Identificacion Notas Metodos

7/26/2019 Identificacion Notas Metodos

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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT

Mtodos de identificacin

Objetivo especfico

Especificar y describir matemticamente losprincipales mtodos paramtricos y noparamtricos de identificacin de sistemas, loscuales permiten determinar el mejor modeloexperimental a partir de un conjunto de datos

2


Mtodos de identificacin

Temas

1. Mtodos no paramtricos: Mtodo de respuestatransitoria, Mtodo de respuesta frecuencial, Anlisis decorrelacin, Anlisis espectral

2. Mtodo de mnimos cuadrados3. Mtodo de error de prediccin4. Mtodo de variable instrumental5. Mtodo de mxima verosimilitud6. Identificacin en lazo cerrado


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Mtodos no paramtricos

Caractersticas: No se asume una estructura de modelo especfica Se obtienen de curvas o tablas. No paramtrico no significa que no hayan parmetros,

sino que los parmetros no se encuentran en unvector que se pueda calcular directamente.

No consideran las perturbaciones. Son mtodos off-line. Principales mtodos: mtodo de respuesta transitoria,

mtodo de respuesta frecuencial, anlisis de

correlacin, anlisis espectral

4


Mtodos no paramtricosMtodo de respuesta transitoria. Caractersticas

El modelo se aproxima a uno de primer orden o a unode segundo orden subamortiguado

Generalmente es el primer mtodo a aplicar, debido aque nos da una primera idea del comportamiento delproceso

Es fcil de utilizar y comprender Da una idea inicial de la dinmica del sistema

(sobretodo del retardo) La entrada es un escaln


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Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de primer orden

T- constante de tiempo del sistemak- ganancia del sistema

- retardo puro del sistemaA - amplitud de la entrada escaln del sistema

( ) ( )1

(1 ) ( - )

s

p

t

T

keG s Ty y ku t

Ts

y Ak e u t

= + = +

=

Respuesta a un escaln:

6


Mtodos no paramtricosMtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de primer orden


4/21

7



1 2 ( 0.632 ) ( 0.282 )

3

y Tk T t y Ak t y Ak

u

= + = = + = =

Clculo del modelo de primer orden mtodo II

batxTT

tAk

y +=+=

1ln

Por regresin con mnimos cuadrados se calculan a y b

1, ,

b yT k

a a u

= = =

Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de primer orden

Clculo del modelo de primer orden mtodo I

8



22 2

2 2

- ( - )

12

2

1

( ) 2 ( )2

1: 1- sen( ( - ) ) ( - )

1

1 arccos

o

s

o

p o o o

o o

t

o

k eG s y y y k u t

s s

y Ak e t u t

= + + = + +

= +

= =

Respuesta a un escaln

k- ganancia del sistema - retardo puro del sistemao - frecuencia natural (no amortiguada) del sistema1 - frecuencia amortiguada del sistema - coeficiente de amortiguamiento (0 < < 1 )A - amplitud de la entrada escaln del sistema

Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de segundo orden


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9



Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de segundo orden

2

2

2

1

1ln ( / )

1

p

o

p

yk

u

M Ak

t

=

=

+

=

10



En cierto experimento se aplic un escalnunitario y se recogieron datos de la salida,como se muestra a continuacin

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Time (second)6.0000 0.2119

5.5000 0.2118

5.0000 0.2117

4.5000 0.2112

4.0000 0.20993.5000 0.2065

3.0000 0.1972

2.5000 0.1723

2.0000 0.1085

1.5000 0.0027

1.0000 0

0.5000 0

0 0

t y(t)

Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de segundo orden - Ejemplo


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Mtodo de respuesta transitoria. Modelo generalde segundo orden Ejemplo (cont.)

El sistema se asemeja a uno de primer orden (enrealidad es de segundo orden) con retardo (1.5 segaproximadamente)

Aplicaremos el mtodo sobre el subconjunto dedatos entre 2 y 5 seg

El valor final es aproximadamente igual a Ak= 0.212 k= 0.212, T= 0.5201 , = 1.6179, r= -0.9998

12


Mtodos no paramtricosMtodo de respuesta frecuencial

Este mtodo se basa en el anlisis de los diagramasde Bode.

Los diagramas para la amplitud y la fase puedenobtenerse experimentalmente para cierto nmero defrecuencias, utilizando entradas sinusoidales.

La respuesta frecuencial de sistema es:

y A t u B t= + =sen( ) sen paraA B G i B G i G i

G iG i

G i

= = +

= =

( ) Re ( ) Im ( )

arg ( ) arctgIm ( )

Re ( )

2 2


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Ejemplodediagramade Bode

Frequency (rad/sec)

Phase(deg);Magnitude(dB)

Bode Diagrams

-40

-30

-20

-10

0From: U(1)

10-1

100

101

-1000

-500

0

500

To:Y(1)

Mtodo de respuesta frecuencial

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s Ts s em m

o o o

s + + +, ( ) , ( ) ,1 22 2 2 1

Clculo por el mtodo perfeccionado:

2 2

1 1

( ) ( ) ( )( ) y ( ) arctg/ 2 ( )

1 1( ) ( )cos y ( ) ( )sen y

c s c

N Ns

N N

c s

t t

y N y N y N

G i B y N

y N y t t y N y t tN N

= =

+

= =

= =

donde,

Mtodo de respuesta frecuencial

Calculando las asntotas, pendientes, frecuencias decodo y otras caractersticas se puede determinar lacontribucin de constantes y factores como:


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Mtodo de respuesta frecuencial. Caractersticas Se puede obtener una buena aproximacin de G(s) a

pesar del ruido Se puede comprobar si el sistema tiene ceros o polos

inestables (sistema de fase no mnima). El diagrama de Bode puede obtenerse fcilmente en

el rango de inters Desventaja: muchos sistemas no admiten seales

sinusoidales en su operacin normal (sistemasexotrmicos) o tienen constantes de tiempo muygrandes (largos perodos de experimentacin)

Para reducir la influencia de ruidos se debe tomar unnmero grande de muestras

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Mtodos no paramtricosAnlisis de correlacin

La entrada u(t) en este mtodo es normalmente unaPRBS

No se obtiene una funcin de transferencia directa,sino un valor numrico (respuesta impulsional) encada instante de muestreo

No debe existir ninguna correlacin entre la seal deentrada y el ruido para obtener los resultadosesperados

Si el ruido no es blanco se deben filtrar los datos deentrada y salida por medio de un filtro de blancura

No da resultados muy exactos, aunque s con ciertacorrelacin con los resultados reales


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Anlisis de correlacin Estructura del modelo

0

( ) ( ) ( ) ( )k

y t h k u t k e t

=

= +{h(k)} - secuencia de ponderacin (respuesta impulsional)

1

2

1

1( ) ( )

( ) , 0,1,... 1 , ( ) 0 si1

( )

N

t

N

t

y t u tNh N h N

u tN

= +

=

= = =

Clculo del modelo (secuencia de ponderacin)

2

0

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

yu

k

R Ey t u t h k Eu t k u t Ey t e t h

Ey t e t Eu t k u t k

=

= + =

= =

Se asume que y

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Mtodos no paramtricosAnlisis espectral

Mtodo muy verstil, ya que no existe ningunarestriccin para la seal de entrada, excepto que nodebe tener ninguna correlacin con la perturbacin

El modelo matemtico se obtiene en trminos de lafuncin de transferencia continua o a partir deldiagrama de Bode correspondiente

El mtodo espectral es semejante al mtodofrecuencial, slo que no se requiere una entradasinusoidal, lo que ampla el conjunto de sistemas a los

cuales se puede aplicar un anlisis frecuencial Se reduce considerablemente el tiempo de

experimentacin reas de aplicacin: anlisis del habla, estudio de

vibraciones mecnicas, geofsica, control automtico


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Anlisis espectral

Modelo matemtico:

La transformada discreta de Fourier de h(k) es lafuncin de transferencia sinusoidal del sistema

=

=

==N

k

kTi

N

k

kTi

N

Ni

ekTu

ekTy

U

YeG

1

1

)(

)(

)(

)()(

Nk

Nk ,...,2,1,2 ==

Para los clculos, se puedenreescribir como una suma de senos y cosenos

)(y)( NN UY

0

( ) ( ) ( ) ( )k

y t h k u t k e t

=

= +

20


Mtodos no paramtricosAnlisis espectral

La aproximacin da pobres resultados ya que las T. deFourier respectivas no son consistentes

Los problemas se pueden solucionar si los valores paragrandes instantes kson ponderados con funciones depeso debidamente seleccionadas (funciones llamadasventanas de retraso o "lag windows")

Con la introduccin de una ventana de retraso seobtiene la siguiente expresin:

=

=

=

=

+

+

=N

Nl

lmaxN

lmink

lTi

N

Nl

lmaxN

lmink

lTi

i

elTwkTuTlku

elTwkTuTlky

eG)0,(

)0,(1

)0,(

)0,(1

)()())((

)()())((

)(


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21



Anlisis espectral

Las ventanas rectangular y de Hamming tienen lassiguientes formas:

>

=

M

Mw

0

,1)(

>

+=

M

MMw

0

cos12

1

)(

La seleccin de Mno es un asunto trivial. Si seselecciona un Mmuy grande el periodograma no sermuy suave (tendr mucho ruido). De otro lado, un Mpequeo puede eliminar partes esenciales delespectro

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Mtodo de mnimos cuadradosGeneralidades

Puede aplicarse a una gran variedad de sistemas conexcelentes resultados

Existen versiones tanto recursivas como no recursivas Es el mtodo base para otros mtodos paramtricos

off-line y on-line Puede ser extendido a sistemas MIMO Es vlido si el modelo de la perturbacin es del tipo

ARX Para un buena estimacin (insesgada y consistente)se debe utilizar una seal pe de orden igual o mayoral orden del sistema


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Mtodo de mnimos cuadrados

Modelo matemtico (ARX)

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )dA q y t B q q u t e t = +

Forma regresiva:

1 1( ) ( 1) ... ( ) ( 1) ... ( ) ( )na nby t a y t a y t na b u t d b u t d nb e t= + + + +

[ ]

[ ]

1 1

( ) ( ) ( )

donde,

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

T

T

na nb

T

y t t e t

a a b b

t y t y t na u t d u t d nb

= +

=

=

Vector de regresin

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El principio de mnimos cuadrados, segn Gauss:

Los parmetros desconocidos de un modelo se debenelegir de modo que: "la suma de los cuadrados de lasdiferencias entre los valores observados realmente y losestimados, multiplicada por nmeros que midan el gradode precisin, sea un mnimo"


13/21 1

25



Problema de mnimos cuadradosEl problema de mnimos cuadrados se plantea de lasiguiente forma:

2

1

: ( ) ( ) ( )

:

1 1 : ( , ) ( ) ( )2 2

T

NT T

t

y t t e t

V N y t t e e

=

= +

= =

Dado el modelo

Calcular

Segn criterio

(1)

( )

e

e

e N

=

( )

(1)

(2)

( )

T

T

N na nb

TN

+

=

(1)

(2)

( )

y

yY

y N

=

Y e= +

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Mtodo de mnimos cuadradosSolucin del problema de mnimos cuadradosTeorema. La funcin Vtiene un nico mnimo en dadopor si la matriz es definida positiva.El correspondiente valor mnimo de la funcin de costees:

1 ( )T TY = T

( )11min ( ) ( )

2

T T T T V V Y Y Y Y

= =

1

1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

-

N NT T T

t t

Y t t t y t Y

= =

= = =

pseudoinversa

Otra forma:


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27



Ejemplo Se obtuvieron datos de un proceso (N= 7, T= 0.5 seg),

los cuales se muestran en la tabla

4.0013.0

4.0012.5

3.9912.0

3.9611.5

3.8011.0

3.1110.5

010

y(t)u(t)t (seg)

Modelo propuesto (se supusoque el sistema es de primerorden sin retardo):

( ) ( 1) ( 1)

( ) ( )

( 1) ( ) ,

( 1)

y t ay t bu t

y t t

y t at

u t b

= +

=

= =

T

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Mtodo de mnimos cuadradosEjemplo (cont.)

0 1 3.11

(0) (0) 3.11 1 3.80(1) (1)

(1) (1) 3.80 1 3.96,

3.96 1 3.99(6) (6)

(5) (5) 3.99 1 4.00

4.00 1 4.00

y uy

y uY

yy u

= = = = =

T

T

Resultado:

10.2228

( )3.1096

T Ta

Yb

= =

( ) 0.22 ( 1) 3.11 ( 1)y t y t u t =


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Propiedades estadsticas:Si se asume que es un ruido blanco de media ceroy varianza , entonces:

( )e t2

1. es una estimacin insesgada de o

2. La matriz de covarianza de es:

( )1

2cov( ) T

=

3. Una estimacin insesgada de es:2

2 2 ( )( )V

N na nb =

+

30


Mtodo de mnimos cuadradosEjemplo - Propiedades estadsticas Las propiedades anteriores pueden utilizarse para

estimar la desviacin estndar de los parmetros Para el ejemplo anterior se tiene:

na = nb = 1 N= 6 V= 6.7 x 10-6

50.0539 0.1694cov( ) 100.1694 0.6442

=

La raz cuadrada de los elementos sobre la diagonal

es igual a la desviacin estndar

0.2228 0.0007 0.31%

3.110 0.003 0.096%

a

b

a

b

= =

= =


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31


Mtodo de error de prediccin (PEM)

Generalidades

Sea la siguiente estructura de modelo:

1 1

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(0) 0

T

t s

y t G q u t H q e t

Ee t e s

G

= +

=

= (se tiene como mnimo un retardo)

Error de prediccin (debe ser pequeo):

( ) ( ) ( )t y t y t =

Predictor lineal general:1 1

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(0) (0) 0

y t L q y t L q u t

L L

= +

= =

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Mtodo de error de prediccinGeneralidades

El predictor puede seleccionarse de diversas maneras.Existe un predictor ptimo para cada estructura delmodelo

Una vez seleccionado el modelo y su predictor secalculan los errores de prediccin. El mejor vector deparmetros es aquel que hace que los errores deprediccin sean los ms pequeos.

La medida del tamao de los errores de prediccin es

una funcin escalar llamada criterio de minimizacin(funcin de coste):

( )1

1 ( ) , , ( ) arg min ( )N

N N

t

V l t t V N

=

= =


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Mtodo de error de prediccin

Generalidades

La minimizacin de la funcin de coste Vpuedehacerse analticamente si el error de prediccindepende linealmente de los parmetros. Caso:mnimos cuadrados

En la mayora de los casos la funcin de coste seminimiza utilizando mtodos numricos como elalgoritmo de Newton-Raphson

( ) ( )1

( 1) ( ) ( ) ( ) T

k k k k

k N NV V

+ =

Otro algoritmo: Gauss - Newton

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Mtodo de error de prediccinIlustracin del PEM


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35



PEM para un modelo lineal general

Sea el siguiente modelo lineal:1 1

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )T t s

y t G q u t H q e t

Ee t e s

= +

=

Realizando ciertas sustituciones se llega a:

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 2

1 1 1

1 1

1

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ),

( ) ( ) ( )

( ) ( )

I H q H q G

y t G q u t H q I e t e t

e t H q y t G q u t

y t y t u t L q y t L q u t

t e t H q y t G q u t

H q H q G

q

q

= + +

=

= + = +

= =

- son asintticamente estables

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Mtodo de error de prediccinMtodo LS como un mtodo PEM

( ) ( )

1 1

1 1 1 1

1 2

2

1

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) , , ( ) , , ( ) ( )

N

N

t

y t A q y t B q u t

L q A q L q B q

V l t e t l t e t e t N

=

= +

= =

= =


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PEM para un modelo ARMAX

[ ]

( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

y t ay t bu t e t ce t

y t ay t bu t ce t e t

y t ay t bu t ce t

+ = + +

= + + +

= + +

En este predictor se requiere conocere(t) Aplicando la frmula de la diapositiva 35:

1 1

1 1

( )( ) ( ) ( )

1 1

c a q bqy t y t u t

cq cq

= +

+ +

Implementacin: en forma recursiva

38


Mtodo de variable instrumentalGeneralidades

El mtodo permite obtener el modelo de la planta:

( ) ( ) ( )Ty t t t = +

Sea el siguiente modelo del sistema verdadero:

( ) ( ) ( )T

oy t t t = +

El mtodo de mnimos cuadrados da:

1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )N N

T

t t

t t t y t

= =

=


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39


Mtodo de variable instrumental

Generalidades

De las expresiones anteriores se obtiene:

[ ]

1

1 1

1

1 1 ( ) ( ) ( ) ( )

Cuando

( ) ( ) ( ) ( )

N NT

o

t t

T

t t t t N N

N

E t t E t t

= =

=

=

( ) ( ) 0E t t =

Para una estimacin consistente se debe cumplir:

40


Mtodo de variable instrumentalDeduccin del mtodo

Sea Z(t) un vector (para el caso SISO) cuyos elementosno estn correlacionados con la perturbacin:

1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

N NT

t t

Z t t Z t y t tN N

= =

= =

La estimacin IV es (despejando de la anteriorexpresin):

1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )N N

T

t t

Z t t Z t y t

= = =

Los instrumentos Z(t) se pueden escoger de variasmaneras


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41


Mtodo de variable instrumental

Deduccin del mtodo

Seleccin de los instrumentos Z(t), independientes dela perturbacin:

[ ]1 1

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

TZ t t t na u t u t nb

C q t D q u t

C A D B

=

=

= =

Por ejemplo,

1)

[ ]

1 1( ) 1, ( )

( ) ( 1) ( )

nb

T

C q D q q

Z t u t u t na nb

= =

=

2)

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