) 223 25 +−= xxxQ

( ) 235 3xxxxR ++−= calcula:

a. ( ) ( ) ( )xRxQxP ++

b. ( ) ( )xQxP −

c. ( ) ( )xQxP ⋅

d. ( ) ( )[ ] ( )xRxQxP ⋅−

e. ( ) ( )[ ] ( )xQxRxP ⋅−

2. Calcula:

a. ( ) ( )3333 7674 xxxx +−−

b. ( ) ( )xxxx 7254 −⋅+

c. ( ) ( )55555 938:46 xxxxx −+−

d. ( )3527 23 ⋅⋅⋅ xxx

e. ( ) ( ) 4326 23:5 xxxxx +⋅⋅−

f. ( ) ( )xxxx 35:10 310 −⋅

3. Determina el valor de dcba ,,, para que los polinomios

( ) ( ) ( ) 23 922 xcxaxxP ⋅+−+⋅+−= y

( ) ( ) 2123

412 21025 +−+⋅++−+= xxxdxxbxQ sean iguales.

4. Efectúa estas operaciones:

a. ( ) xxxx −⋅+− 22 53

b. ( ) ( ) ( )5423 22 +⋅−+−⋅+− xxxxxx

c. ( ) ( )[ ] ( )78311 2 +⋅−−⋅−− xxxx

d. 14

1

5

2

33

42

2

−⋅

−

−⋅

−+ x

xxx

e. ( )[ ] ( )1054612 −⋅−⋅−⋅−+ xxxxxx

5. Realiza las siguientes divisiones:

a. ( ) ( )1:1432 2234 −+−+−+ xxxxxx

b. ( ) ( )1:32 234 +−−+ xxxx

c. ( ) ( )22:105 235 −++−+ xxxxx

d. ( ) ( )1:97 345 +−+−+ xxxxx

e. ( ) ( )32:854 223 +−+−+ xxxxx

6. Halla el polinomio Q(x) por el que hay que dividir a ( ) 24 234 −+−−= xxxxxP para que el

cociente sea ( ) 32 −+= xxxC y el resto sea ( ) 16 +−= xxR .



7. Si en una división de polinomios el grado del dividendo es 6 y el del divisor es 3, ¿cuál es el

grado del cociente y del resto?

8. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini:

a. ( ) ( )2:734235 −−+−+− xxxxxx

b. ( ) ( )1:32 24 +−−+ xxxx

c. ( ) ( )3:32 234 −++−− xxxxx

d. ( ) ( )2:78 23 +−+− xxxx

e. ( ) ( )4:964 23 +−+− xxxx

9. Completa estas divisiones y escribe los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto:

a. 1043

1−

b. 2101 −

2

c. 1234

1−

10. Halla, aplicando el teorema del resto, el valor de m para que las siguientes divisiones sean exactas:

a. ( ) ( )4:122 ++− xmxx

b. ( ) ( )2:82 23 −+++ xmxxx

c. ( ) ( )6:12223 −−+− xmxxx

d. ( )( ) ( )1:12 23 +++− xmxmx

e. ( ) ( )5:10223 −−++ xxmxx

11. Obtén el valor de m para que las divisiones tengan el resto indicado:

a. ( ) ( ) 2Re1:176 35 stoxmxxx →++++

b. ( ) ( ) 4Re2:832 23 −→−+− stoxmmxmx


Unidad 5. Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a. 0482 24 =−+ xx

b. 0164 =−x

c. 0910 24 =+− xx

d. 183 24 =+ xx

2. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Recuerda comprobar las soluciones:

a. 03352 =+−+ xx

b. 2279 =−+ xx

c. 1053 =− xx

d. 034 =−− xx

3. Resuelve las siguientes ecuaciones algebraicas. Recuerda comprobar las soluciones:

a. 10

3

2

11 =+xx

b. 16

5112

=+xx

c. 4

5

1

2

1

1 =−

++ xx

d. 22

1

2

3 −=−−−

+−

x

x

x

x

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

=−=+

534

2110

yx

yx

b.

=−−=−

72

1222 xy

yx

c. ( ) ( )( ) ( )

=+−+−=+−+−−164124

1413432

yx

yx

5. En una chocolatería hay 900 bombones envasados en cajas de 6 y 12 unidades. ¿Cuántas cajas

hay de cada clase si en total tienen 125 cajas?

6. A un congreso de Matemáticas acuden 60 personas. Si se van 3 hombres y vienen 3 mujeres, el

número de mujeres sería 1/3 del número de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en el

congreso?

7. Halla las edades de dos personas sabiendo que hace 10 años la primera tenía 4 veces la edad

de la segunda persona, pero dentro de 20 años la edad de la primera persona será el doble de

la edad de la segunda.

8. La edad de Marta más la edad que tendrá dentro de 3 años es igual a la edad de Luisa dentro

de 6 años, y la edad de Luisa dentro de 3 años es igual a la que tendrá Marta dentro de 6 años.

Calcula las edades de Marta y de Luisa.


9. Laura acude al banco a cambiar monedas de 5 céntimos por monedas de 20 céntimos. Si sale

del banco con 225 monedas menos que cuando entró, ¿cuánto dinero llevaba?

10. Por un chándal y unas zapatillas de deporte que costaban 135 euros he pagado 85,50 euros en

rebajas, ya que en la sección de textil tienen el 40% de descuento, y en la de calzado, el 30%.

¿Qué precio tenía cada artículo y cuánto me han costado?

11. Obtén un número de dos cifras cuya diferencia de sus cifras es 6 y la cifra de las unidades es el

cuadrado de la cifra de las decenas.

12. Halla un número de dos cifras si el producto de sus cifras es 18 y la cifra de las unidades es el

doble que la cifra de las decenas.

13. Determina dos números cuya suma es 5 y la suma de sus cuadrados es 13.


Unidad 6. Inecuaciones.

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a. ( ) 323127 +≤−− xxx

b. 2

135

+> x

c. ( ) xxx 26343

25 −−<−

d. xxx −≥+−

6

5

2

1

3

e. ( ) ( )

2

534

3

152 +−−≤+x

x

f. 12

34 +≥−x

x

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a. 0422 ≤−− xx

b. 031710 2 ≤−+− xx

c. ( )( ) 02513 ≥+−− xx

d. ( )( ) 02147 <+−+− xx

3. Asocia cada inecuación con su solución (algunas se observan directamente):

a. 0652 <−− xx

b. 042 ≥++ xx

c. 0144 2 ≤++ xx

d. 052 >−− x

1. 5,0−=x

2. Ø (conjunto vacío)

3. ( )6,1−

4. R (Todo el conjunto de los

números reales)

4. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a. 02

5 ≤++

x

x

b. 03

2>+

x

x c. 0

2

3 <+−

x

x

5. ¿Cómo resolverías estas inecuaciones de grado superior a 2?

a. ( )( ) 0125 2 ≤+−− xxx

b. 012705210 23 ≥+−+− xxx

La Unidad 7, Semejanza, no se abordó en este curso.


Unidad 8. Trigonometría.

1. Convierte los siguientes ángulos de grados a radianes (en función de π) y de radianes a grados, minutos y segundos:

45º, 120º , 200º, 330º, 1000º, 5π/3 rad, 5π/4 rad, 6π/4 rad, 3π rad, 2 rad

2. Expresa los siguientes ángulos resultantes de 360º como suma de un número entero de vueltas más un ángulo menor de 360º:

745º, 1200º, 3456º

3. Sin usar la calculadora y empleando exclusivamente las identidades trigonométricas, halla las otras dos razones expresándolas en forma de fracción irreducible:

a) 13

5=αsen b) 25

7−=αsen

c) 17

8cos =α d)

5

3cos −=α

e) 9

40=αtg f) 20

21−=αtg

4. Halla las tres razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 30 cm y uno de sus catetos 24 cm. (Dibuja el triángulo rectángulo, señala el ángulo agudo de menor amplitud y expresa las razones trigonométricas en forma de fracción irreducible):

5. Si un técnico dispone de una escalera de 29 metros y los cables que tiene que reparar están a una altura de 21 metros, ¿con qué ángulo de inclinación deberá colocar la escalera para alcanzarlos? Escribe el resultado en grados redondeados.

6. Una cometa está sujeta al suelo con una cuerda de 15 metros de largo que forma, con el suelo, un ángulo de 30º. Si la cuerda está tirante ¿a qué altura del suelo vuela la cometa?


7. Una persona observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 40º. Si la persona, de 170 cm de altura, se encuentra a una distancia de 310 cm del árbol ¿Qué altura total tiene el árbol observado?

8. Utilizando la calculadora, halla, redondeados a grados, dos ángulos positivos menores de 360º que tengan la razón indicada y sitúalos aproximadamente sobre la circunferencia goniométrica:

9703,0=αsen 4848,0−=αsen

9563,0cos =α 9205,0cos −=α

4040,0=αtg 29,57−=αtg


9. Sin utilizar la calculadora, únicamente situando dos ángulos sobre la circunferencia goniométrica, halla, redondeado a grados, el ángulo que cumpla las condiciones indicadas:

º90º0

º106

≤≤=

αα sensen

º90º0

º36cos

≤≤=

αα sen

º180º90

º386

≤≤=α

α sensen

º90º0

º289coscos

≤≤=

αα

º270º180

º139coscos

≤≤=α

α

º360º270

º200

≤≤=α

α sensen

º180º90

º307

≤≤=α

α tgtg

º270º180

º75

≤≤=

αα tgtg


Unidades 9, 10 y 11. Funciones. Funciones polinómicas, funciones racionales,

funciones exponenciales y funciones logarítmicas.

1. A continuación aparecen parcialmente representadas gráficas de ciertas funciones, la parte

que no se muestra continúa la tendencia indicada. Escribe para cada una de ellas las

siguientes características que se observan: Dominio, Recorrido, Intervalos de Crecimiento y

Decrecimiento, Máximos/Mínimos absolutos y relativos.

−4 −3 −2 −1 1 2 3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y

2. ¿Alguna de estas seis gráficas es simétrica respecto del origen (impar)? Indica cuales:

¿Alguna de estas seis gráficas es simétrica respecto del eje Y (par)? Indica cuales:

¿Alguna de estas seis funciones ni es par ni es impar pero tiene alguna simetría de otro

tipo? Indica cuales:

3. Halla razonadamente el dominio de las siguientes funciones:

253)( 2 +−= xxxf ,

3)( xxf = ,

3

4)(

−−=

x

xxf ,

43

3)(

2 −+−=

xx

xxf ,

4

62)(

2 +−=

x

xxf ,


5)( −= xxf ,

xxf

36

1)(

−= ,

45)( 2 +−= xxxf

4. Escribe la definición de función par y de función impar y estudia si las siguientes funciones

tienen alguno de estas simetrías:

253)( 2 +−= xxxf ,

4

2)(

2 +=

x

xxf ,

132)( 24 +−= xxxf

5. Haciendo una tabla de valores adecuada a cada caso y ajustando la escala a los valores

obtenidos representa gráficamente las siguientes funciones. Escribe sus dominios y

recorridos.

xxf 23)( −= ,

63)( −= xxf ,

86)( 2 ++= xxxf ,

xxxf 82)( 2 +−= ,

2

6)(

−=

xxf ,

1

2)(

+−=

x

xxf ,

xxf 2)( = ,

xxf 2,05)( ⋅= ,

xxf 10log)( = ,

xxf 2log)( =

6. Representa una función par que cumpla los siguientes requisitos:

Dominio =

ℜ , Recorrido =

( ]6,0 ,

3)0( =f , 4)1( =f , 2)2( =f , 1)4( =f

7. Contesta las siguientes preguntas referidas a la siguiente función del gráfico, la parte que

no se muestra continúa la tendencia indicada:


¿En qué valores de x es continua esta función? ¿En qué valores de x

es discontinua y qué tipo de discontinuidad tiene?

Dominio =

Recorrido =

=− )3(f

=− )1(f

=)0(f

=)2(f

=)5(f

=−∞→

)(lim xfx

=+∞→

)(lim xfx

8. Dada la función a trozos

>+≤≤−

−<−=

1 3

2412 3

2 1

)(

2

xsix

xsi

xsix

xf contesta las siguientes

preguntas para después, con estos resultados y una tabla de valores, representarla

gráficamente.

a. Halla: Dominio, Recorrido.

b. ¿En qué valores de x es continua esta función? ¿En qué valores de x es

discontinua y qué tipo de discontinuidad tiene?

9. Dada

>−−

≤≤+<−

=3

5

131 12

1 4

)(

2

xsix

xxsix

xsix

xf halla su dominio, construye una tabla de valores y

estudia las características de esta función de manera que dispongas en cada trozo de la


suficiente información que te permita represéntala gráficamente. Estudia sus

discontinuidades indicando en qué valores de x se produce y sus tipos.

10. Asocia razonadamente las siguientes gráficas con la expresión de la función que mejor

le corresponda según sus características:

34)( 21 +−= xxxf ,

3)(2 +−= xxf ,

34)( 23 ++= xxxf ,

xxf

−=

2

1)(4 ,

xxxf −= 35 )( ,

3)(6 −= xxf

11. En un hipermercado, el aparcamiento es gratis en las dos primeras horas. A partir de ese

momento, nos cobran 2 céntimos por cada minuto de estancia que exceda de las dos

primeras horas. Construye una tabla para estancias de hasta cuatro horas y con ella

representa la función correspondiente. ¿Cuál sería la expresión de esta función?

12. El número de miembros de una peña deportiva fundada en 2006 es, x años después de su

fundación sigue la función: 21060160)( xxxf −+= para 0≥x . Represéntala gráficamente

y a la vista de la gráfica contesta a las siguientes preguntas:

a. ¿En qué año tuvo el máximo número de miembros desde su fundación hasta

hoy?

b. ¿Cuál es la tendencia actual, creciente o decreciente?

c. ¿Llegará a quedarse sin socios?


Unidad 13. Estadística.

1. Se realiza una encuesta a un grupo de personas acerca del número de veces que acuden al cine a lo largo de un año, obteniéndose los siguientes resultados: 4, 2, 2, 1, 7, 8, 3, 4, 3, 5, 0, 7, 1, 3, 4, 0, 5, 7, 2, 2, 1, 3, 0, 4, 5

a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? ¿Cuántas de ellas no fueron al cine en todo el año? ¿Qué porcentaje de personas no fueron al cine en todo el año?

b. Efectúa el recuento, construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas (en porcentajes) y acumuladas y representa los datos en un diagrama de barras de frecuencias absolutas.

c. Halla la moda, el rango y la media.


d. Halla la mediana y los otros dos cuartiles.

2. La siguiente gráfica recoge el número alumnos que faltaron a una clase a lo largo de un mes:

a. ¿Qué porcentaje de días del mes faltaron exactamente dos alumnos?

b. Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas y

halla la media aritmética.


3. Se ha realizado en una ciudad un estudio con el fin de averiguar la cantidad de papel reciclado en toneladas los veinte puntos de recogida de una ciudad. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:

toneladas de papel

reciclado

Nº de puntos de

recogida

x F f ∙ x f ∙ x²

64 1

65 2

67 3

68 6

72 3

74 3

80 1

85 1

Completa la tabla para calcular la media y la varianza de las toneladas recogidas de papel

reciclado.

4. La siguiente tabla muestra las edades de los alumnos que acuden a la biblioteca de un colegio solicitando préstamos de libros en un día cualquiera:

Edad [6, 8) [8, 10) [10, 12) [12, 14) [14, 16) [16, 18)

Nº de alumnos 5 12 14 13 4 2

Construye una tabla con las marcas de clase para calcular la media, la desviación típica y el

coeficiente de variación de este estadístico.

5. a. Un jugador de baloncesto consiguió en la temporada pasada una media de 17,50 puntos con 6,52 puntos de desviación típica. Aproximadamente, ¿entre qué anotaciones se situó el 68% de los partidos?

b. Otro jugador de baloncesto consiguió en la temporada pasada una media de 14,25

puntos con 0,35 puntos de desviación típica. ¿Cuál de los dos jugadores fue más regular en

sus anotaciones?


Unidad 12. Probabilidad.

1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.

2. Halla la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas

y 12 negras, sin reintegrar la primera bola extraída.

3. Una urna contiene 12 bolas rojas y 8 verdes. Si se sacan dos bolas al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que sean del mismo color?

4. De una baraja española de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido

de un tres reintegrando la primera carta? ¿Y sin reintegrarla?

5. ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedos, y la

probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30%? (Sugerencia: halla primero la

probabilidad de NO torpedear el barco con ninguno de los tres torpedos).

6. A un congreso asisten 80 personas. De ellas 70 hablan inglés y 50 hablan francés (no hay

nadie que no hable al menos uno de los dos idiomas). Se eligen dos congresistas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sin intérprete?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma?

7. En una clase de 24 alumnos, 10 estudian Biología, 12 estudian Química, y 5 no estudian ni

Biología ni Química. Se elige un alumno al azar; halla la probabilidad de que:

a) Estudie Química pero no Biología.

b) Estudie Química o Biología.

8. En una clase de 30 estudiantes 19 hacen deporte, 8 tocan el piano, y 3 hacen ambas

actividades. Halla la probabilidad de que si se elige un alumno al azar:

a) Haga deporte y toque el piano.

b) Haga al menos una de las dos actividades.

c) Haga deporte pero no toque el piano.

d) Haga sólo una de las dos actividades.

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