Hola buen día, felicidades por venir dispuestos a trabajar

Vilma Espin

Clase 4Profr. José Máximo Moisés Tecuanhuey Cielo

22 de Octubre de 2011

El conjunto de las fracciones (F)El uso de las fracciones es muy antiguo, tenemos datos que en el papiro Rhind (año 1700 a. C.) se narra que los egipcios ya operaban con fracciones, así que a lo largo de la historia del hombre se han hecho varias interpretaciones de ellos. En este capítulo, intentaremos hacer tres interpretaciones de la fracción.

Primera interpretación:

La idea básica es que la fracción es un trozo de la unidad, dicho de otra forma:

Una fracción o número fraccionario es una pareja ordenada de números naturales p y q escrita en la forma , donde q indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad y p señala cuántas de ellas se están considerando.

0

2,

0

0,

1

2,

2

3,

4

4

.

Esta idea aún es bastante burda, por ejemplo, vale la pena aclarar que exigimos que p y q sean naturales porque nuestra interpretación de fracción no se aplica fácilmente a todos los enteros, ¿qué significa ?, ¿dividir la unidad en menos cuatro partes iguales y tomar menos tres de ellas? (¡!). Aunque en menor medida, pero en el mismo sentido, podemos poner algunas objeciones a expresiones como:

El conjunto de las fracciones (F)

El primer número no representa dificultad, aunque no represente parte de un entero, pero tiene la taquigrafía de una fracción(fracciones impropias), de la misma manera el segundo y el tercer número. Sin embargo el cuarto y quinto número no tiene significado matemático

Equivalencia de fracciones

8

6

4

3

           

           

           

           

...24

16

12

8

6

4

3

2

Primera interpretación: dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.

Equivalencia de fraccionesSegunda interpretación

Definición:

Sean dos fracciones y , al decir que son equivalentes queremos decir que: ps = qr

Brevemente: = , significa que ps = qrCuando el símbolo “=” se aplica entre fracciones se debe leer “equivalente a”, con frecuencia se lee “igual a”, lo importante es no perder de vista lo que significa.

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

y también definimosy también

:nesObservacio

Z es parte de F

1

3

1

2

1

1

1

0

1

1

1

2

1

3

Definición:

Cada entero se va a identificar con una fracción como se indica enseguida

… -3 -2 -1 0 1 2 3 …

Lo que suele expresarse en la forma ZF

Generando fracciones equivalentes

Teorema:En lo que sigue p, q y n son enteros, ni n ni q son 0, entonces: y también

Tercera interpretación:

Simplificando una fracción

Definición:

Simplificar una fracción a sus mínimos términos o escribirla en forma irreducible, significa hallar una fracción equivalente a ella con denominador positivo y tal que mcd( ) =1

Cuarta interpretación:

Recta Numérica

Suma de fracciones

Postulado

En cualquier expresión que contenga fracciones, cualquiera de ellas se puede cambiar por una equivalente a sí misma.

72

7

72

5)

91

7

72

5) ba

qrp

qr

qp

qp

Si

Def

entonces ,fraccionesson qr

y

.

Suma de fracciones con denominadores distintos

Teorema:

Si y son fracciones, entonces

Con el fin de realizar las operaciones de manera más rápida se propone sumar considerando que el denominador (qs) común sea el mínimo común denominador, mejor conocido como el mínimo común múltiplo (mcm)

En resumen, las sumas de fracciones se pueden hacer hasta de tres formas: con la definición, con el teorema de la suma de fracciones y con el método del común denominador

En resumen

1217

12215

122

1215

61

45 Aplicando la definición:

Aplicando el teorema:

Aplicando el mcm:

1217

2434

24430

641465

61

45

1217

12215

122135

61

45

Suma de fracciones mixtas

5

23

Dadas las siguientes fracciones mixtas, escríbelas como fracciones comunes 3

57

57

6

5 1 5 5 + 2

3 2 3 2 7 3 7 31

+ 45 7 5 7

Ejemplos:

La resta de fracciones

qrp

qr

qp

qp entonces ,fraccionesson

qr

y Si

Definición:

Teorema:

sqrqsp

sr

qp

sr

qp

entonces ,fraccionesson ySi

Ejemplo por el método del mcm: Cuidado

36

5

36

446193

9

4

6

1

4

3

Algunos ejemplos6 1 6 2 1 7 12 7 5

7 2 7 2 14 14

9 10 5 9 10 5 6 3

4 4 4 4 4 2

1457

28114

2816)(98

1428)(2)(147

148

27

148

27

5

44

5

24

5

7320

5

)1(7)1(3)5(4

5

7

5

34

5

7

5

34

Multiplicación de fracciones

Sabemos que

También sabemos que los enteros escritos como fracciones son: , y queremos que se cumpla: o mas exactamente

Definición:

sqrp

sr

qp

qp

entonces fraccionesson sr

ySi

Una aplicación de la Multiplicación

• Una aplicación especial de la multiplicación es la de calcular una fracción de una cantidad.

¿Cuánto es de 8?

41

4

2

8

1

8

2

18

2

1

¿Cuánto es de ?

8

1

4

1

2

1

RecordandoQue hicimos con la operación resta:• Definir la resta, sólo tomamos la que conocemos desde la

primaria (la forma en que se comprueba la resta).• Ya habíamos postulado y definido lo relativo a los inversos

aditivos: la suma de una pareja de inversos es el neutro aditivo.

• Notamos que la resta se podía expresar mediante su operación opuesta, la suma.

Haremos lo mismo con la división

• Empezamos definiendo la división para fracciones

q

p

u

t

u

t

s

r

q

p

s

r que significa

• Definimos los inversos multiplicativos: dos fracciones son inversos multiplicativos si su producto es un neutro multiplicativo.

Por cierto quien es el neutro multiplicativo.

El inverso multiplicativo

éste) a eequivalentalgún (o 1

1 que tal existe ,0 ,

p

q

q

p

p

qp

q

p

Teorema:Para cada fracción

p

q

q

py A las fracciones Se les llama inversos

multiplicativos, uno del otro

Teorema de la división La división se cambia por multiplicación

r

s

q

p

s

r

q

p

Cambiamos s

r por su inverso multiplicativo

rq

sp

s

r

q

p

Que es equivalente a realizar:

Ejercicios Efectuar las siguientes divisiones

4

1

2

1 3

4

7

5

)9

2(

9

7

3

25

2

14

Combinación de operaciones

8

1

24

3

24

69

12

3

8

3

12

12

8

3

12

1

6

1

8

3

120

1267

30

181

4

7

30

1180

4

18

30

1

1

6

4

1

1

2

30

16

4

12

288

295

5

12

24

59

5

12

24

757856

5

62

8

25

4

13

3

7

ORDEN DE LAS FRACCIONESTeorema:

rqsps

r

q

p

sqs

r

q

p

que significa

entonces positivos, y con ,fraccionesson y Si

Muchas gracias, que tengan un bonito fin de semana

Atentamente

Profr. Moy