REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIOCOORDINACIÓN DE PREGRADO

Homomorfismo de monoide y de

cuerpo

María Villamizar

HomomorfismoUn homomorfismo es una función que preserva la estructura

entre dos estructuras matemáticas relevantes.

Una aplicación de conjuntos se dirá que es un morfismo de la estructura (A , * ) en la estructura (B , ) o simplemente un morfismo de A en B si se cumple que: Ejemplo: Sean las estructuras ( R , + ) y ( R + , ) con las operaciones + y usuales.La aplicación definida por es un morfismo de estas estructuras ya que cumple que:

Endomorfismo: Se llama así a todo morfismo de A en A.Monomorfismo: Se llama así a todo morfismo inyectivo.Epimorfismo: Se llama así a todo morfismo sobreyectivo.Isomorfismo: Se llama así a todo morfismo biyectivo.Automorfismo: Se llama así a todo endomorfismo biyectivo.

Un monoide    es una estructura algebraica en la que  es un conjunto y es una operación binaria interna en    que cumple las siguientes tres propiedades :

Monoide

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir:

3.- Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación  , es decir:

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

CuerpoLa terna ordenada ( A , + , ) es un cuerpo, o tiene estructura de cuerpo si y solo si ( A , + , ) es un anillo de división conmutativo.Esto es: ( A , + , ) es un cuerpo si y solo si ( A , + , ) es un anillo conmutativo, con unidad cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.Un cuerpo queda caracterizado por las siguientes estructuras:( A , + , ) es un cuerpo si y solo si a) ( A , + ) es un grupo abeliano. b) ( A – {0} , ) es un grupo abeliano. c) Distribuye respecto de +Ejemplos

1.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas, no es cuerpo, pues Z carece de inversos multiplicativos. 2.- ( Q , + , ) ; ( R , + , ) y ( C , + , ) con las operaciones conocidas son cuerpos. 3.- Todo cuerpo es un dominio de integridad.

Para proveer de un ejemplo de estructura algebraica no tan conocida, definiremos el conjunto Zn llamado conjunto de los enteros modulo n.

Homomorfismo de monoide

Si son dos semigrupos, una función se dice que es un homomorfismo entre ambos semigrupos si

Si es biyectiva el homomorfismo recibe el nombre de isomorfismo

Si es un monoide con elemento neutro , un monoide con elemento neutro , un homomorfismo (isomorfismo) entre y y se cumple que entonces es un homomorfismo (isomorfismo) monoide.

Sean K1 y K2 cuerpos y : K1 → K2 una función.

(1) Diremos que es un homomorfismo entre los cuerpos si(x + y) = (x) + (y)

y(xy) = (x) y)

para todo par x,y ∈ K1.

(2) Diremos que es un isomorfismo si es biyección y un homomorfismo. Ental caso, diremos que K1 y K2 son cuerpos isomorfos.

La idea es que si uno tiene información algebraica sobre un grupo K, entonces esas mismas propiedades valen para otro cuerpo que sea isomorfo a este. El usar algunas copias isomorfas de un grupo dado permite en muchos casos poder averiguar información del grupo que no son tan claras con otras copias.

Homomorfismo de cuerpo