HOJA DIBUJO TÉCNICO I TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA. 1 IGUALDAD Dos...

1HOJADIBUJO TÉCNICO ITEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.

• IGUALDADDos figuras son iguales cuando tienen sus lados y ángulos iguales y dispuestos en el mismo orden.

• Igualdad por copia de ángulos

1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB

2. Con centro en B’ se traza un ángulo igual al B

3. Se transporta el segmento B’C’ = BC

4. Se repite la operación con todos los vértices

Dado el polígono ABCDE


1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y

2. Se proyectan los vértices sobre el eje X

3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y

4. Se trazan perpendiculares a X’ e Y’

5. Se unen los vértices hallados


• Igualdad por coordenadas


• Igualdad por radiación

1. Se elige un punto O y se une con los vértices del polígono

2. Con centros en O y O’ se trazan dos circunferencias del mismo radio

3. Por copia de ángulos se trazan las rectas que parten de O’

4. Sobre cada recta se llevan las distancias O’A’, O’B’, etc



• Igualdad por triangulación

1. Se une un vértice con todos los demás

2. Por copia de triángulos se construyen todos los que se han formado



• Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s

2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento

3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado

4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.


• División de un segmento en partes proporcionales

1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s

2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ

3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t.

4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I


1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados

• Producto y división entre dos segmentos

1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados

Producto entre dos segmentos

División entre segmentos

E

1C

B

D

C D

A B

C

B E

r

A

s

1

D

A C

A B

A

r

s


• Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada

1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC

2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC

3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E

4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB

Dado el segmento AB

DA B C

1

E

A B


• Media proporcional

1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados

2. Se traza el punto medio E del segmento AD y la semicircunferencia de radio EA

3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto F

4. El segmento BF es la media proporcional a los segmentos dados.


• Tercera proporcional

1. Se trazan dos rectas r y s que se corten

2. A partir del punto A se lleva AB sobre r y CD sobre s

3. Con centro en A y radio AD se describe un arco

4. Por el punto E se traza la paralela a BD

5. El segmento AF es la tercera proporcional


• Cuarta proporcional

1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera que se corten

2. A partir del punto A se lleva AB sobre la recta r y CD sobre la recta s

3. Sobre la recta r y a continuación del segmento AB se traslada EF

4. Por el punto F se traza la recta paralela a BD

5. El segmento DG es al cuarta proporcional


• Potencia de un punto

Potencia de un punto

Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante

Eje radical

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas

p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD


• Eje radical de dos circunferencias (I)

Circunferencias secantes

Se determina uniendo los dos puntos A y B de intersección de ambas circunferencias


• Eje radical de dos circunferencias (II)

Circunferencias tangentes

Se determina trazando la recta tangente común a ambas circunferencias


• Eje radical de dos circunferencias (III)

Circunferencias exteriores

1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores

2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O1

3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O2

4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O1O2


• Centro radical de tres circunferencias

Dadas tres circunferencias

1. Se halla el eje radical e de las circunferencias de centro O1 y O2

2. Se halla el eje radical e’ de las circunferencias de centro O2 y O3

3. El centro radical O se localiza en la intersección de los ejes radicales hallados

O3

1O

O

e'

O2

e


• Semejanza directa por radiación

Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.

SEMEJANZA

Sea la razón de semejanza 2/3

1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices

2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman tantas partes como indique el numerador (2)

3. A partir del punto A’ se trazan paralelas


A la relación entre los segmentos proporcionales se le llama razón de semejanza.


• Semejanza por coordenadas

1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y

2. Se proyectan los vértices sobre el eje X

3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y

4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las distancias O’C’x = 2/3(OCx), O’C’y = 2/3(OCY), ...

6. Se unen los vértices hallados

5. Se trazan perpendiculares a X e Y



• Semejanza inversa por radiación

Sea la razón de semejanza -2/3

1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices

2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman, en sentido contrario, tantas partes como indique el numerador (2)

3. A partir del punto A’ se trazan paralelas



• Escala gráfica

1. Sobre una cartulina se trazan dos rectas paralelas

2. Se trasladan tantas unidades reducidas como quepan

3. La primera división se divide en diez partes iguales (contraescala)

4. Se numeran todas las divisiones

El objeto real se mide siempre con la regla natural (E.1:1)

En el dibujo se mide con la escala gráfica

Se hace coincidir el extremo derecho del segmento con una división entera

Los decimales se observan en la contraescala gráfica


• Escala transversal

1. Sobre una recta r se construye una escala gráfica

2. Se trazan 10 rectas paralelas a r con distancias iguales entre sí3. Se trazan perpendiculares a r por los puntos de división de la escala gráfica

4. En las contraescalas de la primera y última paralelas se unen los puntos 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, etc

Para medir, las unidades se observan en la escala gráfica, las décimas en la contraescala inferior y las centésimas en el número de la paralela


• Triángulo universal de escalas1. Se construye un triángulo de manera que uno de los lados quede dividido en 10 cm

2. Se une cada uno de los puntos de división con el vértice opuesto A3. Otro de los lados se divide en diez partes y se trazan paralelas al primer lado, donde van formándose las diversas escalas

4. Por debajo de la escala natural se forman las escalas de ampliación

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