I Bimestre 2013

Capítulo Pág.

1. Exponentes I ................................................................................................................... 43

2. Exponentes II .................................................................................................................. 49

3. Productos notables ........................................................................................................... 53

4. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 59

5. Factorización I ................................................................................................................. 67

6. Factorización II ................................................................................................................ 73

7. Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 79

8. Repaso ........................................................................................................................... 85

Álgebra

ÍNDICE

B lackames

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Exponentes I

Capítulo I

Los armarios

En las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante eltiempo de clase. En una determinada escuela había 1000 estudiantes y 1000 armarios. Cada año el primer día declase, los estudiantes se alinean por orden alfabético y realizan el extraño ritual que sigue:El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. Eltercero cambia la situación de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto cambia lasituación de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto,etc.¿Qué armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?

La notación exponencial se emplea en varias situaciones.El ejemplo muestra el uso de exponentes para analizaruna situación en la que cierta sustancia esta decreciendode modo exponencial.

Ejemplo:

Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegrade tal manera que solo queda 1/2 de la cantidad previadespués de cada hora. Si en un momento dado hay 320gramos de dicha sustancia, ¿qué cantidad quedará despuésde 8 horas?, ¿cuánto quedará después de “n” horas?

Solución:

Como la cantidad restante, después de cada hora, es 1/2de los gramos que había al final de la hora anterior, podemosencontrarla multiplicando el número precedente de gramospor (1/2).

Gramos restantes

Inicio: 0 horas 32021

3200

Después de 1 hora 16021

3201

Después de 2 horas 8021

3202

Después de 3 horas 4021

3203

: :

Después de 8 horas45

21

3208

Fíjese usted en que cada potencia de 1/2 es la misma queel número de horas que ha estado desintegrándose lasustancia. Si suponemos que seguirá aplicándose la mismanorma sacamos la conclusión de que después de “n” horasquedarán:

n

n

2

32021

320

gramos de la sustancia original.

Problemas resueltos

1. Reducir :

33753

254223222

)x(xxxxx

xxxxxS ; x 0

Solución:

Aplicando : (am)n = amn

tenemos :9753

108642

)x(x.x.x.x.xx.x.x.x.x

S ; luego aplicando:

am . an = am+n

tenemos : 525

30

97531

108642

)x( xxx

xx

S

5)x( xS

2. Reducir:

8

4 22

222S

Solución:

Aplicando: mprsr)qnp(

m p r sqn aaaa

tenemos:

422

2

2S

8

828

85

87

8

85

87

S = 4

3. Si: xm yn = 3m ......... ( )xn ym = 3n ......... ()

Hallar :xy

yx

S

Solución :

Multiplicando: ( )()tenemos :

xm yn . xn ym = 3m . 3n

de donde: xm+n yn+m = 3m+n

acomodando: (xy)m+n = 3m+n

xy = 3

Dividiendo:

n

m

mn

nm

33

yxyx

nmnm

nm

3yx

nmnm

3yx

3

yx

Luego reemplazamos:S = 33 = 27 S = 27

4. Simplificar:294

336

30.14.1580.35.21

S

Solución:

Descomponiendo en base 5, 3 y 7

2229944

3123366

294

3436

5.2.3.2.7.3.5

5.2.5.7.3.7

)5.2.3()2.7()3.5(

)5.2()5.7()3.7(S

22.5.3.72.5.3.7

S11669

12669

S = 2

PRECAUCIÓN: Aprenda a evitar errores como estos

Mal Bien

52 . 54 = 58 (No multiplique los exponentes) 52 . 54 = 56

52 . 54 = 256 (No multiplique las bases de las potencias)

32

6

555 (No divida los exponentes) 4

2

6

555

42

6

155 (No divida las bases de la potencia)

(52)6 = 58 (No sume los exponentes) (52)6 = 512

(-2)4 = -24 (Mala interpretación del paréntesis) (-2)4 = (-1)424 = 24

(-5)0 = -1 (Mala interpretación de la definición de b0) (-5)0 = 1 (Definición de b0)

33

21

2 (Mala interpretación de la definición de b-n) 33

21

2 (Definición de b-n)

1434

3

2222

(Descuido al restar exponentes) 7)4(34

3

2222

53 + 53 = 56 53 + 53 = (1 + 1)53 = 2 . 53

(La adición de exponentes no se aplica con el signo de suma) (Propiedad distributiva)

(a + b)-1 = a-1 + b-1ba

1)ba( 1

(Mala aplicación de la definición del exponente negativo) (Definición del exponente negativo)

525 (Mal uso de la definición de a ) 525

434/3 )16(16 (Mal uso de la definición de bm/n) 4 3344/3 16ó1616

(-2)-1/3 = 21/3 33/13/1

2

1)2(1

)2(

ba

1ba 2/12/1

b

1

a

1ba 2/12/1

EXPONENTES Y RADICALES

definimos:

tenemos:

b.b.b.b. .......b = bn ; n lN

exponente natural"n" veces

Exponente nulo

a = 1 ;-n

an

Exponente negativo

n > 0a

a = 1 ; a 00

Exponente fraccionario

a =mn amn

Multiplicación debases iguales

a . a = am+nm n

Potencia de un productoRaíz de raíz

(ab) = a bn n n

= an

bn ; b 0ab

n

= amnp

am n p

División de basesiguales

=am

an a ; a 0m-n Raíz de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n

an

babn

Consecuencia

= aam n p

a qar s

(np+q)r+smpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

además:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0ann

.

a = am m

n np p

Potencia de un cociente

Bloque I

1. Reducir:

22625324

24332342

)y,x()y()x()y()x()y()x()y()x(

S ; x, y 0

a) x3y5 b) x5y3 c)35yx

1

d) x-3y-5 e) 1

2. Simplificar:

129

1251

K

a) 1 b) 5 c)51

d) -51

e) - 5

3. Reducir:

24 2 33

812793P

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 27

4. Si: n = 24 . 48

Hallar el valor de: S = 5 n

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16

5. Simplificar:

abbc

1c ba

cb

a1

x.x

x.xR

; a b ; c 0; a 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

6. Simplificar:

0n-31

2-n-31

2- }).(-8)((-2)).8{(2 “n” es par.

a) 0 b) 1 c) 21

d) 2 e) -1

Problemas para la clase 7. Simplificar:

1n21n

1n1n2

3-993

a) 4 b) 2 c) 1

d) 21

e) 31

8. Calcular:

3n233n223n2

3n2

5.54.5.5225.)225(

a) 45 b) 25 c) 15d) 5 e) 1

9. Hallar: a2 + b2; si: a, b IN en:

34

ba-a b

b a3

b.a

b.a

a) 2 b) 8 c) 10d) 15 e) 20

10.Reducir:

34

182 41682644 )x.])x([

Si: x > 0

a) 2x b) 2x

c) x

d) x2 e) x3

Bloque II

1. Reducir:

1xx

x11 12x2xxE

; x 0

a) x2 b) xx c) x xd) 1 e) x

2. Si: a + b = 7

Reducir:baa2a

7aaa aaS

a) 1 b) 2 c) a

d) b e)21

3. Reducir:

3 3 33 3 3 913 3327L

a) 1 b) 3 c) 9

d) 27 e)31

4. Calcule: UNI

Si :1241616U ; 444N ; I = NU

a) 16 b) 8 c) 32d) 1 e) 2

5. Simplifique:

mmm3

m2m1m21m

55.25.25.2

E

; m 0

a) 5m b) 5 c) 10d) 10m e) 2

6. Operar:

61

1-1-1-2-2

53-2

25

51

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 21

7. Simplificar:

3 43103 259 3 5

3 203 5031259

)25(

5

a) 1 b) 2 c) 5

d) 21

e) 51

8. Simplificar:

nnn

nnnnnnn nnnn

n1.n

a) 1 b) 2 c) nd) n2 e) nn

9. Calcular aproximadamente:

A = ...4242

a) 2 b) 2 3 2 c) 2

d) 16 e) 4 52

10.Hallar una relación entre “x” e “y” en:

3xy

y x-2yxxy

3

1x.y

y.x

a) x = y b) y = 3x c) y = 2xd) y = 5x e) 2x = 3y

Bloque III

1. Si: nn = n+1

Reducir: nnn n

n1n

.nnM

a) 1 b) n c) n-1

d) n-2 e) n2

2. Simplificar:

0x;

x.x.x

x.x.xP

1a 2a 3a 2a1aa

3a 2a 1a a1a2a

si: a = 2003

a) x2003 b) x2002 c) xd) x-1 e) 1

3. Reducir :12

22 2 2 22S

a) 1 b) 2 c) 2

d) 4 e) 22

4. Reducir:aax

x ax x axx 1aax2R

; x 0

a) 2 b) 2x c) 2-1

d) 22 e) 1

5. Simplificar:

13 3

3 39

13 333 33

3 23 33

3

3P

a) 3 b) 9 c) 81d) 27 e) 1

6. Simplificar:

125

5.5

5

1-

453

5545

a) 1 b) 5 c) 25

d) 125 e) 5

7. Si: ab =a

b1

= 2; calcular:

ab.ba1

b1aa1b

b-1aa-1b

ba

ba

a) 2 b) 21

c) 4

d) 41

e) 8

8. Reducir:

)1x(xx)x(

4x

xxxx-x5

Si: xx = 5

a) 1 b) x c) x + 1d) x2 e) x5

9. Si: xx = 4; calcular:

x

x21

xx

102

1

x

a) 3 b) 4 c) 2

d) 4 2 e) 41/4

10.Calcular:

1-aa

1aa

a ; si: a-a = 31

a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3

d) 5 3 e) 3

1. Simplifique:

0y;0x;yx

yyxS

2322

323

a) yx

b)xy

c) 2yx

d)yx2

e) x.y

2. Reducir: 0x;

x6x3x2

P4

223

a) 1 b) 4x8 c) 6x7

d) 6x8 e) 6x4

3. Simplifique: 0a;0b;baba

Q 25

5

23

32

a)ba

b)ab

c) ab

d) 2

2

ba

e)5

ba

4. Reducir:3

2

6

3

ba8

R

a) - 4a2b4 b) 4a2b4 c) 2a2b3

d) 4b2a4 e) 1

5. Simplifica: 3n44n3

n1n3

yxyx

L

a) x-1 y-n b) nxy4

c) xy2

d) xyn e) nyx

Autoevaluación

Claves1. d 2. d 3. b4. b 5. a

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Exponentes II

Capítulo II

Hermanas con hermanos

Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, con el tiempo, cada chica acaba saliendo con elhermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: “¡Mira!, ahí veo entraral cine a alguien con tu pareja”.¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?.

EXPONENTES Y RADICALES

definimos:

tenemos:

b.b.b.b. .......b = bn ; n lN

exponente natural"n" veces

Exponente nulo

a = 1 ;-n

an

Exponente negativo

n > 0a

a = 1 ; a 00

Exponente fraccionario

a =mn amn

Multiplicación debases iguales

a . a = am+nm n

Potencia de un productoRaíz de raíz

(ab) = a bn n n

= an

bn ; b 0ab

n

= amnp

am n p

División de basesiguales

=am

an a ; a 0m-n

Potencia de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n

an

babn

Consecuencia

= aam n p

a qar s

(np+q)r+smpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

además:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0ann

.

a = am m

n np p

Potencia de un cociente

Problemas para la clase

Bloque I

1. Efectuar:

31

121

3431

31

41

41

241

M

a) 21

b) 2 c) 8

d) 16 e) 32

2. Reducir:

)3(3

33S

1n

1n3n

a) 3n - 1 b) 3n+1 - 1 c) 24d) 1 - 3n e) 18

3. Reducir:

}1{lNn;999E n n21nn

1n1n1

n

a) 9 b) 18 c) 81d) 162 e) 243

4. Efectuar:5,049278M

a) 0,5 b) 2 c) 0,75d) 0,25 e) 2,5

5. Reducir:

25

273 3 3 222

)x( x.x.x.xM

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x7

6. Reducir:

x3 y3x

x2 y4xx yx

b

b.bM

a) x6 y12xbb19 b) x6 y12x19b

c) x3 y12x9b d) 63 b.b

e) 6 b.b

7. Reducir:

0n;nS

1n1n

0n

nn

22n

a) n

-2n b) n-n c) n2n

d) nn e) nn/4

8. Reducir:

3 3 3 222 radicales.............x.x.xS

a) 1 b) 2x c) xd) 3x e) 4x

9. Reducir:

x1x2x3x4x

x1x2x3x4x

77777

77777S

a) 49 b) 343 c) 2401d) 16807 e) 4096

10.Si:xnym = 10n xmyn = 10m

Hallar: xy

)xy(A

a) 1010 b) 101

101

c)10

101

d) 101

10 e) 10

Bloque II

1. Reducir:

xxx

xx

ba

baS

a) ab b) a + b c) ab1

d) ba

e) a2 + b2

2. Calcular el valor de:

9n29n229n

19n

39

90S

a) 1 b) 2 c) 10d) 9 e) 40

3. Reducir:133

393

3 22L

a)21 b) 2 c) 4

d) 8 e) 216

4. Simplifique:

a

2a1 aa 2a1

2a1 1aa2

a.a

)aa(J

a) a + 2 b) a

2 + a c) a - 2d) a + 1 e) a

5. Simplifique:

abba:para;xx

xxM

ba

b aa b

a) x b) 1 c) x -1

d) xa e) xb

6. A partir de:

9

a

bab 1

a 1

3

1

ba

ab

2

La relación que existe entre “a” y “b” es:

a) b = 3a b) b = 9a c) b = 6ad) b = 27a e) a = b

7. Calcular:

53

812793E

a) 3 b) 31

c) -3

d) 9 e) 27

8. Reducir:

33

3 273

163

3 3 3 44

31

E

a) 1 b) 3 c) 31

d) -3 e) 3-2

9. Simplificar:

0x;xxxS0

x2

x x5

x5 x 2

a) x b) x-1 c) x2

d) x-2 e) 2x

10.Efectuar:

0x;xxAx

xx

x 1x1

1x

a) 1 b) x c) x1

d) -x e) x2

Bloque III

1. Reducir:

n n n n

n n n nn 2

xxxx

xxxxxS

2

a) n x b) 2n 2x c) 3n x

d) n e) 4n 2x

2. Reducir:

0n;)n(n

)n(nnR

nnnn11

nnnnnn

a) n b) n2 c) n-1

d) n-2 e) 1

3. Simplificar:

12

x

x

x

x

x

x

x

x9

1a

a

a

2a

a

1a

3 a

2a

12

2

2

2.8

12

2.6

8

2

P

a) 2 b)xa2 c) 1

d) 22 e) 2

4. Reducir:1

21

10

2

163231

4,0 )161

()1251

()21

()64()32(A

a) 1 b) 31

c) -1

d) - 31

e) 3

5. Simplificar:

1)n2m(

mn21

1

n2m

yx

yxE

a) x b) y c) xy

d) yx

e)n

yx

6. Transformar:

12242

8 2 16

22

2 2 4 24S

a) 2 b) 2 c) 21

d) 12 e) 4

7. Transformar: 2a1a 2aa a

Hallar:2 2 aa

a) 2 b) 4 c) 2d) a e) a2

8. Calcular aproximadamente:

3 3 3 radicales.....42424L

a) 1 b) 2 c) 4

d) 22 e) 2

9. Efectuar:

4ab baba )ab( )ab()ba(P

(a - b) es impar.

a) 0 b) 1 c) a - b

d) b - a e) ba1

10.Simplificar:44

4 544

4 3 64S

a) 22 b) 24 c) 4 2

d) 4 4 e) 8

1. Reducir:8081

3 3 3 3 2222 x.x.x.xS

a) x b) x2 c) xx

d) xx - 1 e) x-1

2. Simplificar: 40 30 50 300 600985838 x.x.x.x

a) x b) x2 c) xx

d) x-1 e) x20

3. Reducir:

radicales....222

radicales....666S

a) 2 b) 3 c) 6d) - 6 e) - 2

4. Reducir:x4x3x2x1x

x4x3x2x1x

3333333333

K

a) 4 b) 27 c) 9d) 81 e) 243

5. Reducir:23223242

33422324

)y()x()y()x()y()x()y()x(

S

a) x4 b) y3 c) x4y3

d) x3y4 e) x2y2

Autoevaluación

Claves1. a 2. a 3. b4. d 5. c

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Bombones

En una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombón a cada hombre conocido,que se lo come inmediatamente. Después cada hombre le regala un bombón a cada mujer desconocida. En total seregalan 240 bombones.Con esta información, ¿se puede determinar el número de hombres que hay en la fiesta?

Son productos indicados que tienen una forma determinada,de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo,sin necesidad de efectuar la operación.

1. Trinomio cuadrado perfecto

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Identidad de Legendre

I1: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)I2: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

2. Diferencia de cuadrados

(a + b) (a - b) = a2 - b2

3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)

4. Desarrollo de un binomio al cubo

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Identidades de Cauchy

I3: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)I4: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)

Relaciones particulares:

(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

5. Suma y diferencia de cubos

(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3

(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

6. Desarrollo de un trinomio al cubo

Según Cauchy se puede escribir así:(a+b+c)3= a3+ b3+ c3+ 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc

Otras formas más usuales del desarrollo:

(a + b + c )

3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)(a + b + c)3 = a3+ b3+ c3+ 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2+ b2+ c2) - 2(a3+ b3+ c3) + 6abc

7. Identidades de Stevin

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab(x+a)(x + b)(x + c) = x3+ (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x + abc(x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x - abc

8. Identidad trinómica de Argand

(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n

Formas particulares más usuales:

Si: m=1 , n=1(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

Si: m=1, n=0(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1

9. Identidad de Lagrange

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) =(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2

10.Igualdades condicionales

Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relacionesnotables:

* a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)* a3 + b3 + c3 = 3abc

* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = 21 (a2 + b2 + c2)2

Productos notables

Capítulo III

Problemas resueltos

1. Reducir:L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7

Solución:

Aplicando: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + abtenemos:

L = x2 + 6x + 8 + x2 + 8x + 15 - 2x2 - 14x + 7 L = 30

2. Si: 3x1

x2

; hallar:3

3

x1

xS

Solución:

Desarrollando: x2 + 2x

x1

+ 2x1

= 3

1x1

x2

2 ; luego de “S” :

2

23

3

x1

1xx1

xx1

xS

Reemplazando: 0S00x1

xS

3. Reducir:S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3)

- 2x(x2 + 11) - 1

Solución:

Operando :S = x3 + 6x2 + 11x + 6 + x3 - 6x2 + 11x - 6 - 2x3 - 22x - 1De donde :

S = - 1

4. Reducir:

abc)ca()cb()ba(

P333

Si : a + b + c = 0

Solución:

Tenemos que: a + b = - cb + c = -aa + c = -b

Luego reemplazando:

abcabc3

abc)cba(-

abc)b-()a-()c-(

P333333

P = -3

5. Reducir:

57

57

57

57S

Solución:Operando:

22

2222

57

)57(2

)57)(57(

)57()57(S

122

)57(2S

S = 12

Bloque I

1. Multiplicar:

212121212S 488

a) 1 b) 2 c) 22

d) 2 e) 84

2. Multiplicar:

154.154P

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16

3. Operar:

33333 4144927S

a) 9 b) 5 c) 3d) 1 e) 16

4. Reducir:

223737P

a) 2 b) 10 c) 20d) 40 e) 16

5. Simplificar:

0y,x;xy

yx

xy

yx

S22

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


6. Si:a + b = 4ab = 1

Hallar:P = (a2 + b2)2

a) 190 b) 196 c) 197d) 198 e) 194

7. Si:a + b = 4ab = 1

Hallar:S = a3 + b3

a) 52 b) 51 c) 50d) 49 e) 60

8. Calcular el valor de:

32 643216842 )12)(12)(12)(12)(12)(12(31S

a) 4 b) 8 c) 16d) 160 e) 64

9. Multiplicar:

62532532P

a) 0 b) 1 c) 2

d) 62 e) 10

10.Multiplicar:R = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) - (x4 + y4)

a) -x2y2 b) x2y2 c) x4y4

d) x6y6 e) x8y8

Bloque II

1. Encontrar el equivalente de:R = 2(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac)

Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a

a) x + y + z b) xyz c) x2y2z2

d) x2 + y2 + z2 e) xy + yz + zx

2. Hallar el valor numérico de:E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2 - a2b2]

Para:

12b

12a3

3

a) 9 b) 24 c) 26d) 6 e) 1

3. Siendo:a = x(x2 + 3) b = 3x2 + 1

Hallar: 31

22 ba

a) x2 - 1 b) x3 + 1 c) x2 + x - 1d) x3 - 1 e) x2 + 1

4. Si:33 24P

Calcular el valor de: )6P()6P(PM

a) 6 b) 9 c) 3d) 2 e) 0

5. El valor numérico de:

33 10361036S

a) 1 b) 2 c) 2

d) 2 2 e) 4

6. Siendo:A = (a + b)2 - (a - b)2

B = (a2 + b2)2 - (a2 - b2)2

C = (a3 + b3)2 - (a3 - b3)2

Obtener: CAB

S

a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 4ab

7. Si:

32ab;b2

b3ay;

a2ba3

x2222

Determinar el valor de:

32

32

yxyxw

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

8. Evaluar: 3xxE 1010

Siendo: 3xx 1

a) 1 b) 2 c) 5

d) 7 e) 3

9. Si:

110ba

110100ab322

33

Obtener: N = (a + b)4 - (a - b)4

a) 100 b) 88 c) 64d) 168 e) 60

10.Obtener el valor de:S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a - b) + 2b8

Para: 12a 12b

a) 28 b) 30 c) 34d) 47 e) 62

Bloque III

1. Reducir:S = (a + 1) (a - 1) (a4 + a2 + 1)

Si: 154154a

a) 9 b) 99 c) 999d) 9999 e) 1

2. Si: a + b + c = 0

Calcular:)ac()cb()ba(

)ac()cb()ba(M

333

a) 3 b) -3 c) 4d) -2 e) 16

3. Si: 0zyx 666

Calcular:xzyzxy

)zyx(xyz9L

3

a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 8

4. Si:a3 + b3 + c3 = 4abca2 + b2 + c2 = ab + bc + ac + 1Calcular:

bcacaba

cbb

cac

ba

a) 0 b) 1 c) -1d) -3 e) 3

5. Sabiendo que:

335

1453

15

1453

1x

Calcular: E = 5x3 + 3x + 1

a) 1 b) 11 c) 3d) 4 e) 8

6. Simplificar:

222222

444

)xz()zy()xz()yx()zy()yx(

)xz()zy()yx(S

a) 5 b) 3 c) 4d) 2 e) 1

7. Si:x + y + z = 1x3 + y3 + z3 = 4Calcular:

xyz1

zxy1

yzx1

P

a) -2 b) 2 c) -1d) 1 e) 3

8. Si: a + b + c = 0 ; reducir:

22

22222

cbcb

babaabc

acb

bca

S

a) 3abc b) 3 c) -3d) -3abc e) 1

9. Si se cumple que:(x + y + 2z)2 + (x + y - 2z)2 = 8(x + y)z

Hallar:

879

yzxz

yzzx

z2yx

E

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Si: a2 + b2 + c2 = 12ab + bc + ac = 12abc = 8

Calcular:E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) + c3(ac+bc)

Considerar: a + b + c > 0

a) 216 b) 192 c) -216d) -192 e) 190

1. Reducir:22

x3y2

y2x3

x3y2

y2x3

S

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Simplificar:25

25

25

25P

Autoevaluación

a)37

b)27

c)67

d)3

14e)

514

3. Si : a + b + c = 0

Calcular :acbcabcba

R222

a) 1 b) 2 c) - 1d) - 2 e) 0

4. Reducir: 22 )38()38(K

a) 20 b) 19 c) 22d) 23 e) 40

5. Simplificar:R = (a + b + c + d)2 - (a + b + c) (a + b + d) -

(b + c + d) (a + c + d)

a) ab b) ac + cd c) cd + abd) -cd - ab e) 0

Claves1. d 2. d 3. d4. c 5. d

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Los Obstáculos

Todos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstáculos que noslo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstáculos nos significan los retosque debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueños. Anotaba Albert Einstein: “Qué sería del mundo sin lossoñadores”; con los que soñaron en su tiempo que el hombre podía volar, encender un foco, comunicarse a través deun cable, crear la radio, el telégrafo, etc. No solamente eran soñadores, sino que además eran pacientes, no en elsentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistían incansablemente hasta lograr suobjetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobación generalizada, que lostachaba de locos, pues lo que intentaban en opinión de los demás resultaba imposible.Tomás Alva Edison llegó a la bombilla incandescente después de 5 mil intentos. Imaginémoslo a la mitad de susexperimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino.

TEORÍA DE ECUACIONES

una

igualdad

es

una relación de comparación quese establece entre dos expresionesel cual nos indica que tienen elmismo valor.

A B

1 miembroer 2 miembrodo

=

CLASES DE IGUALDAD

Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales

es es

Aquella que se verifica para todos losvalores asignados a sus incógnitas

Ejm: (x+1) = x + 2x + 1

la igualdad se verifica para cualquiervalor real de "x".

2 2

Aquella que se verifica para ciertosvalores particulares que se les atribuye asus incógnitas

Ejm: 2x+1 = x + 7se verifica solo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7

Ecuaciones de primer grado

Capítulo IV

ECUACIÓN

es

Solución o raíz Conjunto solución Ecuaciones equivalentes

son es el es dos

Aquellos valores que asumenlas incógnitas las cuales veri-fican o satisfacen una deter-minada ecuación.

Conjunto formado portodas las soluciones.

Efectuar en ellas todas lasoperaciones necesarias paraobtener sus soluciones.

Ecuaciones son equivalentessi todas las soluciones de laprimera ecuación son tam-bién soluciones de la segun-da ecuación e inversamente.

Así para

Dada la ecuación:x - 5x = x - 11x + 6

Para: x = 1 -4 = -4

3 2 2

Para: x = 2 -12 = -12Para: x = 3 -18 = -18

luego las raíces o solucionesson:

x = 1; x = 2; x = 3

Como las soluciones de laecuación:

x - 5x = x - 11x + 6

Son : x = 1; x = 2; x = 3

entonces el conjunto solu-ción (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

3 2 2

Conseguirlo se le transformasucesivamente en otrasequivalentes.

hasta

Conseguir que ello seasencillo y permita hallar elvalor de la incógnita.

las ecuaciones:x + 2x = 14 ; 5x - 36 = 2x2 3

son equivalentes puesto queambas ecuac iones severifican solamente para:

x = 12

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Una igualdad condicional que queda satisfecha solopara algunos valores asignados a sus variables.Así : 5x - 3 = + 25

3x

queda satisfecha solo cuando: x = 6

AsíAsí

Así:

Ej:x(3x-1)+5=3(x-3)-10x+6

al reducir se obtiene:5 = 6

la ecuación es absurda

irracional

si

cuando

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

según

Estructura

fraccionaria

Número de soluciones

será

Cuando presenta variablesen su denominador:

Ej.:

su el

x+1x+2

x - 1x - 3+ = 1

Compatibles incompatibles oabsurdas

cuando

Admite por lomenos una solución

no existe ningunasoluciónC.S. =

y es

determinada indeterminada

si

existe un númerofinito de soluciones

el número de solu-ciones es ilimitada

Cuando la incógnita se en-cuentra dentro de un radical.Ej.:

x+1 + x - 4 = 7

si

si

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

forma general

Análisis de sus raíces

si

Teoremas

de

a 0 b lR x = -

solución única(Compatible determinada)

ba

Transposición

* a+b = c a = c-b* ab = c a = c ; si: b 0 b* a = c a = bc ; b

si: b 0

ax + b = 0

si

a = 0 b = 0 0 x = 0

"x" admite cualquier solución(Compatible indeterminada)

a = 0 b 0 0x = -bno existe ningún valor "x"que multiplicado por cerode como resultado "-b"

(Incompatible ó absurda)

Cancelación

si

* a+c = b+c a = b; si: c lR* ac = bc a = b; si: c 0* a = b c c

a = b; si: c 0

Problemas resueltos

1. Resolver: 4015x9

5x3

3x2

Solución:

Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de losdenominadores : 15

401515x9

155x3

153x2

15

5(2x) + 3(3x) = 9x + 60010x + 9x = 9x + 600

eliminando 9x: 10x = 600 x = 60

2. Resolver :3x

11

3x1

Solución:

Tener presente que el denominador es diferente de cero.Es decir : x - 3 0 x 3 ...... (1)

Reduciendo la ecuación:3x

13x

3x1

Cancelando (x - 3):1 + x - 3 = 1

x = 3 .......... (2)

De (1) y (2) se observa una contradicción.Concluimos: la ecuación no tiene solución o esincompatible.

3. Resolver:4x

x2x

3

4x

x52x

322

Solución:

Reduciendo las fracciones a común denominador resulta:

4x

x)2x)(2x(

)2x(3

4x

x5)2x)(2x(

)2x(322

4x

x

4x

)2x(3

4x

x5

4x

)2x(32222

4x

x)2x(3

4x

x5)2x(322

Para: x = 2 x = -2, los denominadores se anulan portanto: x ± 2 ........ (1)

3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x 6x = - 12

De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observauna contradicción

Se concluye : la ecuación no tiene ninguna solución oes incompatible.

4. Resolver : 11x4x

Solución:

Transponiendo: 1x

1x14x Elevando al cuadrado miembro a miembro:

2221x1x214x

1x1x214x Reduciendo se tiene:

1x24 21x Al cuadrado : x - 1 = 4 x = 5Llevando: x = 5 a la ecuación propuesta:

11x4x 11545 3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad)

la solución es: x = 5

5. Resolver : 75xx

Solución:

x75x

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

22)x7(5x x + 5 = 49 - 14x + x2

x2 - 15x + 44 = 0x - 11x - 4

Verificando en la ecuación original:

75xx

Si: x = 11 751111 11 + 4 = 7 (Falso)

Si: x = 4 7544 4 + 3 = 7 (Verdadero)o)

la única solución es: x = 4

6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)

Solución:

Llevando 5x(x - 4) al primer miembro:(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0

Extraemos el factor común (x - 4):(x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0

x - 4 = 0 (x - 2) - 5x = 0Despejando para c/u se tiene:

x = 4 x = -21

Bloque I

1. Resolver:5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x)

a)174

b)4

17c)

132

d)213

e) 419

2. Resolver :2

6x5x3

2x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resolver:3x4

7x32

23x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 18

4. Resolver:6xx

33x

12x

12

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

5. Resolver:

1xx12x9xx4x 222

a)31

b)21

c)61

d) -61

e)41

6. Resolver:(x - 3)2 + 5x = (x + 2)2

a) 1 b) -1 c) 2

d) 3 e) 2

7. Resolver:

x37 = 3

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5


8. Resolver:

61

2x

3x

21x

a) -1 b) 1 c) 2d) -3 e) 5

9. Resolver:

1n

nxm

mx

a) - nmmn b) m + n c) n-m

mn

d) m - n e) mn

10.Resolver:2(x - 5)2 + x2 = (x - 6)2 + 2(x2 - 1)

a) 6 b) 5 c) 2

d) -2 e) 21

Bloque II

1. Resolver: (x + 5)3 - x3 - 15x2 = 50

a) 0 b) -1 c) -2d) 1 e) 2

2. Resolver: 11x1x

a)45

b)54

c)41

d) 1 e) -1

3. Resolver: 32x13x Hallar la inversa de su solución

a) 3 b)31

c) 2

d) 4 e)41

4. Sea la ecuación de 1er grado:(m - 7) x2 + (m2 + 2m + 6)x + 3m + 2 = 0

Hallar “x”.

a) 0 b) 7 c)31

d) -31

e) -7

5. Resuelva c/u de las ecuaciones, luego indique:zy.x

A.

4x2x

2

21

B.

151

52

53

1

31

y

53

1

C. 23z5z2

5z23z

a)51

b) -71

c)41

d) 1 e) - 51

6. Resolver:

x5

)3-x2(x3-

3-2x1

a) 35

b) 34

c) 31

d) 3 e) - 31

7. Resolver:

ab)b-a(ax3

ab-x

bax2 2

a) 2b b) 2a c) a + bd) a - b e) 1

8. Resolver:

33x3)-2(x

-2x

)2-x(5

a) 27

b) 211

c) - 29

d) 21

e) - 21

9. Resolver:

1b-a

x)b-a(21-ba

bax2

b-ax

22

a) 2b-a

b) 2ba

c) a + b

d) a - b e) 3ba

10.Resolver:

1-

1x9

41

1x1-x-

213

a) b) 5 c) 4d) 3 e) 2

Bloque III

1. Resolver :

)cba(xabc1acx

bcx

abx

a)cba

abc

b)abc

cba

c) abc d) a + b + ce) 1

2. Resolver:

21

1x1x

1

1x1x

1x1x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resolver:

333 a5xaxa

a)45

a2 b)54

a2 c)4a2

d)5a2

e) a2

4. Marcar V o F

I. La ecuación: x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8)es indeterminado.

II. La ecuación : 3x + (x-5) = 2x - (-2x+3)es incompatible.

III. La ecuación: x19x8 es indeterminado.

a) VFV b) FFF c) VFF

d) VVV e) VVF

5. Calcular “n”, si la ecuación:(n + 1)2 x + 7 = (n - 3)2 x + 15

es incompatible

a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

6. Resolver:

c1

b1

a12

abc-x

acb-x

bca-x

abc 0

a) 1 b) a + b + c c) a + b - c

d) 2cba

e) a - b - c

7. Resolver:

1b-ax1b-a

bax1x

a) ba

b) 1ba c) 1-b

a

d) b1a

e) b1-a

8. Resolver:

1cba

x4a

x-cbb

x-cac

x-ba

a) a + b + c b) a - b - cc) a - b d) a + b

e) cba

9. Resolver:

cbaca

ac-xcb

bc-xba

ab-x

a) a + b + c b) ab + bc + ac

c) 2cba

d) cb-a

e) abc

10.Si: a b -c; resolver:

cac

1xab-c

a

1xc

ba

a) a b) c c) acd) ac + 1 e) ac - 1

1. Resolver: 8 - 3x + 25x2 = (1 - 5x)2

a) - 2 b) - 1 c) 0d) 1 e) 2

2. Resolver:5

4x4

3x3

2x2

1x

a)5367

b)6753

c)5337

d)3753

e) 1

3. Resolver: 42x6x , indicar: x2 + x + 1

a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9

Autoevaluación

4. Sea la ecuación de 1er grado:(a + 5) x2 + (a + 3) x + 7 - 3a = 0Hallar “x”.

a) 9 b) -5 c) -3d) 11 e) 12

5. Hallar “x” en:

33x1234

a) 1 b) 20 c) 30d) 40 e) 12

Claves1. b 2. a 3. a4. d 5. e

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Factorización I

Capítulo V

Aprendizaje y superación

Carlos A. Madrazo decía: “Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen éxito”. Porsupuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidadde fracasos que a través de ellos aseguran el éxito.

Si usted solamente intenta lo que está seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que logrará pocas cosas en lavida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, también le puedo predecir que usted será un triunfador.

La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que noha detenido su crecimiento y día a día busca su superación; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce untema: “No sé”, y esto le llega una gran cantidad de información que lo enriquece y que le asegura su permanentedesarrollo.

No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente está permitidopara aquellos que tienen la osadia de buscar su superación día a día.

CONCEPTOS PREVIOS

Factor o Divisor

es

Factor Algebraico

es

Factor Primo

si

Todo polinomio quedivide en forma exacta

a otro polinomio.

así

Todo polinomio degrado no nulo que

divide en forma exactaa otro polinomio.

Admite por divisoresa 1 y a si mismo.

asíasí

P = xy(x;y)

P = x(y - 1)(x;y)

P = xy(x;y)2

sus sussus

Divisores son:P = 11(x;y)

P = xP = yP = xy

2(x;y)

3(x;y)

4(x;y)

Divisores son:P =11(x;y)

P =xP =y - 1P =x(y - 1)

2(x;y)

3(x;y)

4(x;y)

No es factoralgebraico

Divisores son:P = 11(x;y)

P = xP = y

P = yP = xy

P = xy

2(x;y)

3(x;y)

4(x;y)

5(x;y)

2

26(x;y)

únicosfactoresprimos

FACTORIZACIÓN

Definición

Consiste en transformar un polinomio en otraequivalente expresada en una multiplicación de factoresprimos sobre un determinado campo numérico.

P = 2x - 5x + 3en (enteros)(x)

2

OBSERVACIONES

Un polinomio está sobre undeterminado campo numéricosi sus coeficientes pertenecena dicho campo numérico.

Factor primo o polinomio irre-ductible es todo polinomio degrado no nulo (no constante)que no se puede expresar co-mo la multiplicación de dos omás factores.

La factorización de un polino-mio lo realizamos en el campode los números enteros ( ) esdecir los factores primos de-ben presentar únicamentecoeficientes enteros.

Todo polinomio de primergrado : = ax + b;es irreductible en cualquiercampo numérico.

P(x)

Así

P(x) = 4x - 3

Así

Factorizar en :9x -4y = (3x+2y)(3x-2y)2 2

Así

P = x - 4 no es primopues: = (x+2)(x-2)(x)

2

P(x)

Así

Coeficientes enteros

R = 3x + 2ix + i

en C (complejos)(x)

2 3

Q(x) = x - 6 es primo

R(x) = x + 1 es primo2

Factorizar en lR:2x -3y = ( 2x + 3y)( 2x- 3y)2 2

Coeficientes reales

Factorizar en C:4x +1 = (2x + i) (2x - i)2

Coeficientes complejos

Q(x;y) = x + y - 1

R(x;y;z) = 2x - 3y + 4z

ZZ

Q = 5x + 3 x -1x+1 2en lR (reales)

(x)3 2

ZZ

ZZ

CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN

P = ax y +bx yfactor común : x y

(x;y)5 5 4 6

4 5

Eligen las basescomunes afectadas al

menor exponente.

Así

FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN IDENTIDADES ASPA SIMPLE

se

Seleccionan conveniente-mente los términos detal manera que genere

un factor común.

se

la aplicación inmediatade algunos productos

notables.

es

Aplicable generalmente atrinomios. El proceso consta

de 3 pasos:* Descomponer los extremos* Prueba de aspa* Escritura de los factores

es

P(x;y) = x y (ax+by)4 5

luego

Nota:Los factores primos de

son:P(x;y)

PPP

1(x;y)

2(x;y)

3(x;y)

= x = y = ax + by

P(x;y) = x +xy+xz+y +yx+yzagrupando de 3 en 3

2 2

Así

P

P

(x;y)

(x;y)

= x(x+y+z)+y(y+x+z)

factor común: x + y + z = (x+y+z)(x+y)

luego

A - B = (A+B) (A-B)2 2

Diferencia de cuadrados

A +B = (A+B) (A -AB+B )3 3 2 2

A + )3 3 2 2-B = (A-B) (A AB+B

Suma y Diferencia de cubos

Trinomio cuadrado perfecto

A +A B +B = (A +AB+B )(A -AB+B )4 2 42 2 2 2 2

Identidad de Argand

Así

P(x;y) = 2x +5xy+2y2 2

2x y = xyx 2y = 4xy

5xy

luego

P(x;y) = (2x+y)(x+2y)A +2AB+B = (A+B)2 2 2

A2 2-2AB+B = (A - B)2

Problemas resueltos

1. Factorizar: a3b4c5 + a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xyDar como respuesta el número de factores primos

Solución:

Extraemos el factor común: a2b3c5

E = a2b3c5 [ab + ay + bx + xy]Agrupando de 2 en 2:

E = a2b3c5 [(ab + ay) + (bx + xy)]E = a2b3c5 [a(b + y) + x(b + y)]

E = a2b3c5 (b + y) (a + x)Los factores primos son:

a; b; c; (b + y); (a + x) Total 5

2. Factorizar : P(x;y) = x2 + y2 + x(y+z) + y(x+z)Dar como respuesta la suma de factores primos

Solución:

Efectuando: P(x;y) = x2 + y2 + xy + xz + yx + yzAgrupando convenientemente:

P(x;y) = (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)

P(x;y) = (

perfectocuadradoTrinomio

22 xy2yx ) + (xz + yz)

P(x;y) = (x + y)2 + z(x + y)Factor común : (x+y)

P(x;y) = (x + y) (x + y + z)Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)La suma de factores primos es:

x + y + x + y + z2x + 2y + z

3. Factorizar: R = (x - 3)3 + 125

Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2dogrado.

Solución:

A potencia 3:R = (x - 3)3 + 53 suma de cubos

R = [(x - 3) + 5] [(x - 3)2 - (x - 3)(5) + 52]Desarrollando y reduciendo:

R = (x + 2)(x2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 25)R = (x + 2) (x2 - 11x + 49)

Factores primos:

gradoPrimer

2)(x gradoSegundo

2 )9411x-(x

Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39

4. Hallar la suma de los factores primos de:M = 2x5 + 5x4 - 26x3 - 65x2 + 72x + 180

Solución:

Agrupando de 2 en 2:M = (2x5 + 5x4) - (26x3 + 65x2) + (72x + 180)

Descomponiendo cada paréntesis:

M = x4 ( 5x2 ) - 13x2 ( 5x2 ) + 36 ( 5x2 )

Factor común : 2x + 5M = (2x + 5) [x4 - 13x2 + 36]

x2 -4x2 -9

-4x2

-9x2

-13x2Suman:

Luego:M = (2x + 5) (x2 - 4) (x2 - 9)M = (2x + 5) (x2 - 22) (x2 - 32)

Diferencia de cuadradosM = (2x + 5) (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)

Donde la suma de sus factores primos será:(2x + 5) + (x + 2) + (x - 2) + (x + 3) + (x - 3) = 6x + 5

5. Factorizar: P(x) = 4x4 - 101x2 + 25

Solución:P(x) = 4x4 - 101x2 + 25

4x2 -1x2 -25

-x2

-100x2

-101x2Suman:

Luego: P(x) = (4x2 - 1) (x2 -25)

Transformando cada factor a una diferencia decuadrados:

P(x) = [(2x)2 - 12] [x2 - 52]Finalmente:

P(x) = (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)


Bloque I

1. Factorizar:F(x;y;z) = x2 + xy + xz + yz

indicando la suma de factores primos.

a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+yd) x - y - z e) x + y - z

2. Factorizar:P(x) = x3 (x - 3) + 3x2(x - 3)

indicando el número de factores primos.

a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5

3. Factorizar:P(x) = x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28

Indicando un factor primo.

a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 8 e) x + 9

4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene elsiguiente polinomio?

P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Factorizar:F(x) = 8x6 + 7x3 - 1

indicar el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Factorice:P(x) = x4 - 16

indicando un factor primo.

a) x + 4 b) x2 + 4 c) x2 - 2d) x2 + 2 e) x2 - 4

7. Factorizar:P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy

Indicar el número de factores primos.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Factorizar:P(x; y; z) = x2 + xy + zx + zy + x + y

Indicar un factor primo.

a) x + y b) x + y + z c) x + 1d) z + 1 e) x + z - 1

9. Factorizar:P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2

e indicar la suma de factores primos.

a) 4x - 8y b) 4x + 8y c) 2x - 4yd) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2

10.Factorizar:P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4


a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2

Bloque II

1. Dar la suma de los términos independientes de losfactores primos de:

P(x,y) = x2 + 2x + xy + y + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. Un factor primo del polinomio:P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n

luego de factorizar es: xn + ym

II. Si factorizamos el polinomio:P(x;y;z) = (x3+y3+z3)3 - x9 - y9 - z9

se obtienen 7 factores primosIII. Factorizando:

P(x;y) = (x-y)3 - (x-y)2 - 2(x-y)la suma de sus factores primos es:

3x - 3y - 1

a) FFF b) VFF c) FVFd) VVV e) VFV

3. Factorizar:P(a;b;c) = (a-b)(a3-c3) - (a-c)(a3-b3)

la suma de sus factores primos es:

a) 3a-b-c b) 3a+b+c c) 3a-b+cd) 3a-b+1 e) 3a-3b+c

4. Factorizar:P(x;y;z)=x3+y3+z3+x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y

a) (x2+y2+z2) (x+y+z) b) (x3+y3+z3) (x+y+z)c) (x+y+z)3 d) (xy+xz+yz)2 (x+y+z)e) (x+y+z)(x2+y2+z)

5. Al factorizar:P(x) = x2 (x+2)2 + x2+2x - 12

I. Existen 2 factores primos de 2do grado.II. Existe un factor primo de 1er grado.III. El polinomio P(x) tiene 3 factores primos.

a) FFF b) FVV c) FFVd) VVV e) FVF

6. Factorizar:P(x; y) = x9y - x3y7


a) x2 + xy + y2 b) x2 - xy - y2 c) x2 + y2

d) x2 + y e) x2 - y

7. Factorizar:M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2


a) a - b - 2 b) a + b + 2 c) a + bd) a - b e) ab

8. Indicar el número de factores primos de:P(x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2

a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 2

9. Factorizar:P(x) = x2n + 1 + 3xn + 1 + xn + 3 - xn + 3x3 - 3


a) xn + 3 b) xn + 1 + x3 c) xn + 1

d) xn - 1 - 2 e) xn - 1

10.Indicar el número de factores primos de:P(x; y; z) = (x2 - y2 - z2)2 - (2yz)2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Bloque III

1. Factorizar el polinomio:P(a;b;c) = ac (a+c) + bc(a-b) - bc(b+c)

indicando un factor primo

a) 2b + c + a b) 2b + c c) 2a - bd) a - 2b e) a + 2c

2. Factorizar:P(x) = x7 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 + x + 1

indicando el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Factorizar:P(x) = (x4 - x3 + x2 - x + 1)2 - x4

indicando el número de factores primos

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. Factorizar:P(a;b;c) = a(b-c)2 + b(a-c)2 + c(a-b)2 + 9abc

indicando el factor de 2do grado

a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ac c) a+b+cd) abc e) a2+ab+b2

5. Factorizar:F(x;y) = 4x4 - y4 + 4xy2 + 1

a) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1+y2)b) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1-y2)c) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1-y2)d) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1+y2)e) (2x2-2x-1+y2) (2x2-2x-1-y2)

6. Indicar el número de factores primos de:M(a; b; c) = 144a11b2 - 436a9b4 + 100a7b6

a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) 6

7. Indicar un factor de:P(a) = a12 - 6a8 + 5a4 + 2a6 - 6a2 + 1

a) a6 + 1 b) a6 + 1 - 5a2 c) a6 - 1 - a2

d) a6 - a2 e) a6 + a2 + 2

8. Indicar un factor de:M(x; y; z) = (x + y + z)(x - y + z) - (x + y)(x - y)

a) 2x - z b) z c) z + xd) z - x e) 2z - x

9. Factorizar:T(a; b; m) = 12abm2 - (16a2 - 9b2)m - 12ab

indicar un factor

a) 4am + 3b b) 3mb c) 3mb - 4d) 3b - 4 e) 4am - 3b

10.Indicar el número de factores de:P(m; n; p) = (2m + 3n - p)2 - 14m - 21n + 7p - 18

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

1. Factorizar: P(x;y) = x3y2 - y5

indicar la suma de factores primos.

a) y2 + x - y + x2 + xy b) x + x2 + xy + y2

c) y2 + x3 - y3 d) y + x3 - y3

e) xy + y + 1

2. Dar uno de los factores primos del polinomio:P(a;b;c) = a(b2+c2) + b(c2+ba2)

a) 2a + b b) 2a - b c) a + bd) a - 3b e) a + 3b

3. Factorizar: F(a;b;c) = (a - b) (a2 - c2) - (a - c) (a2 - b2)indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Factorizar :P(a;b;m;n) = 2003am + 2003bm - 2003an - 2003bn

indicando un factor primo.

a) m - n b) m + n c) m + 2nd) a + 2b e) a - 2b

5. Factorizar: P(x) = (x + 3)2 - 49indicando un factor primo.

a) x + 2 b) x + 10 c) x + 20d) x + 18 e) x + 4

Autoevaluación

Claves1. b 2. c 3. c4. a 5. b

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Potencialidades

Todos los seres humanos poseemos potencialidades y también limitaciones; un ser humano sin cualidades sería un monstruo yun ser sin defectos no sería humano, sería un querubín. Todos los seres humanos tenemos una vocación, un llamado a ser; elproblema es descubrir esa potencialidad y posteriormente pagar la colegiatura para realizar plenamente ese ser.

Debemos preguntarnos con toda sinceridad: “¿Quién deseo ser? ¿Qué deseo lograr en la vida? ¿Qué quiero realizar? ¿Qué megustaría hacer?” Estoy seguro de que hay cierto tipo de actividades que usted goza plenamente al realizarlas, y es ahí donde ustedexpresa plenamente su potencialidad. ¿Cuáles son?, ¿ya las identificó? Desafortunadamente muchas de esas tareas las tenemosrelegadas como pasatiempo de fin de semana y esperamos ansiosamente un día de descanso para dedicarnos a aquello en lo quenos sentimos plenamente realizados.

Muchas veces como padres de familia cometemos el error de forzar a nuestros hijos a ser lo que no desean ser. Imagínese: elpadre de Miguel Ángel Buonarroti quería que su hijo fuera comerciante, pero el hijo, desafiándolo, luchó por ser escultor, y quéescultor, uno cuya obra ha trascendido a través de los siglos. Pero cuántos, tal vez miles, no han tenido el valor de Miguel Ángel yse han muerto con todo su potencial dormido. El más usual de los epitafios reza así: “Fulano de tal nació, vivió y murió, y nunca supopara qué existió”.

Factorización II

Capítulo VI

ASPA DOBLE

forma general

Procedimiento

P = ax + bx y + cy + dx + ey + f(x;y)2n n m 2m n m

si le faltase un término, completar con el cerot1 t2 t3 t4 t5 t6

paso 1

Aspa simple a los términos : t ; t y t1 2 3

Aspa simple a los términos: t ; t y t3 5 6

los factores se adoptan horizontalmente

paso 2

paso 3

Aspa simple de comprobación: t ; t y t1 4 6

paso 4

ASPA DOBLE ESPECIAL

forma general

Procedimiento

si le faltase un término, completar con el cero

P = ax + bx + cx + dx + f(x)4n 3n 2n n

t1 t2 t3 t4 t5

paso 1

Descomponer los términos "t " y "t " de modoque el producto en aspa determine un

término cuadrático.

1 5

los factores se adoptan horizontalmente

paso 2

paso 3

paso 4

Descomponer el término que resulta dehacer la diferencia del término central y eltérmino cuadrático obtenido en el paso 1.

Si esta expresión fuese correcta, almultiplicar en aspa debe verificar lostérminos segundo (t ) y cuarto (t ).2 4

DIVISORES BINÓMICOS

se

Procedimiento

Utiliza para factorizar polinomios degrado mayor o igual a tres.

paso 1

Determinar el rango de aquellos posiblesvalores que anulan al polinomio.

paso 2

paso 3

En base a estos valores realize evaluacioneshasta conseguir algún valor que logre anularlo

: Todo valor que anula al polinomio genera un factor de 1er grado.Nota

Para conseguir el otro factor o factoresaplicaremos Ruffini cuántas veces

sea necesario.

si

Problemas resueltos

1. Factorizar: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x - 3

Solución:

Completamos con 0 y; aplicamos luego aspa doble.

P(x;y) = 5x + 8xy + 3y + 2x + 0y - 32 2

5x

x

3y

y

- 3

1I IIIII

I. 5xy3xy8xy

+II. 3y

-3y 0y

+III. 5x

-3x 2x

+

Luego:P(x;y) = (5x + 3y - 3) (x + y + 1)

2. Factorizar: Q(x;y;z) = 2(x2 + y4 + z6) - 5y2 (x + z3) + 4xz3

Solución:

Efectuando:Q(x;y;z) = 2x2 + 2y4 + 2z6 - 5y2x - 5y2z3 + 4xz3

Ordenando convenientemente para aplicar el aspadoble:

Q(x;y;z) = 2x - 5xy + 2y + 4xz - 5y z + 2z2 2 4 3 2 3 6

2x

x

-y

-2y

2

2

2z

z

3

3I III II

luego:Q(x;y;z) = (2x - y2 + 2z3) (x - 2y2 + z3)

3. Factorizar: P(x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2

Solución:

* Paso 1: Descomponemos los extremos y obtenemosel resultante de las aspas.

P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2

x2

x2

1

2Aspas = 3x2

* Paso 2: Obtenemos :

= 45x - 3x = 42x2 2 2

términocentral

Aspas

* Paso 3: Se debe verificar 13x3 y 20x mediante ladescomposición apropiada de:

42x2 7x

6x

P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2

x2

x2

1

2

7x

6x

* Paso 4:P(x) = (x2 + 7x + 1) (x2 + 6x + 2)

4. Factorizar : P(x) = 16x4 - 8x3 - 16x2 - 22x - 15

Solución:

P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2

4x2

4x2

3

-5Aspas = -8x2

= -16x - (-8x ) = -8x2 2 2 2x

-4x

P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2

4x2

4x2

3

-5

2x

-4xFinalmente :

P(x) = (4x2 + 2x + 3) (4x2 - 4x - 5)

5. Factorizar: P(x) = x3 - x2 - 2x - 12

Solución:

* Paso 1:

Cálculo de los posibles valores que anulan alpolinomio: cómo el polinomio es mónico usaremoslos divisores de 12: ±(1; 2; 3; 6).

* Paso 2:

Evaluando:Para: x = 1 P(1) = 13 - 12 - 2(1) - 12 = -14 (No)Para: x = -1 P(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 2(-1) - 12

= -12 (No)Para: x = 2 P(2) = 23 - 22 - 2(2) - 12 = - 12 (No)Para: x = 3 P(3) = 33 - 32 - 2(3) - 12 = 0

P(3) = 0 (x - 3)es un factor del polinomio P(x)

* Paso 3:

Aplicando Ruffini :3x

P )x(

x = 3

1 -1 -2

3 6

1 2 4

-12

12

0

q(x) = x2 + 2x + 4Finalmente:

P(x) = (x - 3) (x2 + 2x + 4)

6. Factorizar: P(x) = 2x3 + x2 + x - 1

Solución:

* Paso 1:El polinomio no es mónico, usaremos opcionalmente:

divisores del término independientedivisores del coeficiente principal

2;11

* Paso 2:Evaluamos:

Para: x = 1 P(1) = 2(1)3 + 12 + 1 - 1 = 3 (No)Para: x = -1 P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 + (-1) - 1 = -3 (No)

Para: x =21 01

21

21

21

2P23

21

entonces

21

x es un factor

* Paso 3:

Utilizando Ruffini :

21

x

P )x(

x = 1 2

2 1 1

1 1

2 2 2

-1

1

0

Finalmente:

P(x) =

21-x (2x2+2x+2) =

21-2x

(2)(x2+x+1)

P(x) = (2x - 1) (x2 + x + 1)


a) 5x+2y+3 b) 5x+y-3 c) 5x+2y-3d) x+y+1 e) x+2y+3

2. Factorizar:P(x;y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1

indicando uno de los factores primos

a) x-y-1 b) 3x-y+1 c) 3x+y-1d) x+y-1 e) 3x+y+1

3. Factorizar:P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6

Indique el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Factorizar:P(x) = x4 - 2x3 -10x2 + 5x + 12

a) (x2 + x - 3) (x - 4) (x + 1)b) (x2 + x - 3) (x + 4) (x - 1)c) (x2 + x + 3) (x - 4) (x + 1)d) (x2 + x + 3) (x - 4) (x - 1)e) (x2 + x - 3) (x - 4) (x - 1)

5. Factorizar:P(x) = x3 - 11x2 + 31x - 21

a) (x - 1) (x - 7) (x + 4)b) (x + 1) (x + 7) (x + 3)c) (x - 1)(x + 7)(x - 3)d) (x - 1)(x - 7)(x + 3)e) (x - 1)(x - 7)(x - 3)

6. Factorizar:P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4


a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2

7. Factorizar:P(x; y) = 10x2 + 11xy - 6y2 - x - 11y - 3

Indicar un factor.

a) 5x - 2y - 3 b) 5x - 2y c) 2x + 3yd) 2x - 3y + 1 e) 2x - 3y

8. Indicar un factor de:P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 7x + 1

a) x2 + 3x - 1 b) x2 + 3x + 1c) x2 - 4x d) x2 + 4x - 1e) x2 + 1

9. Indicar un factor de:C(x) = x3(x + 1) + 2x2 + 5(x - 3)

Bloque I

1. Factorizar:P(x;y) = 6x2+7xy-3y2+11x-11y-10

indicando la suma de sus factores primos

a) x2 - 5 b) x2 + 5 c) x2 - x - 3d) x2 - 3 e) x2 + 3

10.Indicar un factor de:P(x) = x3 + 5x + 6

a) x - 1 b) x + 1 c) x + 3d) x - 3 e) x + 2

Bloque II

1. Factorizar:P(x;y;z) = 2x2 - 2y2 - 3z2 - 3xy + 7yz - xz

indicando la suma de sus factores primos

a) 3x-y-2z b) 3x+y+2z c) x-y-2zd) x-y+z e) 3x-3y-2z

2. Factorizar:P(x) = x4 + 5x3 - 7x2 - 29x + 30

indicar la suma de todos los factores primos.

a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5d) 4x + 6 e) 4x + 7

3. Factorizar:P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6

indicar la suma de coeficientes de un factor primo

a) -3 b) 0 c) 2d) -4 e) 1

4. Factorizar:P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24

indicar la suma de los términos independientes de losfactores primos

a) -7 b) -5 c) -3d) 4 e) 6

5. Factorizar:P(x) = x4 + 2x2 + 9

indicar un término de un factor primo

a) x b) 6x c) 7xd) x2 e) 9

6. Factorizar:H(x) = x3 - 7x + 6

Indicar un factor.

a) x - 3 b) x + 2 c) x - 1d) x + 1 e) x

7. Indicar un factor de:M(x) = 2x3 - 5x2 - 23x - 10

a) x - 2 b) x + 5 c) 2xd) x - 5 e) x + 3

8. Indicar un factor de:B(x) = x4 + 4x2 + 16

a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 - 2xd) x2 - 2x + 3 e) x2 + 6x - 1

9. Indicar la suma de coeficientes de los factores primosde:

I(x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

10.Indicar un factor de:M(x) = 6x6 - 5x5 - 6x4 - 13x2 - 6

a) 2x3 - 2 b) 2x3 - 3x2 + 2c) 2x3 - 3x2 - 2 d) x3

e) x3 - 1

Bloque III

1. Factorizar:P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 + x2 - 8x - 4

indique V o F

I. El polinomio tiene 5 factores primos.II. El polinomio tiene 3 factores primosIII. La suma de sus factores primos es 3x + 2IV. Uno de los factores primos es (x + 2)2

a) FVFF b) VVVV c) FVVVd) FVVF e) VVVF

2. Factorizar:P(x;y) = 24x3y2+60x2y2-6xy4 + 6xy3 + 36xy2

a) 6xy2 (x + y + 1)(2x - y + 3)b) 6xy2 (x + y + 2)(2x - y + 3)c) 6xy2 (2x + y + 2)(x - y + 3)d) 6xy2 (2x + y - 2)(2x - y - 3)e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x - y + 3)

3. Factorizar:P(x) = x5 + x + 1

a) (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)c) (x2 - x - 1) (x3 - x2 + 1)d) (x2 - x - 1) (x3 + x2 + 1)e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 - 1)

4. Factorizar:P(x) = 12x3 + 8x2 - 3x - 2

a) (3x + 2)(2x - 1)(x - 2)b) (3x - 2)(2x - 1)(x - 1)

c) (3x + 2)(2x - 1)(x - 1)d) (3x + 2)(2x + 1)(2x - 1)e) (3x + 2)(2x + 1)(x - 1)

5. Factorizar:P(x) = x12 - 3x9 - 7x6 + 27x3 - 18

a) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3-5)(x3-3)b) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)c) (x+1)(x2-x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)d) (x-1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3-3)e) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+4)(x3-3)

6. Indicar un factor de:P(x; y; z) = 6x2 - 20y2 - 14z2 + 7xy + 38yz - 17xz

a) 3x - 4y + 2z b) 3x - 4y + 2c) 3x + 2y d) 2x + 5ye) 2x + 5y - 7

7. Indicar un factor de:P(x; y; z) = 10x2 - yz + 3y2 - 17xy + 5xz

a) y - x b) 2x + 3y + z c) 5x - yd) 2x - 3y - z e) 5x + y

8. Dar un factor primo de:P(x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1

a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2 + x - 1d) x3 - x - 1 e) x2 - x + 1

9. Factorizar:F(n) = (n + 1)2[n2 + 2n + 9] + 5(n + 1)[n2 + 2n + 2] + 1indicar un factor primo.

a) n + 7 b) n + 8 c) n + 2d) n + 6 e) n + 10

10.Indicar la suma de términos independientes de susfactores primos:

P(n) = (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2

a) 3 b) -1 c) 4d) 2 e) -2

1. Factorizar:P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9

indicar un factor primo

a) 2x + 5y + 3 b) 2x + 5y + 4c) 2x + 5y + 5 d) 2x + 5y + 6e) 2x + 5y + 7

2. Factorizar:P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18

indicar la suma de factores primos

a) 5x + 7y + 8 b) 5x + 4y + 8c) 5x + 7y + 9 d) 4x + 7y + 6e) 4x + 6y + 7

3. Factorizar:P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18

a) (x2 + x + 3) (x2 - x + 6)b) (x2 + 5x + 6) (x2 - 2x + 6)c) (x2 - 5x + 3) (x2 - 2x + 6)d) (x2 + 5x - 3) (x2 + 2x - 6)e) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)

4. Factorizar:P(x) = x3 - x - 6

a) (x + 2) (x2 + 2x + 3)b) (x - 2) (x2 + 2x + 3)c) (x + 1) (x2 + 2x + 6)d) (x - 1) (x2 - 2x + 6)e) (x - 2) (x2 - 2x + 3)

5. Factorizar: P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6indicar un factor primo

a) x - 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 4 e) x + 6

Autoevaluación

Claves1. a 2. c 3. e4. b 5. a

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Ecuaciones de segundo grado

Capítulo VII

Fracaso y éxito

El fracaso tiene mil excusas, el éxito no requiere explicación. Cada vez que no logramos algo siempre tenemos unamagnífica disculpa; el mediocre busca instintivamente una justificación para su fracaso y, por supuesto, siempre juega elpapel de víctima.El triunfador es siempre una parte de la respuesta; el perdedor es siempre una parte del problema.El triunfador dice: “Podemos hacerlo”; el perdedor dice: “Ése no es mi problema”.El triunfador siempre tiene un programa; el perdedor siempre tiene una excusa.El triunfador ve siempre una respuesta para cualquier problema; el perdedor ve siempre un problema en toda respuesta.El triunfador ve una oportunidad cerca de cada obstáculo; el perdedor ve de dos a tres obstáculos cerca de cada oportunidad.El triunfador dice: “Quizá es difícil, pero es posible”; el perdedor dice: “Puede ser posible, pero es demasiado difícil”.

ECUACIÓN DE 2do GRADO

Forma Formación de la ecuación

ax + bx + c = 0 ; a 02 depende

suma

se resuelve por

Factorización Fórmula

AB = 0

A=0 B=0 x =1,2 2a

-b b -4ac 2

A = b - 4ac2

Discriminante

si

A > 0

Raíces realesdiferentes

A = 0

Raícesiguales

A < 0

Raícescomplejas

y conjugadas

A 0

Raícesreales

>

x x1 2 x = x1 2 x = m + nix = m - nim; n lR,

además: i = -1

1

2

producto

Diferencia

se debe tener

Suma :S = - b a

Producto :P = c a

donde

x - Sx + P = 02

OBSERVACIONES

Operaciones con raíces Ecuaciones cuadráticasequivalentes

suma de inversas si si si las ecuaciones

ax +bx+c = 0 ; a 0mx +nx+p=0 ; m 0

2

2

1x1

+1x2

=x + x

x x1 2

1 2

suma de cuadrados se cumplese cumple

tienen

las mismas raíceso soluciones

x + x = (x +x )-2x x1 2 1 2 1 22 2 2 x + x = 01 2

x x = 11 2

suma de cubos

x + x = (x +x )-3x x1 2 1 2 1 23 3 3 (x +x1 2)

suma, producto y diferencia

(x +x ) - (x -x )= 4x x1 2 1 2 1 22 2

se cumple

bn

am

cp= =

Teorema:(Raíces irracionales conjugadas)

Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0 de raíces “x1” “x2”; donde (a; b; c) Q (coeficientes racionales).

Si: x1 = m + n es una raíz irracional, entonces:

x2 = m - n es la otra raíz irracional conjugada.

C.S. = {m + n ; m - n }

Teorema:(Raíces complejas conjugadas)

Sea la ecuación : ax2 + bx + c = 0; a ¹ 0 de raíces “x1” “x2” ; donde (a; b; c) lR.

Si: x1 = m + ni es una raíz compleja, entonces:x2 = m - ni; es la otra raíz compleja conjugada.

C.S. = {m + ni ; m - ni} m; n lR.

Problemas resueltos

1. Resolver:2abx2 - (b2 + 6a2)x + 3ab = 0; ab 0

Solución:

Aplicando aspa simple:

2abx - (b + 6a )x + 3ab = 02 2 2

2ax

bx

-b

-3a

-b x2

-6a x2

-(b +6a )x2 2

Luego :(2ax - b) (bx - 3a) = 0

2ax - b = 0 bx - 3a = 0

x =a2b x =

ba3

C.S. =

ba3

;a2b

2. Calcular los valores de “m” que hacen que la ecuación:2x2 - mx + (m + 6) = 0 ; tenga raíces iguales.

Solución:

Las raíces de la ecuación serán iguales, si eldiscriminante:

= b2 - 4ac = 0 ......

De la ecuación :

6mcmb

2a

Reemplazando en ():(-m)2 - 4(2)(m+6) = 0 m2 - 8m - 48 = 0

m -12m +4

(m - 12)(m + 4) = 0

m - 12 = 0 m + 4 = 0Finalmente : m = 12 m = -4

3. Determinar la suma de los valores de “k” que hacenque la suma de las raíces de la ecuación:

x2 + kx + 2x - k2 + 4 = 0sea igual al producto de las mismas.

Solución:

Dando forma a la ecuación:1x2 + (k+2)x + (4 - k2) = 0

Según el problema:x1 + x2 = x1 x2

1k4

1)2k( 2

- k - 2 = 4 - k2

k2 - k - 6 = 0k - 3k +2

(k - 3) (k + 2) = 0

De donde: k - 3 = 0 k + 2 = 0k = 3 k = - 2

4. Determinar el valor de “p” en la ecuación:x2 - 6x + 4 + p = 0

sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2.

Solución:

Por propiedad:a

xx 21

Dato del problema : x1 - x2 = 2

Reemplazando datos :

1)p4)(1(4)6(

22

2p41636

Elevando al cuadrado : 20 - 4p = 4 4p = 16 p = 4

5. Hallar el valor de “n” para que las raíces de la ecuación:

1n1n

2x5x3x2

sean simétricas.

Solución:

Multiplicando en aspa se tiene:(n + 1) (x2 + 3x) = (n - 1) (5x + 2)

Efectuando :(n+1)x2 + 3(n+1)x = 5(n - 1)x + 2(n - 1)

Transponiendo y agrupando:(n + 1)x2 + [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - 2(n - 1) = 0

(n + 1)x2 + (-2n + 8) x - 2 (n - 1) = 0Las raíces de la ecuación serán simétricas, si:x1 + x2 = 0

01n

)8n2(

-2n + 8 = 0 2n = 8Finalmente: n = 4

6. Forma la ecuación de 2do grado de coeficientes reales, siuna de sus raíces es: x1=2 - 5i

Solución:

Por teorema de raíces complejas conjugadas, si:x1 = 2 - 5i entonces la otra raíz esx2 = 2 + 5iPara formar la ecuación se necesita:

)i52)(i52(xxP4i52i52xxS

21

21

= 22 - (5i)2 = 4 - 25i2

pero: 1i1i 2 Reemplazando:

P = x1x2 = 4 - 25 (-1) = 29Luego la ecuación es: x2 - Sx + P = 0Es decir: x2 - 4x + 29 = 0


Bloque I

1. Hallar las raíces de la ecuación:3x2 - x - 10

a)

2;

35

b)

5;

23

c)

2;35

d)

5;23

e) {5; -2}

2. Hallar una raíz de la ecuación:2x2 - 3x - 3 = 0

a)3

322 b)

43313

c)2

323

d)4

333 e) 3

3. Siendo: “x1” “x2” las raíces de la ecuación:2x2 - 5x + 1 = 0

Hallar :21 x

1x1

E

a) 2 b) 3 c) 6d) 4 e) 5

4. Siendo “” y “” raíces de la ecuación:2x2 - 6x + 1 = 0

Hallar :M

a) 16 b) 15 c) 14d) 13 e) 12

5. Calcular “m”, si una raíz de la ecuación:x2 - mx + 8 = 0, es: x = 2

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

6. Hallar una raíz de:6x2 + x - 12 = 0

a) 23

b) 34

c) - 34

d) -4 e) 3

7. Resolver:

x3x184-

x5

3xx2

2

a) 21

b) 23

c) - 21

d) 2 e) 1

8. Resolver:x2 + 4x + 2 = 0

Indicar una raíz.

a) - 2 + 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2

d) 2 - 2 e) 2

9. Hallar una raíz de:x2 + 6x + 7 = 0

a) -3 + 2 b) 3 + 2 c) 3 - 2

d) 3 e) 3 + 1

10.Resolver:12x2 + 60x + 75 = 0

a) 25

b) 52

c) - 25

d) 21

e) 5

Bloque II

1. Hallar “a” (a>0), si la ecuación:9x2 - (a + 2)x + 1 = 0

presenta raíces iguales.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

2. Hallar “m”, si la ecuación:x2 - (m+7)x + 25 = 0

presenta raíz doble (m>0)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Hallar “m”, si la ecuación:3x2 - (3m - 600)x - 1 = 0

posee raíces simétricas.

a) 0 b) 50 c) 100d) 150 e) 200

4. Hallar “k”, si la ecuación:(2k - 1)x2 - 7x + (k+9) = 0

posee raíces recíprocas

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

5. Dada las ecuaciones:(n-1)x2 - 3(n+5)x + 10 = 0 ...... (I)(m-2)x2 - (m+7)x + 2(9m+1) = 0 ...... (II)

La suma de raíces de la ecuación (I) es 12 y el productode raíces de la ecuación (II) es 20. Calcular “mn”

a) 63 b) 64 c) 65d) 66 e) 67

6. Si x1; x2 son raíces de:x(x - 6) = -3

obtener:T = (1 + x1)(1 + x2)

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

7. La suma de las inversas de las raíces de la ecuación:(a - 2 )x

2 - 2ax - (3 - 2a) = 0es 10/7. Calcular “a”.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 6

8. Si:(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0

tiene raíz doble, calcular el valor de:(m2 + m + 1)

a) 3 b) 13 c) 21d) 7 e) 31

9. Hallar el valor de “n” si:x2 - 2(n - 3)x + 4n = 0

tiene única solución.

a) 3 b) 7 c) 9d) 1 e) -3

10.Hallar una raíz:

9-x36

3x5

3-xx2

2

a) 217

b) 27

c) 3

d) - 217

e) -3

Bloque III

1. Formar la ecuación de 2do grado de coeficientes

racionales, si una de sus raíces es: x1 = 7 - 2

a) x2 - 14x + 49 = 0 b) x2 - 14x + 45 = 0c) x2 - 14x + 47 = 0 d) x2 + 14x - 47 = 0e) x2 - 14x - 47 = 0

2. Para que una de las raíces de la ecuación:ax2 + bx + c = 0

sea el triple de la otra, la relación de coeficientes debeser:

a) 16b2 = 4ac b) 16b2 = 3ac) 3b2 = 16a d) 3b2 = 16ace) 9b2 = 16ac

3. Indique (V) o (F):

I. En: abx2 - (a2 - b2)x = ab, una raíz es -ab

II. Si: ...222x entonces: x = 2 .

III. La mayor raíz de (x-4)2 + (x-5)2 = (x - 3)2 , es: x = 8

a) VFF b) VVV c) FFVd) VFV e) VVF

4. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:

1a

a;

1a

a

a) (a - 1)x2 - 2ax + a = 0b) (a - 1)x2 + 2ax + a = 0c) (a + 1)x2 - 2ax + a = 0d) (a - 1)x2 - ax + a = 0e) x2 + ax + 1 = 0

5. Dada la ecuación:2x2 - 12x + (p + 2) = 0

Calcular “p”, para que la diferencia de sus raíces sea 2.

a) -14 b) -7 c) -1d) 1 e) 14

6. Hallar una raíz:

8xx8x164a-1

x)-(a-)ax-1( 4322

22

a) 5 b) -3 c) 2

d) 4 e) - 35

7. Para qué valor de m (m 0) las raíces de:(m + 4)x2 - 3mx + m - 1 = 0

difieren de 1.

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

8. Calcule “a” ZZ para que:ax2 - (a + 3)x + 5 - a = 0

tenga una sola raíz.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

9. Si:(b - 1)x2 + 2bx + c = 0

tiene raíces iguales, hallar el mayor valor de “c”, sabiendoque “b” es único.

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

10.En:2x2 - (m - 1)x + (m + 1) = 0

¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raícesdifieran en uno?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

1. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.(m - 2)x2 - (5m + 5) x + 8 = 0

a) 0 b) 1 c) 5d) 15 e) 25

2. Hallar “k” (k<0), si la ecuación:9x2 - kx + 4 = 0

posee raíces iguales.

a) 12 b) 14 c) 16d) -16 e) -12

3. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son recíprocas:(m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0

a) 1 b) 2 c) 6d) 7 e) 8

4. Hallar “n”, si una raíz de la ecuación:x2 + (n + 6)x + 6n = 0, es: x = 3

a) -3 b) -2 c) 1d) 2 e) 3

5. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:

34x

34x

2

1

a) x

2 - 8x + 13 = 0 b) x2 + 8x + 13 = 0

c) x2 - 2 3 x + 16 = 0 d) x2 - 8x + 13 = 0e) x2 - 8x + 3 = 0

Autoevaluación

Claves1. c 2. e 3. c4. a 5. a

CIENCIAS - PAMER4

AÑOÁLGEBRA

Una demostración imposible

2 = 1

Paso 1:Partimos de la igualdad : x = y

Paso 2:Multiplicando por “x” : x2 = xy

Paso 3:Restando y2 : x2 - y2 = xy - y2

Paso 4:Descomponiendo en factores:

(x + y)(x - y) = y (x - y)

Paso 5:Dividimos por “x - y” : x + y = y

Paso 6:Como: x = y, resulta : y + y = y

2y = y

Paso 7:Dividimos por “y” : 2 = 1

Nota:Alguno de los pasos dados es incorrecto. La regla, que seha utilizado mal en la demostración esta relacionada con ladivisión. ¿Cuál es?.

Repaso

Capítulo VIII


1. Hallar el número de factores primos del polinomio:P(x;y) = 13x10y5 - 26x7y8 + 39x11y9

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Dar un factor primo de:P(x) = (x-3)(x-2)(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)

a) x - 3 b) x + 3 c) x + 2d) x - 2 e) x + 5

3. Dar la suma de factores primos de:P(a;b;c;d) = a2 + 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2

a) a + b b) 2a + 2b c) 2c + 2dd) c + d e) 3a + 3b

4. Factorizar:F(x;y) = x2(x - y)2 - 14xy2(x - y) + 24y4

dar un factor primo

a) x + 2y b) x - 3y c) x - 4yd) x - y e) x + 8y

5. Factorizar:F(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6

a) (x - 1)(x + 2)(x - 3) b) (x + 1)(x - 2)(x + 3)c) (x - 1)(x - 2)(x - 3) d) (x + 1)(x + 2)(x + 3)e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)

6. Resolver:16x-[3x - (6-9x)] = 30x+[-(3x+2) - (x+3)]

a) 6 b)43

c)21

d)31

e)32

7. Resolver:

82x

1x

2x7x3

a) -3 b) 1 c) 2d) 5 e) -4

8. Si las raíces de la ecuación:x2 + px + q = 0

son “p” y “q”, indicar una de dichas raíces.

a) 4 b) -2 c) 3d) -3 e) 2

9. Formar la ecuación de 2do grado, si sus raíces son:

1mmx

1mmx

22

21

a) 2x2 - mx + 2 = 0 b) 2x2 - 4mx + 2 = 0c) 2x2 - 2mx + 1 = 0 d) 2x2 - 2mx + 2 = 0e) 2x2 - mx + 1 = 0

10.Dada la ecuación:(2m + 2)x2 + 4x - 4mx + m - 2 = 0

Hallar la suma de raíces, sabiendo que estas soninversas.

a)103

b)31

c) 3

d)3

10e) 1

11.Calcular “m” en la ecuación:3x2 - 7x + m = 0

Si una raíz es seis veces la otra

a) 3 b) -1 c) -2d) 4 e) 2

12.Calcular (x1 - x2)2, si “x1” “x2” son raíces de laecuación:

x2 + 7x + 5 = 0

a) 19 b) 29 c) 39d) 18 e) 24

13.Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son iguales.x2 - 2 (1 + 3m)x + 7 (3 + 2m) = 0; (m>0)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14.Relacione correctamente, sea la ecuación:cx2 + ax + b = 0; c 0

donde “x1” y “x2” son sus raíces.

1. Raíces reales iguales. ( )2. x1 + x2 ( )3. Discriminante ( )4. x2 = 16 ( )5. x1 - x2 ( )6. Raíces complejas conjugadas ( )7. x2 = 10x ( )8. x1 x2 ( )9. 2x2 - 5x + 2 = 0 ( )10.Raíces reales diferentes ( )11.El polinomio:

P(x) = x3 - x ; tiene: ( )12.La ecuación :

51

1-x4

51x2

1-x4 es: ( )

13.La ecuación: ( )x - (2x + 1) = {8 - (3x + 3)} + 2x-6 es:

14.El polinomio:H(x) = 2(x - 1)4 (x + 2)7 tiene: ( )

15.Unidad imaginaria. ( )

Relacionar:

a)cb

b) = a2 - 4cbc) x = 0 x = 10d) Raíces recíprocase) = 0

f) -ca

g) > 0h) x = 4 x = -4i) < 0

j)|c|cb4-a2

k) Dos factores primosl) Compatible indeterminadoll) incompatible

m) i = (0; 1) = 1n) tres factores primos

15.Resolver:

)ba()ba(a2

x)ba()ba(

x)b-a(22222

a) 22

22

ba

ba

b)

ab2ba 22

c)ab

ba 22

d)baba 22

e) 2

22

)ba(

ba

1. Resolver:9x - (5x + 1) - {2 + 8x - (7x - 5) + 9x} = 0

a) 3 b) -41

c) -34

d) -3 e)32

2. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:(m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0

son recíprocas.

a) 1 b) 2 c) 6d) 7 e) 8

Autoevaluación3. Formar la ecuación de 2do grado, sabiendo que sus

raíces son:

i32

31

x

i32

31

x

2

1

; donde: i2 = -1

a) 9x2 - 6x + 5 = 0 b) 9x2 + 6x - 5 = 0c) 9x2 + 2x + 5 = 0 d) 9x2 + 6x + 5 = 0e) 9x2 - 6x - 5 = 0

4. Encontrar el valor de “p”, si una raíz es el doble de laotra en la ecuación:

x2 + 6x + p = 0

a) 1 b) 6 c) -6d) -8 e) 8

5. Hallar “k”, si las raíces de la ecuación son iguales:x2 - 6x + k = 0

a) 1 b) -9 c) 9d) 4 e) -4

Claves1. c 2. c 3. e4. e 5. c

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