HOMOLOG¶IA DE COPOS COLOREADOS - Gabriel … · asigna una cadena de complejos de grupos de...

HOMOLOGIA DE COPOS COLOREADOS

JOSE LUIS GAMARRA P.

Trabajo final presentado como requisitoparcial para optar al tıtulo de Magister en matematicas.

DirectoraRuth Stella Huerfano

Co-directorGabriel Padilla

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS

MAESTRIA EN MATEMATICASBOGOTA-2010

11 de octubre de 2010

DEDICATORIA

A marina mi madre querida.A lizeth fernanda el amor de mi vida.

A Jeison y Jean carlos mis sobrinos queridos, ademas de Alfredo, Lina y Wilson.

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AGRADECIMIENTOS

Marina madre mia gracias por tu apoyo y amor, lizeth querida tu fortaleza y amorme hacen mejor persona; gracias por todo.

Ademas de mi familia quiero agradecer inmensamente a la profesora Ruth StellaHuerfano por su amabilidad y confianza; al profesor Gabriel padilla por su amistady por sus ensenanzas.

Adicionalmente pero no siendo menos importante quiero dar gracias al profesora-do del departamento de matematicas de la universidad nacional de colombia porlos conocimientos trasmitidos.

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RESUMEN

Uno de los principales problemas en matematicas es clasificar espacios homeomorfos. Porejemplo, ¿ son equivalente los espacios euclıdeos R2 y R3 de algun modo?. Dicha pregunta,que parece inofensiva, no se puede responder en un curso inicial de topologıa general, sinogracias a la topologıa algebraica.

Una posible clasificacion proviene de la teorıa de homotopıa. Para un espacio X razon-ablemente decente esta teorıa asigna una sucesion de grupos πn(X) tales que π0(X) cuentael numero de componentes conexas, π1(X) cuenta el numero de huecos de dimension uno, yası sucesivamente cada πn(X) da cierta informacion del espacio. Calcular πn(X) para n ≥ 3es muy engorroso, a fin de realizar esto la topologıa algebraica ha desarrollado herramientas(algebraicas) tales como la teorıa de (co)-homologıa, cuyos objetos suelen ser grupos, anilloso modulos con propiedades agradables, por lo cual resultan mas facil de calcular. Existen di-versas teorıas de (co)-homologıa, cada una de las cuales provee una clasificacion de espaciostopologicos. En geometrıa diferencial estan las formas diferenciales y la cohomologıa de DeRham. Otro modelo geometrico diferente es el que provee la homologıa singular. Finalmentese tiene la cohomologıa de Cech a valores en un prehaz dado. Bajo condiciones topologicasbuenas estas teorıas son equivalentes.

En teorıa de nudos tambien hay muchas teorıas de clasificacion, en este trabajo nos cen-traremos en la homologıa de Khovanov [1] la cual es un invariante topologico que asigna uncomplejo de cadenas de grupos de homologıa a un nudo N (inyeccion continua en R3). Ası, siun nudo N1 es llevado a otro N2 por medio de ciertos movimientos distinguidos, que llamare-mos movimientos de reidemeister; la invarianza significa que los dos nudos tienen asociadoel mismo complejo de cadenas o la misma homologıa. Ademas de estudiar la homologıa deKhovanov se estudiara una generalizacion hecha por Paul Turner y Brent Everitt [2] en elano 2009.

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Indice general

INTRODUCCION II

1. Preliminares 11.1. Teorıa de conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Teorıa de retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Nociones elementales de teorıa de categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Teorıa basica de topologıa algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Nociones basicas de teorıa nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Invariantes topologicos en teorıa de nudos 142.1. El Bracket de Kauffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. El polinomio de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. El Bracket de Kauffman y el polinomio de Jones renormalizados . . . . . . . 18

3. Homologıa de Khovanov 213.1. Cubo de Khovanov y Homologıa de Khovanov . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Homologıa de copos coloreados 314.1. Copos coloreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. Homologıa de T-E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1. Cadenas complejas y diferencial de T-E . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.2. S.E.C. para el copo obtenido por pegamiento . . . . . . . . . . . . . . 404.2.3. Homologıa T-E para el cubo de Khovanov . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. CONCLUSIONES 46

Bibliografia 47

i

INTRODUCCION

Actualmente en matematicas el estudio de invariantes topologicos es un area de muchaproductividad y que ocupa a muchos matematicos a nivel mundial, en este trabajo estudiare-mos un invariante de teorıa de nudos conocido como (co)homologıa de Khovanov, el profesorKhovanov desarrolla esta teorıa en un fin ultimo de buscar invariantes topologicos en cuatrodimensiones usando algebra cuantica.

La (co)homologıa de Khovanov es un invariante que a un nudo N cualquiera en R3 leasigna una cadena de complejos de grupos de homologıa, es decir, a la clase de isotopıa delas proyecciones planas de N . La invarianza aquı se entendera de la siguiente manera: dadoun nudo cualquiera sea su proyeccion tiene la misma homologıa de Khovanov, es decir, la(co)homologıa de Khovanov es invariante bajo movimientos de Reidemeister (los movimientosde reidemeister son ciertos cortes y rotaciones permitidas en la teorıa de nudos que no tealteran el nudo).

Empezaremos el capitulo 1 con los preliminares, en donde se definiran los conceptosbasicos necesitados para abordar el tema tratado aquı, para esto se dara un pequeno back-ground en teorıa de conjuntos parcialmente ordenados (copos), en teorıa de retıculos, teorıade nudos y algunas nociones elementales pero muy importantes de topologıa algebraica. Prin-cipalmente estos temas fueron tomados de [4, 6, 10, 12]. En el capitulo 2 se estudiaran losprimeros invariantes topologicos descubiertos en teorıa de nudos tales como el polinomio deKauffman y el polinomio de Jones, donde la invarianza aquı es bajo movimientos de reide-meister. En el capitulo 3 se estudiara la construccion del cubo de Khovanov y la homologıade Khovanov [4, 1] ,y por ultimo en el capitulo 4 se estudiara la generalizacion hecha porPaul Turner y Brent Everitt de la (co)homologıa de Khovanov [2].

ii

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se presentan los conceptos basicos de la teorıa de nudos, teorıa de con-juntos ordenados, teorıa de retıculos, topologıa algebraica y demas conceptos a necesitarse,ası que en lo posible solo definiremos nociones que vayamos a usar en el trabajo sin intencionesde generalizar conceptos. Para estudiar estos temas se puede consultar [4, 6, 10, 12].

1.1. Teorıa de conjuntos ordenados

Definicion 1.1.1 Sea P un conjunto, un orden parcial en P es una relacion binaria ≤ talque para todo x,y,z ∈ P.

x ≤ x.

x ≤ y y y ≤ x implica x = y.

x ≤ y y y ≤ z implica x ≤ z.

Ejemplo: (R,≤), donde ≤ es el orden usual.

Definicion 1.1.2 Sea (P,≤) un conjunto parcialmente ordenado (se denotara COPO), sedice que P es una cadena si para todo x,y ∈ P se tiene que x ≤ y o x ≥ y.

Ejemplo: para el ejemplo anterior cualquier subconjunto de numeros es una cadena.

Definicion 1.1.3 Sea (P,≤) un conjunto parcialmente ordenado, se dice que es una anti-cadena si para todo x,y ∈ P se tiene que x ≤ y implica que x = y. Es decir no hay elementosrelacionados por medio del orden ≤ definido en P .

Ejemplo: el conjunto formado por los numeros primos, donde el orden es la divisibilidad.

1

CAPITULO 1. PRELIMINARES 2

Definicion 1.1.4 Sea P un conjunto parcialmente ordenado y sea x,y ∈ P ; diremos que xcubre a y (x Â y) si y < x y y ≤ z < x implica y = z.

Ejemplo: tomando como base los numeros naturales, note que entre dos numeros naturalesconsecutivos no hay otro natural, es decir, todo numero natural cubre a su antecesor.

Definicion 1.1.5 Dados P y Q conjuntos parcialmente ordenados diremos que una apli-cacion ϕ : P → Q: preserva el orden si x ≤∗ y implica que ϕ(x) ≤∗∗ ϕ(y).

El orden ≤∗ es del conjunto P y el orden ≤∗∗ es del conjunto Q.

Definicion 1.1.6 Dado P un conjunto ordenado y Q ⊆ P . Entonces:

a ∈ Q es un elemento maximal de Q si a ≤ x, implica que a = x.

a ∈ Q es el maximo de Q si a ≥ x para todo x ∈ Q, y se denota como a = maxQ.

De igual forma se define elemento minimal y elemento mınimo.

Definicion 1.1.7 Una topologıa τ sobre un conjunto A es una familia de subconjuntos de Atal que:

A y ∅ estan en τ .

τ es cerrada para uniones arbitrarias.

τ es cerrada para intersecciones finitas.

Definicion 1.1.8 Sea R un anillo conmutativo unitario y A un grupo abeliano; se dira queA es un R-modulo si se cumplen las siguientes propiedades:

para todo x ∈ A y todo r ∈ R tenemos que xr ∈ A.

para todos r1, r2 ∈ R y todo x ∈ A tenemos que (r1 + r2)x ∈ A.

para todo r ∈ R y todos x, y ∈ A tenemos que r(x + y) ∈ A.

Una manera equivalente de definir un modulo para cierto anillo es por medio de acciones.


1.2. Teorıa de retıculos

Definicion 1.2.1 Dado P un conjunto ordenado, x, y ∈ P y S ⊆ P , definimos x ∨ y comosup{x, y} y x ∧ y como el inf{x, y}. De igual forma definimos union de S como el supS siexiste, denotado por

∨S, e interseccion de S como el infS si existe, denotado por

∧S.

Definicion 1.2.2 Sea 〈L,≤〉 un conjunto parcialmente ordenado, se dira que este es unretıculo si para cualquiera dos elementos x, y ∈ L se cumple que x ∨ y y x ∧ y existen en elconjunto.

ejemplo de un retıculo (este es llamado nine pues tiene nueve elementos):

v

v

v

v

v

v

v

v v

¡¡

¡¡

¡¡

¡

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

@@

@@

@@

@

(0, 0)

(0, 1) (1, 0)

(1, 1)

(0, 12)

(12, 1)

(12, 0)

(1, 12)

(12, 1

2)

Definicion 1.2.3 Un retıculo L es acotado si tiene elemento mınimo denotado por (0) ymaximo denotado por (1).

El retıculo anterior es acotado donde (0)=(0,0) y (1)=(1,1).

Definicion 1.2.4 Dado P un conjunto ordenado no vacıo si∨

S y∧

S existen para todoS ⊆ P , entonces P es un retıculo completo.

Note que tambien el retıculo dado por 1.2.2 es completo.

Definicion 1.2.5 Un retıculo L es un distributivo si para todos a, b, c en L se cumple quea ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) y que a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).


Definicion 1.2.6 Una multi-secuencia es un secuencia de la forma x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xk

aquı ≤ es la relacion de orden definida para cierto conjunto P

Definicion 1.2.7 Una secuencia ordenada es un secuencia de la forma x1 < x2 < . . . < xk

Definicion 1.2.8 Una secuencia es saturada si tiene la forma x1 ≺ x2 ≺ . . . ≺ xk

aquı ≺ es el orden cubrimiento definido en 1.1.4

Definicion 1.2.9 Un copo P es graduado de rango r si toda secuencia saturada, maximalbajo inclusiones de secuencias, tiene el mismo grado r. Hay una unica funcion grado o rango,definida de la siguiente manera: rk: P → {0, 1, 2.....r} con rk(x) = 0 si y solo si x es minimal,y tal que rk(y) = rk(x) + 1 si y solo si x ≺ y. Los elementos que tiene rango 1 se llamaranatomos.

Definicion 1.2.10 Un retıculo se llamara atomico si todo elemento se puede expresar comocombinacion de atomos bajo la relacion del sup.

Definicion 1.2.11 Un retıculo L se llama booleano si:

L es retıculo acotado distributivo.

Para todo x ∈ L existe y ∈ L tal que se tiene x ∨ y = 1 , x ∧ y = 0 .

Consultarse [12] para mayor informacion sobre el tema.

1.3. Nociones elementales de teorıa de categorıas

Definicion 1.3.1 Una categorıa C consiste de los siguientes elementos: objetos y aplica-ciones entre objetos, que tienen los siguientes componentes a saber:

Para cada par de objetos A,B ∈ C existe un conjunto denotado por HomC(A,B) querepresenta todos las aplicaciones de A a B, y que llamaremos el conjunto de morfismosde A a B.

Una operacion binaria ◦ que representa la composicion de morfismos en C y tal que siu ∈ HomC(A,B) y v ∈ HomC(B, C) entonces v ◦ u ∈ HomC(A,C).

Y para la cual se satisfacen los siguientes axiomas:


1. Para cada objeto A de C existe el morfismo idA : A −→ A llamado identidad, tal queidA ◦ u = u y v ◦ idA = v para cualesquiera objetos B,C ∈ C y morfismos u : B −→ Ay v : A −→ C.

2. Para objetos A,B,C,D pertenecientes a C y morfismos u : A −→ B, v : B −→ C yw : C −→ D se tiene w ◦ (v ◦ u) = (w ◦ v) ◦ u.

Asociada con la definicion de categorıas se definen las aplicaciones entre estas.

Definicion 1.3.2 Un funtor covariante T es una aplicacion entre categorıas P y L denotadopor T : P −→ L y el cual esta definido por:

1. Una funcion T que asocia a cada objeto X en P, un objeto T (X) en L.

2. Una funcion, denotada tambien por T, que asocia a cada morfismo f ∈ HomP(X, Y )un morfismo T (f) ∈ HomL(T (X), T (Y )) de tal modo que:

(i) T (1X) = 1T (X)

(ii) Si f ∈ HomP(X,Y ) y g ∈ HomP(Y, Z) se tiene que T (g ◦ f) = T (g) ◦ T (f).

Es decir un funtor es una aplicacion entre categorıas que envıa objetos en objetos, mor-fismos en morfismos, preserva la composicion de morfismos y deja fija la identidad.

Definicion 1.3.3 Un funtor F contravariante se define igual que un funtor covariante, perolos morfismos aquı hacen que la condicion 2.(ii) de la definicion anterior cambie el sentidode la composicion, tal que T (g ◦ f) = T (g) ◦ T (f) quede bien definido.

Ahora definamos el concepto de transformaciones naturales.

Definicion 1.3.4 Una transformacion natural es un morfismo entre funtores.

Con la definicion anterior se quiere decir que si Ψ : L −→ P y Φ : L −→ P son funtores,se dice que la aplicacion ε : Ψ −→ Φ es una transformacion natural del funtor Ψ al funtor Φsi ε es una coleccion de aplicaciones para cada objeto L1 ∈ L tal que para cada h : L −→ L′donde L,L′ ∈ L. El siguiente diagrama es conmutativo.


εL -Ψ(L) Φ(L)

?

Ψ(h)?

Φ(h)

-Ψ(L′) Φ(L′)εL′

De manera implıcita algunas de las construcciones que se realicen o se usen en este trabajotendran otras buenas propiedades que no mencionaremos para no hacer extenso y tediosoel trabajo, por ejemplo; el cubo de Khovanov se vera como un retıculo booleano donde losvertices seran curvas cerradas isomorfas a S1 y las aristas seran cobordismos. Consultarse[13] capıtulo 4.

1.4. Teorıa basica de topologıa algebraica

Para las siguientes definiciones considerese a R un anillo unitario fijo, y la categorıa MZR

de modulos graduados, es decir, un objeto M ∈ MZR es una familia {Mn}, n ∈ Z (Aquı Z

denota el conjunto de los numeros enteros), de R-modulos, un morfismo ϕ : M→M” degrado p en la categorıa MZ

R es una familia {ϕn : Mn→M”n+p}, n ∈ Z, de homomorfismos de

modulos.

Definicion 1.4.1 Una cadena de complejos C={Cn, ∂n} sobre R es un objeto en MZR junto

con un endomorfismo ∂:C → C de grado -1, tal que ∂2=0. En otras palabras se tiene lafamilia {Cn}, n ∈ Z, de R-modulos junto con una familia {∂n : Cn→Cn−1}, n ∈ Z, tal que∂n ◦ ∂n+1=0.

Definicion 1.4.2 Un morfismo de complejos de cadenas f : C→ D es un morfismo de grado 0en MZ

R tal que f ◦∂=∂◦f , donde ∂ denota el diferencial del complejo D, esto es, un morfismof de complejos de cadenas es una familia {fn : Cn → Dn}, n ∈ Z, de homomorfismos talque, para todo n ∈ Z, el siguiente diagrama es conmutativo.


∂n -Cn Cn−1

?fn

?fn−1

-Dn Dn−1

∂n

Nosotros ahora vamos a introducir la definicion mas importante dentro del contexto a es-tudiar, esta es la nocion de homologıa. Sea C={Cn, ∂n} una cadena de complejos, la condicion∂n+1 ◦ ∂n=0 implica que Im∂n+1⊆Ker∂n, n ∈ Z.

Definicion 1.4.3 Sea C una cadena de complejos de modulos graduados, como Im∂n+1⊆Ker∂n,n ∈ Z, el siguiente cociente esta bien definido, H(C)={Hn(C)}, dondeHn(C)=Ker∂n/Im∂n+1.

Ası las cosas H(C)={Hn(C)} es llamado el n-esimo modulo de homologıa de C, si con-sideramos R=Z (es decir, los numeros enteros), se dira que H(C)={Hn(C)} es el n-esimogrupo de homologıa de C.

En virtud del diagrama anterior, un morfismo de complejos de cadenas induce un morfismobien definido de grado cero entre los grupos de homologıa (o modulos de homologıa), es decir,dado un morfismo f de complejos de cadenas existe un mapeo H(f)=f∗:H(C)−→H(D) demodulos graduados, con esto se afirma que H(−) es un funtor llamado el funtor homologıade la categorıa de la cadena de complejos sobre R a la categorıa R-modulos graduados, conesto se esta diciendo que para todo n ∈ Z, Hn(−) es un funtor.

Definicion 1.4.4 Los elementos de Cn son llamados n-cadenas; elementos del Ker∂n sonllamados n-ciclos y el Ker∂n se denotara por Zn=Zn(C); elementos de Im∂n+1 son llamadosn-fronteras y Im∂n+1 se denotara Bn=Bn(C). Dos n-ciclos que determinan el mismo elementoen H(C)={Hn(C)} se llamaran homologos. El elemento de {Hn(C)} determinado por el n-ciclo c es llamado la clase de homologıa de c y se denota por [c]

Claramente dado un complejo de cadena (complejo de cadena se alternara con cade-na de complejos indistintamente) C, una nueva cadena de complejos C” se puede construirreemplazando alguno o todos los diferenciales por los diferenciales negativos, es decir, reem-plazando {∂n : Cn→Cn−1}, por los negativos {−∂n : Cn→Cn−1}, esto para todo n ∈ Z; de


esta forma los complejos de cadena son isomorfos en la categorıa de cadenas de complejos yası sus homologıas lo seran tambien, de esta forma en teorıa de homologıa hay libertad decambiar signos de alguno o todos los diferenciales.

Con la idea en mente de buscar relaciones algebraicas, se necesitan las siguientes defini-ciones, las cuales son herramientas muy importantes dentro de la topologıa algebraica cuandose busca la homologıa de cierto espacio.

Definicion 1.4.5 Una secuencia de homomorfismos

se dice que es exacta si Ker(αn)=Im(αn+1) para cada n.

Las contenencias Im(αn+1) ⊆ Ker(αn) para cada n son equivalentes a αnαn+1=0, con locual las secuencias o sucesiones exactas son complejos de cadenas, las contenencias Ker(αn)⊆ Im(αn+1) para cada n, dicen que los grupos de homologıa son triviales para cada n.

Mencionemos a manera de ilustracion ciertas propiedades basicas que se pueden expresaren terminos de sucesiones exactas. Por ejemplo:

0 → A → B es exacta si la segunda flecha es inyectiva.

A → B → 0 es exacta si la primera flecha es sobreyectiva.

0 → A → B → 0 es exacta si la flecha del centro es isomorfismo, en virtud de los itemsanteriores.

0 → A → B → C → 0 es exacta si y solo si la segunda flecha es inyectiva y la terceraflecha es sobreyectiva.

Una sucesion exacta de la ultima forma se llama sucesion exacta corta

Ademas tenemos el siguiente teorema fundamental, que permite realizar calculos de unamanera muy amena.

Teorema 1.4.6 Toda sucesion exacta corta genera una sucesion exacta larga donde el mapeo∂ se denomina conectante. la sucesion exacta larga es de la forma

!!!!!!!!! poner aquı la sucesion de mayer-vietoris !!!!!!!!!!!!!!!!!!


1.5. Nociones basicas de teorıa nudos

Otra nocion importante dentro del marco que estudiaremos es la nocion de nudo, haymuchas maneras equivalentes de definir un nudo, a gusto de muchos autores introducenprimero la definicion de entrelazado y luego como un tipo de entrelazado especial estan losnudos. Por gusto propio y para hacer notar las dos principales definiciones encontradas en laliteratura idea aquı definiremos un nudo de la siguiente manera:

Definicion 1.5.1 Un nudo es una inyeccion continua en R3 tal que no presenta puntos dedoble tangencia ni doble interseccion, como subespacio de R3 se considera espacio topologicodotado de la topologıa de subespacio.

Definicion 1.5.2 Un entrelazado es un encajamiento propio de 1-variedades en R2×[0, 1],su frontera sera un conjunto vacio o un conjunto finito de puntos en (R2×{0}) ∪ (R2×{1})

A continuacion veamos 3 ejemplos; el primero es un enlace los otros dos son nudos, todosimportantes en la literatura.

Definicion 1.5.3 Un enlace es un entrelazado que no posee puntos fronteras, esto es, unenlace es la union disjunta de 1-variedades isomorfas a S1, un nudo es un enlace que constade una sola componente conexa.

Definicion 1.5.4 Se dira que dos entrelazados L1 y L2 son equivalentes si existe un homeo-morfismo lineal h: R2×[0, 1] −→ R2×[0, 1] que preserva la orientacion y tal que h(L1)=h(L2).

Definicion 1.5.5 Dos entrelazados L1 y L2 se diran que son isotopicos si existe una familiade funciones continuas ht: R2×[0, 1] −→ R2×[0, 1] para todo t ∈ [0, 1] tal que h0=identidady h1=h (h es el homeomorfismo lineal de la definicion anterior), ademas (x, t)−→(ht(x), t)es un homeomorfismo de R2×{t} en si mismo.


Ası una isotopıa es una deformacion continua de un entrelazado en otro que preserva lospuntos frontera y no presenta auto-intersecciones (similar al concepto de homotopıa entredos espacios y/o funciones)

Definicion 1.5.6 Un diagrama plano (o diagrama) D de un entrelazado L es una clase deisotopıa de las proyecciones de L sobre un plano, de tal manera que no existan puntos dondehaya triple interseccion ni tangencias dobles.

Definicion 1.5.7 En un diagrama, toda deformacion isotopica puede ser descompuesta comouna sucesion de tres tipos de movimientos elementales, llamados movimientos de reidemeis-ter, representados por medio de las siguientes figuras.

En lo que sigue se hara una de la definiciones mas importantes a utilizar.

Definicion 1.5.8 La categorıa de cobordismos orientados 2-dimensionales es la cate-gorıa donde los objetos son entrelazados (1-variedades cerradas sin frontera) y los morfismosson cobordismos orientados 2-dimensionales que tienen como frontera estas 1-variedades.

Ver las siguientes figuras, (se puede demostrar que todo cobordismo en la categorıa defini-da arriba se puede ver como la composicion de los basicos mostrados en la figura de abajo.)


Nota al lector: la categorıa de cobordismos orientados 2-dimensionales como sedefinio antes ademas cumple otra buenas propiedades tales como son ser categorıa abeliana,categorıa aditiva, categorıa tensorial, categorıa monoidal que hace muy amigable tratar conesta categorıa, para mas detalles ver [4, 1]; para un estudio minucioso de la teorıa de cobor-dismos se recomienda ver la tesis doctoral de edmundo castillo [13].

Para la construccion de la (co)-homologıa de khovanov se necesitara esta definicion pues,para un enlace L con n cruces al realizar en cada cruce dos operaciones elementales dis-tinguidas llamadas resoluciones o suavizaciones, lo que se obtiene son curvas cerradas sinfrontera isomorfas al circulo, de donde estos objetos se pueden pensar dentro de la categorıamencionada arriba.

Otra definicion importante es la de una TQFT (topological quantum field theory) teorıade campos cuantica topologica, la cual es un funtor entre la categorıa de cobordismos ori-entados y la categorıa de modulos graduados sobre un anillo R; este funtor sera muy utila la hora de calcular la homologıa de khovanov de un nudo, este funtor aparece de maneranatural en la teorıa de cuerdas en fısica cuantica, ver [13] para un tratamiento detallado delas TQFT.

Definicion 1.5.9 Un (d+1)-dimensional TQFT es un funtor de la categorıa de los cobor-dismos orientados de dimension (d+1) a la categorıa de los modulos graduados sobre unanillo R (en la construccion de la homologıa de khovanov el anillo de constantes y el moduloson especiales como se vera, ya que se construyen).

Ahora necesitamos construir un modulo especial que haga amena la manera de calcular lahomologıa de khovanov, este modulo A o espacio vectorial V se construye, esta construccionse debe a khovanov [1]. Antes de mostrar cual es el espacio V definamos.


Definicion 1.5.10 Un modulo graduado M es un modulo que se puede descomponer comola suma directa de una familia de submodulos de M como sigue M =

⊕i Mi

Sea R=Q, es decir, consideremos el anillo de constantes de los numeros racionales y seaA=V =Q(1,x) el Q-modulo o espacio vectorial sobre Q generado por dos variables que noviven en Q denotadas por 1,x, se usara indistintamente las dos notaciones A y V tal cualaparecen en la literatura[1, 3].

Luego de ver cual es el espacio A a considerar, se le da a este una estructura de algebraconmutativa y co-algebra conmutativa definiendo en el las siguientes operaciones (es sufi-ciente definirlas en los generadores 1,x):

(multiplicacion) m: A⊗ A → Am(1,x) = m(x,1)=xm(1,1) = 1m(x,x) = 0

(unidad) ι: R=Q → Aι(1)=1

(co-unidad) tr: A → R=Qtr(1)=0tr(x)=1

(co-multiplicacion) ∆: A → A⊗ A∆(1)=1⊗ x + x⊗ 1∆(x)=x⊗ x

Por la definicion 1.5.9 una TQFT es un funtor que asocia la categorıa de cobordismoscon la categorıa de los modulos graduados sobre cierto anillo R, por la definicion 1.5.8 si con-sideramos la categorıa de los cobordismos orientados 2-dimensionales notese que todoslos cobordismos son generados por los 6 cobordismos basicos que se muestran en la figuracontinua a la definicion. Si ahora consideramos la categorıa de los A=V =Q(1,x)-modulosgraduados para R=Q como se indico arriba, el funtor TQFT debe enviar los 6 cobordis-mos basicos en 6 morfismos de la categorıa de los A-modulos graduados en caso de buscaruna relacion funtorial. Para tal fin consideremos la siguiente definicion de la (1+1)-TQFT=F.

F(S12)=m

F(S21)=∆

F(S10)=ι


F(S01)=tr

F(S22)=perm

F(S11)=id

Los morfismos id y perm son la identidad y la permutacion respectivamente, los demasmorfismos estan descritos arriba. Con esta definicion de F se tiene bien entendido la maneraen que actua la (1+1)-TQFT para los morfismos, ahora definamos la forma en la que actua F

en los objetos de la categorıa de cobordismos orientados 2-dimensionales, se hace notarnuevamente que los objetos aquı son curvas o uniones disjuntas de curvas cerradas isomorfasa S1, de donde definimos:

F(S1 t S1 . . . t S1) = A⊗k donde k es la cantidad de copias de S1.

Capıtulo 2

Invariantes topologicos en teorıa denudos

Recordemos que lo que se quiere en este trabajo es dar una extension a la construccion delcubo de Khovanov, es decir, dar una generalizacion a la teorıa de homologıa de Khovanov;en el proceso que realiza el senor Khovanov los retıculos booleanos son parte crucial, parala extension a estudiar en los capıtulos posteriores los conjuntos a usar son los conjuntosparcialmente ordenados o copos.

Antes de empezar a estudiar la generalizacion hecha por Paul Turner y Brent Everitt [2]empecemos con una breve recopilacion de los primeros invariantes de la teorıa de nudos talescomo el bracket de Kauffman y el polinomio de Jones.

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CAPITULO 2. INVARIANTES TOPOLOGICOS EN TEORIA DE NUDOS 15

2.1. El Bracket de Kauffman

En esta seccion empezaremos estudiando uno de los primeros invariantes topologicos denudos descubiertos, el Bracket de Kauffman.

El Bracket de Kauffman es un polinomio de Laurent con coeficientes enteros que se asociaal diagrama de un enlace o un nudo. Este polinomio salvo un cambio de variable hace partede la definicion del polinomio de Jones.

El Bracket de Kauffman es una aplicacion ”< . >”de los diagramas planos D asociados aenlaces L, a los polinomios de Laurent con coeficientes enteros, es decir, < D > ∈ Z[q, q−1].

Antes de dar la definicion central de esta seccion, daremos un dato importante; sea L unnudo y D un diagrama plano de ese nudo, en cada cruce del diagrama D como en la siguientefigura, se pueden realizar dos posibles cortes como se muestra a continuacion (los nudos sonno orientados).

Ahora bien

Definicion 2.1.1 < . > se caracteriza por las siguientes reglas:

1. < © >=1, donde © es un circulo o nudo sin cruces.

2. < D t© >=(−q−2 − q2)< D >.

3. < D >=q< D1 > + q−1< D0 >, donde D,D1 y D0 corresponden al mismo diagramaexcepto en una vecindad de un cruce fijo.

A continuacion se realiza el calculo del bracket de Kauffman para el nudo trebol.


Por tanto se concluye que:

Se hace notar aquı que el Bracket de Kauffman es un invariante para los movimientos dereidemeister II y III, la demostracion puede consultarse en [4].

El invariante anterior se estudia en enlaces no orientados, el siguiente polinomio denomi-nado polinomio de kauffman es un invariante para enlaces orientados, por la orientacionse necesitan introducir dos conceptos que caracterizaran la forma en que esta el cruce, masespecıficamente, daremos una interpretacion al cruce en el sentido de signos positivos o neg-ativos.


Sea ahora w(D) la suma de los signos de todos los cruces en D. Entonces

Definicion 2.1.2 El polinomio de Kauffman para un enlace orientado L, L con un diagramaplano asociado D, esta dado por: K(D)=(−q)−3w(D)< D >.donde < D > es el bracket de kauffman

Por ejemplo, para el nudo trebol (de la figura abajo), todos los cruces tienen signo negativoy por lo tanto w(D)=-3 y ası; K(T )=(−q)9(q7 − q3 − q−5)=−q16 + q12 + q4.

Para consultar mas sobre el tema ver [4]

2.2. El polinomio de Jones

V. Jones define un invariante en teorıa de nudos a partir del Bracket de Kauffman pormedio de un cambio de variable; por sus trabajos en teorıa de nudos y en teorıa de cuerdas;tales como la definicion de este invariante polinomial que lleva su nombre, Jones se hizoacreedor de la medalla fields en el ano de 1990 en el congreso internacional de matematicascelebrado en japon.

Definicion 2.2.1 El polinomio de Jones J(L) de un enlace orientado L es el polinomio deKauffman de D, D diagrama plano asociado a L, evaluado en q = t−1/4, es decir, tenemosque J(L) = K(D)|q=t−1/4


El polinomio de Jones para el trebol T (similar al ejemplo anterior, todos los cruces sonnegativos) es: -(t−1/4)16 + (t−1/4)12 + (t−1/4)4 = −t−4 + t−3 + t−1.

El polinomio de Jones cumple la siguiente relacion:

1. J(©)=1, donde © es un circulo o nudo sin cruces.

2. 1tJ(D+) - tJ(D−) = (

√t− 1√

tJ(D0)).

La relacion es conocida como relacion de madeja.

Los invariantes anteriores tienen muchas limitaciones y es conveniente hacer una pequenamodificacion que recibira el nombre de normalizacion debido a que esta en la busqueda deser invariante bajo los tres movimientos de reidemeister.

2.3. El Bracket de Kauffman y el polinomio de Jones

renormalizados

Para el Bracket de Kauffman una renormalizacion se obtiene haciendo q = (−p)−1/2 ymultiplicando por (−q−2 − q2). Ası una renormalizacion es un cambio de variable adecuadoque hace que el invariante sea mas fuerte topologicamente hablando, es decir, es invariantecon los tres movimientos de reidemeister. Con esto dicho se puede establecer la siguientedefinicion, ver [4, 1].

Definicion 2.3.1 El Bracket de Kauffman renormalizado correspondiente a un en-

lace L, se denotara por < L > y quedara definido por las siguientes reglas:

1. < ∅ >=1.

2. < © >=p + p−1.

3. < D tD′ >=< D >< D′ >, D y D′ son diagramas planos disjuntos.

4. < D >=< D1 > - p< D0 >, donde los diagramas D,D1 y D0 son iguales salvo la vecin-dad del cruce cambiante como lo indican la siguiente figura.

Como la definicion del polinomio de Jones se hace a partir del Bracket de Kauffman,la renormalizacion del Bracket de Kauffman induce una renormalizacion en el polinomio deJones de la siguiente manera:


Definicion 2.3.2 El Polinomio de Jones renormalizado es:

J(L) = (−1)n−pn+−2n−< L >, donde n+ y n− significa la cantidad de cruces positivos ynegativos respectivamente.

Es facil ver que, para la union disjunta de k cırculos en el plano, el polinomio de Jonesrenormalizado esta dado por (p + p−1)k.

El Bracket de Kauffman del trebol (ver la figura siguiente) se calculo anteriormente.

Al hacer los calculos antes se obtuvo < T > = q7 − q3 − q−5, de igual manera,al realizar los calculos para el bracket de kauffman renormalizado se obtiene

< T >=−p5 − p3 − p + p−3, luego su polinomio de Jones renormalizado es:

J(L) = (−1)3p−6< T > = −p−6(−p5 − p3 − p + p−3) = p−1 + p−3 + p−5 + p−9.

Veamos ahora una relacion entre el polinomio de Jones y el polinomio de Jones renormal-izado, en particular en el trebol.

Note las siguientes igualdades que resultan al hacer el cociente J(L)p+p−1 |p=

√t.

J(L)p+p−1 |p=

√t = p−1+p−3+p−5+p−9

p+p−1 |p=√

t

= p−2(p+p−1+p−3+p−7

p+p−1 )|p=√

t

= p−2(1 + p−1(p−2−p−6

p+p−1 ))|p=√

t

= p−2(1 + p−1 (p−1+p−3)(p−1−p−3)p+p−1 )|p=

√t

= p−2(1 + p−3(p−1 − p−3))|p=√

t

= p−2 + p−6 − p−8|p=√

t

= t−1 + t−3 − t−4.

El resultado de las igualdades es el polinomio de Jones para T calculado anteriormente.En general para todo enlace L se tiene que:


J(L) = J(L)p+p−1 |p=

√t.

De donde se obtiene una relacion entre el polinomio de Jones y el polinomio de Jonesrenormalizado.

Ademas de estos polinomios hay muchos invariantes polinomiales, solo por mencionarexisten los polinomios de: Alexander, Conway, HOMPFLY, Khovanov, Stosik y otros. Paraello ver [1, 4].

Capıtulo 3

Homologıa de Khovanov

En este capıtulo se explicara la forma de construir el cubo de Khovanov para un nudo(enlace) y la homologıa que se le asocia a tal nudo (enlace) L, ademas se daran algunosejemplos. Para mas detalle consultar [1] o el articulo de bar-natan[6] en cual se encuentra deforma algorıtmica como construir el cubo de Khovanov.

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CAPITULO 3. HOMOLOGIA DE KHOVANOV 22

3.1. Cubo de Khovanov y Homologıa de Khovanov

El interes primordial que se tendra en este capitulo sera explicar la forma algorıtmica deconstruir la cohomologıa de Khovanov, esencialmente esta forma de explicar la construccionde la homologıa se estudio de [4, 5, 1, 3].

Introduciremos las nociones de suavizacion o resolucion, el cual son dos tipos de cortes quese pueden realizar al nudo (enlace) L. Estos cortes en el nudo (enlace) L generan una coleccionde curvas cerradas isomorfas a S1 las cuales tienen un orden inherente de la construccion, dedonde se puede pensar que viven en los vertices de un cubo que se llamara cubo de Khovanovo cubo de resoluciones.

El cubo de Khovanov tambien se puede ver como un retıculo booleano1, donde los verticesdel retıculo estan asociados a colecciones de cırculos y las aristas del retıculo estan asociadasa cobordismos.

Empecemos con una definicion importante.

Definicion 3.1.1 Dado un diagrama plano D asociado a un enlace o nudo L, un cruce esun punto de interseccion doble (cuando se proyecta a un plano luce como la figura D).

Ahora clasificaremos los cruces en dos tipos de cruces, positivos y negativos (esto con-siderando orientacion en los nudos).

Definicion 3.1.2 Dado un cruce del diagrama plano D. se dira que el cruce es positivo onegativo si luce como en la figura siguiente.

1ver definicion 1.2.11 de los preliminares.


Ahora bien, sea D un diagrama plano asociado a un nudo L, sin perdida de generalidad(estamos caso finito siempre) se puede suponer que el nudo tiene n cruces y estos crucesestan enumerados por {1, 2, 3, ..........., n}, es decir, renombramos los n puntos de doble in-terseccion por x1, x2, ............., xn. Ahora como en cada cruce se pueden realizar dos tipos desuavizaciones diferentes denominados 0-suavizacion y 1-suavizacion (ver figura de abajo).

La cantidad de conjuntos de curvas resultantes al realizar este proceso es 2n, de lo cual sesigue que este conjunto de curvas se puede indexar con el conjunto {0, 1}n y consecuentementeeste conjunto puede verse como el conjunto de vertices de un cubo donde los vertices sellamaran palabras y donde las aristas entre palabras difieren en exactamente un lugar, comose nota en la grafica siguiente.

Notese que en el lugar donde difieren las palabras hay un 1 en vez de un 0, esta diferenciadefine de manera natural un cubo llamado cubo de Khovanov (el orden en que se acomodan laspalabras en el cubo esta dado de manera natural) y el cual tambien es un retıculo booleano2.

Por conveniencia las palabras se asocian con conjuntos de curvas cerradas de donde porlo dicho arriba estas viven en los vertices de un cubo. Para α ∈ {0, 1}n aquı denotaremos lassuavizaciones (coleccion de cırculos en el plano) asociadas por Γα. Dado α ∈ {0, 1}n definimosahora las siguientes nociones importantes en el proceso a seguir.

rα = cantidad de numeros ”1”que hay en la palabra α

kα = cantidad de cırculos en Γα

2ver definicion 1.2.11 de los preliminares.


De esta forma al hacer lo siguiente (donde n+ son la cantidad de cruces positivos y n− lacantidad de cruces negativos)

J(L) =∑

α∈{0,1}n(−1)rα+n−qrα+n+−2n−(q + q−1)kα

Se define el polinomio de Jones de una manera equivalente a la dada en 2.2.3, entoncespara el enlace de Hopf (asignandole orientacion en el sentido de las manecillas de reloj alnudo de la derecha y sentido contrario al nudo de la izquierda, de esta forma los dos crucesson negativos).

Tenemos la recopilacion de todas las nociones mostradas hasta aquı en un solo dibujo.

De igual manera se puede formar el cubo de Khovanov para el nudo trebol y se obtienepor la manera explicada arriba que (se muestra un cobordismo entre los vertices del ladosuperior izquierdo del cubo, el cual es un pantalon):


Recordemos que se tienen 2n suavizaciones para un diagrama D con n cruces. A cadapalabra que representa un conjunto especifico de curvas cerradas isomorfas a S1 se le asociaun espacio vectorial graduado Vα = V⊗kα{rα + n+ − 2n−}.

La operacion {.} es llamada cambio de grado, y actua en los modulos graduados de lasiguiente manera Wm{l} = Wm−l, es decir, sea W =

⊕mWm un modulo graduado,

{.}W = W{l} =⊕

mWm−l. De esta manera la operacion cambio de grado hace un corrim-iento de los sub-modulos que representan a W, de cierta forma conveniente.

Esta operacion cambio de grado se define a modo conveniente para que los vertices delcubo satisfagan una relacion muy bella si se piensa el cubo como un retıculo booleano, esdecir, el cambio de grado nos dira el tamano de las cadenas en el retıculo, como ya veremosmas adelante.

Ahora definamos los complejos de cadenas ası:

Ci,∗(D) =⊕

α∈{0,1}n

rα=i+n−Vα


Ci,∗(D) = 0, fuera del rango i=−n−, . . . , n+.

Recuerde que se hizo notar que dado un diagrama D con n cruces, al realizar las dos op-eraciones elementales definidas como resoluciones, estas operaciones generan un cubo con 2n

vertices indexados por el conjunto {0, 1}n. La definicion de arriba significa que se reemplazalas familias de curvas cerradas por espacios vectoriales Vα para luego obtener Ci,∗(D) comosumando directo de espacios vectoriales en la columna i + n− del cubo, como se indica en lafigura siguiente.

De donde para el enlace de Hopf tenemos que


Un elemento de Ci,j(D) se dira que tiene grado homologico i y q-grado j. de esta formasi v ∈ Vα ⊂ C∗,∗(D) se definen:

i = rα − n− y j = deg(v) + i + n+ + n−

Donde deg(v) es el grado del elemento en el espacio vectorial Vα (recuerde que Vα es unQ(1,x)-modulo, donde por construccion los elementos generadores son tales que deg(1) = 1y deg(x) = −1).

Ahora se necesita un diferencial d que torne a (C∗,∗(D), d) en una cadena de complejos yası poder definir una teorıa homologica, en este caso llamada homologıa de khovanov.

Recuerde que los conjuntos de curvas Γα obtenidas por medio de las dos posible suaviza-ciones se relacionan con cada vertice α del cubo {0, 1}n, ahora a cada arista del cubo se leasocia un cobordismo.Las aristas del cubo pueden ser marcadas por n-uplas de ceros y unos, con una estrella ? en laposicion cambiante, por ejemplo la arista que une los vertices 000 y 001 (indica primero queel nudo o enlace D tiene 3 cruces y que se quiere pasar de una palabra 000; el primer crucese 0-resolvio, el segundo se 0-resolvio e igual con el tercer cruce a otra palabra 001 donde,el primer cruce se 0-resolvio, el segundo cruce se 0-resolvio y el tercer cruce se 1-resolvio)se denota por 00? (ver figura de abajo). Ahora podemos cambiar aristas por flechas por laforma en que estan ordenadas las palabras en el cubo (ver figura de abajo).

Para una flecha α → α1 note que las suavizaciones de α y α1 son identicas excepto en unavecindad del diagrama D que cambia de una 0-resolucion a una 1-resolucion, por ejemplola vecindad que cambia para el mapeo ξ = 1? del enlace de Hopf esta dado por la graficasiguiente.


Arriba se menciono que los conjuntos de curvas Γα se reemplazaban por espacios vecto-riales, ahora reemplazamos los cobordismos de la siguiente manera, si Wξ es un cobordismoasociado a la arista este es generado por uno o varios de los cobordismos explicados en ladefinicion 1.5.8 de los preliminares.

Por lo dicho arriba para el cobordismo Wξ asociado a la arista α → α1, este se reemplazapor el mapeo lineal dξ: Vα → Vα1 . Como cada circulo en el conjunto de curvas cerradasobtenidos despues de realizar las suavizaciones por la definicion del funtor (1+1)-TQFT=F

(definicion 1.5.10 de los preliminares) esta relacionado con una copia del espacio vectorial V,para definir dξ solo se requieren las operaciones llamadas multiplicacion y co-multiplicaciondefinidas en los preliminares (Nociones de teorıa de nudos) y las cuales estan dadas de lasiguiente manera:

(multiplicacion) m: V ⊗ V → Vm(1,x) = m(x,1)=xm(1,1) = 1m(x,x) = 0

(co-multiplicacion) ∆: V → V ⊗ V∆(1)=1⊗ x + x⊗ 1∆(x)=x⊗ x

Finalmente podemos ya definir el diferencial d que hace que (C∗,∗(D), d) sea un complejode cadenas, se define de la siguiente manera:di: Ci,∗(D) → C i+1,∗(D). Para v ∈ Vα ⊂ Ci,∗(D) se hace di(v) =

∑αtalque

dominiodeξ=αsigno(ξ)dξ(v)

donde signo(ξ) = (−1)numerosdeunosalaizquierdade?enξ.

Teorema 3.1.3 Para el mapeo d dado arriba tenemos que d2 = 0


Con este teorema se muestra que (C∗,∗(D), d) es un complejo de cadenas, ver [4] para lademostracion rigurosa de este hecho.

Se define la homologıa de Khovanov del diagrama D asociado a un nudo o enlace L de lasiguiente manera; H¦

n(D) = H¦n(C

∗,∗(D), d).

Para el enlace de Hopf (asignandole orientacion en el sentido de las manecillas de reloj alnudo de la derecha y sentido contrario al nudo de la izquierda, de esta forma los dos crucesson negativos),

Tenemos que el complejo de cadenas, el diferencial (basado en las operaciones m y ∆),los ciclos, los bordes, y su respectiva homologıa es la siguiente:

Cubo de Khovanov para el enlace de Hopf

Cadena de complejos asociado al enlace de Hopf

Homologıa de Khovanov generada por el enlace de Hopf


La homologıa de Khovanov resumida en una tabla

Se tiene una cosa muy importante a saber, y es que la Homologıa de Khovanov es uninvariante mas fuerte que el polinomio de Jones, a modo de ejemplo consideremos los dosnudos siguientes denotados por D1 y D2.

Se tiene que sus polinomios de Jones son iguales, es decir, J(D1) = J(D2) = q−3 +q−5 + q−7 − q−15. El polinomio de Jones no los distingue, pero tenemos las siguientes tablasresumidas con las Homologıas de Khovanov de los nudos D1 y D2.

En [4], Wilson rodriguez construye un programa en lenguaje C++ que calcula la Ho-mologıa de Khovanov.

Capıtulo 4

Homologıa de copos coloreados

En este capıtulo abordaremos el estudio de los copos (conjuntos parcialmente ordenados)con representacion, es decir, a los copos con un funtor covariante a alguna categorıa de modu-los. Ademas de ello se estudiaran algunos ejemplos importantes dentro de la teorıa de nudosmas especıficamente en la homologıa de khovanov, tambien se haran ciertas construccionesimportantes y finalmente se demostrara el siguiente teorema ( al final de la seccion 4.2.3 ):

teorema central de este trabajo:

Sea (B,F) un retıculo booleano coloreado1. Si φ2 : K∗(B,F) → C∗(B,F) es un mapeode cadenas complejas este induce un isomorfismo, ϕ :H¦

n(B,F) → Hn(B,F), donde H¦n(B, F)

es la homologıa generada por el complejo de Khovanov y donde Hn(B, F) es la respectivahomologıa generada por el complejo de Turner-Everitt.

De esta manera se demuestra que la homologıa de khovanov es isomorfa a la homologıa decopos coloreados cuando el copo es un retıculo booleano, con esta construccion se generalizala homologıa de khovanov.

1Un retıculo es un copo2isomorfismo entre el complejo de cadenas de Khovanov y el complejo de cadenas de Turner-Everitt

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CAPITULO 4. HOMOLOGIA DE COPOS COLOREADOS 32

4.1. Copos coloreados

Sea R un anillo conmutativo con unidad fijo y MR la categorıa de R-modulos.

Definicion 4.1.1 Un copo coloreado es un par (P, F) que consiste de:

1. Un copo que tiene un unico elemento maximal denotado por 1P

2. Un funtor covariante F: P −→ MR

El funtor sera el coloramiento. Un morfismo (P1,F1) −→ (P2,F2) de copos coloreados esun par (f, τ) donde se cumple lo siguiente.

1. f : P1 −→ P2 es un mapeo de copos.

2. τ={τx}x∈P1 es una coleccion de R-modulos homomorfismos donde para cada x se tieneque; τx:F1(x) −→ F2(f(x)).

Estos datos cumplen las siguientes dos condiciones

f(x) = 1p2 si y solo si x = 1p1

(naturalidad) para todo x ≤ y en P1, el siguiente diagrama es conmutativo .

Denotaremos en lo que sigue por CPR la categorıa cuyos objetos son los copos coloreadosy los morfismos son los dados por la definicion de arriba.

Con esto notese que el coloramiento asocia a cada elemento x del copo un R-modulo, F(x)y si x ≤ y entonces se le asocia un mapeo F(x ≤ y) : F(x) −→ F(y). Por cuestiones practi-cas se denotara F(x ≤ y) por Fy

x, ademas de ello usualmente cuando se defina el morfismoF(x ≤ y) se entendera que la relacion de orden entre x, y en el copo sera de cubrimiento, esdecir, x ≺c y; todos los demas casos se pueden ver como composiciones de estos.

Observese ahora la siguiente asignacion de color a un copo. Sea (P2,F) un copo coloreadoy considerese el siguiente mapeo de conjuntos parcialmente ordenados (donde P1 es copo sincolor) f :P1 −→ P2, la composicion F2◦f :P1−→MR define un coloramiento en P1. Note quepor definicion τ es una transformacion natural entre los funtores F2 y F2◦f .

Veamos enseguida algunos ejemplos de copos coloreados.


(Ejemplo 1.)Sea P un copo con unico elemento maximal y A un R-modulo. El coloramiento constante enP por A es definido por el funtor F: P−→MR dado por F(x) = A y Fy

x = idA para todo x ≤ y.

(Ejemplo 2.)(Prehaz)Sea X un espacio topologico y considerese P el copo generado por todos los subconjuntosabiertos de X parcialmente ordenado por la inclusion de abiertos. Un coloramiento es equiv-alente al prehaz de R-modulos en X.

(Ejemplo 3.)(Subgrupos abelianos)Sea G un grupo. Entonces el copo de subgrupos abelianos bajo la inclusion, es un copo col-oreado natural, por el coloramiento se le hace corresponder a cada elemento del copo unsubgrupo y donde los homomorfismos son las inclusiones.

(Ejemplo 4.)(El coloramiento de Khovanov)Este es el primer coloramiento realmente interesante y basicamente es un resumen muy brevede la construccion del cubo de Khovanov que se estudio en la seccion 3.1; este es un col-oramiento de un retıculo booleano asociado al diagrama de un enlace. Sea D una proyeccionde un enlace a un plano, es decir, un diagrama de un enlace, y sea B un retıculo booleano aso-ciado a los cruces del enlace (asociado de manera constructiva y debida a Khovanov). A cadacruce se le puede aplicar dos tipos de operaciones llamadas 0-resoluciones y 1-resoluciones(ver figura a continuacion). Si S es algun subconjunto de cruces, entonces las resolucionescompletas D(S) resultan de 1-resolver los cruces en S y 0-resolver los cruces que no estan enS, los resultados que se obtendran son cırculos planares. Ahora sea V una algebra de frobe-nius conmutativa graduada sobre R (R anillo conmutativo unitario) con multiplicacion m yco-multiplicacion u ambas de grado −1, se define un coloramiento (graduado) F: B−→GrMR

como sigue:para S ∈ B, F(S)=V⊗k[rk(S)], con un factor tensorial correspondiente a cada componenteconexa de D(S) donde k = rango reticular de S ∈ B.Si S <c T en B entonces D(T) resulta de 1-resolver un cruce que fue 0-resuelto en D(S), con elefecto cualitativo de que dos cırculos en D(S) se fusionan en uno en D(T), o uno de los cırculosde D(S) se bifurca en dos en D(T). En el primer caso F(S <c T):V⊗k[rk(S)]−→V⊗k−1[rk(T)]es el mapeo usando m en los factores tensoriales correspondientes a los cırculos que se fusionany la identidad en los otros factores. En el segundo caso, F(S <c T):V⊗k[rk(S)]−→V⊗k+1[rk(T)]es el mapeo usando u en los factores tensoriales correspondientes a los cırculos que se bifurcany la identidad en los otros factores. En ambos casos F(S <c T) esta bien definido por laspropiedades heredadas de la construccion hecha en la seccion 3.1.


(Ejemplo 5.)(El coloramiento de un retıculo booleano asociado a un grafo)Sea Γ un grafo, B el retıculo booleano generado por el conjunto de las aristas de Γ, M una R-algebra con multiplicacion m∗. Si S es algun subconjunto de aristas considerese Γ(S) el grafoque tiene el mismo conjunto de vertices que Γ y cuyo conjunto de aristas es S. DefinamosF: B−→MR como sigue: Si S ∈ B, sea F(S)=M⊗k, con un factor tensorial correspondientea cada componente conexa del grafo Γ(S). Si S <c T en B entonces T=S ∪ {e} donde e esuna arista cualquiera. En particular, el grafo Γ(T ) tiene el mismo numero de componentesconexas que Γ(S), o la arista e conecta dos componentes , reduciendo la cantidad de com-ponentes conexas en uno. Definimos F(S <c T) = id en el primer caso, y el segundo caso,F(S <c T):M⊗k−→M⊗k−1 es el mapeo usando m∗ en los factores tensoriales correspondientesa las componentes conectadas por e, y la identidad para los otros casos.

Veamos ahora una serie de construcciones de copos coloreados interesantes.

(Union).Sean (P1, F1) y (P2,F2) dos copos coloreados, la union (P1, F1)∪(P2, F2) es definida tomandola union de los copos P1 y P2 e identificando los elementos maximales 1P1 con 1P2 . El col-oramiento es definido por F1 y F2 con la modificacion que 1 es coloreado por F1(1P1)⊕F2(1P2),y para x ∈ P1 se define F1

x = F1 ⊕ 0, de forma analoga se tiene que F1y = 0⊕ F2 para y ∈ P2

(Producto).Sean (P1,F1) y (P2,F2) dos copos coloreados, el copo (P1,F1)×(P2,F2) = (P, F) resulta alrealizar el producto directo de los copos Pi, es decir, los elementos de P son de la forma (a, b)y el orden parcial esta dado de la siguiente manera: (a, b) ≤ (a′, b′) si y solo si a ≤ a′ y b ≤ b′.El coloramiento esta dado por F(a, b)=F1(a) ⊗R F2(b) donde R es un anillo conmutativo

unitario, los morfismos estan dados por F(a′,b′)(a,b) =F1

a′a ⊗F2

b′b .

Por ejemplo, si Bi, (i = 1, 2) son retıculos booleanos de rango ri, entonces B1 × B2 es unretıculo booleano de rango r1 + r2, si ademas de eso cada Bi es coloreado por Fi, el coporesultante lucira como el dado a manera de ejemplo en la siguiente figura.Hacemos notar que se han hecho las siguientes abreviaturas Ux=F1(x), Vx=F2(x).


(Pegando por medio de un morfismo).Sean (P1,F1) y (P2,F2) dos copos coloreados y sea (f, τ): (P1,F1) −→ (P2,F2) un morfismode copos coloreados. La siguiente construccion nos dara un nuevo copo coloreado denotadopor (P1,F1)∪f (P2,F2) ”pegando”P1 con P2 por medio de f :El conjunto resultante al hacer (P1,F1)∪f (P2, F2) es P1∪P2, la union de elementos de P1 yP2. El orden parcial se define de la siguiente manera:

Si a, a′ ∈ Pi entonces a ≤ a′ si y solo si a ≤ a′ en Pi.

Si a ∈ P1 y Si a′ ∈ P2 entonces a ≤ a′ si y solo si f(a) ≤ a′ en P2.

Este copo ası definido se denotara por P1∪fP2 y el coloramiento se definira de la siguienteforma: F: P1∪fP2−→MR:

Para a ∈ Pi entonces F(a)=Fi(a).

Si a ≤ a′ con a, a′ ∈ Pi se define el morfismo Fa′a =Fi

a′a .

Si a ≤ a′ con a ∈ P1 y a′ ∈ P2 en virtud de las propiedades que cumple el par (f, τ)existe un mapeo τa:F1(a)−→F2(f(a)) de lo cual como por definicion f(a) ≤ a′ enP2, hay un mapeo F2

a′f(a):F2(f(a))−→F2(a

′). En este caso se tiene el siguiente mapeo

Fa′a =F2

a′f(a)◦τa.

Lema 4.1.2 (P1∪fP2, F) es un copo coloreado.

La demostracion del lema se basa en ver que el diagrama a seguir es conmutativo y biendefinido.


(Ejemplo 6.)La figura que sigue pega dos copos coloreados de rango 2 por medio de un morfismo dandoun copo coloreado de rango 3

Notese que al pegar los dos copos coloreados dados arriba, cada uno de ellos es un copo derango 2 (como retıculos las cadena maximales son de tamano 2), al hacer (B1,F1)∪f (B2,F2)resulta un copo de rango 3 donde el elemento maximal es el maximal del segundo copo, esdecir, el maximal de B2 (al pegar los copos se pegan elementos que tengan el mismo rangoreticular), las propiedades que hacen que las aristas esten bien definidas y tengan sentido setienen en virtud de las transformaciones naturales y el morfismo de copos dados al inicio dela seccion.

Ahora en la siguiente seccion empezaremos el estudio de la homologıa de copos coloreados.

Para estudiar Homologıa de conjuntos parcialmente ordenados, copos o poset (en ingles),sin ningun tipo de tratamiento adicional tal como se considera aquı, al estudiar copos conuna representacion, se recomienda [10].


4.2. Homologıa de T-E

La teorıa de homologıa en conjuntos parcialmente ordenados tiene como pioneros a Folk-man y Rota, aunque no hay mucha bibliografıa al respecto se aconseja al lector [10]. Elprofesor Khovanov construye su teorıa de homologıa en nudos sin consideraciones reticularesni conjuntistas respecto a la manera como se expondra la generalizacion, los profesores PaulTurner y Brent Everitt en [2] incorporan a los copos dentro de un esquema que asocia a uncopo una homologıa como se hace en [10].

Esta teorıa basicamente lo que hace es pasar de copos a sımplices abstractos cuyos verticesviven en un conjunto X que cumple unas buenas propiedades, de donde el sımplice ∆ es unsubconjunto de 2X tal que {x} ∈ ∆ si y solo si x ∈ X, y σ ∈ ∆, τ ⊂ σ ⇒ τ ∈ ∆. Losk-sımplices ∆k son los subconjuntos de k + 1-elementos y el ∅ es el unico −1-sımplice. SiP es un copo entonces el complejo ordenado ∆(P ) tiene que X=P y los k-sımplices son lassecuencias ordenadas o cadenas maximales σ=xo < x1 < . . . < xk de longitud k + 1, Elproposito de este capitulo es introducir (incorporar) a P dentro de este esquema.


4.2.1. Cadenas complejas y diferencial de T-E

Si (P, F) es un copo coloreado se define las cadenas complejas S∗(P, F) de la siguientemanera,

Sk(P, F)=⊕

x1x2...xkF(x1) donde x=x1x2 . . . xn sera una abreviacion de la multi-secuencia

x1 ≤ x2 ≤ . . . xn ademas de la consideracion de que xi ∈ P/1, esto para k > 0. Esto significaque se tiene un sumando directo por cada multi-secuencia x1 ≤ x2 ≤ . . . xk de longitud k( note que las secuencias estan en P/1 ). Un elemento tıpico puede expresarse como

∑x λx,

donde la suma es sobre todas las secuencias de longitud k y donde λ ∈ F(x1), es impor-tante recordar que las secuencias x1x2 . . . xk pueden tener elementos repetidos. Esta fue ladefinicion original de T-E pero mas adelante se vera una modificacion la cual remedia esteproblema, debido a que no necesariamente deberıan ser cadenas maximales. De la mismamanera se define para k = 0 el conjunto S0(P, F)=F(1), y para k < 0 se define Sk(P, F)=0.

El diferencial dk: Sk(P, F) −→ Sk−1(P, F) es definido para k > 1 por medio de:

dk(λx1x2 . . . xk) = Fx2x1

(λ)x2x3 . . . xk -∑k

i=2(−1)iλx1 . . . xi . . . xk,

y d1 es definido por d1(λx) = F1x(λ).

Ahora como es usual en los procesos homologicos debe probarse que efectivamente ladefinicion anterior es una cadena de complejos, para ello se tiene el siguiente lema.

Lema 4.2.1 S∗(P, F) es una cadena de complejos

Dem:Se necesita probar que d2 = 0, note que dk−1(dk(λx1x2 . . . xk)) es una suma alternada determinos de la forma µx1 . . . xi . . . xj . . . xk, donde cada multi-secuencia indexada apareceexactamente dos veces. Observemos que cuando aparecen estos pares de terminos vienen consignos opuestos. Uno de tales terminos se obtiene primero quitando xi y luego xj, al quitar xi

y luego xj el signo que se obtiene viene dado por (−(−1)i)× (−(−1)j−1)=(−1)i+j−1. De otrolado al quitar xj primero y luego xi el signo viene dado por (−(−1)j) × (−(−1)i)=(−1)i+j

de donde necesariamente se cancelan los pares de terminos al sumar. ¥

Ahora dado un morfismo de copos coloreados (f, τ): (P1,F1) → (P2,F2) hay un mapeoinducido f∗: S∗(P1,F1) → S∗(P2,F2) definido por:

λx1x2 . . . xk 7→ τx1(λ)f(x1)f(x2) . . . f(xk)

Lema 4.2.2 f∗ es un mapeo de cadenas complejas bien definido.

Dem:Claramente la expresion τx1(λ)f(x1)f(x2) . . . f(xk) es un elemento de S∗(P2, F2) y por laprimera condicion de morfismo entre copos coloreados se tiene que f(xk) 6= 1P2 . Falta ver


que f∗ es un mapeo de cadenas,notese que:

d(f∗(λx1x2 . . . xk)) = Ff(x2)f(x1)(τx1(λ))f(x2)f(x3) . . . f(xk) + Φ, y

f∗(d(λx1x2 . . . xk)) = τx2(Fx2x1

(λ))f(x2)f(x3) . . . f(xk) + Φ,

Para Φ=−∑ki=2(−1)iτx1(λ)f(x1) . . . f(xi) . . . f(xk). Por la naturalidad de τ las dos ex-

presiones dadas son iguales. ¥

Con esto dicho tenemos definido el siguiente funtor covariante S∗: CPR → CCR, de lacategorıa de copos coloreados a la categorıa de cadenas complejas sobre un anillo conmutativounitario R. Finalmente, se define la homologıa del copo coloreado (P, F) como sigue:Hn(P, F) = Hn(S∗(P, F)) de donde como la homologıa es un funtor de la categorıa de cadenascomplejas a la categorıa de los R-modulos graduados se tiene un funtor covariante dado por,H∗: CPR → GrMR.

Como se enfatizo al inicio de la seccion, al definir las cadenas complejas Sk(P, F)=⊕

x1x2...xk

F(x1) para un copo coloreado (P, F) pueden haber secuencias con elementos repetidos, a estadefinicion se le hara una modificacion en la cual las secuencias deberan ser crecientes estrictasy con ello evitar la repeticion de elementos y donde la homologıa no cambia en virtud de unabuena propiedad que se tiene.Definamos una nueva version de cadenas de complejos C∗(P, F) asociado a un copo coloreado(P, F) de manera identica a como se definio S∗(P, F), salvo el requerimiento adicional de quex = x1x2 . . . xk es de la forma x = x1 < x2 . . . < xk. Mas precisamente, para k > 0 tenemosque C∗(P, F)=

⊕x1x2...xk

F(x1) con las condiciones de que xi < xi+1 y xi ∈ P/1 como en ladefinicion anterior. Con esto se tiene un sumando directo por cada secuencia ordenada delongitud k de la forma x1 < x2 . . . < xk en P/1. Para k = 0 se define el conjunto C0=F(1), yCk(P, F)=0 para k < 0. Claramente Ck⊂Sk, y el diferencial en Ck puede verse como la restric-cion del diferencial dado en Sk ( de esto C∗ es un sub-complejo de S∗ ). Ahora notese que sihay una secuencia maximal de longitud r0 en P , entonces podemos tener que Ck(P, F)=0 parak > r0, caso que nunca se dara para S∗ ( a menos que C∗ sea homotopicamente equivalentea S∗, como se demostrara mas adelante ).

Sea Dk ⊂ Sk el submodulo conteniendo esos sumandos indexados con secuencias dondese repite por lo menos un elemento, es decir, Dk es generado por los elementos de la formaλx1x2 . . . xk donde xi = xi+1 para mınimo un i. Si λx1 . . . xx . . . xk es un termino tal, sepuede mostrar que d(λx1 . . . xx . . . xk) ⊂ D∗, de donde se tiene que D∗ es un sub-complejo decadenas, y se tiene el siguiente lema.

Lema 4.2.3 Existe una descomposicion de complejos S∗(P, F) = C∗(P, F) ⊕ D∗(P, F) .

El complejo D∗ dentro del marco a estudiar no es interesante en virtud de la siguienteproposicion, ademas de facilitar la cuentas a necesitar.


Proposicion 4.2.1 D∗(P, F) ' 0:=(. . . → 0 → 0 → 0 . . .), es decir, son homotopicamenteequivalentes.

Con esto se tiene el siguiente corolario.

Corolario 4.2.4 S∗(P, F) ' C∗(P, F), es decir, son homotopicamente equivalente y en parti-cular tenemos que Hn(P, F) = Hn(C∗(P, F)) con lo cual se nota que es mas amigable calcularhomologıas en este ultimo sentido.

4.2.2. S.E.C. para el copo obtenido por pegamiento

En esta seccion se dara un resultado importante en pro de demostrar la generalizacionhecha por Paul Turner y Brent Everitt, se mostrara que un mapeo entre dos copos coloreados(f, τ) : (P1, F1) → (P2,F2) induce una sucesion exacta larga en homologıa para el copocoloreado (P1,F1)∪f (P2, F2) obtenido por pegar los copos P1 y P2 por medio de f como seexplico en la construccion tres de la seccion anterior, la construccion sera de gran utilidaden la finalidad de probar el teorema principal de este trabajo y que se menciono al inicio delcapitulo 3.

Sean (P1,F1) y (P2, F2) dos copos coloreados, y sea (f, τ) : (P1,F1)→ (P2,F2) un morfismode copos coloreados, es posible formar tres complejos C∗(Pi, Fi) para i = 1, 2 y C∗(P1∪f P2, F).Claramente C∗(P2,F2) es un sub-modulo de C∗(P1 ∪f P2, F), ademas es facil chequear qued(C∗(P2,F2)) ⊂ C∗(P2, F2) y ası existe una sucesion exacta corta de complejos dada por:

Donde por definicion Q∗ es el cociente y q es la aplicacion cociente o proyeccion sobre laprimera componente. Esta induce una sucesion exacta larga dada por:

Se puede demostrar que Qn es isomorfico a⊕

x F(x1), note que la suma directa sobretodas las secuencias x ∈ P (P = P1 ∪f P2) no estan enteramente contenidas en P2, es decir,x = x1x2 . . . xn con xi ∈ P1 o x = x1 . . . xjy1 . . . yn−j donde 0 < j < n y tenemos que xi ∈ P1,yi ∈ P2/1. Escribamos una secuencia generica en P = P1 ∪f P2 como una expresion formaldada por x = x1 . . . xjy1 . . . yn−j, dejando claro que x = x1x2 . . . xn cuando j = n. El difer-encial esta dado por d(λx) = αj + βj, donde α1 = 0 y,


αj = Fx2x1

(λ)x2 . . . xjy1 . . . yn−j +∑j

k=2(−1)k−1λx1 . . . xk . . . xjy1 . . . yn−j

para j > 1, y βn = 0, y

βj =∑n−j

k=1(−1)j+k−1λx1 . . . xjy1 . . . yk . . . yn−j, para j < n

Con esto queda definido el mapeo πn : Qn → Cn−1(P1,F1) dado por:

π(λx1 . . . xjy1 . . . yn−j) = λx1 . . . xn−1, si j = n y xn = 1p1 ; 0 en otro caso.

Con esto en mente se tiene el siguiente lema y una proposicion importante que volvera ame-na la forma de calcular homologıas en copos pegados por medio de un morfismo.

Lema 4.2.5 π : Q∗ → C∗−1(P1,F1) es un mapeo de cadenas.

Proposicion 4.2.2 El mapeo inducido π∗ : Hn(Q∗) → Hn−1(P1,F1) es un isomorfismo.

Para la demostracion detallada de este resultado ver [2]. Con estos dos resultados combi-nados se concluye el siguiente teorema

Teorema 4.2.6 Sean (P1,F1) y (P2,F2) dos copos coloreados, y sea (f, τ) : (P1, F1) →(P2,F2) un morfismo de copos coloreados, considerese (P1 ∪f P2,F) el pegamiento por mediode un morfismo. Entonces existe una sucesion exacta larga,

Al final del capitulo 3 se da un ejemplo (ejemplo 6) graficamente de como al pegar doscopos coloreados de rango 2, se obtiene un copo coloreado de rango 3, sea B = B0∪f B1 comoen el ejemplo, entonces se tiene que,

Corolario 4.2.7 Hay una sucesion exacta larga

Esta sucesion exacta larga es igual de bella a la sucesion de Mayer-Vietoris en homologıausual, en el sentido practico y de forma.


4.2.3. Homologıa T-E para el cubo de Khovanov

En esta seccion se hara otra construccion de la homologıa de Khovanov, este punto devista estara enfocada desde los copos coloreados y se analizara por que tuner y Everittefectivamente si generalizan la construccion del cubo de Khovanov.

Al formar el cubo de Khovanov estudiado en la 3.1, se mostro que dado un diagrama D( clase de las proyecciones de un nudo L a un plano ) este puede operarse por medio de doscortes llamados 0-resoluciones y 1-resoluciones, al hacer todos los cortes a todos los crucesse genera un cubo de resoluciones llamado cubo de Khovanov, este cubo se puede ver comoun retıculo booleano ( conjunto parcialmente ordenado que cumple ciertas propiedades espe-ciales, ver definicion 1.2.11 de los preliminares ), de donde el orden parcial viene heredadopor la forma en que se construye el cubo, a su vez, en la construccion se pasa de la categorıageometrica ( donde los objetos son familia de curvas isomorfas al circulo y los morfismo soncobordismos ) a la categorıa algebraica de los V -modulos, donde V es un espacio construidoy que tiene unas buenas propiedades. El funtor con el cual se trabajo en la capitulo 3 y elcual es el funtor mencionado anteriormente es un funtor denominado TQFT, con esto dichose tiene un coloramiento dado de la siguiente manera:

F: B−→MV , donde B es el cubo de Khovanov, los vertices seran n-uplas indexadas por{0, 1}n ( n sera el numero de cruces en el nudo ), por ser B un retıculo booleano se tiene pordefinicion que el cubo de Khovanov tiene un elemento maximal, denotado por 1B.

Para lo que sigue hagamos aquı una breve recopilacion de nociones ( ver preliminares,seccion 1.2 ) que necesitaremos. Un copo es un par (P,<), donde < es una relacion binariatransitiva, antisimetrica y reflexiva, escribiremos x < y si x ≤ y pero x 6= y. Si se tiene quex < y y no hay z tal que x < z < y diremos que x cubre a y y se denotara por x <c y, pararetıculos booleanos siempre es posible expresar una tal relacion; una funcion rango definidaen un copo sera una funcion de la forma rk: P → {0, 1, 2 . . . r} con las condiciones siguientes:rk(x)=0 si y solo si x es minimal, rk(y) = rk(x) + 1 si y solo si x <c y, los elementos derango 1 se llamaran atomos. El r que aparece en {0, 1, 2 . . . r} esta definido ası: si todas lassecuencias saturadas maximales bajo inclusiones ( ver preliminares, seccion 1.2 ) tienen lamisma longitud y esta es r entonces se define la funcion rango como antes.En terminos de retıculos, cabe hacer notar que todo orden parcial definido en un retıculobooleano se puede expresar en funcion de dos operaciones denominadas union ∨ e interseccion∧, y que ademas todos los elementos de un retıculo booleano se pueden expresar de maneraunica como union de los atomos, es decir, si B es retıculo booleano y x ∈ B entonces x=

∨aij

= ai1 ∨ ai2 ∨ . . . aik , donde i1 < . . . < ik. Para x=ai1 ∨ ai2 ∨ . . . aik , tenemos que x <c y si ysolo si la expresion (unica) para y es y=(ai1 ∨ . . . ∨ aik) ∨ail∨ (aij+1

∨ . . . ∨ aik).Ahora en pro de mostrar otra forma de construir la homologıa de Khovanov, seguimos conla idea con la que se inicio la seccion y consideremos el caso en el que si x <c y; dado esto seconsiderara ε(x <c y)=(−1)j, donde j es el numero de atomos que aparecen antes de al enla unica expresion para y por medio de atomos. Si x=x1 <c x2 <c . . . <c xk es una secuenciasaturada en B, sea,


εx = ε(x1 <c x2 . . . <c xk) :=∏

ε(xi <c xi+1).Si 10=a2 ∨ . . . ∨ ar, entonces observe que ε(10 <c 1)=1.

El cubo de Khovanov o el complejo de Khovanov K∗(B,F) se define de la siguiente manera:

Kk =⊕

rk(x)=r−kF(x) y el diferencial esta dado por:

dk : Kk(B,F) → Kk−1(B,F),

dk(λ) =∑

ε(x <c y)Fyx(λ),

Donde λ ∈ F(x) con rk(x)=r − k y la suma se realiza sobre todos los y que cubren a x,con esto se ve facilmente que d(Kk) ⊂ Kk−1, d =

∑rk(x)=r−kε(x <c y)Fy

x(λ). Observe que en

el grado cero las cadenas son solamente F(1) y en grado r ellas son F(0), y Kk=0 fuera delrango 0 < k < r. La prueba de que d2 = 0 puede consultarse en [1].Escribiremos H¦

∗(B,F) = H∗(K∗(B,F)) para la homologıa del cubo complejo de Khovanov.

A manera de ejemplo notese la siguiente figura, la cual es el cubo de Khovanov para unretıculo booleano de rango 3; la union ai ∨ aj aparece en forma abreviada aij, las aristasx <c y del diagrama de Hasse para B aparecen marcadas con el signo de Khovanov ε(x <c y).

Como se vio en la seccion 4.2.2, para B = B0 ∪f B1 ( como en el ejemplo 6 ) se muestraque se puede inducir una sucesion exacta larga, dada una sucesion exacta corta; como sigue:


Si tenemos que K∗(Bi, Fi) donde Fi es la restriccion de F a Bi. ( como con el complejoC∗ de la seccion 4.2.2 ), K∗(B1, F1) es un sub-complejo de K∗(B, F) y la aplicacion cocientedenotada por q esta dada por la siguiente definicion,

∑rk(x) = r − kλx =

∑x∈B1

µx +∑

x∈B0νx 7→

∑x∈B0

νx,

Con lo cual se tiene un morfismo de complejos

De esta manera se tiene la sucesion exacta corta

De donde se induce la siguiente sucesion exacta larga

En la homologıa de Khovanov, si (B, F) es el copo coloreado ( retıculo coloreado ) que seobtiene de un diagrama D asociado a un nudo L despues de hacer las dos posibles resoluciones( ver ejemplo 4, seccion 4.1 ) entonces (B0,F0) y (B1,F1) pueden interpretarse como los coposcoloreados asociados a los diagramas D0 y D1 ( obtenidos de D por 0-resolver y 1-resolverlos cruces de D respectivamente ).

Ahora demostraremos el teorema principal de este trabajo, este teorema se debe a PaulTurner y Brent Everitt [2], el teorema se enuncia como sigue, sean H∗(B,F) y C∗(B,F) lahomologıa y el complejo de T-E; H¦

n(B,F) y K∗(B,F) la homologıa y el complejo de Kho-vanov, si φ: K∗(B,F) → C∗(B,F) es una mapeo de cadenas (quasi-isomorfismo) este induce unisomorfismo ϕ :H¦

n(B,F) → Hn(B, F) ( isomorfismo para cada n ). Con esto se demuestra quela homologıa de T-E generaliza la construccion del cubo de Khovanov, es decir, la homologıade Khovanov.

Empecemos como se dijo anteriormente enunciando el siguiente lema, para la demostracionver [2]

Lema 4.2.8 φ: K∗(B, F) → C∗(B, F) es una mapeo de cadenas.

Hagamos un breve analisis en la descomposicion siguiente B = B0 ∪f B1 ( como en elejemplo 6 ), notese que si x ∈ B1 y x es una secuencia (saturada o no) empezando en xentonces x esta completamente contenida en el sub-retıculo B1. Entonces en particular, setiene que cuando λ ∈ F(x) pasa que φ(λ) esta en el sub-complejo C∗(B1,F1) ⊂ C∗(B,F) dela misma manera se tiene que φ(K∗(B1,F1)) ⊂ C∗(B1,F1). Con esto se tiene un mapeo decomplejos inducido.


Lema 4.2.9 Sea π : Q∗ → C∗−1(P0,F0) como en el lema 4.2.5 y sean φ, φ′como arriba.

Entonces el siguiente diagrama conmuta.

En virtud de las sucesiones exactas cortas ( vistas en la seccion 4.2.2 y 4.2.3 respecti-vamente ) ensambladas en el diagrama siguiente y de los lemas 4.2.5, 4.2.8 y 4.2.9 tenemosprobado el teorema central del trabajo.

Dadas las sucesiones cortas

Se tiene el diagrama siguiente

Donde cada flecha vertical es isomorfismo, con esto se generaliza la Homologıa de Kho-vanov.

Capıtulo 5

CONCLUSIONES

En este trabajo se estudian las nociones basicas de teorıa de conjuntos ordenados,topologıa algebraica, teorıa de nudos y teorıa de retıculos.

En este trabajo se estudian dos de los primeros invariantes topologicos descubiertos enteorıa de nudos tales como el bracket de Kauffman y el polinomio de Jones (invariantespolinomiales).

En este trabajo se estudia la homologıa de Khovanov como invariante topologico denudos mas fuerte que los invariantes de Kauffman y Jones, ademas de ello se muestrala forma de construir la homologıa de Khovanov.

Ademas de lo antes mencionado en este trabajo se presenta una generalizacion de lahomologıa de Khovanov, esta se debe a Paul Turner y Brent Everitt (T-E).

En este trabajo se da una vision alternativa de la Homologıa de Cech a valores en unprehaz (en el ejemplo 2 de la pagina 26).

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