Identificación no lineal de un sistema con zona muerta severa

Departamento de Automática y Sistemas

Computacionales

Identificación no lineal de un sistema con zona

muerta severa

Diunisley Fernández Gutiérrez

Dr. C. Francisco Herrera Fernández

M. Sc. Ailyn Gutiérrez Ferrera

, Junio 2018

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Departamento de Automática y Sistemas Computacionales

TRABAJO DE DIPLOMA

Identificación no lineal de un sistema con zona

muerta severa

Autor: Diunisley Fernández Gutiérrez

[email protected]

Tutor: Dr. C. Francisco Herrera Fernández

M. Sc. Ailyn Gutiérrez Ferrera

Santa Clara

2018

"Año 60 de la Revolución"

Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las

Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui

Gómez Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la

mencionada casa de altos estudios.

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PENSAMIENTO

“Todos estamos en las alcantarillas, pero algunos miramos a las estrellas”.

Oscar Wilde

i

DEDICATORIA

A mi familia por su perseverancia.

ii

AGRADECIMIENTOS

Agradecer:

A todas aquellas personas que hallan contribuido de alguna forma en la culminación de esta

tarea tan prolongada, en especial a mi familia y a mi tutor Francisco Herrera.

iii

TAREA TÉCNICA

1. Revisar las manifestaciones de efecto no lineal existentes en sistemas bajo condiciones

severas de operación así como las principales estructuras de modelo empleadas en su

identificación.

2. Seleccionar los métodos de acondicionamiento más convenientes a emplear en el manejo

de datos en el tiempo con determinadas características y su posterior identificación,

atendiendo a los requerimientos de las estructuras de modelo disponibles.

3. Seleccionar según las capacidades y posibilidades de los distintos modelos estudiados,

las estructuras de modelo más adecuadas para identificar sistemas con presencia de no

linealidades severas tipo zona muerta.

4. Diseñar una herramienta que permita simular el efecto zona muerta severa así como el

procedimiento de identificación a desarrollar para su modelado.

iv

RESUMEN

El presente trabajo aborda la utilización de una alternativa para el tratamiento de algunos de

los problemas reales que se presentan en la estimación de parámetros durante la

identificación del modelo de determinados sistemas, debido a la presencia de no

linealidades severas así como a la disponibilidad de datos experimentales en el dominio del

tiempo muestreados en intervalos irregulares y de frecuencia y períodos variables. Los

principales resultados teóricos y prácticos existentes desarrollan la identificación de

determinados sistemas considerando no linealidades individuales y fundamentalmente

empleando modelos NARX y Hammerstein. Motivado por esto se desarrolla un algoritmo

que implementa un procedimiento de identificación aplicado a sistemas presentando un

efecto de no linealidad severo, tal como zona muerta combinada con otros tipos de no

linealidades, que sintetiza algunos de los resultados existentes en los métodos de

identificación no lineal e incorpora estas características especiales de efecto no lineal

severo y la presencia de datos experimentales irregularmente obtenidos en el tiempo.

v

TABLA DE CONTENIDOS

PENSAMIENTO......................................................................................................................i

DEDICATORIA......................................................................................................................ii

AGRADECIMIENTOS.........................................................................................................iii

TAREA TÉCNICA.................................................................................................................iv

RESUMEN..............................................................................................................................v

INTRODUCCIÓN..................................................................................................................1

Organización del informe...................................................................................................8

CAPÍTULO 1.IDENTIFICACIÓN NO LINEAL DE SISTEMAS CON ZONA MUERTA

SEVERA.................................................................................................................................9

1.1 Sistemas no lineales, tipos de no linealidades, características, clasificación.........10

1.2 Caracterización de la no linealidad Zona Muerta..................................................10

1.3 Modelos de sistemas dinámicos.............................................................................12

1.4 Algoritmo de identificación no lineal de sistemas.................................................13

1.5 Requerimientos básicos de los datos para la identificación no lineal en la

herramienta de identificación de sistemas de MATLAB..............................................15

1.6 Tratamiento de los datos destinados a la identificación de sistemas mediante la

herramienta de MATLAB.............................................................................................16

1.7 Estructuras de modelos no lineales para la identificación de sistemas disponibles

en el System Identification Toolbox..............................................................................16

1.8 Consideraciones finales del capítulo......................................................................19

vi

CAPÍTULO 2.DISEÑO DEL PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIÓN DE LA ZONA

MUERTA SEVERA..............................................................................................................20

2.1 Presentación del software empleado.......................................................................20

2.2 Descripción de los esquemas de adquisición de datos............................................20

2.2.1 Adquisición de los datos mediante simulación....................................................21

2.2.1.1 Obtención de la entrada a utilizar en la simulación..........................................21

2.2.1.2 Representación de los sistemas no lineales.......................................................22

2.2.1.3 Registro de los datos de entrada y de salida......................................................22

2.2.2 Adquisición de los datos mediante procesos físicos............................................23

2.3 Tratamiento inicial de los datos...............................................................................23

2.4 Selección de los modelos........................................................................................24

2.5 Análisis y validación del desempeño de los modelos.............................................25

2.6 Selección del tipo de entrada y estrategia para la estimación de datos no medidos

.......................................................................................................................................25

2.7 Determinación de los experimentos a realizar........................................................29

2.8 Consideraciones finales del capítulo.......................................................................29

CAPÍTULO 3.RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL PROCEDIMIENTO DE

IDENTIFICACIÓN...............................................................................................................30

3.1 Resultados fundamentales a considerar......................................................................30

3.2 Datos sin diezmado.....................................................................................................30

3.2.1 Zona muerta 25%.....................................................................................................31

3.2.2 Zona muerta 50%.....................................................................................................35

3.2.3 Zona muerta 75%.....................................................................................................39

3.3 Datos con diezmado....................................................................................................43

3.3.1 Diezmado zona muerta de 25%................................................................................43

3.3.2 Diezmado zona muerta de 25% en proceso de estructura desconocida...................54

vii

3.4 Valoración económica.................................................................................................56

3.5 Consideraciones finales del capítulo...........................................................................57

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES....................................................................58

Conclusiones....................................................................................................................58

Recomendaciones.............................................................................................................58

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................59

ANEXOS...............................................................................................................................61

Anexo I Algoritmo de identificación................................................................................61

viii

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

Habitualmente en diversas ramas de las ciencias se hace necesario realizar estudios sobre el

comportamiento de un sistema bajo condiciones específicas, para lo cual en muchas

ocasiones es más conveniente el empleo de modelos que representen a dichos sistemas. Los

modelos pueden ser de muy diversos tipos (paramétricos, no paramétricos) y una de las vías

para obtenerlos es conocida como la “Identificación de Sistemas”, en este caso los datos

son recopilados de la propia operación normal del sistema o por procedimientos

experimentales expresamente realizados con este objetivo. Dichos datos en su forma más

simple corresponden a datos de entradas y salidas del propio sistema.

Son variadas las causas que normalmente atentan contra una correcta aplicación de las

técnicas de identificación. Entre ellas las incertidumbres, dinámicas impredecibles y otros

fenómenos desconocidos que no pueden ser modelados por vía directa.

Un problema real existe en la estimación de parámetros en la identificación del modelo de

un sistema de datos en el tiempo con las siguientes características:

• Datos muestreados en intervalos irregulares de tiempo (un período de muestreo

variable).• Ciclos de datos en el tiempo de frecuencia y períodos variables.• Presencia de no linealidades en el sistema bajo estudio.

Estas características dificultan la tarea de extracción de conocimientos de un proceso o

sistema, o sea la identificación de las propiedades estáticas y dinámicas.

En relación a la presencia de no linealidades:

Una de las características más importantes de los sistemas no lineales es la dependencia en

el comportamiento de la respuesta del sistema con la magnitud y tipo de entrada. De lo

anterior se deduce que las no linealidades dificultan la tarea de extracción de información

de un sistema, o sea la identificación de sus propiedades estáticas y dinámicas a partir de

1

INTRODUCCIÓN

los datos experimentales obtenidos. Existen dificultades reales en la identificación del

modelo de un proceso no lineal, especialmente en presencia de no linealidades severas. En

los últimos años se han producido algunos resultados teóricos y prácticos sobre la

identificación de determinados sistemas con zona muerta o histéresis fundamentalmente

empleando modelos NARX y Hammerstein. Estos y otros resultados obtenidos hasta el

momento no resuelven en su totalidad el problema de identificación para cualquier sistema

que presente los tipos de no linealidades mencionadas, de ahí la necesidad de continuar

valorando la aplicación de otras técnicas para contribuir a la solución.

En la FIE (Facultad de Ingeniería Eléctrica) se ejecuta un proyecto institucional “Desarrollo

de Métodos y Algoritmos para la determinación de dinámicas de comportamiento a partir

de datos aperiódicos y no repetitivos”, inscrito en el Programa Nacional de Ciencias

Básicas, en el cual se trabaja en la identificación no lineal de determinados sistemas con

presencia del efecto de no linealidades tales como histéresis, saturación, zona muerta y

otros, que están sometidos normalmente a condiciones severas de operación.

Por otra parte se impone la aplicación de modernos métodos de identificación a partir de

datos experimentales irregularmente obtenidos en el tiempo. Contar con una maqueta

virtual que anide varios de estos procedimientos de identificación será un aspecto

determinante para el desarrollo de futuros trabajos de investigación.

Es muy amplia la presencia de efectos no lineales en el comportamiento de procesos

industriales. Gran parte de los sistemas mecánicos usados en la industria son también

sistemas rotacionales multi-masas donde las no linealidades como la fuerza de Coulomb y

la zona muerta influyen significativamente sobre la operación del sistema cuando la

rotación cambia la dirección (Kara and Eker, 2004).

Es una situación muy común encontrar sistemas donde la parte dinámica puede expresarse

en términos lineales pero existen a su vez no linealidades estáticas a la entrada y/o la salida.

Este es el caso cuando estamos en presencia de actuadores no lineales o si los sensores

tienen características no lineales (Ljung, 1999).

Las investigaciones dirigidas a la obtención de modelos que representen de manera

adecuada el comportamiento de sistemas mecánicos con influencia marcada de dinámicas

no lineales, son muy diversas y trascienden por su gran aplicabilidad:

2

INTRODUCCIÓN

En los estudios realizados sobre sistemas que presentan motores DC, la identificación no

lineal junto con la compensación de no linealidades como la fricción de Coulomb, la

histéresis y la zona muerta han demostrado su utilidad cuando el sistema rota en ambas

direcciones, ya que si la operación incluye el paso por la velocidad cero, la zona muerta y la

fricción de Coulomb tienen un efecto pronunciado haciendo que el modelo lineal pierda

exactitud y fiabilidad, en algunos trabajos como primera aproximación se utiliza el modelo

de tiempo discreto ARX para la descripción del sistema por un modelo lineal y para la

descripción no lineal del sistema se emplea el modelo Hammerstein, finalmente para la

evaluación del desempeño de ambos modelos se utiliza el método de minimización del

error cuadrático (MSE), en este caso los resultados muestran que el modelo no lineal no

solo tiene una mejor actuación durante la estimación para la operación a bajas velocidades

donde las no linealidades tienen mayor efecto, sino que mejora las propiedades de

convergencia disminuyendo el error en la identificación (Kara and Eker, 2004).

De manera similar se han realizado trabajos que presentan esquemas de estimación

paramétrica en línea de sistemas con presencia de no linealidades a la entrada y a la salida,

en una de estas aplicaciones se hace énfasis en la zona muerta y la histéresis de manera

individual y combinada, mediante la realización de múltiples estimaciones a través del

método recursivo de minimización cuadrática (RLS), en este caso las señales de entrada y

de salida determinan el esquema de estimación RLS a emplear en cada período de muestreo

y la comparación entre los resultados de la estimación determina los parámetros de la zona

muerta y la histéresis. Se realiza además la simulación de un sistema de estimación

adaptativo utilizando el Simulink de MATLAB para verificar la convergencia, de manera

adicional los resultados se comprobaron experimentalmente para diversas situaciones, un

carro accionado por motor DC, un sistema de válvula piloto electro-hidráulica y un carro

con libertad de movilidad acoplado a un segundo carro accionado mediante motor DC

(Lentz, 2008).

Otras investigaciones enfocadas en el estudio de sistemas con zona muerta emplean un

método de identificación basado en máquinas de trabajo vectorial donde la característica

dinámica no lineal del sistema es expresada usando el modelo Hammerstein, y el modelo

no lineal de la zona muerta se obtiene mediante la máquina de trabajo vectorial utilizando

el método de minimización cuadrática, además se introduce una función modificada con el

fin de mejorar la exactitud del modelo de zona muerta basado en las entradas y la condición

3

INTRODUCCIÓN

de convergencia que se analiza de manera teórica. Finalmente la simulación de la estrategia

diseñada se realizó en un servo-sistema de posicionamiento hidráulico y se pudo constatar

que el método propuesto mejora la exactitud del modelo obtenido por el proceso de

identificación (Du and Wang, 2009).

Otras publicaciones se enfocan en el estudio de sistemas tipo sándwich (compuestos por

una no linealidad tipo zona muerta ubicada entre dos subsistemas lineales) utilizando

identificación recursiva; con el fin de incluir el efecto de la zona muerta se introducen

varias funciones conmutativas en el modelo del sistema basado en el principio de

separación, de esta forma el sistema tipo sándwich puede ser transformado de manera que

se obtenga un modelo especial donde todos los parámetros se estiman de manera separada

con el fin de posibilitar la aplicación de un algoritmo general de identificación recursiva

modificado (MRGIA) para la obtención de estos parámetros. Finalmente se realiza un

análisis del algoritmo de convergencia y se presenta un ejemplo de simulación, donde se

ilustran los resultados a través de una etapa de posicionamiento sobre X-Y (Tan et al.,

2009).

En la bibliografía científica consultada resulta de gran interés el tratamiento de no

linealidades complejas como la zona muerta asimétrica, uno de los estudios sobre el tema

expone el empleo de métodos de identificación basados en una forma especial del modelo

Hammerstein, partiendo del carácter lineal por secciones de la no linealidad, y utilizando un

mecanismo de estimación iterativo que se basa en la adquisición y procesamiento de

mediciones de las entradas y salidas así como en variables internas estimadas. Los

resultados del modelado fueron buenos obteniéndose un número mínimo de parámetros que

además aparecen de forma explícita en la descripción del modelo permitiendo ser estimados

simultáneamente, además los ejemplos donde se aplicó el esquema propuesto demostraron

factibilidad y buena convergencia (Voros, 2004). Adicionalmente es válido mencionar un

trabajo que propone un método de identificación de una sola etapa basado en el modelo

Hammerstein, debido a la presencia de no linealidades tipo zona muerta asimétrica (típica

de servo-motores DC, válvulas de control y sistemas de transmisión mecánicos) a la entrada

de un sistema. En este contexto se utiliza una red neuronal lineal por secciones continuas

modificada, cuyas funciones de activación se especifican como las funciones lineales de

máximo-mínimo para describir la zona muerta, y se deriva un modelo parametrizado

integrado para representar el sistema total. Los parámetros de la zona muerta al igual que

4

INTRODUCCIÓN

los del subsistema lineal son calculados de acuerdo al esquema propuesto y la principal

diferencia entre el método presentado y los métodos recursivos más comúnmente

empleados radica en la posibilidad de trabajar las partes lineal y no lineal de manera

integrada por lo que no se necesita iterar para obtener los parámetros y no se necesita un

conocimiento previo de la zona muerta, siendo un método compatible con sistemas del tipo

Hammerstein. Se presentan experimentos numéricos para demostrar su efectividad en la

identificación de sistemas Hammerstein (Lv et al., 2010).

Otra investigación relevante desarrolla un algoritmo de identificación para sistemas del tipo

Wiener con presencia de zona muerta y datos muestreados de manera no uniforme.

Primeramente se reforma un modelo uniforme de sistema Wiener con la ayuda de una

técnica de elevación y una función de conmutación, luego un algoritmo recursivo iterativo

basado en minimización cuadrática con un factor de reemplazo (olvido) variable es

presentado usando el modelo auxiliar y el método iterativo. El algoritmo propuesto permite

estimar los parámetros del modelo directamente mediante el empleo de manera conjunta de

los métodos del modelo auxiliar y las iteraciones, el factor de reemplazo variable permite

mejorar le velocidad de convergencia. Los resultados de la simulación demostraron la

efectividad del algoritmo propuesto (Liu et al., 2015).

En el ámbito nacional aparecen pocas investigaciones relacionadas con la presencia

individual o combinada de distintos tipos de no linealidades, en (Esquivel, 2015) se aborda

la identificación no lineal de sistemas, principalmente el desarrollo y la implementación de

las estructuras no lineales ARX (NARX) y Hammerstein-Wiener, para obtener modelos

matemáticos mediante la identificación. En este caso se utilizan datos de entrada-salida

obtenidos experimentalmente, se selecciona la estructura a utilizar y se realiza un algoritmo

de optimización de los parámetros.

A partir de realizar un análisis bibliográfico del estado actual nacional e internacional en

relación al tema abordado, es posible afirmar que la zona muerta, como efecto de no

linealidad, sigue siendo objeto de atención, pero sobre todo cuando esta se presenta

combinada con otros efectos, tales como histéresis, backlash, etc, presentándose entonces

lo que puede denominarse zona muerta severa (en lo adelante identificaremos como ZMS).

En estos casos aún no existen soluciones efectivas para determinado tipo de ZMS, por lo

que se define como situación del problema: la existencia de dificultades reales en la

identificación del modelo de un proceso no lineal, especialmente en presencia de no

5

INTRODUCCIÓN

linealidades severas. En los últimos años se han producido algunos resultados teóricos y

prácticos sobre la identificación de determinados sistemas con zona muerta o histéresis

fundamentalmente empleando modelos NARX y Hammerstein, estos no resuelven en su

totalidad el problema de identificación para cualquier sistema que presente los tipos de no

linealidades mencionadas además de que no se cuenta con herramientas que abarquen

totalmente los efectos de la no linealidad para estos casos de ZMS.

Partiendo de estas conclusiones se concibió y desarrolló la presente investigación en la

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, a partir del siguiente problema

científico:

¿Cómo formular un algoritmo que implemente un bloque de identificación de aplicación en

sistemas presentando un efecto de no linealidad severo, tal como zona muerta, que use los

resultados existentes en los métodos de identificación no lineal e incorpore estas

características especiales de efecto no lineal severo y la presencia de datos experimentales

irregularmente obtenidos en el tiempo?

De igual forma la presente investigación responde a determinadas interrogantes científicas

para su desarrollo:

Interrogantes Científicas

¿Cómo afecta la zona muerta y particularmente la ZMS la operación de los sistemas?

¿Cuál es la situación actual que exhibe el desarrollo de soluciones para el problema de la

identificación no lineal de sistemas con presencia de una zona muerta más compleja?

¿Cómo elaborar una herramienta para la identificación de sistemas afectados por zona

muerta con distintos grados de severidad?

Con el fin de dar solución a la situación del problema, se plantea como objetivo general:

desarrollar una herramienta para la aplicación de procedimientos de identificación no lineal

en sistemas con determinado tipo de ZMS, usando una maqueta virtual. En tanto, como

objetivos específicos se definen:

1 Determinar el criterio más adecuado a emplear para la selección de la estrategia de

acondicionamiento y la estructura del modelo necesarias para lograr realizar la

identificación no lineal de sistemas con presencia de ZMS.

6

INTRODUCCIÓN

2 Diseñar una herramienta de software para la simulación de diferentes ZMS, así como

del proceso de identificación de sus características utilizando funciones del Ident de

MATLAB.

Al finalizar la investigación se debe contemplar como resultados fundamentales una

herramienta para la identificación no lineal de sistemas con zona muerta de distintos grados

de severidad, mediante el desarrollo de una maqueta virtual para la identificación no lineal

de estos sistemas haciendo uso de métodos modernos de identificación, incorporándose el

empleo de datos experimentales irregularmente obtenidos en el tiempo.

Tareas de investigación

1. Caracterización de la no linealidad tipo ZMS y su efecto en el comportamiento de

un sistema.2. Revisión analítica de métodos de identificación no lineal apropiados para sistemas

con ZMS.3. Desarrollo de un bloque simulador de ZMS, con diferentes características estáticas y

dinámicas.4. Desarrollo de un bloque simulador de identificación de sistemas con zona muerta,

con acceso a funciones del Ident de MATLAB, aplicado para el caso de ZMS.

El impacto esperado se centra en potenciar la capacidad de procesamiento de datos

obtenidos experimentalmente y posibilitar mejoras en los procedimientos de estimación de

las dinámicas de comportamiento de sistemas con determinado tipo de no linealidad, por lo

que el impacto es directo en todas las ramas del conocimiento y la investigación científica,

sea en investigaciones básicas o en aplicadas que se realizan con vistas al desarrollo

económico y social del país, partiendo de que se brindan alternativas para fomentar nuevos

horizontes de la investigación científica, así como herramientas para los centros

desarrolladores de conocimientos sobre la energía y el medio ambiente.

Debido a su nivel de aplicabilidad este proyecto aportará un recurso para la aplicación de

procedimientos de identificación no lineal en sistemas sometidos a zona muerta con

determinados niveles de severidad; para el logro de este fin se diseñará una maqueta virtual

con el objetivo de aportar una herramienta computacional para el cumplimiento de los

requisitos y retos que plantea la teoría de los Sistemas Complejos que ha potenciado la

teoría de los sistemas dinámicos no lineales y con ello la identificación no lineal. De igual

forma el proyecto se desarrolla a partir de recursos tanto materiales como humanos para el

7

INTRODUCCIÓN

sustento de la investigación mediante la utilización de herramientas de hardware y software

ya existentes en la entidad, como son el software para el desarrollo de simulaciones y de

algoritmos para la identificación, microcomputadoras, y conectividad a internet, por lo que

puede afirmarse su viabilidad.

Organización del informe

El informe de la investigación se estructurará en introducción, capitulario, conclusiones,

referencias bibliográficas y/o bibliografía y anexos.

En la introducción se definirá la importancia, actualidad y necesidad del tema que se aborda

y se dejarán explícitos los elementos del diseño teórico.

Capitulario

CAPÍTULO I: Se dedicará a la caracterización de los procedimientos utilizadas para la

identificación no lineal de sistemas con presencia de zona muerta, para determinar los

métodos más adecuados a emplear en sistemas predeterminados afectados por ZMS a la

entrada o a la salida.

CAPÍTULO II: Se utilizará para expresar el diseño de los procedimientos a desarrollar para

la identificación de sistemas de interés según los métodos seleccionados

CAPÍTULO III: Se dedicará a la elaboración del bloque simulador de identificación para

los diferentes grados de severidad de la zona muerta que debe incorporarse a los

subsistemas lineales. Se validará la herramienta a través de la identificación de los distintos

modelos.

Conclusiones

Recomendaciones

Referencias bibliográficas y/o Bibliografía

Anexos

8

CAPÍTULO 1. IDENTIFICACIÓN NO LINEAL DE SISTEMAS CON ZONA MUERTA SEVERA

CAPÍTULO 1. IDENTIFICACIÓN NO LINEAL DE SISTEMAS CON

ZONA MUERTA SEVERA

La identificación de sistemas es la etapa inicial que permite determinar las variables que se

requieren para que un modelo quede determinado de manera que describa con el grado de

exactitud deseado o de acuerdo a requerimientos específicos, un proceso real en cuestión.

Los sistemas sometidos a un proceso de identificación pueden presentar de manera natural

o intencionada disímiles relaciones entre las entradas y las salidas, clasificándose de esta

forma en lineales y no lineales.

La identificación no lineal de sistemas es más compleja y se emplea fundamentalmente

cuando existe la necesidad de realizar un control en un rango de trabajo amplio donde una

identificación lineal deja de tener buenos resultados.

Existen múltiples métodos de identificación de sistemas, aplicándose con buenos resultados

en sistemas sin fenómenos o dinámicas desconocidas; sin embargo de manera general, es

común encontrarse con el objetivo de modelar sistemas con dificultades reales para la

aplicación de las técnicas de identificación debido a rasgos desconocidos que no pueden ser

modelados por vía directa, lo que puede ser originado por incertidumbre en sus variables o

bien, indefinición en su estructura.

En este capítulo se realiza de manera breve una representación de aspectos fundamentales

en la identificación no lineal de sistemas, de manera adicional se hace una descripción

sintetizada de la zona muerta presente de manera individual y combinada con otros tipos de

no linealidades, dando lugar a una ZMS. Para culminar el capítulo se prevé realizar un

resumen de las técnicas de identificación implementadas en MATLAB con las cuales se

trabajará.

9


1.1 Sistemas no lineales, tipos de no linealidades, características, clasificación

Las no linealidades que se presentan en los sistemas reales se pueden clasificar en

accidentales e intencionales, en el primer caso figuran la fricción de Coulomb, la fricción

estática, juego libre de engranes (backlash), zona muerta, saturación, etc.; mientras que las

intencionales se introducen para lograr determinados requerimientos en los sistemas. Las no

linealidades en sentido general se presentan en dos variantes fundamentales, es decir si son

analíticas o no, las no linealidades analíticas son aquellas que no presentan cambios bruscos

y por tanto pueden ser representadas gráficamente por una curva o familia de curvas en

consecuencia se pueden describir sus características a través de una sola ecuación, mientras

que las no analíticas presentan cambios abruptos en sus características y usualmente se

representan mediante curvas discontinuas o con valores múltiples, ejemplos típicos son el

juego libre de engranes (backlash), la zona muerta, sistemas de relé, etc (Thaler and Pastel,

1962).

1.2 Caracterización de la no linealidad Zona Muerta

La zona muerta se define como el rango de las entradas de un sistema para el cual la salida

permanece inalterada, fuera de este rango existe una relación lineal entre la entrada del

sistema y la salida o respuesta (Lentz, 2008).

En la práctica es común la presencia accidental o intencionada de manera simultánea de no

linealidades como la fricción y la histéresis de conjunto con la zona muerta como no

linealidad preponderante, en este caso el representar la dinámica no lineal resultante del

sistema localizándola en una etapa específica de una planta o esquema como un bloque

separado resulta complejo, pero de manera general una de las manifestaciones de este

efecto combinado que de manera más ilustrativa describe la relación entre la entrada y la

salida del subsistema no lineal se aprecia en forma de función discontinua con presencia de

puntos de quiebre o una derivada discontinua. En la figura 1 se representan gráficamente de

manera conjunta la zona muerta y la zona muerta con fricción:

10


Figura 1. Relación entrada/salida de la banda muerta (tomado de (Wescott, 2016)).

Figura 2. Representación analítica del efecto ZMS.

Entre las manifestaciones físicas de este fenómeno, destacan aplicaciones prácticas como

las siguientes:

En un carro motorizado que se encuentra acoplado a un segundo carro de forma tal que este

último tiene movimiento libre, el modelo del sistema se corresponde a una función de

transferencia de primer orden con una zona muerta a la salida y la posición del carro tiene

una banda muerta debido al tipo de acople (Lentz, 2008).

En la figura 3 se muestran 10 ciclos de la velocidad del carro libre versus la entrada de

voltaje aplicada al motor utilizado para accionar dicho carro:

Figura 3. Velocidad vs voltaje para el carro libre (tomado de (Lentz, 2008)).

La dinámica de un motor DC se puede esquematizar de la siguiente forma, donde la

velocidad de la armadura determina la magnitud del torque producto de la fricción que se

opone al torque aplicado y el resultante, de existir, es el responsable de la aceleración de la

armadura del motor. La velocidad de la armadura es integrada obteniéndose la posición del

rotor, el motor acciona un mecanismo de engranes que presenta cierto juego (histéresis), en

consecuencia la salida del modelo presenta la influencia combinada de dos no linealidades

(Wescott, 2016).

11


Figura 4. Posición angular vs torque aplicado para un motor DC (tomado de (Wescott,

2016)).

1.3 Modelos de sistemas dinámicos

Un medio efectivo cuando se hace necesario conocer la interacción entre las variables en un

sistema es la obtención de modelos, estos pueden presentar distintos niveles de formalismo

matemático de acuerdo a la limitación de su uso (Ljung, 1999), por lo tanto se les puede

clasificar según su tipo como :

- modelos mentales: no presentan ninguna formalidad matemática y tienen un fuerte

componente cualitativo debido a que se basan fundamentalmente en la experiencia, su

representación es ejecutable mentalmente, incompleta y no tiene límites definidos pudiendo

describir directamente indeterminaciones.

- modelos gráficos (no paramétricos): son apropiados para sistemas donde las propiedades

se describen a través de tablas y de ploteados numéricos.

- modelos matemáticos (paramétricos): se emplean cuando es necesario describir las

relaciones entre las variables del sistema a través de expresiones matemáticas tales como

ecuaciones diferenciales, estos se encuentran a su vez caracterizados por el tipo de ecuación

diferencial utilizada y se emplean fundamentalmente para la simulación y la predicción.

Los modelos matemáticos se construyen a su vez a través de dos vías (o una combinación

de ellas), la identificación o fragmentación de los sistemas complejos en distintos

subsistemas cuyas propiedades se conocen a partir de experiencias previas y la posterior

unión de estos a través de recursos matemáticos, y la identificación de sistemas que se basa

directamente en la experimentación, donde señales de entrada y salida del sistema son

almacenadas y analizadas para inferir los modelos (Ljung, 1999).

12

armadura

fricción

backlashTorque

aplicado


El proceso de construcción de modelos a través del procesamiento de datos implica además

la selección de la estructura de dichos modelos, estos pueden ser tipo caja negra (los

parámetros simplemente son vehículos para lograr el mejor ajuste posible con los datos

medidos y no tienen la capacidad de reflejar ningún rasgo físico real) o modelos en espacio

estado parametrizados físicamente (los parámetros se ajustan de manera que guarden

relación directa con el sistema real, usualmente se parte de leyes físicas o relaciones

conocidas para la determinación de algunos parámetros físicos desconocidos), así como

lineales o no lineales.

El presente trabajo sólo se enfoca en modelos paramétricos debido a que se requiere a partir

de la experimentación (registro de mediciones de señales de entrada y salida) definir las

relaciones entre las variables del sistema a través de expresiones matemáticas determinadas

por un número finito de parámetros que tienen un significado decisivo para la simulación y

la predicción.

1.4 Algoritmo de identificación no lineal de sistemas

La construcción de modelos a partir del procesamiento de datos tiene tres momentos

básicos (Ljung, 1999):

1.Almacenamiento y tratamiento de los datos: el objetivo de diseñar los experimentos es

determinar qué señales medir, cuándo medirlas, y escoger las señales de entrada más

adecuadas, así como el mejor modo de manipularlas de ser necesario.

- generalmente las señales son muestreadas usando un intervalo de muestreo constante (en

sentido general la frecuencia de muestreo debe ser aproximadamente diez veces el ancho de

banda del sistema, pero una consideración práctica es registrar la respuesta al paso del

sistema y seleccionar el intervalo de muestreo de manera que ocurran de 4 a 6 muestreos

durante el tiempo de subida)

- la calidad del sistema de identificación depende de la entrada aplicada, esta debe ser

suficientemente rica para forzar al sistema a mostrar sus propiedades que es contener el

mayor número de frecuencias posible, por esto las señales escalonadas (con cambios

abruptos) son ampliamente utilizadas, puesto que contienen un espectro suficientemente

amplio de frecuencias

13


- para sistemas lineales, es suficiente utilizar dos niveles de entrada, preferiblemente

barriendo todo el rango de variación permitido. En este tipo de sistemas se suele utilizar

señales binarias de duración aleatoria (conocidas como señales binarias aleatorias). Sin

embargo, para sistemas no lineales es necesario trabajar con señales de más de dos niveles

de entrada (conocidas como señales gaussianas aleatorias), además la entrada debe tener

una persistencia suficiente para la excitación durante la operación a lazo abierto

Cuando los datos son recolectados durante un experimento previo a la identificación,

generalmente no se encuentran en condiciones para realizar directamente el algoritmo de

identificación debido a diferentes características:

a-disturbios de alta o baja frecuencia durante la adquisición de los datos, cercanos a las

frecuencias de interés de la dinámica del sistema

b- valores extremos o erróneos, datos faltantes, registro discontinuo de datos

Existen múltiples recursos para lidiar con estas situaciones y de alguna manera

acondicionar los datos antes de identificar, como son: eliminar las perturbaciones a través

de un tratamiento previo explícito de los datos, utilizar el modelo ruidoso para tratar las

perturbaciones, reemplazo de los segmentos de datos con información errónea, estimar

datos faltantes mediante regresión lineal y mínimos cuadrados o métodos de minimización

del error de predicción indistintamente.

2. Selección de la estructura del modelo: existen inicialmente varias estructuras posibles,

caja negra o modelos en espacio estado parametrizados físicamente y lineal o no lineal,

donde la elección depende del conocimiento previo que se tenga sobre el sistema.

Posteriormente se selecciona de manera particular el modelo a emplear teniendo en cuenta

la representación dinámica aproximada del sistema, definiéndose aspectos como el orden y

los parámetros de dicho modelo.

3. Selección del método de identificación: existen tres variantes o aproximaciones :

- el error de predicción: tiene la ventaja de ser aplicable a todo tipo de estructura de modelo,

ya sea lineal o no lineal, también es válido para sistemas en lazo abierto o cerrado

- la correlación: se usa de manera más natural en modelos caja-negra lineales

14


- el subespacio para la estimación de modelos en el espacio estado: se usa especialmente en

modelos caja-negra lineales en la forma espacio estado

Validación del modelo: se realiza una valoración realista del desempeño del modelo

seleccionado para determinar si es una buena representación del sistema real; de no cumplir

con los requerimientos establecidos se concluye que el modelo no es válido, y se procede a

la revisión de las posibles causas.

De manera general los modelos no lineales son esencialmente relaciones matemáticas que

se establecen entre las entradas u(t) y las salidas y(t) ponderadas del sistema para

determinar la salida en el instante actual. La expresión general de un modelo en tiempo

discreto es:

y(t) = f(u(t - 1), y(t - 1), u(t - 2), y(t - 2), . . .)

de esta forma un modelo no lineal presentaría una función no lineal en el lugar de f,

pudiendo ser un caso arbitrario como un switch o saturación (MathWorks,Inc., (2014)).

Las estructuras de modelos no lineales que se abordan en la literatura son: NARMAX (no

lineal autorregresivo de media móvil exógena), NARX (No lineal autorregresivo con

entrada exógena), NOE (no lineal con error de salida), redes neuronales artificiales,

modelos difusos, series de Volterra, los modelos orientados a bloques Hammerstein y

Wiener y la combinación de ambos, entre otros (Esquivel ,2015).

Directamente enfocados al proceso de identificación de la no linealidad zona muerta se han

desarrollado disímiles trabajos debido a su amplia presencia en sistemas mecánicos

actuales. Entre los trabajos consultados destaca (Esquivel ,2015) donde se sintetiza un

criterio que sugiere el empleo del mejor método a utilizar para una zona muerta dada, en

determinada posición dentro de un sistema o proceso, específicamente se desarrolla dicho

método mediante su implementación en la herramienta de identificación de sistemas de

MATLAB para identificar una zona muerta específica, adicionalmente se determina la

posibilidad de mejorar las técnicas actuales de identificación de sistemas para el caso de

procesos con no linealidades severas como zona muerta.

1.5 Requerimientos básicos de los datos para la identificación no lineal en la

herramienta de identificación de sistemas de MATLAB

Condiciones necesarias (MathWorks,Inc., (2014)):

15


- para el empleo de las estructuras Hammerstein-Wiener los datos deben encontrarse en el

dominio del tiempo y presentar instantes de muestreo uniformemente espaciados

- para el empleo de las estructuras NARX los datos deben encontrarse en el dominio del

tiempo (incluyendo series de tiempo) y presentar instantes de muestreo uniformemente

espaciados

- para el empleo de los modelos en el espacio-estado no lineales los datos pueden

encontrarse en el dominio del tiempo (incluyendo series de tiempo) o en el dominio de la

frecuencia

1.6 Tratamiento de los datos destinados a la identificación de sistemas mediante la

herramienta de MATLAB

Los fallos durante la adquisición de datos en ocasiones provocan mediciones perdidas en la

entrada y en la salida. Cuando los datos faltantes son representados por el término NaN

(dato inexistente, Not a Number) es válido emplear la función misdata para estimar los

valores faltantes, esta función del System Identification Toolbox de MATLAB realiza

inicialmente una interpolación lineal ( y x=y0+x−x0

x1−x0

( y1− y0) ) con la cual obtiene los

primeros datos y a partir de estos un primer modelo y luego utiliza este modelo para estimar

nuevos datos como parámetros mediante un método de minimización del error de

predicción de la salida obtenida a partir de los datos reconstruidos, este proceso se repite de

manera iterativa hasta que se alcance alguna condición preestablecida (número máximo de

iteraciones o tolerancia), el modelo inicial puede tener una estructura lineal dada por el

usuario, cuando no se subministra ninguna estructura se emplea del tipo n4sid (algoritmo

numérico para la identificación de sistemas tipo espacio estado en el subespacio)

(MathWorks,Inc., (2014)).

1.7 Estructuras de modelos no lineales para la identificación de sistemas disponibles

en el System Identification Toolbox

Los modelos NARX son una extensión de los modelos lineales ARX y presentan la

estructura:

y(t) = f(y(t - 1), ..., y(t - na), u(t - nk), ..., u(t -nk -nb + 1))

16


donde la función no lineal f depende de un número finito de entradas u anteriores y salidas

y. Los números de salidas y entradas pasadas respectivamente son na y nb y se utilizan para

predecir el valor de la salida actual, en conjunto con el retardo nk. Estas estructuras se

emplean fundamentalmente como caja negra.

Diagrama en bloque de la estructura NARX enfocado a simulación:

Figura 5. Estructura NARX.

El modelo NARX calcula la salida en dos etapas:

1.Calcula los regresores a partir del valor actual y valores anteriores de la entrada, así como

valores anteriores de la salida. En el caso más simple, los regresores son salidas y entradas

anteriores, tales como u(t-1) y y(t-3) llamados regresores estándar. Adicionalmente se

pueden especificar regresores personalizados que son funciones no lineales de entradas y

salidas anteriores, por ejemplo tan(u(t-1)) o u(t-1)*y(t-3). Por defecto todos los regresores

son entradas de los bloques funcionales lineal y no lineal del estimador de no linealidad, de

igual forma se puede escoger un subconjunto de los regresores como entradas del bloque

funcional no lineal.

2.El bloque estimador de no linealidad direcciona los regresores a la salida del modelo

utilizando una combinación de funciones lineales y no lineales, es posible seleccionar entre

los estimadores de no linealidad disponibles, tales como las redes de árbol de particiones

(Tree Partition Network), redes de tren de ondas (Wavelet Networks), y redes neuronales

multi-capa (Multi-layer Neural Networks), también se puede excluir tanto el bloque

funcional lineal como el no lineal del estimador de no linealidad (MathWorks,Inc., (2014)).

Los modelos Hammerstein-Wiener describen sistemas dinámicos utilizando uno o dos

bloques de no linealidad estática en serie con un bloque lineal que representa el

componente dinámico del modelo, estas estructuras se emplean fundamentalmente para

capturar efectos no lineales físicos en sensores y actuadores que afectan la entrada y la

salida de un sistema lineal tal es el caso de saturación y zona muerta, así como en la

17


identificación de una gran variedad de sistemas electromecánicos, en consecuencia se

utilizan como estructuras caja negra debido a que su parametrización tiene gran

flexibilidad en los modelos no lineales y de igual forma se emplean como caja gris para

capturar conocimientos sobre características físicas de los procesos, como es el caso de no

linealidades a la entrada que pueden representar transformaciones físicas típicas en

actuadores y no linealidades a la salida que pueden describir características físicas en los

sensores.

Diagrama en bloques del modelo Hammerstein-Wiener:

Figura 6. Estructura Hammerstein-Wiener.

El modelo Hammerstein-Wiener calcula la salida en tres etapas:

1.Calcula w(t) = f(u(t)) a partir de los datos de entrada, w(t) es entrada de la función

transferencial lineal B/F, la no linealidad de entrada es una función estática (sin memoria)

donde el valor de la salida en un instante dado depende solamente del valor de la entrada en

el mismo instante. De igual forma se puede configurar la no linealidad de entrada como red

sigmoidea (Sigmoid Network), redes de tren de ondas (Wavelet Network), saturación

(Saturation), zona muerta (Dead Zone), función lineal por tramos (Piecewise Linear

Function), polinomio unidimensional (One- Dimensional Polynomial), red personalizada

(Custom Network) y ausencia de no linealidad (Unit Gain).

2.Calcula la salida del bloque lineal utilizando w(t) y condiciones iniciales x(t) = (B/

F)w(t), además se puede configurar el bloque lineal especificando los órdenes del

numerador B y el denominador F.

3.Calcula la salida del modelo transfiriendo la salida del bloque lineal x(t) utilizando la

función no lineal h: y(t) = h(x(t)).

Similar a la no linealidad de entrada, la no linealidad de salida es una función estática

configurable de igual manera (MathWorks,Inc., (2014)).

Los modelos en el espacio-estado no lineales se representan de la forma:

x'( t ) = F ( x ( t ), u ( t ) )

18


y ( t ) = H ( x ( t ), u ( t ) )

donde una ecuación diferencial ordinaria de orden superior puede ser representada como un

conjunto de ecuaciones de primer orden, además F y H pueden tener cualquier

parametrización y los parámetros tienen generalmente una interpretación física

(MathWorks,Inc., (2014)).

1.8 Consideraciones finales del capítulo

Determinadas características tales como los tipos de modelo disponibles (parámetros con

significado físico o no) y la representación de la dinámica de sistemas no lineales

(semejante a efectos no lineales físicos en sensores y actuadores que afectan la entrada y la

salida de un sistema lineal), permiten determinar la factibilidad de la utilización de

estructuras Hammerstein y Wiener (no una combinación de ambas) para la identificación de

los sistemas no lineales que se emplean en el presente trabajo, donde se presentan efectos

no lineales estáticos severos a la entrada y la salida de un subsistema lineal determinado.

Incorporando además la dificultad aportada por la presencia de datos muestreados en

intervalos irregulares de tiempo, resulta conveniente con el objetivo de emplear la

estructura mencionada para la identificación no lineal de sistemas, que está limitada al

empleo de datos muestreados uniformemente, desarrollar un algoritmo donde se estime de

manera lógica datos desconocidos debido a un registro discontinuo de las mediciones de las

señales de entrada y salida del proceso.

19

CAPÍTULO 2. DISEÑO DEL PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIÓN DE LA ZONA MUERTASEVERA

CAPÍTULO 2. DISEÑO DEL PROCEDIMIENTO DE

IDENTIFICACIÓN DE LA ZONA MUERTA SEVERA

El desarrollo de algoritmos de identificación a través de técnicas computacionales

necesariamente se rige por reglas y basamentos que se establecen para el procesamiento de

datos obtenidos mediante experimentación, las consideraciones teóricas a contemplar para

la obtención de modelos de un sistema, en este caso no lineal sometido a condiciones

severas de operación, fueron abordadas con anterioridad. En este capítulo se describe de

manera seccionada empleando disímiles situaciones experimentales, el procedimiento de

identificación no lineal de un sistema seleccionado, con técnicas computacionales a través

de sus diferentes etapas.

2.1 Presentación del software empleado

El software System Identification Toolbox presenta disponibilidad de modelos de tipo

numérico (descritos a través de coeficientes numéricos estimados) o generalizado (descritos

a través de combinaciones de parámetros numéricos y parámetros desconocidos o

ajustables). De manera adicional permite operar desde el ambiente de la aplicación y desde

las líneas de comando, pudiendo realizar de forma íntegra tanto las tareas de preparación de

los datos con el objetivo de obtener una representación lista para identificar, como la propia

configuración y estimación de los parámetros de la estructura de modelo seleccionada. En

el presente trabajo se empleará de manera simultánea las herramientas de MATLAB:

System Identification Toolbox y Simulink, ambas en su revisión 2015a.

2.2 Descripción de los esquemas de adquisición de datos

Con el fin de emplear la herramienta de identificación propuesta existen tres vías

fundamentales para la obtención previa de los datos a identificar: la medición de señales de

entrada y salida procedentes de sistemas físicos, la generación de señales de entrada con

20


características deseadas (permite estudiar el impacto de las características de las señales de

entrada en la estimación) y el registro de señales provenientes de modelos de Simulink. En

el presente trabajo se utiliza de manera conjunta la generación de señales de entrada con

características deseadas y el registro de señales provenientes de modelos de Simulink.

2.2.1 Adquisición de los datos mediante simulación

En caso de realizarse una simulación el esquema sería el siguiente:

Figura 7. Esquema de simulación del sistema con ZMS.

2.2.1.1 Obtención de la entrada a utilizar en la simulación

Para esta aplicación la entrada (entrada aleatoria) necesaria para excitar el sistema se

obtiene a través de la generación de dos variantes de una señal gaussiana aleatoria,

utilizando como herramienta la ventana Editor de MATLAB R2015a, quedando las entradas

de la siguiente forma:

Figura 8. Magnitud de la entrada tipo 1 aplicada al sistema no lineal vs tiempo.

Figura 9. Magnitud de la entrada tipo 2 aplicada al sistema no lineal vs tiempo.

21


Ambas señales se caracterizan por tener una magnitud acotada entre 1 y -1, además

cumplen con los requisitos planteados en el capítulo anterior ya que presentan múltiples

niveles y determinado grado de aleatoriedad, pero en el caso de la señal tipo escalón la

duración de cada pulso puede estar entre un 30 y un 70% del tiempo de estabilización del

sistema. De manera adicional las señales de entrada son ingresadas desde el Workspace de

MATLAB al esquema de simulación mediante un bloque perteneciente al Simulink de tipo

From Worspace, donde se representa en formato de estructura la entrada a aplicar sobre el

sistema, especificándose además el período de muestreo.

2.2.1.2 Representación de los sistemas no lineales

Con el objetivo de simular el comportamiento de dos sistemas no lineales con estructuras y

dinámicas diferentes pero afectados por la misma entrada, se utiliza un subsistema no lineal

compuesto por el efecto ZMS, representado por la zona muerta combinada con fricción, en

serie con un subsistema lineal de segundo orden sin retardo, presentándose de esta forma

simultáneamente las estructuras correspondientes a un proceso Hammerstein y uno Wiener.

Estructura lineal de segundo orden:

K∗(τn1 s+1)(τn 2s+1)(τd 1 s+1)(τd 2 s+1)

donde K=1, τn1=τn2=0 y τd1=τd2=1

Estructura no lineal severa: el parámetro ud, correspondiente a la figura 2, o umbral

superior de la zona muerta toma los valores: 0.25, 0.5 y 0.75 indistintamente, resultando en

una magnitud relativa de 25%, 50% y 75% en la zona muerta.

2.2.1.3 Registro de los datos de entrada y de salida

Las señales de entrada y de salida son ingresadas desde el esquema de simulación hacia el

Workspace mediante un bloque perteneciente al Simulink de tipo To Worspace, donde se

representan en formato de estructura con tiempo los datos a obtener del sistema,

especificándose además el período de muestreo, este se selecciona como primera

aproximación de manera que al menos se muestree de 4 a 6 veces durante el tiempo de

subida del sistema.

2.2.2 Adquisición de los datos mediante procesos físicos

Una particularidad presente en los datos provenientes de procesos físicos es la escacez de

conocimientos previos respecto a las características del sistema que los originó, pero es

22


importante debido a las dificultades existentes durante las mediciones reales, considerar

situaciones donde la información no presente las condiciones idóneas para su utilización,

tales como valores de medición erróneos o totalmente inexistentes. En este caso se dispone

del conjunto de los datos de entrada y salida, además se conocen los instantes de muestreo

(pudiendo presentarse un muestreo aleatorio o no) y se precisan, de manera iterativa de ser

necesario, detalles referentes a la parte dinámica del sistema. En este caso los datos se

obtienen mediante simulación pero se asume con fines prácticos que no se conoce el tipo de

estructura no lineal, ni las características de la parte lineal.

2.3 Tratamiento inicial de los datos

Anterior al procedimiento de identificación propiamente, se realiza un análisis de la calidad

de los datos, de esta forma se detecta la ausencia de datos debido al carácter aperiódico del

registro de estos. En el caso de datos procedentes de un proceso físico se presenta la

información en forma de tres conjuntos: dos conteniendo la entrada y la salida medidas y

un tercero donde se contemplan los instantes de muestreo, siendo perceptible la existencia

de un espaciado temporal no uniforme; mientras que en el caso de datos obtenidos mediante

simulación, debe introducirse primeramente un diezmado de las señales de entrada y de

salida registradas ya presentes en el Workspace, luego se procede a analizar la información

temporal de los datos adquiridos por las diferentes vías (datos obtenidos mediante

simulación o datos obtenidos a través de un proceso físico) para realizar una estimación del

período de muestreo máximo posible a considerar, partiendo de este resultado se desarrolla

posteriormente una estimación de los datos de entrada y salida identificados con NaN

(datos correspondientes a instantes de muestreo inexistentes), necesarios para obtener la

estructura deseada, mediante el procesamiento de la información disponible a través de la

función misdata del System Identification Toolbox de MATLAB que presenta entre sus

argumentos los datos de entrada y salida, el período de muestreo y el comportamiento de

las señales entre los instantes de muestreo, en un formato tipo estructura iddata

(representación de los datos a utilizar para la identificación, presentes en el Workspace y

expresados en el dominio del tiempo o de la frecuencia), además del número máximo de

iteraciones a realizar y la tolerancia como condiciones de parada (número máximo de

iteraciones =5 y tolerancia = 1% en este caso).

23


Posteriormente se elimina la media (mean) de los datos mediante el comando detrend en su

opción '0', con el objetivo de optimizar los resultados de la identificación, y se seleccionan

las porciones para la estimación (alrededor del 70% de los datos) y validación (alrededor

del 30% restante de los datos), en este caso las secciones de los datos destinadas con ambos

fines, están predeterminadas con el objetivo de enmarcar los resultados en esta situación

específicamente por presentar una mayor conveniencia debido a la distribución observada

en el comportamiento de los datos durante la generalidad de los experimentos, aun así

desde el punto de vista práctico este aspecto es modificable en busca de una mayor

generalidad.

2.4 Selección de los modelos

Partiendo de las características inherentes a los datos con los que se trabaja los modelos a

emplear son Hammerstein y Wiener, en el caso de los datos registrados desde el sistema

simulado con estructura predeterminada se identifica mediante la función nlhw del System

Identification Toolbox de MATLAB, la cual requiere los datos destinados a la estimación

así como, en cuanto al estimador lineal, el número de ceros más uno (nb), el número de

polos (nf), el retardo de la entrada a la salida en términos del número de muestras (nk) y por

último los estimadores no lineales (InputNL, OutputNL) donde se define el tipo de

estructura (Hammerstein o Wiener), en este caso aunque lo referente a los parámetros de los

modelos es conocido debido a que se trata de una simulación, se realizan pruebas con

distintas variantes en cuanto a estos parámetros, para determinar la estructura que mejor

explica los datos medidos. En el contexto de los sistemas físicos reales se procede de

manera similar salvo que no se conoce de antemano los estimadores tanto lineales como no

lineales más adecuados, ya que la estructura del sistema es una incógnita, en el caso de los

estimadores lineales se determinan de manera iterativa como se explicó anteriormente.

De manera adicional se utiliza la función pem (actualiza los parámetros independientes o

que no guardan relación con ningún parámetro determinado que presente un significado

físico, del modelo a refinar mediante la aplicación de un algoritmo de minimización del

error de predicción utilizando los datos de estimación dados) del System Identification

Toolbox de MATLAB para refinar los modelos, realizando hasta 30 iteraciones en este caso.

Finalmente se selecciona el modelo con los mejores resultados en relación a la predicción

24


de la salida medida, comparándose en cuanto al desempeño los modelos iniciales con los

modelos refinados a través de la función pem.

2.5 Análisis y validación del desempeño de los modelos

Para reflejar las características del modelo con el objetivo de examinar aspectos como el

nivel de complejidad de la no linealidad estimada, se utiliza el comando plot donde se

puede observar la relación entrada/salida de la no linealidad, la función get donde se

aprecian los coeficientes del polinomio B/F (característica lineal o dinámica del sistema) y

el comando compare que determina y representa gráficamente el 'porcentaje de la salida

medida que es explicado por el modelo' (FIT o porcentaje de ajuste) de la siguiente forma:

FIT=100∗(1−norma(Y −YHAT )

norma(Y −media(Y ))) , donde Y es la salida medida o de validación y

YHAT es la salida del modelo.

2.6 Selección del tipo de entrada y estrategia para la estimación de datos no

medidos

La entrada a aplicar sobre el sistema presenta entre sus características la aleatoriedad, y esta

determina el grado en que es posible reconstruirla empleando la función misdata cuando

existe ausencia de datos o mediciones, como se aprecia en las figuras donde las señales

simuladas son aquellas que no fueron sometidas a ningún diezmado y por tanto contienen la

información real mientras que las señales estimadas son aquellas que se obtienen a partir de

reconstruir de manera aproximada las señales simuladas sometidas a un diezmado posterior

a su generación, debiendo parecerse estas estimaciones lo máximo posible a los valores

simulados (reales) en orden de representar con veracidad el proceso que originó las señales

simuladas portadoras de la información real y correcta:

25


Figura 10. Entrada tipo 1 estimada (superior) vs tiempo y entrada tipo 1 simulada (inferior)

vs tiempo.

Figura 11. Entrada tipo 2 estimada (superior) vs tiempo y entrada tipo 2 simulada (inferior)

vs tiempo.

Figura 12. Salida estimada del sistema con entrada tipo 1 (superior) vs tiempo y salida

simulada del sistema con entrada tipo 1 (inferior) vs tiempo.

26


Figura 13. Salida estimada del sistema con entrada tipo 2 (superior) vs tiempo y salida

simulada del sistema con entrada tipo 2 (inferior) vs tiempo.

Por esta razón se selecciona la entrada tipo 1 para utilizar en los procedimientos a realizar.

De manera general la función misdata no produce modificación alguna en los datos que

son reales y en consecuencia no necesita estimar:

Figura 14. Diferencia (en una escala de 10^-6) entre los datos sometidos a diezmado y los

datos estimados vs tiempo.

Es posible apreciar que la función misdata, tiene un buen desempeño durante la

reconstrucción de la salida mientras que al estimar los valores faltantes en la entrada

produce con recurrencia valores erróneos de magnitud excesiva, por lo que se analizan

diferentes variantes para utilizar misdata ya que en las circunstancias de este trabajo se

considera el peor caso posible, donde para los instantes en que la entrada se desconoce

tampoco se dispone de la salida lo que dificulta la estimación de la entrada; de esta forma

se determina la posibilidad, debido a la naturaleza de la generación de la entrada donde no

existe una aleatoriedad total, de reconstruir la entrada de manera individual considerándola

una serie de tiempo para su tratamiento con misdata y posteriormente utilizar esta entrada

estimada para obtener la salida estimada correspondiente a través de una segunda

27


aplicación de la función misdata, debido a que la salida guarda relación con la entrada y no

puede estimarse como una variable independiente, los resultados obtenidos durante la

recuperación de ambas señales se muestran en las figuras:

Figura 15. Entrada tipo 1 diezmada (azul) vs tiempo y entrada tipo 1 simulada (rojo) vs

tiempo, aplicando misdata a la entrada.

Figura 16. Entrada tipo 1 estimada (azul) vs tiempo y entrada tipo 1 simulada (rojo) vs

tiempo, aplicando misdata a la entrada.

Figura 17. Reducción de la magnitud de los valores pico en la entrada estimada (azul) vs

tiempo respecto a la entrada simulada (rojo) vs tiempo.

28


Figura 18. Salida diezmada del sistema con entrada tipo 1 (azul) vs tiempo y salida

simulada del sistema con entrada tipo 1 (rojo) vs tiempo, aplicando misdata a la salida

utilizando la entrada estimada.

Figura 19. Salida estimada del sistema con entrada tipo 1 (azul) vs tiempo y salida simulada

del sistema con entrada tipo 1 (rojo) vs tiempo, aplicando misdata a la salida utilizando la

entrada estimada.

Figura 20. Reducción de la magnitud de los valores pico en la salida estimada (azul) vs

tiempo respecto a la salida simulada (rojo) vs tiempo.

Debido a la favorable disminución de la diferencia apreciable entre los valores simulados y

los valores obtenidos mediante la estimación, se selecciona como procedimiento para el

acondicionamiento de los datos afectados por diezmado, la realización de una estimación

inicial de la entrada medida utilizando misdata, y la posterior estimación de la salida

medida empleando dicha entrada estimada.

2.7 Determinación de los experimentos a realizar

Con el objetivo de evaluar finalmente cómo se afecta la calidad de la identificación en un

sistema expuesto a una no linealidad severa tipo zona muerta, esta se considera para

distintas amplitudes relativas a la magnitud de la entrada (25%, 50% y 75%) incorporando

un muestreo cuya aleatoriedad se evalúa en mayor y menor grado (distanciamiento máximo

considerado entre instantes de muestreo, dado en muestras: 1, 2, 3 y 4).

29



1. La consideración de dos sistemas de estructura no lineal distinta resultando en dos

procesos, uno semejante a Hammerstein y otro a Wiener, sometidos ambos a distintos

niveles de severidad de la zona muerta permite determinar el modelo que mejor explica el

efecto no lineal considerado y cuál es el desempeño alcanzado en cada caso.

2. La simulación del diezmado de los datos para la identificación brinda la posibilidad de

definir el efecto real que tiene lugar sobre los modelos obtenidos, así como valorar la

calidad de la estimación alcanzada durante la reconstrucción de las señales medidas de

forma aleatoria.

30

CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIÓN.

CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL PROCEDIMIENTO

DE IDENTIFICACIÓN.

Este capítulo incluye la representación y valoración de los principales resultados de los

experimentos diseñados en el capítulo 2, además se obtiene de manera general una base o

sugerencia para la elección de los modelos a utilizar en disímiles circunstancias presentes

en el procedimiento de identificación, en correspondencia con la problemática comprendida

en la introducción del presente trabajo. Finalmente se realiza una valoración cualitativa de

los resultados obtenidos atendiendo a su impacto económico.

3.1 Resultados fundamentales a considerar

El análisis del desempeño de los modelos se basará tanto en su 'capacidad para explicar la

salida medida' (FIT) como en la calidad con que logra representar el efecto no lineal

presente en el sistema analizado.

3.2 Datos sin diezmado

En este caso se muestran dos ejemplos fundamentales de los empleados para definir la

estructura lineal, expresada en forma del vector de parámetros [nb nf nk] de donde se

obtiene durante la conformación del modelo el polinomio denotado como B/F, que refleja la

dinámica lineal del proceso. En el caso de la parte no lineal según el estimador

seleccionado, se presenta la estructura en correspondencia con los parámetros obtenidos a

través de la identificación, de la forma:

31


Picewise linear parametrizado a través de puntos de quiebre (breakpoints o puntos

que delimitan los rangos de las entradas o intervalos donde el sistema puede ser

representado por una relación obtenida a través de interpolación lineal)

Sigmoidnet g(x )=∑k=1

n

K∗ak∗(es+1)−1

∗(bk∗(x−℘k))

Dead zone parametrizado a través de la duración del período de cero respuesta en la

señal

3.2.1 Zona muerta 25%

Tabla 1. Resultados de la identificación de la ZMS al 25%

Nombre de los

modelosParte lineal Tipo de modelo

Estimador no

lineal

FIT

obtenido

Modelo1 [1 2 0] Hammerstein Picewise linear 98.61%

Modelo2 [1 2 0] Wiener Picewise linear 97.38%



Modelo1:

Parte lineal: B /F (z−1)=

11−1.8443 z−1

−0.8514 z−2

Parte no lineal: Puntos de Quiebre ([x] ; [y])=

(-0.7520 -0.7334 -0.5345 -0.4760 -0.2738 -0.2299 0.0727 0.1386 0.2295 0.5881

0.6599 0.6848 0.7202; -0.0054 -0.0053 -0.0039 -0.0035 -0.0020 -0.0003

-0.0002 -0.0004 0.0015 0.0041 0.0046 0.0048 0.0050)

32


Figura 21. Relación entrada/salida de la no linealidad identificada por el modelo 1 en el

sistema tipo Hammerstein con ZMS al 25% sin diezmado.

Figura 22. Comparación de la respuesta de validación del sistema tipo Hammerstein con

ZMS al 25% sin diezmado (negro) con la respuesta del modelo 1 (azul).

Modelo 2:

Parte lineal: B / F(z−1)=

11−1.8459 z−1

−0.8529 z−2


(-116.2649 -110.2737 -108.8719 -39.8133 -38.6114 -31.2071 -3.9930 27.9131

31.0937 33.7051 92.5629 101.8756 159.0488; -0.8137 -0.7765 -0.7669 -0.2822

-0.0366 -0.0265 -0.0265 -0.0265 -0.0174 0.2305 0.6501 0.7084 1.1119)

33



sistema tipo Wiener con ZMS al 25% sin diezmado.

Figura 24. Comparación de la respuesta de validación del sistema tipo Wiener con ZMS al

25% sin diezmado (negro) con la respuesta del modelo 2 (azul).

Modelo 3:

Parte lineal: B /F (z−1)=0.6276 z−1

+1 z−2

1−1.6749 z−1+0.5747 z−2

+0.1105 z−3


(-0.2737 -0.2297 0.1454 0.2275; -0.0018 -0.0002 -0.0002 0.0013)

34






Modelo 4:


+1 z−2

1−0.8769 z−1−0.8688 z−2

+0.7632 z−3


(-70.3812 -47.8003 -42.8119 -16.4442 -16.3555 -10.0125 -1.6002 6.6268

13.3667 13.5913 15.8983 42.7356 50.1372; -1.1706 -0.7930 -0.7097 -0.2687

-0.0239 -0.0239 -0.0239 -0.0239 -0.0239 0.2098 0.2547 0.7036 0.8265)



35


Figura 28. Comparación de la respuesta de validación del sistema tipo Wiener (negro) con

ZMS al 25% sin diezmado con la respuesta del modelo 4 (azul).



Nombre de los

modelosParte lineal Tipo de

modelo

Estimador no

lineal

FIT

obtenido





Modelo5:


11−1.8437 z−1

−0.8508 z−2


(-0.5355 -0.5049 0.4589 0.5155; -0.0036 -6.3517*10^-5 -6.5411*10^-5 0.0037)

36






Modelo 6:


11−1.8450 z−1

+0.8520 z−2


(-100.7099 -81.6520 -75.9027 -73.5568 -64.1900 -23.4508 -4.4907 14.5973

58.3437 66.3228 69.1883 92.7005 110.0866; -0.6992 -0.5609 -0.5196 -0.0198

-0.0118 -0.0118 -0.0118 -0.0118 -0.0118 -0.0046 0.4981 0.6654 0.7787)



37




Modelo 7:


1.0713 z−1+1 z−2

1−1.8100 z−1+0.8194 z−2

−2.7677∗10−4 z−3


(-0.972 -0.8351 -0.5296 -0.5113 0.0580 0.0719 0.1076 0.4587 0.4641 0.4676

0.5157 0.8434 1.3966; -0.0041 -0.0035 -0.0022 -3.8548*10^-5 -3.8367*10^-5

-3.8071*10^-5 -3.8096*10^-5 -3.8122*10^-5 0.0002 0.0003 0.0023 0.0037

0.0061)



38




Modelo8:


1 z−1+0.0172 z−2

1−2.0821 z−1+1.3100 z−2

−0.2214−3


(-134.6578 -113.0742 -85.5272 -80.4606 -46.5940 -19.7410 -3.5313 15.9255

38.6764 72.6299 78.0832 106.5883 124.9570; -0.8269 -0.6915 -0.5170 -0.0115

-0.0115 -0.0115 -0.0115 -0.0115 -0.0115 -0.0114 0.4943 0.6742 0.7896)



39






Nombre de los

modelosParte lineal Tipo de modelo

Estimador no

lineal

FIT

obtenido





Modelo9:


11−1.8447 z−1

+0.8517 z−2


(-0.8348 -0.7623 -0.5408 -0.4448 -0.3140 -0.2961 -0.1244 -0.1133 0.3539

0.3730 0.4768 0.6982 0.7335; -0.0057 1.4178*10^-5 4.3964*10^-5 -1.3900*10^-5

-5.1958*10^-5 3.2525*10^-5 -4.4422*10^-5 2.3447*10^-5 8.2349*10^-6

2.0537*10^-5- 4.0130*10^-6 4.1295*10^-5 0.0053)

40






Modelo 10:


11−1.8492 z−1

−0.8560 z−2


(-596.2815 -165.2973 -115.4367 -112.9562 -110.7929 -2.9909 17.0128 33.2237

102.7133 107.5737 109.7089 368.7223 384.0850; -3.8387 -1.0500 -0.7235

0.0057 0.0116 0.0116 0.0116 0.0116 0.0117 0.0721 0.7562 2.5154 2.6192)

41






Modelo 11:


1 z−1+0.9365 z−2

1−1.8095 z−1+0.8184 z−2

+1.5302∗10−4 z−3


(-0.8351 -0.8213 -0.7779 -0.6120 -0.0829 -0.0450 -0.0290 0.1508 0.2285

0.4693 0.4706 0.7064 0.7253; -0.0037 -0.0028 1.0618*10^-5 1.0602*10^-5

1.078902*10^-5 1.0661*10^-5 1.0604*10^-5 1.0623*10^-5 1.0606*10^-5

1.0626*10^-5 1.0631*10^-5 1.0604*10^-5 0.0035)

42






Modelo 12:


+1 z−2

1−0.8142 z−1−0.9858 z−2+0.8177 z−3


(-62.6456 -62.4667 -46.7997 -34.2032 -24.1687 -13.8386 -2.9809 7.9394

18.2185 28.7290 41.1254 58.7113 58.9789; -0.6906 0.0127 0.0127 0.0127

0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.0127 0.7238)

43






3.3 Datos con diezmado

En este caso se determina el efecto real que presenta la identificación no lineal de un

sistema dado afectado por una zona muerta con determinado nivel de severidad, ante

distintos grados del carácter aperiódico en el muestreo.

3.3.1 Diezmado zona muerta de 25%


Aleatoriedad

máxima

Parte lineal Tipo de modeloEstimador no

lineal

FIT

obtenido

44


1 muestra [1 2 0] Hammerstein Picewise linear 98.17%

Wiener Sigmoidnet 96.64%

2 muestras [1 2 0] Hammerstein Picewise linear 96.52%

Wiener Picewise linear 95.4%

3 muestras [1 2 0] Hammerstein Picewise linear 91.26%

Wiener Picewise linear 86.06%

Diezmado aleatorio de una muestra:

Figura 45. Entrada simulada (rojo) vs tiempo y entrada con diezmado de hasta una muestra

(azul) vs tiempo.

Figura 46. Entrada estimada vs tiempo.

Figura 47. Salida simulada (rojo) vs tiempo en el sistema tipo Hammerstein con ZMS al

25% y salida con diezmado de hasta una muestra (azul) vs tiempo.

45


Figura 48. Salida simulada (rojo) vs tiempo en el sistema tipo Wiener con ZMS al 25% y

salida con diezmado de hasta una muestra (azul) vs tiempo.

Figura 49. Salida simulada (rojo) vs tiempo en el sistema Hammerstein con ZMS al 25% y

salida estimada (azul) vs tiempo.

Figura 50. Salida simulada (rojo) vs tiempo en el sistema Wiener con ZMS al 25% y salida

estimada (azul) vs tiempo.

Componente lineal del modelo Hammerstein:

B /F (z−1)=

11−1.8439 z−1

+0.8509 z−2

46


Componente lineal del modelo Wiener:

B /F (z−1)=

11−1.8481 z−1

+0.8551 z−2

Figura 51. Relación entrada/salida de la no linealidad, identificada por el modelo

Hammerstein en el sistema tipo Hammerstein con ZMS al 25% y diezmado de hasta una

muestra.

Figura 52. Relación entrada/salida de la no linealidad, identificada por el modelo Wiener en

el sistema tipo Wiener con ZMS al 25% y diezmado de hasta una muestra.

47


Figura 53. Comparación entre la respuesta del modelo Hammerstein (azul) y la respuesta de

validación del sistema tipo Hammerstein con ZMS al 25% y diezmado de hasta una

muestra (negro).

Figura 54. Comparación entre la respuesta del modelo Wiener (azul) y la respuesta de

validación del sistema tipo Wiener con ZMS al 25% y diezmado de hasta una muestra

(negro).

Diezmado aleatorio de hasta dos muestras:

Figura 55. Entrada simulada (rojo) vs tiempo y entrada con diezmado de hasta dos muestras

(azul) vs tiempo.


48



25% y salida con diezmado de hasta dos muestras (azul) vs tiempo.


salida con diezmado de hasta dos muestras (azul) vs tiempo.



49





B /F (z−1)=

11−1.8206 z−1

+0.8286 z−2


B /F (z−1)=

11−1.8452 z−1

+0.8523 z−2


Hammerstein en el sistema tipo Hammerstein con ZMS al 25% y diezmado de hasta dos

muestras.


el sistema tipo Wiener con ZMS al 25% y diezmado de hasta dos muestras.

50



validación del sistema tipo Hammerstein con ZMS al 25% y diezmado de hasta dos

muestras (negro).


validación del sistema tipo Wiener con ZMS al 25% y diezmado de hasta dos muestras

(negro).

Diezmado aleatorio de hasta tres muestras:

Figura 65. Entrada simulada (rojo) vs tiempo y entrada con diezmado de hasta tres muestras

(azul) vs tiempo.

51




25% y salida con diezmado de hasta tres muestras (azul) vs tiempo.


salida con diezmado de hasta tres muestras (azul) vs tiempo.

52







B / F(z−1)=

11−1.7592 z−1

+0.7693 z−2


B / F(z−1)=

11−1.8369 z−1

+0.8442 z−2


Hammerstein en el sistema tipo Hammerstein con ZMS al 25% y diezmado de hasta tres

muestras.

53



el sistema tipo Wiener con ZMS al 25% y diezmado de hasta tres muestras .


validación del sistema tipo Hammerstein con ZMS al 25% y diezmado de hasta tres

muestras (negro).


validación del sistema tipo Wiener con ZMS al 25% y diezmado de hasta tres muestras

(negro).

54


3.3.2 Diezmado zona muerta de 25% en proceso de estructura desconocida

En este caso la información referente al sistema a identificar de la cual se dispone consiste

solamente en los datos experimentales medidos en la entrada, la salida y los

correspondientes instantes de muestreo no uniformes; estos se obtienen, con el fin de

ilustrar el procedimiento de identificación a realizar cuando se procesan datos medidos

aleatoriamente en un proceso físico real, mediante la simulación y un diezmado aleatorio de

hasta dos muestras, pudiendo definirse los datos a muestrear de manera particular si se

considera necesario. Finalmente para la identificación se subministra una estructura lineal

(vector [nb nf nk] definido anteriormente) aproximada que se asume inicialmente por el

usuario y puede ser modificada según los resultados obtenidos. Los estimadores no lineales

utilizados en el algoritmo se aplican tanto en la estimación de parámetros para una

estructura Hammerstein como para una Wiener y se realizan los debidos refinamientos de

los distintos modelos obtenidos, presentándose al concluir el procedimiento descrito, los

mejores resultados desarrollados por las dos estructuras no lineales mencionadas en cuanto

a predicción de la salida y descripción de la no linealidad detectada.

Figura 75. Segmento de datos muestreados en la salida del sistema de estructura

desconocida vs instantes de muestreo no uniformes.

55


Figura 76. Diezmado sufrido por los datos medidos a la salida (valores muestreados en

azul).

Figura 77. Datos de salida estimados.


B /F (z−1)=

11−1.8457 z−1

+0.8529 z−2

Figura 78. Comparación entre la respuesta del modelo Wiener del sistema (azul) y la

respuesta de validación del sistema (negro), con estimador 'picewise linear' para un FIT de

93.36%.


B /F (z−1)=

11−1.8394 z−1

+0.8468 z−2

56


Figura 79. Comparación entre la respuesta del modelo Hammerstein del sistema (azul) y la

respuesta de validación del sistema (negro), con estimador 'sigmoidnet' para un FIT de

96.66%.

Figura 80. Relación entrada/salida de la no linealidad, identificada por el modelo Wiener

del sistema.


Hammerstein del sistema.

3.4 Valoración económica

El impacto económico del presente trabajo está enfocado en la funcionalidad implícita en

todo proceso de obtención de modelos donde la finalidad es contribuir de manera directa en

el desarrollo de la investigación científica y de manera indirecta en la operabilidad y

57


posible control de procesos físicos reales sometidos a condiciones severas de trabajo, donde

el punto de partida lo constituye precisamente la adquisición de conocimientos sobre estos

para la determinación de la influencia de factores externos e internos sobre su desempeño.

Es importante puntualizar que los resultados obtenidos no significaron ningún costo

adicional a la institución, debido a la disponibilidad previa de los medios requeridos.


1. Los mejores resultados en la identificación sin presencia de diezmado en los datos, se

concentran en los sistemas con una zona muerta de severidad inferior al 75% de la

magnitud de la entrada (obteniéndose los mejores modelos a través del estimador no lineal

'picewise linear' tanto en las estructuras de modelo tipo Hammerstein como en las tipo

Wiener). Además en el caso Hammerstein los modelos presentan una alta calidad en cuanto

a la 'predicción de la salida medida' (FIT) y no así en la descripción de la no linealidad

existente, mientras que en el caso Wiener ocurre todo lo contrario apreciándose una mejor

representación por el modelo del efecto no lineal y disminuyendo el FIT obtenido.

2. En los procedimientos de diezmado, acondicionamiento e identificación, se observa que

la salida estimada posee una notable semejanza con la salida simulada sometida a

diezmado, y la entrada estimada presenta un parecido aceptable con la entrada simulada

sometida a diezmado. Finalmente es posible afirmar que la calidad de la identificación se

perjudica a medida que aumenta la aleatoriedad en el muestreo ocasionando que las señales

estimadas difieran de las señales reales; pero adicionalmente es válido señalar que la

posición particular de los instantes donde se concentra la ocurrencia de pérdidas de los

datos medidos, afecta el desempeño alcanzado por las estructuras no lineales empleadas.

3. En la identificación realizada utilizando la simulación de un sistema similar a un proceso

Hammerstein, suponiendo que la estructura de dicho sistema se desconoce, el modelo

Hammerstein tuvo resultados más favorables en cuanto a la predicción de la salida medida,

sin embargo el modelo Wiener logra definir con mayor precisión aspectos fundamentales de

la no linealidad estática presente en el sistema tales como los puntos de ruptura o cambios

de pendiente.

58

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones

1 Se determinó el procedimiento más adecuado para el tratamiento previo de los datos a

emplear en la identificación ,teniendo en cuenta las especificaciones de los distintos

modelos a utilizar y del sistema considerado para su descripción.

2 Se seleccionó la estructura de modelo a emplear según las características inherentes al

sistema no lineal considerado y teniendo en cuenta los parámetros necesarios para

representar satisfactoriamente el efecto no lineal severo tipo zona muerta.

3 Se diseñó una herramienta para la simulación e identificación de sistemas con ZMS,

incorporando el proceso de diezmado de los datos medidos, utilizando funciones del

Ident de MATLAB.

Recomendaciones

La presente investigación está enmarcada en el análisis de la incidencia real que tiene la

presencia de un efecto no lineal severo específico, en los resultados a obtener mediante la

identificación no lineal de determinado sistema, por esto se recomienda:

1 Profundizar en definir la influencia que tiene para la identificación no lineal de

sistemas la presencia de condiciones de operación diferentes a las abordadas en este

trabajo, ya sea considerando un efecto no lineal severo de otra naturaleza

(combinación de la zona muerta con otro tipo de no linealidad distinta a la fricción) o

modificando la característica dinámica (parte lineal) del sistema, obteniéndose un

grado de generalidad aún mayor.

59

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS


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vector machine, The Sixth International Symposium on Neural Networks (ISNN

2009), Springer: 235–243.

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bidirectional operation with real time experiments'', Energy Conversion &

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Wiener Systems with Dead-zone Nonlinearities , Pre.∗ 9th International Symposium

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60


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Esquivel, O. (2015). Identificación no lineal de un sistema con Zona Muerta. Thesis,

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, Cuba.

Thaler, G.J. y M.P. Pastel. (1962). Nonlinear Control Systems. McGraw-Hill, New York.

61

ANEXOS

ANEXOS

Anexo I Algoritmo de identificación

% PARÁMETROS MODIFICABLES

tss = 10;% tiempo de estabilización del sistema ante entrada tipo paso y

% coeficientes de la función transferencial de la parte lineal del sistema

% a utilizar, en caso de emplearse simulación

cn0 = 1;

cn1 = 0;

cn2 = 0;

cd0 = 1;

cd1 = 2;

cd2 = 1;

% información referente a: la parte no lineal del sistema a emplear para la

% simulación, grado de aleatoriedad en el muestreo, numero de mediciones a

% realizar, variabilidad en el ancho de pulsos de la entrada y estimadores

% lineales a emplear en el modelado [nb nf nk]

limite_superior_de_zona_muerta = 0.25;

maxima_perdida_de_muestras = 0;

numero_de_mediciones = 5000;

simular = 1;

limite_inferior_de_zona_muerta = -limite_superior_de_zona_muerta;

coeficiente_de_friccion = limite_superior_de_zona_muerta;

amplitud_de_pulsos_min_en_multiplos_de_T_de_muest_real = 30;

62

ANEXOS

amplitud_de_pulsos_max_en_multiplos_de_T_de_muest_real = 70;

SELECTOR_DE_ENTRADA = 1;

nb = 2;

nf = 3;

nk = 1;

predeterminar_valores_a_muestrear = 0;

% en caso de seleccionarse simular=0 los vectores entrada_medida,

% salida_medida e instantes_de_muestreo deben ser inicializados; de igual

% forma si se selecciona predeterminar_valores_a_muestrear=1 el vector

% muestras_a_tomar debe ser inicializado

% PARÁMETROS INTERNOS PARA SIMULACIÓN

if(simular == 1)

numd=[cn2 cn1 cn0]; % numerador de la función de transferencia

dend=[cd2 cd1 cd0]; % denominador de la función de transferencia

T_de_muest_real= round(tss/100,11);

% Obtención de la entrada del sistema para simulación

% entrada escalón

tiempo_de_simulacion = (numero_de_mediciones)*T_de_muest_real;

u = zeros (numero_de_mediciones,1);

k = 1;

while(k <= numero_de_mediciones)

i = amplitud_de_pulsos_max_en_multiplos_de_T_de_muest_real

+round((amplitud_de_pulsos_min_en_multiplos_de_T_de_muest_real...

-amplitud_de_pulsos_max_en_multiplos_de_T_de_muest_real)*rand);

a = 1;

v= rand;

if v > 0.01

63

ANEXOS

n = v;

else

n = 0.01;

end

n = 2*n - 1;

while(a <= i && k<= numero_de_mediciones)

u (k) = n;

k= k+1;

a = a +1;

end

end

entrada_aleatoria.time = [T_de_muest_real:T_de_muest_real:(numero_de_mediciones)*T_de_muest_real];

entrada_aleatoria.signals.values = u;

entrada_aleatoria.signals.dimensions = 1;

if (SELECTOR_DE_ENTRADA == 1)

% en caso de preferir utilizar una entrada con determinadas características deseadas, reemplazar

% la existente (entrada_Hammer_99.98%.mat) con la entrada seleccionada salvada previamente

load('entrada_Hammer_99.98%.mat');

tiempo_de_simulacion = entrada_aleatoria.time(end);

entrada_aleatoria.time = entrada_aleatoria.time;

entrada_aleatoria.signals.values = entrada_aleatoria.signals.values;

entrada_aleatoria.signals.dimensions = 1;

end

sim('Experimento')

t_aper = zeros(1,length(val_exp_in.time));

i = 1;

64

ANEXOS

n = 1;

% Obtención de los instantes de muestreo aperiódico cuando se requiere simulación

if(predeterminar_valores_a_muestrear == 0)

while(n <= length(val_exp_in.time))

t_aper(i) = val_exp_in.time(n);

i = i+1;

n = n + 1 + round((maxima_perdida_de_muestras)*rand);

end

end

if(predeterminar_valores_a_muestrear == 1)

l = 1;

n = muestras_a_tomar(l);

while(n <= length(val_exp_in.time) && l <= length(muestras_a_tomar))

t_aper(i) = val_exp_in.time(n);

i = i+1;

l = l+1;

if(l <= length(muestras_a_tomar))

n = muestras_a_tomar(l);

end

end

end

t_de_muest_aper = t_aper(1:i-1);

valores_muest_aper_in = zeros(1,i-1);

valores_muest_aper_out_H = zeros(1,i-1);

valores_muest_aper_out_W = zeros(1,i-1);

l = 1;

n = 1;

% Obtención de las señales muestreadas aperiódicamente

65

ANEXOS

while (n <= length(val_exp_in.time))

while((l <= length(t_de_muest_aper))&&(t_de_muest_aper(l)== val_exp_in.time(n)))

valores_muest_aper_in(l) = val_exp_in.signals.values(n);

valores_muest_aper_out_H(l) = val_exp_out.signals.values(n);

valores_muest_aper_out_W(l) = val_exp_out1.signals.values(n);

n = n + 1;

l = l + 1;

end

n = n+1;

end

end

% Obtención de la información del sistema cuando no se requiere simulación

if(simular == 0)

t_de_muest_aper = instantes_de_muestreo;

valores_muest_aper_in = entrada_medida;

valores_muest_aper_out_H = salida_medida;

valores_muest_aper_out_W = salida_medida;

end

% Estimador de T de muestreo cte

mul1 = 1;

b = 0;

k = 1;

while(k <= length(t_de_muest_aper) && b == 0 )

M = t_de_muest_aper(k)

i = 1;

x = 0;

while(i<=12 && x == 0)

m1 = M*10^(i-1)

if(round(m1)==m1)

66

ANEXOS

mul = 10^(i-1);

mul1 = max(mul1,mul);

x = 1;

elseif( i == 12 )

mul1 = 10^11;

b = 1;

end

i = i + 1;

end

k = k + 1;

end

dt = round(t_de_muest_aper*mul1);

if(dt(1)==0)

mcd = dt(2);

n = 3;

end

if(dt(1)~=0)

mcd = dt(1);

n = 2;

end

for i=n:1:length(dt)

mcd = gcd(mcd,dt(i));

end

MCD = mcd/mul1;

T_de_muest_calculado = MCD

t_de_muest_aper = round(t_de_muest_aper,11);

aaT = T_de_muest_real-T_de_muest_calculado;

67

ANEXOS

% Determinación de instantes donde no se produjo el muestreo

m = 1;

vect_T_cte = zeros(1,ceil(t_de_muest_aper(end)/MCD)+1);

for i=1:1:ceil(t_de_muest_aper(end)/MCD)+1

x = 0;

l = i-1;

n = round(l*(MCD),11);

if((m <= length(t_de_muest_aper))&&(abs(t_de_muest_aper(m)-n)<0.0000001*MCD))

vect_T_cte(i) = t_de_muest_aper(m);

m = m + 1;

x = 1;

end

if(x == 0)

vect_T_cte(i) = n;

end

end

acantidad_de_datos_para_misdata =

round(length(val_exp_in.time)*T_de_muest_real/T_de_muest_calculado)

% Reemplazo de datos faltantes por NaN

vect_in_T_cte = zeros(1,length(vect_T_cte));

vect_out_T_cte_H = zeros(1,length(vect_T_cte));

vect_out_T_cte_W = zeros(1,length(vect_T_cte));

i = 1;

n = 1;

l = 1;

x =0;

while(i <= length(vect_T_cte)&& x==0)

while((i <= length(vect_T_cte)) && (n <= length(t_de_muest_aper))...

68

ANEXOS

&& (vect_T_cte(i) == t_de_muest_aper(n)))

vect_in_T_cte(i) = valores_muest_aper_in(n);

vect_out_T_cte_H(i) = valores_muest_aper_out_H(n);

vect_out_T_cte_W(i) = valores_muest_aper_out_W(n);

l = l + 1;

i = i + 1;

n = n + 1;

end

if(n == length(t_de_muest_aper)+1)

x = 1;

end

while((n > 1) && (x==0) && (i <= length(vect_T_cte)) && (vect_T_cte(i) ~= t_de_muest_aper(n)))

vect_in_T_cte(i) = NaN;

vect_out_T_cte_H(i) = NaN;

vect_out_T_cte_W(i) = NaN;

i = i + 1;

end

while((n == 1) && (x==0) && (vect_T_cte(i) ~= t_de_muest_aper(n)))

vect_in_T_cte(i)=NaN;

vect_out_T_cte_H(i)=NaN;

vect_out_T_cte_W(i)=NaN;

i = i + 1;

end

end

% Estimación de las señales de entrada y salida

if(acantidad_de_datos_para_misdata<=15000)% esto es opcional, pero si misdata recibe un número de datos

excesivo existe el riesgo de demora en los cálculos

if(simular == 1)

dataHin = iddata(vect_in_T_cte',[],MCD,'Tstart',0);

69

ANEXOS

datahin1 = misdata(dataHin,5,1);

dataH = iddata(vect_out_T_cte_H',datahin1.OutputData,MCD,'Intersample','foh','Tstart',0);

get(dataH);

d = misdata(dataH,5,1);

d1 = detrend(d,0);

% los intervalos de estimación y validación pueden ser modificados

d_est_H = d1(1:ceil(70/100*length(d.Inputdata))-1);

d_val_H = d1(ceil(70/100*length(d.Inputdata))-1:length(d.Inputdata));

dataWin = dataHin;

datawin1 = datahin1;

dataW = iddata(vect_out_T_cte_W',datawin1.OutputData,MCD,'Intersample','foh','Tstart',0);

get(dataW);

d2 = misdata(dataW,5,1);

d3 = detrend(d2,0);

d_est_W = d3(1:ceil(70/100*length(d2.Inputdata))-1);

d_val_W = d3(ceil(70/100*length(d2.Inputdata))-1:length(d2.Inputdata));

end

if(simular == 0)

dataHin = iddata(vect_in_T_cte',[],MCD,'Tstart',0);

datahin1 = misdata(dataHin,5,1);

dataH = iddata(vect_out_T_cte_H',datahin1.OutputData,MCD,'Intersample','foh','Tstart',0);

get(dataH);

d = misdata(dataH,5,1);

d1 = detrend(d,0);

d_est_H = d1(1:ceil(70/100*length(d.Inputdata))-1);

d_val_H = d1(ceil(70/100*length(d.Inputdata))-1:length(d.Inputdata));

dataWin = dataHin;

datawin1 = datahin1;

dataW = dataH;

70

ANEXOS

get(dataW);

d2 = d;

d3 = d1;

d_est_W = d_est_H;

d_val_W = d_val_H;

end

% Obtención de modelos

m1 = nlhw(d_est_H,[nb nf nk],sigmoidnet('NumberOfUnits',8),'unitgain');

m2 = nlhw(d_est_H,[nb nf nk],pwlinear('NumberOfUnits',4),'unitgain');

m3 = nlhw(d_est_H,[nb nf nk],'deadzone','unitgain');

m4 = pem(d_est_H,m1,'MaxIter',30);



m7 = nlhw(d_est_H,[nb nf nk],sigmoidnet('num',13),'unitgain');


m9 = nlhw(d_est_H,[nb nf nk],pwlinear('num',13),'unitgain');


[YH, FIT, X0] = compare(d_val_H,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10)

porciento_de_la_salida_medida_que_es_explicado_por_el_modelo_H =

max(FIT{1,1},max(FIT{2,1},max(FIT{3,1},max(FIT{4,1},...

max(FIT{5,1},max(FIT{6,1},max(FIT{7,1},max(FIT{8,1},max(FIT{9,1},FIT{10,1})))))))));

if (porciento_de_la_salida_medida_que_es_explicado_por_el_modelo_H == FIT{1,1})

modelo_H = m1;

end


modelo_H = m2;

end

71

ANEXOS


modelo_H = m3;

end


modelo_H = m4;

end


modelo_H = m5;

end


modelo_H = m6;

end


modelo_H = m7;

end


modelo_H = m8;

end


modelo_H = m9;

end


modelo_H = m10;

end

m1 = nlhw(d_est_W,[nb nf nk],'unitgain',sigmoidnet('NumberOfUnits',8));

m2 = nlhw(d_est_W,[nb nf nk],'unitgain',pwlinear('NumberOfUnits',4));

m3 = nlhw(d_est_W,[nb nf nk],'unitgain','deadzone');

m4 = pem(d_est_W,m1,'MaxIter',30);

72

ANEXOS



m7 = nlhw(d_est_W,[nb nf nk],'unitgain',sigmoidnet('num',13));


m9 = nlhw(d_est_W,[nb nf nk],'unitgain',pwlinear('num',13));


[YH, FIT, X0] = compare(d_val_W,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10)

porciento_de_la_salida_medida_que_es_explicado_por_el_modelo_W =

max(FIT{1,1},max(FIT{2,1},max(FIT{3,1},max(FIT{4,1},...

max(FIT{5,1},max(FIT{6,1},max(FIT{7,1},max(FIT{8,1},max(FIT{9,1},FIT{10,1})))))))));

if (porciento_de_la_salida_medida_que_es_explicado_por_el_modelo_W == FIT{1,1})

modelo_W = m1;

end


modelo_W = m2;

end


modelo_W = m3;

end


modelo_W = m4;

end


modelo_W = m5;

end


modelo_W = m6;

73

ANEXOS

end


modelo_W = m7;

end


modelo_W = m8;

end


modelo_W = m9;

end


modelo_W = m10;

end

% FIGURAS DE COMPROBACIÓN DE RESULTADOS

if(simular==1)

modelo_sys_Hammerstein = modelo_H;

figure(1)

plot(val_exp_in.time,val_exp_in.signals.values,'red');

hold on

plot(dataHin.SamplingInstants,dataHin.OutputData,'blue');

legend('Entrada simulada (rojo) y entrada diezmada (azul)','Location','NorthOutside');

figure(2)

plot(val_exp_in.time,val_exp_in.signals.values,'red');

hold on

plot(dataH.SamplingInstants,dataH.InputData,'blue');

legend('Entrada simulada (rojo) y entrada estimada (azul)','Location','NorthOutside');

figure(3)

plot(val_exp_out.time,val_exp_out.signals.values,'red');

hold on

74

ANEXOS

plot(dataH.SamplingInstants,dataH.OutputData,'blue');

legend('Salida simulada (rojo) y salida diezmada (azul) sistema Hammerstein','Location','NorthOutside');

figure(4)

plot(val_exp_out.time,val_exp_out.signals.values,'red');

hold on

plot(d.SamplingInstants,d.OutputData,'blue');

legend('Salida simulada (rojo) y salida estimada (azul) sistema Hammerstein','Location','NorthOutside');

modelo_sys_Wiener = modelo_W;

figure(5)

plot(val_exp_out1.time,val_exp_out1.signals.values,'red');

hold on

plot(dataW.SamplingInstants,dataW.OutputData,'blue');

legend('Salida simulada (rojo) y salida diezmada (azul) sistema Wiener','Location','NorthOutside');

figure(6)

plot(val_exp_out1.time,val_exp_out1.signals.values,'red');

hold on

plot(d2.SamplingInstants,d2.OutputData,'blue');

legend('Salida simulada (rojo) y salida estimada (azul) sistema Wiener','Location','NorthOutside');

dif = dataHin.SamplingInstants-val_exp_in.time(1:length(dataHin.OutputData));

end

figure(7)

sys = tf(numd,dend);

l = fft(entrada_aleatoria.signals.values);

n = 1:1:length(entrada_aleatoria.signals.values);

m = (2*pi/(T_de_muest_real))*(n/length(entrada_aleatoria.signals.values));

plot(m,abs(l));

legend('Espectro de la seÃ±al de entrada vs la frecuencia en rad/s','Location','NorthOutside');

75

ANEXOS

plot(modelo_sys_Hammerstein)

compare(d_val_H,modelo_sys_Hammerstein);

get(modelo_sys_Hammerstein)

plot(modelo_sys_Wiener)

compare(d_val_W,modelo_sys_Wiener);

get(modelo_sys_Wiener)

else

sobrecarga_de_misdata = 1 % en caso de detectarse un exceso de datos a procesar por misdata, esta variable

lo indicará

end

76

Identificación no lineal de un sistema con zona muerta severa

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