PreclculoDemana Wai tsFoley Kennedy

Demana WaitsFoley

Kennedy

s p t i m a E d i c i n

spt ima

Ed ic in

Grfico, numrico, algebraico

Gr

fico,

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m

rico,

alg

eb

raico

Preclculo

Este reconocido libro aborda el preclculo desde una perspectiva novedosa y reformada que integra la tecnologa de graficacin como una herramienta esencial para el descubrimiento matemtico y para la solucin efectiva de problemas. A lo largo del texto se explican las ecuaciones paramtricas, las funciones definidas por partes y la notacin de lmite. Todo con un enfoque intuitivo y de continuidad para que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento crtico.

Entre lo ms destacable que este libro nos ofrece se encuentra:

Este libro cuenta con una gran cantidad de materiales en lnea para alumnos y profesores; entre ellos, un curso precargado en CourseCompass con exmenes, manuales, videos y animaciones, as como un sin-nmero de ejercicios de autoevaluacin. Adems, este curso cuenta con MyMathLab, un exclusivo sistema de ejercicios en lnea que permite al profesor seleccionar de entre una gran cantidad de opciones, los ejercicios que desee asignar en sus tareas. MyMathLab lleva al alumno paso a paso hacia la mejor com-prensin del ejercicio y le da seguimiento de su progreso. MyMathLab no slo ofrece retroalimentacin en funcin de las respuestas del alumno, tambin le genera un plan de estudio personalizado con base en sus errores.

Una gua que, a travs de una exploracin tradicional de doce funciones bsicas y sus propie-dades, refuerza la relacin que existe entre sus representaciones algebraica, grfica y numrica.

Una visin novedosa para la solucin de problemas, as como un vocabulario completo de funcio-nes y aplicaciones con datos reales.

De igual manera, la obra presenta temas de instruccin cuantitativa (tales como probabilidad, estadstica y matemticas financieras) y concluye con un captulo que prepara al lector para abordar dos temas cen-trales: la tasa de cambio instantnea y la acumulacin continua.

Todos los captulos incluyen notas al margen, ideas clave, ejercicios de repaso, preguntas de examen estandarizado, exploraciones, proyectos y mltiples ejercicios (ms de 6000 en todo el libro).

port. Precalculo Demana OTRA.ind1 1 4/27/07 7:47:00 PM

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Frmulas de lgebraExponentes

Si todas las bases son diferentes de cero:

umun umn u

u

m

n umn

u0 1 un u

1n

uvm umvm umn umn

( uv )m uvmmRadicales y exponentes racionales

Si todas las races son nmeros reales:

n uv n u n v n uv v 0m nu mn u n un u

n um n um n un u1/n n u um/n u1/nm n um

um/n um1/n n um

Productos especialesu vu v u2 v2

u v2 u2 2uv v2

u v2 u2 2uv v2

u v3 u3 3u2v 3uv2 v3

u v3 u3 3u2v 3uv2 v3

Factorizacin de polinomiosu2 v2 u vu v

u2 2uv v2 u v2

u2 2uv v2 u v2

u3 v3 u vu2 uv v2

u3 v3 u vu2 uv v2

DesigualdadesSi u v y v w, entonces u w.Si u v, entonces u w v w.Si u v y c 0, entonces uc vc.Si u v y c 0, entonces uc vc.Si c 0, u c es equivalente a c u c.Si c 0, u c es equivalente a u c o bien u c.

Frmula cuadrticaSi a 0, las soluciones de la ecuacin ax2 bx c 0 estn

dadas por

x b

2ab2 4ac.

LogaritmosSi 0 b 1, 0 a 1, x, R, S, 0y logb x si, y slo si, by xlogb 1 0 logb b 1logb by y blogbx xlogb RS logb R logb S logb

RS logb R logb S

logb Rc c logb R logb x llo

o

gg

a

a

bx

Determinantes

ad bcSucesiones y series aritmticasan a1 n 1d

Sn n(a1 2 an ) o Sn n2 2a1 n 1dSucesiones y series geomtricasan a1 r

n1

Sn a1

11

r

rn r 1

S 1

a

1

r r 1 serie geomtrica infinita.

Factorial

n! n n 1 n 2 3 2 1

n n 1! n!, 0! 1

Coeficiente binomial

( ) r!(nn! r)! (enteros n y r, n r 0)Teorema del binomioSi n es un entero positivo

a bn ( ) an ( ) an1 b ( ) anr br ( ) bnnnnr

n

1n

0

n

r

bd

a

c

u n paru n impar

n un v

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Frmulas de geometraTringuloh a sen

rea 12

bh

Trapecio

rea h2

a b

Crculorea r2Circunferencia 2r

Sector circular

rea 2r2 ( en radianes)

s r ( en radianes)

Cono circular recto

Volumen r3

2h

rea de la superficie lateral rr2 h2

Cilindro circular recto

Volumen r2hrea de la superficie lateral 2rh

Tringulo rectnguloTeorema de Pitgoras:c2 a2 b2

Paralelogramorea bh

Anillo circularrea R2 r2

Elipserea ab

Cono

Volumen A3h (A rea de la base)

Esfera

Volumen 43

r3

rea de la superficie 4r2

Frmulas de tr igonometraMedida angular radianes 180

Por lo que 1 radin 1

80 grados,

y 1 grado 1

80 radianes.

Identidades recprocas

sen x cs

1c x csc x

se

1n x

cos x se

1c x sec x

co

1s x

tan x co

1t x cot x

ta1n x

Identidades cociente

tan x s

c

e

o

n

s

x

x cot x

c

se

o

n

s x

x

Identidades pitagricassen2 x cos2 x 1tan2 x 1 sec2 x1 cot2 x csc2 x

r

A

h

a

b

R

r

h

b

ac

b

r

h

r

h

r

s

r

a

h

b

ac h

b

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PreclculoGrfico, numrico, algebraico

Franklin D. Demana The Ohio State University

Bert K. Waits The Ohio State University

Gregory D. Foley Liberal Arts and Science Academyof Austin

Daniel Kennedy Baylor School

S P T I M A E D I C I N

TRADUCCINVctor Hugo Ibarra MercadoEscuela de ActuaraUniversidad Anhuac, Mxico

REVISIN TCNICAM. en C. Javier Alfaro PastorInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

Dr. Ernesto Filio LpezUnidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas AvanzadasInstituto Politcnico Nacional (Mxico)

*AP es una marca registrada del College Board, el cual no avala ni est involucrado en la produccin de estelibro.

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Authorized translation from the English language edition, entitled Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7th ed., by Franklin D. Demana,Bert K. Waits, Gregory D. Foley and Daniel Kennedy, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright 2007.All rights reserved.

ISBN 0-321-35693-4

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Precalculus: graphical, numerical, algebraic 7a ed., por Franklin D. Demana,Bert K. Waits, Gregory D. Foley y Daniel Kennedy, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2007.Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaol

Editor: Rubn Fuerte Riverae-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com

Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos

SPTIMA EDICIN, 2007

D.R. 2007 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5 piso, Col. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: editorial.universidades@pearsoned.com

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.Addison Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema derecuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, porfotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus represen-tantes.

ISBN 10: 970-26-1016-8ISBN 13: 978-970-26-1016-8

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 09 08 07 06

DEMANA, FRANKLIN D. y cols.Preclculo. Grfico, numrico, algebraicoSptima edicinPearson Educacin, Mxico, 2007

ISBN: 970-26-1016-8rea: Matemticas

Formato: 21 27 cm Pginas: 1056

Edicin en Ingls

Publisher Greg TobinExecutive Editor Anne KellyProject Editor Joanne HaManaging Editor Karen WernholmSenior Production Supervisor Jeffrey HolcombSupplements Coordinator Emily PortwoodSoftware Development John OBrien and Mary DurnwaldDevelopmental Editor Elka BlockCover Design Suzanne HeiserProject Management Kathy SmithCover photo Royalty-Free/Corbis. Ferris

wheel in Odaiba, Tokyo.

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Contenido v

Contenido

CAPTULO R Requisitos 1R.1 Nmeros reales 2

Representacin de nmeros reales ~ Orden y notacin de intervalo ~ Propiedades bsicas del lgebra ~ Exponentes enteros ~ Notacin cientfica

R.2 Sistema de coordenadas cartesianas 14El plano cartesiano ~ Valor absoluto de un nmero real ~Frmulas de la distancia ~ Frmulas para el punto medio ~Ecuaciones de circunferencias ~ Aplicaciones

R.3 Ecuaciones y desigualdades lineales 24Ecuaciones ~ Resolucin de ecuaciones ~ Ecuaciones linealescon una variable ~ Desigualdades lineales en una variable

R.4 Rectas en el plano 31Pendiente de una recta ~ Ecuacin de una recta en la formapunto pendiente ~ Ecuacin de una recta en la forma pendiente interseccin al origen ~ Graficacin de ecuacioneslineales con dos variables ~ Rectas paralelas y rectas perpendiculares ~ Aplicacin de ecuaciones lineales con dosvariables

R.5 Resolucin de ecuaciones en forma grfica, numrica y algebraica 44

Resolucin de manera grfica de ecuaciones ~ Resolucin deecuaciones cuadrticas ~ Aproximacin en forma grfica de soluciones de ecuaciones ~ Aproximacin de soluciones deecuaciones, de forma numrica, mediante tablas ~ Resolucinde ecuaciones mediante la determinacin de intersecciones

R.6 Nmeros complejos 53Nmeros complejos ~ Operaciones con nmeros complejos ~Conjugados y divisin complejos ~ Soluciones complejas deecuaciones cuadrticas

R.7 Resolucin de desigualdades en forma algebraica y grfica 59

Resolucin de desigualdades con valor absoluto ~ Resolucinde desigualdades cuadrticas ~ Aproximacin a soluciones dedesigualdades ~ Movimiento de proyectiles

Ideas Clave 65Ejercicios de repaso 66

CAPTULO 1 Funciones y grficas 691.1 Modelacin y resolucin de ecuaciones 70

Modelos numricos ~ Modelos algebraicos ~ Modelos grficos ~ Propiedad del factor cero ~ Resolucin de

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vi Contenido

problemas ~ Fallas de los graficadores y comportamientooculto ~ Un comentario acerca de las demostraciones

1.2 Funciones y sus propiedades 86Definicin y notacin de funcin ~ Dominio y rango ~Continuidad ~ Funciones crecientes y funciones decrecientes ~ Acotamiento ~ Extremos locales y absolutos ~ Simetra ~Asntotas ~ Comportamiento en los extremos

1.3 Doce funciones bsicas 106Qu pueden decirnos las grficas ~ Doce funciones bsicas ~Anlisis grfico de funciones

1.4 Construccin de funciones a partir de funciones 117

Combinacin algebraica de funciones ~ Composicin de funciones ~ Relaciones y funciones definidas en forma implcita

1.5 Relaciones paramtricas e inversas 127Relaciones definidas en forma paramtrica ~ Relacionesinversas y funciones inversas

1.6 Transformaciones grficas 138Transformaciones ~ Traslaciones vertical y horizontal ~Reflexiones con respecto a los ejes ~ Alargamientos y compresiones horizontal y vertical ~ Combinacin de transformaciones

1.7 Modelacin con funciones 151Funciones a partir de frmulas ~ Funciones a partir de grficas ~ Funciones a partir de descripciones verbales ~Funciones a partir de datos

Matemticas en el trabajo 164Ideas clave 164Ejercicios de repaso 165Proyecto 168

CAPTULO 2 Funciones polinomiales, potenciay racionales 169

2.1 Funciones lineales y cuadrticas, y modelacin 170Funciones polinomiales ~ Funciones lineales y sus grficas ~Tasa (razn) promedio de cambio ~ Correlacin lineal y modelacin ~ Funciones cuadrticas y sus grficas ~ Aplicaciones de funciones cuadrticas

2.2 Funciones potencia con modelacin 188Funciones potencia y variacin ~ Funciones monomiales y sus grficas ~ Grficas de funciones potencia ~ Modelacincon funciones potencia

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Contenido vii

2.3 Funciones polinomiales de grado superior con modelacin 200

Grficas de funciones polinomiales ~ Determinacin del comportamiento en los extremos de funciones polinomiales ~Ceros (races) de funciones polinomiales ~ El teorema del valor intermedio ~ Modelacin

2.4 Ceros reales de funciones polinomiales 214Divisin larga y el algoritmo de la divisin ~ Teoremas del residuo y del factor ~ Divisin sinttica ~ Teorema de los ceros racionales ~ Cotas superior e inferior

2.5 Ceros complejos y el teorema fundamental del lgebra 228

Dos teoremas importantes ~ Ceros complejos conjugados ~Factorizacin con coeficientes reales

2.6 Grficas de funciones racionales 237Funciones racionales ~ Transformaciones de la funcin recproca ~ Lmites y asntotas ~ Anlisis de grficas de funciones racionales ~ Exploracin de humedad relativa

2.7 Resolucin de ecuaciones con una variable 248Resolucin de ecuaciones racionales ~ Soluciones extraas ~Aplicaciones

2.8 Resolucin de desigualdades con una variable 257Desigualdades lineales ~ Desigualdades racionales ~ Otrasdesigualdades ~ Aplicaciones

Matemticas en el trabajo 267Ideas clave 268Ejercicios de repaso 269Proyecto 273

CAPTULO 3 Funciones exponencial, logstica y logartmica 275

3.1 Funciones exponencial y logstica 276Funciones exponenciales y sus grficas ~ La base natural e ~Funciones logsticas y sus grficas ~ Modelos de poblacin

3.2 Modelacin exponencial y logstica 290Tasa de porcentaje constante y funciones exponenciales ~Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial ~Uso de regresin para modelar poblaciones ~ Otros modeloslogsticos

3.3 Funciones logartmicas y sus grficas 300Funciones inversas de exponenciales ~ Logaritmos comunes,base 10 ~ Logaritmos naturales, base e ~ Grficas de funcioneslogartmicas ~ Medicin del sonido usando decibeles

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viii Contenido

3.4 Propiedades de las funciones logartmicas 310Propiedades de los logaritmos ~ Cambio de base ~ Grficasde funciones logartmicas con base b ~ Cmo expresar informacin de otra forma

3.5 Modelacin y resolucin de ecuaciones 320Resolucin de ecuaciones exponenciales ~ Resolucin deecuaciones logartmicas ~ rdenes de magnitud y modeloslogartmicos ~ Ley de enfriamiento de Newton ~Transformacin logartmica ~ Tres tipos de transformacioneslogartmicas

3.6 Matemticas financieras 334Inters capitalizable anualmente ~ Inters capitalizable kveces por ao ~ Porcentaje de rendimiento anual ~Rendimiento porcentual anual ~ Anualidades, valor futuro ~Prstamos e hipotecas, valor presente

Ideas clave 344Ejercicios de repaso 344Proyecto 348

CAPTULO 4 Funciones trigonomtricas 349

4.1 Los ngulos y sus medidas 350El problema de la medicin angular ~ Grados y radianes ~Longitud de un arco circular ~ Movimiento angular y lineal

4.2 Funciones trigonomtricas de ngulos agudos 360Trigonometra del tringulo rectngulo ~ Dos tringulos famosos ~ Evaluacin de las funciones trigonomtricas concalculadora ~ Errores comunes que se cometen con la calculadora cuando se evalan las funciones trigonomtricas ~ Aplicaciones de la trigonometra del tringulo rectngulo

4.3 Trigonometra ampliada: las funciones circulares 370Funciones trigonomtricas de cualquier ngulo ~ Funcionestrigonomtricas de nmeros reales ~ Funciones peridicas ~El crculo unitario de 16 puntos

4.4 Grficas del seno y el coseno: sinusoides 384Revisin de las ondas bsicas ~ Sinusoidales y transformaciones ~ Modelacin del comportamiento peridico con sinusoidales

4.5 Grficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante 396

La funcin tangente ~ La funcin cotangente ~ La funcin secante ~ La funcin cosecante

4.6 Grficas de funciones trigonomtricas compuestas 405Combinacin de funciones algebraicas y trigonomtricas ~Sumas y diferencias de sinusoidales ~ Oscilacin amortiguada

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Contenido ix

4.7 Funciones trigonomtricas inversas 414Funcin seno inverso ~ Funciones coseno y tangente inversas ~ Composicin de funciones trigonomtricas y funciones trigonomtricas inversas ~ Aplicaciones de las funciones trigonomtricas inversas

4.8 Resolucin de problemas con trigonometra 425Ms problemas con tringulos rectngulos ~ Movimiento armnico simple

Ideas clave 438Ejercicios de repaso 439Proyecto 442

CAPTULO 5 Trigonometra analtica 443

5.1 Identidades fundamentales 444Identidades ~ Identidades trigonomtricas bsicas ~Identidades pitagricas ~ Identidades de cofunciones ~Identidades impar-par ~ Simplificacin de expresiones trigonomtricas ~ Resolucin de ecuaciones trigonomtricas

5.2 Demostracin de identidades trigonomtricas 454Una estrategia de demostracin ~ Demostracin de identidades ~ Refutacin de las que no son identidades ~Identidades en clculo

5.3 Identidades de suma y diferencia 463Coseno de una diferencia ~ Coseno de una suma ~ Seno deuna diferencia o de una suma ~ Tangente de una diferencia ode una suma ~ Verificacin algebraica de una sinusoidal

5.4 Identidades de mltiplos de un ngulo 471Identidades de ngulo doble ~ Identidades para reducir potencias ~ Identidades de medio ngulo ~ Resolucin deecuaciones trigonomtricas

5.5 Ley de los senos 478Deduccin de la ley de los senos ~ Resolucin de tringulos(AAL, ALA) ~ El caso ambiguo (LLA) ~ Aplicaciones

5.6 Ley de los cosenos 487Deduccin de la ley de los cosenos ~ Resolucin de tringulos(LAL, LLL) ~ rea de un tringulo y la frmula de Hern ~Aplicaciones

Matemticas en el trabajo 496Ideas clave 497Ejercicios de repaso 497Proyecto 500

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x Contenido

CAPTULO 6 Aplicaciones de trigonometra 501

6.1 Vectores en el plano 502Vectores en dos dimensiones ~ Operaciones con vectores ~Vectores unitarios ~ ngulos de direccin ~ Aplicaciones de vectores

6.2 Producto punto de vectores 514El producto punto ~ ngulo entre vectores ~ Proyeccin deun vector sobre otro ~ Trabajo

6.3 Ecuaciones paramtricas y movimiento 522Ecuaciones paramtricas ~ Curvas paramtricas ~Eliminacin del parmetro ~ Rectas y segmentos de recta ~Simulacin de movimiento con una graficadora

6.4 Coordenadas polares 534El sistema de coordenadas polares ~ Transformacin de coordenadas ~ Transformacin de ecuaciones ~Determinacin de la distancia mediante coordenadas polares

6.5 Grficas de ecuaciones polares 541Curvas polares y curvas paramtricas ~ Simetra ~ Anlisis de curvas polares ~ Rosas ~ Limaones (Caracoles) ~ Otrascurvas polares

6.6 Teorema de Moivre y races n-simas 550El plano complejo ~ Forma trigonomtrica de los nmeroscomplejos ~ Multiplicacin y divisin de nmeros complejos ~Potencias de nmeros complejos ~ Races de nmeros complejos

Ideas Clave 561Ejercicios de repaso 562Proyecto 565

CAPTULO 7 Sistemas y matrices 567

7.1 Resolucin de sistemas de dos ecuaciones 568El mtodo de sustitucin ~ Resolucin grfica de sistemas ~El mtodo de eliminacin ~ Aplicaciones

7.2 lgebra de matrices 579Matrices ~ Suma y resta de matrices ~ Multiplicacin de matrices ~ Matrices identidad e inversa de una matriz ~ Vectores en dos dimensiones ~ Aplicaciones

7.3 Sistemas lineales de varias variables y operaciones por renglones 594

Forma triangular para sistemas lineales ~ Eliminacin gaussiana ~ Operaciones elementales por renglones y formaescalonada por renglones ~ Forma escalonada reducida porrenglones ~ Resolucin de sistemas con matrices inversas ~Aplicaciones

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Contenido xi

7.4 Fracciones parciales 608Descomposicin en fracciones parciales ~ Denominadores confactores lineales ~ Denominadores con factores cuadrticosirreducibles ~ Aplicaciones

7.5 Sistemas de desigualdades con dos variables 617Grfica de una desigualdad ~ Sistemas de desigualdades ~Programacin lineal

Matemticas en el trabajo 625Ideas clave 626Ejercicios de repaso 626Proyecto 630

CAPTULO 8 Geometra analtica en dos y tres dimensiones 631

8.1 Secciones cnicas y parbolas 632Secciones cnicas ~ Geometra de una parbola ~ Traslacinde parbolas ~ Propiedad reflectante de una parbola

8.2 Elipses 644Geometra de una elipse ~ Traslacin de elipses ~ rbitas yexcentricidad ~ Propiedad reflectante de una elipse

8.3 Hiprbolas 656Geometra de una hiprbola ~ Traslacin de hiprbolas ~rbitas y excentricidad ~ Propiedad reflectante de una hiprbola ~ Navegacin de rango amplio

8.4 Traslacin y rotacin de ejes 666Ecuaciones de segundo grado de dos variables ~ Traslacinde ejes en comparacin con la traslacin de grficas ~Rotacin de los ejes ~ Criterio del discriminante

8.5 Ecuaciones polares de las cnicas 675Excentricidad (revisin) ~ Cmo escribir ecuaciones polarespara las cnicas ~ Anlisis de las ecuaciones polares de lascnicas ~ rbitas (revisin)

8.6 Sistema coordenado cartesiano tridimensional 685Coordenadas cartesianas tridimensionales ~ Frmulas de ladistancia y del punto medio ~ Ecuacin de la esfera ~ Planosy otras superficies ~ Vectores en el espacio ~ Rectas en elespacio

Ideas Clave 695Ejercicios de repaso 696Proyecto 698

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xii Contenido

CAPTULO 9 Matemticas discretas 699

9.1 Combinatoria bsica 700Discreto en comparacin con continuo ~ La importancia delconteo ~ El principio de multiplicacin del conteo ~ Permutaciones ~ Combinaciones ~ Subconjuntos de un conjunto con n elementos

9.2 El teorema del binomio 711Potencias de binomios ~ Tringulo de Pascal ~ El teorema delbinomio ~ Identidades factoriales

9.3 Probabilidad 718Espacios muestrales y funciones de probabilidad ~ Clculo delas probabilidades ~ Diagramas de Venn y diagramas de rbol~ Probabilidad condicional ~ Distribuciones binomiales

9.4 Sucesiones 732Sucesiones infinitas ~ Lmites de sucesiones infinitas ~ Sucesiones aritmticas y geomtricas ~ Sucesiones y calculadoras graficadoras

9.5 Series 742Notacin de suma ~ Sumas de sucesiones aritmticas y geomtricas ~ Series infinitas ~ Convergencia de seriesgeomtricas

9.6 Induccin matemtica 752El problema de las Torres de Hanoi ~ El principio de induccin matemtica ~ Induccin y deduccin

9.7 Estadstica y datos (enfoque grfico) 759Estadstica ~ Visualizacin de datos categricos ~ Grficas detallos ~ Tablas de frecuencia ~ Histogramas ~ Diagramas de tiempo

9.8 Estadstica y datos (enfoque algebraico) 771Parmetros y estadstica ~ Media, mediana y moda ~ Resumen de cinco nmeros ~ Diagramas de caja (boxplot) ~Varianza y desviacin estndar ~ Distribuciones normales

Matemticas en el trabajo 785Ideas Clave 786Ejercicios de repaso 786Proyecto 790

CAPTULO 10 Una introduccin al clculo: lmites, derivadas e integrales 791

10.1 Lmites y movimiento: el problema de la tangente 792Velocidad promedio ~ Velocidad instantnea ~ Revisin de lmites ~ Relacin con las rectas tangentes ~ La derivada

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Contenido xiii

10.2 Lmites y movimiento: el problema del rea 804Distancia a partir de una velocidad constante ~ Distancia apartir de una velocidad cambiante ~ Lmites en el infinito ~La relacin con las reas ~ La integral definida

10.3 Ms acerca de los lmites 813Un poco de historia ~ Definicin informal de lmite ~ Propiedades de los lmites ~ Lmites de funciones continuas ~Lmites laterales y de dos lados ~ Lmites que tienden a infinito

10.4 Integrales y derivadas numricas 826Derivadas obtenidas con calculadora ~ Integrales definidasobtenidas con calculadora ~ Clculo de la derivada a partir dedatos ~ Clculo de la integral definida a partir de datos

Ideas Clave 836Ejercicios de repaso 836Proyecto 838

APNDICE A Panorama general de los apndices

A.1 Radicales y exponentes racionales 839Radicales ~ Simplificacin de expresiones con radicales ~ Racionalizacin del denominador ~ Exponentes racionales

A.2 Polinomios y factorizacin 845Cmo sumar, restar y multiplicar polinomios ~ Productos especiales ~ Factorizacin de polinomios mediante los productos especiales ~ Factorizacin de trinomios ~ Factorizacin por agrupacin

A.3 Expresiones fraccionales 852Dominio de una expresin algebraica ~ Reduccin de expresiones racionales ~ Operaciones con expresiones racionales ~ Expresiones racionales compuestas

APNDICE B Frmulas importantes

B.1 Frmulas de lgebra 857Exponentes ~ Radicales y exponentes racionales ~ Productosespeciales ~ Factorizacin de polinomios ~ Desigualdades ~Frmula cuadrtica ~ Logaritmos ~ Determinantes ~ Sucesiones y series aritmticas ~ Sucesiones y series geomtricas ~ Factorial ~ Coeficiente binomial ~ Teorema delbinomio

B.2 Frmulas de geometra 858Tringulo ~ Trapecio ~ Crculo ~ Sector circular ~ Cono circular recto ~ Cilindro circular recto ~ Tringulo rectngulo~ Paralelogramo ~ Anillo circular ~ Elipse ~ Cono ~ Esfera

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xiv Contenido

B.3 Frmulas de trigonometra 859Medida angular ~ Identidades recprocas ~ Identidades cociente ~ Identidades pitagricas ~ Identidades impar-par ~Identidades de suma y diferencia ~ Identidades de cofuncin~ Identidades del ngulo doble ~ Identidades para reducir potencias ~ Identidades del ngulo medio ~ Tringulos ~ Forma trigonomtrica de un nmero complejo ~ Teorema deMoivre

B.4 Frmulas de geometra analtica 860Frmulas bsicas ~ Ecuaciones de una recta ~ Ecuacin deuna circunferencia ~ Parbolas con vrtice en (h, k) ~ Elipsescon centro en (h, k) y a b 0 ~ Hiprbolas con centro en(h, k)

B.5 Galera de funciones bsicas 862

APNDICE C

C.1 Lgica: Una introduccin 863Proposiciones ~ Proposiciones compuestas

C.2 Condicionales y bicondicionales 869Formas de proposiciones ~ Razonamiento vlido

Glosario 877

Respuestas seleccionadas 895

ndice de aplicaciones 1014

ndice 1017

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Acerca de los autoresFranklin D. DemanaFrank Demana recibi sus ttulos de maestra y doctorado en matemticas en la Universidad Estatal de Michigan y es profesor emrito de ma-temticas en la Universidad Estatal de Ohio. Como activo partidario del uso de la tecnologa en la enseanza y el aprendizaje de las matemti-cas, es cofundador del programa nacional de desarrollo profesional T3 (Teachers Teaching with Technology, Maestros Enseando conTecnologa). Ha sido director y uno de los principales investigadores de actividades financiadas con ms de diez millones de dlares por la NSF(National Science Foundation, Fundacin Nacional para la Ciencia). Actualmente es investigador codirector del Departamento de EducacinMatemtica e Investigacin Educativa de la Ciencia de Estados Unidos, que tiene asignados fondos de 3 millones de dlares, en un programaotorgado a la Universidad Estatal de Ohio. Adems de presentarse frecuentemente en congresos profesionales, ha publicado una amplia varie-dad de artculos en el campo de la instruccin matemtica potenciada con computadoras y calculadoras. El Dr. Demana tambin es cofundador(junto con Bert Waits) de la ICTCM (International Conference on Technology in Collegiate Mathematics, Conferencia Internacional sobre Tec-nologa en Matemticas Universitarias) que se celebra ao con ao. Recibi, junto con el Dr. Waits, el premio Glenn Gilbert National Leadershipde 1997, otorgado por el Consejo de Supervisores de Matemticas de Ohio (Ohio Council of Teachers of Mathematics).El Dr. Demana es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Essential Algebra: A Calculator Approach; Transition to College Mathe-matics; College Algebra and Trigonometry: A Graphing Approach; College Algebra: A Graphing Approach; Precalculus: Functions and Graphs eIntermediate Algebra: A Graphing Approach.

Bert K. WaitsBert Waits recibi su doctorado en la Universidad Estatal de Ohio y actualmente es profesor emrito de matemticas de la misma. El Dr. Waitses cofundador del programa de desarrollo profesional T3, y ha sido codirector o investigador principal de varios grandes proyectos de la NSF.Ha publicado artculos en ms de 50 revistas profesionales reconocidas nacionalmente. Con frecuencia imparte conferencias, talleres y minicur-sos en reuniones nacionales de la MAA (Mathematics American Association, Asociacin Matemtica de Amrica) y la NCTM (National Coun-cil of Teachers of Mathematics, Consejo Nacional de Maestros de Matemticas) sobre el uso de la tecnologa informtica para mejorar laenseanza y el aprendizaje de matemticas. Ha sido invitado a presentaciones en las ediciones 6, 7 y 8 del ICME (International Congress onMathematical Education, Congreso Internacional de Educacin Matemtica) en Budapest (1988), Quebec (1992) y Sevilla (1996), respectiva-mente. El Dr. Waits recibi, junto con el Dr. Demana, el premio Glenn Gilbert National Leadership de 1997, otorgado por el Consejo de Super-visores de Matemticas de Ohio y es cofundador (con Frank Demana) de la ICTCM. Tambin fue uno de los acreedores al premioChristofferson-Fawcett Mathematics Education otorgado por el Consejo de Maestros de Matemticas de Ohio.El Dr. Waits es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; College Algebra and Trigonometry: A Graphing Approach; College Al-gebra: A Graphing Approach; Precalculus: Functions and Graphs y de Intermediate Algebra: A Graphing Approach

Gregory D. FoleyGreg Foley recibi sus ttulos de licenciatura y maestra en matemticas, y doctorado en educacin matemtica en la Universidad de Texas enAustin. Es director de la Academia de Ciencias y Artes, el programa acadmico avanzado de preparatoria del Austin Independent School Dis-trict en Texas. El Dr. Foley ha impartido desde cursos elementales de aritmtica hasta cursos de matemticas a nivel universitario (en el que tam-bin imparte clases en educacin matemtica). De 1977 a 2004 ha formado parte de la facultad de tiempo completo en North Harris CountyCollege, Austin Community College, The Ohio State University, Sam Hoston State University y Appalachian State University, donde fue Cate-drtico Distinguido de Educacin Matemtica en el departamento de Ciencias Matemticas, y dirigi el programa MELT (Mathematics Educa-tion Leadership Training, Capacitacin de Lderes en Educacin Matemtica). El Dr. Foley ha presentado ms de 200 conferencias y talleres enEstados Unidos y otros pases, ha dirigido varios proyectos con apoyo financiero y ha publicado artculos en varias revistas profesionales. Ac-tivo en varias sociedades, es miembro del Comit para la Educacin en Matemticas de Maestros de la MAA. En 1988, el Dr. Foley recibi elpremio bianual AMATYC (American Mathematical Association of Two-Years Colleges, Asociacin Matemtica Estadounidense para los DosPrimeros Aos Universitarios) para la Excelencia Matemtica, y en 2005, recibi el premio anual de T3.

Daniel KennedyDan Kennedy recibi su ttulo de licenciatura en el College of the Holy Cross, y su maestra y doctorado en matemticas en la Universidad deCarolina del Norte, en Chapel Hill. Desde 1973 ha enseado matemticas en Baylor School en Chattanooga, Tennessee, donde ostenta la Cte-dra Distinguida Cartter Lupton. El Dr. Kennedy se convirti en conferencista de Advanced Placement Calculus en 1978, que lo llev a un nivelcreciente de compromiso con el programa como asesor en talleres, lder de mesas y en desarrollo de exmenes. Se uni al Advanced PlacementCalculus Test Development Committee en 1986. En 1990 fue el primer maestro de preparatoria en 35 aos en presidir ese comit. Durante sutitularidad, el programa inici el requerimiento de calculadoras graficadoras, para dejar sentadas las bases para la reforma de 1988 del curricu-lum de Advanced Placement Calculus. Autor de 1997 Teachers Guide-AP*Calculus, el Dr. Kennedy ha dirigido ms de 50 talleres para maes-tros de clculo a nivel bachillerato. Sus artculos sobre enseanza de matemticas han aparecido en Mathematics Teacher y AmericanMathematical Monthly, y es conferencista frecuente en congresos profesionales y civiles sobre reformas de la educacin. El Dr. Kennedy fuenombrado Tandy Technology Scholar en 1992 y fue ganador de un Presidential Award en 1995.El Dr. Kennedy es coautor de Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic; Prentice Hall Algebra I; Prentice Hall Geometry y de Prentice HallAlgebra 2.

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PrefacioDado que desde 1990 se ha puesto mucha atencin en reformar los cursos de clcu-lo, sorprende que los de preclculo hayan mantenido su forma tradicional. En estaedicin de Preclculo: grfico, numrico y algebraico, los autores presentan un cur-so de preclculo reformado. Para aquellos estudiantes que planeen continuar con uncurso de clculo, esta obra concluye con un captulo que los prepara para abordardos temas centrales: la tasa de cambio instantnea y la acumulacin continua. Esteinteresante avance intuitivo es til y ms razonable que la incursin tradicional y ca-rente de motivacin del clculo de lmites.Reconociendo que el de preclculo podra ser un curso terminal para muchos estudian-tes, los autores tambin incluyen temas de instruccin cuantitativa tales como proba-bilidad, estadstica y matemticas financieras. Su objetivo es proporcionarles buenashabilidades de pensamiento crtico, necesarias para tener xito en cualquier empresa.Continuando con el espritu de las ediciones anteriores, los autores han integrado latecnologa de graficacin a todo el curso, no como un tema adicional sino como unaherramienta esencial para el descubrimiento matemtico y la resolucin efectiva deproblemas. Esta tecnologa permite estudiar un catlogo completo de funciones b-sicas desde el inicio del curso, lo que permite dar una idea de las propiedades de fun-ciones que en otros libros no se ven sino hasta los captulos finales. Al relacionar ellgebra de funciones con la visualizacin de sus grficas, los autores incluso presen-tan a los estudiantes ecuaciones paramtricas, funciones definidas por partes, nota-cin de lmite y una comprensin intuitiva de continuidad desde el captulo 1.Una vez que los estudiantes se sienten cmodos con el lenguaje de funciones, losautores los guan a travs de una exploracin ms tradicional de doce funciones b-sicas y sus propiedades algebraicas, reforzando siempre la relacin que existe entresus representaciones algebraica, grfica y numrica. Con respecto a la modelacin,el libro utiliza un enfoque consistente que permite dar nfasis en cada captulo al usode tipos particulares de funciones para modelar comportamientos del mundo real.

Nuestro enfoque

La regla de los cuatro mtodos: Un enfoque equilibradoUna de las caractersticas principales de este libro es el equilibrio entre los mto-dos algebraico, numrico, grfico y verbal para representar problemas: la regla delos cuatro mtodos. Por ejemplo, obtenemos soluciones de forma algebraica cuan-do sta es la tcnica ms apropiada para hacerlo y recurrimos a las soluciones gr-fica o numrica cuando el lgebra es difcil de usar. Recomendamos a losestudiantes resolver los problemas con mtodo y luego respaldar o confirmar sussoluciones mediante uno distinto, pues creemos que deben aprender el valor de ca-da una de estas representaciones para posteriormente elegir la ms apropiada deacuerdo a cada problema. Este enfoque refuerza la idea de que, para entender unproblema completamente, son necesarias las comprensiones tanto algebraica comogrfica y numrica.

Enfoque de resolucin de problemasEn los ejemplos a todo lo largo del texto se enfatiza la resolucin sistemtica deproblemas usando la siguiente variacin del proceso de resolucin de problemas de Polya:

Comprender el problema.

Desarrollar un modelo matemtico.

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Resolver el modelo matemtico y respaldar o confirmar las soluciones. Interpretar la solucin.Encontrarn el uso de este mtodo a lo largo de todo el libro.Doce funciones bsicasLas doce funciones bsicas, que se presentan enseguida, se resaltan en todo el librocomo un tema principal: Funcin identidad Funcin cuadrtica Funcin cbica Funcin recproca Funcin raz cuadrada Funcin exponencial Funcin logaritmo natural Funcin seno Funcin coseno Funcin valor absoluto Funcin mximo entero Funcin logsticaUna de las caractersticas ms distintivas de este texto es que presenta a los estu-diantes un vocabulario completo de funciones al principio del curso. En el captu-lo 1, los estudiantes conocen grficamente las doce funciones bsicas y son capacesde compararlas y contrastarlas conforme aprenden conceptos como dominio, ran-go, simetra, continuidad, comportamiento en los extremos, asntotas, mximos ymnimo, e incluso periodicidad; conceptos difciles de apreciar cuando los nicosejemplos a los que un maestro puede hacer referencia son los polinomios. Con es-te libro, desde las primeras semanas de clase los estudiantes sern capaces de ca-racterizar funciones mediante sus comportamientos por ejemplo, gracias a latecnologa de graficacin ya no es necesario entender radianes antes de poderaprender que la funcin seno es acotada, peridica, impar y continua, con dominio(, ) y rango [1, 1]. Una vez que los estudiantes tienen una buena compren-sin de las funciones en general, el resto del curso consiste en el estudio, con ma-yor profundidad, de diferentes tipos de funciones, particularmente con respecto asus propiedades algebraicas y la modelacin de aplicaciones.Estas funciones se utilizan para desarrollar las habilidades fundamentales de anli-sis requeridas para los cursos de clculo y matemticas avanzadas. La seccin 1.2proporciona un panorama de estas funciones mediante un examen de sus grficas.Para una fcil consulta, elapndice B incluye una ga-lera completa de funcio-nes bsicas.Cada funcin bsica se re-visa posteriormente en ellibro mediante un anlisisms profundo que incluyela investigacin de propie-dades algebraicas.Adems, se resumen lascaractersticas generales defamilias de funciones.

Prefacio xvii

Doce funciones bsicasLa funcin identidad

f x xHecho interesante: sta es la nica funcin que acta sobre todonmero real y lo deja igual.

FIGURA 1.36

321

123

y

x5 4 3 2 1 321 4 5

Funcin cuadrtica

f x x2Hecho interesante: La grfica de esta funcin, denominadaparbola, tiene una propiedad de reflexin que es til en lafabricacin de faros y discos de satlites.

FIGURA 1.37

54321

1

y

x5 4 3 2 1 321 4 5

Funciones exponenciales f (x) bx

Dominio: Todos los realesRango: (0, )ContinuaNo tiene simetra: no es par ni imparAcotada por abajo, pero no por arribaNo tiene mximo ni mnimoAsntota horizontal: y 0Ni tiene asntotas verticalesSi b > 1 (consulte la figura 3.3 a)) entonces, f es una funcin creciente, lm

xAf x 0 y lm

xAf x .

Si 0 < b < 1 (consulte figura 3.3 b)) entonces, f es una funcin decreciente, lm

xAf x y lm

xAf x 0.FIGURA 3.3 Grficas de f(x) bx para a) b 1 y b) 0 b 1.

y

x

f (x bxb > 1

(0, 1)

a)

(1, b)

y

x

f (x) bx0 < b < 1

(0, 1)

b)

(1, b)

FIGURA 3.29 f x logb x, b 1.

y

x

(b, 1)

(1, 0)

Funciones logartmicas f (x) logbx, con b 1Dominio: (0, )Rango: Todos los realesContinuaCreciente en su dominioNo es simtrica: no es par ni imparNo est acotada por arriba ni por abajoNo tiene mximos ni mnimosNo tiene asntotas horizontalesAsntota vertical: x 0Comportamiento en los extremos lm

xAlogbx

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Aplicaciones y datos realesLa mayor parte de las aplicaciones en el texto estn basadas en datos reales de lasfuentes citadas y, para abordar su anlisis, los estudiantes no requieren experienciaalguna en los campos de origen de las mismas.

A medida que avanzan en el anlisis de las aplicaciones, los estudiantesse exponen a funciones como mecanismos para modelar datos, y son mo-tivados para aprender acerca de cmo varias funciones pueden ayudar amodelar problemas de la vida real. Aprenden a analizar, modelar y grafi-car datos, e interpretar grficas y ajustar curvas. Adems, la representa-cin tabular de datos presentada en este texto enfatiza la idea de que unafuncin es una correspondencia entre variables numricas. Esto ayuda alos estudiantes a construir la relacin entre los nmeros y sus grficas, ya reconocer la importancia de una comprensin completa grfica, nu-mrica y algebraica de un problema. Puede consultar una lista comple-ta de aplicaciones en el ndice de aplicaciones, en la pgina 1014.

Cambios de contenido en esta edicin

Para los instructores, hemos agregado el tratamiento adicional de temasque los estudiantes generalmente encuentran desafiantes, en especial en loscaptulos 1, 2 y 9. Adems, donde ha sido apropiado, hemos actualizado

todos los datos de los ejemplos y ejercicios. Tambinarreglamos ciertas secciones para acomodar mejor la lon-gitud de los periodos de enseanza y agregado cuantiosasfuentes, tanto para maestros nuevos como para experi-mentados. Por todo lo anterior, creemos firmemente quelos cambios descritos hacen de la presente edicin la obrams efectiva disponible para los estudiantes.

Captulo RAhora, se presentan los nmeros complejos en la seccin R.6; anteriormente estetema se trataba hasta el captulo 2.Captulo 1La seccin 1.4 de la edicin anterior se ha dividido en dos para proporcionar ma-yor prctica en la composicin de funciones y dedicar una seccin completa a lasfunciones inversas. Se han agregado representaciones grficas de composicionescon valor absoluto.Captulo 2La seccin sobre nmeros complejos se traslad al captulo R para hacer ms di-dctica la extensin de este captulo. Se incluyeron las subsecciones Aplicacionesde funciones cuadrticas y Funciones monomiales y sus grficas para resaltarestos temas.

Captulo 4Se agregaron ejercicios de exploracin para presentar las funciones arcosecante yarcocosecante, y sus opciones de dominio asociadas.Captulo 6Ahora, el material de este captulo est unificado bajo el ttulo Aplicaciones de trigo-nometra. La seccin de vectores se simplific y se introdujo una nueva subseccinque relaciona los temas de curvas polares y curvas paramtricas. La representacingeomtrica de nmeros complejos se pas del captulo 2 a la seccin 6.6.Captulo 8El proyecto actualizado del captulo, Elipses como modelos del movimiento de unpndulo, aborda la aplicacin de elipses.

xviii Prefacio

EJEMPLO 6 Modelacin de la poblacin de EstadosUnidos mediante regresin exponencial

Utilice la informacin de 1900 a 2000 en la tabla 3.9 y regresin exponencial parapronosticar la poblacin de Estados Unidos en 2003.

SOLUCIN

Modele

Sea P(t) la poblacin, en millones, de Estados Unidos t aos despus de 1900. Lafigura 3.15 a) muestra un diagrama de dispersin de la informacin. Utilizandoregresin exponencial, encontramos un modelo para los datos de 1990-2000:

Pt 80.5514 1.01289t.

La figura 3.15 b) muestra el diagrama de dispersin con una grfica del modelopoblacional que acabamos de encontrar. Puede ver que la curva se ajusta muybien a los datos. El coeficiente de determinacin es r2 0.995, lo que indica unbuen ajuste y apoya la evidencia visual.Resuelva grficamente

Para pronosticar la poblacin de Estados Unidos en 2003, sustituimos t 103 en el modelo de regresin. La figura 3.15 c) muestra que P(103) 80.5514 1.01289103 301.3.

contina

FIGURA 3.15 Diagramas de dispersin y grficas para el ejemplo 6. La x en negro denota al dato para 2003. La x en gris enc) denota la prediccin del modelo para 2003.

[10, 120] por [0, 400]c)

X=103 Y=301.29248

5514*1.01289^XY1=80.

[10, 120] por [0, 400]b)

[10, 120] por [0, 400]a)

Tabla 3.9 Poblacin (en millones)

Ao Poblacin

1900 76.21910 92.21920 106.01930 123.21940 132.21950 151.31960 179.31970 203.31980 226.51990 248.72000 281.42003 290.8

Fuente: World Almanac and Book of Facts2005.

Interprete

El modelo pronostica que la poblacin de Estados Unidos en 2003 fue 301.3millones. La poblacin real fue 290.8 millones. Sobreestimamos por 10.5 millo-nes, menos del 4% de error.

Ahora resuelva el ejercicio 43.

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Captulo 9Ahora hay dos secciones separadas para sucesiones y series; ms ejemplos y ejerci-cios que las abordan, y un tratamiento ms amplio de convergencia de sucesiones.Captulo 10Este primer avance del clculo proporciona una perspectiva histrica de esta disci-plina, y presenta estudios clsicos de movimiento mediante los problemas de rectatangente y problemas de rea. Luego se investigan los lmites; el captulo terminacon una inspeccin grfica y numrica de derivadas e integrales.

Caractersticas nuevas o mejoradas

Varias caractersticas se han resaltado en esta revisin para ayudar a los es-tudiantes a alcanzar el dominio de las habilidades y conceptos del curso.Nos satisface ofrecer las siguientes caractersticas nuevas o mejoradas:Los inicios de captulo incluyen una fotografa para motivar y la descrip-cin general de una aplicacin que puede resolverse con los temas del ca-ptulo. La aplicacin se revisa posteriormente mediante un problemaespecfico que se resuelve. Estos problemas permiten a los estudiantes ex-plorar situaciones realistas usando mtodos grficos, numricos y algebrai-cos. Tambin se pide a los estudiantes modelar situaciones de problemasmediante las funciones estudiadas en el captulo. Adems, aqu es donde selistan las secciones del captulo.La seccin Panorama general del captulo le da un sentido a lo que seaprender. Este panorama proporciona un mapa del captulo e indica cmose relacionan sus temas bajo una idea general. Esto siempre es til para re-cordar que las matemticas no son modulares, sino que estn interrelacio-nadas, y que las habilidades y conceptos del curso se fundamentan unossobre otros para dar paso a la comprensin de los procesos y sus relacionesms complicadas.

De forma anloga, la caracters-tica Aprender acerca deporque proporciona las ideasgenerales de cada seccin y ex-plica su propsito. Es importanteleer esta parte y revisarla una vezterminado el captulo para ase-gurarse de que ha comprendidotodos los temas importantes queacaba de estudiar.

Prefacio xix

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Funciones y grficas

Uno de los principios centrales en economa es que el valor deldinero no es constante, sino una funcin del tiempo. Dado quemuchas fortunas se ganan y se pierden tratando de predecir elvalor futuro del dinero, se pone mucha atencin a indicadorescuantitativos como el ndice de precios al consumidor, unamedida bsica de la inflacin en varios sectores de la economa.Consulte la pgina 159 para conocer el comportamiento delndice de precios al consumidor a travs del tiempo.

1.1 Modelacin y resolucin de ecuaciones

1.2 Funciones y suspropiedades

1.3 Doce funciones bsicas

1.4 Construccin de funciones a partir de funciones

1.5 Relaciones paramtricas einversas

1.6 Transformaciones grficas

1.7 Modelacin con funciones

C A P T U L O 1

PROBLEMA DE INICIO DE CAPTULO (de la pgina 69)

PROBLEMA: La tabla siguiente muestra el crecimiento en el ndice de pre-cios de computadoras (IPC) para vivienda, para aos seleccionados entre 1980y 2003 (con base en dlares de 1983). Cmo podemos construir una funcinpara predecir el IPC para los aos 20042010?

SOLUCIN: En la figura 1.87 se muestra un diagrama de dispersin de losdatos, en donde x es el nmero de aos desde 1980. Como los datos caen cer-ca de una recta inclinada, podemos utilizar una calculadora para calcular larecta de regresin para modelar los datos. La ecuacin de la recta de regresines y 4.37x 83.20.

Como lo muestra la figura 1.88, la recta se ajusta muy bien a los datos.Para predecir el IPC vivienda para 2004, utilizamos x 24 en la ecuacin dela recta de regresin. En forma anloga, podemos predecir el IPC viviendapara cada uno de los aos del 2004 al 2010 como se muestra a continuacin:

Incluso con un ajuste de regresin tan impresionante como el de la figura 1.88,es riesgoso predecir ms all del conjunto de datos. Estadsticas como el IPCson dependientes de muchos factores voltiles que rpidamente pueden dejara cualquier modelo matemtico obsoleto. De hecho, muchos economistas con-vencidos de que el crecimiento no poda sostenerse, empezaron a alertar en2003 que la burbuja de vivienda reventara antes de 2010.

ndice de precios de computadoras (vivienda)

Ao IPC vivienda1980 81.11985 107.71990 128.51995 148.51998 160.41999 163.92000 169.62001 176.42002 180.32003 184.8

Fuente: Oficina de Estadsticas Laborales, de acuerdo con TheAlmanac and Book of Facts 2005.

IPC (vivienda) pronosticado

Ao IPC vivienda pronosticado2004 y 4.37(24) 83.20 188.12005 y 4.37(25) 83.20 192.52006 y 4.37(26) 83.20 196.82007 y 4.37(27) 83.20 201.22008 y 4.37(28) 83.20 205.62009 y 4.37(29) 83.20 209.92010 y 4.37(30) 83.20 214.3

Panorama general del captulo 3

En este captulo estudiaremos tres familias interrelacionadas de funciones: expo-nencial, logstica y logartmica. Las funciones polinomiales, funciones racionalesy funciones potencia con exponentes racionales son funciones algebraicas; esdecir, son funciones obtenidas al sumar, restar, multiplicar y dividir constantes yuna variable independiente, y elevar expresiones a potencias enteras y extraer ra-ces. En este captulo y el siguiente, exploraremos las funciones trascendentales,que van ms all que trascienden a estas operaciones algebraicas.

Al igual que sus primas algebraicas, las funciones exponencial, logstica y logart-mica tienen muchas aplicaciones. Las exponenciales modelan crecimiento y decai-miento con respecto al tiempo, tal como el crecimiento sin restricciones depoblaciones y el decaimiento de sustancias radiactivas. Las funciones logsticasmodelan crecimiento restringido de poblaciones, ciertas reacciones qumicas y lapropagacin de rumores y enfermedades. Las funciones logartmicas son la base dela escala Richter de la intensidad de terremotos, la escala de acidez pH y la medi-da del sonido en decibeles.

El captulo termina con un estudio de matemticas financieras, una aplicacin delas funciones exponenciales y logartmicas que se utiliza con frecuencia cuando serealizan inversiones.

276 CAPTULO 3 Funciones exponencial, logstica y logartmica

3.1Funciones exponencial y logsticaAprender acerca de Las funciones exponenciales

y sus grficas

La base natural e

Las funciones logsticas y susgrficas

Los modelos de poblacin

. . . porqueLas funciones exponencial ylogstica modelan muchospatrones de crecimiento,incluyendo el de poblacioneshumanas y animales.

Funciones exponenciales y sus grficas

Cada una de las funciones f x x2 y g(x) 2x incluyen una base elevada a unexponente, pero los papeles estn al revs:

Para f x x2, la base es la variable x y el exponente es la constante 2; f es unaconocida funcin monomial y potencia.

Para g(x) 2x, la base es la constante 2 y el exponente es la variable x; g es unafuncin exponencial. Consulte la figura 3.1.

FIGURA 3.1 Bosquejo de g(x) 2x.

x11112233 22 33 44

y

5510101515202202

DEFINICIN Funcin exponencial

Sean a y b nmeros reales constantes. Una funcin exponencial en x es unafuncin que puede escribirse en la forma

f x a bx,donde a es diferente de cero, b es positiva y b 1. La constante a es el valorinicial de f (el valor en x 0) y b es la base.

Las funciones exponenciales estn definidas y son continuas para todos los nme-ros reales. Es importante reconocer si una funcin es una funcin exponencial.

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Con el fin de facilitar su localizacin y consulta, el vocabulario se resalta en gris.Las propiedades estn en recuadros de color para que sea fcil encontrarlas.Cada ejemplo termina con una sugeren-cia de Ahora resuelva un ejercicio rela-cionado. Resolver el o los ejerciciossugeridos es una forma sencilla de com-probar la comprensin del material so-bre la marcha y no al final de cada seccino captulo para ver si consigue hacerlo.Se proporcionan alternativas para estosejemplos en el paquete de Acetatos y trans-parencias (en ingls).Exploraciones aparecen en todo el texto y proporcionan la perfecta oportunidadpara ser un estudiante activo y descubrir las matemticas por su propia cuenta. Es-to le ayudar a refinar su pensamiento crtico y sus habilidades de resolucin deproblemas. Algunas exploraciones estn basadas en la tecnologa; otras implican laexploracin de ideas y relaciones matemticas.A lo largo del texto aparecen Notas al margen rela-cionadas con varios temas. Las sugerencias le ofrecenconsejos prcticos en el uso de su graficadora paraobtener resultados mejores y ms precisos. Las notasal margen incluyen comentarios histricos, sugeren-cias acerca de ejemplos e ideas adicionales para ayu-darle a evitar errores y riesgos.El icono Adelanto de clculo se en-cuentra a lo largo del texto antes de mu-chos ejemplos y temas para marcar losconceptos que los estudiantes encontrarnnuevamente en clculo. Se resaltan lasideas que presagian clculo como lmites,mximos y mnimos, asntotas y continuidad. Al inicio del texto, la idea de lmitese presenta de forma intuitiva y empleando un enfoque conceptual. En los prime-ros captulos se introduce algo de la notacin y el lenguaje de clculo, y se utilizaen todo el texto para establecer familiaridad.El icono Datos de la Web/reales se utiliza para marcar los ejemplos y ejerci-cios que utilizan datos reales citados.

El material de Repaso de captulo est constituido por secciones dedica-das a ayudar a los estudiantes a revisar los conceptos ledos. Las Ideasclave constan de tres partes: Propiedades, Teoremas y Frmulas; Procedi-mientos; y Galera de funciones. Los Ejercicios de repaso representanuna gama completa de ejercicios tratados en el captulo y dan prctica adi-cional en las ideas desarrolladas. Los ejercicios marcados en azul indicanproblemas que constituiran un buen examen de prctica. Cada captuloconcluye con un Proyecto que pide a los estudiantes analizar datos. Pue-den asignarse de forma individual o para trabajo en equipo. Cada proyec-to desarrolla los conceptos e ideas enseados en el captulo, y muchosproyectos remiten a la Web para investigacin posterior de datos reales.

xx Prefacio

En los ejercicios 71 y 72 utilice la informacin de la tabla 3.28.

71. Modelacin poblacional Determine un modelo exponencialde regresin para la poblacin de Georgia y utilcelo parapronosticar la poblacin en 2005.

72. Modelacin poblacional Determine un modelo logstico deregresin para la poblacin de Illinois y utilcelo para pronos-ticar la poblacin en 2010.

Tabla 3.28 Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en millones)

Ao Georgia Illinois

1900 2.2 4.81910 2.6 5.61920 2.9 6.51930 2.9 7.61940 3.1 7.91950 3.4 8.71960 3.9 10.11970 4.6 11.11980 5.5 11.41990 6.5 11.42000 8.2 12.4

Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, deacuerdo con el World Almanac and Book of Facts2005.

Logaritmos comunes, base 10

Los logaritmos con base 10 se denominan logaritmos comunes. Debido a surelacin con nuestro sistema de base 10, el sistema mtrico y la notacin cientfi-ca, los logaritmos comunes son especialmente tiles. Con frecuencia quitamos elsubndice 10 para la base cuando usamos logaritmos comunes. La funcin logarit-mo comn log10 x = log x es la inversa de la funcin exponencial f x = 10x. As

y log x si y slo si 10y x.

Aplicando esta relacin podemos obtener otras relaciones para los logaritmos conbase 10.

Propiedades bsicas de los logaritmos comunes

Sea x y y nmeros reales con x 0. log 1 0 ya que 100 1.

log 10 1 ya que 101 10.

log 10 y y ya que 10 y 10 y.

10log x x ya que log x log x.

EXPLORACIN 1 Grficas de funciones exponenciales

1. Grafique cada funcin en la ventana de visualizacin [2, 2] por [1, 6].a) y1 2x b) y2 3x c) y3 4x d) y4 5x

Qu punto tienen en comn las cuatro grficas? Analice las funciones, con respecto a dominio, rango, continuidad,

comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mximos y mnimos, asntotas y comportamiento en los extremos.

2. Grafique cada funcin en la ventana de visualizacin [2, 2] por [1, 6].

a) y1 ( 12 )x b) y2 ( 13 )xc) y3 ( 14)x d) y4 ( 15 )x Cul punto es comn a las cuatro grficas?

Analice las funciones, con respecto a dominio, rango, continuidad,comportamiento creciente o decreciente, simetra, acotamiento, mximos y mnimos, asntotas y comportamiento en los extremos.

UN POCO DE HISTORIA

Las funciones logartmicas fuerondesarrolladas alrededor de 1594, comoherramientas computacionales, por elmatemtico escocs John Napier (1550-1617). Originalmente, les llamnmeros artificiales, pero cambi elnombre por el de logaritmos, quesignifica nmeros de clculo onmeros para calcular.

Grficas de funciones logartmicas con base bCon la frmula de cambio de base podemos rescribir cualquier funcin logartmi-ca gx logb x como

gx lln

n

bx

ln1

b ln x.

As, toda funcin logartmica es un mltiplo constante de la funcin logaritmonatural, f x ln x. Si la base es b 1, la grfica de g(x) logb x es un alarga-miento o compresin vertical, en un factor de 1/ln b, de la grfica de f x ln x.Si 0 b 1 tambin se requiere una reflexin respecto del eje x.

IDEAS CLAVE DEL CAPTULO 3

PROPIEDADES, TEOREMAS Y FRMULAS

Crecimiento y decaimiento exponencial 279Funciones exponenciales f(x) = bx 280Funciones exponenciales y la base e 282Modelo exponencial de poblacin 290Cambio entre forma logartmica y

exponencial 300Propiedades bsicas de los logaritmos 301Propiedades bsicas de los logaritmos comunes

302Propiedades bsicas de logaritmos naturales

304Propiedades de los logaritmos 310Frmula de cambio de base para logaritmos

313Funciones logartmicas f(x) = logbx, con

b 1 314Propiedades de inyectividad (uno a uno) 320Ley de enfriamiento de Newton 326Inters capitalizable anualmente 334Inters compuesto k veces por ao 335Porcentaje de rendimiento anual 336Rendimiento porcentual anual 337Valor presente de una anualidad 340

PROCEDIMIENTOS

Cmo expresar informacin de otra forma 314-316

Transformacin logartmica 328-329

GALERA DE FUNCIONES

f (x) ex f (x) 1 1ex

f (x) ln x[2, 6] por [3, 3]

Logartmica natural

[4.7, 4.7] por [0.5, 1.5]

Logstica bsica

[4, 4] por [1, 5]

Exponencial

SOLUCIN

a) La grfica de g(x) e2x se obtiene mediante una compresin horizontal de lagrfica de f x ex en un factor de 2 (consulte la figura 3.7 a)).

b) Podemos obtener la grfica de h(x) ex mediante una reflexin de la grfi-ca de f x ex con respecto al eje y (figura 3.7 b)).

c) Podemos obtener la grfica de k(x) 3ex mediante un alargamiento vertical,en un factor de 3, de la grfica de f x ex (figura 3.7 c)).

Ahora resuelva el ejercicio 21.

SECCIN 3.1 Funciones exponencial y logstica 283

EJEMPLO 5 Transformacin de funcionesexponenciales

Describa cmo transformar la grfica de f x ex en la grfica de la funcindada. Bosqueje las grficas y respalde su respuesta con una graficadora.a) g(x) e2x b) h(x) ex c) k(x) 3ex

contina

q p g

En los ejercicios del 5 al 10 describa cmo transformar la grficade f en la grfica de g(x) 2x o h(x) ex. Haga un bosquejo y res-palde su respuesta con un graficadora.

5. f x 4x 3 6. f x 4x7. f x 8x 3 8. f x 8x 39. f x e2x3 10. f x e3x4

En los ejercicios 11 y 12 determine la interseccin y y las asntotashorizontales.

11. f x 5 130e

00.05x 12. f x 5 2

5e

00.04x

En los ejercicios 13 y 14 indique si la funcin es una funcin concrecimiento exponencial o una funcin con decaimiento exponen-cial, y describa su comportamiento en los extremos mediante lmites.

13. f x e4x 2 14. f x 25x3 1En los ejercicios del 15 al 18 grafique la funcin y analcela conrespecto al dominio, continuidad, comportamiento creciente odecreciente, simetra, acotamiento, mnimos y mximos, asntotas ycomportamiento en los extremos.

15. f x e3x 1 16. gx 34x1 217. f x 1 3

6 0.4x 18. gx 4

120e

00.01x

En los ejercicios del 19 al 22 determine la funcin exponencial quesatisface las condiciones dadas.

19 V l i i i l 24 i t t d 5 3% di i

En los ejercicios del 31 al 34 reescriba la ecuacin en forma exponencial.31. log3 x 5 32. log2 x y

33. ln xy

2 34. log ab 3

En los ejercicios del 35 al 38 describa cmo transformar la grficade y log2x en la grfica de la funcin dada. Bosqueje a mano lagrfica y respalde su respuesta con un graficadora.35. f x log2 x 4 36. gx log2 4 x37. hx log2 x 1 2 38. hx log2 x 1 4

En los ejercicios del 39 al 42 grafique la funcin y analcela conrespecto a dominio, continuidad, comportamiento creciente odecreciente, simetra, acotamiento, mnimos y mximos, asntotas ycomportamiento en los extremos.39. f x x ln x 40. f x x2 ln x41. f x x2 ln x 42. f x ln

x

x

En los ejercicios del 43 al 54 resuelva la ecuacin.43. 10x 4 44. ex 0.2545. 1.05x 3 46. ln x 5.447. log x 7 48. 3x3 549. 3 log2 x 1 7 50. 2 log3 x 3 4

51. 5 52. 4 50

e2x 11

53. log x 2 log x 1 454. ln 3x 4 ln 2x 1 5

3x 3x2

SECCIN 3.6 Matemticas financieras 345

Conjuntos de ejerciciosCada conjunto de ejercicios inicia con un Repaso rpido para ayu-darle a revisar las habilidades necesarias en el conjunto de ejerciciosy, por tanto, recuerdan nuevamente que las matemticas no son mo-dulares. Tambin hay indicaciones Para obtener ayuda consulte laseccin... de modo que los estudiantes estn preparado para resolverla seccin de ejercicios.Hay ms de 6,000 ejercicios, incluyendo 680 ejercicios de repasorpido. Despus del Repaso rpido estn los ejercicios que permitenpracticar las habilidades matemticas aprendidas en la seccin. Es-tos ejercicios han sido cuidadosamente clasificados desde rutinarioshasta desafiantes. En cada conjunto de ejercicios se prueba cada unode los siguientes tipos de habilidades:

Manipulacin algebraica y analtica. Enlace de lgebra a geometra. Interpretacin de grficas. Representacin grfica y numrica de funciones. Anlisis de datos.

En estas partes se incluyen tambin ejercicios que inducen al razo-namiento:

Preguntas de examen estandarizado Incluyen dos problemasde falso-verdadero con justificaciones y cuatro preguntas de op-cin mltiple.

Exploraciones Son oportunidades para que los estudiantes des-cubran matemticas por ellos mismos o en grupos. Con frecuen-cia estos ejercicios requieren el uso de pensamiento crtico paraexplorar ideas.

Los ejercicios Escriba para aprender desarrollan las habilida-des de comunicacin en matemticas y proporcionan la oportu-nidad de demostrar la comprensin de ideas importantes.

Prefacio xxi

Anlisis del rebote de una pelotaCuando una pelota rebota hacia arriba y hacia abajo sobreuna superficie plana, su altura mxima disminuye con cadarebote. Cada rebote es un porcentaje de la altura previa; parala mayora de las pelotas, el porcentaje es constante. En esteproyecto utilizar un dispositivo de deteccin de movimien-to para recolectar datos del rebote de una pelota debajo deun detector de movimiento, luego determinar un modelomatemtico que describa la altura mxima del rebote comouna funcin del nmero del rebote.

Recoleccin de datosConfigure el sistema CBLTM (calculadora de laboratorio)con un detector de movimiento o un sistema CBRTM (calcu-ladora de campo) para recolectar la informacin de la pelo-ta que rebota, mediante un programa para la CBL o laaplicacin Ball Bounce (pelota que rebota) para el CBR.Consulte la gua de la CBL/CBR para instruccin especficade configuracin.

Mantenga la pelota al menos a 2 pies del detector y sultelapara que rebote hacia arriba y hacia abajo, directamentedebajo del detector. Esos programas convierten la distanciacontra el tiempo a altura con respecto del suelo contra eltiempo. La grfica muestra un ejemplo de datos recolectadoscon una pelota de racquetbol y la CBR. La tabla de abajomuestra todas las alturas mximas recopiladas.

EXPLORACIONES1. Si usted rene informacin mediante una CBL o CBR, en

su calculadora graficadora o en la pantalla de la compu-tadora debe aparecer una grfica de la altura contra eltiempo. Localice la altura mxima para cada rebote, re-gistre el dato en una tabla y utilice otras listas de su calcu-ladora para introducirlo. Si no tiene acceso a unaCBL/CBR, ingrese en su calculadora o computadora losdatos dados en la tabla.

2. Qu porcentaje de la altura del rebote 0 es la altura delrebote 1? Calcule el porcentaje al que regresa para cadarebote. El nmero ser casi constante.

3. Haga un diagrama de dispersin para la altura mxima encontra del nmero de rebote.

4. Para el rebote 1, la altura se predice multiplicando la alturadel rebote 0, o H, por el porcentaje P. La segunda altura sepredice multiplicando esta altura HP por P lo que da HP2.Explique por qu y HPx es el modelo adecuado paraestos datos, donde x es el nmero de rebote.

5. Ingrese esta ecuacin a su calculadora utilizando sus va-lores para H y P. Cmo se ajusta el modelo a sus datos?

6. Utilice las caractersticas estadsticas de su calculadorapara determinar la regresin exponencial para estos datos.Comprela con la ecuacin que utiliz como modelo.

7. Si utiliza un tipo diferente de pelota, cmo cambiaransus datos y su ecuacin?

8. Qu factores cambiaran el valor de H y qu factoresinfluiran en el valor de P?

9. Rescriba su ecuacin usando la base e, en lugar de usar Pcomo la base para la ecuacin exponencial.

10. Qu podra decir acerca de cmo se ve la grfica deln(altura del rebote) contra el nmero de rebote?

11. Trace ln(altura del rebote) contra nmero de rebote. Calcu-le la regresin lineal y utilice el concepto de re-expresin(transformacin) logartmica, para explicar cmo la pen-diente y la interseccin y estn relacionadas con P y H.

Nmero de rebote Altura mxima (pies)0 2.71881 2.14262 1.65653 1.26404 0.983095 0.77783

Tiempo (seg)

Altu

ra (p

ies)

[0, 4.25] por [0, 3]

CAPTULO 3 ProyectoCAPTULO 3 Ejercicios de repasoLa coleccin de ejercicios marcados en azul podra utilizarsecomo un examen del captulo.

En los ejercicios 1 y 2 calcule el valor exacto de la funcin parael valor de x dado. No utilice calculadora.

1. f x 3 4x para x 132. f x 6 3x para x 32En los ejercicios 3 y 4 determine una frmula para la funcinexponencial cuya grfica se muestra en la figura.

3. 4. y

x

(3, 1)(0, 2)

y

x(0, 3)

(2, 6)

REPASO RPIDO 3.5 (Para obtener ayuda consulte las secciones R.1 y 1.4)En los ejercicios del 1 al 4 pruebe que cada funcin, en el pardado, es la inversa de la otra.

1. f x e2x y gx ln x12) 2. f x 10x 2 y gx log x2, x 03. f x 13 ln x y gx e3x4. f x 3 log x2, x 0 y gx 10x6

En los ejercicios 5 y 6 escriba el nmero en notacin cientfica.5. La distancia media de Jpiter al Sol es alrededor de

778,300,000 km.

6. Un ncleo atmico tiene un dimetro de casi0.000000000000001 m.

En los ejercicios 7 y 8 escriba el nmero en forma decimal.7. El nmero de Avogadro es alrededor de 6.02 1023.

8. La unidad de masa atmica es casi 1.66 1027 kg.

En los ejercicios 9 y 10 utilice notacin cientfica para simpli-ficar la expresin (deje su respuesta en notacin cientfica).

9. 186,00031,000,000 10. 00.0.000000000058

Preguntas de examen estandarizado

59. Verdadero o falso El orden de magnitud de un nmero posi-tivo es su logaritmo natural. Justifique su respuesta.

60. Verdadero o falso De acuerdo con la ley de enfriamiento deNewton, un objeto tender a la temperatura del medio que lorodea. Justifique su respuesta.

En los ejercicios del 61 al 64 resuelva el problema sin utilizar unacalculadora.

61. Opcin mltiple Resuelva 23x 1 32.A) x 1 B) x 2 C) x 4D) x 11 E) x 13

62. Opcin mltiple Resuelva ln x 1.A) x 1 B) x 1e C) x 1D) x e E) No hay solucin posible.

63. Opcin mltiple Cuntas veces fue ms fuerte el terremotode 2001 en Arequipa, Per (R1 8.1) que el terremoto doble de 1998 en la provincia de Takhar, Afganistn (R2 6.1)?A) 2 B) 6.1 C) 8.1D) 14.2 E) 100

64. Opcin mltiple La ley de enfriamiento de Newton esA) Un modelo exponencial B) Un modelo linealC) Un modelo logartmico D) Un modelo logsticoE) Un modelo potencia

ExploracionesEn los ejercicios 65 y 66 utilice la tabla 3.26. Determine si unaecuacin de regresin lineal, logartmica, exponencial, potencia ologstica constituye el mejor modelo para los datos. Explique el porqu de su eleccin. Respalde su redaccin con tablas y grficas,como considere necesario.

65. Escriba para aprender Modelacin poblacional Culecuacin de regresin es el mejor modelo para la poblacin deAlaska?

66. Escriba para aprender Modelacin poblacional Culecuacin de regresin es el mejor modelo para la poblacin deHawai?

67. Actividad en grupo Modelacin poblacional La fun-cin

f x k ecx2,donde c y k son constantes positivas, es una curva en forma decampana que es til en probabilidad y estadstica.a) Grafique f para c 1 y k 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Explique el

efecto del cambio en k.b) Grafique f para k 1 y c 0.1, 0.5, 1, 2, 10. Explique el

efecto del cambio en c.

Ampliacin de las ideas68. Escriba para aprender Pruebe, si u/v = 10n, para u > 0 y v

> 0, y luego log u log v = n. Explique cmo este resultadorelaciona a potencias de diez y rdenes de magnitud.

69. Energa potencial La energa potencial E (la energa alma-cenada para usarla posteriormente) entre dos iones en ciertaestructura molecular se modela mediante la funcin

E 5r

.6 10er3

donde r es la distancia que separa los ncleos.

a) Escriba para aprender Grafique esta funcin en la ven-tana 10, 10 por 10, 30 y explique cul parte de lagrfica no representa esta situacin de energa potencial.

b) Identifique una ventana de visualizacin que muestre laparte de la grfica (con r 10) que represente estasituacin y determine el valor mximo para E.

70. En el ejemplo 8, el modelo de la ley de enfriamiento deNewton era

Tt Tm T0 Tmekt 61.656 0.92770t

Determine el valor de k.

71. Justifique la conclusin hecha acerca de la regresin logartmi-ca natural de la pgina 329.

72. Justifique la conclusin realizada acerca de la regresin poten-cia de la pgina 329.

En los ejercicios del 73 al 78 resuelva la ecuacin o la desigualdad.73. ex x 574. e2x 8x 1 075. ex 5 ln x76. ln x e2x 377. 2 log x 4 log 3 078. 2 log x 1 2 log 6 0

Tabla 3.26 Poblaciones de dos estados de Estados Unidos (en miles)

Ao Alaska Hawai

1900 63.6 1541910 64.4 1921920 55.0 2561930 59.2 3681940 72.5 4231950 128.6 5001960 226.2 6331970 302.6 7701980 401.9 9651990 550.0 11082000 626.9 1212

Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.

q p g

Los ejercicios Actividad en grupo le piden abordar los problemas en equipo oresolverlos en forma individual o proyectos grupales.

Los ejercicios Ampliacin de las ideas van ms all de los que se presentaronen el texto. Estos ejercicios son ampliaciones desafiantes del material del libro.

Esta variedad de ejercicios proporciona suficiente flexibilidad para enfatizar las ha-bilidades ms necesarias para cada estudiante o grupo.

Suplementos y recursos

Para el instructor (en ingls)Manual de recursos Revisin de conceptos importantes, hojas de clculo para actividad en grupo,

exmenes muestra de captulos, preguntas de preparacin para exmenes estan-darizados, problemas de concurso.

Manual de soluciones Soluciones completas a todos los ejercicios, incluyendo Repaso rpido, Ejerci-

cios, Exploraciones y Repaso de captulo.Exmenes y cuestionarios Dos exmenes por captulo, dos cuestionarios por cada tres o cuatro secciones,

dos exmenes de mitad de curso que cubren los captulos del R al 5, dos ex-menes finales que cubren los captulos del 6 al 10.

Recursos de tecnologa

MyMathLabMyMathLab es un exclusivo sistema de ejercicios en lnea que permite al alumnoacceder a un sinnmero de ejercicios generados algortmicamente y obtener retroa-limentacin en funcin de sus errores.Con MyMathLab, el profesor puede seleccionar los ejercicios que desee incluir en ca-da tarea y el alumno obtendr retroalimentacin personalizada, adems de una seriede herramientas que le guiarn paso a paso en la resolucin de un problema. MyMath-Lab incluye tambin videos y animaciones para la mejor comprensin de los temas.MyMathLab es el nico sistema de ejercicios en lnea que hace un diagnstico delavance de cada alumno y le genera nuevos ejercicios y actividades personalizadasen funcin de sus necesidades.MyMathLab est montado sobre CourseCompass, la plataforma en lnea basada enBlackboard, exclusiva de Pearson Educacin. Esta combinacin, ofrece a los pro-fesores una vanguardia educativa en lnea, lder a nivel mundial.Para mayor informacin consulte a su representante de Pearson Educacin cmoobtener acceso a estos recursos.

TestGenTestGen permite al instructor construir, editar, imprimir y administrar exmenesmediante un banco computarizado de preguntas, desarrollado para cubrir todos losobjetivos del texto. TestGen tiene una base algortmica, lo que permite a los ins-tructores crear versiones mltiples y equivalentes de la misma pregunta o el mismoexamen con el clic de un botn. Tambin pueden modificar preguntas o agregarotras nuevas. Los exmenes pueden imprimirse o darse a resolver en lnea.

Sitio WebNuestro sitio Web, www.pearsoneducacion.net/demana, proporciona recursos din-micos. Incluye material para descargar, para la calculadora graficadora TI, cuestio-narios en lnea, sugerencias de enseanza, sugerencias de estudio, exploraciones yproyectos de final de captulo.

xxii Prefacio

q p g

AgradecimientosDeseamos expresar nuestro agradecimiento a los revisores de esta edicin y de lasanteriores, quienes proporcionaron valiosas ideas y comentarios. Un agradecimien-to especial a nuestra asesora Cynthia Schimek, Secondary Mathematics Curricu-lum Specialist, Katy Independent School District, Texas, por su gua e invaluablesideas en esta revisin.

xxiii

Judy AckermanMontgomery CollegeIgnacio AlarconSanta Barbara City CollegeRay BartonOlympus High SchoolNicholas G. BelloitFlorida Community College atJacksonvilleMargaret A. BlumbergUniversity of Southwestern LouisianaRay CannonBaylor UniversityMarilyn P. CarlsonArizona State UniversityEdward ChampyNorthern Essex Community CollegeJanis M. CimpermanSaint Cloud State UniversityWil ClarkeLa Sierra UniversityMarilyn CobbLake Travis High SchoolDonna CostelloPlano Senior High School Gerry CoxLake Michigan CollegeDeborah A. CrockerAppalachian State UniversityMarian J. EllisonUniversity of WisconsinStoutDonna H. FossUniversity of Central ArkansasBetty GivanEastern Kentucky UniversityBrian GrayHoward Community College

Daniel HarnedMichigan State UniversityVahack HaroutunianFresno City CollegeCeleste HernandezRichland CollegeRich HoelterRaritan Valley Community CollegeDwight H. HoranWentworth Institute of TechnologyMargaret HovdeGrossmont CollegeMiles HubbardSaint Cloud State UniversitySally JackmanRichland CollegeT. J. JohnsonHendrickson High SchoolStephen C. KingUniversity of South CarolinaAikenJeanne KirkWilliam Howard Taft High SchoolGeorgianna KleinGrand Valley State UniversityDeborah L. Kruschwitz-ListUniversity of WisconsinStout Carlton A. LaneHillsborough Community CollegeJames LarsonLake Michigan UniversityEdward D. LaughbaumColumbus State Community CollegeRon MarshallWestern Carolina UniversityJanet MartinLubbock High School

q p g

Beverly K. MichaelUniversity of PittsburghPaul MlakarSt. Marks School of TexasJohn W. PetroWestern Michigan UniversityCynthia M. PiezUniversity of IdahoDebra PoeseMontgomery CollegeJack PorterUniversity of KansasAntonio R. QuesadaThe University of AkronHilary RisserPlano West Senior HighThomas H. RousseauSiena CollegeDavid K. RuchSam Houston State UniversitySid SaksCuyahoga Community College

Mary Margaret Shoaf-GrubbsCollege of New RochelleMalcolm SouleCalifornia State University, NorthridgeSandy SpearsJefferson Community CollegeShirley R. StavrosSaint Cloud State UniversityStuart ThomasUniversity of OregonJanina UdrysSchoolcraft CollegeMary VoxmanUniversity of IdahoEddie WarrenUniversity of Texas at ArlingtonSteven J. WilsonJohnson County Community CollegeGordon WoodwardUniversity of NebraskaCathleen Zucco-TeveloffTrinity College

xxiv Agradecimientos

Extendemos ese agradecimiento especial a Chris Brueningsen, Linda Antinone yBill Bower por su trabajo en los proyectos de captulo. Tambin agradecemos a Pe-rian Herring, Frank Purcell y Tom Wegleitner por su meticulosa revisin del texto.Igualmente estamos agradecidos con Besbit Graphics, quien realiz un sorprenden-te trabajo de composicin y correccin de pruebas, y especficamente a KathySmith y a Harry Druding por su hbil manejo de todo el proceso de produccin. Porltimo, damos las gracias al excepcional y profesional equipo de Addison-Wesley,por su asesora y apoyo en la revisin de este texto, en particular a Anne Kelly,Becky Anderson, Greg Tobin, Rich Williams, Neil Heyden, Gary Schwartz, MarnieGreenhut, Joanne Ha, Karen Wernholm, Jeffrey Holcomb, Barbara Atkinson,Evelyn Beaton, Beth Anderson, Maureen McLaughlin y Michelle Murray. Un re-conocimiento particular se debe a Elka Block, quien de manera incasable nos ayuden todo el desarrollo y produccin de esta obra.

F. D. D.

B. K. W.

G. D. F.

D. K.

q p g

1Requisitos

Las grandes distancias se miden en aos-luz; un ao-luz es la distancia que la luz recorre en un ao. Los astrnomosemplean la velocidad de la luz, aproximadamente 186,000millas por segundo (300,000 kilmetros por segundo) paraaproximar distancias entre planetas (puede consultar ejemplosde esto en la pgina 39).

R.1 Nmeros reales

R.2 Sistema de coordenadas cartesianas

R.3 Ecuaciones y desigualdades lineales

R.4 Rectas en el plano

R.5 Resolucin de ecuaciones en formagrfica, numrica yalgebraica

R.6 Nmeros complejos

R.7 Resolucin de desigualdades en forma algebraica ygrfica

C A P T U L O R

q p g

Visin general del captulo R

Histricamente, el lgebra se ha empleado para representar problemas con smbo-los (modelos algebraicos) y resolverlos reduciendo la solucin a manipulacionesalgebraicas. Esta tcnica an es relevante en nuestros das. Actualmente, las calcu-ladoras graficadoras se utilizan para plantear problemas mediante grficas (mode-los grficos) y resolverlos con tcnicas numricas y grficas.Comenzaremos por las propiedades bsicas de los nmeros reales y nos introduci-remos al estudio del valor absoluto, las frmulas de la distancia y el punto medio,y escribiremos ecuaciones de circunferencias. Adems, emplearemos la pendientede una recta para escribir las ecuaciones estndar de rectas y aplicaciones en dondese involucran ecuaciones lineales. Finalmente, resolveremos ecuaciones y desigual-dades con tcnicas algebraicas y grficas.

2 CAPTULO R Requisitos

R.1Nmeros realesAprender acerca de... La representacin

de nmeros reales

El orden y la notacin de intervalo

Las propiedades bsicas del lgebra

Los exponentes enteros

La notacin cientfica

. . . porqueEstos temas son fundamenta-les en el estudio de la matem-tica y la ciencia.

Representacin de nmeros reales

Un nmero real es cualquier nmero que pueda escribirse como un decimal.Los nmeros reales se representan mediante smbolos tales como 8, 0, 1.75,2.33..., 0.36, 85, 3, 3 16, e, y .

El conjunto de los nmeros reales contiene a otros subconjuntos importantes:Los nmeros naturales (o de conteo): 1, 2, 3, . . .Los enteros no negativos: 0, 1, 2, 3, . . .

Los enteros: . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .

Las llaves { } son utilizadas para encerrar a los elementos, u objetos, de un con-junto. Los nmeros racionales son otro importante subconjunto de los nmeros rea-les. Un nmero racional es cualquier nmero que pueda escribirse como unarazn (o cociente) a/b de dos enteros, donde b 0. Podemos utilizar la notacinde construccin de conjuntos para describir a los nmeros racionales:

{ab a, b son enteros y b 0}La lnea vertical que sigue a a/b se lee tal que.

La forma decimal de un nmero racional o bien termina, como 7/4 = 1.75, o biense repite infinitamente como 4/11 = 0.363636... 0.36. La barra sobre el 36 in-dica un bloque de dgitos que se repiten. Un nmero es irracional si no es racio-nal. La forma decimal de un nmero irracional es infinita y no se repite. Porejemplo 3 = 1.7320508. . . y = 3.14159265. . .En una calculadora, los nmeros reales se aproximan dando slo unos cuantos desus dgitos. Algunas veces no muy frecuentemente es posible determinar conuna calculadora la forma decimal de nmeros racionales.

q p g

EJEMPLO 1 Anlisis de formas decimales de nmeros racionales

Determine la forma decimal de 1/16, 55/27 y 1/17.

SOLUCIN La figura R.1 sugiere que la forma decimal de 1/16 termina y que55/27 se repite en bloques de 037.

116 0.0625 y

5257 2.037

Con base en la figura R.1, no podemos predecir la forma decimal exacta de 1/17;sin embargo, decimos que 1/17 0.0588235294. EL smbolo se lee es apro-ximadamente igual a. Podemos utilizar la divisin larga (consulte el ejercicio66) para mostrar que

117 0.0588235294117647

.

Los nmeros reales y los puntos de una recta pueden hacerse corresponder uno auno para formar una recta de nmeros reales. Iniciamos con una recta horizontaly asociamos el nmero real cero con un punto O, el origen. Se consideran nme-ros positivos a los situados a la derecha del origen y nmeros negativos los queestn a la izquierda, como se muestra en la figura R.2.

Cada nmero real corresponde a uno y slo a un punto de la recta de nmeros rea-les, y cada punto en la recta de nmeros reales corresponde a uno y slo un nme-ro real. Entre cada par de nmeros reales en la recta numrica existe una infinidadde nmeros reales ms.

El nmero asociado con un punto es la coordenada del punto. Siempre que el con-texto sea claro, seguiremos la convencin estndar de usar el nmero real para elnombre tanto del punto como de su coordenada.

Orden y notacin de intervalo

El conjunto de nmeros reales est ordenado. Esto significa que podemos compa-rar cualesquiera dos nmeros reales que no sean iguales mediante desigualdades ydecir que uno es menor que o mayor que el otro.

Ahora resuelva el ejercicio 3.

SECCIN R.1 Nmeros reales 3

FIGURA R.1 Representacin decimalen una calculadora de 1/16, 55/27 y 1/17,con la configuracin de la calculadora enmodo decimal de punto flotante (ejemplo 1).

FIGURA R.2 La recta de los nmeros reales.

5 4 3 2 1 0Nmeros

reales negativosNmeros

reales positivos

1 2 3 4 5

O3

q p g

En forma geomtrica, a b significa que a se encuentra a la derecha de b (tam-bin que b est a la izquierda de a) en la recta numrica. Por ejemplo, como 6 3,6 est a la derecha de 3 en la recta numrica. Tambin observe que a 0 significaque a 0 o simplemente a es positivo y a 0 significa que a es negativo.

Somos capaces de comparar cualesquiera dos nmeros reales debido a la siguientepropiedad importante de los nmeros reales.

4 CAPTULO R Requisitos

OPUESTOS Y LA RECTA NUMRICA

a 0 a 0Si a 0, entonces, en la recta numrica,a est a la izquierda del 0 y su opuesto(o simtrico) est a la derecha del 0. Portanto, a 0.

Propiedad de tricotoma

Sean a y b cualesquiera dos nmeros reales. Slo una de las siguientesexpresiones es verdadera:

a b, a b, o a b.

FIGURA R.3 En grficas de desigualdades, los parntesis corresponden a y , y los corchetes a y .(Ejemplos 2 y 3.)

x3 2 1 0 1 2 3 4 5

d)

5 4 3 2 1 0 1 2 3x

0.5

c)

23 1 0 1 2 3 4 5x

b)

a)3 2 1 0 1 2 3 4 5

x

Orden de los nmeros reales

Sean a y b cualesquiera dos nmeros reales.

Smbolo Definicin Se lee

a b a b es positivo a es mayor que b

a b a b es negativo a es menor que b

a b a b es positivo o cero a es mayor o igual b

a b a b es negativo o cero a es menor o igual a b

Los smbolos , , , u son smbolos de desigualdades.

SISTEMAS NO ORDENADOS

No todos los sistemas de nmeros estnordenados. Por ejemplo, el sistema denmeros complejos, que se introduciren la seccin R.6, no tiene un orden natural.

Las desigualdades pueden utilizarse para describir intervalos de nmeros reales,como se ilustra en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2 Interpretacin de desigualdadesDescriba y grafique el intervalo de nmeros reales para la desigualdad.

a) x 3 b) 1 x 4

SOLUCIN

a) La desigualdad x 3 describe todos los nmeros reales menores que 3 (figu-ra R.3a).

b) La desigualdad doble 1 x 4 representa a todos los nmeros reales entre1 y 4, excluyendo a 1 e incluyendo a 4 (figura R.3b).

EJEMPLO 3 Escritura de desigualdadesEscriba un intervalo de nmeros reales mediante una desigualdad y dibuje su gr-fica.

a) Los nmeros reales entre 4 y 0.5.

b) Los nmeros reales mayores o iguales a cero.

SOLUCIN

a) 4 x 0.5 (figura R.3c)b) x 0 (figura R.3d) Ahora resuelva el ejercicio 13.

Ahora resuelva el ejercicio 5.

q p g

Como se muestra en el ejemplo 2, las desigualdades definen intervalos en la rectanumrica. Con frecuencia, empleamos [2, 5] para describir el intervalo acotado de-terminado por 2 x 5. Este intervalo es cerrado ya que contiene a los extremos2 y 5. Existen cuatro tipos de intervalos acotados.

SECCIN R.1 Nmeros reales 5

El intervalo de nmeros reales determinado mediante la desigualdad x 2 puededescribirse mediante el intervalo no acotado (, 2). Este intervalo es abierto, yaque no contiene a su extremo 2.

Utilizamos la notacin de intervalo (, ) para representar a todo el conjunto de nmeros reales. Los smbolos (infinito negativo) y (infinito positivo), noson nmeros reales, pero nos permiten utilizar la notacin de intervalos para inter-valos no acotados. Existen cuatro tipos de intervalos no acotados.

Intervalos acotados de nmeros reales

Sean a y b nmeros reales con a b.

Notacin de Tipo de Notacin deintervalo intervalo desigualdades Grfica

a, b Cerrado a x b

a, b Abierto a x b

a, b Semi-abierto a x b

a, b Semi-abierto a x b

Los nmeros a y b son los extremos de cada intervalo.

a b

a b

a b

a b

Intervalos no acotados de nmeros reales

Sean a y b nmeros reales.

Notacin de Tipo de Notacin deintervalo intervalo desigualdades Grfica

a,

Cerrado x a

a,

Abierto x a

, b Cerrado x b

, b Abierto x b

Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.

a

a

b

b

NOTACIN DE INTERVALOS EN Puesto que no es un nmero real, utilizamos (, 2) en lugar de [, 2)para describir a x 2. De forma anloga,utilizamos [1, ) en lugar de [1, ]para describir x 1.

q p g

EJEMPLO 4 Conversin entre intervalos y desigualdades

Convierta de notacin de intervalos a notacin de desigualdades, o viceversa. De-termine los extremos; indique si el intervalo es acotado o no y su tipo, y grafiqueel intervalo.

a) [6, 3) b) (, 1) c) 2 x 3SOLUCIN

a) El intervalo [6, 3) corresponde a 6 x < 3, es acotado y es semi-abierto(consulte la figura R.4a). Los puntos extremos son 6 y 3.

b) El intervalo (, 1) corresponde a x < 1, es no acotado y abierto (consul-te la figura R.4b). El nico punto extremo es 1.

c) La desigualdad 2 x 3 corresponde al intervalo cerrado y acotado [2,3] (consulte la figura R.4c). Los extremos son 2 y 3.

Propiedades bsicas del lgebra

El lgebra incluye el uso de letras y otros smbolos para representar nmeros rea-les. Una variable es una letra o smbolo (por ejemplo, x, y, t, ) que representa unnmero real no especificado. Una constante es una letra o smbolo (por ejemplo,2, 0, 3, ) que representa un nmero real especfico. Una expresin algebrai-ca es una combinacin de variables y constantes que incluyen suma, resta, multi-plicacin, divisin, potencias y races.

Enunciamos algunas de las propiedades de las operaciones aritmticas de suma,resta, multiplicacin y divisin representada