1.Identidades Pitagoricas. 1.1. 122 CosSen ; de donde:

1.2. 222 11 CosSenCosSen

1.3. 222 11 SenCosSenCos

1.4. 221 SecTg ; 1.5. 221 CscCtg

2.Identidades de Cociente.

2.1.

CosSenTg ; 2.2.

SenCosCtg

Identidades Trigonométricas

3.Identidades Reciprocas.

SenCscCscSen 11..1.3

CosSecSecCos 11..2.3

TgCtgCtgTg 11..3.3

4.Identidades Adicionales.

CosSenCscSecCtgTg

.1..1.4

CosCosSen 11.2.4 2 ; SenSenCos 11.3.4 2

CosSenCosSen .21.4.4

CosSenCosSenCosSen .211.5.4

TgSecCtgSec

1.6.4

Identidades Trigonométricas: Es una igualdad que relaciona funciones trigonométricas de uno o más arcos, que se verifica para cualquier valor que se asigne a estos arcos y que no figuren logaritmos ni exponenciales.

5.Identidades Auxiliares.

CosxSenxCosxSenxxCosxSen .1.1.5 33

xCosxSenxCosxSen 2244 .21.2.5 xCosxSenxCosxSen 2266 .31.3.5

xCosxSenxCosxSenxCosxSen 442288 .2.41.4.5 xCosxSenxCosxSenxCosxSen 44221010 .5.51.5.5

xCosxSenxCosxSenxCosxSenxCosxSen 6644221212 .2.9.61.6.5 xCosxSenxCosxSenxCosxSenxCosxSen 6644221414 .7.14.71.7.5

CscxSecxCtgxTgx ..8.5

xCscxSecxCscxSec 2222 ..9.5 12.10.5 244 xSenxCosxSen

SenxCosx

CosxSenx

11

.11.5

CosxSenx

SenxCosx

11

.12.5

SenxCosxCosxSenx 21).(13.5 2

SenxCosxCosxSenx 21).(14.5 2

xSenxCosxCosxSen 2424.15.5

xxTgSecxTgxSec 2244 21.16.5

xxTgSecxTgxSec 2266 31.17.5

2.18.5 22 CosxSenxCosxSenx

4.18.5 22 CtgxTgxCtgxTgx

CosxSenxCosxSenx 1121.19.5 2

CosxSenxCosxSenx 1121.20.5 2

xxCtgCscxCtgxCsc 2244 21.21.5

xxCtgCscxCtgxCsc 2266 31.22.5

xTgxSecxxTgSecxTgxSec 442288 .241..23.5

xCtgxCscxxCtgCscxCtgxCsc 442288 .241..24.5

Identidades Trigonométricas Auxiliares

1. Verificación de Identidades: 1.1. Para demostrar identidades será necesario trabajar sólo con uno de los miembros, de preferencia el más complejo. 1.2. Transformar el miembro escogido en términos de Seno y Coseno. 1.3.Hacer uso de productos notables algebraicos. 1.4.Cuando haya términos repetidos, puede ser útil factorizar. 1.5.Si hubiera productos indicados, desarrollarlos y simplificar hasta donde sea posible. 1.6.Hacer uso de identidades fundamentales y auxiliares.

2. Problemas de Simplificación: 2.1.En este tipo de aplicaciones de lo que se trata es de reducir al máximo la expresión con ayuda de las identidades fundamentales o las auxiliares. 2.2.Aplicar lo aprendido en las demostraciones anteriores.

Consideraciones para Resolver Problemas con Identidades

3. Problemas Condicionales: 3.1.Dada una condición, de lo que se trata ahora es de calcular o de reducir una expresión trigonométrica específica. 3.2.Para este tipo de problemas, se puede trabajar indistintamente con el dato, así como con la expresión a determinarse. 3.3.También se puede expresar la ecuación condicional en términos de la ecuación que se quiere hallar o viceversa.

4. Eliminación de Ángulos: 4.1. Cuando se Elimina un solo Arco: En este caso se necesitan dos condiciones y como éstas son ecuaciones trigonométricas, de cada condición se obtiene una función trigonométrica que junto con los valores que estas generan, se reemplazan en la identidad fundamental más conveniente. Si se tuviese que trabajar simultáneamente con ambas condiciones, expresarlas en términos de Seno y Coseno para realizar luego con ellas la operación más conveniente, de tal manera que se elimine el arco que permita hallar una función trigonométrica que junto con los valores que de ésta se calculen, sean reemplazados en una de dichas condiciones. 4.2. Cuando se Eliminan dos Arcos: En este caso se necesitan tres condiciones, tales que se relacionen dichos arcos. De la combinación de dos de ellas, se trata en lo posible de calcular las funciones trigonométricas de dichos arcos, los cuales se reemplazan adecuadamente en la tercera condición. Recordar que para eliminar arcos, se necesita siempre una condición más que el número de arcos a eliminarse. Eliminar ángulos implica, determinar una relación algebraica independiente de toda función trigonométrica, que se obtiene a partir de las relaciones dadas.

2.Fórmulas Fundamentales: 2.1. Sen(x y) =Sen x .Cos y Cos x .Sen y 2.2. Cos(x y) = Cos x .Cos y Sen x .Sen y

2.3. TgyTgxTgyTgxyxTg.1

)(

2.4. CtgxCtgy

CtgyCtgxyxCtg

1.)(

Suma y Diferencia de Ángulos

3.Fórmulas Auxiliares: 3.1. Sen(x +y).Sen(x – y) = xSen2 – ySen2 = yCos2 – xCos2 3.2. Cos(x +y).Cos(x – y) = xCos2 – ySen2 = yCos2 – xSen2 3.3. Sen(x +y).Cos(x – y) = Sen x .Cos x + Sen y .Cos y 3.4. Sen(x – y).Cos(x +y) = Sen x .Cos x – Sen y .Cos y

3.5. TgyTgxTgyTgx

yxSenyxSen

)()(

3.6. TgyTgxTgyTgx

yxCosyxCos

.1

.1)()(

3.7. CosySenyCosxSenxySenxSenyxTg..

22)(

3.8. CosySenyCosxSenxySenxSenyxTg..

22)(

3.9. CosyCosx

yxSenTgyTgx.

)(

3.10. SenySenx

xySenCtgyCtgx.

)(

1.Suma y Diferencia de Ángulos: Cuando un ángulo está formado por la suma algebraica de dos o más se denomina ángulo compuesto; así A + B o A – B

Suma y Diferencia de Ángulos

2.Fórmulas Adicionales: 2.1.. Si: A = a Sen x + b Cos x; a b R, x es variable, se cumple:

máxA = 22 ba mínA = 22 ba También: a Sen x + b Cos x = 22 ba Sen(x + )

donde: 22 ba

bSen

22 ba

aCos

2.2. Si x + y + z = 180° 2.2.1. Tg x + Tg y + Tg z = Tg x . Tg y .Tg z 2.2.2. Ctg x .Ctg y + Ctg y .Ctg z + Ctg x .Ctg z = 1

2.3. Si x + y + z = 90° 2.3.1. Tg x .Tg y + Tg y . Tg z + Tg x .Tg z = 1 2.3.2. Ctg x + Ctg y + Ctg z = Ctg x .Ctg y .Ctg z

2.4. Funciones Trigonométricas de Ángulos Negativos 2.4.1. Sen (–x) = –Sen (x) Ctg (–x) = –Ctg (x) 2.4.2. Cos (–x) = Cos (x) Sec (–x) = Sec (x) 2.4.3. Tg (–x) = –Tg (x) Csc (–x) = –Csc (x)

1. Fórmulas Auxiliares:

1.1. CosySenx

yxCosTgyCtgx.

)( ; 1.2.

CosySenxyxCosTgyCtgx

.)(

1.3. y)(xTgx.Tgy.TgTgyTgxy)Tg(x 1.4. )45(.2 xSenCosxSenx 1.5. )30(.2.3 xSenCosxSenx 1.6. )60(.2.3 xSenCosxSenx

1.7. Sen(x+y+z)=Senx.Cosy.Cosz+Seny.Cosx.Cosz+Senz.Cosx.Cosy–Senx.Sen y .Sen z 1.8. Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz–Cosx.Seny.Senz–Cosy.Senx.Senz–Cos z .Sen x .Sen y 1.9. Sen(x + y + z) = Cos x .Cos y .Cos z (Tg x + Tg y + Tg z – Tg x .Tg y .Tg z) 1.10. Cos(x + y + z) = Sen x .Sen y .Sen z (Ctg x .Ctg y .tg z – CTg x – Ctg y – Ctg z)

1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Doble: 1.1.Sen2 = 2SenCos 1.2. Cos2 = Cos2 - Sen2 1.3. Cos2 = 1 – 2Sen2 1.4. Cos2= 2Cos2 - 1 1.5. Tg2 =

2Tg1

Tg2 ; 1.6. Ctg2 =

Ctg21Ctg 2

Ángulo Duplo

2.Relaciones Auxiliares: Relacionando “Tg2” con un triángulo rectángulo obtenemos:

1 + Tg2

1 - Tg2

2Tg

2

2

2 112).;

122).

TgTgCosb

TgTgSena

c). 8 xSen4 = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x ; d). 8 xCos4 = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x

e). 4

4344 xCosxCosxSen ; f).

843566 xCosxCosxSen

g). Ctg x + Tg x = 2 Csc 2x ; h). Ctg x – Tg x = 2 Ctg 2x i). Tg x = Csc 2x – Ctg 2x ; j). Ctg x = Csc 2x + Ctg 2x 3.Observaciones: 3.1. Primera:

Sen

SenCosCosCosCos n

nn

)1(

)1(

222...42

3.2. Segunda:

8435

.2.2.3;4

43.1.2.3 6644

CosCosSenCosCosSen

3.3. Tercera: 2222 CtgTgCtgCscCtgTg

1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple: 1). xSenSenxxSen 3433 2). CosxxCosxCos 343 3

3). xTg

xTgxTgxTg 2

3

3133

4)13

33 2

3

xCtg

xCtgxCtgxCtg

2.Relaciones Auxiliares: 1). )122(3 xCosSenxxSen 2). )122(3 xCosCosxxCos

3)

122122.3

xCosxCosTgxxTg

4). )º60().º60(.43 xSenxSenSenxxSen 5). )º60().º60(.43 xCosxCosCosxxCos 6). )º60().º60(.3 xTgxTgTgxxTg 7). )º60().º60(.3 xCtgxCtgCtgxxCtg

Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple

1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple:

1) 2Cosx1

2xSen

; 2) 2Cosx1

2xCos

3) Cosx1Cosx1

2xTg

; 4) Cosx1Cosx1

2xCtg

1) 2x2SenCosx1 2 ; 2)

2x2CosCosx1 2 ; 3) CtgxCscx

2xTg

4) CtgxCscx2xCtg ; 5)

2xTg =

xSenxCos1

; 6) 2xTg =

xCos1xSen

7) 2xCtg =

xSenxCos1

; 8) 2xCtg =

xCos1xSen

2.Relaciones Auxiliares:

1) 2xSen +

2xCos = xSen1 ; 2)

2xSen –

2xCos = xSen1

3)

n2x2Sen = xCos22222 ; Para x

2π;0

4)

n2x2Cos = xCos22222 ; Para x

2π;0

En las fórmulas 11 y 12 se obtienen “n” radicales

5) Caso Particular:

n22π

2Sen =2πCos22222

14)

1n2π2Sen = 2222 ; n radicales

15)

1n2π2Cos = 2222 ; n radicales

Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple

1.Transformaciones de Suma o Diferencia a Producto (A>B). Existe la necesidad de convertir expresiones en factores, con la finalidad de simplificar ecuaciones algebraicas. Para ello deberán utilizarse procedimientos algebraicos de la factorización a las funciones trigonométricas. También es conveniente deducir las conversiones de productos en sumas o diferencias, pues muchas veces se tendrá que reagrupar términos par volverlos a factorizar. 2.Relaciones Fundamentales:

1).

2

.2

2 BACosBASenSenBSenA

2

.2

2 BASenBACosSenBSenA

2

.2

2 BACosBACosCosBCosA

2

.2

2 BASenBASenCosBCosA

3.Transformaciones de Producto a Suma o Diferencia (A>B). 1. BASenBASenCosBSenA .2 2. BASenBASenCosASenB .2 3. BACosBACosCosBCosA .2 4. - BACosBACosSenBSenA .2

5. CosBSenB

CosASenATgBTgA

6. CosBSenB

CosASenATgBTgA

7. CosBCosA

SenBCosACosBSenATgBTgA.

..

8. CosBCosA

SenBCosACosBSenATgBTgA.

..

9. CosBCosA

BASenTgBTgACosBCosA

BASenTgBTgA.

.10;.

Transformaciones Trigonométricas