I Bimestre 2013

Álgebra

Í N D I C E

Capítulo Pág.

1. Exponentes I ................................................................................................................... 43

2. Exponentes II .................................................................................................................. 49

3. Productos notables ........................................................................................................... 53

4. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 59

5. Factorización I ................................................................................................................. 67

6. Factorización II ................................................................................................................ 73

7. Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 79

8. Repaso ........................................................................................................................... 85

B la cka m es

x

Exponentes I

Capítulo I

Los armarios

En las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante el tiempo de clase. En una determinada escuela había 1000 estudiantes y 1000 armarios. Cada año el primer día de clase, los estudiantes se alinean por orden alfabético y realizan el extraño ritual que sigue:El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. El tercero cambia la situación de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto cambia la situación de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto,etc.¿Qué armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?

La notación exponencial se emplea en varias situaciones. El ejemplo muestra el uso de exponentes para analizar una situación en la que cierta sustancia esta decreciendo de modo exponencial.

Ejemplo:

Fíjese usted en que cada potencia de 1/2 es la misma que el número de horas que ha estado desintegrándose la sustancia. Si suponemos que seguirá aplicándose la misma norma sacamos la conclusión de que después de “n” horas quedarán:

n

320 1

320gramos de la sustancia original.

Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegrade tal manera que solo queda 1/2 de la cantidad previa después de cada hora. Si en un momento dado hay 320 gramos de dicha sustancia, ¿qué cantidad quedará después de 8 horas?, ¿cuánto quedará después de “n” horas?

S o l uc i ó n:

2 2n

Problemas resueltos

1. Reducir :

x 2 x 2 2 x 3 2 x 2 4

x5 2S

; x 0Como la cantidad restante, después de cada hora, es 1/2 de los gramos que había al final de la hora anterior, podemos encontrarla multiplicando el número precedente de gramos por (1/2).

(x)

Solución:

x x 3 x5 x 7 x 3 3

G r a m o s r e s t a n t e s

0 1

Aplicando : (am)n = amn

x 2 . x 4 . x 6 . x 8 . x10

Inicio: 0 horas

320 320 tenemos : S ; luego aplicando:

2

1

(x)

am . an = am+n

x . x 3 . x5 . x 7 . x 9

1 Después de 1 hora

320 160

2

2 1

tenemos : S( x )

x 2 4 6

810

x1357 9

30

x 25 x 5

Después de 2 horas 320 80 5

2 S( x ) x

3 1 2. Reducir:

ÁLGEBRA4AÑO

Después de 3 horas 320

40

2 :

S

8

2 2 2 :

8

320 1

5

2 4 2

Después de 8 horas 2 4

x

S o l uc i ó n :

Aplicando: m an p

aq r

as

8

(npq)r s

a mpr tenemos:

Dividiendo:

xm yn

xn ym

3m

n 3

xmn

ymn 3mn

7 8 7

85

8 2 mn

2

S

2 8 8 2 8 4 x

3mn 3

5

y y

2 8

S = 4

3. Si: xm yn = 3m

......... ( )xn ym = 3n ......... ()

Luego reemplazamos:S = 33 =

27 S = 27

216 .353 . 803

4. Simplificar: S xy

154. 149.302

Hallar :

S x

y Solución:

Solución : Descomponiendo en base 5, 3 y 7

Multiplicando: ( )()

(7.3)6 (7.5)3

(24.5)3

S

76.36.73.53.212.53

4 9 2 4 4 9 9 2 2 2tenemos :

(5.3) (7.2) (3.2.5) 5 .3 .7 .2 .3 .2 .5

xm yn . xn ym = 3m . 3n de donde: xm+n yn+m = 3m+n

acomodando: (xy)m+n = 3m+n

xy = 3

79.36.56.21

2

S 279.36.56.21

1

S = 2

PRECAUCIÓN: Aprenda a evitar errores como estos

Mal Bien

52 . 54 = 58 (No multiplique los exponentes)52 . 54 = 256 (No multiplique las bases de las potencias)

52 . 54 = 56

56

53 (No divida los exponentes)

52

56

14 (No divida las bases de la potencia)

52

56

54

52

(52)6 = 58 (No sume los exponentes)

(-2)4 = -24 (Mala interpretación del paréntesis)

(52)6 = 512

(-2)4 = (-1)424 = (-5)0 = -1 (Mala interpretación de la definición de b0) (-5)0 = 1 (Definición de b0)

2 3 1

(Mala interpretación de la definición de b-n)23 23

1 (Definición de b-n)

23

23

23 4 21 (Descuido al restar exponentes)

2 4

23

23(4) 27

2 4

53 + 53 = 56

(La adición de exponentes no se aplica con el signo de suma)

53 + 53 = (1 + 1)53 = 2 . 53

(Propiedad

División de bases iguales

am

m-n= a ; a 0

n

=a

(a + b)-1 = a-1 + b-1

(Mala aplicación de la definición del exponente negativo)

(a b)1 1

a b(Definición del exponente negativo)

25 5 (Mal uso de la definición de a ) 25 5

163 / 4 (3

16 )4 (Mal uso de la definición de bm/n) 163 / 4 4 16 3

ó 4 163

(-2)-1/3 = 21/3(2) 1 / 3

1

1

(2)1 / 3 3 2

a1 / 2 b 1 / 2 1

a ba1 / 2 b 1 / 2

1

1

a b

EXPONENTES Y RADICALES

definimos:

b.b.b.b. .......b = bn

; n lN

"n" vecesexponente tenemos

:

Exponente nulo

Exponente negativo

Exponente fraccionario

a0

= 1 ; a 0 a-n

= 1 ;a

n

n > 0 a

man =

n a

m

Multiplicación de bases iguales

Potencia de un producto

n n n Raíz de raíz(ab) = a b

am

. an

= a

m+nPotencia de un cociente

m n p a

mnp= a

na = a

b bn ; b 0

Consecuencia

(np+q)r+sm n p

a r s mprRaíz de un producto a

q a = a

n nab =

na . b

Potencia de potencia

a > 0 b > 0

n

además:

a p n

b a n

2 = |a|

(am)

n= a mnp b en general:

Potencde expon

e

nm m

a

a > 0 b > 0 2n 2n

Nota:= |a|

a = a n na = a ; a > 0

a) 4 b) 2 c) 11 1

c

Bloque I

1. Reducir:

Problemas para la clase7.

Simplificar:

(x 2 )4 (y 3 )2 (x 3 )3 (y 4 )2

32n1 9n1

9n1 - 32n1

S(x ,y) ; x, y 0(x 4 )2 (y 3 )5 (x 2 )6

(y 2 )2

d) 2

e) 3

a) x3y5 b) x5y3 c) 1

x 5 y 3

8. Calcular:

2n3 (225)2n3.225

d) x-3y-5 e) 1 52n3.52.4 52n3.53

2. Simplificar:

K

921

1 a) 45 b) 25 c) 15 d) 5 e) 1

125

1

9. Hallar: a2 + b2; si: a, b IN en:

b a 4a) 1 b) 5 c) 5

1

a-b

a .ba

ab

.b

3 3

d) - 5

3. Reducir:

e) - 5

a) 2 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20

3 9 27 81P

2

10.Reducir:

2184 642 8

4164

4 32 3 Si: x > 0

[ (x ) ] .x ) 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 27

4. Si: n = 24 . 48

Hallar el valor de: S = 5 n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16

xa) 2x b)

2d) x2 e) x3

Bloque II

1. Reducir:

c) x

5. Simplificar:

1

1 x

2 x2 1

x

x 1

1 bc

a x1

. x abE

x x ; x 0

R ; a b ; c 0; a 0

x bc . x ab

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

6. Simplificar:

a) x2 b) xx c) x xd) 1 e) x

2. Si: a + b = 7

1 1 a7

aa ab

a2a “n” es par.

{(2-2.83 )-n ((-2)-2.(-8)3 )-

n }0 Reducir: S a

a

1a) 0 b) 1 c)

2d) 2 e) -1

a) 1 b) 2 c) a

1d) b e)

2

a) 2 b)

d) 16 e)

3

4

)

a

n

(

3 3

33 3 3 13 9

2 3 2 c) 2

3. Reducir: L 27 3

4 25

a) 1 b) 3 c) 9

110.Hallar una relación entre “x” e “y” en:

d) 27 e) 3

y x xy x

.y

y2 -x

1

4. Calcule: UNI

y y .x x 3 3

Si : U 16 16

4 21

; N 4 ; I = NU

a) x = y b) y = 3x c) y = 2x d) y = 5x e) 2x = 3y

a) 16 b) 8 c) 32 d) 1 e) 2

5. Simplifique:

Bloque III

1. Si: nn = n+1

nn n n 1

2m1.52m1 2m.52m

E m ; m 0

Reducir: M

n n . nn

23.5m 5m

a) 5m b) 5 c) 10 d) 10m e) 2

6. Operar:

a) 1 b) n c) n-1

d) n-2 e) n2

2. Simplificar:

a 3 x a 2 .

a 2 x a 1 .

a 1 x a

2-1-2

1-1-1

P a 1

x a .a 2x a

1

. a

3x a

2

; x 0

1 5 2 -

3 si: a = 2003

5

2

5 a) x2003 b) x2002 c) x d) x-1 e) 1

a) 2 b) 2 c) 3

1d) 5 e)

2

3. Reducir :

2 2 2

2 2

2 1

7. Simplificar: 3 125 3 50 3

209 5

S 2

9 3 5 3 25 3 10 3

4 25

a) 1 b) 2 c) 5

a) 1 b) 2 c) 2

d) 4 e) 2 2

1d)

21

e) 5

4. Reducir:

x a x x a x x

a 1

x aa

8. Simplificar:

n n

nnn nnn

nnn

1 n

R

2x

; x 0

nn . a) 2 b) 2x c) 2-1 n

a) 1 b) 2 c) n

d) n2 e) nn

9. Calcular aproximadamente:

d) 22 e) 1

5. Simplificar:

3P 3 3 1

93 3

3 3 3 3 133 3 2

A = 2 4 2 4... 33 3 3

-1

a

3

S ;

b

a) 3 b) 9 c) 81 d) 27 e) 1

6. Simplificar:

Autoevaluación

x 3 y 2 y 3

5 5

5

5

1. Simplifique: x 2 2

y3 2

x 0 ; y 0

5 4 . 5 3

45

125

a) 1 b) 5 c) 25

d) 125 e) 5

xa)

y

x 2d)

y

yb)

x

e) x.y

xc)

y 2

1 a

b 2. Reducir:

2x 3x P

; x 0

7. Si: ab =

= 2; calcular:

ab1-a ba1-b 1ab

.ba

3 2 2

6x 4

a) 1 b) 4x8 c) 6x7

ab1a

ba1b

d) 6x8 e) 6x4

1a) 2 b)

2 c) 43. Simplifique:

Q 25

52 3

3 2 ; b 0 ; a 0

1d)

4

8. Reducir:

e) 8

(x5)x-x x x x

x

aa)

b

a2

a b

bb)

a

5 a

c) ab

x(x x 4 1) d) b2 e)

b Si: xx = 5

a) 1 b) x c) x + 12

8a 3

d) x2 e) x5 4. Reducir:

R 6

b

9. Si: x x

= 4; calcular:

x

a) - 4a2b4 b) 4a2b4 c) 2a2b3

d) 4b2a4 e) 1

1 x

x x 2

L x3n1 yn

1 5. Simplifica: 3

x 3n 4 y 4n 10

x 2

a) x-1 y-n b)

4

xyn2

c) xy

a) 3 b) 4 c) 2 d) 4 2 e) 41/4

Claves1. d 2. d 3. b4. b 5. a

a

xd) xyn e)

y n

a1 1

10.Calcular: a aa -1 ; si: a-a =3

a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3

d) 5 3 e) 3

División de bases iguales

am

m-n= a ; a 0

n

=a

Exponentes II

Capítulo II

Hermanas con hermanos

Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, con el tiempo, cada chica acaba saliendo con el hermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: “¡Mira!, ahí veo entrar al cine a alguien con tu pareja”.¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?.

EXPONENTES Y RADICALES

definimos:

b.b.b.b. .......b = bn

; n lN

"n" vecesexponente tenemos

:

Exponente nulo

Exponente negativo

Exponente fraccionario

a0

= 1 ; a 0 a-n

= 1 ;a

n

n > 0 a

man =

n a

m

Multiplicación de bases iguales

Potencia de un producto

n n n Raíz de raíz(ab) = a b

am

. an

= am+n

na = a b b

n ; b 0m n p

amnp

= a

Potencia de un producto Consecuencian n nab = a . b

m n p a

r s

(np+q)r+s mpr

a > 0 b > 0 aq

a = a

Potencia de un cocienten además:Potencia de

potencia

m n p

mnp

a n b

a n

b2

= |a|

(a ) = aa > 0 b > 0

en general:

Potencia de

e

nmm

2n 2n

ÁLGEBRA4AÑO

a

Nota: = |a|a = a n na = a ; a > 0

S 2

n

3 3 3 2

x

3

x 12

6

Bloque I

Problemas para la clase 7. Reducir:

0

nn

nn1

n1

1. Efectuar:

1

1

1 2 1 3 1 1

n 2

; n 0

M1 4 343

2 1 3

4 4 a) -2n -n 2n n b) n c) nd) nn e) nn/4

1a)

2 b) 2 c) 8 8. Reducir:

d) 16 e) 32S x2 . x2. x ............. radicales

2. Reducir:

3n3S 3n1

a) 1 b) 2x c) x d) 3x e) 4x

3(3n1 )

a) 3n - 1 b) 3n+1 - 1 c) 24 d) 1 - 3n e) 18

9. Reducir:

7x 4 7x 3 7x 2 7x 1 7x

S 7x 4 7x 3 7x 2 7x 1

7x

3. Reducir:

1 n

a) 49 b) 343 c) 2401 d) 16807 e) 4096

E 9n n 91 n1

n1 n

92n ; nlN {1} 10.Si:

xnym = 10n xmyn = 10m

a) 9 b) 18 c) 81 d) 162 e) 243

y

Hallar: A (xy) x

4. Efectuar:

940 ,5

1 10 1

M 827 a) 1010 b) 1

10 c)

10 10

a) 0,5 b) 2 c) 0,75 d) 0,25 e) 2,5

1d)

1010

e) 10

5. Reducir:

3 2 3

27

2 3 2 25

Bloque II

M(x)

x . x . x . x

1. Reducir:

ax bx

S x a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x7

6. Reducir:

bx y . b x 4 y

a x b x

1a) ab b) a + b c)

ab

a

M b x 3y

d) b

e) a2 + b2

a) 19b b b) 6 x b19 x

12 y

2. Calcular el valor de:

S n9

b

90n9 1

c) 3x 9x 12

y

e) b .6

b

d) b3 . 6

b9n9 2 32n9 2

a) 1 b) 2 c) 10d) 9 e) 40

5x x

3 9 27 81

35

1

a

2

2

a

x

x

x

3

x x

3

2

2

n

2 2

3. Reducir:

L

3 2 2

3 3

3 9

1a) 1 b) 3 c)

3d) -3 e) 3-2

9. Simplificar:

5 x x

20

a) 1 b) 2 c) 4 S x x x x 2

; x 0

2d) 8 e) 216

4. Simplifique:

a1 a2

(a2 a)a a1

a) x b) x-1 c) x2

d) x-2 e) 2x

10.Efectuar:J

a 1 a 2

.1 a

aa

A x

x 1x x 1

xx x x 1

; x 0

1a) a + 2 b) a

d) a + 1 e) a

5. Simplifique:

+ a c) a - 2 a) 1 b) x c) x

d) -x e) x2

Bloque IIIa

xbM

b xa

; para : a b ab

1. Reducir:

xa xb

n n n n

x x x xa) x b) 1 c) x -1 S n

x2 d) xa e) xb

n n n n

6. A partir de:

a2

x

2

x x x

3 a 1

ab 1

b a1b

9 3

a) n

d)

x b)

e)

n x 2

n4 2

c) n x

n x

La relación que existe entre “a” y “b” es:

a) b = 3a b) b = 9a c) b = 6a d) b = 27a e) a = b

2. Reducir:

n n n n (nn )n n

7. Calcular:

R

n1 (n1n )n n n; n 0

E a) n b) n2 c) n-1

-2

1a) 3 b)

3

d) 9 e) 27

c) -3

d) n

3. Simplificar:

e) 1

2ax 2 3 ax

6.2a 1

2a

19

1

8. Reducir:

P 8

1 3

8.2a 2

a2a

ax 1

1

3 3

3 4

6 3

4 1

3 E 3 27

3

a) 2 b)

2ax

c) 1 d) 2 2 e) 2

2 2 2 4 16

4 2

a) 4 b) 27 c) 9d) 81 e) 243

1 0 1

2

2

1

4

4. Reducir:

1

1 21

a) 0 b) 1 c) a - b

1d) b - a e)

A (32)0,4 (64) 3 ( )2 ( )3 ( 1

)16 2 a b 2 125

16

10.Simplificar:

1 4 5

4 4 4 4a) 1 b)

3

1

c) -1 S

4 3 64

d) - 3

5. Simplificar:

e) 3

a) 2 2 b) 4 2 c) 4 2

E xmy2n

(m2n)1

d) 4 4 e) 8

Autoevaluación 1 2n

x1 ym

3 2 3 2 3 2 3 2

81

80

a) x b) y c) xy

1. Reducir:

S

x . x . x . x

x x n

d) ye)

y

6. Transformar:

a) x b) x2 c) xx

d) xx - 1 e) x-1

8

S

22 4

212

2. Simplificar:

40 x

38

. 30

x58. 50

x 98

. 300

x 600

1

a) x b) x2 c) xx

d) x-1 e) x20

a) 2 b) 2 c) 2

6 6 6 .... radicalesd) 2 e) 4 3. Reducir: S

2 2 2 .... radicales

a1

a a 27. Transformar: aa 2a) 2 b) 3 c) 6

Hallar:

2 aa d) - 6 e) - 2

a) 2 b) 4 c) 24. Reducir:

K 3x 1

3x 2 3x 3 3x 4 3x

d) a e) a2

8. Calcular aproximadamente:

L 3

4 2 3

4 2 3 4 ..... radicales

3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 3x

a) 1 b) 2 c) 4 5. Reducir:

S (x

2

)2 (y4

3 )2 (x 2

)4

2 3 2 2

(y 3

)3

3 2d) 2 2 e) 2

(x ) (y ) (x ) (y )

9. Efectuar:

4

P ab

(a b)(ba) ba

(b a)ab

a) x4 b) y3 c) x4y3

d) x3y4 e) x2y2

(a - b) es impar.

Claves

1. a2. a3. b4. d5. c

Productos notables

Capítulo III

Bombones

En una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombón a cada hombre conocido, que se lo come inmediatamente. Después cada hombre le regala un bombón a cada mujer desconocida. En total se regalan 240 bombones.Con esta información, ¿se puede determinar el número de hombres que hay en la fiesta?

Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo, sin necesidad de efectuar la operación.

1. Trinomio cuadrado perfecto

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Identidad de Legendre

I1: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) I2: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

2. Diferencia de cuadrados

(a + b) (a - b) = a2 - b2

3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)

4. Desarrollo de un binomio al cubo

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Identidades de Cauchy

I3: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) I4: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)

Relaciones particulares:

(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2) (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

5. Suma y diferencia de

cubos

ÁLGEBRA4AÑO

(a + b + c

6. Desarrollo de un trinomio al cubo

Según Cauchy se puede escribir así:(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc

Otras formas más usuales del desarrollo:

3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) - 2(a3

+ b3 + c3) + 6abc

7. Identidades de Stevin

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab(x+a)(x + b)(x + c) = 3x+ (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x + abc(x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc

8. Identidad trinómica de Argand

(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n

Formas particulares más

usuales: Si: m=1 , n=1(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

Si: m=1, n=0(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1

9. Identidad de Lagrange

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) =(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2

10.Igualdades condicionales

Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relaciones notables:

(a + b) (a2 - ab + b2) = a3

+ b3

(a - b) (a2 + ab + b2) = a3

- b3

* a2

* a3+ b2

+ b3+ c2

+ c3

= -2(ab + bc + ca)= 3abc

* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = 2

(a2 + b2

+ c2)2

2

2 4

3

Problemas resueltos

1. Reducir:L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7

S o l uc i ó n :

Aplicando: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

5. Reducir:

S o l uc i ó n : Operando:

S 7 5

7 5

7 57 5

tenemos:L = x2 + 6x + 8 + x2 + 8x + 15 - 2x2 - 14x + 7

S ( 7 5 )2 ( 7 5 )

2

2 2

2( 7 5 )

2 2

L = 30 ( 7 5 )( 7 5 )

7 5

2 1

2. Si: x x

3 ; hallar: S x3 1

x3

S 2(7 5)

122

S = 12

S o l uc i ó n :

1 1

Problemas para la clase

Desarrollando: x2 + 2x + = 3 x x 2

2 1

Bloque I

1. Multiplicar: x 1 ; luego de

“S” :x

8S 2

8

1 2

41 2

1 2 1 2

S x 3 1

x 3

x

1 2 xx

1 1 x 2 a) 1 b) 2 c) 2 2

Reemplazando:

S x 1 0 0 S 0 d) 2 e) 84

3. Reducir:

x 2. Multiplicar:

S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3)

- 2x(x2 + 11) - 1

P 4 15 . 4 15

Solución :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16

Operando :S = x3 + 6x2 + 11x + 6 + x3 - 6x2 + 11x - 6 - 2x3 - 22x - 1De donde :

S = - 1

3. Operar:

S 3

7

3 3

49 314

3

4. Reducir:

P (a b) (b c)3

abc (a c)3

a) 9 b) 5 c) 3 d) 1 e) 16

4. Reducir:

Si : a + b + c = 0

P 7 3 2 7 3 2

S o l uc i ó n :

Tenemos que: a + b =

- c b + c = -a a + c = -b

3 3

a) 2b) 10 c) 20 d) 40 e) 16

5. Simplificar:Luego reemplazando: S

x 2y x

2

y

; x , y 0

P (-c) (-a)3 (-b)3

- (a b3 c3)

3abc y x y x

abcP = -3

abc abca) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

1

2 2

6. Si:

Hallar:

a + b = 4 ab = 1

Hallar: a2

2

b2 3

3 2

P = (a2 + b2)2

a) x - 1 b) x + 1 c) x + x - 1

a) 190 b) 196 c) 197 d) 198 e) 194

7. Si:a + b = 4

d) x3 - 1 e) x2 + 1

3 34. Si: P 4 2

Calcular el valor de: M P(P

6 ) (P 6 )

Hallar:

ab = 1

S = a3 + b3

a) 6 b) 9 c) 3d) 2 e) 0

5. El valor numérico de:

a) 52 b) 51 c) 50 d) 49 e) 60 S

3 6 3 10

3 6 3 10

8. Calcular el valor de:

S 32

1 3(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)(232 1)(264

1)

a) 4 b) 8 c) 16 d) 160 e) 64

9. Multiplicar:

a) 1 b) 2 c) 2

d) 2 2 e) 4

6. Siendo:A = (a + b)2 - (a - b)2

B = (a2 + b2)2 - (a2 - b2)2

C = (a3 + b3)2 - (a3 - b3)2

P 2 3 5 2 3 5 2 6AB

Obtener: S C

a) 0 b) 1 c) 2

a) 1 b) 2 c) -2d) 2 6 e) 10 d) 4 e) 4ab

10.Multiplicar:R = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) - (x4

+ y4)

7. Si:

x 3a b2

; y a 3b2

; ab 32a) -x2y2 b) x2y2 c) x4y4

d) x6y6 e) x8y8

Bloque II

2a 2bDeterminar el valor de:

2 2w x y 3 x y 3

1. Encontrar el equivalente de:R = 2(a2 + b2 + c2 + ab + bc

+ ac) Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a

a) x + y + z b) xyz c) x2y2z2

d) x2 + y2 + z2 e) xy + yz + zx

8. Evaluar: E

x10 x10 3

2. Hallar el valor numérico de:

Siendo: x x 1 3

Para: a3

b3

E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2 - a2b2]

2 1

2 1

a) 1 b) 2 c) 5

d) 7 e) 3

9. Si:

a) 9 b) 4 2 c) 6 2 ab 3

100 3

10 1d) 6 e) 1 3. Siendo:

a = x(x2 + 3) b = 3x2

+ 1 a2 b2 3

10 1

Obtener: N = (a + b)4 - (a - b)4

a) 100 b) 88 c) 64 d) 168 e) 60

xyzxy yz xz

a) 9 b) 99 c) 999d) 9999 e) 1

a) 216 b) 192 c) -216d) -192 e) 190

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3

10.Obtener el valor de:S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a - b) + 2b8

a) 5 b) 3 c) 4 d) 2 e) 1

Para: a 2 1 b 2 1

7. Si:a) 28 b) 30 c) 34 d) 47 e) 62

x + y + z = 1x3 + y3 + z3 = 4Calcular:

Bloque III

1. Reducir:

P 1

x yz

1y zx

1

z xy

S = (a + 1) (a - 1) (a4 + a2

+ 1)a) -2 b) 2 c) -1d) 1 e) 3

Si: a 4 15 4 158. Si: a + b + c = 0 ; reducir:

a2 b2 c2 a2 ab b2

2. Si: a + b + c = 0

S bc

ac

ab b2 bc c2

Calcular: M (a

b)

(b c)3 (c a)3a) 3abc b) 3 c) -3d) -3abc e) 1

(a b) (b c) (c a)

a) 3 b) -3 c) 4 d) -2 e) 16

9. Si se cumple que:(x + y + 2z)2 + (x + y - 2z)2 = 8(x + y)z

Hallar:

3. Si: 6

x 6 y 6

z 0

E x y

9 x

7

z

8 z x

2z z y z y

9 3Calcular: L

(x y z)

a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 8

4. Si:a3 + b3 + c3 = 4abca2 + b2 + c2 = ab + bc + ac + 1Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Si: a2 + b2 + c2 = 12 ab + bc + ac = 12 abc = 8

Calcular:E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) +

c3(ac+bc) Considerar: a + b + c > 0

a b

a c

b c ab ac bc

c b a

a) 0 b) 1 c) -1 d) -3 e) 3

5. Sabiendo que:

Autoevaluación

2 2 3x 2y 3x 2y x 3 1

3 14 3 1

3 14

1. Reducir:

S 2y 3x

2y 3x

5 5 5 5

Calcular: E = 5x3 + 3x + 1

a) 1 b) 11 c) 3 d) 4 e) 8

6. Simplificar:

(x y)4

( x

2. Simplificar: P

5 2

5 2

5 25 2

S (x y)2 (y z)2 (x y)2 (z x)2 (y z)2 (z x)2

a) ab b) ac + cd c) cd + abd) -cd - ab e) 0

a) 20 b) 19 c) 22d) 23 e) 40

2

7 7 75. Simplificar:

2a) 3

b) 2

c) 6

R = (a + b + c + d)

- (a + b + c) (a + b + d) -

14d)

3

14e)

5

(b + c + d) (a + c + d)

3. Si : a + b + c = 0

Calcular :

R a b2 c2

ab bc ac

a) 1 b) 2 c) - 1d) - 2 e) 0

4. Reducir:

K ( 8 3)2 ( 8 3)2

Claves1. d 2. d 3. d4. c 5. d

ÁLGEBRA4AÑO

igualdad

Ecuaciones de primer grado

Capítulo IV

Los Obstáculos

Todos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstáculos que nos lo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstáculos nos significan los retos que debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueños. Anotaba Albert Einstein: “Qué sería del mundo sin los soñadores”; con los que soñaron en su tiempo que el hombre podía volar, encender un foco, comunicarse a través de un cable, crear la radio, el telégrafo, etc. No solamente eran soñadores, sino que además eran pacientes, no en el sentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistían incansablemente hasta lograr su objetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobación generalizada, que los tachaba de locos, pues lo que intentaban en opinión de los demás resultaba imposible.Tomás Alva Edison llegó a la bombilla incandescente después de 5 mil intentos. Imaginémoslo a la mitad de sus experimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino.

TEORÍA DE ECUACIONES

una

es

una relación de comparación que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.

A

1er miembro= B

2do miembro

CLASES DE IGUALDAD

Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales

es es

Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incógnitas

Ejm: (x+1)2= x

2+ 2x + 1

la igualdad se verifica para cualquier valor real de "x".

Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incógnitas

Ejm: 2x+1 = x + 7 se verifica solo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7

Aquellos valores que asumen las incógnitas las cuales verifican o satisfacen una determinada ecuación.

Conjunto formado por todas las soluciones.

Efectuar en ellas todas las operaciones necesarias para obtener sus soluciones.

Ecuaciones son equivalentes si todas las soluciones de laprimera ecuación son tam-bién soluciones de la

Conseguirlo se le transforma sucesivamente en otras equivalentes.

l xas ecuaciones:

+ 2x = 14 ; 5x - 36 = 2x

3

on equivalentes puesto que m b a s e c u a c i o n e s s e erifican

2

s a v

Número de soluciones

Cuando presenta variables en su denominador:

Ej.: x + 1 +

x - 1 = Admite por lo

menos una solución

ECUACIÓN

es

Una igualdad condicional que queda satisfecha solo para algunos valores asignados a sus variables.Así : 5x - 3 = x + 25

3queda satisfecha solo cuando: x = 6

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Solución o raíz Conjunto solución Ecuaciones equivalentes

son es el es dos

Así

Dada la ecuación:3 2 2

x - 5x = x - 11x + 6

Para: x = 1 -4 = -4Para: x = 2 -12 = -

12Para: x = 3 -18 = -

18

luego las raíces o soluciones son:

x = 1; x = 2; x = 3

Así

Como las soluciones de la ecuación:

3 2 2x - 5x = x - 11x +

6

Son : x = 1; x = 2; x = 3

entonces el conjunto

solu-ción (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

para

hasta

Conseguir que ello sea sencillo y permita hallar el valor de la incógnita.

Así

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

según

su el

Estructura

fraccionaria

será

Compatibles incompatibles o absurdas

cuando cuando

irracional

Cuando la incógnita se encuentra dentro de un radical. Ej.:

y es

determinada

indeterminada

no existe ninguna soluciónC.S. =

Así: Ej:

x+1 + x - 4 = 7

si

existe un número finito de

soluciones

si

el número de soluciones es ilimitada

x(3x-1)+5=3(x-3)-10x+6

al reducir se obtiene:

5 = 6 la ecuación es

absurda

a 0 b lR x = - b

asolución

única(Compatible

a = 0 b = 0 0 x = 0

"x" admite cualquier solución(Compatible

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

forma general

ax + b = 0

Análisis de sus raíces

Teoremas

si de

Transposición Cancelación

si* a+b = c

si

a = c-b

si

* a+c = b+c a = b; si: c lR

* ab = c a = c ; si: b 0 b

* ac = bc * a = b

a = b; si: c 0

* a = c b

a = bc ; si: b 0 c c

a = b; si: c 0

si

a = 0 b 0 0x = -bno existe ningún valor "x" que multiplicado

por cero de como resultado "-b"

(Incompatible ó absurda)

Problemas resueltos

Cancelando (x - 3): 1 + x - 3 = 1

1.

Resolver

:

S o l uc i ó n

:

2x

3x

3 5

9x

15 40

x = 3 .......... (2)

De (1) y (2) se observa una contradicción. Concluimos: la ecuación no tiene solución o es incompatible.

Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores : 15

15 2x 15

3x 15 9x 1540

3. Resolver:

3

x 2

5x

x2 4

3

x 2

x

x2 4

3 5 15 S o l uc i ó n :

5(2x) + 3(3x) = 9x + 600

10x + 9x = 9x + 600Reduciendo las fracciones a común denominador resulta:

eliminando 9x: 10x = 600 x = 60

3(x 2)

(x 2)(x 2)

5x

x 2 4

3(x 2)

(x 2)(x 2)

x

x 2 4

2. Resolver :

1 1

x 3

1

x 33(x 2)

x 2 4

5x

x 2 4

3(x 2)

x 2 4

x

x 2 4

S o l uc i ó n :

3(x 2) 5x

3(x 2) x

x 2 4 x 2 4Tener presente que el denominador es diferente de cero.Es decir : x - 3 0 x 3 ...... (1)

Para: x = 2 x = -2, los denominadores se anulan por tanto: x ± 2 ........ (1)

Reduciendo la ecuación:

1 x 3 x 3

1

x 3

3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x 6x = - 12

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 18

De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observa una contradicción

Se concluye : la ecuación no tiene ninguna solución o es incompatible.

Bloque I

1. Resolver:


4. Resolver :

x 4 x 1 1 5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x)

S o l uc i ó n :

Transponiend

o:

x 1

x 4 1 x 1

4a)

17

13d)

2

17b)

4

19e)

4

2c)

13

Elevando al cuadrado miembro a miembro:2

x 4 12 2 x 1 2

x 1 2. Resolver :

x

3x

x 6

x 4 1 2 x 1 x 12 5 2

Reduciendo se tiene: a) 1 b) 2 c) 3

4 2 x 1 x 1 2 d) 4 e) 5Al cuadrado : x - 1 = 4 x = 5Llevando: x = 5 a la ecuación propuesta: x 3

2 3x

4x

x 4 x 1 1 5 4 5 1 1 3. Resolver:2 7 33 - 2 = 1 (Se verifica la

igualdad) la solución es: x =

5

5. Resolver : x

S o l uc i ó n :

x 5 7

x 5 7 x

4. Resolver:

1

x 21

x 3

3

x2 x 6

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

2x 5 (7 x)2 x + 5 = 49 - 14x +

x25. Resolver:

x2 - 15x + 44 = 0 x - 11x - 4

Verificando en la ecuación original:

x 2

1

4 x 2 x

1

9x 2 12x

x 1

1

x x 5 7 a) 3

b) 2

c) 6

Si: x = 11 11 11 5 7 11 + 4 = 7 (Falso)

1 1d) - e)

Si: x = 4 4 4 5 7 4 + 3 = 7 (Verdadero) 6 4

la única solución es: x = 4

6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)

6. Resolver: (x - 3)2 + 5x = (x + 2)2

S o l uc i ó n :

Llevando 5x(x - 4) al primer

miembro:(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0

Extraemos el factor común (x - 4):

a) 1 b) -1

c) 2 d) 3

e) 2

7. Resolver:(x - 4) [(x - 2) - 5x] =

0x - 4 = 0 (x - 2) - 5x =

0

7 3 x = 3

Despejando para c/u se tiene:

1

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

x = 4 x = - 2

2

8. Resolver:

x 1

x

x

1 5. Resuelva c/u de las ecuaciones, luego indique:

x.y

z2 3 2 6

A. 1 2

a) -1 b) 1 c) 2 d) -3 e) 5 2

x 2 x 4

9. Resolver:

x m x n 1

B. 1

3 5

1

1

3 5

2 1m n y

3

5 15

mna) -

m n b) m + n c)mn

m - n

C.z 3

2z 5

2z 5 2 z 3

d) m - n e) mn

10.Resolver:2(x - 5)2 + x2 = (x - 6)2 + 2(x2

- 1)

1 1 1a)

5b) -

7c)

4

a) 6 b) 5 c) 2

1d) -2 e)

2

Bloque II

1. Resolver: (x + 5)3 - x3 - 15x2 = 50

1d) 1 e) -

5

6. Resolver:

1-

2x - 33

5 x(2x - 3)

x

a) 0 b) -1 c) -2 d) 1 e) 2

5a)

3b)

4 13

c) 3

1

2. Resolver:

x 1 x 1 1d) 3 e) -

3

5a)

44

b) 5

1c)

4

7. Resolver:

2x a x - b

3ax (a - b)d) 1 e) -1

b a ab

3. Resolver:

x 13 x 2 3 a) 2b b) 2a c) a + b

Hallar la inversa de su solución

d) a - b e) 1

1a) 3 b)

3

1d) 4 e)

4

c) 28. Resolver:

7

5(x - 2)

- x 2

11

2(x - 3) 3 x 3

9

4. Sea la ecuación de 1er grado:(m - 7) x2 + (m2 + 2m + 6)x + 3m + 2 = 0

Hallar “x”.

a) 2

1

b) 2

1

c) - 2

1a) 0 b) 7 c)

3

d) 2

9. Resolver:

e) - 2

1d) -

3e) -7

x

a2 - b2 2x

a b

a b - 1 2(a -

b)

x 1

a - b

c

2 2 a

2

a - ba)

2a b

b)2

a b

c) a + b

d) VVV e) VVF

5. Calcular “n”, si la ecuación:

(n + 1)2 x + 7 = (n - 3)2 x + 15d) a - b e)

3

10.Resolver:

3 1 -

x - 1

1 9 - 1

es incompatible

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5

2 x 1

4 x 1 6. Resolver:

x - a x - b

x - c 2 1

1 1 a) b) 5 c) 4

d) 3 e) 2 bcabc 0

ac ab a b

Bloque III

a) 1 b) a + b + c c) a + b - c

a b c1. Resolver :

d)2

e) a - b - c

x

x

x ab bc ac 1 abc x(a b c) 7.

Resolver: x 1

a - b 1 1

abca)

a b ca b c

b)abc

x a b x a - b

c) abc d) a + b + c e) 1

aa)

ba

b) b 1

ac)

b - 1

2. Resolver:

x 1

x 1

a 1d)

ba - 1

e)b

x 1 x 1 1

8. Resolver:

1 x 1 2 x 1

a b - x c

a c - x b

b c - x a

4x

1 a b c

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) a + b + c b) a - b - c c) a - b d) a + b

3. Resolver:

3 a x

3 a x 3 5a

a be)

c

5 4 2

9. Resolver:

x - ab x - bc

x - ac a b ca)

4 a b)

5 a c)

4 a b b c a c

d) a

e) a2 a) a + b + c b) ab + bc + ac

5

4. Marcar V o F

I. La ecuación: x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8)

es indeterminado.II. La ecuación : 3x + (x-5) = 2x - (-2x+3)

a b cc)

2e) abc

10.Si: a b -c; resolver:

a b x 1

a - bd)

c

c - b x 1

es incompatible. c a a c

III. La ecuación:

8x 9 1 x a c

es indeterminado.

a) VFV b) FFF c) VFFa) a b) c c) ac d) ac + 1 e) ac - 1

a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9

Autoevaluación

1. Resolver: 8 - 3x + 25x2 = (1 - 5x)2

a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2

4. Sea la ecuación de 1er grado:(a + 5) x2 + (a + 3) x + 7 - 3a = 0Hallar “x”.

a) 9 b) -5 c) -3 d) 11 e) 12

2. Resolver:

x 1

x 2

x 3

x 4

2 3 4 5 5. Hallar “x” en:

67a)

5353

b) 67

37c)

534 23 1 x 3 3

53d)

37e) 1

a) 1 b) 20 c) 30 d) 40 e) 12

3. Resolver:

x 6 x 2 4 , indicar: x2 + x + 1 Claves

1. b 2. a 3. a4. d 5. e

ÁLGEBRA4AÑO

Admite por divisores a 1 y a si mismo.

Todo polinomio de grado no nulo que

divide en forma exacta a otro

polinomio.

P(x;y) = xy P = xy2

(x;y)

P(x;y) = x(y - 1)

P =

P =

Factorización I

Capítulo V

Aprendizaje y superación

Carlos A. Madrazo decía: “Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen éxito”. Por supuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidad de fracasos que a través de ellos aseguran el éxito.

Si usted solamente intenta lo que está seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que logrará pocas cosas en la vida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, también le puedo predecir que usted será un triunfador.

La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que no ha detenido su crecimiento y día a día busca su superación; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce un tema: “No sé”, y esto le llega una gran cantidad de información que lo enriquece y que le asegura su permanente desarrollo.

No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente está permitido para aquellos que tienen la osadia de buscar su superación día a día.

CONCEPTOS PREVIOS

Factor o Divisor

Factor Algebraico

Factor Primo

es es si

Todo polinomio que divide en forma exacta a otro

polinomio.así

asíasí

sus sus

Divisores son: P1(x;y)

= 1

sus

Divisores son:

Divisores

son: P1(x;y) =

1

P = x

únicos

P2(x;y) = xP3(x;y) = yP4(x;y) = xy

P1(x;y)=1

P2(x;y)=xP3(x;y)=y - 1

No es factor algebraico

2(x;y)

P3(x;y) = y

24(x;y)

P5(x;y) = xy

factores primos

P4(x;y)=x(y - 1) 26(x;y)

P(x) = 4x - 3

Q = x + y - 1

R(x;y;z) = 2x - 3y + 4z

2P(x) = 2x - 5x + 3

en ZZ

3 2Q(x) = 5x + 3 x -

1x+12

en lR (reales)

R = 3x2+ 2ix + i

3

(x)

en C (complejos)

P = x2

- 4 no es primo(x)

pues: P(x) = (x+2)(x-2)

Q(x) = x - 6 es primo

R = x2

+ 1 es primo(x)

Factorizar en ZZ :

9x2-4y

2 = (3x+2y)(3x-

2y)

Factorizar en lR:

2x2-3y

2 = ( 2x + 3y)( 2x-

3y)

Factorizar en C:

4x2+1 = (2x + i) (2x -

i)

Eligen las bases comunes afectadas

al menor exponente.

Seleccionan convenientemente los términos de tal manera que genere

un factor común.

la aplicación inmediata de

algunos productos notables.

Aplicable generalmente a trinomios. El proceso

consta de 3 pasos:* Descomponer los

extremos* Prueba de aspa* Escritura de los

A2

- B2

= (A+B) (A-B)

P = ax5y

5+bx

4y

6

(x;y)

factor común : x4y

5

P = x

2+xy+xz+y

2+yx+yz(x;y)

agrupando de 3 en

P = 2x2+5xy+2y

2

(x;y)

2x y = xy x 2y = 4xy

5xy

A3+B

3 = (A+B) (A

2-

AB+B2) A

3-B

3 = (A-B)

(A2+AB+B

2)

A2+2AB+B

2 =

(A+B)2

2 2 2

(x;y

FACTORIZACIÓN

Definición

Consiste en transformar un polinomio en otra equivalente expresada en una multiplicación de factores primos sobre un determinado campo numérico.

OBSERVACIONES

Un polinomio está sobre un determinado campo numérico si sus coeficientes pertenecen a dicho campo numérico.

Así

Factor primo o polinomio irreductible es todo polinomio de grado no nulo (no constante) que no se puede expresar como la multiplicación de dos o más factores.

Así

La factorización de un polinomio lo realizamos en el campo de los números enteros (ZZ ) es decir los factores primos de- ben presentar únicamente coeficientes enteros.

Así

Todo polinomio de primer grado : P(x) = ax + b;es irreductible en cualquier campo numérico.

Así

(x;y)

CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN

FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN IDENTIDADES ASPA SIMPLE

se se es es

Así

luego

P = x

4y

5(ax+by)

N o t a :Los factores primos de

P(x;y) son:

P1(x;y) = xP2(x;y) = yP3(x;y) = ax + by

Así

luego

P(x;y)= x(x+y+z)+y(y+x+z)

factor común: x + y + z P(x;y) =

(x+y+z)(x+y)

Diferencia de

cuadrados

Suma y Diferencia de

cubos

Trinomio cuadrado

perfecto

Identidad de

Argand

A4+A

2B

2+B

4 =

(A2+AB+B

2)(A

2-AB+B

2)

Así

luego

P(x;y) = (2x+y)(x+2y)

Problemas resueltos

1. Factorizar: a3b4c5 + a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xy

Dar como respuesta el número de factores primos

S o l uc i ó n :

Agrupando de 2 en 2:M = (2x5 + 5x4) - (26x3 + 65x2) + (72x

+ 180) Descomponiendo cada paréntesis:

2x 5 ) - 13x2 ( 2x 5 ) + 36 ( 2x 5 )Solución:

Extraemos el factor común: a2b3c5

M = x4 ( Factor común : 2x

+ 5

E = a2b3c5 [ab + ay + bx + xy]

M = (2x + 5) [x4

- 13x2

+ 36]

Agrupando de 2 en 2:

x2 -4 -4x2

E = a2b3c5 [(ab + ay) + (bx + xy)]

x2 -9 -9x 2

E = a2b3c5 [a(b + y) + x(b + y)] E = a2b3c5 (b + y) (a + x)

Los factores primos son:a; b; c; (b + y); (a + x) Total 5

Luego:

Suman: -13x2

M = (2x + 5) (x2 - 4) (x2 - 9)

M = (2x + 5) (x2 - 22) (x2 - 32)

2. Factorizar : P(x;y) = x2 + y2 + x(y+z) + y(x+z) Dar como respuesta la suma de factores primos

S o l uc i ó n :

Efectuando: P(x;y) = x2 + y2 + xy + xz + yx + yzAgrupando convenientemente:

P(x;y) = (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)

P(x;y) = ( x 2 y 2 2xy ) + (xz + yz)

Trinomio cuadrado

Diferencia de cuadradosM = (2x + 5) (x + 2) (x - 2) (x + 3)

(x - 3) Donde la suma de sus factores primos será:(2x + 5) + (x + 2) + (x - 2) + (x + 3) + (x - 3) = 6x + 5

5. Factorizar: P(x) = 4x4 - 101x2 + 25

S o l uc i ó n :P(x) = 4x4 - 101x2 + 25

perfecto 4x2 -1 2

-x2

2P(x;y) = (x + y)2 + z(x + y)

x -25 -10 0x

Factor común : (x+y)P(x;y) = (x + y) (x + y + z)

Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)

Luego: P(x) = (4x2

- 1) (x2

Suman:

-25)

-101x2

La suma de factores primos es:

x + y + x + y + z

2x + 2y + z

3. Factorizar: R = (x - 3)3 + 125

Transformando cada factor a una diferencia decuadrados:

P(x) = [(2x)2 - 12] [x2 - 52] Finalmente:

P(x) = (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)

Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.

S o l uc i ó n :

A potencia 3:

Bloque I

1. Factorizar:


F(x;y;z) = x2 + xy + xz + yzR = (x - 3)3 + 53 suma de

cubosR = [(x - 3) + 5] [(x - 3)2 - (x - 3)(5) + 52]

Desarrollando y reduciendo:

R = (x + 2)(x2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 25)

R = (x + 2) (x2 - 11x + 49) Factores primos:

indicando la suma de factores primos.

a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+y d) x - y - z e) x + y - z

2. Factorizar:

(x 2) Primer grado

(x 2 - 11x 49)

Segundo grado

P(x) = x3 (x - 3) + 3x2(x - 3)indicando el número de factores primos.

Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39

4. Hallar la suma de los factores primos de:M = 2x5 + 5x4 - 26x3 - 65x2 + 72x

+ 180

a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5

3. Factorizar:P(x) = x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28

Indicando un factor primo.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3 d) x + 8 e) x + 9

4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el siguiente polinomio?

P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Factorizar:F(x) = 8x6 + 7x3 -

1 indicar el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Factorice:P(x) = x4 -

16 indicando un factor primo.

a) x + 4 b) x2 + 4 c) x2 - 2 d) x2 + 2 e) x2 - 4

7. Factorizar:P(x; y) = 2x2y + 3xy2

+ xyIndicar el número de factores primos.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. Un factor primo del polinomio:P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m +

(xy)n

luego de factorizar es: xn + ym

II. Si factorizamos el polinomio:P(x;y;z) = (x3+y3+z3)3 - x9 - y9

- z9

se obtienen 7 factores primosIII. Factorizando:

P(x;y) = (x-y)3 - (x-y)2 - 2(x-y)

la suma de sus factores primos es:3x - 3y -

1

a) FFF b) VFF c) FVFd) VVV e) VFV

3. Factorizar:P(a;b;c) = (a-b)(a3-c3) - (a-c)(a3-b3)

la suma de sus factores primos es:

a) 3a-b-c b) 3a+b+c c) 3a-b+cd) 3a-b+1 e) 3a-3b+c

4. Factorizar: P(x;y;z)=x3+y3+z3+x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y

a) (x2+y2+z2) (x+y+z) b) (x3+y3+z3) (x+y+z) c) (x+y+z)3 d) (xy+xz+yz)2

(x+y+z) e) (x+y+z)(x2+y2+z)

8. Factorizar:P(x; y; z) = x2 + xy + zx + zy + x + y

5. Al factorizar: P(x) = x2 (x+2)2 + x2+2x - 12

Indicar un factor primo.

a) x + y b) x + y + z c) x + 1 d) z + 1 e) x + z - 1

9. Factorizar:P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2

e indicar la suma de factores primos.

a) 4x - 8y b) 4x + 8y c) 2x - 4y d) 2x + 4ye) 3x2 + 12y2

10.Factorizar:

I. Existen 2 factores primos de 2do grado. II. Existe un factor primo de 1er grado.III. El polinomio P(x) tiene 3 factores primos.

a) FFF b) FVV c) FFVd) VVV e) FVF

6. Factorizar:P(x; y) = x9y - x3y7


a) x2 + xy + y2 b) x2 - xy - y2 c) x2 + y2

P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4


d) x2+ y e) x2 - y

a) 3x + y b) 3x + y + 2c) 5x + 2y

7. Factorizar: M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2

d) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2

Bloque II1. Dar la suma de los términos independientes

de los factores primos de:

a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 2


a) a - b - 2 b) a + b + 2

c) a + b

d) a - b e) ab

8. Indicar el número de factores primos de:P(x,y) = x2 + 2x + xy + y + 1

P(x) = (x2 + 7x +

5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

a) m - n b) m + n c) m + 2nd) a + 2b e) a - 2b

9. Factorizar:P(x) = x2n + 1 + 3xn + 1 + xn + 3 - xn +

3x3 - 3Indicar un factor primo.

a) xn + 3 b) xn + 1 + x3 c) xn + 1

d) xn - 1 - 2 e) xn - 1

10.Indicar el número de factores primos de: P(x; y; z) = (x2 - y2 - z2)2 - (2yz)2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Bloque III

1. Factorizar el polinomio:P(a;b;c) = ac (a+c) + bc(a-b) -

bc(b+c)indicando un factor primo

a) a6 + 1 b) a6 + 1 - 5a2 c) a6 - 1 - a2

d) a6 - a2 e) a6 + a2 + 2

8. Indicar un factor de:M(x; y; z) = (x + y + z)(x - y + z) - (x + y)(x - y)

a) 2x - z b) z c) z + x d) z - x e) 2z - x

9. Factorizar:T(a; b; m) = 12abm2 - (16a2 - 9b2)m -

12ab indicar un factor

a) 4am + 3b b) 3mb c) 3mb - 4 d) 3b - 4 e) 4am - 3b

10.Indicar el número de factores de:P(m; n; p) = (2m + 3n - p)2 - 14m - 21n + 7p - 18

a) 2b + c + a

b) 2b + c c) 2a - b a) 2 b) 3 c) 4d) a - 2b e) a + 2c d) 5 e) 6

2. Factorizar:P(x) = x7 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 +

x + 1 indicando el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Factorizar:P(x) = (x4 - x3 + x2 - x + 1)2 - x4

indicando el número de factores primos

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. Factorizar:P(a;b;c) = a(b-c)2 + b(a-c)2 + c(a-b)2 +

9abc indicando el factor de 2do grado

a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ac c) a+b+c d) abc e) a2+ab+b2

5. Factorizar:

Autoevaluación

1. Factorizar: P(x;y) = x3y2 - y5

indicar la suma de factores primos.

a) y2 + x - y + x2 + xy b) x + x2 + xy + y2

c) y2 + x3 - y3 d) y + x3 - y3

e) xy + y + 1

2. Dar uno de los factores primos del polinomio: P(a;b;c) = a(b2+c2) + b(c2+ba2)

a) 2a + b b) 2a - b c) a + b d) a - 3b e) a + 3b

3. Factorizar: F(a;b;c) = (a - b) (a2 - c2) - (a - c) (a2

- b2)indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

F(x;y) = 4x4 - y4 + 4xy2

+ 1

a) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1+y2) b) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1-y2) c) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1-y2) d) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1+y2)

4. Factorizar :P(a;b;m;n) = 2003am + 2003bm - 2003an -

2003bn indicando un factor primo.

e) (2x2-2x-1+y2) (2x2-2x-1-y2)

5. Factorizar: P(x) = (x + 3)2 - 49

6. Indicar el número de factores primos de:

M(a; b; c) = 144a11b2 - 436a9b4 + 100a7b6

a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6

7. Indicar un factor de:P(a) = a12 - 6a8 + 5a4 + 2a6 - 6a2

+ 1

indicando un factor primo.

a) x + 2 b) x + 10 c) x + 20d) x + 18 e) x + 4

Claves1. b 2. c 3. c4. a 5. b

ÁLGEBRA4AÑO

P = ax4n

+ bx3n

+ cx2n

+ dxn

+ f(x)

t1 t2 t3 t4 t5

si le faltase un término, completar con el Procedimiento

Descomponer los términos "t1" y "t5" de modo que el producto en aspa

determine un término cuadrático.

Aspa simple a los términos: t3; t5

Descomponer el término que resulta de hacer la diferencia del término central y el término cuadrático obtenido en el paso 1.

Aspa simple de comprobación: t1; t4

y t6

Si esta expresión fuese correcta, al multiplicar en aspa

debe verificar los términos segundo (t2) y cuarto (t4).

Factorización II

Capítulo VI

Potencialidades

Todos los seres humanos poseemos potencialidades y también limitaciones; un ser humano sin cualidades sería un monstruo y un ser sin defectos no sería humano, sería un querubín. Todos los seres humanos tenemos una vocación, un llamado a ser; el problema es descubrir esa potencialidad y posteriormente pagar la colegiatura para realizar plenamente ese ser.

Debemos preguntarnos con toda sinceridad: “¿Quién deseo ser? ¿Qué deseo lograr en la vida? ¿Qué quiero realizar? ¿Qué me gustaría hacer?” Estoy seguro de que hay cierto tipo de actividades que usted goza plenamente al realizarlas, y es ahí donde usted expresa plenamente su potencialidad. ¿Cuáles son?, ¿ya las identificó? Desafortunadamente muchas de esas tareas las tenemos relegadas como pasatiempo de fin de semana y esperamos ansiosamente un día de descanso para dedicarnos a aquello en lo que nos sentimos plenamente realizados.

Muchas veces como padres de familia cometemos el error de forzar a nuestros hijos a ser lo que no desean ser. Imagínese: el padre de Miguel Ángel Buonarroti quería que su hijo fuera comerciante, pero el hijo, desafiándolo, luchó por ser escultor, y qué escultor, uno cuya obra ha trascendido a través de los siglos. Pero cuántos, tal vez miles, no han tenido el valor de Miguel Ángel y se han muerto con todo su potencial dormido. El más usual de los epitafios reza así: “Fulano de tal nació, vivió y murió, y nunca supo para qué existió”.

ASPA DOBLE

forma general

ASPA DOBLE ESPECIAL

forma general

P = ax2n

+ bxny

m + cy

2m + dx

n + ey

m + f(x;y)

t1 t2 t3 t4 t5 t6

si le faltase un término, completar con el cero

Procedimiento

paso 1 paso 1

Aspa simple a los términos : t1; t2

y t3paso

2

paso

3

paso 4

los factores se adoptan horizontalmente

paso 2

paso 3

paso 4

los factores se adoptan horizontalmente

Determinar el rango de aquellos posibles valores que anulan al polinomio.

DIVISORES BINÓMICOS

se

Utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o igual a tres.

Procedimiento

paso 1

si

paso 2

En base a estos valores realize evaluaciones hasta conseguir algún

valor que logre anularlo

N o ta : Todo valor que anula al polinomio genera un factor de 1er

paso 3

Para conseguir el otro factor o factores aplicaremos Ruffini

cuántas veces sea necesario.

(x

(x

Problemas resueltos

1. Factorizar: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x - 3

S o l uc i ó n :

Completamos con 0 y; aplicamos luego

aspa doble. P(x;y) = 5x2

+ 8xy + 3y2

+ 2x +

0y - 3

* P a so 3 : Se debe verificar 13x3 y 20x mediante la descomposición apropiada de:

7x42x

2

6x

P = x4

+ 13x3

+ 45x2

+ 20x

+ 2 x2

7x

1 x2

6x

25x 3y - 3

I III IIx y 1

* P a so 4: P(x) = (x2 + 7x + 1) (x2 + 6x + 2)

I. 5xy3xy +

8xy

Luego:

II. 3y-3y +

0y

III. 5x-3x +

2x

4. Factorizar : P(x) = 16x4 - 8x3 - 16x2 - 22x - 15

S o l uc i ó n :

P = 16x4

- 8x3

- 16x2

- 22x - 15P(x;y) = (5x + 3y - 3) (x + y + 1)

2. Factorizar: Q(x;y;z) = 2(x2 + y4 + z6) - 5y2 (x + z3) + 4xz3

4x2

4x2

3Aspas = -

8x2

-5

2x

S o l uc i ó n :

= -16x2

- (-8x2) = -

8x2

4 3 2

-4x

Efectuando:

P(x) = 16x - 8x - 16x - 22x - 152

Q(x;y;z) = 2x2 + 2y4 + 2z6 - 5y2x - 5y2z3

+ 4xz3

Ordenando convenientemente para aplicar el aspadoble:

Finalmente :

4x

4x2

2x 3

-4x -5

Q(x;y;z) = 2x2

- 5xy2

+ 2y4

+ 4xz3

- 5y2z

3

+ 2z6

P(x)= (4x2 + 2x + 3) (4x2 - 4x - 5)

2x

x

luego:

-y2

I III II

-2y2

2z3

z3

5. Factorizar:

P S o l uc i ó n :

* Paso 1:

(x) = x3 - x2 - 2x - 12

Q(x;y;z) = (2x - y2 + 2z3) (x - 2y2 + z3)

3. Factorizar: P(x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2

S o l uc i ó n :

* P a s o 1 : Descomponemos los extremos y obtenemos el resultante de las aspas.

4 3 2

Cálculo de los posibles valores que anulan al polinomio: cómo el polinomio es mónico usaremos los divisores de 12: ±(1; 2; 3; 6).

* Paso 2:

Evaluand

o:Para: x = 1 P(1) = 13 - 12 - 2(1) - 12 = -14 (No)P(x) = x + 13x + 45x + 20x + 2

3 2x

21

Aspas = 3x

2

Para: x = -1 P(-1) = (-1)

= -12 (No)

- (-1) - 2(-1) - 12

x2

2 Para: x = 2 P(2)= 23 - 22 - 2(2) - 12 = - 12

(No)

* P a so 2 : Obtenemos :

= 45x2

término central

- 3x2

Aspas

= 42x

2

Para: x = 3 P(3) = 33 - 32 - 2(3) - 12 = 0P(3) = 0 (x - 3)es un factor del polinomio P(x)

* Paso 3:

Aplicando Ruffini :P( x )

x 3

x = 3

1 -1 -2 -12

3 6 12

1 2 4 0

x = 12

2 1 1 -1

1 1 1

2 2 2 0

a) 5x+2y+3 b) 5x+y-3 c) 5x+2y-3d) x+y+1 e) x+2y+3

Finalmente:

q(x) = x2 + 2x + 4

P(x) = (x - 3) (x2 + 2x + 4)

2. Factorizar:P(x;y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x +

2y + 1 indicando uno de los factores primos

a) x-y-1 b) 3x-y+1 c) 3x+y-1 d) x+y-1 e) 3x+y+1

6. Factorizar: P(x) = 2x3 + x2 + x - 1

Solución:

3. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6

* Paso 1:El polinomio no es mónico, usaremos

opcionalmente:

divisores del término

independiente divisores del coeficiente principal

1

Indique el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Factorizar:P(x) = x4 - 2x3 -10x2 + 5x + 12

1;2

* Paso 2: Evaluamos:

Para: x = 1 P(1) = 2(1)3 + 12 + 1 - 1 = 3 (No) Para: x = -1 P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 + (-1) - 1

= -3 (No)

a) (x2 + x - 3) (x - 4) (x + 1) b) (x2 + x - 3) (x + 4) (x - 1) c) (x2 + x + 3) (x - 4) (x + 1) d) (x2 + x + 3) (x - 4) (x - 1) e) (x2 + x - 3) (x - 4) (x - 1)

5. Factorizar:

1Para: x =

2

3 1

P 1 2 2

2 1 2

1

1 02

P(x) = x3 - 11x2 + 31x - 21

2

x

1

a) (x - 1) (x - 7) (x + 4)b) (x + 1) (x + 7) (x + 3)c) (x - 1)(x + 7)(x - 3)

entonces

* Paso 3:

es un factor2

d) (x - 1)(x - 7)(x + 3)e) (x - 1)(x - 7)(x - 3)

6. Factorizar:Utilizando Ruffini :

Finalmente:

x - 1

P( x )

x 1

2

2x - 1

P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4


a) 3x + y b) 3x + y + 2c) 5x + 2y d) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2

7. Factorizar:P(x; y) = 10x2 + 11xy - 6y2 - x -

11y - 3Indicar un factor.

a) 5x - 2y - 3 b) 5x - 2y c) 2x + 3y d) 2x - 3y + 1 e) 2x - 3y

P(x) = (2x2+2x+2) = (2)(x2+x+1) 2 2

P(x) = (2x - 1) (x2 + x + 1)

8. Indicar un factor de:P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 7x + 1

Bloque I 1. Factorizar:


P(x;y) = 6x2+7xy-3y2+11x-11y-10

a) x2 + 3x - 1 b) x2 + 3x + 1 c) x2 - 4x d) x2 + 4x - 1 e) x2 + 1

9. Indicar un factor de:C(x) = x3(x + 1) + 2x2 + 5(x - 3)

indicando la suma de sus factores primos

a) FVFF b) VVVV c) FVVVd) FVVF e) VVVF

a) x b) 6x c) 7x 3. Factorizad) x2 e) 9

a) x - 3 b) x + 2 c) x - 1d) x + 1 e) x

a) x2 - 5 b) x2 + 5 c) x2 - x - 3 d) x2 - 3 e) x2 + 3

10.Indicar un factor de:P(x) = x3 + 5x + 6

a) x - 1 b) x + 1 c) x + 3 d) x - 3 e) x + 2

Bloque II

1. Factorizar:P(x;y;z) = 2x2 - 2y2 - 3z2 - 3xy +

7yz - xz indicando la suma de sus factores primos

a) 3x-y-2z b) 3x+y+2z c) x-y-2z d) x-y+z e) 3x-3y-2z

2. Factorizar:P(x) = x4 + 5x3 - 7x2 - 29x +

30 indicar la suma de todos los factores primos.

a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5 d) 4x + 6 e) 4x + 7

8. Indicar un factor de:B(x) = x4 + 4x2 +

16

a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 - 2x d) x2 - 2x + 3 e) x2 + 6x - 1

9. Indicar la suma de coeficientes de los factores primos de:

I(x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

10.Indicar un factor de:M(x) = 6x6 - 5x5 - 6x4 - 13x2

- 6

a) 2x3 - 2 b) 2x3 - 3x2 + 2 c) 2x3 - 3x2 - 2 d) x3

e) x3 - 1

Bloque III

1. Factorizar:

3. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 - 5x

- 6

P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 + x2 - 8x - 4indique V o F

indicar la suma de coeficientes de un factor primo

a) -3 b) 0 c) 2 d) -4 e) 1

4. Factorizar:

I. El polinomio tiene 5 factores primos.II. El polinomio tiene 3 factores primosIII. La suma de sus factores primos es 3x + 2IV. Uno de los factores primos es (x + 2)2

P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24

indicar la suma de los términos independientes de losfactores primos

a) -7 b) -5 c) -3 d) 4 e) 6

5. Factorizar:P(x) = x4 + 2x2 +

9 indicar un término de un factor primo

2. Factorizar:P(x;y) = 24x3y2+60x2y2-6xy4 + 6xy3 + 36xy2

a) 6xy2 (x + y + 1)(2x - y + 3) b) 6xy2 (x + y + 2)(2x - y + 3) c) 6xy2 (2x + y + 2)(x - y + 3) d) 6xy2 (2x + y - 2)(2x - y - 3) e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x - y + 3)

6. Factorizar:

Indicar un

factor.

H(x) = x3 - 7x + 6

P(x) = x5 + x + 1

a) (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1) b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1) c) (x2 - x - 1) (x3

- x2 + 1) d) (x2 - x - 1) (x3 + x2 + 1) e) (x2 + x

+ 1) (x3 + x2 - 1)

7. Indicar un factor de:M(x) = 2x3 - 5x2 - 23x - 10

4. Factorizar: P(x) =

12x3+ 8x2

- 3x - 2

a) x - 2 b) x + 5 c) 2x d) x - 5 e) x + 3

a) (3x + 2)(2x - 1)(x - 2)b) (3x - 2)(2x - 1)(x - 1)

c) (3x + 2)(2x - 1)(x - 1)d) (3x + 2)(2x + 1)(2x - 1)e) (3x + 2)(2x + 1)(x - 1)

1. Factorizar:

Autoevaluación

5. Factorizar: P(x) = x12 - 3x9 - 7x6 + 27x3

- 18

P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9 indicar un factor primo

a) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3-5)(x3-3) b) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3) c) (x+1)(x2-x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3) d) (x-1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3-3) e) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+4)(x3-3)

6. Indicar un factor de:P(x; y; z) = 6x2 - 20y2 - 14z2 + 7xy + 38yz

- 17xz

a) 3x - 4y + 2z b) 3x - 4y + 2 c) 3x + 2y d) 2x + 5ye) 2x + 5y - 7

7. Indicar un factor de:P(x; y; z) = 10x2 - yz + 3y2 - 17xy

+ 5xz

a) y - x b) 2x + 3y + z c) 5x - y d) 2x - 3y - z e) 5x + y

8. Dar un factor primo de:P(x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x

+ 1

a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2

+ x - 1

a) 2x + 5y + 3 b) 2x + 5y + 4 c) 2x + 5y + 5 d) 2x + 5y + 6 e) 2x + 5y + 7

2. Factorizar:P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x +

27y + 18 indicar la suma de factores primos

a) 5x + 7y + 8 b) 5x + 4y + 8 c) 5x + 7y + 9 d) 4x + 7y + 6 e) 4x + 6y + 7

3. Factorizar:P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18

a) (x2 + x + 3) (x2 - x + 6)b) (x2 + 5x + 6) (x2 - 2x + 6)c) (x2 - 5x + 3) (x2 - 2x + 6)d) (x2 + 5x - 3) (x2 + 2x - 6)e) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)

4. Factorizar:

d) x3 - x - 1 e) x2 - x + 1

P(x)= x3 - x - 6

9. Factorizar:F(n) = (n + 1)2[n2 + 2n + 9] + 5(n + 1)[n2 + 2n + 2] + 1 indicar un factor primo.

a) n + 7 b) n + 8 c) n + 2 d) n + 6 e) n + 10

10.Indicar la suma de términos independientes de sus factores primos:

P(n) = (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2

a) 3 b) -1 c) 4 d) 2 e) -2

a) (x + 2) (x2 + 2x + 3) b) (x - 2) (x2 + 2x + 3) c) (x + 1) (x2 + 2x + 6) d) (x - 1) (x2

- 2x + 6)e) (x - 2) (x2 - 2x + 3)

5. Factorizar: P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6 indicar un factor primo

a) x - 1 b) x + 2 c) x + 3 d) x + 4 e) x + 6

Claves1. a 2. c 3. e4. b 5. a

ÁLGEBRA4AÑO

A = b2

- 4ac

Discriminante

Factorización

AB = 0

A=0 B=0

Fórmula

-b b2 -4 a c x1,2 =

2a

Ecuaciones de segundo grado

Capítulo VII

Fracaso y éxito

El fracaso tiene mil excusas, el éxito no requiere explicación. Cada vez que no logramos algo siempre tenemos una magnífica disculpa; el mediocre busca instintivamente una justificación para su fracaso y, por supuesto, siempre juega el papel de víctima.El triunfador es siempre una parte de la respuesta; el perdedor es siempre una parte del problema. El triunfador dice: “Podemos hacerlo”; el perdedor dice: “Ése no es mi problema”.El triunfador siempre tiene un programa; el perdedor siempre tiene una excusa.El triunfador ve siempre una respuesta para cualquier problema; el perdedor ve siempre un problema en toda respuesta. El triunfador ve una oportunidad cerca de cada obstáculo; el perdedor ve de dos a tres obstáculos cerca de cada oportunidad. El triunfador dice: “Quizá es difícil, pero es posible”; el perdedor dice: “Puede ser posible, pero es demasiado difícil”.

ECUACIÓN DE 2do GRADO

Forma Formación de la ecuación

ax2

+ bx + c = 0 ; a 0

se resuelve por

depende

suma se debe tener

productoSuma : S = -

b a

Producto : P = c

a

siDiferencia

donde

x2

- Sx + P = 0

A > 0

Raíces reales

diferentes

A = 0

Raíces iguales

A < 0

Raíces compleja

sy

conjugadas

A > 0

Raíces reales

x1 x2 x1 = x2 x1 = m + ni x2 = m - ni m; n lR,

además: i = -1

ax2+bx+c = 0 ; a

0 mx2+nx+p=0 ;

m 0

x 2+ x 2 = (x +x )2-2x x las mismas

raíces o soluciones

x 3+ x

3 = (x +x )

3-3x x (x

+x )

1 2 1 2 1

b

OBSERVACIONES

Operaciones con raíces Ecuaciones

cuadráticas equivalentes

suma de inversas si si si las ecuaciones

1 1 x + x+ = 1 2

x1 x2 x1x2

suma de cuadrados se cumple

x1+ x2 = 0

se cumple

x1x2 = 1

tienen

suma de cubos se cumple

a b c

suma, producto y diferencia

m =

n =

p

(x +x )2- (x -x )=

2 4x x

Teorema:(Raíces irracionales conjugadas)

Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0 de raíces “x1” “x2”; donde (a; b; c) Q (coeficientes racionales).

S o l uc i ó n :

Aplicando aspa simple:

2abx2

- (b2

+ 6a2)x + 3ab = 0

Si: x1 = m + n es una raíz irracional, entonces:

x2 = m - n es la otra raíz irracional conjugada.

2ax

bx

Luego :

-b

-3a

-b2x

-6a2x

-(b2+6a

2)x

C.S. = {m + n ; m - n }(2ax - b) (bx - 3a) = 0

2ax - b = 0 bx - 3a = 0

Teorema:

bx =

2a

3a x =

b

(Raíces complejas conjugadas)

Sea la ecuación : ax2 + bx + c = 0; a ¹ 0 de raíces “x1” “x2” ; donde (a; b; c) lR.

bC.S. =

2a3a

;

Si: x1 = m + ni es una raíz compleja, entonces:x2 = m - ni; es la otra raíz compleja conjugada.

C.S. = {m + ni ; m - ni} m; n lR.

Problemas resueltos

1. Resolver:2abx2 - (b2 + 6a2)x + 3ab = 0; ab 0

2. Calcular los valores de “m” que hacen que la ecuación:

2x2 - mx + (m + 6) = 0 ; tenga raíces iguales.

S o l uc i ó n :

Las raíces de la ecuación serán iguales, si el discriminante:

= b2 - 4ac = 0 ......

a 2

De la ecuación : b m

c m 6

2

Reemplazando en ():(-m)2 - 4(2)(m+6) = 0 m2 - 8m - 48

= 0

m -12 m +4

(m - 12)(m + 4) = 0

m - 12 = 0 m + 4 = 0

Finalmente : m = 12 m = -4

3. Determinar la suma de los valores de “k” que hacen que la suma de las raíces de la ecuación:

x2 + kx + 2x - k2 + 4 = 0 sea igual al producto de las mismas.

S o l uc i ó n :

Dando forma a la ecuación:1x2 + (k+2)x + (4 - k2)

= 0Según el problema:

x1 + x2 = x1 x2

S o l uc i ó n :

Multiplicando en aspa se tiene:(n + 1) (x2 + 3x) = (n - 1) (5x

+ 2) Efectuando :(n+1)x2 + 3(n+1)x = 5(n - 1)x +

2(n - 1)Transponiendo y agrupando:

(n + 1)x2 + [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - 2(n - 1) = 0 (n + 1)x2 + (-2n + 8) x - 2 (n - 1)

= 0Las raíces de la ecuación serán simétricas, si:x1 + x2 = 0

(2n 8)

0 n 1-2n + 8 = 0 2n = 8

Finalmente: n = 4

6. Forma la ecuación de 2do grado de coeficientes reales, si una de sus raíces es: x1=2 - 5i

(k 2)

14 k 2

1

S o l uc i ó n :

Por teorema de raíces complejas conjugadas, si:

- k - 2 = 4 - k2

k2 - k - 6 = 0 k - 3

x1 = 2 - 5i entonces la otra raíz esx2 = 2 + 5iPara formar la ecuación se necesita:

k +2 S x1

x 2 2 5i 2 5i 4

(k - 3) (k + 2) = 0

De donde: k - 3 = 0 k + 2 = 0 k = 3 k = - 2 pero: i

P x1 x 2 (2 5i)(2 5i)

= 22 - (5i)2 = 4 - 25i2

1 i2 1

4. Determinar el valor de “p” en la ecuación:

x2 - 6x + 4 + p = 0sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2.

Reemplazando:P = x1x2 = 4 - 25 (-1) = 29

Luego la ecuación es: x2 - Sx + P = 0Es decir: x2 - 4x + 29 = 0

S o l uc i ó n :

Por propiedad: x1 x 2

Bloque I


a

Dato del problema : x1 - x2 = 2

1. Hallar las raíces de la ecuación:3x2 - x -

10

5 ; 2

b)

3 ; 5

c)

5 ; 2

Reemplazando datos :

(6)2 4(1)(4 p)2 36 16 4p 2

a) 3

3

3

1Elevando al cuadrado : 20 - 4p = 4 4p

= 1

6

d) 2

; 5 e) {5; -2}

5. Hallar el valor de “n” para que las raíces de la ecuación:

2. Hallar una raíz de la ecuación:2x2 - 3x - 3 =

0

sean simétricas.

x 2 3x5x 2

n 1 n 1

2 32a)

3

3 33

13 33b)

43 32

c)2

d)4

e) 3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

a) 0 b) 50 c) 100d) 150 e) 200

3. Siendo: “x1” “x2” las raíces de la ecuación:

2x2 - 5x + 1 = 0

5a)

22

b) 5

5c) -

2

1 1Hallar : E 1

x1 x 2 d) 2

e) 5

a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5

4. Siendo “” y “” raíces de la ecuación:

2x2 - 6x + 1 = 0

Bloque II

1. Hallar “a” (a>0), si la ecuación:9x2 - (a + 2)x + 1 = 0

Hallar : M

presenta raíces iguales.

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

5. Calcular “m”, si una raíz de la ecuación:

x2 - mx + 8 = 0, es: x = 2

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

6. Hallar una raíz de:6x2 + x - 12 =

0

2. Hallar “m”, si la ecuación:x2 - (m+7)x + 25

= 0 presenta raíz doble (m>0)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Hallar “m”, si la ecuación:3x2 - (3m - 600)x - 1

= 0 posee raíces simétricas.

3a)

24

b) 3

4c) -

3d) -4 e) 3

7. Resolver:

2xx 3

5 - 4

x

18

x 2 3x

4. Hallar “k”, si la ecuación:(2k - 1)x2 - 7x + (k+9)

= 0 posee raíces recíprocas

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

1a)

23

b) 2

1c) -

25. Dada las ecuaciones:

(n-1)x2 - 3(n+5)x + 10 = 0 ...... (I)d) 2 e) 1

8. Resolver:x2 + 4x + 2 = 0

Indicar una raíz.

a) - 2 + 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2

d) 2 - 2 e) 2

(m-2)x2 - (m+7)x + 2(9m+1) = 0 ...... (II) La suma de raíces de la ecuación (I) es 12 y el producto de raíces de la ecuación (II) es 20. Calcular “mn”

a) 63 b) 64 c) 65 d) 66 e) 67

6. Si x1; x2 son raíces de:x(x - 6) = -

3

9. Hallar una raíz de: x2 + 6x + 7

= 0

obtener: T = (1 + x1)(1 + x2)

a) 8 b) 9 c) 10a) -3 + 2 b) 3 + 2 c) 3 - 2 d) 11 e) 12

d) 3 e) 3 + 17. La suma de las inversas de las raíces de la

ecuación: 2 - 2ax - (3 - 2a) = 010.Resolver: 12x2 + 60x + 75

= 0

(a - 2 )x

es 10/7. Calcular “a”.

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

4. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:

8. Si:

(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0

a;

a 1

a

a 1

tiene raíz doble, calcular el valor de:

(m2 + m + 1)

a) 3 b) 13 c) 21d) 7 e) 31

9. Hallar el valor de “n” si:x2 - 2(n - 3)x + 4n

= 0 tiene única solución.

a) 3 b) 7 c) 9 d) 1 e) -3

10.Hallar una raíz:

a) (a - 1)x2 - 2ax + a = 0 b) (a - 1)x2 + 2ax + a = 0 c) (a + 1)x2 - 2ax + a = 0 d) (a - 1)x2 - ax + a = 0e) x2 + ax + 1 = 0

5. Dada la ecuación:2x2 - 12x + (p + 2)

= 0Calcular “p”, para que la diferencia de sus raíces sea 2.

a) -14 b) -7 c) -1 d) 1 e) 14

2x

x - 3

5

x 336

x 2 - 9

6. Hallar una raíz:

2 2

(1 - ax) - (a - x) 4 16x 2 8x 3 x 4 8

17a)

2

17d) -

2

7b)

2

e) -3

c) 3

1 - a2

a) 5 b) -3 c) 2

5d) 4 e) -

3

Bloque III

1. Formar la ecuación de 2do grado de

coeficientes racionales, si una de sus raíces

es: x1 = 7 - 2

a) x2 - 14x + 49 = 0 b) x2 - 14x + 45 = 0 c) x2 - 14x + 47 = 0 d) x2 + 14x - 47 = 0 e) x2 - 14x - 47 = 0

2. Para que una de las raíces de la ecuación:ax2 + bx + c = 0

sea el triple de la otra, la relación de coeficientes debe ser:

7. Para qué valor de m (m 0) las raíces de: (m + 4)x2 - 3mx + m - 1 = 0

difieren de 1.

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

8. Calcule “a” ZZ para que:ax2 - (a + 3)x + 5 - a = 0

tenga una sola raíz.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

9. Si:

a) 16b2 = 4ac b) 16b2 = 3a

(b - 1)x2

+ 2bx + c = 0

c) 3b2 = 16a d) 3b2 = 16ac e) 9b2 = 16ac

3. Indique (V) o (F):

tiene raíces iguales, hallar el mayor valor de “c”, sabiendoque “b” es único.

bI. En: abx2 - (a2 - b2)x = ab, una raíz es -

a

10.En: 2x2- (m - 1)x + (m + 1) = 0

II. Si: x 2 2 2 ... entonces: x =2 .

¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces

difieran en uno?

III. La mayor raíz de (x-4)2 + (x-5)2 = (x - 3)2 , es: x = 8

a) VFF b) VVV c) FFVd) VFV e) VVF

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

a) 0 b) 1 c) 5 4. Hallar “n”, si una raíz de la ecuación:d) 15 e) 25 x2 + (n + 6)x + 6n = 0,

es:

Autoevaluación

1. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10. (m - 2)x2 - (5m + 5) x + 8 = 0

3. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son recíprocas: (m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0

a) 1 b) 2 c) 6 d) 7 e) 8

x = 3

2. Hallar “k” (k<0), si la ecuación:9x2 - kx + 4 = 0

posee raíces iguales.

a) 12 b) 14 c) 16 d) -16 e) -12

a) -3 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3

5. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:

x1 4 3

x 2 4 3

a) x2 - 8x + 13 = 0 b) x2+ 8x + 13 = 0

c) x2 - 2 3 x + 16 = 0 d) x2 - 8x + 13 = 0 e) x2 - 8x + 3 = 0

Claves1. c 2. e 3. c4. a 5. a

a) 4 b) -2 c) 3d) -3 e) 2

Repaso

Capítulo VIII

Una demostración imposible

2 = 1

Paso 1:Partimos de la igualdad : x = y

Paso 2:Multiplicando por “x” : x2 = xy

Paso 3:Restando y2 : x2 - y2 = xy - y2

Paso 4:Descomponiendo en factores:

(x + y)(x - y) = y (x - y)

Paso 5:

Dividimos por “x - y” : x + y = y

Paso 6:

Como: x = y, resulta : y + y = y2y = y

Paso 7:

Dividimos por “y” : 2 = 1

N o t a :Alguno de los pasos dados es incorrecto. La regla, que se ha utilizado mal en la demostración esta relacionada con la división. ¿Cuál es?.


1. Hallar el número de factores primos del polinomio:

3a) 6 b)

4

1c)

2

P(x;y) = 13x10y5 - 26x7y8 + 39x11y9

a) 1 b) 2 c) 3

1 2d)

3e)

3

d) 4 e) 5

2. Dar un factor primo de:P(x) = (x-3)(x-2)(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)

7. Resolver:

3x 7 x 2

x 1

8 x 2

a) x - 3 b) x + 3 c) x + 2d) x - 2 e) x + 5

3. Dar la suma de factores primos de:P(a;b;c;d) = a2 + 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2

a) -3 b) 1 c) 2 d) 5 e) -4

8. Si las raíces de la ecuación:x2 + px + q =

0son “p” y “q”, indicar una de dichas raíces.

a) a + b b) 2a + 2b c) 2c + 2dd) c + d e) 3a + 3b

4. Factorizar:F(x;y) = x2(x - y)2 - 14xy2(x - y) + 24y4

9. Formar la ecuación de 2do grado, si sus raíces son:

dar un factor primo

a) x + 2y b) x - 3y c) x - 4y d) x - y e) x + 8y

x1 m

x2 m

m2 1

m2 1

5. Factorizar:

a) 2x2 - mx + 2 = 0 b) 2x2 - 4mx + 2 = 0

F(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6

c) 2x2

- 2mx + 1 = 0 d) 2x2

- 2mx + 2 = 0

a) (x - 1)(x + 2)(x - 3) b) (x + 1)(x - 2)(x + 3) c) (x - 1)(x - 2)(x - 3) d) (x + 1)(x +

ÁLGEBRA4AÑO

2)(x + 3) e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)

6. Resolver:16x-[3x - (6-9x)] = 30x+[-(3x+2) - (x+3)]

e) 2x2 - mx + 1 = 0

10.Dada la ecuación:(2m + 2)x2 + 4x - 4mx + m - 2 = 0

Hallar la suma de raíces, sabiendo que estas son inversas.

3a)

10

1b)

3c) 3

Relacionar:

b10

d)3

e) 1a)

c

11.Calcular “m” en la ecuación:3x2 - 7x + m = 0

Si una raíz es seis veces la otra

a) 3 b) -1 c) -2 d) 4 e) 2

12.Calcular (x1 - x2)2, si “x1” “x2” son raíces de la ecuación:

b) = a2 - 4cbc) x = 0 x = 10 d) Raíces recíprocas e) = 0

af) -

cg) > 0h) x = 4 x = -4 i) < 0

2x2 + 7x + 5 = 0

j)a - 4cb

| c |a) 19 b) 29 c) 39 k) Dos factores primosd) 18 e) 24 l)

ll)Compatible indeterminado

13.Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son iguales.

x2 - 2 (1 + 3m)x + 7 (3 + 2m) = 0; (m>0)

m) i = (0; 1) = 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14.Relacione correctamente, sea la ecuación:

n) tres factores primos

15.Resolver:

(a2 b2 )2 2a(a2 b2 )

cx2 + ax + b = 0; c 0 donde “x1” y “x2” son sus raíces.

1. Raíces reales iguales. ( )

(a - b)x

a2 b2

(a b)x

a2 b2

(a b)

a2 b2

2. x1 + x2 ( )3. Discriminante ( )4. x2 = 16 ( )5. x1 - x2 ( )6. Raíces complejas conjugadas ( )7. x2 = 10x ( )8. x1 x2 ( )9. 2x2 - 5x + 2 = 0 ( )10.Raíces reales diferentes ( )11.El polinomio:

P(x) = x3 - x ; tiene: ( )12.La ecuación :

a) a2 b2

a2 b2

d)a b

b) c)2ab ab

a2 b2

e) (a b)2

4x - 1

2x 1

54

1 x - 1 5 es: ( )

13.La ecuación: ( )x - (2x + 1) = {8 - (3x + 3)} +

2x-6 es:14.El polinomio:

H(x) = 2(x - 1)4 (x + 2)7 tiene: ( )15.Unidad imaginaria. ( )

a) 1 b) 6 c) -6d) -8 e) 8

1

2

2

Autoevaluación3. Formar la ecuación de 2do grado, sabiendo

que sus raíces son:

1. Resolver:

x 1

2 i

9x - (5x + 1) - {2 + 8x - (7x - 5) + 9x} = 0 3 3

x 1

2 i

; donde: i

= -1

1a) 3 b) -

44

3 3c) -

3

2d) -3 e)

3

2. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:

(m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0 son recíprocas.

a) 9x2 - 6x + 5 = 0 b) 9x2 + 6x - 5 = 0c) 9x2 + 2x + 5 = 0 d) 9x2 + 6x + 5 = 0 e) 9x2 - 6x - 5 = 0

4. Encontrar el valor de “p”, si una raíz es el doble de la otra en la ecuación:

x2 + 6x + p = 0

a) 1 b) 2 c) 6d) 7 e) 8

5. Hallar “k”, si las raíces de la ecuación son iguales:

x2 - 6x + k = 0

a) 1 b) -9 c) 9d) 4 e) -4

Claves1. c 2. c 3. e4. e 5. c

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