httAxiomaEn epistemología un axioma es una”verdad evidente” que no admite demostración, mediante la

intuición racional; sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen

otros conocimientos. No todos los epistemólogos están de acuerdo que los axiomas existan de

esa manera. En matemáticas un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una

expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se

distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta

complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema

de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no

demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética,

puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se

pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es

demostrable ¡y por tanto P es verdadero!

etimologíaLa palabra axioma viene del griego αξιωμα (axioma) que significa “lo que parece justo” o aquello

que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego

αξιοειν (axioein) que significa “valorar”, que a su vez viene de αξιος (axios) que significa

“valuable” o “digno”. Entre los antiguos filósofos griegos un axioma era aquello que parecía ser

verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

matemáticasEn el campo de la lógica matemática, se hace una clara distinción entre las dos nociones de

axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

Axiomas Lógicos

Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que

son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos

coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo

cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma

como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las

tautologías en el lenguaje.

Ejemplos

En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes,

donde  ,  , y   pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje:

1.

2.

3.

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número

infinito de axiomas. Por ejemplo, si A, B, y C son variables proposicionales,

entonces   y   son instancias del

esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puede probarse que con solamente estos tres esquemas

de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías

del cálculo proposicional, también puede probarse que ningún par de estos esquemas es

suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de

esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero son necesarios más

axiomas lógicos.

Ejemplo Sea   un lenguaje de primer orden. Para cada variable  , la fórmula   es

universalmente valida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable  , la fórmula   puede considerarse un

axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de “nociones primitivas”,

primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con   o un definir un

uso puramente formal y sintáctico del símbolo  , y de hecho, la lógica matemática lo hace.

Ejemplo Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula   en un

lenguaje de primer orden  , una variable   y un término   que es sustituible por   en  , la

fórmula   es válida universalmente.

En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una cierta

propiedad   se cumple para toda   y que si   es un objeto particular en nuestra estructura,

entonces deberíamos ser capaces de afirmar  . De nuevo, estamos afirmando que la

fórmula   es válida, esto es, debemos ser capaces de dar una prueba de este

hecho, o mejor dicho, una metaprueba. De hecho, estos ejemplos son metateoremas de nuestra

teoría de la lógica matemática ya que nos referimos meramente al concepto de demostración en

sí. Además de esto, también podemos tener una generalización existencial:

Esquema axiomático Para una fórmula   en un lenguaje de primer orden  , una variable   y

un término   que es sustituible por   en  , la   es universalmente válida.

Axiomas no-lógicosLos Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por

acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y

los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas

no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de

estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son

tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos espostulado.

Casi cualquier teoría matemática moderna se basa en un conjunto de axiomas no-lógicos, se

pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente

esto se demostró imposible.

En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas no-lógicos simplemente

como axiomas, esto no significa que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en

algunos grupos, una operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado introduciendo

un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este axioma se puede desarrollar la teoría

de grupos e incluso se puede tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos no-

conmutativos.

AXIOMA

AXIOMA (del gr. άξίωμα, dignidad, autoridad; de άξιος, digno): m.

Principio, sentencia, verdad inconcusa, proposición tan clara y evidente

por sí misma que, no necesitando de demostración alguna, se halla al

alcance de todo el mundo.

Por eso es AXIOMA inconcuso en materia de economía doméstica,

que toda Ama de llaves que sea tan santurrona es muy cara de carbón

en Madrid: etc.

HARTZENBUSCH.

 

– AXIOMA: Filosofía. Aristóteles ha introducido en el lenguaje

filosófico la palabra axioma, que etimológicamente significa proposición

cierta o que tiene valor propio, proposición evidente por sí misma y que

no necesita demostración. La tradujo Cicerón, aunque sin satisfacerle,

por la palabra pronuntiatum. El principio o base de la demostración, tal

es el sentido más constantemente dado por Aristóteles a la palabra

axioma, sin limitarla, como después se ha hecho, a las verdades

primeras de las matemáticas. No están conformes todos los pensadores,

aunque muchas de sus divergencias impliquen distinciones verbales

más que oposición de concepto, acerca del sentido y significación de la

palabra axioma. Refería Aristóteles con gran penetración los axiomas a

los principios o categorías de identidad y contradicción (V. CATEGORÍA,

IDENTIDAD y CONTRADICCIÓN). Después de Aristóteles los estoicos han

concebido también los axiomas como verdades necesarias. Bacon

acepta igual significado y distingue los axiomas en generales y menos

generales o especiales. Semejante sentido se conserva también en todo

el cartesianismo (Descartes, Malebranche, Wolf, etc.), y Spinoza exagera

la aplicación de los axiomas a la moral, pretendiendo construir esta

ciencia como todas las demás con el rigor formalista del método

matemático (more geometrico). Kant ha empleado el nombre de

axiomas para designar los principios que sirven de base a las ciencias

matemáticas. Consisten los axiomas, según Kant, en juicios totalmente

independientes de la experiencia, de evidencia inmediata y que tienen

como origen común la intuición pura del espacio y del tiempo. Los

denomina axiomas de la intuición y también juicios sintéticos a priori.

Procuremos fijar los caracteres propios de los axiomas, que

reconocen todos los pensadores, siquiera después disientan entre sí en

todo lo que toca a su origen y a su naturaleza racional o empírica. Son

los axiomas juicios evidentes por sí mismos, que no necesitan ser

demostrados. Cuando se intenta su demostración, se observa que

incurre el pensamiento en un sofisma, el de la petición de principio,

porque la demostración supone la verdad del axioma o la conclusión es

más clara y más cierta que las premisas. La evidencia de los axiomas no

excluye la reflexión acerca de ellos, pues como son verdades generales

que sirven de base a otras en las cuales se ven las primeras explícitas y

explicadas, a medida que más pensamos en los axiomas más relieve

adquiere su evidencia, siquiera la prueba de ellos sea inútil e imposible.

La evidencia de los axiomas es necesaria (constituyen los axiomas leyes

necesarias del pensamiento, que puede no ejercitarse; pero si se ejercita

ha de ser siguiendo aquellas leyes), sin que podamos concebir que las

cosas sean de otro modo.

      Esta necesidad es lógica y no metafísica; porque resulta de nuestra misma constitución intelectual, que se contradiría negando los axiomas. Este carácter de necesidad lógica distingue los axiomas de todas las proposiciones evidentes que no son necesarias. «Es de día», «dos superficies que coinciden en todos sus puntos son iguales»: de estas dos proposiciones, sólo la última es

un axioma; ambas expresan verdades evidentes, pero la axiomática es además necesaria, porque la contraria es inconcebible.  

El axioma, más que consecuencia, es una aplicación de los

principios evidentes o categorías, es la afirmación de las leyes

fundamentales de todo pensamiento, y cuando se pone de manifiesto la

evidencia de la verdad que encierra por el llamado principio de lo

inconcebible (que no es lo inimaginable), no se hace más que aplicar el

principio de contradicción al de identidad o la fórmula negativa del

primero a la positiva del segundo, es decir, la relación de dos

proposiciones contrarias (el sí y el no). En este sentido los axiomas más

parecen juicios analíticos que sintéticos, contra lo que opina Kant (sin

caer en el error de Locke que los estima como simples tautologías). 

        Los axiomas (V. CATEGORÍA) difieren de las verdades generalizadas

de experiencias en ellas resumidas (contra lo que opinan los que le

atribuyen origen exclusivamente empírico, es decir, los positivistas y

criticistas) en que están subordinados a las categorías de identidad,

contradicción y continuidad, ligando el pensamiento y su enlace al orden

real o supuesto de los objetos. Así es que los axiomas rigen de modo

inflexible las ciencias formales y deductivas, que tienen como base los

principios de identidad y de contradicción (las matemáticas y la lógica

formal). 

        Por extensión se aplica después el nombre de axioma y de

principios axiomáticos a todas las fórmulas que resumen observaciones

o condensan reglas de conducta (como los llamados axiomas de

la Ética de Spinoza, axiomas de política, de ciencia social, etc., que

algunos pretenden enumerar). En general, es axiomática toda

proposición evidente que no se puede rechazar sin caer en

contradicción, que no exige ni puede ser demostrada, y que expresa una

verdad necesaria, que se comprueba en todos los ejemplos a que se

aplica, aunque no se necesita de ellos para concebirla como cierta e

indudable. 

        St. Mill y Bain han hecho estudios minuciosos de los axiomas (V. St.

Mill, Système de la Logique y Bain, Logique deductive et inductive), y

han pretendido simplificar el número de ellos en las matemáticas; pero

todos sus razonamientos están grandemente influidos por el empirismo

que domina la concepción general de sus sistemas filosóficos. La

cuestión más importante, pues no es sólo lógica, sino metafísica, es la

que se refiere al origen de los axiomas. Viene este problema, que es en

general el del origen de todo conocimiento, mal puesto en la historia del

pensamiento y examinado siempre según el dualismo (empíricos e

idealistas) que de tiempo inmemorial divide y separa las concepciones

lógicas y metafísicas de todos los pensadores, quizá porque, aun

después del análisis profundo de Kant en sus dosCríticas, la de la Razón

pura y la de la Razón práctica, no se pone jamás ante la consideración

de cada cual el tema del conocimiento y la obligada distinción (aunque

no separación) del orden lógico y del orden real con toda la discreta

reflexión que requiere la síntesis primitiva de toda percepción. Es cierto

que las categorías son realidades empíricas (la identidad no existe más

que en los objetos idénticos: no es ella por sí entidad plástica) y que al

concebirlas, lo hacemos como abstracciones y generalidades de nuestro

pensamiento (sin las cosas pensadas, aunque no contra ellas), correctivo

que viene preparado por toda la Edad Media con su célebre cuestión de

los Universales y que opone de modo definitivo el positivismo moderno

al idealismo a priori. Pero a estas categorías hay necesidad de añadir un

elemento intelectual, racional o ideal, que si después comprueba la

experiencia, previamente lo concibe el pensamiento como nota que

caracteriza a toda verdad axiomática, a saber, la de que la proposición

contraria a la axiomática es inconcebible, de donde procede la

necesidad y evidencia de los axiomas. Si algunos pretenden explicar el

principio de lo inconcebible por experiencias acumuladas, otra vez este

origen empírico, que se supone, aplaza, pero no resuelve la dificultad,

que quiere diluir en la indefinición del tiempo. También se opone a este

elemento de carácter ideal que se debe reconocer en los axiomas (y en

último término en todo conocimiento, que siempre es empírico-ideal) la

objeción de que la necesidad con que los concebimos (sin poder dejar de

pensarlos, a no ser contradiciendo y negando el pensamiento mismo), es

puramente lógica y subjetiva, sin que posea nada absoluto, pues se

refiere sólo a nuestra constitución mental, que si variase, podría hacer

que cesara esta aparente necesidad. Ésta no es objeción, ni como tal

puede resolverse; cualquier cosa que concebimos, no podemos

concebirla sino con nuestra inteligencia, y con ella también su

naturaleza (es decir, la de la inteligencia misma). Pero el carácter

subjetivo que se atribuye por los empíricos a este elemento ideal no es

exclusivamente tal, pues se observa que las proposiciones de certeza

supuestamente subjetiva se confirman en la realidad exterior y se

imponen a las cosas como al pensamiento.

Algo que es inherente a este elemento ideal del axioma queda

reconocido por los mismos empíricos cuando hablan de la naturaleza de

los conocimientos matemáticos, que no son únicamente producto de la

abstracción y de la generalización. Ya St. Mill les niega el carácter de

inductivos, porque en cada teorema todo es conocido y porque, según

afirma, se procede en su formación por paridad de raciocinio (que

implica la categoría de la identidad). Delbœuf (V. Essais de Logique

scientifique), reconoce una geometría teórica, producto de una

experiencia ideal. A pesar de la continuidad homogénea del espacio,

podemos afirmar que el hecho individual percibido es la ocasión o la

condición de la idea general que concebimos racionalmente, pero no es

el principio de la concepción; la sugiere, pero no la contiene. Así es que

del fondo complejo de lo empírico surge la concepción intuitiva y directa,

sin esfuerzo inductivo o dialéctico, como sucede con los conceptos de

las paralelas, de lo infinitamente pequeño, etc. En la síntesis compleja

de lo real no existe lo ideal puro, ni lo exclusivamente sensible.

«Sepámoslo o no, dice Evelin (V. Infini et Quantité), debe entrar y entra

en efecto algo subjetivo en la experiencia; y por otra parte la razón no

puede ejercitarse sino sobre algo objetivo.»  Así queda demostrado que

el axioma tiene, aun en las matemáticas, el carácter no de experiencia

acumulada, como quiere el positivismo, sino do verdad evidente y

necesaria, con carácter empírico ideal.