I. E JULIO CESAR ESCOBAR

• Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución y igualación.

SISTEMA DE ECUACIONES

Piensa

Doña Florinda compró tres kilos de manzanas rojas y cinco kilos de manzanas verdes y gastó $3.400

Por otro lado, la bruja del 71 compró seis kilos de manzanas rojas y cuatro kilos de manzanas verdes y gastó $3.800

¿Cuánto cuesta cada kilo de

fruta ?

3x+5y=3400

6x+4y=3800En donde,

X= precio del kilo de manzana roja

Y= precio del kilo de manzana verde

Ahora escribamos esto

en lenguaje algebraico:

Para dar respuesta a este problema utilizaremos los distintos métodos de resolución, que veremos a continuación:

Método por reducción

Método por igualación

Método de sustitución

Universidad de Los Lagos

A continuación veremos los pasos a seguir:

1. Debemos “igualar” una de las variables, ya sea “X” ó “Y”,solo en su coeficiente numérico y NO en su signo, de este modo quedará una variable positiva y otra negativa, para poder eliminar una de las variables.

Resolvamos el problema inicial:

3x+5y=34006x+4y=3800

Si queremos eliminar “X”, ¿Qué valor debemos utilizar?

a) 2 b) (-2)

La alternativa correcta es la alternativa “b”, ya que nuestro sistema quedará de la siguiente forma:

3x+5y=3400 *(-2)

6x+4y=3800

(-6)x+ (-10)y =6800*(-2)

6x+ 4y =3800

-6x-10y=-6800

6x+4y=3800

2. Ahora debemos sumar nuestras ecuaciones en forma vertical.

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-6x -10y=-6800 6x +4y=3800

-6y =-3000

Y= -3000/-6 Y=500

3.Luego despejamos la variable “Y”:

8

4. Finalmente para obtener el valor de nuestra segunda variable “X”, debemos reemplazar “y” en unas de las ecuaciones.

3x+5y=3400

3x+ 5*(500) =3400

3x+2500=3400

3x=3400-2500

3x=900

x=900/3

x=300

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Los pasos a seguir son:1. Debemos despejar la misma variable en ambas ecuaciones,

es decir:Veamos nuestro ejemplo, entonces:

3x+5y= 34006x+4y= 3800

La primera ecuación nos resulta:x= 3400-5y

3

La segunda ecuación nos resulta:6x+4y= 3800X= 3800-4y

6

10

2.Igualar las ecuaciones resultantes del paso 1:

3400-5y = 3800-4y

3 6

3. Despejar la nuestra incógnita: 6*(3400-5y) = 3*(3800-4y)

20400-30y =11400-12y

20400-11400=-12y+30y

9000=18y

9000/18=y

500=y

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4. Para poder encontrar el valor de la variable “X” debemos reemplazar en una de las ecuaciones iniciales:

Por ejemplo:

3x+5y= 3400 y= 500

3x+ 5*(500) =3400

3x+ 2500 =3400

3x=3400-2500

x=900/3

x= 300

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A continuación veremos los pasos a seguir:

1. Despejar una variable y luego reemplazar esta en la otra ecuación:

3x+5y=3400

6x+4y=3800

Despejemos en 1, la variable “x”:

X= 3400-5y , luego reemplazamos esto en 2.

3

6*(3400-5y) +4y= 3800

3

13

2.Resolver la ecuación resultante del paso 1:

6*(3400-5y) +4y= 38003

2*(3400-5y) +4y= 3800 6800-10y +4y=3800 6800-6y=3800

-6y=3800-6800 -6y=-3000

y=-3000 6 y=500

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3. Como en los pasos anteriores debemos reemplazar nuestro valor de “Y” en una de las ecuaciones iniciales, de este modo obtendremos el valor de “X”:

3x+5y= 3400 y= 500

3x+5*(500)=3400

3x+ 2500 =3400

3x=3400-2500

x=900/3

x= 300

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X = 300

Por lo tanto, el valor de las manzanas rojas es de $300 el kilo.

Y = 500

Por lo tanto, el valor de las manzanas es de $500 el kilo

Respuesta:

Finalmente podemos darnos cuenta de que los sistemas de ecuaciones nos servirán muchísimo para nuestra vida diaria sobre todo cuando tenemos que encontrar dos resultados para una sola pregunta como veremos en las próximas clases también podremos encontrarle aplicación en otras áreas como la minería, agricultura, en una compra de supermercado, etc.

Ejercicios propuestos• 1En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada

clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

• 2El día del estreno de la película ASU MARE se vendieron 300 entradas y se recaudaron 10 200 nuevos soles Si los adultos pagaban 50 soles los niños 10 soles ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?

 • 3.El  señor  Molina  y  su  padre  viajan   a  Huancayo  para  comprar  ganado vacuno  e  incrementar  su  negocio de  

ganado  en  Lima .el  señor  Molina  adquiere  2  vacas  y  3  toros   y  paga  por  todos⁄2300 .su  padre adquiere  4 vacas  y  2  toros  por  un  total de  s⁄2 600.  Cuál es  el  precio de  una  vaca  y  un  toro?

• 4Crear un  problema  con  el  siguiente el sistema   y resolver

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