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Nº 1 - AÑO 8 - Valencia, 7 de Enero de 2010 Tiraje: 100 ejemplares

EEDDIITTOORRIIAALL 2010, Nuevo año. Se inicia el octavo periodo de publicación de nuestra revista. Esperamos realizar un trabajo si no mejor, por lo menos similar al anterior. El propósito existe. También esperamos que nuestra universidad, a pesar de todos esos obstáculos a los que debe enfrentar y que parecen que cada día se incrementan, pueda seguir transitando el camino de la academia y de la vida. Igualmente para los habitantes de nuestra querida Venezuela queremos que puedan disfrutar de buena salud, buena educación, seguridad personal y de bienestar, y que estas condiciones sean reflejo de un país en prosperidad, donde se respeten las garantías y los derechos civiles y ciudadanos. Que sus habitantes sean gente con el acertado criterio para decidir correctamente cuál es la patria en la que quieren vivir. Por último, es el deseo de los que elaboramos y publicamos la Revista HOMOTECIA, que para todos, 2010 sea un año de realizaciones y de metas logradas. Que así sea.

En el mes de diciembre del pasado año, egresaron los integrantes de la Quincuagésima Tercera Promoción de Licenciados en Educación Mención Matemática de nuestra ilustre, democrática, popular y autónoma Universidad de Carabobo.

El día viernes 4 de diciembre, a las 3:00 PM realizaron su Última Clase en el moderno auditorio de nuestra Facultad de Ciencias de la Educación. Hubo palabras por parte del Profesor Próspero González Méndez, Padrino de la Promoción, del Profesor Rafael Ascanio Hernández y por parte de los graduandos de Heriberto Manzanilla. Hubo reconocimientos para el Profesor Próspero González y para el Departamento de Matemática y Física.

El día lunes 7 de diciembre realizaron en la tarde la marcha triunfal por las instalaciones de la facultad.

El acto de grado se realizó en el Anfiteatro “Celis Pérez” el día miércoles 9 a la 1:30 PM ante la presencia de las autoridades rectorales.

Felicitaciones y mucho éxito para los nuevos profesionales de la educación en matemática son los deseos de la familia de la Revista HOMOTECIA.

DDeemmóóccrriittoo ddee AAbbddeerraa

Nació en Abdera, Grecia, alrededor de 460 AC, y falleció alrededor de 370 AC pero no se conoce el sitio donde murió.

Demócrito es más conocido por su Teoría Atómica pero también fue un excelente geómetra; aún así, muy poco se sabe de su vida. Se tiene información sobre que Leucippus o Leucipo fue su profesor.

Pertenece a la línea doctrinal de pensadores que nació con Thales de Mileto. Esta escuela así como la pitagórica y la eleática, que representan lo más grande del pensamiento antiguo, le atribuye gran importancia a lo matemático.

Los atomistas pensaban distinto a los eleatas, pues mientras éstos no aceptaban el movimiento como realidad, sino como fenómeno, Leucipo y Demócrito parten de que el movimiento existe en sí.

Demócrito pone como realidades primordiales a los átomos y al vacío, o como dirían los eleatas, al ser y al no ser (Recordemos que etimológicamente la palabra átomo en griego, significa indivisible, lo que actualmente sabemos que no es así).

Se nota en Demócrito un esfuerzo por sustituir la noción de cualidad por la de cantidad.

Se sabe que escribió varios tratados de Geometría y de Astronomía, pero desgraciadamente todos perdidos. Se cree que escribió sobre Teoría de los

Números. Encontró la fórmula 3

hB ⋅ que expresa el

volumen de una pirámide. Asimismo demostró que esta fórmula se la puede aplicar para calcular el volumen de un cono.

((CCOONNTTIINNÚÚAA EENN LLAA SSIIGGUUIIEENNTTEE PPÁÁGGIINNAA))

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA

© Rafael Ascanio H. – 2009 Hecho el Depósito de Ley.

Depósito Legal: PP200902CA3088

e-mail: [email protected]

Publicación Mensual DDiissttrriibbuucciióónn GGrraattuuiittaa

PPuubblliiccaaddaa ppoorr::

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD DE CARABOBO

DIRECTOR–EDITOR:

Prof. Rafael Ascanio Hernández

SUB-DIRECTOR: Prof. Próspero González Méndez

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN:

Prof. Rafael Ascanio Hernández Prof. Próspero González Méndez

COMISIÓN

ARCHIVO Y REGISTRO HISTÓRICO

Prof. María del Carmen Padrón Prof. Zoraida Villegas

Prof. Ivel Páez

COMISIÓN REVISORA DE MATERIAL A PUBLICAR:

Prof. Elda Rosa Talavera de V. Prof. Omaira Naveda de F. Prof. José Tadeo Morales

Reflexiones "El culto al heroísmo existe, ha existido y existirá para siempre en la conciencia de la humanidad".

Tomás Carlyle

LAS IDEAS Y OPINIONES DE LOS AUTORES DE LOS ARTÍCULOS QUE PUBLICAMOS EN HOMOTECIA SON RESPONSABILIDAD DE LOS MISMOS. SI ALGÚN LECTOR TIENE OBJECIONES SOBRE ÉSTAS, AGRADECEMOS NOS HAGA LLEGAR A TRAVÉS DE NUESTRA DIRECCIÓN ELECTRÓNICA, [email protected], SUS COMENTARIOS.

HHOOMMOOTTEECCIIAA

HOMOTECIA Nº 1–Año 8 Jueves, 7 de Enero de 2010

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(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Se le atribuyen también los siguientes dos teoremas:

1º "El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura". 2º "El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura". Un problema muy diferente a todo lo visto hasta ahora preocupó también a las escuelas de Jonia y de la

Magna Grecia: el de la naturaleza de la luz. Demócrito sustenta la teoría de la emisión según la cual la visión es causada por la proyección de partículas que provienen de los objetos mismos. No es esto más que el principio de la larga fila de teorías que se encuentran de la luz en la historia de las ciencias. La teoría de la emisión es costumbre atribuírsela a Newton, que la expuso muchos siglos después.

Así hemos visto que, al comienzo, para muchos de estos filósofos prevalecía un principio aritmético-geométrico para explicar muchos hechos. Así, Demócrito hasta el sabor de las cosas lo explicaba bajo este aspecto. En efecto, le atribuía una forma geométrica especial a las cosas para dar tal o cual "gusto": la sensación de dulce se debía a la forma esférica de la sustancia que forma al cuerpo que la produce; lo amargo, se debía a la forma lisa y redondeada, y lo agrio o ácido a lo anguloso y agudo. Un origen e interpretación análogos le atribuía a los fenómenos del tacto.

Finalmente diremos sobre el binomio Leucipo-Demócrito que creían que el vacío existía no sólo en el mundo en que vivimos, sino también mucho más allá, en los espacios infinitos del Cosmos. Ellos creían en la existencia de un número infinito de "mundos" todos compuestos de un número infinito de átomos.

LEUCIPO

(450 a. C-370 a. C.)

"Leukippos". En griego Leucipo. Gran filósofo, que quizá naciese en Abdera. Aunque muy poco se sabe de su vida y ninguno de sus escritos ha perdurado, se tiene información sobre que recibió su enseñanza filosófica de Zenón de Elea. Fue contemporáneo del gran Anaxágoras y del famoso Empédocles, uno de los filósofos que intervinieron en la creación de la llamada "Teoría de los 4 elementos" junto a Thales de Mileto.

Es reconocido como creador, junto a sus discípulos Demócrito, Epícuro y Lucrecio, de la teoría atómica de

la materia y del materialismo mecanicista, más tarde desarrollada por quien fue su principal discípulo, Demócrito. Por ello se le conoce como la "Filosofía Atomística de Demócrito y Leucipo". Según esta teoría, toda materia está formada por partículas idénticas e indivisibles llamadas átomos. Aunque Epícuro y Lucrecio también participaron en la realización de dicha teoría, ayudaron más a su divulgación.


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DDeemmóóccrriittoo vveerrssuuss AArriissttóótteelleess:: AAzzaarr oo ffiinnaalliiddaadd Nos encontramos aquí con dos autores de filosofía que suelen estudiarse por separado. El primero, como discípulo de su maestro Leucipo y entre los llamados “pluralistas” presocráticos. El segundo, como cima del pensamiento filosófico griego, a la zaga de Platón y contradiciendo a su maestro.

Pero, aún cuando han pertenecido a tiempos próximos entre sí, pero no idénticos, y a sensibilidades centrales diversas (a Demócrito le priva la naturaleza; a Aristóteles la vida humana en un medio ético-político), ambos suponen una respuesta diferente al problema de la vida. Los dos pensamientos nacieron con la intención de resolver una contradicción fundamental: la necesidad de hacer ciencia, esto es, conocimiento estable, de lo que se mostraba en continuo devenir.

Demócrito, principal filósofo del atomismo, partiendo de la idea del ser, uno e inmutable, de Parménides, como el único que podía expresar la verdad de las cosas, quiso salvaguardar al mismo tiempo la realidad del cambio y, para eso, multiplicó el ser hasta el infinito, en partes de ser: “átomos”, en donde se encontraba el ser uno, indestructible, inmutable. Los átomos constituían toda la realidad y eran, al mismo tiempo, el objeto del conocimiento y la ciencia (el ser es lo que es pensado). La explicación de la multiplicidad y el cambio venía por la idea del ser uno e inmutable, esto es, de átomos homogéneos entre sí. En esta perspectiva unitaria, la diversidad sólo podría venir del conjunto de características cuantitativas y mecánicas de los átomos en sus relaciones mutuas: tamaño, forma, posición, movimiento. La solución, la razón por la cual el mundo parecía tan cambiante y variopinto, estaba al nivel de las diferencias cuantitativas. Estas partículas, diferentes cuantitativamente, y chocando entre sí por medio del vacío, originaban los múltiples modos de existencia. Esto explicaría que la naturaleza sea múltiple y esté en continuo movimiento y que, sin embargo, sea una. La información, orden y estructura de los seres se debe a movimientos azarosos, choques, que, a lo largo de los años, han podido ocasionar movimientos ordenados. Este será el fundamento de la teoría darwiniana de la evolución: la selección natural ha promocionado en ciertos contextos a algunos seres, facilitando el orden por azar. Los órdenes originados se seleccionarían necesariamente – esto es: siguiendo leyes – pero aleatoriamente, sin intervención de ninguna inteligencia rectora ni finalidad alguna.

Aristóteles, a quien la conciliación mecanicista le pareció demasiado simple, porque no tenía en cuenta toda la realidad experimental, defendió la existencia de un orden sustancial, cualitativo, que no podía reducirse a la cantidad ni ser su efecto. Como los atomistas, quiso dedicarse – y así lo hizo durante veinte años en la Akademia platónica - a la observación de la naturaleza viva y, como Platón, su maestro, quiso alcanzar la inteligibilidad de las cosas, pero haciendo a los ideales inmanentes en aquellas. Para él, el deber-ser de las cosas está encarnado en la materia misma. Los seres existen de modo limitado, concreto, fenoménico, pero el entendimiento es capaz de superar la simple enumeración cuantitativa para captar el ser o sustancia de las cosas, para poner de relieve lo que cada cosa tiene de universal, inteligible y estable. Para Aristóteles, en las cosas existen, no sólo medidas, sino “llamadas” a la inteligibilidad de la misma cosa. Mi capacidad de abstracción no hace sino sacar lo que las cosas ya tienen.

Las realidades no son yuxtaposición de seres, sino composiciones armónicas, cuyas unidades tienen funcionalmente aspectos distintos. Estas composiciones, que son las cosas y los seres vivos, tienen un principio de indeterminación: la materia y uno de determinación: la forma. La materia concreta a los seres, mientras que la forma los universaliza, permite que sean lo que son, cada cual irrepetible, cada cual él mismo. Lo que hace cambiar a los seres es una finalidad inscrita en sus formas: todo ser quiere crecer, llegar a ser él mismo, desarrollarse, perfeccionarse y ese movimiento infinito está haciéndole continuamente cambiar e incluso, en los seres vivos, trascenderse en la generación siguiente. La “sustancia” de cada cosa es un todo activo con finalidad en sí mismo. Los seres están orientados hacia la propia perfección de sí mismos y de su estructura. Por eso van continuamente de sus potencialidades a la actualidad de esas potencialidades, se mueven, nos movemos, del deber-ser al ser. Se establecen así, claramente, las diferencias: para Demócrito existen seres plenos, diminutos, que constituyen en su pulular el universo pleno.

Para Aristóteles los seres son indigentes: compuestos, al mismo tiempo, de ser y no-ser, de realidad y apariencia, de realidad y deseo (de realidad).

Los átomos de Demócrito dan estabilidad inmutable al mundo, por encima de sus entrecruzamientos, mezclas y danzas; la sustancia aristotélica puede cambiar continuamente, deshacerse y rehacerse, transformarse, perecer y nacer. Nada hay estable, aunque haya cambios más importantes (sustanciales) y cambios menos trascendentales (accidentales). La dirección de lo cuantitativo será instaurada siglos más adelante por Galileo y toda la corriente empirista del conocimiento, grandes admiradores de Demócrito, como es el caso de Hume, en el siglo XVIII, para quien las sensaciones serán la única realidad estimable. Pero será desde el neopositivismo de Mach y el Círculo de Viena (entre el XIX y el XX) donde la negación de cualquier sustancia, al modo aristotélico, se consagrará como lugar común. El valor permanente de Aristóteles será descubrir zonas de densidad ontológica, como la misma vida, en el devenir fenoménico. Este es el sentido último de su idea de sustancia, por encima de todo reduccionismo; pero la actualidad indiscutible, por encima de una amplia tradición de filosofía occidental, será para el axioma de Demócrito: el azar y la necesidad. La Biología de los últimos tiempos, con Jacques Monod a la cabeza, suscribe la intuición racional de Demócrito. Somos los hijos del azar. Nadie nos ofrece desde fuera de nosotros mismos un sentido a la existencia, una finalidad, pero no podemos, por eso mismo, creernos insustanciales.

Aristóteles también nos presenta su verdad: la vida se muestra, en medio de una isla anti-entrópica, como una lucha despiadada por permanecer, por ser a pesar de todo, por reconocernos reales desde nuestro deber-ser humano.

...por Cristina M. Null


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CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA:: AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS

REFERENCIAS HISTÓRICAS.-

Como ya se ha estudiado, el cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas de regiones planas y de volúmenes de sólidos, considerándose que el surgimiento del cálculo integral se debe al interés de los matemáticos por estos temas.

Plantear problemas sobre el cálculo de áreas de regiones planas y de volúmenes de sólidos se remonta a la antigüedad griega, donde básicamente se utilizaban dos tipos de métodos: heurísticos o atómicos, y de exhausción o agotamiento.

- Métodos Heurísticos o Atómicos: estaban basados en la teoría atomista desarrollada por Demócrito (460 a.C.-370 a.C.), que consideraba una línea, superficie o volumen formado por un grande aunque finito, número de átomos. Así, al sumar todos sus átomos se podía calcular su longitud, superficie o volumen. Demócrito usó este método para calcular, por primera vez, los volúmenes del cono y la pirámide.

- Métodos de Exhausción o Agotamiento: se caracterizaban por la rigurosidad con que se trataba el cálculo de áreas y volúmenes, utilizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero con la aparente desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo. Estos métodos fueron típicos de la Matemática griega y renacentista.

Se considera que Arquímedes (287 a. C. – 212 a. C.), entre los matemáticos griegos, fue quien mayor aportación dio al cálculo integral. En sus trabajos se encuentran resultados sobre las relaciones entre el área de la esfera y la longitud del ecuador, entre el volumen de la esfera y el del cilindro circunscrito, sobre área de un segmento de parábola, área de la elipse, volumen y área lateral de esferas, conos y pirámides. Arquímedes utilizó tanto los métodos heurísticos como los de exhausción.

Es en el siglo XVII, por las necesidades que se originaban del estudio de la Mecánica, cuando resurge el interés por los problemas de cálculo de áreas de regiones planas y de volúmenes de sólidos. Así, Johann Kepler (alemán, 1571-1630) calcula el volumen de determinados recipientes, con forma de vasos o vasijas, que se obtenían a partir de la revolución o giro, de segmentos de cónicas. Utilizó un método para estos cálculos considerando que un círculo está formado por una infinidad de triángulos con un vértice común en el centro. Este método era más heurístico y menos riguroso que el utilizado por Arquímedes.

En el transcurso del siglo XVII, mediante el principio de Cavalieri, el cual se debe al matemático italiano Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), se establece que dos sólidos con la misma curva de altura tienen el mismo volumen si las secciones planas de igual altura tienen la misma área. El establecer este principio, permitió integrar polinomios.

El matemático francés Blaise Pascal (1623-1662), calculó áreas y volúmenes relacionados con la cicloide, utilizando indivisibles. Obtuvo también, utilizando sumación o sumas, las áreas determinadas por las funciones sen x, sen2 x y x sen x cuando uno de los límites es 0 ó π .

En el año 1670, el matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677), presentó de su autoría, un método general para el cálculo de tangentes y formuló la relación entre tangente y área, un gran e importante paso dentro del cálculo integral pero del cual aparentemente, Barrow no tuvo consciencia de la magnitud de su logro.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


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Al gran matemático inglés Isaac Newton (1643-1727) y al gran matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), se les debe el considerar el problema del cálculo de áreas de regiones planas como el inverso del cálculo de diferenciales. Newton sí se dio cuenta de la relación existente entre los dos problemas, unificándolos en el "cálculo de fluxiones". Newton calculó áreas por antidiferenciación, dando el primer enunciado explícito del teorema fundamental del Cálculo (Segunda Parte del Teorema Fundamental del Cálculo Integral). Por su parte, Leibniz llega a los mismos resultados, pero considerando la integración como una suma. Leibniz introdujo además la moderna notación de ∫

b

a

.

Quien le da el nombre de Cálculo Integral es el matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705), a finales del siglo XVII; y en el siglo XIX, se publica un trabajo de otro matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) que versaba sobre todo lo conocido sobre el cálculo integral elemental.

El reconocido filósofo y clérigo irlandés George Berkeley (1685-1753) contribuye a ocasionar una de las crisis históricas importantes producidas sobre los fundamentos de la matemática, específicamente con respecto al cálculo infinitesimal, convirtiéndose en uno de sus críticos más notables. ¿Cuándo surge la crisis? Con un caso particular. El destacado científico británico Edmund Halley (1656-1742), cuyo nombre lleva el conocido cometa de aparición periódica, amigo y exacerbado seguidor de Newton, criticó a la religión cristiana debido a la incomprensibilidad científica de sus principios, lo que trató de demostrar matemáticamente utilizando el cálculo infinitesimal. Berkeley, como obispo de la iglesia, estaba preocupado por el debilitamiento de la fe, sobre todo con posiciones como la de Halley. Así que Berkeley trató de conseguir fallas en la matemática que defendía Halley. Berkeley puso en duda los fundamentos del cálculo infinitesimal en base a la siguiente crítica: se consideran incrementos no nulos de las variables aunque muy pequeños (infinitesimales) pero después, para obtener resultados, son considerados iguales a cero. Para Berkeley esto era un absurdo, y hacía más débiles los fundamentos matemáticos que los religiosos.

En un principio, los matemáticos reaccionaron defendiendo a ultranza el cálculo infinitesimal pero sus respuestas no fueron del todo satisfactorias. Al final, aceptaron la validez de la crítica de Berkeley. Comprendieron la falta de rigor del cálculo infinitesimal. En consecuencia, se produce una revisión exhaustiva de los fundamentos matemáticos.

La solución vino de parte del matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien establece el rigor en el concepto de límite y de otros fundamentos del cálculo, lo que trajo como consecuencia que el cálculo integral quedara asentado rigurosamente a partir de esta noción de límite dada por él. También ayudó Karl Weierstrass (1815-1897), matemático alemán, quien dio su aporte con la Aritmetización del Análisis, creando parte de las bases de la moderna teoría de funciones.

Pero como la integral de Cauchy sólo era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados, esto dejaba fuera muchas funciones. Es entonces, cuando el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) define la hoy conocida Integral de Riemann, que permite ampliar la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un número determinado de discontinuidades, donde la relación entre derivación e integración deja de ser válida en los puntos de discontinuidad.

El gran desarrollo del análisis hace aparecer la noción de Integral de Lebesgue, logro del matemático francés Henri León Lebesgue (1875-1941), que permite que toda función definida de forma constructiva sea integrable. Esta integral tiene mayor generalidad, y un mejor comportamiento en los procesos de paso al límite. Pero en la mayoría de los cursos de iniciación al estudio del cálculo integral, se utiliza más la integral de Riemann y toda la teoría derivada de su estudio, para tratar los problemas tales como el cálculo de áreas de regiones planas y otras aplicaciones.

En lo que respecta al cálculo por integración de áreas de regiones planas, interesa particularmente cómo calcular el área de una región plana no regular cuando esta región se encuentra bajo una curva o entre dos curvas. Sobre estos aspectos versarán los siguientes artículos a publicar en los próximos números.

Otra aplicación será la del cálculo del volumen de un sólido de revolución, que también trataremos en publicaciones futuras de la revista.


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FUENTE: Vera, Francisco (1961). “20 Matemáticos Célebres”. Buenos Aires: Compañía General Fabril Editora. Preparado por Patricio Barros. www.geocities.com/veintematematicoscelebres

PRESENTACIÓN. Las páginas de este libro exponen en forma clara y didáctica la vida y obra de los matemáticos más célebres, ubicándolos como seres de carne y hueso, buscando en el curso paralelo que siguieron sus trabajos, y en otras el contraste u oposición en que se desarrollaron. De esta manera, el lector logrará una fácil comprensión del valor y las influencias de unas tendencias sobre otras, y de sus puntos de convergencia, a veces aparentemente paradójicos. El profesor Francisco Vera de vasta y reconocida autoridad en la materia, ha escrito “20 matemáticos célebres” con un criterio ágil, a la vez que esclarecedor, que posibilita el acceso de vastos sectores de público a una actividad científica realmente fascinadora.

Capítulo Octavo UUNNAA RREEVVOOLLUUCCIIÓÓNN EENN GGEEOOMMEETTRRIIAA YY UUNN PPRROONNUUNNCCIIAAMMIIEENNTTOO EENN ÁÁLLGGEEBBRRAA

RRIIEEMMAANNNN YY BBOOOOLLEE

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN

(1826-1866)

GEORGE BOOLE (1815-1864)

Los matemáticos ingleses de la primera mitad del siglo XIX sólo estudiaban lo que les interesaba particular y personalmente, como para distraerse, sin dar ninguna importancia a los problemas que preocupaban al resto de Europa, separada de ellos por una cinta de mar. Además de isla geográfica, Inglaterra era una isla matemática que vivía del jugo newtoniano. Un nacionalismo estrecho le impidió aceptar las teorías dé Leibniz, y la consecuencia fue que la Matemática inglesa quedó estancada durante un siglo: exactamente hasta el año 1812, en que se fundó la Sociedad Analítica de Cambridge, que puso remedio a tan lamentable estado de cosas. Claro es que sus fundadores tuvieron que enfrentarse con políticos de ignorancia ejemplar. Sirva de muestra el siguiente botón: A principios del siglo XVII el Ministerio, de Hacienda inglés adoptó los bastoncitos de Neper para hacer las operaciones contables. Estos bastoncitos consistían en unas tiras rectangulares de madera de unos siete centímetros de largo por ocho, milímetros de ancho, divididas en nueve cuadrados por medio de líneas transversales, cada una de las cuales estaba encabezada por una cifra, y debajo de ésta sus productos por los números dígitos, escritos en los sucesivos cuadrados de modo que si el producto tiene dos cifras, la de las decenas se coloca en el triángulo superior de los dos en que cada diagonal divide el cuadrado. Mediante una manipulación engorrosa se hacía la multiplicación de los números de varias cifras; y en cuanto a la división tan complicada que constituía una verdadera tortura, hasta el punto de que solo la abordaban hábiles calculadores.

Para ente absurdo sistema de operar, la burocracia inglesa creó una nube de escribientes, tenedores de libros y actuarios que se sucedieron por generaciones en las covachuelas del Ministerio hasta que un día, en tiempo de Jorge III (1760 - 1820), un ministro "revolucionario" tuvo la audacia de incoar un expediente para saber si debían seguir llevándose las cuentas por aquel procedimiento, análogo al de Robinson para tener al día el calendario en su isla desierta o cambiarse por otro más moderno. Se levantó tal tempestad de protestas que hubo que esperar hasta el año 1826 para que se decretara la desaparición de aquellos palitroques, cuyo número había crecido tan monstruosamente durante más de un siglo, que todavía en 1834 había tal cantidad que se planteó el problema de decidir lo que se iba a hacer con ellos. A cualquiera que no fuese un político conservador inglés se le hubiera ocurrido tirarlos, pero a un tory británico lo que se le ocurrió fue llevar a Westminster aquellos pedacitos de madera apolillados y podridos como si se tratara de una reliquia.

Era tan absurdo esto que, al fin, triunfó el sentido común y se dio la orden de quemarlos, pero clandestinamente para que no se alarmaran los conservadores. Los bastoncitos fueron arrojados a una estufa de la Cámara de los Lores donde se les prendió fuego, y como la madera era viejísima ardieron tan admirablemente que las llamas prendieron en los artesonados de la Cámara de los Lores, de ésta se propagó el fuego a la de los Comunes y a Inglaterra le costó la broma varios millones de libras esterlinas.

Los matemáticos alemanes, al revés que los ingleses, tenían más amplia visión; y a partir de las Disquisitiones Aritmeticae de Gauss, que se publicaron el primer año del siglo XIX, es interminable la lista de obras originales que aparecieron hasta 1855, fecha en que muere el princeps mathematicorum y queda roto el último lazo con la Matemática de la centuria anterior.

Una de los matemáticos que ilustran la primera mitad del siglo XIX es Bernardo Riemann, que nace en Breselenz, Hannover, el 17 de septiembre de 1826. Su padre, pastor luterano que tomó parte en las guerras napoleónicas, se hizo agricultor para subvenir a las necesidades de su familia: esposa v seis hijos, el segundo de los cuales fue Bernardo. Todos murieron jóvenes: el matemático cuando no había cumplido aún los cuarenta años. Algunos biógrafos de Riemann dicen que estas muertes prematuras no obedecen a ninguna tara hereditaria, sino a la escasa alimentación durante la infancia.

Siendo niño todavía, su padre fue nombrado pastor de Quiekborn, donde el pequeño Bernardo aprendió las primeras letras; y apenas tenía seis años cuando no sólo resolvía problemas de Aritmética elemental, sino que imaginaba otros más difíciles poniendo en más de un aprieto al maestro de escuela, y al cumplir los diez le dio lecciones de Matemática un profesional, Schulz, que no tardó en ir a remolque de su discípulo.

Al mismo tiempo que Riemann entraba en contacto con la Matemática en Alemania, un joven de veinte años abría un colegio privado en Inglaterra para enseñar esta ciencia. Se llamaba Jorge Boole y había nacido en Lincoln el 2 de noviembre de 1815. Como Riemann, era también de humilde origen. Su padre fue un modesto comerciante, uno de cuyos amigos, librero que sabía latín, enseñó a Jorge los secretos de la lengua del Lacio con tanta habilidad que cuando el que había de ser un gran matemático sólo contaba doce años, traducía a Virgilio en elegantes versos ingleses. Tan profundamente llegó a conocerlo que todos los escritos de Boole dejan traslucir su latinidad. Estudió después el griego, francés, alemán e italiano y, como era pobre, tuvo necesidad de ayudar económicamente a su padre, dedicándose a la enseñanza privada de la Matemática, que era la menos mal retribuida. Sólo quienes se han dedicado a esta labor, ingrata entre las más ingratas pueden comprender el suplicio de Boole explicando los manuales escolares de su época: malos y estúpidos. ¿Era aquello la Matemática?

Sin dirección, sin consejos, Boole leyó por su cuenta la Mecánica celeste de Laplace, que es una de las obras más difíciles de comprender si no se tiene una sólida preparación matemática, y luego la Mecánica analítica de Lagrange en la que no hay ni una sola figura que aclare el razonamiento. Su labor autodidacta de aquel tiempo cristalizó en una memoria sobre el cálculo de variaciones.

Riemann, en tanto, ingresaba en el Gimnasio de Lunenburgo, cuyo director, Schmalfuss, poseía una excelente biblioteca particular que puso a su disposición. El primer libro que cayó en sus manos fue la Teoría de números de Legendre: cerca de novecientas páginas, que Riemann devolvió a Schmalfuss a los seis días diciéndole sencillamente: "Es un libro admirable; lo he leído entero y lo he comprendido todo".



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En 1846 fue a Gotinga, donde estudió Teología, pasando luego a Berlín, a cuya Universidad debió, su formación

matemática, pues que fue discípulo de Jacobi, Dirichlet, Steiner y Eisenstein, que dejaron en él huella profunda. Dos años después estalló el movimiento democrático en Alemania y él, realista convencido, custodió personalmente al

rey durante diez horas en un día difícil. En la misma fecha, Boole publicaba The Mathematical analyse of Logic, que es una anticipación de su obra

fundamental. Sus amigos le aconsejaron que fuera a Cambridge, pero él se negó. La famosa Universidad, rival de la de Oxford, cultivaba la Matemática ortodoxa, y en el cerebro de Boole bullían ideas que habrían de considerarse heréticas en el campo de las ciencias exactas tal como se entendían en la Inglaterra de entonces. Además, sus padres estaban a su cargo y continuó dando lecciones, por causas exclusivas de tipo económicas, con arreglo a un criterio impuesto; que ésta es una de las mayores torturas de la enseñanza privada. Como Lope de Vega, podía decir Boole:

... y pues que paga es justo hablarle en necio para darle gusto.

Un año después fue nombrado profesor del Queen’s College, que acababa de inaugurarse en Cork, Irlanda, y allí intimó con el catedrático de griego, con cuya hija María Everest se casó.

Riemann, en tanto, se doctoraba en Gotinga el año 1851, con una tesis titulada Grundlagen einer allgemeinen Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grosse, de la que Gauss dijo en su informe oficial: "Esta tesis es una prueba fidedigna de las profundas y penetrantes investigaciones del autor en el punto de que se trata y denuncia, al propio tiempo, un espíritu creador, activo, realmente matemático, y de fecunda originalidad. El lenguaje es claro y conciso y, en algunos pasajes, bello y elegante. La mayoría de los lectores hubieran preferido, sin duda, mayor claridad en la exposición; pero, en su conjunto, este trabajo es un estudio sustancial cuyo valor intrínseco no sólo satisface las condiciones exigidas en una tesis para el Doctorado, sino que las supera ampliamente."

Poco después empezó a preocuparse por los problemas de Física matemática. Antinewtoniano, Riemann dice que "se puede establecer una teoría matemática completa y bien determinada, que progrese partiendo de las leyes elementales de los puntos individuales hasta los fenómenos que se presentan en el plenum de la realidad, sin distinción entre la gravitación, la electricidad, el magnetismo o la termostática".

Estas palabras, que no hubiera desdeñado de firmar Clarke, habrían indignado a Newton, quien, con su característica soberbia, habría arremetido violentamente contra Riemann que, anticipándose a las actuales teorías físicas, rechazaba la acción a distancia, base fundamental de los Principia newtonianos, cuyo autor no toleraba que se orientase en una dirección deísta su creencia en una causa final metafísica de la Naturaleza.

Guiado por sus nuevas aficiones, Riemann presentó para su prueba de privat docent tres temas creyendo que, según la costumbre, la Universidad elegiría el primero de la terna; pero eligió el tercero porque se refería a una cuestión sobra la que Gauss, que presidía el Jurado, llevaba meditando sesenta años., los fundamentos de la Geometría. Riemann, sorprendido por la elección, trabajó con intensidad sobrehumana y escribió a su padre confiándole sus inquietudes. No ignoraba que Gauss, de acuerdo con su costumbre que retrasó en más de una ocasión su influencia en la Matemática, dejaba transcurrir años y años antes de dar a conocer los resultados, siempre geniales, de sus meditaciones, y tenía la seguridad de que el gran matemático había profundizado con su sagacidad excepcional en aquella cuestión. Buena prueba de ello era lo ocurrido hacía veinticinco años con los trabajos de Bolyai sobre la geometría no euclídea, pero, sacando fuerzas de flaqueza, preparó el tema en siete semanas y pidió fecha para exponerlo. Por aquellos días, Gauss cayó enfermo y hubo de retrasarse la prueba, retraso que ocasionó la casi simultaneidad en dar a conocer públicamente los dos matemáticos a quienes se contrae este ensayo sus obras fundamentales.

En 1854, en efecto, Riemann da su conferencia Über die Hypothesen welche der Geometrio zu Grunde liegen, y Boole publica An investigation into the laws of thought, on wich are founded the mathematioal theories of logic and probabilities. La memoria de Riemann es un folleto de pocas páginas; la investigación de Boole es un libro de muchas páginas; pero el primero produjo una revolución en la Geometría y el segundo sólo fue un pronunciamiento en Álgebra, aunque como todos los pronunciamientos, cuando el pronunciado no es tonto, tuvo, y tiene todavía, algunas buenas consecuencias.

Con una audacia de pensamiento que contrasta con la timidez de su carácter, Riemann, a quien le aterraba la idea de tener que hablar en público, presentó la Geometría bajo un aspecto completamente nuevo, que entusiasmó a Gauss y sigue entusiasmando aún a los matemáticos.

Considera dicha ciencia como no-euclídea, haciéndola depender del concepto de medida, pero en el que hay algo más que una filosofía práctica de la Matemática, a la que aspiran hoy la Física teórica, la teoría de la relatividad y la mecánica de los quanta.

Riemann parte del concepto de multiplicidad como clase tal que todo elemento de ella se pueda caracterizar asignándole ciertos números en un orden determinado, que correspondan a propiedades numerables, y llega a la consecuencia, aceptada por la Matemática actual de que el espacio es una multiplicidad-número, preocupándose de lo que es el espacio, aunque este es no signifique nada en relación con el espacio.

Como, dado el carácter de este cursillo, no es posible entrar en detalles que exigen recursos de Matemática pura para ahondar en el pensamiento de Riemann, baste decir que con la concepción de éste hemos aprendido a no creer en ningún espacio como necesidad de la percepción y a creer, en cambio, en tantos espacios y Geometrías como sean convenientes para un fin determinado, y en que lo mismo que hay diferentes clases de líneas y superficies, hay diferentes especies de espacios de tres dimensiones y sólo la experiencia puede decirnos a qué especie pertenece el espacio en que vivimos.

Rompiendo con la tradición anterior y colocándose en un punto de vista general, sin descender a detalles, con aquilina visión panorámica de la Geometría, Riemann sentó las bases de la Física geometrizada de hoy.

La obra de Boole es de otra índole. Dice que el objeto de su libro es "estudiar las leyes fundamentales de las operaciones del espíritu por las cuales se cumple el razonamiento, expresarlas en el lenguaje del cálculo y, sobre esta base, establecer la ciencia lógica y construir su método, y hacer de éste, el fundamento de un procedimiento general para la aplicación de la doctrina matemática de las probabilidades y, por último, recoger de estos diversos elementos de verdades, sacados a la luz en el transcurso de estas investigaciones, algunos indicios verosímiles sobre la naturaleza y constitución del espíritu humano. ¿Es un error considerar esto como la verdadera ciencia de la Lógica que, poniendo ciertas leyes elementales, confirmadas por el propio testimonio del espíritu, nos permite deducir por procedimientos uniformes la cadena completa de sus consecuencias secundarias y facilita, por sus aplicaciones prácticas, métodos de una absoluta generalidad? Existen, en efecto, ciertos principios generales, fundados en la verdadera naturaleza del idioma, por los que queda determinado el uso de los símbolos, que no son sino elementos del lenguaje científico.



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(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR) Estos elementos son arbitrarios en un cierto límite; su interpretación es puramente convencional y tenemos la facultad

de emplearlos en el sentido que nos plazca; pero esta facultad está limitada por dos condiciones indispensables: primera, que no nos apartemos nunca, durante el transcurso del razonamiento, del sentido que hayamos admitido convencionalmente, y segunda, que las leyes que rijan el proceso se basen de una manera exclusiva en dicho sentido, fijado de antemano, o en la significación de los símbolos empleados.

Con arreglo a estos principios, todo acuerdo que pueda establecerse entre las leyes de los símbolos de la Lógica y las del Álgebra, sólo resultará de un previo acuerdo de procedimientos, y ambos dominios quedan, pues, distintos e independientes, pero sometidos cada uno de ellos a sus leyes y condiciones propias. Ahora bien; las investigaciones reales contenidas en las páginas que siguen, presentan la Lógica bajo su aspecto práctico, como un sistema de procedimientos ejecutados con el auxilio de símbolos que tienen una interpretación definida y sometidos a leyes exclusivamente fundadas en esta interpretación; pero que demuestran al mismo tiempo que estas leyes tienen idéntica forma que las de los símbolos generales del Álgebra con la única adición de que los símbolos de la Lógica están, además, sometidos a una ley especial a la que no lo están los de la cantidad".

La extensión de esta cita queda justificada por la excesiva importancia que se ha dado, y se da, a la Logística, habiendo llegado a decir Russell que Boole descubrió en su obra la Matemática pura; y desde 1904, año en que se celebró el II Congreso internacional de Filosofía de Ginebra, que adoptó la palabra Logística para designar esta rama de la Matemática, muchas han sido, y son, las discusiones sobre el tema.

Boole, fiel al programa que se había trazado, redujo la Lógica a una especie de Álgebra cuyos "razonamientos" son manipulaciones de fórmulas muy sencillas. Hasta entonces, la Lógica y la Matemática habían vivido aisladas una de otra o incluso ignorándose mutuamente. La Lógica se movía dentro del dominio que le habla asignado Aristóteles, y la Matemática, mejor dicho, ahora, las Matemáticas, en plural, era una colección de ciencias de tipo técnico, separadas en compartimentos estancos con arreglo a un criterio que persiste todavía en muchas partes: ciencia del número, ciencia de la magnitud, ciencia del espacio, ciencia del movimiento, etc., con una atomización incompatible con la síntesis unitaria de la Matemática desde la época cartesiana.

Todas estas ramas solo tenían común el método, dándose el caso, verdaderamente peregrino, de que la Lógica, que pretendía estudiar todas las formas de la deducción, ignoraba el método deductivo de la Matemática.

Esto cambió, afortunadamente, a mediados del siglo XIX, en que, desaparecidos los tiempos que siguieron a Newton, nació un rigor demostrativo, una generalización y una independencia de espíritu sin precedentes. A principios del siglo XIX, Gauss tuvo la intuición de lo que iba a pasar, pero no se atrevió a descubrir su pensamiento. Si hubiera comunicado sus ideas a Lagrange, a Laplace y a Legendre, el triunvirato francés de las L, otra cosa hubiera sucedido y aquélla sí que habría sido una verdadera entente franco-alemana, porque aunque estos tres matemáticos vivieron en el primer tercio del siglo XIX, la mayor parte de sus obras son obras de preparación. La teoría de ecuaciones de Lagrange roturó el terreno en que Abel y Galois sembraron la semilla del Álgebra nueva; las investigaciones de Laplace sobre ecuaciones diferenciales fueron el preludio del desarrollo de la Física matemática, y los estudios de Cálculo Integral de Legendre inspiraron a Jacobi uno de los más fecundos recursos con que cuenta hoy el Análisis.

Una gran parte de la nueva orientación se debe a Riemann y a Boole; pero así como la obra de aquél es indiscutible y sus ideas parecen tener una solidez inquebrantable, las de éste se hallan todavía en la zona polémica. La revolución hecha por Riemann en Geometría, como todas las revoluciones triunfantes, ha sido codificada ya y tiene estado legal; pero el pronunciamiento de Boole no ha conseguido aún que sea reconocido universalmente y hay todavía sectores de opinión en los que no tiene representantes acreditados.

Nadie pone en duda hoy que la ampliación al espacio del concepto gaussiano de curvatura hecho por Riemann, aplicado especialmente al nuestro de tres dimensiones, hace posible el movimiento de las figuras sin deformación, punto en que se apoya el empirismo de Helmholtz, su sucesor inmediato en el orden histórico para establecer el axioma de libre movilidad en tomo al cual gira la filosofía matemática de Russell, si bien éste le ha dado una orientación logística, y todo el mundo está de acuerdo en que, gracias a Riemann, la asimilación kantiana de las formas intuitivas a las formas lógicas no sólo ha desaparecido, sino que la imaginación constructiva del matemático ha adquirido una libertad que no pudo entrever el filósofo de Königsberg, y empezamos ya a pensar en la conveniencia de no admitir la necesidad intrínseca de ninguna proposición primera.

En cambio, no todos los matemáticos están de acuerdo con Boole. Sin palabras, sin oraciones sintácticas, valiéndose únicamente de un idioma simbólico, Boole pretende resolver el debate pendiente desde Leibniz y Kant; niega los juicios sintéticos a priori, anula el papel de la inducción e intenta reducir la Matemática a la Lógica.

"Si al final, dice Brunschvicg en sus Etapes de la philosophie mathematique, ha parecido falaz la idea de apoyarse en la inteligibilidad del número entero positivo para justificar a prior¡ la verdad matemática, es porque hay contradicción entre la concepción aritmetista que procede de lo particular a lo general y las condiciones de la justificación a prior¡ que implican una deducción a partir de nociones más generales. El aritmetismo debe, por consiguiente, ser considerado como una etapa de un movimiento que, más allá de las formas especificas del número, se une a las formas universales del ser, movimiento que parece obedecer a la naturaleza del espíritu humano, puesto que es el mismo que hemos visto producirse del pitagorismo al aristotelismo. Pero la Lógica formal de Aristóteles sólo es el prototipo de la Logística contemporánea. En contacto con los métodos modernos, e imitando el algoritmo perfeccionado de la Matemática, la Logística ha manifestado una flexibilidad de análisis y una preocupación por el rigor de las que aquélla permanece infinitamente alejada. La Logística es una nueva técnica".

Pero esta técnica tiene graves inconvenientes. La hipertrofia del simbolismo, el aislamiento de la realidad, la ruptura de todo contacto con el mundo exterior, es tan peligrosa como los balones de oxígeno que se administran a los enfermos desahuciados: que lo mismo se muere por asfixia en una atmósfera de oxígeno puro que en una atmósfera de anhídrido carbónico; y aquí vienen como anillo al dedo estas palabras de Klein: "Cuando se asciende a una montaña se va notando que la pureza de la atmósfera aumenta en cada momento; pudiera, pues, creerse que si se asciende indefinidamente el bienestar que se experimenta sería cada vez mayor. Todo el mundo sabe, sin embargo, que esto no ocurre, sino que, por el contrario, existe un límite de altura, pasado el cual la vida se hace imposible. Análogamente puede decirse que en la ascensión de los lógicos hacia la pureza científica eliminando la intuición, en lo posible, pues aun los símbolos de Peano tienen un resto de elementos intuitivos, se encuentran innegables ventajas; pero sólo hasta cierto límite, que no puede ser superado sin que el excesivo predominio de la Lógica produzca la esterilidad del razonamiento".

Boole y Riemann sobrevivieron pocos años al conocimiento de sus obras: diez el primero y doce el segundo. Los últimos de Boole se deslizaron plácidamente, sin que se encuentre en ellos nada digno de recordación especial. Fueron años dedicados a la investigación desinteresada y romántica, a la búsqueda de la Verdad por la Verdad, sin otro objetivo que la íntima satisfacción espiritual, hasta el último día de su vida: el 8 de diciembre de 1864, en que murió de una pulmonía ocasionada por una mojadura al ir a dictar una conferencia.



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Los años finales de Riemann, en cambio, fueron accidentados. Obtenida la deseada licencia docente en 1854, y luego

de un pequeño descanso con su familia en Quickborn, regresó a Gotinga, y el 9 de octubre de aquel año explicó su primera lección en la Universidad, y grande fue su sorpresa al encontrarse con ocho alumnos, pues él no esperaba más que dos o tres.

Al año siguiente murió Gauss y fue Dirichlet nombrado para sucederle. Los amigos de Riemann, sabedores de su talento matemático y también de sus inaplazables necesidades económicas, pidieron un puesto para él, pero la Universidad era pobre y sólo pudo ofrecerle un pequeño sueldo fijo, que Riemann, naturalmente aceptó.

A los pocos meses murieron su padre y su hermana Clara. Sus otras hermanas, comprendiendo que serían una carga para el modesto profesor, se fueron a vivir con su hermano mayor, empleado de Correos en Bremen y cuyos ingresos, comparados con los del matemático, eran enormes.

Como decía el funcionario postal, su hermano era "un no valor económico". Y tenía razón. Dedicarse a la Matemática por la Matemática, sin otro objetivo que la persecución de la Verdad, sin otro aliciente que

la emoción científica, sin otra mira que la de respirar el aire aséptico del pensamiento puro, sin otro interés que el de bañar el alma en la luz de la Idea, luz quieta, luz serena, como la luz cenital, que no proyecta sombras, ha sido, es y será una perfecta locura para los espíritus prácticos, terriblemente prácticos, que florecen en todas las latitudes con la espontaneidad con que brotan los cardos en las tierras arenosas.

El cerebro de Riemann, sometido a una presión excesiva, que no corría parejas con la subalimentación a que estaba sometido, sufrió un eclipse y los médicos le aconsejaron reposo.

Afortunadamente, tenía un amigo en la accidentada región del Hartz y allá se marchó y allá fue también Dedekind, que era entonces profesor del Politécnico de Zurich. Paseando por la montaña, y discurriendo sobre temas que no exigían ningún esfuerzo mental, Riemann recobró la salud.

Al regresar a Gotinga fue nombrado profesor adjunto. Empezaba la liberación económica; pero diríase que el sino de Riemann era sufrir. Apenas había comenzado a disfrutar de una situación, modestísima, pero segura, murió su hermano y tuvo que atender al sostenimiento de sus hermanas. Una pirueta del destino le alivió la carga poco después: María, la menor, siguió a su hermano a la tumba, lo que hace pensar en dar la razón a quienes como se dijo al principio, atribuyen las prematuras muertes de los Riemann a la falta de alimentación adecuada en sus primeros años.

En 1859 quedó vacante la cátedra de Dirichlet, por fallecimiento de éste, 5 de mayo y la Universidad llamó a Riemann para sucederle, y, como a Gauss, lo alojó en el Observatorio astronómico. Ahora sí que parecía segura la liberación. El prestigio de Riemann había atravesado ya las fronteras de Alemania y la Royal Society de Londres y la Academia de Ciencias de París le nombraron miembro correspondiente.

Con este último motivo Riemann fue a la capital de Francia, en donde conoció personalmente a Hermite, que le profesaba honda admiración, el año 1860, fecha importante en la historia de la Física matemática porque marca una notable memoria de Riemann Sobre un problema relativo ala conducción del calor, en la que establece un sistema de formas diferenciales cuadráticas, en relación con sus investigaciones sobre los fundamentos de la Geometría, que, andando el tiempo, habrían de ser la base de la teoría de la relatividad.

Resuelto ya el problema económico, y sin la angustia diaria de la urgencia biológica, Riemann pensó en casarse. Tenía treinta y seis años cuando contrajo matrimonio con Elisa Koch, amiga de sus hermanas. Al mes de casado tuvo una pleuresía que le acarreó la tuberculosis.

Ante esta situación, sus amigos le consiguieron una bolsa de viaje, y aquel invierno, 1862, lo pasó en Italia. Regresó a Alemania en la primavera siguiente, pero cayó enfermo en seguida, y en agosto volvió en busca del cielo azul y del clima templado del mediodía, viéndose obligado a detenerse en Pisa, a causa de la fatiga que le producía el viaje. Allí nació su hija Ida.

El invierno siguiente fue tan excepcionalmente frío que hasta se helaron las aguas del Arno. La Universidad de Pisa ofreció una cátedra a Riemann, que éste no pudo aceptar por su lastimoso estado de salud; pero la de Gotinga le prolongó generosamente el permiso y hasta le envió un refuerzo económico que le permitió instalarse en una casita de campo de los alrededores de Pisa, donde murió su hermana Elena y donde él se agravó lamentablemente.

En vano intentó mejorar en Livorno y en Génova. Sintiendo la nostalgia de su patria, regresó a Gotinga en octubre de 1865; pero bien pronto se convenció de que su curación era imposible en Alemania y volvió a Italia, pasando sus últimos días en Selasca, a orillas del lago Mayor, donde murió el 20 de julio de 1866.

Dedekind, su colega y amigo, que profesaba al matemático tan grande admiración como cariño al hombre, cuenta su muerte con estas sencillas y emocionadas palabras: "Sus fuerzas declinaban rápidamente y comprendió que el final estaba próximo. El día antes de morir estudiaba a la sombra de una higuera y su alma estaba alegre ante el maravilloso paisaje; pero la vida se le escapaba dulcemente, sin lucha y sin agonía. Diríase que presenciaba con interés cómo se separaba el alma del cuerpo. Su esposa le dio un poco de pan y vino, y él le dijo entonces: “Dale un beso a nuestra hijita”, y juntos empezaron a rezar el padrenuestro. Al llegar a “perdónanos nuestras deudas” Riemann alzó lentamente los ojos al cielo. Ella estrechó su mano, cada vez más fría, entre las suyas, y, luego de un suspiro muy hondo, dejó de latir aquel noble corazón. La dulzura que había respirado en su infancia no le abandonó nunca. Sirvió a Dios fielmente, como lo había servido su padre, pero de manera distinta.

"El epitafio de la tumba que le erigieron sus amigos italianos termina con estas palabras en alemán: "Todas las cosas trabajan para el bien de los que aman al Señor."


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FFIILLOOSSOOFFÍÍAA:: EENNTTRREE PPLLAATTÓÓNN YY AARRIISSTTÓÓTTEELLEESS

Por: Rafael Ascanio Hernández

PLATÓN (428 a. C. - 347 a. C). Filósofo griego, cuya originalidad, ha influido en toda la historia de la filosofía occidental. Su nombre verdadero, Aristocles, fue cambiado por el apodo Platón, que significa “el de anchas espaldas”. Cuando joven aspiró ser político pero este ambiente lo decepcionó. Se hizo discípulo de Sócrates de quien aceptó su filosofía y su forma dialéctica del debate: la verdad se obtiene de las preguntas y de las respuestas, y de aquí, nuevas preguntas, nuevas respuestas. ARISTÓTELES (384 a. C. – 322 a. C.). Filósofo y científico griego, considerado junto a Sócrates y Platón, uno de los pensadores más destacados de la antigua filosofía griega y posiblemente el de mayor influencia en toda la filosofía occidental. Discípulo de Platón, también utilizó la forma dialogada de razonamiento pero al carecer del talento imaginativo de Platón, esta modalidad nunca fue de su agrado. De los escritos de Aristóteles, lo que más se tiene a mano son las notas de las clases que preparaba para sus cursos. Los textos sobre los que se fundamentan su fama, se basan en las recopilaciones que se hicieron de estos apuntes. Lo ideal sería que todas las formas del reflejo de la realidad se correspondieran entre sí. Pero se observa que en casos bastante simples tal correspondencia no se da. Cuando nos valemos del pensamiento, recurriendo a conceptos, juicios y razonamientos, hacemos el análisis y realizamos las correcciones de los resultados de la cognición sensorial: las sensaciones, las percepciones y las representaciones. Pero contrario a esto, si surge una contradicción entre la percepción sensorial y el resultado de la reflexión, le damos la preferencia al pensamiento. Entonces, ¿no es mejor que desde un principio y hasta el fin, confiar solamente en el pensamiento y no considerar los datos obtenidos gracias a los sentidos? Este razonamiento fue el punto de vista asumido por los filósofos de la antigua Grecia y en esa línea desarrollaron su pensamiento. En consecuencia, Platón y Aristóteles participaron de esta dimensión cultural.

Para Platón y Aristóteles, la filosofía es ciencia pura y simple. La reflexión filosófica de Platón se extiende al contenido total de la conciencia humana, pero no se dirige solamente a los objetos prácticos, a los valores y a las virtudes sino también al conocimiento científico. En cambio, Aristóteles se inclina con un gran énfasis hacia el conocimiento científico y a su objeto, el ser. Si la filosofía de Platón se caracteriza como una concepción del espíritu, la de Aristóteles se presenta como una concepción del universo.

PLATÓN. Evidenciando ser discípulo de Sócrates, aceptó y asumió la posición filosófica de su maestro así como su método basado en la dialéctica del debate: la verdad se consigue en el proceso de hacer preguntas, estudiar las respuestas a estas preguntas, este estudio conduce a otras preguntas y así sucesivamente. Este método de Sócrates se llama anamnesis: interrogar para llegar a la verdad.

Platón, utiliza el mismo método de Sócrates llamándolo mayéutica, cuya base era suponer que cada quien lleva consigo el conocimiento, por lo que solo requiere que se le ayude a recordar o hacerlo presente mediante un interrogatorio. Posiblemente expresó su pensamiento mediante diálogos, estilo de la mayoría de sus obras, porque en su época preponderaba la comunicación oral y un diálogo es la forma de escribir que más se asemeja a la de hablar. A Sócrates le interesaba la conducta práctica, por ello renunció admitir que la verdad era relativa; de hecho creía en que todo conocimiento que servía de base para la acción debía ser un conocimiento de valores eternos, no afectado por las imprecisiones producidas por los sentidos y en consecuencia, único e iguales para todo individuo.



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Fiel a su maestro, Platón estaba convencido en que el camino correcto era el propuesto por Sócrates; es decir, el conocimiento tenía que ser objetivo y universalmente válido, pero también estaba convencido de la necesidad de demostrarlo teóricamente, y así, en consecuencia, ahondó en los problemas del conocimiento, en su naturaleza y en su objeto. En otras palabras, para Platón el conocimiento se podía alcanzar.

Para él, el mundo inteligible era lo único real puesto que es el que proporciona las formas, las ideas, los modelos de lo cual el mundo natural va a ser solo reflejo, copia, imitación. Platón afirmó que el saber real es universal, que no depende de las particularidades individuales y personales del sujeto cognoscente. La ciencia es única, su conocimiento es universal. Un fenómeno, por decirlo así, tiene una sola descripción: cien sujetos cognoscentes no van a tener cien conocimientos diferentes y verdaderos del mismo objeto. El conocimiento o saber verdadero de este objeto engloba las características comunes de este objeto destacada por los cien sujetos cognoscentes.

Está claro que Platón hizo una distinción entre un mundo sensible y otro inteligible, distinción que conlleva la subsiguiente entre conocimiento empírico o sensitivo y conocimiento intelectivo.

Por otro lado, es de creerse que Platón se consideró filósofo y asumió la función social que tal compromiso involucraba.

Sus famosos diálogos, además de mostrarnos el convencimiento de Platón de la validez del método de su maestro Sócrates, también muestra cual es el papel que para él debe tener el filósofo en la sociedad.

En el Fedón, el hombre es puro, vive para el alma y no teme a la muerte porque ya en esta vida su alma está separada del cuerpo; en el Teeteto la torpeza del hombre le impide ubicarse en sociedad; en la República dicta pautas de moral y asume un papel de inquisidor; pero es en Fedro y en el Banquete donde muestra la faceta de un filósofo entusiasta e inspirador.

Detallando todas estas situaciones expuestas por Platón en sus diálogos, evidencia que él manifiesta que el filósofo es un ser que debe alejarse de situaciones mundanas, debe buscar la purificación pero a su vez debe comprometerse a ayudar a construir una sociedad justa, cuyas relaciones exactas y rigurosas constituyan el objetivo de la ciencia. Es decir, el filósofo debe estar por encima de lo cotidiano pero sabio al fin, debe proponer las relaciones más adecuadas a seguir por el individuo en su contorno humano.

Las ideas de Platón influyeron en la política, en la ética y en el arte. La Academia, institución fundada por él, existió hasta el año 529 y esto permitió que sus ideas trascendieran. Influyeron en el pensamiento judío durante el siglo I cuyo mejor exponente es Filón de Alejandría; en el siglo III el filósofo Plotino contribuyó al desarrollo de las ideas de Platón en el llamado neoplatonismo; en el cristianismo con los teólogos Clemente de Alejandría, Orígenes y San Agustín de Hipona¸ y también en el pensamiento islámico medieval.

Las ideas de Platón fueron objetos de estudios durante el renacimiento. En la Academia Florentina, fundada en el siglo XV, bajo la dirección de Marcillo Ficino, se incluyó en su currículo el estudiar a Platón.

En el siglo XVII, Ralph Cudworth, entre otros conformadores de la llamada Escuela de Cambridge, se dedicaron también a estudiar a Platón.

Y en el recientemente finalizado siglo XX, se sabe que Alfred North Whitehead le rindió tributo a Platón al describir a la filosofía como una simple “serie de anotaciones de Platón”.

ARISTÓTELES. La actitud filosófica de Aristóteles muestra un esfuerzo por dar solución al problema del ser y la ciencia, comenzando en el punto en que lo dejó su maestro Platón. Es decir que Aristóteles afrontó la tarea de dar respuesta al monismo estático planteado por Parménides, al movilismo de Heráclito y hasta el mismo idealismo propuesto por Platón.

¿Cómo afronta Aristóteles esta tarea? Frente a la importancia que Platón concedió a las matemáticas, Aristóteles hizo mayor hincapié en la biología, quizás motivado por el ambiente familiar que producía el haber sido hijo de un médico.



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Para Aristóteles la naturaleza es un sistema orgánico de cosas, cuyas manifestaciones comunes permiten ordenarlas en clases de especies y género; cada especie con una forma, propósito y modo de desarrollo en cuyos términos es posible expresarla. La finalidad de la ciencia teórica es definir las actitudes, propósitos y modos esenciales de desarrollo de cada una de las especies, disponiéndola en su orden natural de acuerdo a las complejidades involucradas en su forma, y en donde los principales niveles son el inanimado, el vegetativo, el animal y el racional. Para Aristóteles el alma es la forma o realidad del cuerpo, y la especie de los seres humanos, de forma más elevada que las otras especies terrenales, la más elevada dentro de las especies perecederas. En cuanto a los cuerpos celestes, compuestos de una sustancia imperecedera y movidos circularmente por Dios, son todavía más altos en el orden de la naturaleza. Es decir, suprime el mundo trascendente de las ideas de Platón y admite únicamente la existencia de sustancias particulares e individuales, distribuidas jerárquicamente en tres grandes planos: terrestre, celeste y divino.

Para Aristóteles solo existen dos tipos de conocimientos: el sensitivo y el intelectivo. El sensitivo da origen a todo nuestro conocimiento y se caracteriza por su particularidad; y aunque es verdadero no es científico ya que está sujeto al movimiento y a los cambios de la cosa; además no distingue lo sustancial de lo accidental. Para él, tampoco es ciencia el conocimiento que solo llega hasta la opinión (doxa) porque este carece de necesidad, aun cuando sea la base de juicios verdaderos. De hecho, el conocimiento científico requiere fijeza, estabilidad y necesidad de los objetos en los que se basa su certeza. Solo el conocimiento intelectivo puede constituir ciencia porque con el mismo se pueden producir conceptos universales caracterizados por la fijeza, la estabilidad y la necesidad.

Caído el imperio romano, las obras de Aristóteles se perdieron en Occidente. Fue en el siglo IX que estudiosos musulmanes introdujeron en el ámbito del Islam su obra traducida al árabe. Para el siglo XII, el filósofo hispanoárabe Averroes examina y comenta la obra aristotélica. Para el siglo XIII, el Occidente latino renueva su interés por la filosofía aristotélica y es santo Tomás de Aquino que halló en ella una base filosófica distinta al dogmatismo para apoyar el pensamiento cristiano. Es este esfuerzo de santo Tomás el que permite quitar el endoso de doctrina materialista a la filosofía aristotélica en esos tiempos.

La influencia del pensamiento aristotélico marcó el desarrollo de la humanidad y su ciencia. Antes del siglo XX decir lógica era hacer referencia a la lógica aristotélica. Hasta mucho después del renacimiento se ensalzaba el concepto aristotélico del Universo. La importancia del pensamiento aristotélico comienza a declinar en el siglo XIX cuando, por ejemplo, dentro de la zoología, el científico británico Charles Darwin cuestiona con éxito la doctrina de la inmutabilidad de las especies. Aun así, el pensamiento aristotélico mantiene una cierta importancia. En los años finales del siglo XX se produjo una nueva apreciación del método aristotélico, determinándose que puede ser relevante en educación, en el análisis de las acciones humanas, en la crítica literaria y en el análisis político.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA.-

ALBORNOZ, HERNÁN. (1990). “Diccionario de Filosofía”. Vadell Hermanos Editores. Valencia, Venezuela.

ATLAS UNIVERSAL DE FILOSOFÍA (S/f). Manual didáctico de autores, textos, escuelas y conceptos filosóficos. España: Editorial OCEANO. BIBLIOTECA DE CONSULTA MICROSOFT ENCARTA 2005. “Filosofía Occidental”.

BIBLIOTECA DE CONSULTA MICROSOFT ENCARTA 2005. “El filósofo para Platón”, fragmento de Historia de la Filosofía (2 Vols.) de Emile Bréhier. Traducción de Juan Antonio Pérez Millán y María dolores Morán. Madrid: Editorial Tecnos. 1988. FRAILE, GUILLERMO. “Aristóteles y conocimiento científico”. Monografías.com

FREDERICK, COPLESTON. “La Teoría del Conocimiento”. Monografías.com HESSEN, JUAN. (1970). “Teoría del Conocimiento”. Espasa-Calpe, S. A. Colección Austral. Madrid, España.

MACHIMAROT. “La filosofía en la antigüedad”. [email protected]. Monografías.com MELERO, KIMSIAN. “Escuelas del pensamiento”. http//www.monografias.com/trabajos16/escuelas-del-pensamiento.

UERO MARTÍNEZ, ROBERTO. “Filosofía”. http//www.monografias.com/trabajos16/filosofia/filosofia.shtml.

ROSAS, JULIÁN. “Filosofía”. [email protected]. Monografías.com UIÓMOV, A. I. (1976). “La verdad y cómo llegar a su conocimiento”. Ediciones Pueblos Unidos. Biblioteca Filosófica para la Juventud. Buenos Aires, Argentina.


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Discusiones de Postgrado

EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEE LLAA EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA..

En las ediciones anteriores comenzamos la publicación de los artículos que se originaron de los ensayos pensatorios conclusivos producto de las sesiones de lectura y discusión crítica entre los participantes cursantes de la asignatura conducente “Epistemología de la Educación Matemática”, de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios de Postgrado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, durante el periodo lectivo 1-2009 (enero-abril).

Se iniciaron las discusiones con la lectura del libro de Robert Blanché, “La Epistemología”.

En este libro, el autor nos presenta algunas posiciones muy particulares sobre la epistemología y refuerza las mismas confrontando los aportes de otros autores, a los cuales se les reconoce mundialmente su condición de epistemólogos.

A continuación presentamos el siguiente de ellos, cuyo autor es el participante Juan Carlos Briceño.

LLAA EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA Por: JUAN CARLOS BRICEÑO

C. I. Nº: 14.676.625

La epistemología, que literalmente significa teoría de la ciencia o estudio crítico del desarrollo, métodos y resultados de la ciencia, inicialmente tuvo sus primeros pasos con Platón y Aristóteles en lo que se puede llamar reflexiones epistemológicas, pero que no fue sino hasta el siglo XIX, cuando se comenzó hablar de lo que hoy llamamos epistemología; cabe destacar que este siglo se caracterizó por la renovación y el progreso de diversas ciencias. ¿Será esto último lo que originó la epistemología?, y más aún: ¿Será eso lo que la revitaliza constantemente?

En este siglo se destaca lo referente a las ciencias formales, lógica y matemática, la wissenschaftslehre de Bernhard Bolzano y la otra relativa a las ciencias de la naturaleza; fueron el desarrollo inicial de la epistemología, claro sin olvidar a Whewel y al considerado su mayor representante en el siglo XIX, Antoine Augustin Cournot. Sin embargo no fue sino hasta el inicio del siglo XX que con la unión entre lo científico y lo filosófico se dio por constituido y consagrado el nacimiento de la epistemología.

Ahora bien, con base a lo anterior ¿Qué significado tiene la epistemología para el especialista en matemática?, pudiéramos partir de la idea que su función es de establecer la naturaleza del conocimiento y su validez es lo que para este especialista implica la búsqueda incesante de la verdad a través de bases teóricas que le permitan exponer o demostrar la solución de un problema de forma lógica y razonable.

Por otro lado se tiene el ámbito de la epistemología el cual ha suscitado diversos puntos de vista y que el mismo variará de acuerdo con la que se compare. En tal sentido Carnap solo reconoce válido a la teoría del conocimiento cuando ésta se reduce a la epistemología. Aunque aún admitiendo la separación teórica entre epistemología y ciencia, en ocasiones es difícil observar dicha distinción. Ahora bien, de acuerdo al punto de vista de Carnap, el cual delimita el conocimiento para realizar un estudio detallado y tomando en cuenta que la definición de ámbito es el espacio incluido dentro de límites determinados entonces ¿deberíamos delimitar el conocimiento del hombre?



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A su vez nos encontramos con otro debate, ¿como establecer una dicotomía en lo referente a epistemología y filosofía de la ciencia?; algunos plantean un análisis lógico del lenguaje científico, otros toman una posición en la que desligan a la epistemología de la filosofía, mientras que en la actualidad la epistemología se aleja de los filósofos para pasar a manos de los sabios. Brurischvicg afirmó “los progresos de la ciencia no son siempre progresivos, ya que también pueden ser reflexivos” y de la misma manera Piaget destaca que la reflexión epistemológica nace con las “crisis”; esto último responde en parte a la interrogante planteada al inicio: ¿Será eso lo que la revitaliza constantemente?, lo cual implica que ciertamente la epistemología esta en una constante reflexión o lo que nombraba Platón “un ciclo de ideas cerradas”, la cual no va en un sentido lineal, sino que la misma se va adaptando a un contexto y a un tiempo.

Por otro lado tenemos las aproximaciones que algunos hacen sobre si la epistemología converge a un sentido filosófico y otros que opinan lo contrario, es decir, que mas bien va hacia un sentido científico. En particular pudiéramos afirmar que ninguna de las dos posiciones va en lo correcto; en todo caso deberíamos tomar un punto de equilibrio entre ambas, ya que como debemos recordar fue la unión de lo científico y filosófico lo que dio origen a la epistemología.

Los problemas de la epistemología se reparten en dos grandes grupos; los de carácter general, que abarcan la totalidad de las ciencias y los propios de cada grupo de ciencias. Algunos son problemas epistemológicos nuevos en cuanto a métodos, naturaleza de explicación y otros que tratan de alejarla de lo filosófico. Sin embargo todo ese esfuerzo de limitar a la epistemología en una rama de la ciencia u otra, en un ámbito determinado e incluso en una aproximación, es lo que ha permitido en cierta forma a lo largo de estos últimos siglos, crear un debate y enriquecer las ideas que han convergido en lo que es el punto de partida o el núcleo de la epistemología y esto no es mas que una reflexión.

Para la segunda parte analizaremos tomando como punto de partida la siguiente interrogante ¿ciencia o ciencias? En tal sentido tenemos que ciencia es un conjunto coherente de conocimientos relativos a ciertas categorías de hechos, de objetos o de fenómenos; las cuales están basadas en un criterio de verdad y una corrección permanente. Mientras que hablar de ciencias no es mas que el conjunto de todas sus partes: ciencias puras, ciencias aplicadas, ciencias exactas, ciencias sociales, entre otras; es decir, debemos comprender que aunque el objeto de estudio implique una división parcial de una u otra ciencia, que a su vez, suponga la partición en disciplinas particulares y que en sí ha promovido el pensar en que hay no una sino varias ciencias. En tal sentido Descartes expone “Todas las ciencias no son mas que la sabiduría humana que permanece siempre una y la misma, por más diferentes que sean los objetos a que se aplica, y que sólo recibe como cambios de estos objetos a luz de todo lo que iluminan”.

Es así como hoy en día existe un consenso en dejar atrás las delimitaciones o fronteras hacia la ciencia e ir mas bien en busca de una interdisciplinaridad entre una y otra que contribuya a entrelazar las ramas del saber, que sin duda alguna, es lo que permitirá la generación de más conocimientos, aunque cabe preguntar ¿Por qué si esto es así, lo anterior pareciera no ser tan evidente de comprender? Todavía persiste cierta resistencia de algunos sabios en aceptarlo.



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Por otro lado se ha originado una reflexión epistemológica basada en la división de las ciencias la cual supone que existe una dicotomía fundamental que ha sido presentada bajo formas muy diversas.

Algunos como Spencer propusieron una división abstracta-concreta, la cual no toma en cuenta que al final lo abstracto se sirve de lo concreto y lo concreto de lo abstracto. Similarmente ocurrió con las deductivas e inductivas e igualmente, a comienzo de los tiempos modernos, se hizo una división entre el conocimiento a priori y el conocimiento experimental el cual Kant la definió como el conocimiento aquel que es necesariamente verdadero y universal. De igual manera otro filosofo como David Hume basado en su posición de que el conocimiento humano proviene de los sentidos, por lo cual la dividió en dos partes: las ideas y las cosas del hecho. Así mismo se manifestaron los empiristas oponiéndose al racionalismo, entre ellos cabe destacar a Rudolf Carnap el cual se oponía a las ciencias de lo real en las ciencias formales.

Aunque a lo largo de estos últimos siglos se ha producido una fuerte corriente hacia como dividir las ciencias del conocimiento, por lo que nos podemos preguntar ¿Cuáles son las relaciones que unen las teorías del conocimiento? O ¿Será que no puede haber una unificación del mismo, dada nuestra naturaleza humana predispuesta a la confrontación? En tal sentido considero que más que una confrontación o separación de ideas deberíamos de verlo como un camino el cual esta conectado en algunos trayectos por puentes que unen un conocimiento con otro, pero que eso no implica una separación del mismo.

Muchas de las controversias o diferencias existentes entre los grandes sabios y que la mencionamos anteriormente tuvo inicio desde la época de los griegos. En tal sentido debemos recordar que las matemáticas fueron puestas en un marco teórico y racional netamente separado de las prácticas empíricas del cálculo y medida. Lo cual representa una de las primeras manifestaciones de división del conocimiento. Sin embargo Kant con su concepto de síntesis a priori creía haber puesto de acuerdo a las dos vertientes de las matemáticas. Sin embargo su teoría pierde razón de ser, ya que la dificultad que la suscitaba se explica por el desarrollo mismo de la ciencia. Similarmente se generó una distinción entre lo abstracto y lo concreto que Gaston Bachelard con su propuesta de un racionalismo activo, logró establecer una relación entre lo racional y lo empírico, entre lo abstracto y lo concreto, entre la forma y el contenido.

No obstante cabe resaltar que aunque en la Grecia antigua se produjo la controversia entre si las matemáticas eran empiristas o racionalistas, no podemos olvidar que fue en este periodo cuando pasamos de una matemática basada en creencias u opiniones a una ciencia. Esto influyó y a su vez sirvió de base para otras áreas del conocimiento como la física, claro sin dejar atrás toda la polémica resumida en los párrafos anteriores, pero que en sí, no podemos olvidar que esa búsqueda de la verdad ha conllevado una constante reflexión que en resumen no es mas que un punto central: “La Epistemología”.


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HHeennrrii BBeeccqquueerreell Nació el 15 de diciembre de 1852 en París; y falleció el 25 de agosto

de1908 en Le Croisic, ambas localidades en Francia, a la edad de 55 años. En 1903 compartió el Premio Nobel de Física con Pierre y Marie Curie en reconocimiento de sus extraordinarios

servicios por el descubrimiento de la radioactividad espontánea.

También fue galardonado con: Medalla Rumford (1900), Medalla Helmholtz (1901); Medalla Barnard (1905)

En su honor se bautizó:

La unidad de medida de actividad radiactiva en el Sistema Internacional de Unidades: el Becquerel.

El cráter Becquerel en la Luna, y el cráter Becquerel de Marte.

HENRI BECQUEREL

(1852-1908)

Antoine-Henri Becquerel. Educado en el seno de una familia constituida por varias generaciones de científicos. Hijo de Alexandre-Edmond Becquerel (que estudió la luz y la fosforescencia e inventó la fosforoscopia) y nieto de Antoine César Becquerel, uno de los fundadores de la electroquímica. Estudió en el Lycée Louis-le-Grand, para ingresar el 1874 en la École des Ponts et Chausées (Escuela de Caminos y Puentes), donde permaneció durante tres años. En 1894 fue nombrado jefe de ingenieros del Ministerio francés de Caminos y Puentes. En su primera actividad en el campo de la experimentación científica investigó fenómenos relacionados con la rotación de la luz polarizada, causada por campos magnéticos. Posteriormente se dedicó a examinar el espectro resultante de la estimulación de cristales fosforescentes con luz infrarroja. Estudió y se doctoró en Ciencias en la Escuela Politécnica de la capital francesa. Fue profesor del Museo de Historia Natural en 1892 (el tercer miembro de su familia en hacerlo) y de la Échole Polytechnique en 1895. Tras el descubrimiento, a finales de 1895, de los rayos X por Wilhelm Röntgen, Becquerel observó que éstos, al

impactar con un haz de rayos catódicos en un tubo de vidrio en el que se ha hecho el vacío, se tornaban fluorescentes. A raíz de esta observación, se propuso averiguar si existía una relación fundamental entre los rayos X y la radiación visible, de tal modo que todos los materiales susceptibles de emitir luz, estimulados por cualquier medio, emiten, así mismo, rayos X. Para comprobar esta hipótesis, colocó cristales sobre una placa fotográfica envuelta en papel opaco, de tal forma que

sólo la radiación invisible, correspondiente a los rayos X, pudiera revelar la emulsión contenida en la placa; previamente excitó los cristales mediante exposición a la luz solar. Al cabo de unas horas comprobó que la placa revelaba la silueta perfilada por los cristales. En un experimento posterior, intercaló una moneda entre los cristales y la envoltura opaca; tras unas horas de

exposición, verificó que la imagen de la moneda se perfilaba en la placa. El 24 de febrero de 1896 informó del resultado de estos experimentos a la Academia de las Ciencias francesa, advirtiendo en su informe la particular actividad mostrada por los cristales constituidos por sales de uranio. Ocho días después comprobó que las sales de uranio eran activas sin necesidad de ser expuestas a una fuente energética. Marie Curie bautizó este fenómeno con el nombre de radiactividad, tras el descubrimiento por parte del matrimonio

Curie de nuevos elementos como el torio, el polonio y el radio, materiales que muestran un comportamiento análogo al del uranio. En 1903 compartió el Premio Nobel de Física con el matrimonio Curie.

FUENTES:


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Nació el 6 de septiembre de 1766 en Eaglesfield, Cumberland; y falleció el 27 de julio de 1844, en Manchester, ambas localidades en el Reino Unido.

Fue naturalista, químico , matemático y meteorólogo.

JOHN DALTON (*1766-†1844)

Nació en el seno de una familia pobre de tejedores cuáqueros devotos. En su infancia ayudaba con su hermano a su padre en el trabajo del campo y de la pequeña tienda familiar donde tejían vestidos, mientras que su hermana Mary ayudaba a su madre en las tareas de la casa y vendía papel, tinta y plumas.

Aunque su situación económica era bastante humilde, recibieron cierta educación en la escuela cuáquera más cercana, a diferencia de otros niños de la misma condición. El maestro de la escuela cuáquera de Pardshow Hall proporcionó a Jonh Dalton una buena base y le transmitió el afán por la búsqueda incansable de nuevos conocimientos. Un cuáquero rico, Elihu Robinson, se convirtió en su mentor y en otra fuente de estimulación hacia las matemáticas y las ciencias, especialmente la meteorología.

Con sólo 12 años de edad John Dalton abrió en 1778 una escuela en su localidad natal, Eaglesfield, donde impartió enseñanza elemental. Aunque supo manejar los problemas con sus alumnos mayores que él, después de dos años tuvo que abandonar su proyecto debido al bajo salario, y tuvo que volver a las tareas del campo trabajando para un tío suyo.

En 1781 John Dalton se unió a su hermano como asistente de George Bewley en su escuela de Kendall. Cuando se retiró George, su hermano y él abrieron su propia escuela, donde ofrecían clases de inglés, latín, griego y francés, además de 21 temas relacionados con las matemáticas y las ciencias. Su hermana se trasladó con ellos para ayudarles en la casa. A pesar de tener unos 60 alumnos, a veces se veían obligados a trabajar en tareas auxiliares para mantenerse. Este periodo duró 12 años.

John Gough, el hijo ciego de un rico comerciante, se hizo amigo de John Dalton y su mentor. Le enseñó lenguas, matemáticas y óptica, además de compartir con Dalton su biblioteca. El interés de Dalton se extendió hacia la neumática, la astronomía y la geografía, y en 1787 comenzó a obtener ingresos extraordinarios impartiendo conferencias. También se dirigió a un museo cercano con una oferta para vender los once volúmenes clasificados de su colección botánica. Coleccionaba mariposas y estudiaba los caracoles, las garrapatas y los gusanos. También medía su ingesta de alimentos y la comparaba con los residuos producidos por su organismo. Preparaba su ingreso en la escuela de medicina, pero su familia lo desanimó por falta de dinero y de confianza en él.

En 1792, a la edad de 26 años se trasladó a Manchester, donde impartió matemática y filosofía natural en el Nuevo Colegio fundado por los presbiterianos. Inmediatamente se inscribió en la Biblioteca de Manchester y en la Sociedad Filosófica, la cual llegaría a presidir.

Fue a esta misma edad cuando Dalton descubrió que ni él ni su hermano eran capaces de distinguir los colores. Le regaló a su madre unas medias que él creía azules y ella le preguntó sorprendida cuál era la razón por la que le daba unas medias de color escarlata, que no era apropiado para una mujer cuáquera.

Motivado por esto, estudió esta enfermedad conocida como acromatopsia y posteriormente llamada daltonismo en su honor. En 1794, en su primer artículo científico importante, titulado Extraordinary Facts Relating to the Vision of Colours, John Dalton proporcionó una descripción científica sobre la misma.

En 1793 inició estudios sobre meteorología, recopilando a lo largo de su vida más de 200.000 anotaciones,[1] y ese mismo año publicó Observaciones y Ensayos de Meteorología donde defendía la tesis de que el aire es una mezcla física de gases en lugar de una combinación química. Como tutor de química conocía la obra de Lavoisier.

A partir de 1800 pasó a la enseñanza privada y ocupó el cargo de secretario de la Sociedad Filosófica y Literaria de Manchester, que presidió a partir de 1817.

En sus estudios sobre la meteorología desarrolló varios instrumentos de medición y propuso por primera vez que el origen de la lluvia se encuentra en el descenso de la temperatura. En este ámbito estudió también las auroras boreales, y determinó que éstas están relacionadas con el magnetismo de la Tierra.[2]



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Entre 1801 y 1802 enunció la ley de las presiones parciales y la de las proporciones múltiples (Ley de Dalton).[3] Cuando dos fluidos elásticos A y B se mezclan, no hay repulsión entre una partícula de A y otra de B, pero sí entre una partícula de B y otra partícula de B. También estableció una relación entre la presión de vapor y la temperatura. Su interés en los gases se derivaba de su afición a los estudios meteorológicos: siempre llevaba consigo sus aparatos del tiempo allí donde fuese, realizando a lo largo de su vida más de doscientas mil observaciones que anotaba en su diario constantemente. Gracias a estas observaciones, su mente analítica pudo encontrar relaciones numéricas entre los datos.

En 1803, mientras trataba de explicar su ley de presiones parciales, comenzó a formular su mayor contribución a la ciencia: la teoría atómica. Se encontraba estudiando la reacción del óxido nítrico con oxígeno cuando descubrió que la reacción podía tener lugar con dos proporciones diferentes: a veces 1:1,7 y otras 1; 3,4 (en peso). Ello llevó a Dalton a establecer la ley de las proporciones múltiples, que dice que los pesos de dos elementos siempre se combinan entre sí en proporciones de números enteros pequeños. En ese mismo año publicó su primera lista de pesos atómicos y símbolos.

Fue alumno suyo el también físico James Prescott Joule, que más tarde efectuó estudios sobre magnetismo y que puso las bases para el desarrollo de las leyes sobre la conservación de la energía (termodinámica).

En 1808 expuso la teoría atómica en la que se basa la ciencia física moderna. Demuestra que la materia se compone de partículas indivisibles llamadas átomos. También ideó una escala de símbolos químicos, que serán luego reemplazadas por la escala de Berzelius.[4] Estos resultados fueron comunicados oralmente y publicados en su libro de 1808 A New System of Chemical Philosophy, Part I, su trabajo más famoso. En él adoptó la idea de átomo y dibujó partículas individuales para ilustrar las reacciones químicas. No todo el mundo aceptaba la nueva teoría y en 1810 publicó la segunda parte, proporcionando nuevas evidencias empíricas.

En 1826 se le concedió la Medalla de Oro de la Real Sociedad de Londres, así como de la Academia Francesa de las Ciencias.

Aunque fue miembro de la Real Sociedad desde 1822 y haber recibido la medalla de esta sociedad científica por su trabajo en la teoría atómica, Dalton siempre se consideró a sí mismo como un docente, que se ganó la vida dando clases y conferencias hasta 1933, cuando fue premiado con una pensión civil anual.

Dalton nunca se casó y siempre vivió de una forma sencilla y humilde, incluso aún alcanzada la fama.

Falleció el 27 de julio de 1844 de un ataque al corazón en Manchester, a la edad de 78 años. Según su deseo, tras su muerte se le practicó la autopsia para determinar la causa de su daltonismo, experimento que demostró que el daltonismo no es un problema del ojo mismo, sino que estaba causado por alguna deficiencia del poder sensorial. Fue enterrado con honores de monarca, contraviniendo los principios de los cuáqueros conforme a los cuales vivió, en un funeral seguido por más de 40.000 personas quienes acudieron al para presentar sus respetos al científico[5] [6]

Referencias.

1. Smith, R. Angus (1856). Memoir of John Dalton and History of the Atomic Theory. London: H. Bailliere, pp. 279. Consultado el 2007-12-24.

2. George Hadley Encyclopedia Britannica. Visto30 de abril 2009. 3. Roscoe, Henry E.; Arthur Harden ;(1896). A New View of the Origin of Dalton's Atomic Theory. London: Macmillan, pp. 50 – 51.

Consultado el 24 de diciembre 2007. 4. Roscoe, Henry E.; Arthur Harden ;(1896). A New View of the Origin of Dalton's Atomic Theory. London: Macmillan. Consultado el

24 de diciembre 2007. 5. Patterson, Elizabeth C. (1970). John Dalton and the Atomic Theory. Garden City, New York: Anchor. 6. Elliott, T. Lenton (1953). «John Dalton's Grave». Journal of Chemical Education 30: 569.

FUENTES:


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LL aa TTeeoorr ííaa ddee DDaall ttoonn

Dalton tomó como punto de partida una serie de evidencias experimentales conocidas en su época:

• Las sustancias elementales no pueden descomponerse.

• Las sustancias, simples o compuestas, tienen siempre las mismas propiedades características.

• Los elementos no desaparecen al formarse un compuesto, pues se pueden recuperar por descomposición de éste.

• La masa se conserva en las reacciones químicas, que provenía de la Ley de conservación de la masa del químico francés Lavoisier.

• La proporción de los elementos que forman un compuesto es constante, que provenía de la Ley de las proporciones definidas del también químico francés Proust.

Para explicar estos hechos propuso las siguientes hipótesis:

• La masa es discontinua; esta formada por átomos que son partículas indivisibles.

• Todos los átomos de un mismo elemento son iguales, tienen la misma masa y átomos de diferentes elementos difieren en su masa.

• Los átomos de diferentes elementos se combinan para formar "átomos compuestos".

• Los cambios químicos son cambios en las combinaciones de los átomos entre sí, los átomos no se crean ni se destruyen

• Los átomos que se combinan para formar un compuesto lo hacen siempre en la misma proporción, es decir, que todos los "átomos compuestos" de una misma sustancia son iguales, que será la Ley de las proporciones múltiples.

La contribución de Dalton no fue proponer una idea asombrosamente original, sino formular claramente una serie de hipótesis sobre la naturaleza de los átomos que señalaban la masa como una de sus propiedades fundamentales, y preocuparse por probar tales ideas mediante experimentos cuantitativos.

Dalton formuló su teoría atómica en 1803. Aunque propuso que los compuestos estaban formados por la combinación de átomos de elementos diferentes en proporciones definidas por números enteros pequeños, Dalton no disponía de ningún procedimiento fiable para determinar las relaciones en que se combinaban los diferentes átomos. En esa situación supuso que, cuando sólo se conocía un compuesto de dos elementos A y B, la fórmula del compuesto debería ser la más sencilla posible, AB. Basándose en esta suposición y tomando en consideración las masas atómicas de distintos elementos que se combinaban entre sí, fue capaz de deducir masas atómicas relativas. Fue el primero en publicar una tabla incluyendo valores de dichas masas atómicas relativas.

No obstante, sus suposiciones acerca de las fórmulas de los compuestos no fueron siempre correctas. Por ejemplo, supuso que la fórmula del agua era HO y ello hizo que algunas de las masas atómicas de su tabla fueran incorrectas. De hecho, los químicos no fueron capaces hasta 1858 de resolver el problema de la determinación correcta de fórmulas moleculares y, consecuentemente, de masas atómicas. Sin embargo, Dalton tiene el reconocimiento de la comunidad científica por haber sido el primero en dar una base cuantitativa a la teoría atómica y ofrecer así el fundamento del rápido desarrollo que experimentó la química a partir de entonces.

Los errores de Dalton por culpa del daltonismo.

La ceguera a ciertos colores que padecía, conocida hoy como daltonismo, le jugó más de alguna mala pasada a este científico. Fue gran inconveniente para un químico e hizo que fuera mejor teórico que experimentador de laboratorio. Al momento de experimentar sus teorías en el laboratorio, pocas veces pudo comprobarlas porque confundía los frascos de reactivos. Sin embargo, continuaba firme defendiendo sus ideas en el papel.

Otra muestra de esta ceguera que le acompañó toda su vida ocurrió en 1832, cuando fue a conocer al rey Guillermo IV y lució una vestimenta académica escarlata (rojo), un color nada habitual para un hombre de su discreción. La razón: él la veía de color gris oscuro por lo que poco le importó la sorpresa que ese día causó entre sus conocidos. A Dalton esta afección le afectó porque a la hora de experimentar sus teorías confundía los frascos de reactivos. Así, el daltonismo fue descrito por primera vez por John Dalton en 1808. Él, al igual que su hermano, sufría de este error genético que en términos simples le impedía identificar colores como el rojo y el verde.


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EDWARD KOFLER (*1911-†2007)

Edward Kofler, matemático suizo-polaco. Nació en Brzezany, Polonia, hoy Ucrania, el 16 de noviembre de 1911; y falleció en Zurich, Suiza, el 22 de abril de 2007.

Se le reconoce importantes contribuciones hechas a la teoría de juegos y la lógica difusa por la elaboración de la teoría de lineal información parcial.

Se graduó como discípulo de, entre otros, Hugo Steinhaus y Stefan Banach en la Universidad de Lvov, antes en Polonia, hoy en día en Ucrania; y en la Universidad de Cracovia, donde hizo estudios sobre la teoría de los juegos.

Al graduarse 1939, Kofler regresó con su familia en Kolomya, localidad antes ubicada en Polonia, hoy en día en Ucrania, donde fue profesor de matemáticas en una escuela secundaria polaca.

Luego del ataque alemán a la ciudad de Kolomya el 1º de junio de 1941, vuela a Kazajstán junto con su esposa. Allí, en Alma-Ata, logra fundar una escuela polaca con orfanato en el exilio y trabajó allí como profesor de matemática.

Concluida la Segunda Guerra Mundial, regresó a Polonia con el orfanato; acompañado por su esposa y su hijo recién nacido. La familia se estableció en Polonia.

A partir de 1959, acepta el cargo de profesor titular de la Universidad de Varsovia, en la facultad de economía.

En 1962 obtuvo un doctorado con su disertación "Decisiones Económicas, la aplicación de Teoría de Juegos". Luego, ese mismo año se convirtió en profesor en la facultad de ciencias sociales en la misma universidad, con especialización en econometría.

En 1969 emigró a Zurich, Suiza, donde fue empleado en el Instituto de Investigación Empírica en Economía en la Universidad de Zurich y asesor científico del Fundación Nacional Suiza de la Ciencia (En alemán: Schweizerische Nationalfonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung). En Zurich, en 1970, desarrolló la “información parcial lineal” de Kofler (LPI), teoría propia que permite decisiones cualificadas que se hacen sobre la base de la lógica difusa (En inglés: fuzzy logic) o información incompleta a priori.

Kofler fue profesor visitante en la Universidad de San Petersburgo (ex Leningrado - Rusia), de la Universidad de Heidelberg (Alemania), la Universidad McMaster (Hamilton, Ontario, Canadá) y la Universidad de Leeds (Inglaterra). Colaboró con muchos conocidos especialistas en la teoría de la información, como Oskar Lange R. en Polonia, Nicolai Vorobiev en la Unión Soviética, Günter Menges en Alemania, y Heidi Schelbert y Peter Zweifel en Zurich, Suiza. Fue el autor de numerosos libros y artículos.

Producción Bibliográfica

• Conjunto Consideraciones sobre la teoría del juego de ajedrez y la Teoría de los correspondientes elementos- Seminario de Matemáticas en la Universidad de Lvov, 1936

• En la historia de las matemáticas – libro, 339 páginas, Varsovia 1962 y Budapest 1965

• Desde el dígito hasta el infinito – libro, 312 páginas, Varsovia 1960

• Decisiones económicas y la teoría de juegos– Dissertation, Universidad de Varsovia 1961

• Introducción a la teoría de juegos – libro, 230 páginas, Varsovia 1962

• Optimización de los objetivos múltiples, Przeglad Statystyczny, Varsovia 1965

• El valor de la información – libro, 104 páginas, Varsovia 1967

• Estrategia de los juegos (con H. Greniewski y N. Vorobiev), libro, 80 pp., Varsovia 1968

• Das Modell des Spiels in der wissenschaftlichen Planung "Mathematik und Wirtschaft" No.7, Berlín oriental 1969

• Entscheidungen bei teilweise bekannter Verteilung der Zustände, "Zeitschrift für OR", vol. 18/3, 1974

• Konfidenzintervalle in Entscheidungen bei Ungewissheit, "Stattliche Hefte", 1976/1

• Entscheidungen bei teilweise bekannter Verteilung der Zustande, "Zeitschrift für OR", Bd. 18/3, 1974, pp. 141-157

• Konfidenzintervalle in Entscheidungen bei Ungewissheit, "Statistische Hefte", 1976/1, páginas. 1-21

• Entscheidungen bei unvollständiger Information (con G. Menges), Springer, 1976

• Cognitive Decisions under Partial Information (con G. Menges), in R.J. Bogdan (ed.), "Local Induction", Reidel, Dodrecht- Holanda, 1976

• Entscheidungen bei unvollständiger Information (con G. Menges), vol. 136 of "Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems". Springer, Berlin, 1976.

• Stochastic Linearisation of Indeterminateness in "Mathematical Economics and Game Theory (con G. Menges) ", (Springer) Berlin-Heidelberg-Nueva York 1977, pp. 20-63

• Die Strukturierung von Unbestimmtheiten und eine Verallgemeinegung des Axiomensystems von Kolmogoroff (con G. Menges), "Statistische Hefte" 1977/4, páginas 297-302

• Lineare partielle Information, fuzziness und Vielziele-Optimierung (con G. Menges), "Proceedings in Operations Research" 8, Physica-Verlag 1979

• Stochastische partielle Information (SPI) (con Fahrion, R., Huschens, S., Kuss, U. y Menges, G.), "Statistische Hefte", Bd. 21, Jg. 1980, pp. 160-167

• Fuzzy sets- oder LPI-Theorie? en G. Menges, H. Schelbert, P. Zweifel (eds.), "Stochastische Unschärfe in Wirtschaftswissenschaften", Haag & Herchen, Frankfurt-am-Main, 1981

• Decisions under Fuzzy State Distribution with Application to the dealt Risks of Nuclear Power (con P. Zweifel), in Hag, W. (ed.), "Large Scale Energy Systems", (Pergamon), Oxford 1981, pp. 437-444

• Extensive Spiele bei unvollständiger Information, in "Information in der Wirtschaft, Gesellschaft für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften", Parte 126, Berlin 1982

• Equilibrium Points, Stability and Regulation in Fuzzy Optimisation Systems under Linear Partial Stochastic Information (LPI), "Proceedings of the International Congress of Cybernetics and Systems", AFCET, Paris 1984, páginas 233-240

• Fuzzy Weighing in Multiple Objective Decision Making, "G. Menges Contribution and Some New Developments", "Beitrag zum Gedenkband G. Menges", Hrgb. Schneeweiss, H., Strecker H., Springer Verlag 1984

• Decision making with Linear Partial Information (L.P.I.) (con Z. W. Kmietowicz y A. D. Pearman) "The Journal of the Operational Research Society", 35(12): páginas 1079-1090, 1984

• Application of the Linear Partial Information (LPI) to forecasting the Swiss timber market (con P. Zweifel y A. Zimmermann). "Journal of Forecasting" 1985, vol. 4(4), pp. 387-398

• Exploiting linear partial information for optimal use of forecasts with an application to U.S. economic policy (Con Peter Zweifel), "International Journal of Forecasting", 1988

• Prognosen und Stabilität bei unvollständiger Information, "Campus" 1989

• Convolution of Fuzzy Distributions in Decision Making (con P. Zweifel), "Statistical Papers" 32, Springer 1991, pp. 123-136

• One-Shot Decisions under Linear Partial Information (con P. Zweifel) "Theory and Decision" 34, 1993, pp. 1-20

• Decision Making under Linear Partial Information. "Proceedings of the European Congress EUFIT", Aachen, 1994, pp. 891-896

• Linear Partial Information in One-Shot Decisions (con P. Zweifel), "Selecta Statistica" Vol. IX, 1996

• Mehrfache Zielsetzung in wirtschaftlichen Entscheidungen bei unscharfen Daten, Institut für Empirische Wirtschaftsforschung, 9602, 1996

• Linear Partial Information with Applications. "Proceedings of ISFL 1997 (International Symposium on Fuzzy Logic)", Zurich, 1997, pp. 235-239

• Forecasting Analysis of the Economic Growth (con Thomas Kofler), "Selecta Statistica Canadiana", 1998

• Linear Partial Information with Applications in Fuzzy Sets and Systems, 1998. North-Holland

• Fuzzy Logic and Economic Decisions" (con Thomas Kofler) ", 1998

• Fuzzy Systems and their Game Theoretical Solution (con L. Götte), "International Conference on Operations Research", ETH, Zurich, agosto 1998

• Prognosen und Optimale Strategien in unscharfen Schachsituationen, "Idee & Form" No. 70, 2001 Zurich, pp. 2065 & 2067.

Obtenido de: Wikipedia. 23 Diciembre 2008

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