I. S. F.D. y T. Nº 103 –Cuadernillo de ingreso · clases destinaremos un tiempo para hacer...

2018

I. S. F.D. y T. Nº 103 –

Cuadernillo de ingreso Departamento de Matemática y Ciencias

Naturales

ISFD y T 103

I. S. F.D. y T. Nº 103 –Cuadernillo de ingreso – Departamento de Matemática y C. Naturales 2018

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Índice

Introducción ............................................................................................................................................... 2

Biología ...................................................................................................................................................... 3

Física ........................................................................................................................................................ 24

Química .................................................................................................................................................... 42

Matemática .............................................................................................................................................. 59


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INTRODUCCIÓN

Queremos darle la bienvenida a nuestro instituto. Nos alegra que hayan elegido

estudiar para ser futuros docentes, hermosa profesión que exige esfuerzo y

compromiso pero brinda grandes satisfacciones. Los docentes de las carreras de

Matemática , Física , Química y Biología, hemos preparado este cuadernillo que

contiene textos y actividades. Lo ideal es que lo resuelvan antes de comenzar el ciclo

lectivo. Si encuentran dificultades para resolverlas, no se desanimen, al comenzar las

clases destinaremos un tiempo para hacer aclaraciones y despejar dudas. Cualquier

consulta, pueden dirigirse a la jefa de área o a los coordinadores de las carreras.

Recuerden consultar periódicamente la página del Instituto:

https://isfd103-bue.infd.edu.ar/sitio/.

Este cuadernillo fue confeccionado con los aportes realizados por los profesores

Evelina Naveyra, Mario Capristo, Luis Pérez Varela, Miguel Trulos, Claudia Barcala,

Mariela Chamorro, Julio Sarasúa, Fabián Díaz, Julio Brisuela y Pablo Aldorino.

Nuevamente les damos la bienvenida y los esperamos con mucho entusiasmo.

https://isfd103-bue.infd.edu.ar/sitio/


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BIOLOGÍA

APUNTE Nº 1

Cuando se inicia un estudio de nivel superior, no sólo es fundamental sentir empatía con el tema central de la

carrera, sino también conocer sus bases, aquello que lo fundamenta y le da sentido.

La palabra BIOLOGÍA significa, según sus raíces griegas, el estudio de la vida (bio=vida; logos=estudio o

tratado). La palabra vida, que es tan corriente en nuestro hablar cotidiano, para la ciencia, sin embargo,

significó un proceso complejo de conceptualización.

Actividad Nº 1 – Lectura comprensiva

¿QUÉ ES LA VIDA? – Curtis y Barnes, Biología, Ed. Médica Panamericana, 2006, pag. 12,13

¿Qué es lo que queremos decir cuando hablamos de “la evolución de la vida” o “la vida en otros planetas” o “cuándo

comenzó la vida”? En realidad, no hay una definición simple acerca de qué es la vida. La vida no existe en abstracto. No

hay vida, sino seres vivos. Más aún, no hay una manera sencilla y única de trazar una línea demarcatoria entre lo vivo y lo

no vivo.

Toda persona, aunque se encuentre desprovista de una cultura científica, es capaz de reconocer cierto rasgo común que

permite reunir bajo la noción de “ser vivo” a un hombre, un insecto y una planta, entre otros, y diferenciarlos de lo no vivo.

Pero, ¿cuál es el rasgo común que pertenece sólo al mundo viviente? Aunque reconocible, ese rasgo, es, en principio,

difícil de definir. A medida que avancemos veremos que los seres vivos comparten múltiples características.

A lo largo de la historia siempre se ha discutido qué significa “estar vivo”. Hasta hace bastante poco tiempo, unos 200 años,

muchos biólogos prominentes creían que los sistemas vivos son esencialmente diferentes de los sistemas no vivos, y que

los primeros contienen dentro de sí un “espíritu vital” que los capacita para desempeñar actividades que no pueden ser

llevadas a cabo fuera de un organismo vivo. Este concepto se conoce como vitalismo, y a quienes lo proponían, como

vitalistas.

En el siglo XVII, los vitalistas tuvieron oposición por parte de un grupo conocido como mecanicistas. Este grupo

consideraba a la vida como algo muy especial, pero no fundamentalmente distinto de los sistemas del mundo inanimado. El

filósofo francés René Descartes (1596-1650) fue un destacado defensor de este punto de vista. Los mecanicistas

comenzaron mostrando que el cuerpo trabaja esencialmente de la misma manera que una máquina; los brazos y las

piernas se mueven como palancas, el corazón como una bomba, los pulmones como fuelles y el estómago como un

mortero con su mano. Estos modelos mecánicos, simples eran de gran utilidad para la comprensión del funcionamiento del

cuerpo animal.

En el siglo XIX, el debate acerca de las características distintivas de los sistemas vivos había progresado más allá.

Entonces el argumento se centró en si la química de los organismos vivos está gobernada o no por los mismos principios

que la química realizada en el laboratorio. Los vitalistas sostenían que las operaciones químicas llevadas a cabo por los

tejidos vivos no podían desarrollarse experimentalmente en el laboratorio, y clasificaban a las reacciones en dos

categorías: “químicas” y “vitales”. Sus opositores, conocidos también como reduccionistas (dado que creían que las

operaciones complejas de los sistemas vivos podían reducirse a otras más simples y más fácilmente comprensibles),

lograron una victoria parcial cuando el químico alemán Friedrich Wölher (1800-1882) convirtió una sustancia “inorgánica”, el

cianato de amonio, en una sustancia conocida presente en los seres vivos, la urea. Por otra parte, los alegatos de los

vitalistas estaban apoyados por el hecho de que, a medida que el conocimiento químico mejoraba, en los tejidos vivos se


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encontraban muchos compuestos nuevos que nunca habían sido vistos en el mundo no vivo o inorgánico. A fines del siglo

XIX el principal vitalista era Louis Pasteur, quien sostenía que los cambios que tenían lugar cuando el jugo de fruta se

transformaba en vino eran “vitales” y podían ser llevados a cabo sólo por células vivas, las células de levadura. A pesar de

los muchos avances que se produjeron en la química, esta etapa de la controversia duró hasta casi terminar el siglo. En

1898, los químicos alemanes Edward y Hans Buchner mostraron que una sustancia extraída de las levaduras podía

producir fermentación fuera de la célula viva. A esta sustancia se le dio el nombre de enzima, derivado de zyme, palabra

griega que significa “levadura” o “fermento”. Así, se demostró que una reacción vital era una reacción química, y el asunto

fue finalmente dejado de lado. En la actualidad se acepta generalmente que los sistemas vivos “obedecen” a las leyes de la

química y de la física, y los biólogos modernos ya no creen en un “principio vital”.

a) Marcar en el texto las palabras cuyo significado se desconoce y buscarlas en el diccionario.

b) A partir de la lectura, responder: ¿Los conocimientos científicos son “verdades absolutas”? ¿Por qué?

c) Compartir las elaboraciones con el resto de la clase para su debate.

CONTENIDOS

Unidad 1- Los procesos biológicos de los organismos: Definición de vida. Características de los seres vivos. La

biodiversidad como un proceso de cambio y evolución. Especiación. Niveles de organización de la materia.

Clasificación actual: historia, taxonomía, clasificación en reinos y dominios. Los patrones generales de

organización y funcionamiento en plantas y animales del entorno local y regional. Los seres vivos en los

diferentes ambientes: adaptaciones estructurales y funcionales. Interpretación de hechos a partir de modelos.

Unidad 2- La célula: Teoría celular, postulados, historia. Niveles de organización de la materia: nivel celular.

Modelo celular: membrana plasmática, citoplasma y material genético. Tipos celulares: caracterización de

procariotas y eucariotas. Célula vegetal y célula animal: estructura y función características. Histología vegetal

y animal. Los procesos a nivel celular: metabolismo celular, anabolismo y catabolismo; enzimas, modelo

enzimático, cofactores, vías y regulación. ATP. Fotosíntesis. Glucólisis y respiración celular. Registro organizado

de la información de diferentes fuentes.

Unidad 3- Los ecosistemas: La problemática ecológica como eje organizador de conceptos. Ecosistemas:

definición y componentes; interacciones. Flujo de la energía y reciclado de la materia. Clasificación de

ecosistemas. Adaptaciones de los seres vivos según el tipo de ecosistema. Dinámica de los ecosistemas.

Relaciones tróficas. Ecosistemas de la región. La contaminación por diversos agentes; su acción sobre la salud

del hombre y del ambiente. Diseño de investigaciones.

Unidad 1

- Audesirk, T. y otros, Biología: La vida en la Tierra, 8º ed., Pearson Educación, México, 2008.

(Cap 1; Unidad 3 – cap. 18, 21, 23, 24)

- Campbell, Neil; Reece, Jane, Biología, 6º ed., Ed. Médica Panamericana, Madrid, España, 2006.

(Unidad 6 - cap. 35; Unidad 7- cap. 40)

- Curtis, Helena; Barnes, Sue, Biología, 6º ed., Ed. Médica Panamericana, Madrid, España, 2006. (Introducción)


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- Darwin, Charles, El origen de las especies, Universidad Veracruzana, México, 2008. (Cap. III)

- Foguelman, Dina; González Urda, Elizabeth, Biodiversidad, poblaciones y conservación de recursos vivos, CONICET,

Ministerio de Cultura y Educación de la Nación, 1995. (Cap. I)

- Sagan, Carl, El cerebro de Broca, Ediciones Grijalbo, Barcelona, España, 1981. (Cap. 12)

Unidad 2

- Audesirk, T. y otros, Biología: La vida en la Tierra, 8º ed., Pearson Educación, México, 2008. (Unidad 1- cap. 4)

- Campbell, Neil; Reece, Jane, Biología, 6º ed., Ed. Médica Panamericana, Madrid, España, 2007. (Unidad 2)

- Curtis, Helena; Barnes, Sue, Biología, 6º ed., Ed. Médica Panamericana, Madrid, España, 2006. (Sección 1 – Cap. 4 y 5)

(Sección 2 – Cap. 7, 8, 9)

- Lodish Harvey et al, Biología Molecular de la Célula, 5º ed., Ed. Médica Panamericana, Madrid, España, 2005. (Cap. II,

V)

- Facultad de Cs. Médicas – U.N.L.P., Admisibilidad a la Carrera de Medicina, guía de ejercicios, Edulp, La Plata. 2005.

- www.asturnatura.com

Unidad 3

- Curtis y Barnes, Biología, 6º ed., Ed. Médica Panamericana, Madrid, España, 2006. (Sección 8 – Cap. 54, 55)

- Sutton, David., Fundamentos de ecología, Limusa, México, 2006. (Parte I – Cap. 1) (Parte V – Cap. 11, 12)

- Campbell, Neil; Reece, Jane, Biología, 6º ed., Ed. Médica Panamericana, Madrid, España, 2007. (Unidad 8 – cap. 50)

Observación: se podrá utilizar como material de consulta cualquier libro de biología de nivel medio avanzado o del nivel

superior que presente los contenidos propuestos en el presente proyecto pedagógico.

“¿Qué es la vida? Si consultamos la palabra vida en un diccionario, encontraríamos definiciones como “la

cualidad que distingue a un ser vital y funcional, de un cuerpo inerte”; pero no sabríamos en qué consiste tal

“cualidad”. La cualidad de la vida surge como resultado de las increíblemente complejas interacciones

ordenadas entre moléculas no vivas. “... (Audesirk, 2008)

CARACTERÍSTICAS DE LOS SERES VIVOS

Como hemos visto, es imposible definir la vida por la variedad de enfoques tanto científicos como religiosos y

filosóficos que encierra este simple vocablo. Por esta razón es que en el mundo científico se llega al acuerdo

de no definir la vida, sino a los que tienen vida, es decir, a los seres vivos.

Para ello, se especifican siete características que los definen como tales:

a) intercambian materia y energía con el ambiente (MATERIA: todo lo que tiene peso y volumen; ENERGÍA: es

una propiedad asociada a los objetos y sustancias y se manifiesta en las transformaciones, acciones y/o

movimientos que ocurren en la naturaleza)

b) están formados por células (CÉLULA: es la unidad anatómica –forma- y fisiológica –función- de todos los

seres vivos)


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c) mantienen constante su medio interno (El MEDIO INTERNO es un concepto definido por Claude Bernard a finales del siglo XIX, para indicar el medio hidrosalino de un organismo, con sus propiedades físico-químicas correspondientes, que riega a todas y cada una de sus células. Este medio hidrosalino presenta unas propiedades físico-químicas que lo caracterizan y que afectan directamente a la supervivencia de las células, -como son: el pH, la temperatura, la presión osmótica, densidad, gases, etc.-; también presenta nutrientes esenciales, productos resultantes del metabolismo celular y señales químicas informativas que suponen un continuo cambio de dichas propiedades, sin olvidarnos de los efectos que sobre las mismas pueda ejercer la influencia del medio ambiente externo al organismo. Está claro que las células viven inmersas en un entorno líquido y que su función celular depende de una estabilidad en sus condiciones físico-químicas externas, por lo que las variables mencionadas anteriormente, deben estar bajo un exhaustivo control, para que se mantengan en un rango de valores aceptables para la supervivencia de las células y sus funciones. Es lo que se conoce como HOMEOSTASIS, término acuñado en 1928 por Walter B. Cannon (1871-1945), y que describe todos los procesos fisiológicos coordinados por medio de los cuales, el medio interno del organismo se mantiene en un estado de equilibrio. d) crecen y se desarrollan (Las células se reproducen para reemplazar a las que mueren; cuando el número de

células nuevas es mayor que el número de las que mueren, se produce un crecimiento. El desarrollo implica

cambios, nuevas funciones, maduración, que acompañan al crecimiento.)

e) perciben estímulos y en función de ellos emiten respuestas (La IRRITABILIDAD es la propiedad de recibir

información –estímulo-, procesarla y generar una respuesta a ese estímulo. Se relaciona directamente con la

homeostasis ya que, al recibir determinada información -por ejemplo, aumento de temperatura- el organismo

puede reaccionar en función de esa información y generar una respuesta acorde -por ejemplo en los seres

humanos transpirar- para mantener el medio interno estable.)

f) tienen capacidad reproductora (Los seres vivos pueden originar otros seres vivos con características

similares. Esta función no es vital para un individuo ya que puede vivir sin reproducirse; sin embargo, se

considera vital para la especie ya que asegura su continuidad y evolución.)

g) tienen una historia evolutiva en común (Todos los seres vivos se han originado a partir de un grupo de

células primordiales que, reaccionando a los cambios del ambiente, se fueron adaptando, sobreviviendo y

dando lugar a las diferentes especies. La ADAPTABILIDAD es un atributo de la especie, no de los individuos, y la

adaptación es el resultado de un largo proceso en el que actúa la selección natural como principal

“modelador” de las poblaciones.)

Los seres vivos están formados por sustancias que también están presentes en la materia no viva, pero

dispuestos en una organización particular. Dicha organización, así como los procesos que caracterizan a los

seres vivos, pueden ser abordados desde una perspectiva de estudio que se basa en el concepto de sistema1.

El alcance de un sistema depende de la mirada de quien decide estudiar como tal a cualquier objeto o recorte

del mundo. Así, los límites de un sistema y, por consiguiente, los componentes que quedan dentro de ellos y

las interacciones que serán examinadas, son definidos por el investigador. Según sean los intercambios entre

el sistema y el medio que lo rodea, podemos distinguir entre sistemas abiertos, que intercambian materia y

energía con el ambiente, y sistemas cerrados, que intercambian solo energía.

Todos los seres vivos pueden ser estudiados como sistemas abiertos y complejos. Abiertos porque

intercambian materia y energía con el entorno; complejos, debido a su particular organización, dirigida por la

información contenida en el material genético. Organización que además implica la existencia de distintos

componentes que interactúan entre sí y con el medio externo, de manera integrada y coordinada.

1 Conjunto de unidades que ordenadamente se relacionan entre sí y contribuyen a un determinado objeto.

http://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Bernard

http://es.wikipedia.org/wiki/Homeostasis

http://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Bradford_Cannon


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ACERCA DEL ORIGEN DE LA VIDA

La mezcla de gases que forma el aire actual se ha desarrollado a lo largo de 4.500 millones de años. La

atmósfera primigenia debió estar compuesta únicamente de emanaciones volcánicas, es decir, vapor de agua,

dióxido de carbono, dióxido de azufre y nitrógeno, sin rastro apenas de oxígeno.

Para lograr la transformación han tenido que desarrollarse una serie de procesos. Uno de ellos fue la

condensación. Al enfriarse, la mayor parte del vapor de agua de origen volcánico se condensó, dando lugar a

los antiguos océanos. También se produjeron reacciones químicas. Parte del dióxido de carbono debió

reaccionar con las rocas de la corteza terrestre para formar carbonatos, algunos de los cuales se disolverían en

los nuevos océanos.

El bioquímico británico J. B. Haldane (1892-1964), en 1929, publicó su teoría que señalaba que la atmósfera

de la Tierra primitiva era reductora, sin oxígeno libre. Esta carencia de O2 significaba que la capa de ozono

aún no se había formado, recordemos que es esta capa la que actualmente filtra las radiaciones

ultravioletas provenientes del Sol, y que fue originada por la actividad fotosintética de organismos vivos,

que no existían en ese momento de la evolución.

Según este autor las radiaciones ultravioletas (UV) proporcionaron la energía necesaria para las uniones

químicas de compuestos orgánicos formados a partir de H2O, CO2 y NH3 . Como no existía O2 estos compuestos

no eran destruidos por las UV, como sucedería actualmente, y podían ser almacenados en los mares y océanos

primitivos.

El bioquímico ruso A. I. Oparin en 1924 (1894-1980), había expuesto en una breve monografía, ideas muy

parecidas con respecto al origen de la vida, con sus diferencias con respecto a la fuente de carbono (Haldane

estaba a favor del CO2 –dióxido de carbono- y Oparin del CH4 –metano-).

Pero los trabajos de ambos pasaron sin mucho eco entre la comunidad científica, debido a que gracias a los

experimentos de Pasteur, había sido desechada la teoría de la generación espontánea (que afirmaba que la

vida surgía de la materia inerte: no viviente); y la hipótesis de Oparin y Haldane parecía avalar esta teoría,

pero no era así. Estos investigadores sostenían que la vida podía haber surgido a partir de materia no viviente

solamente en las condiciones de la Tierra primitiva, que incluía además la no competencia con otros seres

vivos. Al aparecer la vida destruyó las condiciones que la hicieron posible.

¿Es necesaria una atmósfera sin oxígeno para que aparezca la vida? Parece ser que sí. Hay dos factores que impiden el

origen de la vida en la Tierra de hoy. Primero, si se formara una sustancia química compleja en la Tierra presente, es

probable que fuera comida por algún animal o planta microscópica. El segundo peligro para la evolución química hoy en

día es el oxígeno de la atmósfera. Así como un pedazo de hierro se enmohece (oxida) si se deja sin protección en nuestra

atmósfera, también las complejas sustancias químicas biológicas necesarias para el origen de la vida se oxidarían si se

dejan solas. La oxidación de estas sustancias químicas las descompone y las inutiliza para la evolución posterior de la vida.

Estos dos investigadores diferían con respecto a las condiciones iniciales que consideraban básicas para la

evolución de la vida, Haldane sostenía que la capacidad para reproducirse y generar descendencia con

características bioquímicas semejantes era la condición fundamental y necesaria para que se dieran los pasos

evolutivos posteriores. Es decir, que para este autor primero apareció el “gen desnudo“, una molécula que

sobrevivió porque pudo producir copias idénticas a sí mismas con los materiales que halló en el medio

circundante.

En cambio, Oparin estaba a favor de la existencia del “coacervado“, una acumulación de gotas en ese caldo

primitivo que podía metabolizar, o sea intercambiar materia y energía con el medio ambiente, y competir con


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otras gotitas para sobrevivir, reuniendo más gotitas o utilizando la energía del caldo orgánico para mantenerse

unidas.

No podemos colocar a estos coacervados como antecesores de las células propiamente dichas, pero si

considerarlos como una etapa bioquímica posible que se dio bajo determinadas condiciones.

Si bien no se sabe cuándo aparecieron las primeras células vivas sobre la Tierra, podemos establecer alguna

suerte de escala temporal. Los fósiles más tempranos encontrados hasta el momento, semejantes a las

bacterias actuales, datan de 3.500 millones de años, alrededor de 1.100 millones de años después de la

formación de la Tierra.

Más tarde, cuando evolucionó la vida primitiva capaz de realizar la fotosíntesis, empezó a producir oxígeno.

Hace unos 570 millones de años, el contenido en oxígeno de la atmósfera y los océanos aumentó lo bastante

como para permitir la existencia de la vida marina. Más tarde, hace unos 400 millones de años, la atmósfera

contenía el oxígeno suficiente para permitir la evolución de animales terrestres capaces de respirar aire.

Las formas actuales representan los resultados finales de diferentes caminos evolutivos a partir de ancestros

primitivos. Los seres vivos se diferencian en cómo obtienen el carbono y la energía para las reacciones

metabólicas; en su dependencia del O2 y su tolerancia a éste; en el tipo de reproducción, sexual o asexual y en

su organización celular.

Para tratar de armar las posibles secuencias evolutivas que originaron las formas actuales se comparan éstas

con las fósiles, también las estrategias de vida de organismos antiguos y recientes, y se completa con el

registro geológico.

Actividad Nº 2 – Lectura comprensiva (Se recomienda una primera lectura “de corrido” y una segunda lectura,

siguiendo la guía de trabajo que se encuentra al final del texto enmarcado)

“EL CEREBRO DE BROCA”, de Carl Sagan – Capítulo 12: VIDA EN EL SISTEMA SOLAR

—A nadie veo en el camino —dijo Alicia.

—Me gustaría tener esos ojos —observó el Rey en

tono malhumorado—. ¡Ser capaz de ver a Nadie! ¡Y

a esa distancia, además! ¡Si esto es lo más que

puedo hacer por ver a la gente de verdad, con esta luz!

LEWIS CARROLL, Alicia a través del espejo


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Hace más de trescientos años, Anton van Leeuwenhoek, de Delft, exploró un nuevo mundo. Con el primer microscopio

pudo observar una infusión de heno y quedó asombrado al comprobar que en ella pululaban pequeños seres:

"El 24 de abril de 1676, cuando observaba por casualidad ese agua, vi en ella, con gran asombro, una cantidad

increíblemente grande de pequeños animálculos de varios tipos; entre otros, unos que eran tres o cuatro veces más largos

que anchos. Su grosor era, a mi juicio, no mucho mayor que uno de los pequeños pelos que cubren el cuerpo de un piojo.

Esos seres tenían unas patas muy cortas y delgadas sobre la cabeza (aunque fui incapaz de reconocer una cabeza, hablo

así de ella por la única razón de que esa parte siempre iba hacia delante al moverse)... Cerca de la parte trasera había un

glóbulo muy claro; y aprecié que la parte más trasera estaba ligeramente partida. Estos animálculos son muy astutos al

moverse y a menudo dan vueltas en redondo"

.

Esos diminutos animálculos no habían sido vistos jamás por ningún ser humano. Y sin embargo, Leeuwenhoek no tuvo

ninguna dificultad en considerarlos seres vivos.

Dos siglos más tarde, Louis Pasteur elaboró a partir del descubrimiento de Leeuwenhoek la teoría de las enfermedades

provocadas por gérmenes y sentó las bases de una gran parte de la medicina moderna. Los objetivos de Leeuwenhoek no

eran prácticos en absoluto, pero sí exploratorios y audaces. Él mismo nunca intuyó las futuras aplicaciones prácticas de su

trabajo.

En mayo de 1974, la Royal Society de Gran Bretaña celebró una reunión para debatir sobre el tema "El reconocimiento de

la vida extraña". La vida en la Tierra se ha desarrollado a través de una progresión lenta, tortuosa y paulatina, conocida con

el nombre de evolución por selección natural. Los factores aleatorios desempeñan un papel crítico en todo ese proceso —

como, por ejemplo, qué gen en qué momento mutará o cambiará por la acción de un fotón ultravioleta o un rayo cósmico

procedente del espacio—. Todos los organismos de la Tierra están exquisitamente adaptados a los caprichos de su

entorno natural. En algún planeta, con distintos factores aleatorios en juego y entornos extremadamente exóticos, la vida

puede haber evolucionado de forma muy distinta. Si, por ejemplo, se hace llegar un vehículo a Marte, ¿seríamos incluso

capaces de reconocer las formas de vida local?

Un tema sobre el que la discusión de la Royal Society hizo mucho hincapié fue que la vida en cualquier lugar podría

reconocerse por su improbabilidad. Pensemos en los árboles, por ejemplo. Los árboles son estructuras largas y flacas que

sobresalen del suelo, más gruesos en la parte baja que en la copa. Es fácil ver que después de milenios de erosión por el

agua y el viento, la mayoría de los árboles deben haber caído. Están en desequilibrio mecánico. Son estructuras

inverosímiles. No todas las estructuras de copa pesada han sido producidas por la biología. Existen, por ejemplo, las rocas

fungiformes de las zonas desérticas. Pero si lo que se observase fuese una gran cantidad de estructuras de copa pesada,

todas con la misma apariencia, deduciríamos lógicamente que tendrían un origen biológico. Como en el caso de los

animálculos de Leeuwenhoek. Existen muchos de ellos, muy parecidos entre sí, de estructuras complejas y, en principio,

muy improbables. Sin haberlos visto nunca antes, intuiríamos con acierto que son biológicos.

Se ha debatido intensamente acerca de la naturaleza y la definición de la vida. Las definiciones más acertadas hacen

referencia al proceso evolutivo. Pero no podemos esperar a llegar a otro planeta y ver si algún objeto de las inmediaciones

está evolucionando. No tenemos tiempo para eso. La búsqueda de la vida debe hacerse desde una óptica mucho más

práctica. Este punto apareció con cierta elegancia en la reunión de la Royal Society, cuando, tras un diálogo caracterizado

por una intensa vaguedad metafísica, se levantó sir Peter Medawar y dijo: "Caballeros, todos los presentes en esta sala

conocen la diferencia entre un caballo vivo y un caballo muerto. Les rogaría, por tanto, que dejásemos de hostigar a este

caballero". Medawar y Leeuwenhoek hubiesen estado completamente de acuerdo.


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Pero, ¿existen árboles o animálculos en otros mundos de nuestro sistema solar? La respuesta es sencilla: nadie lo sabe

todavía. Desde los planetas más cercanos, resultaría imposible detectar fotográficamente la presencia de vida en nuestro

propio planeta. Incluso con las observaciones orbitales más próximas de Marte conseguidas hasta la fecha, desde los

vehículos norteamericanos Mariner 9 y Viking 1 y 2, no se aprecian los detalles superficiales menores de 100 metros de

longitud. Como quiera que incluso los más ardientes entusiastas de la vida extraterrestre no defienden la existencia de

elefantes marcianos de 100 metros de longitud, todavía faltan por realizar muchas pruebas importantes.

Hasta el momento, tan sólo podemos evaluar las condiciones ambientales de los demás planetas, determinar si son tan

duras como para excluir la vida —incluso bajo formas distintas a las que conocemos en la Tierra— y, en el caso de

entornos más benignos, especular tal vez sobre las formas de vida que puedan darse. La única excepción está en los

resultados del aterrizaje de los Viking, comentados brevemente más arriba. Un lugar puede resultar demasiado caluroso o

demasiado frío para la vida. Si las temperaturas son excesivamente elevadas —por ejemplo, varios miles de grados

centígrados—, entonces las moléculas que constituirían el organismo se descompondrían. Así, se ha excluido el Sol como

sede de la vida. Por otra parte, si las temperaturas son excesivamente bajas, entonces las reacciones químicas que

configuran el metabolismo interno del organismo se producirían a una velocidad demasiado baja. Por esa razón, los restos

frígidos de Plutón se han excluido como sede de la vida. Sin embargo, existen reacciones químicas que se producen a

velocidades considerables a temperaturas bajas, pero son poco conocidas en la Tierra, donde a los químicos les disgusta

trabajar en el laboratorio a -230° C. Debemos evitar caer en una visión demasiado chauvinista de la materia.

Los planetas exteriores gigantes del sistema solar, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, se excluyen a veces por razones

biológicas, dado que sus temperaturas son muy bajas. Pero esas temperaturas son las de sus nubes superiores. En las

zonas inferiores de las atmósferas de esos planetas, como en la atmósfera de la Tierra, deberán darse condiciones mucho

más benignas. Y parecen ser ricas en moléculas orgánicas. De ninguna manera pueden excluirse.

Así como los seres humanos necesitamos oxígeno, difícilmente puede recomendarse éste, ya que existen muchos

organismos para los cuales el oxígeno es un veneno. Si no existiese la fina capa protectora de ozono de nuestra atmósfera,

creada a partir del oxígeno por la luz solar, rápidamente quedaríamos achicharrados por la luz ultravioleta procedente del

Sol. Pero, dicho de otra manera, pueden imaginarse fácilmente parasoles ultravioletas o moléculas biológicas

impermeables a la radiación cuasi ultravioleta. Esas consideraciones no hacen sino subrayar nuestra ignorancia.

Una distinción importante con relación a los demás mundos de nuestro sistema solar es el espesor de sus atmósferas. En

ausencia total de atmósfera, resulta muy difícil concebir la vida. Pensamos que, como en la Tierra, en los demás planetas la

biología debe estar presidida por la luz solar. En nuestro planeta, las plantas comen luz solar y los animales comen plantas.

Si todos los organismos de la Tierra se viesen forzados (por una catástrofe inimaginable) a llevar una existencia

subterránea, la vida dejaría de existir en cuanto se agotasen las existencias de alimentos. Las plantas, los organismos

fundamentales de cualquier planeta, deben estar expuestas al Sol. Pero si un planeta no dispone de atmósfera, no sólo la

radiación ultravioleta, sino también los rayos X y los rayos gamma y las partículas cargadas del viento solar se precipitarían

sin obstáculo alguno sobre la superficie planetaria destruyendo las plantas.

Pero, además, se requiere una atmósfera para el intercambio de materiales de forma que no se gasten todas las moléculas

básicas para la biología. En la Tierra, por ejemplo, las plantas verdes liberan oxígeno —un producto de desecho para

ellas— a la atmósfera. Muchos animales que respiran, como por ejemplo los seres humanos, inhalan oxígeno y liberan

dióxido de carbono, que a su vez aceptan las plantas. Sin ese sabio (y penosamente alcanzado) equilibrio entre las plantas

y los animales, enseguida nos quedaríamos sin oxígeno o sin dióxido de carbono. Por esas dos razones —protección ante

la radiación e intercambio molecular— para la vida parece necesaria una atmósfera.

Algunos de los mundos de nuestro sistema solar tienen atmósferas extremadamente delgadas. Por ejemplo, nuestra Luna

posee en su superficie menos de una millonésima parte de la presión atmosférica terrestre. Los astronautas de las

sucesivas misiones Apollo examinaron seis lugares de la cara visible de la Luna. No encontraron ni estructuras de copa

pesada ni animales que se desplazasen pesadamente. De la Luna se trajeron casi cuatrocientos kilogramos de muestras

que fueron examinadas meticulosamente en los laboratorios terrestres. No se han encontrado ni animálculos, ni microbios,

muy pocos compuestos orgánicos y sólo rastros de agua. Esperábamos que no hubiese vida en la Luna, y así parece


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confirmarse. Mercurio, el planeta más cercano al Sol, se parece a la Luna. Su atmósfera es extraordinariamente sutil y no

debiera hacer posible la vida. En el sistema solar exterior existen muchos grandes satélites del tamaño de Mercurio o de

nuestra Luna, compuestos por mezclas de rocas (como la Luna y Mercurio) y hielos. En esa categoría se encuentra Ío, la

segunda luna de Júpiter. Su superficie parece estar cubierta por una especie de depósito rojizo de sal. Muy poco sabemos

de él. Pero, precisamente por su baja presión atmosférica, no es de esperar que haya vida allí.

Hay también planetas con atmósferas moderadas. La Tierra es el ejemplo más conocido. Aquí la vida ha desempeñado un

papel fundamental en la determinación de la composición de nuestra atmósfera. Evidentemente, el oxígeno lo produce la

fotosíntesis de las plantas verdes, pero se piensa incluso que el nitrógeno es producido por bacterias. El oxígeno y el

nitrógeno constituyen por sí solos el 99 por ciento de nuestra atmósfera, cuya composición ha sufrido el trabajo continuo y a

gran escala de la vida en nuestro planeta.

La presión total en Marte es aproximadamente la mitad de un uno por ciento de la terrestre, pero su atmósfera esta

compuesta fundamentalmente por dióxido de carbono. Existen pequeñas cantidades de oxígeno, vapor de agua, nitrógeno

y otros gases. Evidentemente, la atmósfera de Marte no ha sufrido cl trabajo continuo de la biología, pero no sabemos lo

suficiente de Marte como para excluir la posibilidad de vida. En algunos momentos y lugares, tiene temperaturas

adecuadas, así corno una atmósfera suficientemente densa y también agua abundante almacenada en el suelo y en los

casquetes polares. Algunas variedades de microorganismos terrestres podrían sobrevivir muy bien allí. El Mariner 9 y los

Viking encontraron centenares de lechos de río secos, posibles exponentes de que en alguna época de la historia

geológica reciente del planeta corría por ellos agua líquida en abundancia. Es un mundo en espera de exploración.

Un tercer ejemplo aunque menos conocido de lugares con atmósferas moderadas es Titán, la luna mayor de Saturno. Titán

parece tener una atmósfera de una densidad comprendida entre las de Marte y la Tierra. Sin embargo, esa atmósfera está

fundamentalmente constituida por hidrógeno y metano, y está coronada por una capa continua de nubes rojizas —

posiblemente formadas por complejas moléculas orgánicas—. Debido a su lejanía, solo recientemente se ha centrado

sobre Titán la atención de los exobiólogos; hoy se afirma como una promesa fascinante a largo plazo.

Los planetas con atmósferas muy densas presentan un problema especial. Como ocurre en la Tierra, esas atmósferas son

frías en la parte superior, y calientes cerca del suelo. Pero cuando la atmósfera es muy espesa, las temperaturas próximas

al suelo resultan demasiado elevadas para la biología. En el caso de Venus, las temperaturas superficiales son de unos

480° C; en los planetas jovianos, alcanzan los miles de grados centígrados. Tenemos la impresión de que todas esas

atmósferas son convectivas, atravesadas por vientos verticales que transportan materiales en ambas direcciones.

Posiblemente no pueda imaginarse la vida en esas superficies a causa de sus elevadas temperaturas. El medio ambiente

de las nubes es perfectamente adecuado, pero la convección llevaría esos hipotéticos organismos de las nubes hacia sus

profundidades, donde se achicharrarían. Existen dos soluciones obvias. Pueden existir pequeños organismos que se

reproduzcan al mismo ritmo que son llevados hacia abajo, hacia la cazuela planetaria, o bien los organismos pueden

mantenerse a flote. Los peces de la Tierra disponen de vejigas natatorias para ese mismo fin; tanto en Venus como en los

planetas jovianos puede pensarse en organismos básicamente repletos de hidrogeno. Para poder flotar en las

temperaturas moderadas de Venus, deberían tener unos cuantos centímetros de longitud, pero para eso mismo en Júpiter

tendrían que ser por lo menos de varios metros —del tamaño de pelotas de ping-pong y de los globos meteorológicos,

respectivamente—. No sabemos si existen esos animales, pero resulta interesante darse cuenta de que pueden

considerarse como una posibilidad que no atenta contra nuestros conocimientos actuales de física, química y biología.

Nuestra profunda ignorancia acerca de la posible existencia de vida en otros planetas puede finalizar en el curso del

presente siglo. Existen planes elaborados para examinar, tanto desde el punto de vista químico como biológico, todos esos

mundos candidatos. El primer paso lo constituyeron las misiones norteamericanas Viking, que consiguieron posar dos

sofisticados laboratorios automáticos sobre Marte en verano de 1976, casi trescientos años justos después del

descubrimiento de los animálculos en la infusión de heno por parte de Leeuwenhoek. Los Viking no encontraron ninguna

estructura curiosa por los alrededores (ni tampoco ninguna que vagase por ahí) del tipo de copa pesada, así como tampoco

detectaron moléculas orgánicas. De tres experimentos sobre el metabolismo microbiano, dos de ellos, realizados en los dos

lugares en que se posaron los vehículos, dieron repetidamente lo que parecían ser resultados positivos. Las implicaciones

siguen debatiéndose intensamente todavía. Además, cabe recordar que los dos vehículos Viking examinaron con detalle,


12

incluso fotográficamente, menos de una millonésima parte de la superficie del planeta. Se requieren más observaciones, en

especial realizadas con instrumentos más sofisticados (incluyendo telescopios) y con vehículos móviles. Pero, a pesar de la

ambigüedad de los resultados de los Viking, esas misiones representan la primera ocasión en toda la historia de la especie

humana en que se ha examinado cuidadosamente otro mundo en busca de vida.

Es posible que en las próximas décadas se envíen sondas capaces de mantenerse a flote en las atmósferas de Venus,

Júpiter y Saturno, y vehículos que se posen sobre Titán, y que se realicen estudios detallados de la superficie marciana. En

la séptima década del siglo XX se inició una nueva era de la exploración planetaria y de la exobiología. Vivimos en una

época de aventura y de enorme interés intelectual; pero también, como lo demuestra el paso de Leeuwenhoek a Pasteur,

en medio de un empeño que promete tener grandes resultados prácticos.

a) Marcar en el texto las palabras cuyo significado se desconoce y buscarlas en el diccionario.

b) En un breve texto, explicar de qué trata el capítulo leído. (Recordar que hablar del argumento de una

película no es contar todo lo que pasa en la película).

c) Compartir las elaboraciones con el resto de la clase para su debate.

TIPOS DE NUTRICIÓN: Distintas estrategias energéticas

Cuando aparecieron las primeras células, o estructuras semejantes a células, requirieron un aporte continuo

de energía para mantenerse crecer y reproducirse. Aún se discute cuál fue ese modo en los inicios de la vida,

pero los organismos modernos y las células que los componen satisfacen sus requerimientos energéticos en

una de dos formas. Algunos incorporan moléculas orgánicas del ambiente exterior, a las que degradan para

obtener energía y componentes para su estructura. Esos organismos, que incluyen a todos los animales,

hongos y muchos unicelulares, se denominan heterótrofos (del griego, heter “otro” y trophos “el que se

alimenta”). Otros organismos son capaces de sintetizar moléculas orgánicas ricas en energía a partir de

sustancias inorgánicas simples y, por lo tanto, no requieren moléculas orgánicas del exterior. Esos organismos

se denominan autótrofos (del griego, auto “propio”). Entre los autótrofos, las plantas y varios tipos de

organismos unicelulares son fotosintéticos, es decir que utilizan al Sol como fuente de energía para las

reacciones de síntesis química. Por otra parte, ciertos grupos de bacterias llamadas quimiosintéticas obtienen

la energía para sintetizar moléculas orgánicas de la energía liberada por reacciones inorgánicas.

DISTINTOS TIPOS CELULARES

La Teoría Celular es uno de los fundamentos de la biología moderna. Esta teoría afirma que:

Todos los organismos vivos están compuestos por una o más células.

Las reacciones químicas de un organismo vivo, incluidos los procesos que liberan energía y las reacciones biosintéticas, ocurren dentro de la célula.

Las células se originan de otras células.

Las células contienen la información hereditaria de los organismos de los cuales son parte y esta información pasa de células progenitoras a células hijas.

Existen dos tipos principales de células: las procariotas y las eucariotas.

Las procariotas no tienen núcleo, característica típica de las bacterias y las arqueo-bacterias. Las eucariotas,

en cambio, tienen un núcleo verdadero, es decir que su material genético se encuentra dentro de un organelo

protegido por una doble membrana.

A partir de la evolución de estos tipos celulares fueron evolucionando y diferenciándose todas las distintas

especies de seres vivos que existieron y existen en la actualidad.


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CLASIFICACIÓN DE LOS SERES VIVOS

Para clasificar, determinar e intercambiar información acerca de la vasta diversidad de organismos con la que

los seres humanos -recién llegados en un sentido evolutivo- compartimos el planeta, los biólogos deben

disponer de un sistema de clasificación que les permita nombrar y agrupar a las especies descriptas de una

manera lógica, objetiva, económica y no redundante. A esta tarea se la ha denominado sistemática.

Designadas por un nombre genérico y un adjetivo modificador, las especies son las unidades básicas de la

clasificación biológica.

El área del conocimiento encargada de establecer las reglas de una clasificación es la taxonomía. De este

modo la sistemática utiliza a la taxonomía para establecer los criterios de clasificación.

La sistemática evolutiva intenta hacer buenas clasificaciones aplicando un criterio objetivo y sin

arbitrariedades, a partir de la filogenia de todos los seres vivos que han surgido en este planeta. Estas

relaciones de parentesco (filogenia) suelen representarse como un árbol ramificado.

En la actualidad, la mayoría de los biólogos adhiere a una clasificación que muestre las relaciones de

ancestralidad y descendencia entre las distintas especies.

Reinos y dominios

La clasificación de los seres vivos se ha visto modificada a lo largo de la historia en función de los distintos

criterios que el momento social e histórico producía.

Antes del s. XVIII se utilizaban largos juegos de palabras para nombrar a una especie, lo que muchas veces

llevaba a una enorme confusión en el mundo de los naturalistas. Entre los años 1735 y 1738 Carl Von Linné, o

Lineo, (1707-1778), publicó un sistema de clasificación denominado sistema binomial, tratando de clasificar

todas las especies conocidas en su época en categorías inmutables (que perduraran con el transcurrir del

tiempo). En este sistema la especie se considera la unidad menor y se nombra en latín, primero por el género,

escrito con mayúsculas, y luego por el nombre específico (de la especie) escrito en minúsculas (nomenclatura

binomial). (Por ejemplo, Cannis domesticus=perro; Cannis lupus=lobo, Escherichia colli=una bacteria; Salix

babylonica=sauce llorón).

Se establece un orden jerárquico de categorías: REINO, PHYLUM, CLASE, ORDEN, FAMILIA, GÉNERO, ESPECIE,

donde el reino es la categoría más inclusiva.

A modo de ejemplo, la clasificación del ser humano sería: REINO Animal, PHYLUM Cordado, SUBPHYLUM

vertebrado, CLASE Mamífero, ORDEN Primate, FAMILIA Homínidos, GÉNERO Homo, ESPECIE sapiens.

A medida que avanzaron las observaciones minuciosas, los estudios científicos y la tecnología, las

agrupaciones de las especies en los distintos reinos fueron cambiando. En 1959, Robert Whittaker (1920-

1980) propone la clasificación en cinco reinos que se consideran hasta la actualidad:

REINO TIPO CELULAR NÚMERO DE CÉLULAS MODO PRINCIPAL DE NUTRICIÓN

Monera Procariota Unicelular Absorción o fotosíntesis

Protista Eucariota Unicelular y pluricelular Absorción, ingestión o fotosíntesis

Fungi Eucariota Pluricelular Absorción

Plantae Eucariota Pluricelular Fotosíntesis

Animalia Eucariota Pluricelular Ingestión


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En 1977, a partir de estudios realizados en ciertas moléculas universales (como la del material genético,

específicamente el ARN ribosomal), el científico Carl Woese (1928-2012) y sus colaboradores llegan a la

construcción de un árbol filogenético único en el cual se diferencian tres linajes evolutivos principales: los

dominios.

DOMINIO TIPOS CELULARES

Bacteria- Organismos: termotogales,

flavobacterias, cianobacterias, bacterias púrpuras,

gram-positivas y verdes no-sulfurosas.

Células procariotas.

Archaea- Organismos: Pyrodictium.

Thermoproteous, metanobacterias,

metnomicrobiales, halófilos extremos.

Células procariotas, con diferente composición en

las membranas y diferente estructura en los

flagelos, respecto de Bacteria.

Eucarya- Organismos: animales, protozoos ciliados,

protozoos flagelados, plantas, hongos, diplomonas,

algas rojas, euglenoides, microsporidias.

Células eucariotas.


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Actividad Nº 3 – Aplicación de herramientas metodológicas

1) Organizar un GLOSARIO2 con toda la terminología nueva de este apunte.

2) Armar un MAPA CONCEPTUAL3 que dé cuenta de la secuencia de eventos que dieron origen a la vida, según

la teoría biosintética de Oparín y Haldane, también llamada teoría prebiótica.

NOCIONES BÁSICAS DE ECOLOGÍA

Siguiendo la definición básica de sistema dado al comienzo del apunte, definimos ECOSISTEMA como:

- una comunidad de seres vivos cuyos procesos vitales se relacionan entre sí y se desarrollan en función de los

factores físicos de un mismo ambiente.

- conjunto de especies de un área determinada que interactúan entre ellas y con su ambiente abiótico.

- conjunto de las interacciones que ocurren entre los seres vivos que habitan una determinada región y los

elementos del ambiente físico.

“(...) las poblaciones de una comunidad tienen numerosas interacciones recíprocas. Además, interactúan con

el ambiente abiótico. En todos los casos, esas interacciones tienen dos consecuencias: 1) un flujo

unidireccional de energía a través de organismos autótrofos (habitualmente fotosintéticos) hacia organismos

heterótrofos, que se alimentan de autótrofos o de otros heterótrofos y 2) un reciclado de materiales que se

mueven desde el ambiente abiótico, pasan a través de los cuerpos de los organismos vivos y regresan al

ambiente abiótico. Este reciclamiento de los materiales depende de los descomponedores, organismos que

degradan los materiales orgánicos en una forma que puede ser utilizada por los autótrofos.

Esa combinación de componentes bióticos y abióticos a través de los cuales fluye la energía y circulan los

materiales se conoce como sistema ecológico o ecosistema. (...)”4

En un sentido general, la ECOLOGÍA es la ciencia que estudia a los ecosistemas, sus componentes y sus

interacciones.

Esta ciencia estudia además, distintos niveles de organización de los individuos:

- POBLACIÓN: conjunto de individuos de la misma especie que habitan un mismo lugar en un momento dado.

- COMUNIDAD: conjunto de poblaciones que habitan un mismo lugar en un momento dado.

2 Catálogo alfabetizado de las palabras y expresiones de uno o varios textos que son difíciles de comprender, junto con su significado o

algún comentario. 3 Los mapas conceptuales son herramientas gráficas para organizar y representar el conocimiento. Incluyen conceptos, usualmente

encerrados en círculos o cajitas de algún tipo (nodos), y relaciones entre conceptos indicados por una línea conectiva que enlaza los dos

conceptos. Las palabras sobre la línea, denominadas conectores, palabras de enlace o frases de enlace, especifican la relación entre los

dos conceptos. Los nodos deben ubicarse siguiendo una jerarquía vertical que reflejará la jerarquía conceptual específica del tema. 4 Curtis, 2006.


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FACTORES BIÓTICOS Y ABIÓTICOS EN INTERACCIÓN

En 1920, el ecólogo inglés Charles Elton propuso por primera vez que, en un ecosistema, los organismos

interactuaban entre sí principalmente mediante un sistema de relaciones alimentarias, ya que todo organismo

debe alimentarse de alguna manera y, a la vez, puede constituirse en alimento de otro organismo.A medida

que fueron avanbzando las investigaciones, el concepto de ecosistema permitió profundizar los distintos tipos

de relaciones que se establecen, las cuales (...) no pueden observarse a simple vista, sino que deben ser

estudiadas a partir de conocimientos específicos.

Si se consideran las características de la zona patagónica con una corta estación cálida, vientos permanentes

muy intensos y escasas lluvias, las distintas especies están adaptadas a este ambiente y, a la vez, interactúan

entre sí. Por ejemplo, las poblaciones animales de guanaco, ñandú y mara actúan conjuntamente para

escaparse de un predador.

Cada una de estas especies posee uno de los sentidos más desarrollados: en el guanaco, es el olfato; en el

ñandú, la vista; y en la mara, el oído. Cuando una de estas poblaciones escapa, al percibir a un predador a

través de alguno de sus sentidos, escapan también las otras.

(...) Los elementos del ambiente físico y los seres vivos están relacionados de manera interindependiente,

formando una unidad. Cada elemento constituye un factor que posibilita la existencia de un sistema natural.

En ecología suela utilizarse, por un lado, el concepto de factor abiótico para incluir los elementos del ambiente

físico (vientos, temperatura, humedad, suelo). Por otro lado, el concepto de factor biótico alude a los seres

vivos y a los restos de materia orgánica. Pero estos conceptos sólo adquieren significado en el marco de las

interrelaciones que se interpretan en un ecosistema. Resulta necesario, entonces, estudiar profundamente

cómo ocurren estas relaciones para comprender si tiene sentido considerar un elemento como factor dentro

del ecosistema. Esto significa que un elemento vivo encontrado ocasionalmente no sería considerado un factor

si no interviene en las relaciones propias del sistema.5

Las relaciones alimentarias se denominan relaciones tróficas. En la figura se observa cómo las diferentes

especies de un mismo ecosistema comen y son comidas, generando una red de dependencia alimentaria que

asegura el traspaso de la energía y el reciclado de la materia a través de ellas.

En estos esquemas la flecha indica quién es

comido por quién, por ejemplo, la carpa es

comida por la garza.

En este sentido, a los individuos de un ecosistema

se los puede agrupar en un nivel trófico

determinado, a saber:

-PRODUCTORES: Primer nivel, son organismos

fotosintetizadores, o sea que fabrican su propio

alimento cargado de la energía solar que también

será alimento de aquellos que se alimenten de

dicho productor.

5 Muzzanti, Espinoza, 2002.


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-CONSUMIDORES: Los animales como no pueden fabricar su propio alimento, necesitan consumir a otro

individuo o lo que este produce. Si son herbívoros, serán consumidores primarios; los carnívoros se ordenarán,

según la relación establecida en un ecosistema específico, como secundarios, terciarios o cuaternarios. Sólo en

casos muy particulares una red trófica puede extenderse hasta un sexto consumidor.

-DESCOMPONEDORES: Son organismos que se alimentan de restos y desechos de una comunidad, como

hojas, ramas de árboles muertos, heces, esqueletos, etc. Además en este grupo se incluyen a los animales que

consumen a sus presas muertas, los carroñeros (buitres, hienas, lombrices de tierra, cangrejos, entre otros).

También son descomponedores los hongos y las bacterias no fotosintetizadoras.

CICLOS DE LA MATERIA

La energía toma un curso unidireccional a través de un ecosistema, fluyendo desde el Sol hacia el planeta y sus

habitantes; en cambio, muchas sustancias circulan a través del ecosistema. Son particularmente interesantes

en el contexto de la ecología, aquellas sustancias que en su circulación incluyen a los seres vivos, como el agua,

el carbono y el nitrógeno entre otras.

Ciclo del agua

El planeta Tierra se identifica desde el espacio exterior como el “planeta azul”: su superficie –la litosfera- se

halla cubierta en un 75% de agua (océanos, ríos, mares, lagos, lagunas, glaciares). Pero este elemento se

encuentra también en el suelo, la

atmósfera y el cuerpo de los organismos

vivos. La circulación del agua se produce

en forma cíclica a través de

transformaciones iniciadas en su gran

mayoría por la acción de la energía del

Sol. El calor hace que el agua transpirada

por los seres vivos como así también, la

del medio físico.

Los organismos vivos incorporan agua a

través de la ingesta y la absorción y la

devuelven al medio en forma de

transpiración, respiración, heces y orina.

Ciclo del carbono

El carbono interviene en la composición de los

compuestos orgánicos. Para comprender su

circulación, que es alterna entre los seres vivos y

el ambiente, partimos de una molécula de CO2

que se encuentra presente en el aire

atmosférico. El dióxido de carbono proporciona

los átomos de carbono necesarios para que los

vegetales verdes puedan dar lugar a la síntesis

de sustancias orgánicas, como la glucosa, cuya

fórmula es C6H12O6, pudiendo ser transferido

posteriormente a los herbívoros y después a los

carnívoros. Estos (tanto plantas como animales)


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devuelven parte de su carbono a la atmósfera mediante su respiración, en forma de dióxido de carbono. Pero

también sus excretas y sus cadáveres son atacados por los descomponedores, quienes también, a través de

sus actividades, liberan dióxido de carbono.

A veces el retorno del carbono al ciclo puede retardarse miles de años, a consecuencia de procesos de

fosilización, como la formación de carbón y petróleo.

Ciclo del nitrógeno

La atmósfera de la Tierra está compuesta por aproximadamente un 70% de nitrógeno gaseoso, aunque es

imposible tanto para las plantas como

para los animales, captarlo directamente

de este modo.

Las plantas lo absorben en forma de

nitratos (medio terrestre) o de amoníaco;

este último debe ser sintetizado, en

primer lugar, por bacterias fijadoras de

nitrógeno, combinándolo con hidrógeno.

Las plantas incorporan nitrógeno del suelo

y forman con él proteínas, las que son

ingeridas por los consumidores y los

descomponedores.

Todos devuelven el nitrógeno con sus

desechos o al morir, con sus restos. Las

bacterias transforman el nitrógeno

orgánico en inorgánico. Parte vuelve al

aire y parte se pierde en las profundidades

oceánicas.

MICROSCOPÍA

“Ya los antiguos sabían que los espejos curvos y las esferas de cristal llenas de agua aumentaban el tamaño de

las imágenes. En las primeras décadas del siglo XVII se iniciaron experiencias con lentes (así llamadas por tener

forma de lentejas) a fin de lograr el mayor aumento posible. Para ello se basaron en otro instrumento con

lentes que obtuvo gran éxito, el telescopio, usado por primera vez con fines astronómicos por Galileo, en

1609. Antes de esta fecha, los seres vivientes más pequeños conocidos eran insectos diminutos.

Naturalmente, se daba por sentado que no existía organismo alguno más pequeño. Los instrumentos para

aumentar la visión de los objetos, o microscopios (la palabra griega significa “para ver lo pequeño”)

comenzaron a usarse progresivamente. Por primera vez la biología se ampliaba y extendía gracias a un

mecanismo que llevaba el sentido de la vista humana más allá de sus límites naturales. Así, los naturalistas

podían describir en detalle los pequeños organismos, cosa de otro modo imposible, y los anatomistas podían

descubrir estructuras hasta entonces invisibles. “ (...) 6

6 Lanfranconi, Mariana.


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Hay dos grandes problemas que dificultan la observación de las microestructuras biológicas: las pequeñas

dimensiones de las células y de sus organelas y su transparencia a la luz visible, lo cual tiene como

consecuencia inmediata la falta de contraste entre las diferentes estructuras y entre estas y el propio medio

que las rodea. Para superar el primer problema, se construyeron y se perfeccionaron instrumentos capaces de

aumentar significativamente las imágenes, revelando los pormenores de las estructuras (microscopios); para

resolver el segundo problema, se desarrollaron técnicas, fundamentalmente del tipo de las tinciones, que

permitían aumentar el contraste entre las diferentes estructuras y entre ellas y su entorno, haciéndolas

claramente visibles y diferenciables.

Existen microscopios simples (de una sola lente) y microscopios compuestos (de más de una lente).

El microscopio compuesto, que se ha hecho de uso general a partir de mediados del siglo XIX y que fue de importancia crucial para la evolución de la microbiología como ciencia, es todavía, con ciertas variaciones, el principal apoyo de la investigación microbiológica rutinaria. Este tipo de microscopio está formado básicamente por una parte mecánica y una parte óptica y es capaz de conseguir aumentos considerablemente mayores que el microscopio construido con una sola lente. Este último, llamado microscopio simple, se usa principalmente en el formato de lupa. Los elementos mecánicos básicos son el pie (7), que es el soporte del microscopio, la columna (3), en la que se apoyan las restantes piezas, el tubo, que es el elemento de unión entre el ocular y el revólver (pieza giratoria que soporta los objetivos), la platina, sobre la que se apoya la preparación a observar, y los tornillos Micrométrico y Macrométrico que se utilizan para enfocar la preparación (el primero es de pequeño recorrido, para movimientos de pequeña amplitud, y el segundo de largo recorrido, para movimientos de gran amplitud. En cuanto a la parte óptica, un microscopio compuesto tiene dos lentes o sistemas de lentes: el objetivo (4), situado cerca del objeto que se observa, proyecta una imagen ampliada del objeto observado en dirección al ocular (1), que está colocado cerca del ojo y actúa, a modo de lupa, ampliando la imagen que produce el objetivo, y el condensador (5), cuya misión es concentrar la luz sobre la preparación y permitir manipular su intensidad. Este microscopio se conoce también como microscopio de campo claro y es el más usado por los estudiantes del área. Recomendaciones para el uso del microscopio óptico

El microscopio es un aparato de precisión y óptica; por este motivo, trátelo con mucho cuidado y manéjelo de

acuerdo a las siguientes instrucciones:

A- Para transportarlo de un lugar a otro, tómelo de la columna. B- Para observar apóyelo sobre la mesada y usted colóquese frente a él. C- Si no tuviera luz incorporada, mueva el espejo de tal manera que la luz se refleje en él y pase por el

orificio de la platina. D- Abra el diafragma si estuviera cerrado. E- Observe por el ocular con un ojo, manteniendo el otro cerrado, si fuera monolocular y si es binocular

apoye ambos ojos. Verifique que el campo esté iluminado.


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F- Gire el revólver y ubique el objetivo de menor aumento, de tal manera que quede en línea recta con el tubo.

G- Para ubicar el objetivo de menor aumento, observe que cada uno tiene un número. Si tiene 3 objetivos pueden ser: 10X, 40X y 60X. El primero significa que aumenta 10 veces el tamaño y así sucesivamente.

H- Coloque el ocular de menor aumento si tiene varios. I- El ocular 5X significa que aumenta 5 veces. Así, por ejemplo, un microscopio que tiene 2 oculares 5X y

15X y 3 objetivos 6,10, y 45 puede observar con los siguientes aumentos: 5X6= 30x aumentos

5x10=50x aumentos

15X6=150x aumentos

Para observar preparados de plantas son suficientes 30x a 90x en la mayoría de los casos.

Para observar recuerde:

1- Comience siempre las observaciones con el objetivo de aumento más bajo. Esto le dará una visión integral del preparado y le permitirá seleccionar las mejores áreas o las de especial interés, que luego observara con mayores aumentos.

2- La iluminación debe ser homogénea y de buena intensidad, pero no excesiva. Con bajos aumentos puede usarse luz natural, pero con aumentos altos es preferible la luz artificial.

3- Nunca acerque el objetivo al preparado si no está mirando por el costado del microscopio. Así evitará la destrucción de muestras y de lentes.

4- Siempre que haga una observación, ajuste el enfoque con el tornillo micrométrico. 5- Recuerde que el microscopio óptico proporciona imágenes invertidas del objeto. Cuando un detalle se

encuentra a la derecha del preparado, debe mover la platina hacia la izquierda, y si está arriba, debe moverla hacia abajo y a la inversa.

6- Realice siempre un dibujo de la observación. Dibuje pocas células, en forma esquemática y respetando las relaciones de tamaño entre los distintos componentes que observe. El esquema debe ser grande y claro. Evite sobrecargarlo con detalles cuyo origen no está seguro. Es preferible que no se registre en su dibujo alguna estructura, a que oscurezca su interpretación especificando grumos de colorantes, burbujas de aire u otras imperfecciones del preparado.

Actividad Nº 4 – Elaborar un preparado de prueba

Realizar un preparado de la siguiente forma:

Recortar un trozo de diario que incluya únicamente una letra “a” (tratar de que el pequeño recorte esté impreso de un solo lado)

Llevar la letra recortada sobre un portaobjeto, de tal manera que la letra impresa mire hacia arriba. Colocar una gota de agua sobre el papel y esperar que éste se humedezca bien (debe quedar una

pequeña aureola de agua rodeando el recorte). Cubrir el preparado con un cubreobjeto, apoyar un borde del cubreobjeto sobre el portaobjeto,

formando un ángulo de aproximadamente 45º; sostener el lado opuesto con la punta de la aguja de disección y dejarlo caer lentamente sobre la letra hasta que toque totalmente el preparado.

Con el mango de la aguja de disección presionar suavemente sobre el cubreobjeto para hacer salir el exceso de agua y las burbujas de aire.

Colocar el preparado sobre la platina y tratar de que el objeto a observar quede en el centro del orificio de la misma.

Sujetarlo con las pinzas. Como el preparado tiene agua, hay que mantener la platina en posición horizontal.


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Acercar el objetivo hasta 2 mm del preparado. Utilizar para ello el tornillo macrométrico. Observar ahora por el ocular (recuerde que debe mirar con un ojo, sin cerrar el otro). Sin quitar la vista del ocular, comenzar a alejar el objetivo de la platina, moviendo para ello el

macrométrico hasta que aparezca la imagen del objeto en el campo iluminado. Para lograr una imagen más nítida, utilizar el tornillo micrométrico. Nunca bajar el tubo con el tornillo macrométrico mientras se está mirando por el ocular. Mover lentamente el preparado hacia delante, utilizar los dos pulgares, uno sobre cada extremo del

portaobjeto. Responder:

- ¿Cómo ve la letra?

- Ahora mueva el portaobjeto hacia la derecha. ¿En qué dirección se desplaza la imagen?

- ¿Qué puede decir sobre la posición y el movimiento de los objetos cuando éstos se ven a través del microscopio compuesto? ¿Notó la imagen invertida?

Técnicas para la microscopia óptica

Una de las formas más sencillas de preparar un material para su observación con un microscopio óptico es la

obtención de preparados frescos sin colorear.

Un preparado fresco es aquel material que ha sido recién separado del organismo al que partencia. Su tiempo

de duración es muy limitado porque no se trata con ningún agente de conservación. Esto tiene como objetivo

las estructuras celulares funcionando en condiciones normales, pero el lapso en que esto se consigue es breve.

Posteriormente, la célula muere y se descompone.

Para realizar un preparado fresco se necesita colocar las células en un medio osmótico adecuado:

1- Para las células vegetales se puede usar agua corriente. 2- Para las células animales, algo frágiles, se requiere un medio isotónico. Por lo general, se usa una

solución de cloruro de sodio en agua, en una proporción que varía según el origen de las células: 0,9 por ciento para mamíferos, 0,6 por ciento para anfibios.

Una buena observación al microscopio óptico exige que el espesor de la muestra esté alrededor de los 10

micrones o menos. Si la muestra es más gruesa, impide el paso de la luz y las imágenes resultan confusas.

Pero, si la muestra es demasiado delgada, la normal transparencia de las células hace que la observación sea

poco eficiente.

En estas condiciones, sólo resaltan aquellos organelos que contienen pigmentos naturales o las estructuras

muy refringentes que refractan mucho la luz. Para hacer un preparado fresco sin coloración el material se

coloca sobre un portaobjeto con una o dos gotas de solución fisiológica y se cubre con un cubreobjeto.

Coloración o tinción

Las limitaciones en la observación de células sin previa coloración son notables. Por ello, desde las primeras

épocas de la microscopia óptica se han desarrollado y perfeccionado numerosas técnicas de coloración o

tinción.


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El objeto primordial de la coloración es lograr que algunas partes de las células aparezcan más oscuras o de

diferente color que otras, con el fin de reconocerlas.

El colorante debe unirse específicamente a algún componente celular, el que queda diferenciado o resaltado

respecto del resto por el color que adquiere.

Actividad Nº 5 - Elaboración de preparados sencillos

- Realice ahora un preparado con dos cabellos, uno negro y otro claro (rubio o claro). Colóquelo cruzado sobre el portaobjetos, agregue una gota de agua y cubra.

- Observe con el menor aumento y describa su aspecto. Enfoque bien el lugar del entrecruzamiento.

- ¿Puede ver nítidamente ambos cabellos en el mismo nivel de enfoque?

- ¿Puede diferenciar el cabello negro del claro?

- ¿Cuál está por encima?

- Para observar con más detalle cambie el objetivo por el que le sigue y corrija el enfoque

- ¿El campo iluminado es mayor o menor?

- ¿El cambio de aumento, cambia la posición de la imagen?

- ¿La iluminación es más o menos brillante?

Actividad Nº 6 - Otra observación de prueba

- Retire una fibra de algodón de alguna prenda; con cuidado deposítela sobre el portaobjeto y agregue una gota de agua; cubra con el cubreobjeto inclinado a 45º. Déjelo caer sobre la muestra.

- Coloque el preparado sobre la platina. Ubique el objetivo de menor aumento y ajuste con el tornillo macrométrico.

- Regule con el condensador la entrada de luz. - Esquematice lo observado en hoja lisa indicando el aumento empleado por Ej.: 5X10=50aumentos - Realice la misma operación con los materiales que se le entreguen para observar.

Actividad Nº 7 - Métodos simples para teñir preparados.

- Tome una papa, corte una porción y raspe su interior suavemente y coloque la muestra sobre el portaobjeto, cubra y observe con el menor aumento.

- Levante el cubreobjeto y coloque una gota de Solución de Lugol diluida. - Cubra y vuelva a observar. Registre las diferencias observadas con el registro anterior. - Retire y realice otro preparado usted solo con los materiales que se le entregarán en ese momento.

Actividad Nº 8 - Investigando células en cáscara de banana

- Coloque una gota de agua sobre un portaobjetos. - Con la punta de una aguja de disección, tome una muestra pequeñísima de la cara interna de la

cáscara de banana. - Desparrame la muestra obtenida sobre la gota de agua ubicada en el portaobjetos. - Cubra el preparado con el cubreobjeto y observe con el menor aumento. Dibuje lo que observa. - Describa qué forma tienen las células y como están dispuestas entre sí. - Enfoque con mayor aumento y realice el registro correspondiente.

Actividad Nº 9 - Observación de vasos de conducción de agua

- Llene un frasco con agua hasta la cuarta parte y agregue 15 a 20 gotas de tinta de color oscuro.


23

- Coloque la penca de apio en el agua y déjela hasta el día siguiente.

- Saque la rama del agua y corte a unos 2 cm de su extremo inferior.

- Con el bisturí o la hoja de afeitar, corte una rebanada muy delgada, coloque con una gota de agua sobre el

portaobjeto y observe en el microscopio con el menor aumento posible.

- Esquematice lo observado y luego responda el siguiente cuestionario:

a) ¿Puede distinguir los lugares por donde ha circulado el agua teñida? b) ¿El corte realizado es transversal o longitudinal respecto de los conductos por los cuales ha

circulado agua? c) ¿Estos conductos están aislados o reunidos formando un haz? d) ¿Las paredes de los conductos son delgadas o gruesas comparadas con las paredes de otras células

que los rodean? BIBLIOGRAFÍA

- Aljanati, Wolovelsky y Tambussi, Los caminos de la evolución, Biología II, Ed. Colihue, Argentina. 1996.

- Bocalandro, N. (et.al.), Biología 4 ES. Intercambios de materia y energía, de la célula al ecosistema, Estrada,

1º ed., Buenos Aires, 2010.

- Cuadernillo del curso de ingreso, Área Biología, Universidad de La Plata, 2009.

- Curtis y Barnes, Biología, Ed. Panamericana, Argentina, 7º reimpresión de la 6º edición en español. 2006.

- Lanfranconi, Mariana, Historia de la microscopía, Introducción a la Biología Facultad de Cs. Exactas y

Naturales, Universidad Nacional de Mar del Plata.

- Muzzanti, Silvia y Espinoza, Ana María, BIOLOGÍA 5 El ecosistema y la preservación del ambiente, 1º ed.,

Longseller, Buenos Aires, 2002.

http://club.telepolis.com/geografo/clima/atprim.htm

http://www.genomasur.com/lecturas/

http://www.kalipedia.com/ciencias-vida

http://www.microinmuno.qb.fcen.uba.ar/SeminarioMicroscopia.htm

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http://www.kalipedia.com/ciencias-vida


24

FÍSICA

¿QUÉ ESTUDIA LA FÍSICA?

A partir de su experiencia como alumnos en la trayectoria escolar, los invito a responder la pregunta

del título: ¿qué estudia la física? ……. y agrego otras ¿Qué tipo de ciencia es? ¿Es una ciencia

exacta?........ el estudio de la física ¿qué importancia tiene?...... estas preguntas son tan importantes

como el estudio de la ciencia en si misma y, como futuros docentes, deben poder dar una respuesta.

Para comenzar, los invito a ver un video editado por la BBC que se llama “ la Historia de la Física en 4

minutos”. Se puede encontrar fácilmente con solo “googlearlo” ….. mírenlo un par de veces. Por las

dudas, les dejo algunos links:

https://codigoespagueti.com/videos/la-historia-de-la-fisica-en-4-minutos/

https://www.xatakaciencia.com/fisica/la-historia-de-la-fisica-en-un-comic-de-cuatro-minutos

¿Ya lo vieron un par de veces? Les dejo la

traducción del texto del corto:

“La historia de la física es, en general, una historia de una confianza cada vez mayor. Durante 300 años, la física se ha dedicado a observar y medir cómo funcionan las cosas.

A principios del s. XVII, un italiano puso la bola en movimiento al dedicarse a medir bolas en movimiento. Galileo también midió péndulos y dejó caer objetos de distintos tamaños desde la torre inclinada de Pisa, para ver qué sucedía. Y, aunque irritó al Papa —al parecer, sus ideas habían enfadado mucho a Dios— , la obra de Galileo se convirtió en la roca sobre la que se erige la física moderna.

Después, a salvo de Papas iracundos, Isaac Newton fue más allá al abandonar las bolas y pasarse a las manzanas. ¿Por qué, se preguntaba, siempre caían hacia abajo, y no de lado o hacia arriba? En 1687 encontró la respuesta: era una fuerza, llamada gravedad, que afectaba a las bolas y a las manzanas. Y a los planetas, haciendo que trazasen órbitas predecibles alrededor del Sol.

En el siglo XIX, James Clerk Maxwell centró su atención en otros misterios. Demostró cuál es la relación entre electricidad y magnetismo, que se pueden combinar en una fuerza: el electromagnetismo. Y que la luz tenía partes eléctrica y magnética, y viajaba en forma de ondas, como el agua.

La física estaba en racha. Los nuevos descubrimientos se basaban en los anteriores, y algunos incluso tenían usos prácticos: las leyes de Newton predijeron la existencia de Neptuno. El trabajo de Maxwell nos proporcionó la radio y la tv, y no haya nada mucho más útil que eso. Parecía que los físicos habían logrado dominar el universo; y lo único que quedaba era tapar los huecos restantes.

https://codigoespagueti.com/videos/la-historia-de-la-fisica-en-4-minutos/


25

Pero, a principios de s. XX, los huecos eran cada vez mayores. Y los nuevos descubrimientos no se basaban en los antiguos. Cosas como los rayos X y la radiactividad eran simplemente raras, en sentido negativo. No todo iba bien en el mundo de la física. El destacado científico Lord Kelvin veía oscuros nubarrones que se cernían sobre la física.

Entonces, en 1905, un técnico de patentes de Suiza desencadenó toda una tormenta. Albert Einstein, de 26 años, se salió del guion. Primero, afirmó que la luz es un tipo de onda, pero que también toma la forma de paquetes, o partículas. Ese mismo año, publicó su famosa ecuación, E = mc^2, que afirma que la masa y la energía son equivalentes. Y por si eso fuera poco, publicó también los asombrosos resultados de un experimento mental. Agárrense la cabeza.

Empieza suponiendo que la velocidad de la luz en el vacío es constante. Imaginemos que alguien ve una nave volando a toda velocidad. Lo que verían sería que los relojes en la nave marcan el tiempo más despacio que su propio reloj; y que la longitud de la nave disminuiría. Pero, para los astronautas en su interior, todo sería normal. Einstein decía que el tiempo y el espacio podían cambiar, que son relativos en función de quién los observa. Esto es la relatividad especial.

Puede que fuese especial, pero no era suficiente. Albert no había hecho más que empezar. A continuación, demostró que las bolas y las manzanas no eran las únicas cosas sujetas a la gravedad. La luz, el tiempo y el espacio también se veían afectados. La gravedad ralentiza el tiempo y curva el espacio. Cuanto más intensa es, más se curva el espacio y más se desvía la luz. Einstein lo denominó «relatividad general».

Sus ideas hicieron que la física tradicional saltase por los aires. Abrió la puerta al extraño mundo de la cuántica, donde los gatos pueden estar vivos y muertos, donde Dios juega a los dados, y donde todo es incierto.

Su famosa ecuación condujo a la energía nuclear. Sin la relatividad especial el Gran Colisionador de Hadrones no tendría sentido. La relatividad general predijo los agujeros negros y el Big Bang, una idea que ahora aceptan tanto la Iglesia como la ciencia. Algo que a Galileo le habría gustado ver. Bien hecho, Albert.”

Seguramente, a lo largo de este hermoso camino que comenzarás a recorrer este año, las preguntas

formuladas en la página anterior, las respondas de otra manera. El estudio de la Física y su posterior

enseñanza, son tan apasionantes como la ciencia en sí, Los físicos siempre están tratando de

entender lo que pasa en su entorno; desde los procesos que ocurren en su propio cuerpo hasta las

reacciones en el laboratorio; desde la caída de una manzana, hasta la explosión de una estrella. En su

búsqueda, muchas veces hacen descubrimientos sorprendentes. Es una ciencia fundamental, los

fenómenos físicos sirven para explicar fenómenos de otras ciencias, ya sea para explicar las uniones

químicas o el comportamiento del ojo humano.

ACTIVIDAD AL PASO Nº 1: ¿Podrías responder nuevamente la pregunta del título? ¿Cambió

tu respuesta anterior?


26

La Física estudia la materia y la energía. Muchos fenómenos en el Universo pueden estudiarse

analizando cómo se comportan la materia y la energía. Materia como las estrellas y los planetas, las

rocas o las nubes; energía como un relámpago, el fuego o la luz del Sol.

La Física estudia, por ejemplo, la composición y las propiedades de la materia. Vas a aprender cómo

se relacionan la materia y la energía. Verás cómo la energía se transfiere a través de la materia, como

cuando el sonido del estéreo llega a tus oídos. Aprenderás cómo los refrigeradores conservan el frío o

cómo la ropa térmica te mantiene caliente. Cuando estudies la electricidad, el sonido, el calor y la luz,

entenderás cómo se emplea la energía para hacer trabajo. En el estudio de la fuerza y el movimiento

aprenderás por qué las manzanas caen a tierra mientras que los satélites se mantienen en órbita.

¿CÓMO TRABAJA UN CIENTÍFICO?

La respuesta a esta pregunta no es única….. piensen en los músicos….. no todos trabajan de la misma

manera……….. algunos componen la melodía y luego la agregan la letra, otros hacen exactamente al

revés….. sin embargo, los resultados pueden ser tan buenos en un caso como en el otro. Con los

físicos puede pasar algo parecido….. a lo largo de su carrera verán que algunos hicieron grandes

descubrimientos de manera accidental, otros de manera planificada ……..pero si tuviera que

responder a la pregunta del título de manera sintética, podría decir que trabajan de la siguiente

manera: detectan un problema, ya sea en la explicación de un fenómeno o en el funcionamiento de

un artefacto, tratan de explicar por qué sucede, y proponen una forma de resolverlo. Algunas veces,

al buscar respuestas a sus preguntas, encuentran resultados que no esperaban.

Como dije anteriormente, hay muchas formas de llegar a un descubrimiento científico aunque, por lo

general, la investigación científica involucra procedimientos como observar, hacerse preguntas,

recopilar información, explorar y buscar respuestas.

La forma de resolver un problema científico es semejante a la que se aplica para resolver cualquier

problema. La observación, por ejemplo, consiste en usar los sentidos para recolectar información. En

Física, los instrumentos como microscopios, reglas y cronómetros ayudan a hacer observaciones más

precisas. Todavía podemos seguir afirmando que la experimentación es uno de los pilares de la

Física, desde una simple experiencia hecha por Galileo sobre planos inclinados hasta experiencias

hasta del trabajo en equipo y tecnología de avanzada (como el acelerador de Hadrones)


27

HIPÓTESIS Y TEORÍAS

Las buenas observaciones llevan a predicciones acerca de cómo resolver un problema o a explicaciones sobre

el funcionamiento de algo. Estas predicciones pueden ponerse a prueba. En ciencias, una predicción que

puede ponerse a prueba se llama hipótesis. ¿Cómo se sabe si una hipótesis es adecuada? Una hipótesis se

pone a prueba en experimentos o haciendo más observaciones. Si se encuentra que es incorrecta, se modifica

o se propone otra, y se pone a prueba.

Nunca es posible probar que una hipótesis es absolutamente correcta. Sin embargo, entre más resultados se

tengan en favor de una hipótesis, con más confianza podemos pensar que es cierta.

Los científicos usan la información que recolectan en la experimentación para elaborar leyes y teorías. Una ley

sintetiza las regularidades observadas en cierto fenómeno, mientras que una teoría es una explicación global

del fenómeno estudiado que puede contener varias leyes. La teoría es la explicación más lógica de que algo

funciona como funciona. Las teorías llevan a plantear más experimentos y a encontrar nuevas regularidades. A

medida que se recolectan nuevos datos puede ser necesario modificar la teoría, o descartarla y reemplazarla

por una nueva.

Muchas de las leyes de la Física se pueden expresar

mediante fórmulas, por ello suele decirse que la

matemática es el lenguaje de la Física. Pero la Matemática y

la Física son ciencias distintas, aunque con una relación muy

estrechas, comparto una frase de Lord Kelvin “Cuando

puede medirse aquello de lo que se habla y expresarlo en

números, ya se sabe algo sobre ello; pero cuando no puede

medirse, cuando no puede expresarse en números, su

conocimiento es pobre e insatisfactorio”

¿QUÉ MIDE EL FÍSICO?

Para los físicos, y para todos los científicos en general, medir es una de las actividades más

importantes. Cuando un físico estudia un fenómeno, le interesa averiguar qué cosas pueden cambiar

y cuáles permanecen constantes. También le interesa analizar cómo ocurren los cambios, si son

lentos o rápidos, si la variación es uniforme, y en qué afecta la forma en la que los cambios se

producen. Para estudiar los fenómenos con detalle, los físicos necesitan controlar algunos de los

factores que intervienen en el fenómeno, mientras dejan que otros varíen.

La física es una ciencia experimental. En la cual se busca deducir las leyes que interpretan los

fenómenos de la naturaleza. Estas leyes se validan, de manera provisoria, a través de experimentos,

en los cuales es necesario realizar mediciones.

Realizar una medición significa transformar las observaciones en números, a través de los cuales

podemos verificar las leyes de la naturaleza. Para comprender como se realiza un proceso de

medición, definamos algunos términos que son de gran utilidad para informar los resultados le una

medición.


28

Magnitud. Denominamos magnitud a aquellos parámetros que pueden ser medidos directa o

indirectamente en una experiencia. Ejemplo de magnitudes son: la longitud, la masa, el

tiempo, la superficie, la fuerza, la presión, etc.

Cantidad. Denominamos cantidad al resultado de la medición de una determinada magnitud.

Ejemplo de cantidades, tiempo para leer este renglón, superficie de esta hoja, longitud de un

determinado cuerpo, etc.

Medir. Medir una cantidad A es compararla con otra cantidad U de la misma especie llamada

unidad. El resultado representa el número de veces que la cantidad contiene a la unidad; es

un número real abstracto llamado medida de la cantidad A con la unidad U.

Las personas relacionadas con cualquiera de los campos de las ciencias (Bioquímica, Ingeniería,

Medicina, Farmacia, Economía, etc.), tienen que tomar decisiones sobre la base de ciertos datos. Esto

implica realizar mediciones precisas de longitud, volumen, masa, temperatura, etc. Un valor de

medición se compone la cantidad numérica y la unidad. Por ejemplo consideremos la siguiente

cantidad:

125 mg

De acuerdo con los modos en que se realizan las mediciones, estas pueden clasificarse en:

a) Mediciones directas: son aquellas que pueden realizarse por medio de la utilización de un

instrumento de medida especialmente diseñado para ello. Por ejemplo, medir el tiempo con

un cronómetro, determinar la longitud de una vara con un metro.

b) Mediciones indirectas: son aquellas que se realizan por medio de operaciones aritméticas

entre valores de medidas directas. Por ejemplo, determinar el área de una superficie

conociendo el largo y el ancho.

ACTIVIDAD AL PASO Nº 2

a) Lean atentamente la siguiente frase y den su opinión: “ si la medición se realiza con

instrumentos actualizados tecnológicamente y el proceso de medición no tiene fallas, entonces la

medida será exacta” ¿les parece correcta o incorrecta? ¿Por qué?


29

UNIDADES MÉTRICAS Y SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

En el mundo se han utilizado muchos sistemas de medición. Los científicos utilizan desde hace mucho tiempo,

el sistema métrico decimal. En la actualidad se utiliza un sistema métrico actualizado que se llama Sistema

Internacional (SI). Las unidades fundamentales son siete


En el canal encuentro, hay un ciclo que se llama “En su justa medida”. Les dejo el enlace:

http://encuentro.gob.ar/programas/serie/8561/6331?

Vean el capítulo 1 (“Qué es medir”) y vuelvan a responder la pregunta de la actividad al

paso Nº2 ¿Cambió en algo su respuesta?

En el video se usa constantemente el término “patrón” ¿Qué es un patrón?

En el video se hace referencia a cuatro años importantes en la historia de las medidas y

unidades : 1789 -1840 -1875 – 1889 ¿qué pasó en cada uno de esos años?


Hacer un cuadro en el que figure cada unidad fundamental y su definición. Para ello, pueden

consultar el anexo SI ME LA (podrán descargarlo desde la página del instituto). En este

documento encontrarán las unidades derivadas, las reglas de escritura y otras consideraciones

importantes.

http://encuentro.gob.ar/programas/serie/8561/6331


30

Para expresar cantidades que son mayores o menores que las unidades fundamentales se utilizan

prefijos. Por ejemplo el prefijo mili significa 1/1.000 ó 0,001 veces la unidad básica.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

En Física, en Química y en otras disciplinas experimentales se utilizan números que son extremadamente

grandes o muy pequeños, por ejemplo:

la luz viaja a 30.000.000.000 cm / s,

en 12 g de Carbono hay 602.200.000.000.000.000.000.000 partículas,

el diámetro del núcleo atómico es 0,000000000000001 m.

En cantidades como estas es difícil llevar la cuenta de los ceros. Se pueden enunciar este tipo de números con

más precisión y mayor facilidad utilizando la notación científica. Los números se expresan como potencias de

10.

Un número en notación científica tiene dos cantidades que se multiplican de la siguiente forma:

Para escribir un número en notación científica se debe mover el punto decimal del número a la derecha o a la

izquierda, de modo que quede un sólo dígito distinto de cero a la izquierda del punto decimal. Esto dará un

número que esté entre 1 y 10. Después se presenta este número multiplicado por 10 elevado a una potencia

igual al número de posiciones que se movió el punto decimal (cada posición corresponde a un factor de 10).


31

Para números mayores de 10, el punto decimal se debe mover hacia la izquierda, de modo que el exponente

es un número positivo. Veamos un ejemplo:

345,8 = 3,458 x 102

Aquí el punto decimal se corrió dos posiciones a la izquierda, lo que equivale a un factor de 100, ó 102.

FACTORES DE CONVERSIÓN

Para realizar la conversión de unidades se debe multiplicar la cantidad conocida -¡y sus unidades!- por uno o

más factores de conversión para obtener la respuesta en la unidad deseada. Se puede esquematizar como

sigue:

En la tabla se observan algunos ejemplos de factores de conversión:

Para trabajar con conversiones de unidades puede resultar útil conocer algunas magnitudes de gran

importancia para la Física. A continuación, se presentan tablas de equivalencias que permiten

“construir” factores de conversión.

ACTIVIDAD AL PASO Nº 5: Completar las tablas de equivalencias entre medidas de longitud y

medidas de área

Unidad Símbolo Equivalencia

Milímetro mm 1 m = mm

Centímetro cm 1 m = cm

Decímetro dm 1 m = dm

Decámetro dam 1 dam = m

Hectómetro hm 1 hm = m

Kilómetro km 1 km = m


32

DENSIDAD

La densidad es una característica importante de la materia. Cuando

decimos que el plomo es "pesado" y el aluminio es "ligero" nos estamos

refiriendo a la densidad de estos dos metales.

Las densidades de los sólidos se expresan en gramos por centímetro

cúbico (g / cm3), aunque también podría expresarse en kg/m3.

MASA Y PESO

Todos los cuerpos imaginables (vasos, estrellas, ratones, este apunte) están constituidos por materia. Aunque

difieran en la forma, el color, o el tamaño, todo cuerpo es un “pedazo de materia”. La pregunta que nos

formulamos ahora es la siguiente: ¿cómo saber si un cuerpo tiene más materia o menos materia que otro? El

problema consiste, en otras palabras, en cómo medir la cantidad de materia que hay en un cuerpo cualquiera.

Sabemos que un botellón lleno de agua contiene más agua que un vaso también lleno. Esto nos sugiere que el

volumen de un cuerpo podría servir como indicador de la cantidad de materia que hay en él Pero no debemos

dejarnos engañar por las apariencias. Cuando comprimimos el aire encerrado dentro de un inflador de

bicicleta (o de una jeringa), no modificamos la cantidad de aire: sin embargo, lo obligamos a ocupar un

volumen menor. Por lo tanto, una misma cantidad de materia puede ocupar distintos volúmenes y viceversa,

distintas cantidades de materia pueden ocupar un mismo volumen. A la cantidad de materia (que no es el

volumen) los químicos la llaman masa del cuerpo. Aunque en Física esta es una aproximación al concepto,

veremos a lo largo de la cursada que tiene significados bastante distintos del que le daba Newton e incluso, del

que se le da en la física actual.

Unidad Símbolo Equivalencia

Milímetro cuadrado mm2

1 m2 = mm

2

Centímetro cuadrado cm2 1 m

2 = cm

2

Decímetro cuadrado dm2 1 m

2 = dm

2

Decámetro cuadrado dam2 1 dam

2 = m

2

Hectómetro cuadrado hm2 1 hm

2 = m

2

Kilómetro cuadrado km2 1 km

2 = m

2


33

El peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra lo atrae. Cada objeto, cada persona, tiene su propio peso,

porque la Tierra atrae a cada uno con una fuerza distinta. Esta fuerza depende de la masa del cuerpo. Hay más

materia en un ropero de madera, que en una regla del mismo material, y el ropero pesa más que la regla. En

otras palabras, la Tierra atrae más a los cuerpos que tienen más materia.

El peso y la masa de los cuerpos son propiedades diferentes, pero son dos magnitudes que se relacionan entre

sí. Si en un mismo lugar de la Tierra se comparan las masas de dos cuerpos se observa que:

si tiene la misma masa tienen el mismo peso.

el que tiene mayor masa tiene mayor peso.

VOLUMEN

Es otra magnitud muy utilizada. El volumen es una medida del espacio. Algunos cuerpos tienen formas que

permiten calcular su volumen de manera sencilla. Por ejemplo, el volumen de una caja cúbica se calcula

multiplicando el largo (l)por el ancho (a) y por la altura (h):

V l a h

Como las longitudes indicadas corresponden a las aristas del cubo, la expresión que permite calcular el

volumen será:

3

V A A A

V A

Por ejemplo, si para la caja cúbica de arista A = 10 cm, el volumen es:

3

3

3

10

1.000

V A

V cm

V cm

La tabla que sigue presenta algunas equivalencias de unidades de volumen.

ACTIVIDAD AL PASO Nº 6: Completar las tablas

Longitud

23dm = _______________ cm

540cm = _______________dam

41.000cm = ______________km

332cm = _______________mm

250m = _______________hm

2) 3.400dm = ______________km

0,011m = ______________mm

2.500mm = _____________dm

320cm = ______________m

45.000mm= _____________km

2dam = ______________cm

1) 32dm = _____________mm


34

Superficie

Volumen

Tiempo

230.000dm2 = __________m

2

4.000cm2 = __________m

2

38dm2 = ___________cm

2

76.000.000mm2= __________m

2

4,3124m2 = __________cm2

20.000dm2 = _________cm

2

44cm2 = ____________dm

2

24.000mm2 = ____________dm

2

220.000cm2 = ____________m

2

180.000mm2= ____________dm

2

3km2 = __________m2

81cm2 = ___________mm

2

4.400.000dm3 = ________m

3

32cm3 =________mm

3

3,21dm3 = ________cm

3

1.200.000.000mm3= ___________m

3

3141592,6cm3 = _____m3

200dm3 = ______cm

3

10.000cm3 = ___________m

3

2.000.000mm3 = ____________dm

3

30.000.000cm3 = ____________m

3

3,2m3

= ____________cm3

0,02m3 = ____________cm3

40cm3 = ___________mm

3

3.600s = ______________h

900s = _____________min

0,0002s = ____________ms

720.000s = ____________h

3,6x106s = _____________ s

1) 0,3ms = ____________s

1h = ____________ min

2hs = ___________s

0,2s = ____________ms

2x10-6s

= ______________s

0,03ms = _____________s

2) 4.500s = _________s


35

ERRORES DE MEDIDA

No existe la medición perfecta; sin importar cuán preciso sea el instrumento de medida que se utilice, siempre

habrá cierto error en la medición. La precisión en la medida depende del instrumento que se emplea. En los

autos, por ejemplo, uno de los instrumentos es el velocímetro y éste generalmente consta de una aguja

indicadora sobre una carátula en la que se han marcado divisiones que, por ejemplo, corresponden a 5 km/h.

Con un velocímetro como éste, no podemos medir con precisión las centésimas de kilómetro por hora. Pero si

tuviéramos un velocímetro digital en el cual pudieran leerse además las décimas y centésimas de kilómetro

por hora, las centésimas de kilómetro por hora serían los límites de la precisión con la que se podría medir la

velocidad en ese caso.

Al medir pueden presentarse dos tipos de errores: los errores sistemáticos, que tienen que ver con el

funcionamiento específico del instrumento de medida o con el cuidado con el que se hace la medición; y los

errores aleatorios, que están siempre presentes y no son fácilmente detectables.

Los errores sistemáticos dan como resultado mediciones que, a simple vista, son muy grandes o muy pequeñas

comparadas con otras hechas en las mismas condiciones; estos errores generalmente son fáciles de detectar.

Los errores aleatorios consisten en fluctuaciones alrededor de un cierto valor, que puede considerarse como el

verdadero valor, y no pueden suprimirse.

Analicemos la actividad anterior. Para obtener la magnitud de la tarjeta lo más cercana posible al valor exacto

debemos calcular el promedio (que es el valor más representativo de la medición), el error absoluto y el error

de dispersión.

Recordarás que para calcular el promedio se suman todos los datos y se divide la suma entre el número de

datos. En este caso, 17,11 cm es el promedio. Como la regla utilizada sólo mide hasta milímetros, se debe

redondear a 17,1 cm.

El error absoluto de una medida es el valor absoluto de la diferencia entre esa medida y el promedio; para las

medidas de la tarjeta tenemos los siguientes errores absolutos:

El error de dispersión (o incertidumbre) es el promedio de los errores absolutos de todas las medidas. Al

sumar los errores absolutos y dividirlos entre 10 obtenemos: 0,11 cm. Como sólo podemos tener una cifra

significativa, redondeamos a 0,1 cm. El resultado de la medida se expresa como el valor promedio “más

menos” (±) el error de dispersión:

17,1 ± 0,1 cm

Esto significa que la longitud del lado de la tarjeta está entre 17,0 cm y 17,2 cm. La gama de valores probables

de la medida se llama intervalo de incertezas.


Un grupo de 10 estudiantes midió el lado de una pieza metálica rectangular. Cada quien utilizó una

regla, cuya división más pequeña indica milímetros. Los datos que obtuvieron fueron: 17,2 cm,

17,1 cm, 17 cm, 17,3 cm, 17 cm, 17,2 cm, 17 cm, 16,9 cm, 17,2 cm, 17,2 cm. Expliquen por qué

obtuvieron diferentes medidas. A partir de la información obtenida, ¿qué se puede concluir acerca

de la medida de la tarjeta?


36

El error relativo (o incertidumbre relativa) es el cociente entre el error absoluto y el valor aceptado de la

medida, que puede ser el promedio entre varias medidas. El resultado es un número sin dimensiones y suele

expresarse como un porcentaje. Entonces, para calcular el error relativo se emplea la fórmula:

Error absolutoError relativo 100%

Valor promedio

Por ejemplo, al medir la velocidad de un auto Fórmula 1, un equipo encontró un error absoluto de 0,2 km/h

respecto del valor aceptado de 256,5 km/h, mientras que cuando midió el tiempo que tardan en cambiarle

una llanta, encontró un error de 0,2 s en relación con un tiempo de 4,7 s.

Fuentes:

TRIGUEROS GAISMAN, MARÍA - WALDEGG CASANOVA, GUILLERMINA - ADÚRIZ-BRAVO,

AGUSTÍN - DÍAZ, FABIÁN G. - LERNER, ANA MARÍA - ROSSI, DAVID S. (2007). “Física.

Movimiento, interacciones y transformaciones de la energía”. Buenos Aires,

Ediciones Santillana.

YOUNG Y FREEDMAN (2013). “Física universitari. Volumen 1”. México, Editorial

Pearson.

http://www.quimica.uns.edu.ar/descargas/Modulo2.pdf (consultada en noviembre

2011; revisada en diciembre 2012).


Una ley de la República Francesa del 10 de diciembre de 1799, firmada por el primer

cónsul, Napoleón Bonaparte, establecía el metro “para siempre” con el lema: “Para todos los

pueblos y para todos los tiempos”. Había nacido el metro y el sistema métrico decimal. Esto ¿Es

así? Los invito a ver el capítulo “Longitud” del ciclo “En su justa medida” y que hagan una tabla

que contenga el año y le definición de metro correspondiente a esa fecha. Les dejo dos links:

http://encuentro.gob.ar/programas/serie/8561/6333?temporada=1

https://www.youtube.com/watch?v=aA5v9nhuntM


37

Trabajo práctico N˚1

Conversión de unidades

Longitud

Observa la siguiente regla (ampliada):

¿Cuántos mm puedes contar dentro de 1cm?

Entonces, si queremos expresar 1,5cm en mm

¿Qué debemos hacer?

¿Cuál será el factor de conversión?

Y si queremos expresar 17 mm en cm ¿Cómo lo hacemos?

Veamos ahora la regla completa

Utilizando factores de conversión:

Expresar 115 mm en cm y en dm Expresar 1,2 dm en cm y en mm Observar que ocurre con el punto decimal ¿Qué conclusión puedes sacar?

1m

m

1cm

1 decímetro


38

Superficie

Si tenemos cuadrados de papel de 1cm de lado la superficie de dichos cuadrados será de 1cm2 y si tenemos un

cuadrado de papel de 1dm de lado la superficie de dicho cuadrado será de 1dm2.

Recorta los cuadrados que se encuentran debajo y cuenta cuántos de ellos debes utilizar para cubrir toda la

superficie del cuadrado que se ve arriba.

¿Cómo serán los factores de conversión para pasar de cm2 a dm2 y de dm2 a cm2?

¿Cuánto será 1,5 dm2 expresados en cm2? ¿y 120cm2 expresados en dm2?

¿Qué pasará ahora con el punto decimal en cada caso?

1dm2

1cm2


39

Volumen

Pensemos que pasara con los factores de conversión y con el punto decimal para un volumen de forma

análoga a lo realizado para una superficie a partir de cubos de volumen 1cm3 (1cm de lado) y 1 dm3 (1dm de

lado).

¿Cuantos cubos de 1cm3 puedes colocar en un cubo de 1 dm3?

¿Qué conclusión puedes sacar respecto de los factores de conversión y del punto decimal para el trabajo con

volúmenes?

Actividades finales

Mediante una regla mide:

El ancho de una hoja de tu carpeta expresando el resultado en mm, cm, dm y m

El largo dicha hoja expresando el resultado en mm, cm, dm y m

Calcular la superficie de la hoja en mm2, cm2, dm2 y m2

Un tanque de 1000L de capacidad puede contener 1000dm3 de agua.

Indicar la cantidad de agua que puede contener el tanque expresando el resultado en m3 y en cm3?

Si la densidad del agua es de 1g/cm3, ¿qué masa de agua podrá ser contenida por el tanque?


40

Trabajo práctico N˚2

Guía de ejercicios: Sistemas de unidades y conversiones

1. Expresar las medidas en términos de la unidad fundamental. Si es necesario, buscar el significado del

prefijo utilizado en las unidades.

a) Una tableta de vitamina contiene 180 mg de potasio.

b) El radio medio de la órbita de Saturno es de 1,49 terametros.

c) El tamaño de un microcircuito es de 6 micrómetros.

d) El tiempo del aleteo de un insecto es de 2 nanosegundos.

e) El radio de la Tierra es de 6,36 megametros.

2. Comparar las siguientes medidas. Para ello, expresarlos en términos de una misma unidad y acomódalas

de mayor a menor.

a) Juan corre a una velocidad de 8 km/h, Luisa corre a 2,5 m/s y Carlos corre a una velocidad de 130

m/min.

b) La masa de un Tiranosauro Rex era aproximadamente de 7 toneladas, un automóvil tiene una masa

alrededor de 7.300 kg y la de un tractor es de aproximadamente 732.000 g.

c) Parpadear una vez toma un tiempo de 30 microsegundos, un aleteo de una abeja dura 0,0000055

minutos y una señal de televisión viaja en 0,34 nanosegundos de un punto a otro.

3. Contestar las siguientes preguntas.

a) ¿Qué diferencia habría entre escribir 12x104 y escribir 1,2x105? ¿Cuál de los dos conviene usar?

b) ¿Qué diferencia habría entre escribir 55 x 107 y escribir 5,5 x 106? ¿Cuál de los dos conviene usar?

4. Los astrónomos utilizan una unidad que se llama año luz para medir las distancias entre los objetos en el

espacio. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año cuando viaja en el vacío. La velocidad de la

luz es de 300.000 km/s, aproximadamente. Encontrar la distancia del Sol a la Tierra en años luz.

5. Expresar cada uno de los siguientes valores en notación científica. Incluya las unidades en la respuesta:

a) La velocidad del sonido ( a nivel del mar) : 34.000 centímetros por segundo

b) El diámetro medio de la célula humana: diez millonésima parte del metro.

c) El radio ecuatorial de la Tierra: seis mil trescientos setenta y ocho kilómetros.

6. Una tableta de aspirina contiene 0,33 g de aspirina. Un paciente artrítico de 70,2 kg de peso toma dos

tabletas de aspirinas diarias.

a) ¿Qué cantidad de aspirina, expresada en miligramos, hay en las dos tabletas?

b) ¿Cuál es la dosis de aspirina expresada en miligramos por kilo de peso?

c) Con esta dosis diaria de tabletas de aspirina, ¿cuántos días tardaría en consumir 45,36 g de aspirina?

7. Responder:

a. En un bidón hay 5 l de agua ¿A cuántos ml equivale? ¿A cuántos cm3?

b. Una botella tiene una capacidad de 750 cm3 ¿Cuál es su capacidad en l?


41

c. En un vaso hay 300 ml de agua ¿A cuántos litros equivalen? ¿A cuántos mm3?

d. Un cubo cuya arista mide 4 cm ¿A cuántos mm3 equivale su volumen?

Datos adicionales: 1 litro = 1000 cm3

8. Sabiendo que las 2/3 partes de la superficie del planeta Tierra están cubiertas de agua y la profundidad

media de los océanos es 2,7 km:

a) Calculá el volumen del agua de los océanos expresado en m3.

b) Calcula la masa de agua contenida en los océanos.

Datos adicionales: Diámetro de la tierra: 12.756 km, Densidad del agua de mar: 1,03 g/cm3.

9. El dibujo presentado a continuación es de un ángulo de hierro, hecho con acero (aleación de hierro –

carbono) de densidad 7,78 g/cm3. ¿Cuál es la masa en kilogramos de este objeto?


42

Sistemas Materiales

Unidad Nº 1

Química y laboratorio 1

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[El siguiente módulo de trabajo pertenece al espacio

Química y Laboratorio I. En él trabajaremos con el tema

“Sistemas Materiales” que es muy concreto y práctico.

Para poder trabajar en esta materia se le solicita al alumno empeño y dedicación. No es fácil y se basa en la ejercitación y la práctica constante. Se requiere también, que el alumno practique constantemente y se proponga su propia superación. De ello dependerá el éxito en su paso por este Instituto Bienvenidos y mucha suerte


43

SISTEMAS MATERIALES

1)- QUIMICA:

Es una ciencia experimental y como tal requiere de la observación y de la

experimentación, que provienen del mundo macroscópico. Pero, para explicar los hechos

observados, se requiere de la creación de un modelo teórico a nivel submicroscópico. Aquí nos

surge la pregunta ¿qué es un modelo? En principio podemos decir que se trata de una teoría

basada en la formulación de hipótesis o suposiciones, a través de las cuales es posible explicar

los hechos experimentales. Finalmente y a manera de resumen podemos definir a la química:

La química es la ciencia que estudia la naturaleza de la materia, sus propiedades, las modificaciones que se producen en su composición y los cambios de energía que acompañan a las mismas.

A partir del Siglo XIX, la Química ha tenido un desarrollo realmente vertiginoso. En

nuestros días la Química es imprescindible para la evolución de otras ciencias. Está presente el la

Biología a través de la química celular, los microorganismos y las biomoléculas. En la Geología al

estudiar la composición de las rocas y los minerales. En Medicina, mediante el estudio y la

aplicación de las drogas, en el mejoramiento de la nutrición, etc. En la Industria aparecen

constantemente mejores fibras sintéticas para la fabricación de ropas, metales más fuertes y

mejores alimentos. Diariamente estamos en contacto con los cambios que ocurren en la

naturaleza. Los árboles crecen, el agua se evapora, el carbón, la madera y el papel arden, el

hierro se oxida, etc La química tiene que ver con todos estos cambios.

2)- MATERIA Y CUERPO:

Llamamos materia a todo aquello que posee masa y ocupa un lugar en el espacio, es decir

aquello que compone el universo. Por ejemplo: agua, arena, aire, etc. Masa es una medida de la

cantidad de materia en un objeto. La unidad de masa adoptada por el SIstema Métrico Legal

Argentino (SIMELA) es el kilogramo (Kg). Los términos “masa” y “peso” se usan a menudo como

sinónimos aunque, en rigor, se refieren a cantidadades diferentes. En el lenguaje científico, el

peso es la fuerza que ejerce la gravedad sobre un objeto.

Podemos definir cuerpo como una porción limitada de materia. Por ejemplo: una tiza, una

barra de hierro, un vaso con agua, etc. Un anillo de plata y una pulsera de plata son distintos

cuerpos de un mismo material. Un anillo de oro y un anillo de plata son cuerpos iguales formados

por distinto material. El químico no se preocupa por las formas de los cuerpos sino por su

composición.

En el Universo no sólo encontramos materia sino también energía. Esta última adopta

diferentes formas y sufre cambios contínuos. Lo que permite que los hombres caminen, las

plantas crezcan, los autos corran, los trenes funcionen, …. lo podemos sintetizar en una sola

palabra: Energía


44

3)- PROPIEDADES DE LA MATERIA:

Son todas aquellas cualidades que permiten caracterizar a la materia. Se clasifican en

tres grupos:

a}- Organolépticas: son aquellas propiedades que pueden ser captadas a través de los

sentidos, por ejemplo: color, olor, sabor, etc.

b}- Intensivas: son aquellas que no varían con la cantidad de substancia considerada, por

ejemplo: color, densidad, punto de fusión, punto de ebullición, etc.

c}- Extensivas: son aquellas que varían con la cantidad de substancia considerada, por

ejemplo: masa, volumen, peso, etc.

Podemos entonces definir substancia como la materia con las mismas propiedades

intensivas, por ejemplo: el agua, la madera, etc.

Densidad:

La densidad (símbolo ρ) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida

en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa

de un cuerpo y el volumen que ocupa.

δ = m/v

Resolver:

1) Calcular la densidad en g/cm3 de:

a) granito, si una pieza rectangular de 0,05 m x 0,1 m x 23 cm, tiene una masa de 3,22 kg.

Rta.: 2,8 g/cm3

b) leche, si 2 litros tienen una masa de 2,06 kg.

Rta.: 1,03 g/cm3

c) cemento, si una pieza rectangular de 2 cm x 2 cm x 9 cm, tiene una masa de 108 g.

Rta.: 3 g/cm3

d) nafta, si 9 litros tienen una masa de 6.120 g.

Rta.: 0,68 g/cm3

http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%A1

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitudes_f%C3%ADsicas

http://es.wikipedia.org/wiki/Masa

http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_%28f%C3%ADsica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Sustancia


45

e) Marfil, si una pieza rectangular de 23 cm x 15 cm x 15,5 cm, tienen una masa de 10,22 kg.

Rta.: 1,91 g/cm3

2) Calcular la masa de:

a) 6,96 cm3 de cromato de amónio y magnesio si la densidad es de 1,84 g/cm

3.

Rta.: 12,81 g

b) 86 cm3 de fosfato de bismuto si la densidad es de 6,32 g/cm

3.

Rta.: 543,42 g

c) 253 mm3 de oro si la densidad es de 19,3 g/cm

3.

Rta.: 4,88 g

d) 1 m3 de nitrógeno si la densidad es de 1,25 g/l.

Rta.: 1.250 g

e) 3,02 cm3 de bismuto si la densidad es de 9,8 g/cm

3.

Rta.: 29,6 g

f) 610 cm3 de perclorato de bario si la densidad es de 2,74 g/cm

3.

Rta.: 1,67 kg

g) 3,28 cm3 de antimonio si la densidad es de 6,7 g/cm

3.

Rta.: 21,98 g

3) Calcular el volumen de:

a) 3,37 g de cloruro de calcio si la densidad es de 2,15 g/cm3.

Rta.: 1,57 cm3

b) 40,5 g de silicato de cromo si la densidad es de 5,5 g/cm3.

Rta.: 7,36 cm3

c) 2,13 kg de estaño si la densidad es de 7,28 g/cm3.

Rta.: 292,58 cm3

d) 12,5 g de hierro si la densidad es de 7,87 g/cm3.

Rta.: 1,59 cm3


46

e) 706 g de sulfato de cerio si la densidad es de 3,17 g/cm3.

Rta.: 222,71 cm3

f) 32,9 g de magnesio si la densidad es de 1,74 g/cm3.

Rta.: 18,91 cm3

4) La densidad del azúcar es 1590 kg/m3, calcularla en g/cm

3.

4)- ESTADOS DE AGREGACION DE LA MATERIA:

Existen cinco estados de agregación de la materia (sólido, líquido, gaseoso, plasma y

superfluído) con las siguientes características:

a]- SÓLIDO:

poseen forma y volumen propios,

poseen sus moléculas en ordenación regular (estructura cristalina),

son incompresibles,

predominan las fuerzas de atracción intermolecular sobre las de repulsión.

b]- LIQUIDO:

poseen volumen propio,

no poseen forma propia sino que adoptan la forma del recipiente que los contiene,

sus moléculas no se hallan en ordenación regular,

son difícilmente compresibles,

las fuerzas de atracción intermoleculares equilibran a las de repulsión,

poseen superficie libre plana y horizontal.

c]- GASEOSO:

no poseen forma ni volumen propios, adoptan las del recipiente que los contiene,

poseen mucha movilidad molecular,

son fácilmente compresibles,

no poseen superficie libre,

las fuerzas de repulsión intermoleculares predominan sobre las de atracción.

El cuarto estado de agregación se denomina plasma y consiste en un gas en estado

ionizado, con características similares a un gas, pero más denso. Prácticamente no existe el

plasma en la naturaleza, salvo en los relámpagos y en las capas superiores de la atmósfera, donde

se produce el fenómeno conocido como aurora boreal. Cuando los gases se encuentran a muy

elevadas temperaturas (millones de grados) como ocurre en el sol y en otras estrellas, se

obtienen partículas cargadas eléctricamente. Por eso, la mayor parte del Universo está


47

constituido por materia en estado de plasma

El quinto estado de agregación se denomina superfluido y consiste en un líquido obtenido

en laboratorio pero que se comporta de una manera muy particular: tiende a escaparse trepando

por las paredes del recipiente que lo contiene.

5)- CAMBIOS DE ESTADO:

Los cambios de estado son transformaciones físicas en las cuales la materia cambia de

estado de agregación, mediante una transferencia o intercambio de energía (calor). Durante

dichas transformaciones, la temperatura del sistema permanece constante, denominándose Punto

de Fusión, Punto de Ebullición, etc.

A los cambios de estado que se producen por absorción de calor se los denomina cambios

progresivos. A los que se producen con desprendimiento de calor se los denomina regresivos.

Ejercicio 1: clasifique los cambios de estado de la materia indicando cuáles son progresivos

y cuáles regresivos.

Ejercicio 2: Teniendo en cuenta las densidades del hierro y del plomo, determinar:

a) Los volúmenes de 100 gr. de hierro y de 0,12 Kg. de plomo

b) Las masas de un trozo de hierro de 15 cm3 de volumen y de otro de 0,12

dm3 de plomo

Datos: δ(Hierro) = 7,87 gr./cm3 y δ(plomo) = 11,32 gr/cm

3

Ejercicio 3: El meta-xileno es un solvente orgánico utilizado en la fabricación de

barnices, pinturas e insecticidas. Se tiene una muestra de m-xileno líquido a

-20ºC, a presión atmosférica. Se calienta hasta los 105ºC y sigue siendo líquida. Dadas

las siguientes afirmaciones indicar si son o no son correctas, justificando la respuesta:


48

a) el punto de fusión normal del m-xileno es menor que cero

b) a 100ºC el m-xileno hierve

c) a temperatura ambiente es un gas

d) a 0ºC se evapora

e) a -5ºC es un sólido

f) su punto de ebullición normal es mayor que el del agua

Ejercicio 4: Un constructor desea comprar 10 varillas cilíndricas de hierro de 12

metros de largo y 10 mm de diámetro. El hierro se vende a $ 1,20 el kilogramo

¿Cuánto debe abonar?

Ejercicio 5: Dadas las siguientes propiedades, indicar cuáles son intensivas y cuáles

extensivas:

a) masa e) punto de ebullición

b) densidad f) peso

c) volumen g) punto de fusión

d) dureza h) conductividad eléctrica

6)- SISTEMAS MATERIALES:

a]- Definición: Para efectuar un análisis de sangre un bioquímico necesita extraer una muestra.

La misma es su objeto de estudio y constituye un sistema material. Para estudiar las propiedades

del agua basta tomar una muestra del agua contenida en un vaso, la cual constituye otro sistema

material. Lo mismo podemos decir de un trozo de oro, o de una botella con agua mineral. Se denomina sistema material a un cuerpo o conjunto de cuerpos aislados para su estudio, es decir, una porción de universo aislada en forma real o imaginaria.

b]- Clasificación: se pueden clasificar según dos criterios:

1- Según su composición:

i- Homogéneos: son aquellos que poseen las mismas propiedades intensivas en

cualquier punto del sistema. Ejemplo: agua, alcohol, aire, etc.

ii- Heterogéneos: son aquellos que poseen propiedades diferentes en dos o más

puntos del sistema; presentando superficies de discontinuidad (interfases). Ejemplo: agua con

dos cubos de hielo, agua y arena, etc.


49

2- Según el intercambio con el medio ambiente:

i- Abiertos: son aquellos que intercambian materia y energía con el medio

ambiente. Por ejemplo una pava con agua hirviendo.

ii- Cerrados: son aquellos que solo intercambian energía con el medio ambiente.

Por ejemplo, una lamparita encendida.

iii- Aislados: son aquellos que no intercambian ni materia ni energía con el medio

ambiente. Por ejemplo, un termo cerrado.

c]- Fase: es cada uno de los sistemas homogéneos que componen un sistema heterogéneo,

separados por superficies de discontinuidad, denominadas interfases. Un sistema heterogéneo

puede ser bifásico, trifásico, tetrafásico, etc.

Por ejemplo, supongamos tener un sistema material formado por agua, arena, aceite, 2 clavos de

hierro y 2 cubos de hielo: es un sistema heterogéneo formado por 5 fases (hielo, aceite, agua,

hierro, arena) y 4 componentes (agua, aceite, hierro y arena).

Por lo tanto, podemos afirmar que todo sistema homogéneo está constituido por una sola fase

(monofásico), mientras que un sistema heterogéneo está constituido por dos o más fases

(polifásico)

Criterio de clasificación:

A simple vista, la leche o la sangre aparecen como sistemas homogéneos, pero vistos al

microscopio podemos observar pequeñas partículas dispersas en un medio líquido. Es decir, desde

ese punto de vista se trata de sistemas heterogéneos. Por consiguiente, para establecer si un

sistema es homogéneo o heterogéneo debemos establecer un criterio.

Adoptaremos como norma para decidir si un sistema es homogéneo, que todas las partículas que

lo componen tengan un diámetro menor que un nanómetro (1nm=10-9m)


50

Ejercicio 6: Clasifique los siguientes sistemas materiales según el intercambio con el medio

ambiente:

a) Una lata de gaseosa b) Una heladera cerrada

Ejercicio 7: Clasifique el siguiente sistema material, indicando tipo de sistema y fases: dos

clavos de hierro, arena, alcohol, agua y sal disuelta dentro de un recipiente sin tapa.

d]- Separación de Fases:

Existen varios métodos mecánicos para separar las fases de un sistema heterogéneo,

dependiendo del estado de agregación de cada fase:

- Solubilización: consiste en disolver uno de los componentes de una mezcla sólida, por ejemplo,

arena y sal. Se agrega agua caliente, disolviéndose la sal y permaneciendo la arena insoluble. Para

la separación final del sistema se emplea el método siguiente.

- Filtración y Evaporación: consiste en filtrar el componente disuelto en el punto anterior y

recuperarlo (arena y agua salada). Al filtrar, pasa el agua salada a través del filtro y queda la

arena retenida en éste. Luego se evapora el agua quedando la sal en estado sólido en el fondo del

recipiente.

- Decantación: permite separar un sólido insoluble en un líquido (por ejemplo, agua y arena) o

dos líquidos inmiscibles de diferente densidad (por ejemplo, agua y aceite). El componente más

denso se ubica en la parte inferior del recipiente. Como puede verse en la figura más adelante,

esto puede realizarse volcando el líquido sobrenadante en el primer caso o por medio de una

ampolla de decantación en el segundo caso.

- Centrifugación: es una decantación acelerada por fuerza centrífuga. Por ejemplo, si

colocamos tinta china en un aparato denominado centrífuga, al girar a gran velocidad, decantan

las partículas de carbón suspendidas obteniéndose las dos fases separadas: agua y carbón. Para

la separación completa, puede realizarse posteriormente una filtración o decantación.

- Levigación: se emplea para separar dos sólidos por arrastre con corriente de agua. Por

ejemplo, una mezcla de corcho y arena puede separarse haciendo circular a través de él, una

corriente de agua que arrastra el corcho mientras la arena permanece en su lugar.

- Tamización: se utiliza para separar dos sólidos de diferente tamaño de partícula pasándolo a

través de una tela denominada tamiz. Por ejemplo al tamizar sal fina y azúcar, como los cristales

de sal son más pequeños que los de azúcar, pasan a través del tamiz mientras que los cristales de

azúcar quedan retenidos.

- Sublimación: se emplea para separar un sólido volátil de otro no volátil por sublimación. Por

ejemplo, al calentar una mezcla sólida de yodo y arena, el primero volatiliza y puede recuperarse

colocando sobre la mezcla una superficie fría sobre la cual condensa el vapor de yodo.

- Tría: para separar cuerpos sólidos grandes mediante pinzas. Por ejemplo, para separar trozos

de corcho, cubos de hielo, clavos, etc.


51

- Imantación: se emplea para separar sólidos magnéticos de otros sólidos no magnéticos, como

por ejemplo, limadura de hierro y arena. Al acercar un imán al sistema, éste retiene las

partículas de limadura de hierro y puede decantarse la arena.

En la figura siguiente se muestran algunos de los métodos empleados en la separación de

fases:

e)- Mecanismo Secuencial Separativo:

Veamos como se plantea esquemáticamente la separación de un sistema material.

Supongamos que el sistema está formado por arena, sal, limadura de hierro, limadura de aluminio

y canto rodado.

Arena Lim. de Hierro

Sal

Lim. de Hierro Imantación Arena Canto Rodado

Lim. de Aluminio Sal Tría

Canto rodado Lim de Aluminio Arena

Canto Rodado Sal Solubilización

Lim. de Al

Arena Tamización Arena

Lim de Aluminio Arena

Lim de Aluminio Filtración Agua salada

Sal Evaporación Agua Salada Lim. de Aluminio


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Ejercicio 8: Proponga un mecanismo secuencial separativo para el siguiente sistema

material: Arena, tres clavos de hierro, sal fina, limadura de hierro, limadura de cobre y

naftalina molida.

7)-SISTEMAS MATERIALES HOMOGENEOS:

a]-Clasificación: Los sistemas homogéneos, de acuerdo a su composición, se clasifican en

sustancias puras y soluciones.

a.1]-Sustancias puras: son sistemas homogéneos con propiedades intensivas constantes

que resisten los procedimientos mecánicos y físicos del análisis. Estan formadas por una sola

sustancia y presentan propiedades características (propias y exclusivas) de ellas. Ejemplos: agua,

sal, etc.

Las sustancias puras se clasifican a su vez en:

a.1.1} - Sustancias Puras Simples: son aquellas que no pueden ser separadas

en otras sustancias. Constituyen este grupo las sustancias elementales o elementos: Hidrógeno,

Carbono, Azufre, Oxígeno, etc.

a.1.2}- Sustancias Puras Compuestas: son aquellas que pueden originar a

través de reacciones de descomposición, sustancias puras simples. Es el caso del agua, el

anhídrido carbónico, la sal, etc.

a.2]-Soluciones: son sistemas homogéneos formados por dos o más sustancias puras o

especies químicas. Por otra parte, podemos determinar si los valores de las propiedades

intensivas cambian en el sistema. Si efectuamos, por ejemplo, mediciones de la densidad en

distintas porciones del sistema, encontraremos que los valores son los mismos. En consecuencia

el sistema en cuestión es efectivamente homogéneo. El componente que esta en mayor

proporción, generalmente líquido, se denomina solvente o disolvente, y el que esta en menor

proporción soluto. Si un soluto sólido se disuelve en un solvente líquido, se dice que es soluble, en

cambio, si el soluto también es líquido entonces se dice que es miscible.

Las soluciones pueden ser separadas en las sustancias puras que las componen mediante


53

métodos de fraccionamiento.

Aleaciones: Generalmente cuando se piden ejemplos de soluciones, se nombran aquellas

que su estado de agregación es líquido, pero… ¿Qué ocurre si fundimos dos o más metales, los

mezclamos y luego enfriamos el sistema a temperatura ambiente? Obtenemos un material

metálico homogéneo que al estar formado por dos o más componentes es una solución. En este

caso una solución sólida.

Muchos de los objetos metálicos que conocemos no están constituidos por un solo metal, sino que

están mezclados con otros metales y no metales, los cuales al fundirse se disuelven unos en

otros. Las soluciones sólidas así obtenidas se denominan aleaciones y sus propiedades son

distintas de las de sus componentes. En general, las aleaciones tienen propiedades que mejoran

las características de los metales puros, siendo más resistentes y duras que éstos. Algunas

aleaciones son muy conocidas y apreciadas por sus aplicaciones extensas y variadas. Así, por

ejemplo, el bronce es una aleación de cobre con estaño y el latón de cobre con cinc. El estaño que

se usa para soldaduras contiene 50% de estaño y 50% de plomo. El oro usado en joyería es una

aleación con plata y cobre. El oro blanco, es una aleación de color plateado de oro y níquel o

platino.

Aceros: Los aceros son aleaciones de hierro con proporciones variables de otros metales como

manganeso, níquel, cromo, etc. y un no metal como el carbono.

Los aceros así obtenidos presentan una resistencia notablemente superior a la del hierro

metálico. El carbono confiere al acero dureza, flexibilidad y resistencia a la corrosión. Los

aceros tienen propiedades que los hacen objeto de extensas aplicaciones industriales, como en la

fabricación de auto-partes, vajillas, tanques, reactores industriales, planchas para blindajes, etc.

Los aceros inoxidables son aleaciones de hierro y carbono con cromo y níquel.

Amalgamas: El meracurio, que es un líquido, presenta la notable propiedad de disolver numerosos

metales como el oro, el cobre, el cinc y la plata entre otros. Los productos obtenidos son

aleaciones que pueden ser sólidas o líquidas y reciben el nombre de amalgamas. En odontología es

muy usada la amalgama de mercurio con plata y cinc, para obturar caries, aunque actualmente

está siendo reemplazado por otros materiales. Cabe destacar que el mercurio puro es tóxico,

pero cuando se halla amalgamado no presenta problemas para la salud.

b]-Métodos de fraccionamiento: son procesos físicos de separación.

I]- DESTILACION: consiste en transformar un líquido en vapor ( vaporización ) y luego

condensarlo por enfriamiento (condensación) . Como vemos, este método involucra cambios de

estados. De acuerdo al tipo de solución que se trate, pueden aplicarse distentos tipos de


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destilación:

i-Simple: se emplea para separar el solvente, de sustancias sólidas disueltas (solutos).

Este método se aplica principalmente en procesos de purificación, como por ejemplo, a partir del

agua de mar puede obtenerse agua pura destilando ésta y quedando los residuos sólidos disueltos

en el fondo del recipiente. En la figura siguiente se representa un aparato de destilación simple

utilizado comunmente en los laboratorios.

ii-Fraccionada: se emplea para separar 2 o más líquidos miscibles de diferentes puntos

de ebullición. El líquido de menor temperatura de ebullición destila primero. Para lograr obtener

los líquidos puros se emplean columnas fraccionadoras, deflegmadoras o rectificadoras. Ej:

alcohol (78.5'C) y agua (100'C).

En procesos industriales, este procedimiento se lleva a cabo dentro de grandes torres de

acero, calefaccionadas por gas natural, fuel oil o vapor de agua sobrecalentado. La condensación

de los vapores producidos se realiza en intercambiadores de calor o condensadores con agua fría

o vapor de amoníaco. Se emplean para obtener agua destilada, fraccionamiento del petróleo en la


55

obtención de naftas, aceites, gasoil, etc.

II]- CRISTALIZACION: se emplea para separar sólidos disueltos en solventes líquidos. Puede

hacerse por enfriamiento (disminución de solubilidad por descenso de temperatura) o por

calentamiento (disminución de capacidad de disolución por evaporación del solvente).

III]- CROMATOGRAFIA: se emplea para separar solutos sólidos disueltos en solventes

adecuados (cloroformo, acetona, tetracloruro de carbono, etc.). Esta basado en la propiedad que

tienen ciertas sustancias de absorber selectivamente a determinados solutos. Una fase, por

ejemplo sólida, denominada fase fija absorbe los componentes de una mezcla. Otra fase,

denominada fase móvil (líquida o gaseosa), al desplazarse sobre la fase fija arrastra los

componentes de la mezcla a distinta velocidad, con lo cual se separan. Existen distintas técnicas

cromatográficas: en placa, en papel, en columna (HPLG,SL,SG). En la figura siguiente se

representan dos técnicas cromatogréficas sencillas:

La cromatografía en placa se emplea con fines cualitativos para identificar sustancias,

mientras que la cormatografía en columna, se emplea cuantitativamente para separar sustancias.

En la actualidad, se emplean equipos sofisticados denominados cromatógrafos de alta presión que

mediante un sistema computarizado, identifican cuali y cuantitativamente los componentes de

una mezcla.

8)-COMPOSICION CENTESIMAL:

Se denomina asi al porcentaje de cada componente en un sistema material. Supongamos

que un sistema material está formado por 20.00 g de agua, 5.00 g de arena y 25.00 g de aceite:


56

Masa Total del Sistema: 20.00 g + 5.00 g + 25.00 g = 50.00 g

Agua: 50.00g 100% Arena: 50.00g 100% Aceite: 50.00g 100%

20.00g 40% 5.00g 10% 25.00g 50%

Entonces, la composición centesimal del sistema es:

Agua = 40% Arena = 10% Aceite = 50%

EJERCITACION:

1. Clasificar las siguientes propiedades: volumen, peso, sabor, masa, peso específico, superficie,

densidad, color, punto de fusión.

2. Una pieza de oro de masa 12.82g tiene un volumen de 0.663 cm3. ¿Cuál es la densidad del oro?

¿Qué volumen ocuparán 400 mg de oro?.

3. Indique si los siguientes sistemas son homogéneos o heterogéneos y justisfique:

a)aire c)- agua potable e)carbon y agua g)- soda

b)leche d)- gelatina f)agua de mar h)- hielo y agua

4. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique:

a)Un sistema con un solo componente debe ser homogéneo.

b)Un sistema con dos componentes líquidos debe ser homogéneo.

c)Un sistema con dos componentes gaseosos debe ser homogéneo.

d)Un sistema con varios componentes distintos debe ser heterogéneo.

5. Las siguientes proposiciones se refieren a un sistema formado por tres trozos de hielo flotando en una solución acuosa de cloruro de sodio (sal común). Indique cuales son V o F. y

justifique:

a)-Es un sistema homogéneo.

b)-El sistema tiene dos interfases.

c)-El sistema tiene tres fases sólidas y una líquida.

d)-El sistema tiene dos componentes.

e)-Los componentes se pueden separar por filtración.


57

g)-Los componentes se pueden separar por destilación.

h)-Cada componente conserva sus propiedades individuales cuando forma parte del sist.

6)- Una sustancia blanca, cristalina, se descompone al ser calentada formando un gas incoloro y

un sólido rojo, cada uno de los cuales se comporta como una sustancia. Solamente con lo dicho:

¿puede ser una sustancia simple el sólido original? ¿Puede ser una sustancia simple cualquiera de

los productos finales? ¿Puede asegurar que alguna de las sustancias mencionadas, es una

sustancia simple? Justifique.

7)- Dado el siguiente sistema -

0,85 g/ml) - 50.00 g de arena - 30.00 g de corcho - 12.00 g de sal disuelta.

a)- ¿Es homogéneo o heterogéneo? b)- ¿Cuales son sus componentes?

c)- ¿Cuantas fases hay y cuales son? d)- Determine su composición centesimal

d)- Proponga un mecanismo secuencial separativo

8)- Que método/s emplearía para separar los componentes de cada sistema:

a) arena-sal d) arena-corcho g) agua-kerosene

b) azúcar-agua-carbon e) sal-hielo-agua h) alcohol-agua-sal disuelta

c) arena-lim.de Fe. f) naftalina molida y arena i) arena y lim. de aluminio

9)- Indicar cuales de los siguientes sistemas son soluciones y cuales sustancias puras:

a) agua salada c)agua y alcohol e)óxido cúprico g)mercurio

b)bromo d)vino filtrado f)aire h)agua

destilada.

10)- Indicar cuales son sustancias simples y cuales compuestas:

a)agua c)Cloruro de sodio, e)oxígeno, g)azufre,

b)hierro, d)óxido férrico. f) Sulfato cúprico h) Ozono

11)- Calcular la composición centesimal para cada uno de los siguientes sistemas:

a) 8.0g de sal, 20.0ml de agua (


58

b) Una sustancia formada por C,H y O de la que se sabe que 0.600g contienen 0.240g de C

y 0.040g de H

12)- Dar un ejemplo de cada uno de los siguientes sistemas materiales:

a) Un sistema heterogéneo formado por:

Dos componentes líquidos y uno sólido

Un componente líquido y uno gaseoso

b) Un sistema homogéneo formado por:

Dos componentes líquidos

Dos componentes gaseosos

13)- Completar el siguiente cuadro:

Sistema material Fases Componentes

Hielo, clavos de

hierro, agua salada

Vapor de agua, aire,

dos trozos de hielo

Solución acuosa de

cloruro ferroso,

oxígeno, clavos de

hierro, hidrógeno,

limaduras de hierro


59

MATEMÁTICA NÚMEROS ENTEROS

1) Los resultados de los cálculos siguientes te indicarán la cantidad de años que pueden vivir algunos

animales:

a) 92 : 2 – 4 . 1 . 5 – 8 . 3 + 13 . 5 -2 = (elefante)

b) 117 + 15 . 4 – 880 : 88 – 1000 : 100 + 7 . 9 - 20 = (tortuga de Galápagos)

c) 64:8 + 3 . 2 + 6 . 5 + 4 . 5 + 9 .3 – 4 . 6 . 2 + 12- 3.9 = (camello- tigre- cebra)

d) 90:10 + 12 : 3 + 8 – 3 . 6 : 2 – 2 . 7 + 7.9 – 2 .13 = (oso polar)

2) Resuelve las siguientes situaciones:

a) Javier y Felipe tenían deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron sus respectivos sueldos y

pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $267 y a Felipe $ 409. ¿Cuánto cobró de sueldo cada

uno?

b) Si un buzo estaba a –60 metros y ahora está a – 28 metros. ¡Ascendió o descendió? ¿Cuántos

metros?

c) El papá y la mamá de Juan trabajan. La mamá gana $ 2850 pero le descuentan $ 400. El papa

gana $ 3200 y le descuentan $ 500. Si los gastos mensuales familiares suman $ 3900. ¿Cuánto

pueden ahorrar?

d) Un edificio tiene 17 pisos, planta baja y 2 subsuelos. Un ascensor está en el segundo piso, sube 8

pisos, desciende 11 pisos, vuelve a subir 5 pisos, desciende 7, sube 7 y baja 2 ¿En cuál está en este

momento?

e) Un globo aerostático fue lanzado desde una altura de 10 metros sobre el nivel del mar. Al principio

subió 150 m, luego bajó 25 m, después bajó 70 m más y, por último, tomó envión y subió 220 m.

¿Hasta qué altura llegó desde el nivel del mar?

f) Tenía que pagar 5 cuotas atrasadas de $ 600 cada una sin intereses y cobré 3 sueldos atrasados

de $ 1100 cada uno. ¿me quedó dinero, o quedé debiendo?

g) El nivel de agua de un lago descendió 3 cm por día durante cuatro días. Luego, por efecto de las

lluvias, ascendió 4 cm por día durante una semana. ¿Cuál es el nivel final del agua del lago luego de

los once días?

h) En un aeropuerto, se acepta despachar un máximo de 30 Kg. por pasajero sin pagar exceso de

equipaje. Una señora llevaba 12 Kg. de ropa, 2 Kg. de objetos de perfumes, 3 Kg. de zapatos, 3 Kg.

de peso en libros y folletos. Además, llevaba 4 regalos de igual peso y cada uno pesaba una

cantidad entera de Kg. ¿Cuál era el peso posible de cada regalo si la valija vacía pesaba 2 Kg. y no

pagó exceso de equipaje?


60

i) Un kiosco vendió 60 revistas el día lunes. El martes vendió el 50 % menos de lo que vendió el

lunes. El miércoles vendió un 50 % más que el martes. El jueves vendió el 75 % de la cantidad que

vendió el lunes. El viernes vendió 10 revistas menos que el jueves. El sábado vendió 10 revistas más

que el promedio de venta entre el lunes y el martes. El domingo vendió las tres cuartas partes de lo

que vendió el lunes. Calcular cuántas revistas vendió cada día.

3) ¿Con qué cifra completaría para que el número sea múltiplo de a?

a) 12 2 a=4 b)64 95 a=3

c)5 25 a=5 d)874 a=15

e) 504 a=8 f) 75 6 a=9

g) 6 24 a=11 h) 751 a=2

i) 852 a=6 j) 10 9 a=7

k) 8 5 a=25 Nota: Revisar los criterios de divisibilidad

4) ¿Qué cifra hay que poner para que el número 367

a) Sea múltiplo de 3 y de 5? b) sea múltiplo de 2 y de 5?

5) Completa la siguiente tabla de acuerdo a los valores a, b y c dados

a b c a – b.c (a - b).c a.c - b2 a:b – a.c

6 2 4

1 8 5

0 1 2

-3 -2 -1

-3 -1 2

2 -3 -1

-1 1 -1

6) Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones, sabiendo que

A = -5, B = 1 y C = 3 , resolver:

a) (2.A + C) – B + C:(3.B) = b) (5.A – 3 . B):2.B =

c) [10 – (3.B + C)]:2.B = d) [25 + (C – B).A – 5.A]:( 10 – A) =


61

7) Escribí todos los divisores de 35 y 75.

a) Identificar el MCD.

b) Hallar la descomposición en factores primos de 35 y 75.

c) Identificar el MCM.

d) Multiplicar 35 . 75 y expresar el resultado en su forma polinómica (es decir, como sumas de

productos por potencias de diez).

8) Completar:

La descomposición en factores primos de 270 es…

El mínimo común múltiplo entre 24, 30 y 48 es…

Los divisores comunes entre 48 y 72 son …

En una división, cero solamente puede ser el…

Un múltiplo de dos pero no de cuatro y menor que doscientos es…

9) Completen el Cuadrado mágico: La suma de filas, columnas y diagonales da 34.

16 2

5 10

6 12

14 1

NÚMEROS RACIONALES

Definición

0;,/ bZbab

axxQ

Amplificación Y Simplificación De Fracciones

Amplificación: INncon

n.b

n.a

b

a


62

Simplificación: INnconn:b

n:a

b

a

Comparacion De 2 ó Más Fracciones

Sean las siguientes fracciones: 56

39,

14

11,

7

5

M.C.M. entre 7, 14 y 56 es 56; luego, amplificando tenemos:

56

39

7

5

14

11

56

39

56

44

56

40

56

39

14

11

7

5

1

1

4

4

8

8 ,,,,x

x

x

x

x

x

Operatoria Con Fracciones

b.d

b.ca.d

d

c

b

a: Suma

b.d

b.ca.d

d

c

b

a:Resta

b.d

a.c

d

c

b

a:ciónMultipl ica

b.c

a.d

c

d

b

a

d

c:

b

a:Divis ión

Expresiones Decimales ( Equivalente Fraccionario)

Racionales

Fracciones

Decimales

Propia

Impropia (Nº mixto)

Aparentes

Finito

Periódico Mixto


63

Decimal Finito:

10

255,2

1000

125125,0

Decimal Periódico: 9

23

9

2255,2...55555,2;

99

1212,0...121212,0

Decimal Mixto:

9900

2122

9900

2121434321,0...214343,0

Potencias

Definición:

vecesn

aaaaaan ..........

Propiedades Y Ejemplo

Traducir las propiedades anteriores al lenguaje coloquial

Propiedad Ejemplo

a a an m n m 945 xx.x

a a a an m n m: 0 xx.x 45

a a0 1 0 , 6 10

aa

ann

10

3

3

y

1y

a b a bn n n 444 63.2

a ba

bbn n

n

:

0

444 23:6

a a anm

mn

n m 1262 xx


64

Potencias De 10

n 10n

n < 0 0 000 01, n ceros

n = 0 1

n > 0 100000 0 n ceros

Aplicación De Las Potencias De 10

3

5

10.4004,0

10.4400000

4

3

10.3,400043,0

10.4,33400

Signo De Una Potencia

Exponente par Exponente impar

base + Signo + Signo +

base - Signo + Signo -

Raíces

Definición: 0 maa m

nm n ;

Propiedades:

nnn b.ab.a 0 b

b

a

b

an

n

n

nn n b.ab.a

m.nn m aa

n N


65

Signo De Una Raiz

Índice par Índice impar

radicando + Signo + y - Signo +

radicando - No existe Signo -

1) Expresa las zonas sombreadas en forma fraccionaria y porcentual

2) Escribir la fracción irreducible, que representa cada zona sombreada, del entero.

a) Indicar qué zona rayada en la Fig. I, corresponde a la mitad de un tercio del entero; ¿qué fracción

del total representa dicha zona? ¿Que operación entre 1/2 y 1/3 puedo realizar para encontrar la

fracción del total?

b) Indicar qué zona rayada en la figura II, corresponde a los tres cuartos de un sexto del entero, ¿qué

fracción del total representa dicha zona?¿qué operación entre 3/4 y 1/6 puedo realizar para encontrar

la fracción del total?

c) Indicar qué zona sombreada de la figura III, corresponde a la mitad de un medio del entero, ¿qué

fracción representa del total? ¿Qué operación puedo realizar entre 1/2 y 1/2 para obtener la fracción

anterior?

Fig I Fig II Fig III


66

3)a) ¿Qué parte es 2/3 de 1/5? b) ¿Qué parte es 2/7 de 3/8?

4) a) Sombrea en un rectángulo 2/5 de 1/3 ¿qué parte es del total?

b) Sombrea en un rectángulo 1/4 de 2/3 ¿qué parte es del total?

c) Sombrea en un rectángulo 2/7 de 2/9 ¿qué parte es del total?

5) Representa gráficamente las siguientes situaciones:

a) Rayé 1/5 del entero y luego 2/7 de lo que quedaba, ¿qué parte del entero quedó rayada? ¿Y sin rayar?. Si los 2/7 se rayan del total ¿qué parte del entero queda rayada? Y¿ sin rayar?

b) Sombreé 2/3 del entero y luego 3/4 de lo que quedaba ¿qué parte del entero quedó sombreada? ¿Y sin sombrear?. Si los 3/4 se marcan sobre el total, ¿qué parte del entero quedó sombreada? Y ¿sin sombrear?

6) Resuelve gráfica y analíticamente:

a) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partes del precio

mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan así a cubrir el precio total ¿cuánto cuesta la enciclopedia?

b) Carlos reparte caramelos entre sus tres hijos, al mayor le da la tercera parte, al del medio la cuarta

parte y al menor dos quintas partes. Luego del reparto le sobran dos caramelos.¿cuántos caramelos

tenía Carlos para repartir?

c) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo toma un tercio de dinero

y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma $500 y sólo quedan $100 para Diego.

¿Cuánto dinero había en total?

d) Si una persona por día emplea la cuarta parte de lo que gana en alimentos, dos tercios de lo que

quedaba en otros gastos y cada 14 días ahorra $ 104,30 ¿Cuánto gana por día? Y ¿cuánto gana si

los dos tercios son del total?

e) María pintó 2/3 de una pared, Juan el 23% del resto de esa pared. ¿Qué parte de la pared quedó

sin pintar? Y ¿qué parte quedó sin pintar si el 23% es del total?

f) Juan tiene una caja con figuritas pero sólo los 2/5 del total le pertenecen. Brian tiene la mitad de lo

que tiene Juan y hay 18 figuritas que son de los dos. ¿Cuántas figuritas hay en la caja?

g) una canilla puede llenar un tanque en 10 horas, mientras que un desagüe puede vaciarlo en 15

horas.

1) ¿qué parte del tanque se llena en una hora?


67

2) ¿qué parte del tanque se desagota en una hora?

3) ¿cuánto tiempo tardará el tanque en llenarse si la canilla y el desagüe están abiertos al mismo

tiempo?

h) El suplemento cultural de un diario está formado de esta manera: la tercera parte de las páginas

están dedicadas a espectáculos. Del resto, la quinta parte está dedicada al teatro y la mitad está

ocupada por artículos de artes plásticas. Las páginas restantes están dedicadas a la literatura. ¿Qué

parte de la revista se dedica a literatura?

7) a) Representa en una recta numérica: -1/3, 5/2, 2/5, -7/3.

b) Nombra por lo menos tres fracciones que estén ubicadas entre 2/5 y 3/5.

1) Escribir una fracción que represente la parte sombreada:

9) Simplificar y transformar las sigs fracciones en números decimales y porcentaje:

a) 21/9 = b) 38/100 = c) 204/22 = d) 36/12 = e) 4/5 = f) 7/3 = g) 11/7 = h) 8/25 =

10) Calcular cuánto le falta a cada uno de los siguientes números para llegar a 1.

a) 1/3 b) 0,38 c) 2/5 d) 0,99 e) 7/9 f) 0,731 g) 0,05 h) 3/4

11) Expresar en forma de fracción los siguientes enunciados:

a) 7 de los 20 departamentos están vendidos.

b) 1 día del año.

c) 15 de los 28 comercios cerraron por vacaciones.

d) 5 meses del año.

e) En el conjunto de 12 teclas de un piano, 7 son blancas.

f) 5 alumnos del total del curso.


68

12) Representar gráficamente y en la recta numérica:

a) 2/5 b) 6/3 c) 7/10 d) 9/4 e) 3/7

13) Representar en la misma recta numérica:

a) 5/8 ; 0 ; -3/4 ; -2 ; 1/2 b) -7/6 ; -5/9 ; 1 ; 0 ; 1/3

14) Marcelo, Tatiana y Martín tienen, cada uno, un rectángulo de igual tamaño. Marcelo pinta 3/4 de

su rectángulo de color negro, Tatiana pinta 6/8 del suyo de color amarillo y Martín 9/12 del suyo de

color rojo. ¿Quién pintó más?¿Por qué?

15) Comparar: a) 5/8 ........ 3/4 b) 9/6 ........... 12/8 c) 7/3 ............. 20/12

16) Escribir una fracción equivalente a:

a) 5/3 que tenga por denominador 30.

b) 1/3 cuyo denominador esté comprendido entre 6 y 18.

Completar los espacios en blanco para que las fracciones sean equivalentes:

c) 6

7

1 d)

164

3 e)

72

8

9 f)

1080

56

17) Resolver: a) 8/20 - (3/8 - 1/5) = b) (3/4 - 1/3) + 7/6 = c) (9/5 + 3/4) - (2 + 1/2)

18) Resolver: a) 2/5 . 7/3 = b) 1/2 . 4/7 . 3 = c) 12/35 : 4/25 = d) 6/15 . 5/3 : 8/9 =

19) Resolver: a) (2/3)2 = b) (1/4)3 = c) (3/5)0 = d) (1/2)4 = e) 4 9/ =

f) 25/36 = g) 3 8/1 = h) 16/1 = i) 4 81/1 =

j) 1

3

3

k)

25

64 l)

8

273 m)

1

2

5

n) 3

7

0

ñ) 16

81 o)

2

5

2

p)

125

643 q)

2

3

4

20) Resolver: a) 5

2

2

1

3

1 = b)

5

3

2

1

3

2

= c)

2

1

10

4:

5

1

10

3

=

d) 9

4

6

5

3

2

2

12

= e) 3

3

8

71

4

31

= f)

9

15

3

21 0

3

=

g) 4

1 :

4

25

4

31 ·

5

1= h)

64

273

9

4

. 3 +

5

3

1

: 3

4 =


69

21) Simplificar y luego transformar a número decimal, en porcentaje y a número mixto (si es posible).

a)75

100= b)

56

32= c)

128

320= d

210

105= e)

28

7= f)

135

90=

22) Resolver: a) 1 : 4

72

9

4 - 1

3

7

4

3 = b )

1

2

1

3

5

61

5

9

23) Reconstruir las siguientes figuras:

a) son los 3/8 del total b) son los 2/7 del total c) es 1/2 del total

24) De los 32 caramelos que tenía en una bolsa, Federico se comió 3/4 partes. ¿Cuántos caramelos

se comió?

25) Calcular: a) 1/5 de 90 b) 2/3 de 33 c) 5/7 de 42 d) 3/2 de 16 e) 5/6 de 36

26) A un concierto de rock asistieron 5/7 partes de la capacidad del local. ¿Cuántas personas

asistieron si el local tiene 854 lugares?

27) Completar los espacios en blanco para que las fracciones resulten equivalentes:

a) 4/5 = ..../ 30 b) 4/9 = 12/.... c) -7/3 = ..../15 d) -2/.... = ..../21

28) El señor López y su señora han comprado una PC con los 7/8 de los $ 1320 que obtuvieron por

la venta de un lote. Con 2/5 del resto quieren comprarse un juego de sillas y con 7/9 de lo que aún

les sobra compran pintura para su casa. ¿Cuánto dinero destinarán para cada caso?¿ Y cuánto les

sobra ?

29 Completar la siguiente serie de números:

a) 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ;........ b) 2/5 ; 3/6 ; 4/7 ; ...........

30) Completar con menor, mayor o igual:

a) 32,6 ....... 32,06 b) 1/5 ....... 0,21 c) -0,3333 ....... -1/3

31) La distancia entre dos ciudades es de 250 Km. Si un auto recorrió 3/10 de esa distancia en la

primer etapa, y 2/5 en la segunda etapa, ¿cuántos Km. debe recorrer aún ?¿ qué fracción del total

falta recorrer ?

32) La base de un rectángulo es de 84 mm. y su altura mide 3/7 de la base. Construir dicho

rectángulo y calcular su perímetro.


70

33) Un viñatero vendió las 2/5 partes de su cosecha de 1000 Kg.; hizo vinagre con la sexta parte de

lo que le quedaba y con el resto elaboró vino . ¿Qué cantidad de kilos de su cosecha destinó a cada

trabajo?

34) La suma entre 3/2 de un número desconocido y el opuesto de 1/2, da como resultado el

producto entre 5/3 y el opuesto de 3/4. ¿Cuál es el número?

35) Completar los siguientes cuadros:

- 2 ¼ -3/2 0 -1 : -1 3/4 -5/2 0 3

-1/3 2/5

3 -2/3

0 4

-5/6 0

3/5 -5/8

36) De un tanque de 600 litros de agua 1/4 se usan para higienizar, 7/30 para beber y 2/5 para regar.

¿ Cuántos litros de agua quedan en el tanque ? ¿Qué porcentaje y qué fracción del total representa ?

37) En una caja de 2500 cm3 se colocan 2/5 del volumen de arena, del resto 7/15 de tierra y del

resto 3/8 de arcilla. ¿Qué volumen de la caja quedó sin llenar ? ¿ Qué porcentaje y qué fracción del

total representa ?

38) Por la ampliación de una avenida hay que transplantar 750 de los 1200 árboles que crecen en el

lugar. ¿Qué porcentaje y qué fracción del total representan los árboles que NO se transplantan?

39) Resolver: a)

6

1

3

2:

3

1

16

71 = b)

3

117

6

5

3

22

3

2

5

32

c)

2

3

1

4

1

2

3

6

5

3

1:: d)

3

2

5

12

3

51

12

10

3

86

2

40) Calcular: I) 2/3 de 45 II) 1/2 de 1/4 de 100 III) 1/2 de 4/5 de 1

41) Resolver: a)

2

5

3

52

3

4

12

1

3

12

: = b) 43

8

2

5

4

13

2

12

3

3

:

=

42) En un pueblo de 600 personas, 5/12 son mujeres, de las cuales 3/5 trabajan, de éstas 4/15 están

casadas, de las cuales 3/8 tienen hijos. Dar el número de mujeres trabajadoras, el de trabajadoras

casadas y el de trabajadoras casadas con hijos.


71

43) Utilizando la definición de potenciación, resuelve.

Expresa el resultado como potencia

a) 10².10.10³.10 = b) 2 .2³= c) a³.a.a =

d) (1/3)³.1/3.(1/3)º= e) (-1)². (-1/2)².(1/2)º=

f) 35 : 33= g) 156 /15³= h) a9 / a6 = i)(-1/8)10 : (-1/8)7 =

k) (3²)³= l)(2³)³= m)(a²)º= n)[(-1/2)²]³=

44) Resuelve aplicando las propiedades:

a) a².a³ = ax b) ( m² . q³. r² ) = c) (-3)x.(-3).(-3)5 = (-3)2x d) 4x : 42 = 43x

a m. qˉ².r

45) Marcos gana $ 1 el 1º de mayo, $ 2 el 2 de mayo, $ 4 el 3 de mayo, y así sucesivamente.

¿cuánto ganará el décimo día?

46) Un biólogo estudia cierto cultivo de células y observa que la masa celular aumenta y se duplica

cada hora. Partiendo de una masa de 10 células, completa la siguiente tabla:

Tiempo en horas 1 2 3 4 5 6 7

Cant de células 20= 5.2² 40= 5.2³

47) Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos:

a) A = {x/x R x < -3} b) B = {x/x R 4 < x < 9}

c) C = {x/x R 0 x 2,4} d) D = {x/x R -4,5 x < -1,2}

e) (-2,5 ; 0,5) f) (- ; 0,25] g) [-3/2 ; 1/2]

48) De los números: -7/3 , 5 , , 1/7 , 10 indicar a cuál de los siguientes intervalos

pertenecen: a) (0 , 1) b) (1 , 3) c) (-3 , -2] d) (-2 , 0] e) [3 , 5]

49) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar

a) La ecuación 2.x - 1 = 0 no tiene solución en N. b) 25ε Z c) ε N

d) Si a = -8 b = 3 entonces el número a/b ε Z e) 2 es un número irracional.


72

50) Representar en la recta numérica: a) Todos los números reales mayores que -1.

b) { x R / x 5 } c) Todos los números reales menores o iguales que 3.

d) { x R / 2 x 4 } e) { x R / x 1 x 3 }

f) Los intervalos: I) (2 ; 5) II) [-1 ; 3] III) (0 ; 6] IV) [-1/2 ; 4] V) (- ; 3) VI) [7/3 ; )

g) La unión o intersección de los intervalos:

I) [2 ; 5] [3 ; 7) II) [2 ; 5] [3 ; 7) III) [-3 ; 9] [3 ; 7]

IV) (-2 ; 5) (1 ; 5] V) [ 2 ; 4 ] [ 3 ; 6 ] VI) ( [ 2 ; 4 ] [ 3 ; 6 ]) [ 4 ; 7 ]

VII) ( -3 ; 5 ] ( 4 ; 6 ) VIII) ( 2 ; 6 ] ( 8 ; 12 ] IX) ( - ; -3 ) ( 4 ; )

h) Todos los números reales mayores que -9 y menores o iguales que 7.

i) { x R / x -3 x 3 }

51) Representar en la recta numérica y escribir como intervalo la solución de las siguientes

inecuaciones: a) {x R, 3.x - 7 > 5} b) {x R, -3 2 - 5.x 7} c) {x R, 3.x + 2 < 2.x} d) {x R, -5

3.x + 4 < 5}

52) Completar el siguiente cuadro:

Conjunto Gráfico Intervalo

{ x R / -1 x 2 }

( 0 ; 3 )

{ x R / x -5 }

(-3 ; 1 ) ( 1 ; 5 )

53) Completar:

El producto de potencias de igual base es igual a…………………………………………

…………………………………………………………………………………………….

el cociente de potencias de igual base es igual a…………………………………………

…………………………………………………………………………………………..


73

la potencia de una potencia es igual a………………………………………………………

ÁNGULOS

Introducción

Un ángulo es una porción del plano limitada por dos semirrectas con el mismo origen. El origen de

esas semirrectas se llama vértice del ángulo y las semirrectas son sus lados. Para indicar cuál es el

ángulo al que se hace referencia se lo marca con un arco.

Como ya sabemos, las semirrectas tienen origen pero son infinitas, por lo tanto, el ángulo abarca en

su amplitud una porción infinita del plano.

Medir un ángulo es dar la medida de su amplitud. La medida de un ángulo se logra mediante lo que

se llama un goniómetro. Un goniómetro muy conocido es el “transportador”.

Colocando correctamente el transportador, es decir, haciendo

coincidir el centro del mismo con el vértice del ángulo y el cero

de la escala con uno de los lados, el lugar de la escala por el

que pase el otro lado marca la medida del ángulo en “grados”.

Es de destacar que, por lo general, el transportador tiene dos escalas una que comienza a la derecha

del centro y la otra que comienza a la izquierda.

¿Cuál es la razón?

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

Se puede decir entonces que es importante leer cuidadosamente la medida en el instrumento para

no confundir la escala y dar una medida incorrecta.


74

Ejercicio 1

Medir con transportador los siguientes ángulos:

Tipos de ángulos

(Se va a trabajar con los ángulos de 0º a 360º)

En el rango mencionado, existen diferentes tipos de ángulos, las dos clases más amplias son:

la de los ángulos convexos, que son ...................................................................... ..........................................................................................................................................

la de los ángulos cóncavos, que son ....................................................................... ..........................................................................................................................................

Dentro de los ángulos convexos se encuentran:

(escribir la definición de cada uno en función de su amplitud)

Ángulo nulo ............................................................................................................

ángulo agudo...........................................................................................................

ángulo recto.............................................................................................................

ángulo obtuso...........................................................................................................

ángulo llano............................................................................................................. Dentro de los ángulos cóncavos suele destacarse:

Giro .........................................................................................................................


75

Ejercicio 2

Dibujar un ángulo de cada tipo mencionado, indicando su medida

Ángulos en sistema radial

Hasta ahora la medida de los ángulos ha sido expresada en grados.

El sistema en el que están expresados estos ángulos es el sexagesimal.

Es el sistema que se ha venido usando desde la escuela primaria en el que:

1 giro __________________ 360º

1º __________________ 60´

1´ __________________ 60´´

Además de este sistema existe otro muy usado que es el sistema radial.

Su unidad es el radián.

Un radián ( se expresa 1r) es el ángulo que abarca en una circunferencia, un arco de la misma

longitud que el radio.


76

Es de notar que no importa cuál sea el radio de la circunferencia, el arco de la medida de su radio

abarca siempre el mismo ángulo ¿por qué será?

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

........................................................................

De la escuela primaria podemos recordar que en la longitud de la circunferencia su diámetro

cabe tres veces y un poquito.

Ese tres y un poquito que se mide con un hilo alrededor de, por ejemplo, un disco es en realidad

un número muy conocido:

= 3, 1416...

Se trata de un número “irracional”, los puntos suspensivos después del 6 decimal indican que el

número continúa indefinidamente. Lo especial de las cifras decimales de es que no siguen

ninguna secuencia, es decir es un número decimal infinitamente no periódico

Volviendo al asunto de la medición de ángulos, decimos que si el diámetro cabe veces en la

circunferencia, el radio (que es la mitad del diámetro) debe caber 2 veces.

Es decir

Un giro equivale a 2r

¿por qué?

............................................................................................................................................................

..................................................................................................................

Ejercicio 3

Completar la siguiente tabla usando fracciones de r cuando sea necesario expresar la medida en

sistema radial:

Forma coloquial Sistema sexagesimal Sistema radial

Un llano

45º

r

6


77

Un recto

150º

r

4

3

240º

r

2

3

Un giro

Supongamos que se quiere expresar la medida de un ángulo de 47º en sistema radial

¿Cuáles serían los pasos a seguir para lograrlo? ( ayuda: la proporcionalidad es la clave)

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.........................................................

Supongamos que se quiere expresar la medida de un ángulo de

r

8

5en sistema sexagesimal

¿Cuáles serían los pasos a seguir para lograrlo ? ( ayuda: la proporcionalidad es la clave)

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.........................................................

En el camino se obtiene, para este cálculo, 112,5º. A esto se lo llama expresión decimal del ángulo.

¿Qué significa 112,5º?

..................................................................................................................................................................

........................................................................................................................

Entonces para expresar en sistema radial la medida de un ángulo dado en sistema sexagesimal,

conviene expresarlo previamente, si es necesario, en forma decimal.


78

Ejercicio 4

Calcular en grados, minutos y segundos la medida de 1r

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

...................................................................................................

Ejercicio 5

Completar la siguiente tabla (aproximar cuando sea necesario)

Decimal Sexagesimal Radial

223,75 º

132º 15´30´´

r

6

5

120º30´30´´

r

8

127,25º

Pares de ángulos

Dos ángulos pueden ser tales que:

a) Su suma ( la suma de sus amplitudes) sea (la amplitud de) un ángulo recto, en tal caso los ángulos se llaman complementarios

b) Su suma ( la suma de sus amplitudes) sea (la amplitud de) un ángulo llano, en tal caso los ángulos se llaman suplementarios


79

Nótese que la única condición que se ha impuesto es que la suma sea un recto o un llano. Quiere

decir que los ángulos complementarios y suplementarios pueden considerarse, por ejemplo, uno

en Villa Urbana y otro en Villa La Angostura con tal que sus amplitudes sumen lo requerido.

La aclaración anterior viene a cuento de que a

veces dos ángulos pueden ser consecutivos.

Como puede inferirse dos ángulos consecutivos también pueden ser complementarios o

suplementarios. Pero para que dos ángulos sean complementarios o suplementarios no es necesario

que sean consecutivos.

Cuándo dos ángulos suplementarios son

consecutivos se dice que son adyacentes

Ejercicio 6

Completar la siguiente tabla

Ángulo Complementario Suplementario

67º30´42´´

r

12

165,75º

Por lo tanto, los ángulos

adyacentes son ángulos

consecutivos cuyos lados no

compartidos son semirrectas

opuestas.

Dos ángulos son consecutivos cuando

tienen el mismo vértice y comparten un

lado.


80

Ejercicio 7

Indicar si las siguientes expresiones son verdaderas o falsa y explicar por qué.

a) Dos ángulos adyacentes son siempre uno agudo y uno obtuso b) Dos ángulos rectos son suplementarios c) Dos ángulos suplementarios pueden ser ambos obtusos d) Dos ángulos complementarios pueden ser uno agudo y uno obtuso ............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

..............................

Ángulos formados por dos rectas que se cortan

.

En la figura se muestra una porción del sistema formado

por dos rectas que se cortan.

Como puede verse se forman cuatro ángulos que se

nombraron con las letras griegas

, , y

Algo importante que se puede observar es que y son adyacentes ¿por qué?

.......................................................................................................................................

Lo mismo sucede con y .

De estas observaciones se puede concluir que y tienen la misma amplitud, es decir

son congruentes, cosa que se expresa:

ˆˆc

¿cuál es la razón por la que se puede afirmar esto?

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

................................................................................................


81

Los ángulos y se llaman opuestos por el vértice.

En la figura puede observarse también que:

ˆˆc

¿por qué?

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

................................................................................................

Se puede afirmar que los ángulos opuestos por el vértice tienen ................................. en común y

sus lados son .......................................................................................................

............................................................................................................................................

Ejercicio 8

Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explicar por qué:

a) “En un sistema de dos rectas que se cortan siempre se forman dos ángulos agudos y dos obtusos”

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

...................................................................................................

b) “En un sistema de dos rectas que se cortan si se conoce un ángulo, se conocen todos”

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................

c) “En un sistema de dos rectas que se cortan si se forman cuatro ángulos congruentes, las rectas

son perpendiculares”

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

...................................................................................................


82

d) “En un sistema de dos rectas que se cortan la suma de los cuatro ángulos que se forman es un

giro”

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

...................................................................................................

d) “En un sistema de dos rectas que se cortan los ángulos que no son opuestos por el vértice son

suplementarios”

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

...................................................................................................

Ejercicio 9

Calcular el valor de todos los ángulos expresándolos en fracción de r

a)

Datos:

=

r

12

b)

Datos:

6

ˆˆ

c)

Datos:

r

6

7ˆˆ

Ángulos entre paralelas


83

Dos rectas paralelas cortadas por una transversal constituyen un sistema como el que muestra la

figura.

En la figura A y B son dos rectas paralelas (A//B) y C es una recta transversal. Como se ve se han

formado dos sistemas de rectas que se cortan: uno que define los ángulos 43,2,1 y y el otro los

87,6,5 y .

Es fácil darse cuenta de que si, por ejemplo, el ángulo 1 fuera mayor que el 5 las rectas A y B se

cortarían a la derecha de C, por el contrario si 1 fuera menor que 5 A y B se cortarían a la izquierda

de C. Pero como dijimos antes A//B y por lo tanto no se cortan, se puede inferir entonces que 1 =c 5 7

Los ángulos que ocupan posiciones como 1 y 5 se llaman correspondientes.

Otros pares de ángulos correspondientes son:

2 y 6

3 y 7

4 y 8

Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes

A partir de esta relación encontrada pueden deducirse otras que resultan útiles.

7 Para ampliar estas cuestiones ver la lectura informativa


84

Nombres y demostraciones

Ángulos alternos internos

Los ángulos 4 y 6 se llaman alternos internos. Alternos porque están uno a cada lado de la

transversal. Internos porque están dentro de la banda que forman las paralelas.

¿Qué otro par de alternos internos se presentan en la figura?

..................................................................................................................................

Se demuestra que los ángulos alternos internos son

congruentes

Primer par :

4 =c 2 pues son opuestos por el vértice

2 =c 6 pues son correspondientes

Luego 4 =c 6

Segundo par:

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

...............................................................................................................

Como no hay más pares de alternos internos, la afirmación queda demostrada

Ángulos alternos externos Usando este método se puede demostrar que:

Los ángulos alternos externos son congruentes

Ejercicio 10

a) nombrar todos los pares de ángulos alternos externos de la figura b) Demostrar la afirmación

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................


85

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.........................................................

Ángulos conjugados externos

Los ángulos 1 y 8 se llaman conjugados externos. conjugados porque ambos están del mismo

lado de la transversal. Externos porque están fuera de la banda que forman las paralelas.

¿Qué otro par de conjugados externos se presentan en la figura?

..................................................................................................................................

Ejercicio 11

Demostrar que

Los ángulos conjugados externos son

suplementarios

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

........................................................................

Ángulos conjugados internos

Ejercicio 12

a) Nombrar pares de ángulos conjugados internos

b) Demostrar que

Los ángulos conjugados internos son

suplementarios

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

........................................................................


86

Ejercicio 13

Datos:

A//B y C//D

r3

2ˆ

Calcular . Justificar la respuesta

Ejercicios complementarios

En cada uno de los siguientes ejercicios, calcula x y luego marca la respuesta correcta. Luego

expresa la respuesta en sistema radial:

1) x = ? 2) x = ?

a. 145º a. a b. 90º b. 90º c. 72.5º c. 90 - a d. 45º d. 180 - a e. 35º e. 180+ a

3) x = ? 4) x = ?

a. 30º a. 180 – a - b b. 45º b. 2a c. 75º c. 180 -2 a d. 90º d. 180 - a e. 105º e. 180+ 2a

145º Xº

a xº

xº

60º 45º

aº

xº aº


87

5) x = ? 6) x = ?

a. 90º a. 18º b. 180º - a - b b. 72º c. a + b - 180º c. 90º d. – a - b d. 108º e. a + b e. 128º

7) x = ? 8) x = ?

a. 45º a. 30º b. 60º b. 40º c. 90º c. 50º d. 180º d. 60º e. 360º e. 100º

9) x = ? 10) x = ?

a. 30º a. 35º b. 60º b. 45º c. 90º c. 55º d. 120º d. 65º e. 150º e. 90º

11)

ˆ6

5ˆ

Si

r

3ˆ

¿Es S // P? ¿Por qué?

xº

aº bº

xº

72º

xº

xº xº

xº

xº

100º

50º

2xº

xº xº

2xº

35º Xº


88

12)

ˆ5

7ˆ

Si ´3059ˆ 0

¿Es R // S? ¿por qué?

13)

R //S

T Transversal

r3

1ˆ

Calcular todos los demás ángulos expresándolos como fracción de

14) Mostrar que dos ángulos cualesquiera de un sistema de dos rectas paralelas cortadas por una

transversal, o bien son congruentes o bien son suplementarios.

15) Demostrar que la siguiente afirmación es falsa:

“Todos los ángulos suplementarios de un sistema de dos rectas paralelas cortadas por una

transversal son adyacentes”

POLINOMIOS

Ejercicios y problemas de polinomios

1).- Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala

cuál es su grado y término independiente.

1. x4 − 3x5 + 2x2 + 5

2. + 7X2 + 2

3. 1 − x4


89

4.

5. x3 + x5 + x2

6. x − 2x−3 + 8

7.

2)- Escribe:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

2. Un polinomio no ordenado y completo.

3. Un polinomio completo sin término independiente.

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

3).- Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1. P(x) + Q (x) =

2. P(x) − U (x) =

3. P(x) + R (x) =

4. 2P(x) − R (x) =

5. S(x) + T(x) + U(x) =

6S(x) − T(x) + U(x) =



90

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

Q(x) + R(x) − P(x)=

5).- Multiplicar:

1. (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

2. (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

3. (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

6).- Dividir:

1. (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

2. (x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3. P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

7).- Divide por Ruffini:

1. (x3 + 2x + 70) : (x + 4)

2. (x5 − 32) : (x − 2)

3 (x4 − 3x2 + 2 ) : (x −3)

8).- Halla el resto de las siguientes divisiones:

1. (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

2. (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)

3 . ( x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)

9).- Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1. (x3 − 5x −1) : (x − 3)


91

2. (x6 − 1) : (x + 1)

3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

4. (x10 − 1024) : (x + 2)

10).- Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1. (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2. (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )


11).- Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x2 − 4.

12).- Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx + 5 sea divisible por x2

+ x + 1.

13).- Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

14).- Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

15).- Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

16).- Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las

otras raíces.

RESPUESTAS

1).- Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo,

señala cuál es su grado y término independiente.

1. x4 − 3x5 + 2x2 + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2 . + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

3. 1 − x4


92


4.

No es un polinomio, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5. x3 + x5 + x2


6. x − 2 x−3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7.

Grado: 3, término independiente: −7/2.

2).- Escribe:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

2. Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3. Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5


P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4


93

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1). P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =

= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x − 3

2). P(x) − U (x) =

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 =

= 3x2 − 3

3). P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

4). 2P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

= 2x2 − x − 3

5). S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x2 + 11

6). S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =


94

= 1

4.- Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2 x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2 x − 2) =

= x4 − 2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + x3 − 2x2 − 6x2 − 6x + 2x − 1 + 4 + 2 =

= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + 2 · (x3 − 6x2 + 4) − (2x4 − 2x − 2) =

= x4 − 2x2 − 6x − 1 + 2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + 2x3 − 2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9

Q(x) + R(x) − P(x)=

= (x3 − 6x2 + 4) + (2x4 − 2x − 2) − (x4 − 2x2 − 6x − 1) =

= x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2x − 2 − x4 + 2x2 + 6x + 1=

= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 + 2x2 −2x + 6x + 4 − 2 + 1=

= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

5).- Multiplicar:

1. (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

= x 6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2 − 4x + 6=

= x 6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x + 6 =


95

= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6

2. (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x

3. (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =

= 6x6 − 10x5 − 12x4 + 8x3 − 6x2 −

− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2 + 15x +

+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =

= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12x4 + 25x4 + 18x4 +

+8x3 − 30x3 + 30x3 − 6x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =

= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18

6).- Dividir:

1). (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)


96

2). (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3). P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

7).- Divide por Ruffini:

1 (x3 + 2x +70) : (x + 4)

2(x5 − 32) : (x − 2)


97

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R = 0

3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)

C(x) = x3 + 3x2 + 6x +18 R = 56

8).- Halla el resto de las siguientes divisiones:

1. (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

R(1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −4

2. (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)4 − 2 · (−2)3 + 3 · (−2)2 + 5 · (−2) +10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

3. (x4 − 3x2 +2) : ( x − 3)

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

9).- Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1. (x3 − 5x −1) : (x − 3)

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2. (x6 − 1) : (x + 1)

P(−1)= (−1)6 − 1 = 0

Exacta

3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0


98

Exacta

4. (x10 − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

Exacta

10).- Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1. (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.


(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)6 − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.


(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = −2) = 0.

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

11).- Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x2 − 4.

x2 − 4 = (x +2) · (x − 2)

P(−2) = (−2)5 − a · (−2) + b = 0

−32 +2a +b = 0 2a +b = 32


99

P(2) = 25 − a · 2 + b = 0

32 − 2a +b = 0 − 2a +b = −32

12).- Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx +5 sea divisible por x2 + x + 1.

b − a = 0 −a + 6 = 0

a = 6 b = 6

13).- Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.

P(2) = 2 · 22 − k · 2 +2 = 4

10 − 2k = 4 − 2k = − 6 k = 3

14).- Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

P(1) = 3 · 12 + m · 1 + 4 = 0

3 + m + 4 = 0 m = − 7

15).- Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

(x − 3) · (x − 5) · (x2 − 4) =

(x2 −8 x + 15) · (x2 − 4) =

= x4 − 4x2 − 8x3 +32x + 15x2 − 60 =

= x4 − 8x3 + 11x2 +32x − 60


100

16).- Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = − 2, y

calcular las otras raíces.

P(−2) = (−2)3 − a · (−2) +8 = 0 −8 + 2a +8 = 0 a= 0

(x + 2) · (x2 − 2x + 4)

x2 − 2x + 4 = 0

No tiene más raíces reales.

Resolver:

1Clasificar las siguientes expresiones algebraicas

a) (5 –x2)/3x

b) x3 + 2x – x1/2

c) y3/2 – 2xy/(x – 3)

d) 2.(x – 3) + 5yz2x – x2/4

e) [21/2 + (3x)1/3 – 41/4]/(x – y)

f) 4.x-1 + 3

2) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.

a) 2x + 3x2 –1/2

b) 2x + 3x2 –1/x

c) 3x – 2(x + 4)2

d) (3x – 4).x(-2/3) + 4

3) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos según las potencias decrecientes.

a) 4x3 – 1 + 3x2

b) x5/2 + x6

c) –2x + 3x3 – 2x2/3

d) –(x – 4)/3 + (4 – x + x3)/2

4) Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x).

a) P(x) = x3 – x2 + 4 y Q(x) = - x3 – x + 1

b) P(x) = x4 + a4 y Q(x) = x2 + a2

c) P(x) = 2y4/3 y Q(x) = y2 - y

d) P(x) = z3 – 2z2 – 1 + z y Q(x) = - z + 1


101

23

2 1

2

4

xx

5) Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x) por Ruffini.

a) P(x) = x4/2 + x2 - 1 y Q(x) = x - 2

b) P(x) = - x5 + x3 y Q(x) = x + 1/2

c) P(x) = - x + 3 – x3 – x5 y Q(x) = x + 2

d) P(x) = a.(x3 – a3) y Q(x) = x - a

e) P(x) = (x – 2)3 – 3(x – 2) y Q(x) = 3x – 1 + 2x)

f) P(x) = x4 - x y Q(x) = (3x – 1)/4

g) P(x) = 2x3 y Q(x) = - 3x + 2

6) Decir si P(x) es divisible por Q(x).

a) P(z) = 2z2 – z - 1 y Q(z) = z - 1

b) P(t) = t4 – a2t2 + t + a y Q(t) = t + a

7) Simplificar

a) b) c) d)

8) Calcular el valor numérico de P(x) para los siguientes valores:

a) x = 1

b) x = -1

c) x = 2/3

d) x = -3

P(x) = x/2 - 3.x + 4.x2 - 5.x3 - 2.x4/3 + 5/4

9) Dados los polinomios:

P(x) = 4.x2 - x + 2

Q(x) = x3 + x - 1

R(x) = 2.x - 1

Hallar:

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) + R(x)

c) Q(x).R(x)

d) P(x).Q(x)

e) P(x):R(x)

f) Q(x):R(x)

g) El resto de la división de P(x) por x - 1

h) P(-1)

i) P(-2) + [Q(-2)]2

j) El grado de [P(x)]4

10) Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:

a) P(x) = 3.x3 + 2.x2 - x - ½ Q(x) = x + 2

b) P(x) = x7 + x5 - x3 - x Q(x) = x - 1

c) P(x) = 64.x6 + 26 Q(x) = x - 1

11) Verificar los resultados de los ejercicios anteriores por el Teorema del Resto.

12) Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:

a) P(x) = x4/2 + x2 - 1 Q(x) = x - 2

b) P(x) = -x5 + x3 Q(x) = x + 1/2

yy

y

2

42

2

2

2

1 z

zz

882

832

zx

x


102

c) P(x) = -x + 3 - x3 - x5 Q(x) = x - 2

d) P(x) = a.(x3 + a2) Q(x) = x - a

e) P(x) = (x - 2)3 - 3.(x - 2) Q(x) = 3.x - (1 + 2.x)

f) P(x) = 2.x3 + 3.x - 1 Q(x) = 2.x - 1

g) P(x) = x4 - x Q(x) = 3.x/4 - 1/4

h) P(x) = 2.x3 Q(x) = -3.x + 2

13) Determinar k, sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30.

P(x) = 3.x3 - k.x2 - + 2 Q(x) = x + 2

14) Decir si:

a) P(x) = 2.x2 - x - 1 es divisible por Q(x) = x - 2

b) P(x) = x4 - a2.x2 + x + a es divisible por Q(x) = x + a

15) Calcular k para que:

a) P(x) = x8 - k.x4 + 1 sea divisible por Q(x) = x + 1

b) P(x) = (-k.x + 4)2 sea divisible por Q(x) = x - k

c) P(x) = x4 - 3.x3 + k.x - 1 sea divisible por Q(x) = x + 2

d) P(x) = x4 - 2.x2 + 1 sea divisible por Q(x) = x – k

16) Sumar los siguientes polinomios:

a) P(x) = 0,1.x - 0,05.x2 + 0,7 Q(x) = 0,3.x + 1 - x2 S(x) = 3.x2/2 - 1/3 - x/4

b) R(x) = 3.x2 - 4.x3 + 2 - 6.x + x5 T(x) = 7.x5 - x4 + 5/3 U(x) = -(6.x - 8.x4 + 4.x3 - 2.x2 + 1/3)

c) V(x) = 0,1.x - 0,05.x2 + 0,7 M(x) = 0,3.x + 1 - x2 D(x) = 3.x2/2 - 1/3 - x/4

17) Restar los siguientes polinomios:

P(x) = x4 - x3 - x2 + 2.x + 2Q(x) = 2.x2 + 3.x3 + 4.x4 - 5.x + 5

18) Determinar el cociente y el resto de la división de P(x) por Q(x).

a) P(x) = 10.x3 - 2.x2 + x - 6 Q(x) = 5.x - 2

b) P(x) = x5 - 2.x3 + 3 Q(x) = 2.x3 + 1

c) P(x) = 2.x3 - x + 1 Q(x) = 2.x3 + x - 1

d) P(x) = x/3 Q(x) = x4 + 1

19) Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x2 - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)2

S(x) = (x + 1)2

Hallar:

a) P(x)/Q(x)

b) P(x) + R(x)/S(x)

c) [P(x)/R(x)]

d) [P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)]

e) [Q(x)2 - R(x)]:P(x)

f) [P(x) - Q(x)]2 - [R(x) - S(x)]2

20) Determinar a y b sabiendo que el polinomio (6.x2 + a.x + b) dividido por (3.x - 2) da cociente (2.x - 1) y resto 0.

21) Determinar h en (-3 + 2.x2 + h.x) de tal modo que al dividirlo por (x - 5) de resto 140.

22) Si P(x) = 2.x4 - h.x + 2 y Q(x) = x + 1, calcular h para que P(x) sea divisible por Q(x).

23) ¿Para qué valores de a la división de (x2 - 3.x - 2.a) por (x + 2) da resto 7?.

24) Sin efectuar ningún tipo de división, obtener el resto de la división de:

a) P(x) = 4.x4 + 6.x2 + 1 por 2.x + 3

b) P(x) = (x - 3)2 - 2.(x + 1) por 2.x - (x - 1)

c) P(x) = 6.x4 - 3 + 17.x - 79.x2/4 - 5.x3/2 por x - 3/2

25) Hallar los valores de a, b y c, tal que:


103

a) x4 + x3 + x2 + a.x + b sea divisible por (x - 1) y (x + 1)

b) a.x3 - 3.x2 + b.x - 8 sea divisible por (x - 3) y (x - 5)

GRÁFICOS Y FUNCIONES

Definición Una función “f” es una regla de correspondencia que asocia a cada valor de una variable

independiente ( por lo general llamado elemento “x” ) un único valor de otra variable dependiente (

por lo general llamado elemento “y” o “f(x)” ).

El conjunto de valores de la variable independiente se llama “dominio”, y el conjunto de valores de la

variable dependiente se llama “imagen”

Valor numérico de una función Consiste en reemplazar a la variable “x” por un determinado valor

4xxf 3 .

Si x = 2 4422f 3

Si x = -1 5411f 3

Si x = a 4aaf 3

Si x = a+h 4hah3ha3a4hahaf 32233

A la función de la forma f(x) = a.x + b se la denomina función lineal, donde a y b son números reales

y siendo a la pendiente y b la ordenada al origen

El valor de a determina si la función es creciente, constante o decreciente

El valor de b determina donde la función corta al eje “y”


104

El valor donde la función corta al eje “x” se llama raíz o cero (c0) y es igual a: -b/a

1) Establecer cómo se obtiene “y=f(x)” a partir de “x” (qué relación existe entre las

columnas de las distintas tablas) y graficar en diferentes ejes cartesianos:

x y=f(x) x y=f(x) x y=f(x)

-1 -3 -3 -3 2 5

2 6 1 1 3 7

0 0 4 4 0 1

-3 -9 0 0 -1 -1

1 3 -2 -2 -2 -3

2) Representar las siguientes funciones lineales: a) y = 2.x + 1 b) y = x - 4

c) y = -3/2.x + 2 d) y = 1/4.x - 3/4 e) y = -x - 2 f) y = 3.x - 5

3) El punto ( 2 ; -3 ) ¿pertenece a la función y = 2x - 5? ¿Por qué? Dar 3 puntos que pertenezcan a

dicha función.

* Dos rectas son paralelas si y solo si las pendientes son iguales

* Dos rectas son perpendiculares si y solo si las pendientes son

opuestas y recíprocas

4) Representar en un mismo gráfico cartesiano las siguientes funciones: ¿Cómo son las rectas en

cada caso?

a) y = 2.x - 3 ; y = 2.x + 4 b) y = 4.x - 1 ; y = 4.x - 5

c) y = 2.x + 1 ; y = -1/2.x + 2 d) y = -4/3.x - 1 ; y = 3/4.x +2

5) a) Indicar, sin graficar, cuáles de las siguientes funciones son rectas paralelas y cuáles

perpendiculares? y1 = 3x - 4 y2 = 1/4x + 1 y3 = -1/4x + 3 y4 = 3x + 1 y5 = -4x - 1 y6 = -

1/4x + 1 y7 = -1/3x

b) Dar 3 ejemplos de rectas que no sean paralelas ni perpendiculares.


105

Reconstrucción de una función lineal

*Si se conoce la pendiente “a” y la ordenada al origen “b”: y = a.x + b

*Si se conoce la pendiente “a” y un punto (x0;y0): y – y0 = a.(x – x0)

*Si se conoce 2 puntos (x0;y0) y (x1;y1): (y – y0).(x1 – x0) = (x – x0).(y1 – y0)

6) Hallar la ecuación de la recta sabiendo que a = -2 y b = 3

7) Hallar la ecuación de la recta sabiendo que m = -2 y pasa por el punto a: (3 , 4).

8) Hallar la ecuación de una recta que pasa por los puntos: (1 ; 7) y (3 ; -1)

9) Hallar una función lineal cuya:

a) pendiente sea 3/2 y ordenada al origen -6;

b) pendiente sea -3 y pase por el punto (-1 ; 4);

c) pasa por los puntos: (4 ; -3) y (3 ; -1)

d) graficar y hallar la raíz de cada una.

10) Dada y = 3/5x - 5,

a) graficar y hallar la raíz.

b) dar la ecuación de una recta paralela que pase por el punto (0 ; -2);

c) dar la ecuación de una recta perpendicular que pase por (2 ; -1),

Distancia entre 2 puntos

Dados P0:(x0;y0) y P1:(x1;y1) entonces d(P0;P1) = 2012

01 yyxx

11) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos


106

a) e = (2 ; 3) f = (4 ; 8) b) p = (-2 ; 8) q = (6 ; -2) c) m = (1 ; 1) n = (1 ; 3)

d) Para los 3 pares de puntos anteriores determinar la distancia entre ellos.

Conjunto de positividad y negatividad

El conjunto de positividad c+ esta formado por todos los valores del dominio “x” para los cuales la

función es positiva (por encima del eje x)

El conjunto de negatividad c- esta formado por todos los valores del dominio “x” para los cuales la

función es negativa (por debajo del eje x)

12)a) Hallar la ecuación de la recta y1 que pasa por los puntos a=(0 ; 1) y b=(-2 ; 2)

b) Hallar la ecuación de la recta y2 que es paralela a y1 y pasa por el punto c=(-1 ; 0)

c) Hallar la ecuación de la recta y3 que es perpendicular a y1 y tiene la misma ordenada al origen que

y2.

d) Analizar cada una de las funciones (c+; c-;c0 ; crecimiento o decrecimiento)

13) Dadas las funciones lineales:

8;2p

1;1py

1

0

1

7;1p

2my

0

2

a) Reconstruirlas. b) Graficar.

c) Dar analíticamente la ordenada al origen y la raíz de cada una.

d) Encontrar Pi entre y1 y y2.

e) Dar la recta perpendicular a y1 que pasa por el punto ( 1; 1)

f) Dar la recta paralela a y2 que pasa por el punto ( -3; 0)

g) Analizar cada una de las funciones (c+; c-;c0 ; crecimiento o decrecimiento)

12) En los Estados Unidos, y en otros países, la temperatura se mide en grados Fahrenheit, mientras

que en Latinoamérica se mide en grados Celsius. La relación entre las medidas de la temperatura en

los dos sistemas viene dada por la fórmula T = 9/5.t + 32º,donde t expresa los grados Celsius (ºC) y

T los grados Fahrenheit(ºF)

a) ¿Cuántos grados Fahrenheit corresponden a 20ºC ? ¿Y a 0ºC ?

b) ¿Cuántos grados Celsius corresponden a 23ºF ?

c) ¿A qué temperatura, expresada en grados Fahrenheit, hierve el agua ?


107

d) ¿A qué temperatura, expresada en grados Celsius, solidifica el agua ?

13) Una empresa de micros calculó que la ganancia hecha en un viaje al interior del país es: g(x)

= 510 - 51x ; siendo x la cantidad de asientos vacíos.

a) ¿Qué ganancia obtienen si quedan 5 asientos vacíos?

b) ¿Cuál es la ganancia máxima en un viaje?

c) ¿Cuál es el número mínimo de asientos vacíos a partir del cual el viaje da pérdida?

d) ¿Se puede reemplazar a x por cualquier número real? ¿Por qué?

e) Realizar un gráfico que represente la función.

14) Dada la recta: 3.y - 9 = 2.y + 2.x

a) Expresarla de la forma y1 = mx + b.

b) Dar la ecuación de la recta y2 a y1 que pasa por (-2 ; 1/2)

c) Dar la ecuación de la recta y3 a y1 que pasa por (-3 ; 5)

d) Hallar la función inversa de cada una y graficar.

e) Analizar cada una de las funciones (c+; c-;c0 ; crecimiento o decrecimiento)

I. S. F.D. y T. Nº 103 –Cuadernillo de ingreso · clases destinaremos un tiempo para hacer...

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