HOMOTECIA Nº 8-2010servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2010/8-2010.pdf · 2016-08-23 · HOMOTECIA Nº...

Nº 8 - AÑO 8 - Valencia, 2 de Agosto de 2010 Tiraje: 100 ejemplares

EEDDIITTOORRIIAALL Docencia e Investigación. Sorprende a veces cuando alguien nos comenta que los estudiantes que se forman para ser docentes en Matemática o Física, sienten una gran inquietud y se muestran interesados y motivados, por participar en actividades que los acerquen a procesos investigativos. No debería ser sorpresa porque desde siempre, y sobre todo en nuestra Facultad de Ciencias de la Educación, una de las prédicas que nos hacían quienes nos formaban en las asignaturas del componente docente era esa: el Licenciado en Educación, de cualquier área, tenía como una de sus tareas, por señalarla así, investigar. Investigar sobre el contenido académico a trabajar, sobre las estrategias a utilizar para la transposición didáctica; y sumamente importante, capacitarse en vislumbrar el aspecto socio-humano de los grupos de estudiantes con los cuales se ha de trabajar. Es decir, cada vez que se inicia un curso o varios cursos a la vez de una misma asignatura, hay que detallar las diferencias personales porque siendo el objetivo conseguir el éxito estudiantil, un docente no puede asumir que la estrategia que sirve para un grupo, sirve para todos los grupos. Esta es una de las principales razones de los estudios epistemológicos sobre la enseñanza de la matemática en todas sus áreas. Algunos estudiantes y hasta algunos egresados en docencia de la matemática y física asumen que su inclinación a no-investigar en enseñanza se debe a que mayormente los docentes que les enseñan o les enseñaron eran o son ingenieros. Hay institutos de educación universitaria donde se forman docentes de matemática y física, que han tenido la necesidad de recurrir a los ingenieros para que trabajen con cursos relacionados con la matemática o con la física por la carencia de expertos docentes en una determinada asignatura. Pero la pregunta es: ¿Qué te enseña un ingeniero? ¿Matemática, Física o a Ser Docente? La respuesta es evidente. Además, egresar como Licenciado en Educación para ejercer la docencia en Matemática o en Física, es sólo obtener el certificado para tener el derecho a hacerlo legalmente. El tiempo ejerciendo es lo que nos hace realmente docente y el investigar es nuestro mejor aliado.

AAllffrreedd NNoorrtthh WWhhiitteehheeaadd

Nació en Ramsgate, Kent, Inglaterra,

15 de febrero de 1861 y falleció en

Cambridge, Massachusetts, Estados

Unidos, 30 de diciembre de 1947.

ALFRED NORTH WHITEHEAD

(*1861-†1947)

Filósofo y matemático inglés. Fue profesor en el Colegio Universitario de Londres, en el Colegio Imperial de Ciencia y Tecnología de Kensington y en el Colegio Trinity de Cambridge. También desempeñó importantes cargos administrativos y pedagógicos, cuya experiencia recogió en la obra Los fines de la educación y otros ensayos (1924). En 1924 enseñó en Harvard, llegando a ser director de la cátedra de filosofía de esta universidad, e influyendo sobre G. H. Mead, Dewey, Quine y, en general, sobre el neorrealismo americano.

La primera obra de Whitehead fue Tratado de álgebra universal (1893), que constituye una vuelta en clave moderna al ideal leibniziano de la fundamentación de todas las ciencias en el cálculo lógico. De aquí el proyecto elaborado con Russell, Principia Mathematica (tres volúmenes, 1910-1913), obra fundamental en la que la matemática se remite enteramente a la lógica.

En la segunda fase de su pensamiento, Whitehead aborda la revisión crítica del concepto clásico de mundo material, fundado aún sobre principios newtonianos: La organización del pensamiento (1917), Investigaciones sobre el principio del conocimiento natural (1919), El concepto de la naturaleza (1920), El principio de la relatividad (1922, donde desarrolla en sentido científico el principio de la relatividad de Einstein).

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA © Rafael Ascanio H. – 2009 Hecho el Depósito de Ley.

Depósito Legal: PP200902CA3088 e-mail: [email protected]

Publicación Mensual DDiissttrriibbuucciióónn GGrraattuuiittaa

PPuubblliiccaaddaa ppoorr::

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD DE CARABOBO

DIRECTOR–EDITOR: Prof. Rafael Ascanio Hernández

SUB-DIRECTOR:

Prof. Próspero González Méndez

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN:

Prof. Rafael Ascanio Hernández Prof. Próspero González Méndez

COMISIÓN

ARCHIVO Y REGISTRO HISTÓRICO

Prof. María del Carmen Padrón Prof. Zoraida Villegas Prof. Ivel Páez

COMISIÓN REVISORA DE MATERIAL A PUBLICAR:

Prof. Elda Rosa Talavera de V. Prof. Omaira Naveda de F. Prof. José Tadeo Morales

Reflexiones "Todos los medios son buenos cuando son eficaces".

Jean Paul Sartre LAS IDEAS Y OPINIONES DE LOS AUTORES DE LOS ARTÍCULOS QUE PUBLICAMOS EN HOMOTECIA SON RESPONSABILIDAD DE LOS MISMOS. SI ALGÚN LECTOR TIENE OBJECIONES SOBRE ÉSTAS, AGRADECEMOS NOS HAGA LLEGAR A TRAVÉS DE NUESTRA DIRECCIÓN ELECTRÓNICA, [email protected], SUS COMENTARIOS.

HHOOMMOOTTEECCIIAA

HOMOTECIA Nº 8–Año 8 Lunes, 2 de Agosto de 2010

2

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

En estas obras, critica la separación tradicional entre cualidad primaria y secundaria, así como el error del "positivismo mal entendido" consistente en considerar reales las abstracciones físico-matemáticas y los conceptos teórico-operativos de la ciencia, cuando en realidad lo real son los objetos concretamente percibidos.

Con La ciencia y el mundo moderno (1925), inicia Whitehead la tercera y última fase de su pensamiento, la "metafísica", que halla su más completa expresión en Proceso y realidad (1929). Otras obras suyas son El devenir de la religión (1926), Simbolismo (1927), La función de la razón (1929), Aventura de las ideas (1933), Modos del pensamiento (1938), Ciencia y filosofía (1947).

Para Whitehead, la función general de la razón y, por lo tanto, de la filosofía, es un "gradual acercamiento de las ideas de claridad y de generalidad". El punto de partida no son las premisas evidentes, sino la compleja y multiforme experiencia de la vida y, a partir de ella, intentar una generalización teórica, consciente de que cada teoría es una "casualidad" y una simplificación abstracta e inadecuada, que necesita continuas correcciones. Este camino del conocimiento refleja, por otra parte, la evolución de la naturaleza. La realidad se describe como un proceso, constituido por eventos en recíproca conexión.

En la constitución de los procesos intervienen, además de los eventos, formas y estructuras recurrentes que Whitehead llama "objetos eternos". Estos son, en sí mismos, abstractos mientras no entran en la concreta "ocasión actual" de un evento. En su más alto grado los objetos eternos constituyen, en definitiva, los "valores", esto es, los sentimientos de bueno, bello y verdadero que tienen lugar ocasionalmente en el proceso. Cada evento -incluido el mal que hay en la existencia- halla en Dios su justificación e interpretación última.

El concepto fundamental de su filosofía, o sea el de proceso, vinculado a la teoría de los "objetos eternos", así como a la de la relación universal y la emergencia creadora de la naturaleza, es aplicado por Whitehead incluso a la religión y a la pedagogía, como cabe advertir en sus dos libros El devenir de la religión (1926) y Los fines de la educación (1928). Precisamente en el campo educativo resultó decisiva la influencia de Harvard, sobre todo en América, donde, como complemento a la orientación preferentemente científica e instrumental de Dewey, la tendencia pedagógica de Whitehead presenta una inclinación humanística. "La educación consiste en la visión habitual de la grandeza", escribió el autor, cuyos discípulos dicen que esta expresión hallaba una plena realidad en su enseñanza.

Whitehead fue siempre ciudadano inglés, pero se encontró muy bien en Norteamérica, y admiró el espíritu de universalidad y civilización de sus instituciones. Aún habida cuenta de su brevedad, las Autobiographical Notes integran tal vez las páginas literariamente más vivas escritas por un filósofo contemporáneo; la evocación de la infancia y de la familia armoniza en ellas con la visión histórica y estética de la vida propia de Whitehead, en tanto en el fondo de la obra aparece históricamente vigorosa la grandeza de la tradición inglesa.

FUENTES:

© Biografías y Vidas, 2004.

Wikipedia


3

CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA:: AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE VVOOLLUUMMEENN PPOORR IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN

MÉTODO DE LAS ARANDELAS.-

Ejercicios resueltos.-

1.- Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por las gráficas de xy = e 2xy = alrededor del eje x.

Utilice los datos mostrados en la figura que representa a la región plana. Solución: Observando la región plana que se genera según las condiciones enunciadas en el problema, se tiene que:

Es evidente que:

xxR =)( Radio externo

2)( xxr = Radio interno

Si se integra entre 0 y 1, se tiene que el volumen es igual a:

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ..10

3

52)()(

1

0

521

0

41

0

22222 vuxx

dxxxdxxxdxxrxRVb

aπππππ =

−=−=

−=−= ∫∫∫

2.- Calcular el volumen del sólido que se forma cuando se gira la región limitada por las gráficas de

10,0,12 =∧==+= xxyxy alrededor del eje y. Utilice los datos mostrados en la figura que representa a la región

plana.

Solución:

La gráfica de la región plana a considerar es la siguiente:



4


Al dividir el área horizontalmente, esta región plana está constituida por dos porciones: Una entre 10 ≤≤ y donde no hay el radio interno

[ ]0)( =yr y donde el radio externo es igual a 1 [ ]1)( =yR . En la otra porción entre 21 ≤≤ y el radio interno está determinado por la

ecuación 12 += xy , por lo que 1)( −= yyr . El radio externo sigue siendo igual a 1 [ ]1)( =yR .

Para calcular el volumen del sólido de revolución que se genera, se deben sumar las siguientes dos integrales:

( ) ( ) [ ] ..2

3

22211)01(

2

1

210

2

1

1

0

1

0

2

1

2222 vuy

yydyydydyydyV πππππππ =

−+=−+=

−−+−= ∫∫ ∫∫

3.- Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola xy 82 = y su lado recto ( )2=x en torno al eje y. Utilice

los datos mostrados en la figura que representa a la región plana.

Solución:

La gráfica de la región referida es la siguiente:

Al dividir el área horizontalmente, al girar la región acotada alrededor del eje y, se genera una arandela representativa cuyo radio externo es 2

[ ]2)( =yR y el interno es igual a x [ ]xyr =)( . Además, la región es simétrica con respecto al eje x por lo que el volumen total puede

considerarse como dos veces el volumen de la región entre 40 ≤≤ y . El volumen del sólido de revolución que se genera es:

..5

128

6442

822

4

0

44

0

222 vudy

ydy

yV πππ =

−=

−= ∫∫

4.- Determinar el volumen generado al girar el área que limitan el eje x y la parábola 24 xxy −= alrededor de la recta

6=y . Utilice los datos mostrados en la figura que representa a la región plana.

Solución:

La gráfica de la región referida es la siguiente:

Al dividir el área verticalmente, al girar la región acotada alrededor de la recta y=6, se genera una arandela representativa cuyo radio externo es

6 [ ]6)( =xR y el interno es igual a 6 - y [ ]yxr −= 6)( . Al integrar en 40 ≤≤ x , el volumen del sólido de revolución que se genera es:

[ ] ( ) ..15

140882848)12()6(6

4

0

4324

0

24

0

22 vudxxxxxdxyydxyV πππ =−+−=−=−−= ∫∫∫



5


5.- Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por la parábola 12 += xy y la recta

3+= xy . Utilice los datos mostrados en la figura que representa a la región plana.

Solución:

La gráfica de la región indicada y la figura aproximada del sólido de revolución generado son las siguientes:

El radio externo de la arandela representativa es 3+= xy y el interno es 12 += xy . Si se integra en 21 ≤≤− x , el volumen del

sólido viene dado por:

( ) ( )[ ] ( ) [ ] ..5

117838613

2

1

2

1

23315

51242

1

222 vuxxxxdxxxxdxxxV ππππ =++−−⋅=++−−=+−+=−−− ∫∫

6.- Determinar el volumen del sólido generado al rotar alrededor de la recta 4−=x la región acotada por las parábolas

322 −=∧−= yxyyx . Utilice los datos mostrados en la figura que representa a la región plana.

Solución:

La gráfica de la región plana indicada es la siguiente:

El radio externo de la arandela representativa es )(4 yf+ , y el interno )(4 yg+ , siendo 3)()( 22 −=∧−= yygyyyf . Si se

integra en 2

31 ≤≤− y , el volumen del sólido generado viene dado por:

( ) ( )[ ] ( )..

32

8751543

2

1

15892344

1

31

234

1 1

23222223

23

vuyyyy

dyyyydyyyyV

ππ

ππ

=

++−−=

=++−−=−+−−+=

−

∫ ∫− −



6


7.- Un mecánico perfora un agujero a través del centro de una esfera de metal de cinco centímetros de radio. El agujero tiene un

radio de tres centímetros. ¿Cuál es el volumen del anillo resultante?

Solución:

Obsérvese la siguiente aproximación a la figura a la cual se hace referencia:

Se asume que la región plana que rotó alrededor del eje x, según las condiciones enunciadas, es la siguiente:

El anillo es generado por un segmento del círculo cuya ecuación es 2522 =+ yx . Como el radio del agujero es de 3 cm., sus

cortes con la circunferencia se producen en 4±=x . De aquí que el radio externo es 225)( xxR −= y el interno 3)( =xr .

El volumen viene dado por:

( ) ( ) 3

4

4

34

4

24

4

22

2

3

256

31616325 cm

xxdxxdxxV ππππ =

−=−=

−−=

−−− ∫∫

En el próximo número presentaremos ejercicios resueltos por el método de las cortezas cilíndricas.


7

Discusiones de Postgrado

EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEE LLAA EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA..

Siguiendo con las discusiones durante el periodo lectivo 1-2009 (enero-abril) en “Epistemología de la Educación Matemática”, que tal como señalamos en números anteriores, es una asignatura conducente de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios de Postgrado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, siendo el propósito de incluirla en estos estudios el fortalecer los fundamentos filosóficos y epistemológicos en el docente durante sus estudios de cuarto nivel, tanto en la matemática dimensionada ciencia en sí como sobre el conocimiento propio de su ejercicio profesional, continuamos con la lectura y discusión del libro “Epistemología de la Matemática” de Jean Piaget (Comp., 1979):

Este texto consiste en una compilación de trabajos tanto del mismo Jean Piaget como de otros investigadores, reconocidos profesionales de la epistemología y expertos en matemática, interesados en el problema del conocimiento de los conocimientos y sobre el cual realizan un análisis interdisciplinario.

Elaborados por parte de los participantes los ensayos pensatorios conclusivos correspondientes, se realizó una selección de un cierto número de ellos para publicarlos en nuestra Revista HOMOTECIA, previa solicitud a los autores, con características similares a artículos de opinión.

A continuación presentamos el siguiente de ellos, cuya autor es el participante Héctor Villegas.

EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEE LLAA MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA:: La Matemática y sus crisis epistemológicas

PPoorr:: HÉCTOR VILLEGAS C. I. Nº: 14.094.976

La matemática es considerada como un sistema construido, cada conjunto de números, axiomas, postulados, etcétera, tiene su razón de ser, su origen. Es allí donde la epistemología del conocimiento matemático utiliza sus medios para conocer dichos orígenes, como son: la combinación del análisis lógico con el análisis genético. Uno de los primeros conjuntos numéricos que se conoció, recibe el nombre de “Números naturales”. Este es el primer ejemplo de construcción matemática, la cual surgió de las experiencias y operaciones del sujeto proporcionando así un conocimiento. Pero si el individuo a lo largo de la historia va adquiriendo conocimientos es interesante preguntarnos ¿Cómo son adquiridos esos conocimientos? En este sentido se plantea que es a través de los elementos contextuales (el contexto del sujeto) junto con las estructuras operatorias que permiten al sujeto poder obtener dichos conocimientos. La primera noción de número natural es adquirida en la etapa de la niñez, cuando empezamos bien sea por la vía de la repetición o por la enumeración verbal a conocerlos. Pero a medida que vamos creciendo llegamos a la idea operatoria del número, el cual toma forma a través del principio de clasificación y seriación. Uno de los principales precursores de estudiar la construcción de los números naturales a partir de la niñez es Jean Piaget. En lecturas previas tratamos un punto importante sobre la epistemología, la cual surge cuando se originan “crisis” en las ciencias. ¿Podemos decir que los conjuntos numéricos surgen por crisis en las ciencias de las matemáticas? o ¿por la necesidad de cada individuo? El conjunto de los números naturales surge como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de asignar un símbolo a una cantidad de objetos. Pero es necesario ahondar más respecto a esto, partir desde la noción de conjunto y de una aplicación biunívoca, las cuales se desprenden directamente de las actividades del sujeto. Pero no es sino hasta el siglo XIX cuando Giuseppe Peano enunció los conocidos Axiomas de Peano o Postulados de Peano, los cuales permiten una construcción “lógica” del conjunto de los números naturales.

Por otra parte la construcción del espacio tiene gran relación con las lógico aritméticas, ya que es a través de las acciones del sujeto, sus abstracciones reflexivas, y sus experiencias que podemos construir, organizar y analizar los conjuntos matemáticos a través de un nivel superior de formulación y ya no solo de hechos.

La matemática es la ciencia que más problemas epistemológicos posee. Desde sus comienzos con la construcción de los conjuntos de los números: naturales, enteros, racionales, reales, etcétera. Fueron muchos los filósofos que cuestionaron cada uno de los postulados que a medida que surgían dichos conjuntos aparecían tal es el caso de lo infinito y lo finito, el vacío, el cero, la teoría de la probabilidad, etcétera. Respecto a estos problemas epistemológicos en la actualidad, son muchos los docentes de matemática y de otras áreas a los que les ha costado poder explicar el significado de cada uno, sin poder despertar la capacidad de asombro y el sentido investigativo dentro del estudiante. La matemática nunca ha dejado de estar en crisis, pasando por el número, seguido de la contradicción, y por último el contexto donde se desarrollan operaciones de medición. Pero para resolver estas crisis debemos tratar de resolver el problema en dos planos, en el filosófico y en el matemático.



8


Como docentes en matemática estamos en constante conflictos sobre la misma, al preparar los proyectos educativos siempre aducimos como limitante el no poder integrar algunos contenidos, por razones que no tienen sentido de ser, pero en realidad es por el desconocimiento del origen y construcción de conjuntos numéricos, porque dominamos los contenidos a la perfección, adición, sustracción, etcétera. Pero solo la parte axiomática y nunca nos hemos preocupado por la génesis de dichas operaciones. Es por ello que surge la siguiente inquietud. Si podemos hablar de la crisis de las matemáticas para el surgimiento de nuevos conjuntos, axiomas, definiciones, teoremas, etcétera, y se puede observar a muchos matemáticos negarse a investigar dichos problemas, ¿llegará el día en que las matemáticas ya no se encuentren en crisis por falta de investigadores?

¿Las matemáticas son una invención del hombre, o están ahí afuera; y el hombre simplemente ha sabido encontrarlas y jugar con ellas?

La invención de las matemáticas es más avanzada en países Europeos que en los latinoamericanos, en efecto los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas, de allí surgieron grandes invenciones, tal es el caso del desarrollo de la geometría Euclidiana, cálculos diferenciales e integrales por parte de Newton y se habló del problema del infinito. En la actualidad el conocimiento matemático avanza rápidamente, se han reunido teorías para formar teorías nuevas y complejas, se han solucionado problemas que tenían años sin respuestas al mismo tiempo aparecen nuevos problemas y hasta incluso las matemáticas abstracta están encontrando aplicaciones en otras áreas. En Venezuela nos hemos apropiado del conocimiento matemático tardíamente en relación con otros países, sin embargo se han realizado investigaciones de gran importancia. Pero ¿Cómo se inventan las matemáticas? Para poder inventar debemos tomar en cuenta según J. Hadamard ciertas operaciones como: la documentación, preparación, incubación, iluminación, verificación y conclusión. Para inventar debemos leer y escuchar para lograr formular hipótesis que podrían estar erradas o no, pero a través de la incubación edificamos combinaciones de ideas utilizando dichas hipótesis. Produciendo así grandes invenciones más allá de lo común utilizando la iluminación, las cuales deben ser verificadas para así precisar y ordenar la información.

Por otro lado se establece una conquista entre la realidad y la matemática ¿será que como matemático queremos matematizar la naturaleza? Al matematizar el universo, queremos explicar todo a través de las matemáticas, ocasionando conocimientos más abstractos que concretos sin darle paso a la experiencia, sino a aquello que es lógico y razonable. Pero si las matemáticas producen resultados exactos ¿Cómo hacer para explicar fenómenos que no pueden ser verificados a través de la lógica? Para ello surge el cálculo de la probabilidad, el cual es un intento de las matemáticas para poder dar resultados predecibles que a través de la axiomática de los procesos del cálculo me permiten poder clarificar o validar dichos resultados. Uno de los métodos utilizados por la matemática es el axiomático-deductivo. Todas estas teorías utilizadas se desprenden de las estructuras madres las cuales son la topología general, las estructuras algebraicas y las de orden las cuales dan sentido a la razón de ser de las matemáticas. Por otra parte, en el marco de la epistemología de la matemática es importante resaltar que esta a través de las estadísticas matemáticas trata las estructuras de la naturaleza probabilística y los datos empíricos, pero ¿todos los datos obtenidos por medio de la experiencia pueden ser estudiados por la estadística? Esto origina uno de los problemas de la probabilidad el cual es el hecho de saber si la incertidumbre puede representarse mediante una probabilidad en el sentido de la matemática. Los estadísticos se han centrado principalmente en otorgar una forma clara a los principios de inferencia a utilizando su propia naturaleza, lo cual al parecer podría ser una arbitrariedad al menos que sea tratada desde el punto de vista epistemológico. Pero según como indica Matalón (1979), de modo más o menos explícito, “todos los teóricos admiten que el cálculo de probabilidades formaliza algo que, en cierto sentido “existe” en todas partes; las divergencias se, refieren a la naturaleza de ese “algo”, el cual estaría representado a través de la probabilidad matemático” (Pág. 121).

En este sentido, las matemáticas surgen por las crisis científicas, de una manera acelerada y rápida y con ello también los matemáticos, los cuales en muchos casos no se interesan por el ámbito científico, sino que toman otras áreas como es el caso de la educación. Muchos son los comentarios que se tejen en este caso, entre ellos tenemos: los matemáticos que se dedican a la profesión docente solamente, por beneficios económicos o simplemente por mayores vías de trabajo olvidando así el sentido investigativo. En otro sentido tenemos que las investigaciones no tienen gran apoyo por parte del estado y las instituciones, es por ello que surge la siguiente interrogante, ¿Están las instituciones dando el apoyo necesario o incentivando a los estudiantes de maestrías para la creación de proyectos investigativos donde puedan surgir nuevos conocimientos?

Siempre nos hemos preguntado: ¿Dónde surge la matemática? ¿Es invención o creación? ¿De qué manera es posible la matemática y de dónde proviene su conformidad con lo real? La matemática es considerada como un sistema de construcción, cada conjunto de números tiene su razón de ser, no existe el descubrimiento sino la invención porque el matemático se apoya en conocimientos previos, para formar otros nuevos. Con respecto a la conformidad con lo real es un poco más complicada su explicación, es a través de la física matemática donde se plantea todo el problema epistemológico de la conformidad entre la matemática y lo real, pero es necesario saber que la historia de la matemática se construyó paso a paso, a lo largo del tiempo, es por ello que surge la siguiente inquietud: el sistema educativo, y nosotros mismos como docentes exigimos al estudiante aprender un contenido en 10 meses de clase, cuando sabemos que ese conocimiento fue construido a lo largo de la historia, dichos logros no se hicieron tan fácil, fueron años y años de trabajo, con sus aciertos y desaciertos, fracasos y éxitos que al final nos han llevado a lo que hasta ahora tenemos, y que a medida que pase el tiempo surgirán nuevos problemas epistemológicos y conocimientos que nos permitan seguir construyendo la matemática del futuro.

Por otra parte uno de los problemas fundamentales respecto a la posibilidad de la matemática respecto a su conformidad con lo real, es el de la naturaleza de los entes matemáticos, es decir los objetos de estudios de la matemática, la cual debe buscarse por el lado de las actividades del sujeto, porque si la ubicamos más allá de la realidad física, caeríamos en el mundo de las ideas, por tanto la conformidad con la experiencia y el acomodamiento de los instrumentos deductivos del sujeto, no podrán obtener respuesta.



9


Pero ¿Puede llegar a comprenderse la naturaleza de los entes matemáticos? ¿Saber donde surgen o donde se localizan los mismos? Respecto a esto no se ha llegado a percibir su naturaleza ni su localización, mas sin embargo a lo largo de la historia los matemáticos los han concebido de diferentes formas. En primer lugar la matemática griega los admite como objetos independientes de nosotros, por otro lado la geometría los ve como independientes de su construcción limitándose solamente a lo que se dibujaba con compás y regla. Por otro lado el álgebra es más abstracta que el cálculo aunque tenga una intencionalidad, además produce todo lo que la matemática necesita. En segundo lugar según P. Boutroux se concibe los objetos de la matemática como el producto de síntesis operatorias dando libertad a la construcción del sujeto. Por otra parte el conocimiento matemático después que surge solo queda para la historia, es decir solo para ser usados en otros estudios. Sin embargo es importante resaltar que a pesar de esto, el individuo aumenta su capacidad a través de conocimientos matemáticos para resolver problemas que se presentan a lo largo de la historia. Pero estos conocimientos deben ser aprendidos bien para poder obtener estructuras que permitan la formación de estructuras nuevas, es por ello que la invención matemática no constituye ni una invención ni un descubrimiento sino que representa un rigor y una construcción. En fin podemos decir que toda realidad fuera de las matemáticas resulta ser matematizable, es decir buscamos explicar todo lo externo a través de la matemática, mediante un proceso de asimilación, entonces ¿Podrá la experiencia física explicar el descubrimiento de los entes matemáticos? Finalmente la realidad de la matemática, es la que vamos construyendo día a día, a través de nuestros estudios, investigaciones y experiencia de la vida diaria. Como docente de matemática es necesario dejar ese pensamiento parcelado, cerrado, donde creemos que la matemática es solo números, con sus propiedades y operaciones, transmitiendo esto a nuestros estudiantes, ocasionando el poco interés a la materia y sobre todo al estudio de la matemática como tal, de allí que el índice de egresados de las especialidades sea cada vez más bajos y que solo sirva de trampolín a otras carreras, es por ello que somos nosotros los encargados de cambiar esa mentalidad, y empezar a sembrar en nuestros estudiantes la semilla de la curiosidad, para que sean ellos los encargados de seguir investigando y produciendo teoremas, teorías y conocimientos que nos permitan elevar el nivel y la calidad de los egresados en la especialidad de matemática Siempre nos hemos preguntado: ¿Dónde surge la matemática? ¿Es invención o creación? ¿De qué manera es posible la matemática y de dónde proviene su conformidad con lo real? La matemática es considerada como un sistema de construcción, cada conjunto de números tiene su razón de ser, no existe el descubrimiento sino la invención porque el matemático se apoya en conocimientos previos, para formar otros nuevos. Con respecto a la conformidad con lo real es un poco más complicada su explicación, es a través de la física matemática donde se plantea todo el problema epistemológico de la conformidad entre la matemática y lo real, pero es necesario saber que la historia de la matemática se construyó paso a paso, a lo largo del tiempo, es por ello que surge la siguiente inquietud: el sistema educativo, y nosotros mismos como docentes exigimos al estudiante aprender un contenido en 10 meses de clase, cuando sabemos que ese conocimiento fue construido a lo largo de la historia, dichos logros no se hicieron tan fácil, fueron años y años de trabajo, con sus aciertos y desaciertos, fracasos y éxitos que al final nos han llevado a lo que hasta ahora tenemos, y que a medida que pase el tiempo surgirán nuevos problemas epistemológicos y conocimientos que nos permitan seguir construyendo la matemática del futuro.

Por otra parte uno de los problemas fundamentales respecto a la posibilidad de la matemática respecto a su conformidad con lo real, es el de la naturaleza de los entes matemáticos, es decir los objetos de estudios de la matemática, la cual debe buscarse por el lado de las actividades del sujeto, porque si la ubicamos más allá de la realidad física, caeríamos en el mundo de las ideas, por tanto la conformidad con la experiencia y el acomodamiento de los instrumentos deductivos del sujeto, no podrán obtener respuesta. Pero ¿Puede llegar a comprenderse la naturaleza de los entes matemáticos? ¿Saber donde surgen o donde se localizan los mismos? Respecto a esto no se ha llegado a percibir su naturaleza ni su localización, mas sin embargo a lo largo de la historia los matemáticos los han concebido de diferentes formas. En primer lugar la matemática griega los admite como objetos independientes de nosotros, por otro lado la geometría los ve como independientes de su construcción limitándose solamente a lo que se dibujaba con compás y regla. Por otro lado el álgebra es más abstracta que el cálculo aunque tenga una intencionalidad, además produce todo lo que la matemática necesita. En segundo lugar según P. Boutroux se concibe los objetos de la matemática como el producto de síntesis operatorias dando libertad a la construcción del sujeto. Por otra parte el conocimiento matemático después que surge solo queda para la historia, es decir solo para ser usados en otros estudios. Sin embargo es importante resaltar que a pesar de esto, el individuo aumenta su capacidad a través de conocimientos matemáticos para resolver problemas que se presentan a lo largo de la historia. Pero estos conocimientos deben ser aprendidos bien para poder obtener estructuras que permitan la formación de estructuras nuevas, es por ello que la invención matemática no constituye ni una invención ni un descubrimiento sino que representa un rigor y una construcción. En fin podemos decir que toda realidad fuera de las matemáticas resulta ser matematizable, es decir buscamos explicar todo lo externo a través de la matemática, mediante un proceso de asimilación, entonces ¿Podrá la experiencia física explicar el descubrimiento de los entes matemáticos?

Finalmente la realidad de la matemática, es la que vamos construyendo día a día, a través de nuestros estudios, investigaciones y experiencia de la vida diaria. Como docente de matemática es necesario dejar ese pensamiento parcelado, cerrado, donde creemos que la matemática es solo números, con sus propiedades y operaciones, transmitiendo esto a nuestros estudiantes, ocasionando el poco interés a la materia y sobre todo al estudio de la matemática como tal, de allí que el índice de egresados de las especialidades sea cada vez más bajos y que solo sirva de trampolín a otras carreras, es por ello que somos nosotros los encargados de cambiar esa mentalidad, y empezar a sembrar en nuestros estudiantes la semilla de la curiosidad, para que sean ellos los encargados de seguir investigando y produciendo teoremas, teorías y conocimientos que nos permitan elevar el nivel y la calidad de los egresados en la especialidad de matemática.


10

Análisis epistemológico sobre algunas ciencias

particulares y sus propios paradigmas:

La Física ((RReefflleexxiioonneess ddee uunn ddoocceennttee ddee mmaatteemmááttiiccaa))

Por: Prof. Rafael Ascanio Hernández

En la Asamblea General de la “International Union of Pure and Applied Physics” (Unión Internacional de la Física Pura y Aplicada), celebrada en Alemania (Berlín: año 2002), se aprobó la Resolución Nº 9, que posteriormente adoptó la UNESCO, de tal manera que en la Asamblea General de las Naciones Unidas del 1º de junio de 2004, se declaró el 2005 como Año Mundial de la Física.

¿Por qué el 2005? En el año 2005 se conmemoró el centenario del llamado "Annus Mirabilis" en el que Albert Einstein (1879-1955) publicó cuatro importantes artículos cuyas ideas se convirtieron en base e influencia de la física moderna, y que marcó mucho de lo que se vivió en el siglo XX y de lo que hemos de vivir en el siglo XXI.

En el Editorial de HOMOTECIA Nº 4 – Año 3, del 1º de abril de 2005, se leyó lo siguiente: “2005 fue declarado el año internacional de la Física, área de aplicación por excelencia de la Matemática. Históricamente la Física como ciencia no se ha originado de una complejidad social sino del esfuerzo de individuos particularmente interesados. Pero como algo contradictorio, cada vez que en la Física se produce un cambio en sus fundamentos, se suceden rupturas paradigmáticas en las ciencias fácticas; y un nuevo orden en estas ciencias acelera más el proceso siempre continuo de los cambios sociales. La revolución newtoniana, que llegó a su máxima expresión con el Determinismo Biológico de Charles Darwin (1809-1882) y el Determinismo Social de Federico Engels (1820-1895), marcó toda una época de la humanidad. La posterior irrupción de la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein, la Mecánica Cuántica de Max Planck (1858-1947), y el Principio de Incertidumbre de Werner K. Heisenberg (1901-1976), al inicio del siglo XX, inició un cambio total en el mundo que surgió de las ideas de Newton, marcando categóricamente la época que estamos viviendo, en lo social y en lo tecnológico”.

Lo citado en el texto anterior nos da una visión sobre las razones de esta decisión. Dado que la declaración del 2005 como Año Mundial de la Física tiene carácter universal, todas las instituciones que tenían relación directa o indirecta con la Física realizaron un esfuerzo para conmemorar este acontecimiento y acercar esta ciencia a la sociedad atendiendo principalmente los siguientes puntos esenciales: promocionar el conocimiento de la física, incentivar la enseñanza de la física, dar relevancia a la física como base de otras disciplinas y como fundamento de nuevos campos científicos y de tecnologías emergentes, determinar claramente los grandes retos de la física en el siglo XXI, el papel de la física en el desarrollo de los países, el aumento del número de mujeres trabajando y haciendo física, y la física como parte de nuestra herencia cultural.

Es así que desde el año 2002, los interesados en este acontecimiento previsto para el 2005, comenzaron a hurgar en la historia de la física buscando conocer con más detalle, los hechos relevantes de la misma.

Es el caso de Shahen Hacyan1, quien afirma que para él es un invento de Isaac Newton (1642-1727) en su vejez, la famosa leyenda de la caída de una manzana como la clave que le permitió cuando joven descubrir la Gravitación Universal, al reflexionar sobre la razón que mantiene a la Luna en órbita alrededor de la Tierra y a los planetas alrededor del Sol.

Hacyan afirma que existieron estudios previos como el del inglés William Gilbert (1544-1603), filósofo natural (físico) y médico personal de la reina Elizabeth I de Inglaterra, quien publicó un trabajo dedicado al estudio de las piedras imantadas o imanes (“De Magnate”: 1600). En el mismo describe los experimentos que realizó para comprobar que la Tierra es un gigantesco imán, que el magnetismo se puede inducir y muestra evidencias de lo que hoy llamamos atracción eléctrica. Este trabajo lo finaliza Gilbert defendiendo la teoría heliocéntrica de Copérnico: la Tierra gira sobre sí misma y también alrededor del Sol; e inclusive, infiere que las estrellas se encuentran a grandes y variadas distancias.

(CONTINÚA EN LA PRÓXIMA PÁGINA)

1 Hacyan, Shahen (2004). “Física y Metafísica del espacio y el Tiempo. La filosofía en el laboratorio”. México: Fondo de Cultura Económica.


11


Estos estudios tienen secuencia en los que realizó el alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien dedujo, entre otras cosas, la existencia de una fuerza centrada en el Sol que mueve a los planetas y depende de la distancia a ese astro; por lo tanto, esta fuerza emana del Sol. Como para la época ya se conocía el trabajo de Gilbert, no le fue difícil concluir a Kepler que el Sol producía una fuerza magnética, o casi-magnética, pero sin precisar que entendía por esto.

Otro inglés, Robert Hooke (1635-1703), el mismo de los estudios sobre elasticidad, propuso en un trabajo hecho público, que todos los cuerpos celestiales sin excepción, poseen una atracción o poder gravitatorio hacia sus propios centros, que atrae a sus propias partes y a todos los demás astros que están dentro de su esfera de actividades. También propuso que cualquier cuerpo puesto en movimiento directo y simple continuará moviéndose en línea recta hasta que por otro poder efectivo se desvíe describiendo un círculo, una elipse o cualquier otra línea curva compuesta.

La tercera y última suposición que hace Hooke, deja ver que esta potencia de atracción actúa con más poder, en tanto el cuerpo sobre el que actúa se encuentra más cerca de su centro.

Es de notarse que Hooke intuyó correctamente el fenómeno gravitatorio así como adelantarse a las que luego serían llamadas Leyes de Newton. Pero Hooke solo realizó descripciones cualitativas, dándole a sus estudios carácter especulativo.

Para Hacyan, Newton estaba al tanto de estos estudios de Robert Hooke, y que Newton llega al descubrimiento de la gravedad gracias a Hooke y a la tercera Ley de Kepler, enunciada tiempo atrás, y a un aporte propio consistente en el planteamiento de la fórmula para calcular la aceleración centrífuga.

Hacyan no deja de reconocer que es gracias al genio de Newton que se determina que es la fuerza de gravedad la que atrae los objetos hacia la Tierra y que permite a los planetas girar alrededor del Sol. Newton desarrolló un poderosísimo método matemático que le permitió describir estos movimientos y además demostrar que las Leyes de Kepler son consecuencias directas de la gravitación universal. Todos estos aportes de Newton transformaron a la Física en una ciencia matemática.

Lo que ha significado Newton para la física no perdió vigencia con la Teoría de la Relatividad de Einstein, la Mecánica Cuántica de Planck o el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, pero estas teorías llegaron para establecer nuevos patrones (modelos o paradigmas) que transformaron no solo a la Física y a las otras ciencias fácticas, sino que afectaron la forma de pensar del hombre, y en consecuencia, se originó un cambio en las ciencias sociales.

Pero, ¿cómo piensa el físico actual?, ¿cuál es el entorno filosófico donde se desempeña?, ¿qué significa para él la sociedad? Comencemos por leer la siguiente “reflexión” de un físico: “La única verdad de la que puedo presumir soy yo. Es mi único conocimiento verdadero… me siento, me juzgo. Pero aun siendo yo mi única verdad, me veo obligado a aceptar que para cada ser humano, los cuales percibo, ellos son para sí mismo sus únicas verdades, las que pueden saber. Y de hecho, cada ser humano se esmera en intentar que todos conozcan su verdad (imponer), mas esto nunca logrará”.

Evidentemente que el texto encierra elementos para la discusión. El sujeto se acepta a sí mismo y acepta al otro. Pero ese otro no es brisa (no es aire que pasa, ni se aleja, ni se olvida). Es ese algo que afecta el hoy del sujeto mismo. Al estar consciente de que hay un otro presente en todos sus hoy, comienza una lucha y un continuo debate para definir cómo se va a participar en un mundo que debe, obligatoriamente, compartir. Quizás sea esta la génesis de las diversas sociedades que la humanidad ha conformado. De aquí se parte para legitimar la conformación de innumerables estados nacionales, promulgación de leyes y normas, conformación de comunidades específicas, y sobre todo, aceptar la ocurrencia de los procesos humanos para mantener el equilibrio social, o en todo caso, para determinar cómo se producen los desequilibrios sociales.

Esto marca claramente el inicio de las ciencias sociales. Por eso es que hoy en día, estas despuntan como las que requieren mayor atención, sobre la base que su objeto de estudio es el sujeto mismo, la persona.

¿Y cómo se originan, entonces, las ciencias fácticas como la Física? Estas, históricamente, no se han generado de una complejidad social sino que posiblemente se han desarrollado como satisfacciones de necesidades investigativas individuales, dejando como última instancia dentro de un proceso histórico, el que sean requerimientos grupales. De aquí el devenir en una tendencia hacia la globalización: urge una comunidad universal que participe de las mismas necesidades, por ende de los mismos saberes.

Pero a la par que las ciencias fácticas se desarrollan como producto de los beneficios que estas arrojan (mejor tecnología, más comodidades), también se va transformando la sociedad. Esta se hace más compleja y sobre todo más dinámica, ameritando nuevas formas o métodos para estudiar las situaciones problemáticas que se van generando en su interior.

Y, ¿cuándo ocurre esto, por ejemplo, en la Física?, ¿cuándo la Física cambia sus métodos? Históricamente, cuando ya el viejo método no le da respuestas (es incapaz de responder) a sus interrogantes.



12


Entonces se suceden las rupturas paradigmáticas porque, en general, como ya se ha citado antes, el desarrollo tecnológico del que disfruta la humanidad tiene su origen en las ciencias fácticas. Un nuevo orden en estas ciencias acelera más el constante proceso de los cambios sociales.

Con esto lo que se quiere es echar por tierra lo que afirman muchos en cuanto a que las ciencias sociales tienden a cambiar más lento que las ciencias fácticas. En realidad es, muy sutilmente, todo lo contrario. A pesar que lo usual es que el ser humano se resista al cambio, es en la mente humana donde se producen los cambios y esto es, inevitablemente, un proceso continuo. Posiblemente la condición, ahora natural, de ser la persona sujeto y objeto en este proceso de estudio, le conduce a aceptar (captar) la urgencia de un cambio como una última instancia, pero esto no tiene que ver con lo rápido o lento que lo asuma sino que es un proceso que siempre está ahí.

¿Cuáles efectos puede producir sobre la humanidad posiciones como esta?: se aceptaba que “toda la materia está formada por partículas sólidas indestructibles (los átomos)” y ahora se afirma que “el átomo no es la esencia del universo, la elementariedad del universo no es física” . Este cambio en la forma de pensar del físico encierra muchos aspectos. ¿Será que debemos hacer más énfasis en la metafísica2?

Aunque el físico no lo asuma abiertamente, ¿se debe descartar la separación entre lo material y espiritual?, ¿será que ambas condiciones se funden en una sola?, ¿se debe aceptar como verdad incuestionable la existencia de un algo cercano o igual a la definición de “Dios”?

En este ambiente de ideas, ¿en qué se diferencia el pensamiento del físico de hoy del pensamiento de los físicos anteriores?, ¿cuáles son los fundamentos ideológicos de los físicos contemporáneos?

De estos fundamentos, citemos algunos: “El tiempo y el espacio están unidos de manera indisoluble”; “la realidad se percibe como procesos o sucesos”; “la realidad es incierta”; “la complementariedad es un aspecto fundamental”; “las cosas no existen, lo que vemos no son más que agrupaciones de existencias inmateriales que por medio de sus agrupaciones crean una representación de la materia”; “el mundo es vivido como representación, no hay posibilidad de separar lo objetivo de lo subjetivo”; “el observador es parte de la realidad que observa”; “el universo es considerado como una compleja red de relaciones e interacciones”; “las propiedades que exhibe el todo se gobiernan por leyes no relacionadas con las que rigen las partes constitutivas de ese todo”; “la naturaleza es un todo polisistémico que se desintegra cuando es reducido a sus partes elementales”; “la visión del mundo más aproximada pareciera ser orgánica y ecológica”.

Evidentemente el físico, como elemento humano o persona, dejó de ver al mundo como su propiedad. Ahora él es parte de ese mundo, el pertenece al mundo. Pero, ¿se sentirá solo? (“La realidad es incierta”, “La complementariedad es un aspecto fundamental”, “Las cosas no existen, lo que vemos no son más que agrupaciones de existencias inmateriales que por medio de sus agrupaciones crean una representación de la materia”, “El mundo es vivido como representación, no hay posibilidad de separar lo objetivo de lo subjetivo”, “El observador es parte de la realidad que observa”, “La visión del mundo más aproximada pareciera ser orgánica y ecológica”).

Todo lo contrario, acepta que no está solo. El físico seguirá interesado por indagar en ese mundo que lo rodea, pero ahora tiene una nueva preocupación: ese mundo lo incluye. Es decir, que hacer física no será una actividad aislada. Ahora debe juzgarse: ¿lo que hago beneficia a la humanidad?, ¿es necesario para el resto de la humanidad los alcances de mi trabajo?, ¿hay otros haciendo el mismo trabajo?, ¿cuál es la base teórica de sus trabajos?, ¿son similares a las mías?

Pareciera que todo lo que marcó el transcurrir histórico del siglo XX se ha invertido para el siglo XXI: las ciencias sociales buscaron apoyo en las ciencias fácticas para crecer, pero ahora las fácticas no pueden existir sin previamente hurgar en las necesidades sociales para determinar lo necesario de la particularidad de su actividad, es decir, ya la actividad del físico no es solo de una cientificidad pura; ahora también es una actividad de preocupación social, de interés para el grupo.

Así las cosas, el mundo se ha vuelto demasiado complejo para que el sujeto se aísle en sí mismo. La humanidad insiste en hacerse perenne más allá de sobre La Tierra, en el Universo. Por ello necesita, a pesar de todo lo relativo que se le pueda considerar, aprehender y agregar a su cultura el conocimiento global. Hay una necesidad emergente de un conocimiento socializado, dominado e internalizado por todos.

RAH.RAH.RAH.RAH.

2 Metafísica se entiende aquí como “lo que viene después de la naturaleza”, lo que está "más allá de lo físico". El término se originó como título de uno de los tratados de Aristóteles, y algunos piensan que se deba

quizá a que éste volumen fue escrito después de su obra "física". Sin embargo, la metafísica, y como su nombre lo indica, se define como algo que está más allá de lo físico, dedicando su estudio a lo abstracto del Ser y de Dios. Es una parte fundamental de la filosofía que trata el estudio del Ser en cuanto tal y de sus propiedades, principios, causas y fundamentos primeros de existencia. Experimenta una fuerza ligada a la teología y frecuentemente tratan los mismos temas. (Fuente de la cita: Wikipedia. La enciclopedia libre).


13

EEll IInnffiinniittoo MMaatteemmááttiiccoo

Por: JOAQUÍN GONZALEZ ALVAREZ

Profesor Universitario de Física (Jubilado) y Optometrista, Graduado por la Universidad de la Habana. Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, con residencia en Estados Unidos. Autor de varios libros de texto y divulgación relacionados con sus especialidades

E-Mail: [email protected]

“Sólo dos cosas son infinitas, el Universo y la estupidez humana, y de la primera no estoy seguro”.

ALBERT EINSTEIN

Resumen

Se realiza una exposición sobre el concepto de infinito matemático y se alude a la clasificación de infinito actual e infinito potencial, así como se presentan ejemplos de secuencias, magnitudes y entes geométricos infinitos.

Introducción

Mucho se utiliza el vocablo “infinito” en el habla común y con más frecuencia en el lenguaje literario, pero muy pocas veces con su significado preciso. En un diccionario de la lengua aparece como primera acepción de “infinito” la que se aviene con la etimología: lo que no tiene fin. La palabra infinito la aplicamos la mayoría de las veces incorrectamente, como sinónimo de muy grande o de lo que no percibimos su terminación.

En el presente trabajo me referiré al infinito en su primera acepción o sea como lo que no tiene final. Como antes dije se suele calificar de infinito a lo que es inmensamente grande, así del universo se dice que es infinito y aunque algunas hipótesis como tal cosa lo tienen, teorías como la General de la Relatividad de Einstein, lo consideran finito.

Desarrollo

La idea de infinito se nos presenta con mayor claridad al fijarnos en conjuntos como el de los números naturales 1, 2, 3… cuya serie no tiene final. En los conjuntos infinitos como éste, se presentan paradojas como la de que por ejemplo, los números pares los cuales por supuesto, no son todos los números naturales, también son infinitos. Y a cada número natural le corresponde un número par. Con lo cual paradójicamente hay tantos números pares como números naturales siendo los pares sólo una parte de los números naturales. De los conjuntos cuyos elementos pueden colocarse en correspondencia uno a uno sin que sobre ninguno, esto es en correspondencia biunívoca o biyectiva, se dice que tienen la misma cardinalidad, La cardinalidad sólo depende del número de elementos del conjunto y no de su ordenamiento. El número de elementos se designa por el cardinal de ese conjunto. Por ejemplo el número cardinal de los conjuntos coordinables uno a uno con los conjuntos de cardinalidad cuatro es el 4. Cuando se trata de conjuntos infinitos al cardinal se le denomina cardinal transfinito. De modo que así considerado hay el mismo número cardinal transfinito de números pares que de números naturales en total. Ese número cardinal transfinito lo representan los matemáticos con la letra hebrea aleph, el Aleph de la narración de Borges. Me parece de interés a esta altura de mi trabajo aludir al concepto de número ordinal. Lo haré mediante un ejemplo ya que la definición rigurosa es algo complicada. El conjunto {0,1,2,3} corresponde al número ordinal 4 (cuarto) porque: a) su cardinalidad es 4 y b) 0<1<2<3. A Borges le atraía con singular fuerza el infinito, se advierte en narraciones como la citada y otras como “La muerte y la brújula”. En dicho cuento Borges alude sin nombrarla, a la famosa Paradoja de Zenón de Elea o Paradoja de la Dicotomía. En su paradoja, Zenón argumentaba que nada ni nadie podría recorrer completamente un segmento de recta AB, esto es, saliendo de A nadie podría llegar a B. pues primero tendría que recorrer AC=AB/2, después AD=AC/2 luego AE=AD/2, y así infinitas dicotomías que no permitirán recorrer la totalidad del segmento. Al ir tendiendo a cero la longitud de la distancia, el número de dicotomías se hace infinito, el valor de una fracción cuyo denominador tiende cero se hace infinito. No obstante en matemática se establece que la división por cero no está definida. En la narración un detective analítico al estilo del Dupin de Edgar Poe, plantea a quien pretende asesinarlo, que recorra hasta llegar a él un segmento mediante las dicotomías de Zenón con el propósito (ignorado por su enemigo) de que nunca lo alcance. Atendiendo al concepto de límite del Cálculo Infinitesimal, se infiere que la Paradoja de Zenón de Elea niega el movimiento y es por eso que en lenguaje común, a la tendencia al inmovilismo se le llama eleatismo.



14


Un argumento similar al de la Paradoja de la Dicotomía de Zenón, lo utilizó el escritor Arthur Schnitzler en su novela “Flight to the Darkness”, en la cual un personaje sostiene que la muerte no existe, ya que en el último momento se vuelve a vivir a vertiginosa velocidad toda la vida, pero a su vez esa vida rememorada tendrá su propio último momento y así sucesivamente, de modo que se vivirá eternamente. De acuerdo con la teoría de los límites del Cálculo Infinitesimal, cada cual se aproxima a la muerte mas no la alcanza.

Asociado a nuestro tema del infinito, considero oportuno recordar un filme de los catalogables como de ciencia ficción serio que se exhibió hace unos años, titulado Moebius en el que se toma una de las alusiones matemáticas mas ingeniosas a la vez que rigurosa al concepto de infinito.

Para entender el filme se hace necesario explicar las características de una figura geométrica espacial llamada Cinta de Moebius de la cual paso a describir como se construye, de una tira de papel en forma de rectángulo estrecho y alargado, se toman sus extremos con el objeto de unirlos para formar un aro, pero antes de pegarlos, le damos una pequeña torsión a uno de los extremos de modo que su parte inferior pase a ser la superior y entonces los pegamos con goma. Tendremos formada la Cinta de Moebius. Esa cinta tiene una sola cara y no dos como tendría de no estar unidos sus extremos como dije, o como las tiene una hoja de papel cualquiera. Para comprobar esa insólita propiedad, se toma un bolígrafo y desde un punto cualquiera de la cinta se va trazando una línea paralela a sus bordes la cual se va prolongando a lo largo de la cinta hasta que vuelva al punto de partida. Podrá comprobarse que recorre toda la cinta sin que quede una porción de la misma sin recorrer y sin tener que pasar por el borde de una cara a la otra por la sencilla razón de que solo tiene una cara. En el filme se presenta una línea de Subway o tren subterráneo en la cual los vagones ruedan y ruedan sin encontrar tope alguno porque esa línea tiene la forma de una Cinta de Moebius. Los pasajeros viajan eternamente sin llegar a paradero alguno. Su viaje no tiene fin su viaje es infinito. Vista de perfil la cinta de Moebius, recuerda la

curva llamada Lemniscata de Bernouilli, curiosamente la forma ∞, símbolo del infinito.

Del infinito decía Aristóteles que “aniquilaba” los números, refiriéndose a lo que ahora se acepta de que el producto de cualquier número por infinito es infinito: .∞=∞⋅n También la suma con

infinito es aniquilante en el decir de Aristóteles.

El concepto de infinito se hace más preciso y aceptable por el intelecto en otras partes de las matemáticas.

Según la Teoría de los Conjuntos de Georg Cantor, existe lo que se llama el infinito actual, algo ya dado como idea que la inteligencia puede captar. El infinito actual lo podemos comprender al pensar en la ya citada serie de los números enteros y positivos: 1, 2, 3, etc., que nuestra mente acepta que no tendrá final, sin que tenga que realizar experimento alguno, el cual por demás es imposible. La idea del infinito actual la aceptan los llamados platonistas y los logicistas como Frege y Bertrand Russell.

Bertrand Russell define el número infinito como una clase reflexiva, lo cual quiere decir que se corresponde término a término a una parte propia de la misma. Así A es un conjunto infinito si siendo B un subconjunto propio de A, existe una correspondencia biunívoca entre A y B. Un ejemplo de reflexibilidad según el filósofo norteamericano Royce sería un mapa perfecto de Inglaterra dibujado sobre el suelo de ese país, pues el mismo a su vez tendría dibujado ese tipo de mapa y así en un proceso teóricamente sin final. Se nos ocurre que una maqueta perfecta de una ciudad situada en un lugar de la misma, sería un buen ejemplo de reflexibilidad para mostrar el concepto de infinito. Bolzano en su tiempo proponía una idea semejante a la de Russell y Joyce de clase reflexiva como concepto de infinito.

Cantor en sus reflexiones místicas relacionaba el concepto de infinito a la idea de Dios a quien asimilaba con la ideal existencia de un último ordinal simbolizado por Ω a su vez relacionado con el concepto cantoriano de Infinito Absoluto. El Infinito Absoluto de cierta manera recuerda la Idea Absoluta de Hegel. Similares reflexiones que lindan con lo teológico, pero ya no para el infinito matemático, sino lo Infinito en abstracto, hacía San Agustín, Obispo de Hipona, en la Edad Media. San Anselmo en su Principio Ontológico (conocido como Prueba Ontológica de la Existencia de Dios), de cierta manera defiende el concepto de infinito actual al decir “Si la realidad es lo infinito, lo es en estos momentos”.



15


La teoría de Cantor sobre todo en lo que respecta al infinito, fue dura y fanáticamente criticada por Leopold Kronecker, lo cual le ocasionó una lamentable crisis depresiva a su genial autor.

Todo ocurrió a finales del siglo XIX y principios del XX.

El infinito se evidencia también mediante fracciones como 4/3 que al pasarla a decimales dividiendo 4 entre 3 se obtiene 1,3333… y la cifra 3 se repite una y otra vez sin que podamos esperar que alguna vez tenga final esa reiteración. El 3 se repite infinitamente.

Sin embargo los matemáticos que sostienen la tesis de que el infinito actual no existe y sí el infinito potencial aducen que lo que ahora observamos como que no tiene final, tal es el caso del valor de la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, el famoso valor de π, del cual se han calculado una enorme cantidad de cifras decimales sin que aparezca el valor exacto, pudiera ocurrir, dicen estos matemáticos, que si se sigue buscando quizás aparezca la cifra final y π deje de ser una evidencia del infinito. Sobre la idea de los dos infinitos ya Aristóteles en sus reflexiones sobre el concepto de infinito consideraba la existencia de las dos citadas variantes. Claro está que en el caso de π donde no se encuentra ninguna regularidad en la aparición de las cifras decimales como se observa en su conocido valor aproximado 3,14159…, alguien podría tener la esperanza de que un día aparezca la cifra final, pero no creo que los partidarios del infinito potencial como único infinito, esperen que de momento el valor que antes vimos de 4/3 esto es, 1,3333…deje de repetir el 3 y aparezca la cifra final que eche a perder nuestro ejemplo de infinito ¡y el Principio de San Anselmo!.

Conclusiones

Ironías aparte, creo que detenernos a meditar sobre cosas interesantes a la vez que importantes para el riguroso tratamiento de la ciencia, como es el concepto de infinito, nos permite ejercitar la mente en asuntos positivos, cosa útil ante la tendencia a ocuparnos de lo banal que a veces se nos propone.

Bibliografía

� Larson, R. 2007. Calculus, Houghton Mifflin Company. New York.

� González, J. 2001 Ciencia, Arte, y Literatura. Ediciones Holguín.

� González, J. 2003. Ciencia, Literatura, Arte...y Filosofía. Libro virtual. http://galeon.com/casanchi/lib/virtuales.htm

� Borges, J. L. 1988, Páginas Escogidas. Casa de las Américas. La Habana.

� Ortiz, J. R. 1994. El Concepto de Infinito. Asociación Matemática Venezolana. Boletín. Vol. 1. Número 2.

Joaquín GONZÁLEZ ÁLVAREZ [email protected]


16

SSiirr AArrtthhuurr SSttaannlleeyy EEddddiinnggttoonn

Nació el 28 de diciembre de 1882 en Kendal y murió el 22 de noviembre de 1944 en Cambridge, ambas localidades en Inglaterra.

Astrofísico británico muy conocido a principios del siglo XX.

El límite de Eddington, el límite natural de la luminosidad que puede ser radiada

por acreción a un objeto compacto, toma su nombre de él.

ARTHUR S. EDDINGTON (1882-1944)

Disfrutó de gran reputación en el período de entreguerras a principios del siglo XX, se le conoce por sus estudios sobre la estructura interna estelar y por su contribución a la comprensión de la relatividad y la cosmología moderna.

Después de cursar estudios de Física y Astronomía en la Universidad de Manchester y en el Colegio Trinity de Cambridge y tras pasar un breve período en el Laboratorio Cavendish, fue nombrado asistente en el Observatorio de Greenwich; posteriormente en 1913 llegó a ser director del Observatorio de Cambridge, cargo en el que permanecería durante toda su vida. Cuáquero y muy reservado, vivió siempre con su madre o con su hermana, dedicó gran parte de su carrera a la divulgación de la astrofísica, a través de conferencias y libros de gran éxito. Fue uno de los primeros físicos que defendió la hipótesis del "Big-Bang", como la posible gran explosión que dio origen al Universo

Entre sus trabajos más importantes destacan los relacionados con el movimiento, la estructura interna y la evolución de las estrellas, descritos en su obra titulada La constitución interna de las estrellas publicada en 1916. Mostró por primera vez la importancia del efecto de la presión de radiación en el equilibrio interno de una estrella, en el cual las fuerzas de atracción gravitatorias debían estar compensadas con las de repulsiones ejercidas por la presión de los gases y de la propia presión de radiación. Enunció la relación entre masa estelar y luminosidad, lo que hizo posible calcular la masa de las estrellas.

Eddington fue de los primeros en comprender el alcance de la relatividad y en difundirla entre la gente de habla inglesa. En 1919 organizó una expedición a la isla Príncipe, en el Golfo de Guinea, para medir, aprovechando el eclipse total de Sol del 29 de mayo, si la luz procedente de las estrellas próximas a la corona solar era ligeramente desviada por el campo gravitatorio del Sol, de acuerdo con las predicciones de Einstein, y así verificar si el valor de la propia desviación era el previsto por la mecánica relativista. Ya en 1914 había propuesto que nuestra Galaxia era sólo una pequeña parte de todo el Universo y, en 1927, identificó, en el desplazamiento de las bandas espectrales hacia el rojo y en el espectro de nebulosas extragalácticas, un efecto Doppler debido a la expansión del Universo. También intentó llevar a cabo la unificación de algunas teorías cuánticas con la de la relatividad.

Detallando más la vida de Eddington.

El padre de Eddington, Arthur Henry Eddington, había sido profesor de una escuela cuáquera (Sociedad Religiosa de los Amigos) en Lancashire antes de mudarse a Kendal, donde se hizo director de la Escuela Stramongate. Murió de la epidemia tifoidea que arrasó Inglaterra en 1884. Su madre, Sarah Ann Stout, proveniente también de una familia cuáquera, tras la muerte del esposo, se quedó sola al cuidado de Arthur y sus hermanas mayores, con relativamente poco dinero. La familia se desplazó a Weston-Super-Mare, donde Arthur fue educado en casa antes de acudir durante tres años a una escuela primaria privada.



17


En 1893, Arthur ingresó a la Escuela Brymelyn. Resultó ser un estudiante brillante, y destacó especialmente en matemáticas y en literatura inglesa. Esto le llevó a obtener una beca de 60 libras en 1898, y así pudo ir al Colegio Owens de Manchester una vez que cumplió los 16 años. Su primer curso tuvo una orientación general, pero los tres siguientes se centraron en la física. Su profesor de matemáticas, Horace Lamb, tuvo una gran influencia sobre él. Su progreso siguió siendo rápido, ganando varias becas y permitiéndole graduarse con un B. Sc. (Bachelor in Science= Bachiller en Ciencias, título universitario británico), con mención de primero de clase, en 1902.

Después de esta actuación en el Colegio Owens, le fue otorgada una beca de 75 libras para acceder al Colegio Trinity en Cambridge, en 1903. Consiguió un Master en 1905, y entró en el Laboratorio Cavendish investigando sobre la emisión termoiónica. Aquí no le fue demasiado bien, por lo que volvió a las matemáticas, aunque tampoco pareció satisfecho.

Eddington contribuyó a probar experimentalmente la teoría de la Relatividad General mediante la observación del desplazamiento de la posición relativa de una estrella durante un eclipse total de Sol. Tras dejar la universidad en 1905, el primer trabajo fijo de Eddington fue el de asistente jefe del Astronomer Royal (Astrónomo Real Británico) en el Real Observatorio de Greenwich. Le fue encomendado el análisis detallado de la paralaje de Eros sobre placas fotográficas, cuestión que le sirvió para desarrollar un nuevo método estadístico basado en el desplazamiento aparente de dos estrellas lejanas, lo que le mereció el Premio Smith en 1907.

Ese premio hizo que le acogieran como Fellow del Colegio Trinity. En diciembre de 1912 George Darwin, hijo de Charles Darwin, murió repentinamente, y Eddington fue ascendido a la cátedra Plumian de Astronomía y Filosofía Experimental en 1913. Tras la muerte de Robert Ball, Eddington fue nombrado director del Observatorio de Cambridge el año siguiente. Fue elegido Fellow de la Royal Society poco después.

Durante la Primera Guerra Mundial, Eddington fue llamado a filas, pero como era miembro de la Sociedad Religiosa de Amigos (Cuáqueros) y era pacifista, se negó a participar en el ejército. Como objetor, pidió que le asignaran servicio alternativo, y sus amigos científicos defendieron con éxito que fuera absuelto del servicio militar por su importancia para la ciencia.

Tras la guerra, Eddington viajó a las islas Príncipe, cerca de África, para observar el eclipse solar del 29 de mayo de 1919. Durante el eclipse fotografió las estrellas que aparecían alrededor del Sol. Según la Teoría de la Relatividad General, las estrellas que deberían aparecer cerca del Sol deberían estar un poco desplazadas, porque su luz es curvada por el campo gravitatorio solar. Este efecto sólo puede observarse durante un eclipse, ya que si no el brillo del Sol hace las estrellas invisibles al ojo humano.

Las observaciones de Eddington confirmaron la teoría de Einstein, y fueron tomadas en su época como la prueba de la validez de la relatividad general frente a la en parte obsoleta mecánica newtoniana. La noticia fue dada a conocer por muchos periódicos en primera plana. Cuando a Eddington le comentaron que, según Einstein, sólo había tres personas en el mundo que comprendieran la teoría de la relatividad, este respondió bromeando: “¡Ah!, ¿y quién es la tercera persona?”

Sin embargo, según investigaciones históricas recientes, los datos que tomó Eddington no eran correctos, y seleccionó arbitrariamente qué información utilizar. Sin embargo, posteriormente se ha comprobado el desplazamiento de la luz de las estrellas al pasar cerca del Sol en repetidas ocasiones.

Eddington también investigó el interior de las estrellas teóricamente, y desarrolló el primer método para comprender los procesos estelares. En su modelo tomó las estrellas como gas en equilibrio radiactivo, de manera que está estable porque la presión del gas hacia fuera (por su temperatura) compensa la fuerza que la gravedad ejerce hacia dentro. Según él la temperatura implicaría que los átomos estarían ionizados, por lo que supuso que las estrellas se comportan como gases ideales, simplificando así los cálculos necesarios.

Así demostró que el interior de las estrellas debe encontrarse a millones de grados. También descubrió la relación masa-luminosidad, calculó la abundancia de hidrógeno y creó una teoría para explicar el cambio de brillo de las variables cefeidas.

En 1920, basándose en la medición precisa de los pesos atómicos hecha por F. W. Aston, fue el primero en sugerir que las estrellas obtienen su energía a partir de la fusión nuclear del hidrógeno y el helio. Aunque al principio esta teoría fue controvertida, la discusión finalizó cuando Hans Bethe desarrolló la teoría de la fusión entre 1938 y 1939.

Durante esta época Eddington dio clases de relatividad en la universidad, y se hizo famoso por tener la habilidad de explicar los conceptos tanto en términos científicos como para el gran público.



18


Su libro “Teoría Matemática de la Relatividad” es, según el propio Albert Einstein, la mejor introducción al tema en cualquier idioma.

Tuvo un largo enfrentamiento con el científico indio Chandrasekhar sobre el límite de masa a partir de la cual una estrella puede evolucionar a enana blanca, y a partir del cual la estrella colapsa en una estrella de neutrones o un agujero negro. Posteriormente se ha probado que ese límite, conocido hoy como Límite de Chandrasekhar es correcto, y ese científico recibió el Premio Nobel de Física en 1983.

Eddington fue el principal mentor de Georges Lemaître y contribuyó a la difusión de sus investigaciones.

Durante los años 20, y hasta su muerte, Eddington se concentró en lo que llamó la “teoría fundamental”, lo que pretendía ser una unificación de la mecánica cuántica, la teoría de la relatividad y la gravitación. Esta empresa también la emprendió el mismo Einstein, aunque en ambos casos sin éxito. De hecho, esa unificación sigue siendo uno de los mayores interrogantes de la Física contemporánea.

El enfoque de Eddington sobre la unificación se centró en combinar varias constantes fundamentales para producir un número adimensional. Como siempre llegaba a números próximos a la masa del protón o la carga del electrón, creyó que estas debían ser las bases de la construcción del Universo, y que sus valores no eran accidentales. El famoso físico cuántico Paul Dirac también siguió una línea similar de investigación, conocida como Hipótesis Dirac de Números Grandes, con un gran enfoque numerológico. Sin embargo, la constante de estructura fina, no correspondía con los cálculos de Eddington (el llamado número de Eddington), lo que hizo que el resto de la comunidad científica dejara de prestarle tanta atención.

Eddington creía haber encontrado una base algebraica para la Física Fundamental, que tiene similitud con las nociones algebraicas que se encuentran tras los intentos modernos de una Teoría de la Gran Unificación. Eddington no tuvo tiempo de completar esta línea de investigación antes de su muerte, y su libro “Teoría Fundamental”, fue publicado póstumamente en 1946.

Sir Arthur Eddington murió en Cambridge, Inglaterra, en 1944.

Algunos Libros conocidos escritos por Eddington.

1914. Stellar Movements and the Structure of the Universe. London: Macmillan.

1920. Space, Time and Gravitation: An Outline of the General Relativity Theory. Cambridge University Press.

1923. The Mathematical Theory of Relativity. Cambridge University Press.

1926. Stars and Atoms. Oxford: British Association. 1926. The Internal Constitution of Stars. Cambridge University Press. 1928. Fundamental Theory. Cambridge University Press. 1928. The Nature of the Physical World. MacMillan. 1929. Science and the Unseen World. Macmillan. 1930. Why I Believe in God: Science and Religion, as a Scientist Sees It 1933. The expanding universe. 1935. New Pathways in Science. Cambridge University Press. 1936. Relativity Theory of Protons and Electrons. Cambridge Univ.

Press. 1939. Philosophy of Physical Science. Cambridge University Press.

(1938 Tarner lectures at Cambridge)) 1925. The Domain of Physical Science.

Premios.

Bruce Medal (Medalla Bruce). 1924.

Henry Draper Medal (Medalla Henry Draper). 1924.

Gold Medal of the Royal Astronomical Society (Medalla de Oro de la Real Sociedad de Astronomía). 1924.

Royal Medal of the Royal Society (Medalla Real de la Real Sociedad). 1928.

Knighted (Caballero del Reino). 1930.

Order of Merit (Orden al mérito). 1938.

Llamados en su honor.

Cráter Eddington, en la Luna

El Asteroide 2761 Eddington

La Medalla Eddington, de la Real Sociedad de Astronomía.

FUENTES:


19

MUJERES DESTACADAS EN LAS CIENCIAS:

GGrraaccee CChhiisshhoollmm YYoouunngg__ 1155 mmaarr zzoo 11886688 –– 2299 mmaarr zzoo 11994444

Reseña biográfica preparada por:

DARIANNA BERNÀEZ, C.I. Nº: 19363241; GIANINA DE CANHA, C.I. Nº: 19472505; y KATIUSKA ESCALONA, C.I. Nº 17904730.

Estudiantes cursantes de la asignatura Cálculo II, Sección 11, Periodo I-2010, de la Mención Matemática, Facultad de Ciencias de la Educación (FaCE), Universidad de Carabobo. Valencia-Venezuela. 10 de julio de 2010.

Las mujeres aparecen en la historia de las matemáticas ya en la antigüedad, y desarrollan hoy una actividad matemática mejor que nunca. ¿Por qué, entonces, no se citan mujeres matemáticas anteriores al siglo XX? La razón es un conjunto de barreras social y culturalmente impuestas, entre las que podríamos citar:

. Actitudes negativas no sólo acerca de su talento científico (por poner algunos ejemplos de personajes intelectualmente influyentes, valga citar que el filósofo Kant llegaba a decir que era tan posible que una mujer tuviera barba como que sintiera preocupación por la geometría, y el matemático De Morgan consideraba a las mujeres débiles y sin preparación física para actividades científicas), sino también acerca de la utilidad de las matemáticas para ellas (llegaron a aparecer incluso datos médicos que señalaban que una mujer que pensara demasiado podía sufrir desviaciones de la sangre desde el aparato reproductor hacia el cerebro)

. Dificultades para conseguir una educación matemática (en el pasado, quizá por el papel social que le vino siempre impuesto, fue siempre raro que una mujer pensara siquiera en iniciar el arduo y difícil camino de llegar a tomar contacto con matemáticas superiores; hasta después de la 1ª guerra mundial, era normal que la mujer no pudiera acceder a puestos universitarios)

. Falta de apoyo y comprensión para relevar a la mujer de las tareas cotidianas (el investigador matemático siempre ha necesitado grandes dosis de tiempo; piénsese, entonces, en el rol histórico de las mujeres, llevado a su máximo en el pasado: criar hijos, cocinar, coser, etc.)

Ubicación Temporal y Espacial (Línea de vida).-

Grace Chisholm Young nació en 1868, en Inglaterra, durante el reinado de la reina Victoria. Su familia era de clase alta, con elevada educación. Su padre, Henry William Chisholm, había tenido un prestigioso cargo en el Departamento de Pesas y Medidas del Gobierno británico y su madre, Anna Louisa Bell, era una consumada pianista que, junto a su padre, daba recitales de violín y piano en Haslemere Town Hall. Tenían 44 y 59 años, respectivamente, cuando ella nació.

Era la más pequeña de cuatro hermanos. Todos eran hombres menos ella, siendo la más consentida. Uno de sus hermanos mayores, Hugo Chisholm obtuvo fama por la edición de la Enciclopedia Británica e influencias en la edición de The Times. Sólo le enseñaban lo que ella quería aprender y en este sentido su educación fue un tanto informal. Le gustaba el cálculo mental y la música, y como en ambas materias su madre podía darle clases, se educó en su casa hasta que tuvo diez años. La educación de sus hermanos varones fue muy diferente. A los diez años su madre le puso una institutriz, que constituyó la única educación formal en su infancia. Sin embargo fue una preparación suficiente para, a los 17 años, pasar los exámenes de Cambridge (Cambridge Senior Examination). Si hubiese sido un varón, al año siguiente hubiese comenzado sus estudios universitarios, pero al ser una mujer, esta posibilidad no fue considerada, y siguiendo los deseos de su familia se ocupó de trabajos sociales con la gente pobre de Londres.

Cuando Grace, con 21 años, decidió continuar estudiando, su madre no deseada que ella estudiara medicina, su primera elección, y con el apoyo de su padre comenzó a estudiar matemáticas. Su tutor fue William Henry Young. Él cual le pidió que le colaborara en su libro de astronomía.

Este le propuso matrimonio pero ella se rehusó, la insistencia de William no cesó hasta que se casaron en Londres en Junio de 1896. El primer año de su matrimonio lo vivieron en Cambridge donde ella pudo continuar investigando y escribiendo, pero al final de ese año nació su primer hijo y William Young decidió trasladarse a Alemania. Entre 1897 y 1908 tuvieron seis hijos y una familia tan numerosa que no le permitía desarrollar muchas actividades fuera del hogar. Su creatividad si dirigió fundamentalmente a la educación de sus hijos.

Además, el temperamento de William fue muy bohemio, y debido a esto pasaron gran parte de su vida viajando por Alemania, Inglaterra, Italia.... Ocupó mucho de su tiempo en la educación de sus hijos. Su hijo Frank (Bimbo) que murió durante la primera guerra mundial prometía ser un gran científico. Janet fue física, como a Grace le hubiese gustado ser. Cecily se doctoró en matemáticas en Cambridge, como también hubiese deseado Grace. Laurie también fue matemática. Pat fue un químico reconocido.

Comenzó la segunda guerra mundial. A William le causaba preocupación la reacción que pudiera haber en su país por su simpatía por Alemania y Grace volvió sola a Inglaterra. En el verano de 1942, cuando llevaban dos años separados, William murió repentinamente, pocos días antes de cumplir 79 años. Ella murió dos años después, en 1944, con 76 años. Tuvo 15 nietos.



20


Algunos aspectos resaltantes de su vida fuera del ambiente de la matemática.-

Además de las matemáticas, ella completó los requisitos para el título de médico, excepto las prácticas, sabía seis idiomas e inculcó a sus hijos el gusto por las ciencias: física, medicina, química. Al igual que les enseñó a cada uno de sus hijos a tocar un instrumento musical.

Campo de estudio y desempeño profesional con respecto a la matemática.-

En abril de 1889 entró en la universidad de Cambridge, en el Gritón Collage, el mejor centro en matemáticas en aquella época. Su tutor le sugirió que fuese a las clases de Cayley, ella le pidió a su amiga Isabel Maddison que la ayudase y ambas hicieron la solicitud que se requería para poder asistir a las clases de un determinado profesor, el permiso no fue concebido. En 1892 Grace obtuvo su diploma en Cambridge, pero allí todavía una mujer no podía doctorarse, aun cuando ella era considerada como una matemática brillante.

Para proseguir su carrera como matemática debió abandonar su país e ir a Göttingen (la ciudad universitaria alemana donde se habían doctorado Sofía Kovalevskaya y Emmy Noether). Grace había elegido el lugar adecuado en el momento oportuno. Allí estaba Félix Klein, que la ayudó con su cordialidad y su apoyo. Pero la conformidad para admitirla tenía que darla el Ministerio de Cultura de Berlín. También fue en esto Grace afortunada pues el oficial encargado de la educación superior en Alemania era en ese momento Friedrich Althoff, liberal e interesado en la educación superior de la mujer.

Ella describió así a Félix Klein en una carta: “La actitud del Profesor Klein es esta, no admite la admisión de cualquier mujer que no haya ya realizado un buen trabajo y que pueda superar las pruebas de grado o equivalentes… El Profesor Klein es moderado. Hay miembros en la Facultad que no están de acuerdo con la admisión de mujeres y otros que lo desaprueban totalmente”.

Bajo la supervisión de Félix Klein obtuvo su doctorado en 1895. El título de su tesis doctoral fue "Grupos algebraicos y trigonometría esférica". Por lo tanto se puede considerar a Grace como la primera mujer que consiguió su doctorado en matemáticas de una forma "normal". A las clases de Klein asistían ella y otras dos mujeres. Como anécdota se cuenta que Klein tenía por costumbre comenzar con "¡Caballeros!" y debió modificarlo con "¡Oyentes!", aunque alguna vez se confundió y rectificó con una sonrisa. Se examinó de doctorado y volvió a Inglaterra. Su tesis fue reproducida y enviada a las personas que podían estar interesadas. Una de ellas, William Young, su futuro esposo, que le pidió colaboración para un libro de Geometría del cual es muy difícil separar los aportes de ella en dicho libro con los de él.

Luego de su matrimonio con William Henry Young. Salieron de Inglaterra poco después de este evento para estudiar matemáticas en Europa. En 1898 la pareja visitó a Félix Klein en Gotinga y los alentó a hacer algunas investigaciones en la teoría de conjuntos. Esto los llevó a trabajar, en muchas áreas, la topología de la recta real y el plano, teoría de la medida y la integración, las series de Fourier, y los fundamentos del cálculo diferencial.

Aportes reconocidos a la matemática y a la ciencia en general.

De Grace Young se puede decir que fue una madre ejemplar, que se ocupó de la crianza de sus 6 hijos, a quienes están dirigidas las obras que escribió en aquella época. Se dedico por completo a utilizar su creatividad y sobre todo sus conocimientos como matemática y en la medicina, para la elaboración de dichas obras por lo que es mejor conocida en el ámbito educativo, pues escribió libros didácticos para sus hijos que son auténticos manuales para la enseñanza de las matemáticas y biología.

Sus aportes más relevantes en las matemáticas son gracias a que el campo de lo que entonces se llamaba “la teoría de funciones de una variable real" fue rediseñado y reescrito. Los Young jugaron un papel importante en ese esfuerzo. Entre ellos escribieron más de 200 artículos matemáticos y varios libros, uno de ellos sobre la geometría y el otro sobre la teoría de conjuntos.

No está claro qué parte de la colaboración matemática era realmente el trabajo de Grace, pero ahora es generalmente aceptado que William Young probablemente habría logrado mucho menos sin la ayuda de su esposa, pues a pesar de que William era considerado un buen profesor, no hizo ninguna investigación original antes de trabajar con ella.

De las más de 200 publicaciones que aparecen en la bibliografía por Grattan-Guiness, 13 son de la autoría de manera conjunta y 18 tienen a Grace Young como la única autora. En las ausencias de su marido, cuando él iba a trabajar fuera, ella reencontraba su energía productiva y se ponía a trabajar, y fue durante una de esas ausencias, cuando William estuvo en la India en la universidad de Calcuta, cuando ella elaboró una serie de textos sobre los fundamentos del cálculo diferencial e integral. Grace no podía producir a su lado, ya que cuando William estaba en casa monopolizaba completamente su vida con demandas excesivas.

A pesar de sus difíciles condiciones de vida fue capaz de conseguir una considerable cantidad de excelentes trabajos y desgraciadamente las obras y los más de 200 artículos que publicaron juntos llevaron impresa en su mayoría la autoría exclusiva de su marido.

Además hizo unas aportaciones a la Integral de Lebesque “que es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas”, y al estudio de las Derivadas de las Funciones Reales.

Obra o producción literaria en relación con la matemática.-

En 1905, escribió el “Primer libro de geometría” (First Book of Geometry), ella en este libro opinaba sobre el interés que tenía de enseñar Geometría utilizando cuerpos geométricos en tres dimensiones.



21


En su introducción, Grace escribía que el estudio de la geometría en primaria y en secundaria padece considerablemente por el hecho de que los escolares no han adquirido previamente el hábito de la observación geométrica, no se les ha animado a la práctica natural del pensamiento en dimensión tres, que recibía mucha menos atención que la geometría del plano. Opinaba que esto no debía ser así porque “en cierto sentido la geometría plana es más abstracta que la tridimensional, o también llamada Geometría del Sólido”, (Young; 1970, Introduction), y consideraba que la geometría tridimensional era más cercana a la experiencia, era más natural. Una de las razones por las que la geometría plana ha mantenido esta situación privilegiada durante cientos de años y se estudia en los cursos preliminares es probablemente debido al valor didáctico de l dibujo de los diagramas planos en papel o en la pizarra o en otros medios equivalentes. Estos métodos tienen las siguientes ventajas:

1. No requieren un equipamiento especial.

2. Es fácil de enseñar y comprender, y sólo requiere cuidado y práctica.

3. Los diagramas pueden reproducirse tan a menudo como sea necesario, incluso por el estudiante, adquiriendo la necesaria destreza. Pero admitía, sin embargo, muy difícil representar figuras tridimensionales en una superficie bidimensional como es una página de un libro, y consideraba que ésta era la razón por la no se trabajaba (y actualmente tampoco se trabaja) adecuadamente.

Como ella trabajo a menudo en colaboración con su esposo es difícil distinguir su contribución en las obras en las que trabajaron juntos. En las ausencias de su marido, cuando él iba a trabajar fuera, ella reencontraba su energía productiva y se ponía a trabajar, y fue durante una de esas ausencias, cuando ella elaboró una serie de textos sobre los fundamentos del cálculo diferencial e integral.

A pesar de sus difíciles condiciones de vida fue capaz de conseguir una considerable cantidad de excelentes trabajos y desgraciadamente las obras y los más de 200 artículos que publicaron juntos llevaron impresa la autoría exclusiva de su marido.

Obra o producción literaria no relacionada con la matemática.-

Su creatividad de dirigió fundamentalmente a la educación de sus hijos a quienes están dirigidas las obras que escribió en aquella época. Escribió por ejemplo un libro para enseñar biología a uno de sus hijos, en el que describe el proceso de la división celular, que se publicó en 1905, con el nombre de “Bimbo” y escribió otro libro con el nombre de “Bimbo y las Ranas”.

Reconocimientos honoríficos

Ganó el Premio Gamble en Cambridge en 1915 (dada por Girton College de ex-alumnas distinguidos) por un ensayo sobre los fundamentos del cálculo. Los becarios de Girton College habían recomendado que se le otorgara un título honorario, pero murió antes de que pudiera otorgar.

Bibliografía consultada.-

• Autor desconocido. Disponible en línea. (20-03-2010): http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesgue

• Riddle , Larry. Disponible en línea. (2-9-2009): http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/young.htm&rurl=translate.google.es&usg=ALkJrhjcTrYUkxpZ6Fle_x6BLf9lRJqlpQ

• Salvador, Adela. Disponible en línea. (05-02-2010):

• http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/06-07/PG-06-07-Salvador.pdf

• Sandoval, Salvador. Disponible en línea. (2010): http://www.iessalvadorsandoval.es/joomla1514/index.php?option=com_content&view=article&id=519:semana-5-grace-chisholm-young&catid=223:matemcas-matemcas-mujeres&Itemid=451

• González, Francisco. Disponible en línea. (2001): http://www.xtec.cat/~fgonzal2/mujeres_mat.html

“El obstáculo en el camino del propio desarrollo de las ideas

geométricas ha sido la carencia de un método que ocupe el lugar del

dibujo de la geometría plana. El dibujo de los cuerpos sólidos es

demasiado difícil. Los modelos, la mayor parte de cartón, tienen el

mismo defecto... relativamente caros y requieren constante

supervisión”.


22

Autor: Roberto Ortega

Licenciado en Educación Matemática

EEnntt rr eevvii sstt aa aa uunn eexxcceell eenntt ee eesstt uuddii aanntt ee ddee mmaatteemmáátt ii ccaa,, eess eenn rr eeaall ii ddaadd uunnaa rr eeccooppii ll aaccii óónn ddee ll aass eexxppeerr ii eennccii aass ccoommeennttaaddaass eenn eenntt rr eevvii sstt aass ccaassuuaall eess aa eesstt uuddii aanntt eess ccoonn bbuueenn rr eennddii mmii eenntt oo ccuuyyaass aacctt ii tt uuddeess hhaaccii aa ll aa aassii ggnnaattuurr aa ddee mmaatteemmáátt ii ccaa nnoo ssii eemmpprr ee eess ll aa ddee ccoosstt uummbbrr ee,, eess ddeeccii rr ,, ll aa ddee ddeessii nntt eerr ééss,, hhaasstt aa ccoonn sseenntt ii mmii eenntt ooss ddee rr aabbii aa hhaaccii aa ll aa mmaatteemmáátt ii ccaa oo hhaaccii aa tt ooddoo ll oo qquuee tt eennggaa qquuee vveerr ccoonn ll ooss nnúúmmeerr ooss.. CCaassii ssii eemmpprr ee ll ooss eesstt uuddii aanntt eess ccoonn bbuueenn rr eennddii mmii eenntt oo ssii eemmpprr ee ssoonn aabbii eerr tt ooss yy ppoossii tt ii vvooss hhaaccii aa ll aa aassii ggnnaattuurr aa,, ppaarr tt ii ccii ppaann yy mmuueesstt rr aann ii nntt eerr ééss,, yy eenn mmuucchhooss ccaassooss ssee aaddeell aanntt aann eenn ll ooss ccoonntt eennii ddooss.. SSii nn eemmbbaarr ggoo,, ll ooss eesstt uuddii aanntt eess ccoonn bbaajj oo rr eennddii mmii eenntt oo ssee ll eess ppuueeddee ff oommeennttaarr uunnaa bbuueennaa aacctt ii tt uudd,, tt rr aabbaajj aannddoo ccoonn eell ll ooss yy ddaannddoo uunn ppooccoo mmááss ddeell sseerr ddoocceennttee,, hhaasstt aa qquuee ““ tt eenneerr bbuueennaa aacctt ii tt uudd hhaaccii aa ll aa mmaatteemmáátt ii ccaa”” sseeaa ppaarr tt ee ddeell ccoonntteennii ddoo aa eesstt uuddii aarr yy eesstt oo ssee rr eeff ll eejj ee eenn ll aass ccaall ii ff ii ccaaccii oonneess yy mmeejj oorr aaúúnn,, eenn eell ff uutt uurr oo sseerr ddeell eesstt uuddii aanntt ee..

LL aass pprr eegguunnttaass ddee ll aa eenntt rr eevvii sstt aa ssee bbaassaarr oonn eenn eell ll ii bbrr oo ““ CCóómmoo sseerr uunn ggrr aann eesstt uuddii aanntt ee ddee mmaatt eemmáátt ii ccaass”” ddee RRii cchhaarr dd MM aannnnii nngg SSmmii tt hh ((11999999)).. 33rr aa eeddii ccii óónn.. II nntt eerr nnaatt ii oonnaall TThhoommppssoonn EEddii tt oorr eess..

Profesor: - Hola Juan, ¿Cómo estás? Juan: - Bien, ¿y usted? Profesor: - Chévere. Mira Juan, viendo las calificaciones que obtuviste en el año escolar que acaba de finalizar y las apreciaciones de tus anteriores profesores de matemática, quisiera hacerte unas preguntas para saber qué fue lo que te llevó a obtener las máximas calificaciones en matemática.

(Actitud)

Profesor: - ¿Cuál crees que fue la cualidad, es decir, alguna parte de tu personalidad que pudiste controlar para obtener éxito en tu curso? Juan: - Mi actitud ante el curso profesor, siempre fui con la mente abierta a esperar ver cosas nuevas. Profesor: - ¿Cómo te motivabas para obtener buenos resultados? Juan: - Pensaba en razones importantes para dedicarme a estudiar matemática, lo importante que es aprenderlas, luego pasar con buenas notas y aprender más el otro año. Profesor: - Si tus estudios universitarios no tuviesen que ver en nada con las matemáticas, ¿Cómo te puede beneficiar el éxito con las matemáticas? Juan: - A ver… Bueno, Me podría inspirar para enfrentar otro tipo de retos en el futuro. Profesor: - ¿Cómo puedes superar un desempeño deficiente en otros años? Juan: - Cuando había unos ejercicios que no entendía o eran difíciles, trataba de perseverar y me decía “nunca rendirse”. Profesor: - Cuando comenzabas un nuevo año escolar o un lapso, y tenías dificultades con matemática, ¿Cómo lo resolvías? Juan: - Buscaba a alguien que supiera eso que estaba dando el profesor para que me explicara y me iba superando durante las clases. Profesor: - Si algunas clases te causaban ansiedad o nervios por las dificultades, ¿Qué hacías? Juan: - Recordaba un rato las veces que me habían salido bien los ejercicios y cuando entendía bien las clases, eso me daba a razonar que podía superar las dificultades. Profesor: - ¿Qué recomiendas a tus compañeros para responder ante los tropiezos? Juan: - Deben persistir y trabajar duro hasta el final del curso, sin importar las dificultades o problemas que puedan surgir en el camino. Profesor: - ¿Qué haces cuando sientes que pierdes el control sobre tus estudios y sientes que bajas las calificaciones? Juan: - Bueno, más bien actúo como si tuviese el control y como si lo disfrutase, creo que en siempre si uno cambia las expectativas y metas; si cambio mis sentimientos, también puede cambiar mi comportamiento y por eso mis calificaciones. Profesor: - ¿Cuáles son tus estrategias a seguir durante las primeras clases? Juan: - Agarro y me dedico por completo en esas semanas a estudiar bastante.

(Dominio del contenido trabajado en la clase)

Profesor: - ¿Qué haces para dominar la clase que da el profesor? Juan: - Tengo varios trucos profe: Hago mi mejor esfuerzo para ver o seguir las explicaciones del profesor en el salón de clases. Trato de comprender lo que copio en mi cuaderno y lo que el profesor manda a leer. Trato de resolver los ejercicios en casa y anoto lo que le voy a preguntar al profesor en la próxima clase y planifico cómo voy a estudiar para el próximo examen. Profesor: - ¿Alguna vez omitiste alguno de esos pasos? Juan: - Sí, a veces omitía uno, o hasta dos pasos y no obtenía buenas calificaciones. (En cuanto a los exámenes) Profesor: - ¿Qué haces cuando el profesor anuncia un examen? Juan: - Pedirle que indique las reglas y el alcance, es decir, hasta dónde va a llegar. Profesor: - ¿Cómo te inicias para la preparación para presentar un examen? Juan: - Escribo una lista que esté aparte del cuaderno que tenga los temas que van para el examen. Profesor: - ¿Específicamente qué colocas en las listas? Juan: - Junto a los temas pongo los tipos de ejercicios. Profesor: - ¿Cuál es la dificultad de los ejercicios que colocas en la lista? Juan: - Coloco desde los más fáciles hasta los más difíciles.

(El tiempo)

Profesor: - ¿Cuándo estudias matemáticas? Juan: - Estudio luego de las clases, bueno, en realidad lo que hago es leer lo que escribí en clase ese mismo día, si leo y no entiendo algo, lo anoto para buscarlo en el libro y si no lo encuentro, se pregunto al profesor en clase. Profesor: - ¿Cuánto tiempo dedicas para estudiar matemáticas? Juan: - Bueno profesor, depende de el tema, si es muy difícil, por supuesto le dedico más. Estudio como media hora diaria. Profesor: - ¿Estudias horas antes del examen? Juan: - No, porque me pongo más nervioso y se me confunden los temas que había estudiado, prefiero relajarme y pensar que el examen es como si estuviese estudiando todavía. Profesor: - Gracias Juan. Fue un placer. Juan: - De nada profesor.


23

PPEENNSSAARR LLAA SSEEMMIIÓÓTTIICCAA

El 16 de junio pasado se realizó en el Auditorio de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, la Conferencia “Pensar la Semiótica”, promovida por la Cátedra de Cálculo del Departamento de Matemática y Física de la Facultad de Ciencias de la Educación y el apoyo de la Dirección de Estudios de Postgrado.

El evento se dividió en cuatro disertaciones:

“Lo Nocional/Conceptual/Categorial” a cargo del doctorando Msc. Wilfredo Illas (FaCE-UC, Dpto. Lengua y Literatura; Postgrado), quien disertó sobre: Semiótica: Concepto, características y funciones. Aportes de Saussure y Peirce. Semiótica textual. Aportes de Greimas y U. Eco. Semiótica y discurso literario.

“Lo Psico-Semiótico”, a cargo del doctorando Msc. Miguel Ángel Castillo (FaCE–UC; Postgrado), quien disertó sobre: Signo, Significado y Sentido. Representacionismo. Intencionalidad y Sentido. Comprensión, entendimiento e interpretación.

“Lo Sofos-Semiótico”, a cargo del Dr. José Tadeo Morales (FaCE–UC; Dpto. Filosofía), quien disertó sobre: Giro hermenéutico-semiótico. Semiótica-Signo-Exégesis. De los juegos del lenguaje a la ontología. De la ontología a la hermenéutica.

“Lo episteme/Semiótico/Metodológico”, a cargo del Dr. Carlos Zambrano (FACES-UC), quien disertó sobre: Semiótica Social. Aitesis: epistemología, lenguaje, sentimientos. El discurso como modo de expresión. Paradigma positivista y Paradigma interpretativo.

Este evento estuvo dirigido principalmente a estudiantes de Pregrado y de la Maestría en Educación Matemática; aunque cualquier persona que estuviera interesada en asistir podía hacerlo.

LLOOSS MMÉÉTTOODDOOSS EENN IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN CCUUAALLIITTAATTIIVVAA

El 17 de julio pasado, en el salón de conferencias de la clínica Hospital Metropolitano de Naguanagua, se realizó un Seminario-Taller titulado “Los Métodos de Investigación Cualitativa: Etnográficos, Femenomenológicos, Hermenéuticos e Investigación-Acción”, dirigido por el prestigioso especialista en el área, Dr. Miguel Martínez Miguelez, y promovida por Misión Psique: “Propuestas Ecológicas para el Aprendizaje Transformacional y la Calidad Personal-Organizacional”.

EL DR. MIGUEL MARTÍNEZ DURANTE SU EXPOSICIÓN

Quienes hemos tenido la oportunidad de leer parte de la amplia producción literaria del Dr. Martínez Miguelez, con su exposición pudimos corroborar su consistencia en los principios que siempre ha predicado al escribir sus obras.

NUESTRO COORDINADOR DE PUBLICACIÓN, PROF. PRÓSPERO GONZÁLEZ MÉNDEZ, EN COMPAÑÍA DEL DR. MIGUEL MARTÍNEZ INSTANTE DESPUÉS DE TERMINADA LA CONFERENCIA.

Entre las muchas acotaciones referidas por él ese día, llamó la atención cuando manifestó su malestar por una situación vivida en una universidad muy conocida del estado Táchira, donde a nivel de Doctorado, estaban obligando a los doctorantes a elaborar Tesis únicamente sobre las Tic. Para el Dr. Martínez, esto constituye un gravísimo error porque para él, las Tic por su naturaleza, “no producen conocimientos”, principal razón de la existencia de las Tesis Doctorales.

EEVVEENNTTOO DDOOCCTTOORRAALL

“didáskalos paideias kai aretés” “ maestro de educación" - o "cultura" - y de "excelencia" - o "virtud”

El día martes 20 de julio del presente año, en el Auditorio de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, se realizó el evento doctoral organizado por los profesores Rafael Ascanio Hernández y Pedro Angulo Landaeta, cuyo fin era cumplir con uno de los requisitos exigidos por la Dirección de Estudios de Postgrado y la Coordinación del Doctorado en Educación para optar al título de Doctor en Educación.

La parte central del evento lo constituyó la realización de tres conferencias, a saber:

“Transición de hombre culto a docente culto”, a cargo del Dr. José Napoleón Oropeza (FaCE – Dpto. Lengua y Literatura; Postgrado). Aristas temáticas: “La cultura en el hombre común”, “Afirmación: El hombre común-culto se hace docente”, “¿Hay necesidad social de un docente holísticamente culto?”, “El perfil docente y la presencia-ausencia de la cultura como un hábito en su vida”, “Reflexión: ¿Ser Docente en Matemática justifica no ser culto?”, “Reflexión: posibilidades sociales de un docente de matemática preocupado por crecer culturalmente, pros y contras”.

“Poética y Retórica”, a cargo del Msc. Orlando Chirinos (FaCE-UC; Dpto. Lengua y Literatura; Postgrado). ”. Aristas temáticas: “La cultura en el hombre común”, “Poética y Retórica: elementos necesarios en la concepción holística de la cultura”, “La imbricación Poesía y Retórica: ¿un factor ontológico dentro o más allá de la Ontología del Lenguaje propuesta por Rafael Echeverría, o hay que revisar primero la Filosofía del Lenguaje de Ludwig Wittgenstein y J.L. Austin?”, “La Poética y la retórica como competencias presentes en la formación de un docente”, “La Poética y la retórica como competencias presentes en la formación de un docente de matemática”, “La práctica de la poesía las transiciones de la formación de un docente de matemática o la formación de la invención / holografía como competencia integrada al perfil de egreso”.

“Pensamiento Matemático Avanzado”, a cargo de la Dra. Nadia González Daza (Ingeniería-UC; Dpto. de Matemática), quien conversó sobre “Constructos teóricos que facilitan la formación del pensamiento matemático escolar”.

Este evento estaba principalmente dirigido a estudiantes del Doctorado como de Maestrías, pero hubo una nutrida asistencia de decenas de estudiantes de Pregrado como de egresados en general.

JOSÉ NAPOLEÓN OROPEZA ORLANDO CHIRINOS

II JJOORRNNAADDAA

““LLAASS MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS YY SSUUSS DDIIDDÁÁCCTTIICCAASS””

El 26 y 27 de julio pasado, se realizó en Tinaquillo, Cojedes, la “I Jornada. Las Matemáticas y sus didácticas”, auspiciadas por la UNILLEZ y la UNEFA-Cojedes y bajo la coordinación de la Profesora Exmerlys Carolina Revilla. Como ponentes por la UC participaron los profesores Pedro Angulo Landaeta con “Didáctica del cálculo operacional: Aproximaciones Teóricas Metodológicas del pensamiento Matemático”; Rafael Ascanio Hernández con “Holística Cultural. Constructo epistémico en la transición del ser al deber-ser de los docentes en formación en Educación Matemática”; y Próspero González Méndez con “¿Qué significa pensar la matemática? Una perspectiva desde la intuición filosófica”.

También participaron como ponentes, los destacados profesores José Gómez Barrios, José Santamaría, Melquiadez Camacho y Óscar Lavado; los tres primeros egresados como Licenciados en Educación – Mención Matemática de la Universidad de Carabobo.

El evento se caracterizó por una gran calidad en su organización y una masiva asistencia durante los dos días de jornada.


24

EDMUND TAYLOR WHITTAKER

(*1873-†1956)

Edmund Taylor Whittaker. Nació el 24 de Octubre 1873 en Southport, Lancashire, Inglaterra; y falleció el 24 de Marzo 1956 en Edimburgo, Escocia.

Whittaker se graduó en Cambridge y llegó a ser astrónomo real de Irlanda en 1906, luego en el año 1912 tomó la cátedra de Chrystal en Edimburgo y permaneció ahí el resto de su carrera. Su hija mayor se casó con Edward Thomas Copson (1901 – 1980), otro destacado matemático. Whittaker fue nombrado Sir en el año 1945.

Whittaker es más conocido por su trabajo en el Análisis, en particular Análisis Numérico, pero también trabajó en la historia de las matemáticas aplicadas y la física.

Su “Curso de Análisis Moderno” de 1902 es importante en el estudio de las Funciones de Variable Compleja. También estudió funciones especiales y sus relaciones con las ecuaciones diferenciales. Uno de sus más importantes estudios fue “Una historia de las Teorías de Electricidad, de la Edad de Descartes al término del siglo diecinueve (1910). En el año 1953 realizó una revisión a esta versión, incluyendo el trabajo desde 1900 al 1925.

DIOFANTO DE ALEJANDRÍA

Muy poco se sabe de la vida de Diofanto. Por referencias históricas se sabe que vivió entre el año 150 A. C. y el 350 D. C.

La obra más conocida de Diofanto es Aritmética, una colección de 130 problemas, distribuidos en 13 libros, de los que sólo se conservan 6. La mayoría de los problemas son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con solución positiva y racional, pues en aquella época no tenían sentido los números negativos y mucho menos los irracionales.

Diofanto consideró tres tipos de ecuaciones de segundo grado:

ax2 + bx = c

ax2 = bx + c

ax2 + c = bx

El motivo de no considerar estas ecuaciones como una sola es que en aquella época no existía el cero ni los números negativos.

Aritmética también trata sobre teoría de números. Parece ser que Diofanto sabía que ningún número de la forma 4n+3 o 4n-1 puede obtenerse como la suma de dos cuadrados, ni ningún número de la forma 24n+7 puede obtenerse como la suma de tres cuadrados.

Diofanto introdujo símbolos para representar las cantidades desconocidas y una abreviatura para la palabra igual. Esto fue un paso muy importante hacia el álgebra simbólica actual.

Aritmética ha sido un libro muy influyente en el desarrollo de la matemática. La traducción más famosa es la de Bachet en 1621, que es la edición en que Fermat hizo su célebre anotación.

Se puede considerar a Diofanto como el fundador del Álgebra.

Diofanto escribió otros libros, como Porismas, que se ha perdido y otro sobre números poligonales que ha llegado hasta nuestros días. Otro trabajo titulado Preliminares a los elementos de geometría, que se atribuía a Heron, se cree que es obra de Diofanto.

HOMOTECIA Nº 8-2010servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2010/8-2010.pdf · 2016-08-23 · HOMOTECIA Nº...

Documents

Transcript of HOMOTECIA Nº 8-2010servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2010/8-2010.pdf · 2016-08-23 · HOMOTECIA Nº...